Bildmaß
Ein Bildmaß ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Maßtheorie und dient dazu, das Maß in einem Maßraum auf einen anderen Raum zu übertragen. Hierbei werden mithilfe einer messbaren Funktion den Mengen in Werte zugeordnet. Das so auf definierte Maß ist das Bildmaß.
Eine wichtige Rolle spielt das Bildmaß insbesondere bei der Definition der Verteilung einer Zufallsvariablen.
Für das Bildmaß existieren verschiedene Notationen, meistens wird das Symbol oder verwendet: , , , , oder .
Definition
BearbeitenEs sei ein Maßraum, ein Messraum und
eine -messbare Funktion. Dann ist die Abbildung
definiert durch
ein Maß auf , genannt das Bildmaß von bezüglich . Dabei bezeichnet das Urbild von .
Transformationssatz
BearbeitenFür eine messbare Funktion (wobei die (affin) erweiterten reellen Zahlen bezeichnet) gilt der folgende Transformationssatz für messbare Mengen :
- ,
wenn mindestens eines der beiden obigen Integrale definiert ist.[1]
Quellen
Bearbeiten- ↑ Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972. ISBN 0-12-065201-3. Theorem 1.6.12.