Metody statystyczne w technice wysokich napięć

P OLI TEC H N I KA ŁÓDZKAzyxwvutsrqponm FRANCISZEK M OS IŃS KI METODY STATYSTYCZNE W TECHNICE WYSOKICH NAPIĘ Ć ŁÓ D Ź 1995 Skrypt jest przeznaczony dla studentów Wydziału Elektrycznego kierunku elektrotechnika Recenzent: doc. dr Jerzy Janusz Zielińskizyxwvutsrqponmlkjihgfedc Redaktor: D anuta Źyżniewska Redaktor techniczny: Krzysztof Świerzyński WYDAWNICTWO POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ 93- 005 Łódź, ul. Wólczańska 223 IS BN 83- 86453^0- 0 Wydanie H . N akł ad 120 + 40 egz. Aik. wjd. 10,4. Ark. druk. 10,75. Papier offiet 80g 70 x 100 Podpisano do druku 27.01.199S r. D ruk ukończono w lutym 1995 r. Zamówienie 13/95 Cena 3 zl 33 gr Wykonano w A.C.G .M. „ LOD ART" SA. 93- 005 Łódź, ul. Wóteańka 223 Nr 849 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA 5 OZNACZENIA. ć 1. WSTĘ P 10 2. ROZKŁADY STATYSTYCZNE STOSOWANE W TECHNICE WYSOKICH NAPIĘ Ć I PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 13 2.1. Rozkłady statystyczne 13 2.1.1. Rozważania ogólne 13 2.1.2. Wprowadzenie do" te'orii wartości ekstremalnych. . . 2.1.3. Rozkład Weibulla. Właściwości i 14 zwią zki z innymi rozkładami 2.1.4. Rozkład dwuwykładniczy 2.2. Prawo wzrostu 18 26 27 2.2.1. Wprowadzenie 27 2.2.2. Prawo wzrostu dla zakresu małych prawdopodobieństw 28 2.2.3. Prawo wzrostu dla dużych N 29 2.2.4. Uogólnione prawo wzrostu 30 2.2.5. Prawo wzrostu w zastosowaniu do rozkładu Weibulla. 30 2.2.6. Prawo wzrostu w zastosowaniu do rozkładu dwuwykładniczego 2.2.7. Prawo wzrostu w zastosowaniu do rozkładu normalnego 2.3. Opracowanie wyników badań 32 33 34 2.3.1. Wprowadzenie 34 2.3.2. Metoda graficzna 37 2.3.3. Oszacowania punktowe 2.3.4. Metoda najwię kszej wiarygodności 2.3.5. Oszacowania przedziałowe 43 '51 55 2.3.6. Testy zgodności 60 2.3.7. Współczynniki dopasowania i korelacji 64 2.3.8. Niezależność poszczególnych doświadczeń. Test serii 66 2.3.9. Eliminacja błę dów grubych 68 3. WYBRANE PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ W WYSOKONAPIĘ CIOWEJ TECHNICE PROBIERCZEJ 71 3.1. Wprowadzenie 71 3.2. Wytrzymałość elektryczna krótkotrwała 3.2.1. Wprowadzenie 71 71 3.2.2. Metody badań izolacji regenerują cej się 3.2.3. Metody badań izolacji nieregenerują cej się 73 . . . . 95 3.2.*. Komentarze na temat badań wytrzymałości krótkotrwałej 102 3.3. Wytrzymałość długotrwała: 106 3.3.1. Próby starzeniowe. Czas życia izolacji 3.3.2. Reguły statystyczne starzenia 106 izolacji przy dzia- łaniu wyładowań niezupełnych 3.4. Statystyczna koncepcja uzasadnienia 109 parametrów prób uda- rowych wysokonapię ciowych transformatorów energetycznych. 114 3.5. Automatyzacja pomiarów i obliczeń 118 4. WYBRANE PRZYKŁAOY ZASTOSOWAŃ STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ W TECHNICE IZOLACYJNEJ 119 4.1. Wstę p 119 4.2. Izolacja ciekła, olej izolacyjny 120 4.2.1. Wprowadzenie 120 4.2.2. Zależność wyników od metody badań 121 4.2.3. Efekt obję tości oleju i efekt powierzchni elektrod . 122 4.3. Układy izolacyjne z izolacją stałą 128 4.3.1. Wprowadzenie 128 4.3.2. Wpływ grubości warstwy na wytrzymałość elektryczną izolacji stałej 129 4.4. Statystyczna koncepcja koordynacji izolacji 135 4.4.1. Koordynacja izolacji liniowej 4.5. Ryzyko zagrożenia piorunowego obiektów budowlanych 135 . ť . 146 5. WYBRANE ZAGADNIENIA ZASTOSOWAŃ STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ W TEORII PRZEPIĘ Ć 14B 5.1. Statystyczny opis przepię ć piorunowych 148 5.2. Przepię cia piorunowe indukowane 153 5.3. Przepię cia łą czeniowe 156 5.3.1. Wprowadzenie 156 5.3.2. Przykład załą czania nieobcią źonej linii 157 6. PUŁAPKI ZWIĄ ZANE ZE STOSOWANIEM STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ. . . lćl 6.1. Statystyka a wiedza inżynierska 161 6.2. Pułapki statystyki i elementarne porady praktyczne . . . 161 LITERATURA 164 PRZEOMOWA Skrypt jest przeznaczony dla studentów Wydziału Elektrycznego studiują cych na kierunku Elektrotechnika a w szczególności dla studentów specjalizują cych się w zagadnieniach techniki wysokich napię ć, budowy i projektowania transformatorów, urzą dzeń wysokonapię ciowych, i systemów elektroenergetycznych. Może być również sieci pomocny pracowni- kom wysokonapię ciowych laboratoriów badawczych, konstruktorom trans- formatorów, czy projektantom urzą dzeń wysokonapię ciowych. Na Wydziale Elektrycznym elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej są prezentowane w ramach wykładów z matematyki jak również w ramach wykładu "Teoria niezawodności i statystyczne metody badania jakości". Zatem autor czuje się zwolniony z przedstawie- nia podstaw statystyki matematycznej i zakłada, że czytelnik skryptu jest zaznajomiony z poję ciami podstawowymi. Celem skryptu jest wię c omówienie jedynie tych zagadnień staty- styki matematycznej, które zostały adoptowane do potrzeb techniki wysokich napię ć i to tylko w zakresie wykraczają cym poza ogólnie dostę pne podrę czniki autorstwa matematyków. Zakłada się zaznajomiony jest z problematyką i z teorią wię c, że czytelnik zdarzeń losowych, zmiennych losowych rozkładu normalnego i rozkładów testowych. dynie zagadnienie rozkładów ekstremalnych jako Rozwinię to je- specyficznie przydat- nych w technice wysokich napię ć a pomijanych w ogólnych podrę cznikach statystyki matematycznej. OZNACZENIA A, a, b, c, d - stałe a, b - oszacowania współczynników regresjizyxwvutsrqponmlkj cc - poziom istotności - kres dolny dziedziny rozkładów wartości minimal- nych - bezwymiarowy parametr rozkładu dwuwykładniczego - parametr kształtu w funkcji napię cia dwuwymiaro- wego rozkładu Weibulla a - stromość prą du pioruna a. li - elementarna powierzchnia elektrod - poziom ufności parametr kształtu w funkcji czasu, dwuwymiarowego rozkładu Weibulla b - odległość uderzenia pioruna od linii db - szerokość pasa wokół linii, z którego jest możliwe wyładowanie piorunowe do linii dn dN statystyka Kołmogorowa- Smirnowa - 0 liczba wyładowań w pasie linii o szerokości db - krytyczna wartość rozkładu Kołmogorowa- Smirnowa dS, dUcg " błę dy oszacowań odpowiednio odchylenia standardowego i wartości oczekiwanej S. - dekrement tłumienia e - chwilowa wartość sem E - maksymalna wartość sem E - naprę żenie elektryczne e f(u), f(x) itp. f. ,|<z „ F(X), F(U) itp. Fw(U) F S(U) FgCU) Fpg(y) - błą d oszacowań funkcje gę stości prawdopodobieństwa kwantyl rozkładu Snedecora- Fischera dystrybuanta rozkładu zmiennej losowej dystrybuanta rozkładu Weibulla dystrybuanta standaryzowanego rozkładu Weibulla dystrybuanta rozkładu dwuwykładniczego funkcja standaryzowanego rozkładu dwuwykładniczego zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB ką t załą czania wyłą cznika <P - ką t począ tku ruchu styków wyłą cznika <p F(U), F(X) itp. - dystrybuanta empiryczna wykładnik potę gowy w rozkładach wartości ekstremal- f - nych statystyczny współczynnik bezpieczeństwa f - prę dkość wzrostu odpowiednio naprę żeń i napię cia te, t\> h - współczynnik jednorodności wyników - grubość dielektryku - wysokość zawieszenia przewodów linii H(x) - rozkład wartości maksymalnych H 1 > r (x), H 2 , f ( x ) , ^ ^ 2 2 Z ,X N _i o/ " statystyka i wartość krytyczna rozkładu chi- kwadrat i, j, k - rzą d statystyki lub indeks i , I - wartość chwilowa i szczytowa prą du pioruna I - maksymalna wartość prą du pioruna HI3 X k - parametr kształtu rozkładu Weibulla - liczba przeskoków w metodzie góra- dół - rzą d statystyki pozycyjnej w próbce k i, t k , k K W - współczynniki przepię cia łą czeniowego: globalny dla U składowej wymuszonej i przejściowej 1 - długość linii L - indukcyjność funkcja wiarygodności X - ranga statystyki pozycyjnej L(U) l 2f (U), rozkład wartości minimalnych . 3,0(U) - L m, n - j.w. typu 1(11), 2(111), 3(1) liczność próbki M N u ( ) N N(0,l) - 1 liczność populacji] llczt| y naturalne wartość oczekiwana w rozkładzie normalnym dwumian Newtona współczynnik skali liczność populacji standaryzowany rozkład Gaussa M, - trzeci moment centralny M, R - ogólna i średnia Liczba serii pomiarowych w metodzie góra- dół n - średnia liczba wyładowań w cią gu 1 dnia burzowego 2 1 km na powierzchnię nj M. liczba dni burzowych w roku .- liczba wyładowań atmosferycznych w cią gu roku prowadzą ca do powstawania przepię ć indukowanych o wartości szczytowej powyżej U. 1 V Ct) - zyxwvutsrqponmlkjihgfe 1113 X wzglę dna wartości napię cia probierczego kres górny dziedziny rozkładów wartości maksymalnych 9 oo , Q - o pulsacja - statystyka i wartość krytyczna do testu omega- kwadrat p, P - prawdopodobieństwo 5T - liczba pi TT - znak iloczynu q - liczba prób bez przeskoków w metodzie góra- dół - wykładnik funkcji gę stości krotności k q n (U) r prawdopodobieństwo 8 xy R - ryzyko uszkodzenia rezystancja s S, S C parametr skali rozkładu Weibulla współczynnik korelacji współczynnik zmienności odchylenie standardowe - Si t T. tn j « - znak sumowania prawdopodobieństwo czas czas trwania czoła prą du pioruna kwantyl rozkładu Studenta T - Dkres Z - czas życia izolacji u,x itp. - zmienne losowe 0, X - wartości średnie U, X - mediany U,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA X - wartości modalne Uo U m - parametr przesunię cia rozkładu Weibulla parametr skali rozkładu Weibulla wartość charakterystyczna rozkładu dwuwykładni- czego U U. napię cie .- napię cie indukowane U, Q - mediana napię ć przeskoku, przebicia itp. U - napię cie startu próby wysokonapię ciowej U - Umax napię cie wytrzymywane - maksymalna wartość przepię cia Uf m- ,v " maksymalne napię cie robocze linii AL) - krok napię ciowy V - obję tość oleju szczególnie naprę żanego V. - elementarna obję tość dielektryku W minimalna wartość ze zbioru zmiennych losowych - W|, , Wj,„ - wartość odpowiednio: kwantyla i krytyczna 2 2 W n , W^ W ., W„. W^ - 2 statystyka i wartość krytyczna do testu W n wartości wagowe prawdopodobieństwo inicjacji wyładowania z obję tości V. J x - zmienna niezależna y - zmienna zależna - zmienna standaryzowana w rozkładzie dwuwykładni- czym - kwantyl standaryzowanego rozkładu normalnego powierzchnie ekwipotencjalne 2., Z. Z Ci/p - - maksymalna wartość ze zbioru zmiennych losowych współrzę dne siatek funkcyjnych 1. WSTĘ PzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT Technika wysokich napię ć jest działem elektrotechniki obejmują cym nastę pują ce główne dziedziny problemów naukowych i technicznych: - miernictwo wysokonapię ciowe i technika probiercza, przepię cia, ochrona przeciwprzepię ciowa i koordynacja izolacji, - wytrzymałość elektryczna materiałów i układów izolacyjnych. We wszystkich tych dziedzinach wystę puje problem ników warunkują cych pomiary a wię c i losowości losowości czyn- stosowanych, definio- wanych w poszczególnych zagadnieniach wielkości takich jak np. napię cie przebicia czy przeskoku, czas do wyładowania, wartość przepię cia itp. Jeśli przykładowo rozważyć odstę p izolacji powietrznej przy narażeniu napię ciem elektrycznym przemiennym o niezmiennej w czasie war- tości amplitudy to wówczas wielkością losowo bę dzie zmieniają cą się czas do zaistnienia przeskoku. 3ak wiadomo z teorii wyładowań w ga- zach, przeskok zostaje zainicjowany przez swobodny elektron o energii wystarczają cej do zapoczą tkowania rozwoju lawiny, pojawienia się przy takiego elektronu jest niezależna warunków otoczenia itd. i nie daje się przewidzieć znaczny. Zatem pomiary czasów do przeskoku mimo takich samych warunków bę dą od czym chwila stanu elektrod, w sposób zachowania jednoidealnie ulegały rozrzutowi losowemu. Jeśli zamiast utrzymywać napię cie na stałym poziomie, zmieniać je np. od zera ku coraz wyższym wartościom (w sposób cią gły lub schodkowo), to oczywiście również kolejne pomiary napię cia przeskoku bę dą bą . W przypadku gdy kolejne wyniki pomiarów są się różnić mię dzy so- jednakowe, można raówić o niewystarczają cej dokładności odczytu, o małej czułości miernika, o zbyt grubej podziałce itp. W przypadku izolacji ciekłej lub stałej problem komplikuje się datkowo wskutek złożonej i niemożliwej do dokładnego do- zdefiniowania struktury wewnę trznej takich dielektryków. Przykładowo olej transformatorowy jest w skali technicznej zawsze zanieczyszczony niewielkimi ilościowo domieszkami wilgoci, zanieczyszczeń stałych i gazowych które to wtrą ciny decydują o jego właściwościach dielektrycznych. Podob- nie jest w przypadku dielektryków stałych. W obydwu powyższych przy- 11 padkach o wytrzymałości elektrycznej decyduje ta wtrą cina, która charakteryzuje się najlepszymi właściwościami ku inicjowaniu dielektryka. Jest to wię c właściwość ekstremalna. przebicia Pomiar wytrzymało- ści elektrycznej pozwala zaobserwować jedynie minimalną wartość napię - cia przebicia. Stą d w technice wysokich napię ć znajduje coraz szersze zastosowanie nowy i stosunkowo mało znany dział statystyki matematycznej, teoria wartości ekstremalnych w zarysie przedstawiona w punk- cie 2.1.2. W przypadku przepię ć zewnę trznych, piorunowych niemożność okre- ślenia czynników wpływają cych na ich kształt i wartość szczytową jasna jak jasna jest niemożność przewidywania konfiguracji niebie w dowolnej chwili czasowej. W przypadku jest chmur na przepię ć wewnę trznych można w sposćb deterministyczny określić krotność przepię cia i jego kształt przy danej konfiguracji obwodu i w danym momencie zaistnienia operacji łą czeniowej. Nie można natomiast z góry przewidzieć w jakich chwilach czasowych zaistnieją procesy łą czenia w obwodach rzeczywistych. Problematyka losowości w dziedzinie koordynacji izolacji jest oczywiście wypadkową procesów stochastycznych warunkują cych wytrzymałość i przepię cia. Zastosowanie statystyki matematycznej w technice wysokich napię ć jest dziedziną , podobnie jak i sama technika wysokich ją cą napię ć, ulega- cią głemu rozwojowi. Trudno jest zatem dokonać skończonej synte- zy istnieją cej wiedzy. Tym niemniej wydaje się iż zestawione w roz- działach 3, A i 5 przykłady zastosowań w poszczególnych działach techniki wysokich napię ć stanowią , mimo niekompletności, reprezentatyw- ną , umożliwiają cą zrozumienie problematyki, gamę zagadnień. przykłady dotyczą badań właściwości izolacji nieregenerują cej się , w tym głównie izolacji papierowo- olejowej, stosowanej w wysokonapię ciowych transformatorach energetycznych. Izolacja tego typu gdzie przebicie jest zjawiskiem zarówno niepożą danym jak i niedopuszczalnym nieniu od izolacji typu regenerują cej się gdzie żą dany lecz sporadycznie dopuszczalny, wymaga Wybrane w odróż- przeskok jest niepodużej pieczołowitości zarówno w badaniach jak i obliczeniach stą d problem metod statystycznych jest tu szczególnie silnie zarysowany. Ograniczenie treści skryptu do wyżej wspomnianych celowe również dlatego, że są dostę pne w kraju dotyczą ce zastosowań statystyki matematycznej do sokonapię ciowych. 1 tak w [3, 4] można się zagadnień jest obszerne opracowania innych zagadnień wy- zapoznać z obszerną pro- 12 blematyką izolacji powietrznej, praca [27] oparta przykładach dotyczą cych izolacji z sześciofluorkiem jest głównie siarki, w na [4 5] rozważana jest problematyka wyładowań niezupełnych. Specyficzne zastosowanie statystyki matematycznej do oceny zagrożeń piorunowych obiektów budowlanych są rozwinię te w ksią żce Z. Flisowskiego [20] . Problematyka omówiona w powyższych monografiach miejsce w tym skrypcie lecz tylko w zakresie wystarczają cych jako uzupełnienie ogólnej wiedzy stanowczo zbyt ubogich dla specjalistów pracują cych nych dziedzinach. znalazła również wiadomości podstawowych inżynierskiej lecz w tych szczegól- 2. ROZKŁADY STATYSTYCZNE STOSOWANE W TECHNICE WYSOKICH NAPIĘ Ć I PODSTAWY WNIOSKOWANIA STATYSTYCZNEGO 2.1. Rozkłady statystyczne 2.1.1. Rozważania ogólne Spośród obfitej gamy rozkładów statystycznych, z punktu widzenia potrzeb techniki wysokich napię ć, z rozkładów zmiennej kowej - na szczególną uwagę losowej sko- zasługują : rozkład Bernoulliego (dwumianowy), - rozkład Poissona, a spośród rozkładów zmiennej losowej cią głej: - rozkład normalny (wraz z logarytmo- normalnym), - - rozkład Weibulla (i wykładniczy jako jego szczególny przypadek), rozkład dwuwykładniczy. Zarówno rozkłady Bernoulliego, Poissona jak i logarytmo- normalny są i rozkład normalny omawiane w każdym podrę czniku statystyki ma- tematycznej dlatego poprzestaniemy tu na stwierdzeniu,zyxwvutsrqponmlkjihg te rozkłady Bernoulliego i Poissona odgrywają pewną rolę przy opracowaniu wyni- ków prdb wysokonapię ciowych, natomiast rozkład normalny znajduje szerokie zastosowanie przy badaniach, projektowaniu i koordynacji izolacji liniowej, a wię c izolacji powietrznej. W dalszych rozdziałach skryptu rozkłady te bę dą omówione przy konkretnych zastosowaniach. Pozostałe dwa rozkłady; Weibulla i dwuwykładniczy typu ekstremalnego i są stosunkowo mało znane są rozkładami (szczególnie dwuwykładniczy) dlatego w dalszej czę ści rozdziału rozkład umieszczono krót- kie wprowadzenie do teorii wartości ekstremalnych i omówiono te rozkłady w wersji dostosowanej do potrzeb techniki wysokich napię ć. 14 2.1.2. Wprowadzenie do teorii wartości ekstremalnych Wiele zagadnień wysokonapię ciowych, jak np. łości elektrycznej izolacji czy określenie przepię ć piorunowych dokonuje się określenie wytrzyma- maksymalnych przy założeniu parametrów najmniej sprzyjają - cych warunków. Zachodzi wię c potrzeba oszacowania dolnych lub górnych granic zaobserwowanych wartości lub oszacowania czę stości przekraczania zadanego poziomu. Statystyczny opis rozkładów skrajnych (maksymalnych lub minimalnych) wyrazów z zaobserwowanego szeregu statystycznego jest właśnie przedmiotem rozważań teorii wartości ekstremalnych. Obszerne i wyczerpują ce rozwinię cie tej teorii można znaleźć w ksią żkach Gumbela [25] i Galambosa [23]. Tutaj ograniczono się jedynie do podstawowych założeń i końcowych twierdzeń. Za punkt wyjścia do rozważań przyję to pewną obję tość technicznie czystego materiału izolacyjnego umieszczonego mię dzy elektrodami o polu równomiernym. Niech ma on losową runkowaną ślowo tę wytrzymałość elektryczną U, uwa- skrajnie niekorzystnym mikrozanieczyszczeniera X. Dzielą c myobję tość na n pewnych obję tości elementarnych np. sześcia- nów o małych wymiarach, ze wzglę du na przypadkowość rozkładu wtrą cin w obję tości dielektryka, w każdej z obję tości uzyska się nieco różne mikrozanieczyszczenia o mikro- elementarnych skrajnie niekorzyst- nych właściwościach oznaczonych jako X., X„, ťť- , X . Odpowiednio do tego każda z elementarnych obję tości trzymałość elektryczną ma inną wy- U,, U- , .... U . Zakładają c wstę pnie, że zarów- no X i jak i u\ (1 ^ i <: n) to niezależne zmienne losowe o jednakowych rozkładach: F(x) = P ( X i < x ) , (la) F(u) = P(u\ < u ) . (lb) oraz zakładają c dalej, że przebicie jednego z elementarnych sześcianów, przy doprowadzeniu napię cia do elektrod, jest równoznaczne z przebi- ciem całego układu izolacyjnego, uzyska się , iż przebity zostanie ten z elementarnych sześcianów, który zawiera mikrowtrą cinę , o najbardziej niekorzystnych właściwościach w danym momencie, oznaczoną Z n = max {X 1 , X 2 , ..., X n }. przez Z , czylizyxwvut (2a) 15 Sześcian zawierają cy wtrą cinę Z ma najmniejszą wytrzymałość W czyli N n = min ( U r U2 Un}. Można wię c zaobserwować jedynie minimalną (2b) wartość statystyki na- pię ć przebicia elementarnych sześcianów. Prawdopodobieństwo, że wszystkie z n sze niż niezależnych obserwacji cią głej zmiennej x losowej są mniej- wynosi Hn(x) = P { Z n < x } = F n (x), a prawdopodobieństwo, że najmniejsza spośród wacji jest mniejsza niż u n (3a) niezależnych obser- wynosi [l - F(u)] n . Ln(u) = P {Wn < u} = 1 Rozwią zanie zagadnienia sprowadza się do Ob) poszukiwania rozkładów granicznych przy n - ^ » , czyli znalezienia takich warunków które należy nałożyć na funkcję F(x) lub F(u) aby zapewnić istnienie takiego układu stałych a n , b n > 0 lub c n , d p > 0, aby granice lira lim n J. i c + H n ( a RzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF * b R x ) = lim F (an b n * ) = H(x) (»a)zyxwvutsr 0 zyxwv L n ( c n + d n u) = 1 - n- ~oo lim n- »~ [l - F(c n + dnu)] n = a | zy L(u) zyxwvutsrqponmlk X * UJ CDzyxw zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP UJ istniały dla wszystkich punktów cią głości funkcji odpowiednio H(x) i L(u). Definicja [23] Mówi się , że rozkład F(x) należy od obszaru przycią gania H(x), jeśli istnieją cią gi stałych a n i b n > 0 dla których wzór (4a) oraz, że F(u) należy do obszaru przycią gania istnieją cią gi stałych c id słuszny jest L(u) jeśli > 0, dla których słuszny jest wzór (4b). Twierdzenie 1 [23] Istnieją tylko trzy typy funkcji rozkładów H(x), leżność (4a). Są to: spełniają ce za- 16 exp(- x"^) dla x > Ozyxwvutsrqponmlkjihgf (5) 9 I O dla 1 x ^ O xzyxwvutsrqponmlkjihgfed > O (6) dla exp[- (- x)'] dla x < O x (7) exp(- e" ) Twierdzenie 2 [23] Istnieją tylko trzy typy funkcji rozkładów L(u) spełniają cych zależność (4b). Są to: exp[- (- u)~J>] 1 - dla u < 0 (B) Llpf(u) dla 1 L2ff(u) j 0 exp(- u^) u > 0 dla u > 0zyxwvutsrqponmlkjih dla u < 0 (9) =ť (u) = 1 - exp(- e u ) (10) Twierdzenie 3 [23] Funkcja rozkładu F(x) należy do obszaru przycią gania: 1) H^ j.(x) wtedy i tylko wtedy gdy górna granica dziedziny funkcji F(x) oznaczona jako co jest równa «>o i spełniony jest warunek 1 - (11) F(t) 2) H, ^(x) wtedy i tylko wtedy gdy a)<oo ^ >T = F (a> - i- ] (x > 0) spełnia warunek (11), i funkcja F*(x) = 3) Hj Q ( x ) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje skończona całka I [l - F(y)]dy przy a<cx> (12) 17 oraz spełniony jest warunek t— w i - rix gdzie o>zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG 1 R(t) = [1 - F(t)]" f [l - F(y)]dy (14) oe < t<o) (or - dolna granica dziedziny funkcji F(x)). dlazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Twierdzenie 4 [231 Funkcja rozkładu F(u) należy do obszaru przycią gania: 1) L, ^(u) wtedy i tylko wtedy, gdy or = - °- »i spełniona jest za- leżność (15) 2) L 2 ,*(u) wtedy i tylko wtedy, gdy oi > - <x> i = F(a - funkcja F*(u) F*( = l/u) (u < 0) spełnia zależność (15), 3) L 3 0 ( u ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona całka a / F(y)dy przy a < ~ (16) i spełniona jest zależność urn n**?*™} t- Cf , .», , (17 gdzie t r ^ = F(t) ./ F (y)dy Dowody powyższych twierdzeń są przy podane w [23]. (7) zdefiniowane w twierdzeniu 1 noszą nazwę Rozkłady (5), (6), asymptotycznych (granicz- nych) rozkładów wartości maksymalnych, a rozkłady (B), (9), (10) zdefiniowane w twierdzeniu 2 noszą nazwę asymptotycznych (granicznych) rozkładów wartości minimalnych. Rozkłady (5) i (8) można wg numeracji Galambosa [23] nazwać rozkładani typu 1 (wg [9], [25] typu II), roz- kłady (6) i (9) typu 2 (wg [9], [25] typu III), a rozkłady (7) i (10) 18 typu 3 (wg [9], [25] typu I ) . M technice wysokich znaczenie mają napię ć podstawowe rozkłady wartości minimalnych typu 2 (III) i typu 3 (I) powszechniej nazywane odpowiednio'rozkładem Weibulla i dwuwykładniczym. Rozumowanie oparte o myślowy podział materiału izolacyjnego elementarne obję tości wiedzie, w oparciu o twierdzenia ści ekstremalnych, do rozkładu Weibulla na teorii warto- [25], przy czym zarówno waru- nek nieodziaływania poszczególnych elementów na siebie jak i warunek jednakowych rozkładów, rozważanej zmiennej losowej, dla każdego z elementów niezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA są warunkami rygorystycznymi. Teoria dopuszcza wzajemna, zależność bliskich sobie (w obję tości dielektryka) elementów zakładają c jedynie, że oddalone od siebie elementy są asymptotycznie ne [23] . Rozkłady rozważanych zmiennych losowych mają tego samego typu i muszą niezależ- natomiast być mieć podobny przebieg w pobliżu granicy o;. Przystosowanie teorii wartości ekstremalnych do szacowania wytrzymałości elektrycznej materiałów i układów izolacyjnych, sugeruje zgodnie z rozwinię tym na wstę pie rozdziału rozumowaniem, zależność wytrzymałości od obję tości dielektryka. Rzeczywiście zależność obserwowana eksperymentalnie, co stanowi jeden taka jest z dowodów poprawności przyję tej teorii (por. rozdz. 4.2.3 i 4.3.2). Ostatecznym dowodem jest zgodność danych eksperymentalnych z teoretycznymi rozkładami wartości ekstremalnych. 2.1.3. Rozkład Weibulla. Właściwości 1 zwią zki z innymi rozkładami Rozkład Weibulla jest jednym z najbardziej elastycznych rozkładów statystycznych i najelastyczniejszym z rozkładów asymptotycznych. Postać tego rozkładu w wersji stosowanej do zagadnień wytrzymałości elektrycznej jest nastę pują ca: F w (u) = gdzie: U - 1 - [ exp / u - u \ki d l a u > % dla U < U o parametr przesunię cia (napię cie wytrzymywane F(U_) = 0) wyrażony w jednostkach napię cia, U - parametr skali (F(U m ) = 1 - e - 0,632) wyrażony w jedno- stkach napię cia, U - zmienna losowa (napię cia przebicia przeskoku itp.), k - bezwymiarowy parametr kształtu. 19 Wprowadzają c przekształcenie U m uzyskuje się U o cozkład standaryzowany FWS(Z) = 1 - exp(- Z k ) dla Z > 0. Dla k = 1 rozkład (21) (a wię c i(19)) jest funkcją (21) wykładniczą , czy- li rozkład wykładniczy jest szczególnym przypadkiem rozkładu Weibulla. Jeśli k = 2 i U Q = 0, to uzyskuje się funkcję zwaną rozkładem Rayleigha. jest Ponieważ dziedzina zmiennej we wzorach (19) i (21) ograni- czona lewostronnie a nieograniczona prawostronnie rozkład jest asymetryczny. Jednakże usytuowanie wzglę dem siebie miar wartości central- nych: mediany, mody i średniej oraz znak trzeciego momentu zmieniają się w funkcji parametru kształtu k. W zwią zku z tym istnieją ki pseudosymetrii rozkładu gdy "wydaje się ", że Parametry charakteryzują ce rozkład Weibulla zestawiono W tabeli 2 zestawiono wartości standaryzowanych miar w sobie równe i gdzie zanika trzeci moment. beli 2, gdy dwie z podanych w tabeli wielkości to trzecia różni się dwie mają tę samą wartość od nich nieznacznie. Podobnie wówczas gdy współ- wartości zbliżone. We wszystkich rozkład wydaje się lub trzy Jak wynika z ta- czynnik skośności jest równy zeru, to wszystkie trzy centralnych mają tabeli 1. wielkości cen- tralnych z tabeli 1, dla tych wartości k, dla których z nich są przypad- jest on symetryczny. być symetryczny. Ogólnie miary wielkości tych wrażenie przypadkach symetryczności rozkładu Weibulla jest zachowane jeśli parametr k jest zawarty w przedziale 3,2 < k < 3,7 (0,27 < l/k < 0,31). W przedziale Weibulla jest "podobny" do rozkładu normalnego. rzy podejmowali próbę tym rozkład Stą d niektórzy auto- matematycznego zapisu rozkładu Weibulla o kształ- cie najbardziej zbliżonym do kształtu rozkładu normalnego. Przykładowo Veverka [8l] zakładają c, że = fr f .(U|T)), gdzie F., - F w ( U Q ) = 0; F w (0)=0,5 oraz F w ( U m ) = dystrybuanta rozkładu normalnego, uzyskał f /„ . ^3,271 (22) gdzie x ť GT = U - D (G - odchylenie standardowe rozkładu normalnego). 20 T a b e l a 1 Parametry zwią zane z rozkładem Weibulla Średnia lub moment Symbol U Mediana Pierwszy moment (średnia) U + <Un, " U 0 ) ( l n 2 ) 1 / k o * ^ U m " U o ) ( 1 "4'^ 1 / ' k /u - u \* Cu - ( TT" F k>1 } o/zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED uo) ^- uyra.i- ) x U U o + (U ,n " U o zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY +1T> ) r ( 1 <».- V2[r«*- i*- r2"4>] Wariancja Standaryzowana różnica od Uro do u o Z 1 lub *m Moment rzę du 1 U U Moda Zredukowany moment rzę du 1 Wzór / 2 } \ l/Ri 4 > - r ci 4 / 1 o Standaryzowana różnica od U do 0 » Trzeci moment centralny Współczynnik skośności [l - T(l +- i- )] B(k) A(k)s —SLj "> (U - UQ) 3 - 3(U - U Q ) 2 (U - U Q ) + 2(U - U Q ) 3 + 2r3(1 ) e3(k) [rei +- J) - 3R1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF +$ rei 4 ) 4 ] 21 Przy nieco innych założeniach F w ( U Q ) = 0; F w ( 0 ) = 0,5; oraz F^(0) =zyxwvutsr / < JF \ / d F N xzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA " v~mzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA U=G = i- dirju=a = 3 4 5 F w ( x) = 1 - r 3) ' * 1 exp [- ^WT2J- (23) T a b e l a 2 Cztery pseudosymetryczne przypadki rozkładu Weibulla wg [25] Współczynnik Parametr Mediana Średnia Moda skośnoWarunekzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ścizyxwvutsrqpo k Z Z l/k ih 1 = 1 Z = Z Ź = Ź ti = ° 3,25889 0,30685 0,89363 0,89363 0,89646 0,09350 3,31125 0,30189 0,89525 0.B9719 0,89719 0,07447 3,43938 0,29075 0,89892 0,90494 0,89892 0,04057 3,60232 0,27760 0,90326 0,91369 0,90114 0,00000 Uwaga: Odpowiednie wartości u uzyskuje się Zależności (22) i (23) wprowadzają zu=ŹL) wię c kolejne tru kształtu k z przedziału (3,2; 3,7), przy +(1- ź)U wartości parame- których wg [Bl] rozkład Weibulla dobrze zastę puje rozkład normalny. Rozkłady o k = 3,27 i 3,445 wykreślono na rysunku 1 w normalnej (Gaussowskiej) siatce prawdopodobieństwa (patrz rozdz. 