Ταυτοδυναμία

Στα μαθηματικά, ταυτοδυναμία (ή αυτοδυναμία) είναι μία συνάρτηση που δίνει το ίδιο αποτέλεσμα αν την εφαρμόσουμε μία ή περισσότερες φορές. Για παράδειγμα η απόλυτη τιμή είναι μία ταυτοδυναμία, καθώς $||-5||=|-5|=5$.

Ορισμός

Ταυτοδύναμη συνάρτηση

Μία συνάρτηση $f:X\to X$ είναι ταυτοδύναμη (ή αυτοδύναμη) αν για κάθε στοιχείο $x$ του συνόλου $X$ ισχύει ότι

$f(f(x))=x$.

Από αυτόν τον ορισμό έπεται ότι επαγωγικά ισχύει ότι

$x=f(f(x))=f(f(f(x)))=f(f(f(f(x))))=\ldots$,

δηλαδή αν εφαρμόσουμε την συνάρτηση πάνω από μία φορές παίρνουμε το ίδιο αποτέλεσμα.

Ταυτοδύναμη πράξη

Σε ένα μάγμα $(X,\cdot )$, όπου $X$ είναι ένα σύνολο και $\cdot :X\times X\to X$ είναι μία δυαδική πράξη, ένα ταυτοδύναμο (ή αυτοδύναμο) στοιχείο είναι ένα στοιχείο $x\in X$ τέτοιο ώστε

$x\cdot x=x$.

Αν αυτή η ιδιότητα ισχύει για όλα τα στοιχεία του $X$, τότε η πράξη είναι ταυτοδύναμη (ή αυτοδύναμη).

Παραδείγματα

Συναρτήσεις

• Η ταυτοτική συνάρτηση $f(x)=x$ είναι ταυτοδύναμη, καθώς $f(f(x))=f(x)=x$.
• Η απόλυτη τιμή στους πραγματικούς αριθμούς είναι ταυτοδύναμη, καθώς $||x||=|x|$ για κάθε $x\in \mathbb {R}$.
• Οι συναρτήσεις δαπέδου και οροφής είναι ταυτοδύναμες, καθώς $\lfloor \lfloor x\rfloor \rfloor =\lfloor x\rfloor$ και $\lceil \lceil x\rceil \rceil$. Για παράδειγμα, για $x=3.14$, έχουμε ότι $\lfloor \lfloor 3.14\rfloor \rfloor =\lfloor 3\rfloor =3=\lfloor 3.14\rfloor$.

Ταυτοδυναμία

• Στην θεωρία συνόλων:
  • Η ένωση συνόλων $\cup$ είναι ταυτοδυναμία, καθώς για κάθε σύνολο $A$ ισχύει ότι $A\cup A=A$.
  • Η ένωση συνόλων $\cap$ είναι ταυτοδυναμία, καθώς για κάθε σύνολο $A$ ισχύει ότι $A\cap A=A$.
• Στην λογική:
  • Η διάζευξη $\vee$ είναι ταυτοδυναμία, καθώς για κάθε λογική πρόταση $P$, ισχύει ότι $P\vee P=P$.
  • Η σύζευξη $\wedge$ είναι ταυτοδυναμία, καθώς για κάθε λογική πρόταση $P$, ισχύει ότι $P\wedge P=P$.
• Σε μία αλγεβρική δομή $(X,\cdot )$ το ουδέτερο στοιχείο $e$ (αν υπάρχει) είναι ταυτοδύναμο στοιχείο, καθώς $e\cdot e=e$.
• Στην γραμμική άλγεβρα:
  • Η προβολή σε μία ευθεία (ή ένα επίπεδο) είναι ταυτοδυναμία, καθώς η προβολή της προβολής είναι η ίδια η προβολή. Αυτοί οι μετασχηματισμοί αναπαριστόνται από έναν ταυτοδύναμο πίνακα.
• Στην θεωρία αριθμών:
  • Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης είναι ταυτοδυναμία, καθώς $\gcd(n,n)=n$ για κάθε φυσικό αριθμό $n\in \mathbb {N}$.
  • Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο είναι ταυτοδυναμία, καθώς $\mathrm {lcm} (n,n)=n$ για κάθε φυσικό αριθμό $n\in \mathbb {N}$..

Εφαρμογές

Κουμπιά On/Off σε έναν πίνακα ελέγχου ενός τραίνου. Πατώντας το On (πράσινο) είναι μία ταυτδύναμη πράξη, καθώς δίνει το ίδιο αποτέλεσμα αν το πατήσουμε μία ή παραπάνω φορές. Αντίστοιχα, και για το Off.

Στην πληροφορική, σε αρκετές εφαρμογές οι συναρτήσεις ορίζονται ώστε να είναι ταυτοδύναμες, ώστε σε περίπτωση που καλεστούν πάνω από μία φορά, να μην αλλάξει το αποτέλεσμα του υπολογισμού.

Στην σχεδίαση διεπαφής χρήστη, για λόγους ασφαλείας, πολλές λειτουργιές των κουμπιών είναι ταυτοδύναμες. Για παράδειγμα, όπως φαίνεται στο σχήμα στο πλάι, μπορεί να υπάρχει ξεχωριστό κουμπί για το άνοιγμα (On) και κλείσιμο (Off) μίας λειτουργίας. Αυτός ο σχεδιασμός είναι πιο ασφαλής από το να είχαμε το ίδιο κουμπί για το On και Off, όπου άμα κατά λάθος πατηθεί πάνω από μία φορά μπορεί να οδηγήσει στο αντίθετο αποτέλεμα (σκεφτείτε τι γίνεται με το τηλεκοντρόλ της τηλεόρασης).

Δείτε επίσης

• Ταυτοδύναμος πίνακας