Dosraniad normal

Dosraniad normal

Math	Tweedie distribution, Student's t-distribution, multivariate normal distribution, exponential family, skew normal distribution, stable distribution, contaminated normal distribution, univariate probability distribution, continuous probability distribution
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Mae'r dosraniad normal, neu dosraniad Gauss, fel y'i gelwir, yn ddosraniad tebygolrwydd sy'n bwysig mewn sawl maes. Mewn gwirionedd, teulu o ddosraniadau o'r un ffurf ydyw, pob un â gwahanol paramedrau lleoliad a graddfa: y cymedr a'r gwyriad safonol yn ôl eu trefn. Y dosraniad normal safonol yw'r dosraniad normal â chymedr yn hafal i ddim, a gwyriad safonol yn hafal i un. Fe debygir siap ei ffwythiant dwysedd tebygolrwydd i gloch.

Mae'r dosraniad normal yn fodel cyfleus o ffenomena rhifadwy yn y gwyddoniaethau naturiol ac yn y gwyddoniaethau cymdeithasol. Er enghraifft, darganfyddir fod y dosraniad normal yn amcangyfrifiad agos i ystod eang o ganlyniadau profion seicolegol, a ffenomena ffisegol megis cyfrifon ffotonau. Yn aml, ni ddeallir achosion y ffenomena dan sylw; ond fe ellir rhoi gyfiawnhâd damcaniaethol mewn sefyllfäoedd lle caiff llawer iawn o effeithiau bach eu hadio at ei gilydd i greu'r sgôr neu newidyn sy'n cael ei arsylwi. Cyfyd y dosraniad normal yn aml mewn sawl ardal o ystadegath hefyd: er enghraifft, mae dosraniad samplu y cymedr yn led-normal, hyd yn oed os nad yw dosraniad y boblogaeth y gymerir y sampl ohono yn normal. Yn ogystal, mae'r dosraniad normal yn uchafu'r entropi gwybodaeth yn y dosraniadau â'r un cymedr ac amrywiant, sy'n ei wneud yn ddewis priodol o ddosraniad ar fyfer data, lle rydym ni'n gwybod dim ond y cymedr a'r amrywiant. Y dosraniad normal yw'r teulu o ddosraniadau a defnyddir amlach mewn ystadegaeth, ac fe seilir sawl prawf ystadegol ar ddamcaniaeth o normaledd. Mewn tebygolrwydd haniaethol, cyfyd dosraniadau normal fel dosraniadau terfanol sawl teulu o ddosraniadau di-dor ac arwahanol.

Ffwythiant dwysedd tebygolrwydd

Mae Ffwythiant dwysedd tebygolrwydd dosraniad normal â chymedr $\mu$ ac amrywiant $\sigma ^{2}$ (yn gyfystyr, gwyriad safonol $\sigma$) yn enghraifft o Fwythiant Gaussaidd

$f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).$

(gw. hefyd ffwythiant esbonyddol a pi.)

Os oes gan hap-newidyn $X$ y dosraniad hwn, ysgrifenwn $X$ ~ $N(\mu ,\sigma ^{2})$. Os mae $\mu =0$ a $\sigma =1$, yna fe gelwir y dosraniad yn ddosraniad normal safonol, ac mae'r ffwythiant dwysedd tebygolrwydd yn symleiddio i:

$f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right).$

Rhai o rinweddau nodweddol y dosraniad normal:

• Mae'r ffwythiant dwysedd tebygolrwydd yn gymesyr o gylch ei werth cymedrol.
• Mae'r cymedr yn hafal i'w modd a'i ganolrif.
• Mae 68.268949% o'r arwynebedd is y graff o fewn un gwyriad safonol i'r cymedr.
• Mae 95.449974% o'r arwynebedd o fewn dau wiriad safonol.
• Mae 99.730020% o'r arwynebedd o fewn tri gwyriad safonol.
• Mae 99.993666% o'r arwynebedd o fewn pedwar gwyriad safonol.
• Mae pwyntiau ymdreiglad y cromlin un gwyriad safonol yn union o'r cymedr.

Ffwythiant dosraniad cronnus

Diffinnir ffwythiant dosrnaiad cronnus fel y tebygolrwydd fod gan hap-newidyn $X$ gwerth sy'n llai na neu'n hafal i $x$, ac fe'i mynegir yn nhermau'r ffwythiant dwysedd tebygolrwydd fel a ganlyn:

$F(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {(u-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\ \right)\,du.$

Ar gyfer ffwythiant dosraniad cronnus normal safonol, a dynodir gan $\Phi$, gwerthyswn y fformwla cyffredinol lle mae $\mu =0$ a $\sigma =1$,

$\Phi (x)=F(x;0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du.$

Gellir mynegi'r ffwythiant uchod yn nhermau ffwythiant arbennig, y ffwythiant cyfeiliornad erf , fel a ganlyn

$\Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right].$