Geometría

El curso Geometría Plana, del programa académico que la Universidad Pedagógica Nacional (Colombia) ofrece para la formación inicial de profesores de matemáticas, ha sido objeto de un proceso de innovación que comenzó en el año 2004. Cristalizar la aproximación metodológica con la que en el curso se enseña la geometría plana euclidiana es el propósito principal que nos alienta a escribir este libro. Tal aproximación metodológica la describimos en el Capítulo 1 a través del tipo de tareas que se proponen a los estudiantes, el recurso tecnológico que los apoya para realizarlas y el tipo de interacción entre profesor y estudiantes o entre estudiantes que soporta la construcción de conocimiento en el aula. Específicamente, la cristalización se refleja en la presentación de los 46 problemas abiertos que se proponen, cuya resolución propicia una discusión matemática suficientemente rica para que emerjan los elementos que conformarán el sistema teórico que se va consolidando a lo largo del curso. Las directrices para dicho sistema son el modelo de Birkhoff (1932) para la geometría euclidiana, en el cual “se introducen los hechos encarnados en la regla y el transportador” (p. 2), y la propuesta de Moise y Downs (1986) que concuerda básicamente con dicho modelo. Ello, porque se corresponden, en esencia, con el modelo de geometría que corporeiza el software de geometría dinámica, artefacto que desempeña un papel importante en nuestra aproximación metodológica. Si bien no ilustramos, a través de protocolos, la interacción que se produce en esas discusiones, sí relatamos aspectos notables usuales constituidos por las propuestas de construcción y exploración con geometría dinámica que hacen los estudiantes, las conjeturas que proponen, finalizando con la explicitación del sistema teórico local a que da lugar cada problema propuesto.

El objetivo de artículo fue evaluar la eficacia del modelo de Van Hiele en el avance en los niveles de razonamiento geométrico de los estudiantes de grado 7º de una institución educativa oficial en Córdoba (Colombia) y su relación con los estilos de aprendizaje. El estudio se abordó desde un enfoque cuantitativo de tipo cuasiexperimental, incluyó un test para identificar el nivel de razonamiento geométrico de los estudiantes antes y después de la intervención, la aplicación de una secuencia didáctica acerca de polígonos teniendo en cuenta las fases de aprendizaje según del modelo de Van Hiele, además de un test para identificar estilos de aprendizaje. Para el análisis de resultados se aplicaron las pruebas no paramétrica de Wilcoxon, de Mann-Whitney y chi-cuadrado, disponibles en el software SPSS 17. Se destaca que los estudiantes lograron mejoras significativas en cuanto a los grados adquisición de los niveles 1 y 2 de Van Hiele, luego de la intervención con la secuencia didáctica. Además se encontró, como en estudios anteriores, que el estilo predominante en los grupos fue el reflexivo, sin embargo no se encontraron diferencias significativas entre los estilos de aprendizaje y la mejora en los niveles de razonamiento, con lo cual se concluye que el modelo fue eficaz para la mayoría de los estudiantes independientemente de su estilo de aprendizaje.

El doblez proyectado es indisoluble de la geometría que lo hace posible. Para
establecer un claro control sobre el doblez es necesario realizar un documento
proyectivo, un plano. Es por eso que los asuntos ligados a la geometría y al
control matemático de los patrones de doblado han sido siempre fundamentales
en la construcción de este tipo de diseños. Nos acercamos aquí a uno de los
principales referentes y precursores sobre el estudio y desarrollo de los patrones
de doblado para fines volumétricos, Ron Resch. Se trata de un desconocido
artista y científico computacional norteamericano cuyo trabajo se menciona de
modo repetido cuando se habla de arquitectos contemporáneos como Greg Lynn,
quien ha aplicado también el uso del ordenador como herramienta de control
y desarrollo geométrico. Para situar el momento, veremos el trabajo didáctico
de Josef Albers y su manera de “abrir los ojos” mediante la experiencia con la
manipulación restringida de la materia. El trabajo de Ron Resch establece una
manera científica de aproximarse al problema y de aplicar las por aquel entonces
incipientes herramientas computacionales, como son la elaboración de modelos
3D o la utilización de maquinaria CNC para el corte o el marcado. Los sistemas
topológicos de Resch son en gran medida el origen de lo que hoy es el diseño
paramétrico y la arquitectura de desarrollo con ordenadores.




