Platona solido

En geometrio, platona solido aŭ platona korpo estas konveksa regula pluredro. Estas precize kvin ĉi tiaj objektoj. Ili estas la tri-dimensiaj analogoj de du-dimensiaj konveksaj regulaj plurlateroj kaj kvar-dimensiaj konveksaj regulaj plurĉeloj.

La platonaj solidoj ludas difinan rolon en la filozofio de Platono, laŭ kiu ili estis nomitaj. Platono, en la dialogo Timeo (ĉ. 358 a.K.), asociis kun regula solido ĉiun el la kvin elementoj : tero (kubo) , aero (okedro), akvo (dudekedro), fajro (kvaredro) kaj etero (dekduedro).

Ecoj

Konveksa pluredro estas platona solido se kaj nur se

1. ĉiuj ĝiaj edroj estas kongruaj konveksaj regulaj plurlateroj,
2. neniuj el ĝiaj edroj intersekciĝas ie escepte je iliaj randoj, kaj
3. la sama kvanto de edroj kuniĝas je ĉiu vertico.

Ĉiu platona solido povas pro tio esti priskribita per simbolo de Schläfli {p,q} kie

p estas kvanto de lateroj de ĉiu edro (aŭ kvanto de verticoj de ĉiu edro) kaj

q estas kvanto de edroj kuniĝantaj je ĉiu vertico (aŭ kvanto de lateroj kuniĝantaj je ĉiu vertico).

Ĉiu platona solido estas samtempe vertico-transitiva, latero-transitiva kaj edro-transitiva.

Nomo	Bildo	Verticoj	Lateroj	Edroj	Simbolo de Schläfli	Vertica konfiguro	Simbolo de Wythoff	Duala pluredro	Ordo de simetrio	Geometria simetria grupo
Kvaredro		4	6	4	{3, 3}	3.3.3	3 | 2 3	Kvaredro	24 (12)	Kvaredra simetrio Td (T)
Kubo		8	12	6	{4, 3}	4.4.4	3 | 2 4	Okedro	48 (24)	Okedra simetrio Oh (O)
Okedro		6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3	4 | 2 3	Kubo
Dekduedro		20	30	12	{5, 3}	5.5.5	3 | 2 5	Dudekedro	120 (60)	Dudekedra simetrio Ih (I)
Dudekedro		12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3	5 | 2 3	Dekduedro

Dualaj pluredroj

Ĉiu el la pluredroj havas dualan pluredron, ankaŭ kiu estas platona solido, tiel ke oni povas aranĝi la kvin pluredrojn en dualajn parojn.

• La kvaredro estas mem-duala.
• La kubo kaj la okedro formas dualan paron.
• La dekduedro kaj la dudekedro formas dualan paron.

Se pluredro havas simbolon de Schläfli {p,q}, do ĝia duala havas la simbolon {q,p}.

Geometriaj simetriaj grupoj

En matematiko, la koncepto de simetrio estas studata kun la nocio de algebra grupo. Ĉiu pluredro havas asociitan geometrian simetrian grupon, kiu estas la aro de ĉiuj transformoj (eŭklidaj izometrioj) kiuj lasas la pluredron invarianta. La ordo de la geometria simetria grupo estas la kvanto de la diversaj transformoj, inkluzivante identan transformon. Oni ofte diferencigas inter la plena geometria simetria grupo, kiu inkluzivas reflektojn kaj la pozitiva (aŭ turna) geometria simetria grupo, kiu inkluzivas nur turnadojn.

La geometriaj simetriaj grupoj de platonaj solidoj estas pluredraj grupoj, kiuj estas speciala klaso de la punktaj grupoj en tri dimensioj.

Estas nur tri geometriaj simetriaj grupoj asociita kun la platonaj solidoj sed ne kvin, pro tio ke la geometria simetria grupo de ĉiu pluredro koincidas kun tiu de ĝia duala. La tri pluredraj grupoj estas:

• la kvaredra grupo T,
• la okedra grupo O (kiu estas ankaŭ la geometria simetria grupo de kubo),
• la dudekedra grupo I (kiu estas ankaŭ la geometria simetria grupo de la dekduedro).

