Teoría de numeros

Tradicionalment, a teoría de numers ye a branca d'as matematicas puras que s'ocupa d'as propiedatz d'os numers enteros. Asinas, dintro d'ista parti d'as matematicas s'estudean conceptos como a divisibilidat, os numers primos, maximo común divisor, minimo común multiple, relacions d'orden, etc.

A disciplina amaneixió ta ocupar-se d'una clase más ampla de problemas que surtioron naturalment de l'estudeo d'os numers enteros. A teoría de numers se puet subdividir en diferents campos, d'acuerdo con os metodos que s'emplegan y d'as qüestions que se bi investigan, que son:

• Teoría elemental d'os numers: fa servir nomás os metodos elementals de l'aritmetica t'a verificación y comprebación d'as propiedatz esencials d'o conchunto d'os numers enteros y en particular as propiedatz d'os numers primos;
• Teoría analitica d'os numers: emplega l'analís reyal y l'analís compleixa, más que más ta estudiar as propiedatz d'os numers primos;
• Teoría alchebraica d'os numers: fa servir l'alchebra abstracta abanzata (alchebra moderna) y estudea os numers alchebraicos;
• Teoría cheometrica d'os numers: emplega metodos cheometricos, alchebraicos y analiticos;

Sobre a teoría elemental d'os numers

O primer contacto con a Teoría de Numers gosa estar a traviés d'a Teoría Elemental d'os Numers. A traviés d'ista disciplina se pueden introducir propiedatz prou interesants y notables d'os numers enteros, que en estar propuestas como qüestions ta estar resueltas, u teoremas ta estar contrimostratos, son por un regular de mal resolver u contrimostrar. Istas qüestions son ligatas basicament a tres menas d'investigacions, a saber:

1. Estudeos especificos sobre as propiedatz d'os numers primos;
2. Investigación d'algoritmos eficients ta l'aritmetica basica;
3. Estudios sobre a resolución d'Equacions diofantinas;

Istas qüestions dreitament ligatas t'o estudeo d'o Conchunto d'os numers enteros y o suyo subconchunto formato por os numers naturals.

A títol d'ilustración, se fa mención contino a beluns d'os muitos problemas tractatos en istas tres arias d'a Teoría Elemental d'os Numers:

Propiedatz d'os numers primos

Teorema d'Euclides

"Existe una cantidat infinita de numers primos"

Conchectura de Goldbach

"Se pueden expresar os numers pars, mayors que 2, como a suma de dos numers primos?" Ista ye a conchectura de Goldbach

formulata en 1746 y dica hue no probata, encara que ye estata verificata dica numers de l'orden de 4*10^14.

Quántos numers primos rematan con o dichito 7? Son sinfinitos? D'os 664579 numers primos menors de 10 millons, os que rematan en 1, 3, 7 y 9 son, respectivament, 166104, 166230, 166211 y 166032. Isto corresponde a 24.99%, 25.01%, 25.01% y 24.98% d'o total de numers primos. Que sochiere isto?

Bi ha infinitas parellas de numers denominatos primos cheminucos: numers primos que difieren un de l'atro nomás en dos unidaz, como (3 ; 5), (71 ; 73) u (1000000007; 1000000009)?

Algoritmos eficients ta l'aritmetica basica

Muitas d'as modernas aplicacions son d'o campo d'a criptografía (codificación destinata a chenerar, almagazenar u mesmo transmitir -por ejemplo, por telefonía u más especificament por a Internet- informacions secretas u confidencials de trazas seguras) penden de bellas propiedatz d'os numers enteros y d'os numers primos. Sindembargo as aplicacions aritmeticas que embrecan as propiedatz d'os numers enteros son dreitament relacionatas con a capacidat de resolver dos problemas fundamentals:

1. o problema d'o test ta verificar si o numero ye primo;
2. o problema d'a descomposición en factors primos;

Aparentment son problemas de solución simpla, que se fan complexos quan se pasa a treballar con numerals de decenas u mesmo cientos de dichitos.