Schläfli-Symbol

Das Schläfli-Symbol, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli, wird in der Form $\left\{p,q,r,\dots \right\}$ benutzt, um reguläre Polygone, Polyeder und andere Vielflächner, auch in höheren Dimensionen, zu beschreiben.

Wenn $p$ eine natürliche Zahl ist, beschreibt das Symbol ${p}$ ein regelmäßiges Polygon ( $p$ -Eck).

Ist $p$ ein nicht notwendig gekürzter Bruch, dann beschreibt es einen Stern.

Das Symbol $\left\{p,q\right\}$ beschreibt eine Pflasterung mittels regelmäßiger $p$ -Ecke, wobei $q$ angibt, wie viele solcher Polygone an jeder Ecke zusammenstoßen.

Die Inversion eines Schläfli-Symbols liefert das dazu duale Polygon.

Beispiele

Punkt

$\left(\right)$ bezeichnet einen Punkt.

Strecke

$\left\{\right\}$ bezeichnet eine Strecke.

Regelmäßige Polygone

$\left\{n\right\}$ bezeichnet ein regelmäßiges $n$ -Eck $.$

Sterne

Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen $\left\{n/k\right\}$ , wobei $n$ die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder $k$ -te Punkt verbunden wird.

Beispiel

Der Fünfstrahlstern ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünf Eckpunkte jedes Mal

immer einer (beim $\left\{5/2\right\}$ ) oder
immer zwei Punkte (beim $\left\{5/3\right\}$ ) übersprungen werden und dadurch die erzeugten Sehnen gleich lang sind.

keine vom Dreieck
keine vom Viereck
1 Pentagramm vom Fünfeck	$\left\{5/2\right\}$ oder $\left\{5/3\right\}$
keine vom Sechseck
2 Heptagramme vom Siebeneck	$\left\{7/2\right\}$ oder $\left\{7/5\right\}$
2 Heptagramme vom Siebeneck	$\left\{7/3\right\}$ oder $\left\{7/4\right\}$
1 Oktogramm vom Achteck	$\left\{8/3\right\}$ oder $\left\{8/5\right\}$
2 Ennea- gramme vom Neuneck	$\left\{9/2\right\}$ oder $\left\{9/7\right\}$
2 Ennea- gramme vom Neuneck	$\left\{9/4\right\}$ oder $\left\{9/5\right\}$
1 Dekagramm vom Zehneck	$\left\{10/3\right\}$ oder $\left\{10/7\right\}$
4 Hendeka- gramme vom Elfeck	$\left\{11/2\right\}$ oder $\left\{11/9\right\}$
	$\left\{11/3\right\}$ oder $\left\{11/8\right\}$
	$\left\{11/4\right\}$ oder $\left\{11/7\right\}$
	$\left\{11/5\right\}$ oder $\left\{11/6\right\}$
1 Dodeka- gramm vom Zwölfeck	$\left\{12/5\right\}$ oder $\left\{12/7\right\}$
5 Trideka- gramme vom 13-Eck	$\left\{13/2\right\}$ oder $\left\{13/11\right\}$
	$\left\{13/3\right\}$ oder $\left\{13/10\right\}$
	$\left\{13/4\right\}$ oder $\left\{13/9\right\}$
	$\left\{13/5\right\}$ oder $\left\{13/8\right\}$
	$\left\{13/6\right\}$ oder $\left\{13/7\right\}$
2 Tetradeka- gramme vom 14-Eck	$\left\{14/3\right\}$ oder $\left\{14/11\right\}$
2 Tetradeka- gramme vom 14-Eck	$\left\{14/5\right\}$ oder $\left\{14/9\right\}$
3 Pentadeka- gramme vom 15-Eck	$\left\{15/2\right\}$ oder $\left\{15/13\right\}$
	$\left\{15/4\right\}$ oder $\left\{15/11\right\}$
	$\left\{15/7\right\}$ oder $\left\{15/8\right\}$
3 Hexadeka- gramme vom 16-Eck	$\left\{16/3\right\}$ oder $\left\{16/13\right\}$
	$\left\{16/5\right\}$ oder $\left\{16/11\right\}$
	$\left\{16/7\right\}$ oder $\left\{16/9\right\}$