The designed bending is inseparable of the geometry that makes it possible. To
establish a clear control over the fold it is necessary to make a projective document,
a plan. That is why issues related to geometry and mathematical control of
bending patterns have always been fundamental in the construction of this type
of design. Here we are approaching to one of the main references and pioneers
on the study and development of bending patterns for volumetric purposes, Ron
Resch. He is a not very well known American artist and computational scientist
whose work is mentioned repeatedly when contemporary architects such as Greg
Lynn are mentioned, who have also applied the use of the computer as a tool for
control and geometric development. In order to situate the moment, we will look
at Josef Albers’ didactic work and his way of opening the eyes through experience
with the restricted manipulation of matter. Ron Resch’s work establishes a scientific
way of approaching the problem and applying the incipient computational tools
at that moment, such as 3d modelling or the use of CNC machines for cutting or
marking. The topological systems by Resch are to a large extent the roots of what
is now parametric and computer development architecture.

Presentamos en este capítulo una reflexión sobre un tipo de experiencia llevada adelante a través de las figuras. Una experiencia que está, a su vez, vinculada directamente al texto y a la lectura del libro I de la obra Ele-mentos de Euclides. Una primera observación que haremos es que nuestro estudio se referirá únicamente a la geometría plana, a esa geometría que con justicia histórica es llamada geometría euclidiana, centrando nuestro interés en el papel que en ella tienen las figuras. La atención se dirige al modo en que las figuras se inscriben en la demostración geométrica, para intentar comprender el lugar que ellas ocupan en las inferencias que, a partir de los axiomas, dan lugar al resto de proposiciones que forman el cuerpo de la geometría. Introducción El tema de la relación entre la experiencia y las matemáticas nos sitúa de inmediato en el centro de un debate largo y controvertido. Mucho se ha dicho a propósito del tema, acerca del papel que la experiencia tiene o puede tener en matemáticas, mucho se ha discutido también acerca de sus proposiciones y verdades. ¿Es legítimo decir que la verdad matemática debe algo a la experiencia? Es claro que la respuesta a esta pregunta de-pende de lo que se entienda por cada uno de los términos cuya relación se establece aquí: es innegable que si de ellos se predispone una noción determinada, fija y acabada, entonces la respuesta está dada desde el ini-cio. El concepto que se tenga de "matemáticas" permitirá aclarar cuál es su relación-si es que acepta tener alguna-con la experiencia. De igual modo, si se considera que la "experiencia" es un tipo específico de acti-vidad humana, la forma de caracterizarla permitiría adelantar su posible vinculación con una disciplina como las matemáticas. Conscientes de este hecho trivial, no nos proponemos adelantar ninguna hipótesis acerca de lo que es la matemática o de lo que es la experiencia y esperamos que, en 1 Universidad Distrital Francisco José de Caldas-Universidad del Valle. Investigación realizada en el marco de la investigación Doctoral de la autora. Doctorado Interinstitucional en Educación, Énfasis en Educación Matemática. 2 Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, UNAM. Investigación realizada con apoyo del proyecto Conacyt 400302-5-25269H.

Nella maggior parte dei libri di testo in adozione nei licei scientifici, le trasformazioni affini vengono trattate come un argomento a sé stante e ne viene confinata l'applicazione esclusivamente a limitate tipologie di problemi.[...] Questo articolo ha lo scopo di estendere, mediante alcuni esempi opportunamente scelti, il campo di applicabilità delle affinità al caso delle coniche. Reputo fondamentale proporre in classe alcuni di questi problemi, per mostrare come le trasformazioni del piano possano proficuamente "entrare in campo" in situazioni, a priori, del tutto sconnesse con il loro ambito tradizionale.

