Ένωση συνόλων

Διάγραμμα Βεν ένωσης δύο συνόλων.

Στην θεωρία συνόλων, ένωση δύο συνόλων $A$ και $B$ (συμβολισμός $A\cup B$) ονομάζουμε το σύνολο που αποτελείται από τα κοινά και μη κοινά στοιχεία των δύο συνόλων.

Μαθηματικά, η ένωση δύο συνόλων $A$ και $B$ ορίζεται ως εξής:

$A\cup B=\{x:x\in A$ ή $x\in B\}$.

Η ύπαρξη αυτού του συνόλου συνήθως είναι ένα από τα αξιώματα του αξιωματικού συστήματος.

Για παράδειγμα, για $A=\{1,2,3,\alpha ,\beta ,\gamma \}$ και $B=\{1,3,4,5,6,\alpha ,\gamma \}$ είναι $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,\alpha ,\beta ,\gamma \}$.

Ιδιότητες

Η ένωση συνόλων είναι μια πράξη μεταξύ συνόλων, για την οποία ισχύουν οι ιδιότητες:
(όπου $A,B,\Gamma \subseteq \Omega$ και $\varnothing$ είναι το κενό σύνολο)

• $A\cup A=A$ (ανακλαστική ιδιότητα)
• $A\cup A^{c}=\Omega$
• $A\cup B=B\cup A$ (αντιμεταθετική ιδιότητα)
• $A\cup (B\cup \Gamma )=(A\cup B)\cup \Gamma$ (προσεταιριστική ιδιότητα)
• $A\cup B=\varnothing \Longleftrightarrow A=\varnothing$ και $B=\varnothing$
• $A\cup \varnothing =\varnothing \cup A=A$
• $A\subseteq B\Leftrightarrow A\cup B=B$
• $A\subseteq B\Rightarrow A\cup \Gamma \subseteq B\cup \Gamma$
• $A\subseteq A\cup B$ και $B\subseteq A\cup B$

Ακόμη για τις πράξεις της ένωσης και της τομής συνόλων ισχύουν και οι γενικές ιδιότητες:

• $A\cup (B\cap \Gamma )=(A\cup B)\cap (A\cup \Gamma )$ (επιμεριστική ιδιότητα της ένωσης ως προς την τομή)
• $A\cap (B\cup \Gamma )=(A\cap B)\cup (A\cap \Gamma )$ (επιμεριστική ιδιότητα της τομής ως προς την ένωση)
• $A\cup (A\cap B)=A\cap (A\cup B)=A$ (ιδιότητα της απορρόφησης)

Δείτε επίσης

• Θεωρία συνόλων
• Τομή συνόλων

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πολυμέσα σχετικά με το θέμα Union (set theory) στο Wikimedia Commons