MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR

M AT E R I A L S U P L E M E N TA R PA R A A C O M PA N H A R MATERIAL SUPLEMENTAR PARA ACOMPANHAR FUNDAMENTOS DE FÍSICA Eletromagnetismo 9a Edição HALLIDAY & RESNICK JEARL WALKER Cleveland State University VOLUME 3 Tradução e Revisão Técnica Ronaldo Sérgio de Biasi, Ph.D. Professor Titular do Instituto Militar de Engenharia – IME Este Material Suplementar contém as Soluções dos Problemas – Volume 3 que podem ser usadas como apoio para o livro Fundamentos de Física, Volume 3 – Eletromagnetismo, Nona Edição, 2012. Este material é de uso exclusivo de professores que adquiriram o livro. Material Suplementar Soluções dos Problemas – Volume 3 traduzido do material original: HALLIDAY & RESNICK: FUNDAMENTALS OF PHYSICS, VOLUME TWO, NINTH EDITION Copyright © 2011, 2008, 2005, 2003 John Wiley & Sons, Inc. All Rights Reserved. This translation published under license. Obra publicada pela LTC Editora: FUNDAMENTOS DE FÍSICA, VOLUME 3 – ELETROMAGNETISMO, NONA EDIÇÃO Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright  2012 by LTC __ Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional Projeto de Capa: M77 Design Imagem de Capa: Eric Heller/Photo Researchers, Inc. Used with permission of John Wiley & Sons, Inc. Reproduzida com permissão da John Wiley & Sons, Inc. Editoração Eletrônica do material suplementar: SUMÁRIO Capítulo 21 1 Capítulo 22 23 Capítulo 23 51 Capítulo 24 75 Capítulo 25 105 Capítulo 26 127 Capítulo 27 142 Capítulo 28 172 Capítulo 29 194 Capítulo 30 225 Capítulo 31 254 Capítulo 32 285 Capítulo 21 1. O módulo da força que uma das cargas exerce sobre a outra é dado por F= 1 q (Q − q ) r2 4 0 em que r é a distância entre as cargas. Queremos determinar o valor de q que minimiza a função f(q) = q(Q 2 q). Derivando a função em relação a q e igualando o resultado a zero, obtemos Q 2 2q = 0, o que nos dá q = Q/2. Assim, q/Q = 0,500. 2. O fato de que as esferas são iguais permite concluir que, ao serem colocadas em contato, ficam com cargas iguais. Assim, quando uma esfera com uma carga q entra em contato com uma esfera descarregada, as duas esferas passam a ter (quase instantaneamente) uma carga q/2. Começamos com as esferas 1 e 2, que possuem uma carga q cada uma e experimentam uma força repulsiva de módulo F = kq2/r2. Quando a esfera neutra 3 é colocada em contato com a esfera 1, a carga da esfera 1 diminui para q/2. Em seguida, a esfera 3 (que agora possui uma carga q/2) é colocada em contato com a esfera 2 e a carga total das duas esferas, q/2 + q, é dividida igualmente entre elas. Assim, a carga final da esfera 2 é 3q/4 e a força de repulsão entre as esferas 1 e 2 se torna F′ = k (q / 2)(3q / 4) 3 q 2 3 = k 2 = F ⇒ r2 8 r 8 F′ 3 = = 0, 375. F 8 3. Explicitando a distância r na Eq. 21-1, F = k|q1||q2|/r2, obtemos: r = k | q1 || q2 | = F (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 ) ( 26, 0 × 10 −6 C ) ( 47, 0 × 10 −6 C ) = 1, 39 m. 5, 70 N 4. A corrente elétrica é discutida na Seção 21-4. Chamando de i a corrente, a carga transferida é dada por q = it = (2, 5 × 10 4 A)(20 × 10 −6 s) = 0, 50 C. 5. De acordo com a Eq. 21-1, o módulo da força de atração entre as partículas é F=k q1 q2 (3, 00 × 10 −6 C)(1, 50 × 10 −6 C) = (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 ) = 2, 81 N. 2 r (0,120 m)2 6. (a) Chamando de a o módulo da aceleração, a segunda e a terceira leis de Newton nos dão m2 a2 = m1a1 ⇒ m2 = (6, 3 × 10 −7 kg)(7, 0 m s2 ) = 4, 9 × 10 −7 kg. 9, 0 m s2 (b) O módulo da (única) força que age sobre a partícula 1 é 2 F = m1a1 = k q1 q2 q . = (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 ) 2 r (0, 0032 m)2 Substituindo os valores conhecidos de m1 e a1, obtemos |q| = 7,1 × 10–11 C. 2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 7. Considerando positivo o sentido para a direita, a força resultante que age sobre q3 é F3 = F13 + F23 = k q1q3 ( L12 + L23 ) 2 +k q2 q3 . L223 Note que cada termo apresenta o sinal correto (positivo se a força aponta para a direita, negativo se a força aponta para a esquerda), quaisquer que sejam os sinais das cargas. Assim, por exemplo, o primeiro termo (a força que q1 exerce sobre q3) é negativo se as cargas tiverem sinais opostos, o que indica que a força será atrativa, e positivo se as cargas tiverem o mesmo sinal, o que significa que a força será repulsiva. Igualando a zero a força resultante, fazendo L23 = L12 e cancelando k, q3 e L12, obtemos q1 + q2 = 0 4, 00 q1 = − 4, 00. q2 ⇒ 8. No experimento 1, a esfera C entra em contato com a esfera A, e a carga total das duas esferas (4Q) é dividida igualmente entre elas. Isso significa que a esfera A e a esfera C ficam com uma carga 2Q cada uma. Em seguida, a esfera C entra em contato com a esfera B e a carga total das duas esferas (2Q 2 6Q) é dividida igualmente entre elas, o que significa que a esfera B fica com uma carga igual a −2Q. No final do experimento 1, a força de atração eletrostática entre as esferas A e B é, portanto, (2Q)(−2Q) 4Q 2 = −k 2 2 d d F1 = k No experimento 2, a esfera C entra primeiro em contato com a esfera B, o que deixa as duas esferas com uma carga de −3Q cada uma. Em seguida, a esfera C entra em contato com a esfera A, o que deixa a esfera A com uma carga igual a Q/2. Assim, a força de atração eletrostática entre as esferas A e B é F2 = k (Q / 2)(−3Q) 3Q 2 k = − d2 2d 2 A razão entre as duas forças é, portanto, 3/ 2 F2 = = 0, 375. 4 F1 9. Vamos supor que a distância entre as esferas é suficiente para que possam ser consideradas cargas pontuais e chamar de q1 e q2 as cargas originais. Escolhemos o sistema de coordenadas de tal forma que a força que age sobre a esfera 2 é positiva quando a esfera é repelida pela esfera 1. Nesse caso, de acordo com a Eq. 21-1, a força a que a esfera 2 está submetida é Fa = − 1 q1q2 qq = −k 1 22 2 4 0 r r na qual r é a distância entre as esferas. O sinal negativo indica que as esferas se atraem. Como as esferas são iguais, adquirem a mesma carga ao serem ligadas por um fio; isso significa que a carga de cada esfera é (q1 + q2)/2. A força agora é de repulsão e é dada por 1 Fb = 4 0 ( q1 + q2 2 )( r2 q1 + q2 2 ) = k (q + q ) 1 2 4r 2 2 . De acordo com a primeira das equações mostradas, q1q2 = − r 2 Fa (0, 500 m)2 (0,108 N) = −3, 00 × 10 −12 C2 . =− k 8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS De acordo com a segunda equação, 0, 0360 N Fb = 2(0, 500 m) = 2, 00 × 10 −6 C, 8,99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 k q1 + q2 = 2r na qual escolhemos o sinal positivo para a raiz quadrada (o que equivale a supor que q1 + q2 ≥ 0). Explicitando q2 na equação do produto das cargas, obtemos q2 = −3, 00 × 10 −12 C2 . q1 Substituindo q2 pelo seu valor na equação da soma das cargas, obtemos q1 − 3, 00 × 10 −12 C2 = 2, 00 × 10 −6 C. q1 Multiplicando por q1 e reagrupando os termos, obtemos a equação do segundo grau q12 − ( 2, 00 × 10 −6 C ) q1 − 3, 00 × 10 −12 C2 = 0 cujas soluções são q1 = 2, 00 × 10 −6 C ± ( −2, 00 × 10 −6 C)2 − 4 ( −3, 00 × 10 −12 C2 ) 2 . (a) Escolhendo o sinal positivo da raiz quadrada, obtemos q1 = 3,00 × 10–6 C, o que nos dá q2 = (–3,00 × 10–12)/q1 = −1,00 × 10−6 C. Escolhendo o sinal negativo da raiz quadrada, obtemos q1 = −1,00 × 10−6 C. Nos dois casos, a resposta é −1,00 × 10−6 C = −1,00 mC. (b) Como vimos no item (a), escolhendo o sinal positivo da raiz quadrada, obtemos q1 = 3,00 × 10–6 C. Escolhendo o sinal negativo, q1 = −1,00 × 10−6 C, o que nos dá q2 = (–3,00 × 10–12)/q1 = 3,00 × 10−6 C. Nos dois casos, a resposta é 3,00 × 10−6 C = 3,00 mC. O que aconteceria se tivéssemos suposto que a carga total das partículas era inicialmente negativa? Como as forças permaneceriam as mesmas se os sinais das duas cargas fossem invertidos e a carga total mudaria de sinal, a resposta do item (a) seria −3,00 × 10−6 C e a do item (b) seria 1,00 × 10−6 C. 10. Para facilitar o raciocínio, vamos supor que Q > 0 e q < 0, embora o resultado final não dependa do sinal das cargas. (a) Por simetria, os valores absolutos das componentes x e y das forças experimentadas pelas partículas 1 e 4 são todos iguais: F1 = 1 4 0  (Q)(Q) (| q |)(Q)  Q | q |  Q / | q |  cos 45° + = − + 1 . − 2  a 2  4 0 a 2  2 2  ( 2 a) Fazendo |F1| = 0, obtemos Q / | q | = 2 2 , o que nos dá Q / q = − 2 2 = − 2, 83. (b) Por simetria, os valores absolutos das componentes x e y das forças experimentadas pelas partículas 2 e 3 são todos iguais: F2 = 1 4 0  | q |2 ( | q | ) ( Q )  = | q |2  1 − Q  . sen 45 ° −   2 a 2  4 0 a 2  2 2 | q |   ( 2 a) Fazendo |F2| = 0, obtemos Q / | q | = − 1/ 2 2 = −0,35. Como este valor é diferente do obtido no item (a), não existe um valor de q para o qual a força eletrostática a que todas as partículas estão submetidas seja nula. 3 4 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 11. Como a força experimentada pela partícula 3 é     F3 = F31 + F32 + F34 = | q || q |  1  | q3 || q1 | ˆ | q3 || q2 | (cos45° ˆi + sen 45° ˆj) + 3 2 4 ˆi  , − j+ 2 a2 4 0  a  ( 2 a) (a) a componente x da força a que a partícula 3 está submetida é F3 x = | q3 |  | q2 | + | q4 4 0 a 2  2 2 2 (1, 0 × 10 −7 C )  1   | = (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 ) + 2   (0, 050 m)2  2 2 2 = 0,117 N (b) e a componente y é 2 (1, 0 × 10 −7 C )  1  | q3 |  | q2 |  9 N ⋅ m 2 C2 − + 8 99 10 q −1 + | | = , × ( ) 1     2 2  (0, 050 m) 4 0 a  2 2 2 2 2 F3 y = = − 0, 046 N. 12. (a) Para que a aceleração inicial da partícula 3 seja na direção do eixo x, é preciso que a força resultante tenha a direção do eixo x, o que, por sua vez, significa que a soma das componentes y das forças envolvidas seja zero. O ângulo que a força exercida pela partícula 1 sobre a partícula 3 faz com o eixo x é tan−1 (2/2) = 45o e o ângulo que a força exercida pela partícula 2 sobre a partícula 3 faz com o eixo x é tan−1 (2/3) = 33,7o. Assim, para que a soma das componentes y seja nula, devemos ter k q1q3 ( 0, 02 2m ) 2 sen 45 = k ( | Q | q3 (0, 030 m)2 + (0, 020 m)2 ) 2 sen 33, 7, o que nos dá |Q| = 83 mC. Como as componentes y das forças exercidas pelas cargas 1 e 2 sobre a carga 3 devem ter sentidos opostos, concluímos que as cargas das partículas q1 e q2 devem ter sinais opostos e, portanto, Q = –83 mC. (b) Nesse caso, são as componentes x das forças envolvidas que devem se cancelar. Para que a soma das componentes x seja nula, devemos ter k q1 q3 ( 0, 02 2m ) 2 cos 45 = k ( Q q3 (0, 030 m)2 + (0, 020 m)2 ) 2 cos 33, 7, o que nos dá |Q| = 55,2 mC ≈ 55 mC. Como as componentes x das forças exercidas pelas cargas 1 e 2 sobre a carga 3 devem ter sentidos opostos, concluímos que as cargas q1 e q2 devem ter o mesmo sinal e, portanto, Q = 55 mC. 13. (a) É óbvio que não existe posição de equilíbrio para a partícula 3 fora do eixo x. Também não existe posição de equilíbrio para a partícula 3 no eixo x na região entre as partículas fixas, já que, nessa região, as duas partículas, por terem cargas opostas, exercem necessariamente forças de mesmo sentido sobre a partícula 3. Além disso, não existe posição de equilíbrio no eixo x à direita da partícula 2, porque, nessa região, como |q1| < |q2|, o módulo da força exercida por q2 é sempre maior que a força exercida por q1. Assim, o ponto de equilíbrio só pode estar na parte do eixo x à esquerda da partícula 1, na qual o módulo da força resultante a que está submetida a partícula 3 é dado por Fres = k q2 q3 q1q3 −k 2 L0 ( L + L0 ) 2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS em que L0 é a distância (em valor absoluto) entre a partícula 3 e a partícula 1. Igualando a zero a equação apresentada, temos, depois de cancelar k e q3: 2 q1 q2  L + L0  −3, 0 C q = 2 = − = 3, 0, 2 =0 ⇒   2 L0 ( L + L 0 ) q1 +1, 0 C  L0  o que nos dá (depois de extrair a raiz quadrada) L + L0 = L0 3 ⇒ L0 = L 10 cm = ≈ 14 cm 3 −1 3 −1 para a distância entre a partícula 3 e a partícula 1. Isso significa que a coordenada x da partícula 3 deve ser x = −14 cm. (b) Como foi dito no item anterior, y = 0. 14. (a) Vamos chamar de Q a carga da partícula 3. Igualando os módulos das forças que agem sobre a partícula 3, dadas pela Eq. 21-1, temos: q1 Q q2 Q 1 1 , 2 = 4 0 ( − a − a / 2 ) 4 0 ( a − a / 2 )2 o que nos dá |q1| = 9,0 |q2|. Como a partícula 3 está situada entre q1 e q2, concluímos que q1 e q2 têm o mesmo sinal e, portanto, q1/q2 = 9,0. (b) Nesse caso, temos: q1 Q q2 Q 1 1 , 2 = 4 0 ( − a − 3a / 2 ) 4 0 ( a − 3a / 2 )2 o que nos dá |q1| = 25 |q2|. Como a partícula 3 está situada à direita das duas partículas, concluímos que q1 e q2 têm sinais opostos e, portanto, q1/q2 = 225. 15. (a) Como a distância entre a partícula 1 e a partícula 2 é r12 = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 = ( −0, 020 m − 0, 035 m )2 + ( 0, 015 m − 0, 005 m )2 = 0, 056 m, o módulo da força que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2 é F21 = k | q2 q1 | (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(3, 0 × 10 −6 C)(4, 0 × 10 −6 C) = 35 N. = r122 (0, 056 m)2  (b) O vetor F21 aponta na direção da partícula 1 e faz com o semieixo x positivo um ângulo y −y   1, 5 cm − 0, 5 cm  = −10, 3° ≈ −10° .  = tan −1  2 1  = tan −1   −2, 0 cm − 3, 5 cm   x 2 − x1  (c) Suponha que as coordenadas da terceira partícula sejam (x3, y3) e que a partícula esteja a uma distância r da partícula 2. Sabemos que, para que as forças exercidas pelas partículas 1 e 3 sobre a partícula 2 sejam iguais, as três partículas devem estar sobre a mesma reta. Além disso, as partículas 1 e 3 devem estar em lados opostos em relação à partícula 2, já que possuem cargas de mesmo sinal e, portanto, se estivessem do mesmo lado em relação à partícula 2, exerceriam forças com o mesmo sentido (de atração). Assim, em termos do ângulo calculado no item (a), temos x3 = x2 − r cosu e y3 = y2 – r senu (o que significa que y3 > y2, já que u é negativo). O módulo da força que a partícula 3 exerce sobre a partícula 2 é F23 = k | q2 q3 | r 2 e deve ser 5 6 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS igual ao módulo da força exercida pela partícula 1 sobre a partícula 2, que é F21 = k | q2 q1 | r 2 . Assim, k q2 q3 qq = k 12 2 2 r12 r ⇒ r = r12 q3 = 0, 0645 m = 6, 45 cm,, q1 o que nos dá x3 = x2 – r cosu = –2,0 cm – (6,45 cm) cos(–10°) = –8,4 cm (d) e y3 = y2 – r senu = 1,5 cm – (6,45 cm) sen(–10°) = 2,7 cm. 16. (a) De acordo com o gráfico da Fig. 21-26b, quando a partícula 3 está muito próxima da partícula 1 (e, portanto, a força exercida pela partícula 1 sobre a partícula 3 é muito maior que a força exercida pela partícula 2 sobre a partícula 3), existe uma força no sentido positivo do eixo x. Como a partícula 1 está n origem e a partícula 3 está à direita da partícula 1, esta força é uma força de repulsão. Assim, como a carga da partícula 3 é positiva, concluímos que a carga da partícula 1 também é positiva. (b) Como o gráfico da Fig. 21-26b cruza o eixo x e sabemos que a partícula 3 está entre a partícula 1 e a partícula 2, concluímos que, ao se aproximar da partícula 2, a partícula 3 é repelida, o que significa que a carga da partícula 2 também é positiva. O ponto em que a curva se anula é o ponto x = 0,020 m, no qual a partícula 3 se encontra a uma distância d1 = 0,020 m da partícula 1 e a uma distância d2 = 0,060 m da partícula 2. Assim, de acordo com a Eq. 21-1, 1 q1q3 1 q2 q3 = 2 4 0 d1 4 0 d 22 2 2 d   0, 060 m  q1 = 9, 0 q1 , ⇒ q2 =  2  q1 =   0, 020 m   d1  o que nos dá q2/q1 = +9,0. 17. (a) De acordo com a Eq. 21-1, F12 = k −6 2 q1q2 9 N ⋅ m 2 C 2 ) (20, 0 × 10 C) = 1, 60 N. = × 8 99 10 ( , d2 (1, 50 m)2 (b) O diagrama a seguir mostra as forças envolvidas e o eixo y escolhido (linha tracejada). O eixo y foi escolhido como a mediatriz do segmento de reta que liga as cargas q2 e q3 para fazer uso da simetria do problema (um triângulo equilátero de lado d, cargas de mesmo valor q1 = q2 = q3 = q). Vemos que a força resultante coincide com o eixo y, e o módulo da força é (20, 0 × 10 −6 C)2  q2  F = 2  k 2  cos 30° = 2(8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) cos 30° = 2, 77 N.  d  (1, 50 m)2 18. Como todas as forças envolvidas são proporcionais às cargas das partículas, vemos que a diferença entre as duas situações é que F1 ∝ qB + qC na situação em que as cargas B e C estão no SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS mesmo lado em relação à carga A e F2 ∝ −qB + qC na situação em que as cargas estão em lados opostos. Assim, temos: F1 q + qC = B F2 − qB + qC ⇒ 1 + qC /qB −2, 014 × 10 −23 N , =7= −2, 877 × 10 −24 N −1 + qC /qB o que nos dá, após algumas manipulações algébricas, qC/qB = 1,333. 19. (a) Se a partícula 3 permanece imóvel, a resultante das forças a que está submetida é zero. Como as partículas 1 e 2 têm cargas de mesmo sinal, para que isso aconteça, a partícula 3 deve estar entre as outras duas cargas. Além disso, deve estar no eixo x. Suponha que a partícula 3 está a uma distância x da partícula 1 e a uma distância L 2 x da partícula 2. Nesse caso, a força resultante a que a partícula 3 está submetida é F3 = 1  qq3 4 qq3  −  2 ( L − x )2  4 0  x Fazendo F3 = 0 e explicitando x, obtemos x = L/3 = 3,00 cm. (b) Como foi dito no item (a), y = 0. (c) A força a que a partícula 1 está submetida é F1 = −1  qq3 4, 00 q 2  , + L2  4 0  x 2 em que os sinais foram escolhidos de tal forma que uma força negativa faz a partícula 1 se mover para a esquerda. Fazendo F1 = 0, explicitando q3 e usando o resultado do item (a), x = L/3, obtemos: q3 = − q 4 qx 2 4 4 = − q ⇒ 3 = − = − 0, 444. L2 q 9 9 Note que a resultante das forças a que a partícula 2 está submetida também é zero: F2 = 1 1  4q2 4 qq0  1  4 q 2 4(− 4 9)q 2  = + = +     2 2 2 2 ( L − x )  4 0  L (4 9) L  4 0 4 0  L  4q2 4q2   L2 − L2  = 0. 