Modula aritmetiko

Modula aritmetiko estas sistemo de aritmetiko por entjeroj, kie nombroj "turniĝas reen", al nulo, post kiam ili atingas certan valoron — la modulon. Modulan aritmetikon prezentis Carl Friedrich Gauss en sia libro Disquisitiones Arithmeticae (publikigita en 1801).

Ekzemplo de modula aritmetiko estas kutima horloĝo: la aritmetiko de horoj sur la horloĝo. Se la tempo estas 7 horoj, tiam post 8 horoj estos 15 horoj (t.e. validas kutima adicio). Se la tempo estas 7 horoj, tiam post 19 horoj esto vi ź TTTs (7+19)=26 horoj (laŭ en kutima aldono), sed horloĝo uzas modulon 24, do estas 26 mod 24=2 horoj (de la sekva diurno).

La rilato

Du entjeroj a kaj b estas kongruaj module (aŭ modulite) je n, se a kaj b havas la saman reston kiam estas dividitaj per n (por pozitivaj entjeroj), aŭ ekvivalente, ke ilia diferenco (a−b) estas produto de n kaj entjero (por ĉiaj entjeroj). En ĉi tiu okazo, la afero estas esprimita kiel

a ≡ b (mod n).

Ekzemple,

38 ≡ 14 (mod 12)

ĉar 38 − 14 = 24 kiu estas entjera obligo de 12.

Kongrueco estas ekvivalentrilato. Ekvivalentklaso de la entjero a estas signifita per [a]_n = { ..., a − 2n, a − n, a, a + n, a + 2n, a + 3n, ...}. Ĉi tiu aro de ĉiuj entjeroj kongruaj al a module je n estas nomita kiel la kongrueca klaso aŭ n-modula restoklaso de a module je n, kaj estas ankaŭ signifis per ${\hat {a}}$.

Se

a₁ ≡ b₁ (mod n)

kaj

a₂ ≡ b₂ (mod n)

tiam

a₁ + a₂ ≡ (b₁ + b₂) (mod n)

kaj

a₁a₂ ≡ b₁b₂ (mod n).

Vidu ankaŭ

• RSA (kriptado)