Momen lentur,Pertemuan 7

[Gaya Geser Dan Momen Lentur] II. GAYA GESER DAN MOMEN LENTUR 2.1. Pengertian Balok Balok (beam) adalah suatu batang struktural yang didesain untuk menahan gaya-gaya yang bekerja dalam arah transversal terhadap sumbunya. Jadi, berdasarkan pada arah bekerjanya beban yang diberikan, maka balok berbeda dari batang yang mengalami tarik dan batang yang mengalami puntiran. Pada batang yang mengalami tarik, maka bebannya diarahkan sepanjang sumbunya, dan pada batang yang mengalami puntiran maka vektor momen putarannya mengarah sepanjang sumbu batang. Sebaliknya, beban-beban pada sebuah balok diarahkan tegak lurus terhadap sumbunya. 17 [Gaya Geser Dan Momen Lentur] 2.2. Jenis-Jenis Balok 1. Balok berdasarkan tumpuan yang digunakan Gambar 2.1. Jenis-jenis Balok 2. Balok berdasarkan keseimbangan statis  Statis Tertentu (Statically Determinate) Gaya – gaya reaksi dianalisa dengan persamaan keseimbangan statis. ΣF = 0  ΣM = 0 Statis Tidak Tentu (Statically Indeterminate) Gaya-gaya reaksi dianalisa dengan persamaan keseimbangan statis dan persamaan-persamaan tambahan yang berhubungan dengan perpindahan-perpindahan struktur. 18 [Gaya Geser Dan Momen Lentur] 2.3. Tipe-Tipe Beban Gambar 2. Tipe Beban pada Balok 1. Beban Terpusat (Concentrated Loads) Contoh: Gaya P1 dan P2 2. Beban Terdistribusi (Distributed Loads) Contoh: Beban q 3. Beban merata (Uniform load) Contoh: Beban q pada gambar (a) 4. Beban yang berubah secara linier (Linearly varying load) Contoh: Beban q pada gambar (b) 5. Kopel (Couple) Contoh: Momen M1 2.4. Gaya Geser dan Momen Lentur Apabila sebuah balok dibebani oleh beberapa buah gaya atau kopel maka akan tercipta sejumlah tegangan dan regangan internal. Untuk menentukan berbagai tegangan dan regangan tersebut, harus dicari terlebih dahulu gaya internal 19 [Gaya Geser Dan Momen Lentur] (internal forces) dan kopel internal yang bekerja pada penampang balok. Gaya internal yang bekerja pada penampang-penampang balok diantaranya gaya geser V dan momen lentur M. A. Gaya Geser (Shearing Force) Gaya geser secara numerik adalah jumlah aljabar dari semua komponen vertikal gaya – gaya luar yang bekerja pada segmen yang terisolasi, tetapi dengan arah yang berlawanan, dinotasikan dengan V. Penentuan gaya geser pada sebuah irisan balok memenuhi syarat keseimbangan statis pada arah vertikal. ΣFv = R1 - P1 – P2 – V = 0 atau V = R1 – P1 – P2 B. Momen Lentur (Bending Momen) Momen lentur adalah jumlah aljabar dari semua komponen momen gaya luar yang bekerja pada segmen yang terisolasi, dinotasikan dengan M. Besar M dapat ditentukan dengan persamaan keseimbangan statis ΣM =0 ΣMo = M - R1x + P1 (x-a) + P2 (x-b) = 0 atau M = R1x – P1(x-a) – P2(x-b) 2.5. Hubungan Antara Beban, Gaya Geser Dan Momen Lentur Hubungan ini bermanfaat untuk: Mencari gaya geser dan momen lentur di seluruh arah panjang sebuah balok Menyusun diagram – diagram gaya geser dan momen lentur A. Beban Terdistribusi w 20 dV dx V dM dx [Gaya Geser Dan Momen Lentur] B. Beban Terpusat V1 = - P + Vdx + V1dx M1 = P ( dx 2 ) C. Beban Kopel V1 = 0 M1 = - Mo 2.6. Diagram Gaya Geser dan Momen Lentur Gaya geser V dan momen lentur M dalam balok merupakan fungsi-fungsi dari jarak x yang diukur sepanjang sumbu longitudinal. Salah satu cara untuk mengetahui harga V dan M pada semua penampang balok adalah dengan menggambar sebuah grafik yang memperlihatkan bagaimana V dan M berubah terhadap x. Grafik ini disebut diagram gaya geser dan momen lentur. 