20. Note que as distâncias entre as partículas B e A e entre as partículas C e A são as mesmas para todas as posições da partícula B. Vamos nos concentrar nos pontos extremos (u = 0º e u = 180º) das curvas da Fig. 21-29c, pois representam situações em que as forças que as partículas B e C exercem sobre a partícula A são paralelas ou antiparalelas (ou seja, situações em que a força resultante é máxima ou mínima, respectivamente). Note, também, que, como a força dada pela lei de Coulomb é inversamente proporcional a r2, se as cargas fossem iguais, a força exercida pela partícula C seria quatro vezes menor que a força exercida pela partícula B, já que a distância entre a partícula C e a partícula A é duas vezes maior que a distância entre a partícula B e a partícula A. Como as cargas não são iguais, existe, além do fator de 1/4 já mencionado, um fator j igual, em módulo, à razão entre a carga da partícula C e a carga da partícula B. Assim, a força eletrostática exercida pela partícula C, de acordo com a lei de Coulomb, Eq. 21-1, é igual a j/4 vezes a força exercida pela partícula B. (a) De acordo com a curva 1 da Fig. 21-29c, a força máxima é 2F0 e corresponde a u = 180º (situação na qual B está no eixo x, à esquerda de A). Nesse caso, 2F0 = (1 − j/4)F0 ⇒ j = –4. 7 8 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) De acordo com a curva 2 da Fig. 21-29c, a força máxima é 1,25F0 e corresponde a u = 0o (situação na qual B está no eixo x, à direita de A). Nesse caso, 1,25F0 = (1 + j/4)F0 ⇒ j = +1. 21. A carga dq contida em uma casca fina de largura dr é dq = rdV = rAdr, na qual A = 4pr2. Como r = b/r, temos: ∫ q = dq = 4 b ∫ r2 r1 r dr = 2 b ( r22 − r12 ) . Para b = 3,0 mC/m2, r2 = 0,06 m e r1 = 0,04 m, obtemos q = 0,038 mC = 3,8 × 10−8 C. 22. (a) A soma das componentes x das forças que as partículas 3 e 4 exercem sobre a partícula 1é 2 3 3 | q1q3 | | q1q3 | cos(30° ) = . 2 4 0 r 16 0 d 2 Para que a força que age sobre a partícula 1 seja nula, o valor calculado deve ser igual, em valor absoluto, à força exercida pela partícula 2 sobre a partícula 1: 3 3 | q1q3 | | q1q2 | = 2 16 0 d 4 0 ( D + d )2   5 ⇒ D = d2 − 1 = 0, 9245d . 3 3   Para d = 2,00 cm, obtemos D = 1,92 cm. (b) Quando as partículas 3 e 4 são aproximadas do eixo x, o ângulo u diminui e a soma das componentes x das forças que essas partículas exercem sobre a partícula 1 aumenta. Para compensar este fato, a força exercida pela partícula 2 sobre a partícula 1 deve ser maior, o que exige que a distância D seja menor. 23. Seja F o módulo da força exercida pela partícula 1 e pela partícula 2 sobre a partícula 2 sobre a partícula 3, seja e = +1,60 × 10−19 C e seja u o ângulo entre uma das forças acima e o eixo x. Nesse caso, Fres = 2 F cos = 2(2e)(4e) 4 0 ( x 2 + d 2 ) x x2 + d 2 = 4e 2 x .  0 ( x 2 + d 2 )3 / 2 (a) Para determinar os valores de x para os quais a força é máxima ou mínima, derivamos a expressão apresentada em relação a x e igualamos o resultado a zero. É aconselhável desenhar um gráfico, tanto para compreender melhor o comportamento da função como para verificar se o valor calculado é um máximo ou um mínimo. Agindo dessa forma, constatamos que o valor obtido igualando a derivada a zero corresponde a um máximo [(veja o item (b)] e que o mínimo da função corresponde ao limite inferior do intervalo, ou seja, ao ponto x = 0. (b) Derivando a função do enunciado e igualando o resultado a zero, obtemos: dFres 4e 2 ( x 2 + d 2 )3 / 2 − x (3 / 2)( x 2 + d 2 )1/ 2 (2 x ) = 0, =  0 dx ( x 2 + d 2 )3 o que nos dá, depois de algumas manipulações algébricas, x = d/ 2 ≈ 12 cm. (c) O valor da força resultante no ponto x = 0 é Fres = 0. (d) O valor da força resultante no ponto x = 12 cm é Fres = 4,9 × 10−26 N. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 24. (a) De acordo com a Eq. 21-1, F= (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(1, 00 × 10 −16 C)2 = 8, 99 × 10 −19 N. (1, 00 × 10 −2 m)2 (b) Se n é o número de elétrons em excesso (com uma carga –e = 1,60 × 10−19 C cada um), temos: n=− q −1, 00 × 10 −16 C =− = 625 . e 1, 60 × 10 −19 C 25. De acordo com a Eq. 21-11, temos: n= q 1, 0 × 10 −7 C = = 6, 3 × 1011. e 1, 6 × 10 −19 C 26. De acordo com as Eqs. 21-1 e 21-5, o módulo da força é 2 (1, 60 × 10 −19 C ) e2  9 N⋅m  = × = 2, 89 × 10 −9 N. , 8 99 10 r 2  C2  ( 2, 82 × 10 −10 m )2 2 F=k 27. (a) De acordo com a Eq. 21-1, o módulo da força eletrostática entre os íons é F= ( q )( q ) 4 0 r2 =k q2 r2 na qual q é a carga de um dos íons e r é a distância entre os íons. Explicitando a carga, obtemos: q=r F 3, 7 × 10 −9 N = ( 5, 0 × 10 −10 m ) = 3, 2 × 10 −19 C. k 8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 (b) Seja n o número de elétrons que estão faltando em cada íon. Nesse caso, n= q 3, 2 × 10 −9 C = = 2. e 1, 6 × 10 −19 C 28. Como 1 ampère equivale a 1 coulomb por segundo (1 A = 1 C/s) e 1 minuto equivale a 60 segundos, o valor absoluto da carga que atravessa o peito é |q| = (0,300 C/s)(120 s) = 36,0 C. O número de elétrons correspondente é n= q 36, 0 C = = 2, 25 × 10 20. e 1, 60 × 10 −19 C 29. (a) Na configuração inicial, de alta simetria, a força Fy a que a partícula central (partícula 5) está submetida aponta no sentido negativo do eixo y e tem módulo 3F, na qual F é a força exercida por uma das partículas sobre a outra a uma distância d = 10 cm, já que as forças exercidas pelas partículas 1 e 3 se cancelam e a força exercida “para baixo” pela partícula 4 é 4 vezes maior que a força exercida “para cima” pela partícula 2. Esta força não muda quando a partícula 1 é deslocada, fazendo com que passe a existir também uma força Fx paralela ao eixo x. Como a força a que partícula estava submetida inicialmente era paralela ao eixo y, o fato de sofrer uma rotação de 30o significa que, quando a partícula 1 se encontra na nova posição, Fx = tan(30o ) ⇒ Fy 1 Fx = , 3F 3 9 10 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS o que nos dá Fx = F 3. Como a partícula 3 exerce uma força “para a esquerda” de módulo F sobre a partícula 5 e a partícula 1 exerce uma força “para a direita” de módulo F ′, temos: F ′ − F = F 3 ⇒ F ′ = ( 3 + 1) F . Como a força eletrostática varia inversamente com a distância, temos: r2 = d2 ⇒r = 3 +1 d 3 +1 = 10 cm 3+1 = 10 cm = 6, 05 cm 1, 65 na qual r é a distância entre a partícula 1 e a partícula 5. Assim, a nova coordenada da partícula 1 deve ser x = −6,05 cm. (b) Para que a força resultante volte à direção original, é preciso que as componentes x das forças exercidas pelas partículas 1 e 3 se cancelem, o que pode ser conseguido aproximando a partícula 3 da partícula 5 até que esteja à mesma distância que a partícula 1. Assim, a nova coordenada da partícula 3 deve ser x = 6,05 cm. 30. (a) Seja x a distância entre a partícula 1 e a partícula 3. Nesse caso, a distância entre a partícula 2 e a partícula 3 é L ñ x. Como as duas partículas exercem forças para a esquerda sobre a partícula 3, o módulo da força total a que a partícula 3 está submetida é   Ftot = F13 + F23 = q1q3 q2 q3 e2 + = 2 2  0 4 0 x 4 0 ( L − x ) 27  1  x 2 + ( L − x)2  .   Derivando a função apresentada e igualando o resultado a zero, obtemos dFtot e2 =  0 dx  2 54( L − x)   − x 3 + ( L − x ) 4  = 0,   o que, depois de algumas manipulações algébricas, nos dá x = L/4. Assim, x = 2,00 cm. (b) Fazendo x = L/4 na expressão de Ftot e substituindo e, p e â0 por valores numéricos, obtemos Ftot = 9,21 × 10−24 N. 31. Como cada próton possui uma carga q = +e, a corrente em uma superfície esférica de área 4pR2 = 4p (6,37 × 106 m)2 = 5,1 × 1014 m2 seria prótons   −19 i = ( 5,1 × 1014 m 2 )  1500  (1, 6 × 10 C próton ) = 0,122 A = 122 mA .  s ⋅ m2  32. Como a curva da Fig. 21-33 passa pelo ponto F2, tot = 0, a carga da partícula 1 é positiva: q1 = +8,00e. O fato de que F2, tot = 0 quando a partícula 3 está no ponto x = 0,40 m significa que a distância entre as partículas 1 e 2 é r = 0,40 m. Como o valor assintótico de F2, tot corresponde à situação em que a única força a que a partícula 2 está submetida é a força exercida pela partícula 1, temos: q1q2 = Fassint 4 0 r 2 ⇒ q2 = 2, 086 × 10 −18 C = +13e. 33. Como a massa específica da água é 1,0 g/cm3, um volume de 250 cm3 corresponde a uma massa de 250 g, que, por sua vez, corresponde a 250/18 = 14 mols, já que a massa molar da água é 18. Como uma molécula de H2O possui 10 prótons, temos: Q = 14 N A q = 14 N A (10e) = 14(6, 02 × 10 23 )(10)(1, 60 × 10 −19 C) = 1, 3 × 10 7 C. × SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 34. Por simetria, a componente y da força total a que o elétron 2 está submetido é nula, qualquer que seja o ângulo u. A componente x da força total exercida pelos elétrons 3 e 4 é dada por Fx 3,4 = 2 qe 2qe cos 2qe cos3  = cos = . 2 2 4 0 r 4 0 ( R / cos ) 4 0 R 2 Assim, para que a força total a que está submetido o elétron 2 seja nula, é preciso que a força exercida pelo elétron 1 seja igual à componente x da força exercida pelos elétrons 3 e 4, ou seja, F1 = Fx 3,4, o que nos dá 2qe cos3  e2 e = ⇒ cos3  = . 4 0 R 2 4 0 R 2 2q Os “valores fisicamente possíveis de q” mencionados no enunciado são múltiplos inteiros da carga elementar e. Fazendo q = ne, temos: cos3  = 1 2n Assim, os valores possíveis de u são dados por  1  = cos −1    2n  1/ 3 na qual n é um número inteiro. (a) O menor valor de u é 1 1 = cos −1    2 1/ 3 = 37, 5o = 0, 654 rad. (b) O segundo menor valor de u é 1 2 = cos −1    4 1/ 3 = 50, 95o = 0, 889 rad. (c) O terceiro menor valor de u é 1 3 = cos −1    6 1/ 3 = 56, 6o = 0, 988 rad. 35. (a) Os íons de césio situados nos vértices do cubo exercem forças sobre o íon de cloro situado no centro do cubo. As forças são atrativas e as direções coincidem com as diagonais do cubo. Para cada íon de césio existe outro situado na mesma diagonal. Como esses pares de íons estão à mesma distância do íon de cloro e exercem forças de sentidos opostos, todas as forças se cancelam e a força resultante a que os íons de cloro estão submetidos é zero. (b) Em vez de remover um íon de césio, vamos supor que existe uma carga adicional 2e na posição de um dos íons de césio, o que equivale, do ponto de vista elétrico, a remover o íon. Como a resultante das forças que os oito íons de césio exercem sobre o íon de cloro é zero, só é necessário considerar a força exercida pela carga adicional. − prótons   −19 O comprimento da diagonal de um cubo é i = ( 5,1 × 1014 m 2 )  1500  (1, 6 × 10 C p  s ⋅ m2  C próton ) = 0,122 A = 122 mA . em que a é o comprimento da aresta do cubo. Assim, a distância entre o centro do cubo e uma aresta é d = a 3 / 2 e a força exercida pela carga adicional é F=k (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(1, 60 × 10 −19 C)2 e2 ke 2 = 1, 9 × 10 −9 N . = = (3 4)(0, 40 × 10 −9 m)2 d 2 (3 4)a 2 Como a carga adicional e o íon de cloro são negativos, a força é repulsiva. Isso significa que o íon de cloro se afasta do vértice que não contém um íon de césio. )= = 11 12 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 36. (a) Como o próton é positivo e o nêutron é neutro, a partícula emitida deve ser um pósitron (uma partícula positiva) para que a carga elétrica seja conservada. (b) Nesse caso, como o estado inicial tem carga zero, a soma das cargas das partículas produzidas deve ser zero. Como uma das partículas produzidas é um próton, cuja carga é positiva, a outra partícula deve ser um elétron. 37. Para conhecer o número atômico (número de prótons) dos elementos envolvidos nas reações, consulte o Apêndice F. (a) Como o 1H tem 1 próton e 0 nêutron e o 9Be tem 4 prótons e 9 2 4 = 5 nêutrons, os nuclídeos originais têm 5 prótons e 5 nêutrons. Como um nêutron é liberado, o elemento X possui 4 prótons e 5 nêutrons. De acordo com o Apêndice F, esse elemento é o boro. Assim, a resposta é 9B. (b) Como o 12C tem 6 prótons e 12 2 6 = 6 nêutrons e o 1H tem 1 próton e 0 nêutron, o elemento X possui 7 prótons e 6 nêutrons. De acordo com o Apêndice F, esse elemento é o nitrogênio. Assim, a resposta é 13N. (c) Como o 15N tem 7 prótons e 15 2 7 = 8 nêutrons , o 1H tem 1 próton e 0 nêutron e o 4He tem 2 prótons e 4 2 2 = 2 nêutrons, o elemento X possui 7 + 1 2 2 = 6 prótons e 8 + 0 2 2 = 6 nêutrons. De acordo com o Apêndice F, esse elemento é o carbono. Assim, a resposta é 12C. 38. Após o primeiro contato, a esfera W e a esfera A possuem uma carga qA/2, na qual qA é a carga inicial da esfera A. Após o segundo contato, a esfera W possui uma carga 1  qA  − 32e .   2 2 Após o terceiro contato, a esfera W possui uma carga 1  1  qA   − 32e + 48e  .   2  2  2  Igualando esta última expressão a +18e, obtemos, depois de algumas manipulações algébricas, a resposta pedida: qA = +16e. 39. De acordo com Eq. 21-1, o módulo da força que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2 é F21 = kq1q2/r2, na qual r = d12 + d 22 e k = 1/ 4 0 = 8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 . Como a partícula 1 e a partícula 2 têm cargas positivas, a partícula 2 é repelida pela partícula  1 e, portanto, a força F21 aponta para baixo e para a direita. Na notação dos vetores unitários, F21 = F21r̂, sendo  r (d ˆi − d1ˆj) rˆ = = 2 . r d12 + d 22  A componente x de F21 é F21, x = F21d 2 / d12 + d 22 . Combinando essas expressões, obtemos F21, x = k = qq d q1q2 d 2 = k 2 1 2 22 3 / 2 3 r (d1 + d 2 ) (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(4 ⋅ 1, 60 × 10 −19 C)(6 ⋅ 1, 60 × 10 −19 C)(6,00 × 10 −3 m) = 1, 31 × 10 −22 N. [(2,00 × 10−3 m)2 + (6,00 × 10−3 m)2 ]3 / 2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 40. Como as partículas 1 e 2 estão do mesmo lado da partícula 3, para que as forças exercidas pelas duas partículas se cancelem, é preciso que uma das forças seja atrativa e a outra seja repulsiva. Isso, por sua vez, significa que as cargas das partículas 1 e 2 devem ter sinais opostos. Além disso, naturalmente, as duas forças devem ter módulos iguais, ou seja, k | q1 || q3 | | q || q | = k 2 23 2 ( L12 + L23 ) ( L23 ) Para L23 = 2,00L12, a expressão apresentada nos dá q1/q2 = −2,25. 41. (a) Para que as forças gravitacional e elétrica se neutralizem mutuamente, devem ter módulo, ou seja, k q2 mM =G 2 2 r r na qual k é a constante eletrostática, q é a carga de um dos astros, r é a distância entre o centro da Terra e o centro da Lua, G é a constante gravitacional, m é a massa da Lua e M é a massa da Terra. Explicitando q, obtemos: q= GmM = k (6, 67 × 10 −11 N ⋅ m 2 kg2 )(7, 36 × 10 22 kg)(5, 98 × 10 24 kg) 8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 = 5, 7 × 1013 C. (b) A distância r não aparece nos cálculos porque tanto a força elétrica como a força gravitacional são proporcionais a 1/r2 e, portanto, as distâncias se cancelam. (c) Como a carga de um íon de hidrogênio é e = 1,60 × 10–19 C, seriam necessários n= q 5, 7 × 1013 C = = 3, 6 × 1032 íons. e 1, 6 × 10 −19 C Como a massa de um íon de hidrogênio é mp = 1,67 × 10–27 kg, a massa necessária seria m = nmp = (3, 6 × 1032 )(1, 67 × 10 −27 kg) = 6, 0 × 10 5 kg. 42. (a) A figura a seguir mostra o diagrama de corpo livre da esfera da esquerda. A força da  gravidade mg aponta para baixo, a força eletrostática da outra esfera aponta para a esquerda e a tensão do fio aponta na direção do fio, que faz um ângulo u com a vertical. Como a esfera está em equilíbrio, a aceleração é zero. A componente y da segunda lei de Newton nos dá T cosu – mg = 0 e a componente x nos dá T senu – Fe = 0. De acordo com a primeira equação, T = mg/ cosu. Substituindo esse resultado na segunda equação, obtemos mg tanu – Fe = 0. Aplicando relações trigonométricas ao triângulo da Fig. 21-38 formado pelo ponto de suspensão e as duas esferas, obtemos: tan  = x 2 L2 − ( x 2 ) 2 . 13 14 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Se L é muito maior que x (o que acontece se u for muito pequeno), podemos desprezar o termo x/2 do denominador e fazer tanu ≈ x/2L. De acordo com a Eq. 21-1, o módulo da força eletrostática que uma das esferas exerce sobre outra é Fe = k q2 . x2 Substituindo essas duas expressões na equação mg tanu = Fe, obtemos  2 kq 2 L  mgx q2 ≈k 2 ⇒ x≈ 2L x  mg  1/ 3 . (b) Explicitando q na expressão apresentada e substituindo os valores dados, obtemos: q= mgx 3 = 2 kL (0, 010 kg)(9, 8 m s 2 )(0, 050 m)3 = 2, 4 × 10 −8 C. 2(8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(1, 20 m) 43. (a) Se uma das esferas é descarregada, deixa de existir repulsão eletrostática entre as esferas, e o ângulo u diminui até que as esferas se tocam. (b) Quando as esferas se tocam, metade da carga da esfera que não foi descarregada é transferida para a outra esfera, o que faz com que cada esfera fique com uma carga q/2. Assim, de acordo com a equação obtida no item (a) do Problema 42, a nova distância de equilíbrio é 1/ 3  2 k ( q 2 )2 L  x′ =   mg    1 =   4 1/ 3  1 x=   4 1/ 3 (5, 0 cm ) = 3,1 cm , em que x = 5,0 cm é a distância dada no item (b) do Problema 42. 