凹凸性 (幾何)
外观
在几何学中,一个幾何圖形可分为凸或凹的。例如多邊形和多面體。其中,凸的多邊形稱為凸多邊形、凹的多邊形則可稱為凹多邊形或非凸多邊形,多面體與多胞體亦然。然而在三維或更高維度的空間中,不是凸的幾何圖形不一定會是凹幾何圖形,亦可能是星形幾何圖形,因此在三維或更高維度的空間中較常分為凸與非凸。
凸幾何圖形
[编辑]凸幾何圖形是指内部为凸集的幾何圖形[1],二維空間中的凸幾何圖形稱為凸多邊形、三維空間則稱凸多面體。若一多胞形的内部为凸集,則稱凸多胞形。
二維空間中的凸幾何圖形稱為凸多邊形,简单多边形的下列性质与其凸性等价:
凸幾何圖形的凸包與其邊界相同。
凹幾何圖形
[编辑]凹幾何圖形是指内部不是凸集的幾何圖形,在二維空間中,不是凸集的簡單多邊形,稱為凹多边形(Concave polygon)[2]或凹角[3]。
凹多邊形至少存在一個內角大於180度。
在三維空間中,不是凸的幾何圖形不一定會是凹幾何圖形,亦可能是星形多面體,因此在三維空間中較常分為凸與非凸。
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凹多边形示例
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凹多面體示例:凹鷂形柱
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環形多面體
嚴格凸與非嚴格凸
[编辑]如果一个简单多边形的每个内角严格小于180度,是严格凸的;如果每个非相邻顶点间的线段除端点外严格位于多边形的内部,也是严格凸的。
所有非退化三角形都是严格凸的。
星形幾何圖形
[编辑]星形幾何圖形是非凸幾何圖形的一個特例,其並未有一個明確的定義。在二維空間中,稱為星形多邊形,數學家Branko Grünbaum指出了兩種由克普勒提出的定義:一種是具有自相交稜的正星形多邊形,且自相交的稜不產生新的頂點,另一種是邊可遞的簡單凹多邊形[4]。
參見
[编辑]参考文献
[编辑]- ^ Definition and properties of convex polygons with interactive animation.. [2009-10-18]. (原始内容存档于2017-10-17).
- ^ McConnell, Jeffrey J., Computer Graphics: Theory Into Practice: 130, 2006, ISBN 0763722502.
- ^ Mason, J. I., On the angles of a polygon, The Mathematical Gazette, 1935, 30 (291): 237–238 [2009-10-18], (原始内容存档于2016-03-25).
- ^ Grünbaum & Shephard 1987,section 2.5