Vés al contingut

Teorema de Heine-Cantor

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

En matemàtiques, el teorema de Heine-Cantor, anomenat així per deure's a Eduard Heine i Georg Cantor, estableix que, si és una funció contínua entre dos espais mètrics i és compacte, llavors és uniformement contínua.

Demostració

[modifica]

La continuïtat uniforme d'una funció s'expressa com:

on i són les funcions distància als espais mètrics i , respectivament. Si ara assumim que és contínua a l'espai mètric compacte però no uniformement contínua, la negació de la continuïtat uniforme de s'escriu com:

Triant , per a tot positiu tenim dos punts i de amb les propietats a dalt descrites.

Si triem per a obtenim dues successions i tals que compleixen

Com que és compacte, el teorema de Bolzano-Weierstrass demostra l'existència de dues subsucesiones convergents ( i ). Aleshores

Definim ara la successió

Com que la successió no té termes negatius no pot convergir cap a un nombre negatiu, però per altra banda Per tant

Com que és contínua a , tenim que i , és a dir, . Però això no pot ser, ja que .

La contradicció prova que la nostra suposició que no és uniformement contínua és absurda: llavors ha de ser uniformement contínua com afirma el teorema.

Enllaços externs

[modifica]