Gruppenexponent
Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie versteht man unter dem Gruppenexponenten einer Gruppe die kleinste natürliche Zahl , für die (Potenz eines Gruppenelements) für alle Gruppenelemente gilt.[1] Gibt es keine derartige Zahl, so sagt man, habe Exponent (sie muss dann auch unendliche Ordnung haben).
Eigenschaften
Bearbeiten- Nach dem Satz von Lagrange ist der Gruppenexponent für eine endliche Gruppe ein Teiler der Gruppenordnung und somit insbesondere endlich.
- In einer zyklischen Gruppe stimmt der Gruppenexponent mit der Gruppenordnung überein.
- Die Gruppenordnung stimmt genau dann mit dem Gruppenexponenten überein, wenn alle Sylowgruppen der Gruppe zyklisch sind.[2]
- Der Gruppenexponent ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Ordnung aller Gruppenelemente.
- Der Gruppenexponent einer Untergruppe ist ein Teiler des Exponenten der ganzen Gruppe.
Beispiele
Bearbeiten- Für die primen Restklassengruppen erhält man den Gruppenexponenten durch die Carmichael-Funktion.
- Der Gruppenexponent von mit einer Primzahl ist gleich der Gruppenordnung .
- Der Gruppenexponent von ist 2 (vergleiche: Die Gruppenordnung ist 4).
- Der Körper mit Elementen, aufgefasst als additive Gruppe, hat Gruppenordnung und Gruppenexponent (vergleiche Charakteristik eines Körpers).
- Unendliche Gruppen mit endlichem Exponenten sind bspw. der Polynomring und der algebraische Abschluss von , jeweils (wegen der Primzahlcharakteristik ) in der additiven Verknüpfung.
- Jedes Element der (unendlichen) Torsionsgruppe hat die endliche Ordnung , wenn gilt und zu teilerfremd ist. Da die Elementordnungen aber nicht beschränkt sind, ist .
Siehe auch
BearbeitenEinzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Wikiversity. Abgerufen am 13. August 2012.
- ↑ matheplanet.com: Beitrag No. 7 von Gockel. Abgerufen am 13. August 2012.