2.3.2). Minimalne różnice stanowią , iż w oparciu o ograniczoną liczbę mię dzy rozkładami obserwacji zmiennej loso- wej trudno jest dokonać wyboru rozkładu w oparciu jedynie o kryteria statystyczne. Wybór winien w takim przypadku być dodatkowo argumentami wynikają cymi ze znajomości fizycznych właściwości wsparty bada- nego zjawiska. Jeśli z założeń Veverki [Bl] poprzestać jedynie na założeniu, że prawdopodobieństwo uzyskania wartości średniej wynosi tak jak dla rozkładu normalnego 0,5 (F w (0) = 0,5), to uzyska się czę sto stosowany rozkład [25, 58] jako praktycznie pokrywają cy się o k = 3,5 z normal- 22 Rys. 1. Rozkłady Weibulla o parametrach kształtu k = 3,27 i k = = 3,445 wykreślone w siatce funkcyjnej rozkładu Gaussa T a b e l a Jzyxwvutsrqponmlkj Standaryzowane r o zkł ad y Weib ulla z 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1.1 1,2 1,3 1,4 1,5 2,0 2,5 X - 3 - 2,67 - 2,33 - 2,0 - 1,67 - 1,33 - 1,0 - 0,66 - 0,32 0,01 0,347 0,68 1,02 1,35 1,69 2,02 3,70 5,35 kzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y^ 3,439 3,445 3,270 3,602 3,311 0 0,00055 0,00528 0,01964 0,04936 0,09938 0,17265 0,26880 0,38342 0,50816 0,63212 0,74433 0,83644 0,90460 0,94975 0,97634 0,99993 - 1 0 0,00051 0,00517 0,01901 0,04760 0,09758 0,16902 0,26766 0,38849 0,50764 0,63212 0,74480 0,83723 0,90542 0,95048 0,97657 0,99994 ~1 0 0,00049 0,00484 0,01839 0,04698 0,09583 0,16827 0,26432 0,37976 0,50613 0,63212 0,74617 0,83941 0,90781 0,95250 0.97B27 0,99995 0 0,00036 0,00394 0,01578 0,04189 0,08806 0,15850 0,25416 0,37135 0,50144 0,63212 0,75041 0,84620 0,91503 0.95B46 0,98228 0,99998 ~1 0 0,00034 0,00391 0,01546 0,04075 0,08711 0,15603 0,25275 0,37099 0,50123 0,63212 0,75059 0,84732 0,91511 0,95909 0,98240 0,99998 ~1 0 0,00025 0,00303 0,01299 0,03618 0,07904 0,14683 0,24171 0,36085 0,49549 0,63212 0,75577 0,85464 0,92370 0,96528 0,98655 0,99999 - *1 3,500 0 0,00033 0,00382 0,01525 0,03969 0,08673 0,15439 0,24899 0,36795 0,49868 0,63212 0,75208 0,84909 0,91566 0,96110 0,98397 0,99999 ť*ť* 1 25 nym u zakresie dostę pnym do obserwacji eksperymentalnych. Jest to rozkład o średniej bliskiej medianie (patrz tab. 2) i współczynniku skośności. Na rysunku 2 wykreślano o najmniejszym i najwię kszym k z tabeli 2 w o bardzo rozkłady małym Weibulla uniwersalnej siatce funkcyjnej rozkładu Weibulla (patrz rozdz. 2.3.2). W tablicy 3 zestawiono wszystkie pseudometryczne przypadki rozkładu Weibulla z tabe- li 2. Jak widać różnice pomię dzy poszczególnymi pseudosymetrycznyni przypadkami są nieznaczne i tylko przy bardzo dużych licznościach próbki można byłaby dokonać rozróżnienia. Ola celów praktycznych można wię c pozostać przy przybliżeniu k = 3,5 wówczas gdy ograniczone wyniki obssrwacji sugerują rozkład normalny. Rozkład Weibulla jest również silnie zwią zany z pozostałymi roz- kładami asymptotycznymi. Przykładowo wprowadzają c podstawienie x = lg U; 1 t/ = lg U^; «'= 2,30259 k; UQ = 0 to z zależności (19) uzyskuje się F n (y) = 1 0 y exp(- e ), (24) gdzie y = Qf'(x - zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA U ). 1 Jest to rozkład dwuwykładniczy (por. wzór 1 0 ) . zmiennych z rozkładu Weibulla podlegają Zatem logarytmy rozkładowi dwuwykładniczemu. Pomię dzy sześcioma rozkładami asymptotycznymi istnieje pię tnaście różnych zwią zków [25]. Podane niżej zależności wybrano ze wzglę du na bezpośredni zwią zek z rozkładem Weibulla F w ( z ) = 2 H ( " 3,0 - k l n z ) = ! - Oznaczenia we wzorze (25) są " i j ^ = identyczne dzeniach 1 i 2 (rozdz. 2.1). Zależności (25) X z H ( " 2,r - z ) = (25) oznaczeniami w twierdotyczą transformacji rozkładu Weihulla na każdy z pozostałych pię ciu rozkładów asymptotycznych. Rozkład Weibulla może być również traktowany jako przypadek szczególny uogólnionego rozkładu gamma [19]. 26 2.1.A. Rozkład dwuwykładniczy Postać dystrybuanty rozkładu dwuwykładniczego w wersji stosowanej do zagadnień wytrzymałości elektrycznej jest nastę pują ca: f(U v [- e° " - expL- e" " ~m'J; - o o < u <<=- =>, (26) F D (U)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB gdzie: U - wartość charakterystyczna [F(U ) = 1 - e » 0,632] wyra- żona np. w jednostkach napię cia (moda),zyxwvutsrqponmlkjihgfedc <X U - bezwymiarowy parametr bę dą cy miarą rozrzutu, zmienna losowa (np. napię cie przebicia przeskoku itp.). T a b e l a 4 Parametry zwią zane z rozkładem dwuwykładniczym Parametr Wzór Symbol 2 1 Mediana Moda Średnia Wariancja U l n 'U ^ln2)! In(ln2) =- 0,36651 U D n t u m " a' /ť - stała Eulera f » 0,577 ł 6or Współczynnik skośności - 1,1396 Po przekształceniu (27) y = Of(U uzyskuje się rozkład standaryzowany - Wzory określają ce podstawowe parametry zestawiono w tabeli 4. y exp[- e ]. (28) rozkładu dwuwykładniczego 27 Porównują c rozkład dwuwykładniczy z rozkładem rozkłady mają normalnym (obydwa dziedziny obustronnie nieograniczone) można stwierdzić, że dla małych wartości zmiennej losowej rozkład dwuwykładniczy wartości minimalnych) ma mniejsze wartości funkcji (dla gę stości niż roz- kład normalny. Gę stość prawdopodobieństwa mody jest wię ksza dla roz- kładu dwuwykładniczego niż dla normalnego. Rozkład dwuwykładniczy pokrywa się w przybliżeniu z rozkładem lo- garytmo- normalnym, stą d rozróżnienie mię dzy tymi dwoma rozkładami jest, szczególnie przy małych licznościach próbki, trudne. W takich przypadkach wybór winien być wsparty dodatkowo argumentami wynikają cymi ze znajomości właściwych fizycznych badanego zjawiska. Jak wynika z założeń wzoru (24) pomię dzy rozkładem Weibulla a dwuwykładniczym istnieje podobny zwią zek jak mię dzy rozkładem normalnym a logarytmo- normalnym. 2.2. Prawo wzrostu 2.2.1. Wprowadzenie Dla określenia wytrzymałości elektrycznej układu izolacyjnego zachodzi czę sto konieczność wykonania badań niszczą cych np. prowadzonych aż do przebicia. Jest oczywiste, że badań takich nie można, ze wzglę du na koszty, wykonywać na pełnowymiarowych układach izolacyjnych, lecz wykonuje się je na odpowiednich modelach o wymiarach znacznie zmniej- szonych. Przykładowo, dla określenia wytrzymałości kabla bada się cinki o długości kilku metrów. Zachodzi pytanie od- jak uzyskane w taki o pełnowymiarowym sposób wyniki można wykorzystać przy wnioskowaniu układzie izolacyjnym. W teorii wartości ekstremalnych zagadnienie to jest znane pod nazwą wzrostu ekstremów i opiera się elementarna zawiera sza zawiera N- n na rozumowaniu,zyxwvutsrqponmlkjihgfedc Ze jeśli próbka skaz materiałowych to próbka N- krotnie wię k- n skaz materiałowych. W każdej z elementarnych obserwowano minimalną wartość wytrzymałości, której do rozkładu określonego typu. Badanie próbki N> n prowadzi wacji najmniejszej z N najmniejszych wartości. Postulat słuszny jedynie dla rozkładów wartości ekstremalnych rozkład dotyczą cy próbki N- krotnie wię kszej zmierza asymptotycznego wyrażenia co rozkład najmniejszych o liczności n próbek rozkład zmierzał stabilności [25] do do obsermówi, tego że samego wartości w próbee zakładają c, że takie asymptoty istnieją . 28 Ogólne zagadnienie wzrostu ekstremów czy zmiany rozwią zuje się za pomocą wymiarów modelu tzw. prawa wzrostu prawdopodobieństwa zwane- go w skrócie prawem wzrostu o postaci F(N, U) = 1 gdzie: F(1,U) F(N,U) N - N [l - F(1,U)] , (29) rozkład uzyskany dla próbek elementarnych, rozkład dla próbek N- krotnie wię kszych, współczynnik skali. Na rysunku 3 wykreślono zależność (29) we współrzę dnych:zyxwvutsrqponmlkjih In {- ln [l - F(N ,U )]} i In {- ln [ l - W takim układzie współrzę dnych uzyskuje się F (1, U )]] . linie proste przesunię te wzglę dem siebie o In N. ^— Hi / ,,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR i t i— Ą > V J »/ * f z z f / i / // • ł t ' / / / , & t / i / y t zyxwvutsrqponmlkjihgfed zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ~Ł i J J / z 7 ł ł / / / - - - - / / / / zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF urn s/o t/s v / / ł ł / / Rys. 3. Graficzna interpretacja prawa (29) wg [16] wzrostu Zastosowanie prawa wzrostu do rozkładów wartości ekstremalnych ma tę szczególną właściwość, że rozkłady F(1,U) i F(N,U) są rozkładami tego samego typu. Jest to jedna z zalet rozkładów wartości ekstremalnych stanowią ca o ich coraz szerszym zastosowaniu. Poniżej omówiono szczególne przypadki zastosowania prawa wzrostu. 2.2.2. Prawo wzrostu dla zakresu małych prawdopodobieństw Jeśli przykładowo poszukuje się informacji o napię ciach przebicia odpowiadają cych małym prawdopodobieństwom zaistnienia przebicia np. 29 dla F(N,U) < 0,15 co czę sto ma miejsce w praktyce, to wówczas również bę dą brane pod uwagę wartości F(1,U) znacznie mniejsze od jedności. Dla ilorazu [lć]zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC F(l,U)- 0 1 lim 1 x—0 U(1 - x) x) x ^ U m F(1>U) F(l,U>- 0 1 - ri - F{1,U)1 W .N, (30) F(1>U) = lim x—0 gdzie " N(N - 1)(N - 2) ... (N - m * 1) N! 1- 2- 3 m " m!(N - ra)! ť Czyli w przypadku małych prawdopodobieństw dla oszacowania przy- bliżonych wartości poszukiwanego rozkładu F(N,U) wystarczy wymnożyć uzyskane z badań wartości F(1,U) przez wartość współczynnika skali N. 2.2.3. Prawo wzrostu dla dużych N Jeśli współczynnik N jest bardzo duży rzę du 10 jak wynika z rysunku 3 dla użytecznego praktycznie F(N,U) = 0f99% funkcja ta zależy tylko od wartości 2 i wię kszy, zakresu F(1,U) mniejszych od jedności, wówczas można zapisać przybliżoną 1 . F(1,U) = e " F ( 1 ' U ) , to funkcji znacznie wartość (31) gdyż w szeregu Maclaurina dla funkcji e" x 6- x= 1 + fx x2 x+3 x* można pominą ć wyrazy wyższych rzę dów jako znikomo małe. Wykorzystują c równanie (31) można dla tego przypadku, przedstawić prawo wzrostu w postaci F(N,U) = 1 - exp[- NF(l,U)J; dla N >20. (32) 30 2.2.4. Uogólnione prawo wzrostu Prawo wzrostu w postaci (27) obowią zuje wówczas, obiekt jest wielokrotnością gdy analizowany elementów, dla których oszacowano funkcję F(ł,U). Jeśli obiekt składa się z N oddzielnych elementów o różnych F rozkładach Fj(U), F^CU), ..., nj(U) to wówczas prawo wzrostu przybie- rze postać FCN.U) = 1 - i=NzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR TT D - F.(U)]. l To uogólnione prawo wzrostu można stosować dają cych się (33) 1 = 1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS dla konstrukcji skła- z wielu różnych elementów np. transformatorów energetycz- nych, układów izolacji stacji elektroenergetycznych, izolacji linii napowietrznych itp. Zastosowanie prawa wzrostu (33) prowadzi do tego iż rozkład F(N,U) jest rozkładem wielomodalnym (zwanym czasem rozkładem złożonym). Do- kładna analiza tego typu rozkładów jest możliwa jedynie za pomocą ma- szyn matematycznych. 2.2.5. Prawo wzrostu w zastosowaniu do rozkładu Weibulla W przypadku rozkładu Weibulla (21) prawo wzrostu przybiera postać F(N,U) = 1 - {l - k N k [1 - exp(- z )]} = 1 - exp(- Nz ), (34) czyli, że w myśl postulatu stabilności nadal jest to rozkład Weibulla. Właściwości tej nie posiada rozkład normalny (patrz pkt. 2.2.7). Ponieważ "z" ma postać daną Nz k J zależnością (20), stą d ^!o M uU + (U I o m U oj Oak wynika z wzoru (35) nie tylko zachowana została kładu, ale także nie zmieniły się dwa z (35) K U )N 'ť'J I o trzech jego postać oraz k. Zmianie uległ jedynie parametr skali, który zmalał U 1/k ó + ( U m - U 0 )N" . roz- parametrów U od U m do Wykorzystują c właściwości rozkładu Weibulla zestawione w tablicy 1 można, stosują c wzory (34) i (35), określić na podstawie znajomości to' wzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Rys. 4. Wykresy pomocnicze do korzystania z prawa wzrostu w przypadku rozkładu Weibulla (wzory (36) i (37)). Lima przerywana na rysunku b) dotyczy rozkładu normalnego, wg [16] 32 parametrów rozkładu F(1,U) parametry rozkładu F(N,U) dla obiektu N- krotnie wię kszego. Wzory dla określenia UN = U - postaci: aN ť S (a), SN = bN ť S U N P = U C P - N średniej, odchylenia wartości standardowego oraz kwantyla rzę du "p" są (b), P - S < s) (36) - gdzie a C N ' » - ^T N PzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Poszczególne składniki wzorów (37) wykreślono na rysunku 4 w funkcji k, N i p. 2.2.6. Prawo wzrostu w zastosowaniu do rozkładu dwuwykładniczego W przypadku rozkładu dwuwykładniczego (26), prawo wzrostu przybiera postać F(N,U) = 1 - {l - y [l - exp(- e )]} N = 1 - czyli, że w myśl postulatu stabilności nadal jest y exp(- Ne ), to (38) rozkład dwuwy- kładniczy. Dla "y" danego wzorem (27) uzyskuje się a N . e* = e fu L zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYX (u - i^!)l m ^ r J (39) . Jak widać nie uległ zmianie parametr « . Zmniejszyła się wartość modalna od U do U - lnN/a. Tak wię c rozkład natomiast dwuwykładniczy 33 ma tę ciekawą właściwość, że przy jego stosowaniu w prawie wzrostu (29) nastę puje przesunię cie całego rozkładu ku niższym wartościom zmiennej losowej o wartośćzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA lnU/oc. 2.2.7. Prawo wzrostu w zastosowaniu do rozkładu normalnego Zastosowanie prawa wzrostu (29) w pr2ypadku gdy F(1,U) jest roz- kładem normalnym (40) exp gdzie: u O - L łł 2 [ 4 (- ^- ) ]dt, (40) wartość oczekiwana, odchylenie standardowe, daje w efekcie rozkład F(N,U) różny od normalnego. Ze wzrostem N rozkład F(N,U) staje się coraz bardziej niesymetryczny i coraz bardziej spójny tzn. rozrzut od wartości średniej maleje. Odchylenie standardowe rozumiane tak jak do symetrycznego rozkładu dużych N swój sens. Rozkład normalny nie spełnia normalnego traci przy wię c postulatu sta- bilności przy stosowaniu prawa wzrostu.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT to" »' to 4 to e to Rys. 5. Współczynniki a N 8 to"> w 11 4 6 fu' w' N do wzoru (41) wg [83] Rozwią zanie równania (29) przy dość skomplikowane i wymaga podstawieniu F(1,U) z (AO) jest stosowania metod numerycznych. Rozwią za- nie takie opublikowane w [83] pozwala określić kwantyl rzę du p rozkła- du F(N,U) z zależnościzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF 0- u. gdzie 0 i 3 - (41) parametry rozkładu F(1,U). Współczynniki o n o wykreślono na rysunku 5. Dla a z e s J t a w rywaną i zestawiono w tabeli 5. p = 50 wartościzyxwvuts w N 50% it a b l i c y 5. M iar ę r o zr zu t u moż na dla rozkł adu F(N,U) oszacować z wzoru ( 36b ) g d zie b.. wykr eślono na rysunku 4b l i n i ą p r ze rl T a b e l a Współczynniki a,, 5 Q . do 5 wzoru (41) oraz bw do wzoru (36b) (przypadek rozkładu normalnego) wg C27] Współczynnik skali N Współczynnik Współczynniki b N 1 10 0 1,54 1 0,59 2 1 10 A 2, 5 3, 25 3 ,85 0, 43 0, 35 0 ,30 10 2.3. Opracowanie wyników badań 2.3.1. Wprowadzenie W zagadnieniach z dziedziny techniki wysokich napię ć głównym źródłem informacji są rzystuje się nia, badania eksperymentalne. W takim przypadku wyko- otrzymane wyniki obserwacji zmiennej losowej do określe- że znanym stopniem wiarygodności, kształtu dystrybuanty lub funk- cji gę stości rozkładu i obliczenia jego parametrów. Zbiór wszystkich możliwych realizacji zmiennej losowej nazywa sie populacja generalna natomiast zbiór zaobserwowanych wartości zmiennej losowej bę dą cy czę ścią populacji generalnej nazywa się próbką lo- 35 sowa. Próbka losowa uporzą dkowana według rosną cych wartości zaobserwowanej czę stości wystę powania, nazywa się szeregiem rozdzielczym. Przy- porzą dkowanie każdej wartości uporzą dkowanej próbki losowej sumy czę stości odpowiadają cych wszystkim wartościom zmiennej losowej nie wię kszym od tej wartości daje szereg kumulacyjny. Wielkość k- tą co do wartości w uporzą dkowanej według niemaleją cych wartości w próbce o liczności n nazywa się statystyką nek ii = k/n nazywa się rangą pozycyjną w próbce, rzę du k, a stosu- k- tej statystyki pozycyjnej. Szereg rozdzielczy lub szereg kumulacyjny stanowią podstawę do statystycznego wnioskowania o cechach populacji generalnej poprzez weryfikację hipotez o rodzaju rozkładu analizowanej zmiennej (hipotezy nieparametryczne) lub poprzez określenie jego losowej charaktery- styk liczbowych (estymatorów) (hipotezy parametryczne). Na mocy losowości próbki jej charakterystyki wymi, różnią c się tym samym od rzeczywistych są zmiennymi loso- charakterystyk rozkładu teoretycznego, któremu podporzą dkowana jest populacja generalna [l]. wnioskowania statystycznego wybrano szereg rozdzielczy czy kumulacyjny stosuje się W zależności od tego czy za podstawę odpowiednio me- todę lub metodę empirycznej funkcji gę stości (metoda histogramu) dy- strybuanty empirycznej F(U). Tutaj ograniczono się do metody dystrybuanty empirycznej, prost- szej i bardziej jednoznacznej niż metoda histogramu, w której uchybienia przy wyborze granic klas skrajnych, szerokości klas, lizacji w klasach, mogą liczby rea- prowadzić do błę dnych wyników . Oszacowanie dystrybuanty empirycznej F(U.) winno wg GUMBELA [25] spełniać nastę pują ce postulaty: 1) obejmować wszystkie obserwacje, 2) punkty winny leżeć mię dzy zaobserwowanymi czę stościami (i- l/n) oraz i/n i winny być niezależne od rodzaju rozkładu, 3) okresy powtarzania wartości równej lub wię kszej od najwię k- szej obserwacji i wartości mniejszej od najmniejszej obserwacji winny być bliskie liczbie obserwacji n, 4) obserwacjezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA są równomiernie rozłożone w skali czę stości, 5) ma mieć intuicyjny sens i prostą Omówienie metody [1, 40 t. 2, 46]. opartej o postać. histogram można znaleźć np. w Jeśli zdarzenie ma prawdopodobieństwo P = 1 - F(x) to należy średnio wykonać l/p prób aby zdarzenie zaistniało jeden raz. Wielkość T(x) = l/p = l/[l - F(x)] > 1 nazywa się okresem powtarzania [25j . 36 Warunki te spełnia średnia czę stość realizacji zapisana wzorem W literaturze np. [34, 46, 49, 50] podaje się również inne defi- nicje dystrybuanty empirycznej. Zagadnienie to podnoszone jest zwykle przy okazji omawiania rozkładu Weibulla. Przykładowo w [50] w oparciu o analizę średniego błę du kwadratowego dla parametru kształtu rozkła- du Weibulla proponuje się zależność i F(u.) =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP ~n1/2. (43) Zależność ta nie spełnia trzeciego z postulatów Gumbela i została w [25] określona jako błę dna. Podobnie zaproponowana w [34, 4?] mediana wartości rangowych została wybrana, jak to określono w [34] intuicyjnie i nie spełnia postulatu słuszności dla dowolnego rozkładu. W skrypcie z zależności (42) jako najpowszechniej stosowanej korzysta się [19, 25, 46] i da- ją cej bardziej pesymistyczne oszacowania w zakresie niskich prawdopodobieństw co w zagadnieniach technicznych stanowi zaletę . Dystrybuantę empiryczną (42) należy aproksymować jednym z rozkła- dów teoretycznych. W tym celu wykorzystuje się jedną z trzech nastę - pują cych metod: 1) metodę graficzną , 2) metodę momentów, 3) metodę najwię kszej wiarygodności. Metoda graficzna przydatna jest do prostych i szybkich obliczeń inżynierskich i poprzez wykreślenie wszystkich punktów eksperymentalnych na wspólnym układzie współrzę dnych pozwala zgrubie ocenić po- prawność uzyskanych wyników badań. Metoda najwię kszej wiarygodności wymaga zwykle stosowania maszyn cyfrowych. 37 2.3.2. Metoda graficzna Każdy rozkład statystyczny F(U) posiada sobie tylko zmiennej = ^ ( U ) i rzę dnej q = ^ 2 [ F ( U ) ] , stą losowej właściwe siatkę U o dystrybuancie funkcyjną odcię tejzyxwvutsrqp c - o w której dystrybuanta F(U) jest pro- o równaniuzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (45) 9zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK = T a b e l a 6 Współrzę dne liniowe wybranych rozkładów statystycznych - - - ^Współrzę dne Rozkład —- ^^^ c ? Normalny u Y[F(u)] Weibulla siatka uniwersalna ln(U - Weibulla siatka o ustalonym k b/- ln(l - F(u)) Wykładniczy - ln[l - Dwuwykładniczy - U U Ll - Równanie prostej y = - - i^- + ~j- U UQ) y = - kinCU,, - U Q ) + kln(U - - UQ UQ) U U - U F(u)] U nt U F(u)J o m y = - 0C U m + aU dla rozkładu normalnego F(x) = 0,5 + #(y) gdzie y = całka Laplace'a. Współrzę dne siatek funkcyjnych i równania prostych x o " ^ i §(y) - dla wybranych rozkładów statystycznych zestawiono w tabeli 6. Wykorzystują c współ- rzę dne T) i c , które po wykonaniu transformacji określonych z tabeli 6, są wzorami współrzę dnymi liniowymi dla danego rozkładu, można wy- korzystują c metodę najmniejszych kwadratów określić parametry prostej (45) z wzorów 2J a = 1=1 n i=l x i=l x „ l i=l i (46a) 38zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA n n b = z: n gdzie za x i i y^^ podstawia się (46b) n z; i l wartości obliczone z tabeli 6 przy pod- stawieniu za F(U) i U odpowiednich wartości F(U.) (obliczonych z wzoru (42)) i U- uzyskanych eksperymentalnie. a i b prostej (45) pozwalają Oszacowane współczynniki wykreślić dystrybuantę rozkładu w jego siatce funkcyjnej i wyznaczyć parametry rozkładu (tab. 7 ) . Ola rozkładu normalnego wartości y^[F(U.)] wyznacza się du standaryzowanego [u - za pomocą tablic rozkła- 0,0 = l ] . T a b e l a Określenie parametrów wybranych rozkładów na podstawie 7 znajomości współczynników równania prostej w siatce funkcyjnej Rozkład Parametry A Weibulla siatka uniwersalna Weibulla siatka o ustalonych k Wykładniczy Dwuwykładniczy A - 4- M- Normalny 0 b u k = b A U m - A i A 1 II U m " o b - exp t- f] A uzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS - - L. U a o o g " b A «. " "o - i A A A a zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB b U o = A A a a =b Jak widać określenie współczynników prostej wać parametry rozkładu. Pewną A A A A (45) pozwala oszaco- trudność sprawia tu jedynie trójparame- trowy rozkład Weibulla, dla którego istnieje siatka uniwersalna oraz rodzina siatek o ustalonym parametrze kształtu k. U przypadku siatki 39 uniwersalnej trudność polega na wstę pnym oszacowaniu parametru prze- sunię cia U k należy wstę p- natomiast w przypadku siatek o ustalonym nie oszacować parametr kształtu k. Dla rozkładu dwóch parametrach (U Weibulla o jedynie = 0) siatka uniwersalna stanowi pełne rozwią zanie. Przypadek trdjparametrowego rozkładu Weibulla rozpatrzono na przykładzie. Przykład 1 Uniwersalna siatka rozkładu Weibulla Dany jest szereg rozdzielczy z wyników badań trycznej udarowej piorunowej układów izolacji wytrzymałości elek- papierowo- olejowej ze- stawiony w kolumnach 1, 2 i 3 tabeli 8. Szereg ją kolumny 1, 2 i 4. Liczność próbki n = 41. kumulacyjny zestawiaW kolumnie 5 zestawiono wartości dystrybuanty empirycznej F(U.)'wg wzoru (42) (w procentach). Nanoszą c punkty szeregu kumulacyjnego (kolumny 2 i 5) na siatkę cyjną uniwersalną w przecię ciu z osią (rys. 6) uzyskuje się krzywą pomocniczą funk- 1, która odcię tych daje oszacowanie parametru przesunię cia U o = 170 kV. Określają c wartości U^ - U o utworzono nową zmienną i uzy- skano nowy szereg kumulacyjny zapisany w kolumnach (4 izyxwvutsrqponmlkjih 6). Punkty dystrybuanty empirycznej zapisane parami wartości z kolumn 5 i 6 stanowią podstawę do obliczeń wg wzorów z tablic 6 i 7. Wyniki zestawiają kolumny 7, 8, 9 i 10. Podstawiają c sumy kolumn 7, 8, 9 i 10 do wzorów (46) uzyskuje się 6 = 3,0617 i a = - 13,1487, a po wykorzystaniu zależności z tablicy 7 uzyskuje się oszacowania poszukiwanych parametrów rozkładu k = b = 3,1 oraz U = 73,3 kV i po uwglę dnieniu, - U że U = 170 kV uzyskano U m = 243,3 kV. W tabeli 8 na uwagę zasługują dodatkowo punkty i = 6 oraz i = 14, dla których nie zaobserwowano żadnej realizacji zmiennej losowej. Ponieważ jednak przy napię ciach odpowiednio 220,5 kV oraz 268 kV bada- nia były wykonywane, punkty te uwzglę dniono w obliczeniach przy założeniu, że wartość dystrybuanty empirycznej F(U.) nie sza niż na poziomach napię cia o jeden stopień może być mniej- niższych. Wykorzystano w ten sposób dodatkowe informacje wynikają ce z fizyki badanego zjawiska przebicia elektrycznego. Punkty eksperymentalne i oszacowaną prostą dystrybuanty rozkładu Weibulla wykreślono w siatce uniwersalnej na rysunku 6 (linia 2 ) . Prosta 3 jest prostą którą wykreśla się pomocniczą definiują cą przez punkt [U - nachylenie dystrybuanty 2, U , F(U )] równolegle do prostej 3. 8 zyxwvutsrqponml T a b e l a Dane lic zb owe da przykł adów 1 i 2 s iatka S iatka uniwersalna Ul - kV 1 2 1 190, 6 2 196, 6 202, 5 208, 5 214, 5 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 »i'ln(Ui- U0) Ui- Uo - - a kV 3 4 5 6 1 1 2, 4 1 2 4, 8 1 3 '. 1 1 4 9 5 220. 5 226, 5 232, 5 238, 2 0 9 7 16 2 18 6 24 244, 0 250, 0 256, 0 262, 0 268, 0 274, 0 280, 0 286, 0 5 29 4 33 4 37 1 38 0 38 1 39 1 40 9,5 21, 4 21, 4 3B,1 42, 9 57, 1 69, 0 78, 6 88, 1 90, 4 90, 4 92, 6 95.2 97, 6 20, 6 26, 6 32, 5 38, 5 44, 5 50, 5 56, 5 62. 5 68, 2 74, 0 80, 0 86, 0 92, 0 98, 0 104, 0 110, 0 *i • Vi - - - 7 B 9 10 3, 0253 3, 2809 3, 4812 3, 6507 9,152» CiĄ lntl- hO) ii *i- Oi zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ o k > ! *t kV kV 1? 13 *i Si kV . 14 10,7644 12, 1190 - 11, 2468 - 9, 8823 - 9.0B07 0, 2896 0, 3664 0, 4192 190,6 196, 6 202, 5 36328, 4 38651, 6 41006, 3 13,3273 14,4057 15, 3819 16,2751 - 8, 4125 - 5, 4040 - 5, 5841 - 2, 9640 0, 4639 0, 6221 0, 6221 0,7B28 208, 5 214, 5 220.5 226, 5 43472, 3 46010, 3 46620, 5 55, 2 72, 0 84, 9 96, 7 133.4 137, 2 4, 1352 4, 2224 4, 3041 4 ,3B20 17,0996 17, 8290 18,5250 19,2022 - 2, 3949 - 0, 7047 0, ( 801 1, 8971 0, 8244 0, 9459 1,0541 1, 1552 232, 5 238, 2 244, 0 250, 0 51302, 3 54056, 3 56739, 2 59536, 0 • 62500,0 177, 3 191, 7 225, 3 257, 3 288, 8 0,7555 0, 8516 0, 8516 0, 9569 1,1107 1,3163 4, 4543 4, 5218 4, 5850 4, 6444 4, 7005 19,8412 20, 44( 6 21, 0220 21, 5704 22, 0945 22,5966 3, 3652 3, 8508 3, 9046 4, 4444 5, 2209 6, 2573 1, 2864 1, 3283 1,3283 1,3757 1,4481 1,5508 256, 0 262, 0 268, 0 274, 0 280, 0 286, 0 65536, 0 68644, 0 71824, 0 75076, 0 78400, 0 81796, 0 329, 3 348, 0 356, 0 316, 9 405, 5 443, 5 - 9, 5372 69, 6931 291, 6528 - 26, 0536 15, 8633 4050, 4 979498, 7 3979, 0 - 3, 7176 - 3, 0121 - 2, 6085 - 2, 3044 - 1, 4238 - 1, 4238 - 0, 7347 - 0, 5792 - 0, 1669 0, 1580 0,4329 3, 7955 3, 9220 4, 0342 41 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 4, 7536 116, 0 — p % 0 1 - — rfjł K90- 4 ) 1 i-1 f : '^ ''I «,,. ,._, /-/ ' qjifC !£jffi — i ' ; i—_i_ ' • * f - J ...;... I- - - >!.:• • • j Mt- r ' rtlHl" ' —';;: 70• .JE • liall- 60- - zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA —i.;... : ; • • / • .....|,,. 1,,.- ! . ! »• U30- • • ; : . ; . : , : • , . 7 ri i ..1 : • • • j;:: jl; • : : (flf IliT T i' .. 20' :.,riE >*rH - r : !; X. •• • . u .... r . : : • . : : ; • ; Pm P % In •> TT x:::j- :.:.:.: 1. (Ue.Be,T B.S>.(• 0.3- i- | • : ^ u • • : i.i! 7 "I V • H i— H ~ i '• '• ^ ffl- 7* • i 1 ! i • . 'i t i i:! . jl i - • r• i 3 • 'i i i 1/ ii t lii,7 !! gro r ; : / 1 —0 • : : i?- ! - 1":- - ! - f- - - - - - - • • i' - ::: —.... II r ' | r r r ' ' rlitfT.i.i.::.. : 1 • —1 -3 »^< — L. . _ • i ;- —f -5 J- lT • : • liii.i., io 30 liii:;. ii 11 u .ii#i ilij so so w to!0ioo 77? -7 - | ;i;!ti i- 44- _ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA • : ^U ' r- «• O.t i — • »;• ł / • 1 • THI !• : m - !• - f- • / i f? = 4- zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA .... .y. •i tir t 6- - : : ' - ^ !T :• • " l y • - ::~T. | : - . . ...- . 'i \- " I i ź i -i 1 :, !i In im .i;.,. 3śB ioi sii Iii i ii, • 7 , .li wirtueiusmwa — u- u»zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED Rys. 6. Ilustracja do przykł adu 1. Siatka funkcyjna uniwersalna rozkł adu Weibulla 1 - dystrybuanta pomocnicza da oszacowania U o (- 170 kV), 2 - poszukiwana dystrybuanta rozkł adu Weibulla (U Q = 170 kV, Uffl = 243,3 kV, k = 3,1) 42zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 99.SzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA P 99,5 / i r i • 99 J 38 I 1 / / 95 i . / 90 • i / - 1 80 / 7 10 SO - _J 1 r~ JL. - - 1 -~ \ 50 / 40 1 i J 20 1 10 •5 - — 5 1 1 Alf OJ 0.01 2 ! 1 ~ffif f - - lm=243.kV 1 zyxwvutsrqponmlkj \ mi I 0 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 150 160 170 ISO (30 200 2fO 220 230 2< 0 250 260 270 260 290 300 310 320 330zyxwvutsrqp Rys. 7. Ilustracja do przykładu 2. Siatka funkcyjna rozkładu Weibulla o parametrze kształtu k = 3,0; dystrybuanta o parametrach k = 3,0; U Q = 170,6 kVj U m = 243,1 kV 43 Przykład 2 Siatka rozkładu Weibulla o ustalonym parametrze kształtu k Parametry trójparametrowego rozkładu Weibulla można oszacować inną metodą . W tym celu rozważono ponownie wyniki badań zestawione w po- staci szeregu pozycyjnego i szeregu kumulacyjnego w tabeli 8. Założono, że uzyskane wyniki eksperymentu można opisać rozkładem Weibulla o parametrze kształtu k = 3,0. Przy określonym parametrze kształtu dalszą analizę można przeprowadzić w oparciu o siatki z ustalonym k. Wyniki obliczeń zestawiono w kolumnach 11 do 14 (tab. 8 ) . Po podsumowaniu i podstawieniu do wzorów (46) uzyskano a = - 2,3540 oraz b » 0,0138. Korzystają c z zależności z tabeli 7 oszacowano parametry rozkładu U Q = 170,6 kV oraz U m = 243,1 kV. Jak widać uzyskano niemal identyczny wynik jak w przykładzie 1 dla siatki uniwersalnej. Punkty eksperymentalne i oszacowaną dystrybuantę sunku 7 w siatce funkcyjnej rozkładu Weibulla o wykreślono na ry- parametrze kształtu k = 3,0. Jak widać z rysunku parametr przesunię cia odczytuje się pośrednio na przecię ciu dystrybuanty z osią rametr skali odczytuje się Posługiwanie się odcię tych, bez- natomiast pa- dla prawdopodobieństwa równego około 63,2%. odpowiednio liczną rodziną siatek rozkładu Wei- bulla o różnych parametrach kształtu k pozwala na uniknię cie problemu subiektywizmu przy określaniu parametru przesunię cia posługiwania się siatką U w przypadku uniwersalną . 2.3.3. Oszacowania punktowe Metoda ta polega na zastosowaniu gotowych wzorów służą cych do oszacowania parametrów określonego rozkładu. Pomijają c całą teorię uzyski- wania wzorów służą cych do estymacji parametrów należy tylko wspomnieć, że wzory te zwykle uzyskuje się za pomocą tzw. metody momentów sze- rzej omówionej w [19]. Rozdział ograniczono do wyboru po jednym z kilku sposobów estymacji punktowej dla trzech podstawowych rozkładów. 