La ordoj de la pozitivaj (turnaj) grupoj, estas 12, 24 kaj 60 respektive, la ordoj estas precize duoble pli grandaj ol kvanto de lateroj de la respektivaj pluredroj. La ordoj de la plenaj geometriaj simetriaj grupoj estas duoble pli grandaj, 24, 48 kaj 120 respektive.

Kvanto de diversaj platonaj solidoj

Estas klasika rezulto ke estas nur kvin konveksaj regulaj pluredroj. Du komunaj pruvoj estas donitaj pli sube. Ambaŭ el ĉi tiuj pruvoj nur montras ke povas esti ne pli ol 5 platonaj solidoj. Tio ke ĉiuj 5 reale ekzistas estas aparta demando.

Geometria pruvo

Jena geometria pruvo estas tre simila al tiu donita de Eŭklido en la Eroj:

• Ĉiu vertico de la pluredro devas koincidi kun unu vertico de almenaŭ tri edroj.
• Je ĉiu vertico de la pluredro, sumo de anguloj inter respektivaj najbaraj lateroj de la najbaraj edroj devas esti malpli ol 360°.
• Ĉiuj anguloj inter lateroj, do ĉiu vertico de ĉiu edro devas havi angulon malpli grandan ol 360°/3=120°.
• Regulaj plurlateroj de ses aŭ pli multaj flankoj havas nur angulojn de 120° aŭ pli grandajn, do edroj povas esti nur trianguloj, kvadratoj kaj kvinlateroj.
  • Triangulaj edroj: ĉiu vertico de regula triangulo estas 60°, do la pluredro povas havi 3, 4, aŭ 5 trianguloj kuniĝantajn je ĉiu vertico; ĉi tiuj formoj estas la kvaredro, okedro, kaj dudekedro respektive.
  • Kvadrataj edroj: ĉiu vertico de kvadrato estas 90°, do la pluredro povas nur havi 3 edroj kuniĝantajn je ĉiu vertico; ĉi tiu formo estas la kubo.
  • Kvinlateraj edroj: ĉiu vertico estas 108°; do la pluredro povas nur havi 3 edroj kuniĝantajn je ĉiu vertico; ĉi tiu formo estas la dekduedro.

Topologia pruvo

Pure topologia pruvo povas esti farita uzanta nur kombina informo pri la pluredroj. La ŝlosilo estas la ekvacio pri eŭlera karakterizo

$V-L+E=2$ , kaj tio ke

$pE=2L=qV$ ,

kie V estas kvanto de verticoj,

L estas kvanto de lateroj,

E estas kvanto de edroj,

p kaj q estas eroj de la simbolo de Schläfli.

Kombinante ĉi tiujn ekvaciojn rezultiĝas ekvacio

${\frac {2L}{q}}-L+{\frac {2L}{p}}=2.$

Kaj do

${1 \over q}+{1 \over p}={1 \over 2}+{1 \over L}.$

Pro tio ke $L$ estas severe pozitiva oni devas havi na

${\frac {1}{q}}+{\frac {1}{p}}>{\frac {1}{2}}.$

Uzanta tion ke p kaj q devas esti ne pli malgranda ol 3, troviĝas nur kvin eblecoj por {p, q}:

{3, 3},{4, 3},{3, 4},{5, 3},{3,5}

Geometriaj proprecoj

Pluredro (a = 2)	r	ρ	R	A	V	Duedra angulo $(\theta )\,$	$\tan {\frac {\theta }{2}}$	Angula difekto $(\delta )\,$	Solida angulo $(\Omega )\,$
Kvaredro	$1 \over {\sqrt {6}}$	$1 \over {\sqrt {2}}$	${\sqrt {3 \over 2}}$	$4{\sqrt {3}}$	${\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}$	70.53°	$1 \over {\sqrt {2}}$	$\pi \,$	$\cos ^{-1}\left({\frac {23}{27}}\right)$	$\approx 0.551286$
Kubo	$1\,$	${\sqrt {2}}$	${\sqrt {3}}$	$24\,$	$8\,$	90°	$1\,$	$\pi \over 2$	${\frac {\pi }{2}}$	$\approx 1.57080$
Okedro	${\sqrt {2 \over 3}}$	$1\,$	${\sqrt {2}}$	$8{\sqrt {3}}$	${\frac {8{\sqrt {2}}}{3}}$	109.47°	${\sqrt {2}}$	${2\pi } \over 3$	$4\sin ^{-1}\left({1 \over 3}\right)$	$\approx 1.35935$
Dekduedro	${\frac {\varphi ^{2}}{\xi }}$	$\varphi ^{2}$	${\sqrt {3}}\,\varphi$	$60{\frac {\varphi }{\xi }}$	$20{\frac {\varphi ^{3}}{\xi ^{2}}}$	116.57°	$\varphi \,$	$\pi \over 5$	$\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {2}{11}}\right)$	$\approx 2.96174$
Dudekedro	${\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {3}}}$	$\varphi$	$\xi \varphi$	$20{\sqrt {3}}$	${\frac {20\varphi ^{2}}{3}}$	138.19°	$\varphi ^{2}\,$	$\pi \over 3$	$2\pi -5\sin ^{-1}\left({2 \over 3}\right)$	$\approx 2.63455$

