Proračun prednapetih provješenih mostova

UDK 624.5.012.46:624.043 Primljeno 24. 7. 2009. Proračun prednapetih provješenih mostova Ivan Kalafatić, Jure Radić, Zlatko Šavor Ključne riječi I. Kalafatić, J. Radić, Z. Šavor Izvorni znanstveni rad provješeni most, pješački mostovi, prednapinjanje, proračun, zahtijevana geometrija, natega, montaža Proračun prednapetih provješenih mostova Prikazuje se postupak proračuna prednapetih provješenih mostova s ciljem postizanja zahtijevane geometrije rasponskog sklopa pod djelovanjem vlastite težine prema uvjetu uporabljivosti pješačkih mostova. Optimizira se potreban broj nosivih natega za montažu mosta i dodatnih natega za naknadno prednapinjanje. Rezultat toga je definiranje postupka montaže kojim je određena potrebna duljina natega, njihov oblik i sila na mjestu sidrenja pod djelovanjem njihove vlastite težine. Key words I. Kalafatić, J. Radić, Z. Šavor stress-ribbon bridge, footbridges, prestressing, analysis, required geometry, tendon, construction Analysis of stress-ribbon bridges Original scientific paper The analysis of stress-ribbon bridges, aiming at attaining the required bridge superstructure geometry under dead weight action, based on the serviceability criteria for footbridges, is presented. The required number of tendons for the construction of the bridge and the number of additional tendons needed for post-tensioning, is optimized. The final result is the choice of the appropriate construction procedure, which defines the required tendon lengths, tendon shapes, and the prestressing force at the anchoring point under the action of their self-weight. Mots clés I. Kalafatić, J. Radić, Z. Šavor Ouvrage scientifique original structure caténaire, passerelle, précontrainte, analyse, géométrie requise, étrier, assemblage Analyse des ponts caténaires Ключевые слова И. Калафатич, И. Радич, З. Шавор подвешенный мост, пешеходные мосты, предварительное напряжение,расчет, требуемая геометрия, затягивающий элемент, монтаж Расчет предварительно напряженных подвешенных мостов Schlüsselworte I. Kalafatić, J. Radić, Z. Šavor Spannbandbrücke, Fussgängerbrücken, Vorspannung, Berechnung, verlangte Geometrie, Vorspannkabel, Montage Berechnung von Spannbandbrücken Les auteurs présentent l'analyse des ponts caténaires qui sont utilisés pour obtenir la géométrie requise de la superstructure soumise à l'action de son poids propre, et cela dans les conditions d'emploi applicables aux passerelles. Le nombre des étriers nécessaires pour l'assemblage structurel, ainsi que le nombre des étriers additionnels nécessaires pour la post-tension, ont été optimisés. Le résultat final est la procédure d'assemblage dans laquelle la longueur des étriers, la forme des étriers, et la force au point d'ancrage, sont déterminées, compte tenu de poids propre. Opигинальная научная работа Показывается процедура расчета предварительно напряженных подвешенных мостов с целью достижения требуемой геометрии пролетной конструкции под действием собственного веса, согласно условиям эксплуатации пешеходных мостов. Оптимизируется необходимое число несущих затягивающих элементов для монтажа мостa и дополнительных затягивающих элементов для последующей процедуры предварительного напряжения. В результате определяется cпocoб монтажа, которий определяет необходимую длину затягивающих элементов, их вид и силу в месте установки анкера, возникающую под действием их собственного веса. Wissenschaftlicher Originalbeitrag Dargestellt ist ein Berechnungsverfahren für Spannbandbrücken mit dem Ziel die verlangte Geometrie der Überbau unter dem Einfluss des Eigengewichts zu erreichen, nach der Bedingung der Nutzbarkeit von Fussgängerbrücken. Man optimiert die notwendige Anzahl der Vorspannkabel für die Montage und der zusätzlichen Vorspannkabel für das nachträgliche Vorspannen. Das Ergebnis ist das Definieren des Montageverfahrens womit die notwendige Länge der Vorspannkabelt, deren Form und die Vorspannkraft an der Stelle der Ankerung unter dem Einfluss deren Eigengewichtes bestimmt sind. Autori: Mr. sc. Ivan Kalafatić, dipl. ing. građ.; prof. dr. sc. Jure Radić, dipl. ing. građ.; prof. dr. sc. Zlatko Šavor, dipl. ing. građ., Sveučilište u Zagrebu, Građevinski fakultet GRAĐEVINAR 61 (2009) 9, 827-836 827 Proračun prednapetih