2.3.3.l._Rozkład_normalny W przypadku rozkładu normalnego jako oszacowanie wartości oczekiwanej u przyjmuje się wartość średnią n 44 a jako estymator odchylenia średniego 6 średnie odchylenie standardowe s- y- ^^i— Te dwa estymatory definiują malnego. poszukiwaną dystrybuantę rozkładu nor- 2.3.3.2._Rozkład_Weibulla Jedna z metod szacowania parametrów rozkładu Weibulla oparta jest o trzeci moment centralny zdefiniowany w tabeli 1, którego nieobcią - żonyra estymatorem jestzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG M,3 =" (n i=l Na podstawie danych eksperymentalnych oblicza się ru (48) a nastę pnie znajduje się oszacowanie M, oraz S z wzo- współczynnika skośności (patrz tabela 1)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE ~ (50) : - 2. Korzystają c z tablicy 9 znajduje się odpowiadają cą kości wartość parametru kształtu k. Dla uzyskanego najduje się powyższej wiel- k z tablicy 9 od- wartości A, B i D gdzie A i B zdefiniowano w tabeli 1 a D ma postać 0 = B i oblicza się A (51) pozostałe dwa parametry rozkładu U = D + A ť S III UQ = 0 - (52a) , D ť S. (52b) 45zyxwvuts T a b e l a Dane lic zb o we do oszacowania estymatorów b u l l a wg [ 25] k A 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00 6,50 7,00 7,50 8,00 8,50 9,00 9,50 10,00 10,50 11,00 11,50 12,00 12,50 13,00 13,50 14,00 14,50 15,00 15,50 0,223607 0,000000 0,158669 0.24559B 0,296936 0,329748 0,352096 0,368084 0,379976 0,389102 0,395287 0,402069 0.406B05 0,410749 0,414075 0,416915 0,419367 0,421497 0,423368 0,425026 0,428495 0,427812 0,429006 0,430073 0,431046 0,431947 0,432751 0,433501 0,434202 0,434827 0,435420 B 0,223607 1,000000 1,631496 2,158645 2,633893 3,081196 3,512123 3,932672 4,346258 4,754930 5,160049 5,562564 5,963012 6,361949 6,759596 7,156283 7,552264 7,947428 8,342111 8,736401 9,130156 9,523630 9,917074 10,309864 10,702551 11,095515 11,487604 11,879908 12,272394 12,663960 13,055923 r o zk ł ad u 9 Xe l - D 0,447113 1,000000 1,472827 1,913046 2,336956 2,751448 3,160028 3,564587 3,966282 4.365B2B 4,763762 5,160494 5,556206 5,951200 6,345521 6,739368 7,132896 7,525930 7,918742 8,311375 8,703660 9,095818 9.48B0Ć8 9,879791 10,271504 10,663568 11,054852 11,446406 11,838192 12,229133 12,620502 - 6,618744 2,000000 1,071996 0,631050 0,358859 0,168052 0,025202 0,086949 0,177813 0,253956 0,318527 0,374248 0,422815 0,465105 0,502211 0,535453 0,565673 0,592174 0,616755 0,637820 0,658327 0,676317 0,692028 0,707534 0,722520 0,733416 0,747444 0,757909 0,768553 0,780573 0,787102 T a b e l a k 16,00 16,50 17,00 17,50 18,00 18,50 19,00 19,50 20,00 20,50 21,00 21,50 22,00 22,50 23,00 23,50 24,00 24,50 25,00 25,50 26,00 26,50 27,00 27,50 28,00 28,50 29,00 29,50 30,00 30,50 31,00 31,50 32,00 32,50 A 0,435971 0,436486 0,436978 0,437431 0,437830 0,438248 0,438598 0,438952 0,439309 0,439597 0,439899 0,440205 0,440480 0,440706 0,440940 0,441176 0,441437 0,441608 0,441817 0,442054 0,442232 0,442417 0,442540 0,442712 0,442854 0,443007 0,443213 0,443359 0,443496 0,443632 0,443694 0,443818 0,443942 0,444113 9 (cd.) B D /n 13,447745 13,839583 14,231846 14,623545 15,014248 15,406671 15,797137 16,188599 16,581100 16,971191 17,362656 17,755096 18,146484 18,536423 18,927094 19,318390 19,711472 20,100433 20,491791 20,885193 21,276001 21,667435 22,055634 22,446976 22,837123 23,228165 23,622711 24,014084 24,404770 24,796051 25,182922 25,574051 25,965179 26,360062 13,011774 13,403097 13.794B68 14,186113 14,576417 14,968422 15,358540 15,749647 16,141785 16,531586 16,922745 17,314880 17,705994 18,095703 18,486145 18,877213 19,270035 19,658813 20,049973 20,443130 20,833755 21,225006 21,613083 22,004257 22,394272 22,785156 23.1794B9 23,570724 23,961273 24,352417 24,739227 25,130219 25,521225 25,915939 ­0,795504 ­0,801361 ­0,813721 ­0,817163 ­0,826325 ­0,823536 ­0,842138 ­0,849664 ­0,847763 ­0,853077 ­0,863564 ­0,859399 ­0,871905 ­0,874662 ­0,868476 ­0,880081 ­0,883777 ­0,890665 ­0,894471 ­0,886167 ­0,900111 ­0,892504 ­0,900412 ­0,916838 ­0,908687 ­0,920313 ­0,917724 ­0,921477 ­0,901026 ­0,915985 ­0,929070 ­0,925181 ­0,934893 ­0,925796 47 T a b e l a k A B 9 (cd.) D Vh 33,00 0,444146 26,745575 26,301422 ­0,930521 33,50 0,444342 27,142517 26,698166 ­0,896289 34,00 0,444369 27,528412 27,084030 ­0,954959 34,50 0,444546 27,924118 27,479568 ­0,913674 35,00 0,444562 28,309631 27,865067 ­0,930403 35,50 0,444674 28,701675 28,256989 ­0,969595 36,00 0,444764 29,092133 28,647369 ­0,962743 36,50 0,444841 29.4B2132 29,037277 ­0,953106 37,00 0,445025 29.8B0325 29,435287 ­0,915922 37,50 0,445023 30,264465 29,819443 ­0,978139 38,00 0,445103 30,655243 30,210129 ­0,934100 38,50 0,445268 31,052597 30,607315 ­0,942340 39,00 0,445349 31,443588 30,998230 ­0,919090 39,50 0,445320 31,826630 31,381302 ­0,953089 40,00 0,445399 32,218048 31,772644 ­1,020581 40,50 0,445576 32,617035 32,171448 ­0,959691 41,00 0,445539 32,999023 32,553482 ­0,925267 41,50 0,445731 33,400330 32,954590 ­0,923901 42,00 0,445677 33,780960 33,335281 ­0,919086 42,50 0,445731 34,171341 33,725601 ­1,027424 43,00 0,445822 34,564499 34,118668 ­0,984534 43,50 0,445853 34,952438 34,506577 ­1,018057 44,00 0,445912 35,343201 34,897278 ­0,928276 44,50 0,446117 35,746017 35,299895 ­0,914750 45,00 0,446162 0,446244 36,136200 35,690033 36,082977 ­0,945033 46,00 46,50 0,446133 36,905426 37,296555 36,459290 36,850357 ­1,006676 ­0,940069 47,00 0,446264 37,242905 ­0,970071 47,50 0,448291 37,689178 38,078049 37,631744 ­1,000409 48,00 0,446342 38,469009 38,022659 ­1,031541 48,50 0,446417 38,861780 38,415359 ­0,951518 49,00 0,446621 39,266830 38,820206 ­0,923842 45,50 0,446192 36,529236 ­0,883233 48 T a b e l a k A B D 9 (cd.) 49,50 0,446514 39,643890 39,197372 ­1,069550 50,00 0,446700 40,047333 39,600632 50,50 0,446774 40,441666 39,994888 ­0,980033 ­0,946190 51,00 0,446620 40,813354 40,366730 ­0,907685 51,50 0,446855 41,222610 40,775742 ­1,002069 52,00 0,446880 41,612198 41,165314 ­0,893316 52,50 0,446933 42,004196 41,557251 ­0,918801 53,00 0,446755 42,373444 41,926682 ­0,943245 53,50 42,789917 42,342850 54,00 0,447060 0,446859 43,156479 42,709610 ­0,896614 ­0,919855 54,50 0,447084 43,567108 43,120010 ­0,946362 55,00 0,446922 43,936493 43,489563 ­1,051524 55,50 0,446990 44,331009 ­0,997020 56,00 0,447272 44,747025 43,884018 44,299744 ­1,052172 ­0,939907 56,50 0,447262 45,133804 44,636539 57,00 0,447071 45.4999D8 45,052826 ­1,077985 57,50 0,447148 45,895203 45,448044 ­1,014132 58,00 0,447366 46,306900 45,859528 ­0,946972 58,50 0,447223 46.67B2B4 46,231049 ­1,066933 59,00 0,447187 47,061844 46,614655 ­1,093451 59,50 0,447221 47,451828 47,004593 ­1,120860 60,00 60,50 0,447303 47,848419 47,401108 0,447531 48,261795 47,814255 ­1,044726 ­0,857631 61,00 0,447614 46,658600 48,210983 ­0,878959 61,50 0,447392 49,019669 48,572266 ­1,011005 49 T a b e l a Dane lic zb owe N h 10 do oszacowania parametrów r o zk ł ad u dwuwykł ad nic zeg o wg [ 25] zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYX N 6 N B .4843 .9043 .5481 49 1.1590 9 .54854 .4902 .9288 50 1.16066 10 .4952 51 .9497 .5489 1.1623 11 .4996 .9676 .5493 52 1.1638 .5035 12 .9833 .5497 1.1653 53 13 .5070 54 .9972 .5501 1.1667 14 .5100 1.0095 .5504 55 1.1681 15 1.02057 .5128 .5508 1.1696 56 .5157 16 1.0316 57 .5511 1.1708 17 1.0411 .5181 1.1721 .5515 58 18 .5202 59 1.0493 1.1734 .5518 19 .5220 1.0566 .55208 1.17467 60 20 1.06283 .52355 .5527 62 1.1770 21 1.0696 64 .5252 .5533 1.1793 1.0754 22 .5268 .5538 66 1.1814 23 .5283 1.0811 68 1.1834 .5543 24 1.0664 .5296 70 .55477 1.18536 25 .530BĆ 1.09145 .5552 72 1.1873 26 1.0961 74 .5320 .5557 1.1890 1.1004 27 .5332 .5561 1.1906 76 28 1.1047 .5343 .5565 78 1.1723 29 .5353 1.1086 80 .55688 1.19382 30 1.11238 .53622 82 .5572 1.1953 1.1159 31 84 .5371 .5576 1.1967 32 .5380 1.1193 .5580 86 1.1980 33 .5388 1.1226 88 .5583 1.1994 .5396 34 1.1255 .55860 90 1.20073 .54034 35 1.12847 92 .5589 1.2020 36 1.1313 94 .5410 .5592 1.2032 37zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1.1339 96 1.2044 .54.18 .5595zyxwvutsrqponmlkjihgfedcb T a b e l a N 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 G *N N N .5424 1.1363 .5430 1.1388 .54362 1.14132 .5442 1.1436 .5448 1.1458 .5453 1.1480 .5458 1.1499 .54630 1.15185 .546B 1.1538 98 100 150 200 250 300 400 500 750 .5473 1.1557 .5477 1.1574 10 (cd.) «*N .5598 1.2055 .56002 1.20649 .56461 1.22534 .56715 1.23598 .56878 1.24292 .56993 1.24786 .57144 1.25450 ť .57240 1.25880 .57377 1.26506 1000 .57450 1.26851 - .57722 1.2B255 Przykład 3 Oszacowanie parametrów rozkładu Weibulla metoda trzeciego momentu Ola danych eksperymentalnych jak w tabeli 8 obliczono 0 = 236,5 kV 3 S = 21,1 kV, M 3 = 857,0 k V , y f ^ = 0,091. Wykorzystują c tabelę skano k oraz U 9 uzy- 3,5, A = 0,352, D = 3,16 i obliczono parametry 0 m = 243,9 kV = 169,8 kV. Jak widać wynik jest zbieżny z uzyskanymi oszaco- waniami graficznymi w przykładach 1 i 2. 2.3.3.3. Rnzkładdwuwykładniczy Parametry rozkładu dwuwykładniczego można określić z wzorów [25]: >N U gdzie ff.., y.. - m = (53a) (53b) to odpowiednio populacyjne odchylenie standardowe i po- pulacyjna średnia dane w tabeli 10. 51 2.3.4. Metoda najwię kszej wiarygodności Metoda najwię kszej wiarygodności opisana szczegółowo w [19], po- lega na tym, że za oszacowanie nieznanych parametrów nej losowej przyjmuje się takie ich wartości, rozkładu zmien- przy których prawdopo- dobieństwo wyniku zaobserwowanego w badanej próbce losowej osią ga maksimum. Prawdopodobieństwo to oznaczane przez L i nazywane funkcją rygodności, jest iloczynem prawdopodobieństw wia- zaobserwowanych wyników badań przy założeniu, że poszczególne wyniki są od siebie niezależne, a prawdopodobieństwo jednoczesnego zaistnienia zdarzeń niezależnych jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. cję Przykładowo w przypadku badania wytrzymałości elektrycznej funk- wiarygodności buduje się prawdopodobieństwo przy założeniu, że wystą pienia poszczególnych zdarzeń (przebić, przeskoków itp.) określone jest rozkładem dwumianowym (Bernouliego) [li] m. ! f( gdzie: nt. - *i> = x.!(m. - x, m. - Xj ( 5 4 ) x t )lzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO *>l ( 1 " Pi> ' całkowita liczba prób lub liczba prób na danym pozio- mie napię cia (w zależności od metody badań: schodkowej (Tetznera) czy serii; patrz punkt x- - 3.2.2), liczba zdarzeń (np. przeskoków) zaobserwowana do danego poziomu lub na danym poziomie napię cia (zależnie od metody badań j.w.), Pj f(x^) - prawdopodobieństwo wyładowania przy napię ciu U,, prawdopodobieństwo zaistnienia x i zdarzeń do danego poziomu napię cia włą cznie lub przy liczbie prób na danym poziomie (zależnie od metody badań j.w.). Funkcję wiarygodności określa się jako Iloczyn prawdopodobieństw z równania (54) uzyskują c x. - TT gdzie N - (1 m. - x. P> liczba stopni napię ciowych. Jeżeli funkcja L jest nieujemna, to łatwiej ekstremów posługiwać się logarytmem, który osią ga jest przy szukaniu maksimum w tym sa- 52 mym punkcie co funkcja. kładu dwu- lub W celu wyznaczenia oszacowań parametrów roz- tró^parametrowego trzeba rozwią zać układ dwóch lub trzech równań typu = o, (56) & podstawia się poszukiwany parametr rozkładu. Rozwią zanie gdzie zazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA takich równań jest stosunkowo trudne i zwykle wymaga gramów do obliczeń numerycznych. PROGRAM WEIBULL- IBM stosowania pro- Jako pierwsze przybliżenie wykorzy- zyxwvut ť»* Wydruk do skryptu UZER= 164.1000 UJED= 242.9000 K= 3.3900 U0= 164.1000 Ul= 242.9000 K= 3.3900 H= .2804 SIGMA= 23.1514 H= .2804 E= 234.8986 ť U(I) FD .0000 190.6000 .0000 196.6000 .0000 202.5000 .0000 208.5000 .0487 214.5000 .1281 220.5000 226.5000 .2364 .3682 232.5000 .5040 238.2000 .6216 244.0000 250.0000 .6811 .7280 256.0000 .7755 262.0000 .8239 268.0000 .8701 274.0000 .9101 280.0000 .9405 286.0000 DANE W ZBIORZE skrypt.sta .0246 .0485 .0837 . 1333 .1973 .2752 .3645 .4615 .5560 .6494 .7381 .8144 .8759 .9222 .9544 .9752 .9876 FG .0832 .1326 .1950 .2682 .3459 .4223 .4926 .5547 .6079 .6772 .7951 .9009 .9763 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1. 2. 3. 4. 9. 9. 16. 18. 24. 29. 33. 37. 38. 38. 39. 40. 41 . Rys. 8. Przykład wydruku z EMC wyników obliczeń parametrów rozkładu Weibulla metodą najwię kszej wiarygodności dla danych jak w przykładzie 1: a) wyniki obliczeń, b ) , c) ilustracja graficzna (b) siatka o ustalonym k, (c) siatka uniwersalna UZER (U ) , UOED ( U m ) , K(k) - parametry rozkładu, H - współczynnik oczekiwana, SIGMA - odchyniejednorodności z testu X , E - wartość lenie standardowe, U(I) - poziomy napię ciowe, P(I) - prawdopodobieństwo na danyti poziomie napię ciowym, F. i F„ - dolna i górna granica obszaru ufności dla dystrybuanty, X - skumulowana czę stość \ \ \ \ \ 1 \ 09 s \ * CM \ \ ** "*­ i* i \ \ ... * (5 9 (M \ co ^, L \ El OJ y 1 u r ~* s. ni V s II 3 o ca V co s, II ­X CD 09 s O. XCk ( k as aa Ck ck IO ek GB CB CB w c«­ c»» Cvi 54 r1 CB I =3 .. .K .. . zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA \ \ \ • CB — i1 CD \ \ \ \ u co \ \ cc \ er cv \ i — • vc \ szyxwvutsrqponmlkjihgf tl „ II zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Ci • * c>CB CB O O O n o CB CB oo «a* CiJ C9 If• ł 55 stuje się wówczas wzory z punktu 2.3.3 i rozszerza się programy o odpowiednie testy zgodności (patrz pkt. 2.3.6), obliczanie przedziałów i obszarów ufności (patrz pkt. 2.3.5) uzyskują c w ten sposób pełną analizę statystyczną wyników badań. Przykłady takich programów znaleźć można dla przypadku rozkładu normalnego w [6l], dla przypadku rozkładu Weibulla w [56, 63] i dla przypadku rozkładu dwuwykładniczego w [62]. Na rysunku B przedstawiono wydruk, z maszyny matematycznej, wyników obliczeń parametrów rozkładu Weibulla dla przypadku danych z przykładu 1. Obliczenie numeryczne obejmuje oprócz parametrów rozkładu (UQ = UZER 2 164,1 kV, U m =zyxwvutsr = UJEO = 242,9 kV, k = K ~ 3,39) również współczynnik jednorodności H (patrz pkt. 2.3.6.5) wartość oczekiwaną E, odchylenie standardowe G = SIGMA, granice obszarów ufności dla dystrybuanty P(I): dolną Fl 1 górną F2 (patrz pkt. 2.3.5) oraz pozwala wyprowadzić wyniki w postaci graficznej (rys. 8 ) . 2.3.5. Oszacowania przedziałowe Wielkości statystyczne stosowane do opisu zmiennych losowych są 2 reguły szacowane w oparciu o zaobserwowaną próbkę losową . Wskutek losowości próbki również wszelkie oszacowania uzyskane na jej podstawie same są zmiennymi losowymi. Tak wię c zmiennymi losowymi są również oszacowania parametrów rozkładu statystycznego. Innymi słowy ocena parametru rozkładu na podstawie estymatora z próbki jest oceną przynliżoną , której dokładność zależy od rozkładu estymatora. Im obszar zmienności estymatora jest mniejszy, tym ocena jest dokładniejsza. Możne podać granice przedziału, którego długość jest zmienną losową i który z założonym prawdopodobieństwem pokrywa prawdziwą (populacyjną ) wartość parametru. Przedział ten nazywa się przedziałem ufności. Definicja Przedziałem ufności dla parametru V nazywa się przedział liczbowy (a, b) (gdzie a i b są zmiennymi losowymi), który pokrywa prawdziwą wartość parametru tP z określonym prawdopodobieństwem /i zwanym poziomem ufności. Przedział ufności może być jednostronny lub dwustronny. Ilustruje to rysunek 9. W przypadku określenia przedziałów ufności dla wszy - tkich punktów dystrybuanty uzyskuje się obszar ufności dla dystrybuanty (patrz rys. 8 ) . Wartość poziomu u f n o ś c i ^ w badaniach wysokonapię - n* jj — 9 c « g ~ $ .O 2 m -J jjj T a b e l a 11 Oszacowania granic przedziałów ufności Dwustronne Granice Jednostronne Wielkość l- i), 2i,/J f Polna Górna Dolna 1 Nieznana dystrybuanta F(x) lOVAi' ť n * i - 1 , f Górna 21,2(n+l- lV kl k2 3 " kwantyl rozkładu Snedecora- Fishera o parze (k^, kj) stopni swobody rzę duzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA /i, i, n jak we wzorze (42) 1 ł b 2 1 *0 2 " Parametry a 1 b równania prostej w siatce funkcyjnejzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Oznaczenia jak we wzorze (46); t s' ..- kwantyl rozkładu studenta dla n- 1 stopnizyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW swobody, rzę du 0 "- '* I I Wartość oczekiwana w rozkł adzie normalnym 1zyxwvutsrqponmlkjihgfe * 6 2 x - wg wzoru (47); S wg wzoru (48) Odchylenie . S/n - 1 £ . S - /7T - 1 średnie 'jd kwadratowezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (~7 ^9 /"5 e '*n- l^ v2 Parametr rozkł adu Neibulla 6 , „ - kwantyl rozkł adu X o -W (1) ¯ Y/J " k w a n t y l rozkł adu normalnego,* rzędu/3 1 - 4 1 *flzyxwvutsrqponmlkjihg k n,/3 podano dla 5 < n « 120 w tabe li 12; dla n > 120 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR ( 2 ) _ , . . . . / OÓT u n,/3 " x + Oystrybuanta rozkł adu dwuwykł adnlczego F(xi)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 0 , 1 5 < ?( x 1 )< 0 1 8 5 li 2 p o d a n o dla 5 < n < 1 2 0 w tabeli 1 2 ; d l a n > 120 t/i y Ł ' n Parametr kształ tu k rozkł adu Weibulla 1 - t * n- l.l- jB exP - li o n- 1 s t o p n i a c h s w o b o d y , rzędu /3 exp ' Un, " 1 - " podano w tabeli 13 1 */3 2 ciowych przyjmuje przedziale lub się zwykle równą 95*. Mówi się wówczas o 95% obszarze ufności. Wzory dla określenia granic przedział ów ufności dla wybranych wielkości statystycznych zestawiono w tabeli 11. Występujące w tych wzo- rach kwantyle odpowiednich rozkł adów testowych nożna znaleźć w lach statystycznych [np. 85, B 8 ] . Często tabele statystyczne tabepodają zamiast kwantyli odpowiednich rozkł adów ich wartości krytyczne. Należy wówczas pamiętać, że pomiędzy wartością krytyczną a kwantylem za- chodzi równość (57)* = wKRV gdzie: W „ w - ''KR - wartość kwantyla, wartość krytyczna.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON J £(d) o=—o t) = cx=> t> J3 Rys. 9. Graficzna interpretacja przedział ów ufności przy zał ożeniu, że rozkł ad estymatora jest normalny: a) przedział jednostronny górny, b) przedział jednostronny dolny, c) przedział dwustronny 'Wyjątkiem jest rozkł ad Studenta, 0- = W gdzie sł uszny jest wzór KWzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA KR V 59 T a b e l a Współczynniki W „do szacowania granic 12 przedziałów ufnodci dlazyxwvutsr '" r parametrów rozkładu Weibulla; wg [27Jzyxwvutsrqponmlkjihgfed W D ) n,/ 3 u W (2) n zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY ,/3 /i /3 = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA S 0, 95 0, 98 0, 02 0, 05 0, 95 0, 98 - 1, 247 1,107 1,582 0, 604 0, 829 0, 644 1, 120 0, 851 0, 639 0, 683 0, 709 2, 779 - 0, 874 2, 183 1,807 3.51B 2, 640 2, 070 0, 499 0, 421 - 0, 338 1,564 1,449 1,334 1 , 732 1,579 1, 429 - 0, 285 - 0, 318 60 80 0, 02 0, 05 5 - 1, 6 3 1 7 10 - 1, 196 - 0, 876 15 20 - 0, 651 - 0, 540 - 0, 665 - 0, 509 - 0, 428 30 40 - 0, 423 - 0, 360 50 0, 738 0, 653 0, 549 0, 676 0, 716 0, 743 0, 334 0, 435 0, 778 0, 820 0, 288 0, 371 0, 801 0, 839 1, 273 1, 351 - 0, 254 0, 253 0, 328 0, 817 1, 235 - 0, 2B9 - 0, 230 0, 229 0, 297 0, 830 0, 852 0, 863 1, 208 1, 301 1, 267 - 0, 197 0, 197 0, 255 0, 848 0, 878 1, 173 1,222 100 - 0, 248 - 0, 221 - 0, 174 0, 175 0, 226 0, 861 0, 888 1, 150 1, 192 *120 - 0, 202 - 0, 158 0, 159 0, 205 0, 871 0, 897 1, 133 1, 171 0, 770 0, 791 T a b e l a 13 WspółczynnikizyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 6 do oszacowania granic obszaru ufności dystrybuy i zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB " anty rozkładu dwuwykładniczego wg ]_74J y - ln ln 1 - * F ( xA) - 2, 0 - 1, 5 - 1, 0 - 0, 5 2, 8129 2, 2408 1, 8126 1, 5057 0, 0 1, 3108 0, 5 1, 2431 60 Dla granic dwustronnych wzory podane w kolumnie 2 lub 3 tabeli 11 różnią się jedynie rzę dem odpowiedniego kwantyla, dlatego w kolumnie 4 lub 5 podano jedynie wzory dla określenia rzę du kwantyla, przy którym wzory z kolumny 2 lub 3 przyjmują postać granic dwustronnych. 2.3.6. Testy zgodnościzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ 2.3.6.1. Wprowadzenie W niektórych zagadnieniach techniki wysokich napię ć trzymałość elektryczna izolacji powietrznej, problem jak wyboru np. wyrodzaju rozkładu statystycznego jest uznany za jednoznacznie rozwią zany. W takich przypadkach wystarczy określić parametry znanego rozkładu. Czę - sto jednak przed wykonaniem badań nie ma przesłanek do wyboru rozkładu i wówczas wyboru takiego należy dokonać na podstawie uzyskanych wyników badań. Do tego celu służą testy zgodności polegają ce na spraw- dzeniu zgodności (niesprzeczności) zaobserwowanego w danej próbce losowej rozkładu empirycznego F(x) rozpatrywanej zmiennej losowej z założonym jej teoretycznym rozkładem F(x). Metoda wnioskowania na podstawie testu zgodności przypomina metodę matematyczną polegają cą wodzie takim stawia się na sprowadzeniu pewne założenie zagadnienia do absurdu. W do(odpowiednik hipotezy staty- stycznej) , skutkiem którego uzyskuje się wniosek sprzeczny z założe- niem. Z wykazanej sprzeczności wynika fałszywość postawionego założenia, a to dowodzi prawdziwości twierdzenia. Odpowiednikiem przy sto- sowaniu testu zgodności jest stwierdzenie, że prawdopodobieństwo otrzy- mania danej lub wię kszej wartości testowej jest bardzo małe, w każdym razie mniejsze niż 0,05. Małe prawdopodobieństwo otrzymania danej wartości testowej wskazuje na fałszywość hipotezy z określonym ryzykiem błę du, przy czym może to być błą d pierwszego rodzaju Ryzyko błę du nazywa się odrzucenia hi- przyję cia hipotezy fałszywej. potezy prawdziwej lub drugiego rodzaju - poziomem istotnościzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW <X. Poziom istotności nie mcże być określony z żadnych założeń teorii prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej. Jego wybór jest oparty na intuicji czeniu. Zwykle zaleca się Wzrost wagi rozważanego problemu lub jego błahość mogą czynę wzrostu lub malenia wartości stanowić przy- or[l]. Należy zaznaczyć, że im wyższy jest poziom istotności sprawdza się ona słuszna. i doświad- w technice wysokich napię ć wartość oc = 0,05. dana hipoteza, tym wię kszą można mieć pewność, na którym że jest 61 Najprostszym testera zgodności jest test Kołmogorowa- Srairnowa znakomicie nadają cy się do szybkich obliczeń inżynierskich w połą czeniu z graficznymi metodami opracowywania wyników. Test ten stosuje się wówczas gdy: 1) zmienna losowa jest zmienną cią głą , 2) liczba zaobserwowanych realizacji zmiennej losowej jest nie mniejsza od 10, 3) wartości parametrów rozkładu są dane a nie szacowane na pod- stawie wyników badań. W przypadku oszacowań graficznych gdzie dystrybuanta aproksymowana jest równaniem prostej, można, badają c odchylenia punktów eksperymentalnych od prostej, obejść warunek dotyczą cy znajomości parametrów rozkładu. Dla zastosowania testu Kołmogorowa- Smirnowa oblicza się wartości statystyki d gdzie: F(x.) F(x.) - nzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA * l""„ E F ( x i> " F ( x i ) l wartość dystrybuanty empirycznej (wzór (42)), wartość dystrybuanty teoretycznej kładu odczytana Hipotezę (58) hipotetycznego roz- z równania prostej (wzór (45)). o zgodności rozkładu empirycznego z hipotetycznym roz- kładem teoretycznym należy odrzucić jeżeli jest spełniona nierówność dn > D n O * ) , gdzie D (o<) - (59) wartość krytyczna rozkładu Kołmogorowa- Smirnowa dla po- ziomu istotności OĆ odczytana z tablic [np. 88]. Test ten opiera się na bezpośrednia zaobserwowanych niegrupowanych wartościach rozważanej zmiennej losowej, a wię c znakomicie nadaje się do wyników odpracowywanych metodą dystrybuanty testu jest statystyka n Tłn S t gdzie oznaczenia jak we wzorze (58). empirycznej. Podstawą T a b e l a Wartości krytyczne s t at ys t yk i n S nQ 2 0,5 0,4 0,1184 0,1467 .0,3 0,1843 0,2 0,2412 0,1 0,3473 dla poziomów ist o t no śc izyxwvutsrqponmlkjihgfedc 0,05 0,03 0,02 0,01 0,4614 0,5489 0.619B 0,7435 0,001 1,1679 T a b e l a Wartości krytyczne statystyki oc 2 Wn 0,5 0 ,7747 0,4 0,9239 0,3 1,1205 0,2 1,4083 0,1 1,9336 14 15 zyxwvutsrqponml dla poziomów ] stotności 0,05 0,03 0,02 0,01 2 ,4933 2,9222 3,2706 3,8570 0 ,001 6 ,0000 63 Jeśli speł niona jest nierównośćzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR n ¯ CL)! *l zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP (61) to hipotezę o zgodności rozkł adu empirycznego z hipotetycznym rozkł adem teoretycznym należy odrzucić. Test można stosować dla ciągł ej zmiennej losowej, próbce peł nej i liczbie realizacji n > 1 0 . Test a) oparty na podobnej statystyce jak test Koł mogorowa- Smir- nowa jest jednak testem o większej mocy [46] ze względu na wykorzystanie wszystkich realizacji różnic dystrybuanty empirycznej i teoretycznej. Test ten jest zalecany przez wielu autorów dla przypadku opracowywania wyników metodą dystrybuanty empirycznej. Wartości krytyczne asymptotycznego rozkł adu n« podano w tabeli 14. 2 Test W jest używany wówczas gdy do opracowania wyników stosuje się metodę dystrybuanty empirycznej, w przypadku badania zmiennej losowej ciągł ej, przy liczbie realizacji n ^ 10 i próbce peł nej. Pod- stawą testu jest stystyka [47] 1 = 1 " ł / l n (62a) a jeśli dystrybuanta empiryczna szacowana jest z wzoru (43), to sta- tystyka powyższa przybiera postać W 2 = - n - 2 .£ U - F(xi)]ln[l - F( X i )]}, (62b) gdzie oznaczenia jak we wzorze (5B). Jeśli jest speł niona- nierówność w£, (63) to na poziomie istotnościzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ at, należy hipotezę o zgodności rozkł adu teoretycznego z empirycznym odrzucić. n Wartości krytyczne rzędu ot asymptotycznego rozkł adu statystyki W n podano w tabeli 15. Test W n V ma moc porównywalną z mocą testu co [46]. 64 2 TestzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA X omawiany w każdym z podrę czników statystyki matematycznej jest testem, który należy stosować w przypadku opracowywania wyników metodą histogramu. Wymaga on spełnienia określonych warunków co do po- działu na klasy uzyskane wyniki mogą i liczności realizacji w klasach, w zwią zku z czym być subiektywne (patrz również pkt. 2.3.1 - Tym niemniej godzą c się ze zwię kszeniem błę du wstę p). pierwszego rodzaju czyli błę du odrzucenia hipotezy prawdziwej (tzn. z zaostrzeniem warunków testu), test ten bywa stosowany w metodzie dystrybuanty empirycznej [11]. Podstawą testu jest wówczas statystyka gdzie oznaczenia jak we wzorach (54) i (55). Hipotezę o zgodności rozkładu empirycznego z hipotetycznym rozkła- dem teoretycznym należy odrzucić jeśli spełniona jest nierówność 2 gdzie: % u 2 . - wartość krytyczna rozkładu % o N- r- 1 stopniach swobody, rzę du OC odczytana z tabel np. LB5, 8BJ, r - liczba szacowanych parametrów rozkładu. Iloraz (66) * N- r- 1,« nazywa się miarę współczynnikiem jednorodności uzyskanych wyników i stanowi zgodności z rozważanym rozkładem teoretycznym. Im mniejsze h tym pewność co do słuszności postawionej hipotezy o rozkładzie, wię ksza. 2.3.7. Współczynniki dopasowania i korelacji W zagadnieniach wysokonapię ciowych czę sto określania zmian parametrów elektrycznych w wystę puje konieczność funkcji parametrów kon- 65 strukcyjnych. Przykładem może tu- być zależność naprę żeń przebicia od grubości izolacji lub czas do przebicia w funkcji naprę żeń itp. Prawdopodobieństwo jest wówczas parametrem np. określa się zależność o praw- dopodobieństwie 0,5; 0,1 Ltd. Do określenia takich zależności metody regresji i korelacji. Tutaj ograniczono się jedynie do regre- służą sji liniowej jako, że w ograniczonych zakresach eksperymentów jest to przypadek najczę ściej spotykany lub przez dobór odpowiedniego układu współrzę dnych liniowość może być wymuszona. W takim eksperymentalne aproksymuje się linią prostą za przypadku punkty pomocą metody naj- mniejszych kwadratów (wzory (45) i (46)). Zachodzi pytanie: czy postę powanie takie jest dopuszczalne? lub inaczej: jak bliska zależności funkcyjnej liniowej jest korelacja rozważanych zmiennych, co najmniej jedna jest zmienną losową ? (teorię regresji z i których korelacji szczegółowo omówiono w [39, pkt. 11.3.7]). Ola uzyskania odpowiedzi na powyższe pytania szacuje się współ2 lub czę ściej jego pierwiastek zwany współczyn- czynnik tnik dopasowania r nikiem korelacji r r gdzie: n - ^ fi M M ' xyzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED liczba uzyskanych z eksperymentów punktów (x, y ) , x, y - odpowiednie wartości średnie, 5x , Sy - odpowiednie skorygowane odchylenia standardowe. Współczynnik korelacji zawiera się w granicach: - 1 ^ r * 1 i ma xy nastę pują ce właściwości: 1) dla (r 1 = 1 mię dzy zmiennymi x i y zachodzi liniowa zależxy ność funkcyjna, 2) dla r = 0 brak jest zależności liniowej mię dzy zmiennymi (co xy nie oznacza iż zmienne te muszą być niezależne; może wówczas zacho- dzić zależność nieliniowa), 3) dla r < 0 korelacja jest ujemna co oznacza że współczynnik xy kierunkowy prostej (45) b < 0, 4) dla r x > 0 korelacja jest dodatnia, b > 0, 5) rim |r | jest bliższy 1 tym pewność, że zależność liniowa jest xx xy 7 ) r r wię ksza, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA xy yx- zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y yzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 8) d l a 0 < ll r vv xy < 11 między zmiennymi ist n ie je zależ ność stochastyczna. zyxwvuts xx // l 2.- J. - J.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ¯_? ¯_P£.ze.tlz_i_aJ:_uf Qoś_ci_dla Ola określenia przedział u ufności dla współ czynnika korelacji przy dużych r (bliskich jedności) korzysta się z przekształ cenia z =TlnT^r- F' C6B) i określa się bł ąd oszacowania J (69) * Przedział y ufności wynoszą wówczas 1 - V2,/» Po zastosowaniu przekształ cenia odwrotnego uzyskuje się granice przedział u ufności dla współ czynnika korelacji. 2.3.7.3._Sgrawdzenie higotezy o niewy^tggowaniu_zależności_korelacy.jnej Aby móc stwierdzić, że hipotezy o istnieniu związku korelacyjnego m'iędzy badanymi zmiennymi odrzucić nie można, sprawdza się czy dla tej z granic przedział u ufności, która ma mniejszą wartość bezwzględną zachodzi nierówność |r |- /n - 2 Jeśli nierówność ta jest speł niona, to hipotezę o istnieniu kore- lacji liniowej należy odrzucić. 2.3.8. Niezależność poszczególnych doświadczeń. Test serii Wykonując przykł adowo badania wytrzymał ości elektrycznej obserwuje się na danym poziomie napięcia dwojakiego rodzaju zdarzenia: a) za- T a b e l a Wartości krytyczne U Q \nl 2 n 2\ 4 5 6 1 liczby serii w teście 8 9 10 11 12 serii (Walda- Wolfowitza) wg [19] 13 14 15 16 17 18 19 20 2 2 3 2 2 3 3 3 2 4 4 3 3 4 2 2 3 3 4 5 4 4 6 3 2 2 5 5 4 3 2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 3 5 6 6 6 5 7 5 7 3 6 3 4 5 6 8 4 5 7 7 3 2 8zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 6 £ 4 9 9 2 4 3 8 5 B 6 7 4 6 9 9 10 3 4 8 7 7 2 5 5 8 6 9 4 3 2 5 6 9 10 11 6 7 8 8 10 11 10 4 10 5 11 11 7 8 3 2 6 8 9 6 12 10 10 11 12 9 3 11 4 2 5 6 9 7 8 7 10 11 11 13 12 12 13 5 9 3 2 10 4 7 8 8 6 11 10 13 13 9 14 14 12 4 12 8 3 2 5 10 6zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 7 8 11 11 13 13 12 6 12 14 4 9 3 14 15 9 2 5 10 7 8 CNI 4 5 6 7 8 9 10 11 12. 