La presente investigación evidencia resultados de una formación continua de profesores en geometría, que consta de cuatro encuentros y en el que participan dieciséis docentes peruanos de Educación Básica Regular - nivel secundario. Basados en una secuencia de actividades y en el enfoque teórico de Parzysz, específicamente en los niveles de
geometría, los docentes desarrollan diversas estrategias de resolución de las actividades y realizan un análisis matemático y didáctico de las mismas. Para este reporte presentamos el desarrollo de dos de las actividades realizadas en el primer encuentro. En cuanto a los resultados de la formación notamos que los docentes participantes utilizan estrategias de resolución en los niveles de geometría concreta y, geometría espacio-gráfica, de acuerdo con Parzysz, sin embargo, aún presentan confusión entre los tipos validaciones perceptivas y deductivas.

Fractales, es un concepto con cierto grado de complejidad. Sin embargo, se pueden introducir esta noción de una manera sencilla en el aula de matemática en el nivel de secundaria. El presente artículo es un reporte de un taller realizado en la RELME 30. Su propósito fue desarrollar actividades sobre los fractales para el aprendizaje de esta noción. Algunas actividades presentadas fueron deducir progresiones que resultan a partir de su construcción, construir fractales con la técnica del kirigami, así como actividades en entornos de geometría dinámica como es el Geogebra. Se presentaron fractales como el conjunto de Cantor, la construcción del triángulo de Sierpinski y la curva de Koch.

El presente libro está dirigido a personas interesadas en la investigación en Educación Matemática, profesores y estudiantes de doctorado y de maestría. Con él se pretende contribuir a suplir una deficiencia de bibliografía de referencia que oriente procesos investigativos en la comunidad educativa de habla hispana. Para ello, se presentan dos investigaciones realizadas: una por el grupo Aprendizaje y Enseñanza de la Geometría, y otra por el grupo Educación Estadística, del Departamento de Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional (Bogotá, Colombia) en 2010 y 2011, con el apoyo del Centro de Investigaciones de dicha universidad, CIUP. Ambos equipos centraron su mirada investigativa en la formación inicial de profesores con la convicción de que, al reconocer que la geometría y la probabilidad son frágiles en la matemática escolar, es necesario incidir en la formación matemática de los próximos profesores para fortalecer, a futuro, estos dominios en la escuela.

En el presente capítulo se revisa la investigación sobre los efectos de la educación dan-cística en los resultados cognitivos en cuanto a: desempeño académico general, lectura y habilidades visuales/espaciales. Existe un pequeño número de pruebas de que la educa-ción dancística mejora las habilidades visuales/espaciales; falta, sin embargo, investigar si esas fortalezas espaciales permiten que los bailarines superen a quienes no lo son en las áreas académicas para las cuales el razonamiento espacial es importante, como la geometría y la física.

En el año 1943 Erwin Schrödinger inició una serie de publicaciones de lo que llamó Teoría Unitaria de Campo, con la que pretendía unificar los campos gravitatorio, electromagnético y mesónico sobre una base geométrica. En este artículo que, es continuación de [36] y [37], analizamos la tercera de las teorías puramente afín de Schrödinger (Schrödinger-III), que basó en una conexión asimétrica sin ningún condicionamiento y capaz de acomodar los citados tres campos que quería unificar.

