Teoría de Valores Propios

Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Instituto de Ciencias Básicas e Ingenierı́a Área Académica de Matemáticas y Fı́sica ▲í♥❡❛ ❞❡ ✐♥✈❡st✐❣❛❝✐ó♥✿ ❊❝♦♥♦♠í❛ ② ❋✐♥❛♥③❛s ▼❛t❡♠át✐❝❛s Pr♦❣r❛♠❛ ❡❞✉❝❛t✐✈♦✿ ▼❛❡strí❛ ❡♥ ❈✐❡♥❝✐❛s ❡♥ ▼❛t❡♠át✐❝❛s ② s✉ ❉✐❞á❝t✐❝❛ ◆♦♠❜r❡ ❞❡ ❧❛ ❛s✐❣♥❛t✉r❛✿ ❖♣t❛t✐✈❛ ❞❡ ▼❛t❡♠át✐❝❛s ■ ✭➪❧❣❡❜r❛ ▲✐♥❡❛❧✮ ❚❡♠❛✿ ❚❡♦rí❛ ❞❡ ❱❛❧♦r❡s Pr♦♣✐♦s ❈✐❝❧♦✿ ❆❣♦st♦✲❉✐❝✐❡♠❜r❡ ❞❡ ✷✵✵✼✳ Pr♦❢❡s♦r✿ ❋❡r♥❛♥❞♦ ❇❛rr❡r❛ ▼♦r❛ ❚❡♠❛✿ ❚❡♦rí❛ ❞❡ ❱❛❧♦r❡s Pr♦♣✐♦s ❆❜str❛❝t✿ ■♥ t❤✐s ❧❡❝t✉r❡ ✐t ✐s s❤♦✇♥ ❤♦✇ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ t❤❡ ❡✐❣❡♥✈❛❧✉❡s ♦❢ ❛ ♠❛tr✐① ✇✐t❤♦✉t ✉s✐♥❣ ❞❡t❡r♠✐♥❛♥ts ❑❡②✇♦r❞s✿ ❊✐❣❡♥✈❛❧✉❡✱ ❊✐❣❡♥✈❡❝t♦r✱ ▼✐♥✐♠❛❧ P♦❧②♥♦♠✐❛❧✳ P❛❧❛❜r❛s ❝❧❛✈❡✿ ❱❛❧♦r❡s ♣r♦♣✐♦s✱ ❱❡❝t♦r❡s Pr♦♣✐♦s✱ P♦❧✐♥♦♠✐♦ ♠í♥✐♠♦ Eigenteorı́a sin determinantes Fernando Barrera Mora [email protected] Universidad Autónoma del Estado de Hidalgo Taller de álgebra lineal XVIII Semana Regional de Investigación y Docencia UNISON, 2008 b Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes I NTRODUCCI ÓN 1 ¿Cuáles son los problemas fundamentales en álgebra lineal? 2 Haciendo un análisis se llega a que dichos problemas son resolver las ecuaciones: AX = B, AX = λX (1) 3 ¿Qué conceptos y métodos son esenciales al resolverlos? 4 Desde los inicios, la teorı́a de los determinantes ha jugado un papel importante en su solución (Regla de Cramer, polinomio caracterı́stico). 5 Estudios recientes han mostrado que el concepto de independencia lineal es central al abordar dichos problemas. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes I NTRODUCCI ÓN 1 ¿Cuáles son los problemas fundamentales en álgebra lineal? 2 Haciendo un análisis se llega a que dichos problemas son resolver las ecuaciones: AX = B, AX = λX (1) 3 ¿Qué conceptos y métodos son esenciales al resolverlos? 4 Desde los inicios, la teorı́a de los determinantes ha jugado un papel importante en su solución (Regla de Cramer, polinomio caracterı́stico). 5 Estudios recientes han mostrado que el concepto de independencia lineal es central al abordar dichos problemas. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes I NTRODUCCI ÓN 1 ¿Cuáles son los problemas fundamentales en álgebra lineal? 2 Haciendo un análisis se llega a que dichos problemas son resolver las ecuaciones: AX = B, AX = λX (1) 3 ¿Qué conceptos y métodos son esenciales al resolverlos? 4 Desde los inicios, la teorı́a de los determinantes ha jugado un papel importante en su solución (Regla de Cramer, polinomio caracterı́stico). 5 Estudios recientes han mostrado que el concepto de independencia lineal es central al abordar dichos problemas. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes I NTRODUCCI ÓN 1 ¿Cuáles son los problemas fundamentales en álgebra lineal? 2 Haciendo un análisis se llega a que dichos problemas son resolver las ecuaciones: AX = B, AX = λX (1) 3 ¿Qué conceptos y métodos son esenciales al resolverlos? 4 Desde los inicios, la teorı́a de los determinantes ha jugado un papel importante en su solución (Regla de Cramer, polinomio caracterı́stico). 5 Estudios recientes han mostrado que el concepto de independencia lineal es central al abordar dichos problemas. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes I NTRODUCCI ÓN 1 ¿Cuáles son los problemas fundamentales en álgebra lineal? 2 Haciendo un análisis se llega a que dichos problemas son resolver las ecuaciones: AX = B, AX = λX (1) 3 ¿Qué conceptos y métodos son esenciales al resolverlos? 4 Desde los inicios, la teorı́a de los determinantes ha jugado un papel importante en su solución (Regla de Cramer, polinomio caracterı́stico). 5 Estudios recientes han mostrado que el concepto de independencia lineal es central al abordar dichos problemas. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes I NTRODUCCI ÓN 1 ¿Cuáles son los problemas fundamentales en álgebra lineal? 2 Haciendo un análisis se llega a que dichos problemas son resolver las ecuaciones: AX = B, AX = λX (1) 3 ¿Qué conceptos y métodos son esenciales al resolverlos? 4 Desde los inicios, la teorı́a de los determinantes ha jugado un papel importante en su solución (Regla de Cramer, polinomio caracterı́stico). 5 Estudios recientes han mostrado que el concepto de independencia lineal es central al abordar dichos problemas. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes L A ECUACI ÓN AX = B 1 2 Forma escalonada reducida y dependencia lineal Sistemas de ecuaciones y combinaciones linealeas 1 2 3 Los sistemas AX = B y x1 A1 + · · · + xn An = B son equivalentes. Otra interpretación geométrica de las soluciones. El rango fila y rango columna de A coinciden. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes L A ECUACI ÓN AX = B 1 2 Forma escalonada reducida y dependencia lineal Sistemas de ecuaciones y combinaciones linealeas 1 2 3 Los sistemas AX = B y x1 A1 + · · · + xn An = B son equivalentes. Otra interpretación geométrica de las soluciones. El rango fila y rango columna de A coinciden. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes L A ECUACI ÓN AX = B 1 2 Forma escalonada reducida y dependencia lineal Sistemas de ecuaciones y combinaciones linealeas 1 2 3 Los sistemas AX = B y x1 A1 + · · · + xn An = B son equivalentes. Otra interpretación geométrica de las soluciones. El rango fila y rango columna de A coinciden. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes L A ECUACI ÓN AX = B 1 2 Forma escalonada reducida y dependencia lineal Sistemas de ecuaciones y combinaciones linealeas 1 2 3 Los sistemas AX = B y x1 A1 + · · · + xn An = B son equivalentes. Otra interpretación geométrica de las soluciones. El rango fila y rango columna de A coinciden. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes L A ECUACI ÓN AX = B 1 2 Forma escalonada reducida y dependencia lineal Sistemas de ecuaciones y combinaciones linealeas 1 2 3 Los sistemas AX = B y x1 A1 + · · · + xn An = B son equivalentes. Otra interpretación geométrica de las soluciones. El rango fila y rango columna de A coinciden. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes L A ECUACI ÓN AX = B 1 2 Forma escalonada reducida y dependencia lineal Sistemas de ecuaciones y combinaciones linealeas 1 2 3 Los sistemas AX = B y x1 A1 + · · · + xn An = B son equivalentes. Otra interpretación geométrica de las soluciones. El rango fila y rango columna de A coinciden. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E L P ROBLEMA DE VALORES Y V ECTORES C ARACTER ÍSTICOS T EOREMA (Polinomio Mı́nimo) Si A es una matriz n × n, entonces existe un único polinomio de mı́nimo grado, mónico m(x) que satisface: m(A) = 0. Si f (x) es otro polinomio tal que f (A) = 0, entonces m(x) divide a f (x). deg (m(x)) ≤ n. D EMOSTRACI ÓN Existencia: sea {Y1 , . . . , Yn } una base de Rn , existe hi (x) polinomio tal que hi (A)Yi = 0, defina g(x) := h1 (x) · · · hn (x), entonces g(A) = 0. La segunda parte se prueba usando el algoritmo de la Fernando Barrera [email protected] sin determinantes divisi ón.Mora Esta parte implica laEigenteorı́a unicidad. E L P ROBLEMA DE VALORES Y V ECTORES C ARACTER ÍSTICOS T EOREMA (Polinomio Mı́nimo) Si A es una matriz n × n, entonces existe un único polinomio de mı́nimo grado, mónico m(x) que satisface: m(A) = 0. Si f (x) es otro polinomio tal que f (A) = 0, entonces m(x) divide a f (x). deg (m(x)) ≤ n. D EMOSTRACI ÓN Existencia: sea {Y1 , . . . , Yn } una base de Rn , existe hi (x) polinomio tal que hi (A)Yi = 0, defina g(x) := h1 (x) · · · hn (x), entonces g(A) = 0. La segunda parte se prueba usando el algoritmo de la Fernando Barrera [email protected] sin determinantes divisi ón.Mora Esta parte implica laEigenteorı́a unicidad. E L P ROBLEMA DE VALORES Y V ECTORES C ARACTER ÍSTICOS T EOREMA (Polinomio Mı́nimo) Si A es una matriz n × n, entonces existe un único polinomio de mı́nimo grado, mónico m(x) que satisface: m(A) = 0. Si f (x) es otro polinomio tal que f (A) = 0, entonces m(x) divide a f (x). deg (m(x)) ≤ n. D EMOSTRACI ÓN Existencia: sea {Y1 , . . . , Yn } una base de Rn , existe hi (x) polinomio tal que hi (A)Yi = 0, defina g(x) := h1 (x) · · · hn (x), entonces g(A) = 0. La segunda parte se prueba usando el algoritmo de la Fernando Barrera [email protected] sin determinantes divisi ón.Mora Esta parte implica laEigenteorı́a unicidad. E L P ROBLEMA DE VALORES Y V ECTORES C ARACTER ÍSTICOS T EOREMA (Polinomio Mı́nimo) Si A es una matriz n × n, entonces existe un único polinomio de mı́nimo grado, mónico m(x) que satisface: m(A) = 0. Si f (x) es otro polinomio tal que f (A) = 0, entonces m(x) divide a f (x). deg (m(x)) ≤ n. D EMOSTRACI ÓN Existencia: sea {Y1 , . . . , Yn } una base de Rn , existe hi (x) polinomio tal que hi (A)Yi = 0, defina g(x) := h1 (x) · · · hn (x), entonces g(A) = 0. La segunda parte se prueba usando el algoritmo de la