13 14 15 16 17 18 19 20 3 0 5 16 ON 68 istnienie wyładowania elektrycznego, lub b) brak wyładowania. Można zatem utworzyć cią g elementów dwóch rodzajów, na przykład aa ba bbb a bbb przy czym elementów "a" jest "n." a elementów "b" "n^". zów tego samego rodzaju nazywa się Grupy wyra- serią , na przykład aa, b, a, bbb, a, bbb liczba serii otrzymanych z próbek losowych o jest zmienną losową U, której wartości u izyxwvutsrqp n^ licznościach n^ są liczbami naturalnymi spełniają cymi nierówność 2 < u ^ n} + n2. (73) Korzystają c z tablic wartości krytycznych hipotezę U# (tab. 16), należy o niezależności wyników poszczególnych prób odrzucić na po- ziomie istotności Oi jeśli spełniona jest nierówność u < gdzie u - Ua, zaobserwowana liczba serii. Test serii do oceny losowości można stosować nie tylko wówczas gdy zmienna przybiera wartości 0 lub 1, czyli gdy podlega rozkładowi dwumianowemu, lecz również przy badaniach wartości parametrów. Przykładowo w serii wyników czasów do przeskoku lub napię ć przeskoku (czy przebicia) wyróżnić można wartość średnią , mniejsze zalicza się a wartości wię ksze lub do podzbiorów n. lub n_ i nastę pnie można już stosować test serii wg podanej wyżej procedury [87]. 2.3.9. Eliminacja błę dów ą rubych Nanoszą c punkty eksperymentalne na siatkę tystycznego, można spotkać się funkcyjną rozkładu sta- z przypadkiem, że któryś z punktów wy- raźnie odbiega od pozostałych i od dystrybuanty. Punkt taki może być obarczony grubym (dużym) błę dem i w takim przypadku należałoby go wykluczyć z analizy. Najwłaściwszą metodą wykluczenia dużych jest odrzucenie podejrzanych wyników obserwacji, gdy istnieją mu powody wynikają ce z samego przebiegu doświadczenia [74]. błę dów ku te- 69 Zdarza się jednak, że nie ma widocznych podstaw do odrzucenia i trzeba kolejno badać czy wyniki odbiegające bardzo znacznie od po- został ych należą również do tej samej populacji generalnej. Korzysta się wtedy z testu bł ędów obserwacji opartego na statystykach: y 5? lub n+ U, 6 _ X ( n ) " X (n- 1) Y v X (n) " X(l) X „-U 6 < - X (l) " X(2) "y Y (n) " X(l) lub X ( n ) ' X (n- 1) X 0 X 7 (n) " (2) X (l) ~ X(2) X (n) " X(2) lubzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA fi+ 8 _ X ( n ) ~ X (n- 2) " X X (n) ' (l) B X 8 (l) ' X(3) X " (n) ť X(l) Wzory (7A) dotyczą przypadku gdy parametry Istnieją jeszcze statystyki B. dla przypadku rozkł adu są nieznane. znanych parametrów roz- kł adu, które pominięto, jako że jest to przypadek rzadko spotykany. Jeśli Bi>b1(a, n), (75) to badany wynik należy uznać, na poziomie istotności ar, za obciążony bł ędem grubym i wykluczyć go z dalszej analizy. b4(<x, n) dla a = 0,05 podano w tabeli 17. Wartości krytyczne Dla n > 5 0 oraz £*<0,2 war- tości b.Ccć, n) oblicza się z zależności b (a, n) 4 y- ,/ ]/2n - 2 ( , " 'zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW V j , (76) 5 ť y* . (3 + y 2 + 2 y \ ( " ^ ? ) gdzie y jest kwantylem rzędu 1 - OC/2n standaryzowanego malnego. rozkł adu nor- 70 T a b e l a El i m i n a c j a bł ędów g r u b yc h . b4(0,05, n b 4 War t o śc i 17 k r yt yc zn e n) wg [ 88] zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ n b 4 3 1,414 27 2,913 4 1,710 28 2,929 5 1,917 29 2,944 6 2,067 30 2,958 7 2,182 31 2,972 8 2,273 32 2,985 9 2,349 33 2,998 10 2,414 34 3,010 11 2,470 2,519 35 12 36 3,022 3,033 13 2,563 37 3,044 3,055 14 2,602 38 15 2,638 39 3,065 16 2,670 40 3,075 17 2,701 41 3,084 18 2.72B 42 3,094 39 2,754 43 3,103 20 2,779 44 3,112 21 2,801 45 3,120 22 2,823 46 3,129 23 2,843 47 3,137 24 2,862 48 3,145 25 2,880 49 3,152 26 2,897 50 3,160 3. WYBRANE PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ W WYSOKONAPIĘ CIOWEJ TECHNICE PROBIERCZEJ 3.1. Wprowadzenie Przypadkowość pojawiania się i rozwoju wyładowań elektrycznych wy- maga, dla uzyskania obiektywnej oceny wyników badań wych, stosowania metod statystycznych. Zakłada się wysokonapię cio- przy tym, że każde- mu poziomowi napię cia U. o danym kształcie i czasie działania lub/i każdej wartości czasu t. przy danej wartości napię cia odpowiada określone prawdopodobieństwo P. zaistnienia wyładowania przy jednokrotnym doprowadzeniu napię cia. Celem badań jest wię c określenie dystrybuanty napię ć (naprę żeń) przebicia (progu wyładowań niezupełnych) F(U) = P(U<U.) przy określonym kształcie i czasie oddziaływania napię cia lub dystrybuanty czasów do przebicia (przeskoku czy wystą pienia zupełnych o określonej intensywności) przy danym wyładowań nie- kształcie i warto- ści szczytowej napię cia F(t) = P ( t < t . ) . Rolę czasu dla dystrybuanty czasów może, w przypadku napię ć impul- sowych, odgrywać liczba udarćw do przebicia. Zależność prawdopodobieństwa zaistnienia wyładowania elektrycznego w izolacji od napię cia służy zwykle do opisu wytrzymałości doraź- nej (krótkotrwałej). Obejmuje to wytrzymałość udarową , zarówno piorunową jak i łą czeniową oraz krótkotrwałą (np. jednominutową , godzinną , itp.) wytrzymałość przy napię ciu przemiennym. Zależność prawdopodobieństwa zaistnienia wyładowania czasu do wyładowania w zakresie godzin i dłuższym do wyładowania) dotyczy wytrzymałości długotrwałej wytrzymałości izolacji na długotrwałe narażenia w funkcji (lub liczby udarów i służy do oceny robocze*. Mówi się wówczas o właściwościach starzeniowych izolacji i o ocenie czasu życia izolacji. 3.2. Wytrzymałość elektryczna krótkotrwała 3.2.1. Wprowadzenie W zakresie badania wytrzymałości elektrycznej krótkotrwałej należy wyróżnić dwa zagadnienia. Wyją tkiem są tu procedury określania charakterystyk udarowych, dotyczą ce jednak czasów znacznie krótszych, rzę du mikrosekund. 72 1. Badania wytrzymałości doraźnej gotowych maszyn lub wysokonapię ciowych. W tym zakresie próby wytrzymałości są całkowicie znormalizowane i opisane w odpowiednich miotowych. Problematykę urzą dzeń elektrycznej normach przed- tych prób w skrypcie pominię to. 2. Badania materiałów i fragmentów układów izolacyjnych mają ce na celu określenie właściwości elektrycznych lub wartości projektowych. Dalsza czę ść rozdziału dotyczy tylko tego zagadnienia. Zagadnienie drugie dotyczy zarówno badania ku wzdłuż izolatora liniowego jak i badania np. napię cia przesko- np. napię cia przebicia fragmentu izolacji transformatora energetycznego (np. izolacji mię dzyzwojowej czy mię dzycewkowej itp.) czy badania progu wyładowań niezu- pełnych dla próbki określonego dielektryku. Dla dokładnego zdefiniowania zagadnienia należy rodzaje izolacji wysokonapię ciowej podzielić na dwie grupy [68]. 1. Izolacja regenerują ca się czyli izolacja całkowicie odzyskują - ca właściwości izolacyjne w pewnym czasie po wystą pieniu zupełnego. Przykładem jest tu izolacja powietrzna w wyładowania przestrzeniach otwartych. 2. Izolacja nieregenerują ca się czyli izolacja, która po wyłado- waniu zupełnym spowodowanym działaniem napię cia traci właściwości izolacyjne lub nie odzyskuje ich całkowicie. Do tego typu izolacji zalicza się w zasadzie wszystkie pozostałe rodzaje izolacji, łą , ciekłą i gazową a wię c sta- w przestrzeniach zamknię tych. Z przedstawionych definicji wynika, że podejście do nadań powinno w obydwu przypadkach być różne. W przypadku izolacji regenerują cej się można powodować wielokrotnie wyładowania zupełne bez uszkodzenia izolacji, natomiast w przypadku izolacji nieregenerują cej się wyładowaniu zupełnym próbkę dania należy wzią ć nową uważa się próbkę po każdym za zniszczoną i do kolejnego ba- dielektryka. Czę sto przyjmuje się , że izolacja ciekła (np. olejowa) czy gazowa w przestrzeniach zamknię tych wykazuje, przy ograniczonej liczbie przebić oraz zapewnieniu odpowiedniego czasu odpoczynku, właściwości izolacji regenerują cej dania przeprowadza się tak jak dla izolacji powietrznej. Podejście takie jest dopuszczalne o ile wynika się i ba* z pełnej świadomo- ści eksperymentatora co do liczby dopuszczalnych wyładowań elektrycznych. Również w przypadku izolacji regenerują cej się wać sprawę należy sobie zda- z faktu, że przy kolejnych wyładowaniach ulegają wypaleniu elektrody i że nawet izolacja powietrzna wymaga wię kszego od zera czasu dla zregenerowania swych właściwości izolacyjnych. 73 3.2.2. Metody badań izolacji regenerują cej się Metody badań izolacji regenerują cej się mach wysokonapię ciowych są czę ściowo uję te w nor- [66, 67, 68] i w tym zakresie skomentowano je szczegółowo w [80] . 3.2^2.l^Metoda Metoda serii jest metodą serii powszechnie stosowaną pię ć impulsowych (udarowych). Schematycznie nych tą metodą w założoną z góry liczbę wadzanych impulsów n. i w czasie badań obserwuje się sów, które doprowadziły do wyładowania. Iloraz skumulowaną na- prdb wykonywa- przedstawiono na rysunku 10. W metodzie tej każdemu po- ziomowi napię cia u\ przyporzą dkowuje się waną przypadku procedurę czę stością liczbę dopro- k. impul- k./n. jest zaobserwo- wyładowań i stanowi oszacowanie prawdopo- dobieństwa P. na dystrybuancie empirycznej.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY UzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 5 6 i 1 Numer seriizyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 3 4 7 10 10 Licznaść serii 10 10 70 10 n 10 3 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC Wył adowanie w seriizyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Ay 1 3 4 6 9 8 Częstość 09 03 03 06 04 08 Rys. 10. Schematyczna ilustracja procedury badań metodą serii wg [27] Metoda serii może być również stosowana w przypadku izolacji nieregenerują cej się , z tym że wówczas n. oznacza nych przy napię ciu U., a k. - liczbę próbek liczbę próbek bada- zniszczonych przy napię - ciu U.. Zwykle jednak uznaje się , że metoda serii jest zbyt kosztowna aby mogła być stosowana do badań izolacji nieregenerują cej się . 0.- 0.3zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYX = 5ł* — < x=a; szyxwvutsrqponmlkjihgfedcb "~ 0£ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR =0fi5 S = 5*/t ~~ a =0.01 s = 3 y. a.- 0.005 szyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ - 5łfc a. = o.i " s <L=O.I S = «?% a. = o.o5 s= W% - " o- =oxn s " OL = 0.05 S OL =42 S • =«i* r — O"- A/ 5=/5*/t \ ~~ CL- 0.05 S = f5% - T ' ct*=O.ot S = fS% - n T cL- 0.005 S = tS'Azyxwvutsrqponmlkjihgfe zyxw ¯!*!(**) Rys. 11. Zależność bł ędu oszacowania U 5 Q od liczności próby n dla różnych poziomów istotności <* i dla różnych współ czynników zmienności S 75zyxwvu 100 » 20 30 Rys. 12. Zależność błę du od liczności próby n, M tło fcts)(%] oszacowania odchylenia standardowego 6 dla różnych poziomów istotności «: 6 S dS = : 100% 76 Podstawowym problemem, który należy rozstrzygną ć przy stosowaniu metody serii, jest określenie liczby impulsów n. doprowadzanych na poziomie napię cia l^. Zagadnienie to rozwią zuje się w oparciu o analizę błę du oszacowania odchylenia standardowego i wartości oczekiwanej. Na rysunkach 11 i 12 wykreślono zależność tych błę dów od liczności próby n przy różnych poziomach istotnościzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ CC. Jak widać, przy stałym błę dzie liczność n rośnie ze wzrostem poziomu ufności 1 - oc. W przypadku izo- lacji powietrznej gdzie współczynnik zmienności s = (S/U^g) zwykle mniejszy od 5% duże zwię kszenie n 100% jest w zakresie n > 2 0 daje nie- wielkie zmniejszenie błę dów i odwrotnie, malenie daje duże wzrosty błę du, stgd przyjmuje się , że n w zakresie n < 20 n winno być nie mniejsze od 10 i raczej równe 20 lub wię cej [3, 39j. Liczbę poziomów napię ciowych N, na których przyjmuje się wykonuje się próby zwykle w granicach 5 T 8 , C O również jest kompromisem mię - dzy dokładnością i pracochłonnością . Dokładność uzyskanych oszacowań można zwię kszyć stosują c, przy założeniu rozkładu normalnego: a) wagi zwię kszają ce wiarygodność wyznaczanych doświadczalnie kwantyli yL [39]zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA e * p ( y ) w ai = n i 2 y P i ( l - p.) ( 7 7 ) ' parametry równania prostej (wzory A6a i b) przybiorą M a l U l wówczas postać:zyxwvutsrq "zyxwvutsrqponmlkjihgfedc wzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA y1 w u v y b = 3=i u ai A- { ai i i 1=1 łJLL_ H Łfi_ _ i=l . ( 7 Bh) Metoda obliczeń z uwzglę dnieniem wag pojedynczych punktów eksperymentalnych przy stałej liczbie udarów n. = n = const ciowym daje dokładniejszą analizę na stopniu napię - jedynie w okolicy napię cia pię ćdzie- się cioprocentowego (U 5 0 )(dla małych prawdopodobieństw dokładniejsza jest metoda prosta 77 b) metodę Bartletta [4l] polegają cą na uzyskaniu jednakowej licz- by wyładowań k^ = k = const na wszystkich zastosowanych poziomach napię ciowych; prowadzi to do znacznego wzrostu liczby udarów n^ na po- ziomach napię ciowych o małych prawdopodobieństwach zaistnienia przeskoku. Wagi w z wzorów (78) przybierają wh b = k i wówczas wartości = i 2 31 pJCl - . P i (79) ) Metoda ta daje najdokładniejsze oszacowanie napię ć w zakresie małych prawdopodobieństw (U 1 6 ! . do U Q j^), przy czym zaleca się [41] aby dla p ^ 0,16 przyją ć kj ^ 2 a dla p > 0,5 przynajmniej k 2 > 4. Ogólnie rzecz biorą c można stwierdzić, że w metodzie serii nale- ży doprowadzić do badanego obiektu co najmniej 100 udarów napię ciowych z czego około połowa (jako, że pomiary winny być wykonane zarówno powyżej jak i poniżej wartości oczekiwanej) doprowadzi do wyładowania. W czasie badań wykonywanych metodą serii mogą wystą pić, szczegól- nie przy małych n., przypadki gdy przy napię ciu U . , wa czę stość k i + ] / n i + 2 równa zeru mimo, k./n. > 0. Zaleca się iż na zaobserwowana by- stopniu U\ czę stość wówczas poprawić wynik wg zależności [39, 78] (80) 'i + 1 Podobnie w przypadku, gdy po obniżeniu napię cia do U. , się czę stość wystę powania przeskoków, zaleca się poprawić zwię kszy wynik wg zależności [39, 78] k i- l i- l i 2n n 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU (81)zyxwvuts i- f MetocJa 1fetz nera (schodkowa) Znacznie mniej kosztowną metodą badań niż metoda serii jest meto- da schodkowa zwana także od nazwiska autora metodą dzie tej zwię ksza się Tetznera. W meto- napię cie schodkowa aż do uzyskania wyładowania. Schematycznie obrazuje to rysunek 13. 7BzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a) u [kV] u, Ua V, zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ —U- 7 j 3 <i; u, __. NAPieCIB srAuru . , \ 11 \ j Nr próby / 2 3 * Liczba udarom na stopień t 1 1 r j ~ "I ii i i 11 CZAS 5 6 7 a 9 1 t / i 1 06 03 OMzyxwvutsrqp 07 X próbyzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 06 (U et) b)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA STOPNIE u, o, Os UlzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO MAP/ Ę C/ OWE LICZBA twŁ ADotttĄ / t HM O*NYM roriofium t i r f 2 i t t - LICZBA WYŁ AOOWAI* BO DANC9O POSIOHU WkĄ CZNIC f 2 3 4 6 7 8 9 - PHAtmopoooemitsmo znvrar OJ 0.2 03 0.4. o.e 0.7 0.3 O.9 O/ */ Rys. 13. Schematyczna ilustracja procedury ( Te tzne ra) j wg [ 2 7 ] . badań Jako prawdopodobieństwo z próby stanowią ce empirycznej określa się metoda punkt - schodkową dystrybuanty wartość (82) gdzie: 1$ k < n, n - całkowita liczba zaobserwowanych przeskoków (przebić itp.). BM E '9 T 9c'o tP (D) Yj BM^syaTqopodop«ejd npef^zoj eCo>(unj Ł>}­ 6L BO Szereg n wartości (p k , U k ) pozwala oszacować dystrybuantę na- pię ć przebicia (przeskoku itp.). Metoda ta zapewnia dokładność równometodzie serii przy n = n^, jest wię c znacznie oszczę dniejsza. ważną Niestety jednak uzyskana dystrybuanta jest, w przypadku regenerują cej się izolacji (a także w przypadku każdej izolacji gdzie o rozrzu- cie napię ć przebicia decyduje jedynie mechanizm przebicia a nie głównie właściwości materiałowe np. izolacja olejowa), zależna od przyję tego kroku napię ciowego AU = l^ - Llj^. Ilustruje to rysunek 1A. Jak widać im mniejszy krok napię ciowy tym dalej jesteśmy od poszukiwanej dystrybuanty F(U). Istnieje kilka metod przeliczania uzyskanej, buanty J^jCU) na poszukiwaną dystrybuantę F(U). pomocniczej dystryTutaj ograniczano się do metody przeliczania przez transformację , prowadzą cej do uniwersalnych wykresów ułatwiają cych obliczenia [17]. liczania zapoznać się Z innymi metodami prze- można w [39, 82]. Metoda transformacji jest oparta na zwią zku mię dzy zmiennymi U i U. , przy czym założyć należy znajomość rozkładu zmiennej U. Ograniczymy się todę do przypadku rozkładu normalnego. Ola rozkładu Heibulla me- transformacji omówiono w [57]. Standaryzują c zmienną UzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ ^4 przechodzi się (83) od rozkładu F(U) do # (x) gdziezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ $> (x) to standaryzowa- ny rozkład normalny N(0,l). Transformują c zmienną przechodzi się MAX i IL od rozkładu F ^ U (LI) do rozkładu F AX(X) O parametrach 8 AxStopień napię ciowy AU zastę puje się stopniem Ax - ^ l . Mię dzy funkcjami §(x) i fr ^ x ( x ) wystę puje zwią zek (85) Bl Zmienne losowe x^ x i x związane są więc zależnością x Ax = *Ax x + ( B 7 ) <"Ax- Rozkł ad F^ x (x) jest zależny od kroku napięciowego i może być okre- ślony przez rozkł ad 0(x) z zależnościzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR F Ax (x a + 1 * A x ) " £ * (x azyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA *'l'A x ) TT U " #<xa + 1= 1 J=° (88) gdzie x, standaryzowana wartość napięcia U_ (rys. 13), od którego rozpoczyna się próby, zwanego napięciem startu. Z zależności (88) znając $(x) można dla dowolnej wartości unormo- wanego kroku napięciowegozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH Ax obliczyć parametry (i. i 3. rozkł adu FAx(x). Równania (83), (84) i (B7) dające związek między U i U^ u zawierają jeszcze nieznane a poszukiwane parametry \J i Gf. Zmienną losową x można również otrzymać znając parametry funkcji F A u ( U ) standaryzując (89) oraz wykorzystując równanie (87) U x Ax " Szukane wartości p i d Au - "Au S^i 3 AX + M (90) Ax- można teraz obliczyć z równań (84) i (90) przsz porównanie współ czynników: (91) (92) Z równań (85) i (91) można również określić unormowaną wielkość kroku napięciowego AU Ax =fe - C»> 82zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Do oblicze nia zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA p i B są je szcze potrzebne wartości M A X i e ^ • Wychodząc z równania ( 8 8 ) , zakł adając odpowiednie wartości początkowe x 3 zyxwvutsrq i wartości kroku Ax można wyznaczyć zależnościzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ 6. = f,(Ax) i p A = = f 2 (Ax).zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 0,1 0 Ofi tj) Ofi - 0.2 1.9 - o,s - t>,8 os - U0 i 0.4 03 - U s x a zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA o,t Ofi t.* 10 \ Rys. 15. Zależ ność <?Ax = wg [ 17] Rys. 16. Zale ż n o ść wg Ot Ofi 0.4 (U 02 (U 06 Ofi 1.0- AH°AZ Rys. 17. Zależ ność Ax. = i 3 ( AU/ e f A u ) ; wg [ 17] = fi. [ 17] = f 2 ( AU/ 0 A u ) 83 1,5> oraz wykoZakładają c x = - 5 oraz Ax z przedziału <0,02;zyxwvutsrqponmlkjihgfed 3 Ax/(? Ax = AU/G A ( J w [17] uzyskano rzystują c transformację zależności SAx = f^AU/G^), uAx ) wykreślone nazyxwvut f 2 ( A U / S A u ) oraz A x = rysunkach 15, 16 i 17. Przedział niezmienności -2 Rys. 1B. ZależnośćzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJI 6. od wartości startu X przy róż- nie nych krokach Ax; na lewo od linii przerywanej zależy od X g ; wg [17] Znają c określone eksperymentalnie parametry funkcji F A (U) czyli p. , ff. oraz krok AU, można korzystają c z wykresów 15 i 16 odczytać wartości u A x i S A x i po podstawieniu do wzorów (91) i (92) oszacować poszukiwane parametry pi i G (czyli U C Q i S ) . Pewnym problemem jest jeszcze uniezależnienie się od wyboru na- pię cia startu U a (x a było zakładane przy obliczeniach). znaleźć taką dego U górną granicę napię ć startu U , poniżej Należy wię c której dla każ- oszacowana funkcja F . ( U ) byłaby niezależna uU - od U . Wychodzą c 3 z rozkładu $(x) dla różnych wartości począ tkowych x i kroku napię cio- a wego Ax obliczono [17] z wzoru (88) funkcję standardowe G A x ( x a ) oraz wartość oczekiwaną ¯:^x()<)t a stą d odchylenie u Ax(*a)- Zależności te wy- 84 kreślono na rysunkach 18 i 19. Obszary, w których uzyskane wyniki nie zależą lub zależą od U a rozdzielono linią przerywaną. Górną granicą dla x g oznaczoną jako x a g 1 ( A x ) , określoną przy zał ożonym bł ędzie osza- £ = 0,01 dla odchylenia standardowego [17]zyxwvutsrqponmlkjihg cowaniazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (94) "Ax' podano na rysunku 20.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM O/K Rys. 19. Zależność u Ł un od wartości s t ar t u Xg przy róż - od ukośnej linii p A nie nych krokach Ax; na lewozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML 'Ax zależy od X g ; wg [17] Oak widać przy mał ym kroku Ax wartość x musi być niska. W prak- tyce krok napięciowy obiera się w granicach Ax = AU/S = 0 , 2 T O , 5 wartość początkowa winna być w granicach x Dokł adność oszacowań parametrów u. oszacować z rysunków 11 i = (U - i Q. można, i stąd \i)/6 = - 3ł - 2,5. przy danym n, 12. Przy przeliczaniu dla znalezienia osza- cowań u i 6 bł ąd oszacowań nie wzrasta. 85zyxwvut 04 Rys. 20. Zale2ność granicznej wartości startu X a gi o d wartości kroku Ax, wg [17] Metoda schodkowa bywa również stosowana w wersjach różnią cych się liczbą udarów aplikowanych na danym stopniu napię ciowym. Pionowa kre- ska na rysunku 13a symbolizuje wówczas odpowiednio np. 2, 3, 5 czy 10 udarów o jednakowej wartości szczytowej i mówimy o dystrybuancie na- pię ć przebicia przy 2, 3, 5 czy 10 udarach na stopień. Wybór liczby udarów na stopniu napię ciowym jest zwykle podyktowany wymaganiami konstruktorów. Przykładowo, jeśli próba odbiorcza jakiegoś urzą dzenia wymaga doprowadzenia trzech udarów, to również badania fragmentów układu izolacyjnego tego urzą dzenia należy wykonać przy trzech udarach na stopniu napię ciowym. Procedura opracowania wyników bez zmian, dochodzą pozostaje wówczas jedynie nowe informacje dotyczą ce numeru kolejne- go udaru (na stopniu napię ciowym, na którym zaobserwowano wyładowanie) który doprowadził do wyładowania. Te informacje mogą być przedmiotem dodatkowej analizy i wnioskowania na temat charakteru rozrzutu uzyskiwanych wyników (patrz pkt. 3.2.4). Metoda schodkowa w wersji dostosowanej do badań przy napię ciu przemiennym polega na utrzymywaniu napię cia na danym stopniu przez okres np. 1 min, 10 min, 1 godz. itd. Mówimy wówczas o wytrzymałości jednominutowej, dziesię ciominutowej, godzinnej itd. Sposób opracowania wyników pozostaje bez zmian, dochodzą jedynie nowe informacje o czasie zaistnienia wyładowania na stopniu napię ciowym, na którym to zdarze- nie wystą piło (patrz pkt. 3.2.4.1). 3 .i 2 . 1 2 1 3 1 _Metoda_góra z dół Metoda góra- dół zwana również od nazwisk autorów - Mooda jest obecnie dominują cą cji powietrznej. Procedurę metodą w zastosowaniu badań prowadzonych metodą metodą Dixona- do badań izolagdra- dół schema- zyxwvuts 6 i I f *1/ 1 2 4 o 1 J 5 O 2 4 O 2 —zyxwvutsrqponm 1 i a 9 13 11 U 13 f( 15 16 17 10 19 2O mtM Bt M OBV Rys. 21. Schematyczna ilustracja procedury badań metodą góra- dół tycznie przedstawiono na rysunku 21. Ogólnie można powiedzieć, że kolejną próbę wykonuje się niku próby bezpośrednio ją na poziomie napię ciowym uzależnionym od wy- poprzedzają cej. I tak jeśli przeskok zaist- niał napię cie zmniejszamy, jeśli nie zaistniał zwię kszamy. Poczynają c od pierwszej zmiany wyników (brak przeskoku - przeskok, rys. 21) roz- 87 poczyna się zliczanie prób ważnych (uwzględnionych przy analizie wyników). Wymaganą liczbę prób n określa się zwykle jako większą lub równe 20. Następnie sumuje się wszystkie przeskoki k = Zł k^ i braki przeskoków q = E<lj i określa się liczbę N jako N = min(k, q ) . (95) Na podstawie wybranego N należy ponumerować stopnie napięciowe 0\ przypisując Indeks 1 = 0 najniższej wartości napięcia, przy której wystąpił a zdarzenie (przeskok k. lub brak przeskoku q ) odpowiadające wybranemu N (rys. 21). Napięcie o 50% prawdopodobieństwie zaistnienia przeskoku i odchylenie standardowe oblicza się z wzorów: = U (96)zyxwvutsr o +Al(^0.5), Ś = 1,62 AU((NN BB ZZ AAzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM ł 0,03), (97) \ g d zie : AU - N^ / krok napięc iowy orazzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ E ilj, (98) 1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO i = lzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG A= B = E zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ l i> (99) i i =0 gdzie: m 1^ - liczba stopni napięciowych,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP liczba zdarzeń (przeskoków ^ lub braku przeskoków q i ) odpowiadająca wybranemu N; znak "+" lub "- " we wzorze (96) przyjmuje się w zależności od tego czy N odpowiada odpowiednio brakowi przeskoków czy przeskokowi. Dwustronne przedział y ufności dla U 5 0 i 6, dla poziomu ufności/3 określa się z zależności [3]: G 4 Q U 50 * O 5 0 + *U£Su' ( 1 0 0 ) 88 gdzie y 1 + g - kwantyl standaryzowanego rozkł adu normalnego, orazzyxwvutsrqpo <$.. —2 50 i dg odpowiednie odchylenia standardowe dla 1)^ i 6 wg zależności £3]: J (102) 50 /?' (103) Hfi y \» V ^ —•* r 4 Rys. 2 2 . Wykresy funkcji GC^F") i HO do wzorów (102) i (103) wg [3] Rys. 2 3 .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY Współ czynnik korek- zyxwvutsrq k d o w z o r u ( 1 O 4 ) l 5 ^ wg [ 2 7 ] zyxwvutsrqponmlkji Wykresy funkcji GO^O^- ))zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH i H(- ^p- ) podano na rysunku 22. Linia przerywana odnosi się do przypadku gdy U 5 Q leży mię dzy stopniami napię ciowymi, a linia cią gła gdy pokrywa się z którymś ze stopni. Korzystają c z rysunku 22 nieznaną wartośćzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML 0 należy zastą pić przez jej oszacowanie S. Szczegółowa analiza statystyczna wyników uzyskiwanych metodą góra- dół prowadzi do określenia współczynników korekcyjnych [27] według których należy skorygować oszacowania uzyskane z wzorów (96), (97) i (100): S = K. S, ( 104) 89 " K9, U (105) (106) Współczynniki K^, K, i K3 wykreślono na rysunku 23 i 24 w funkcji liczby n użytecznych pomiarów, przy różnych wartościach kroku napię ciowego AU.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1$ ZO 39 40SP n Rys. 24. Współczynniki korekcyjne k 2 i k 3 do wzorów (105) i (106); wg [27] 3.2.2.4. Rozszerzona metoda góra- dół W praktyce zdarza się , że eksperymentatora nie interesuje pełna dystrybuanta napię ć przeskoku, lecz jedynie wartość napię cia o określonym, małym prawdopodobieństwie przeskoku. Przykładowo dla izolacji napowietrznej, liniowej, potrzebna jest (patrz pkt. 6.1) znajomość sta- 90zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA O,O/ 0- 3o O- 2a 503020 tO 5 O- a O+o U 3 2 Q+2a Rys. 25. Prawdopodobieństwo P l m , te seria m udardw doprowadzi przynajmniej raz do przeskoku na obiekcie charakteryzowanym dystrybuantą napię ć przeskoku P, przy ni = 1; wg [13] 91 tystycznego napię cia wytrzymywanego, które charakteryzuje ści niezaistnienia przeskoku czyli 90% pewno- 10% prawdopodobieństwa zaistnie- nia przeskoku. Oo oszacowania takich wartości napię cia stosuje się rozszerzoną metodę góra- dół. Metoda ta opiera się tzw. na fakcie, że zwię k- szenie liczby udarów napię ciowych na danym poziomie napię cia od 1 udaru doraudarów prowadzi do zwię kszenia prawdopodobieństwa od P| do P m gdzie P to prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden zroudarów pro- wadzi do przeskoku. Zwią zek mię dzy P, i P P n (U) = 1 - dany jest prawem wzrostu (107) [1 - Właściwość tę ilustruje rysunek 25 dla ra od 1 do 50. Jak widać z rysunku średnia wartość napię cia przeskoku (U ,„) przy ra > 1 odpowiada odpowiednio mniejszym prawdopodobieństwom z wykresu P,(U). Ilu7, P. « UJ%, przy m = 34, struje to rysunek 26. Przykładowo przy T a b e l a Zestawienie parametrów statystycznych rozszerzoną m p l ( u m : 5 0 !k) metodą 18 dotyczą cych badań "góra- dół" [49]zyxwvutsrqponmlkjihgfed V°l ym 13 0,500 0,293 0,201 0,159 0,129 0,094 0,067 0,052 0, 55 - 1,626 20 0, 034 0, 52 - 1,825 34 0, 020 0, 48 - 2,054 50 0, 47 0, 014 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK - 2,200 1 2 3 4 5 7 10 1, 00 0, 85 0 - 0, 545 0, 76 - 0, 840 0, 71 - 1, 000 0, 67 - 1, 130 0, 62 0, 58 - 1,316 - 1,500 nzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA f 50 s 10 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 5; zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB 2 izyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA . . • . to 50zyxwvutsrqponmlkjihgfe 2O Rys. 26. Zależność P,(m) dla 50H prawdopodobieństwa uzyskania przynajmniej jednego przeskoku na ni aplikowanych udarów; W9 [13] 1 4 =4, M=1O m K i 4 2 i i i 4 2 3 t t i \ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYX t/ S - 9 Rys. 27. Schematyczna i 3 ilustracja CZAS 1O NR PRÓBY procedury badań rozszerzoną góra- ddł metodą 93 P^ = 2% itd. Zależność tę zestawia również tabela 18 gdzie dodatkowo padano iloraz odchyleń standardowych <Jre/($Ł i kwantyl standaryzowanego rozkł adu normalnego y_*. Na podstawie powyższych zależności opracowano procedurę rozszerzonej metody góra- dół , pozwalającej określić wartość U m jQ będącą jednocześnie oszacowaniem kwantyla U. o niskim prawdopodobieństwie p. Przy- kł adowy schemat procedury badań rozszerzoną metodą gdra- dół obrazuje rysunek 27. Napięcie U ^ g odpowiadające zał ożonemu prawdopodobieństwu P^ we- dł ug tabeli 18 lub rysunku 26 wyznacza się z zależności n (108 n.iUi ^ £ gdzie n m i - liczba serii udarów przył ożonych na poziomie > napięcia U^ (rys. 27). Ogólnie rzecz biorąc rozszerzona metoda góra- dół sowana do określenia odchylenia standardowego S m . nie może być stoJednakże stosując tę metodę dwukrotnie przy różnych m(m^ ^ n^) można oszacować odchylenie standardowe dla metody góra- dół U S w wersji podstawowej (m = 1) m,50 ' U m,50 l * ' y 'm - y 'm ( 1 0 9 ) ' gdzie m^ < i»2 oraz y m - kwantyl standaryzowanego odczytany dla danego m z tabeli 18. rozkł adu normalnego Znając S, jako oszacowanie G. można, korzystając z tablicy 18 oszacować S^ jako Znajomość S, pozwala również określić dwustronny ści dla U m 5 Q przedział ufno z zależności ¯Ostatni wiersz tabeli wynika z czysto teoretycznych obliczeń. Zastosowanie rozszerzonej metody góra- dół do szacowania napięć o prawdopodobieństwach poniżejzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE 2\ może być obarczone dużym bł ędem wynikającym z niepoprawności zastosowania rozkł adu Gaussa. 