44. Fazendo kq2/r2 = mpg, obtemos r=q k 8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 = 0,119 m = 11,9 cm. = (1, 60 × 10 −19 C) mp g (1, 67 × 10 −27 kg)(9, 8 m s 2 ) 45. Como cada molécula contém dois prótons de carga q = +e, temos: Q = N A q = (6, 02 × 10 23 )(2)(1, 60 × 10 −19 C) = 1, 9 × 10 5 C = 0,19 MC. 46. (a) O módulo da força eletrostática a que a partícula 1 está submetida é a soma algébrica das forças exercidas pelas outras três partículas: F1 = F12 − F13 − F14 = = 11 e 2 2e | −e | (2e)(e) (2e)(4e) − = − 4 0 d 2 4 0 (2d )2 4 0 (3d )2 18 4 0 d 2 11 (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(1, 60 × 10 −19 C)2 = 3, 52 × 10 −25 N, (2, 00 × 10 −2 m)2 18  ˆ o que nos dá F1 = (3, 52 × 10 −25 N)i. (b) Analogamente, o módulo da força eletrostática a que a partícula 2 está submetida é F2 = F23 + F24 − F21 = e | −e | 2e | −e | 4e | − e | = 0. + − 2 4 0 (2d ) 4 0 d 2 4 0 d 2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 47. Vamos chamar a carga de +6 mC de q1, a carga de –4 mC de q2, a carga desconhecida de q3 e as distâncias entre essas cargas e a origem de r1, r2 e r3, respectivamente. Para que a força eletrostática total que age sobre uma carga colocada na origem seja nula, devemos ter     Ftot = F1 + F2 + F3 . Vamos supor, sem perda de generalidade, que a carga da partícula colocada na origem é positiva. Nesse caso, a força exercida pela carga q1 aponta para a esquerda, a força exercida pela carga q2 aponta para a direita e a carga exercida pela carga q3 aponta para a esquerda se for positiva e para a direita se for negativa. De acordo com a Eq. 21-1, temos: −k q1 q qq qq + k 22 ± k 32 = 0. 2 r1 r2 r3 Substituindo os valores conhecidos, obtemos: − q 6 4 + 2 ± 32 = 0. 2 8 16 24 Reduzindo a um denominador comum, obtemos − q 54 9 + ± 3 = 0. 576 576 576 Para que essa equação seja satisfeita,  é preciso que o sinal do terceiro termo do lado direito seja positivo (ou seja, que a força F3 aponte para a direita) e que |q3| = 45 mC. Assim, q3 = 245 mC. 48. (a) De acordo com a Eq. 21-4,  | q q | | (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(−2, 00 × 10 −9 C)(8, 00 × 10 −9 C) | | FAC | = A C 2 = = 3, 60 × 10 −6 N. 4 0 d (0, 200 m)2 (b) Depois de serem colocadas em contato, as esferas A e B ficam com uma carga de [−2,00 nC −฀4,00 nC]/2 = −3,00 nC. Quando a esfera B é aterrada, a carga diminui para zero. Quando a esfera B faz contato com C, as duas esferas ficam com uma carga de 2(8,00 nC)/2 = 24,00 nC. Assim, as cargas finais são QA = 23,00 nC, QB = −4,00 nC e QC = 24,00 nC e, portanto, de acordo com a Eq. 21-4,  | q q | | (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(−3, 00 × 10 −9 C)(−4, 00 × 10 −9 C) | | FAC | = A C 2 = = 2, 70 × 10 −6 N. 4 0 d (0, 200 m)2 (c) De acordo com a Eq. 21-4,  | q q | | (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(−4, 00 × 10 −9 C)(−4, 00 × 10 −9 C) | | FBC | = B C 2 = = 3, 60 × 10 −6 N. 4 0 d (0, 200 m)2 49. De acordo com a Eq. 21-4, F= | q |2 k (e 3)2 (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(1, 60 × 10 −19 C)2 = = = 3, 8 N. 4 0 r 2 r2 9(2, 6 × 10 −15 m)2 50. (a) Como a barra está em equilíbrio, a força resultante a que a barra está submetida é zero e o torque resultante em relação a qualquer ponto da barra também é zero. Vamos escrever uma expressão para o torque resultante em relação ao apoio, igualar a expressão a zero e calcular o valor de x. A carga Q da esquerda exerce uma força para cima de módulo kqQ/h2 a uma distância L/2 do apoio. Vamos tomar este torque como negativo. O peso exerce uma força para baixo de módulo W a uma distância x − L/2 do apoio. Este torque também é negativo. A carga 15 16 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Q da direita exerce uma força para cima de módulo 2kqQ/h2 a uma distância L/2 do apoio. Este torque é positivo. A equação de equilíbrio para rotações é −k 2qQ L qQ L L  −Wx −  + k 2 = 0.  2 h2 2 h 2 Explicitando x, obtemos: L kqQ   1 + . Wh 2  2 x= (b) Se FN é o módulo da força para cima exercida pelo apoio, a segunda lei de Newton (com aceleração zero) nos dá W −k qQ 2qQ − k 2 − FN = 0. 2 h h Fazendo FN = 0 e explicitando h, obtemos:  3kqQ  h=  W  0 ,5 51. Vamos chamar de L o comprimento da barra e de A a área da seção reta da barra. A carga dq em uma pequena fatia da barra, de largura dx, é rAdx, na qual r é a densidade volumétrica de carga. O número de elétrons em excesso que existem na barra é n = |q|/e, em que e é a carga elementar, dada pela Eq. 21-12. (a) Para r = –4,00 × 10–6 C/m3, temos: n= A q = e e ∫ L 0 dx = |  | AL = 2,00 × 1010 . e (b) Para r = bx2 (na qual b = –2,00 × 10–6 C/m5), temos: n= bA e ∫ L 0 x 2 dx = b A L3 = 1, 33 × 1010. 3e 52. Para que a força de atração eletrostática mantenha a partícula em movimento circular uniforme a uma distância r, devemos ter a seguinte relação: Qq mv 2 = − . 4 0 r 2 r Explicitando Q e substituindo os valores conhecidos, temos: Q=− 4 0 rmv 2 (0, 200 m)(8, 00 × 10 −4 kg)(50, 0 m/ss)2 = −1,11 × 10 −5 C = 11,1 C. =− q (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(4, 00 × 10 −6 C) 53. (a) De acordo com a Eq. 21-1, temos: F= q1q2 kq 2 (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(1, 00 C)2 = = = 8, 99 × 109 N. 4 0 r 2 r2 (1, 00 m)2 (b) Para r = 1000 m, temos: F= q1q2 kq 2 (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(1, 00 C)2 = 8, 99 × 103 N = 8,99 kN. = = 4 0 r 2 r2 (1, 00 × 103 m)2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 54. Seja q1 a carga de uma das partes e seja q2 a carga da outra parte; nesse caso, q1 + q2 = Q = 6,0 mC. A força de repulsão entre as partes é dada pela Eq. 21-1: F= q1q2 q (Q − q1 ) = 1 . 4 0 r 2 4 0 r 2 Derivando essa expressão em relação a q1 e igualando o resultado a zero, obtemos: dF Q − 2q1 = = 0, dq1 4 0 r 2 o que nos dá q1 = Q/2 como o valor da carga q1 que maximiza a força de repulsão. Isso significa que q2 = Q − q1 = Q/2. Assim, temos: F= (Q / 2)(Q / 2) 1 Q 2 1 (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(6, 0 × 10 −6 C)2 = = ≈ 9, 0 × 103 N 4 0 r 2 4 4 0 r 2 4 (3, 00 × 10 −3 m)2 = 9,0 kN. 55. As cargas das duas esferas são q = aQ (em que a é um número maior que 0 e menor que 1) e Q – q = (1 – a)Q. De acordo com a Eq. 21-1, temos: F= 1 (Q) [ (1 − )Q ] Q 2(1 − ) = . 4 0 d 2 4 0 d2 O gráfico a seguir mostra a força normalizada F/Fmax em função de a, em que Fmax = Q2/16pâ0 d 2. (a) É evidente que o valor da força eletrostática é máximo para a = 0,5. (b) Fazendo F = Fmax/2, obtemos: Q 2(1 − ) Q2 = 4 0 d 2 32 0 d 2 que nos dá, depois de algumas manipulações algébricas, a equação do segundo grau 2 −  + 1 =0 8 cujas raízes são 1 2 1+  2 2  e (c) O menor valor de a é  = 2 1 1− ≈ 0,15.  2  2 (d) O maior valor de a é  = 2 1 1+ ≈ 0, 85.  2 2  1 2 1−  2 2  17 18 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 56. (a) De acordo com a Eq. 21-11, temos: n= q 2, 00 × 10 −6 C = 1, 25 × 1013 elétronss . = e 1, 60 × 10 −19 C (b) Como o dono do gato está com excesso de elétrons e a torneira está em contato com a Terra (que é um reservatório de cargas de grande capacidade), elétrons são transferidos do dono do gato para a torneira. (c) Como cargas de mesmo sinal se repelem, os elétrons da torneira são repelidos para longe da mão do dono do gato e, portanto, a parte da torneira mais próxima da mão fica positivamente carregada. (d) Como o gato está positivamente carregado, a transferência de elétrons seria da torneira para o gato. (e) Se pensarmos no focinho do gato como uma esfera condutora, o lado da esfera mais próximo do pelo tem cargas com o mesmo sinal que as cargas do pelo, e o lado mais afastado do pelo tem cargas com o sinal oposto (que, por sua vez, têm o sinal oposto ao da mão da pessoa que acabou de afagar o gato). Assim, as cargas da mão e do focinho têm sinais opostos e podem se atrair com força suficiente para produzir uma centelha. 57. Se a diferença relativa entre as cargas do próton e do elétron, em valor absoluto, fosse qp − qe = 0, 0000010, e a diferença absoluta seria qp − qe = 1, 6 × 10 −25 C . Multiplicada por um fator de 29 ×฀3 × 1022, como sugere o enunciado, a diferença entre as cargas positivas e negativas em uma moeda de cobre seria q = (29 × 3 × 10 22 )(1, 6 × 10 −25 C) = 0,14 C. De acordo com a Eq. 21-1, a força de repulsão entre duas moedas de cobre situadas a 1,0 m de distância seria 2 q ) ( F=k r2 = 1, 7 × 108 N . 58. (a) De acordo com a Eq. 21-1, a força a que a partícula 3 está submetida é  q |q |  |q | q     qq  F3 res = − F31 ˆi + |F32 | ˆi =  − k 3 2 1 + k 32 2  ˆi = kq3  − 21 + 22  ˆi r3 2  r3 1   r3 1 r3 2   −80 × 10 −6 C +40 × 10 −6 C  ˆ = (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(20 × 10 −6 C)  + i  (0, 40 m)2 (0, 20 m)2  = (89, 9 N)iˆ . (b) De acordo com a Eq. 21-1, a força a que a partícula 3 está submetida é  q |q |  |q | q     qq  F3 res = − F31 ˆi + |F32 | ˆi =  − k 3 2 1 + k 32 2  ˆi = kq3  − 21 + 22  ˆi r3 2  r3 1   r3 1 r3 2   −80 × 10 −6 C +40 × 10 −6 C  ˆ + = (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(20 × 10 −6 C)  i  (0, 80 m)2 (0, 60 m)2  ˆ = −(2, 50 N)i. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS  F (c) Entre as posições do item (a) e do item (b), deve haver uma posição na qual 3 res = 0.   Fazendo r31 = x e r32 = x 2 0,20 m, igualando F31 a F32 e cancelando fatores comuns, obtemos q2 | q1 | . = 2 x ( x − 0, 20 m )2 Levando em conta o fato de que |q1| = 2q2, extraindo a raiz quadrada de ambos os membros e explicitando x, obtemos x= 0, 2 2 = 0, 683 m = 68,3 cm. 2 −1 (d) Para que a resultante da força que age sobre a partícula 3 seja nula, é preciso que as três partículas estejam sobre a mesma reta, que no caso é o eixo x; assim, y = 0. 59. Como a massa de um elétron é m = 9,11 × 10–31 kg, o número de elétrons em um conjunto com uma massa M = 75,0 kg é n= M 75, 0 kg = = 8, 23 × 1031 elétrons. m 9,11 × 10 −31 kg A carga total desse conjunto de elétrons é q = − ne = − Z (8, 23 × 10 31 )(1, 60 × 10 −19 C) = −1, 32 × 1013 C . 60. Note que, em consequência do fato de que a força eletrostática é inversamente proporcional a r2, uma partícula de carga Q situada a uma distância d da origem exerce sobre uma carga qo situada na origem uma força de mesma intensidade que uma partícula de carga 4Q situada a uma distância 2d de qo. Assim, a carga q6 = +8e situada a uma distância 2d abaixo da origem pode ser substituída por uma carga +2e situada a uma distância d abaixo da origem. Somando esta carga à carga q5 = +2e, obtemos uma carga +4e situada a uma distância d abaixo da origem, que cancela a força exercida pela carga q2 = +4e situada a uma distância d acima da origem. Analogamente, a carga q4 = +4e, situada a uma distância 2d à direita da origem, pode ser substituída por uma carga +e situada a uma distância d à direita da origem. Somando esta carga à carga q3 = +e, obtemos uma carga +2e situada a uma distância d à direita da origem, que cancela a força exercida pela carga q1 = +2e situada à esquerda da origem. Assim, a força resultante que age sobre a partícula 7 é zero. 61.  (a)  De acordo com a Eq. 21-1, a força a que a partícula 3 está submetida é dada por F3 = F31 + F32 , em que  QQ | F31 | = k 32 1 r31 e  Q Q | F32 | = k 3 2 2 . r32 O teorema de Pitágoras nos dá r31 = r32 = (0, 003 m)2 + (0, 004 m)2 = 0, 005 m. Na notação módulo-ângulo (que é a mais conveniente quando se usa uma calculadora científica no modo polar), a soma vetorial indicada se torna  F3 = ( 0, 518∠ − 37° ) + ( 0, 518∠37° ) = ( 0, 829∠0° ) e a força resultante é  ˆ F3 = (0, 829 N)i. (b) Trocar o sinal de Q2 equivale a inverter o sentido da força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 3. Assim, temos:  F3 = ( 0, 518∠ − 37° ) + ( 0, 518∠ − 143° ) = ( 0, 621∠ − 90° ) 19 20 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS e a força resultante é  F3 = −(0, 621 N)jˆ 62. A força eletrostática total a que está submetida a partícula 4 é dada por     Fres = F1 + F2 + F3 ,    na qual F1 , F2 e F3 são as forças exercidas pelas outras três partículas sobre a partícula 4. De acordo com a Eq. 21-1, temos, na notação módulo-ângulo (que é a mais conveniente quando se utiliza uma calculadora científica no modo polar):  Fres = ( 4, 60 × 10 −24 ∠ 180 ) + ( 2, 30 × 10 −24 ∠ − 90 ) + (1, 02 × 10 −24 ∠ − 145 ) = ( 6,16 × 10 −24 ∠ − 152 ) . (a) De acordo com esse resultado, o módulo da força é 6,16 × 10–24 N. (b) De acordo com o resultado do item anterior, a força faz um ângulo de –152° com o eixo x, ou seja, um ângulo de 208° no sentido anti-horário. 63. De acordo com a Eq. 21-1, chamando a primeira carga de q1, a segunda carga de q2 e a carga da partícula que foi liberada de q, o módulo da força a que está submetida a partícula no momento em que é liberada é k q1 q | q |q + k 2 2 = 0, 22 N. 0, 282 0, 44 De acordo com a segunda lei de Newton, m= F 0, 22 N = = 2, 2 × 10 −6 kg. a 100 × 103 m s 2 64. De acordo com a Eq. 21-1, F=k q1q2 , r2 na qual F é a força de repulsão, q1 e q2 são as cargas das esferas e r é a distância entre as esferas. Fazendo q2 = Q 2 q1, na qual Q é a carga total, e explicitando q1, obtemos a equação do segundo grau q12 − Qq1 + Fr 2 k cujas soluções são q1 = Q − Q 2 − 4 Fr 2 /k 2 e q2 = Q + Q 2 − 4 Fr 2 /k . 2 Assim, a carga da esfera com a menor carga é q1 = = Q − Q 2 − 4 Fr 2 /k 2 5, 0 × 10 −5 C − (5, 0 × 10 −5 C)2 − 4(1,00 N)(2, 0 m)2 / (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 /C2 ) 2 = 1,16 × 10 −5 C ≈ 1, 2 × 10 −5 C . SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 65. Quando a esfera C faz contato com a esfera A, a carga total, Q + Q/2, é dividida igualmente entre as duas esferas. Assim, a carga da esfera A passa a ser 3Q/4 e, de acordo com a Eq. 12-1, a força de atração entre as esferas A e B é F=k (3Q / 4)(Q / 4) = 4, 68 × 10 −19 N. d2 66. Chamando de Fe o módulo da força eletrostática e de Fg o módulo da força gravitacional, temos, de acordo com as Eqs. 13-10 e 21-1: Fe = Fg ⇒ k  ke 2  e2 = me g ⇒ y =  2 y  me g  −1  (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 /C2 )(1, 60 × 10 −19 C)2  =  (9,11 × 10 −31 kg)(9, 8 m/s 2 )   = ±5,1 m. Supondo que o sentido positivo do eixo y é para cima, escolhemos o sinal negativo para a raiz, já que o segundo elétron deve estar abaixo do primeiro para que a força de repulsão eletrostática tenha o sentido contrário ao da força da gravidade. Assim, a resposta é y = −5,1 m. 67. A força resultante 3 é a soma vetorial das forças exercidas pelas  que age  sobre a partícula  partículas 1 e 2: F3 = F31 + F32. Para que F3 = 0, é preciso que a partícula 3 esteja no eixo x e seja atraída por uma das outras partículas e repelida pela outra. Como as partículas 1 e 2 têm cargas opostas, isso significa que a partícula 3 não pode estar entre as partículas 1 e 2, mas deve estar à esquerda da partícula 1 ou à direita da partícula 2. Como a carga da partícula 1 é maior, em valor absoluto, que a carga da partícula 2, concluímos que a partícula 3 deve estar à direita da partícula 2. Chamando de x a distância entre a partícula 3 e a partícula 2, temos: qq  2   −5  qq F3 = k  1 3 2 + 2 2 3  = kq3 q  + 2  = 0. 2 x  x   ( x + L)  ( x + L) (a) Explicitando x nessa equação, obtemos: x= L 2 = 1, 72 L. 5− 2 (b) Como foi mencionado no item anterior, para que a soma das forças seja nula, é preciso que a partícula 3 esteja no eixo x; assim, y = 0. 68. A carga de João é q = ( 0, 0001) = ( 0, 0001) mN A Ze M (90 kg)(6, 02 × 10 23 molléculas mol)(18)(1, 6 × 10 −19 C) 0, 018 kg mol = 8, 7 × 105 C. Como a massa de Maria é metade da massa de João, sua carga é metade da carga de João e a força de atração entre os dois estudantes é F≈k q ( q 2) (8, 7 × 105 C)2 ≈ 4 × 1018 N. = (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 ) 2 2(30 m)2 d Assim, a força de atração eletrostática entre os dois estudantes é da ordem de 1018 N. 69. (a) Como o núcleo de hélio possui 2 prótons e o núcleo de tório possui 90 prótons (veja o Apêndice F), a Eq. 21-1 nos dá F=k q 2 (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(2)(1, 60 × 10 −19 C)(90)(1, 60 × 10 −19 C) = = 5,1 × 10 2 N. r2 (9, 0 × 10 −15 m)2 21 22 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Como o núcleo de 4He é formado por 2 prótons e 2 nêutrons, a segunda lei de Newton nos dá (as massas do próton e do nêutron estão no Apêndice B): a= F 5,1 × 10 2 N = 7, 6 × 10 28 m s 2 . = − 27 m 2(1, 67 × 10 kg) + 2(1, 68 × 10 −27 kg)) 70. Para que a força total a que a partícula 1 é submetida seja nula, a componente x da força de repulsão exercida pela partícula 2 deve ser igual à componente x da força de atração exercida pela partícula 4. Além disso, a componente y da força de repulsão exercida pela partícula 3 deve ser igual à componente y da força de atração exercida pela partícula 4. Entretanto, por simetria, as duas condições são expressas pela mesma equação: Qq Q | 2Q | Q2 45 cos ° , = = 4 0 a 2 4 0 ( 2 a)2 4 0 2 a 2 o que nos dá q = Q 2. Assim, q /Q = 1/ 2 = 0, 707. Capítulo 22 1. Note que os símbolos q1 e q2 usados no enunciado se referem ao valor absoluto das cargas. O desenho abaixo é para q1| = |q2|. Os desenhos abaixo são para q1 > q2 (à esquerda) e q1 < q2 (à direita). 