Hipotrocoide

Una hipotrocoide , a geometria, és la corba plana que descriu un punt vinculat a una circumferència generatriu que roda dins d'una circumferència directriu, tangencialment, sense lliscament.

La paraula es compon de les arrels gregues hipó (ὑπό , «sota») i trokhos (τρόχος, «roda»).

• 
  Hipotrocoide (en traç vermell), circumferència directriu (en traç blau), circumferència generatriu (en traç negre). Paràmetres: R = 5, r = 3, d = 5)
• 
  L'el·lipse com a cas particular de hipotrocoide. Paràmetres: R = 10, r = 5 = R/2 , d = 1

Aquestes corbes van ser estudiades per Albrecht Dürer en 1525, Ole Christensen Rømer el 1674 i Johann Bernoulli el 1725.

Equacions

Sent $q={\dfrac {a}{b}}$ (on $q>1$) i $d=kb$, amb circumferència directriu de radi a , i circumferència generatriu de radi b , i la distància al centre de la generatriu d , l'equació de la hipotrocoide és:

$Z=(ab)i^{it}+d'^{-i(q-1)t}\,$

on:

$QZ=a[(q-1)i^{it}+ke^{-i(q-1)t}]\,$

$Q(x+Ii)=a(q-1)\cos(t)+ia(q-1)\sin(t)+ak\cos[(q-1)t]-iak\sin[(q-1)t]$

Per identificació de les parts reals i imaginàries s'obté:

$Qx=a(q-1)\cos(t)+ca\cos[(q-1)t)];\,$

$Qy=a(q-1)\sin(t)-ca\sin[(q-1)t)];\,$

on:

$Q={\dfrac {a}{b}}$ i $k={\dfrac {d}{b}}\,$.

Sabent que $a=R$, $b=r$ i $t=\theta$, obtenim les equacions següents:

$x=(R-r)\cos \theta +d\cos \left({R-r \over r}\theta \right)$

$y=(R-r)\sin \theta -d\sin \left({R-r \over r}\theta \right)$

on θ és l'angle format per l'horitzontal i el centre del cercle rodant (no són equacions polars perquè θ no és l'angle polar). Quan es mesura en radians, θ pren valors de 0 a $2\pi \times {\tfrac {\operatorname {MCM} (r,R)}{R}}$ (on MCM és el mínim comú múltiple).

Curiositats

Les el·lipses són casos particulars de hipotrocoide, on $R=2r$ i $d\neq r$. L'excentricitat de l'el·lipse és

$e={\frac {2{\sqrt {d/r}}}{1+(d/r)}}$

esdevenint 1 quan $d=r$ (vegeu parell de Tussí).

Les hipocicloides són casos particulars, on $d=r$ (el punt fix de la generatriu).

La joguina clàssica espirògraf traça les corbes hipotrocoides i epitrocoides.

Els hipotrocoides descriuen el suport dels valors propis d'algunes matrius aleatòries amb correlacions cícliques.

Vegeu també

• Astroide
• Ciclògon
• Cicloide
• Epitrocoide
• Hipocicloide
• Òrbita de Rosetta

Enllaços externs

• Hypotrochoid, en Mathworld (anglès)
• Hypotrochoid, en Mathcurve (francès)