一個三角形 餘弦定理 是三角形 中三邊長度與一個角的余弦 值（
cos
{\displaystyle \cos }
數學式 ，余弦定理指的是：
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }
同樣，也可以將其改為：
b
2
=
c
2
+
a
2
−
2
c
a
cos
β
{\displaystyle b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta }
a
2
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
α
{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }
其中
c
{\displaystyle c}
γ
{\displaystyle \gamma }
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
γ
{\displaystyle \gamma }
勾股定理 則是余弦定理的特殊情況，當
γ
{\displaystyle \gamma }
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
cos
γ
=
0
{\displaystyle \cos \gamma =0}
等式 可被簡化為
c
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}
當知道三角形的兩邊和一角時，余弦定理可被用來計算第三邊的長，或是當知道三邊的長度時，可用來求出任何一個角。
一個鈍三角形和它的高。 余弦定理的歷史可追溯至公元三世紀前歐幾里得 的幾何原本 ，在書中將三角形分為鈍角和銳角來解釋，這同時對應現代數學中余弦值的正負。根據幾何原本第二卷的命題12和13[ 1]
A
B
¯
2
=
C
A
¯
2
+
C
B
¯
2
+
2
(
C
A
¯
)
(
C
H
¯
)
{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {CA}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}+2({\overline {CA}})({\overline {CH}})\,}
其中
C
H
¯
=
B
C
¯
cos
(
π
−
γ
)
=
−
B
C
¯
cos
γ
{\displaystyle {\overline {CH}}={\overline {BC}}\cos(\pi -\gamma )=-{\overline {BC}}\cos \gamma }
A
B
¯
2
=
C
A
¯
2
+
C
B
¯
2
−
2
(
C
A
¯
)
(
B
C
¯
)
cos
γ
{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}={\overline {CA}}^{2}+{\overline {CB}}^{2}-2({\overline {CA}})({\overline {BC}})\cos \gamma }
具有垂直線的銳角三角形 見右圖，在
c
{\displaystyle c}
投影定理 ）：
c
=
a
cos
β
+
b
cos
α
{\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha }
將等式同乘以c得到：
c
2
=
a
c
cos
β
+
b
c
cos
α
{\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha }
運用同樣的方式可以得到：
a
2
=
a
c
cos
β
+
a
b
cos
γ
{\displaystyle a^{2}=ac\cos \beta +ab\cos \gamma }
b
2
=
b
c
cos
α
+
a
b
cos
γ
{\displaystyle b^{2}=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma }
將
c
2
{\displaystyle c^{2}}
c
2
=
a
c
cos
β
+
b
c
cos
α
=
(
a
2
−
a
b
cos
γ
)
+
(
b
2
−
a
b
cos
γ
)
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
γ
{\displaystyle c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha =(a^{2}-ab\cos \gamma )+(b^{2}-ab\cos \gamma )=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }
設
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
A
B
¯
=
c
{\displaystyle {\overline {AB}}=c}
B
C
¯
=
a
{\displaystyle {\overline {BC}}=a}
A
C
¯
=
b
{\displaystyle {\overline {AC}}=b}
B
{\displaystyle B}
A
C
{\displaystyle AC}
垂線 ，垂足為
D
{\displaystyle D}
D
{\displaystyle D}
A
C
{\displaystyle AC}
B
D
{\displaystyle BD}
a
sin
C
{\displaystyle a\sin C}
D
C
{\displaystyle DC}
a
cos
C
{\displaystyle a\cos C}
A
D
{\displaystyle AD}
b
−
a
cos
C
{\displaystyle b-a\cos C}
勾股定理 ：
c
2
=
(
a
sin
C
)
2
+
(
b
−
a
cos
C
)
2
{\displaystyle c^{2}=(a\sin C)^{2}+(b-a\cos C)^{2}\,}
c
2
=
a
2
sin
2
C
+
b
2
−
2
a
b
cos
C
+
a
2
cos
2
C
{\displaystyle c^{2}=a^{2}\sin ^{2}C+b^{2}-2ab\cos C+a^{2}\cos ^{2}C\,}
c
2
=
a
2
(
sin
2
C
+
cos
2
C
)
+
b
2
−
2
a
b
cos
C
{\displaystyle c^{2}=a^{2}(\sin ^{2}C+\cos ^{2}C)+b^{2}-2ab\cos C\,}
c
2
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
C
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,}
如果
D
{\displaystyle D}
A
C
{\displaystyle AC}
證明所用的三角形 設
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
A
B
¯
=
c
{\displaystyle {\overline {AB}}=c}
B
C
¯
=
a
{\displaystyle {\overline {BC}}=a}
A
C
¯
=
b
{\displaystyle {\overline {AC}}=b}
B
{\displaystyle B}
A
C
¯
{\displaystyle {\overline {AC}}}
垂線 ，垂足為
D
{\displaystyle D}
A
D
¯
=
x
{\displaystyle {\overline {AD}}=x}
C
D
¯
=
b
−
x
{\displaystyle {\overline {CD}}=b-x}
勾股定理 ：
c
2
−
x
2
=
B
D
¯
2
=
a
2
−
(
b
−
x
)
2
{\displaystyle c^{2}-x^{2}={\overline {BD}}^{2}=a^{2}-(b-x)^{2}}
c
2
−
x
2
=
a
2
−
b
2
−
x
2
+
2
b
x
{\displaystyle c^{2}-x^{2}=a^{2}-b^{2}-x^{2}+2bx}
c
2
=
a
2
−
b
2
+
2
b
x
{\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}+2bx}
x
=
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
{\displaystyle x={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2b}}}
cos
A
=
x
c
=
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
{\displaystyle \cos A={\frac {x}{c}}={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}
如果
D
{\displaystyle D}
A
C
¯
{\displaystyle {\overline {AC}}}
餘弦定理是解三角形中的一個重要定理。
餘弦定理可以簡單地變形成：
a
=
b
2
+
c
2
−
2
b
c
cos
A
{\displaystyle a={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos A}}}
b
=
c
2
+
a
2
−
2
a
c
cos
B
{\displaystyle b={\sqrt {c^{2}+a^{2}-2ac\cos B}}}
c
=
a
2
+
b
2
−
2
a
b
cos
C
{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos C}}}
因此，如果知道了三角形的兩邊及其夾角，可由餘弦定理得出已知角的對邊。
余弦定理可以简单地变形成：
cos
A
=
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
{\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\,\!}
cos
B
=
c
2
+
a
2
−
b
2
2
c
a
{\displaystyle \cos B={\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}\,\!}
cos
C
=
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
{\displaystyle \cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,\!}
因為餘弦 函數在
(
0
,
π
)
{\displaystyle ({{\rm {0}},\pi })}
單調性 ，可以得到：
∠
A
=
arccos
b
2
+
c
2
−
a
2
2
b
c
{\displaystyle \angle A=\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\,\!}
∠
B
=
arccos
c
2
+
a
2
−
b
2
2
c
a
{\displaystyle \angle B=\arccos {\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ca}}\,\!}
∠
C
=
arccos
a
2
+
b
2
−
c
2
2
a
b
{\displaystyle \angle C=\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,\!}
因此，如果已知三角形的三邊，可以由餘弦定理得到三角形的三個內角。
^ In obtuse-angled triangles the square on the side subtending the obtuse angle is greater than the squares on the sides containing the obtuse angle by twice the rectangle contained by one of the sides about the obtuse angle, namely that on which the perpendicular falls, and the straight line cut off outside by the perpendicular towards the obtuse angle. --- Euclid's Elements, translation by Thomas L. Heath.