2. (a) De acordo com a Eq. 22-1, o módulo da força a que é submetido um próton no ponto A é F = qEA = (1,6 × 10−19 C)(40 N/C) = 6,4 × 10−18 N. (b) Como é explicado na Seção 22-3, o número de linhas de campo por unidade de área, em um plano perpendicular às linhas, é proporcional ao módulo do campo elétrico. Como a separação das linhas é duas vezes maior no ponto B, concluímos que EB = EA/2 = 20 N/C. 3. Como a carga está uniformemente distribuída na esfera, o campo na superfície é o mesmo que se toda a carga estivesse concentrada no centro. Assim, o módulo do campo é E= q 4 0 R 2 em que q é a carga total e R é o raio da esfera. (a) Como a carga total é Ze, temos: E= Ze (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(94)(1, 60 × 10 −19 C)) = = 3, 07 × 10 21 N C . 4 0 R 2 (6, 64 × 10 −15 m)2 (b) Como a carga é positiva, o campo aponta para fora do núcleo. 4. Como x1 = 6,00 cm e x2 = 21,00 cm, a coordenada do ponto a meio caminho entre as partículas é x = [(6,00 cm) + (21,00 cm)] /2 = 13,5 cm. Assim, de acordo com a Eq. 22-3,  E1 = − −7 9 2 2 | q1 | ˆi = − (8, 99 × 10 N ⋅ m C )| −2, 00 × 10 C| ˆi = −(3,196 × 10 5 N C) ˆi 4 0 ( x − x1 )2 ( 0,135 m − 0, 060 m )2  E2 = − 9 2 2 −7 q2 ˆi = − (8, 99 × 10 N ⋅ m C ) (2, 00 × 10 C) ˆi = −(3,196 × 105 N C) ˆi 4 0 ( x − x 2 )2 ( 0,135 m − 0, 210 m )2 24 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Assim, o campo elétrico total é    Etot = E1 + E2 = −(6, 39 × 105 N C) ˆi 5. De acordo com a Eq. 22-3, temos: q = 4 0 r 2 E = (0, 50 m)2 (2, 0 N C) = 5, 6 × 10 −11 C = 56 pC. 8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 6. De acordo com a Eq. 22-3, temos: q = 4 0 Er 2 = (1, 00 N C)(1, 00 m)2 = 1,11 × 10 −10 C = 0,111 nC. 8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 7. Como a componente x do campo elétrico no centro do quadrado é Ex = = 1  | q1 | | q2 | | q3 | | q4 |  cos 45° + − − 4 0  (a / 2 )2 (a / 2 )2 (a / 2 )2 (a / 2 )2  1 1 1 | q1 | + | q2 | − | q3 | − | q4 |) ( 2 4 0 a / 2 2 =0 e a componente y é Ey = = 1 4 0  | q1 | | q2 | | q3 | | q4 |  + + −  cos 45° − 2 2 2 (a / 2 ) (a / 2 ) (a / 2 ) 2   (a / 2 ) 1 1 1 − | q1 | + | q2 | + | q3 | − | q4 |) ( 2 4 0 a / 2 2 (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 / C2 )(2, 0 × 10 −8 C) 1 = 1, 02 × 10 5 N/C, (0, 050 m)2 / 2 2  ˆ A figura a seguir (que o campo elétrico no centro do quadrado é E = E y ˆj = (1, 02 × 105 N/C)j. não está em escala) mostra os campos elétricos produzidos pelas quatro cargas e o campo elétrico total. = 8. Colocamos a origem do sistema de coordenadas no ponto P e o eixo y na direção da partícula 4 (passando pela partícula 3). Escolhemos um eixo x perpendicular ao eixo y, ou seja, passando pelas partículas 1 e 2. Os módulos dos campos produzidos pelas cargas são dados pela Eq. 22-3. Como as contribuições das partículas 1 e 2 se cancelam, o campo total no ponto P é dado por  Etot = 1 4 0  q4 q3  ˆ 1  12q 3q   (2d )2 − d 2  j = 4  4 d 2 − d 2  ĵ = 0 0   SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 9. (a) As componentes verticais dos campos produzidos pelas duas partículas se cancelam por simetria. Somando as componentes horizontais, obtemos E x,tot = 2|q|d 2(8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(3, 20 × 10 −19 C)(3,00 m) = 2 2 3 2 / 4 0 (d + y ) [(3, 00 m)2 + (4, 00 m)2 ]3 / 2 = 1, 38 × 10 −10 N/C. (b) O campo elétrico aponta no sentido negativo do eixo x, ou seja, faz um ângulo de 180o com o semieixo x positivo. 10. Vamos escrever as cargas das partículas como múltiplos de um número positivo j a ser determinado. De acordo com a Fig. 22-33a e o enunciado do problema, q1 = 4j e q2 = −j. De acordo com a Eq. 22-3, temos: Etot = E1 + E2 =  4 . − 2 4 0 ( L + x ) 4 0 x 2 Como, de acordo com a Fig. 22-33b, Etot = 0 para x = 20 cm, essa equação nos dá L = 20 cm. (a) Derivando Etot em relação a x e igualando o resultado a zero, obtemos, após algumas simplificações,  23 2 3 4 1 x= + +  L = (1, 70)(20 cm) = 34 cm. 3 3  3 Note que este resultado não depende do valor de j. (b) Se −q2 = −3e, j = 3e. Nesse caso, de acordo com o resultado obtido anteriormente, Etot = = 4  − a 2 4 0 ( L + x ) 4 0 x 2 (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 /C2 )4(3)(1, 60 × 10 −19 C) (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 /C2 )(3)(1, 60 × 10 −19 C) − (0, 34 m)2 (0, 54 m)2 = 2, 2 × 10 −8 N/C. 11. Como as partículas 1 e 2 têm cargas opostas, em pontos situados entre as partículas os campos elétricos apontam na mesma direção e não podem se cancelar. Como a carga da partícula 2 é maior que a carga da partícula 1, o ponto em que o campo elétrico é nulo deve estar mais próximo da carga 1. Concluímos, portanto, que o campo está à esquerda da partícula 1. Seja x a coordenada de P, o ponto em que o campo é zero. Nesse caso, o campo elétrico total no ponto P é dado por E= 1 4 0  | q2 | | q1 |   ( x − x )2 − ( x − x )2  . 1 2   Para que o campo se anule, | q2 | | q1 | = 2 ( x − x2 ) ( x − x1 )2 ⇒ ( x − 70)2 = 4. ( x − 20)2 Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros e explicitando x, obtemos duas soluções: x9฀= −30 cm e x = +37 cm. Como o ponto P deve estar à esquerda da partícula 1, escolhemos a solução x9 = −30 cm. (A outra solução estaria correta se as cargas das partículas 1 e 2 tivessem o mesmo sinal.) 25 26 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 12. O valor do módulo do campo elétrico no centro do arco é o mesmo para todas as cargas: E= 1, 60 × 10 −19 C kq e = 3, 6 × 10 −6 N C . =k = (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 ) 2 2 (0, 020 m)2 r (0, 020 m) Na notação módulo-ângulo (que é a mais conveniente quando se usa uma calculadora científica no modo polar), a soma vetorial dos campos assume a forma:  Etot = ( E ∠ − 20 ) + ( E ∠130 ) + ( E ∠ − 100 ) + ( E ∠ − 150 ) + ( E ∠0 ) = 3, 93 × 10 −6 N/C∠ − 76, 4. (a) De acordo com o resultado obtido, o módulo do campo elétrico no centro do arco é 3,93 × 1026 N/C. (b) De acordo com o resultado anterior, o ângulo do campo elétrico no centro do arco é 276,4° em relação ao eixo x. 13. (a) Como o próton está a uma distância r = z = 0,020 m do centro do disco, Ec = e (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(1, 60 × 10 −19 C) = 3, 60 × 10 −6 N/C. = 4 0 r 2 (0, 020 m)2 (b) Como as componentes horizontais se cancelam, o campo total produzido pelos elétrons es é vertical e o módulo do campo é dado por Es,tot = 2ez 2(8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(1, 6 × 10 −19 C)(0,020 m) = [(0, 020 m)2 + (0, 020 m)2 ]3 / 2 4 0 ( R 2 + z 2 )3 / 2 = 2, 55 × 10 −6 N/C. (c) Como o próton agora está a uma distância 10 vezes menor, o campo é 100 vezes maior que o do item (a), ou seja, Ec = 3,60 × 10−4 N/C. (d) Como as componentes horizontais continuam a se cancelar, o campo produzido pelos elétrons es é vertical e o módulo do campo é dado por Es,tot = 2ez 2(8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(1, 6 × 10 −19 C)(0,002 m) = [(0, 020 m)2 + (0, 002 m)2 ]3 / 2 4 0 ( R 2 + z 2 )3 / 2 = 7, 09 × 10 −7 N/C. (e) Porque, quando o próton se aproxima do disco, as componentes verticais y dos campos produzidos pelos elétrons es diminuem e as componentes horizontais aumentam.Como as componentes horizontais se cancelam, o efeito global é uma redução do módulo de Es,tot . 14. (a) Nos pontos do eixo x à esquerda da partícula 1, os campos têm sentidos opostos, mas não há possibilidade de que o campo se anule porque esses pontos estão mais próximos da partícula 1 do que da partícula 2 e a carga da partícula 1 é maior, em valor absoluto, que a carga da partícula 2. Na região entre as cargas, os dois campos não podem se cancelar, pois apontam no mesmo sentido. Nos pontos do eixo x à direita da partícula 2, os campos têm sentidos opostos, e existe a possibilidade de que os campos se anulem porque esses pontos estão mais próximos da partícula 2, e a carga da partícula 2 é menor. Chamando de x a coordenada do ponto em que os campos se anulam e igualando os módulos dos campos produzidos pelas duas partículas, temos: 1 | q1 | 1 q2 = . 2 4 0 x 4 0 ( x − L )2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Explicitando x e substituindo os valores conhecidos de q1 e q2, obtemos: x= L 1− 2 5 ≈ 2, 72 L. (b) A figura a seguir mostra um esboço das linhas de campo elétrico. 15. Por simetria, vemos que as contribuições das cargas das partículas 1 e 2 para o campo elétrico no ponto P se cancelam, de modo que só é preciso calcular o campo elétrico produzido pela partícula 3. (a) De acordo com a Eq. 22-3, o módulo do campo elétrico é  | Etot |= 1 2e 1 2e 1 4e = = 2 2 4 0 r 4 0 (a / 2 ) 4 0 a 2 = (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 ) 4(1, 60 × 10 −19 C) = 160 N/C. (6, 00 × 10 −6 m)2 (b) O campo faz um ângulo de 45,0° no sentido anti-horário com o semieixo x positivo. 16. As componentes x e y do campo total são Etot, x = q1 q cos − 2 , 4 0 R 2 4 0 R 2 Etot, y = − q2 senn  . 4 0 R 2 O módulo do campo total é a raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes. Fazendo o módulo igual a E, elevando ao quadrado e simplificando, temos: E2 = q12 + q12 − 2q1q2 cos  . (4 0 R 2 )2 Explicitando u, obtemos::  q 2 + q12 − (4 0 R 2 )2 E 2   = cos −1  1 . 2q1q2   Substituindo por valores numéricos, obtemos duas respostas: (a) O valor positivo do ângulo é u = 67,8°. (b) O valor negativo do ângulo é u = −67,8°. 17. Vamos supor que a conta 2 está na parte inferior do anel, já que seria difícil para a conta 1 passar pela conta 2 se ela estivesse no caminho. Note que, de acordo com o gráfico da Fig. 22-39c, a componente y do campo elétrico na origem é negativa para u = 0o (posição na qual a contribuição da partícula 1 para o campo elétrico é nula), o que significa que a carga da conta 2 é negativa. 27 28 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (a) De acordo com o gráfico da Fig. 22-39b, a componente x do campo total é 0 para u = 90°, ou seja, quando a conta 1 está no semieixo y positivo. Isso significa que a conta 2 está no semieixo y negativo, ou seja, que o ângulo da conta 2 é 290°. (b) Como a componente y é máxima quando as duas contas estão no eixo y e sabemos que a carga da conta 2 é negativa, concluímos que a carga da conta 1 é positiva, pois isso faz com que, com as contas nessa posição, os dois campos se somem. Nos pontos u = 0° e u = 180°, o valor absoluto da componente x é igual ao módulo do campo elétrico criado pela conta 1. Assim, de acordo com a Eq. 22-3, q1 = 4 0 r 2 E = 4 (8, 854 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(0, 60 m)2 (5, 0 × 10 4 N/C) = 2, 0 × 10 −6 C = 2,0 C. (c) No ponto u = 0°, o valor absoluto da componente y é igual ao módulo do campo elétrico criado pela conta 2. Assim, de acordo com a Eq. 22-3, q2 = −4 0 r 2 E = 4 (8, 854 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(0, 60 m)2 (4, 0 × 10 4 N/C) = −1, 6 × 10 −6 C = −1, 6 C . 18. Partindo da Eq. 22-6, usamos a expansão binomial (veja o Apêndice E), mas conservamos termos de ordem superior à usada para obter a Eq. 22-7: E= = q 4 0 z 2  d 3 d2 1 d3 d 3 d2 1 d3    1 1 − − + + + + +  − +      2 3 2 3    2z z 4z z 4z 2z  qd qd 3 + + 2 0 z 3 4 0 z 5 Assim, na terminologia do problema, E1 = qd 3 . 4 0 z 5 19. (a) Considere a figura a seguir. O módulo do campo elétrico total no ponto P é   1  q Etot = 2 E1 sen  = 2   2 2  4 0 ( d / 2 ) + r  d /2 ( d / 2) + r 2 2 = qd 1 4 0 ( d / 2 )2 + r 2 3 / 2   Para r >> d, [(d/2)2 + r2]3/2 ≈ r3 e a expressão mostrada se reduz a  | Etot | ≈ qd . 4 0 r 3 (b) Como mostra a figura, o campo elétrico no ponto P aponta no sentido negativo do eixo y, ou seja, faz um ângulo de −90° com o semieixo x positivo. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 20. De acordo com o enunciado do problema, Ever é dado pela Eq. 22-5 (com z = 5d): Ever = q q q 160 − = ⋅ 2 2 4 0 (4, 5d ) 4 0 (5, 5d ) 9801 4 0 d 2 e Eapr é dado pela Eq. 22-8: Eapr = qd 2 q . = ⋅ 3 2 0 (5d ) 125 4 0 d 2 Assim, a razão pedida é Eapr 2 9801 = ≈ 0, 98. Ever 125 160 21. Podemos pensar no quadrupolo da Fig. 22-41 como um conjunto de dois dipolos, cada um com um momento dipolar de módulo p = qd. Os momentos apontam na direção do eixo do quadrupolo, em sentidos opostos. Considere o ponto P do eixo, a uma distância z à direita do centro do quadrupolo, e tome como positivo o sentido para a direita. Nesse caso, o campo produzido pelo dipolo da direita é qd/2pâ0(z − d/2)3 e o campo produzido pelo dipolo da esquerda é –qd/2pâ0(z + d/2)3. Usando as expansões binomiais (z – d/2)–3 ≈ z–3 – 3z–4(–d/2) e (z + d/2)–3 ≈ z–3 – 3z–4(d/2), obtemos E= 3d 1 3d  6qd 2 qd  1 = + − + . 2 0  z 3 2 z 4 z 3 2 z 4  4 0 z 4 Fazendo Q = 2qd 2, obtemos E= 3Q . 4 0 z 4 22. (a) Vamos usar a notação usual para a densidade linear de carga: l = q/L. O comprimento do arco é L = ru, na qual u é o ângulo em radianos. Assim, L = (0,0400 m)(0,698 rad) = 0,0279 m. Para q = −300(1,602  10−19 C), obtemos larco = −1,72  > 10−15 C/m. (b) se a mesma carga está distribuída em uma área A = pr2 = p(0,0200 m)2, a densidade superficial de carga é sdisco = q/A = −3,82  10−14 C/m². (c) Como a área da superfície de uma esfera é 4p2, a mesma carga do item (b) está distribuída em uma área quatro vezes maior e, portanto, a densidade superficial de carga é quatro vezes menor: sesfera = sdisco/4 = −9,56  10−15 C/m². (d) Se a mesma carga está distribuída em um volume V = 4p฀r3/3, a densidade volumétrica de carga é resfera = q/V = −1,43  10−12 C/m3. 23. Vamos usar a Eq. 22-3 e supor que as duas cargas são positivas. No ponto P, temos: Eanel 1 = Eanel 2 ⇒ q1 R 4 0 ( R 2 + ) 3/ 2 R2 = Simplificando, obtemos q1  2 = 2   5 q2 3/ 2 ≈ 0, 506. q2 (2 R) 4 0 [(2 R)2 + R 2 ]3 / 2 29 30 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 24. (a) Por simetria (e também de acordo com a Eq. 22-16), o campo é zero no centro do anel. (b) O resultado (E = 0) para pontos infinitamente afastados do anel pode ser obtido a partir da Eq. 22-16, de acordo com a qual o campo é proporcional a 1/z² para valores muito grandes de z. (c) Derivando a Eq. 22-16 em relação a z e igualando o resultado a zero, obtemos:  R d  qz q R2 − 2z 2 =  =0 ⇒ z=+ = 0, 707 R. 3 2 5 2 / / dz  4 0 ( z 2 + R 2 )  4 0 ( z 2 + R 2 ) 2   (d) De acordo com a Eq. 22-16, temos: E= (4, 00 × 10 −6 C)(0, 707 × 0, 02 m) qz = 4 0 ( z 2 + R 2 ) 4 (8, 854 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )[(0, 707 × 0, 02 m )2 + (0, 02 m)2 ]3 / 2 = 3, 46 × 10 7 N/C. 25. Vamos chamar o raio do arco menor de r1, o raio do arco do meio de r2 e o raio do arco maior de r3. O comprimento do arco menor é L1 = pr1/2 = pR/2, o comprimento do arco do meio é L2 = pr2/2 = pR e o comprimento do arco maior é L3 = pr3/2 = 3pR/2. Como a carga dos arcos está uniformemente distribuída, a densidade linear de carga do arco menor é l1 = Q/L1 = 2Q/pR, a densidade linear de carga do arco do meio é l2 = −4Q/L2 = −4Q/pR e a densidade linear de carga do arco maior é l3 = 9Q/L3 = 6Q/pR. Nesse caso, usando o mesmo raciocínio do problema seguinte, o campo elétrico total é dado por Etot = = 1 (2 sen 45°) 2 (2 sen 45°) 3 (2 sen 45°) + + 4 0 r3 4 0 r1 4 0 r2 2Q 2 sen 45° 4Q 2 sen 45° 6Q 2 sen 45° + = −  R 4 0 R  R 8 0 R  R 12 0 R Q = 1, 62 × 10 6 N/C. 2 2 0 R 2 (b) O campo faz um ângulo de 245º com o semieixo x positivo. 26. No Exemplo “Campo elétrico de um arco de circunferência carregado”, vimos que o campo no centro de um arco circular é dado por E=  sen x 4 0 r  − Em que l é a densidade linear de carga. Neste problema, cada quarto de circunferência produz um campo cujo módulo é  1 |q| |E|= sen x r /2 4 0 r  /4 − / 4 = 1 2 2 |q| . 4 0  r 2 O campo produzido pelo quarto de circunferência que está acima do eixo x faz um ângulo de −45o com o semieixo x positivo e o campo produzido pelo quarto de circunferência que está abaixo do eixo x faz um ângulo de −135o com o semieixo x positivo. (a) O módulo do campo total é   1 2 2 | q | 1 4|q| Etot = Etot , x = 2  cos 45° =  2 4 0  r 2  4 0  r  = (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )4(4, 50 × 10 −12 C) = 20, 6 N/C.  (5, 00 × 10 −2 m)2 (b) Por simetria, o campo total faz um ângulo de −90o com o semieixo x positivo. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 27. Por simetria, vemos que o campo no ponto P é duas vezes maior que o campo produzido pelo arco semicircular superior, cuja densidade linear de carga é l = q/pR. Usando o mesmo raciocínio do problema anterior, obtemos ( ) 4 R sen  Etot = 2 − ˆj 0 90° −90°  q  = − ĵ.   0 2 R 2   (a) Para R = 8,50  10−฀2 m e q = 1,50  10−8 C, | Etot | = 23, 8 N/C. (b) O campo elétrico total faz um ângulo de −90o com o semieixo x positivo. 