94 gdzie e^ dane jest w tabeli 19 w zależności od średniej liczby zrealizowanych udarów N i liczby udarów na stopień m. średnią zowanych udarów określa się liczbę zreali- z zależności N = [M - 0,25<R - l)]m, gdzie M - (112) średnia liczba stosowanych serii obliczona jako suma serii użytecznych M (rys. 27) plus połowa nieużytecznych serii wstę pnych. T a b e l a 19 Wartości wzglę dnej miary e u przedziałów ufności wg [39]zyxwvutsrqponml \ 8 m 20 30 40 50 100 200 N. 1 0,70 0,55 0, 46 0, 41 0,27 0,20 4 0,82 0,65 0,56 0, 49 0,35 0,25 7 0,88 0,70 0,61 0,55 0,39 0, 28 0,93 0,77 0,69 0,50 0, 34 0,67 0 , 48 13 34 Podstawowe problemy, które należy roztrzygną ć przystę pują c do badań rozszerzoną - metodą góra- dół są nastę pują ce: wybór napię cia startu, od którego rozpoczyna się - próby, wybór kroku napię ciowego Ali, - wybór liczby serii pomiarowych M, na której badania można zakończyć. Obszerne obliczenia statystyczne [13] z których wynika, że dokład- ność uzyskiwanych wyników zależy od wyboru powyższych wielkości, po- zwoliły ustalić nastę pują ce wnioski: 1) napię cie startu winno być jak najbliższe poszukiwanej wartości W 2) krok napię ciowy AU winien być jak najbliższy odchyleniu stan- dardowemu <3 , 3) przy liczbie serii pomiarowych M > 30 wpływ wyboru napię cia startu i kroku napię ciowego jest pomijalnie mały, 4) podstawowym dla dokładności uzyskiwanych wyników liczby użytych udarów N; dla N > 100 rozszerzona metoda jest wybór góra- dół po- 95 zwala szacować a wpływ napię cia odpowiadają ce prawdopodobieństwu średniej liczby realizowanych udarów R na dokładność Pj >zyxwvutsrqp 2H, osza- cowań mpżna prześledzić w tabeli 19, 5) wymaganą liczbę serii użytecznych oblicza się na podstawie obranej liczby udarów z wzoru 6) do obliczeń należałoby uwzglę dnia się również serię probierczą , którą wykonać po serii, na ktdrej zakończona badania; wiadomo bowiem na jakim poziomie napię cia seria ta byłaby wykonywana. Stosują c metodę góra- dół w ogóle, a metodę rozszerzoną w szczegól- ności, należy dodatkowo pamię tać, że: 1) wszystkie uwagi dotyczą ce tej metody zostały wypracowane przy założeniu, że obserwowana zmienna podlega rozkładowi normalnemu; tak wię c gdy istnieją przesłanki, że rozkład nawet w przybliżeniu nie jest normalny nie należy jej stosować, 2) stosowanie pię ć być przeskoku rozszerzonej metody o góra- dół prawdopodobieństwach zaakceptowane, gdyż dla do poszukiwania mniejszych prawdopodobieństw niż nie 2H niższych namoże założenie słuszności rozkładu normalnego jest problematyczne, 3) wybór kroku napię ciowego AL) może być oparty o wartości 6- ,/Si dane w tablicy 18; jest to szczególnie wietrznej, dla której wartości 8, są istotne dla izolacji po- dobrze ugruntowane eksperymen- talnie (np. dla udarów piorunowych przyjmuje się współczynnik zmien- ności Sj = 3 % ) . 3.2.3. Metody badań izolacji nieregenerują cej się R zyxwvutsrqponmlkjih a Z JL- "LzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED 2.- .Ł- _ - 2 J' 1? 2JlL _ °S <lł OJL W przypadku izolacji nieregenerują cej się , gdzie przy każdym pomiarze napię cia przebicia próbka dielektryku czy model układu izolacyjnego ulega zniszczeniu, pracochłonna stosowana znajduje pię ć ze wzglę dów zastosowania, ekonomicznych. jako o prawdopodobieństwach że zachodzi poniżej metoda serii nie może być Również metoda konieczność 2%. Jedyną zatem góra- dół szacowania metodą , nie na- która służy do szacowania pełnej dystrybuanty napię ć przebicia jest metoda schodkowa (Tetznera), przy czym zachodzą tu trzy możliwości: 96 1) rozrzut napię ć przebicia wynika tylko z nieidentyczności poszczególnych modeli; identyczne modele z rozpatrywanej populacji przebijają przy jednym i tym samym minimalnym napię ciu, 2) rozrzut wynika tylko ze statystycznej natury mechanizmu przebicia przy danym kształcie napię cia; wszystkie modele są idealnie takie same, 3) rozrzut wynika zarówno z nieidentyczności modeli jak i z natury przebicia. Wię kszość rzeczywistych układów izolacyjnych należy do grupy 3. Tym niemniej w zależności od tego, który z rozrzutów dominuje, można układy izolacyjne klasyfikować w grupie 1 lub 2. Izolacja regenerują ca się , powietrzna, należy do grupy 2. Do grupy 2 można również zaliczyć układy z izolacją wą ciekłą np. olejową jak i z izolacją gazo- w przestrzeniach zamknię tych. Zastosowanie metody Tetznera podle- ga wówczas regułom opisanym w pkt. 3.2.2.2. Oddzielnie należy rozważyć układy izolacyjne grupy 1 o dominacji tzw. rozrzutu technologicznego. Są nerują cej się to układy izolacji nierege- z dielektrykami stałymi np. izolacja papierowo- olejowa. Teoretycznej analizy tego przypadku dokonano w [75]. Oako punkt wyjścia przyję to metodę serii, w której wynik nie zależy od kroku napię ciowego i z której uzyskuje się bezpośrednio poszukiwany roz- kład napię ć przebicia. Jeśli każdy model przebija przy pewnym określonym minimalnym serii na i- tym stopniu napię ciowym napię ciu to przy próbach metodą bę dzie przebitych N . z M badanych modelizyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU tyi «- S"P(U< Ui), gdzie: m - (114) liczba grup modeli równa liczbie stopni napię ciowych (liczbie serii pomiarowych), P(U <: u\) - prawdopodobieństwo określają ce czę ść modeli z całkowitej, bardzo licznej populacji M,których napię cie przebicia jest mniejsze lub równe U.. Liczba nieprzebitych na i- tym stopniu napię ciowym modeli wyniesie k i)]. (115) 97 Po próbach na wszystkich przebitych i nieprzebitych stopniach napię ciowych modeli wyniosą ogólne liczby odpowiednio: (116) P ( U Przy symetrycznym rozkładzie napię ć przebicia modeli (np. rozkład normalny lub pseudosytnetryczne przypadki rozkładu Weibulla) nożna, a nawet należy, wybrać stopnie napię ciowe tak aby 0,5 (118) czyli symetrycznie wokół wartości modalnej; wówczas p ( u < u 1 ) = i - P(U Ś u m + 1 _ 1 ) , (119) a zatem N. wynikiem stosowania metody serii MzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU (120) N. T' jest fakt, że raniej wię cej połowa modeli zostanie przebita a połowa nie. Zwię kszenie liczby udarów działają cych na dany model na każdym stopniu napię ciowym, nie powinno prowadzić do wzrostu liczby przebitych modeli, przy przyję tym pię cia się założeniu, że kolejne oddziaływania na- nie kumulują , a identyczne modele przebijają przy dokład- nie określonym napię ciu. Podobne dla metody li M i tę rozumowanie, dla tego samego typu prób wg Tetznera. Biorą c pod uwagę samą liczbę modeli, przeprowadzono tę samą liczbę m stopni napię ciowych, każdy model bę dzie ba- dany do przebicia przy zwię kszaniu po każdym doprowadzeniu jego wartości mode- szczytowej. Teraz liczba przebitych modeli napię cia na i- tym stopniu wynosi N pi M[P(U - P(U (121) 98 co wynika z niż U i _^ faktu, były że modele przebite z wytrzymałością wcześniej na równą poprzednich lub mniejsze stopniach. Ogólna liczba przebitych modeli wyniesie N pi = M P ( U < U m ) - M. (122) i=l gdyż napię cia probiercze dobiera się tak aby na najwyższym stopniu napię ciowym zostały przebite prawie wszystkie modele. Należy teraz rozpatrzyć! zgodność mię dzy rozkładami napię ć przebicia uzyskanymi z obydwu metod. Dla metody serii uzyskano dla liczby modeli przebitych na każdym stopniu napię ciowym rozkład sumaryczny , czyli odpowiednik przebitych modeli różniczkowego, rozkład ten na dystrybuanty. każdym a wię c stopniu odpowiednikiem sprowadzić do postaci Dla metody schodkowej (121) jest funkcji składową liczba rozkładu gę stości. Należy odpowiadają cej wię c dystrybuancie. Rzę dna rozkładu całkowego w metodzie schodkowej przy napię ciu U. jest określona wyrażeniem Z (114), Oznacza pi = MP(U < U A ) . jest to ten sam kształt Jak widać serii N jednakże rzę dne to, że dokładność rozkładu szacowania (123) rozkładu (123) są jak przy metodzie m- krotnie wię ksze. poszukiwanego rozkładu napię ć przebicia jest znacznie wyższa w przypadku metody schodkowej. Inaczej mówią c, dla ktćrej dominują cą ściwości formą materiałowych, bezpośrednio bez stosują c a nie poszukiwane konieczności metodę schodkową do badań izolacji, rozrzutu jest rozrzut wynikają cy z właz mechanizmu oszacowanie dokonywania przeliczeń. papierowej i papierowo- olejowej przebicia, uzyskuje się dystrybuanty Dla napię ć izolacji zostało to potwierdzone przebicia stałej np. eksperymen- talnie [53, 71]. Jak wynika deli może mniejsza być z wzorów schodkowej m- krotnie niż w metodzie serii. Czyli, że przy w metodzie serii zbliżoną się (114) i (123) liczność próbki badanych mo- w metodzie (czyli 5- rB- krotnie) 20 modelach w grupie dokładność w metodzie schodkowej uzyskuje przy zbadaniu jedynie 20 modeli w ogóle. 3.2.3.2. Ugroszczona metodazyxwvutsrqponmlkjihgfedcba OC- fi W przypadku badań izolacji nieregenerują cej się , czasem nawet tak ograniczony zakres badań, jaki oferuje metoda Tetznera, jest nie do zastosowania. Koszt modeli izolacji może być przyczyną ograniczenia zakresu prób do zbadania napię ć przebicia jedynie kilku modeli cho- ciaż celem badań nadal jest oszacowanie napię cia o bardzo niskim prawdopodobieństwie zaistnienia przebicia. W takich przypadkach można zastosować tzw. metodę a- fi pozwalają cą ocenić napię cie U nazywane umownie napię ciem wytrzymywanym, bez ko- nieczności obliczeń statystycznych ale bez możliwości dokładnej oceny prawdopodobieństwa przebicia. Poprzestaje się że U charakteryzuje się wówczas na stwierdzeniu, małym np. mniejszym niż 0,1% prawdopodobień- stwem zaistnienia przebicia. T a b e l a 20 Zestawienie wariantów metodyoc- fizyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ Lp . 1 2 3 4 Autor Hyl t e n Caval l i u s [ 29] Bakken [ 8> Fr y x e l l [ 2 l ] M osiński [ 54] Próba fi PróbazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON CC AU/ AU/ AU/ 5 3- 5% 5 3- 5% 1 3 3 10% 4% 4- 5% 20 25 3 x 10 1- 4% 8% 16- 20% 4- 5% Metoda ct- fi w swych pierwotnych odmianach Qj, 22, 29j była opracowana do potrzeb badania izolacji powietrznej, gdzie całkowicie wyparta przez rozszerzoną metodę obecnie została góra- dół. Idea metody ac- fi polega na rozdzieleniu procedury badań na dwLe czę ści: Oi i fi. Próba OC, z małą liczbą udarów na stopniu ma na celu wstę pne poszukiwanie zakresu napię ć, napię ciowym m a , w którym prawdopodo- bieństwo zaistnienia przebicia (lub przeskoku) jest wię ksze a mniejsze od jedności. Próba /i, z dużą liczbą udarów na od zera stopień na- pię ciowy mp, ma na celu poszukiwanie wartości U . Parametry procedury 01- /3 proponowanej przed 20 laty dla potrzeb badania izolacji powietrznej zestawiono w trzech pierwszych wierszach tabeli 20. 3ako napię cie U o o . „_ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG Rys. 2B. Schematyczna ilustracja procedury badań izolacji nieregenerują cej się , metodę zyxwvutsrqponmlkjihgf a- /i 101 traktowano maksymalne napię cie, przy którym w próbiezyxwvutsrqponmlkjihgfe fi żaden z m^ udarów nie doprowadził do przeskoku. Szerzej metody te omówiono w [27]. W oparciu o wersję Fryxella [22} zaproponowano odmianę metody 0T- /3 [54] do badań izolacji nieregenerują cej się , papierowo- olejowej. Parametry metody zestawiano w czwartym wierszu tabeli 20, a przykładowy schemat badań - na rysunku wartość napię cia niższą 28. Jako napię cie U przyjmuje się o dwa stopnie napię ciowe AU stosowane w pró- bie oć od maksymalnego napię cia (U rys. 28), przy którym w pró- bie fi nie zostały przebite trzy modele izolacji, z których każdy badany był 10 udarami. Zaproponowana i zweryfikowana eksperymentalnie dy ar - fi różni się [55} wersja meto- od metody Fryxella [22] tym, że w próbie ,6 badane są na danym stopniu napię ciowym trzy modele izolacji, każdy dziesię cioma udarami. Modele te mogą być badane kolejno lub jednocześnie (w po- łą czeniu równoległym) jeśli zastosuje się środki pozwalają ce na od- różnienie, który z jnodeli został przebity. Optymalny krok napię ciowy AU, przy którym błę dy oszacowań U w są najmniejsze [55] winien być obrany jako w przybliżeniu równy 0,50 gdzie S jest odchyleniem standardowym dystrybuanty napię ć przebicia uzyskanej metodą schodkową z jednym udarem na stopień napię ciowy. Uzyskiwane wartości U czas charakteryzowane prawdopodobienstwein rzę du 0,1% lub są wów- mniejszym. W przypadku zastosowania metody oC - fi do prób z napię ciem przemiennym np. dla określenia wytrzymałości jednominutowej, należy w próbie CC utrzymywać napię cie w czasie 1 min na każdym stopniu napię ciowym, a w próbie /i każdy z 3 modeli winien być poddawany działaniu napię cia w czasie 10 min jest określone na każdym stopniu. Napię cie U jako najwyższe napię cie, przy którym w próbie /i każdy z trzech mo- deli wytrzymał 10- minutowe doprowadzenie napię cia. Stosowanie metody OC - Ji w podanej wersji, wymaga zbadania prze- cię tnie 7 modeli (rys. 2B- 9 modeli), przy czym nie wszystkie zostają zniszczone i mogą Podana do badań być wykorzystane do innych badań. tutaj wersja metody OC- /i została opracowana izolacji papierowo- olejowej. W przypadku i sprawdzona zastosowania tej lub innej wersji metod oC- /} do badań innych typów izolacji winno być poprzedzone rymentalną . odpowiednią analizą statystyczną i weryfikacją ekspe- 102 3.2.*. Komentarze na temat badań wytrzymałości krótkotrwałejzyxwvutsrqp y. 2_. 4_. 1_^ _R.ozrzut_ tjBchncjlogiczny_i _elekt_ry_czn^ Uzyskiwany podczas badań rozrzut napię ć przebicia zależy od właściwości badanej izolacji oraz od mechanizmu jej przebicia. Właściwości izolacji zależą riałowego, logii od od jednorodności stałości produkcji. wymiarów Wariancję czyli napię ć jsj struktury i składu mateogólnie przebicia od stałości zależną techno- od właściwości izolacji i od technologii jej wykonania można wię c nazwać wariancją 2 technologiczną GL. Natomiast wariancję zależną od mechanizmu przebicia można nazwać wariancją elektryczną d [44]. Podczas szacowa- zyxwvut 6 nia dystrybuanty napię ć przebicia w oparciu o wyniki badań określa. o się jednak tylko wypadkową wariancję o> . Zakładają c, że obie wariancje składowe są od siebie niezależne można zapisać iż G 2 (124)zyxwvu - &l * &\. Założenie to można uznać za słuszne wówczas gdy nieuniknione różnice materiałowe modelami tego i technologiczne samego układu mię dzy izolacyjnego kolejnymi nie "identycznymi" zmieniają mechanizmu przebicia. metody schodkowej (Tetznera) (pkt. 3.2.2.2) ze znacznie wię kszą Przy powyższym od 1 liczbą udarów na stopień utrzymywania napię ciowy założeniu lub z i przy wydłużonym stosowaniu czasem napię cia na stopniu napię ciowym w próbach napię ciem przemiennym, możliwe jest rozdzielenie obu wariancji składowych [44, 59]. Rozdzielenie obu wariancji jest oparte na rozumowaniu, że w przypadku gdy 6 = 0, przy próbach np. z 10 udarami na stopniu napię cio- wym, przebicie powinno wystą pić zawsze przy pierwszym udarze na poziomie napię cia wyższym od wytrzymałości wynikają cej z materiałowych i technologicznych właściwości izolacji. 3eśli tak nie jest, znaczy to, że er > 0. średnią liczbę udarów do przebicia N napię cia, na których uzyskano przebicia) uzyskaną rii M modeli przebicia [44J . można uznać za miarę elektrycznego (na poziomach podczas badań serozrzutu napię ć 103 Podobnie wydłużają c utrzymywanie napię cia od At do t^ przy próbach napię ciem przemiennym oraz mierzą c średni czas do przebicia t, na stopniach miarę napię ciowych, na których wystą piły rozrzutu elektrycznego uznać iloraz n s przebicia można za = t. / t A [59]. sr Łi Rys. 29. Zmienność średniej liczby udarów N_ lub wzglę dnego średniego czasu n , do przebicia przy 10- krotnym wzroście liczby udarów lub wydłużeniu czasu przy napię ciu przemiennym; na rysunku dodatkowo zaznaczono 60% granice obszarów ufności dla prób z 10 modelami (3 /- /Tu") i 90% granice obszarów ufności dla prób ze 100 mo- delami (1,65 Cfn/- /TOO): wg [44]zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQP V Rys. 30. Zmniejszenie średniej wartości napię ć przebicia- U przy 10- krotnym wzroście liczby udarów lub wydłużeniu czasu przy napię ciu przemiennym oraz odchylenie standardowe tego malenia napię cia, w funkcji eJ_/AU, wg [44] Na rysunku 29 wykreślono za [44] zależność N od $ /AU dla prób e z 10 udarami na stopień napię ciowy. Z rysunku tego, znają c średnią liczbę udarów do przebicia N s lub wzglę dny średni czas do przebicia n , możs na oszacować wartość Q , przy danym kroku napię ciowym AU. Ponieważ zwię kszenie liczby udarów na stopień napię ciowy dłużenie czasu utrzymywania napię cia przemiennego, prowadzą lub wydo malenia napię ć przebicia, fakt ten należy uwzglę dnić przy rozdzielaniu rozrzutów. Dla 10 udarów lub 10- krotnego wydłużenia czasu utrzymywania na- 104 pię cia przemiennego na rysunku 30 podano odpowiednie zależności dla średnich napię ć przebicia U i odchylenia standardowego zmniejszania się napię cia przebicia S u [44]. Uwzglę dniają c to, ostateczna wariancja napię ć przebicia uzyskana z prób wykonanych metodą schodkową z 10 impulsami napię ciowymi na stopniu napię ciowym ma postać 2 G 2 = e2 ¯ ( S u 8 e ) . (125) Znają c oszacowanie <> oraz G i 5 uzyskane z rysunku 29 i 30, można określić 0^, czyli rozrzut technologiczny. Określenie e>t pozwala ocenić technologię wykonania układu izolacyjnego oraz uzasadnić różnice w wynikach uzyskiwanych w różnych laboratoriach. _3._2.4.2. Przecię tne wartości współczynników zmiennoścj. Przystę pują c do badart wytrzymałości elektrycznej korzystnie jest znać, przynajmniej w przybliżeniu, z jakiej wielkości rozrzutami wyników bę dzie się mieć do czynienia. Wzglę dną miarą rozrzutów jest tzw. współczynnik zmienności określony ilorazem odchylenia standardowego i wartości oczekiwanej a szacowany jako S. = — - 1 0 0 % , * 0 (126) gdzie: S - odchylenie standardowe, 0 - wartość średnia. Przyjmuje się , że przecię tne wartości współczynników zmienności przy napię ciach udarowych są nastę pują ce: - izolacja powietrzna: udar piorunowy 3%, udar łą czeniowy 6%, izolacja papierowa, impregnowana, udar piorunowy [51} 6,5%, - izolacja papierowa kablowa, udar piorunowy ^5lJ 12%, - preszpan, udar piorunowy [51] przebicie 5,5%, wyładowanie powierzchniowe 12%zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM , - alej, udar piorunowy [51] 13% , - izolacja papierowo- olejowa, udar piorunowy [51] 11%. 105 Należy jednak pamiętać, że są to dane orientacyjne. Rozrzuty zależą w dużej mierze od technologii wykonania ukł adu izolacyjnego. Przy napięciach przemiennych współ czynniki zmienności są przeciętnie o poł owę mniejsze. 3_- J - _5 ii ^.0obór_kr qku_napi^cipweap_ Analiza statystyczna potwierdzona wynikami eksperymentów pozwala określić orientacyjne wartości kroku napięciowego dla prób krótkotrwał ych: dla napięć [kV] AU[kV] AU(>] 5 10 20 40 80 >2,5 >200 200*400 400*800 800*1600 1600*3200 Należy jednak pamiętać, że krok kątem metody badań i wł aściwości 5- 2,5 napięciowy badanej należy obierać izolacji, zatem może pod się różnić od podanych tu wartości orientacyjnych.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ — 2.4.4. Wybór jnertody JjajJań_ przy jnajtej_ 1J- £.Z^A^. H0.Eł P.iL Przy czy progu szacowaniu wył adowań dystrybuanty napięć niezupeł nych) przebicia dokł adność (lub oszacowań przeskoku odchylenia standardowego jest, jak to wynika z rysunku 11 i 12, przy danej liczności próby, o wiele mniejsza niż dokł adność oszacowania wartości oczekiwanej. W większości przypadków badania wykonuje się w funkcji jakiegoś parametru np. wielkości przy określonej wartości mał a np. mniejsza od odstępu parametru 10. W takich izolacyjnego. mu3"i być wówczas przypadkach Liczba prób z konieczności szacowanie odchyle- nia standardowego lub szacowanie wszystkich parametrów rozkł adu statystycznego innego niż normalny może być obarczone dużym bł ędem. - Możliwe są wówczas dwie drogi postępowania: zastosowanie metody góra- dół lubcc- /3 i poszukiwanie liniowej kore- lacji między U w a badanym parametrem; uzyskana prosta regresji pozwala wówczas uśrednić uzyskane wartości U dów poszczególnych oszacowań, zmniejszając wagę bł ę- 106 - oszacowanie korelacji mię dzy odchyleniem standardowym uzyskanym metodą schodkową należy ją a badanym parametrem; jeśli korelacja taka istnieje, wykorzystać dla skorygowania wartościzyxwvutsrqponmlkjihgfedc S dla poszczegól- nych wartości rozważanego parametru, jeśli nie posługiwać się na ogół lepiej jest wartościami <3 zapożyczonymi z innych dokładniejszych badali układów izolacyjnych o podobnej strukturze. Ponieważ w obydwu przypadkach cel jest ten sani czyli określenie zależności napię ć o bliskim zeru prawdopodobieństwie wyładowania rozważanego parametru, w funkcji którego wykonuje się badanie, korzyst- od niejsze jest stosowanie metody góra- dół lub OC- fi, gdyż przy małych licznościach prób losowe rozrzuty U w są mniejsze niż rozrzuty S. 3.3. Wytrzymałość długotrwała 3.3.1. Próby starzeniowe, czas życia izolacji Badanie krzywej życia, czyli zależności wytrzymałości elektrycz- nej od czasu oddziaływania narażeń napię ciowych lub czasu do uszkodzenia przy różnej wartości naprę żeń pola elektrycznego jest obok badania IJOzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED \ ojszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED 02 0.4 0.6 0.6 1,0 Rys. 31. Zmiana wytrzymałości krótkotrwałej układu izolacyjnego po wstę pnym naprę żeniu napię ciem U. w czasie t^: t - czas życia izolacji, U - napię cie przebicia bez naprę żeń wstę pnychzyxwvutsrqponmlkjihgf wg [76] mechanizmów degradacji dielektryków, jedną z metod oceny odporności układu izolacyjnego na długotrwałe narażenia robocze. Problem dotyczy oczywiście tylko izolacji nieregenerują cej się , w tym głównie dielektryków stałych. Oako kryterium utraty właściwości dielektrycznych przyjmuje się wytrzymałość przemienną krótkotrwałą . Na rysunku 31 pokazano 107 jak może się zmieniać wytrzymałość krótkotrwała jeśli układ izolacyj- ny bę dzie wstę pnie naprę żany napię ciem LK w czasie t^. Zwykle przyjmuje się , że prawdopodobieństwo uszkodzenia układu izolacyjnego zależne od napię cia i czasu, podlega rozkładowi Weibulla 0 postaci exp(- CEof- t - t ^ " 1 ) , F(E, t) = 1 gdzie: (127) C - stała, E - naprę żenia elektryczne, t - czas,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDC ot,H - parametry kształtu w funkcji odpowiednio naprę żeń i czasu. Parametr kształtu rozkładu prawdopodobieństwa (127) w funkcji czasu /} pozwala klasyfikować naturę uszkodzeń czyli przebicia lub wyła- dowania niezupełnego w izolacji: dla li > 1 uszkodzenie jest wynikiem starzenia, dla /3 = 1 uszkodzenie ma charakter czysto losowy, dla /8 < 1 wystę puje kondycjonowanie czyli zjawisko usuwania słabych punktów inicjują cych wyładowanie. Wystę powanie we wzorze (127) t w pierwszej potę dze oraz t na celu zwrócenie uwagi, że prawdopodobieństwo zaistnienia nia zależy od czasu także wówczas, gdy mamy do czynienia sowością zjawiska (/}= A— 1 ma wyładowaz pełną lo- 1) [lZ]. Wzór (127) sugeruje, że najprostszą metodą określania wytrzymało- ści elektrycznej w funkcji czasu oddziaływania naprę żeń elektrycznych jest metoda ze stałą wartością naprę żeń. W metodzie tej przy danym naprę żeniu E. wyznacza talnie szereg czasów do uszkodzenia izolacji się eksperymen- t., ..., t. , .... t 1 określa prawdopodobieństwo z próby gdzie: l < k < n , x. - liczba obserwowanych czasów do wyładowania aż do czasu t. włą cznie, n - całkowita liczba zaobserwowanych czasów do wy- ładowania. Punkty eksperymentalne (t k , p^) pozwalają dystrybuantę oszacować poszukiwaną ¯'(tic- const" 0 k r e ś l e n * e kilku, kilkunastu zależności P(t) 108 przy f różnych t = ^ ^p=const E z w a n pozwala 3 metodami krzywą Metoda prób ze stałą życia regresji określić zależność E = izolacji. wartością napię cia nie budzi z teoretycznego punktu widzenia żadnych zastrzeżeń jest jednak zbyt kosztowną nuje się czasem i czasochłonną . Czasem wię c, dla uznawana za skrócenia prób wyko- badania z napię cieni rosną cym w sposób cią gły lub z napię ciem rosną cym schodkowo. Zastosowanie tego typu badań opiera się na staty- stycznej ekwiwalentności próby ze stałą i wartością napię cia próby z napię ciem rosną cym. Ilustruje to rysunek 32.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ DAtzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG i [ / - pfukj] = Rys. 32. Ekwiwalentność prób ze stałą wartością napię cia i z napię ciem rosną cym w sposób cią głyzyxwvutsrqponmlkj [12] Ekwiwalentnośó obydwu typów prób oparta jest na nastę pują cym rozumowaniu: jeśli w próbie z rosną cym napię ciem czas dzielić na przedziały At do uszkodzenia po- to w każdym z przedziałów prawdopodobieństwo uszkodzenia jest inne P(U k ) a sumaryczne prawdopodobieństwo przy cią g- łym wzroście napię cia wynosizyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK - (129) P < U k > ] , zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON lub przy schodkowym wzroście napię cia N p n (u) r s = i - TT Li - P(uk>] \ (130) 109 gdzie: N n. - liczba stopni napię ciowych, liczba przedziałów At przy napię ciu U. . Jeśli w próbie o stałej wartości napię cia czas do uszkodzenia podzielić na przedziały At to w każdym z tych przedziałów prawdopodobieństwo uszkodzenia bę dzie takie samo P ( U n ) a sumaryczne prawdopodobieństwo wyniesie Pn(U)g = 1 - [1 - P(Un)]". (131) Ekwiwalentność obu rodzajów prób jest zachowana jeśli obydwa prawdopodobieństwa p u n ( )r P U i r/ ^ s ą S 0 D i e równe. Jako At zaleca się przyj- mować jeden okres napię cia przemiennego. Propozycje obliczania powyższej ekwiwalentności, prawdopodobieństwa P (U) wadzają czasu się At za pomocą przy określeniu metody z napię ciem rosną cym, spro- do określenia prawdopodobieństwa uszkodzenia w przedziale oraz wykładnika n, który przy założeniu znajomości At po- zwala obliczyć ekwiwalentny czas odpowiadają cy próbie ze stałą ścią warto- napię cia. Jednakże mechanizmy uszkadzania izolacji w przypadku obu metod mo- gą się znacznie różnić. Przykładowo przy próbie takie mechanizmy jak drzewienie wywołane kumulacją z rosną cym napię ciem ładunków przestrzen- nych czy wzrost ciśnienia w kawernach i kapilarach mogą nie zachodzić przy zbyt dużych wzrostach napię cia. Stą d nie rozwinię to tutaj metod przeliczania, które można znaleźć np. w [12]. 3.3.2. Reguły statystyczne starzenia izolacji przy działaniu wyładowań niezupełnych [45] Jeśli dielektryk jest poddany działaniu wyładowań niezupełnych, to wówczas czas życia może być uwarunkowany nastę pują cymi mechanizmami: 1) zjawiskami losowymi prowadzą cymi do naruszenia wytrzymałości elektrycznej bez uprzedniego dostrzegalnego starzenia dielektryku, 2) zjawiskami wstę pnego uszkodzenia dielektryku pojawienia się prowadzą cymi do miejscowych niejednorodności o obniżonej wytrzymałości elektrycznej (wtrą ciny gazowe, dendryty itd.), 3) lokalnym uszkodzeniem dielektryku pod wpływem wyładowań niezupełnych rozwijają cych się istniały niejednorodności. w miejscach, w których powstały uprzednio lub 110 Czas do przebicia lub czas życia jest określony albo sumą rozwoju poszczególnych mechanizmów albo czasem rozwoju czasów jednego z me- chanizmów, decydują cego o utracie wytrzymałości elektrycznej. Czas rozwoju każdego z mechanizmów podlega właściwej sobie prawidłowości statystycznej. Najczę ściej dla określenia rozkładów życia tprzy zadanym naprę żeniu dla poszczególnych mechanizmów uszkodzenia wykorzystuje się albo rozkład Weibulla F(t ż ) = 1 - exp(- *t*), (132) albo rozkład logarytmiczno- norraalny t, F(t.) = - — - . / - T- exp ^ - 2 u)2 dt + , (133) gdzie A,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA /i , p, GS - parametry rozkładów. Wypadkowy rozkład jest czę sto kompozycją dwóch nawet trzech roz- kładów składowych. Jeśli rozpatrzeń najczę ściej spotykany przypadek gdy rozkład padkowy jest kompozycją dwóch rozkładów składowych, to możliwe są wywów- czas dwie możliwości: a) jedpn mechanizm wyklucza drugi, b) dwa mechanizmy rozwijają się kolejno po sobie. Przypadek L Przykładem może tu być uszkodzenie izolacji kondensatora impulsowego przy wysokich naprę żeniach pola elektrycznego. Jednym mechanizmem jest rozwój przebicia skrośnego w miejscu losowego nałożenia się ku rozdzielonych miejsc wyładowań w poszczególnych warstwach tryku ciekłego lub pokrycie się wyładowania w ciekłego ze słabym miejscem w arkuszu papieru wtrą ciną warstwie dielektryku kondensatorowego przewodzą cą ). Drugim mechanizmem jest uszkadzanie kondensatora przez wyładowania niezupełne pojawiają ce się procesów pierwszego mechanizmu wyklucza możliwość rozwoju (np. izolacji okładki. Oczywistym jest, że zapoczą tkowanie rozwoju kil- dielek- na skraju wg wyładowań na skraju okładki. Wypadkowy rozkład czasów życia (liczby udarów być w tym przypadku przedstawiony w postaci do przebicia) może 111 NN ż F<N )) == ŻŻ zzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV z FF (( NN )) f f (( NN ) ) dd NN l zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2 z 1 ż 2 ż ż 11 / i - ]] l ż gdzie: fi(N.) = dF.(N.)