Algebra haniaethol

Algebra haniaethol

Delwedd:Magma to group3.svg, Rubik's cube.svg
Enghraifft o'r canlynol	maes o fewn mathemateg
Math	algebra
Rhan o	mathemateg
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Mae trynewidion (permutations) y Ciwb Rubik yn ffurfio grwp, ac mae'r grwp hwn yn ddamcaniaeth elfennol a phwysig o fewn algebra haniaethol.

Cangen o algebra, o fewn maes mathemateg yw algebra haniaethol (weithiau: 'algebra fodern').

Mae algebra haniaethol yn astudiaeth o strwythurau algebraidd. Mae'r rhain yn cynnwys grwpiau, cylchoedd, meysydd, modiwlau, gofod fector, dellt (neu 'latis) ac algebrâu. Bathwyd y term 'algebra haniaethol' yn gynnar yn yr 20g i wahaniaethu'r maes astudio hwn o'r rhannau eraill o algebra.

Ffurfia strwythurau algebraidd, gyda'u homomorffismau cysylltiedig, gategorïau mathemategol. Mae theori categori yn ddamcaniaeth ffurfiol sy'n uno sawl dull o fynegi nodweddion tebyg, ar gyfer gwahanol strwythurau mathemategol.

Pwnc eitha tebyg yw 'algebra cyffredinol' (Universal algebra), sef yr astudiaeth o wahanol fathau o strwythurau algebraidd, fel gwrthrychau unigol. Er enghraifft, mae strwythur gwrpiau yn un gwrthrych mewn algebra cyffredinol, a gelwir ef yn 'amrywiaeth grwpiau'.

Y cysyniad elfennol

Drwy chwynu llawer o fanlynion amherthnasol, mae mathemategwyr wedi diffinio gwahanol strwythurau algebraidd a ddefnyddir mewn sawl maes mathemateg. Er enghraifft, mae bron pob system a astudir yn setiau lle mae'r ddamcaniaeth set yn berthnasol iddynt. Mae'r rhai hynny sydd â gweithrediad deuaidd penodol yn ffurfio magmas, ac iddyn nhw mae'r cysyniadau sy'n ymwneud â magma, yn ogystal â'r rhai sy'n ymwneud â setiau, yn berthnasol iddynt.

Gallwn ychwanegu cyfyngiadau pellach ar y strwythur algebraidd, megis cysyllteddiaeth (associativity), i ffurfio lled-grwpiau; unfathiant (identity) a gwrthdroadau (i ffurfio grwpiau); a strwythurau mwy cymhleth eraill. Gyda strwythur ychwanegol, efallai y gellir profi mwy o ddamcaniaethau. Mae "hierarchaeth" gwrthrychau algebraidd (o ran cyffredinolrwydd) yn creu hierarchaeth o'r damcaniaethau cyfatebol: er enghraifft, gellir defnyddio theoremau 'theori grŵp' wrth astudio 'cylchoedd' (sef gwrthrychau algebraidd sydd â dau weithred deuaidd gydag gwirebau (axioms) penodol) gan fod cylch yn grŵp dros un o'i weithrediadau. Yn gyffredinol, mae cydbwysedd rhwng maint y cyffredinol a chyfoeth y ddamcaniaeth: mae gan strwythurau mwy cyffredinol, fel arfer, lai o theoremau mân a llai o gymhwysiadau.