Programación Lineal

Gestión de Operaciones José C. Urbina Yarupetan Programación Lineal La programación lineal estudia la maximización o minimización de una función sujeta a desigualdades lineales. La programación lineal es una de las principales técnicas de la investigación de operaciones. Se desarrolló como consecuencia de un problema económico específico; por ello, existe una gama considerable de problemas económicos que cumplen sus postulados. Puede decirse que la programación lineal aplica a las operaciones se sustenta en tres conceptos básicos: recursos, productos y procesos de producción. 1. Recursos. Son las cosas físicas o intangibles que emplea la empresa; puede suponerse agrupadas en clases, dividida en restricciones; en los diversos elementos requeridos para la producción de un bien o servicio, y cada uno de ellos es un factor de producción. 2. Productos. Son los resultados del esfuerzo productivo, ya sean físicos o intangibles, que pueden agruparse en clases. 3. Procesos Productivos. Es un suceso o una serie de sucesos físicos y actividades en que participa el ser humano, sumando a los activos, con la intención de transformar recursos (insumos) en productos (resultados). Supuestos básicos de la programación lineal La programación lineal es un instrumento de la investigación de operaciones, diseñado para auxiliar la elección entre diferentes opciones, cuando las limitaciones de recursos impiden elegir simultáneamente todas ellas.  Las oportunidades productivas de una economía se definen por los recursos y por los procesos productivos de los que se dispone. Las cantidades de algunos de los recursos limitados y también el número de procesos productivos disponibles.  Todo proceso productivo puede utilizarse en un nivel compatible con la oferta de recursos disponibles. El consumo de recursos y la obtención de productos relacionada con el nivel en que se desarrolla el proceso.  Pueden emplearse de manera simultánea varios procesos productivos, mediante el adecuado suministro de recursos. Si esto se realiza, el consumo de cada recurso es igual a la suma de las cantidades consumidas o a una fabricación de éstas en cada uno de los procesos empleados, y asimismo, la producción total es la suma de la producción en cada uno de los procesos. Dentro de estos parámetros, el problema de producción se reduce a escoger los procesos productivos y el nivel al que se ha de emplear cada uno de ellos. Características del modelo de programación lineal Como en la mayor parte de las técnicas de investigación de operaciones, los dos pasos básicos de la programación lineal son:  La formulación de un modelo matemático que represente de manera aproximada la situación real.  La solución de este modelo. Página 1 de 8 Gestión de Operaciones José C. Urbina Yarupetan Las dos hipótesis más importantes en el modelo de programación lineal son las de linealidad y exactitud. Por lo general, ambas hipótesis están algo alejadas de la realidad, peo en muchos casos no difieren de ella lo suficiente como para invalidar el modelo. Se consigue, entonces, en la que las variables se evalúan de acuerdo con la diferencia entre precio y costo variable, y garantiza de ese modo la maximización de utilidades. Una restricción bastante real a la aplicabilidad de la programación lineal es la naturaleza estática del modelo, ya que se supone que las instalaciones disponibles para la producción son fijas y no toman en cuenta la posibilidad de efectuar cambios. Un tipo de problema de programación lineal que se ajusta bien a las limitaciones de los modelos es la gama completa de problemas de minimización de costos. Existen muchas otras técnicas que tienden a ampliar la aplicabilidad de las soluciones de programación lineal. Métodos de programación lineal Puede ordenarse de acuerdo con el criterio de idoneidad para la solución de un problema fundamental, o de sus casos especiales. Los métodos pueden clasificarse en dos grupos:  Para la solución del problema general de programación lineal: o Método gráfico o Método simplex o Método de la descripción completa o Método multiplex o Método potencial  Para la solución de los casos especiales del problema fundamental de la programación lineal: o Método de transporte o Método modificado y de asignación o Método de inspección o Método de análisis de indicador o Método index Variedad de aplicaciones de programación lineal La programación lineal es una de las herramientas más importantes para la solución de problemas económicos-industriales. Entre las principales aplicaciones de la programación lineal en la programación de operaciones puede mencionarse:  La aplicación más común y directa es el análisis de una empresa en condiciones estáticas, en que se suponen conocidas las funciones de