Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler

Springer-Lehrbuch Wolfgang Dahmen · Arnold Reusken Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Zweite, korrigierte Auflage 123 Wolfgang Dahmen Arnold Reusken Institut für Geometrie und Praktische Mathematik RWTH Aachen Templergraben 55 52056 Aachen [email protected] [email protected] ISBN 978-3-540-76492-2 e-ISBN 978-3-540-76493-9 DOI 10.1007/978-3-540-76493-9 Springer-Lehrbuch ISSN 0937-7433 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. Mathematics Subject Classification (2000): 65-01, 65Dxx, 65Fxx, 65Hxx, 65Lxx, 65Mxx, 65Nxx, 65Txx © 2008, 2006 Springer-Verlag Berlin Heidelberg Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: Datenerstellung durch die Autoren unter Verwendung eines Springer TEX-Makropakets Herstellung: LE-TEX Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: WMX Design GmbH, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 987654321 springer.de Für Therese und Monique Vorwort Vorwort zur zweiten Auflage Nicht zuletzt zahlreiche Rückmeldungen von Kollegen und Nutzern haben uns darin bestärkt, es bei nur wenigen Änderungen für diese zweite Auflage zu belassen. Wir haben eine Reihe kleinerer Korrekturen lokaler Art gemacht und einige Beweise hinzugefügt, ergänzt oder leicht modifiziert. In Kapitel 8 (Interpolation) haben wir die Reihenfolge der Darstellung leicht geändert und sind wir etwas näher auf die Eigenschaften der kontinuierlichen und diskreten Fouriertransformation eingegangen. In Kapitel 13 (Große dünnbesetzte lineare Gleichungssysteme, iterative Lösungsverfahren) haben wir die Behandlung der unvollständigen Cholesky-Methode als Vorkonditionierungsmethode verbessert. Schon bei der ersten Auflage des Buches standen den Dozenten Folien zur Verfügung, die in gestraffter Form Beispiele, zentrale Sätze und Algorithmen sowie Kernkonzepte des Buches enthalten. Diese findet man unter www.igpm.rwth-aachen.de/DahmenReusken/Folien/ Ferner haben wir inzwischen eine Sammlung von Multiple-Choice Aufgaben zusammengestellt, die ebenfalls unter www.igpm.rwth-aachen.de/DahmenReusken/MCAufgaben/ zur Verfügung steht. Aachen, Dezember 2007 Wolfgang Dahmen Arnold Reusken VIII Vorwort Vorwort zur ersten Auflage Dieses Buch ist aus einer Vorlesung hervorgegangen, die sich an Studierende des Maschinenwesens und der Elektrotechnik an der RWTH Aachen richtet. Diese Vorlesung ist Bestandteil der Mathematikausbildung im Grundstudium. Im Unterschied zu vielen anderen Standorten ist das Thema Numerik in Aachen nicht in der Vorlesungsreihe Höhere Mathematik“ integriert, sondern ” wird als eigenständiger Kurs im Rahmen der viersemestrigen Mathematikausbildung angeboten. Nun spricht sicherlich Einiges für eine Integration der Numerik. Man kann Wiederholungen und Notationsinkonsistenzen vermeiden. Zudem läßt sich durch die numerisch konstruktiven Anteile mancher eher abstrakte Stoff besser motivieren. Andererseits sprechen folgende Gesichtspunkte für die bei uns bevorzugte getrennte Darbietung, die auch zum Verständnis dieses Buches hilfreich sind. Mathematik wird von vielen Studierenden des Ingenieurwesens vorwiegend als lästige Pflicht angesehen, die man nicht gewählt hat und deren tatsächlicher Nutzen für den eigenen Beruf im Grundstudium als außerordentlich gering eingeschätzt wird. Angesichts der drastisch steigenden Bedeutung numerischer Simulationswerkzeuge in den Ingenieurtätigkeiten stellen wir dieser Ansicht den ganz anderen Anspruch gegenüber, daß mit dieser Vorlesung weit über den intellektuellen Trainingsgesichtspunkt“ hinaus Ausbildungsin” halte von höchster beruflicher Praxisrelevanz geboten werden. Dies verlangt allerdings eine etwas andere Gewichtung bei der Stoffaufbereitung, vor allem aber eine andere Denkweise“. Beim integrierten Konzept sehen wir die Ge” fahr – sehr wohl durch Beispiele derzeitiger Praxis vielerorts bestärkt –, daß dies völlig verwischt wird, nicht zuletzt verschärft durch schlechter gewordene schulische Voraussetzungen. Worin liegen nun die Unterschiede in der Denkweise“? Vom Inhalt her befaßt sich das Buch mit der Vermittlung der ” Grundbausteine numerischer Algorithmen etwa in der Form von Methoden zur Lösung von linearen oder nichtlinearen Gleichungssystemen, zur Behandlung von Ausgleichproblemen, Eigenwertberechnungen, numerischen Integrationsverfahren, Verfahren zur Behandlung von Differentialgleichungen, etc. Es liegt also keine tragende gemeinsame Problemstellung in Projektform vor, so daß man formal von einer Rezeptsammlung sprechen könnte. Diesem möglichen Eindruck setzen wir bewußt folgenden Anspruch gegenüber. Das Ziel ist einerseits die Vermittlung eines Grundverständnisses der Wirkungsweise der grundlegenden numerischen Bausteine, so daß diese unter wechselnden Anwendungshintergründen intelligent und flexibel eingesetzt werden können. Dazu reicht es eben nicht, das Newtonverfahren in eindimensionaler Form zu formulieren und über den Satz von Newton-Kantorovich abzusichern, der eben aus Sicht der Praxis mit völlig ungeeigneten Voraussetzungen arbeitet. Darüber hinaus sind zum Verständnis des Verfahrens Aufwandsbetrachtungen beispielsweise ebenso wichtig wie Methoden zur Beschaffung geeigneter Startwerte bzw. konvergenzfördernde Maßnahmen. Eng damit verknüpft ist vor Vorwort IX allem die Vermittlung der Fähigkeit, die Ergebnisse numerischer Rechnungen vernünftig beurteilen zu können. In dieser Beurteilungskompetenz liegt die eigentliche Klammer, die wir der Aufbereitung des Stoffes zugrunde gelegt haben. Abgesehen von Effizienzgesichtspunkten liefern zwei Begriffe den roten Faden zur Diskussion und Entwicklung numerischer Werkzeuge, nämlich die Begriffe Kondition des Problems und Stabilität des Algorithmus, wobei gerade die Zuordnung Problem ↔ Algorithmus von Anfang an deutlich hervorgehoben wird. Das zweite Kapitel mit vielen Beispielen ist gerade dem Verständnis dieser Konzepte gewidmet, um sie dann später bei den unterschiedlichen Themen immer wieder abzurufen. Das Verständnis, wie sehr Datenstörungen das Ergebnis selbst bei exakter Rechnung beeinträchtigen (Kondition des Problems) bzw. wie man durch konkrete algorithmische Schritte die Akkumulation von Störungen möglichst gering hält (Stabilität des Verfahrens), ist eben für die Bewertung eines Ergebnisses bzw. für den intelligenten Einsatz von Methoden im konkreten Fall unabdingbar. Vor allem im Verlauf der Diskussion des Konditionsbegriffs werden im zweiten Kapitel zudem einige einfache funktionalanalytische Grundlagenaspekte angesprochen, die einen geeigneten Hintergund für den späteren Umgang mit Normen, Abbildungen, Stetigkeit, etc. bereitstellen. Der zwar durch zahlreiche konkrete und zunächst elementare Beispiele verdeutlichte Rahmen ist bewußt so abstrakt gewählt, daß diese Konzepte später nicht nur auf diskretisierte Probleme, sondern auch auf die oft dahinter stehenden kontinuierlichen Probleme angewandt werden können. Die Struktur der Stoffaufbereitung ist dem vorhin skizzierten Ziel im folgenden Sinne untergeordnet. Wir bieten Beweise nur in dem Umfang, wie sie dem gewünschten Methoden- und Beurteilunsgverständnis dienlich sind und verweisen ansonsten auf entsprechende Quellen in Standardreferenzen. Wir haben versucht, bei jedem Thema so stromlinienförmig wie möglich zu den minimalen“ Kernaussagen zu kommen und diese deutlich hervorzuhe” ben. Wir bieten dann zu mehreren Themen eine sich anschließende, gestaffelte Vertiefung mit teils anspruchsvollerer Begründungsstruktur, die zunehmend auf Querverbindungen und Hintergrundverständnis abzielt. Diese Vertiefungen sind für die Verarbeitung des Basisstoffs nicht notwendig, können also je nach Anspruch übersprungen werden. Beispiele dafür sind etwa ausgehend vom linearen Ausgleichsproblem die Diskussion der (orthogonalen) Projektion aus einer allgemeineren Sicht sowie anschließend die Behandlung der Pseudoinversen in Zusammenhang mit der Singulärwertzerlegung. Dies geschieht jeweils mit einem Blick auf spätere Querverbindungen (teilweise in weiteren Vertiefungsteilen), etwa zwischen Interpolation, Projektion, Fourierentwicklungen, bzw. auf die Rolle der Projektion bei Galerin-Diskretisierungen und bei der Methode der Konjugierten Gradienten. Die Abschnitte mit Vertiefungsstoff werden mit einem Superskript ∗ gekennzeichnet, zum Beispiel: §4.6 Orthogonale Projektion auf einen Teilraum∗ . Jeder Themenabschnitt schließt mit einer Sammlung von Übungsaufgaben und in den meisten Fällen auch mit zusammenfassenden Hinweisen zur weiteren Orientierungshilfe. X Vorwort Obgleich das Schwergewicht auf weitgehend kontextunabhängigen numerischen Grundbausteinen liegt, haben wir uns entschlossen, die numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen zumindest in Grundzügen anzusprechen. Zum einen liegt dieses Thema vielen Simulationsaufgaben zugrunde. Zum anderen liefert es Motivation und Hintergrund für das wichtige Gebiet der iterativen Lösungsverfahren für große dünnbesetzte lineare Gleichungssysteme. Dies schließt die Bereitstellung einiger theoretischer Grundlagen mit ein, die für das Verständnis der numerischen Verfahren hilfreich sind und über den Begriff der Korrektgestelltheit“ auch wieder den Bogen zu Fragen der ” Kondition schließen – nun für das unendlich-dimensionale Problem. Ein abschließendes Kapitel ist der Darstellung einiger komplexerer Anwendungszenarien gewidmet, in dem insbesondere verschiedene numerische Grundbausteine miteinander verknüpft werden müssen. Abgesehen von der sicherlich nicht unbeabsichtigten Werbewirkung eines solchen wenn auch kleinen Ausblicks auf die Möglichkeiten numerischer Methoden geht es hierbei auch darum, zu verdeutlichen, wie wichtig die Einschätzung der diversen Fehlerquellen für eine gute Abstimmung der einzelnen Bausteine im Verbund ist. Der gesamte Stoffumfang geht damit natürlich erheblich über den Ausgangsrahmen einer einsemestrigen Numerikvorlesung hinaus. Im folgenden Flußdiagramm“ sind deshalb diejenigen Kapitel schattiert, die sich unse” rer Meinung nach für einen Grundkurs eignen, wobei da sicherlich mehrere vernünftige Auswahlmöglichkeiten bestehen. Ebenso sind in dieser Übersicht nochmals die Vertiefungsthemen mit einem ∗ gekennzeichnet. Für Dozenten stehen Folien zur Verfügung mit darauf Kopien von Teilen aus dem Buch (Sätze, Beispiele, Kernpunkte, usw.). Diese findet man unter www.igpm.rwth-aachen.de/DahmenReusken/Folien/ Vorwort XI 2 ? 3 H HH    H  HH  9  j * 4.5–4.7 4 5 * 5.7 XXX    XXX  XXX   9  ?   6 7 8 * 8.2.7, 8.4, 8.5   ?   9 10 ? 11 * 11.6.2, 11.8.5, 11.9.3 ? 12 * 12.2, 12.4 ? 13 ? 14 Wir möchten es schließlich nicht versäumen, uns ganz herzlich bei unseren Kollegen und Mitarbeitern bedanken, die auf vielfache Weise wesentlich am Zustandekommen dieses Textes beigetragen haben. Im Hinblick auf die Schlußphase gilt dies besonders für die Herren S. Groß, H. Jarausch, M. Jürgens, J. Peters, V. Reichelt und M. Soemers. Aachen, Dezember 2005 Wolfgang Dahmen Arnold Reusken Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Fehleranalyse: Kondition, Rundungsfehler, Stabilität . . . . . . 2.1 Kondition eines Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Elementare Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Bemessen, Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Relative und Absolute Kondition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Relative Konditionszahlen skalarwertiger Probleme . . . 2.1.5 Operatornormen, Konditionszahlen linearer Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Rundungsfehler und Gleitpunktarithmetik . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Zahlendarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Rundung, Maschinengenauigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Gleitpunktarithmetik und Fehlerverstärkung bei elementaren Rechenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Stabilität eines Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 12 15 18 19 Lineare Gleichungssysteme, direkte Lösungsverfahren . . . . . . 3.1 Vorbemerkungen, Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Kondition und Störungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Zeilenskalierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Wie man es nicht machen sollte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Dreiecksmatrizen, Rückwärtseinsetzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Gauß-Elimination, LR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Gauß-Elimination mit Spaltenpivotisierung . . . . . . . . . . 3.5.2 Numerische Durchführung der LR-Zerlegung und Implementierungshinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.3 Einige Anwendungen der LR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . 3.6 Cholesky-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Bandmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 51 58 62 64 65 68 71 3 26 35 35 37 39 42 48 76 79 82 88 XIV Inhaltsverzeichnis 3.8 3.9 Stabilitätsanalyse bei der LR- und Cholesky-Zerlegung . . . . . . 91 QR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.9.1 Givens-Rotationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.9.2 Householder-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.10 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 4 Lineare Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.2 Das lineare Ausgleichsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.3 Kondition des linearen Ausgleichsproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 4.4 Numerische Lösung des linearen Ausgleichsproblems . . . . . . . . 127 4.4.1 Lösung der Normalgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.4.2 Lösung über QR-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.5 Zum statistischen Hintergrund – lineare Regression* . . . . . . . . 132 4.6 Orthogonale Projektion auf einen Teilraum∗ . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.7 Singulärwertzerlegung (SVD) und Pseudoinverse∗ . . . . . . . . . . . 142 4.7.1 Berechnung von Singulärwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.7.2 Rangbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.7.3 Einige Anwendungshintergründe der SVD . . . . . . . . . . . 152 4.8 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5 Nichtlineare Gleichungssysteme, iterative Lösungsverfahren159 5.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 5.2 Kondition des Nullstellenproblems einer skalaren Gleichung . . 162 5.3 Fixpunktiteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.4 Konvergenzordnung und Fehlerschätzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.5 Berechnung von Nullstellen von skalaren Gleichungen . . . . . . . 180 5.5.1 Bisektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.5.2 Das Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 5.5.3 Newton-ähnliche Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 5.5.4 Zusammenfassende Hinweise zu den Methoden für skalare Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.6 Das Newton-Verfahren für Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.6.1 Grundlagen des Newton-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 5.6.2 Hinweise zur praktischen Durchführung des Newton-Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.7 Berechnung von Nullstellen von Polynomen∗ . . . . . . . . . . . . . . . 203 5.8 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 6 Nichtlineare Ausgleichsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.2 Das Gauß-Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.2.1 Analyse der Gauß-Newton-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 6.2.2 Das gedämpfte Gauß-Newton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . 221 6.3 Levenberg-Marquardt-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Inhaltsverzeichnis 6.4 XV Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 7 Berechnung von Eigenwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 7.2 Einige theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 7.3 Eigenwertabschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 7.4 Kondition des Eigenwertproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 7.5 Vektoriteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 7.6 Inverse Vektoriteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 7.7 QR-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 7.7.1 Die Unterraumiteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 7.7.2 QR-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 7.7.3 Praktische Durchführung des QR-Algorithmus . . . . . . . 253 7.8 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 8 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 8.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 8.2 Lagrange-Interpolationsaufgabe für Polynome . . . . . . . . . . . . . . 267 8.2.1 Existenz und Eindeutigkeit der Lagrange-Polynominterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 8.2.2 Auswertung des Interpolationspolynoms an einer oder wenigen Stellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 8.2.3 Darstellung des Interpolationspolynoms mittels der Potenzform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 8.2.4 Darstellung des Interpolationspolynoms mittels der Newtonschen Interpolationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 8.2.5 Restglieddarstellung – Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . 280 8.3 Hermite-Interpolation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 8.4 Numerische Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 8.5 Grenzen der Polynominterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 8.6 Beispiel einer Splineinterpolation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.7 Trigonometrische Interpolation – Schnelle FourierTransformation∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 8.7.1 Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 8.7.2 Trigonometrische Interpolation und diskrete Fourier-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 8.7.3 Schnelle Fourier-Transformation (Fast Fourier Transform FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 8.8 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 9 Splinefunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 9.1 Splineräume und Approximationsgüte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 9.1.1 B-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 9.1.2 B-Splines als Basis für den Splineraum . . . . . . . . . . . . . . 330 9.1.3 Rechnen mit Linearkombinationen von B-Splines . . . . . 332 XVI Inhaltsverzeichnis 9.2 9.3 9.4 9.1.4 Stabilität der B-Spline-Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Splineinterpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Datenfit–Smoothing Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 10 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 10.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 10.2 Newton-Cotes-Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 10.3 Gauß-Quadratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355 10.4 Extrapolation und Romberg-Quadratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 10.5 Zweidimensionale Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 10.5.1 Transformation von Integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 10.5.2 Integration über dem Einheitsquadrat . . . . . . . . . . . . . . . 369 10.5.3 Integration über dem Einheitsdreieck . . . . . . . . . . . . . . . 370 10.6 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 11 Gewöhnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 11.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 11.2 Reduktion auf ein System 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380 11.3 Einige theoretische Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 11.4 Einfache Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 11.5 Fehlerbetrachtungen für Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . 393 11.5.1 Lokaler Abbruchfehler und Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . 393 11.5.2 Zusammenhang zwischen Konsistenz und Konvergenz . 