IRISAN KERUCUT

IRISAN KERUCUT Pengertian Irisan kerucut 1. Definisi Irisan Kerucut Irisan kerucut adalah sebuah bangun datar yang diperoleh dengan cara memotong kerucut lingkaran tegak berselimut ganda menurut aturan tertentu. 2. Macam – Macam Irisan Kerucut Berdasarkan letak bidang datar yang mengirisnya, maka irisan kerucut dapat berupa titik, garis, segitiga, lingkaran, parabola, elips, dan hiperbola. LINGKARAN Pengertian lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu. Titik tertentu disebut pusat lingkaran. Jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran. Menentukan Persamaan Lingkaran 1. Persamaan Lingkaran dengan Pusat O(0,0) dan Jari-jari r Perhatikan gambar di bawah ini ! Y Persamaan dalam x dan y yang memenuhi pada Gambar di samping adalah : r O P(x,y) x2 + y2 = r2 X Kedudukan titik P(x,y) terhadap lingkaran dapat terletak pada, di dalam, ataupun di luar limgkaran. Jika titik P(x,y) terletak pada lingkaran, maka berlaku x2 + y2 = r2. Jika titik P(x,y) terletak di dalam lingkaran, maka berlaku x2 + y2 < r2. Jika titik P(x,y) terletak di luar lingkaran, maka berlaku x2 + y2 > r2. Contoh: Tentukan persamaan lingkaran yang pusatnya O(0,0) dengan jari-jari 5 ! Jawab: x2 + y2 = r2 x2 + y2 = 52 x2 + y2 = 25 2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang memenuhi persamaan x2 + y2 = 5 ! Jawab: Pusat lingkaran x2 + y2 = 5 adalah (0,0). Jari-jari r2 = 5 berarti r = . 2. Persamaan Lingkaran dengan Pusat (a, b) dan Jari-jari r Y r (a,b) P(x,y) (x – a)2 + (y – b)2 = r2 b X O a Contoh: 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (3, 6) dan berjari-jari r = 7 ! Jawab: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x – 3)2 + (y – 6)2 = 72 (x – a)2 + (y – b)2 = 49 2. Suatu lingkaran yang berpusat di titik (-2, 1) melalui titik (4, 9). Tentukan persamaan lingkarannya ! Jawab: Jarak kedua titik merupakan jari-jari, maka : (4 + 2)2 + (9 – 1)2 = r2 62 + 82 = r2 r2 = 100 Persamaan lingkarannya : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 (x + 2)2 + (y – 1)2 = 100 3. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran Jika bentuk persamaan lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 kita jabarkan menjadi suku-suku yang paling sederhana, maka kita peroleh bentuk sebagai berikut : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 x 2 – 2ax + a2 + y 2 – 2by + b2 = r2 x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2 x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a2 + b2 - r2 = 0 atau ditulis : x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Dengan : Pusat lingkaran P(-A, -B) Jari-jari lingkaran r = Contoh: Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 + 6x + 4y – 3 = 0 ! Jawab: Pusat lingkaran = P(-A, -B) = P(-3, -2) Jari-jari lingkaran : r = Jadi, pusat P(-3, -2) dan jari-jari r = 4. 2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran 3x 2 + 3y 2 - 4x + 8y – 1 = 0 ! Jawab: 3x 2 + 3y 2 - 4x + 8y – 1 = 0 x 2 + y 2 - x + y –= 0 Pusat P(-A, -B) = P() = P() Jari-jari r = r = r = Persamaan Garis Singgung Lingkaran 1. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Pada Lingkaran dengan Pusat (0,0) Jika diketahui titik P(x1,y1) terletak pada lingkaran x2 + y2 = r2 maka persamaaan garis singgung di titik P(x1,y1) adalah : x1. x + y1. y = r2 Y r O P(x,y) X g Contoh: Sebuah lingkaran dengan persamaan x2 + y2 = 25. Titik (3, 4) pada lingkaran itu. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik (3, 4) ! Jawab: x1. x + y1. y = r2 3x + 4y = 25 2. Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Di Luar Lingkaran Persamaan garis singgung melalui titik di luar lingkaran O(0, 0) adalah : y = mx r P(a, b) Y O g2 X g1 Contoh: Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25 yang tegak lurus dengan garis 4x – 3y – 5 = 0 ! Jawab: Untuk x2 + y2 = 25, maka r = 5 Untuk 4x – 3y – 5 = 0, maka gradien m1 = Gradien garis singgung m2 = - Jadi, persamaan garis singgungnya adalah : y = m2x r y = -x 5 y = -x 5. y = -x + atau y = -x - 3. Persamaan Garis Singgung Pada Lingkaran dengan Pusat (a,b) dan bergradien m Persamaan garis singgung pada lingkaran dengan pusat (a,b) dan bergradien m dirumuskan sebagai berikut : y - b = m(x – a) r Contoh: Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (2,1) pada lingkaran x2 + y2 +2x –4y –5 = 0! Jawab: Pusat lingkaran x2 + y2 + 2x – 4y – 5 = 0 adalah P(-1, 2) dan jari-jari , maka persamaan garis singgungnya : (x1 – a)(x – a) + (y1 – b)(y – b) = r2 (2 + 1)(x + 1) + (1 – 2)(y – 2) = 10 3(x + 1) – 1(y – 2) = 10 3x + 3 – y + 2 = 10 3x – y = 5 Persamaan Garis Singgung Persekutuan Luar dan Dalam 1. Garis Singgung Persekutuan Luar (Sl) Q R O r P A Sl B d L2 L1 Panjang garis singgung persekutuan luar (Sl) antara dua lingkaran yang jari-jarinya R dan r dengan R > r, serta jarak antara kedua pusat lingkaran adalah d yaitu : Sl = Contoh: Diketahui lingkaran yang berpusat di P berjari-jari 4 cm dan lingkaran yang berpusat di Q berjari-jari 2 cm. PQ = 10 cm. Tentukan panjang garis singgung sekutu luarnya ! Jawab: T P Q S R Buat QT sejajar dengan SR Sl = QT = = = = 4cm. Garis Singgung Persekutuan Dalam (Sd) Q R O P r M Sd d N L2 L1 Panjang garis singgung persekutuan dalam (Sd) antara dua lingkaran yang jari-jarinya R dan r dengan R > r, serta jarak antara kedua pusat lingkaran adalah d yaitu : Sl = Contoh: Diketahui lingkaran dengan pusat O dan jari-jari 2 cm, lingkaran lain dengan pusat P dan jari-jari 1 cm, OP = 5 cm. Hitung panjang garis singgung sekutu dalamnya ! Jawab: S O P R Q Buat PS sejajar QR Sd = PS = = = = 4 cm ELIPS Pengertian Elips Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut adalah titik focus / titik api. Persamaan Elips 1. Persamaan Elips dengan Pusat P(0,0) Perhatikan gambar di bawah ini ! Pada Elips ada ketentuan bahwa a2-c2 = b2 sehingga dapat persamaan : atau b2x2 + a2y2 = a2b2 merupakan persamaan elips dengan pusat P(0,0) yang sumbu panjangnya 2b dan sejajar sumbu Y sedang sumbu pendeknya 2a dan sejajar sumbu X. Contoh : Tentukan persamaan elips dengan titik puncak (13,0) dan fokus F1(-12, 0) dan F2(12,0). Jawab : Diketahui pusat elips O(0,0) Titik puncak (13,0) a = 13 Titik fokus (-12,0) dan (12,0) c = 12 Sumbu utama adalah sumbu X, sehingga persamaannya: Persamaan Elips dengan Pusat P(,) Keterangan: merupakan persamaan elips dengan pusat (, ) yang sumbu panjangnya 2b dan sejajar sumbu Y sedang sumbu pendeknya 2a dan sejajar sumbu X. Contoh: Tentukan persamaan elips dengan fokus F1(1,3) dan F2(7,3) dan puncaknya (10,3). Jawab : Fokus (1,3) dan (7,3) = m-c = 1, m + c = 7 dengan eliminasi diperoleh m=4 dan c= 3 Pusat P (m,n) = P (4,3) m = 4 Puncak(10,3) m + a= 10 a= 6 b2 = a2 –c2 = 62 - 32 = 36 - 9 = 27 Sumbu utama y=3, sehingga persamaan elips menjadi: