ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico. Curso 2018/2019 ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES PROGRAMA: 1. Introducción. Las ecuaciones en derivadas parciales. Introducción. Tipos principales: lineales, casi-lineales, no lineales. Ejemplos fundamentales de las ecuaciones lineales de segundo orden. 2. Métodos directos de resolución: el método de separación de variables. Descripción del método. Series de Fourier: resultados de convergencia. Aplicaciones. 3. La ecuación del calor unidimensional. Solución fundamental. El problema de Cauchy. El efecto regularizante. La unicidad: el principio del máximo. El problema de Cauchy para la ecuación no homogénea. 4. La ecuación de ondas unidimensional. Solución general. El problema de Cauchy: la fórmula de D’Alembert. La velocidad de propagación. El problema de Cauchy-Dirichlet. La unicidad: el método de la energı́a. El problema de Cauchy para la ecuación no homogénea: fórmula de Duhamel. 5. Las ecuaciones de Laplace y Poisson. El problema de Dirichlet. Identidades de Green. El principio del máximo: unicidad de solución del problema de Dirichlet. La solución fundamental, la fórmula de representación de Green y la función de Green. Resolución del problema de Dirichlet. El problema de Dirichlet para la ecuación de Poisson. BIBLIOGRAFÍA: 1. L.C. Evans –Partial Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, Vol. 19. AMS, 1991. 2. F. John – Partial differential equations, Springer-Verlag, 1982. 3. E. Pap, A. Takači, D. Takači – Partial Differential Equations through Examples and Exercises, Kluwer, 1997. 4. I. Peral Alonso – Primer Curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales, Addison Wesley/Universidad Autónoma de Madrid, 1995 y http://matematicas.uam.es/∼ireneo.peral/cursos.htm 5. R.E. Showalter – PDE Primer, http://www.ma.utexas.edu/users/show/ 6. H.F. Weinberger – Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales, Reverté, 1970. 1 PROFESORES: Grupo A: Juan Casado Dı́az, [email protected]. EDAN Despacho: módulo 33 (tercera planta) de la Facultad de Matemáticas. Tfno: 954557998. (Coordinador de la asignatura.) Grupo B: Pedro Marı́n Rubio, [email protected]. EDAN Despacho: módulo 33 (tercera planta) de la Facultad de Matemáticas. Tfno: 954559909. RESEÑA METODOLÓGICA: Esta asignatura se imparte en el primer cuatrimestre de cuarto curso del Grado en Matemáticas y consta de 6 créditos. Se desarrolla en cuatro horas semanales, en proporción aproximada de 2.5 horas de contenido fundamentalmente teórico y 1.5 horas de carácter práctico. Esencialmente, se pretende que el alumno adquiera conocimientos básicos (teóricos y prácticos) sobre las ecuaciones en derivadas parciales. Se estudia, como método general de resolución, el de separación de variables, con aplicación a diversos problemas homogéneos y no homogéneos. El énfasis fundamental se ha puesto en las ecuaciones del calor, de ondas y de Poisson, representantes “canónicos” de las EDPs lineales de segundo orden. Se mostrarán sus aplicaciones en problemas de naturaleza distinta. Se presentarán resultados de existencia, unicidad y dependencia continua respecto de los datos, que, en algunos casos, son constructivos. Se intenta también resaltar propiedades básicas de las soluciones de estas ecuaciones. Ası́, serán analizados el efecto regularizante de la ecuación del calor, la velocidad de propagación en la ecuación de ondas, la reversibilidad en el tiempo, etc. Dadas las herramientas que se utilizan en los temas que preceden, es necesario haber cursado la asignatura Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, y es muy conveniente haber cursado Diferenciación de Funciones de Varias Variables y Series de Funciones e Integral de Lebesgue. La presente asignatura se encuentra relacionada con las de Análisis Funcional y Ecuaciones en Derivadas Parciales, Análisis de Fourier, Modelización Matemática y Complementos de Optimización y Optimización Numérica. CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y CALIFICACIÓN: La calificación final en la primera convocatoria del curso se podrá obtener a través de dos vı́as: La primera vı́a consiste en la realización de un examen final teórico-práctico (convocatorias oficiales). La calificación la determinará la obtenida en dicha prueba. La segunda vı́a consiste en una evaluación continua. Ésta consta de al menos dos pruebas teóricoprácticas intermedias. La superación de estas pruebas permitirán al alumno aprobar la asignatura sin necesidad de realizar los exámenes de convocatorias oficiales. Se contempla la compensación de nota de las pruebas intermedias. Se valorará positivamente la asistencia y aprovechamiento de las clases teórico-prácticas, la realización de exposiciones en clase y la realización y entrega de cuestiones teórico-prácticas. En caso de no aprobar por esta segunda vı́a, si se ha obtenido una nota no inferior a 5 en alguna de las pruebas intermedias, ésta podrá ser eliminatoria en la primera convocatoria oficial. En las posteriores convocatorias oficiales del curso (Segunda y Tercera), la calificación será simplemente la obtenida en los correspondientes exámenes de la asignatura. 2