provješenih sklopova I. Kalafatić, J. Radić, Z. Šavor 1 Uvod Provješeni mostovi ubrajaju se u najstarije tipove nosivih konstrukcija. Arheološki nalazi potvrđuju da su drevne civilizacije u Aziji, Južnoj Americi i ekvatorijalnoj Africi gradile jednostavne provješene mostove nekoliko stoljeća prije naše ere. Suvremeni provješeni mostovi počinju se graditi 60-ih godina dvadesetog stoljeća. Sastoje se od uzdužnih provješenih čeličnih natega ili čeličnih vrpca koje nose kolničku ploču male debljine. Redovito su namijenjeni samo pješačkom i biciklističkom prometu iz dva osnovna razloga: 1) osjetljivi su na dinamička djelovanja, naročito na vibracije uzrokovane brzim prijelazom težeg vozila 2) lom nivelete na upornjacima nije pogodan za brzu vožnju automobila. Uzdužni nagib nivelete na krajevima mosta ne može se proizvoljno smanjiti jer je neophodan provjes konstrukcije, kako bi se horizontalne sile u nosivim nategama zadržale u dopustivim granicama. Standardni odnos provjesa i raspona f/L kreće se između 1/50 i 1/60. Raspon na takvih konstrukcija sagrađena je od prednapetog betona. Sastoji se od armiranobetonske kolničke ploče koja visi na nosivim nategama. Moguće je premostiti jedan ili više raspona. U prvoj fazi gradnje nosive se natege kontinuirano vode preko stupova i sidre u upornjacima. Na njih se vješaju predgotovljene armiranobetonske ploče (montažni sklopovi) ili se na nategama izvodi armiranobetonska ploča na licu mjesta (monolitni sklopovi). Natege se nakon završetka svih radova nalaze u poprečnom presjeku kolničke ploče. Krutost i stabilnost provješenih mostova ponajviše ovisi o geometrijskom obliku konstrukcije, a manje o širini i debljini kolničke ploče. Njihovi su osnovni nedostaci velika horizontalna sila koju moraju preuzeti upornjaci i osjetljivost na dinamičke uzbude. Horizontalna sila na upornjacima prenosi se u tlo geotehničkim sidrima, temeljenjem na pilotima ili dijafragmama. Zbog velikih troškova preuzimanja horizontalnih sila, njihovo je građenje opravdano za raspone veće od 50 m. Strasky [1] polumontažnu je metodu izvedbe prednapetoga armiranobetonskog provješenoga sklopa usavršio L Upornjak Upornjak Provjes f Slika 1. Uzdužni presjek konstrukcije jednorasponskoga provješenog mosta Prema tipu nosive konstrukcije dijele se u dvije osnovne skupine. Jednostavniji tip konstrukcije sastoji se od dviju ovješenih natega ili čelične vrpce na kojima leži kolnička ploča. Karakterizira ga zanemariva krutost na savijanje. Njegov osnovni nedostatak jest velika fleksibilnost, odnosno veliki pomaci pod djelovanjem vjetra i pojava vibracija pri malom dinamičkom opterećenju. Težina rasponske konstrukcije i unutrašnje prigušenje ograničavaju deformabilnost nosivih natega ili čeličnih vrpca. Kod drugog su tipa konstrukcije nosive natege kontinuirano povezane s kolničkom pločom, čime se postiže krutost duž čitave rasponske konstrukcije. Stoga je manje osjetljiv na dinamička i horizontalna opterećenja. Veći828 sedamdesetih godina prošlog stoljeća. Montažna je izvedba ekonomski isplativija zbog znatno manjeg udjela ljudskog rada i angažirane opreme na samom gradilištu u odnosu na gradnju monolitne konstrukcije jer se rasponski sklop izvodi bez uporabe skele. Stoga se danas provješene prednapete armiranobetonske ploče uglavnom izvode polumontažnim postupkom. 2 Izvedba prednapetoga provješenoga rasponskoga sklopa Postupak izvedbe jednorasponskoga provješenog mosta: 1.) izvedba upornjaka i geotehničkih sidara 2.) montaža nosivih natega 3.) montaža predgotovljenih armiranobetonskih ploča rasponskoga sklopa GRAĐEVINAR 61 (2009) 9, 827-836 I. Kalafatić, J. Radić, Z. Šavor Proračun prednapetih provješenih sklopova 4.) provlačenje natega za naknadno prednapinjanje kroz otvore u predgotovljenim pločama 5.) sprezanje nosivih natega sa predgotovljenim elementima rasponskog sklopa betoniranjem in situ 6.) prednapinjanje i injektiranje Rasponski se sklop prednapinje kada beton izveden in situ za sprezanje nosivih natega i kolničke ploče dostigne zahtijevanu čvrstoću. Preporučljivo je izvršiti djelomično prednapinjanje nekoliko sati nakon betoniranja, čime se smanjuje raspucavanje betona in situ. Natege za prednapinjanje Nosive natege Slika 2. Poprečni presjek kolnika provješenog mosta petoga mosta uzimajući u obzir