Mécanique générale TD5

Génie Mécanique TD 5 : MECANIQUE GENERALE ET ANALYTIQUE SYSTEME DISQUE-NACELLE On considère un référentiel galiléen auquel on associe le repère orthonormé ℛ0 (𝑂, ⃗⃗⃗⃗ 𝑥0 , ⃗⃗⃗⃗ 𝑦0 , ⃗⃗⃗ 𝑧0 ). z0 y0 y1 x2 g a G1  G2 b A x1  G1 x0 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐺1 𝐴 = 𝑎𝑥 ⃗⃗⃗1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2 = 𝑏𝑧⃗⃗⃗0 𝐴𝐺 Caractéristiques du système mécanique Le système étudié est constitué de 2 solides : - un disque (𝑆1 ) de centre de gravité 𝐺1 , de masse 𝑚1 et d’inertie (autour de l’axe de révolution) 𝐼1 . - une "nacelle" (𝑆2 ) de centre de gravité 𝐺2 , de masse 𝑚2 et d’inertie (autour de l’axe de révolution) 𝐼2 . . Paramétrage On associe à (𝑆1 ) le paramétrage primitif (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , 1 , 𝜃1 , 𝜓1 ) où (𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 ) sont les coordonnées 𝑦0 et 𝑧⃗⃗⃗0 . du point 𝐺1 dans ℛ0 et ( 1 , 𝜃1 , 𝜓1 ) décrivent les rotations autour de ⃗⃗⃗⃗ 𝑥0 , ⃗⃗⃗⃗⃗ On associe à (𝑆2 ) le paramétrage primitif (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 , 2 , 𝜃2 , 𝜓2 ) où (𝑥2 , 𝑦2 , 𝑧2 ) sont les coordonnées du point 𝐴 dans ℛ0 et ( 2 , 𝜃2 , 𝜓2 ) décrivent les rotations autour de ⃗⃗⃗⃗ 𝑥0 , ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑦0 et ⃗⃗⃗ 𝑧0. Liaisons (𝑆1 ) est relié au repère ℛ0 par une liaison pivot située en G1 et d’axe vertical ⃗⃗⃗ 𝑧0 (liaison parfaite). (𝑆2 ) est relié au disque (𝑆1 ) par une liaison pivot située en A et d’axe vertical 𝑧⃗⃗⃗0 (liaison dissipative avec frottements visqueux, on appelle 𝑐 le coefficient de frottement visqueux). Efforts extérieurs donnés Le système est soumis aux actions du champ de pesanteur−𝑔 𝑧⃗⃗⃗0 . Conditions initiales On lance la nacelle (𝑆2 ) avec une vitesse initiale  alors que le disque est au repos (. Les frottements entre la nacelle et le disque entraînent ce dernier en rotation. 1 TD 5 MA Expressions torseurs cinématiques 1• In GI • 1%4=1%7%-1%3:{¥:} {%};ËÏ 1¥:L:-&} 42 . donc ;Ü%Ï} { } . UN A ie; # b- * A. Equations de liaisons Solide 2 solide pot fixe dans pro solide alors LY : 4- : on a : : avec 5- deux paramètrespourdécrire le motdu système : kif = " " "3- si "¥â " Raisi; " - e Expression ( if - i - f2 if ) torseur ext 83T {8*+1=1-(7+7) ÈÊ^fmgÊ)}→ g- 9E asinlziza-biy.io i. }àÜ"Ï+RâÊ+ uâïuâï } #÷} {naîtra "z→+u:&} MÊ= GI % . 2×3--6 Efforts exterieurs , acos ¥-0 5 liaisons hotomomes {Ça! G- , nbre d'équations Nbre de fr2,4, / 7) =D : 2 la A masse coproduit tnsanaynamiquesystème """ aie un moment et nanas vaut : :* miyagi {Us} :{ ËÈù} , , " . . . qq.zi.fm?+CI&'--?a%4faeors :{4,1:{&ëâ+î}* " " %Ï iii. à vie Î : - Gaïa mzajzry : mail.FI }Ü{ { donc %" cziim:{.aayigzI-nzasigItgilosqueiondai} [email protected] " , ÀÀ marin: - ckË+7à%)Ê miebiçiya ,àËÊ - m - ② fait donc le PFD en G. du (5+5) { &}; -4F}:{Æ→}+{¥+1 , RÉ Mai! Ra? - / msnaüz ensuite - , - / 2-zifz-E.IE -17%1--0 : ② { ¥} { d- →• - → . , R - " Ra - RÉ - } IEJ ! } 92--0 , d- donc : . Maif UÊ-bR mail; May Un? bRÂ=o CHI Yi )=IÜa - - - . alors : = - nzabit; CI , -17%4.2-14%-0 : { }à{ : Me,! + maga fait donc le PFD en 92 du § " ÏÊ→a¥¥ À :{JE , " . . 