21 [Gaya Geser Dan Momen Lentur] Contoh-Contoh Soal Dan Pembahasannya 1. Gambarkan diagram gaya geser dan momen lenturnya! Jawab: Dengan menggunakan persamaan keseimbangan statis diperoleh R1 = 1200 kN dan R2 = 2400 kN w/x = 600/12 w = (x/12)600 kNm 1 x  V  1200   600  x  1200  25 x2 2  12  1 x 25   x M  1200 x   600  x   1200 x  x3 2  12 3  3 Vx=0 = 1200 kN dan Vx=12 = -2400 kN V=0 1200 – 25x2 = 0 x = 6.94 m M X 6.94  12006.94  25 6.94x3  5520 3 M = 5x(x/2) kN m untuk 0 m<x<4 m Mx=0 = 0 kN m Mx=4 = 40 kNm M = -5x(x/2) kN m untuk 0 m<x<4 m Mx=0 = 0 kN m Mx=4 = -40 kNm M = -10(x - 2) kN m untuk 2 m<x<4 m 22 [Gaya Geser Dan Momen Lentur] Mx=2 = 0 kN m Mx=4 = -20 kNm M = 20(x - 3) kN m untuk 3 m<x<4 m Mx=3 = 0 kN m Mx=4 = 20 kNm Gaya geser Momen lentur 2. Gambarkan diagram gaya geser dan momen lentur dari balok yang mendapatkan pembebanan seperti berikut. Jawab: MB = 4RD - 8 - 4(6)(2) = 0 RD = 14 kN 23 [Gaya Geser Dan Momen Lentur] Fv = RB + 14 - 4(6) = 0 RB = 10 Kn V = -4x kN untuk 0 m<x<1 m Vx=0 = 0 kN dan Vx=1 = -4 kN V = -4x + 10 kN untuk 1 m<x<5 m Vx=1 = 6 kN dan Vx=5 = -10 kN V = -4x + 10 +14 kN untuk 5 m<x<6 m Vx=5 = 4 kN dan Vx=6 = 0 kN M = 4x(x/2) =2x2 kN m untuk 0 m<x<6 m Mx=0 = 0 kN m dan Mx=6 = -72 kN m M = 10(x - 1) kN m untuk 1 m<x<6 m Mx=1 = 0 kN m dan Mx=6 = 50 kN m M = 8 kN m untuk 3 m<x<6 m M = 14(x - 5) kN m untuk 3 m<x<6 m Mx=5 = 0 kN m dan Mx=6 = 14 kN m Gaya geser 24 [Gaya Geser Dan Momen Lentur] Momen lentur 3. Tentukan persamaan gaya geser dan momen lentur balok di atas menggunakan fungsi singularitas dan gambarkan diagram gaya geser dan momen lenturnya. Jawab: w(x) = R1(x)-1 – 15(x - 0.5)-1 + R2(x – 1.5)-1 kN………………(1) V(x) = R1(x)0 – 15(x - 0.5)0 + R2(x – 1.5)0 kN…………………(2) M(x) = R1(x)1 – 15(x - 0.5)1 + R2(x – 1.5)1 kN m………………(3) Dari persamaan (2) R1 – 15 + R2 = 0 Dari persamaan (3) R1(1.5) – 15(1.5 - 0.5) + 0 = 0 R1 =10 kN, R2 = 5 kN 25 [Gaya Geser Dan Momen Lentur] Gaya geser Momen lentur 4. Tentukan persamaan gaya geser dan momen lentur balok di bawah ini menggunakan fungsi singularitas dan gambarkan diagram gaya geser dan momen lenturnya. Jawab: w(x) = -0.25(x - 2)-2 + V1(x - 3)-1 + M1(x – 3)-2 kN……………(1) V(x) = -0.25(x - 2)-1 + V1(x - 3)-0 + M1(x – 3)-1 kN ……………(2) V1 = 0 Sedangkan V(x) = -0.25(x - 2)1 + M1(x – 3)-1 M(x) = -0.25(x - 2)0 + M1(x – 3)0 26 M1 = 0.25 [Gaya Geser Dan Momen Lentur] Gaya geser Momen lentur 5. Tentukan persamaan gaya geser dan momen lentur balok di atas menggunakan fungsi singularitas dan gambarkan diagram gaya geser dan momen lenturnya. Jawab: Mo = 3.5R2 - 15 - 22.5(2.75) = 0 Fv = R1 - 15 - 22.5 + 22.0 = 0 R2 = 22.0 kN R1 = 15.5 Kn w(x) = 15.5(x)-1 - 15(x - 1)-1 - 15(x - 2)0 + 22(x - 3.5)-1 kN...