28. Derivando a Eq. 22-16 em relação a z e igualando o resultado a zero, obtemos:  d  qz q R2 − 2z 2 =  = 0, 3 2 / dz  4 0 ( z 2 + R 2 )  4 0 ( z 2 + R 2 )5 / 2   o que nos dá z = R / 2. Para R = 2,40 cm, obtemos z = 1,70 cm. 29. Vamos primeiro calcular o campo produzido pelo arco circular, cuja densidade linear de carga é l = Q/L, na qual L é o comprimento do arco. Usando o mesmo raciocínio do Exemplo “Campo elétrico de um arco de circunferência carregado”, chegamos à conclusão de que o módulo do campo elétrico produzido por um arco de circunferência de raio r, com uma densidade linear de carga l, que subtende um ângulo u, é Earco = 2 sen( / 2)  . [sen( / 2) − sen(− / 2)] = 4 0 r 4 0 r Como, no nosso caso, l = Q/L = Q/Ru e r = R, temos: Earco = 2(Q /R ) sen( / 2) 2Q sen( / 2) . = 4 0 R 4 0 R 2 O módulo do campo produzido por uma carga pontual é dado pela Eq. 22-3: Eponto = Q 4 0 R 2 A razão pedida é, portanto, Eponto Q / 4 0 R 2  . = = 2 Earco 2Q sen( / 2) / 4 0 R  2 senn( /2) Para u฀=฀p, temos: Eponto  = ≈ 1, 57. Earco 2 30. De acordo com a Eq. 22-16, temos: 2 RQ 2 Rq  13  + = 0 ⇒ q = −Q   2 2 3 2 2 2 3 2 / /  5 4 0 [(2 R) + R ] 4 0 [(2 R) + (3 R) ] 3/ 2 = −4,19Q. 31. (a) Como a carga está uniformemente distribuída na barra, = − q −4, 23 × 10 −15 C = = −5,19 × 10 −14 C/m.. L 0,0815 m (b) Vamos posicionar o eixo x paralelamente à barra, como a origem na extremidade esquerda da barra, como mostra a figura. 31 32 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Seja dx um segmento infinitesimal da barra, situado no ponto x. A carga do segmento é dq = ldx. A carga dq pode ser considerada uma carga pontual. O campo elétrico produzido por esta carga no ponto P possui apenas a componente x, que é dada por dE x =  dx 1 . 4 0 ( L + a − x )2 O campo elétrico produzido no ponto P pela barra inteira é L 1 dx  ⌠  =  4 0 ⌡0 ( L + a − x )2 4 0 L + a − x   L  = = − 1, 57 × 10 −3 N/C. 4 0  a( L + a)  Ex = L = 0  1 1   −  4 0  a L + a  Assim, |Ex| = 1,57 × 10−3 N/C. (c) O sinal negativo de Ex indica que ocampo elétrico aponta no sentido negativo do eixo x, ou seja, que o ângulo do campo elétrico E é −180o. (d) se a >> L, podemos usar a aproximação L + a ≈ a na equação apresentada, o que nos dá Ex = − q (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 /C2 )(4, 23 × 10 −15 C) = −1, 52 × 10 −3 N/C. = − (50 m)2 4 0 a 2 Assim, |Ex| = 1,52 × 10−3 N/C. (e) Como a expressão do item anterior é igual à do campo elétrico criado por uma partícula de carga 2q situada a uma distância a do ponto considerado, o resultado é o mesmo do item (d): |Ex| = 1,52 × 10−3 N/C. 32. Um elemento infinitesimal dx da barra contém uma carga dq = l dx, na qual l = dq/dx é a densidade linear de carga. Por simetria, as componentes horizontais dos campos produzidos pelos elementos de carga se cancelam e precisamos apenas calcular, por integração, a soma das componentes verticais. A simetria do problema também permite calcular apenas a contribuição de metade da barra (0 ≤ x ≤ L/2) e multiplicar o resultado por dois. No cálculo que se segue, fazemos uso do fato de que sen u = R/r, na qual r = x 2 + R 2 . (a) De acordo com a Eq. 22-3, temos: L/2 L /2   dq  2 ⌠   dx   ⌠ E = 2  sen  =  2  2 2 4 0  ⌡0  4 0 r  ⌡0  x + R   L /2 R ⌠ =  2 0 ⌡0 = q 2 0 LR dx ( x 2 + R2 )3 2 L2 ( L 2) 2 + R2 x (q /L ) R = ⋅ 2 2 0 R x 2 + R 2 = q 2 0 R 1 L2 + 4 R2 y x2 + R2   L /2 0 = 12, 4 N/C, na qual a solução da integral pode ser obtida usando os métodos do cálculo ou consultando o Apêndice E (veja a fórmula 19 da lista de integrais). SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS  (b) Como foi mencionado no item a, o campo elétrico E é vertical e faz um ângulo de 90o com o semieixo x positivo. 33. Considere um elemento infinitesimal dx da barra, situado a uma distância x da extremidade esquerda, como mostra a figura. O elemento possui uma carga dq = l dx e está a uma distância r do ponto P. O módulo do campo produzido pelo elemento no ponto P é dado por dE = 1  dx . 4 0 r 2 As componentes x e y do campo são dE x = − 1  dx sen  4 0 r 2 dE y = − 1  dx cos . 4 0 r 2 e Vamos usar u como variável de integração e usar as relações r = R/cos u, x = R tan u e dx = (R/cos2 u) du. Os limites de integração são 0 e p/2 rad. Temos: Ex = −  4 0 R ∫ π2 0 sen  d =  cos 4 0 R π2 =−  4 0 R =−  . 4 0 R 0 e Ey = −  4 0 R ∫ π2 0 cos  d = −  sen  4 0 R  /2 0 Note que Ex = Ey, qualquer que seja o valor de R. Assim, faz um ângulo de 45° com a barra para qualquer valor de R. 34. De acordo com a Eq. 22-26, temos: E=   1− 2 0    5, 3 × 10 −6 C m 2 1 − =  z 2 + R 2  2 (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )   12 cm z (12 cm )2 + ( 2, 5 cm )2   = 6,3 3 × 103 N C.   35. De acordo com a Eq. 22-26, o módulo do campo elétrico em um ponto do eixo do disco situado a uma distância z do centro do disco é dado por E=  2 0  1 −    z 2 + R2  z 33 34 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS na qual R é o raio do disco e s é a densidade superficial de carga do disco. O módulo do campo no centro do disco (ou seja, no ponto z = 0) é Ec = s/2â0. Para que E/Ec = 1/2, 1− z z2 + R2 = 1 ⇒ 2 z + z2 R2 = 1 . 2 Explicitando z nessa equação, obtemos z = R / 3 = 0, 346 m. A figura a seguir mostra o gráfico de E /Ec = 1 − ( z /R) / ( z /R)2 + 1 em função de z/R. O ponto assinalado corresponde à solução do problema, ou seja, ao ponto z/R = (0,346 m)/(0,600 m) = 0,577, E/Ec = 0,5. 36. A partir das relações dA = 2prdr (que pode ser vista como a diferencial de A = pr²) e dq = s dA, na qual s é a densidade superficial de carga, temos:  Q  2 r dr dq =    R 2  na qual usamos o fato de que a carga está uniformemente distribuída para fazer a densidade superficial de carga igual à carga total Q dividida pela área total pR2. Fazendo r = 0,0050 m e dr ≈ 30 × 10−฀6 m, obtemos dq ≈ 2,4 × 10−16 C. 37. Podemos usar a Eq. 22-26, notando que o disco da Fig. 22-52b é equivalente ao disco da Fig. 22-52a mais um disco menor, de raio R/2, com a carga oposta à do disco principal. Assim, temos: E( a ) =  2 0  1 −    (2 R)2 + R 2  E( b ) = E( a ) −  2 0  1 −   . (2 R)2 + ( R / 2)2  2R e 2R Isso nos dá E( a ) − E( b ) 1 − 2 / 4 + 1/ 4 1 − 2 / 17 / 4 0, 0299 = = = = 0, 283 ≈ 28% E( a ) 0,1056 1 − 2/ 4 + 1 1 − 2/ 5 38. Escrevemos a Eq. 22-26 na forma E z = 1− 2 ( z + R 2 )1/ 2 Emax e notamos que, no gráfico da Fig. 22-53b, E/Emax = 0,5 para z = 4,0 cm. Fazendo E/Emax = 0,5 e z = 4,0 cm na equação apresentada, obtemos R = 6,9 cm. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 39. Quando a gota está em equilíbrio, a força da gravidade é compensada pela força do campo elétrico: mg = −qE, em que m é a massa da gota, q é a carga da gota e E é o módulo do campo elétrico. A massa da gota é dada por m = (4p/3)r3r, na qual r é o raio da gota e r é a massa específica do óleo. Assim, q=− mg 4 r 3  g 4 (1, 64 × 10 −6 m)3 (851 kg m 3 )(9, 8 m s 2 ) = −8, 0 × 10 −19 C =− =− E 3E 3(1, 92 × 10 5 N C) e q/e = (−8,0 × 10–19 C)/(1,60 × 10–19 C) = −5, o que nos dá q = −5e. 40. (a) A direção inicial do movimento é tomada como o sentido positivo do eixo x, que é  também a direção do campo E). Usando a Eq. 2-16, v 2f − vi2 = 2ax , com vf = 0 e a = F/m = −eE/me, para calcular a distância ∆x: x = − vi2 − me vi2 −(9,11 × 10 −31 kg)(5,00 × 1006 m s)2 = = = 7,12 × 10 −2 m = 7,12 cm. 2a −2eE −2(1, 60 × 10 −19 C)(1,00 × 10 3 N C) (b) De acordo com a Eq. 2-17, temos: t= x 2x 2(7,12 × 10 −2 m) = 2, 85 × 10 −8 s = 28,5 ns. = = vmed vi 5, 00 × 106 m s (c) Usando a Eq. 2-16 com o novo valor de ∆x, temos: K  ( 12 me v 2 ) v 2f − vi2 2ax −2eeE x = 1 = = 2 = 2 Ki vi2 vi me vi2 2 me vi = −2(1, 60 × 10 −19 C)(1,00 × 103 N C)(8,00 × 10 −3 m) = −0,112. (9,11 × 10 −31 kg)(5,00 × 106 m s)2 Assim, a fração da energia cinética perdida na região é 0,112. 41. (a) O módulo da força a que a partícula está submetida é dado por F = qE, na qual q é o valor absoluto da carga da partícula e E é o módulo do campo elétrico na posição da partícula. Assim, E= F 3, 0 × 10 −6 N = 1, 5 × 10 3 N C. = q 2, 0 × 10 −9 C Como a força aponta para baixo e a carga é negativa, o campo aponta para cima. (b) O módulo da força eletrostática exercida pelo campo sobre um próton é K  ( 12 me v 2 ) v 2f − vi2 2ax −2eeE x = 1 = = 2 = 2 Ki vi2 vi me vi2 2 me vi = −2(1, 60 × 10 −19 C)(1,00 × 103 N C)(8,00 × 10 −3 m) = −0,112. (9,11 × 10 −31 kg)(5,00 × 106 m s)2 (c) Como o próton tem carga positiva, a força eletrostática aponta na direção do campo, ou seja, para cima. (d) O módulo da força gravitacional a que está sujeito o próton é Fg = mg = (1, 67 × 10 −27 kg)(9,8 m s 2 ) = 1, 6 × 10 −26 N. (e) A razão das forças é 2, 4 × 10 −16 N Fel = 1, 5 × 1010. = Fg 1, 64 × 10 −26 N 35 36 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 42. (a) Fe = Ee = (3,0 × 106 N/C)(1,6 × 10–19 C) = 4,8 × 10–13 N. (b) Fi = Eqíon = Ee = (3,0 × 106 N/C)(1,6 × 10–19 C) = 4,8 × 10–13 N. 43. O módulo da força a que o elétron está submetido é F = eE, na qual E é o módulo do campo elétrico na posição do elétron. A aceleração do elétron é dada pela segunda lei de Newton: a= F eE (1, 60 × 10 −19 C)(2,00 × 10 4 N C) = = = 3, 51 × 1015 m s2 . m m 9,11 × 10 −31 kg 44. (a) Para que a partícula esteja em equilíbrio, devemos ter   mg q E = mg ⇒ E = . 2e Substituindo os valores dados no problema, obtemos  mg (6, 64 × 10 −27 kg)(9, 8 m/s 2 ) E = = = 2, 03 × 10 −7 N C . 2e 2(1, 6 × 10 −19 C)  (b) Como a força da gravidade aponta para baixo, a força qE deve apontar para cima. Como a carga da partícula alfa é positiva, o campo elétrico deve apontar para cima. 45. Combinando a Eq. 22-9 com a Eq. 22-28, temos:  p  2 kep = 3 F= qE= q z  2 0 z 3  na qual k é a constante eletrostática, dada pela Eq. 21-5. Assim, temos: F= 2(8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 ) (1,60 × 10 −19 C) (3,6 × 10 −29 C ⋅ m) ( 25 × 10 −9 m ) 3 = 6, 6 × 10 −15 N.  Se o momento do dipolo aponta no sentido positivo do eixo z, a força F aponta no sentido negativo do eixo z. 46. (a) De acordo com a Eq. 22-28 e a segunda lei de Newton, temos: E=  9,11 × 10 −31 kg  F ma  m  (1, 80 × 109 m/s 2 ) = 0, 0102 N/C = = a=  e q e  1, 60 × 10 −19 C  = 1,02 × 10 −2 N/C. (b) Como o elétron tem carga negativa e é acelerado para leste, isso significa que o campo elétrico tem o sentido oposto, ou seja, aponta para oeste. 47. (a) O módulo da força que age sobre o próton é F = eE, na qual E é o módulo do campo elétrico. De acordo com a segunda lei de Newton, a aceleração do próton é a = F/m = eE/m, na qual m é a massa do próton. Assim, a= (1, 60 × 10 −19 C)(2,00 × 10 4 N C) = 1, 92 × 1012 m s 2 . 1, 67 × 10 −27 kg (b) Supondo que o próton parte do repouso e usando a Eq. 2-16, temos: v= 2ax = 2(1, 92 × 1012 m s 2 )(0, 0100 m) = 1, 96 × 105 m s. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 48. De acordo com a Eq. 22-26, a Eq. 22-28 e a segunda lei de Newton, temos: a= e  1− 2m 0  z z2 + R2    na qual z é a distância entre o elétron e o centro do disco. (a) Para z = R, temos: a= e  1− 2m 0  (b) Para z = R/100, a =  e (2 − 2 ) = 1,16 × 1016 m/s 2 .  = 2 2 4 m  R +R 0 R e (10.001 − 10.001 = 3, 94 × 1016 m/s 2 . 20.002m 0 (c) Para z = R/1000, a = e (1.000.001 − 1.000.001 = 3, 97 × 1016 m/s 2 . 2.000.002m 0 (d) O módulo da aceleração quase não varia quando o elétron está próximo do disco porque a resultante da força produzida pelas cargas próximas da borda do disco diminui com a redução da distância entre o elétron e o centro do disco. 49. (a) De acordo com a Eq. 22-28, temos:  F = (8, 00 × 10 −5 C)(3,00 × 103 N C) ˆi + (8, 00 × 10 −5 C)(−600 N C) ˆj = (0, 240 N) ˆi − (0, 0480 N) ˆj. Assim, o módulo da força é F= Fx2 + Fy2 = (0, 240 N)2 + (−0, 0480 N)2 = 0, 245 N.  (b) O ângulo que a força F faz com o semieixo x positivo é  Fy   −0.0480 N  = −11, 3°  = tan −1   = tan −1   0.240 N   Fx  (c) De acordo com a Eq. 2-18, 1 2 Fx t 2 ( 0, 240 N ) ( 3, 00 s ) = ax t = = 108 m. 2 2m 2 ( 0, 0100 kg ) 2 x= (d) De acordo com a Eq. 2-18, y= 1 2 Fy t 2 (−0, 0480 N)(3, 00 s)2 = −21, 6 m. ay t = = 2 2m 2(0, 0100 kgg) 50. Como o campo elétrico e a força da gravidade são verticais, não existem forças na direção do eixo x. Vamos combinar a Eq. 22-28 com a segunda lei de Newton, usar a Eq. 4-21 para determinar o tempo t e usar a Eq. 4-23 para determinar a velocidade final, substituindo 2g por ay. As componentes da velocidade dadas no enunciado do problema como vx e vy serão chamadas de v0x e v0y.    (a) Como a = qE / m = −(e / m) E , temos:  1, 60 × 10 −19 C   N  2 13 a = −  120  ˆj = −(2,1 × 10 m s ) ˆj.  31 − C  9,11 × 10 kg  37 38 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Como vx = v0x neste problema (ou seja, ax = 0), temos: t= x 0, 020 m = = 1, 33 × 10 −7 s v0 x 1,5 × 105 m s v y = v0 y + a y t = 3, 0 × 10 3 m s + (−2,1 × 1013 m s2 )(1,33 × 10 −7s) = −2, 8 × 106 m/s. Assim, a velocidade final é  v = (1, 5 × 10 5 m/s) ˆi − (2, 8 × 10 6 m/s) ˆj. 51. (a) Vamos chamar de Q a carga da abelha e de q o valor absoluto das cargas induzidas nos lados do grão de pólen. Representando a carga da abelha por uma carga pontual situada no centro do inseto, a força eletrostática exercida pela abelha sobre o grão de pólen é F= kQq kQ(− q) 1  1  + = − kQ | q |  − 2 2 2 2 (d + D / 2) ( D / 2) (d + D /2)   ( D / 2) na qual D é o diâmetro da esfera que representa a abelha e d é o diâmetro do grão de pólen. Substituindo os valores numéricos, obtemos F = −(8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(45, 0 × 10 −12 C) 1 1   (1, 000 × 10 −12 C)  −  − 3 2 − 3 2 (5, 04 × 10 m)   (5, 00 × 10 m) = −2, 56 × 10 −10 N . O sinal negativo indica que a força entre a abelha e o grão de pólen é atrativa. O módulo da força é |F| = 2,6 × 10−10 N. (b) Seja | Q ′ | = 45, 0 pC o valor absoluto da carga da ponta do estigma. A força eletrostática que o estigma exerce sobre o grão é F′ = k | Q ′ | q k | Q ′ | (− q) 1  1  − = − k | Q ′ || q |  + 2 2 (d + D ′) 2 ( D ′) 2 ( + D ) ( d D ) ′ ′   na qual D ′ = 1, 000 mm é a distância entre o grão de pólen e o estigma. Substituindo os valores numéricos, obtemos F ′ = −(8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(45, 0 × 10 −12 C) 1 1   (1, 000 × 10 −12 C)  − −3 m ) 2 −3 m ) 2  1 000 × 10 1 040 × 10 ( , ( ,   = −3, 06 × 10 −8 N . O sinal negativo indica que a força entre o grão de pólen e o estigma é atrativa. O valor absoluto da força é | F ′ | = 3, 06 × 10 −8 N. (c) Como | F ′ | > | F | , o grão salta para o estigma. 52. (a) De acordo com a Eq. 2-11, a Eq. 22-28 e a segunda lei de Newton, temos: v = v0 − | a | t = v0 − eE (1,6 × 10 −19 C)(50 N/C) t = 4,0 × 10 4 m/s − (1,5 × 10 −9 s) m 9,11 × 10 −31 kg = 2, 7 × 10 4 m/s = 27 km/s. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Como o campo elétrico é uniforme, a aceleração é constante e, portanto, de acordo com a Eq. 2-17, a distância percorrida é d= v + v0 t = 5, 0 × 10 −5 m = 50 m. 2 53. Tomamos o sentido positivo para a direita na Fig. 22-55. A aceleração do próton é ap = eE/mp e a aceleração do elétron é ae = 2eE/me, na qual E é o módulo do campo elétrico, mp é a massa do próton e me é a massa do elétron. Tomamos a origem como a posição inicial do próton. Nesse caso, a coordenada do próton no instante t é x = apt2/2 e a coordenada do elétron é x = L + aet2/2. No instante em que as partículas passam uma pela outra, suas coordenadas são iguais, ou seja, 1 1 a p t 2 = L + ae t 2 . 2 2 Isso significa que t2 = 2L/(ap 2 ae) e, portanto, x=  me  ap eE m p L= L= L a p − ae eE m p + ( eE me )  me + m p  ( )   9,11 × 10 −31 kg = ( 0, 050 m ) 31 27 − −  9,11 × 10 kg + 1, 67 × 10 kg  = 2, 7 × 10 −5 m = 27 m. 54. Como a carga do elétron é negativa e o campo elétrico aponta no sentido positivo do eixo y, a força a que o elétron é submetido, de acordo com a Eq. 22-28, aponta para baixo, e a aplicação da segunda lei de Newton ao problema leva a equações análogas às do movimento balístico discutido no Capítulo 4, com a aceleração da gravidade g substituída por uma aceleração a = eE/m = 8,78 × 1011 m/s2. De acordo com a Eq. 4-21, t= x 3, 00 m = = 1, 96 × 10 −6 s, v0 cos0 (2,00 × 106 m/s) cos 40, 0° o que nos dá (usando a Eq. 4-23) v y = v0 sen0 − at = (2,00 × 106 m/s) sen 40, 0° − (8,78 × 1011 m/s 2 )(1,96 × 10 −6 s) = −4, 34 × 10 5 m/s . Como a componente x da velocidade não muda, a velocidade final é  v = (1, 53 × 10 6 m/s) ˆi − (4, 34 × 10 5 m/s) ˆj. 55. (a) De acordo com a Eq. 2-17, v= 2 x 2(2, 0 × 10 −2 m) = 2, 7 × 10 6 m s. = t 1, 5 × 10 −8 s (b) De acordo com a Eq. 2-15, a Eq. 22-28 e a segunda lei de Newton, E= ma 2 xm 2(2, 0 × 10 −2 m)(9,11 × 10 −31 kg) = 1, 0 × 103 N C = 1,0 kN/C. = 2 = e et (1, 60 × 10 −19 C)(1,5 × 10 −8 s)2 56. (a) Para u = 0, a Eq. 22-33 nos dá t = pE sen 0o = 0. (b) Para u = 90o, a Eq. 22-33 nos dá  = pE =  2 (1, 6 × 10 −19 C ) ( 0,78 × 10 −9 m )  ( 3,4 × 106 N C ) = 8, 5 × 10 −22 N ⋅ m. 39 40 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) Para u = 180o, a Eq. 22-33 nos dá t = pE sen 180o = 0. 