92 RÉ Cmztm )g -0 Me,Î= mzabiz - 92 . À " "¥5"&% }:{MÎ+9Ânàa}æ - . ,*O m F iH rg e En ę Z Ż CY LEY ? Ř L mz E T Y =Hg 4=Q P sa f2 zz /4 .). *9 B *{ az 7 % -Ø Å ç c clae o D 3 t=4 Iz a s 4 4, :4)= + = -4) j)z 4-4 nc u q eBar I4 -% = (4 ). -4 aj Jlzz Z ZY 0 0= E uis + tâ âj Eqde Lagrange 24 d = at ( 242 8- cinétique d EO ZEE CZTRâJPY oz ĘE C al alors to UgtUgt Ug Q virtuelle magb P Q Puissance R Qyz F i Q 24. =0 -=- de la liaison en = osJ QFar MarBaiq 11- Ha et ainsi car o G theztfCzo virtuelle de la liaison eNA ={ L '} * 1 ü C [% Jaz gçk La - k 7 Egp tout pown x E 24 = ( iEJ = B datCHE zqjFCF Cà ÅÝ CCÝ - Alors Iz 4 =0CC 2242. t Génie Mécanique Objectifs Décrire les équations de mouvement du système ainsi que les efforts transmis aux liaisons, à partir du principe fondamental de la dynamique (PFD). Retrouver les équations de mouvement du système à partir du principe des puissances virtuelles (équations de Lagrange). Réduction du paramétrage 1- Exprimer les torseurs cinématiques des liaisons en 𝐺1 et 𝐴 : {𝓥1⁄0 }𝐺1 = { ⃗⃗ 𝟏⁄0 𝛀 ⃗ 1⁄0 (𝐺1 ) 𝑽 } et {𝓥2⁄1 }𝐴 = { 𝐺1 ⃗⃗ 𝟐⁄1 𝛀 ⃗𝑽2⁄1 (𝐴) } 𝐴 ok 2- A partir des équations de liaisons, montrer qu’on peut retenir le paramétrage strict ( 𝜓1 , 𝜓2 ) pour décrire les équations de mouvement du système. Stratégie 3- Montrer (sans calculs) que le principe fondamental de la dynamique appliqué à (𝑆2 ) et à (𝑆1 + 𝑆2 ) permet de décrire les équations de mouvement du système et les efforts transmis aux liaisons. * Efforts extérieurs 4- Exprimer les torseurs des efforts de liaisons en 𝐺1 et 𝐴 : {𝓕𝟏 ℛ0 →𝑆1 }𝐺1 = { ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑹𝟏 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑴𝟏 (𝐺1 ) } et {𝓕𝟐𝑆1→𝑆2 }𝐴 = { 𝐺1 ⃗⃗⃗⃗⃗𝟐 𝑹 } ⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝟐 (𝐴) 𝑴 oh 𝐴 5- Exprimer le torseur des efforts extérieurs induit aux actions du champ de pesanteur−𝑔 𝑧⃗⃗⃗0 : Torseur dynamique 6- Exprimer les éléments de réduction des torseurs dynamiques de (𝑆2 ) et de (𝑆1 + 𝑆2 ). Principe fondamental de la dynamique 7- Appliquer le Principe fondamental de la dynamique à (𝑆2 ) et à (𝑆1 + 𝑆2 ). oh ok ok Principe des puissances virtuelles 8- Calculer l’énergie cinétique totale du système 𝑇(S1+S2)⁄ℛ0 . 9- Déterminer le potentiel 𝒰𝑔 associé au champ de pesanteur. ok 10- Calculer la puissance virtuelle des efforts de la liaison en 𝐺1 . ok ok 11- Calculer la puissance virtuelle des efforts de la liaison en 𝐴. En déduire les efforts généralisés associés.ok 12- Exprimer les équations du mouvement. ok . 13- Analyser l’évolution temporelle des mouvements du disque et de la nacelle. Puissance mutuelle 14- Exprimer la puissance dissipée dans la liaison entre le disque et la nacelle. 2 Génie Mécanique ANNEXE : RESOLUTION DES EQUATIONS DE MOUVEMENT (1) (I1 + m2.a²).°°1 + I2.°°2 = 0 (2) I2.°°2 - c(°1 - °2) = 0 °°1 +  °°2 = 0 avec  = I2 / (I1+m2.a²) °1 +  °2 = constante °1 +  °2 = °1(0) +  °2(0) °1 +  °2 =  °1 =  -  °2 (°1 - °2) = 1°2 Equation différentielle du premier ordre de type : X° + A X = B avec Solution particulière : X = °2 X = B/A Solution équation homogène : X = K exp(-At) X = K exp(-At) + B/A X(0) = °2(0) =   ° 2= d’où K = /(+1) /(+1) . ( + exp(-c(+1)t/I2)) °1 = /(+1) . (1 - exp(-c(+1)t/I2)) ALLER PLUS LOIN : SYSTEME ELASTIQUE ELEMENTAIRE Un système mécanique est constitué de 2 masses ponctuelles m situées en P1 et P2 et reliées par un ressort de raideur k et de longueur au repos 2r0. On lâche le système depuis une position initiale pour laquelle la longueur du ressort est différente de 2r0. Le système est soumis à la pesanteur. Pour décrire le mouvement, on introduit un repère mobile R1(G, u, v) tel que G(X, Y) correspond au milieu de P1P2 et u=P1P2/P1P2. La position P2 est repérée par GP2=r u et par l’angle  entre x0 et u. Calculer les équations de mouvement du système à partir du Principe Fondamental de la Dynamique, en utilisant le paramétrage (X, Y, , r). Retrouver les équations de mouvement du système à partir du Principe des Puissances Virtuelles (équations de Lagrange). 3