Fernando Barrera [email protected] sin determinantes divisi ón.Mora Esta parte implica laEigenteorı́a unicidad. E L P ROBLEMA DE VALORES Y V ECTORES C ARACTER ÍSTICOS T EOREMA (Polinomio Mı́nimo) Si A es una matriz n × n, entonces existe un único polinomio de mı́nimo grado, mónico m(x) que satisface: m(A) = 0. Si f (x) es otro polinomio tal que f (A) = 0, entonces m(x) divide a f (x). deg (m(x)) ≤ n. D EMOSTRACI ÓN Existencia: sea {Y1 , . . . , Yn } una base de Rn , existe hi (x) polinomio tal que hi (A)Yi = 0, defina g(x) := h1 (x) · · · hn (x), entonces g(A) = 0. La segunda parte se prueba usando el algoritmo de la Fernando Barrera [email protected] sin determinantes divisi ón.Mora Esta parte implica laEigenteorı́a unicidad. E L P ROBLEMA DE VALORES Y V ECTORES C ARACTER ÍSTICOS T EOREMA (Polinomio Mı́nimo) Si A es una matriz n × n, entonces existe un único polinomio de mı́nimo grado, mónico m(x) que satisface: m(A) = 0. Si f (x) es otro polinomio tal que f (A) = 0, entonces m(x) divide a f (x). deg (m(x)) ≤ n. D EMOSTRACI ÓN Existencia: sea {Y1 , . . . , Yn } una base de Rn , existe hi (x) polinomio tal que hi (A)Yi = 0, defina g(x) := h1 (x) · · · hn (x), entonces g(A) = 0. La segunda parte se prueba usando el algoritmo de la Fernando Barrera [email protected] sin determinantes divisi ón.Mora Esta parte implica laEigenteorı́a unicidad. E L P ROBLEMA DE VALORES Y V ECTORES C ARACTER ÍSTICOS T EOREMA (Polinomio Mı́nimo) Si A es una matriz n × n, entonces existe un único polinomio de mı́nimo grado, mónico m(x) que satisface: m(A) = 0. Si f (x) es otro polinomio tal que f (A) = 0, entonces m(x) divide a f (x). deg (m(x)) ≤ n. D EMOSTRACI ÓN Existencia: sea {Y1 , . . . , Yn } una base de Rn , existe hi (x) polinomio tal que hi (A)Yi = 0, defina g(x) := h1 (x) · · · hn (x), entonces g(A) = 0. La segunda parte se prueba usando el algoritmo de la Fernando Barrera [email protected] sin determinantes divisi ón.Mora Esta parte implica laEigenteorı́a unicidad. E L P ROBLEMA DE VALORES Y V ECTORES C ARACTER ÍSTICOS T EOREMA (Polinomio Mı́nimo) Si A es una matriz n × n, entonces existe un único polinomio de mı́nimo grado, mónico m(x) que satisface: m(A) = 0. Si f (x) es otro polinomio tal que f (A) = 0, entonces m(x) divide a f (x). deg (m(x)) ≤ n. D EMOSTRACI ÓN Existencia: sea {Y1 , . . . , Yn } una base de Rn , existe hi (x) polinomio tal que hi (A)Yi = 0, defina g(x) := h1 (x) · · · hn (x), entonces g(A) = 0. La segunda parte se prueba usando el algoritmo de la Fernando Barrera [email protected] sin determinantes divisi ón.Mora Esta parte implica laEigenteorı́a unicidad. E L P ROBLEMA DE VALORES Y V ECTORES C ARACTER ÍSTICOS T EOREMA (Polinomio Mı́nimo) Si A es una matriz n × n, entonces existe un único polinomio de mı́nimo grado, mónico m(x) que satisface: m(A) = 0. Si f (x) es otro polinomio tal que f (A) = 0, entonces m(x) divide a f (x). deg (m(x)) ≤ n. D EMOSTRACI ÓN Existencia: sea {Y1 , . . . , Yn } una base de Rn , existe hi (x) polinomio tal que hi (A)Yi = 0, defina g(x) := h1 (x) · · · hn (x), entonces g(A) = 0. La segunda parte se prueba usando el algoritmo de la Fernando Barrera [email protected] sin determinantes divisi ón.Mora Esta parte implica laEigenteorı́a unicidad. E L P ROBLEMA DE VALORES Y V ECTORES C ARACTER ÍSTICOS T EOREMA (Polinomio Mı́nimo) Si A es una matriz n × n, entonces existe un único polinomio de mı́nimo grado, mónico m(x) que satisface: m(A) = 0. Si f (x) es otro polinomio tal que f (A) = 0, entonces m(x) divide a f (x). deg (m(x)) ≤ n. D EMOSTRACI ÓN Existencia: sea {Y1 , . . . , Yn } una base de Rn , existe hi (x) polinomio tal que hi (A)Yi = 0, defina g(x) := h1 (x) · · · hn (x), entonces g(A) = 0. La segunda parte se prueba usando el algoritmo de la Fernando Barrera [email protected] sin determinantes divisi ón.Mora Esta parte implica laEigenteorı́a unicidad. E L P ROBLEMA DE VALORES Y V ECTORES C ARACTER ÍSTICOS T EOREMA (Polinomio Mı́nimo) Si A es una matriz n × n, entonces existe un único polinomio de mı́nimo grado, mónico m(x) que satisface: m(A) = 0. Si f (x) es otro polinomio tal que f (A) = 0, entonces m(x) divide a f (x). deg (m(x)) ≤ n. D EMOSTRACI ÓN Existencia: sea {Y1 , . . . , Yn } una base de Rn , existe hi (x) polinomio tal que hi (A)Yi = 0, defina g(x) := h1 (x) · · · hn (x), entonces g(A) = 0. La segunda parte se prueba usando el algoritmo de la Fernando Barrera [email protected] sin determinantes divisi ón.Mora Esta parte implica laEigenteorı́a unicidad. E L P ROBLEMA DE VALORES Y V ECTORES C ARACTER ÍSTICOS T EOREMA (Polinomio Mı́nimo) Si A es una matriz n × n, entonces existe un único polinomio de mı́nimo grado, mónico m(x) que satisface: m(A) = 0. Si f (x) es otro polinomio tal que f (A) = 0, entonces m(x) divide a f (x). deg (m(x)) ≤ n. D EMOSTRACI ÓN Existencia: sea {Y1 , . . . , Yn } una base de Rn , existe hi (x) polinomio tal que hi (A)Yi = 0, defina g(x) := h1 (x) · · · hn (x), entonces g(A) = 0. La segunda parte se prueba usando el algoritmo de la Fernando Barrera [email protected] sin determinantes divisi ón.Mora Esta parte implica laEigenteorı́a unicidad. E L P ROBLEMA DE VALORES Y V ECTORES C ARACTER ÍSTICOS T EOREMA (Polinomio Mı́nimo) Si A es una matriz n × n, entonces existe un único polinomio de mı́nimo grado, mónico m(x) que satisface: m(A) = 0. Si f (x) es otro polinomio tal que f (A) = 0, entonces m(x) divide a f (x). deg (m(x)) ≤ n. D EMOSTRACI ÓN Existencia: sea {Y1 , . . . , Yn } una base de Rn , existe hi (x) polinomio tal que hi (A)Yi = 0, defina g(x) := h1 (x) · · · hn (x), entonces g(A) = 0. La segunda parte se prueba usando el algoritmo de la Fernando Barrera [email protected] sin determinantes divisi ón.Mora Esta parte implica laEigenteorı́a unicidad. E L P ROBLEMA DE VALORES Y V ECTORES C ARACTER ÍSTICOS T EOREMA (Polinomio Mı́nimo) Si A es una matriz n × n, entonces existe un único polinomio de mı́nimo grado, mónico m(x) que satisface: m(A) = 0. Si f (x) es otro polinomio tal que f (A) = 0, entonces m(x) divide a f (x). deg (m(x)) ≤ n. D EMOSTRACI ÓN Existencia: sea {Y1 , . . . , Yn } una base de Rn , existe hi (x) polinomio tal que hi (A)Yi = 0, defina g(x) := h1 (x) · · · hn (x), entonces g(A) = 0. La segunda parte se prueba usando el algoritmo de la Fernando Barrera [email protected] sin determinantes divisi ón.Mora Esta parte implica laEigenteorı́a unicidad. C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN L EMA Si A es una matriz n × n, y W es un subespacio A-invariante de dimensión positiva, entonces existe un polinomio g(x) de grado ≤ n − dim(W ), que satisface g(A)(Rn ) ⊆ W . D EMOSTRACI ÓN Pongamos dim(W ) = n − r , 0 ≤ r < n. Aplicaremos inducción sobre r . Si r = 0, entonces W = V y cualquier polinomio constante 6= 0 funciona. Si r = 1, entonces dim(W ) = n − 1. Sean, {X1 , . . . , Xn−1 } una base de W y Y tal que {X1 , . . . , Xn−1 , Y } es base de Rn , entonces AY = Z + cY , para algún c ∈ R y Z ∈ W . De esto se concluye que (A − cI)(Rn ) ⊆ W . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN L EMA Si A es una matriz n × n, y W es un subespacio A-invariante de dimensión positiva, entonces existe un polinomio g(x) de grado ≤ n − dim(W ), que satisface g(A)(Rn ) ⊆ W . D EMOSTRACI ÓN Pongamos dim(W ) = n − r , 0 ≤ r < n. Aplicaremos inducción sobre r . Si r = 0, entonces W = V y cualquier polinomio constante 6= 0 funciona. Si r = 1, entonces dim(W ) = n − 1. Sean, {X1 , . . . , Xn−1 } una base de W y Y tal que {X1 , . . . , Xn−1 , Y } es base de Rn , entonces AY = Z + cY , para algún c ∈ R y Z ∈ W . De esto se concluye que (A − cI)(Rn ) ⊆ W . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN L EMA Si A es una matriz n × n, y W es un subespacio A-invariante de dimensión positiva, entonces existe un polinomio g(x) de grado ≤ n − dim(W ), que satisface g(A)(Rn ) ⊆ W . D EMOSTRACI ÓN Pongamos dim(W ) = n − r , 0 ≤ r < n. Aplicaremos inducción sobre r . Si r = 0, entonces W = V y cualquier polinomio constante 6= 0 funciona. Si r = 1, entonces dim(W ) = n − 1. Sean, {X1 , . . . , Xn−1 } una base de W y Y tal que {X1 , . . . , Xn−1 , Y } es base de Rn , entonces AY = Z + cY , para algún c ∈ R y Z ∈ W . De esto se concluye que (A − cI)(Rn ) ⊆ W . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN L EMA Si A es una matriz n × n, y W es un subespacio A-invariante de dimensión positiva, entonces existe un polinomio g(x) de grado ≤ n − dim(W ), que satisface g(A)(Rn ) ⊆ W . D EMOSTRACI ÓN Pongamos dim(W ) = n − r , 0 ≤ r < n. Aplicaremos inducción sobre r . Si r = 0, entonces W = V y cualquier polinomio constante 6= 0 funciona. Si r = 1, entonces dim(W ) = n − 1. Sean, {X1 , . . . , Xn−1 } una base de W y Y tal que {X1 , . . . , Xn−1 , Y } es base de Rn , entonces AY = Z + cY , para algún c ∈ R y Z ∈ W . De esto se concluye que (A − cI)(Rn ) ⊆ W . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN L EMA Si A es una matriz n × n, y W es un subespacio A-invariante de dimensión positiva, entonces existe un polinomio g(x) de grado ≤ n − dim(W ), que satisface g(A)(Rn ) ⊆ W . D EMOSTRACI ÓN Pongamos dim(W ) = n − r , 0 ≤ r < n. Aplicaremos inducción sobre r . Si r = 0, entonces W = V y cualquier polinomio constante 6= 0 funciona. Si r = 1, entonces dim(W ) = n − 1. Sean, {X1 , . . . , Xn−1 } una base de W y Y tal que {X1 , . . . , Xn−1 , Y } es base de Rn , entonces AY = Z + cY , para algún c ∈ R y Z ∈ W . De esto se concluye que (A − cI)(Rn ) ⊆ W . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN L EMA Si A es una matriz n × n, y W es un subespacio A-invariante de dimensión positiva, entonces existe un polinomio g(x) de grado ≤ n − dim(W ), que satisface g(A)(Rn ) ⊆ W . D EMOSTRACI ÓN Pongamos dim(W ) = n − r , 0 ≤ r < n. Aplicaremos inducción sobre r . Si r = 0, entonces W = V y cualquier polinomio constante 6= 0 funciona. Si r = 1, entonces dim(W ) = n − 1. Sean, {X1 , . . . , Xn−1 } una base de W y Y tal que {X1 , . . . , Xn−1 , Y } es base de Rn , entonces AY = Z + cY , para algún c ∈ R y Z ∈ W . De esto se concluye que (A − cI)(Rn ) ⊆ W . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN L EMA Si A es una matriz n × n, y W es un subespacio A-invariante de dimensión positiva, entonces existe un polinomio g(x) de grado ≤ n − dim(W ), que satisface g(A)(Rn ) ⊆ W . D EMOSTRACI ÓN Pongamos dim(W ) = n − r , 0 ≤ r < n. Aplicaremos inducción sobre r . Si r = 0, entonces W = V y cualquier polinomio constante 6= 0 funciona. Si r = 1, entonces dim(W ) = n − 1. Sean, {X1 , . . . , Xn−1 } una base de W y Y tal que {X1 , . . . , Xn−1 , Y } es base de Rn , entonces AY = Z + cY , para algún c ∈ R y Z ∈ W . De esto se concluye que (A − cI)(Rn ) ⊆ W . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN L EMA Si A es una matriz n × n, y W es un subespacio A-invariante de dimensión positiva, entonces existe un polinomio g(x) de grado ≤ n − dim(W ), que satisface g(A)(Rn ) ⊆ W . D EMOSTRACI ÓN Pongamos dim(W ) = n − r , 0 ≤ r < n. Aplicaremos inducción sobre r . Si r = 0, entonces W = V y cualquier polinomio constante 6= 0 funciona. Si r = 1, entonces dim(W ) = n − 1. Sean, {X1 , . . . , Xn−1 } una base de W y Y tal que {X1 , . . . , Xn−1 , Y } es base de Rn , entonces AY = Z + cY , para algún c ∈ R y Z ∈ W . De esto se concluye que (A − cI)(Rn ) ⊆ W . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN L EMA Si A es una matriz n × n, y W es un subespacio A-invariante de dimensión positiva, entonces existe un polinomio g(x) de grado ≤ n − dim(W ), que satisface g(A)(Rn ) ⊆ W . D EMOSTRACI ÓN Pongamos dim(W ) = n − r , 0 ≤ r < n. Aplicaremos inducción sobre r . Si r = 0, entonces W = V y cualquier polinomio constante 6= 0 funciona. Si r = 1, entonces dim(W ) = n − 1. Sean, {X1 , . . . , Xn−1 } una base de W y Y tal que {X1 , . . . , Xn−1 , Y } es base de Rn , entonces AY = Z + cY , para algún c ∈ R y Z ∈ W . De esto se concluye que (A − cI)(Rn ) ⊆ W . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN L EMA Si A es una matriz n × n, y W es un subespacio A-invariante de dimensión positiva, entonces existe un polinomio g(x) de grado ≤ n − dim(W ), que satisface g(A)(Rn ) ⊆ W . D EMOSTRACI ÓN Pongamos dim(W ) = n − r , 0 ≤ r < n. Aplicaremos inducción sobre r . Si r = 0, entonces W = V y cualquier polinomio constante 6= 0 funciona. Si r = 1, entonces dim(W ) = n − 1. Sean, {X1 , . . . , Xn−1 } una base de W y Y tal que {X1 , . . . , Xn−1 , Y } es base de Rn , entonces AY = Z + cY , para algún c ∈ R y Z ∈ W . De esto se concluye que (A − cI)(Rn ) ⊆ W . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN L EMA Si A es una matriz n × n, y W es un subespacio A-invariante de dimensión positiva, entonces existe un polinomio g(x) de grado ≤ n − dim(W ), que satisface g(A)(Rn ) ⊆ W . D EMOSTRACI ÓN Pongamos dim(W ) = n − r , 0 ≤ r < n. Aplicaremos inducción sobre r . Si r = 0, entonces W = V y cualquier polinomio constante 6= 0 funciona. Si r = 1, entonces dim(W ) = n − 1. Sean, {X1 , . . . , Xn−1 } una base de W y Y tal que {X1 , . . . , Xn−1 , Y } es base de Rn , entonces AY = Z + cY , para algún c ∈ R y Z ∈ W . De esto se concluye que (A − cI)(Rn ) ⊆ W . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Supongamos r > 1 y sea X ∈ Rn \ W ; existe un polinomio g1 (x) de mı́nimo grado tal que g1 (A)X ∈ W . Sea, l := deg(g1 (x)) y W1 = L({X , AX , . . . , Al−1 X }). La minimalidad de l garantiza: {X , AX , . . . , Al−1 X } es l.i. W ∩ W1 = {0}. También se tiene que W + W1 es A-invariante y dim(W + W1 ) = n − r1 > dim(W ) = n − r . Por hipótesis de inducción, existe g2 (x) de grado ≤ n − dim(W + W1 ) tal que g2 (A)(Rn ) ⊆ W + W1 . De lo anterior g1 (A)g2 (A)(Rn ) ⊆ g1 (A)(W + W1 ) ⊆ W y deg(g1 g2 ) = deg(g1 ) + deg(g2 ) ≤ deg(g1 ) + n − dim(W + W1 ) = n − dim(W ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Supongamos r > 1 y sea X ∈ Rn \ W ; existe un polinomio g1 (x) de mı́nimo grado tal que g1 (A)X ∈ W . Sea, l := deg(g1 (x)) y W1 = L({X , AX , . . . , Al−1 X }). La minimalidad de l garantiza: {X , AX , . . . , Al−1 X } es l.i. W ∩ W1 = {0}. También se tiene que W + W1 es A-invariante y dim(W + W1 ) = n − r1 > dim(W ) = n − r . Por hipótesis de inducción, existe g2 (x) de grado ≤ n − dim(W + W1 ) tal que g2 (A)(Rn ) ⊆ W + W1 . De lo anterior g1 (A)g2 (A)(Rn ) ⊆ g1 (A)(W + W1 ) ⊆ W y deg(g1 g2 ) = deg(g1 ) + deg(g2 ) ≤ deg(g1 ) + n − dim(W + W1 ) = n − dim(W ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Supongamos r > 1 y sea X ∈ Rn \ W ; existe un polinomio g1 (x) de mı́nimo grado tal que g1 (A)X ∈ W . Sea, l := deg(g1 (x)) y W1 = L({X , AX , . . . , Al−1 X }). La minimalidad de l garantiza: {X , AX , . . . , Al−1 X } es l.i. W ∩ W1 = {0}. También se tiene que W + W1 es A-invariante y dim(W + W1 ) = n − r1 > dim(W ) = n − r . Por hipótesis de inducción, existe g2 (x) de grado ≤ n − dim(W + W1 ) tal que g2 (A)(Rn ) ⊆ W + W1 . De lo anterior g1 (A)g2 (A)(Rn ) ⊆ g1 (A)(W + W1 ) ⊆ W y deg(g1 g2 ) = deg(g1 ) + deg(g2 ) ≤ deg(g1 ) + n − dim(W + W1 ) = n − dim(W ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Supongamos r > 1 y sea X ∈ Rn \ W ; existe un polinomio g1 (x) de mı́nimo grado tal que g1 (A)X ∈ W . Sea, l := deg(g1 (x)) y W1 = L({X , AX , . . . , Al−1 X }). La minimalidad de l garantiza: {X , AX , . . . , Al−1 X } es l.i. W ∩ W1 = {0}. También se tiene que W + W1 es A-invariante y dim(W + W1 ) = n − r1 > dim(W ) = n − r . Por hipótesis de inducción, existe g2 (x) de grado ≤ n − dim(W + W1 ) tal que g2 (A)(Rn ) ⊆ W + W1 . De lo anterior g1 (A)g2 (A)(Rn ) ⊆ g1 (A)(W + W1 ) ⊆ W y deg(g1 g2 ) = deg(g1 ) + deg(g2 ) ≤ deg(g1 ) + n − dim(W + W1 ) = n − dim(W ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Supongamos r > 1 y sea X ∈ Rn \ W ; existe un polinomio g1 (x) de mı́nimo grado tal que g1 (A)X ∈ W . Sea, l := deg(g1 (x)) y W1 = L({X , AX , . . . , Al−1 X }). La minimalidad de l garantiza: {X , AX , . . . , Al−1 X } es l.i. W ∩ W1 = {0}. También se tiene que W + W1 es A-invariante y dim(W + W1 ) = n − r1 > dim(W ) = n − r . Por hipótesis de inducción, existe g2 (x) de grado ≤ n − dim(W + W1 ) tal que g2 (A)(Rn ) ⊆ W + W1 . De lo anterior g1 (A)g2 (A)(Rn ) ⊆ g1 (A)(W + W1 ) ⊆ W y deg(g1 g2 ) = deg(g1 ) + deg(g2 ) ≤ deg(g1 ) + n − dim(W + W1 ) = n − dim(W ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Supongamos r > 1 y sea X ∈ Rn \ W ; existe un polinomio g1 (x) de mı́nimo grado tal que g1 (A)X ∈ W . Sea, l := deg(g1 (x)) y W1 = L({X , AX , . . . , Al−1 X }). La minimalidad de l garantiza: {X , AX , . . . , Al−1 X } es l.i. W ∩ W1 = {0}. También se tiene que W + W1 es A-invariante y dim(W + W1 ) = n − r1 > dim(W ) = n − r . Por hipótesis de inducción, existe g2 (x) de grado ≤ n − dim(W + W1 ) tal que g2 (A)(Rn ) ⊆ W + W1 . De lo anterior g1 (A)g2 (A)(Rn ) ⊆ g1 (A)(W + W1 ) ⊆ W y deg(g1 g2 ) = deg(g1 ) + deg(g2 ) ≤ deg(g1 ) + n − dim(W + W1 ) = n − dim(W ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Supongamos r > 1 y sea X ∈ Rn \ W ; existe un polinomio g1 (x) de mı́nimo grado tal que g1 (A)X ∈ W . Sea, l := deg(g1 (x)) y W1 = L({X , AX , . . . , Al−1 X }). La minimalidad de l garantiza: {X , AX , . . . , Al−1 X } es l.i. W ∩ W1 = {0}. También se tiene que W + W1 es A-invariante y dim(W + W1 ) = n − r1 > dim(W ) = n − r . Por hipótesis de inducción, existe g2 (x) de grado ≤ n − dim(W + W1 ) tal que g2 (A)(Rn ) ⊆ W + W1 . De lo anterior g1 (A)g2 (A)(Rn ) ⊆ g1 (A)(W + W1 ) ⊆ W y deg(g1 g2 ) = deg(g1 ) + deg(g2 ) ≤ deg(g1 ) + n − dim(W + W1 ) = n − dim(W ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Supongamos r > 1 y sea X ∈ Rn \ W ; existe un polinomio g1 (x) de mı́nimo grado tal que g1 (A)X ∈ W . Sea, l := deg(g1 (x)) y W1 = L({X , AX , . . . , Al−1 X }). La minimalidad de l garantiza: {X , AX , . . . , Al−1 X } es l.i. W ∩ W1 = {0}. También se tiene que W + W1 es A-invariante y dim(W + W1 ) = n − r1 > dim(W ) = n − r . Por hipótesis de inducción, existe g2 (x) de grado ≤ n − dim(W + W1 ) tal que g2 (A)(Rn ) ⊆ W + W1 . De lo anterior g1 (A)g2 (A)(Rn ) ⊆ g1 (A)(W + W1 ) ⊆ W y deg(g1 g2 ) = deg(g1 ) + deg(g2 ) ≤ deg(g1 ) + n − dim(W + W1 ) = n − dim(W ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Supongamos r > 1 y sea X ∈ Rn \ W ; existe un polinomio g1 (x) de mı́nimo grado tal que g1 (A)X ∈ W . Sea, l := deg(g1 (x)) y W1 = L({X , AX , . . . , Al−1 X }). La minimalidad de l garantiza: {X , AX , . . . , Al−1 X } es l.i. W ∩ W1 = {0}. También se tiene que W + W1 es A-invariante y dim(W + W1 ) = n − r1 > dim(W ) = n − r . Por hipótesis de inducción, existe g2 (x) de grado ≤ n − dim(W + W1 ) tal que g2 (A)(Rn ) ⊆ W + W1 . De lo anterior g1 (A)g2 (A)(Rn ) ⊆ g1 (A)(W + W1 ) ⊆ W y deg(g1 g2 ) = deg(g1 ) + deg(g2 ) ≤ deg(g1 ) + n − dim(W + W1 ) = n − dim(W ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Supongamos r > 1 y sea X ∈ Rn \ W ; existe un polinomio g1 (x) de mı́nimo grado tal que g1 (A)X ∈ W . Sea, l := deg(g1 (x)) y W1 = L({X , AX , . . . , Al−1 X }). La minimalidad de l garantiza: {X , AX , . . . , Al−1 X } es l.i. W ∩ W1 = {0}. También se tiene que W + W1 es A-invariante y dim(W + W1 ) = n − r1 > dim(W ) = n − r . Por hipótesis de inducción, existe g2 (x) de grado ≤ n − dim(W + W1 ) tal que g2 (A)(Rn ) ⊆ W + W1 . De lo anterior g1 (A)g2 (A)(Rn ) ⊆ g1 (A)(W + W1 ) ⊆ W y deg(g1 g2 ) = deg(g1 ) + deg(g2 ) ≤ deg(g1 ) + n − dim(W + W1 ) = n − dim(W ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Aplicaremos inducción sobre n. Si n = 1, entonces para cualquier X 6= 0 se tiene AX = cX , por lo que A − cI es la matriz cero. Supongamos n > 1, y el resultado cierto para todos los espacios vectoriales de dimensión < n. Sea X 6= 0, entonces a0 X + a1 AX + · · · + an An X = 0, con algún ai 6= 0. Sea A1 = a0 I + a1 A + · · · + an An y N su núcleo, el cual es A-invariante. Si N = Rn , hemos terminado. Si N 6= Rn , entonces la restricción de A a N satisface la conclusión (deg(h) ≤ dim(N), h polinomio mı́nimo de la restricción.) Por el lema, existe un polinomio g1 (x) de grado a lo más n − dim(N) tal que g1 (A)(Rn ) ⊆ N. De lo anterior se concluye h(A)g1 (A)(Rn ) = 0 y deg(hg1 ) ≤ n. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Aplicaremos inducción sobre n. Si n = 1, entonces para cualquier X 6= 0 se tiene AX = cX , por lo que A − cI es la matriz cero. Supongamos n > 1, y el resultado cierto para todos los espacios vectoriales de dimensión < n. Sea X 6= 0, entonces a0 X + a1 AX + · · · + an An X = 0, con algún ai 6= 0. Sea A1 = a0 I + a1 A + · · · + an An y N su núcleo, el cual es A-invariante. Si N = Rn , hemos terminado. Si N 6= Rn , entonces la restricción de A a N satisface la conclusión (deg(h) ≤ dim(N), h polinomio mı́nimo de la restricción.) Por el lema, existe un polinomio g1 (x) de grado a lo más n − dim(N) tal que g1 (A)(Rn ) ⊆ N. De lo anterior se concluye h(A)g1 (A)(Rn ) = 0 y deg(hg1 ) ≤ n. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Aplicaremos inducción sobre n. Si n = 1, entonces para cualquier X 6= 0 se tiene AX = cX , por lo que A − cI es la matriz cero. Supongamos n > 1, y el resultado cierto para todos los espacios vectoriales de dimensión < n. Sea X 6= 0, entonces a0 X + a1 AX + · · · + an An X = 0, con algún ai 6= 0. Sea A1 = a0 I + a1 A + · · · + an An y N su núcleo, el cual es A-invariante. Si N = Rn , hemos terminado. Si N 6= Rn , entonces la restricción de A a N satisface la conclusión (deg(h) ≤ dim(N), h polinomio mı́nimo de la restricción.) Por el lema, existe un polinomio g1 (x) de grado a lo más n − dim(N) tal que g1 (A)(Rn ) ⊆ N. De lo anterior se concluye h(A)g1 (A)(Rn ) = 0 y deg(hg1 ) ≤ n. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Aplicaremos inducción sobre n. Si n = 1, entonces para cualquier X 6= 0 se tiene AX = cX , por lo que A − cI es la matriz cero. Supongamos n > 1, y el resultado cierto para todos los espacios vectoriales de dimensión < n. Sea X 6= 0, entonces a0 X + a1 AX + · · · + an An X = 0, con algún ai 6= 0. Sea A1 = a0 I + a1 A + · · · + an An y N su núcleo, el cual es A-invariante. Si N = Rn , hemos terminado. Si N 6= Rn , entonces la restricción de A a N satisface la conclusión (deg(h) ≤ dim(N), h polinomio mı́nimo de la restricción.) Por el lema, existe un polinomio g1 (x) de grado a lo más n − dim(N) tal que g1 (A)(Rn ) ⊆ N. De lo anterior se concluye h(A)g1 (A)(Rn ) = 0 y deg(hg1 ) ≤ n. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Aplicaremos inducción sobre n. Si n = 1, entonces para cualquier X 6= 0 se tiene AX = cX , por lo que A − cI es la matriz cero. Supongamos n > 1, y el resultado cierto para todos los espacios vectoriales de dimensión < n. Sea X 6= 0, entonces a0 X + a1 AX + · · · + an An X = 0, con algún ai 6= 0. Sea A1 = a0 I + a1 A + · · · + an An y N su núcleo, el cual es A-invariante. Si N = Rn , hemos terminado. Si N 6= Rn , entonces la restricción de A a N satisface la conclusión (deg(h) ≤ dim(N), h polinomio mı́nimo de la restricción.) Por el lema, existe un polinomio g1 (x) de grado a lo más n − dim(N) tal que g1 (A)(Rn ) ⊆ N. De lo anterior se concluye h(A)g1 (A)(Rn ) = 0 y deg(hg1 ) ≤ n. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Aplicaremos inducción sobre n. Si n = 1, entonces para cualquier X 6= 0 se tiene AX = cX , por lo que A − cI es la matriz cero. Supongamos n > 1, y el resultado cierto para todos los espacios vectoriales de dimensión < n. Sea X 6= 0, entonces a0 X + a1 AX + · · · + an An X = 0, con algún ai 6= 0. Sea A1 = a0 I + a1 A + · · · + an An y N su núcleo, el cual es A-invariante. Si N = Rn , hemos terminado. Si N 6= Rn , entonces la restricción de A a N satisface la conclusión (deg(h) ≤ dim(N), h polinomio mı́nimo de la restricción.) Por el lema, existe un polinomio g1 (x) de grado a lo más n − dim(N) tal que g1 (A)(Rn ) ⊆ N. De lo anterior se concluye h(A)g1 (A)(Rn ) = 0 y deg(hg1 ) ≤ n. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Aplicaremos inducción sobre n. Si n = 1, entonces para cualquier X 6= 0 se tiene AX = cX , por lo que A − cI es la matriz cero. Supongamos n > 1, y el resultado cierto para todos los espacios vectoriales de dimensión < n. Sea X 6= 0, entonces a0 X + a1 AX + · · · + an An X = 0, con algún ai 6= 0. Sea A1 = a0 I + a1 A + · · · + an An y N su núcleo, el cual es A-invariante. Si N = Rn , hemos terminado. Si N 6= Rn , entonces la restricción de A a N satisface la conclusión (deg(h) ≤ dim(N), h polinomio mı́nimo de la restricción.) Por el lema, existe un polinomio g1 (x) de grado a lo más n − dim(N) tal que g1 (A)(Rn ) ⊆ N. De lo anterior se concluye h(A)g1 (A)(Rn ) = 0 y deg(hg1 ) ≤ n. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Aplicaremos inducción sobre n. Si n = 1, entonces para cualquier X 6= 0 se tiene AX = cX , por lo que A − cI es la matriz cero. Supongamos n > 1, y el resultado cierto para todos los espacios vectoriales de dimensión < n. Sea X 6= 0, entonces a0 X + a1 AX + · · · + an An X = 0, con algún ai 6= 0. Sea A1 = a0 I + a1 A + · · · + an An y N su núcleo, el cual es A-invariante. Si N = Rn , hemos terminado. Si N 6= Rn , entonces la restricción de A a N satisface la conclusión (deg(h) ≤ dim(N), h polinomio mı́nimo de la restricción.) Por el lema, existe un polinomio g1 (x) de grado a lo más n − dim(N) tal que g1 (A)(Rn ) ⊆ N. De lo anterior se concluye h(A)g1 (A)(Rn ) = 0 y deg(hg1 ) ≤ n. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C ONTINUACI ÓN DE LA D EMOSTRACI ÓN Aplicaremos inducción sobre n. Si n = 1, entonces para cualquier X 6= 0 se tiene AX = cX , por lo que A − cI es la matriz cero. Supongamos n > 1, y el resultado cierto para todos los espacios vectoriales de dimensión < n. Sea X 6= 0, entonces a0 X + a1 AX + · · · + an An X = 0, con algún ai 6= 0. Sea A1 = a0 I + a1 A + · · · + an An y N su núcleo, el cual es A-invariante. Si N = Rn , hemos terminado. Si N 6= Rn , entonces la restricción de A a N satisface la conclusión (deg(h) ≤ dim(N), h polinomio mı́nimo de la restricción.) Por el lema, existe un polinomio g1 (x) de grado a lo más n − dim(N) tal que g1 (A)(Rn ) ⊆ N. De lo anterior se concluye h(A)g1 (A)(Rn ) = 0 y deg(hg1 ) ≤ n. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes T EOREMA DE LA DESCOMPOSICI ÓN PRIMARIA T EOREMA (D ESCOMPOSICI ÓN P RIMARIA ) Sea A una matriz n × n, m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A en factores irreducibles. Si Wi es el núcleo de Bi = piri (A), entonces: Rn = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk . Cada Wi es A-invariante. La matriz Bi tiene por polinomio mı́nimo a piri (x). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes T EOREMA DE LA DESCOMPOSICI ÓN PRIMARIA T EOREMA (D ESCOMPOSICI ÓN P RIMARIA ) Sea A una matriz n × n, m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A en factores irreducibles. Si Wi es el núcleo de Bi = piri (A), entonces: Rn = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk . Cada Wi es A-invariante. La matriz Bi tiene por polinomio mı́nimo a piri (x). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes T EOREMA DE LA DESCOMPOSICI ÓN PRIMARIA T EOREMA (D ESCOMPOSICI ÓN P RIMARIA ) Sea A una matriz n × n, m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A en factores irreducibles. Si Wi es el núcleo de Bi = piri (A), entonces: Rn = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk . Cada Wi es A-invariante. La matriz Bi tiene por polinomio mı́nimo a piri (x). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes T EOREMA DE LA DESCOMPOSICI ÓN PRIMARIA T EOREMA (D ESCOMPOSICI ÓN P RIMARIA ) Sea A una matriz n × n, m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A en factores irreducibles. Si Wi es el núcleo de Bi = piri (A), entonces: Rn = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk . Cada Wi es A-invariante. La matriz Bi tiene por polinomio mı́nimo a piri (x). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes T EOREMA DE LA DESCOMPOSICI ÓN PRIMARIA T EOREMA (D ESCOMPOSICI ÓN P RIMARIA ) Sea A una matriz n × n, m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A en factores irreducibles. Si Wi es el núcleo de Bi = piri (A), entonces: Rn = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk . Cada Wi es A-invariante. La matriz Bi tiene por polinomio mı́nimo a piri (x). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes T EOREMA DE LA DESCOMPOSICI ÓN PRIMARIA T EOREMA (D ESCOMPOSICI ÓN P RIMARIA ) Sea A una matriz n × n, m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A en factores irreducibles. Si Wi es el núcleo de Bi = piri (A), entonces: Rn = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk . Cada Wi es A-invariante. La matriz Bi tiene por polinomio mı́nimo a piri (x). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes T EOREMA DE LA DESCOMPOSICI ÓN PRIMARIA T EOREMA (D ESCOMPOSICI ÓN P RIMARIA ) Sea A una matriz n × n, m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A en factores irreducibles. Si Wi es el núcleo de Bi = piri (A), entonces: Rn = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk . Cada Wi es A-invariante. La matriz Bi tiene por polinomio mı́nimo a piri (x). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes T EOREMA DE LA DESCOMPOSICI ÓN PRIMARIA T EOREMA (D ESCOMPOSICI ÓN P RIMARIA ) Sea A una matriz n × n, m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A en factores irreducibles. Si Wi es el núcleo de Bi = piri (A), entonces: Rn = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk . Cada Wi es A-invariante. La matriz Bi tiene por polinomio mı́nimo a piri (x). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes D EMOSTRACI ÓN TDP Para cada i, sea fi (x) = Y r pj j (x). Los polinomios j6=i f1 , f2 , . . . , fk son primos relativos. Existen g1 , g2 , . . . , gk tales que f1 (x)g1 (x) + · · · + fk (x)gk (x) = 1. Definimos Ai := fi (A)gi (A) y se verifica directamente: 1 2 3 A1 + A2 + · · · + Ak = I, la matriz identidad. Si i 6= j, entonces Ai Aj = 0. Para todo i = 1, 2, . . . , k se tiene A2i = Ai . La propiedad 1 implica: A1 (Rn ) + A2 (Rn ) + · · · + Ak (Rn ) = Rn . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes (2) D EMOSTRACI ÓN TDP Para cada i, sea fi (x) = Y r pj j (x). Los polinomios j6=i f1 , f2 , . . . , fk son primos relativos. Existen g1 , g2 , . . . , gk tales que f1 (x)g1 (x) + · · · + fk (x)gk (x) = 1. Definimos Ai := fi (A)gi (A) y se verifica directamente: 1 2 3 A1 + A2 + · · · + Ak = I, la matriz identidad. Si i 6= j, entonces Ai Aj = 0. Para todo i = 1, 2, . . . , k se tiene A2i = Ai . La propiedad 1 implica: A1 (Rn ) + A2 (Rn ) + · · · + Ak (Rn ) = Rn . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes (2) D EMOSTRACI ÓN TDP Para cada i, sea fi (x) = Y r pj j (x). Los polinomios j6=i f1 , f2 , . . . , fk son primos relativos. Existen g1 , g2 , . . . , gk tales que f1 (x)g1 (x) + · · · + fk (x)gk (x) = 1. Definimos Ai := fi (A)gi (A) y se verifica directamente: 1 2 3 A1 + A2 + · · · + Ak = I, la matriz identidad. Si i 6= j, entonces Ai Aj = 0. Para todo i = 1, 2, . . . , k se tiene A2i = Ai . La propiedad 1 implica: A1 (Rn ) + A2 (Rn ) + · · · + Ak (Rn ) = Rn . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes (2) D EMOSTRACI ÓN TDP Para cada i, sea fi (x) = Y r pj j (x). Los polinomios j6=i f1 , f2 , . . . , fk son primos relativos. Existen g1 , g2 , . . . , gk tales que f1 (x)g1 (x) + · · · + fk (x)gk (x) = 1. Definimos Ai := fi (A)gi (A) y se verifica directamente: 1 2 3 A1 + A2 + · · · + Ak = I, la matriz identidad. Si i 6= j, entonces Ai Aj = 0. Para todo i = 1, 2, . . . , k se tiene A2i = Ai . La propiedad 1 implica: A1 (Rn ) + A2 (Rn ) + · · · + Ak (Rn ) = Rn . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes (2) D EMOSTRACI ÓN TDP Para cada i, sea fi (x) = Y r pj j (x). Los polinomios j6=i f1 , f2 , . . . , fk son primos relativos. Existen g1 , g2 , . . . , gk tales que f1 (x)g1 (x) + · · · + fk (x)gk (x) = 1. Definimos Ai := fi (A)gi (A) y se verifica directamente: 1 2 3 A1 + A2 + · · · + Ak = I, la matriz identidad. Si i 6= j, entonces Ai Aj = 0. Para todo i = 1, 2, . . . , k se tiene A2i = Ai . La propiedad 1 implica: A1 (Rn ) + A2 (Rn ) + · · · + Ak (Rn ) = Rn . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes (2) D EMOSTRACI ÓN TDP Para cada i, sea fi (x) = Y r pj j (x). Los polinomios j6=i f1 , f2 , . . . , fk son primos relativos. Existen g1 , g2 , . . . , gk tales que f1 (x)g1 (x) + · · · + fk (x)gk (x) = 1. Definimos Ai := fi (A)gi (A) y se verifica directamente: 1 2 3 A1 + A2 + · · · + Ak = I, la matriz identidad. Si i 6= j, entonces Ai Aj = 0. Para todo i = 1, 2, . . . , k se tiene A2i = Ai . La propiedad 1 implica: A1 (Rn ) + A2 (Rn ) + · · · + Ak (Rn ) = Rn . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes (2) D EMOSTRACI ÓN TDP Para cada i, sea fi (x) = Y r pj j (x). Los polinomios j6=i f1 , f2 , . . . , fk son primos relativos. Existen g1 , g2 , . . . , gk tales que f1 (x)g1 (x) + · · · + fk (x)gk (x) = 1. Definimos Ai := fi (A)gi (A) y se verifica directamente: 1 2 3 A1 + A2 + · · · + Ak = I, la matriz identidad. Si i 6= j, entonces Ai Aj = 0. Para todo i = 1, 2, . . . , k se tiene A2i = Ai . La propiedad 1 implica: A1 (Rn ) + A2 (Rn ) + · · · + Ak (Rn ) = Rn . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes (2) D EMOSTRACI ÓN TDP Para cada i, sea fi (x) = Y r pj j (x). Los polinomios j6=i f1 , f2 , . . . , fk son primos relativos. Existen g1 , g2 , . . . , gk tales que f1 (x)g1 (x) + · · · + fk (x)gk (x) = 1. Definimos Ai := fi (A)gi (A) y se verifica directamente: 1 2 3 A1 + A2 + · · · + Ak = I, la matriz identidad. Si i 6= j, entonces Ai Aj = 0. Para todo i = 1, 2, . . . , k se tiene A2i = Ai . La propiedad 1 implica: A1 (Rn ) + A2 (Rn ) + · · · + Ak (Rn ) = Rn . Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes (2) D EMOSTRACI ÓN TDP Mostraremos que Ai (Rn ) = Wi y que forman una suma directa. Sea Y ∈ Ai (Rn ), Y = Ai X = fi (A)gi (A)X para algún X ∈ Rn entonces Bi Y = piri (A)Y = piri (A)fi (A)gi (A)X = m(A)gi (A)X = 0, probando que Y ∈ Wi . Recı́procamente, sea X ∈ Wi ; como A1 + A2 + · · · + Ak = I, entonces X = A1 X + A2 X + · · · + Ak X . También se tiene piri (x) divide a fj (x) para todo j 6= i, entonces Aj X = fj (A)gj (A)X = 0, para todo j 6= i, por lo que X = Ai X ∈ Ai (Rn ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes D EMOSTRACI ÓN TDP Mostraremos que Ai (Rn ) = Wi y que forman una suma directa. Sea Y ∈ Ai (Rn ), Y = Ai X = fi (A)gi (A)X para algún X ∈ Rn entonces Bi Y = piri (A)Y = piri (A)fi (A)gi (A)X = m(A)gi (A)X = 0, probando que Y ∈ Wi . Recı́procamente, sea X ∈ Wi ; como A1 + A2 + · · · + Ak = I, entonces X = A1 X + A2 X + · · · + Ak X . También se tiene piri (x) divide a fj (x) para todo j 6= i, entonces Aj X = fj (A)gj (A)X = 0, para todo j 6= i, por lo que X = Ai X ∈ Ai (Rn ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes D EMOSTRACI ÓN TDP Mostraremos que Ai (Rn ) = Wi y que forman una suma directa. Sea Y ∈ Ai (Rn ), Y = Ai X = fi (A)gi (A)X para algún X ∈ Rn entonces Bi Y = piri (A)Y = piri (A)fi (A)gi (A)X = m(A)gi (A)X = 0, probando que Y ∈ Wi . Recı́procamente, sea X ∈ Wi ; como A1 + A2 + · · · + Ak = I, entonces X = A1 X + A2 X + · · · + Ak X . También se tiene piri (x) divide a fj (x) para todo j 6= i, entonces Aj X = fj (A)gj (A)X = 0, para