Eine summierbare Familie ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis. Er dient der Verallgemeinerung des Reihenbegriffs für beliebige Familien in einem Vektorraum.

Formale Definition

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Sei   ein normierter Vektorraum. Sei   eine Indexmenge und   eine Familie. Sei  .

Die Familie   heißt summierbar zu   genau dann, wenn

 

gilt. Wenn sich also zu jedem   eine endliche Teilmenge   finden lässt so, dass für alle endlichen Obermengen  , die in   liegen, die Summe   in der Norm von   weniger als   abweicht.

Ähnlich wie bei Reihen lässt sich auch absolute Summierbarkeit definieren. Die Familie   heißt absolut summierbar zu   genau dann, wenn   summierbar zu einem   ist.[1]

Letztlich heißt eine Familie Cauchy-summierbar genau dann, wenn

 

gilt.[1]

Bemerkungen

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  • Absolute Summierbarkeit impliziert Summierbarkeit. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.
  • Ist eine Familie summierbar, ist auch jede Teilfamilie summierbar. Summierbarkeit ist also ein stärkeres Kriterium als einfache Konvergenz von Reihen.
  • Aus Summierbarkeit folgt Cauchy-Summierbarkeit. In Banachräumen gilt die Umkehrung. Cauchy-Summierbarkeit ist häufig einfacher zu prüfen.
  • Sei   summierbar zu   und   summierbar zu   und   ein Skalar. Dann gilt  .
  • Der Träger einer summierbaren Familie ist höchstens abzählbar.

Einzelnachweise

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  1. a b Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Oldenbourg, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0, S. 230.