stvarnu duljinu rasponske konstrukcije i različite visine sidrenja kolnika u upornjake. Osnovni je cilj postizanje zahtijevanog provjesa konstrukcije pod djelovanjem vlastite težine nakon završetka gradnje mosta i optimizacija broja nosivih natega i natega za naknadno prednapinjanje. U ovom radu izmijenjene su jednadžbe za provješenu nategu, prikazane u [1], čime je omogućeno praćenje naprezanja u pojedinim elementima poprečnog presjeka tijekom gradnje. Prema uvjetu uporabljivosti maksimalni je uzdužni nagib nivelete pješačkih mostova 12 %. Nosive natege pod djelovanjem vlastite težine q poprimaju oblik lančanice. Užad pod djelovanjem jednolikoga kontinuiranoga vertikalnog linijskog opterećenja q na horizontalnoj projekciji natege poprima oblik parabole. Odnos provjesa u sredini raspona i horizontalne udaljenosti sidrišta za parabolu iznosi f/L = 0,25·(12 %) = 0,03. Horizontalna sila H za oblik parabole i lančanice gotovo je identična za maksimalno dopušteni uzdužni nagib kolnika. m= H/q L/2 10 5 2 1 Slika 3. Armiranje mokrog čvora na spoju predgotovljenih segmenata 0.5 parabola katenoida 0.2 3 Prethodno dimenzioniranje Prema dostupnim je podacima Japan jedina zemlja na svijetu s definiranim dokumentom za dimenzioniranje i izgradnju provješenih mostova [2]. Pojednostavnjeni postupak dimenzioniranja provješenih kolnika, prikazan u navedenom dokumentu, temeljen je na teoriji Eibla [3] zanemarujući različite visine sidrenja kolnika na upornjacima. Stvarna duljina provješenog kolnika zamijenjena je horizontalnom udaljenošću sidrišta na upornjacima. Krutost konstrukcije na savijanje u vertikalnom smjeru vrlo je mala te se zanemaruje. Promatra se duljina rezultirajuće natege pod djelovanjem vlastite težine, promjene temperature i prednapinjanja. U prilogu dokumenta [2] prikazan je primjer dimenzioniranja. Nedostatak je navedenog postupka nemogućnost postizanja željenog provjesa pod djelovanjem vlastite težine konstrukcije nakon završetka gradnje mosta. Prethodni proračun započinje pretpostavljanjem provjesa nosivih natega te određivanjem vlačnih sila pod djelovanjem njihove vlastite težine. Slijedi proračun po fazama gradnje te određivanje provjesa u konačnom stanju koji odstupa od projektirane vrijednosti. U ovome se radu prikazuje postupak prethodnog statičkog proračuna jednorasponskoga provješenoga prednaGRAĐEVINAR 61 (2009) 9, 827-836 0.1 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 nf= f / L 1 5 2 10 Slika 4. Dijagram bezdimenzijskih koeficijenata za parabolu i katenoidu (lančanicu) [4] Uspostavlja se analogija između horizontalne slobodno oslonjene grede i natege opterećene identičnom vertikalnom silom. Horizontalna komponenta sile H jednaka je u svakome poprečnom presjeku natega. q (x) A H x C MHG x · tg B y Q R A1 L H H y R B1 Slika 5. Sile u natezi sa hvatištima na različitoj visini Iz uvjeta ravnoteže slijedi jednadžba linije natege: ∑M C =0 → y= MHG + x ⋅ tgβ H (1) 829 Proračun prednapetih provješenih sklopova I. Kalafatić, J. Radić, Z. Šavor gdje je: Princip superpozicije ne vrijedi zbog nelinearnosti jednadžbe (4). Potrebno je promatrati sva vertikalna opterećenja i promjenu temperature u svakoj fazi gradnje mosta. Izraz (4) može se upotrijebiti samo u slučaju poznavanja duljine neopterećenih nosivih natega i pod uvjetom jednakoga poprečnog presjeka mosta u svakoj fazi gradnje. y – visinski položaj natege u odnosu na ishodište MHG – moment savijanja u horizontalnoj slobodno oslonjenoj gredi H – horizontalna komponenta vlačne sile u natezi x – horizontalna udaljenost promatranog presjeka β – kut između pravca koji spaja sidrišta i horizontale Provjes natege u pojedinom presjeku ovisi o horizontalnoj komponenti H vlačne sile, a H je funkcija provjesa y. Vlačna sila u natezi može se odrediti promatranjem promjene duljine natege prije i nakon nanošenja dodatnoga vertikalnog opterećenja i promjene temperature. Duljina natege pod djelovanjem vertikalnog opterećenja i promjene temperature iznosi: s = s0+Δs+Δst (2) – duljina natege pod promatranim opterećenjem s0 – duljina neopterećene natege Δs – promjena duljine natege zbog vertikalnog opterećenja Uvrštavanjem odgovarajućih vrijednosti u izraz (2) dobivamo: (3) L 1 ⋅ Q 2 ⋅ dx + s 0 ⋅ α t ⋅ Δt E ⋅ A ⋅ H ∫0 AS1 – ukupna ploština nosivih natega