Kie φ kaj ξ estas donitaj kiel:

φ = (1+√5)/2 estas la ora proporcio.

$\xi =2\sin {\pi \over 5}={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=5^{1/4}\varphi ^{-1/2}.$

Radiusoj, areo, volumeno

Ĉiu platona solido havas tri samcentraj sferoj:

• la ĉirkaŭskribita sfero tra ĉiuj verticoj,
• la mezosfero kiu estas tangenta al ĉiu lateroj je iliaj mezpunkto,
• la enskribita sfero kiu estas tangenta al ĉiu edro je la centro de la edro.

La radiusoj de ĉi tiuj sferoj estas radiuso de ĉirkaŭskribita sfero R , radiuso de mezosfero ρ, radiuso de enskribita sfero r.

Se longo de la lateroj estas a do

$R=\left({a \over 2}\right)\tan {\frac {\pi }{q}}\tan {\frac {\theta }{2}}$

$r=\left({a \over 2}\right)\cot {\frac {\pi }{p}}\tan {\frac {\theta }{2}}$

$\rho =\left({a \over 2}\right){\frac {\cos(\pi /p)}{\sin(\pi /h)}}$

kie θ estas la duedra angulo.

h estas 4, 6, 6, 10, kaj 10 por la kvaredro, kubo, okedro, dekduedro, kaj dudekedro respektive.

Oni povas konstrui la dualan pluredron per lokigo de verticoj de la duala pluredro en centroj de edroj de la originala pluredro. La lateroj de la duala estas formataj per konektado de centroj de najbaraj edroj en la originala pluredro. Tiamaniere, kvantoj de edroj kaj verticoj estas interŝanĝitaj, kaj kvanto de lateroj restas la sama.

Pli ĝenerale, oni povas dualigi platonajn solidojn kun respekto al sfero de radiuso d samcentra kun la pluredro. La radiusoj (R, ρ, r) de solido kaj tiuj de ĝia duala (R^*, ρ^*, r^*) estas interrilatantaj kiel

d² = R^* r = r^* R = ρ^* ρ

Ofte estas oportune dualigi kun respekto al la mezosfero (d = ρ) pro tio ke ĝi havas la saman interrilaton al ambaŭ pluredroj. En ĉi tiu okazo pro tio ke d² = Rr la interdualaj pluredroj havas la samajn radiuson de ĉirkaŭskribita sfero kaj radiuson de enskribita sfero, kio estas R* = R kaj r* = r.

La surfaca areo A de platona solido {p, q} estas areo de regula p-latero, multiplikita je la kvanto de edroj E:

$A=\left({a \over 2}\right)^{2}Ep\cot {\frac {\pi }{p}}.$

La volumeno estas komputita kiel volumeno de la piramido kies bazo estas regula p-latero kaj kies alto estas la radiuso de enskribita sfero r, multiplikita je la kvanto de edroj E:

$V={1 \over 3}rA.$

Inter la platonaj solidoj, ĉu la dekduedro aŭ la dudekedro aspektas kiel la plej bonaj proksimumiĝoj al la sfero. La dudekedro havas la plej granda kvanton de edroj, la plej grandan duedran angulon, kaj ĝi estas la plej proksima el ĉiuj al sia enskribita sfero. La dekduedro, aliflanke, havas la plej malgrandan angulan difekton, la plej grandan vertican solidan angulon, kaj estas la plej proksima el ĉiuj al sia ĉirkaŭskribita.