………(1) V(x) = 15.5(x)0 - 15(x - 1)0 - 15(x - 2)1 + 22(x - 3.5)0 kN...………..(2) M(x) = 15.5(x)1 - 15(x - 1)1 - 7.5(x - 2)2 + 22(x - 3.5)1 kN m...……..(3) Dari persamaan (2) Vx=1 = 15.5 kN Vx=2 = 0.5 kN 15.5 - 15 - 15(x - 2) = 0 Vx=3.5 = -2216 kN x = 2.033 m Dari persamaan (3) Mx=0 = 0 kN m Mx=1 = 15.5 kN m Mx=2 = 16 kN m Mx=2.033 = 15.5(2.033) - 15(1.033) - 7.5(0.033)2 = 16.008 kN m 27 [Gaya Geser Dan Momen Lentur] Gaya geser Momen lentur 6. Tentukanlah gaya-gaya raksi yang bekerja pada struktur yang dibebani seperti pada gambar berikut ini. 28 [Gaya Geser Dan Momen Lentur] Jawab:  M  0  161  R 4  0 R  4kN  R  M  0  R 4  163  0 R  12kN   F  0 R  12  4  0  R  16kN  A By B x By Ay Bx Ay Ax RA  16 2  12 2  20kN Ax RB  4 2  4 2  4 2kN 7. Tentukan diagram gaya geser dan momen lentur untuk sebuah balok sederhana dengan beban merata yang berintensitas q yang bekerja pada sebagian dari bentangan balok. Jawab: Reaksi-reaksi untuk balok: Ra  qb  b c   L 2 Rb  qb  b a   L 2 Bagian balok sebelah kiri (0 < x < a) V  Ra M  Ra x qx  a  2 Penampang dalam bagian balok yang dibebani V  Ra  qx  a  M  Ra x  2 M  Rb L  x Bagian balok yang tak terbebani pada ujung sebelah kanan V   Rb 29 [Gaya Geser Dan Momen Lentur] 8. Sebuah balok ABC dengan sebuah emper menyangga sebuah beban merata dengan intnsitas q = 6 kN/m dan sebuah beban terpusat P = 28 kN. Hitunglah gaya geser V dan momen lentur M pada penampang D yang terletak 5 m dari penyangga sebelah kiri.  Ra 8  285  6103  0  Ra  40kN Jawab: M  0 Rb  48kN  F  0  40  28  65  V  0  V  18kN  M  0  405  282  652.5  M  0  M  69kNm a y Tanda minus untuk V berarti bahwa gaya geser ini bekerja dalam arah negatif (berlawanan arah yang diperlihatkan dalam gambar. 9. Susunlah diagram gaya geser dan momen lentur untuk balok konsol yang diperlihatkan dalam gambar. 30 [Gaya Geser Dan Momen Lentur] Jawab: Bagian balok sebelah kiri (0 < x < a) V   P1 M   P1 x V   P1  P2 M   P1 x  P2 x  a  Bagian balok sebelah kanan (a < x < L) 10. Hitunglah reaksi pada tumpuan untuk balok sederhana berbeban seperti yang terlihat dalam gambar. Abaikan berat dari balok. Jawab:  F  0 R  0  M  0  200  1000.2  1600.3  R 0.4  0  R  M  0  R 0.4  200  1000.2  1600.1  0  R x Ax A B B Ay B  670 N  Ay  410 N  31 [Gaya Geser Dan Momen Lentur] Latihan Soal 1. Gambarkan diagram gaya geser dan momen lenturnya! Dengan menggunakan persamaan keseimbangan statis diperoleh R1 = 1500 kN dan R2 = 2800 kN. 2. Hitunglah gaya geser V dan momen M pada penampang, berturut-turut 3 dan 5 m dari ujung kiri balok seperti terlihat pada Gambar berikut. 3. Tentukan gaya geser maksimum V dan momen M pada balok yang terlihat pada Gambar berikut. 32 [Gaya Geser Dan Momen Lentur] 4. Hitunglah reaksi tumpuan RA dan RB pada Gambar berikut. 5. Hitunglah reaksi pada tumpuan dari balok berikut. 33 [Gaya Geser Dan Momen Lentur] Pada saat orang rata-rata bermimpi dalam tidurnya, orang sukses sepenuhnya terjaga dan hidup di dalam impian mereka. (Anonim) 34