57. (a) O módulo do momento dipolar é p = qd = (1, 50 × 10 −9 C)(6,20 × 10 −6 m) = 9, 30 × 10 −15 C ⋅ m.. (b) Usando o mesmo raciocínio do item (c) do Exemplo “Torque e energia de um dipolo elétrico em um campo elétrico”, obtemos: U (180°) − U (0) = 2 pE = 2 (9, 30 × 10 −15 C ⋅ m)(1100 N/C) = 2, 05 × 10 −11 J. 58. De acordo com a Eq. 22-38 e o gráfico da Fig. 22-57, Umax = pE = 100 × 10−28 J. Para E = 20 N/C, obtemos p = 5,0 × 10−28 C·m. 59. Usando o mesmo raciocínio do item (c) do Exemplo “Torque e energia de um dipolo elétrico em um campo elétrico”, obtemos: W = U (0 +  ) − U (0 ) = − pE [ cos(0 +  ) − cos(0 ) ] = 2 pE cos0 = 2(3, 02 × 10 −25 C ⋅ m)(46,0 N/C) cos64,0° = 1, 22 × 10 −23 J. 60. De acordo com a Eq. 22-35, o ângulo para o qual o torque é máximo é u฀= −90° e tmax = pE. Assim, como E = 40 N/C e, de acordo com o gráfico da Fig. 22-58, tmax = 100 × 10−28 N · m, o momento dipolar é p = 2,5 × 10−28 C·m. 61. A Eq. 22-35, t = −pE sen u expressa o fato de que existe um torque restaurador que tende a fazer um dipolo voltar à posição de equilíbrio depois de perturbado. Se a amplitude do movimento é pequena, podemos substituir sen u por u em radianos, obtendo a relação t ≈ −pEu. Como essa relação expressa uma proporcionalidade entre o torque restaurador e o ângulo de rotação, o dipolo executa um movimento harmônico simples semelhante ao de um pêndulo de torção com uma constante de torção κ = pE. Assim, a frequência angular ω é dada por 2 =  pE = I I em que I é o momento de inércia do dipolo. A frequência de oscilação é f = 1  = 2 2 1  pE  pE =   2  I  I 0 ,5 62. (a) De acordo com a Eq. 22-28 e a segunda lei de Newton, temos: a= | q | E  1, 60 × 10 −19 C   6 N  = 2, 46 × 1017 m s 2 . =  1, 40 × 10   31 − m C  9,11 × 10 kg  (b) De acordo com a Eq. 2-11, para v = c/10 = 3,00 × 107 m/s, temos: t= v − vo 3, 00 × 10 7 m/s = = 1, 22 × 10 −10 s. a 2, 46 × 1017 m/s 2 (c) De acordo com a Eq. 2-16, temos: x − x0 = (3, 00 × 10 7 m/s)2 v 2 − v02 = 1, 83 × 10 −3 m. = 2a 2(2, 46 × 1017 m/s2 ) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 63. (a) Como a massa específica da água é r = 1000 kg/m3, o peso mg de uma gota esférica de raio r = 6,0 × 10–7 m é   4 W = Vg = (1000 kg m 3 )  (6, 0 × 10 −7 m)3  (9, 8 m s 2 ) = 8, 87 × 10 −15 N.   3 (b) O equilíbrio vertical das forças nos dá mg = qE = neE, em que n é o número de elétrons em excesso. Explicitando n, obtemos n= mg 8, 87 × 10 −15 N = = 120. eE (1,60 × 10 −19 C)(462 N C) 64. Os campos produzidos pelas duas cargas mais próximas do ponto médio se cancelam. Assim, precisamos considerar apenas o campo produzido pela terceira carga, que está a uma distância r = 3d / 2 do ponto médio. De acordo com a Eq. 22-3, temos: E= Q Q Q . = = 2 2 4 0 r 3 0 d 2 4 0 ( 3d / 2) 65. Usando o mesmo raciocínio do Exemplo “Campo elétrico de um arco de circunferência carregado”, chegamos à conclusão de que o módulo do campo elétrico produzido por um arco de circunferência de raio R, com uma densidade linear de carga Q/L, que subtende um ângulo u, é Earco = Q /L 2(Q /L )senn( /2) . [sen( / 2) − sen(− / 2)] = 4 0 R 4 0 R Como L = Ru, com u em radianos, temos: Earco = 2(Q /R )sen( / 2) 2Q sen( / 2) . = 4 0 R 4 0 R 2 Fazendo Earco = 0,500Epart, em que Epart é dado pela Eq. 22-3, temos: 2Q sen( / 2) 1 Q   = ⇒ sen = 2 2 4 0 R  2 4 0 R 2 4 A solução aproximada da última equação é u = 3,791 rad ≈ 217°. 66. Na figura a seguir, o terceiro vértice do triângulo foi escolhido como origem do sistema de coordenadas. 41 42 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS De acordo com a Eq. 22-3,   Ee = Ep = e 4 0 d 2 em que d é o lado do triângulo. Note que as componentes y dos campos elétricos se cancelam. Como, no caso de um triângulo equilátero, o ângulo u indicado na figura é 60o, temos: −19 C)   e  9 N ⋅ m 2 /C 2 ) (1,6 × 10 = 2 8 9 Etot = E x = 2 Ee cos = 2  cos 60° ×  9 10 cos , ( (2, 0 × 10 −6 m)2  4 0 d 2  = 3, 6 × 10 2 N C. 67. A carga de um pequeno trecho da corda é dada por dq = ldx, na qual l é a densidade linear de carga. Como a contribuição desse trecho da corda para o módulo do campo elétrico no ponto xP do eixo x é dE = dq , 4 0 ( x − x P )2 temos: E=⌠  3  dx 2. ⌡0 4 0 ( x − x P ) Fazendo u = x – xP, obtemos:  E= −1   ⌠ −1 du   −1 = − = 61 N/C. 4 0 ⌡−4 u 2 4 0  −1, 0 m −4, 0 m  68. Todos os campos produzidos por cargas diametralmente opostas se cancelam, exceto os campos produzidos pelas cargas q4 e q8. O campo resultante dessas duas cargas é dado por  E= 3e ˆ 3(8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) (1,60 × 10 −19 C) ˆ ˆ i = (1, 08 × 10 −5 N/C)i. i= 4 0 d 2 ( 0, 020m )2 69. (a) Supondo que as duas partículas estão no eixo x, vemos que, por simetria, a componente x do campo total é zero; assim, o campo total é igual à componente y, que aponta para cima e cujo módulo é dado por Etot , y = 2 Q sen  (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 /C2 )(12 × 10 −9 )sen 60o = 46, 7 N/C ≈ 47 N/C. = 2 (2, 0)2 4 0 a 2 (b) Por simetria, vemos que, neste caso, a componente y do campo total é zero; assim, o campo total é igual à componente x, que aponta para a direita e cujo módulo é dado por Etot , x = 2 Q cos (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 /C2 )(12 × 10 −9 ) cos 60 o = 27 N/C. = 2 (2, 0)2 4 0 a 2 70. Nossa abordagem, baseada na Eq. 22-29, envolve várias etapas. A primeira consiste em encontrar um valor aproximado de e calculando as diferenças entre todos os pares de valores experimentais. A menor diferença é a que existe entre o sexto e o quinto valores: 18,08 × 10 –19 C – 16,48 × 10– 19 C = 1,60 × 10–19 C, SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS que vamos chamar de eaprox. A etapa seguinte é determinar valores inteiros de n usando este valor aproximado de e: dado 1 6,563 × 10 −19 C = 4,10 ⇒ n1 = 4 eaprox dado 6 18,08 × 10 −19 C = 11, 30 ⇒ n6 = 11 eaprox dado 2 8, 204 × 10 −19 C = 5,13 ⇒ n2 = 5 eaprox dado 7 19,71 × 10 −19 C = 12, 32 ⇒ n7 = 12 eaprox dado 3 11,50 × 10 −19 C = 7,19 ⇒ n3 = 7 eaprox dado 8 22,89 × 10 −19 C = 14, 31 ⇒ n8 = 14 eaprox dado 4 13,13 × 10 −19 C = 8, 21 ⇒ n4 = 8 eaprox dado 9 26,13 × 10 −19 C = 16, 33 ⇒ n9 = 16 eaprox dado 5 16,48 × 10 −19 C = 10, 30 ⇒ n5 = 10 eaprox Em seguida, preparamos um novo conjunto de dados (e1, e2, e3, Ö) dividindo os dados pelos números inteiros ni obtidos na etapa anterior:  6, 563 × 10 −19 C 8, 204 × 10 −19 C 11, 50 × 10 −19 C  , , ,… , n1 n2 n3   (e1 , e2 , e3 ,…) =  o que nos dá (usando mais decimais que o número de algarismos significativos) (1, 64075 × 10 −19 C, 1,6408 × 10 −19 C, 1,64286 × 10 −19 C,…) com um novo conjunto de dados (que podem ser considerados valores experimentais de e). Finalmente, calculamos a média e o desvio-padrão desse conjunto de dados. O resultado é eexp = emed ± e = (1, 641 ± 0, 004 ) × 10 −19 C que não concorda (dentro de um desvio-padrão) com o valor atualmente aceito de e. O limite inferior do valor de e, de acordo com o resultado apresentado, é emed – ∆e = 1,637 × 10–19 C ≈ 1,64 × 10−19 C, que está 2% acima do valor atualmente aceito, e = 1,60 × 10−19 C. 71. No Exemplo “Campo elétrico de um arco de circunferência carregado”, vimos que o campo no centro de um arco circular é dado por E=  sen x 4 0 r  − na qual l é a densidade linear de carga, r é o raio do arco e 2u é o ângulo subtendido pelo arco. Como l = q/L = q/ru, com u em radianos, em que q é a carga do arco e L é o comprimento do arco, 2u = L/r e E= q sen  4 0 rL L /r − L /r (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 /C2 )(20 × 10 −9 C) [sen(1 rad) − sen(−1 rad)] (2, 0 m )(4, 0 m ) = 37, 8 N/C ≈ 38 N/C. 72. De acordo com a Eq. 22-16, o campo elétrico em um ponto do eixo de um anel uniformemente carregado situado a uma distância z do centro do anel é dado por E= 4 0 qz + R 2 )3 / 2 (z 2 43 44 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS em que q é a carga do anel e R é o raio do anel. No caso de uma carga positiva, o campo aponta para cima nos pontos acima do anel e para baixo nos pontos abaixo do anel. Vamos tomar o sentido para cima como positivo. Nesse caso, a força a que é submetido um elétron que está no eixo do anel é F=− eqz . 4 0 ( z 2 + R 2 )3 / 2 No caso de oscilações de pequena amplitude em torno do centro do anel, z << R e podemos fazer z2 + R2 ≈ R2 no denominador. Assim, F=− eqz . 4 0 R3 A força F é uma força restauradora proporcional ao deslocamento do elétron em relação à posição de equilíbrio, como se o elétron estivesse preso a uma mola de constante elástica k = eq/4pâ0R3. Assim, de acordo com a Eq. 15-12, = k = m eq 4 0 mR3 em que m é a massa do elétron. 73. Vamos chamar as coordenadas da partícula de (x0,y0). De acordo com a Eq. 22-3, o campo elétrico produzido pela partícula em um ponto de coordenadas (x,y) é dado por  E = E x ˆi + E y ˆj = q ( x − x 0 ) ˆi + ( y − y0 ) ˆj . 4 0 [ ( x − x 0 )2 + ( y − y0 )2 ]3 / 2 A razão entre as componentes do campo é E y y − y0 . = Ex x − x0  (a) O fato de que o campo elétrico no ponto (2,0 cm, 0) é E = (100 N/C) ˆi mostra que y0 = 0, ou seja, que a partícula está no eixo x. Assim, a expressão do campo elétrico pode ser simplificada para  q ( x − x 0 ) ˆi + yˆj . E= 4 0 [ ( x − x 0 )2 + y 2 ]3 / 2  Por outro lado, o campo no ponto (3,0 cm, 3,0 cm) é E = (7, 2 N/C)(4, 0 ˆi + 3, 0 ˆj), o que nos dá E y /E x = 3 / 4. Assim, temos: 3 3, 0 cm = 4 3, 0 cm − x 0 ⇒ x 0 = −1, 0 cm. (b) Como já foi dito, y0 = 0. (c) Para calcular o valor da carga, partimos do fato de que o módulo do campo no ponto (2,0 cm, 0) (que está a uma distância r = 0,030 m da partícula) é  E = 1 q = 100 N C. 4 0 r 2 Assim,  (100 N C)(0,030 m)2 = 1, 0 × 10 −11 C. q = 4 0 E r 2 = 8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Nota: Também poderíamos calcular o valor da carga partindo do fato de que, no ponto (3,0 cm, 3,00 cm), E x = 28, 8 N/C = (0, 040 m ) q q = (320 / m 2 ) , 3 / 2 4 0 4 0 [ (0, 040 m)2 + (0, 030 m)2 ] o que nos dá q= (8, 99 × 10 9 28, 8 N/C = 1, 0 × 10 −11 C, N ⋅ m 2 C2 )(320 /m 2 ) o mesmo valor calculado anteriormente. 74. (a) De acordo com a Eq. 22-27, E = s/2â0 = 3 × 106 N/C. Como s = |q|/A, isso nos dá q =  R 2 = 2 0 R 2 E = R 2 E (2, 5 × 10 −2 m)2 (3, 0 × 106 N C)) = 1, 0 × 10 −7 C = 0,10 C. = 2k 2 (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) (b) Usando a relação n = Ad/Aa = pR2/Aa, em que n é o número de átomos, Ad é a área do disco e Aa é a seção reta efetiva de um átomo, temos: n=  (2, 5 × 10 −2 m)2 = 1, 3 × 1017. 0, 015 × 10 −18 m 2 (c) A fração pedida é 1, 0 × 10 −7 C q = ≈ 5, 0 × 10 −6. Ne (1, 3 × 1017 )(1, 6 × 10 −19 C) 75. Podemos concluir que Q = +1,00 µC unicamente por considerações de simetria. Entretanto, é possível chegar ao mesmo resultado usando a Eq. 22-3 para calcular o módulo do campo elétrico no centro do triângulo e determinar o valor da carga para o qual o campo elétrico no centro do triângulo é zero. Tomando o eixo y como vertical e igualando a zero a soma das componentes y dos três campos, obtemos a equação 2 kq sen 30°/r 2 = kQ /r 2, na qual q é a carga das outras duas partículas e r = a / 3. Isso nos dá Q = 2q sen 30° = q, o mesmo valor mencionado anteriormente.   76. De acordo com a Eq. 22-38, U = − p ⋅ E = − pE cos  , na qual φ é o ângulo entre o momento do dipolo e o campo elétrico. De acordo com o enunciado do problema e a Fig. 22-62, φi = 90° + ui = 110° e φf = 90° − uf = 70,0°. Assim, U = − pE [ cos(70, 0°) − cos(110°) ] = −3, 28 × 10 −21 J. 77. (a) Como as duas cargas têm o mesmo sinal, o ponto x = 2,0 mm deve estar situado entre as cargas, para que os campos elétricos criados pelas duas cargas apontem sem sentidos opostos. Vamos chamar de x9 a coordenada da segunda partícula. Nesse caso, o módulo do campo produzido pela partícula de carga –q1 no ponto x é dado por E = q1/4pâ0x2 e o módulo do campo produzido pela partícula de carga –4q1 é E9 = 4q1/4pâ0(x9 – x)2. Igualando a zero o campo total, temos:  Enet = 0 ⇒ E = E ′ e, portanto, 4 q1 q1 , = 2 4 0 x 4 0 ( x ′ − x )2 o que nos dá x9 = 3x = 3(2,0 mm) = 6,0 mm. 45 46 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Neste caso, os campos elétricos produzidos pelas duas partículas no ponto x = 2,0 mm apontam no sentido negativo do eixo x. Assim, o campo total também aponta no sentido negativo do eixo x e, portanto, faz um ângulo de 180° com o semieixo x positivo. 78. Seja q1 a carga da partícula 1, que está no ponto y = d, e seja q2 a carga da partícula 2, que está no ponto y = 2d. Os módulos dos campos produzidos pelas duas cargas, E1 e E2, são dados pela Eq. 22-3. A distância entre a partícula 1 e qualquer ponto do eixo x é igual à distância entre a partícula 2 e o mesmo ponto, e é dada por r = x 2 + d 2 . Por simetria, a componente y do campo total em qualquer ponto do eixo x é zero. A componente x é dada por  1  q  Ex = 2     4 0   x 2 + d 2   x x2 + d2   na qual o último fator é cosu = x/r, sendo que u é o ângulo entre os campos produzidos pelas duas partículas e o eixo x. (a) Simplificando essa expressão e fazendo x = ad, obtemos Ex = q 2 0 d 2     ( 2 + 1)3 2  .   (b) A figura a seguir mostra o gráfico de E = Ex em função de a para d = 1 m e q = 5,56 × 10–11 C. (c) Observando o gráfico, estimamos que o valor de E é máximo para a ≈ 0,71. Derivando a equação do item a e igualando o resultado a zero, obtemos o valor exato,  = 1 2 . (d) Observando o gráfico, estimamos que os pontos de “meia altura” correspondem a a ≈ 0,2 e a ≈ 2,0. Um cálculo matemático leva aos resultados exatos: a = 0,2047 e a = 1,9864. 79. Vamos considerar pares de cargas diametralmente opostas. O campo total produzido pelas cargas situadas na posição de uma hora (–q) e na posição de sete horas (27q) é igual ao campo produzido por uma carga 26q na posição de sete horas. Da mesma forma, o campo total produzido pelas cargas situadas nas posições de seis horas (26q) e na posição de doze horas (212q) é igual ao campo produzido por uma carga 26q na posição de doze horas. Pelo mesmo raciocínio, vemos que os doze vetores de campo elétrico podem ser reduzidos a seis vetores de mesmo módulo, que apontam para as direções de sete horas, oito horas, nove horas, dez horas, onze horas e doze horas. Por simetria, o campo total aponta na direção de nove horas e trinta minutos (9 h 30 min). SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 80. O módulo do momento dipolar é dado por p = qd, na qual q é a carga positiva do dipolo e d é a distância entre as cargas. No caso do dipolo descrito no enunciado do problema, p = (1, 60 × 10 −19 C)(4, 30 × 10 −9 m ) = 6, 88 × 10 −28 C ⋅ m. O momento dipolar é um vetor que aponta da carga negativa para a carga positiva.  81. (a) Como o campo E aponta para baixo e precisamos de uma força para cima (para cancelar a força da gravidade), a carga da esfera deve ser negativa. O valor absoluto da carga pode ser calculado usando a Eq. 22-28: |q|= 4, 4 N F mg = = = 0, 029 C, E E 150 N C o que nos dá q = −0,029 C. (b) Podemos estudar a viabilidade deste experimento usando a Eq. 22-3. O módulo do campo produzido pela carga q na superfície da esfera é E= q 4 0 r 2 na qual r é o raio da esfera, dado por 1/ 3  3P  r=   4 g  , na qual P é o peso da esfera e r é a massa específica do enxofre, dada no Apêndice F. Substituindo por valores numéricos, obtemos r = 0, 037 m ⇒ E = q ≈ 2 × 1011 N C , 4 0 r 2 um valor muito maior que a rigidez dielétrica do ar (veja a Seção 25-6). Além disso, a esfera seria desintegrada pela força de repulsão. 82. Usando o mesmo raciocínio do Exemplo “Campo elétrico de um arco de circunferência carregado”, chegamos à conclusão de que o módulo do campo elétrico produzido por um arco de circunferência de raio R, com uma densidade linear de carga l, que subtende um ângulo u, é Earco = 2 sen( / 2)  . [sen( / 2) − sen(− / 2)] = 4 0 R 4 0 R Fazendo l = Q/L = Q/Ru, obtemos: Earco = 2(6, 25 × 10 −12 C) [ sen(1, 20 rad) ] 2Q sen( / 2) = 5, 39 N/C. = 4 0 R 2 4 (8, 85 × 10 −12 F/m)(0, 09 m)2 (2, 40 rad) 83. (a) Usando a Eq. 22-38 e as relações ˆi ⋅ ˆi = 1 e ˆj ⋅ ˆi = 0, obtemos:   U = − p ⋅ E = −[(3, 00 ˆi + 4,00jˆ) (1, 24 × 10 −30 C ⋅ m)] ⋅ [(4000 N C) ˆi ] = −1, 49 × 10 −26 J. (b) Usando a Eq. 22-34 e as relações ˆi × ˆi = 0 e ˆj × ˆi = − kˆ , obtemos:     = p × E = [(3, 00 ˆi + 4,00jˆ)(1, 24 × 10 −30 C ⋅ m)] × [(4000 N C) ˆi ] ˆ = (−1, 98 × 10 −26 N ⋅ m) k. 47 48 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) O trabalho realizado é      W = U = (− p ⋅ E ) = ( pi − p f ) ⋅ E ˆ) − (−4, 00 ˆi + 3,00jˆ)](1, 24 × 10 −30 C ⋅ m) ⋅ [(4000 N C) ˆi ] = [(3, 00iˆ + 4,00j) − 26 = 3, 47 × 10 J. 84. (a) Como o campo elétrico da Fig. 22-63 aponta para cima e a carga do elétron é negativa, a força que o campo exerce sobre o elétron aponta para baixo. O módulo da aceleração é a = eE/m, na qual E é o módulo do campo e m é a massa do elétron. Substituindo por valores numéricos, obtemos a= (1, 60 × 10 −19 C)(2,00 × 10 3 N C) = 3, 51 × 1014 m s2 . 