EC – modul elastičnosti betona ES1 – modul elastičnosti nosivih natega ES2 – modul elastičnosti natega za prednapinjanje Transformiranjem (3) dobivamo sljedeću jednadžbu koja ovisi o horizontalnoj komponenti vlačne sile u nategi: ⎡ ⎡ ⎤ ⎛ L ⎞⎤ L H3 ⋅ ⎢ + H 2 ⋅ ⎢s 0 ⋅ (1 + α t ⋅ Δt ) − ⎜ ⎟⎥ + 2 ⎥ ⎣ E ⋅ A ⋅ cos β ⎦ ⎝ cos β ⎠ ⎦ ⎣ AC0 – ploština betona predgotovljenih kolničkih ploča i armature AS2 – ukupna ploština natega za prednapinjanje L + 2) spregnuti poprečni presjek AC1 = AC0 + (ES1/ EC)·AS1, koji se sastoji od nosivih natega AS1, armature, betona kolničkih ploča AC, preuzima silu prednapinjanja gdje je: Δst – promjena duljine natege zbog promjene temperature L cos β H L + ⋅ Q 2 ⋅ dx = s 0 + ⋅ + 2 ∫ cos β 2 ⋅ H 0 E ⋅ A cos 2β 1) ukupna ploština nosivih natega AS1 prenosi vlastitu težinu, težinu predgotovljenih odsječaka sklopa i beton in situ koji povezuje nosive natege sa predgotovljenim elementima 3) spregnuti poprečni presjek AC2 = AC1+(ES2/ EC)·AS2, koji se sastoji od nosivih natega, armature, betona i natega za naknadno prednapinjanje, preuzima dodatno stalno opterećenje i promjenjiva opterećenja u fazi uporabe. Ploština betona in situ u presjeku je relativno mala te se zanemaruje. gdje je: s Tijekom izvedbe provješenog mosta, ploština poprečnog presjeka rasponskog sklopa mijenja se kako slijedi: (4) ⎡ 1 L 2 ⎤ cos β L 2 +H ⋅ ⎢ ⋅ ∫ Q ⋅ dx ⎥ = ⋅ Q ⋅ dx 2 ∫0 ⎣E⋅A 0 ⎦ gdje je: H – horizontalna komponenta vlačne sile L – horizontalna udaljenost sidrišta Zbog promjene poprečnog presjeka kolnika tijekom izvedbe, potrebno je transformirati jednadžbu (4) uzimajući u obzir silu u natezi prije nanošenja dodatnog opterećenja. Početna duljina natega iznosi: L s0 = L cos β + ⋅ Q0 2 ⋅ dx cos β 2 ⋅ H 0 2 ∫0 (5) gdje je: H0 – horizontalna komponenta sile u natezi prije nanošenja dodatnog opterećenja A – ploština poprečnog presjeka Q0 – funkcija vertikalne poprečne sile na zamjenskoj horizontalnoj gredi prije nanošenja dodatnog opterećenja Δt – promjena temperature Duljina natege nakon nanošenja dodatnog opterećenja: αt – toplinski koeficijent Q – funkcija vertikalne posmične sile na ekvivalentnoj horizontalnoj gredi s1 = E – modul elastičnosti 830 L L cos β + ⋅ Q12 ⋅ dx cos β 2 ⋅ H12 ∫0 (6) GRAĐEVINAR 61 (2009) 9, 827-836 I. Kalafatić, J. Radić, Z. Šavor Proračun prednapetih provješenih sklopova gdje je: H1 – horizontalna komponenta sile u natezi nakon nanošenja dodatnog opterećenja Q1 – funkcija vertikalne poprečne sile na zamjenskoj horizontalnoj gredi nakon nanošenja dodatnog opterećenja Uvrštavajući (5) i (6) u (3) dobivamo: ⎡ cosβ L 2 ⎡ ⎤ L L 2 H13 ⋅ ⎢ + H ⋅ ⋅ Q 0 ⋅ dx + α t ⋅ Δt ⋅ + 1 ⎢ 2 ⎥ 2 ∫ cosβ ⎣ E ⋅ A ⋅ cos β ⎦ ⎣ 2 ⋅ H0 0 L ⎡ 1 L 2 ⎤ H0 ⋅ L ⎤ cosβ 2 ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ∫ Q1 ⋅ dx ⎥ − Q dx H 1 ⎢ 2 ∫ 0 2 ⎥ 2 ⋅ H0 0 E ⋅ A ⋅ cos β ⎦ ⎣E⋅A 0 ⎦ L H cosβ ⋅ Q12 ⋅ dx − 0 ∫ Q12 dx = 0 2 ∫0 E⋅A 0 (7) Osnovni je zahtjev postizanje odabrane nivelete pod djelovanjem ukupnoga stalnog opterećenja. Za odabrani raspon L i provjes fVT iz jednadžbe ravnoteže određuje se ukupna horizontalna silu HVT koju preuzima spregnuti poprečni presjek kolnika AC2 : M (8) H = VT VT f VT gdje je : – moment savijanja u sredini raspona ekvivalentne horizontalne grede pod djelovanjem stalne težine MVT fVT = (y – x tgβ) – provjes u sredini raspona gdje je: Pt – sila prednapinjanja fck – karakteristična tlačna čvrstoća betona rasponskog sklopa Unos sile prednapinjanja u kolnik ovisi o odnosu provjesa i raspona (slika 6). Prilikom prednapinjanja kolnika jednakog raspona s različitim početnim provjesom, veći unos tlačne sile u spregnuti kolnik postiže se u sklopu s većim provjesom. Pritom se uneseni dio sile raspodjeljuje na beton, armaturu i natege spregnute betonom in situ u odnosu njihovih krutosti. Stoga je teško unaprijed procijeniti potrebnu silu prednapinjanja. Ploština natega za naknadno prednapinjanje u prvoj iteraciji određuje se: AS2 = Pt / (0.50 ·fpk) SLUCAJ A Pt (natege) Pt (natege) Pritom je potrebno unaprijed pretpostaviti ploštinu poprečnog presjeka rasponskog sklopa te odabrati ploštinu nosivih natega, natega za naknadno prednapinjanje i silu prednapinjanja. Ploštinu nosivih natega prema [5] za prvu iteraciju preporučljivo je odrediti prema izrazu: H VT 0.55 ⋅ f pk fpk – vlačna čvrstoća čelika