399 11.5.3 Praktische Bedeutung der Konvergenzordnung . . . . . . . 404 11.5.4 Extrapolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 11.6 Runge-Kutta-Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406 11.6.1 Explizite RK-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 11.6.2 Implizite RK-Verfahren∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 11.7 Schrittweitensteuerung bei Einschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . 419 11.8 Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 11.8.1 Allgemeine lineare Mehrschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . 423 11.8.2 Adams-Bashforth-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 11.8.3 Adams-Moulton-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428 11.8.4 Prädiktor-Korrektor-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 11.8.5 Konvergenz von linearen Mehrschrittverfahren∗ . . . . . . 432 11.9 Steife Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 11.9.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436 11.9.2 Stabilitätsintervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 11.9.3 Stabilitätsgebiete: A-Stabilität∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 11.9.4 Rückwärtsdifferenzenmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444 11.10 Zusammenfassende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 11.11 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 Inhaltsverzeichnis XVII 12 Partielle Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 12.1 Problemstellung und Prototypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 12.2 Korrekt gestellte Probleme – Kondition∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 12.3 Differenzenverfahren für elliptische Randwertaufgaben . . . . . . . 470 12.3.1 Diskretisierung der Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . 470 12.3.2 Diskretisierung einer Konvektions-Diffusionsgleichung . 474 12.3.3 Fourieranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 12.3.4 Diskretisierungsfehleranalyse – Stabilität und Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480 12.4 Finite-Elemente-Methode für elliptische Randwertaufgaben∗ . 490 12.4.1 Schwache Formulierung eines elliptischen Randwertproblems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491 12.4.2 Satz von Lax-Milgram und Galerkin-Diskretisierung . . 495 12.4.3 Korrektgestelltheit der schwachen Formulierung elliptischer Randwertprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 500 12.4.4 Galerkin-Diskretisierung mit Finite-Elemente-Räumen 502 12.4.5 Diskretisierungsfehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 12.4.6 A-posteriori Fehlerschranken und Adaptivität . . . . . . . . 511 12.4.7 Matrix-Vektor Darstellung des diskreten Problems . . . . 516 12.5 Finite-Volumen-Methode für elliptische Randwertaufgaben . . . 523 12.5.1 Finite-Volumen Methode mit Voronoi-Kontrollvolumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 12.5.2 Finite-Volumen Methode mit einem dualen Gitter . . . . 530 12.6 Fazit: Vergleich der Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 12.7 Diskretisierung parabolischer Anfangs-Randwertaufgaben . . . . 536 12.8 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538 13 Große dünnbesetzte lineare Gleichungssysteme, iterative Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543 13.1 Beispiele großer dünnbesetzter Gleichungssysteme . . . . . . . . . . 543 13.2 Eigenschaften von Steifigkeitsmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 13.3 Lineare Iterationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 13.3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 13.3.2 Das Jacobi-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 13.3.3 Das Gauß-Seidel-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558 13.3.4 SOR-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 13.4 Die Methode der konjugierten Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 13.5 Vorkonditionierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 13.6 Zusammenfassende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 13.7 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584 14 Numerische Simulationen: Vom Pendel bis zum Airbus . . . . 589 14.1 Taktmechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 14.2 Datenfit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 14.3 Ein Masse-Feder System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 XVIII Inhaltsverzeichnis 14.4 Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 14.5 Komplexere Beispiele numerischer Simulationen . . . . . . . . . . . . 607 14.5.1 Inverses Wärmeleitproblem in einem welligen Rieselfilm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608 14.5.2 Inkompressible Strömung in einer Blutpumpe . . . . . . . . 615 14.5.3 Kompressible Strömung um einen Flugzeugflügel . . . . . 620 14.6 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627 Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629 View publication stats