producción, de oferta y de demanda; dentro de éstas, las aplicaciones directas de programación de operaciones son las siguientes: o Planificación del programa de producción que optimiza el beneficio. o Planificación de las inversiones y de la capacidad de producción. o Planificación de mezclas óptimas. o Minimización de pérdidas por corte. o Planificación de la ocupación de máquinas. o Planificación de la ocupación y gestión de stocks. Página 2 de 8 Gestión de Operaciones José C. Urbina Yarupetan o Planificación de transporte. o Planificación de movimiento de materiales. o Planificación de emplazamientos. o Planificación de rutas óptimas de viaje de vendedores. o Planificación de la intensidad de la aplicación de medios publicitarios.  En cuanto al tiempo, pueden ser estáticos (que es lo más común) o dinámicos. Los modelos dinámicos se adaptan particularmente al estudio de las organizaciones de gran autonomía cuyas actividades corrientes dependen, en gran parte, de su actividad anterior y posterior.  En cuanto al conocimiento empresarial, pueden suponerse conocidas o bien especificadas por distribuciones condicionales de probabilidad, las funciones de oferta, demanda y producción.  Con relación a su alcance, puede referirse a una sola empresa, a una unidad más pequeña, a una industria, o a la totalidad de un sistema económico. Estudio de modelos estocásticos, es decir modelos que incorporan distribuciones de probabilidad. Ampliaciones de las aplicaciones de la programación lineal La mayor parte del trabajo realizado en este campo en los últimos años se ha dirigido a ampliar la aplicabilidad de la programación lineal y a simplificar las restricciones impuestas al modelo. La programación dinámica, la programación no lineal y el uso del dual son ejemplos de procedimientos que amplían el papel de la programación matemática bajo formas que hacen posible la solución de problemas que no se ajustan bien al modelo típico de programación lineal. La programación lineal representa un esfuerzo para racionalizar las decisiones empresariales que antes eran predominantes intuitivas. Le facilita a la dirección de la empresa la posibilidad de investigar distintas soluciones a un problema. A pesar de su utilidad y difusión, no hay que olvidar que como toda técnica racional tiene limitaciones para su aplicación. En este punto debe estudiarse con cuidado su aplicación. Sin embargo, se debe seguir profundizando en su estudio para superar sus limitaciones en el campo de la programación de operaciones. Caso de Estudio La gerencia de la planta termoeléctrica El Carbonerito, que emplea carbón como combustible, está estudiando la configuración operativa de la planta a fin de cumplir con los últimos estándares de emisión que las leyes de control de contaminación del aire indican. Para El Carbonerito, las tasas máximas de emisión son: Máxima emisión de óxido de azufre: Máxima emisión de partículas (humo): 3,000 partes por millón (PPM). 12 kilogramos/hora (kg/h). El carbón se traslada a la planta por ferrocarril y se descarga en depósitos cercanos a ésta. De aquí se traslada a la unidad pulverizadora con una banda transportadora, en donde se pulveriza y se alimenta directamente a la cámara de combustión, a la velocidad conveniente. El calor producido en la cámara de combustión se emplea para crear el vapor que impulsa las turbinas. Se emplean dos tipos de carbón: tipo A, que es un carbón duro y de Página 3 de 8 Gestión de Operaciones José C. Urbina Yarupetan quema limpia con un bajo contenido de azufre pero bastante caro; y de tipo B, que es un carbón barato, relativamente suave, que produce humo y tiene un alto contenido de azufre, según el cuadro: Carbón A B Óxido de azufre en gases de combustión 1,800 PPM 3,800 PPM Partículas (emisión) 0.5 kg 1.0 kg El valor térmico en términos de vapor producido es mayor para el carbón A que para el carbón B, pues 24,000 kg por tonelada para A en comparación con 20,000 kg por tonelada para B. Como el carbón A es duro, la unidad pulverizadora puede manejar a lo sumo 16 toneladas de carbón A por hora; mientras que puede pulverizar hasta 24 toneladas de carbón B por hora. El sistema de carga de banda transportadora tiene una capacidad de 20 toneladas por hora, sin importar cual sea el tipo de carbón. Aquí surge una de varias reguntas que la gerencia desea que se conteste: dado los limites de emisión de agentes contaminantes y los tipos disponibles de carbón, ¿cuál es la máxima producción posible de electricidad de la planta? La espuesta permitirá a la gerencia determinar el margen de seguridad disponible para cubrir las demandas pico de energía. Variables de decisión A corto plazo, las instalaciones de la planta son fijas. El único aspecto del problema controlable y que