za prednapinjanje gVT - ukupno stalno opterećenje GRAĐEVINAR 61 (2009) 9, 827-836 SLUCAJ C Pt (natege) Pt (natege) Pc (betonski kolnik) = 0 1.0 0.5 0.0 0.0 Raspon / Provjes 8 gspr – ukupna težina rasponskog sklopa nakon betoniranja in situ Pt (natege) Pc (betonski kolnik) (9) gdje je: SLUCAJ B Pt (natege) Pc / P t g VT ⋅ Pc (betonski kolnik) Slucaj A Potrebno je transformirati (7) u polinom trećeg stupnja s nepoznatim članovima H0 i odrediti koeficijente uz pojedine članove polinoma. Tražene sile određuju se Newtonovom metodom tangente. g spr (11) Poradi puzanja i skupljanja betona dolazi do smanjenja provjesa i povećanja vlačne sile u kolniku. Prema DIN 1045-1 [6] zbog opasnosti od korozije čelika za prednapinjanje za djelovanje nazovistalnog opterećenja i srednje vrijednosti prednapinjanja za vrijeme t = ∞, maksimalno dopušteno naprezanje u čeliku za prednapinjanje iznosi 65 % vlačne čvrstoće. Gubitak sile zbog trenja se zanemaruje. Zatim je potrebno odrediti silu prije nanošenja dodatnoga stalnog opterećenja HPR uvrštavajući H1 = HVT i H0 = HPR u izraz (7). AS1 = (10) Slucaj C L − Pt = AC1 · (0,25 · fck) Slucaj B +α t ⋅ Δt ⋅ Silu prednapinjanja nakon početnih gubitaka za prvu iteraciju primjereno je procijeniti izrazom: Slika 6. Odnos omjera unesene tlačne sile u kolnik i sile prednapinjanja prema odnosu kvocijenta raspona i provjesa [2] 831 Proračun prednapetih provješenih sklopova I. Kalafatić, J. Radić, Z. Šavor Prednapinjanje se simulira ekvivalentnim padom temperature: ΔtP = -PT / (αt ·EC · AC2) (12) 4 Određivanje unutarnjih sila 1. Potrebno je odrediti HVT , ploštine nosivih natega AS1 i natega za prednapinjanje AS2 , te geometrijske karakteristike poprečnog presjeka rasponskog sklopa za pojedine faze gradnje AC0, AC1, AC2. 2. Proračun sile u rasponskom sklopu nakon prednapinjanja HPR koristeći (7) se vrijednostima: H1 = HVT ; H0 = HPR ; E = EC q0 = gspr ; q1 = gVT ; gdje je: q0 – ukupno jednoliko kontinuirano opterećenje na ekvivalentnoj slobodno oslonjenoj gredi prije nanošenja dodatnog opterećenja q1 – ukupno jednoliko kontinuirano opterećenje na ekvivalentnoj slobodno oslonjenoj gredi nakon nanošenja dodatnog opterećenja Za jednoliko kontinuirano opterećenje duž mosta integral poprečne sile iznosi: L q 2 ⋅ L3 1 ⋅ ∫ Q02 ⋅ dx = 0 2 0 24 (13) Sila djeluje na spregnutom poprečnom presjeku AC2. 3. Određivanje sile HM prije prednapinjanja nakon izvršenog betoniranja in situ, uvrštavajući ekvivalentni pad temperature ΔtP<0 zbog prednapinjanja u (7): H1 = HPR ; H0 = HM ; q0 = q1 = gspr ; E = EC Sila djeluje na poprečnom presjeku AC1 . 4. Određivanje sile H2N nakon montaže svih predgotovljenih ploča u presjeku AS1 prema jednadžbi (7): H1 = HM ; H0 = H2N ; q0 = gmont ; q1 = gspr ; E = ES1 5. Određivanje sile H1N nakon montaže svih nosivih natega u presjeku AS1 prema jednadžbi (7): E gdje je: gmont – težina rasponskog sklopa nakon montaže kolničkih ploča uključujući težinu nosivih natega gnosivi – težina nosivih natega 832 Duljina neopterećenih nosivih natega s0 određuje se iz (4) uvrštavajući: H = H1N ; q = gnosivi ; E = ES1 Ukupna sila na mjestu sidrenja nosivih natega nakon njihove montaže: S = H12N + Q12N (14) gdje je: Q1N – poprečna sila na promatranom osloncu ekvivalentne slobodno oslonjene grede, tj. upornjaku. Provjes nosivih natega nakon njihove montaže moguće je geodetski pratiti i iznosi: f1N = M1N H1N (15) gdje je : M1N – moment savijanja u sredini raspona ekvivalentne horizontalne grede pod djelovanjem vlastite težine nosivih natega. 5 Određivanje naprezanja Identičan se izraz (13) primjenjuje za q1 . H1 = H2N ; H0 = H1N ; q0 = gnosivi ; q1 = gmont ; = ES1 Sila H1N je ukupna sila kojom se moraju prednapeti nosive natege u fazi montaže za osiguravanje projektiranog provjesa rasponskog sklopa nakon završetka gradnje. Nakon određivanja sila po fazama gradnje u pojedinim nosivim elementima, moguće je odrediti naprezanja u poprečnom presjeku u sredini raspona. Promjena sile u rezultirajućoj natezi raspodjeljuje se na elemente poprečnog presjeka (nosive natege, armaturu, beton i natege za naknadno prednapinjanje) prema odnosu njihove uzdužne krutosti u svakoj fazi gradnje i uporabe. U poprečnom presjeku u sredini raspona provješenih mostova s hvatištima natege u istoj horizontalnoj ravnini djeluje