El presente trabajo de investigación, parte de la necesidad de considerar la naturaleza cualitativa y cuantitativa del área para su adecuado aprendizaje. Es decir, parte de haber detectado que si bien dentro de las construcciones conceptuales relacionadas con la geometría, las concernientes al área de las figuras planas han sido ampliamente investigadas, casi siempre se estudia el tema sin considerar sus aspectos cualitativos y cuantitativos simultáneamente.
Para llevar a cabo nuestra investigación, partimos de una revisión de las investigaciones que se han hecho en torno al concepto de área. Dado que trabajamos con estudiantes de nivel medio superior del Instituto de Educación Media Superior del Distrito Federal, hacemos una descripción de la institución y revisamos sus libros de texto en lo referente al tema que nos interesa.
Por otro lado, debido a que en nuestra investigación se tomaron en cuenta tanto aspectos cualitativos como cuantitativos del concepto de área, un punto fundamental fue indagar sobre los elementos que podrían posibilitar a los estudiantes un adecuado aprendizaje del área. Es por esto que dentro de los elementos teóricos, que dan sustento a nuestra investigación, está la visualización. Damos un panorama general de la visualización de figuras geométricas en el sentido establecido por Duval (2003). El siguiente elemento teórico que discutimos es el de los conceptos figurales, dibujo y figura.Posteriormente, hacemos ver que el saber reconocer los elementos o propiedades relevantes de las figuras es un proceso que se aprende y se enriquece con la mediación de artefactos y manipulables (Clements y Battista, 1999).
A partir de los elementos teóricos anteriores establecemos como objetivo para nuestra investigación el cerrar la brecha entre el enfoque cualitativo y el cuantitativo del concepto de área. Par-timos de la hipótesis de investigación de que los estudiantes requieren desarrollar habilidades específicas para tratar figuralmente las representaciones gráficas de los objetos geométricos.
Además proponemos como hipótesis de trabajo que una propuesta, para un adecuado aprendizaje del concepto de área, debe tomar en cuenta tanto elementos cualitativos, como cuantitativos y debe integrar aspectos de transformación-conservación de área (comparación); de cálculo y medición de áreas y de deducción-utilización de fórmulas de áreas.
Diseñamos un instrumento de investigación, el cual consiste de una serie de actividades expresamente diseñadas sobre el concepto de área, que inicialmente ofrece diversas estrategias (cuantitativas y cualitativas) para cuantificar y comparar el área de figuras a partir de tres estrategias básicas. Posteriormente propone el problema de comparar el área de dos figuras. Dicho problema de comparación gradualmente se transforma en un problema de medición de áreas. La actividad muestra cómo el medir es un refinamiento del comparar y que puntos cruciales para poder transitar de la una a la otra son: el establecer una unidad de área y el desarrollar estrategias que permitan comparar la unidad de área con el área de una figura dada.
Nuestras conclusiones son:
• La unión de materiales manipulables y tareas problemáticas pueden proveer ricas estructuras de validación a los estudiantes.
• Las estrategias básicas de comparación de áreas, pueden ser una herramienta útil para aprender el concepto del área, tanto en sus aspectos cuantitativos, como en los cualitativos.
• El proceso de idealización de las estrategias básicas de comparación de áreas puede derivar en consideraciones equivocadas.
• Es posible cerrar la brecha entre el enfoque cuantitativo y el cualitativo e incorporarlos en un solo concepto de área.

Recientemente Virchenko y colaboradores trataron una generalización de la función (ver artículo pdf) donde 2R1 (a, b; c; ; x) es la función hipergeométrica generalizada presentada por Dotsenko en 1991. El objeto de este artículo es obtener algunos resultados que involucran casos especiales de esta función y obtener formas computables para los mismos.

MSC:33D15, 33D90, 33D60, 34M03,  62E15

La distribución de función hipergeométrica invertida tipo I tiene la función de densidad de probabilidad proporcional a [fórmula] donde 2F1 es la función hipergeométrica de Gauss. En este artículo se deriva la función de densidad de probabilidad del producto de dos variables aleatorias independientes que se distribuyen según la función hipergeométrica inversa tipo I. También se consideran otros productos entre variables aleatorias con distribución beta tipo I, beta tipo II, beta tipo III, función hipergeométrica tipo I, función hipergeométrica inversa tipo I y Kummer–beta.

MSC: 33Cxx

Damos a conocer nuestro punto de vista en relación con el papel de la lógica matemática en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la demostración. Ilustramos cómo introducimos temáticas de la lógica en un curso de geometría, para lo cual acudimos a los sucesos del cursillo realizado en el XX Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones. Presentamos ejemplos en los que la geometría dinámica se constituye en un contexto que propicia el acercamiento sugerido a la lógica matemática.