puede afectar la producción de la planta es la cantidad de cada tipo de carbón que se queme. Entonces, las variables de decisión del problema son: La cantidad de carbón A utilizada por hora, se denota X1. La cantidad de carbón B utilizada por hora, se denota X2. En programación lineal, a menudo, se hace referencia a los aspectos controlables de un problema de decisión como actividades. Por tanto, X1 y X2 representan los niveles de actividad de la quema de carbón A y carbón B, respectivamente. Las dos consideraciones de programación lineal para tener en cuenta son: Divisibilidad: todas las variables pueden asumir cualquier valor real Algunas actividades en el mundo real pueden variar de forma casi continua; es decir, son divisibles de manera infnita. Por ejemplo, la cantidad de carbón quemado por hora puede ajustarse para tomar cualquier valor, entero o fracción, dentro de límites razonables. Sin embargo, muchas actividades reales sólo pueden ocurrir en valores enteros, como el número de viajes de camión necesarios para trasladar una cierta carga de un lugar a otro. Si la actividad real no es divisible de forma infinita, pero el nivel normal de actividad es un número grande en términos de sus unidades de medición, entonces las consideraciones de divisibilidad pueden servir como una aproximación conveniente. Por lo general, esto significa que el valor de la solución para la actividad es de decenas o mayor. Los valores fraccionarios de la solución sólo se redondean al entero más cercano. Sin embargo, si el nivel normal de actividad es solución para garantizar que ésta sea entera. Página 4 de 8 Gestión de Operaciones José C. Urbina Yarupetan Condiciones de no negatividad: todas las variables son no negativas Esta consideración refleja la naturaleza de la mayor parte de las actividades del mundo real, en donde rara vez tiene sentido, dentro de un contexto económico o de ingeniería, hablar de niveles negativos de actividad. En el ejemplo, los niveles negativos de representarían una inversión del proceso para generar electricidad, es decir convertir la electricidad de nuevo en carbón. Función objetivo El objetivo de la gerencia consiste en maximizar la producción de electricidad de El Carbonerito. Ya que la electricidad se produce mediante vapor y existe una relación directa entre el vapor producido y la producción de electricidad, maximizar la producción de electricidad equivale a maximizar la producción de vapor. Por tanto, puede replantearse el objetivo de la gerencia como encontrar la combinación de combustible que maximice la producción de vapor. ¿Cuánto vapor se produce para cualquier cantidad arbitraria de carbón utilizada? Una forma simple y sistemática de determinar se muestra en la siguiente tabla: Carbón A B Producción de Vapor Valor Combustible (en kg/combustible usado en kg/h usados) (en t/h) 24,000 X1 20,000 X2 Valor producido 24,000X1 20,000X2 Cantidad total de vapor/h = 24,000X1 + 20,000X2 Es bastante engorroso escribir cantidades en millares; por ello, se expresará esta suma en escala por el factor de 1,000; es decir en vez de anotar el vapor producido en kilogramos, se expresará en unidades de 1,000 kg. Por tanto, el carbón A produce 24 unidades y el carbón B produce 20 unidades de vapor por media tonelada de combustible. En términos de estas nuevas unidades, la cantidad total de vapor producida por hora es: 24X1 + 20X2=Z Dirección de valores crecientes de Z Eje Y El lado izquierdo de la expresión (1) se denomina función objetivo, y Z es el valor de la función objetivo. Los coeficientes de las variables de decisión se denomina coeficiente de la función objetivo. El problema exige determinar valores de X1 y X2 que maximicen el valor de Z. tal como se aprecia en la figura, se muestra la función objetivo para valores arbitariosde Z, en forma de rectas de contorno de igual producción. (1) Z = 600 Z = 480 Z = 360 Z = 240 Eje X Página 5 de 8 Gestión de Operaciones José C. Urbina Yarupetan Obsérvese que en el espacio euclidiano bidimensional, cualquier valor dado de Z da una línea recta para la función objetivo. Conforme cambia el valor de Z, está línea recta se mueve paralela a sí misma. Por tanto, puede verse que la función objetivo es lineal. Linealidad: todas las relaciones entre variables sol lineales En programación lineal esto implica:  Proporcionalidad de las contribuciones: la contribución individual de cada variable es estrictamente proporcional a su valor; y el factor de proporcionalidad es constante para toda la gama de valores que la variable puede asumir.  