samo horizontalna sila H. Faze gradnje: 1.) Montaža nosivih natega: Naprezanja u nosivim nategama: σ S1 ( N1) = H N 1 / AS1 (16) 2.) Montaža predgotovljenih segmenata na nosive natege: σ S 1 ( N 2) = H N 2 / AS 1 (17) 3.) Betoniranje In situ: σ S 1 ( M ) = H M / AS 1 (18) GRAĐEVINAR 61 (2009) 9, 827-836 I. Kalafatić, J. Radić, Z. Šavor Proračun prednapetih provješenih sklopova 4.) Prednapinjanje: Prednapinjanje se simulira ekvivalentnim padom temperature: ΔH PR = H PR − H M > 0 (19) Promjena tlačne sile u betonu zbog prednapinjanja iznosi: ΔH C ( PR ) = EC ⋅ AC 0 E ⋅A ⋅ ΔH PR + C C 0 ⋅ ( − PT ) EC ⋅ AC 2 EC ⋅ AC 2 (20) Za određivanje unutarnjih sila i naprezanja kod provješenih jednorasponskih mostova s hvatištima na različitoj visini, izraze (14) do (26) potrebno je izmijeniti. Umjesto horizontalne komponente sile H potrebno je uvrstiti silu S= H 2 + Q SR2 (29) gdje je: H – horizontalna komponenta sile u natezi Promjena sile u nosivim nategama zbog prednapinjanja jest: QSR – poprečna sila u sredini raspona na ekvivalentnoj slobodno oslonjenoj gredi E S 1 ⋅ AS 1 E ⋅A ⋅ ΔH PR + S 1 S 1 ⋅ (− PT ) EC ⋅ AC 2 EC ⋅ AC 2 Za stanje uporabe beton mora biti u tlaku. Raspucavanje betona zbog pojava vlačnih naprezanja izazvalo bi znatno smanjenje uzdužne krutosti rasponskog sklopa te znatno povećanje vlačnih naprezanja u nosivim nategama i nategama za naknadno prednapinjanje. ΔH S 1( PR) = (21) Vlačna sila u nategama za naknadno prednapinjanje nakon prednapinjanja jest: H S 2( PR ) = ES 2 ⋅ AS 2 E ⋅A ⋅ ΔH PR − ( − PT ) ⋅ C C1 (22) EC ⋅ AC 2 EC ⋅ AC 2 Potanje objašnjenje preraspodjele unutarnjih sila zbog prednapinjanja definirano u (20) do (22) prikazano je u [2]. Naprezanje u nosivim naategama nakon prednapinjanja iznosi: σ S 1 ( PR ) = (H M + ΔH S 1( PR) )/ AS 1 6 Izravni proračun učinka prednapinjanja Proračun učinka prednapinjanja prikazan u prethodnom poglavlju, koristeći se ekvivalentnim padom temperature, te raspodjela sile na pojedine elemente poprečnog presjeka preuzet je iz [2]. Slijedi izvod izraza za izravni proračun učinka prednapinjanja [7]. q0 (23) Naprezanje u betonu nakon prednapinjanja jest: σ C ( PR) = ΔH C (PR) / AC 0 dy w Injektiranje cijevi natega za naknadno prednapinjanje, završetak radova na gradnji mosta: Naprezanja u nosivim nategama: σ S 1 (VT) = σ S 1 ( PR ) + ( H VT E ⋅A − H PR ) ⋅ ( S 1 S 1 ) / AS 1 EC ⋅ AC 2 (26) Naprezanje u betonu: σ C (VT) = σ C ( PR ) + ( HVT − H PR ) ⋅ ( AC 0 / AC 2 ) / AC (27) E ⋅A − H PR ) ⋅ ( S 2 S 2 ) / AS 2 EC ⋅ AC 2 (28) GRAĐEVINAR 61 (2009) 9, 827-836 u dy + dy u + du ds + ds dx + H 0+ H q M ds + Q ds Q + dQ dx H 0+ H q M + dM Slika 7. Unutarnje sile i deformiranje na infinitezimalnom dijelu provješenog sklopa Na infinitezimalnom dijelu provješenog sklopa moguće je postaviti sljedeću jednadžbu: E ⋅ I ⋅ w IV − ( H 0 + H q ) ⋅ w′′ = H q ⋅ y ′′ + q (30) gdje je: Naprezanja u nategama za naknadno prednapinjanje: σ S 2 (VT ) = σ S 2 ( PR) + ( HVT Q 0+ dQ 0 H0 q0 + q w + dw Naprezanja u nategama za naknadno prednapinjanje nakon prednapinjanja iznosi: (25) ds Q0 dx (24) σ S 2 ( PR) = H S 2(PR) / AS 2 H0 ds E – modul elastičnosti I – krutost na savijanje rasponskog sklopa w – progib H0 – horizontalna komponenta vlačne sile prije nanošenja dodatnog opterećenja 833 Proračun prednapetih provješenih sklopova I. Kalafatić, J. Radić, Z. Šavor Hq – promjena horizontalne komponente vlačne sile nakon nanošenja dodatnog opterećenja q – dodano jednoliko kontinuirano vertikalno opterećenje Pretpostavljajući jednoliko kontinuirano opterećenje zbog vlastite težine konstrukcije, zanemarujući krutost na savijanje sklopa i pretpostavljajući da je horizontalna komponenta sile prednapinjanja konstantna na čitavom rasponu kao što je pretpostavljeno u [5] dobivamo: (31) Uvrštavajući H 0 ⋅ y ′′ = − q0 u (31) te pod pretpostavkom da su sile H0, Hq i PT konstantne: w= 1 ⋅ 2 q0 −q H0 ⋅ x( L − x) + x ⋅ tgβ H 0 + H q + PT ( H q + PT ) ⋅ (32) Promjena horizontalne komponente unutarnje sile zbog nanošenja dodatnog opterećenja definirana je sljedećim izrazom: Hq = Projektni zadatak: Rapon L = 85 m Upornjaci se nalaze na istoj visini. Korisna širina kolnika iznosi 2,00 m. y – vertikalna koordinata položaja sklopa prije nanošenja opterećenja − ( H 0 + H q + PT ) ⋅ w′′ = ( H q + PT ) ⋅ y ′′ + q 