^JN. - ż ** f [ - F (N )]f (N )dN , gęstość prawdopodobieństwa (134) czasów życia N» wg pierwszego mechanizmu, *2^>O = dF2(N ż ^dNj - gęstość prawdopodobieństwa czysów życia N ż wg drugiego mechanizmu. Można dowieść, że w tym przypadku F(N Ż ) = F ^ N j ) + F 2 ( N Ż ) - FX(NŻ) ¯ F2(NŻ). (135) Przy mał ych wartościach F 2 ( N Ż ) występuje przybliżona równość F(N Ż ) si F 1 ( N Ż ) , (136) a przy mał ych wartościach F,(N^) F(N Ż ) « F 2 ( N Ż ) . (137) Ponieważ czas życia wedł ug pierwszego mechanizmu nie jest związany ze starzeniem dielektryku to F.(N.) winno podlegać rozkł adowi Weibulla przy fl < 1 w tym przy ft = 1 rozkł adowi wykł adniczemu F : (N Ż ) = I - exp[- A 1 N ż ]. (138) Rozkł ad F 2 ( N Ż ) określony jest minimalnym czasem do uszkodzenia dielektryku w poszczególnych jego elementarnych fragmentach zatem zgodnie z teorią wartości ekstremalnych również może być opisany rozkł adem Weibulla F 2 (N Ż ) = 1 - exp[- 42N£j. (139) Stąd wypadkowy rozkł ad F(N Ż ) = 1 - exp[- (A1Nż + # 2 N£)] . (140) Dane eksperymentalne potwierdzają tę zależność. Na rysunku 33 podano przykł adowo rozkł ady liczby udarów do uszkodzenia izolacji papie 112 rowej impregnowanej olejeni rycynowym kondensatorów impulsowych pracują cych przy wysokich naprę żeniach pola elektrycznego. kłady są Jak widać roz- złożone z dwóch fragmentów: dla małych N opisane są rozkła- dem wykładniczym (138), a dla dużych rozkładem Weibulla (139).zyxwvutsrqponml i •v 99 99 (1 49 / / / 1 / 29 i y * } f t zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF —- j 1 . « 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED 1 * 1 >' 3 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA t r Rys. 33. Rozkłady liczby udarów do uszkodzenia izolacji, papierowej impregnowanej olejem rycynowym, kondensatorów impulsowych; zależności 1 do 5 określano przy maleją cych naprę żę niach E. >zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM >E,- ; wg [45] Przypadek 2 Przykładem może być uszkodzenie izolacji kabla polietylenowego przy długotrwałym działaniu napię cia przemiennego lub przy wielokrotnym działaniu impulsów napię ciowych. Przy określonych warunkach, przyczyną uszkodzenia izolacji jest wówczas zjawisko powstawania dendrytów i proces ich rozwoju (drzewienie), przy czym zjawiska te zachodzą lejno. Jeśli całkowity czas życia izolacji kabla wynosi t. lub koN a czas lub liczba udarów konieczne do rozwoju dendrytu - t czas lub liczba udarów konieczna do nar dzin(powstania) dendrytu wy- lub N , to noszą t = - t lub czasów N n - M..Zakładają c niezależność narodzin i rozwoju dendrytów, rozkład czasów życia może być przedstawiony w postaci N ż F(N.) . / gdzie F 1 (N f 1 ) i ~ r o z k ł a c (Ul) ' y czasów do nar o d zin i rozwoju dendrytów. 113 Dane eksperymentalne wskazują , że rozkład czasów do narodzin dendrytów jest rozkładem Weibulla (132), natomiast czasy rozwoju dendrytów podlegają rozkładowi logarytmo- normalnemu (133). Kompozycja tych rozkładów ma postać N żzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB dN o (142) natomiast przybliżenie jest postaci - u (143) F 2 ( N Ż )zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML * F(N Ż ) * gdzie $ - całka Laplace a. FfN) Rys. 34. Wypadkowy rozkład liczby udarów do przebicia (143) izolacji polietyleno1 wej (1", I , 1) jako kompozycja rozkładu liczby udarów do narodzin dendrytów (132) (2) i rozkładu rozwoju dendrytów (133) (3", 3' , 3 ) ; wg [45] Na rysunku 34 pokazano rozkłady uzyskane wg wzoru (143) przy różnych parametrach rozkładów F 1 ( N r ) ) i F 2 ( N r ) . W zależności od dominacji jednej z tych funkcji, rozkład wypadkowy F ( N Ż ) zmienia się od niemal logarytmo- normalnego (1) do rozkładu Weibulla (1"). 114 3.4. Statystyczna koncepcja uzasadnienia parametrów prób udarowych wysokonapię ciowych transformatorów energetycznych Jakość izolacji transformatora może być zdefiniowana przez dystry- napię ć przebicia P(U <zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK u). Uwzglę dnię ją c, iż przepię cia modyfi- buantę kowane są przez odgromnik, można stosują c statystyczne metody koordy- nacji izolacji oraz zakładają c, że typ i współczynnik strybuanty wytrzymałości izolacji transformatora są zmienności dy- znane, wyznaczyć usytuowanie tej dystrybuanty przy założonym ryzyku niesprawności sy- stemu (patrz pkt. 4.4.1.3). Usytuowanie dystrybuanty może być wówczas opisane przez prawdopodobieństwo przebicia na zalecanym pię cia Up. Proponuje się poziomie na- 0*^3 by U„ = lip. gdzie Up. to poziom ochrony odgromnika. Użytkownik bę dzie wię c wymagał aby prawdopodobieństwo przebicia transformatora przy doprowadzeniu jednego udaru napię ciowego o wartości szczytowej Up. było mniejsze lub równe akceptowanemu prawdopodo- bieństwu przebicia odpowiadają cemu dopuszczalnemu ryzyku uszkodzenia (i*4) p(uPL) < P A ( U P L ) . proponuje się [86] by f" A (U pL ) = 0,002. Natomiast celem prób napię ciowych udarowych jest odrzucenie przeważają cej wię kszości np. wię cej niż 90% transformatorów, które charakteryzują się U prawdopodobieństwem wyższym niż P ^ ( P L ) finiowania parametrów prób wprowadza się = °< 2 % i d l a zde- poję cie dopuszczalnego pozio- P U mu jakości p n,( u pi) ° rzą d wię kszego od / \ ( P L ) - Zatem celem prób uda- rowyoh jest odrzucenie 90% przypadków transformatorów mają cych praw- dopodobieństwo przebicia 2% na zalecanym poziomie napię cia U p L . Przykładowo jeśli na 1000 transformatorów ścią Pn/ U PL^ = 2'< t o 1 8 z n i c h lnusi b y ć 20 Podczas charakteryzuje się warto- prób udarowych uznane za nie spełniają ce kryteriów próby. Oczywistym jest, że z faktu iż Pr. > P^ i że próby 90% a nie 100% transformatorów o PQ = 2% wynika, ryzyko odbiorcy iż wyrób zły przejdzie próby z że mają odrzucić istnieje wynikiem pewne pozytywnym. Istnieje jednak również pewne prawdopodobieństwo (zwane ryzykiem producenta) iż wyrób dobry charakteryzowany wartością Pft < 0,2% może ulec w czasie prób uszkodzeniu. Ryzyko to skłania producenta do projektowania wyrobu z zachowaniem dodatkowych marginesów bezpieczeństwa. - uru6n azjqop atuoaqo ^saC 3ZJn}eja}TXzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSR u *ei3tqazjd paideu n;tełzs>t pcouofeuz ^eupaC łsaf euzaaiuoH nwaxqojd 0633. ejuezeiMzoj og ¯3zoaaiqojd aioSideu pAzs^atMZ eqazj} Mpjepn Aqzoix etuazsCajutiiz ejp axu u.aAzojaTqojd Mcjepn AqzDjx faznp u \j = (n<Jn)°d = ( J f!)Td [98] (S&l) naozM B« (Td)J = u ppouzaiez ¯zyxwvutsrqponmlkjihgfedcba oact m« » ot oi a 9 9s r t z 1 ft toSbfo co ii O/ zyxwvuts ( zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA rf IIII!zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA TT i 1 \ y rt \ \ \ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA K L lzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 c s 9 oc k or os V \ • t a V x to X oc S ot pB j r i • • • z 09 V om OCH • y r oot oot oos 009zyxwvutsrqp \ OS' 09 s eu ouep od ( d ) J Jd T 09 Jd u T . r ( n ) d - T] B I . [ ( n ) d - T]BT . U ( d - T)BIzyxwvutsrqponmlkjihgfedcba u Azjd ^2 = °d pTi?ai>(0 azjepn en^sti3Tqopodopmeid o6aueMoaaxo^ oBouozoą ez eip pfe?s T Mpjepn u pemoso}sez njepn oBaupaf isetuiez Xp6 eTOTqazad OMisy3Tqopod - op«Bjd pxi?8J>io (62) n^soazn EMead z euzoui 'eToxqazad aTM^sgaiqopodop - nejd tuAuoiuatuiz aru o A U C A O B ^ O Z T pc|>|n eu E T J B J ^ E U eT3iqazjd - O M A M atu azaepn od ruepn aTuazpeMOJdap aMou apze>t az ' *u np jep n aqzDTX T D oBazaj3f q oad e io aid e u P^O^JBM zazad eueM otutjap z pAq azoui eao ^euijo jsueJ ł CaMoaepn CauzoAj^>| axa STT To^ofEiuAzj^An eącij 1 1 6 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA SIATKA ROZKŁADU WEIBULLA K=3.5 999 P, I 99S 99 1 SS 95 90 eo I zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ 70 60 i 50 40 i 3O 20 10zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 2< b OJ i- H I L 002 0.0/ QtXH zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 0.6 07 li(j/ 3 u 09 1,0 II 12 U U 15 IjB 1.7 t.8 tf 2X> zyxwvutsrqponmlk Rys. 36. Dystrybuanta rozkładu Weibulla o parametrze kształtu k = 3,5 i współczynniku zmienności 12%; siatka funkcyjna o ustalonym k 117 towany poglą d, że dla izolacji papierowo- olejowej typu transformato- rowego obowią zuje rozkład Weibulla o współczynniku kształtu 3,5 i współczynniku zmienności 12% (rys. 3 6 ) . Zakładają c, że rozkład jest znany można wyznaczyć tzw. ekwiprobabilistyczne zależności mię dzy napię ciem U ścią się v = U /U„ a CZD li- , a ściślej mię dzy krotno- 3 udarów n. Punkty (v, n) maję charakteryzować stałym prawdopodobieństwem przebicia 90% dla transformatorów o 2% prawdopodobieństwa przebicia na poziomie U R > określenia v = f(n) wykorzystuje się - czyli dla v = 1. Dla rysunki 35 i 36. Przykładowo: dla h = 3 z rysunku 35 jest P, = 54% a z rysunku 36 dla P. = 54% jest \> = 1,336, - dla n = 5 z rysunku 35 jest P. = 37% a rysunku 36 dla P, = 37% jest v = 1,265 itd.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB 1 1. 6 + =EzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA S 4 - 1 —i - H- ł - — 4- s t tę 1 r— T "?. . . ^ \ I | t ;:! 1 - ^ _ rs/ u- • ! _4 - - i- + -" HT U <- N^ Z1 1 tAzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA \ _L. r / u- ^>S4_ hi4 ... ..J y .. _ .. . . f j - t U 1 • Z1r ^ -i ; — ^% . < II I ~ > I ^* - > VZ Zk. : / %„ 1 ^ s r - + - •i ; i i iI — U- — ... s | i j - r s i - iI — - I- UzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA j Psi r "^ **- ^ 2 \ s, 6 > a ro 30 40 w śo so no TOOJBÓSOÓIOÓO 3zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Rys. 37. Ekwiprobabilistyczne krzywe v = f(n) dla trzech współczynników zmienności rozkładu Weibulla 8, 12, 16% wg [86] Przykład zależności v = f(n) podano na rysunku 37. kazują Krzywe te po- jak modyfikować napię cie probiercze ze zmiany liczby udarów tak aby utrzymać zawsze to samo prawdopodobieństwo n przebicia 90% dla transformatorów na dopuszczalnym poziomie jakości Pp. 118 Zakładają c, że liczba udarów się n ze wzglę dów mieścić w przedziale n i 10 widać, że dla praktycznych winna współczynnika zmienno- ści 12% wartości V = 1,18*1,52. Zastosowanie powyższego rozumowania przy obowią zują cej prób udarem piorunowym liczbie 3 udarów prowadzi do np. dla wartości napię ć probierczych bliskich zalecanym przez normy pozwalają c jednak na ich obiektywne uzasadnienie [86] . 3.5. Automatyzacja pomiarów i obliczeń fisi Automatyzacja badań wysokonapię ciowych jest celowa w niżej przedstawionych przypadkach. A. Próby identycznych wyrobów masowych według jednej procedury probierczej o tej samej lub zbliżonej wartości szczytowej i kształcie napię cia; przykładem .może tu .być badanie transformatorów rozdzielczych średniego napię cia lub badanie płytek stosu zmiennooporowego odgrom- ników. Niezbę dne wyposażenie takiego układu musi zawierać: - automatyczne przyłą czenie i wymianę - badanego obiektu, pomiar, - rejestrację i opracowanie wyników oraz sygnalizację negatywnego wy- niku badań. B. Pomiary statystyczne np. określenie napię ć lub czasów do przebicia w gazach lub cieczach czyli w układach, które nie są niszczo- ne w czasie próby. Podstawowe wyposażenie winno zapewniać: - automatyczną - - regulację i rejestrację stanu pracy układu probierczego, pomiar, rejestrację i opracowanie wyników pomiaru. Procedury prób napię ciowych lub prą dowych udarowych mogą być po- dzielone na nastę pują ce cztery czynności: - połą czenie i wymiana badanego obiektu, dostosowanie układu probierczego do wymagań próby, regulację urzą dzeń probierczych zgodnie z procedurą pomiar, rejestrację prób, i opracowanie wyników prób. Te cztery czynności można rozważać oddzielnie gdyż są od siebie niezależne. Automatyzacja jest szczególnie istotna w przypadku badań staty- stycznych, gdyż pozwala na zachowanie stałości warunków próby poprzez np. identyczność regulacji napię cia, stałość czasów stopni napię ciowych i czasów odpoczynku itd. 4. WYBRANE PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ W TECHNICE IZOLACYJNEJ 4.1. Wstę p Dział techniki wysokich napię ć jakim jest technika izolacyjna i koordynacyjna izolacji obejmuje dużą gamę zagadnień dotyczą cych wytrzy- małości elektrycznej materiałów i układów izolacyjnych. Losowa natura mechanizmów wyładowań elektrycznych stanowi o tym, że zastosowania metod statystycznych stanowią podstawę przy projektowaniu wysokonapię - ciowych układów izolacyjnych. Dotyczy to wszystkich rodzajów izolacji, z których podstawowymi są : - izolacja powietrzna, - izolacja olejowa i papierowo- olejowa, - izolacja z sześciofluorkiem siarki, - izolacja próżniowa. Jak już wspomniano w rozdziale I każdy z tych rodzajów izolacji może być przedmiotem oddzielnej, obszernej monografii, nawet przy założeniu ograniczenia treści do zagadnień podstawowych zwią zanych z mechanizmem wyładowań i specyfiki aplikacji zastosowań statystyki. Przykładowo dla przypadku izolacji powietrznej w oparciu styczne, analizuje się zagadnienia zwią zane z o metody staty- mechanizmem wyładowań takie jak [70] : - rozkład dróg swobodnych czą stek gazu, - określenie współczynnika jonizacji udarowej gazu i warunku samoistności wyładowań, - czasy opóźnienia wyładowań. Dla tej samej izolacji powietrzne! metody stuje się statystyczne przy projektowaniu izolacji liniowej [4] z kolei wystę puje cała gama zastosowań szczególnych blemów zabrudzeniowych, warunków atmosferycznych, wykorzy- i stacyjnej gdzie dotyczą cych prorozkładu przepię ć wzdłuż długości linii czy wielkich rozmiarów układu izolacji liniowej. Zatem kompletne, komoleksowe uję cie wszystkich możliwych zastosowań statystyki w technice wysokich napię ć nie stanowiło szego skryptu. Ograniczono się celu niniej- do specyficznych zastosowań dotyczą cych 120 izolacji nieregenerują cej się leżą cej w sferze zainteresowań oraz do klasycznych już, bo mają cych rangę autora zalecert mię dzynarodowych [30] zastn<?owań z dziedziny koordynacji izolacji liniowej, przy czym w tym ostatnim przypadku, jak to już wyżej wzmiankowano, problem jest tu daleki do wyczerpania. Tym niemniej podane niżej przykłady, mimo iż, w pewnym sensie specyficzne, pozwolą czytelnikowi zorientować się blemu, jak rdwniez stanowią pewną podstawę do w skali i randze prowłasnych studidw nad pokrewnymi zagadnieniami. 4.2. Izolacja ciekła, olej izolacyjny 4.2.1. Wprowadzenie Izolacja ciekła podobnie jak gazowa posiada strukturę regularną i izotropową , zatem dla układów z jedynie ciekłym dielektrykiem roz- kłady napię ć przebiciazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGF czy czasów do przebicia wykazują cechę jednomodalności. Przy badaniu wytrzymałości elektrycznej cieczy izolacyj- nych należy pamię tać, że napię cie przebicia zależy od: a) procedury prób - w metodzie Tetznera (pkt. 3.2.2.2) obowią zuje uniezależnienie wyników od kroku napię ciowego, b) materiału i stanu powierzchni elektrod, c) konfiguracji pola elektrycznego, powierzchni i odstę pu elektrod, d) fizycznej czystości cieczy, e) chemicznej czystości cieczy, f) temperatury i ciśnienia hydrostatystycznego, g) czasu trwania doprowadzonego napię cia.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW LICZB* PRZEBIĆ Rys. 38. Zmiana napię cia przebicia w zależności od liczby przebić odstę pu izolacji ciekłej 121 Oeśli wykona się wielokrotnie próbę przebicia w układzie gołych elektrod zanurzonych w cieczy izolacyjnej, to przy kolejnych próbach uzyska się od losowości zja- zmiany wytrzymałości zależne nie tylko wiska przebicia. Typowy wykres zależności napię ć przebicia od liczby przebić pokazuje rysunek 38. Można tu wyróżnić trzy zakresy: I II - zakres kondycjonowania elektrod gdy kolejne przebicia okludowane mikroostrza, na elektrodach gazy i eliminują zakres gdzie wytrzymałość zależy tylko od usuwają losowości mechanizmu przebicia, III - zakres pogarszania się właściwości cieczy wskutek zanieczyszcza- nia produktami rozkładu wywołanego łukiem elektrycznym. Jak wynika z rysunku 38 liczba przebić w cieczach jest ograniczona wskutek ograniczonych właściwości samoregeneracyjnycn. By wydłużyć interesują cy praktycznie zakres II należy w szereg z badanym układem włą czyć rezystor ograniczają cy prą d wyładowania i energię Wielorakość wymienionych na wstę pie czynników trzymałość elektryczną łuku. warunkują cych cieczy izolacyjnych powoduje, że jedyną określenia wytrzymałości układów z dielektrykiem wy- metodą ciekłym jest zapla- nowanie i wykonanie badań eksperymentalnych w oparciu o zależności s- tatystyczne. 4.2.2. Zależność wyników od metody badań Wyniki badań wytrzymałości elektrycznej olejów izolacyjnych w znacznym stopniu zależą od sposobu zmian napię cia podczas prób czyli T a b e l a od 21 Wpływ procedury badań na wyniki w przypadku badania oleju izolacyjnego [64] Próba Zmienna Wpływ na wyniki Napię ciem Ze stałą rosną cym wartością Metodą schodkową napię ciazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFED liniowo Uf t/V mt Uat yvms/ ł't U(t)/VU(m)/ U(t)/VU(m)/zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY U(t)rfVU(m)/ U(t)/ 1/ f - prę dkość wzrostu napię cia [V/s], Ua napię cie startu, AU - krok napię ciowy, t - czas trwania stopnia napię ciowego, m - liczba udarów na stopień napię ciowy, V - lub 122 procedury prób. I tak np. w przypadku badań kową go uzyskane wyniki zależą wykonanych metodą od napię cia startu U , AU, liczby udarów na stopniu napię ciowym m s schod- kroku napię ciowe- lub czasu utrzymania napię cia t s . Ogólny poglą d o wpływie procedury badań na uzyskiwane wyniki po- daje tabela 21. 4.2.3. Efekt obję tości ole.ju i efekt W powierzchni elektrod 1953 r. W.R. Wilson [84] wykazał, że wytrzymałość izolacji olejowej, zależy, w specyficzny sposób, znajdują cego się od elektryczna obję tości oleju w obszarze o dużych naprę żeniach elektrycznych. W 1956 r Weber i Endicott [79^ określili zależność wytrzymałości odstę pów z izolacją olejową od powierzchni elektrod. Zależności te nazywane efektom obję tości i efektem powierzchni mają konstruowaniu układów z izolacją wą . Obydwa efekty wyjaśnia się duże znaczenie olejową praktyczne przy jak również papierowo- olejo- w oparciu o zasady statystyczne. Na rysunku 39 przedstawiono ogólny przypadek odstę pu izolacyjnego o polu nierównomiernym. Powierzchnie elektrod podzielono na 2 m ele- mentarnych pól a., natomiast obję tość oleju podzielono na m- n elementarnych obję tości V. zdefiniowanych przez powierzchnie ekwipotencjalne Z., Z. oraz linie sił łą czą ce dwie odpowiadają ce sobie elementarne po- wierzchnie elektrod. Jeśli każdej elementarnej powierzchni elektrodzyxwvutsrqponmlkjihgfedc a^ odpowiada określone prawdopodobieństwo zainicjowania przebicia odstę pu olejowego S. , natomiast każdej elementarnej obję tości naprę żanej V. odpowiada okre- ślone prawdopodobieństwo W., to prawdopodobieństwo q n ( U ) , że odstę p olejowy wytrzyma napię cia probiercze U wynosi m n q„(U) = J^ [d - SNi)(l - S wi ) JT (1 " W 3 )], (H6) a prawdopodobieństwo przebicia odstę pu olejowego przy tym samym napię ciu probierczym wynosi (147) mzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA PP nn (U) = 1 - q nn (U) = 1 " TT [O - S NiNi )(l - 5 WW ii ) JJT (1 - gdzie indeksy N i W oznaczają i wysokonapię ciową . odpowiednio elektrodę niskonapię ciową 123zyxwvutsr Elektroda Mtysokonapiqcio*vo Elekł roda uziemiona zyxwvutsrqponmlkjihgfedc Rys. 39. Ogólny przypadek odstę pu izolacyjnego o polu nierównomiernym i definicja elementów jednostkowych [24] Można teraz wyróżnić dwa przypadki szczególne. 1. Jeśli olej jest czysty, dobrze odwodniony i dobrze odfiltrowany z zanieczyszczeń czą stkami ciał stałych, to prawdopodobieństwo inicjacji przebicia odstę pu olejowego z elementarnej obję tości może być pominię te. Wówczas równanie (147) nożna uprościć do ni ]J - ]J [(1 - S )(l - S .)]. (148) P n ( U ) =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML w Ni 124 2. Jeśli olej jest silnie zanieczyszczony czą stkami stałymi, to prawdopodobieństwo inicjacji wyładowania może być określone w oparciu o elementarne obję tości oleju. Wówczas m ť n P n (U) = 1 - ~]~]~ (1 - Wj). (149) W przypadku pól równomiernych i quasirównomiernych prawdopodobieństwo inicjacji wyładowania jest takie samo,dla elementarnej powierzchni i elementarnej obję tości. Równania (148) i (149) upraszczają się wówczas do postaci Pn(U) = 1 - Pn(U) = 1 - Są (1 - (1 - S) 2 m m , (l50a) n W) '; (150b) to wyrażenia odpowiadają ce prawu wzrostu (29). W przypadku pola nierównomiernego, prawdopodobieństwo inicjacji przebicia z elementów jednostkowych usytuowanych w obszarach o małych naprę żeniach mnże być pominię te. Wówczas wartości jedynie tym elementom jednostkowym, które są m i n usytuowane dużych naprę żeń, a szczególnie naprę żana powierzchnia obję tość oleju może być zdefiniowana np. 90% dientalną [84]. odpowiadają w obszarach elektrod powierzchnią lub ekwigra- Oczywistym jest, że czysty efekt obję tości lub powierzchni istnieje jedynie w szczególnych warunkach. W.ogólnym przypadku obydwa efekty wystę pują jednocześnie (równanie 147). Jedną z tego równania jest określenie prawdopodobieństwa w kategoriach jednostkowej powierzchni lub dróg uproszczenia przebicia jednostkowej jedynie obję tości. Zaobserwowany efekt jest wówczas pozornym efektem jednego z tych dwóch parametrów. Jeśli jedynym rozważanym parametrem jest jednostkowa powierzchnia, to prawdopodobieństwo przebicia jest wyrażone jako m Pn(U)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIH ? 1 - j j (1 - S a i ). (151) 125 Porównują c to wyrażenie z równaniem (147), uzyskuje pozorne prawdopodobieństwo przebicia inicjowanego z się wzór na i- tej jednostki powierzchni n S i> TT(1 " V - a izyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA - X " ( 1 " S N i ) ( 1 " Swi Zgodnie z rysunkiem 39 pozorne prawdopodobieństwo inicjacji przebicia z i- tej jednostkowej powierzchni wyrażone równaniem (152) odpowiada rzeczywistemu prawdopodobieństwu, że przebicie jest inicjowane z i- tego jednostkowego odstę pu uformowanego z n elementarnych obję tości V., które zwierają elektrody w odpowiednich jednostkowych po- wierzchniach a N i i a w i . Podobnie prawdopodobieństwo przebicia wyrażone pozornym efektem obję tości wynosizyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Pn(U) = 1 - 7 J (1 - W a .). (153) Porównują c to wyrażenie z wzorem (147) uzyskuje się nastę pują cą zależność mię dzy pozornym prawdopodobieństwem przebicia W a , a rzeczyJ wistymi prawdopodobieństwami dla elementarnych powierzchni i obję tości m- n TT (1 - v = ra (i S TT [ - NI j=i )(I n - wj=i TT (i - v ] - (154) Nie ma tu prostej interpretacji pozornego prawdopodobieństwa przebicia W . dla elementarnej naprę żanej obję tości oleju. Jednakże jeśli S N Ł oraz S w i są pomijalne, to prawdopodobieństwa W . i W. są Koncepcja przedstawionych tu, a wprowadzonych w [24] zornych, jasno pokazuje ambiwalentny charakter identyczne. efektów po- przebicia oleju gdzie jednakowo dopuszczalna jest interpretacja w kategoriach zarówno pozornego efektu powierzchni jak i pozornego efektu obję tości. Na rysunku 40 podano zależności E = f(V) w kategoriach pozornego efektu obję tości. Rysunek 40a dotyczy naprę żeń o 50% stwa przebicie odstę pu olejowego, a rysunek 40b podaje o bliskim zeru prawdopodobieństwie wyładowania. prawdopodobieńnaprę żenia E„ Obję tość V określono wg definicji Wilsona [84] czyli jako obję tość mię dzy elektrodą , na 126 i<re itr* ib­* nr3 ar' icr' lo° to' /o* to3 W ios fae a7 127zyxwvutsrq 10- 6 105 10 « 103 !0"2 1O"1 100 10 1 10 2 1 0 3 10* 10 s 10 6 10 zyxwvutsrqponmlkjihgfe Rys. 40. Pozorny efekt obję tości: a) dla naprę żeń o 50% prawdopodobieństwie wyładowaniazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB [64} ; b) dla naprę żeń wytrzymywanych o bliskim zeru prawdopodobieństwie przebicia [26] LI - napię cie udarowe piorunowe, SI - napię cie udarowe łą czeniowe, AC - napię cie przemienne której panują naprę żenia maksymalne, a powierzchnią ekwigradientalną o naprę żeniach równych 90% naprę żeń maksymalnych. Bardziej szczegółowo problem efektu obję tości i obliczenia obję tości szczególnie naprę żanej omówiono w [26] . 128 4.3. Układy izolacyjne z izolacja stałą 4.3.1. Wprowadzenie Układy izolacyjne zawierają ce dielektryki stałe mają turę - nieregularną . Mogą zawsze struk- zaistnieć nastę pują ce połą czenia dielektryków: impregnat (dielektryk ciekły lub gazowy zwykle powietrze) wypełniają cy pory i szczeliny dielektryku stałego, - szczeliny gazowe lub wypełnione dielektrykiem ciekłym na styku dielektryku stałego z elektrodami lub warstwami tego samego lub innego dielektryka stałego, - dielektryk ciekły lub gazowy otaczają cy powierzchnie dielektryka stałego. Ze wzglę du na złożoność i nieregularność układów izolacyjnych z dielektrykiem stałym, obserwowane dystrybuanty napię ć przebicia lub czasów do przebicia mogą , choć nie muszą , wykazywać wielomodalność. Wielomodainość może być również wywołana czą stkami zanieczyszczeń, które zawsze w dielektryku rzeczywistym wystę pują . Wielomodalność nie wystę puje wówczas, gdy jedna z ewentualnych przyczyn wyładowania elek- trycznego wyraźnie dominuje (wystę puje w zakresie znacznie niższych naprę żeń) nad pozostałymi. Zwykle o wytrzymałości elektrycznej w praktycznych lacji stałej decydują niejednorodności materiału układach izo- stałego i dlatego jest ona znacznie niższa od swoistej (istotnej) wytrzymałości czystego dielektryku. W rozważaniach teoretycznych zakłada się , że dielek- tryk stały można podzielić na elementarne obję tości spełniają ce na- stę pują ce warunki: - każda z obję tości ma losowo zmienną wytrzymałość elektryczną , przebicie całego układu jest inicjowane przez przebicie - dowolnej z obję tości elementarnych, - obję tości elementarne nie oddziałują Założenia te, zgodnie z teorią na siebie. wartości ekstremalnych, wielu dielektryków stałych sprawdzone eksperymentalnie strację rozkładów wartości ekstremalnych, w tym były dla poprzez reje- głównie rozkładu Weibulla. Wyniki badań eksperymentalnych pozwalają również zanieczyszczeń na kształt zaobserwowanych dystrybuant cia. I tak jeśli istnieje duża liczba wtrą cin na ocenę wpływu napię ć przebi- i wszystkie mają zbli- 129 żonę ną właściwości fizyczne, to w wyniku badań uzyskuje siq jedncmodaldystrybuantę ; tak jest np. gdy wszystkie wtrą ciny są trycznego. Jeśli jeden z rodzajów wtrą cin ma znacznie typu dielekwię kszy na osłabienie wytrzymałości elektrycznej niż pozostałe się to wypłw obserwuje rozkład dwumodalny (o dwuodcinkowej, łamanej dystrybuancie), któ- rego dolna czę ść wynika z obecności tejże wtrą ciny, a górna z pozostałych zanieczyszczeń. Przykładowo efekt taki dają wynika wtrą ciny me- taliczne w żywicy epoksydowej. 0 usytuowaniu punktu załamania dystrybuanty decyduje procentowa (wagowo) zawartość wtrą cin wpływie na wytrzymałość elektryczną o zwię kszonym [33]. 4.3.2. Wpływ grubości warstwy na wytrzymałość elektryczna izolacji stałej [72] 4.3.2.1. Wprowadzenie Wytrzymałość elektryczna w polu równomiernym maleje ze wzrostem grubości dielektryku. Mechanizm fizyczny tego zjawiska do jest jasny, w zwią zku z czym jedyną wię c ekspery- drogą analizy jest dziś nie ment i wykorzystanie zależności statystycznych. Dla pól równomiernych bez efektów krawę dziowych i napię ć przemiennych można ślić wzory uzależniają ce wytrzymałość elektryczną tryku. Istotną stosuje się rolę tym metoda drogą okre- badania wytrzymałości; dwie metody: 1) metodę wyznacza się odgrywa przy tą od grubości dielek- liniowego wzrostu napię cia, aż do przebicia - metodą tą wpływ grubości na wytrzymałość krótkotrwałą , 2) metodę ze stałą wartością napię cia, którą grubości na wytrzymałość długotrwałą wyznacza np. jednominutową , się wypłw godzinną odporność na długotrwałe napię cie robocze; metoda schodkowa, czy mimo że nie można jej zupełnie wykluczyć, jest tu mniej wygodna. Zależność wytrzymałości elektrycznej od grubości warstwy dielek- tryku stałego można dla pól równotniernych zapisać wzorem Ep = E i n a , gdzie: E^ - wytrzymałość elektryczna jednostkowej grubości materiału, a * 0, h - (155) grubość. 