Peanovi aksiomi

U Peanovom aksimatskom sistemu direktni sljedbenik uzima se kao osnovni pojam. n⁺

1. 1 je prirodan broj
2. svaki prirodni broj n ima tačno jednog sljedbenika n⁺ = n + 1
3. Uvijek je n⁺ ≠ 1, tj 1 nije sljedbenik ni jednog prirodnog broja.
4. Iz m⁺ = n⁺ onda je i m = n , tj ako su sljedbenici dva prirodna broja jednaki onda su i oni jednaki.
5. (Aksioma indukcije) Svaki podskup M skupa N, koji sadrži broj 1 i sljedbenika svakog svog elementa sadrži sve prirodne brojeve tj M = N.

Metoda matematičke indukcije

Na Peanovim aksimama temelji se matematička indukcija.

Primjer Dokažimo da vrijedi teorema: razlika n² - n djeljiva je sa 2.

n = 1 ....................................(1² – 1 ) ≡ 2 neka teorema važi za n........( n² – n) ≡ 2

dokažimo za n + 1............(n + 1 )² – (n + 1) = n² + 2n + 1 –n -1 = (n²– n) +2n

Vidimo da je n² – n djeljiv sa 2, za (n + 1 ) ako je djeljiv za n, jer je 2n djeljivo sa 2 pa ako je (n² – n ) djeljivo sa 2 onda je i i zbir (n² – n) +2n djeljiv sa 2.

Sabiranje u skupu $\mathbb {N}$

Koristeći se Peanovim aksiomama možemo definisati sabiranje u skupu N.

Preslikavanje + : N x N → N definišimo na sljedeći način:

a + 1 = a⁺; a + b⁺ = (a + b)⁺ nazivamo sabiranje u skupu N. Osnovne osobine sabiranja u skupu N

Zakon zatvorenost:

Ako su a ,b prirodni brojevi onda je i a + b prirodni broj

Dokaz

a+ 1 = a⁺

Neka je a + b prirodan broj

( a + b)⁺ ) = a + b⁺

Zakon asocijacije

a + (b + c) = (a + b) + c

Dokazati da vrijedi za c = 1

(a + b ) + 1 = ( a + b ) ⁺ = a + b⁺ = a + ( b + 1 ) a + ( b + c )= a + ( b + c⁺ ) = a + (b + c ) ⁺ = { a + ( b + c )} ⁺ = { ( a + b ) +c }⁺ = (a + b ) + c⁺

Zakon komutacije

a + b = b + a

Zakon kancelacije

Ako je a + c = b + c onda je a =b

'Zakon trihotomije'

za svaka dva prirodna broja a,b važi jedna i samo jedna od jednakosti

• a = b
• postoji prirodni broj c takav da je.....a + c = b
• postoji prirodni broj d takav da je....a =c + d

Primjer

5 / 3 nije iz N

Lema 1

Za sve prirodne brojeve vrijedi a ≠ a + b

Lema 2

Ako je i samo ako je a ≠ 1 onda postoji jedan i samo jedan prirodni broj n takav da je a = n⁺

Množenje u skupu $\mathbb {N}$

Ovdje nemamo preslikavanje cijelog NxN u N već samo pravog podskupa za koji je a > b.

Zakon zatvorenosti: ako su a ,b iz N onda je i ab iz N

ab=a.1=a

Neka je ab iz N , onda ab⁺= ab + a

Zakon komutacije ab=ba ab×1 = ab (ab)c = ab(c⁺+1) = abc + ab = a(bc +b ) = a (bc⁺)

Zakon asocijacije (ab)c=a(bc)

Zakon distribucije a(b + c)= ab +ac a (b + c)=ab + ac a (b + 1)=ab + a a (b + c+)= a (b + c)+ =a(b + c) +a = ab + ac + a =ab +(ac +a ) = ab + ac⁺)

Zakon kancelacije ac = bc => a =b

Teorema 1

Postoji samo jedan prirodni broj koji nije sljedbenik ni jednog prirodnog broja.

U skupu N ⁰ važe svi zakoni kao i u skupu N osim zakona skračivanja za množenje.

Dedekind je 1888. God. Uveo tri aksiome koje su ekvivalentne sa Peanovim aksiomama.

1. s je injekcija
2. Područje definicije od s nije čitav N
3. Ako je k iz N koji ne pripada području vrijednosti od s ,

a M podskup od N sa osobinama ;

• k je iz M
• s(n) je iz M ako je n iz M

onda je M = N. Na osnovu ovih aksioma možemo izgraditi teoriju.

Teorema 2

Postoji samo jedan prirosni broj koji nije sljedbenik prirodnog broja.

Definicija 1

Prirodni broj koji nije sljedbenik ni jednog prirodnog broja zovemo jedinicom i označavamo ga sa 1.

Teorema 3

Ako je A neprazni dkup i g:A→A za a iz A onda postoji jedna i samo jedna funkcija

f: N → A

takva da vrijedi: f(1)=a, f(s(n)) =g (f (n)) > a za n iz N

Teorema 4

Postoji jedna i samo jedna funkcija f:N x N takva da vrijedi f(m,1) =s(m) f(m, s(n)) = s(f(m,n))

Teorema 5

Sabiranje u skupu N je asocijativno

Teorema 6

Sabiranje u skupu N je komutativno.

Teorema 7

Postoji jedna i samo jedna funkcija sa N x N u N takva da je

f(m,1) = m i f(m, s(n)) = f(m,n) + m

Definicija 2

funkcija sa N x N u N takva da je

f(m,1) = m i

f(m, s(n)) = f(m,n) + m

je operacija množenja i pišemo a x b ili ab

• m x 1 = m
• ms(n) = m x n + m

Teorema 8

• Množenje u skupu N je distributivmo u odnosu na sabiranje.
• Množenje u skupu N je komutativno.

U skupu N₁ = N x {1} definišimo operacije

(m,1) +₁ (n,1) = (m + n ,1) i (m,1) x₁ (n,1) = (mn, 1) Sistem (N,+, x) i (N₁, +₁ , x₁) su izomorfni i izomorfizam glasi (x) → (x,1) Sumi (m + n) iz N odgovara suma (m + n, 1) iz N₁. U skupu N definisane su dvije algebarske operacije + i x

• Sabiranje je asocijativno
• Množenje je asocijativno
• Množenje je distributivno prema sabiranju
• Postoji element 1 iz Ntakav da je 1m = m
• Ako je mx = nx => m = n
• Za svaki par m, n vrijedi jedna i samo jedna tvrdnja

m = n; m + x = n ili m = n + y

za M podskup od N koji sadrži 1 i (n + 1) i ako sadrži n onda je M = N. Navedene karakteristike određuju (N, +,x)potpuno .svaki sistem (N₁, +₁ , x₁) sa navedenim osobinama izomorfizam je sa (N, + ,x)

Definicija 3

Prirodni broj koji nije sljedbenik ni jednog drugog prirodnog broja je jedinica. označavamo ga sa 1.

Skup N₀ je skup prirodnih brojeva i broja 0. Peanovi aksiomi u ovom skupu glase:

1. 0 je nenegativan broji
2. svaki nenegativan broj ima tačno jednog sljedbenika.
3. uvijek je n⁺ ≠ 0 tj 0 nije sljedbenik ni jednog broja.
4. ako je m⁺ = n⁺ => m = n
5. Neka je M podskup od N₀ koji sadrži sljedbenika svakog svog elementa sadrži i sve nenegativne brojeve, tj M = N.

Definicija 4

Preslikavanje f : N₀ x N₀ = N₀ sa osobinom f(a) = a i a f( b₀) = a f(b) ₀ zove se sabiranje.

Preslikavanje f : N₀ x N₀ = N₀ sa osobinom f(0) = 0 i a f( b₀) =a + ab zove se množenje.

U skupu N₀ važe svi zakoni kao i u skupu N osim zakona skraćivanja za množenje.