Simmetrie

Simmetrie (van die Griekse συν, "saam", en μετρον, "maat") by ’n voorwerp is wanneer twee helftes van die voorwerp mekaar se spieëlbeeld is. Dit kan geld vir ’n punt, lyn of plat vlak.

• Die letter A is simmetries ten opsigte van die vertikale as.
• Die letter B is simmetries ten opsigte van die horisontale as.

’n Figuur wat van bo na onder, van links na regs en langs altwee diagonale simmetries is.

Wiskunde

Wiskundig kan simmetrie in simmetrie-elemente weergegee word. 'n Element is 'n operator wat die koördinate van een punt omsit na die koördinate van 'n simmetries gelykwaardige punt. 'n Voorbeeld is 'n spieëlvlak in die 'n (x,y)-vlak in drie dimensies. Ons kan dit aangee met die simbool m_z. Die spieël-operasie m_z uitgevoer op 'n punt (x,y,z) gee

Translasiesimmetrie

$m_{z}(x,y,z)\to (x,y,-z)$

of:

$m_{z}(x,y,z)\to (x,y,{\bar {z}})$

Spieëling is 'n voorbeeld van rotasiesimmetrie. Daar bestaan andere soorte simmetrieë soos die translasiesimmetrie waar 'n verskuiwing 'τ tot 'n gelywaardige punt voer. 'n Translasie-element T kan geskryf word as:

$T_{z}(x,y,z)\to (x,y,z+\tau )$

Soorte rotasiesimmetrie

Spieëlvlakke is net een vorm van rotasiesimmtrie. Andere vorme is:

1. inversiepunte
2. rotasie-asse
3. rotasiespieëlasse of rotasie-inversie-asse

Inversiepunt

Die inversiepunt i keer alle drie koördinate om

$i(x,y,z)\to ({\bar {x}},{\bar {y}},{\bar {z}})$

Rotasie-asse

Drietallige simmetrie

'n Rotasie-as van orde n draai 'n punt oor 'n sekere hoek ${\frac {2\pi }{n}}$

Vir n=2 gee dit 'n tweetallige as C_2z en die operasie kan geskryf word as:

$C_{2z}(x,y,z)\to ({\bar {x}},{\bar {y}},z)$

Hier het ons die z-as as draaiingsas gekies, maar ook andere asse kan gekies word

$C_{2x}(x,y,z)\to (x,{\bar {y}},{\bar {z}})$

$C_{2y}(x,y,z)\to ({\bar {x}},y,{\bar {z}})$

Viertallige simmetrie

'n Viertallige as (n=4) draai 'n punt met 90 grade. Dié operasie moet vier maal uitgevoer word om terug te keer tot die oorsponklike punt

$C_{4z}(x,y,z)\to ({\bar {y}},x,z)$

$C_{4z}^{2}(x,y,z)\to ({\bar {x}},{\bar {y}},z)$

$C_{4z}^{3}(x,y,z)\to (y,{\bar {x}},z)$

$C_{4z}^{4}(x,y,z)\to (x,y,z)$

Rotasiespieëlasse

Die operasie van 'n rotasiespieëlas kan gesien word as 'n rotasie gevolg deur 'n spieëling.

Die element S_4z is 'n voorbeeld: rotasie oor 90 grade om die z-as gevolg deur spieëling om die (x,y) vlak. Die kombinasie gee die operasie:

$S_{4z}(x,y,z)\to ({\bar {y}},x,{\bar {z}})$

'n Alternatief is die te beskryf as rotasie gevolg deur inversie (met simbool ${\bar {4}}$), maar die twee bekrywings is nie heeltemaal identiek nie, omdat rotasie+inversie die element S³_4z oplewer.

Groepe

Simmetrie-elemente kan gekombineer word en vorm wiskundige groepe.

'n Wiskundige groep bevat

1. die eenheidselement E
2. moontlik andere elemente
3. alle elemente wat uit kombinasies gevorm kan word
4. resiproke elemente vir alle elemente in die groep

Die eenheidselement is 'n operasie wat die koördinate van die punt nie verander nie:

$E(x,y,z)\to (x,y,z)$

Die kombinasie van m_z met homself lewer E op:

$m_{z}m_{z}(x,y,z)\to m_{z}(x,y,-z)\to (x,y,z)$

Dat wil sê dat die twee elemente m_z en E saam 'n wiskundige groep vorm. Groepe kan egter baie meer elemente bevat as net twee, soos in dié geval.

'n Voorbeeld is die groep {E, C_2x,C_2y,C_2z} wat uit vier elemente bestaan, waarby C_2xC_2x=E, maar C_2xC_2y=C_2z

Belangrike wiskundige begrippe in simmetrie

Lynsimmetrie: Wanneer ʼn vorm gevou kan word sodat die een helfte van die vorm presies op die ander helfte van die vorm kan pas.

Simmetrielyn: Die lyn wat ʼn vorm in twee identiese helftes verdeel.

Rotasiesimmetrie: Wanneer jy ʼn vorm kan draai (roteer) om in sigself te pas voordat ʼn volle omwenteling voltooi is.

• Na ʼn  draai lyk die vorm presies soos dit gelyk het voordat jy dit gedraai het.
• Na ʼn volle draai lyk die vorm presies soos dit gelyk het voordat jy dit gedraai het.  
• ʼn Sirkel het ʼn oneindige orde van rotasiesimmetrie. 

Orde van rotasiesimmetrie: Die aantal kere wat die vorm in sigself kan pas terwyl ʼn omwenteling voltooi word.

Oneindig: Hou nie op nie/kan nie getel word nie.

Roteer/rotasie: Draai.

Voorbeelde

1) Een simmetrielyn

2) Twee simmetrielyne

3) Meer as twee simmetrielyne