7 Heptadeka- gramme vom 17-Eck	$\left\{17/2\right\}$ oder $\left\{17/15\right\}$
	$\left\{17/3\right\}$ oder $\left\{17/14\right\}$
	$\left\{17/4\right\}$ oder $\left\{17/13\right\}$
	$\left\{17/5\right\}$ oder $\left\{17/12\right\}$
	$\left\{17/6\right\}$ oder $\left\{17/11\right\}$
	$\left\{17/7\right\}$ oder $\left\{17/10\right\}$
	$\left\{17/8\right\}$ oder $\left\{17/9\right\}$
2 Oktodeka- gramme vom 18-Eck	$\left\{18/5\right\}$ oder $\left\{18/13\right\}$
2 Oktodeka- gramme vom 18-Eck	$\left\{18/7\right\}$ oder $\left\{18/11\right\}$
8 Enneadeka- gramme vom 19-Eck	$\left\{19/2\right\}$ oder $\left\{19/17\right\}$
	$\left\{19/3\right\}$ oder $\left\{19/16\right\}$
	$\left\{19/4\right\}$ oder $\left\{19/15\right\}$
	$\left\{19/5\right\}$ oder $\left\{19/14\right\}$
	$\left\{19/6\right\}$ oder $\left\{19/13\right\}$
	$\left\{19/7\right\}$ oder $\left\{19/12\right\}$
	$\left\{19/8\right\}$ oder $\left\{19/11\right\}$
	$\left\{19/9\right\}$ oder $\left\{19/10\right\}$
3 Ikosa- gramme vom 20-Eck	$\left\{20/3\right\}$ oder $\left\{20/17\right\}$
	$\left\{20/7\right\}$ oder $\left\{20/13\right\}$
	$\left\{20/9\right\}$ oder $\left\{20/11\right\}$
5 Ikosihen- gramme vom 21-Eck	$\left\{21/2\right\}$ oder $\left\{21/19\right\}$
	$\left\{21/4\right\}$ oder $\left\{21/17\right\}$
	$\left\{21/5\right\}$ oder $\left\{21/16\right\}$
	$\left\{21/8\right\}$ oder $\left\{21/13\right\}$
	$\left\{21/10\right\}$ oder $\left\{21/11\right\}$
04 Doikosagramme vom 22-Eck
10 Trikosagramme vom 23-Eck
03 Tetraikosagramme vom Vierundzwanzigeck

Platonische Körper

$\left\{p,q\right\}$ : p ist die Zahl der Ecken des verwendeten Polygons; q ist die Zahl der an einer Ecke zusammenstoßender Polygone

$\left\{3,3\right\}$ bezeichnet das selbstduale Tetraeder.

$\left\{3,4\right\}$ bezeichnet das Oktaeder, die Inversion $\left\{4,3\right\}$ den zum Oktaeder dualen Würfel.

$\left\{3,5\right\}$ bezeichnet das Ikosaeder, die Inversion $\left\{5,3\right\}$ das zum Ikosaeder duale Dodekaeder.

Platonische Parkette

$\left\{3,6\right\}$ bezeichnet die Dreieckparkettierung, die Inversion $\left\{6,3\right\}$ die zur Dreieckparkettierung duale Sechseckparkettierung.

$\left\{4,4\right\}$ bezeichnet die selbstduale Quadratparkettierung.

Das entscheidende Merkmal, worin sich das Schläfli-Symbol eines Platonischen Körpers $\left\{m,n\right\}$ von dem eines Platonischen Parketts $\left\{m,n\right\}$ unterscheidet, ist, dass für einen Körper $2\cdot (m+n)>m\cdot n$ gilt, für ein Parkett hingegen $2\cdot (m+n)=m\cdot n$ .