Kvadrata piramida nombro

En matematiko, kvadrata piramida nombro estas figuriga nombro kiu prezentas kvadratan piramidon - piramidon kun kvadrata bazo kaj kvar triangulaj flankoj. Ĉi tiuj nombroj povas esti esprimita en formulo kiel

\sum _{k=1}^{n}k^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}={2n^{3}+3n^{2}+n \over 6}

tio estas, per sumigo de la kvadratoj de la unuaj n entjeroj. Per matematika indukta ĝi estas ebla al derivi unu formulo de la alia. Ekvivalenta formulo estas donita en Liber Abaci de Fibonacci's (1202, ĉ. II.12).

Ĉi tiu estas speciala okazo de formulo de Faulhaber.

La unuaj kelkaj kvadrataj piramidaj nombroj estas:

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819

Piramidaj nombroj povas esti modelita en fizika spaco kun donita kvanto da pilkoj kaj kvadrata kadro kiu tenas en loko la pilkojn formantajn la bazon.

Pruvo por la formulo de la sumo de kvadratoj

Unua pruvo

La unua pruvo povas esti donita per indukto

Estu $S(n)=1^{2}+2^{2}+...+n^{2}$

Necesas pruvi ke $S(n)={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Por n=1 la hipotezo estas vera bagatele.

Estu $S(n)={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$ vera por iu n. Tiam por n+1:

S(n+1)=S(n)+(n+1)^{2}

S(n+1)={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}+(n+1)^{2}

S(n+1)={\frac {(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}}

Tial laŭ principo de matematika indukto, la hipotezo estas pruvita.

Dua pruvo

(k+1)^{3}=k^{3}+3k^{2}+3k+1

(k+1)^{3}-k^{3}=3k^{2}+3k+1

\sum _{k=1}^{n}((k+1)^{3}-k^{3})=\sum _{k=1}^{n}(3k^{2}+3k+1)

(n+1)^{3}-1=3\sum _{k=1}^{n}k^{2}+\sum _{k=1}^{n}3k+\sum _{k=1}^{n}1

(en la maldekstra flanko, ĉiu termoj forigis unu la alian escepte de (n+1) kaj 1)

\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {(n+1)^{3}-\sum _{k=1}^{n}3k-\sum _{k=1}^{n}1-1}{3}}

De ĉi tie, $S(n)=1^{2}+2^{2}+...n^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}$

Rilatoj al la aliaj figurigaj nombroj

La piramidaj nombroj povas ankaŭ esti esprimitaj kiel sumoj de dutermaj koeficientoj (aŭ de du najbaraj kvaredraj nombroj) kiel:

{{n+2} \choose 3}+{{n+1} \choose 3}

en la sama maniero kiel kvadrataj nombroj estas la sumoj de du najbaraj triangulaj nombroj.

Oni povas derivi la alian rilaton inter kvadrataj piramidaj nombroj kaj kvaredraj nombroj: se P_n estas la n-a kvadrata piramida nombro kaj T_n estas la n-a kvaredra nombro do

P_{n}={n(n+1)(2n+1) \over 6}={2n(2n+2)(2n+1) \over {4*6}}=(1/4)T_{2n}

La sumo de du najbaraj kvadrataj piramidaj nombroj estas okedra nombro.

Ekster 1, estas nur unu alia nombro tio estas ambaŭ kvadrata nombro kaj kvadrata piramida nombro, 4900, la 70-a kvadrata nombro kaj la 24-a kvadrata piramida nombro. Ĉi tiu fakto estis pruvita per G. N. Watson en 1918.

Kvadratoj en kvadrato

Komuna matematika enigmo engaĝas trovon de la kvanto de kvadratoj en granda n×n kvadrata krado. Ĉi tiu nombro povas esti derivita kiel sekvas:

La kvanto de 1×1 skatoloj trovitaj en la krado estas $n^{2}$ .
La kvanto de 2×2 skatoloj trovitaj en la krado estas $(n-1)^{2}$ . Ĉi tio povas esti kalkulita per kalkulado de ĉiuj eblaj supro-maldekstraj anguloj de 2×2 skatoloj.
La kvanto de k×k skatoloj (1 ≤ k ≤ n) trovitaj en la krado estas $(n-k+1)^{2}$ . Ĉi tio povas esti kalkulita per kalkulado de ĉiuj eblaj supro-maldekstraj anguloj de k×k skatoloj.