130 Dla napięcia przebicia uzyskuje się odpowiednio U p = E ph = E i n U a - (156) Wykł adnik a zawiera się zwykle w granicach - 0,5 do 0, todzie badali ze stał ą wartością napięcia przeciętna a przy me- jego wartość wy- nosi - 0,3 [72]. Jak wspomniano wyżej, wpł yw grubości warstwy na wytrzymał ość krótkotrwał ą przy napięciu przemiennym, bada się napięciem zwiększanym ze stał ą prędkości? f liniowo w czasie t, aż do przebiciazyxwvutsrqponmlkjihg (f - const [kV/s]). Przyjmuje się, że prawdopodobieństwo przebicia materiał u przy pł ynnym wzroście napięcia można zapisać wzoremzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ P = P(fE, tp) = 1 - exp[- cV^p], gdzie: /g - prędkość wzrostu naprężeń [kv/mm- s] , (157) która zależy od grubości prdbki ( f- i const); t - C*, OS,S - czas do przebicia, parametry rozkł adu określane w oparciu o analizę regresyjną wielkości p, f £ , Między t ł gdzie: U h - tp. i f? istnieje związek (158) pzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB - IT^" napięcie przebicia, grubość materiał u. Prędkość wzrostu naprężeń fr można wyznaczyć znając prędkość wzrostu napięcia f i grubość materiał u h Równanie (157) opisuje prawdopodobieństwo przebicia materiał u izolacyjnego o danej grubości h w zależności od f^ i t . try C*, OC.tf można dla danej prędkości wzrostu Znając parame- naprężeń elektrycz- 131 nych f E i czasu t wyznaczyć prawdopodobieństwo przebicia p lub odwrotnie przy danymzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB fc i danym p można wyznaczyć czas do przebicia t . Jeśli grubość wzrośnie z h^ do ięcia fu h przy stał ej prędkości wzrostu to prędkość wzrostu naprężeń zmieni się z jT£ do 1*E. Oznaczając iloraz h/h. = z można, znając fv , określić f- Wzór ten określa fc w zależności od "tc E Ł l przy czym jfv (dla próbki jednostkowej), należy tu traktować jako stał ą, a "f~ stu naprężeń elektrycznych jako prędkość wzro- przy dowolnej grubości materiał u. Z z- krot- nym wzrostem grubości wzrasta z- krotnie objętość materiał u izolacyjnego naprężanego elektrycznie. Oznacza to jednocześnie z- krotny wzrost liczby sł abych miejsc w objętości materiał u. Odpowiada to teorii wartości ekstremalnych. Prawdopodobieństwo bezawaryjnego ukł adu jest dane prawem wzrostu (29) jako stanu takiego iloczyn prawdopodobieństw dla poszczególnych elementów objętości dielektryku Pz gdzie: p - = 1 - (1 - p)Z, (161) prawdopodobieństwo przebicia przy jednostkowej izolacji h, (prawdopodobieństwo grubości przebicia jednostkowego elementu ukł adu) dane wzorem (157), p - prawdopodobieństwo przebicia przy grubości h (prawdopodobieństwo uszkodzenia ukł adu). Podstawiając (157) można dla p przy grubości h napisaćzyxwvutsrqponm P z = 1 - exP[- zC*(4Lj tj] = 1 - ex P [- z 1 - Vr E a : i tg. (162) Znając p 2 i fc t l można z (162) obliczyć czas do przebicia l/S 132 Wzór ten uwzglę dnia wzrost prawdopodobieństwa zwię kszania się zmiany naprę żeń elektrycznych ze zmianą przyją ć 0,5 uzyska się (medianę grubości. Jeśli np. czas do przebicia dla 50% czasów do przebicia). Przyjmują c z = 1 przebicia dla podstawowej (jednostkowej) grubości z > 1 uzyska się przebicia wskutek obję tości materiału naprę żanego elektrycznie oraz wpływ za p prawdopodobieństwa uzyska się materiału, czas do a dla czas do przebicia dla z- krotnie grubszej próbki. Wzór na wytrzymałość elektryczną materiału o grubości h uzyska się gdy prę dkość wzrostu naprę żeń zestawi się z czasem do przebicia t gdziezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (i = S - cŁ. Napię cie przebicia wyniesie wię c Zakładają c stałą wartość prawdopodobieństwa przebicia p z przy do- wolnej grubości materiału uzyskuje się zależności ilorazu wytrzymało- ści od grubości dane wzorami: (166a) p l Ot- 1 (166b) Jak widać zależność wytrzymałości elektrycznej i napię cia przebicia od grubości można określić potę gowymi funkcjami czyli zgodnie z wynikami eksperymentalnymi (155) hiperbolicznymi i (156). Porównują c wzory (155) i (166a), można określić wykładnik "a" w oparciu o parame- try kształtu rozkładu Weibulla jakozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ a = - - ^4- (167) 133 Wielkości oc zwykle zawierają się w granicach <4;14> a /3 w grani- cach <0,4;2>. Zatem "a" mieści się w przedziale - 0,5 < a < - 0,097. Średnia wartość wynosi - 0,3. Zależności "a" od of przyzyxwvutsrqponmlkjihgf ji - const podaje rysunek 41. a* (U 1 tu OJ 4. $ i - et io a u Rys. 41. Zależność wykł adnika "a" we wzorze (155) od parametrów kształ tu or i /} rozkł adu Weibulla [72j 4.3.2^3. Wytrzymał ość dł ugotrwał a W przypadku wytrzymał ości dł ugotrwał ej badanej napięciem o stał ej wartości, a więc przy stał ej wartości naprężeń, prawdopodobieństwo przebicia dielektryku dane jest wzorem p = P(E, t) = 1 - exp[- CE*t£], gdzie - C, Ot, fl - stał e; przy czym między C i C C* = , C (16B) istnieje zależność „v« ¯ (169) Z równania (168) można obliczyć czas do przebicia przy jednostkowej grubości materiał u h \CE' In (170) Zwiększenie grubości z h^ do h (z = h/h^) daje wzrost prawdopodobieństwa przebicia zgodnie z prawem wzrostu (161). zmieni się więc do Czas do przebicia 134 (171) Zmiana wytrzymałości elektrycznej ze zmianą grubości dla dowolne- go czasu oddziaływania narażeń elektrycznych może być określona przez porównanie czasów do przebicia dla grubości jednostkowej i z- krotnie wię kszej. W wyniku uzyskuje się a stą d przy p = const (172a) I Dla ilorazu napię ć przebicia bę dzie U tt- 1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU ui (172b) ex .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV (155) ma dla przy- Z wzoru Tl72a) wynika, że wykładnik we wzorze padku wytrzymałości długotrwałej postać (173) a = - zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQ l/cc, czyli, że zależność długotrwałej wytrzymałości od grubości jest wy- starczają co dokładnie określona parametrem kształtu rozkładu Weibul- la 05, w funkcji naprę żeń. Dla podanych dla oc granic <4;14> wykładnik "a" mieści się w przedziale <- 0,25;- 0,071> . Zależność "a" z wzoru (173) od oc jest wykreślona na rysunku 41 (dla /5 = 0 ) . Dobre techniczne dielektryki charakteryzują się dużą OC a wię c w dielektrykach tych jest słaby wpływ grubości wartością na wytrzyma- łość elektryczną . Potwierdza to znany fakt, że wytrzymałość dielektryku "idealnego" nazywana wytrzymałością "istotną " lub "swoistą ", nie zależy od grubości. Podana analiza objaśnia sens parametrów tt i fi rozkładu w zależności od grubości materiału. Parametry te zależę Weibulla od całego sze- regu czynników takich jak czystość materiału izolacyjnego, od techno- 135 logii produkcji, od wartości naprę żeń elektrycznych, czasu starzenia itp. Zakładają c, że strukturalne właściwości materiału się z grubością , podane zależności umożliwiają nie zmieniają ekstrapolacyjne obli- czanie wytrzymałości dla wię kszych grubości dielektryku. 4.4. Statystyczna koncepcja koordynacji izolacji 4.4.1. Koordynacja izolacji liniowej 4.4.1.1..Zależnośći ogólne Koordynacja izolacji polega na takim doborze jej wytrzymałości elektrycznej do przewidzianych narażeń napię ciowych aby zapewnić optymalne z ekonomicznego punktu widzenia niezawodność pracy. się Dopuszcza przy tym pewne małe prawdopodobieństwo uszkodzenia zwane ryzykiem uszkodzenia. Aby ograniczyć narażenia napię ciowe, a tym samym ułatwić pracy izolacji stosuje się ochronniki (np. iskierniki, Charakterystyki ochronników mają warunki odgromniki). również charakter statystyczny. Zatem statystyczna koncepcja koordynacji izolacji polega na doborze, przy zadanym ryzyku uszkodzenia, takich zmiennych losowych jak wytrzymałość elektryczna izolacji, charakterystyki ochronnika i przepię cia. Należy przy tym uwzglę dnić i inne zmienne losowe charaktery- zują ce np. warunki meteorologiczne, stany cieplne itp. Niech na izolację działa czynnik losowy U np. napię cie o znanych charakterystykach statystycznych. Przebicie izolacji przy U < u zachodzi z prawdopodobieństwem F(u). Całkowite prawdopodobieństwo przy zmianie U od - oo do o" przy danej gę stości zaistnienia U, f(u) wynosi R =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ t f(u)F(u)dU; (174)zyxwvuts — oo ilustruje to rysunek 42. Oczywiście niezawodność pracy wynosi wówczas Q = 1 Jeśli jednocześnie oddziałuję R. dwa niezależne czynniki (175) losowe U^ i U, o gę stościach prawdopodobieństwa fjCU^) i f2(U 2 ) i znana jest dystrybuanta uszkodzenia izolacji F(Uj, U ^ ) , to ryzyko uszkodzenia wynosi 136zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA R = 'f2(U2)F(Ul- (176) u 2 Analogicznie można obliczyć prawdopodobieństwo uszkodzenia izolacji przy dział aniu m niezależnych czynników ... £ ( U ) F ( U ... ... d U , (177) R - zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA m m 1 m Dalej rozpatrzymy pewne szczególne przypadki zastosowania tych zależności . u Rys. 42. Określenie ryzyka uszkodzenia izolacji przy danej gęstości przepięć 1(U) i rozkł adzie wytrzymał ości Pj(U) 137 4.4.1.2. Koord^nacja_w^trz^małości_elektrycznej_izolacji z narażeniainielektryczn^ini Niech na izolację działają (przegię ciami) przepię cia, których krotność gę stość prawdopodobieństwa ^nrz^Drz^' Napię cie przeskoku nież wyrazić w krotnościach maksymalnego napię cia = U_/U m g x . Rozkład napię ć przeskoku jest znany k ma można rów- roboczego k. = i znana jest liczba przepię ć w cią gu roku n. Można teraz przeanalizować dwa zagadnienia: 1) znaleźć liczbę przeskoków w izolacji w cią gu roku N przy zada- nych charakterystykach izolacji i przepię ć, 2) wybrać wytrzymałość elektryczną izolacji (tzn. jej wymiary i koszt) przy zadanych charakterystykach przepię ć i pewnej dopuszczalnej liczbie przeskoków. Ponieważ N = n ¯ R; gdzie R jest ryzykiem uszkodzenia, to zagadnienie sprowadza się do obliczenia R k R - prz max /zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONM Vz(k)F.(k)dk)zyxwvutsrqponmlkjihgfedc / 1 przy czym dolna granica całkowania wynika z poję cia że przy k przepię cia jako < 1 mamy f „ r z ( k ) = 0, a górna granica określona jest mak- symalnie możliwym przepię ciem w rozważanym układzie. To samo zagadnienie można rozwią zać innym sposobem poprzez wyko- rzystanie kompozycji rozkładów. Jest to szczególnie korzystne dla przypadku izolacji powietrznej, gdzie dopuszcza się normalnych dla f (k) i f.(k). Niech k ne z parametrami R stosowanie rozkładów i k. mają rozkłady normal- izyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHG B oraz k, i S.. ściśle mówią c winno się stosować rozkłady normalne ucię te jednakże ze wzglę du na to, że interesują ce są jedynie przedziały - 3G, ogólnie dopuszcza się stosowanie rozkładów nicucię tych. Można utworzyć nową jest kompozycją zmienną losową Ak = k. - k , której rozkład dwóch rozkładów normalnych i może być traktowany jako .2 i G - - J8. prz " ~ / "i ' °prz' Warunek przeskoku w izolacji odpowiada warunkowi A k < 0. Zatem prawdopodobieństwo uszkodzenia wyniesie rozkład normalny o parametrach AR = R. - R 13B R = P(ńk < 0) = O /*f(Ak)dAk, (179a) czyli R = 0 . 5zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLK - ii Ł *"\. (179b) gdzie $ - całka Laplace'a dana w tablicach statystycznych. Obliczenie ryzyka przeskoku w linii elektroenergetycznej złożonej z wielkiej liczby elementów izolacyjnych pracują cych równolegle jest możliwe przy zastosowaniu prawa wzrostu (patrz pkt. 2.2). Pamię tać przy tym należy, że maksymalne wartości przepię ć łą czeniowych są rozłożone wzdłuż linii nierównomiernie. Najwię ksze przepię cia wystę pują na otwartym końcu linii (przy bra- ku na tym końcu odgromników ograniczają cych przepię cia), a najmniej- sze na począ tku linii połą czonym z szynami podstacji. Fakt ten należy uwzglę dnić w obliczeniach albo poprzez wykorzystanie do obliczeń pełnego profilu przepię ć wzdłuż linii albo poprzez określenie umownej długości linii wyznaczonej z warunku równości prawdopodobieństw przeskoku w linii umownej i rzeczywistej. W linii o długości umownej przejmuje się jednakową wartość przepię ć w każdym punkcie linii. umowna długość linii może być w przybliżeniu określona Według [3j jako m = 100 przę seł. Przy projektowaniu izolacji linii należy dodatkowo uwzglę dnić specyfikę wytrzymałości elektrycznej i przepię ć w układach trójfazowych, wzglę dy bezpieczeństwa, wpływ wiatru i ulewy oraz wpływ wysokości mierzonej wzglę dem poziomu morza. Ten ostatni warunek dotyczy linii w terenach górskich (> 2000 m npm) gdy napię cie przeskoku i współczynnik zmienności maleją . Szczegółowe instrukcje stosowania reguł statystycznych przy pro- jektowaniu sieci najwyższych napię ć znaleźć można w [*] . Stosowanie koncepcji statystycznej w postaci rozwinię tej wymaga stosowania metod numerycznych. 139 4.4.1.3. Uproszczona statystyczna koncepcja koordynacji_izolacji_£39! W ramach Międzynarodowej Komisji Elektrotechnicznej (IEC) [30] zaproponowano uproszczoną wersję statystycznej koncepcji koordynacji izolacji. Metoda ta oparta jest na trzech pojęciach:zyxwvutsrqponmlkjihgf uzyxwvutsrqp C) totU) d) ? V V V r V 3 Rys. 43. Ilustracja uproszczonej statystycznej metody koordynacji izo­ lacji [30]: a) graficzna interpretacjazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT poję cia, wytrzymałość statystyczna, b) graficzna interpretacja poję cia: przepię cie statystyczne, c) trzy wartości ryzyka R dla trzech współczynników bezpieczeństwazyxwvu f = 1; 1,2; 1,4; d) zależność ryzyka przeskoku R od współczynnika f a)RzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA ( ( • « Kaiklnti J, ucię ty przy "S Kaiklnti , ucię ty przy *•* Haiti tatf/ Heuciety —- R n" zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA iir' 1 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 1 w* 1 n V f 2 tp' 3 mv a &o • na T vi? Z iO- s if d wa \ vv. a< \v \ V - i n* s • zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW W> S T \ e N ^ - rfs= \ CV. V ar* w' \ \ s ^ \k\ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA to' \ S\ \zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML \A \ \ \\\ \ 2 Yftff.x\ iD- 7 \ \ V \ \\ v\ rt?- 8 V \\ 7 03 0,9 t U 1,3 l.< \ \ te* to» \ I,S l.t ir o. 9 0,9 U 1! U l,< ! o.s tg i u i.! u i.tzyxwvutsrqponmlkjihgfe Rys. 44. Zależność mię dzy ryzykiem przeskoku R i statystycznym współczynnikiem bezpieczeństwa różnych rozkładów przepię ć łą czeniowych i różnych współczynników zmienności rozkładu wytrzymałości udarowej łą czeniowej: a) 6H, b) 8\, c) 10% [30] 141 - wytrzymałość statystyczną szczytową U w izolacji zdefiniowaną udaru probierczego, której odpowiada jako wartość prawdopodobieństwo niezaistnienia przeskoku równe 90% (rys. 43a); - przepię cie statystyczne U o wartości szczytowej charakteryzowanej prawdopodobieństwem zaistnienia przepię ć o wyższej wartości szczytowej równym 2% {rys. 43b), - statystyczny współczynnik bezpieczeństwa wyrażony wzorem r =- jp- s Procedurę (180) uproszczonej metody koordynacji izolacji najlepiej ilu- struje rysunek 43. W oparciu o znajomość rozkładów przepię ć i wytrzymałości określa się wartości ryzyka R i współczynnikazyxwvutsrqponmlkjihgf >f dochodzą c do uniwersalnych wykresów R = f(/0 (rys. 43d). Wykresy takie można skonstruować a priori zakładają c różne kształty i parametry przepię ć i wytrzymałości elektrycznej. Znajomość rozkładów zależności R = f(7*) pozwala z kolei oszacować wartość ryzyka R dla realnych wartości L)w i U g definiują cych f. Przykładowo na rysunku 44 podano wg [30] zależności R = l(f) dla przepię ć i wytrzymałości łą czeniowej. Rysunek a) dotyczy rozkładu wytrzymałości o współczynniku zmienności s,. = 6V, a rysunek b) s^ = 8% i c) s^ = 10%. Trzy zależności na każdym z rysunków obliczone są dla różnych parametrów rozkładu przepię ć: - górna obwiednia jest dla S . = 20% i rozkładu normalnego nie ucię tego, - dolna obwiednia dotyczy S ± = 10% i rozkładu normalnego ucię tego przy 3 S s , - linia środkowa jest obliczona przy 5 % - 15% i rozkładzie normalnym ucię tym przy 46. Rozkład udarowych łą czeniowych napię ć przeskoku przyję to jako normalny nie ucię ty. Na rysunku 45 [30] podano zależności R = f(7") dla przepię ć i wy- trzymałości piorunowej przy dwóch wartościach współczynnika ści dla przepię ć: 40% i 60% oraz dla trzech zmienno- wartości współczynnika zmienności dla udarowych piorunowych napię ć przeskoku: a) 3%; b) 5% i c) 7%. Stosowano rozkłady normalne nie ucię te. Obliczanie ryzyka przeskoku dla współczynników zmienności rozkładów udarowych napię ć przeskoku wię kszych niż podane w pkt. 3.2.4.2 wynika z faktu iż dystrybuanty napię ć przeskoku wykorzystywane przy 1*2 » • > V \ u ta a* u b)f s R S s 4,-f9X \ <u OJ at w u u* 143zyxwvuts ą f Ą JI 0 $j u Rys. 45. Zależność mię dzy ryzykiem przeskoku R i statystycznym współczynnikiem bezpieczeństwazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA t dla rozkładów przepię ć piorunowych o współczynnikach zmienności 40% i 60% oraz rozkładów udarowych piorunowych napię ć przeskoku o współczynnikach zmienności: a) 3%; b) 5%, c) 7% [30] koordynacji izolacji nuszą uwzglę dniać zmienność warunków atmosferycz- nych w cią gu roku a stą d różnią się od uzyskiwanych w ściśle określonych warunkach zarówno wartością maleje jak i znacznie wię kszą wartością w laboratorium oczekiwaną , która odchylenia standardowego. 4. 4.1. 4^_Uwzglę dnienie odgromnika W przypadku gdy równolegle z rozważanym odstę pem izolacyjnym umieszczony jest ochronnik o gę stości prawdopodobieństwa zadziałania f o c h ^ ) i dystrybuancie F n ^ należy uwzglę dnić fakt modyfikowania przez ochronnik (zwykle odgromnik) rozkładu krotności przepię ć. Przykładowo ilustruje to rysunek 46, gdzie na rysunku a) przedstawiono usytuowa- nie wzglę dem siebie rozkładu przepię ć i rozkładu napię ć zapłonu ochronnika a na rysunku b) wykreślono rozkład przepię ć zmodyfikowany dzia- 144zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a) VzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Ofi Rys. 46. Modyfikacja rozkładu przepię ć wskutek działania odgromnika [4 3] : a) usytuowanie wzglę dem siebie rozkładu przepię ć F (k) i napię ć zapłonu odgromnika b) wynikowa gę stość przepię ć f D Q ( k ) i wynikowy rozkład przepię ć F p Q ( k ) łaniem ochronnika. Ryzyko przeskoku uzyska się w tym przypadku przez podstawienie do wzoru (178) zmodyfikowanej gę stości przepię ć f D O ( k ) . 145 Rozkład napię ć zapłonu odgromnika charakteryzuje się znacznie mniej- szym współczynnikiem zmienności niż rozkład prawdopodobieństwa zaistnienia przepię cia (rys. 46). Stą d dla uproszczenia obliczeń można posługiwać się charakterystykę odgromnika "idealnego". jemnego usytuowania dystrybuant rozkładów Przykłady charakteryzują cych cję , odgromnik i przepię cia zestawiono na rysunku 47. wzaizola- Na rysunku tym podano również wartości ryzyka przeskoku w izolacji dla poszczególnych przypadków.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA b) FM *J ^zyxwvutsrqponmlkjih R=O C) Rys. 47. Przypadki szczególne usytuowania rozkładów przepię ć, zapłonów odgromnika i przeskoku w izolacji [4 3]: a, b) idealny odgromnik i idealna izolacja, a) poziom ochrony poniżej poziomu izolacji, b) poziom ochrony powyżej poziomu izolacji, c) idealny odgromnik, d) idealna izolacja Fj(k) - rozkład napię ć przeskoku w izolacji, pozostałe oznaczenia jak na rysunku 46 Ogólnie biorą c w układzie z n poziomami izolacji z prawdopodobieństw F.(k) wynikowe ryzyko przeskoku R. wynikają cymi w elemencie izolacyjnym o prawdopodobieństwie F.(k) jest dane wzorem [43] 146 R j = / (1 F " odg (k)) <! " Fi<k))fj(k)dk. IT 1 (181) i=l i^j Znacznie bardziej złożonym przypadkiem jest wpływ działania odgromników na rozkład przepię ć mię dzyfazowych i obliczanie ryzyka przeskoku mię dzyfazowego. Problem ten jest omawiany w [42]. 4.5. Ryzyko zagrożenia piorunowego obiektów budowlanych [2l1 Charakter losowy zjawisk piorunowych i wywołanych nimi skutków sprawia, że uję cie zagadnień ochrony odgromowej budowli wymaga stosowania elementów rachunku prawdopodobieństwa i teorii niezawodności. Staje się to coraz niezbę dniejsze w miarę gromadzenia danych statystycznych dotyczą cych zarówno parametrów wyładowań piorunowych jak i rozmiarów powodowanych przez nie szkód. Przewiduje się , że przyszłe ustalenia normalizacyjne oparte bę dą o zasady statystyczne. Ryzyko zagrożenia obiektu budowlanego przez wyładowanie piorunowe, R(t) jest funkcją czasu t i intensywności zakłóceńzyxwvutsrqponmlkjihgfed X i może być wyrażone wzorem exp(- A- t), R(t) = 1 - (182) natomiast intensywność zakłóceń lub inaczej poziom wynosi A = Ngdzie: ryzyka Ps, zagrożeń (188) N - roczna liczba trafień piorunowych w obiekt, prawdopodobieństwo spowodowania szkody przez pojedyncze wyładowania. Określenie N nie stanowi obecnie problemu. Trudność tkwi w określeniu P . Analizują c szczegółowo mechanizm narażeń i wywoływanych nimi szkód, można to prawdopodobieństwo zapisać w postacizyxwvutsrqponmlkjihgfe P - n Ps p m - i (i = zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB > . P„J1 - II <1 - P,R,)|. OB4) ¯ Z >oi h i=i L TT - j=i w¯ J 147 gdzie: p ¯ - prawdopodobieństwo trafienia pioruna u wyodrę bnioną czę ść obiektu lub zwodu (i = 1, 2, ..., n ) ; p. - ryzyko wystą pienia j- tego skutku przy uderzeniu w i- tą czę ść układu. Prawdopodobieństwo p Q l jest zwią zane z zagadnieniami wybiórczości wyładowań piorunowych i jest wyznaczane za pomocą teorii elektromag- netycznej, ścisłe oszacowanie prawdopodobieństwa p. jest możliwe w odniesieniu do niektórych przypadków zagrożeń konstrukcji. W wielu jednak przypadkach wobec braku odpowiednich danych tości p- muszą statystycznych, war- być szacowane arbitralnie przez wybór wartości z prze- działu <0,l>, przy uwzglę dnieniu najmniej korzystnych wariantów wła- ściwości materiałowych i rozwią zań konstrukcyjnych. Ryzyko R. zwią zane jest z wystę powaniem takich skutków jak zapłony materiałów palnych lub wybuchowych, uszkodzenia mechaniczne lub termiczne obiektu lub urzą dzeń piorunochronnych, porażenie itp. Skutki te mogą ludzi wynikać bezpośrednio, z iskier lub zwierzą t wtórnych, rażeniowych, uszkodzeń mechanicznych i termicznych się elementów napię ć itp. Wykorzystuje tu zależność R j = / o 9 j ( z ) ¯p j ( z ) d z ( 1 8 5 ) - Funkcje g.(z) opisują ce rozkłady parametrów narażeń ślone dzię ki dostę pnym danym statystycznym. Jeśli chodzi szkód P.(z), to nie we wszystkich przypadkach mogą Przy braku takiej możliwości niezbę dne staje się być "z" są o okre- rozkłady określone. określenie krytycz- nej wartości parametru Z , przy której P.(z<Z_) = 0 orazP,(z>Z ) = 1 s j s j s wówczas R j = / Z 9j(z)dz = G j(z>Zs)- ( 1 8 6 ) s Za kryterium oceny zagrożenia obiektu przyjmuje tyczną ryzyka f?k lub intensywności zakłóceń A. roku. Wartości oszacowane z wzorów (182) i (183) żej równe wartościom krytycznym. Zaleca się się odniesioną wartość krydo jednego winny być co najwy- dla obiektówzyxwvu by R. = 10 - A szczególnie wartościowych lub zagrożonych wybuchem, 10 o cennej zawartości i dużej liczbie ludzi i 10 dla obiektów dla pozostałych obiektów. Jeśli oszacowane ryzyko jest wię ksze od krytycznego to należy zastosować dodatkowe środki ochrony. 5. WYBRANE ZAGADNIENIA ZASTOSOWAŃ STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ W TEORII PRZEPIĘ ĆzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV 5.1. Statystyczny opis przepię ć piorunowych Wyładowanie atmosferyczne jest źródłem przepię ć w układach elek- troenergetycznych. Podczas wyładowań piorunowych zachodzą , złożone procesy fizyczne, które w ogromnym skrócie można przedstawić jako szereg impulsów prą dowych płyną cych w tym samym kanale wyładowczym, a mają - cych różne wartości szczytowe i kształty. Do celów obliczeniowych wykorzystuje się uproszczone, zastę pcze kształty impulsu piorunowego [20] wykorzystują ce dwa poję cia: wartość szczytową maksymalną prą du pioruna I stromość narastania prą du pioruna wyrażoną pochodną oraz a = = (di/dt)max. Przykładowe zastę pcze kształty impulsu prą du pioruna pokazano na rysunku 48. 50 Rys. 48. Zastę pczy kształt impulsu prą du pioruna [20] i = Ip exp - Tj - czas «, i Olj - dla t < T i ; i = Ip exp|- trwania czoła [ps] , T2 - ;* T2 - T 2)" dla t>T czas do półszczytu [us],zyxwvutsrqp współczynniki zwią zane z rozkładem statystycznym wartości T. i T~ 149 Zarówno wartość szczytowa jak i stromość prą du dużej liczby czynników losowych i stanowią wych. Liczne pomiary wykonane w liniach rozkłady mogą mieć postać wykładniczą i a że wartość w szerokich szczytowa granicach a ich [70]: P ( I > I ) = F(I ) = exp(- k ; lp), (187a) P ( a > a p ) = F(a p ) = e x p ( - k g a p ) , (187b) p gdzie I się od i podstacjach elektroenerge- tycznych, w wysokich obiektach itp. wykazały, i stromość prą du pioruna zmieniają pioruna zależą układ dwóch zmiennych loso- p i sg wyrażone odpowiednio w [kA] i [kA/us] . Wartości współ- czynników k wynoszą przykładowo wg danych radzieckich 1 nych terenów ZSRR (do 50 m npm): k. = 1/26 kA" , k X [70] dla równin- = 1/15,6 ps/kA a dla 3zyxwvutsrqponmlkjihgfedc terenów górzystych (powyżej 700 m npm) wartość tych współczynników maleje dwukrotnie. Jednoczesnych pomiarów I i a jest stosunkowo mało. Analiza tych danych wykazuje, że stromości i wartości szczytowe są słabo skorelowane i stą d w pierwszym przybliżeniu przyjmuje się , ze że sobą są to zmienne losowe niezależne, czyli że [.70]: P(I>I , a>a ) = P(I >1 ) P(a > a ), (188a) lub F(I p , a p ) = exp[- (k i l p + k a a p ) ] . (18Bb) Obecnie w ramach prac Miqdzynarodowej Konferencji Wielkich Wysokonapię ciowych Sieci Elektrycznych /GIGRE/ [10], [5] ustalono, że parametry opisują ce wyładowania atmosferyczne mogą być opisane rozkładem logarytmo- normalnym o parametrach I = 25 kA, (?,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJI - , = 0,39. Dotyczy to wyładowania ujemnego, dla którego zebrano najwię kszą liczbą danych eksperymentalnych. 150zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA II 09.99 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 9 9 OS 99, 90 9*ao 99. SO oo/ yi 93. O0 95,00 • Y s L_ V V V- oćino6£OO , •\ C* 3O. OO 44OO 3OJOO 2OfiO 15,00 10,00 1 i"*- k 2fiO fjL/ OzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA " ,so ,2O \V \ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY .to .as 1 t.oo zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA too,oo zyxwvutsrqponmlkjihgfedcba taoo Rys. A9. Dystrybuanta prądów pioruna dla szczytowych [lOj ujemnych wartości Dane eksperymentalne wykreślone w siatce rozkł adu raalnego (rys. 49) sugerują, że znacznie lepszą logarytmo- nor- aproksymację uzyska się stosując rozkł ad logarytmo- normalny dwumodalny. Punkty definiujące górną i dolną gał ąź tego rozkł adu podano w tabeli 22. Danych dotyczących wył adowań dodatnich jest bardzo mał o. Orientacyjne wartości parametrów rozkł adu logarytmo- normalnego dla wył adowań 0,41. dodatnich wynoszą wg QlOJ : I = 36 kA, (3log I 151 zyxwvuts T a b e l a 22 Punkty d e f i n i u j ą c e dwumodalny r o zk ł ad prądów p io r u n a z r ysunku 49 15] , [ 10] Gałąź górna Gałąź d o lna l[ kA] PM l[ k A] 4 98 20 80 90 90 10 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJ 5 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXW 10 H* 2 4 6 BW* 2 4 6 6tO* 9/ 0* 2 JSB & 2 * 6 c/ ł IAISJzyxwvut Rys. 50. Prawdopodobieństwo przekroczenia danej stroroości udaru dU/dt przy porażeniu słupów o różnej rezystancji uziemienia [36]: a) po 0,5 us od chwili wyładowania, b) po 1 us od chwili wyładowania Wartości szczytowe prą dów pioruna i stromości podstawą prą dów pioruna są do określenia parametrów przepię ć piorunowych w liniach i sta- cjach elektroenergetycznych. 152zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 3 2 4 680*2 4 6BO 2 4 Rys. 51. Prawdopodobieństwo przekroczenia danej stromości udaru dll/dt przy wyładowaniu do przewodu odgromowego, dla różnych rezystancji uziemienia słupów [36] Rys. 52. Prawdopodobieństwo przekroczenia danej stromości przepię cia przy przedarciu się wyładowania przez strefę osłonową przewodu odgromowego, dla linii o różnych impedancjach falowych Z^, z uwzglę dnieniem ulotu i chwilowej wartości napię cia na przewodzie [36] 153 Przepiqcia wystę pują ce w liniach elektroenergetycznych wskutek bezpośrednich uderzeń pioruna zależą trów samej linii i są dodatkowo od konstrukcji i parame- przedmiotem badań obszernego działu techniki wy- sokich napię ć jakim jest teoria przepię ć. Tutaj ograniczano się nie do zarejestrowania kilku ciekawych wyników nych dotyczą cych stromości obliczeń jedy- statystycz- przepię ć piorunowych w linii. Od stromo- ści tych przepię ć w dużej mierze zależy bowiem narażenie izolacji liniowej i izolacji wewnę trznej urzą dzeń stacyjnych. Na rysunku 50- 52 podano rozkłady stromości przepię ć piorunowych w linii przy odpowiednio wyładowaniu do słupa, do przewodu odgromowego i przy bezpośrednim uderzeniu w przewód roboczy. 3ak widać przy tym samym prawdopodobieństwie ze wzrostem rezystancji uziemienia słupa lub impedancji linii, stromość przepię cia rośnie. że stromość maleje w funkcji czasu tym szybciej im Widać również, wyższa jest rezy- stancja uziemienia (rys. 50). Rysunek 52 może służyć do oceny stromości przepię ć piorunowych w liniach bez przewodu odgromowego. Jak wy- nika z tego rysunku w liniach średnich napię ć (bez przewodów odgromowych) możliwe są , z dużym prawdopodobieństwem, przepię cia o strorao- ściach 2000 kV/us i wię kszych. Z innych szczegółowo omawianych w teorii przepię ć wią zywanych w oparciu o rachunek prawdopodobieństwa tematyczną - zagadnień rozi statystykę ma- wymienić należy: określenie prawdopodobieństwa przeskoku w izolacji przy bezpośred- nim uderzeniu pioruna, - oceną oczekiwanej liczby wyłą czeń linii wskutek bezpośrednich ude- rzeń pioruna. Zagadnienie to omówiono w [31] , [32] , [77] . 