Anguloj

La duedra angulo estas la ena angulo inter ĉiuj du najbaraj edroj. La duedra angulo θ de la pluredro {p,q} estas

$\sin {\theta \over 2}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /p)}}.$

Tangento de ĝia duono estas

$\tan {\theta \over 2}={\frac {\cos(\pi /q)}{\sin(\pi /h)}}.$

La h estas 4, 6, 6, 10, kaj 10 por la kvaredro, kubo, okedro, dekduedro, kaj dudekedro respektive.

La angula difekto je la vertico de pluredro estas la diferenco inter sumo de la edraj anguloj je vertico kaj 2π. La difekto, δ, je ĉiu, vertico de la platona solido {p,q} estas

$\delta =2\pi -q\pi \left(1-{2 \over p}\right).$

Per la kartezia teoremo, angula difekto estas egala al 4π dividita per la kvanto de verticoj.

La 3-dimensia analoga de ebena angulo estas solida angulo. La solida angulo, Ω, je la vertico de platona solido estas

$\Omega =q\theta -(q-2)\pi .\,$

Ĉi tiu sekvas de la sfera krompaga formulo por sfera plurlatero kaj tio ke la vertica figuro de la pluredro {p,q} estas regula q-latero.

Rilatantaj figuroj

Unuformaj pluredroj

Ekzistas 4 regulaj nekonveksaj pluredroj - pluredroj de Keplero-Poinsot. Ili havas dudekedran simetrion kaj povas esti ricevitaj kiel steligoj de la dekduedro kaj la dudekedro.

Ekzistas ankaŭ la aliaj neprismaj unuformaj pluredroj, kiuj havas la samajn simetriojn kiel la platonaj solidoj.

La solidoj de Johnson estas konveksaj pluredroj kiuj havas regulajn edrojn sed ne estas unuformaj.

Kahelaroj

La tri regulaj kahelaroj de la ebeno estas proksime rilatantaj al la platonaj solidoj. Oni povas konsideri platonajn solidojn kiel regulaj kahelaroj de la sfero. Ĉi tio estas farita per projekciado de solido al samcentra sfero. La edroj projekciiĝas al regulaj sferaj plurlateroj kiu akurate kovras la sferon.

Platonaj solidoj {p,q} verigas kondiĉon 1/p + 1/q > 1/2. Regula kahelaroj de la eŭklida ebeno estas karakterizitaj per la kondiĉo 1/p + 1/q = 1/2. Estas tri eblecoj:

• {4, 4} kiu estas kvadrata kahelaro,
• {3, 6} kiu estas triangula kahelaro,
• {6, 3} kiu estas seslatera kahelaro (duala al la triangula kahelaro).

En simila maniero unu povas konsideri la regulajn kahelarojn de la hiperbola ebeno. Ĉi tiuj estas karakterizita la kondiĉo 1/p + 1/q < 1/2. Estas malfinia kvanto de ĉi tiaj kahelaroj.

Pli altaj dimensioj

En pli altaj dimensioj ekzistas konveksaj regulaj hiperpluredroj (vidu en listo de regulaj hiperpluredroj).

En 4 dimensioj ekzistas 6 konveksaj regulaj plurĉeloj kaj 10 nekonveksaj regulaj plurĉeloj.

En 5 aŭ pli multaj dimensioj ekzistas nur tri specoj de konveksaj regulaj hiperpluredroj - simplaĵo, hiperkubo, kruco-hiperpluredro kaj ne ekzistas nekonveksaj regulaj hiperpluredroj.

Vidu ankaŭ

• Grupo-teorio
• Nekonveksa regula pluredro
• Duonregula pluredro
• Unuforma pluredro
• Konveksa regula plurĉelo
• Nekonveksa regula plurĉelo
• Unuforma plurĉelo
• Regula hiperpluredro
• Listo de regulaj hiperpluredroj
• Regula kahelaro
• Unuforma kahelaro

Bibliografio

• Norvell jr, Stevens T. 2007 : La Platonaj korpoj (kaj kial povas esti nur kvin), Scienca Revuo, 58/4, nro 211, 259-265.

Eksteraj ligiloj

• Eric W. Weisstein, Platona solido en MathWorld.