Τοπολογία

Για άλλες χρήσεις, δείτε: Τοπολογία (αποσαφήνιση).

Τοπολογία είναι η μελέτη των συνόλων στα οποία μπορεί να οριστεί μια έννοια κλειστότητας έτσι ώστε να διακρίνεται η συνέχεια για οποιαδήποτε συνάρτηση που ορίζεται σε αυτά. Είναι, συνεπώς ένα είδος γενικευμένης γεωμετρίας αφού θεωρούμε κι εδώ σχήματα. Δεν μας ενδιαφέρει όμως η διάσταση ή μια γενικευμένη ανάλυση αφού εστιάζουμε στην συνέχεια ή μη κάποιων συναρτήσεων. Αντικείμενο μελέτης της τοπολογίας είναι ο Τοπολογικός Χώρος. Τοπολογικούς χώρους συναντούμε στην μαθηματική ανάλυση, την άλγεβρα και την γεωμετρία.

Θεμελιώδεις έννοιες όπως σύγκλιση, όριο, συνέχεια, συνεκτικότητα ή συμπάγεια συναντούν στην τοπολογία την καλύτερη τους μορφοποίηση. Η τοπολογία βασίζεται ουσιαστικά στις έννοιες του τοπολογικού χώρου και του ομοιομορφισμού. Με τον όρο τοπολογία δηλώνεται επίσης η συλλογή ανοιχτών συνόλων που ορίζουν έναν τοπολογικό χώρο.

Για παράδειγμα, ένας στερεός κύβος και μια στερεή σφαίρα είναι ομοιόμορφα, μπορούμε δηλαδή να παραμορφώσουμε το ένα μέχρι να εξασφαλίσουμε το άλλο χωρίς να κολλήσουμε ή να σχίσουμε οτιδήποτε: δεν είναι όμως δυνατόν για παράδειγμα να παραμορφώσουμε μια σφαίρα σε έναν κύκλο με τον ίδιο τρόπο, επειδή η διάσταση ενός αντικειμένου είναι μια τοπολογική ιδιότητα, που δεν αλλάζει με τις μεταμορφώσεις. Υπό αυτήν την έννοια, η τοπολογία ερευνά τις βαθύτερες ιδιότητες των γεωμετρικών σχημάτων.

Ιστορικά στοιχεία

Προάγγελος της τοπολογίας ήταν η αρχαία γεωμετρία. Το άρθρο του Ελβετού μαθηματικού Λέοναρντ Όιλερ το 1736 για τις Επτά Γέφυρες του Königsberg θεωρείται ως ένα από τα πρώτα αποτελέσματα που δεν εξαρτώνται από κανέναν τύπο μέτρησης, δηλαδή ως ένα από τα πρώτα τοπολογικά αποτελέσματα.

Ο Γκέοργκ Κάντορ, που επινόησε τη θεωρία των συνόλων, ξεκίνησε να μελετά τη θεωρία των συνόλων των σημείων στον ευκλείδειο χώρο προς τα τέλη του 19ου αιώνα. Ο Μορίς Φρεσέ εισήγαγε το 1906 την έννοια του μετρικού χώρου, ενοποιώντας την εργασία των Κάντορ, Βίτο Βολτέρα, Αρζελά, Χανταμάρ, Ασκόλι κι άλλων για τους χώρους των συναρτήσεων. Το 1914 ο Φέλιξ Χάουσντορφ, γενικεύοντας την έννοια του μετρικού χώρου, έπλασε τον όρο τοπολογικός χώρος κι όρισε αυτό που σήμερα ονομάζεται χώρος του Χάουσντορφ. Τέλος, το 1922, ο Kuratowsky, με μια επιπρόσθετη μικρή γενίκευση, έδωσε τον ορισμό που έχει σήμερα ο τοπολογικός χώρος.