todo j 6= i, por lo que X = Ai X ∈ Ai (Rn ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes D EMOSTRACI ÓN TDP Mostraremos que Ai (Rn ) = Wi y que forman una suma directa. Sea Y ∈ Ai (Rn ), Y = Ai X = fi (A)gi (A)X para algún X ∈ Rn entonces Bi Y = piri (A)Y = piri (A)fi (A)gi (A)X = m(A)gi (A)X = 0, probando que Y ∈ Wi . Recı́procamente, sea X ∈ Wi ; como A1 + A2 + · · · + Ak = I, entonces X = A1 X + A2 X + · · · + Ak X . También se tiene piri (x) divide a fj (x) para todo j 6= i, entonces Aj X = fj (A)gj (A)X = 0, para todo j 6= i, por lo que X = Ai X ∈ Ai (Rn ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes D EMOSTRACI ÓN TDP Mostraremos que Ai (Rn ) = Wi y que forman una suma directa. Sea Y ∈ Ai (Rn ), Y = Ai X = fi (A)gi (A)X para algún X ∈ Rn entonces Bi Y = piri (A)Y = piri (A)fi (A)gi (A)X = m(A)gi (A)X = 0, probando que Y ∈ Wi . Recı́procamente, sea X ∈ Wi ; como A1 + A2 + · · · + Ak = I, entonces X = A1 X + A2 X + · · · + Ak X . También se tiene piri (x) divide a fj (x) para todo j 6= i, entonces Aj X = fj (A)gj (A)X = 0, para todo j 6= i, por lo que X = Ai X ∈ Ai (Rn ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes D EMOSTRACI ÓN TDP Mostraremos que Ai (Rn ) = Wi y que forman una suma directa. Sea Y ∈ Ai (Rn ), Y = Ai X = fi (A)gi (A)X para algún X ∈ Rn entonces Bi Y = piri (A)Y = piri (A)fi (A)gi (A)X = m(A)gi (A)X = 0, probando que Y ∈ Wi . Recı́procamente, sea X ∈ Wi ; como A1 + A2 + · · · + Ak = I, entonces X = A1 X + A2 X + · · · + Ak X . También se tiene piri (x) divide a fj (x) para todo j 6= i, entonces Aj X = fj (A)gj (A)X = 0, para todo j 6= i, por lo que X = Ai X ∈ Ai (Rn ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes D EMOSTRACI ÓN TDP Mostraremos que Ai (Rn ) = Wi y que forman una suma directa. Sea Y ∈ Ai (Rn ), Y = Ai X = fi (A)gi (A)X para algún X ∈ Rn entonces Bi Y = piri (A)Y = piri (A)fi (A)gi (A)X = m(A)gi (A)X = 0, probando que Y ∈ Wi . Recı́procamente, sea X ∈ Wi ; como A1 + A2 + · · · + Ak = I, entonces X = A1 X + A2 X + · · · + Ak X . También se tiene piri (x) divide a fj (x) para todo j 6= i, entonces Aj X = fj (A)gj (A)X = 0, para todo j 6= i, por lo que X = Ai X ∈ Ai (Rn ). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes D EMOSTRACI ÓN TDP Mostraremos que Ai (Rn ) T   X  Aj (Rn ) = {0}. j6=i   X T Aj (Rn ), Sea X ∈ Ai (Rn )  j6=i entonces X = Ai (Z ) = X Aj (Xj ). Aplicando Ai a esta j6=i ecuación y usando la Propiedad 2 enunciada antes se X Ai Aj (Xj ) = 0. tiene Ai (X ) = A2i (Z ) = j6=i Ahora usando la Propiedad 3 se tiene 0 = Ai (X ) = A2i (Z ) = Ai (Z ) = X , finalizando la prueba de la primera parte del teorema. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes D EMOSTRACI ÓN TDP Mostraremos que Ai (Rn ) T   X  Aj (Rn ) = {0}. j6=i   X T Aj (Rn ), Sea X ∈ Ai (Rn )  j6=i entonces X = Ai (Z ) = X Aj (Xj ). Aplicando Ai a esta j6=i ecuación y usando la Propiedad 2 enunciada antes se X Ai Aj (Xj ) = 0. tiene Ai (X ) = A2i (Z ) = j6=i Ahora usando la Propiedad 3 se tiene 0 = Ai (X ) = A2i (Z ) = Ai (Z ) = X , finalizando la prueba de la primera parte del teorema. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes D EMOSTRACI ÓN TDP Mostraremos que Ai (Rn ) T   X  Aj (Rn ) = {0}. j6=i   X T Aj (Rn ), Sea X ∈ Ai (Rn )  j6=i entonces X = Ai (Z ) = X Aj (Xj ). Aplicando Ai a esta j6=i ecuación y usando la Propiedad 2 enunciada antes se X Ai Aj (Xj ) = 0. tiene Ai (X ) = A2i (Z ) = j6=i Ahora usando la Propiedad 3 se tiene 0 = Ai (X ) = A2i (Z ) = Ai (Z ) = X , finalizando la prueba de la primera parte del teorema. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes D EMOSTRACI ÓN TDP Mostraremos que Ai (Rn ) T   X  Aj (Rn ) = {0}. j6=i   X T Aj (Rn ), Sea X ∈ Ai (Rn )  j6=i entonces X = Ai (Z ) = X Aj (Xj ). Aplicando Ai a esta j6=i ecuación y usando la Propiedad 2 enunciada antes se X Ai Aj (Xj ) = 0. tiene Ai (X ) = A2i (Z ) = j6=i Ahora usando la Propiedad 3 se tiene 0 = Ai (X ) = A2i (Z ) = Ai (Z ) = X , finalizando la prueba de la primera parte del teorema. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes D EMOSTRACI ÓN TDP La segunda parte del teorema se tiene de manera directa usando que T conmuta con piri (T ). Para la parte tres, note que Bi = piri (A) es cero en Wi por lo que el polinomio mı́nimo de A en Wi , divide a piri (x). Si h(x) es cualquier otro polinomio tal que h(Ei ) = 0, con Ei la restricción de A a Wi , entonces h(A)fi (A) es el operador cero, por lo que m(x) = piri (x)fi (x) divide a h(x)fi (x), es decir piri (x) divide a h(x), probando el teorema. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes D EMOSTRACI ÓN TDP La segunda parte del teorema se tiene de manera directa usando que T conmuta con piri (T ). Para la parte tres, note que Bi = piri (A) es cero en Wi por lo que el polinomio mı́nimo de A en Wi , divide a piri (x). Si h(x) es cualquier otro polinomio tal que h(Ei ) = 0, con Ei la restricción de A a Wi , entonces h(A)fi (A) es el operador cero, por lo que m(x) = piri (x)fi (x) divide a h(x)fi (x), es decir piri (x) divide a h(x), probando el teorema. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes D EMOSTRACI ÓN TDP La segunda parte del teorema se tiene de manera directa usando que T conmuta con piri (T ). Para la parte tres, note que Bi = piri (A) es cero en Wi por lo que el polinomio mı́nimo de A en Wi , divide a piri (x). Si h(x) es cualquier otro polinomio tal que h(Ei ) = 0, con Ei la restricción de A a Wi , entonces h(A)fi (A) es el operador cero, por lo que m(x) = piri (x)fi (x) divide a h(x)fi (x), es decir piri (x) divide a h(x), probando el teorema. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes D EMOSTRACI ÓN TDP La segunda parte del teorema se tiene de manera directa usando que T conmuta con piri (T ). Para la parte tres, note que Bi = piri (A) es cero en Wi por lo que el polinomio mı́nimo de A en Wi , divide a piri (x). Si h(x) es cualquier otro polinomio tal que h(Ei ) = 0, con Ei la restricción de A a Wi , entonces h(A)fi (A) es el operador cero, por lo que m(x) = piri (x)fi (x) divide a h(x)fi (x), es decir piri (x) divide a h(x), probando el teorema. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C OROLARIOS C OROLARIO Sea A una matriz n × n. Entonces A es singular ⇐⇒ el cero es raı́z de su polinomio mı́nimo. C OROLARIO Sea A una matriz n × n . Entonces A tiene un subespacio invariante de dimensión uno ⇐⇒ el polinomio mı́nimo de A tiene un factor lineal. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes C OROLARIOS C OROLARIO Sea A una matriz n × n. Entonces A es singular ⇐⇒ el cero es raı́z de su polinomio mı́nimo. C OROLARIO Sea A una matriz n × n . Entonces A tiene un subespacio invariante de dimensión uno ⇐⇒ el polinomio mı́nimo de A tiene un factor lineal. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes T EOREMA DE C AYLEY-H AMILTON ( PRELIMINARES ) T EOREMA Sea A una matriz n × n con polinomio mı́nimo p(x)l , con p(x) irreducible de grado r . Entonces r divide a n. C OROLARIO Sea m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A en factores irreducibles y Rn = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk la descomposición inducida en Rn por m(x). Si denotamos por ri al grado de pi (x), entonces ri divide a dim(Wi ), para todo i = 1, 2, . . . , k. DESPRIM Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes T EOREMA DE C AYLEY-H AMILTON ( PRELIMINARES ) T EOREMA Sea A una matriz n × n con polinomio mı́nimo p(x)l , con p(x) irreducible de grado r . Entonces r divide a n. C OROLARIO Sea m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A en factores irreducibles y Rn = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk la descomposición inducida en Rn por m(x). Si denotamos por ri al grado de pi (x), entonces ri divide a dim(Wi ), para todo i = 1, 2, . . . , k. DESPRIM Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes T EOREMA DE C AYLEY-H AMILTON ( PRELIMINARES ) T EOREMA Sea A una matriz n × n con polinomio mı́nimo p(x)l , con p(x) irreducible de grado r . Entonces r divide a n. C OROLARIO Sea m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A en factores irreducibles y Rn = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk la descomposición inducida en Rn por m(x). Si denotamos por ri al grado de pi (x), entonces ri divide a dim(Wi ), para todo i = 1, 2, . . . , k. DESPRIM Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes T EOREMA DE C AYLEY-H AMILTON ( PRELIMINARES ) T EOREMA Sea A una matriz n × n con polinomio mı́nimo p(x)l , con p(x) irreducible de grado r . Entonces r divide a n. C OROLARIO Sea m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A en factores irreducibles y Rn = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk la descomposición inducida en Rn por m(x). Si