5.2. Przepię cia piorunowe indukowane Wartość szczytowa napię cia wystę pują cego na izolacji getycznej przy bliskich uderzeniach pioruna ma dwie tyczną i elektryczną linii ener- składowe: magne- i zależy od wartości szczytowej i stromości prą - du pioruna oraz wysokości i odległości miejsca uderzenia. niach przybliżonych przyjmuje się , że [32], [70] W oblicze- 154 gdzie: I - h - wartość szczytowa prą du pioruna [kAj, wysokość zawieszenia przewodów roboczych linii [ro] ,zyxwvutsrqpo b - odległość uderzenia od linii [m], A - współczynnik liczbowy wynoszą cy wg [32] 25, a wg [70] 30. W zwią zku z tym, że parametry wyładowania piorunowego, w tym i wartość szczytowa prą du pioruna mają rozrzut losowy, celowym jest ślenie parametrów przepię ć indukowanych w zależności okre- od ich wartości szczytowej. Można określić liczbę prowadzą cą wyładowań atmosferycznych w cią gu roku N. . do powstawania w linii przepię ć indukowanych szczytowej powyżej U, . W tym celu należy rozważyć o wartości powierzchnię J. Kła X ziemi o szerokości db odległą wań atmosferycznych w tę od osi linii o b. Ogólna liczba wyłado- powierzchnię "u = n p " n d gdzie: n - w cią gu roku wynosi (191) 1 db(l - średnia liczba wyładowań w cią gu 1 dnia wierzchnie 1 km ninnych i n (przyjmuje się n = 0,1 burzowego na podia okolic rów- = 0,01i- 0,02 w okolicach górzystych), liczba dni burzowych w cią gu roku (odczytywana z odpowiednich map izokeraunicznych) zestawiają cych średnie dni burzowych w roku [20, 31, 32], 1 - długość linii [km]. Rys. 53. Rozkład prawdopodobieństwa wyładowania bezpośrednio do linii przy rozwoju wyładowań piorunowych w pasie odległym od b, do b„ od osi linii [70] liczby 155 Prawdopodobieństwo P, charakteryzuje możliwości uderzenia pioruna w linię . Przykładową postać rozkładu P, podaje rysunek 53. Wszystkie wyładowania atmosferyczne rozwijają ce się wokół linii uderzają sferyczne rozwijają ce się rzają nad pasem o szerokościzyxwvutsrq +p^ bezpośrednio w linię . Wszystkie wyładowania atmonad powierzchnią ziemi za granicą ^2 ude- w ziemię . W obszarze mię dzy b. a b„ istnieje prawdopodobieństwo P, uderzenia w linię i 1 - P, - uderzenia w ziemię . obliczeń przyjmuje się , że w pasie do —b linii (P. = 1) a poza tą strefą ny). Zwykle pczyjmuje się Dla uproszczenia wszystkie wyładowania są b r = (2 i 4)h [5]. Aby przy uderzeniu pioruna w pasie db napię cie kraczało U. do do ziemi (P. = 0) (rozkład prostoką tindukowane prze- , to wartogć szczytowa prą du pioruna w oparciu o (190) winna wynosić (192) natomiast prawdopodobieństwo wystę powania takich prą dów zgodnie np. z (187a) wynosi P(I > I ) = exp(- k.I ), (193a) stą d ' exPP((' ex U > imax> **"'. ™* bb)).. *'. ™* Zatem liczba przepię ć indukowanych o wartości (I93b) szczytowej powyżej U. zachodzą cych wskutek wyładowań w pasie db wynosi 1 m3 x dN P ( U > U ind - i max Dla określenia całkowitej liczba N. żej U. )dN u- . o wartości szczytowej powy- trzeba scałkować wyrażenie (194) po p powierzchni ziemi w obie strony od linii poza odległością N ind = 2 dN / b r ind b r —b w pasie db: 156 stą d <»« Przy podstawieniu do wzoru (196) należy pamię tać, że współczynniki liczbowe w tyra wzorze mają wymiar A h- rj. 5.3. Przepię cia łą czeniowe [701 5.3.1. Wprowadzenie Przy wszelkiego rodzaju operacjach łą czeniowych troenergetycznym powstają w systemie elek- przepię cia łą czeniowe charakteryzowane współ- czynnikiem przepię ć (197a) r max gdzie: U U maksymalna wartość przepię cia, - maksymalnezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJI napię cie robocze, LzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA IF13 X Współczynnik przepię ć można również przedstawić w postaci U k gdzie: k - Ł - w r max "max _ . Uw . K "w (197b) V krotność wymuszonej składowej przepię ć łą czeniowych w nowym stanie pracy układu, k - stosunek maksymalnej wartości składowej przejściowej do maksymalnej wartości składowej wymuszonej. Wartość k w zależy od dużej liczby czynników wynikają cych zarówno ze stanu pracy jak i schematu układu. Czynniki te należy łą czenia rozpatrywać jako wielkości losowe np. w momencie; liczba i moc pracują - cych w danej chwili generatorów, transformatorów, odbiorników energii, linii itp. Czynniki te zwią zane ze stanem pracy układu zmieniają się w cią gu doby i w cią gu roku. Niech krotność k w zmienia się w granicach k w m ^n do k w m a x , przy czym dolna granica odpowiada maksymalnej mocy generatorów, pełnej liczbie włą czonych linii, dławików itp., a górna odpowiada liczbom mini- malnym. Gę stość rozkładu tej krotności można przedstawić w postaci 157 f(k w ) = A/k w , (198a) gdzie współczynnik A można wyznaczyć z warunkuzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ JzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA f(kw)dkw = 1 (198b) k w min i wynosi k A - (q - 1) q- l . k q- l "„"" V i " k " - k " w max w min Cl»8c) Wykładnik q zależy od mocy układu, w którym zachodzi łą czenie reaktancji indukcyjnej. Im wię ksza moc układu tym rozkład bliższy rozkładowi równomiernemu. Ola układu z dławikami cymi q ~ 2 , a dla układów elektroenergetycznych bez k i od jest bocznikują - takich dławików gdy reaktancja rośnie q — 5. Współczynnik k y zależy od rodzaju łą czenia i warunków jego zaistnienia, a także od parametrów schematu. Przy danym i danym schemacie k jest zmienną losową rodzaju i zależy od łą czenia chwilowej war- tości siły elektromotorycznej źródła w momencie łą czenia, od rozrzutu czasów łą czenia w poszczególnych fazach układu wielofazowego, od wartości począ tkowych napię ć i prą dów w elementach schematu innych czynników. Określenie rozkładu dla k rozpatrzono na i od wielu przykładzie. 5.3.2. Przykład załą czania nieobcią żone.i linii Przypadek załą czania jednofazowej nieobcią żonej linii charakteryzuje się czynnik k stanami nieustalonymi mają cymi charakter oscylacyjny. Współzależy od parametrów schematu i ką ta załą czania. Siła elek- tromotoryczna w chwili załą czenia wyniesie e = E sin(uJt +zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUT <p). (199) Ką ta załą czenia <J> ťť jest wielkością losową zależną ki wyłą cznika. Chwila, w której wyłą cznik zaczyna czyna się od charakterysty- pracować i rozpo- ruch jego styków ma jednakowe prawdopodobieństwo w cią gu ca- łego półokresu czyli jest zmienną losową o rozkładzie równomiernym. 158 Zamknię cie obwodu zachodzi wówczas gdy styki zbliżą się na taką odległości, dla której zaistnieje mię dzy nimi przeskok. Ką t załą czenia określony jest przez dwie charakterystyki: - krzywą kami; malenia napię cia przeskoku w funkcji odległości mię dzy sty- krzywą zmian przyłożonego do styków napię cia- w tym przypadku siłą elektromotoryczną źródła.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFE \ \ \ \ zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZ \ NN \ (0 \ HO 150 40 zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZY Rys. 54. Sposób wyznaczania rozkładu FzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTS (<p) - . a) przebieg zmian napię cia na stykach wyłą cznika i zmiana napię cia przeskoku w funkcji odległości styków, b) rozkład 1 wyznaczony z rysunku a Ką t włą czenia <p jest cią głą funkcją argumentu losowego - ką ta począ tku ruchu styków wyłą cznika <p - dlatego rozkład można określić w oparciu o rozkład (p . Na rysunku 54 przyję to, że napię cie przeskoku mię dzy stykami maleje liniowo. Punkty przecię cia prostych napię cia przeskoku z sinusoidą dają ką ty załą czenia <p a długość odcinka ?b w stopniach, podzie­ lona przez 180 daje prawdopodobieństwo tego, że ką t począ tku ruchu styków bę dzie wię kszy od fp czyli że ką t włą czenia <p bę dzie wię kszy od 9Cp. Na rysunku 5*b linią 1 pokazano funkcję ną w oparciu o rysunek 54a. Gdyby prę dkość zmian napię cia przeskoku zmierzałby do rozkładu równomiernego (rys. 54b - rozkładu zbudowa- to rozkł ad . dU linia 2); przy P f 159 rozkład F(y) przybiera postać funkcji Diraca (linia 3 ) . Zatem im szybciej działają cy jest wyłą cznik tyra szerszy jest zakres wartości ką tazyxwvutsrq <p i tym bliżej rozkładu równomiernego jest rozkład F (f). Doświadczalne funkcje rozkładów czę sto istotnie różnią się od teoretycznych co oznacza, że przyję te założenia są mało dokładne. W praktyce spotyka się rozkład normalny ucię ty jako dobrą aproksymację doświadczalnych rozkładów <p. Majgc określony rozkład ką tów załą czania można określić rozkład dla współczynników k . W tym celu dodatkowo konieczna jest znajomość funkcjonalnej zależności k u = f(<p). Przybliżone rozwią zanie tego zagadnienia, prawidłowo oddają ce charakter zjawiska, można uzyskać rozważają c zaleczanie do źródła siły elektromotorycznej danej wzorem (199) obwodu drgają cego R, L, C, w którym napię cie na pojemności C jest analogiem do napię cia na końcu lin,ii. Jeśli rezystancja układu jest znacznie mniejsza od reaktancji to wpływ rezystancji na amplitudę i fazę składowej wymuszonej i swobodnej można pominą ć. Wówczas krotność przepię cia wyniesie:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA l jf =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA sin(et)t * cp) - - j/sinV sin(o)jt + <?) , (200) / s i n V +{~5JJ" cosipj e czę stotliwość drgań własnych, współczynnik tłumienia, "l tgf. <PX = arc tg- orPierwszy człon to składowa wymuszona, a drugi - swobodna (rezonansowa). Amplituda składowej swobodnej równa jest amplitudzie składowej wymuszonej przy <p = 90° i maleje z maleniem cp. Wyrażenie (200) osią ga maksimum w chwili gdy obie składowe osią gają w przybliżeniu maksimum np. przy (O^/co = 2 i <? - 90° maksimum wystę puje w okolicy półokre5u czę stotliwości sieciowej: gdzie: a)^ = l/- /uf d\ = R/21 - II ~S\X - —— = cos o»t - e costAt, w U - <?•— - 6* — ax X 2 J 2 • ]] - = c o s- ^- - e c o s 2 o ) y = cosJT- e c o s 2sr, Un,ax | s l ł e - * l T - (201a) (201b) ( 2 0 1 c ) 160 Przykł adową zależność k =zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML f(<p) dla co./a) = 2 pokazano na rysun- ku 55a. Wedł ug tej krzywej można określić zakres kgtów, przy których k jest większe od zadanej wartości. Przykł adowo ku 55a odczytuje się <p^ = 60° i cp^ = 120°. pienia k dla k = 1,6 z rysun- Prawdopodobieństwo wystą- > 1,6 to prawdopodobieństwo występowania kątów zał ączania^ w przedziale < 9 ? 1 , <?- £> ť Prawdopodobieństwo to znajduje się jako różnicę F C ^ ) - F ( ^ 2 ) . Przykł adowo z rysunku 54b odczytano F(60°) = 0,49 Q i F(120 ) = 0,150; stąd F(l,6) = 0,490 - 0,150 = 0,240. W ten sposób można uzyskać rozkł ad F ( k u ) . Przykł ad rozkł adu F(k u ) uzyskany na podstawie rysunku 55a i 54b podano na rysunku 55b. 0 kuj 0.5zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWV f 30 C0 90 (20 190 I8D ),0 1,2 U 1,6 Rys. 55. Sposób wyznaczania rozkł ad F ( k u ) ; a) zależność funkcyjna = f(cj>) k^ = [15]; b) rozkł ad F(k u > wyznaczony z rysunku a Współ czynniki przepięć wymuszonych i swobodnych stanowią dwóch zmiennych losowych, które mogą być rozważane jako ukł ad niezależne. Stąd znając rozkł ady dla k w i k u można określić rozkł ad dla współ czynnika przepięć ł ączeniowych k dwóch zmiennych losowych. traktując k i k ł ącznie jako iloczyn 6. PUŁAPKI ZWIĄ ZANE ZE STOSOWANIEM STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ 6.1. Statystyka a wiedza inżynierska Przy korzystaniu z metod statystycznych istnieje jedno lecz po- ważne niebezpieczeństwo polegają ce na formalnym, bezkrytycznym stosowaniu statystyki matematycznej. Skutki takiego podejścia mogą być tro- jakie. 1. Oderwanie się od fizycznych podstaw mię dzy prawdopodobieństwem a mechanizmem wyładowań elektrycznych; w oparciu o statystykę matematyczną oprócz uogólnień inżynier winien uzyskanych analizować wynik każdej pojedynczej próby w oparciu o znajomość fizyki badanego zjawiska. Uzyskane w ten sposób informacje są ważań statystycznych, pozwalają cennym uzupełnieniem do rozo postawić hipotezę rozkładzie lub zrozumieć sens przyjmowanych założeń. Zaleceniem jest wię c jak najbardziej krytyczne podejście do stosowania każdej szczególnej funkcji statystycznej i konsekwentne łą czenie dyskusji statystycznej z dyskusją dotyczą ce aspektów fizycznych, jeżeli tylko jest to możliwe. 2. Nie branie pod uwagę izolacji wewnę trznej są zmian w czasie obiektu badań; w przypadku to problemy starzeniowe czy problemy kondycjo- nowania: zjawiska takie mogą zakłócać niezależność statystyczną po- szczególnych doświadczeń. 3. Nie uwzglę dnienie specyfiki zastosowanej metody badawczej i wpływu tej metody na uzyskiwane wyniki. Tak wię c stosowanie statystyki matematycznej musi być wsparte solidną wiedzą inżynierską i wymaga skrupulatności i rzetelności. 6.2. Pułapki statystyki i elementarne porady praktyczna 1. Podstawową niekonsekwencją przy stosowaniu nych jest niezależność etapów planowania badań metod statystycz- i opracowywania wyni- ków. Tylko w przypadku gdy zasady statystyki matematycznej są stane zarówno w jednym jak i drugim etapie osią ga się wykorzy- założony nie- przypadkowy cel. Zatem godne polecenia jest dobieranie metod ekspery- 162 mentu, niezbę dnej liczności próbki wyników i metod ich pod ką tem zamierzeń a nie poszukiwanie "jakichkolwiek" opracowania metod staty- stycznych do posiadanych wyników eksperymentu. 2. Wyniki obliczeń statystycznych są śli tylko "nie wydają trudne do skontrolowania je- się " być niedorzeczne. Takie metody kontroli obliczeń jak [l] : - dziedzina prawdopodobieństwa <0,l>, - warunek niemalenia wartości dystrybuanty, - jednostkowa wartość całki z funkcji gę stości, - jednostkowa wartość sumy prawdopodobieństw układu zupełnego zdarzeń, stanowią zestaw wstę pnych środków kontroli, tylko w małym stopniu za- pewniają cy poprawność wyniku. Godnym polecenia jest wię c przejrzyste i konsekwentne, od szeregu rozdzielczego i kumulacyjnego do ostatecznego wyniku, dokumentowanie wnioskowania statystycznego. Każdy z elementów wnioskowania statystycznego jest nośnikiem dodatkowej informacji mogą cej ustrzec od błę du. 3. Posługiwanie się wartościami średnimi jest powszechne, na prostym obliczeniu i czę sto uzasadnione teoretycznie. w technice wysokich napię ć w powszechnym użyciu oparte Przykładowo jest pię ćdziesię cio- procentowe napię cie przeskoku (lub przebicia) oznaczone jako U C Q , szacowane czę sto jako średnia z zaobserwowanych napię ć przeskoku. W sensie statystycznym U 5 Q jest medianą czyli wartością zmiennej losowej, dla której prawdopodobieństwo wynosi 0,5. Zatem posługiwanie się tością średnią jako oszacowaniem mediany jest poprawne war- tylko wówczas gdy rozkład jest rozkładem symetrycznym (np. Gaussa), zaś ze wzrostem asymetrii rozkładu błą d posługiwania się średnią rośnie. Inny błą d wynikają cy z nieuzasadnionego posługiwania się warto- ściami średnimi może wynikać z różnicy w tendencjach zmian mię dzy wartościami średnimi a ekstremalnymi. Typowym przykładem mogą leżności naprę żeń przebicia odstę pów olejowych od być tu za- obję tości oleju szczególnie naprę żanego (rys. 40a i b) gdzie wykres dla wartości średnich (a) zasadniczo różni się od wykresu uzyskanego dla wartości zmien- nej o prawdopodobieństwie bliskim zeru (b). 4. Pewne wą tpliwości budzi czasem posługiwanie się bulla, głównie w zakresie rozkładu tuójparametrowego trzech nieznanych parametrów stwarza pewną rozkładem Weigdy szacowanie trudność. Należy jednak pod- kreślić, że wówczas gdy rozeznanie mechanizmu zjawiska jednoznacznie wskazuje na istnienie pewnej progowej wartości zmiennej losowej, tyl- ko trójparametrowy rozkład może zapewnić oszacowania poprawne. Stosowanie rozkładu dwuparametrowego, mimo formalnie spełnionych kryteriów statystycznych, prowadzi do oszacowań zasadniczo różnych i raczej niepoprawnych. 5. Posługiwanie się jaką kolwiek z zależności statystycznych runkowane jest zawsze spełnieniem określonych założeń. W uwa- przeciwnym przypadku popełniony zostaje błą d, który przy formalnej "poprawności" wyniku nie bę dzie wykryty. Przykładem może być stosowanie testu zgod2 nościzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA X (pkt. 2.3.6.5) w metodzie dystrybuanty empirycznej zamiast w metodzie histogramu, dla której to metody został opracowany. Dobrze jeśli błą d taki popełnia się świadomie i znana jest jego tendencja. 6. Zarówno poziom ufności jak i poziom istotności nie mogą określone z jakichkolwiek założeń teorii prawdopodobieństwa styki matematycznej. Dla wyboru wartości tych poziomów się intuicję i doświadczenie i zwykle zaleca się wykorzystuje wartości 0,95 i 0,05. Wzrost wagi rozważanego problemu lub jego błahość mogą czynę być i staty- stanowić przy- wzrostu lub obniżania tych wartości [l]. Należy dodatkowo podkreślić, że testy zgodności (pkt. 2.3.6) mimo iż formalnym warunkiem ich stosowania jest liczność od 10, dają próbki wię ksza wiarygodne wnioski dopiero przy licznościach powyżej 50 [l] . LITERATURA [l] A b e z g a u z G. B. , K o r o w i n a I. A. P . , K o p e n k i nzyxwvutsrqponmlkjihgfedc 3. N . , T r o n A . : Ra c h u n e k prob ab ilistyc zny. P o r a d n i k , Wyd. MON, Wa r s za w a 1 9 7 3 . zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCB [2] A jr e K c a H zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA R p o B r . H . , r e p a c H U O B W. A. : 3JLCKT pH iecK an npoiHOCTB B03flyiuHeK HSOJIHUHH noflciaimH H npn Kotiuy- TaitHOKHhix nepeH anpflxeH H H X. 3JieKTpn iecTBo te 1, [ 3 ] A j i e K c a H f l p o B B e T T e p B. E . : r. H ., ii B a H o B 3jreKTpK<iecKaH L H M poEaH ne JiMHMft SJieK ipcn epeflaiH 23- 31. I n e - irapyscHoH BH C OKO- 1969. p c o B CBepxBbicoH oro I. J l. : npoeKTH - HaupHHeHMH. Sn.ep- 1 9 8 3 .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPON roaTOM M 3aar, JleH iin rpaa [ 5 ] A n d c r s o n D e u c. B. J . , npcm H ociB BOJIBTH OR H30JIHUMH. 3H ep r ws, JleHWHrpaa [ 4 ] A a e K c a H H P O ^ 1979, R. B . , E r i k s s o n A. J.: meters for engineering application. Electra Lightning para- No 69, March 1980, p. 65rl01. f6] A n t o n i e w i c z [7]Au A., C i o k 3.: Własności dielektryków. Warszawa 1971. Z . , M a k s y m i u k 3.: Łą czniki energo- elektryczne średnich napię ć. Stan istnieją cy i tendencje rozwojowe. WNT, Warszawa, 1984. [8] 8 a k k e n J.: Determination of characteristical voltages in impulse and switching surge testing, IEEE (1966), paper No 31. [9] B e n j a ni i n 3. R., C o r n e 1 1 CA.: Rachunek prawdopo- dobieństwa, statystyka matematyczna i teoria decyzji dla inżynierów, WNT, Warszawa, 1977. [lO]Berger K . , A n d e r s o n R. B., K r o n i n g e r H.: Parameters of lightning flashes, Electra No 41, 1975, s. 23- 37. [li] B r o w n G.: Method of maksimum likelihood applied to the ana- lysis of floshover data, IEEE Trans. on PAS, 1969, No 12, s. 1823- 1830. [12] 0 r o w n G.: The Weibull distribution: some dangers with its use in insulation studies. IEEE Trans, on PAS, vol. PAS- 101, No 9, September 1982, s. 3513- 3522. 165 [13J C a r r a r a G . , O e l l e r a L.: up- an d- down m ethod i n s t a t i s t i c a l No 2 3 , 1972, s. quen cy p a r t i a l d i s c h a r ge [15] [16] S.: I m p u lse breakdown I n su la t io n , fo r t h e d e t e r m ł n a t i o n of vo l and power fr e - liq u id s. E I - 2 0 , No 2, Ap r il 1985, D o k o p o u l o s the d ielec t r ic GIGRE 12- 72/ WG power t r a n s f o r m e r s , lich keit 1971, ve r fa h r e n s. F e s e r W . , F 6 r st e r zu r Bestim m ung d e r von I s o l i e r s t r e c k e n . 2/ 3, procedures von E l e k t r o t e c h n .zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVU 2., 1968, A 8 9 , Nr 7. [ l 7 ] E b e r s b e r g e r H . , H a u s c h i l d St a t ist isc h e t est 03/ 08. P . : D ie O u r c h s c h l a gs w a h r s c h e i n l i c h k e i t H o c h sp a n n u n ysi so l je r u n ge n . [lB] E lect ra 315- 319. C riteria fo r an e xt a n d e d i n c e p t i o n vo l t a g e s of i n s u l t i n g IEEE T r a n s, on E l e c t r i c a l s. of in su la t io n , 159- 177. S . , Y a k o v [14] C e s a r i Ac c u rac y t e s t i n g of Wiss. K.H .: D u r c h sc h l a gwa h r sc h e i n - Z. E l e k t r o t e c h n . , L c ip zig 17, 117- 132. K . , N i e d e r h a u s e r vo l t a ge im p u lse t est s, R .: Au t o ro at io n World E l e c t r o t e c h n i c a l of C o n gr e ss, h igh Moscow 1977. [19] F i r k o w i c z wa [20] S t a t yst yc z n e b a d a n i e wyrobów, WNT, Warsza- Z . : T ren dy rozwojowe o c h r o n y odgrom owej F l i s o w s k i li. [2l] S.: 1970. P o st ę p y t e c h n i k i wyso kich n a p i ę ć , F l i s o w s k i z. [22] z. 5, 1983, F r y x e 1 1 CIGRE, r e p . [23] s. 3.: 423 [24] G i a o P r z e glgd 1986. ochro- E lekt rot ech n icz- 221- 225. D e t e r m i n a t i o n of c r i t i c a l wi t h s t a n d vo l t a ge s. ( 1966) . r a ji a M Ó o i n pfiitKOBŁix budow- PWN, Warszawa Z . : Z a gr o ż e n i e p io r u n o we i sk u t e c z n o ść ny bu d o wli w b a d a n i a c h i n o r m a l i z a c j i . n y, 17, fl.: AcwunTOTMuecKafi TeopwH 3KCTpe.ua^BH ux n o - H ayica, MocKBa 1 9 8 4 .zyxwvutsrqponmlkjihgfedc craTJfCTWK T r i n h N . , V i n c e n t C, R e g i s stical dielectric degradation of large- volume IEEE Trans, on PAS, vol PAS- 101, No 10, October, oil 0.: Statiinsulation. 1982, s. 3712- - 3721. [25] G u m b e 1 E.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJI 3.- . Statistics of Extrenies. Columbia University Press, New York 1960. [ 2 ć ] H a s t e r m a n Z . , M o s i ń s k i W yt r z ym a ł o ść e l e k t r y c z n a sza wa 1 9 8 3 . F . , M a l i s z e w s k i A.: t r a n s f o r m a t o r ó w e n e r g e t y c z n y c h . WNT, Wnr- 166 [27] H a u s c h i l d W.,Mosch W.: Statistik fiir Elektrotech- niker. Eine Darstellung an Beispielen aus der Hochspannungstechn i k . VEB Ve r l a g T e c h n i k , B e r l i n 1 9 8 4 . [28] H y l t e n - C a v a l l i u s N . , C h a g a s F . A. : P o ssible zyxwvutsr precision of statistical insulation test methods. IEEE Trans, on P AS, vo l PAS - 1 0 2 , No B, Au gu st 1 9 8 3 , s . 2 3 7 2 - 2 3 7 6 . [ 2 9 ] H y l t e n - C a v a l l i u s N . : Some a s p e c t s a b o u t t h e i n formation gained from high voltage tests. CIGRE rep. 405, 1956. [30] IEC 71- 2. Insulation coordination. Part 2: Application Guide, second edition, 1976. [3l] J a k u b o w s k i J. L.: Podstawy teorii przepię ć w układach energoslektrycznych. PWN, Warszawa 1968. [32] J a ł o c h a A.: Technika wysokich napię ć, cz. II. Przepię cia i ochrona przeciwprzepię ciowa. Wydawnictwo PŁ, Łódź, 1974. [33] K a h 1 e M.: The influence of properties of weak points on to breakdown field strength of solid insulations materiał. World Electrotechnical Congress, June 21- 25, Moscow, 1977. [34] K a p u r K. C . L a m b e r s o n L. R.: Reliability in engin e e r i n g d e s i g n . 3o h n Wi le y a n d S o n s , New Yo rk 1 9 7 7 . [35] K i s h i z i m a I . , M a t s u m o t o K . , W a t a n a b e New facilities for phase to - phase switching some test results. IEEE Trans, on PAS, 1984, s. 1211- 1216. vol Y. : inipulse test and PAS- 103, No 6, June K o Ji K e p 74. r . : Bo3seflcTBiia rpo3OBH x paspnflOB c Ha 3i30JiHqjrio BO3ayuiHHx JIKHHB a jie it T p o n e p e a a m . , K? 8, 1984, c . 1 3 - 1 9 . [38] [3?] [40] K o p o JI ra K B. C : CupaBoiHMK no Teopwn BeponTHOCTeK zyxwvutsrqponmlk a KSTeKaTimecKoB crarH C TH Ke. HayKOBa ayu K a, K^eB 1978. K o s z t a l u k R .: I z o l a c j a s i e c i s k r a j n i e wysokich n a p i ę ć . P r a c e I n s t y t u t u E n e r ge t y k i , Warszawa 1975. K o s z t a l u k R .: T ec h n ika bad ań wyso ko n a p ię c io wyc h . T. 1, WNT, Warszawa 1985 ( J . M aksim iuk r o z d z . 1 1 . S t a t y s t y k a w t e c h n i ce wyso kic h n a p i ę ć ) . K r y s i c k i W . , B a r t o s W . , D y c z k a W., K r ó l ik o w s k a K . , W a s i l e w s k i M .: E lem en t y p r o b a b i l i s t y k i w z a d a n i a c h . Wyd. P o i . Ł ó d z k i e j, Łódź 1984, t . 1, Łódź 1986, t . 2. [41] K u ć e r a O . , B e r a nzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONML 3.: Rozbor presnosti interpolacnich metod pro stanoveni vydr?neho napeti. Cis. 3, s. 137- 143. Elektrot. Obzor 62 (1973) 167 [42] K u ć e r a 0.: Pravdepodobnosti koordinace mczefśzoye izolace Obzor 70 (1981). Ćis. 10, pfi funkci srodiću prepeti. Elektrot. s. 548- 554. [43] K u ć c r a J.: fiisk of failure by switching tion systems with surge diverters. Acta No 1, [44] s. surges in insula- Technica 1982,zyxwvutsrq ĆSAV, 59- 67. K u ć e r a J . , V a l e n t a L.: D iffe r e n t ia t io n va r i a n c e of breakdown vo l t a ge s on sa m p le s T ec h n ic a CSAV, No 4, 1975, s. of of Acta 469- 478. [45] K y i J H H C K W f t I 1 . C . : laCTHUHHe pa3pnabt KOHCTpyKUHHx. SHeprzn, JleHUHrpaj 1979. [46] l e s i ń s k i in c a u so in su la t io n . B BHCOKOBOJIBTHbDC S.: Niezawodność łą czników energoelektrycznych. WNT, Warszawa 1983. [47] L e w i s P. A. W.: Distribution of the Anderson- Darling stati- stics. Annals of Math. Statistics, 1961, vol 32, 1118- 1124. [48] L i u S h a o - C h u n : Statistical properties of steady state impulse breakdown voltage for commercial vacuum interrupters. IEEE Trans, on Electrical Insulation, vol EI- 18, No 3, Oune 1983, s. 325- 331. [49] M a k s y m i u k J . , W o h l m u t h F.: Metody statystyczne w inżynierii elektrotechnicznej. Wyd. Poi. Warszawskiej. Warszawa 1981. [50] H a n n N. R . , S c h a f e r R. E . , S i n g p u r w a l l a N . D.: Methods for statistical analysis of reliability and life data. aohn WLley and Sons, New York 1974. [51] M a r k u s s e n K. A.: Uncertainty in results of high voltage tests on internal insulation. Electra, No B, 1969, s. 41. [52] M a z u r e k B.: Rozwój wyładowań elektrycznych w wysokonapię - ciowej izolacji próżniowej. Zagadnienia wybrane. Praca Naukowa Inst. Podst. Elektrot. i Elektrotechn. Poi. Wrocławskiej, seria: Monografie Nr 7, Wrocław 1984. [53] M o s i ń s k i F.: Badania modelowe i statystyczna obróbka wy- ników pomiarów wytrzymałości izolacji papierowo- olejowej, ZNPL, Zeszyt Specjalny, Nr 12, 1975, s. 137- 156. [54] M o s i ń s k i F.: Badanie i prognozowanie wytrzymałości elek- trycznej udarowej izolacji papierowo- olejowej typu transformatorowego, Postę py Techniki Wysokich Napię ć, PWN, Warszawa 1985. 168 [55] M o s i ń s k i F . , F r o n c A.: Rozkład prawdopodobieństwa napię ć przebicia modeli izolacji papierowo- olejowej. Rozprawy elektrotechniczne 1982, 28, z. 3- 4, s. 429- 439. [56] M o s i ń s k i F . , G a l o c h kładu Weibulla metodą J. : Szacowanie parametrów roz- najwię kszej wiarygodności. ZNPL Elektryka, z. 73, 1984, s. 137- 142. [57] M o s i ń s k i F.:0 statystycznej obróbce wyników pomiarów wy- trzymałości izolacji nieregenerują nej się . Rozprawy Elektrotechniczne Nr 3, 1976, s. 709- 725. [58] M o s i ń s k i F.: Rozkład prawdopodobieństwa uszkodzenia tran- sformatora w czasie prób dielektrycznych. Prace Instytutu Elek- trotechniki, z. 84, 1974, s. 63- 76. [59] M o s i r t s k i F.: Technologiczny i elektryczny rozrzut napię ć przebicia izolacji papierowo- olejowej. ZNPŁ Elektryka, z. 57, 1978, s. 49- 57. [60] M o s i ń s k i F.: Uproszczone metody szacowania najwyższego napię cia wytrzymywanego izolacji papierowo- olejowej. ZNPL Elek- tryka, z. 60, 1977, s. 35- 48. [61] M o s i ń s k i F . , W a r z y w o d a 3.: Statystyczne opraco- wanie wyników pomiarów wytrzymałości izolacji zewnę trznej. ZNPL Elektryka, z. 45, 1975, 97- 110. [62] M o s i ń s k i F.: Zastosowanie teorii do oceny wytrzymałości elektrycznej transformatorów energetycznych. ZNPL wartości ekstremalnych izolacji wysokonapię ciowych Rozprawy Naukowe, Nr 62, 1984, s. 28- 29. [63] M o s i ń s k i F . , Ż e r o m s k a rozkładu Weibulla metodę K,: Estymacja najwię kszej wiarygodności niu do wyników prób wytrzymałości udarowej izolacji parametrów w zastosowapapierowo- - olejowej. Mat. VII 5ymp. n.t. Zastosowanie maszyn matematycznych w elektrotechnice, Łódź 1974, s. 159- 166. [64] M u r a n o M . , M e n j u I n o u e S.,Ikeda M . , H a s e g a w a N., T.: Experimental extension of volume effect on break- down of transformer oil, 1974. Winter Power Meet., New York, January 27- February 1, C 74 236- ś. [65] PN- 74/N- 01051 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matema- tyczna. Nazwy, określenia i symbole. [66] PN- 70/E- 04067 Pomiary wysokonapię ciowe. Próby napię ciem łą czeniowym. 169 [67] PN- 75/E- 044060. Pomiary wysokonapię ciowe. Prdby napią ciem prze- miennym. [68] PN- 75/E- 04061. Pomiary wysokonapię ciowe. Próby napię ciem udaro- wym piorunowym.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA [69] n o r i K O B B. H . , J [ H n H H A . r . , 3jieKTpimecKaH npoiHOCTŁ C auaflaniBH JiH ajieraaoBoft W30JTH IU IH . CCCP, 3H epreTH i<a H TpaH cn opT, fó 3 , 1984, [70] P a 3 e B- K r 2. B.: S i e T. H . , W o h l f a h r t S yst e m s. IEEE T r a n s, S l a n i n k a dielektrika Ć is 1, [73] s. 0.: C on tribution on PAS, vo l . s. to the oil- paper P AS- 88, NO 6, 1969, raeasur- in su la t io n s. 862- 868. p e vn o st v homogennom e l e k t r i ć k o m p o l i . E lekt r o t . Obzor ( 1976) 42- 45. S l a n i n k a Ć is 1, of P . : K o t a z k e vp lyvu h ru bky na e l e k t r i c k u P . : M o d elo va n ie ś t a t i s t i c k y c h p e vn o st i e l e k t r o i z o l a ć n y c h m a t e r i a l o v [74] 95- 102. 19 7 5 . ement of t h e im p u lse wi t h st a n d vo l t a ge [72] fl.: M eiojw T e o p r a BepoaTH Ocrefi B rexH H Ke B H - COKWX H anpH KeH uu. MocKBa [71] c. A. W3 B . AKaa. HayK ja vo v elektrickej a syst e m o v. EKT 32, 1979, 25- 32. S m i r n o w N. W., D u n i n - B a r k o w s k i rac h u n ku p r a wd o p o bień st wa i s t a t y s t y k i sowań t e c h n i c z n yc h . PWN, Warszawa I . W.: m a t e m a t yc z n e j d l a Kurs za st o - 1973. [75] C r e n a n i y K K. $ . : K a o n p o c y 06 WMnyjiBCHh:x ncnuTaHHHx 0(3pa3U0B H30J1HUHH. SH epreTH Ka H By3, N? 1 1 , 1972. [76]zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA G i e u a n ^ y K K. $ . : JlHHewHaji u o ^ ejii pa3pymeHHH u aH ajins KpaiKOBpeHeHHoa n p o iH o c iH KaK MepH cTapeniiH H3OHHUHH. D K e p r e r a ica MBY3, te 2 , 19 8 1, c . 8 7 - 8 9 . [77] S z p o r S.: Ochrona odgromowa. Wyd. II, t. I, WNT, Warszawa 1973. [78] T o m ć i k J . , S h e h a t a M. A.: Pfispevek ko statisticke- rnu zpracovani razovych mereni. Elektrot. Obzor 68 (1979) Ćis 2, s. 92- 94. [79] W e b e r K. H . , E n d i c o t t H. S.: extremal basis for the electric breakdown Area of effect and its transformer oil. AIEE Trans., vol. 75, pt III, June 1956, s. 371- 381. [80] W e r k o w s k i A.: Dokładność oceny minimalnej wytrzymałości izolacji jako czynnik decydują cy o wymiarowaniu. Prace IE1. z. 120, 1982, s. 5r24. 170 [Bl] V e v B r k a A.: Aproximaco Gaussovy funkce Weibullawym rozło- źenłm. Elektrot. Obzor 69 (1980) Cis. 2, s. 69- 72. [32] V e v e r k a A.: KonvenćnizyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPO a souctava zśvislost prevdśpodobno- sti preskoku, Elektrot. Obzor 64 (1975), Ćis 12, s. 718- 720. [83] W i d m a n n W.: Das Vergrosserungsgesetz in der Hochspannungs- technik. Elektrotechn. Z., 1964, A 85, Nr 4. [84] W i l s o n W. R . : A fundamental factor controlling dielectric strength of oil. AIEE Trans., 1953, [85] pt. the unit III PAS, February s. 68- 74.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA W d j c i k A. R . , U b y s z - B o r u c k a L, Z i e l i ń s k i W.: T a b l i c e s t a t y s t y c z n e . Wy d . SGGW- AR, Wa r s za w a 1 9 8 4 . [86] Y a k o v S.: Considerations about the impulse test procedurę for power tuansformers. Electra No 55, December 1977, s. 5- 23. [87] Z i e l i ń s k i R.: Tablice statystyczne. PWN, Warszawa 1972. [B8] Z i e l i ń s k i 3. 3.- . Przykłady zastosowania statystyki ma- tematycznej w wysokonapię ciowej technice probierczej. Prace IE1. z. 89, 1975, s. 73T83.