7 Primjer proračuna L ⎡ ⎤ ′ ′ ⋅ − ⋅ y w ⋅ dx ⎥ ⎢ ∫ 2 ⎞ ⎣ ⎛ 0 3 ⎦ ⎛f⎞ L ⋅ ⎜1 + 8 ⋅ ⎜ ⎟ + ⋅ tg 2 β ⎟ ⎟ ⎜ 2 ⎝L⎠ ⎠ ⎝ (33) E C ⋅ AC1 Odabrane dimenzije kolničke ploče: Debljina ploče: h = 0,20 m Ukupna širina kolnika b = 2,50 m Provjes nakon završetka gradnje: fVT = 2,50 m Ploština poprečnog presjeka kolničke ploče: A = 0,50 m2 Karakteristike gradiva: Beton: C 40/50 Armatura : B500B Nosive natege i čelik za prednapinjanje: Sustav BBR St 1660/1860 Natege CONA Compact Ploština jedne natege: A = 7 · 10-4 m2 Djelovanja: Vlastita težina rasponskog sklopa [m']gspr = 12,50 kN/m' Dodatno stalno opterećenje: = 3,75 kN/m' Ukupno stalno opterećenje: gVT = 16,25 kN/m' Horizontalna sila u kolniku za provjes: fVT = 2,50 m HVT = MVT/ fVT = 5870,31 kN Nosive natege: Uvrštavanjem (32) u (33) dobivamo konačnu jednadžbu za izravno određivanje učinka prednapinjanja Hq na provješenom sklopu: Procjena površine nosivih natega za 1. iteraciju: H + H q ⋅ ⎡⎣( H 0 + PT ) − Potrebna broj nosivih natega: nS1 = AS1pr / (površina 1 natege) = 6.34 ≈ 6 komada Ukupna površina nosivih natega: AS1 = 6 · 7 · 10-4 = 4.2 · 10-3 m2 2 q 2 ⎛ q ⎞ L2 1 − EC ⋅ AC1 ⋅ ⎜ 0 ⎟ ⋅ ⋅ − 2 12 H ⎛ ⎝ 0⎠ ⎛ f ⎞ 3 2 ⎞ ⎜⎜1 + 8 ⋅ ⎜ ⎟ + ⋅ tg β ⎟⎟ ⎝L⎠ 2 ⎝ ⎠ ⎛ q ⎞ L2 ⎤ L2 ⋅ tg β ⎥ − EC ⋅ AC1 ⋅ ⎜ 0 ⎟ ⋅ ⋅ PT − 2 ⎦ ⎝ H 0 ⎠ 12 − L2 ⋅ tg β ⋅ ( H 0 + PT ) = 0 2 (34) Jednadžba (34) ima jedno pozitivno i jedno negativno rješenje. Negativno rješenje predstavlja tlačnu silu koja djeluje na spregnuti poprečni presjek koji se sastoji od betona, armature i nosivih natega, što je ujedno i traženi rezultat. Sila Hq raspodjeljuje se na beton, armaturu i nosive natege u odnosu njihove uzdužne krutost. Pritom u nategama za prednapinjanje djeluje sila PT. 834 g spr g VT ⋅ H VT = 4.44 ⋅10−3 m 2 0.55 ⋅ f pk Natege za naknadno prednapinjanje: 2 − AS1pr = Procjena naknadnog prednapinjanja: Pt = AC1 · (0.25 · fck) = 5000 kN Procijenjena površina natega za naknadno prednapinjanje: AS2pr = Pt / (0.50 · fpk) = 5,38 · 10-3 m2 Potrebna broj natega za naknadno prednapinjanje: nS2 = AS2pr / (površina 1 natege) = 7,68 ≈ 7 komada Ukupna površina natega za naknadno prednapinjanje: AS2 = 6 · 7 · 10-4 = 4.9 · 10-3 m2 Geometrijske karakteristike poprečnog presjeka: Ploština uzdužne armature Ø 14 / 15 cm uz plohe ploče, ukupno 40 komada: A S= 5.07 · 10-1 m2 GRAĐEVINAR 61 (2009) 9, 827-836 I. Kalafatić, J. Radić, Z. Šavor 25 Proračun prednapetih provješenih sklopova 8 Zaključak 25 200 Natege za naknadno prednapinjanje Nosive natege 250 Slika 8. Poprečni presjek kolničke ploče Ploština betona: AC = 4.80 · 10-1 m2 Ploština betona i armature: AC0 = 5.13 · 10-1 m2 Površina betona, armature i nosivih natega: AC1 = 5.34 · 10-1 m2 Ploština betona, armature i svih natega: AC2 = 5.66 · 10-1 m2 Opisanim postupkom u nekoliko iteracija moguće je optimizirati broj nosivih natega i natega za naknadno prednapinjanje. Opterećenje: Težina nosivih natega: gnosivi = 0.32 kN/m' Težina montažne ploče i nosivih natega: gmont = 9.58 kN/m' Težina ploče, nosivih natega, in situ betona: gspr = 12.33 kN/m' Tablica 1. U radu se opisuje postupak preliminarnog dimenzioniranja provješenoga rasponskog sklopa. U obzir je uzeta stvarna duljina provješenog sklopa te oslonci na različitim visinama za razliku od postupka opisanog u [2]. Cilj predložene metode je postizanje zahtjevanog geometrijskog oblika rasponskog sklopa pod djelovanjem vlastite težine prema uvjetu uporabljivosti pješačkih mostova. Proračun započinje od projektiranog stanja konstrukcije u suprotnom smjeru od tijeka izvedbe. Postupno se uklanjaju pojedina opterećenja do određivanja sile u nosivim nategama nakon njihove montaže te njihova provjesa rješavajući izraz (7). Zatim se, slijedeći faze gradnje, određuju naprezanja u pojedinim nosivim elementima. U postupku najveći problem jest rješavanje izraza (7). Kako bi se izbjegla složena transformacija izraza te rješavanje Newtonovom metodom tangente po varijabli, u sklopu rada [9] priložen je upis u programski paket MATHEMATICA. U programskom je paketu moguće Unutarnje sile i naprezanja u nosivim elementima po fazama gradnje Faze gradnje Ukupna sila H [kN]: Naprezanje u nosivim nategama [MPa]: 1.) Montaža nosivih natega 2163.02 515.01 2.) Montaža predgotovljenih ploča 3780.94 900.22 - - 3.) In situ betoniranje 4267.99 1016.19 - - 