Djeljivost brojeva

Djeljivost je način određivanja da li je jedan broj djeljiv drugim, bez preduzimanja operacije dijeljenja, često samo ispitivanjem brojki.

Definicija

Prirodan broj a djeljiv je prirodnim brojem b ako postoji prirodan broj m takav da je a = m × b.

Ako je broj a djeljiv brojem b, pisat će se b | a.

Naprimjer:

3|24 jer je 24 = 3 × 8; slično je 7|28 jer 28 = 7 × 4; također, 10|10 jer je 10 = 10 × 1.

Broj b zove se djelitelj ili faktor broja a, a broj b sadržalac.

Broj b pravi je djelitelj od a ako b|a i a ≠ b.

Jednostavni kriteriji djeljivosti

Postoji nekoliko jednostavnih pravila za provjeru djeljivosti konkretnih brojeva.

• Broj je djeljiv s 10, 100, 1000,... ako su mu jedna, dvije, tri,... posljednje brojke nule.
• Broj je djeljiv s 2, 4, 8,... ako su mu posljednje 1, 2, 3,... brojke djeljive datim brojem.
• Broj je djeljiv s 5, 25, 125,... ako su mu posljednje 1, 2, 3, ... brojke djeljive datim brojem.
• Broj je djeljiv s 3, 9, 27, ... ako mu je zbir brojki djeljiv datim brojem.
• Broj je djeljiv s 11, ako su mu naizmjenična razlika i zbir brojki slijeva nadesno djeljivi s 11 ili jednaki nuli.

Primjer: broj 40678 djeljiv je s 11 jer vrijedi 4 - 0 + 6 - 7 + 8 = 11.

Djeljivost prirodnih brojeva

Za prirodni broj a kažemo da je djeljiv prirodnim brojem b (pišemo a : b) onda i samo onda ako postoji prirodni broj c takav da je a = b × c. Broj b je mjera (divizor, djelitelj) broja a koji je višekratnik (multiplum) broja b.

Primjer:

Za 15 : 3 postoji broj 5 takav da je 15 = 5 × 3.

Prosti i složeni brojevi

Prirodni broj veći od 1 djeljiv jedino samim sobom i brojem 1 zove se prost broj. Prosti brojevi veći od 1 koji nisu prosti jesu složeni.

Primjer:

Prosti brojevi su 2, 3, 5, 7..., a složeni 4, 6, 8, 9, 10...

Iz navedenog se vidi da su prirodni brojevi podijeljeni u tri klase.

1. Broj 1
2. Prosti brojevi
3. Složeni brojevi.

U skupu brojeva broj 1 ima poseban položaj, zato je izdvojen u posebnu klasu.

Djeljivost u skupu N može se proširiti na skup N₀ i reći da je 0 djeljiva svakim prirodnim brojem, jer je 0 = a × 0. Nula nije ni prost ni složen broj.

Teorema 1

Ako je prirodni broj a djeljiv brojem c, onda je svaki višekratnik od a djeljiv sa b.

Dokaz: a = b × c => a × n = b(c × n).

Teorema 2

Da bi zbir (a + b) bio djeljiv sa c, dovoljno je da svaki od brojeva a, b bude djeljiv sa c.

Dokaz:

Ako je a = c × m i b = c × n, onda je
(a + b) = c × m + c × n = c (m + n).

Teorema 3

Da bi zbir (a + b), u kojem je prvi broj djeljiv sa c, bio djeljiv sa c, potrebno je da i drugi broj bude djeljiv sa c.

Dokaz: Ako a = c × m, i (a + b) = c × n, imamo c × m + b = c × n => c × n – c × m = b => b = c(m – n).

Teorema 4

Svaki prirodni broj djeljiv je barem jednim prostim brojem.

Dokaz:

Za n > 1
Ako je n prost broj, djeljiv je samim sobom, a ako je složen, među njegovim djeliteljima postoji najmanji. Označimo ga sa p. On mora biti prost broj jer, ako bi bio složen, bilo bi p = k × m (k, m > 1).

a = p × q ili a = k (m × q). U ovom slučaju p ne bi bio najmanji prost broj kojim je a djeljiv; k bi bio manji.

Teorema 5

Svaki složen broj možemo napisati kao proizvod prostih brojeva.

Dokaz:

Neka je p₁ najmanji prost broj, kojim je n djeljivo. Za q₁ = n p₁ imamo n = p₁ q₁. Ako je q₁ složen, a p₂ prost, imamo q₁ = p₁ p₂ q₂. Postupak možemo nastaviti dok ne dođemo do oblika n = p₁ p₂... p_n, a kako je n > p₁ > q₁ > q₂ >..., jednom ćemo doći do q_n, koji je prost broj.

Primjer:

3224 = 2 × 3 × 7 × 7 × 11.