denotamos por ri al grado de pi (x), entonces ri divide a dim(Wi ), para todo i = 1, 2, . . . , k. DESPRIM Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes T EOREMA DE C AYLEY-H AMILTON ( PRELIMINARES ) T EOREMA Sea A una matriz n × n con polinomio mı́nimo p(x)l , con p(x) irreducible de grado r . Entonces r divide a n. C OROLARIO Sea m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A en factores irreducibles y Rn = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk la descomposición inducida en Rn por m(x). Si denotamos por ri al grado de pi (x), entonces ri divide a dim(Wi ), para todo i = 1, 2, . . . , k. DESPRIM Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes T EOREMA DE C AYLEY-H AMILTON ( PRELIMINARES ) T EOREMA Sea A una matriz n × n con polinomio mı́nimo p(x)l , con p(x) irreducible de grado r . Entonces r divide a n. C OROLARIO Sea m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A en factores irreducibles y Rn = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wk la descomposición inducida en Rn por m(x). Si denotamos por ri al grado de pi (x), entonces ri divide a dim(Wi ), para todo i = 1, 2, . . . , k. DESPRIM Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes P OLINOMIO CARACTER ÍSTICO Y EL T EOREMA DE C AYLEY-H AMILTON D EFINICI ÓN Sea A una matriz n × n, m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A como producto de irreducibles. Definimos el polinomio caracterı́stico de A como dim Wi fA (x) := (−1)n p1d1 (x)p2d2 (x) · · · pkdk (x), en donde di = . deg pi (x) T EOREMA (C AYLEY-H AMILTON ) Toda matriz es cero de su polinomio caracterı́stico. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes P OLINOMIO CARACTER ÍSTICO Y EL T EOREMA DE C AYLEY-H AMILTON D EFINICI ÓN Sea A una matriz n × n, m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A como producto de irreducibles. Definimos el polinomio caracterı́stico de A como dim Wi fA (x) := (−1)n p1d1 (x)p2d2 (x) · · · pkdk (x), en donde di = . deg pi (x) T EOREMA (C AYLEY-H AMILTON ) Toda matriz es cero de su polinomio caracterı́stico. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes P OLINOMIO CARACTER ÍSTICO Y EL T EOREMA DE C AYLEY-H AMILTON D EFINICI ÓN Sea A una matriz n × n, m(x) = p1r1 (x)p2r2 (x) · · · pkrk (x) la factorización del polinomio mı́nimo de A como producto de irreducibles. Definimos el polinomio caracterı́stico de A como dim Wi fA (x) := (−1)n p1d1 (x)p2d2 (x) · · · pkdk (x), en donde di = . deg pi (x) T EOREMA (C AYLEY-H AMILTON ) Toda matriz es cero de su polinomio caracterı́stico. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes P OLINOMIO M ÍNIMO ( PRELIMINARES ) T EOREMA Dada la matriz A, existen matrices inversibles Q, R ∈ K [x] tales que   m1 (x) 0 ··· 0 0 0 ··· 0  0 m2 (x) · · · 0 0 0 ··· 0     0 0 ··· 0 0 0 ··· 0      .. .. ..  . mk (x) 0 0 · · · 0  . . ,  Q(A − xI)R =  0 0 ··· 0 1 0 ··· 0      0 0 · · · 0 0 1 · · · 0    ..  .. .. .. .. ..  . . ··· .  . . ··· . 0 0 ··· 0 0 0 ··· 1 en donde mi+1 (x) divide a mi (x) y m1 (x) es el polinomio mı́nimo de A. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes P OLINOMIO M ÍNIMO ( PRELIMINARES ) T EOREMA Dada la matriz A, existen matrices inversibles Q, R ∈ K [x] tales que   m1 (x) 0 ··· 0 0 0 ··· 0  0 m2 (x) · · · 0 0 0 ··· 0     0 0 ··· 0 0 0 ··· 0      .. .. ..  . mk (x) 0 0 · · · 0  . . ,  Q(A − xI)R =  0 0 ··· 0 1 0 ··· 0      0 0 · · · 0 0 1 · · · 0    ..  .. .. .. .. ..  . . ··· .  . . ··· . 0 0 ··· 0 0 0 ··· 1 en donde mi+1 (x) divide a mi (x) y m1 (x) es el polinomio mı́nimo de A. Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes P OLINOMIO M ÍNIMO ( ALGORITMO ) Require: Matriz cuadrada A. 1: Construya la matriz A1 = A − xI. 2: Con operaciones elementales en las filas y columnas de A1 se obtiene B = diag{p(x), C}, en donde p(x) es el máximo común divisor de los elementos de la primera fila y la primera columna de A1 , y C es cuadrada. 3: while p(x) no divida a todas la entradas de C, do 4: Encuentre la primera columna que contiene un elemento no divisible por p(x) y sume esta columna a la primera de B. 5: Aplique el Paso 2 a B. 6: end while 7: Haga A1 = C y vaya al Paso 2. En un número finito de iteraciones llegará a una matriz de la forma diag{m1 (x), m2 (x), . . . , mk (x), 1, . . . , 1}, en donde mi (x) divide a mi+1 (x). El polinomio mı́nimo de A es mk (x). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes P OLINOMIO M ÍNIMO ( ALGORITMO ) Require: Matriz cuadrada A. 1: Construya la matriz A1 = A − xI. 2: Con operaciones elementales en las filas y columnas de A1 se obtiene B = diag{p(x), C}, en donde p(x) es el máximo común divisor de los elementos de la primera fila y la primera columna de A1 , y C es cuadrada. 3: while p(x) no divida a todas la entradas de C, do 4: Encuentre la primera columna que contiene un elemento no divisible por p(x) y sume esta columna a la primera de B. 5: Aplique el Paso 2 a B. 6: end while 7: Haga A1 = C y vaya al Paso 2. En un número finito de iteraciones llegará a una matriz de la forma diag{m1 (x), m2 (x), . . . , mk (x), 1, . . . , 1}, en donde mi (x) divide a mi+1 (x). El polinomio mı́nimo de A es mk (x). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes P OLINOMIO M ÍNIMO ( ALGORITMO ) Require: Matriz cuadrada A. 1: Construya la matriz A1 = A − xI. 2: Con operaciones elementales en las filas y columnas de A1 se obtiene B = diag{p(x), C}, en donde p(x) es el máximo común divisor de los elementos de la primera fila y la primera columna de A1 , y C es cuadrada. 3: while p(x) no divida a todas la entradas de C, do 4: Encuentre la primera columna que contiene un elemento no divisible por p(x) y sume esta columna a la primera de B. 5: Aplique el Paso 2 a B. 6: end while 7: Haga A1 = C y vaya al Paso 2. En un número finito de iteraciones llegará a una matriz de la forma diag{m1 (x), m2 (x), . . . , mk (x), 1, . . . , 1}, en donde mi (x) divide a mi+1 (x). El polinomio mı́nimo de A es mk (x). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes P OLINOMIO M ÍNIMO ( ALGORITMO ) Require: Matriz cuadrada A. 1: Construya la matriz A1 = A − xI. 2: Con operaciones elementales en las filas y columnas de A1 se obtiene B = diag{p(x), C}, en donde p(x) es el máximo común divisor de los elementos de la primera fila y la primera columna de A1 , y C es cuadrada. 3: while p(x) no divida a todas la entradas de C, do 4: Encuentre la primera columna que contiene un elemento no divisible por p(x) y sume esta columna a la primera de B. 5: Aplique el Paso 2 a B. 6: end while 7: Haga A1 = C y vaya al Paso 2. En un número finito de iteraciones llegará a una matriz de la forma diag{m1 (x), m2 (x), . . . , mk (x), 1, . . . , 1}, en donde mi (x) divide a mi+1 (x). El polinomio mı́nimo de A es mk (x). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes P OLINOMIO M ÍNIMO ( ALGORITMO ) Require: Matriz cuadrada A. 1: Construya la matriz A1 = A − xI. 2: Con operaciones elementales en las filas y columnas de A1 se obtiene B = diag{p(x), C}, en donde p(x) es el máximo común divisor de los elementos de la primera fila y la primera columna de A1 , y C es cuadrada. 3: while p(x) no divida a todas la entradas de C, do 4: Encuentre la primera columna que contiene un elemento no divisible por p(x) y sume esta columna a la primera de B. 5: Aplique el Paso 2 a B. 6: end while 7: Haga A1 = C y vaya al Paso 2. En un número finito de iteraciones llegará a una matriz de la forma diag{m1 (x), m2 (x), . . . , mk (x), 1, . . . , 1}, en donde mi (x) divide a mi+1 (x). El polinomio mı́nimo de A es mk (x). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes P OLINOMIO M ÍNIMO ( ALGORITMO ) Require: Matriz cuadrada A. 1: Construya la matriz A1 = A − xI. 2: Con operaciones elementales en las filas y columnas de A1 se obtiene B = diag{p(x), C}, en donde p(x) es el máximo común divisor de los elementos de la primera fila y la primera columna de A1 , y C es cuadrada. 3: while p(x) no divida a todas la entradas de C, do 4: Encuentre la primera columna que contiene un elemento no divisible por p(x) y sume esta columna a la primera de B. 5: Aplique el Paso 2 a B. 6: end while 7: Haga A1 = C y vaya al Paso 2. En un número finito de iteraciones llegará a una matriz de la forma diag{m1 (x), m2 (x), . . . , mk (x), 1, . . . , 1}, en donde mi (x) divide a mi+1 (x). El polinomio mı́nimo de A es mk (x). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes P OLINOMIO M ÍNIMO ( ALGORITMO ) Require: Matriz cuadrada A. 1: Construya la matriz A1 = A − xI. 2: Con operaciones elementales en las filas y columnas de A1 se obtiene B = diag{p(x), C}, en donde p(x) es el máximo común divisor de los elementos de la primera fila y la primera columna de A1 , y C es cuadrada. 