4.) Prednapinjanje 4533.81 958.81 1023.44 -8.34 5.) Završetak gradnje 5942.56 974.87 1039.50 -6.01 rasponskog sklopa: Ukupno stalno opterećenje: gVT = 16.25 kN/m' Iz rezultata proračuna vidi se znatno povećanje naprezanja u nosivim nategama tijekom gradnje do betoniranja in situ. Prednapinjanje se unosi u spregnuti poprečni presjek AC1 tako da dolazi do relativno malog smanjenja naprezanja u nosivim nategama. Nanošenjem dodatnoga stalnog tereta povećava se ukupna sila H za 23 %, ali dolazi do malog povećanja naprezanja u nategama jer promjena sile djeluje na presjeku AC2. Potrebno je provjeriti naprezanje u natezi na spoju s upornjakom nakon završetka gradnje te dimenzionirati sklop na uporabna opterećenja što je prikazano u [9]. Naprezanje u nategama za prednapinjanje [MPa]: Naprezanje betonu [MPa]: u - zadati izraz (7) u izvornom obliku i tražiti rješenje po varijabli H0. U programski kod uključeno je i puzanje i skupljanje betona nakon betoniranja in situ i prednapinjanja, kao i proračun rasponskog sklopa na savijanje pod djelovanjem koncentriranih sila [9]. Izvedena je kvadratna jednadžba za izravan proračun učinka prednapinjanja koristeći se pretpostavkama definiranim u [5]. Dobivena unutarnja sila raspodjeljuje se na nosive natege, beton i armaturu u odnosu uzdužne krutosti, dok u nategama za prednapinjanje ostaje sila PT za razliku od proračuna s ekvivalentnim padom temperature. LITERATURA [1] Strasky, J.: Stress-ribbon and cable-supported pedestrian footbridges, Thomas Telford Books, 2005. GRAĐEVINAR 61 (2009) 9, 827-836 [2] Japan Prestressed Concrete Engineering Association: Standard of Design and Construction of Stress-Ribbon Bridge (Draft), Japan, 2000. 835 Proračun prednapetih provješenih sklopova [3] Eibl, J.; Pelle, K; Nehse, H: Zur Berechnung von Spannbandbrücken – Fläche Hängebänder, Werner-Verlag, Düsseldorf, 1973. [4] Petersen, C.: Stahlbau – Grundlagen der Berechnung und baulichen Ausbildung von Stahlbauten, Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft, 3. Auflage, 1993. [5] Cobo del Arco D.; Aparicio A.C..: Preliminary Design Procedure of Prestressed Concrete Stress Ribbon Bridge, Journal of Bridge Engineering, July – August 2001. [6] DIN 1045-1 : 2008-08.: Tragwerke aus Beton, Stahlbeton und Spannbeton – Teil 1:Bemessung und Konstruktion, 2008. I. Kalafatić, J. Radić, Z. Šavor [7] Kalafatić, I.; Radić, J.; Medak M.; Kučer, A: Calculation of stress-ribbon bridge prestressing, Concrete structures – stimulators of development, fib Symposium Dubrovnik 2007, Radić J. (Ed.), Dubrovnik, (2007), 633-638 [8] Kalafatić, I.; Radić, J.; Medak, M.: Preliminary design procedure for one span post-tensioned stress-ribbon bridge, DAAAM International Scientific Book, B. Katalinic (Ed.), Vienna, Austria, (2006), 313-328 [9] Kalafatić, I.: Analiza nosivosti pješačkih provješenih mostova, Magistrarski rad, Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu, 2006. Organizatori: Poziv za sudjelovanje na stručno – znanstvenom skupu: DANI BETONA Zagreb, 20. – 21. studeni 2009. U Zagrebu će se 20. i 21. studenog 2009. održati skup ˝DANI BETONA˝ na kojem će se održati predavanja vezana uz primjenu TPBK na projektiranje betonskih konstrukcija. Prisustvovanjem na navedenom skupu obveznik stručnog usavršavanja osigurava prikupljanje bodova. Prisustvovanjem na svim predavanjima može se skupiti 21 bod od čega 14 iz građevinske regulative, svi sudionici dobiti će po jedan udžbenik. Predavanja na ovom skupu prate gradivo udžbenika Betonske konstrukcije ˝Priručnik˝, ˝Riješeni primjeri˝, ˝Građenje˝ i ˝Sanacija˝. Na taj će način biti detaljno prikazana primjena novih propisa za projektiranje betonskih konstrukcija. Predavanja na skupu počinju u petak, 20.11. u 10:00 i traju do subote, 21.11. do 20:00 sati. Kotizacija: Za sudjelovanje na skupu potrebno je izvršiti uplatu* kotizacije u iznosu 2.200,00 kn i popuniti i poslati prijavu koja se nalazi na www.grad.hr/hdgk. Osim sudjelovanja u radu skupa svi sudionici u okviru kotizacije dobivaju jedan od četiri ponuđena udžbenika. • Kotizacije se plaćaju nakon što organizator pismeno (e-mailom ili fax-om) potvrdi prijavu. • Dodatne potrebne obavijesti mogu se dobiti na: tel.: 385 1 46 39 424, Alex Kindij 836 View publication stats GRAĐEVINAR 61 (2009) 9, 827-836