Teorema 6

Prostih brojeva ima beskonačno mnogo.

Dokaz:
Ako ih ima konačno mnogo, onda postoji jedan koji je najveći. Označimo ga sa p. Posmatrajmo broj 1 × 2 × 3 × ... × p + 1. On je veći od svakog prostog broja i, kao takav, ne može biti prost. Nije djeljiv nijednim prostim brojem (pri dijeljenju uvijek ostane ostatak 1). Ovo znači da je ovaj skup beskonačan.

Ako u ovom skupu idemo ka većim brojevima, prosti brojevi sve su rjeđi.

između 1 i 50	15 prostih
između 1 i 100	10 prostih
između 10 i 1000	68 prostih
između 1000 i 2000	135 prostih

Teorema 7

Postoji po volji beskonačno mnogo složenih brojeva.

Posmatrajmo broj 1 × 2 × 3 × ... × n = n! i brojeve
2 + n! 3 + n!... Oni su djeljivi redom sa 2, 3...

Primjer:
n = 5

2 + 5! = 122 3 + 5! = 123 4 + 5! = 124 5 + 5! = 125

Eratostenovo sito

Ovo je mehanički postupak pronalaženja prostih brojeva koji nisu veći od n. Ispišemo sve brojeve od 2 do n. Pođemo od broja 2 i precrtavamo svaki drugi broj, zatim pođemo od broja 3 i precrtavamo svaki treći, s tim da brojimo i precrtane brojeve, pa od prvog neprecrtanog broja itd. Postupak ponavljamo dok ne dođemo do broja p za koji je p² > n. Neprecrtani brojevi su prosti.

Primjer:
n = 21

2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18	19	20	21

Prosti brojevi su 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...

Djeljivost pojedinim brojevima

• Broj je djeljiv sa 10 ako je djeljiv brojevima 2 i 5.

$120/10=12$ jer je $120/2=60$ i $120/5=24$

• Broj je djeljiv brojem 2 ako je paran, odnosno ako je njegova posljednja cifra paran broj: 0, 2, 4, 6, 8...

$94:2=47$

• Broj je djeljiv brojem 3 ako je zbir njegovih cifara djeljiv s 3.

$27/3=9$ jer je $2+7=9$ tj $9/3=3$

• Broj je djeljiv sa 4 ako je broj koji čine dvije posljednje cifre tog broja djeljiv sa 4.

$324:4=81$ jer je $24/4=6$

• Broj je djeljiv s 5 ako je njegova posljednja cifra 0 ili 5.

$20:5=4$

$25:5=5$

• Broj je djeljiv sa 8 ako je trocifreni broj koji čine tri posljednje cifre tog broja djeljiv s 8.

$3120/8=390$ jer je $120/8=15$

• Broj je djeljiv s 9 ako je zbir cifara djeljiv s 9:

$369/9=41$ jer je $3+6+9=18$ tj $18/9=2$

• Broj je djeljiv sa 7 ako je razlika broja desetica i dvostruke cifre jedinica djeljiva sa 7:

$217413=>21741-2*3=21735=>2173-2*5=2163=>216-2*3=210=>21-2*0=21=7*3$

• Broj je djeljiv s 11 ako je razlika broja desetica i cifre jedinica djeljiva s 11:
• Broj je djeljiv s 13 ako je zbir broja desetica i četverostruke cifre jedinica djeljiv s 13:

$359048=>35904+4-*8=35936=>3593+4*6=3617=>361+4*7=389=>38+4*9=74=>7+4*4=23$

Kako broj 23 nije djeljiv s 13, to ni broj 359048 nije djeljiv s 13.

• Broj je djeljiv sa 17 ako je razlika broja desetica i petostruke cifre jedinica djeljiva sa 17.
• Broj je djeljiv s 19 ako je zbir broja desetica i dvostruke cifre jedinica djeljiv s 19.
• Broj je djeljiv s 23 ako je zbir broja desetica i sedmerostruke cifre jedinica djeljiv s 23.
• Broj je djeljiv s 29 ako je zbir broja desetica i trostruke cifre jedinica djeljiv s 29.
• Broj je djeljiv s 31 ako je razlika broja desetica i trostruke cifre jedinica djeljiva s 31.
• Broj je djeljiv s 37 ako je razlika broja desetica i 11–struke cifre jedinica djeljiva s 37.
• Broj je djeljiv sa 41 ako je razlika broja desetica i četverostruke cifre jedinica djeljiva sa 41.
• Broj je djeljiv sa 43 ako je zbir broja desetica i 13–struke cifre jedinica djeljiv sa 43.
• Broj je djeljiv sa 47 ako je razlika broja desetica i 14–struke cifre jedinica djeljiva sa 47.

Literatura

• "Pravila djeljivosti", Osječki matematički list, 11(2011), 107–112.