行列ノルムとは? わかりやすく解説

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行列ノルム

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/02/16 13:50 UTC 版)

線型代数学における行列ノルム(ぎょうれつノルム、: matrix norm)は、ベクトルのノルム行列に対し自然に一般化したものである。

性質

以下では K実数R または複素数C のいずれかを指すものとして用いる。また、Km×n を、Kを成分に持つ mn 列の矩形行列の全体が、通常の和とスカラー倍に関してなすベクトル空間とする。Km×n 上の行列のノルムはベクトルとしてのノルムである。すなわち、行列 A のノルムを ‖ A ‖ で表せば

  1. 正定値性‖ A ‖ ≥ 0 かつ等号成立は A = O と同値
  2. 斉次性αK, AKm×n ならば ‖ αA ‖ = |α|‖ A ‖
  3. 劣加法性A, BKm×n ならば ‖ A + B ‖ ≤ ‖ A ‖ + ‖ B ‖

が全て満たされる。

正方行列 (m = n) に関して、以下に挙げる条件を課す場合がある。

  1. 劣乗法性: ‖ AB ‖ ≤ ‖ A ‖‖ B ‖
  2. -性: ‖ A ‖ = ‖ A ‖

ここで A は複素行列 A随伴を表す。A が実である場合、その随伴は A転置 A に一致する。

劣乗法性を持つノルムを劣乗法的ノルム (sub-multiplicative norm) と呼ぶ[注 1]。劣乗法的ノルムを備えた n 次の正方行列全体の成す集合バナッハ代数の一例である。

誘導されたノルム

2つのベクトル空間 Km, Kn におけるベクトルのノルムが与えられているとき、それらに対応して m × n 行列の空間 Km×n 上の行列ノルムを与えることができる。

(樊と土偏に畿、U+302C0)と書くが、表示できる環境が少ないための字を代用する。中国系アメリカ人数学者 Ky Fan にちなんだ呼称

出典

  1. ^ Golub & Van Loan 1996, pp. 56–57.
  2. ^ Horn & Johnson 1985, Chapter 5.

参考文献

関連項目

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