Kubická rovnice

Kubická rovnice (z lat. cubus – krychle) je algebraická rovnice třetího stupně. Její základní tvar vypadá následovně:

Graf kubické funkce
$y=2x^{3}-3x^{2}-3x+2$

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

,

kde $a\neq 0$ .

Jednotlivé členy mají tato označení:
$ax^{3}$ je kubický člen, $bx^{2}$ je kvadratický člen, $cx$ je lineární člen a $d$ je absolutní člen.

Koeficient a musí být různý od nuly, jinak by se jednalo o funkci nižšího řádu. a, b, c a d jsou reálná čísla.

Diskriminant

Diskriminant vypočítáme podle vztahu $D=18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}$ Mohou nastat tři případy:

D = 0, rovnice má buď jeden trojnásobný reálný kořen nebo jeden dvojnásobný a jeden jednoduchý reálný kořen
D > 0, rovnice má tři reálné kořeny
D < 0, rovnice má jeden reálný a dva komplexně sdružené kořeny

Řešení rovnice

Obecné řešení kubické rovnice se dá najít buď pomocí Cardanových vzorců, anebo dvojí substitucí podle Thomase Harriota. Harriotova metoda je následující:

Rovnici nejprve vydělíme koeficientem u třetí mocniny, čímž ji převedeme na tvar

x^{3}+ax^{2}+bx+c=0.

Substitucí $x=t-a/3$ odstraníme kvadratický člen, a tím dostaneme rovnici typu

t^{3}+pt+q=0,\quad {\mbox{kde}}\quad p=b-{\frac {a^{2}}{3}}\quad {\mbox{a}}\quad q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}.

Tuto rovnici dále převedeme na kvadratickou rovnici substitucí $t=y-{p \over 3y}$ a vynásobením obou stran $y^{3}$ . Po úpravách dostaneme rovnici

y^{6}+qy^{3}-{p^{3} \over 27}=0

,

což je kvadratická rovnice vůči $y^{3}$ . Po nalezení $y$ zpětně dosadíme do substitučních rovnic, až dojdeme k původnímu $x$ . Podrobnější postup je popsán v článku Cardanovy vzorce, jelikož tato kvadratická rovnice se tam vyskytuje rovněž, i když se k ní dospěje jiným způsobem.

Některé druhy kubické rovnice se dají řešit i jednodušeji než Harriotovou substitucí nebo Cardanovými vzorci.

Kubická rovnice bez absolutního členu

U těchto rovnic je koeficient d roven nule. Rovnice se tedy dá vytknutím snadno převést na kvadratickou. Jedním z řešení je vždy číslo 0.

Příklad

$x^{3}-5x^{2}+6x=0$
$x(x^{2}-5x+6)=0$
Dále řešíme kvadratickou rovnici $x^{2}-5x+6=0$ , jejími kořeny jsou čísla 2 a 3.
Kubická rovnice má tedy kořeny: $x_{1}=0,x_{2}=2,x_{3}=3$

Reciproká rovnice

Jestliže koeficienty $a=d,b=c$ pak se jedná o kladně reciprokou rovnici. Jejím kořenem je vždy číslo -1. Rovnici tedy vydělíme výrazem $(x+1)$ , získáme kvadratickou rovnici a jejím vyřešením zbývající dva kořeny. Jestliže $a=-d,b=-c$ pak rovnice je záporně reciproká a jejím kořenem je číslo 1. Vydělíme ji tedy výrazem $(x-1)$

Příklad

$2x^{3}-3x^{2}-3x+2=0$
$(2x^{3}-3x^{2}-3x+2):(x+1)=[(2x^{3}+2)-(3x^{2}+3x)]:(x+1)={\tfrac {2(x^{3}+1)}{x+1}}-{\tfrac {3x(x+1)}{x+1}}={\tfrac {2(x+1)(x^{2}-x+1)}{x+1}}-3x=2x^{2}-5x+2$
Kořeny jsou následující: $x_{1}=-1,x_{2}={\tfrac {1}{2}},x_{3}=2$

Kubická rovnice s celočíselným kořenem

Taková rovnice se řeší podobně jako reciproká, ale kořenem může být i jiné číslo než 1 nebo -1

Kubická rovnice bez kvadratického a lineárního členu

Taková rovnice je binomická, např.: $x^{3}-27=0$

Viètovy vzorce

Pro kořeny kubické rovnice a její koeficienty platí následující vztahy:
$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}$

Související články

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu kubická rovnice na Wikimedia Commons