Talasna jednačina

Talasna jednačina je važna linearna parcijalna diferencijalna jednačina drugog reda koja opisuje prostiranje većine talasa, kao što su zvučni talasi, svjetlosni talasi i vodeni talasi. Koristi se u oblastima kao što su akustika, elektromagnetizam i dinamika fluida. Historijski, problem vibrirajuće žice, kao što je ona na muzičkim instrumentima, proučavao su Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli i Joseph Louis Lagrange.

Puls putuje kroz žicu sa fiksiranim krajevima, što je prikazano talasnom jednačinom.

Sferični talas koji nastaje u tačkastom izvoru.

Uvod

Talasna jednačina je prototipni primjer hiperboličke parcijalne diferencijalne jednačine. U svom najjednostvnijem obliku, talasna jednačina odnosi se na skalarnu funkciju u koja zadovoljava:

${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}u,$

gdje je $\scriptstyle \nabla ^{2}$ Laplacijan i gdje je c fiksna konstanta jednaka brzini prodiranja talasa. Za zvučni talas u zraku na 20°C, ova konstanta iznosi oko 343 m/s (pogledajte članak brzina zvuka). Za vibracije žice, brzina može varirati široko, u zavisnosti od linearne gustoće žive i zategnutosti iste. Za spiralnu oprugu (slinki) može biti spora i do jednog metra u sekundi. Realističnije diferencijalne jednačine za talas dopuštaju da brzina talasa varira sa frekvencijom talasa, što je fenom poznat pod nazivom disperzija. U takvom slučaju, c mora biti zamijenjeno sa faznom brzinom:

$v_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.$

još jedna oubičajana korekcija u realističnim sistemima je da brzina, također, može zavisiti od amplitude talasa, što dovodi do nelinearne talasne jednačine:

${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c(u)^{2}\nabla ^{2}u$

Također pogledajte

• Akustična talasna jednačina
• Elektromagnetna talasna jednačina
• Helmholtzova jednačina
• Nehomogena elektromagnetna talasna jednačina
• Laplaceov operator
• Schrödingeova jednačina
• Stojeći talas
• Vibracije kružnog bubnja

Reference

• M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", Acta Math., 124 (1970), 109–189.
• M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", Acta Math., 131 (1973), 145–206.
• R. Courant, D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, vol II. Interscience (Wiley) New York, 1962.
• "Linear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• "Nonlinear Wave Equations", EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", Project PHYSNET.
• Relativistic wave equations with fractional derivatives and pseudodifferential operators, by Petr Zavada, Journal of Applied Mathematics, vol. 2, no. 4, pp. 163-197, 2002. doi:10.1155/S1110757X02110102 (available online Arhivirano 5. 6. 2009. na Wayback Machine or as the arXiv preprint)

Vanjski linkovi

• Nonlinear Wave Equations by Stephen Wolfram and Rob Knapp and Nonlinear Wave Equation Explorer by Stephen Wolfram, and Wolfram Demonstrations Project.
• Mathematical aspects of wave equations are discussed on the Dispersive PDE Wiki.