Κέντρο μάζας

Στη φυσική, το κέντρο μάζας ενός σώματος ή ενός συστήματος σωμάτων είναι το σημείο το οποίο συμπεριφέρεται ως η μάζα όλου του σώματος ή του συστήματος, να είναι συγκεντρωμένη σ' αυτό. Το κέντρο μάζας είναι συνάρτηση μόνο της θέσης και της μάζας κάθε σώματος που περιλαμβάνεται στο σύστημα. Στην περίπτωση ενός μηχανικού στερεού, η θέση του κέντρου μάζας του είναι σταθερή σε σχέση με το σώμα, αλλά όχι αναγκαία πάνω σε αυτό. Στην περίπτωση ενός ομοιογενούς βαρυτικού πεδίου, το κέντρο μάζας συμπίπτει με το κέντρο βάρους — το σημείο στο οποίο λέγεται ότι ενεργεί η βαρύτητα.

Το κέντρο μάζας ενός σώματος δεν συμπίπτει πάντα με το γεωμετρικό του κέντρο, πράγμα που πολλές φορές αποδεικνύεται πολύ χρήσιμο. Οι μηχανικοί προσπαθούν να κάνουν τα σπορ αυτοκίνητα όσο το δυνατόν ελαφρύτερα, ενώ προσπαθούν να συγκεντρώνουν το βάρος στο κάτω μέρος του αυτοκινήτου.

Το σύστημα κέντρου μάζας είναι ένα σύστημα αναφοράς που ορίζεται ως το σύστημα το οποίο έχει ως αρχή το κέντρο μάζας του συστήματος.

Ορισμός

Το κέντρο μάζας $\mathbf {R}$ ενός συστήματος σωμάτων ορίζεται ως το άθροισμα των γινομένων της μάζας κάθε σώματος επί την αντίστοιχη απόσταση, προς τη συνολική μάζα του συστήματος:

$\mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\sum m_{i}\mathbf {r} _{i}$

όπου $M$ είναι η συνολική μάζα του συστήματος.

Για μια συνεχή κατανομή με πυκνότητα μάζας $\rho (\mathbf {r} )$, το άθροισμα γίνεται ολοκλήρωμα:

$\mathbf {R} ={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \;dm={\frac {1}{M}}\int \rho (\mathbf {r} )\,\mathbf {r} \ dV={\frac {\int \rho (\mathbf {r} )\,\mathbf {r} \ dV}{\int \rho (\mathbf {r} )\ dV}}$

Αν ένα αντικείμενο έχει ομοιόμορφη κατανομή πυκνότητας (ομοιογενές) τότε το κέντρο μάζας του συμπίπτει με το γεωμετρικό κέντρο του σώματος.

Παραδείγματα

Όταν η πυκνότητα ενός στερεού σώματος έχει την ίδια τιμή σε όλη την έκτασή του για κάθε χρονική στιγμή, τότε λέμε πως το σώμα είναι ομογενές.

• Το κέντρο μάζας ενός συστήματος δύο σωμάτων κείται στο φορέα που ενώνει τα δύο σώματα (ή, ακριβολογώντας, τα κέντρα μάζας κάθε σώματος). Το κέντρο μάζας είναι πιο κοντά στο σώμα με τη μεγαλύτερη μάζα.
• Το κέντρο μάζας ενός ομογενούς δακτυλίου είναι το κέντρο του δακτυλίου.
• Το κέντρο μάζας ενός ομογενούς τριγώνου κείται πάνω σε κάθε διάμεσο, και επομένως πάνω στο βαρύκεντρο του.
• Το κέντρο μάζας ενός ομογενούς παραλληλογράμμου είναι η τομή των διαγωνίων του.
• Σε ένα σφαιρικό ομογενές συμμετρικό σώμα, το κέντρο μάζας του βρίσκεται στο κέντρο. Αυτό κατά προσέγγιση ισχύει στη Γη: η πυκνότητα ποικίλει σημαντικά, αλλά κυρίως εξαρτάται απ' το βάθος και λιγότερο απ' τις άλλες δύο συντεταγμένες.
• Γενικότερα, για κάθε ομογενές συμμετρικό σώμα, το κέντρο μάζας του θα βρίσκεται στο κέντρο συμμετρίας του.

Ιστορία

Η ιδέα του κέντρου βάρους προτάθηκε για πρώτη φορά απ' τον αρχαίο Έλληνα μαθηματικό, φυσικό και μηχανικό Αρχιμήδη των Συρακουσών. Ο Αρχιμήδης απέδειξε ότι η ροπή που ασκείται σε ένα μοχλό από βαρίδια που βρίσκονται σε διάφορα σημεία κατά μήκος του μοχλού είναι η ίδια με αυτήν που θα ασκούνταν αν όλα τα βαρίδια μετακινούνταν σε ένα μόνο σημείο — το κέντρο βάρους του. Στην έρευνά του πάνω στα σώματα που επιπλέουν έδειξε ότι ο προσανατολισμός ενός σώματος που επιπλέει είναι αυτός που κάνει το κέντρο βαρύτητας να χαμηλώνει όσον το δυνατόν περισσότερο. Ανέπτυξε μαθηματικές τεχνικές για την εύρεση του κέντρου βαρύτητας των αντικειμένων που είναι ομότροπα ως προς την πυκνότητα σε διάφορα σαφώς καθορισμένα σχήματα, κυρίως τριγώνου, ημισφαιρίου και ενός κυκλικού παραβολοειδούς εκ περιστροφής.

Στο Μεσαίωνα, θεωρίες για το κέντρο βάρους αναπτύχθηκαν περαιτέρω απ' τους Abū Rayhān al-Bīrūnī, al-Razi (που έγινε στα Λατινικά Rhazes), Omar Khayyám και al-Khazini.

Προσδιορίζοντας το κέντρο μάζας

Αυτή είναι μια μέθοδος για να προσδιορίσουμε το κέντρο μάζας ενός σχήματος L.

1. Χωρίζουμε το σώμα σε δύο ορθογώνια, όπως φαίνεται στο fig 2. Βρίσκουμε τα κέντρα μάζας αυτών των δύο ορθογωνίων σχεδιάζοντας τις διαγωνίους τους. Σχεδιάζουμε μια γραμμή που ενώνει τα κέντρα μάζας. Το κέντρο μάζας οπότε πρέπει να βρίσκεται πάνω στην ευθεία ΑΒ.
2. Χωρίζουμε το σώμα σε άλλα δύο ορθογώνια, όπως φαίνεται στο fig 3. Βρίσκουμε τα κέντρα μάζας αυτών των ορθογωνίων σχεδιάζοντας τις διαγωνίους. Σχεδιάζουμε μια γραμμή που ενώνει τα κέντρα μάζας. Το κέντρο μάζας του σχήματος πρέπει επίσης να βρίσκεται στην ευθεία CD.
3. Καθώς το κέντρο μάζας του σχήματος πρέπει να βρίσκεται τόσο στην ευθεία ΑΒ όσο και στην ευθεία CD, είναι προφανές ότι θα βρίσκεται στην τομή αυτών των δύο ευθειών, στο O. Το σημείο Ο μπορεί να μην βρίσκεται μέσα στο σχήμα.