3: while p(x) no divida a todas la entradas de C, do 4: Encuentre la primera columna que contiene un elemento no divisible por p(x) y sume esta columna a la primera de B. 5: Aplique el Paso 2 a B. 6: end while 7: Haga A1 = C y vaya al Paso 2. En un número finito de iteraciones llegará a una matriz de la forma diag{m1 (x), m2 (x), . . . , mk (x), 1, . . . , 1}, en donde mi (x) divide a mi+1 (x). El polinomio mı́nimo de A es mk (x). Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E JEMPLO    1 0 −1 1−x 0 −1 R21 (1−x) A−xI  −1 1 0  7−→  −1 1 − x 0  7−→ 0 −1 1 0 −1 1 − x     2 1 x −1 0 0 (1 − x) −1 R21 ◦R2 (−1)  −1  0 (1 − x)2 −1  C127−(1−x) 7−→ → 1−x 0  0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 2 (1−x) C23 (1−x  0 (1 − x)2 −1  R327− →  0 0 −1 + (1 − x)3  7−→ 0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 R ◦R (−1)◦R (−1) 23 2 3  0  0 1  0 7−→ 0 −1 + (1 − x)3  3 0 0 (x − 1) + 1 0 −1 0  Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E JEMPLO    1 0 −1 1−x 0 −1 R21 (1−x) A−xI  −1 0  7−→ 1 0  7−→  −1 1 − x 0 −1 1 0 −1 1 − x     2 1 x −1 0 0 (1 − x) −1 R21 ◦R2 (−1)  −1  0 (1 − x)2 −1  C127−(1−x) 7−→ → 1−x 0  0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 2 (1−x) C23 (1−x  0 (1 − x)2 −1  R327− →  0 0 −1 + (1 − x)3  7−→ 0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 R ◦R (−1)◦R (−1) 23 2 3  0  0 1  0 7−→ 0 −1 + (1 − x)3  3 0 0 (x − 1) + 1 0 −1 0  Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E JEMPLO    1 0 −1 1−x 0 −1 R21 (1−x) A−xI  −1 0  7−→ 1 0  7−→  −1 1 − x 0 −1 1 0 −1 1 − x     2 1 x −1 0 0 (1 − x) −1 R21 ◦R2 (−1)  0 (1 − x)2 −1  C127−(1−x)  −1 7−→ → 1−x 0  0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 2 (1−x) C23 (1−x  0 (1 − x)2 −1  R327− →  0 0 −1 + (1 − x)3  7−→ 0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 R ◦R (−1)◦R (−1) 23 2 3  0  0 1  0 7−→ 0 −1 + (1 − x)3  3 0 0 (x − 1) + 1 0 −1 0  Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E JEMPLO    1 0 −1 1−x 0 −1 R21 (1−x) A−xI  −1 0  7−→ 1 0  7−→  −1 1 − x 0 −1 1 0 −1 1 − x     2 1 x −1 0 0 (1 − x) −1 R21 ◦R2 (−1)  0 (1 − x)2 −1  C127−(1−x)  −1 7−→ → 1−x 0  0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 2 (1−x) C23 (1−x  0 (1 − x)2 −1  R327− →  0 0 −1 + (1 − x)3  7−→ 0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 R ◦R (−1)◦R (−1) 23 2 3  0  0 1  0 7−→ 0 −1 + (1 − x)3  3 0 0 (x − 1) + 1 0 −1 0  Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E JEMPLO    1 0 −1 1−x 0 −1 R21 (1−x) A−xI  −1 0  7−→ 1 0  7−→  −1 1 − x 0 −1 1 0 −1 1 − x     2 1 x −1 0 0 (1 − x) −1 R21 ◦R2 (−1)  0 (1 − x)2 −1  C127−(1−x)  −1 7−→ → 1−x 0  0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 2 (1−x) C23 (1−x  0 (1 − x)2 −1  R327− →  0 0 −1 + (1 − x)3  7−→ 0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 R ◦R (−1)◦R (−1) 23 2 3  0  0 1  0 7−→ 0 −1 + (1 − x)3  3 0 0 (x − 1) + 1 0 −1 0  Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E JEMPLO    1 0 −1 1−x 0 −1 R21 (1−x) A−xI  −1 0  7−→ 1 0  7−→  −1 1 − x 0 −1 1 0 −1 1 − x     2 1 x −1 0 0 (1 − x) −1 R21 ◦R2 (−1)  −1  0 (1 − x)2 −1  C127−(1−x) 7−→ → 1−x 0  0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 2 (1−x) C23 (1−x  0 (1 − x)2 −1  R327− →  0 0 −1 + (1 − x)3  7−→ 0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 R ◦R (−1)◦R (−1) 23 2 3  0  0 1  0 7−→ 0 −1 + (1 − x)3  3 0 0 (x − 1) + 1 0 −1 0  Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E JEMPLO    1 0 −1 1−x 0 −1 R21 (1−x) A−xI  −1 0  7−→ 1 0  7−→  −1 1 − x 0 −1 1 0 −1 1 − x     2 1 x −1 0 0 (1 − x) −1 R21 ◦R2 (−1)  −1  0 (1 − x)2 −1  C127−(1−x) 7−→ → 1−x 0  0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 2 (1−x) C23 (1−x  0 (1 − x)2 −1  R327− →  0 0 −1 + (1 − x)3  7−→ 0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 R ◦R (−1)◦R (−1) 23 2 3  0  0 1  0 7−→ 0 −1 + (1 − x)3  3 0 0 (x − 1) + 1 0 −1 0  Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E JEMPLO    1 0 −1 1−x 0 −1 R21 (1−x) A−xI  −1 0  7−→ 1 0  7−→  −1 1 − x 0 −1 1 0 −1 1 − x     2 1 x −1 0 0 (1 − x) −1 R21 ◦R2 (−1)  −1  0 (1 − x)2 −1  C127−(1−x) 7−→ → 1−x 0  0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 2 (1−x) C23 (1−x  0 (1 − x)2 −1  R327− →  0 0 −1 + (1 − x)3  7−→ 0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 R ◦R (−1)◦R (−1) 23 2 3  0  0 1  0 7−→ 0 −1 + (1 − x)3  3 0 0 (x − 1) + 1 0 −1 0  Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E JEMPLO    1 0 −1 1−x 0 −1 R21 (1−x) A−xI  −1 0  7−→ 1 0  7−→  −1 1 − x 0 −1 1 0 −1 1 − x     2 1 x −1 0 0 (1 − x) −1 R21 ◦R2 (−1)  −1  0 (1 − x)2 −1  C127−(1−x) 7−→ → 1−x 0  0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 2 (1−x) C23 (1−x  0 (1 − x)2 −1  R327− →  0 0 −1 + (1 − x)3  7−→ 0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 R ◦R (−1)◦R (−1) 23 2 3  0  0 1  0 7−→ 0 −1 + (1 − x)3  3 0 0 (x − 1) + 1 0 −1 0  Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E JEMPLO    1 0 −1 1−x 0 −1 R21 (1−x) A−xI  −1 0  7−→ 1 0  7−→  −1 1 − x 0 −1 1 0 −1 1 − x     2 1 x −1 0 0 (1 − x) −1 R21 ◦R2 (−1)  −1  0 (1 − x)2 −1  C127−(1−x) 7−→ → 1−x 0  0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 2 (1−x) C23 (1−x  0 (1 − x)2 −1  R327− →  0 0 −1 + (1 − x)3  7−→ 0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 R ◦R (−1)◦R (−1) 23 2 3  0  0 1  0 7−→ 0 −1 + (1 − x)3  3 0 0 (x − 1) + 1 0 −1 0  Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E JEMPLO    1 0 −1 1−x 0 −1 R21 (1−x) A−xI  −1 0  7−→ 1 0  7−→  −1 1 − x 0 −1 1 0 −1 1 − x     2 1 x −1 0 0 (1 − x) −1 R21 ◦R2 (−1)  −1  0 (1 − x)2 −1  C127−(1−x) 7−→ → 1−x 0  0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 2 (1−x) C23 (1−x  0 (1 − x)2 −1  R327− →  0 0 −1 + (1 − x)3  7−→ 0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 R ◦R (−1)◦R (−1) 23 2 3  0  0 1  0 7−→ 0 −1 + (1 − x)3  3 0 0 (x − 1) + 1 0 −1 0  Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E JEMPLO    1 0 −1 1−x 0 −1 R21 (1−x) A−xI  −1 0  7−→ 1 0  7−→  −1 1 − x 0 −1 1 0 −1 1 − x     2 1 x −1 0 0 (1 − x) −1 R21 ◦R2 (−1)  −1  0 (1 − x)2 −1  C127−(1−x) 7−→ → 1−x 0  0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 2 (1−x) C23 (1−x  0 (1 − x)2 −1  R327− →  0 0 −1 + (1 − x)3  7−→ 0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 R ◦R (−1)◦R (−1) 23 2 3  0  0 1  0 7−→ 0 −1 + (1 − x)3  3 0 0 (x − 1) + 1 0 −1 0  Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E JEMPLO    1 0 −1 1−x 0 −1 R21 (1−x) A−xI  −1 0  7−→ 1 0  7−→  −1 1 − x 0 −1 1 0 −1 1 − x     2 1 x −1 0 0 (1 − x) −1 R21 ◦R2 (−1)  −1  0 (1 − x)2 −1  C127−(1−x) 7−→ → 1−x 0  0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 2 (1−x) C23 (1−x  0 (1 − x)2 −1  R327− →  0 0 −1 + (1 − x)3  7−→ 0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 R ◦R (−1)◦R (−1) 23 2 3  0  0 1  0 7−→ 0 −1 + (1 − x)3  3 0 0 (x − 1) + 1 0 −1 0  Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E JEMPLO    1 0 −1 1−x 0 −1 R21 (1−x) A−xI  −1 0  7−→ 1 0  7−→  −1 1 − x 0 −1 1 0 −1 1 − x     2 1 x −1 0 0 (1 − x) −1 R21 ◦R2 (−1)  −1  0 (1 − x)2 −1  C127−(1−x) 7−→ → 1−x 0  0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 2 (1−x) C23 (1−x  0 (1 − x)2 −1  R327− →  0 0 −1 + (1 − x)3  7−→ 0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 R ◦R (−1)◦R (−1) 23 2 3  0  0 1  0 7−→ 0 −1 + (1 − x)3  3 0 0 (x − 1) + 1 0 −1 0  Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E JEMPLO    1 0 −1 1−x 0 −1 R21 (1−x) A−xI  −1 0  7−→ 1 0  7−→  −1 1 − x 0 −1 1 0 −1 1 − x     2 1 x −1 0 0 (1 − x) −1 R21 ◦R2 (−1)  −1  0 (1 − x)2 −1  C127−(1−x) 7−→ → 1−x 0  0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 2 (1−x) C23 (1−x  0 (1 − x)2 −1  R327− →  0 0 −1 + (1 − x)3  7−→ 0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 R ◦R (−1)◦R (−1) 23 2 3  0  0 1  0 7−→ 0 −1 + (1 − x)3  3 0 0 (x − 1) + 1 0 −1 0  Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes E JEMPLO    1 0 −1 1−x 0 −1 R21 (1−x) A−xI  −1 0  7−→ 1 0  7−→  −1 1 − x 0 −1 1 0 −1 1 − x     2 1 x −1 0 0 (1 − x) −1 R21 ◦R2 (−1)  −1  0 (1 − x)2 −1  C127−(1−x) 7−→ → 1−x 0  0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 2 (1−x) C23 (1−x  0 (1 − x)2 −1  R327− →  0 0 −1 + (1 − x)3  7−→ 0 −1 1−x 0 −1 1−x     1 0 0 1 0 0 R ◦R (−1)◦R (−1) 23 2 3  0  0 1  0 7−→ 0 −1 + (1 − x)3  3 0 0 (x − 1) + 1 0 −1 0  Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes B IBLIOGRAF ÍA S. Axler. Down with Determinants. Am. Math. Monthly, Vol. 102 (1995). S. Axler. Linear Algebra Done Right. Springer-Verlag, (1997). F. Barrera Mora. Álgebra Lineal. Grupo Editorial Patria Cultural, (2007). inicio intr Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes B IBLIOGRAF ÍA S. Axler. Down with Determinants. Am. Math. Monthly, Vol. 102 (1995). S. Axler. Linear Algebra Done Right. Springer-Verlag, (1997). F. Barrera Mora. Álgebra Lineal. Grupo Editorial Patria Cultural, (2007). inicio intr Fernando Barrera Mora [email protected] Eigenteorı́a sin determinantes