Aditividad de las contribuciones: la contribución total de las variables es igual a la suma de las contribuciones individuales, sin importar los valores de las variables. Esto implica beneficios constantes a escala e impide economías o deseconomías de escala. En la práctica, esta condición posiblemente no se cumpla con exactitud; en particular para valores muy pequeños o muy grandes de los niveles de actividad. Sin embargo, si se cumple de forma aproximada dentro del intervalo normal de los valores de solución, es posible emplear el modelo de programación lineal como una aproximación conveniente y poderosa. Restricciones Además de las condiciones de no negatividad, los niveles de actividad están limitados por varias restricciones que pueden ser de naturaleza física, económica o legal. Restricciones a la emisión de partículas La cantidad máxima de humo por hora permitida en una planta está limitada a 12 kg. De acuerdo con el cuadro de producción de vapor, cada tonelada de carbón A produce 0.5 kg de humo y cada tonelada de carbón B produce 1 kg de humo. Si la planta quema X1 toneladas de carbón A y X2toneladas de carbón B, la cantidad total de humo emitida a partir de ambos tipos de carbón es igual a: 0.5X1 + X2 (kg/h) Esta suma no puede exceder 12 kg/h. Por tanto, se tiene la siguiente restricción de desigualdad: 0.5X1 + X2 ≤ 12 A los coeficientes de las variables del lado izquierdo del signo de desigualdad se les denomina límite de disponibilidad del recurso. En la figura siguiente se muestra la forma gráfica de esta restricción. (2) 30 O.5X1 + X2 > 12 20 Humo 10 O.5X1 + X2 = 12 O.5X1 + X2 < 12 0 10 20 30 Tomada por sí misma, la restricción de humo afecta los valores de las variables de decisión y hacen que queden restringidas aquellas combinaciones de X1 y X2 que están sobre Página 6 de 8 Gestión de Operaciones José C. Urbina Yarupetan la recta 0.5X1 + X2 = 12 ó a la izquierda y por debajo de la recta. A tal recta se le denomina medio espacio cerrado (cerrado porque incluye todas las fronteras). De nuevo puede observarse que la contribución individual de cada variable es estrictamente proporcional a su valor y que la contribución total a la emisión de humo es igual a la suma de las contribuciones individuales. Por tanto, la restricción satisface la consideración de linealidad. Restricción a las instalaciones de carga El sistema de banda transportadora que traslada el carbón de los depósitos al pulverizador, tiene una capacidad de 20 t/h. El número total de toneladas cargadas por hora es igual a la suma de las dos variables de decisión. Por tanto, la restricción de carga es: X1 + X2 ≤ 20 (3) Restricción a la unidad pulverizadora La capacidad máxima del pulverizador es 16 t/h para el carbón A o 24 t/h para el carbón B en otras palabras, tarda 1/16 en pulverizar una tonelada de carbón A y 1/24 del carbón B. Si la solución exige una combinación de ambos carbones, el tiempo que se tardará en pulverizar una mezcla de X1 tonelada de carbón A y X2 tonelada de carbón B. Por tanto, la restricción del pulverizador es: 1/16X1 + 1/24X2 ≤ 1 (4) Restricción a la emisión de óxido de azufre La emisión máxima de óxido de azufre no debe exceder de 3,000 PPM, en ningún momento. Dado que los dos tipos de carbón se queman de forma simultánea, se considera que la combinación X1 tonelada de carbón A y X2 toneladas de carbón B por hora, alimenta a la cámara de combustión como una mezcla homogénea. X1/(X1 + X2) de la mezcla es carbón A con una tasa de emisión de óxido de azufre de 1,800 PPM y X2/(X1 + X2) de dicha mezcla es carbón B, con una tasa de emisión de 3,800 PPM. La tasa de emisión de la mezcla es igual al promedio ponderado de las tasas individuales de emisión, en el que sirven como ponderaciones las fracciones utilizadas de cada carbón. Este promedio ponderado no puede exceder 3,000 PPM: Promedio ponderado de la tasa de emisión ≤ 3,000 o 1800(X1/(X1 + X2)) + 3,800(X1/(X1 + X2)) ≤ 3,000 Al multiplicar ambos lados de la desigualdad por (X1 + X2) y reordenar términos, se obtiene la estricción del azufre: 1,200X1 – 800X2 ≥ 0 Región factible Para que una solución sea admisible, una combinación de niveles de actividad debe satisfacer de forma simultánea a todas las restricciones, incluso las condiciones de no negatividad. A tal solución se le denomina solución factible al problema. El conjunto de todas las soluciones factibles forma la región factible. Una solución que no caiga en esta región es una solución no factible. En el gráfico que se muestran las cuatro restricciones y las Página 7 de 8 Gestión de Operaciones José C. Urbina Yarupetan condiciones de no negatividad en la misma gráfica. El análisis de las flechas muestra que sólo aquellas combinaciones de niveles de actividad que se encuentran en el área sombreada o en su frontera satisfacen simultáneamente todas las restricciones. Por tanto, esta área forma la región factible. X2 30 Pulverizador 20 Azufre 10 Carga Humo 0 10 20 30 X1 Página 8 de 8