9,11 × 10 −31 kg Vamos colocar a origem do sistema de coordenadas na posição inicial do elétron, escolher um eixo x horizontal e positivo para a direita e um eixo y vertical e positivo para cima. Nesse caso, as equações cinemáticas são x = v0 t cos  , y = v0 t sen  − 1 2 at , v y = v0 sen  − at. 2 Em primeiro lugar, determinamos a maior coordenada y atingida pelo elétron. Se for menor que d, isso significa que o elétron não se choca com a placa de cima. Se for maior que d, isso significa que o elétron se choca com a placa de cima se a coordenada x nesse instante for menor que L. A maior coordenada y é atingida no instante em que vy = 0. Isso significa que v0 sen u – at = 0, o que nos dá t = (v0/a) sen u e ymax = v02 sen 2 1 v02 sen 2 1 v02 sen 2 (6, 00 × 106 m s)2 sen 2 45° = 2, 56 × 10 −2 m. − a = = a a2 a 2 2 2(3, 51 × 1014 m s 2 ) Como este valor é maior que d = 2,00 cm, pode ser que o elétron se choque com a placa de cima. (b) Vamos agora calcular o valor da coordenada x no instante em que a coordenada y é y = d. Como v0 sen  = (6, 00 × 10 6 m s) sen 45° = 4, 24 × 106 m s e 2 2ad = 2(3, 51 × 1014 m s 2 )(0, 0200 m) = 1, 40 × 1013 m 2 s , a solução da equação d = v0 t sen  − 12 at 2 é v02sen 2 − 2ad (4, 24 × 10 6 m s) − (4, 24 × 106 m s)2 − 1, 40 × 1013 m 2 s 2 t= = 3, 51 × 1014 m s 2 a − 9 = 6, 43 × 10 s. v0 sen − Escolhemos a raiz negativa porque estamos interessados no primeiro instante em que y = d. A coordenada x é x = v0 tcos = (6, 00 × 106 m s)(6,43 × 10 −9s)cos45° = 2, 72 × 10 −2 m. Como este valor é menor que o comprimento L das placas, o elétron se choca com a placa superior no ponto x = 2,72 cm. 85. (a) Subtraindo cada valor do valor mais próximo da tabela para o qual a diferença é positiva, obtemos uma série de números que sugere a existência de uma unidade de carga: 1,64 × 10−19, 3,3 × 10−19, 1,63 × 10−19, 3,35 × 10−19, 1,6 × 10−19, 1,63 × 10−19, 3,18 × 10−19 e 3,24 ×฀ 10−19 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS coulombs. Todos esses valores são próximos de 1,6 × 10−19 C ou 2(1,6 × 1019 C) = 3,2 × 10−19 C. Tomando o valor e = 1,6 × 10−19 C como uma aproximação grosseira do valor da unidade de carga, dividimos todos os valores da tabela por este valor e arredondamos o resultado para o número inteiro mais próximo, obtendo, como resultado, n = 4, 8, 12 (linha de cima); n = 5, 10, 14 (linha do meio; n = 7, 11, 16 (linha de baixo). (b) Fazendo uma regressão linear dos valores de q da tabela em função dos valores de n, obtemos a seguinte equação linear: q = 7,18 × 10−21 + 1,633 × 10−19n . Desprezando o termo constante (que pode ser atribuído a erros sistemáticos nos experimentos), obtemos e = 1,63 × 10−19 ao fazer n = 1 na equação apresentada. 86. (a) Por simetria, a componente y da força total é zero; a força total aponta no sentido  F positivo do eixo x, ou seja, o ângulo que a força 3 faz com o semieixo x positivo é 0o. (b) O módulo da força total é dado por F3 = 2 q3 q1 cos 60o kq3 q1 (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(5, 00 × 10 −12 C)(2, 00 × 10 −12 C) = 2 = 4 0 a 2 a (0, 0950 m)2 = 9, 96 × 10 −12 N = 9,96 pN. 87. (a) Para o ponto A, temos:   q1 q2  ˆ EA =  + (− i ) 2 2 r 4 4   0 1 0 r2   = (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(1, 00 × 10 −12 C) ˆ (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) | −2, 00 × 10 −12 C| ˆ (− i ) + (i ) (2 × 5, 00 × 10 −2 m)2 (5, 00 × 10 −2 m)2 = (−1, 80 N C)iˆ . (b) Para o ponto B, temos:   q1 | q2 |  ˆ i EB =  + 2 2  4 0 r1 4 0 r2  = (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(1, 00 × 10 −12 C) ˆ (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 ) | −2, 00 × 10 −12 C| ˆ i+ i (0, 500 × 5, 00 × 10 −2 m)2 (0, 500 × 5, 00 × 10 −2 m)2 = (43, 2 N C)iˆ . (c) Para o ponto C, temos:   q1 | q2 |  ˆ i EC =  − 2 2 r 4 4   0 1 0 r2   = (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(1, 00 × 10 −12 C) ˆ (88, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) | −2, 00 × 10 −12 C| ˆ i− i (5, 00 × 10 −2 m)2 (2, 00 × 5, 00 × 10 −2 m)2 = −(6, 29 N C)iˆ . (d) A figura é semelhante à Fig. 22-5 do livro, exceto pelo fato de que há duas vezes mais linhas “entrando” na carga negativa do que “saindo” da carga positiva. 49 50 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 88. Como as duas cargas são positivas e estão no eixo z, temos: E=  q q 1   2 + 2 . 4 0  ( z − d / 2 ) ( z + d / 2)  Para z >> d, podemos usar a aproximação z ± d /2 ≈ z , que nos dá E≈ 1 4 0 1 2q q  q .  2 + 2  = 4 0 z 2 z z Capítulo 23   1. O diagrama a seguir mostra o vetor área A e o vetor campo elétrico E. Como o ângulo u entre os dois vetores é 180° 2 35° = 145°, o fluxo do campo elétrico através da superfície é    = E ⋅ A = EA cos  = (1800 N C)(3, 2 × 10 −3 m)2 cos 145° = −1, 5 × 10 −2 N ⋅ m 2 C = −0, 015 N ⋅ m 2 C  2. (a) Na face superior do cubo, y = 2,0 m e dA = ( dA) ĵ. Assim,  E = 4 ˆi − 3[(2, 0)2 + 2]ˆj = 4 ˆi − 18 ˆj e o fluxo é   E ⋅ dA = = ∫ sup ∫ ( 4 ˆi − 18ˆj) ⋅ ( dA) ˆj = −18 ∫ sup dA = ( −18 ) ( 2, 0 ) N ⋅ m 2 C = −72 N ⋅ m 2 C . 2 sup  (b) Na face inferior do cubo, y = 0 e dA = (dA)(− ˆj). Assim, E = 4 ˆi − 3 ( 0 2 + 2 ) ˆj = 4 ˆi − 6 ˆj e o fluxo é = ∫ inf   E ⋅ dA = ∫ inf (4 ˆi − 6 ˆj) ⋅ (dA)(− ˆj) = 6 ∫  (c) Na face esquerda do cubo, dA = (dA)(− ˆi ) e   E ⋅ dA = = (4 ˆi + E y ˆj) ⋅ (dA)(− ˆi ) = −4 ∫ esq ∫ esq inf ∫ dA = 6(2, 0)2 N ⋅ m 2 C = +24 N ⋅ m 2 C . inf dA = −4(2, 0)2 N ⋅ m 2 C = −16 N ⋅ m 2 C .   ˆ ). Como o campo E não possui componente z, (d) Na face traseira do cubo, dA = ( dA )( − k   E ⋅ dA = 0; portanto, Φ = 0. (e) Agora temos que somar o fluxo através das seis faces do cubo. É fácil constatar que o fluxo através da face dianteira é zero e que o fluxo através da face direita é igual ao fluxo através da face esquerda com o sinal trocado, ou seja, +16 N · m2/C. Assim, o fluxo total através do cubo é Φ = (–72 + 24 – 16 + 0 + 0 + 16) N · m2/C = 2 48 N · m2/C.   3. Como o campo elétrico é constante, podemos usar a equação  = E ⋅ A, na qual  2 A = Aˆj = (1, 40 m ) ˆj. 2 (a)  = ( 6, 00 N C ) ˆi ⋅ (1, 40 m ) ˆj = 0. 52 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 2 (b)  = ( −2, 00 N C ) ˆj ⋅ (1, 40 m ) ˆj = −3, 92 N ⋅ m 2 C. 2 (c)  = ( −3, 00 N C ) ˆi + ( 400 N C ) kˆ  ⋅ (1, 40 m ) ˆj = 0 . (d) O fluxo total de um campo uniforme através de uma superfície fechada é sempre zero. 4. Como o fluxo através da superfície plana limitada pelo aro é dado por  =  a 2 E , o fluxo através da rede é  ′ = − = − a 2 E = − (0,11 m)2 (3,0 × 10 −3 N/C) = −1,1 × 10 −4 N ⋅ m 2 /C. 5. Para aproveitar a simetria da situação, imagine uma superfície gaussiana na forma de um cubo, de aresta d, com um próton de carga q = +1,6 × 10−19 C no centro do cubo. O cubo tem seis faces e, por simetria, o fluxo do campo elétrico através de todas as faces tem o mesmo valor. Como o fluxo total é Φtot = q/â0, o fluxo através de uma das faces deve ser um sexto deste valor. Assim, = q 1, 6 × 10 −19 C = = 3, 01 × 10 −9 N ⋅ m 2 C = 3, 01 nN ⋅ m 2 C . 6 0 6(8, 85 × 10 −12 C2 N ⋅ m 2 ) 6. Como o fluxo através das faces laterais do cubo é nulo, temos apenas dois fluxos “para dentro” do cubo, um através da face superior, de valor absoluto 34(3,0)2, e outro através da face inferior, de valor absoluto (20)(3,0)2. Como um fluxo “para dentro” é considerado negativo, o resultado é Φ = – 486 N ⋅฀m2/C. Assim, de acordo com a lei de Gauss, qenv =  0  = (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(−486 N ⋅ m 2 C) = −4, 3 × 10 −9 C = −4, 3 nC. 7. De acordo com a lei de Gauss, â0Φ = q, na qual Φ é o fluxo total através da superfície do cubo e q é a carga total no interior do cubo. Assim, = q 1, 8 × 10 −6 C = 2, 0 × 105 N ⋅ m 2 C . =  0 8, 85 × 10 −12 C2 N ⋅ m 2 8. (a) A área total da superfície que envolve o banheiro é A = 2 ( 2, 5 × 3, 0 ) + 2 ( 3, 0 × 2, 0 ) + 2 ( 2, 0 × 2, 5) = 37 m 2 . O valor absoluto do fluxo do campo elétrico é    E ⋅ A | = | E | A = (600 N/C)(37 m 2 ) = 22 × 103 N ⋅ m 2 / C. ||=| ∑ De acordo com a lei de Gauss, o valor absoluto da carga envolvida é | qenv | =  0 |  | = 2, 0 × 10 −7 C. Assim, como o volume do banheiro é V = (2,5 m) × (3,0 m) × (3,0 m) = 15 m3 e a carga, segundo o enunciado, é negativa, temos: = qenv −2, 0 × 10 −7 C = = −1, 3 × 10 −8 C/m 3 . 15 m 3 V (b) O número de cargas em excesso por metro cúbico é qenv 2, 0 × 10 −7 C = 8, 2 × 1010 cargas/m 3 . = eV (1, 6 × 10 −19 C)(15 m 3 )  E= SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 9. (a) Chamando de A a área das faces do cubo, temos:  = (3, 00 y ˆj) ⋅ (− A ˆj) y =0 + (3, 00 y ˆj) ⋅ ( A ˆj) = ( 3, 00 ) (1, 40 ) (1, 40 ) = 8, 23 N ⋅ m 2 C. 2 y = 1, 40 (b) A carga é qenv =  0  = (8, 85 × 10 −12 C2 / N ⋅ m 2 ) (8,23 N ⋅ m 2 C ) = 7,29 × 10 −11 C = 72, 9 pC.    ˆi + (6, 00 + 3, 00 y)] N/C, o campo elétrico pode ser escrito na forma E = 3, 00 y + E = [ − 4 , 00 (c) Se   y ĵ + E0, na qual E0 = −4, 00 ˆi + 6, 00 ˆj é um campo constante que não contribui para o fluxo total através do cubo. Assim, Φ tem o mesmo valor do item (a), 8,23 N ⋅฀m2/C. (d) A carga tem o mesmo valor do item (b), 72,9 pC. 10. Como nenhum dos termos constantes contribui para o fluxo (veja as Eqs. 23-4 e 23-7), precisamos nos preocupar apenas com o termo que depende de x. Em unidades do SI, temos: E ( x ) = 3 xˆi. A contribuição para o fluxo da face do cubo situada em x = 0 é 0, já que E(x) = 0. A contribuição da face situada em x = −2 m é −E(x)A = −(3)(−2)(4) = 24 N·m/C2, na qual A é a área das faces do cubo. Como a contribuição das outras faces é zero, o fluxo total é Φ = 0 + 24 = 24 N · m/C2. De acordo com a lei de Gauss, a carga no interior do cubo é qenv = âο฀Φ = 2,13 × 10−10 C = 0,213 nC. 11. Como nenhum dos termos constantes contribui para o fluxo (veja as Eqs. 23-4 e 23-7), precisamos nos preocupar apenas com o termo que depende de y. Em unidades do SI, temos: E ( y) = −4, 00 y 2 ˆi. A contribuição para o fluxo da face situada em y = 4,00 é E(y)A = (−4)(42)(4) = –256 N · m/C2, na qual A é a área da face do cubo. A contribuição para o fluxo da face situada em y = 2,00 m é −E(y)A = − (−4)(22)(4) = 64 N · m/C2. Como a contribuição das outras faces é zero, o fluxo total é Φ = (−256 + 64) N · m/C2 = −192 N · m/C2. De acordo com a lei de Gauss, a carga no interior do cubo é qenv =  0  = (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(−192 N ⋅ m 2 C) = −1, 70 × 10 −9 C = 1,70 nC. 12. Note que apenas a casca menor contribui para o campo no ponto dado, já que o ponto está no interior da casca maior (E = 0 no interior de uma carga esférica), e o campo aponta no sentido negativo do eixo x. Assim, para R = 0,020 m (o raio da casca menor), L = 0,10 m e x = 0,020 m, temos:  E = E (− ˆj) = − =− q ˆ 4 R 2 2 ˆ R 2 2 ˆ j = − j = − j 4 0 r 2 4 0 ( L − x )2  0 ( L − x )2 (0, 020 m)2 (4, 0 × 10 −6 C/m 2 ) ˆj = ( −2, 8 × 10 4 N/C ) ˆj . (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(0,10 m − 0, 20 m)2 53 54 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 13. Seja A a área da face do cubo, seja Es o módulo do campo elétrico na face superior e seja Ei o módulo do campo elétrico na face inferior. Como o campo aponta para baixo, o fluxo através da face superior é negativo e o fluxo através da face inferior é positivo. Como o fluxo através das outras faces é zero, o fluxo total através da superfície do cubo é Φ = A(Ei − Es). De acordo com a lei de Gauss, a carga total no interior do cubo é q =  0  =  0 A( Ei − Es ) = (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(100 m)2 (100 N/C − 60,0 N/C) = 3, 54 × 10 −6 C = 3,54  C. 14. (a) A carga central pode ser calculada aplicando a lei de Gauss (Eq. 23-6) ao fluxo mostrado na Fig. 23-33b para pequenos valores de r, Φ = 2,0 × 105 N . m2/C: qcentral =  0  = (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(2, 0 × 105 N ⋅ m 2 /C) = +1, 77 × 10 −6 C ≈ +1, 8 × 10 −6 C = +1,8C. (b) Para valores maiores de r, Φ = −4,0 × 105 N . m2/C. Isso significa que qenv =  0  = (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(−4, 0 × 105 N ⋅ m 2 /C) = −3, 54 × 10 −6 C ≈ −3,5 C. Entretanto, parte dessa carga é a carga central, calculada no item (a), de modo que a carga da casca A é qA = qenv – qcentral = −3,5 mC − (+1,8 mC) = 5,3 mC. (c) Finalmente, para valores muito grandes de r, Φ = 6,0 × 105 N . m2/C, o que significa que qenv =  0  = (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(6, 0 × 105 N ⋅ m 2 /C) = 5, 31 × 10 −6 C ≈ 5,3 C. De acordo com os resultados anteriores, isso significa que a carga da casca B é qB = qenv − qA − qcentral = +5,3 mC − (−5,3 mC) − (+1,8 mC) = 8,8 mC. 15. (a) Se dispusermos cubos iguais lado a lado e um em cima do outro, veremos que oito cubos se encontram em um vértice. Assim, um oitavo das linhas de campo que partem de uma carga pontual situada em um vértice passam por um dos cubos e o fluxo total através da superfície desse cubo é q/8â0. Como as linhas de campo são radiais, nas três faces que se encontram no vértice que contém a carga, as linhas de campo são paralelas à face e o fluxo através da face é zero. (b) Como os fluxos através das outras três faces são iguais, o fluxo através de uma dessas três faces é um terço do total. Assim, o fluxo através de uma dessas faces é (1/3)(q/8â0) = q/24â0 e o múltiplo é 1/24 = 0,0417. ∫   E ⋅ dA. O fluxo total através das dy ∫ 16. O fluxo total do campo elétrico através do cubo é  = faces paralelas ao plano yz é  yz = ∫∫ [ E ( x = x ) − E ( x = x )] dydz = ∫ =6 2 x ∫ y2 = 1 y1 = 0 dy ∫ z2 = 3 z1 = 1 1 x y2 = 1 y1 = 0 z2 = 3 z1 = 1 dz [10 + 2(4) − 10 − 2(1) ] dz = 6(1)(2) = 12. O fluxo total através das faces paralelas ao plano xz é  xz = ∫∫  E ( y = y ) − E ( y = y )  dxdz = ∫ y 2 y 1 x2 = 4 x1 = 1 dy ∫ z2 = 3 z1 = 1 dz[−3 − (−3)] = 0 e o fluxo total através das faces paralelas ao plano xy é  xy = x2 = 4 ∫∫ [ Ez (z = z2 ) − Ez (z = z1 )] dxdy = ∫x =1 1 dx ∫ y2 = 1 y1 = 0 dy ( 3b − b ) = 2b(3)(1) = 6b. 55 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS De acordo com a lei de Gauss, temos: qenv =  0  =  0 ( xy +  xz +  yz ) =  0 (6, 00 b + 0 + 12, 0) = 24, 0 0 , o que nos dá b = 2,00 N/C.m.   17. (a) A carga da superfície da esfera é o produto da densidade superficial de carga s pela área da 2 1, 2 m  superfície da esfera, 4pr2, na qual r é o raio da esfera. Assim, q = 4 r 2 = 4  (8,1 ×   2  × 10 −6 C/m 2 ) = 3, 7 × 10 −5 C = 37 C. (b) Usamos uma superfície gaussiana de forma esférica, concêntrica com a esfera condutora e com um raio ligeiramente maior. O fluxo é dado pela lei de Gauss: Φ= q 3, 66 × 10 −5 C = = 4,1 × 106 N ⋅ m 2 / C .  0 8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 18. De acordo com a Eq. 23-11, a densidade superficial de carga é  = E 0 = (2, 3 × 105 N C)(8,85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) = 2, 0 × 10 −6 C/m 2 = 2, 0 C/m 2 . 19. (a) A área da superfície de uma esfera é 4pR2= pD2. Assim, = q 2, 4 × 10 −6 C = = 4, 5 × 10 −7 C/m 2 . 2 D  (1, 3 m)2 (b) De acordo com a Eq. 23-11, temos: E=  4, 5 × 10 −7 C/m 2 = 5,1 × 10 4 N/C. =  0 8, 85 × 10 −12 C2 / N ⋅ m 2 20. De acordo com a lei de Gauss (Eq. 23-6), âοΦ฀=฀qenv. (a) Como Φ = −9,0 × 105 N ⋅ m 2/C para pequenos valores de r, qcentral =  0  = (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(−9, 0 × 105 N ⋅ m 2 /C) = −7, 97 × 10 −6 C ≈ −8, 0 C. (b) Para valores maiores de r, Φ = 4,0 × 105 N . m2/C. Isso significa que qenv =  0  = (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(−4, 0 × 105 N ⋅ m 2 /C) = 3, 54 × 10 −6 C ≈ 3,5 C. Entretanto, parte dessa carga é a carga central, calculada no item (a), de modo que a carga da casca A é qA = qenv – qcentral = −8,0 mC − 3,5 mC) = −11,5 mC ≈ 12 mC. (c) Finalmente, para valores muito grandes de r, Φ = −2,0 × 105 N . m2/C, o que significa que qenv =  0  = (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(−2, 0 × 105 N ⋅ m 2 /C) = −1, 77 × 10 −6 C ≈ −1,8 C. De acordo com os resultados anteriores, isso significa que a carga da casca B é qB = qenv − qA − qcentral = −1,8 mC − 12 mC − (−8 mC) = −5,8 mC. 21. (a) Considere uma superfície gaussiana que esteja totalmente no interior do condutor e envolva a cavidade. Como o campo elétrico é zero em toda a superfície, a carga envolvida pela superfície é zero. Como a carga total é a soma da carga q no interior da cavidade e a carga q1 na superfície da cavidade, temos: q + q1 = 0 ⇒ q1 = 2q = −3,0 × 10–6 C. − = × − =  56 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Como a carga total Q do condutor é a soma da carga q1 na superfície da cavidade com a carga q2 na superfície externa do condutor, temos: q2 = Q − q1 = (10 × 10 −6 C) − (−3, 0 × 10 −6 C) = +1, 3 × 10 −5 C. 22. O problema pode ser resolvido combinando a segunda lei de Newton (F = ma) com a definição de campo elétrico (E = F/q) e com a Eq. 23-12 (E = l/2pâ0r), o que nos dá ma = eE = e 2 0 r ⇒ a= e = 2,1 × 1017 m/s2 . 2 0 rm 23. (a) Como a área da superfície lateral do tambor é A = pDh, na qual D é o diâmetro do tambor e h é a altura do tambor, temos: q =  A =  Dh =  0 EDh =  (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(2, 3 × 105 N/C) ( 0,12 m ) ( 0, 42 m ) = 3, 2 × 10 −7 C = 0,32 C. (b) A nova carga é  (8, 0 cm ) ( 28 cm )    D ′h ′   A′  −7 = (3, 2 × 10 −7 C)  q′ = q   = q   = 1, 4 × 10 C = 0,14C.   Dh   A  (12 cm ) ( 42 cm )  24. Usando uma superfície gaussiana cilíndrica A de raio r e comprimento unitário, concêntrica com o tubo de metal, temos, por simetria, ∫   q E ⋅ dA = 2 rE = env . A 0 (a) Para r < R, qenv = 0 e, portanto, E = 0. (b) Para r > R, qenv = l e, portanto, para r = 2R = 0,0600 m, temos: E= 2, 0 × 10 −8 C/m  = = 5, 99 × 103 N/C. 2 r 0 2 ( 0, 0600 m ) (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) (c) A figura a seguir mostra o gráfico de E em função de r. 25. Como, de acordo com a Eq. 23-12, o módulo do campo elétrico produzido por uma linha infinita de carga é E = l/2pâ0r, na qual l é a densidade linear de carga e r é a distância entre o ponto onde o campo é medido e a linha de carga, temos:  = 2 0 Er = 2 (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(4, 5 × 10 4 N/C)(2, 0 m) = 5, 0 × 10 −6 C/m = 5,0 C/m. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 26. Quando nos aproximamos da distância r = 3,5 cm a partir do lado de dentro da casca, temos: 2 Einterno = = 1000 N/C. 4 0 r Quando nos aproximamos da distância r = 3,5 cm a partir do lado de fora da casca, temos: Eexterno = 2 2 ′ + = −3000 N/C. 4 0 r 4 0 r Assim, temos: Eexterno − Einterno = 2 ′ = −1000 N/C ⇒  ′ = −5, 8 × 10 −9 C/m = −5, 8 nC/m 4 0 r 27. Vamos chamar de R o raio da casca cilíndrica. De acordo com a Eq. 23-12, o campo elétrico para r > R é dado por E = Efio + Ecasca =  ′ + , 2 0 r 2 0 r na qual l é a densidade linear de carga do fio e l9 é a densidade linear de carga da casca. O fato de que a carga da casca pode ser expressa através da densidade linear de carga l9 ou da densidade superficial de carga s permite obter uma relação entre l9 e s : qcasca =  ′ L =  (2 RL ) ⇒  ′ =  (2 R). Para que o campo E do lado de fora da casca seja nulo, devemos ter l9 = −l, o que nos dá =−  3,6 × 10 −6 C/m = = 3,8 × 10 −8 C/m 2 . 2 R (2 )(0, 015 m) 28. (a) Considerando uma superfície gaussiana cilíndrica, coaxial com a barra, de raio r > rext, na qual rext é o raio externo da casca, a única carga envolvida é a carga da barra. Assim, de acordo com a Eq. 23-12, o módulo do campo a uma distância r = 15 cm do eixo da casca é dado por  2(2,0 × 10 −9 C/m) 2 E = = = 2,4 × 10 2 N/C = 0,24 kN/C. 4 0 (0,15 m) 4 0 r (b) Como, na ausência de uma corrente elétrica, o campo é zero no interior dos condutores, há uma carga 2q na superfície interna da casca e uma carga +q na superfície externa da casca, na qual q é a carga da barra. Assim, a densidade superficial de carga na superfície interna da casca é  int =  −q 2,0 × 10 −9 C/m = −6, 4 × 10 −9 C/m 2 = −6, 4 nC/m 2 . =− =− 2 rint L 2 rint 2 (0, 050 m) (c) A densidade superficial de carga na superfície externa da casca é  ext =  q 2, 0 × 10 −9 C/m = = = +3, 2 × 10 −9 C/m 2 = +3, 2 nC/m 2 . 2 rext L 2 rext 2 (0,100 m) 29. (a) Vamos usar como superfície gaussiana um cilindro de comprimento L coaxial com a barra e a casca e de raio r maior que o raio da casca. O fluxo através desta superfície é Φ = 2prLE, na qual E é o módulo do campo elétrico na superfície gaussiana. Podemos ignorar o fluxo nas bases da superfície cilíndrica. A carga envolvida pela superfície gaussiana é qenv = Q1 + Q2 = –Q1= –3,40×10−12 C. Assim, a lei de Gauss nos dá E= qenv −3, 40 × 10 −12 C  = = 2 1 2 − 2 rL 2 0 Lr 2 (8,85 × 10 C /N ⋅ m 2 ) (11,0 m)(20,0 × 1,30 × 10 −3 m) = −0, 214 N/C. 57 58 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Assim, |E| = 0,214 N/C. (b) O sinal negativo indica que o campo elétrico aponta para dentro. (c) Para r = 5,00 R1, a carga envolvida pela superfície gaussiana é qenv = Q1 = 3,40×10−12 C. Assim, de acordo com a lei de Gauss, E= qenv 3, 40 × 10 −12 C = 0, 855 N/C. = 2 0 Lr 2 (8,85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) (11,0 m)(5,00 × 1,30 × 10 −3 m) (d) O sinal positivo indica que o campo elétrico aponta para fora. (e) Considere uma superfície gaussiana cilíndrica de raio maior que o raio interno da casca e menor que o raio interno. Como, na ausência de uma corrente elétrica, o campo é zero no interior dos condutores, o fluxo do campo elétrico através da superfície gaussiana é zero e, portanto, de acordo com a lei de Gauss, a carga total envolvida pela superfície gaussiana é zero. Como a barra central possui uma carga Q1, a superfície interna da casca deve possuir uma carga Qint = –Q1= –3,40 ×฀10−12 C. (f) Como sabemos que a casca possui uma carga total Q2 = –2,00Q1, a superfície externa deve possuir uma carga Qext = Q2 – Qint = –Q1= –3,40 ×฀10−12 C. 30. Vamos chamar de xP a coordenada x do ponto P no qual o campo elétrico total é zero. De acordo com a Eq. 23-12, temos: Etot = E1 + E2 = 21 22 + = 0. 4 0 ( x P + L / 2) 4 0 ( x P − L / 2) Explicitando x, obtemos   −   L  6, 0 C/m − (−2, 0 C/m)  8, 0 cm = 8, 0 cm. xP =  1 2  =  2  1 + 2  2  6, 0 C/m + (−2, 0 C/m)  31. Vamos usar os índices int e ext para indicar a casca interna e a casca interna, respectivamente. (a) Como, nesse caso, rint < r < rext, E (r ) = 5,0 × 10 −6 C/m int = 2, 3 × 106 N/C. = 2 0 r 2 (8,85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) (4,0 × 10 −2 m) (b) O sinal positivo indica que o campo elétrico aponta para fora. (c) Como, nesse caso, r > rext, E (r ) = 5,0 × 10 −6 C/m − 7,0 × 10 −6 C//m int + ext = −4, 5 × 105 N/C, = 2 0 r 2 (8,85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) (8,0 × 10 −2 m) o que nos dá |E| = 4,5 × 105 N/C. (d) O sinal negativo indica que o campo elétrico aponta para dentro. 32. Vamos usar uma superfície gaussiana de área 2prL, na qual L é suficientemente grande para que o fluxo através das bases do cilindro possa ser desprezado. Como o volume envolvido pela superfície gaussiana é V = pr2L, o elemento de volume é dV = 2prLdr e a carga envolvida é dada por qenv = ∫ r 0 A r 2 2 r L dr =  ALr 4 . 2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS De acordo com a lei de Gauss,  |E| q = = env 0 2 rL  (a) Para r = 0,030 m, obtemos | E | = 1, 9 N/C.  Ar 3 ⇒ |E|= . 4 0 (b) Como, nesse caso, r > R, em que R é o raio do cilindro, devemos usar a Eq. 23-12. A densidade linear de carga l é dada por = q 1 = L L ∫ 0 , 04 0 Ar 2 2 r L dr = 1,0 × 10 −11 C/m. Assim, de acordo com a Eq. 23-12, temos: |E|= 1, 0 × 10 −11 C/m  = 3, 6 N/C. = 2 0 r 2 (8, 85 × 10 −12 F/m)(0,0050 m) 33. Podemos usar a Eq. 23-13. (a) À esquerda das placas, temos:    ˆ E= (− ˆi ) + ( i ) = 0. 2 0 2 0 (b) À direita das placas, temos:   ˆ  E= (i ) + (− ˆi ) = 0. 2 0 2 0 (c) Entre as placas, temos: ( )        ˆ   7, 00 × 10 −22 C/m 2  ˆ − i =   ( − ˆi) = −  i E= ( − ˆi) +     8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2   2 0   2 0   0  = ( −7, 91 × 10 −11 N/C ) ˆi. 34. A distribuição de carga descrita no enunciado equivale à de uma placa infinita de densidade superficial de carga s com uma pequena região circular de densidade superficial de carga 2s. Vamos usar os índices 1 e 2 para representar os campos elétricos produzidos pela placa e  pela região  circular, respectivamente. Usando a Eq. 23-13 para calcular E1 e a Eq. 22-26 para calcular E2, obtemos:       ( − )  E = E1 + E2 =  1− k̂ +  2 0   2 0  = z z2 + R2 ˆ z kˆ k=  2 0 z 2 + R 2 (4, 50 × 10 −12 C/m 2 )(2, 56 × 10 −2 m) 2(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) (2, 56 × 10 −2 m)2 + (1, 80 × 10 −2 m)2 kˆ ˆ = (0, 208 N/C) k. 35. Na região entre as placas 1 e 2, o campo total é E1 – E2 − E3 = 2,0 × 105 N/C; na região entre as placas 2 e 3, o campo total é E1 + E2 − E3 = 6,0 × 105 N/C; na região à direita da placa 3, o campo total é E1 + E2 + E3 = 0. Combinando as três equações, obtemos: E1 = 1,0 × 105 N/C, E2 = 2,0 × 105 N/C, E3 = −3,0 × 105 N/C. De acordo com a Eq. 23-13, temos: 3 3, 0 × 10 5 N/C =− = −1, 5. 2 2, 0 × 105 N/C 59 60 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 36. De acordo com a Eq. 23-13, o campo elétrico produzido por uma placa de grande extensão com uma densidade superficial de carga s tem módulo E = s/2â0, é perpendicular ao plano da placa e aponta na direção oposta à da placa se a carga for positiva e na direção da placa se a carga for negativa. Usando o princípio da superposição, temos: (a) E = s/â0 = (1,77฀×฀10−22 C/m2)/(8,85 ×฀10−12 C2 /N ⋅ m 2) = 2,00×10−11 N/C, apontando para cima, ou seja,  ˆ E = (2, 00 × 10 −11 N/C)j. (b) E = 0. (c) E = s/â0 apontando para baixo, ou seja,  ˆ E = −(2, 00 × 10 −11 N/C)j. 37. (a) Para calcular o campo elétrico nas proximidades do centro de uma placa finita com uma densidade superficial de carga uniforme, podemos substituir a placa finita por uma placa infinita com a mesma densidade superficial de carga e estimar o módulo do campo como E = s/â0, na qual s é a densidade superficial de carga na superfície mais próxima no ponto considerado. Para os dados do problema, = 6,0 × 10 −6 C q = = 4,69 × 10 −4 C/m 2 2 A 2(0, 080 m)2 e o módulo do campo é E= 4,69 × 10 −4 C/m 2  = = 5,3 × 10 7 N/C.  0 8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 O campo é perpendicular à placa e aponta para longe da placa, já que a carga é positiva. (b) Em um ponto afastado da placa, o campo elétrico é aproximadamente igual ao de uma carga pontual com uma carga igual à carga total da placa. Assim, E= q (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 /C2 )(6, 0 × 10 −6 C) = 60 N/C. = 2 4 0 r (30 m)2 38. De acordo com a Eq. 23-13, o campo produzido pela placa é E = s/2â0. Como o módulo da força que o campo exerce sobre o elétron é F = eE, a aceleração do elétron é dada por a= F e . = m 2 0 m Por outro lado, a aceleração é igual à inclinação do gráfico da Fig. 23-44b (2,0 ×฀105 m/s/7,0 × 10−12 s = 2,86 × 1016 m/s2) . Assim, temos: 2 0 ma 2(8, 85 × 10 −12 )(9,11 × 10 −31 )(2, 86 × 1016 ) = 2, 9 × 10 −6 C/m 2 . = 1, 60 × 10 −19 e   39. A figura a seguir mostra o diagrama de corpo livre da bola, na qual T é a tensão do fio, qE  é a força exercida pelo campo elétrico e mg é a força da gravidade. = SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Como a bola está em equilíbrio, a aplicação da segunda lei de Newton às componentes horizontal e vertical da força resultante nos dá qE 2 T sen u = 0 e T cos u − mg = 0. A primeira equação nos dá T = qE/sen u฀; substituindo na segunda equação, obtemos qE = mg tan u. De acordo com a Eq. 23-13, o campo elétrico produzido pela placa é dado por E = s/2â0, sendo que s é a densidade superficial de carga. Assim, q = mg tan  2 0 e = 2 0 mg tan  2(8, 85 × 10 −12 C2 /N.m 2 ) (1, 0 × 10 −6 kgg) (9, 8 m/s 2 ) tan 30° = q 2, 0 × 10 −8 C = 5, 0 × 10 −9 C/m 2 = 5, 0 nC/m 2 . 40. O ponto no qual os campos produzidos pela placa e pela partícula se cancelam não pode estar na região entre a placa e a partícula (−d < x < 0) porque a placa e a partícula possuem cargas de sinais opostos, mas pode estar na região à direita da partícula (x > 0) ou na região à esquerda da placa (x < d). A condição para que o campo se anule é Q | | = . 2 0 4 0 r 2 Explicitando r e substituindo os valores conhecidos, obtemos: r= Q = 2 |  | 6 C = 2 (2 C/m 2 ) 3 = ±0, 691 m = ±69,1 cm.. 2 Para d = 0,20 m, nenhum dos pontos calculados está na “região proibida” entre a placa e a partícula. Assim, temos: (a) x = +69,1 cm (b) x = −69,1 cm (c) Para d = 0,80 m, um dos pontos (x = −69,1 cm) está na “região proibida” entre a placa e a partícula e não é uma solução válida. Assim, o único ponto no qual os campos se cancelam é x = +69,1 cm. 41. Para resolver o problema, escrevemos uma expressão para a aceleração do elétron e calculamos a distância que o elétron percorre antes de parar. A força a que o elétron está submetido é F = –eE = –es/â0 (veja a Eq. 23-11) e a aceleração é a= F e =− m 0 m na qual m é a massa do elétron. De acordo com a Eq. 2-16, se v0 é a velocidade inicial do elétron, v é a velocidade final e x é a distância percorrida entre as posições inicial e final, v 2 − v02 = 2ax. Fazendo v = 0, substituindo a por –es/â0m e explicitando x, obtemos x=− v02  0 mv02 = . 2a 2e 61 62 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Como a energia cinética inicial é K 0 = mv02 / 2, temos: x=  0 K 0 (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) (1, 60 × 10 −17 J) = 4, 4 × 10 −4 m = 0,44 mm m. = e (1, 60 × 10 −19 C) (2, 0 × 10 −6 C/m 2 ) 42. Como, de acordo com a Eq. 23-11, E = s/â0, a densidade superficial de carga é dada por  =  0 E = (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(55 N/C) = 4, 9 × 10 −10 C/m 2 . Como a área das placas é A = 1,0 m2, o módulo da carga em cada placa é Q =  A = 4, 9 × 10 −10 C. 43. Vamos usar uma superfície gaussiana em forma de paralelepípedo, indicada por retas tracejadas na vista lateral da figura a seguir. As faces direita e esquerda da superfície gaussiana estão a uma distância x do plano central. Vamos tomar a altura e o comprimento do paralelepípedo como iguais a a, de modo que as faces direita e esquerda são quadrados. O campo elétrico é perpendicular às faces direita e esquerda e é uniforme. Como a densidade volumétrica de carga é positiva, aponta para fora nas duas faces, ou seja, aponta para a esquerda na face esquerda e para a direita na face direita. Além disso, o valor absoluto da densidade de carga é o mesmo nas duas faces. Assim, o fluxo do campo elétrico através das duas faces é Ea2. Como o campo elétrico é paralelo às outras faces do paralelepípedo, o fluxo do campo elétrico através dessas faces é zero; assim, o fluxo total através da superfície gaussiana é Φ = 2Ea2. Como o volume envolvido pela superfície gaussiana é 2a2x e a carga contida nesse volume é q = 2a2xr, na qual r é a densidade volumétrica de carga, a lei de Gauss nos dá 2â0Ea2 = 2a2xr. Explicitando o campo elétrico E, obtemos E = rx/â0. (a) Para x = 0, E = 0. (b) Para x = 2,00 mm = 2,00 × 10−3 m, E=  x (5, 80 × 10 −15 C/m 3 )(2, 00 × 10 −3 m) = 1, 31 × 10 −6 N/C = 1,31  N/C. = 0 8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 (c) Para x = 4,70 mm = 4,70 × 10−3 m, E=  x (5, 80 × 10 −15 C/m 3 )(4, 70 × 10 −3 m) = 3, 08 × 10 −6 N/C = 3,08  N/C. = 0 8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 (d) Para x = 26,0 mm = 2,60 × 10−2 m, usamos uma superfície gaussiana de mesma forma e orientação, mas com x > d/2, de modo que as faces esquerda e direita estão do lado de fora da SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS placa. O fluxo total através da superfície continua a ser Φ = 2Ea2, mas a carga envolvida agora é q = a2dr. De acordo com a lei de Gauss, 2â0Ea2 = a2dr e, portanto, E= d (5, 80 × 10 −15 C/m 3 )(9, 40 × 10 −3 m) = = 3, 08 × 10 −6 N/C = 3,08  N/C. 2 0 2(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) 44. Podemos determinar a carga da esfera observando que o valor máximo do campo elétrico mostrado no gráfico da Fig. 23-48 (E = 5,0 × 107 N/C) é atingido para r = 2 cm = 0,020 m. Como E = q/4pâ0r2, temos: q = 4 0 r 2 E = (0, 020 m)2 (5, 0 × 10 7 N/C) = 2, 2 × 10 −6 C. 8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 45. (a) Como r1 = 10,0 cm < r = 12,0 cm < r2 = 15,0 cm, E (r ) = 1 q1 (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 /C2 )(4, 00 × 10 −8 C) = = 2, 50 × 10 4 N/C. 4 0 r 2 (0,120 m)2 (b) Como r1 < r2 < r = 20,0 cm, E (r ) = 1 q1 + q2 (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 /C2 )(4, 00 + 2, 00)(1 × 10 −8 C) = = 1, 35 × 10 4 N/C. 4 0 r 2 (0, 200 m 2 ) 46. (a) O fluxo continua a ser −750 N . m2/C, já que depende apenas do valor da carga envolvida. (b) De acordo com a lei de Gauss, Φ = q/â0, temos: q =  0  = (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) ( −750 N ⋅ m 2 / C ) = −6, 64 × 10 −9 C = −6,64 nC. 47. O campo produzido por uma esfera carregada é igual ao campo produzido por uma carga pontual para pontos situados do lado de fora da esfera. Isso significa que o módulo do campo é dado por E = |q|/4pâ0r2, na qual |q| é o valor absoluto da carga da esfera e r é a distância entre o ponto em que o campo é medido e o centro da esfera. Assim, | q | = 4 0 r 2 E = (0,15 m)2 (3, 0 × 103 N/C) = 7, 5 × 10 −9 C. 8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 /C2 Como o campo aponta para o centro da esfera, a carga é negativa, ou seja, q = −7,5 × 10−9 C = −7,5 nC. A figura abaixo mostra o módulo do campo elétrico em função de r. Dentro da esfera condutora, E = 0; fora da esfera, E = k|q|/r2, na qual k = 1/4pâ0. 48. Vamos chamar de EA o módulo do campo para r = 2,5 cm. De acordo com o gráfico da Fig. 23-49, EA = 2,0 × 107 N/C. Este campo se deve exclusivamente ao campo criado pela partícula. Como Epartícula = q/4pâ0r2, o campo em qualquer outro ponto está relacionado a EA através da 63 64 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS razão entre os quadrados das distâncias. O gráfico mostra também que, no ponto r = 3,0 cm, o campo produzido pela partícula e pela casca é 8,0 × 107 N/C. Assim, Ecasca + Epartícula = Ecasca + (2,5/3)2 EA = 8,0 × 107 N/C e, portanto, Ecasca = 8,0 × 107 N/C − (0,7)(2,0 × 107 N/C) = 6,6 × 107 N/C. Como Ecasca = Q/4pâ0r2, na qual Q é a carga da casca, e Ecasca = 6,6 × 107 N/C para r = 0,030 m, temos: Q = 4 0 r 2 Ecasca = r 2 Ecasca (0, 030 m)2 (6, 6 × 10 7 N/C) = = 6, 6 × 10 −6 C = 6,6 C. k 8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 49. Por simetria, o campo elétrico é radial em todas as regiões nas quais é diferente de zero. Vamos usar superfícies gaussianas de forma esférica, concêntricas com a esfera e a casca, passando pelo ponto cujo campo elétrico queremos determinar. Como o campo é uniforme na   superfície, E ⋅ dA = 4 r 2 E , na qual r é o raio da superfície gaussiana. ∫ Para r < a, a carga envolvida pela superfície gaussiana é q1(r/a)3 e a lei de Gauss nos dá  q   r 3 q1r 4 r 2 E =  1    ⇒ E = .   4 0 a3  0  a (a) Para r = 0, essa equação nos dá E = 0. (b) Para r = a/2, temos: E= q1 (a / 2) (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 /C2 )(5, 00 × 10 −15 C) = 5, 62 × 10 −2 N/C = 56,2 mN/C. = 2(2, 00 × 10 −2 m)2 4 0 a3 (c) Para r = a, temos: E= q1 (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 /C2 )(5, 00 × 10 −15 C) = 0,112 N/C = 112 mN/C. = 2 4 0 a (2, 00 × 10 −2 m)2 Para a < r < b, a carga envolvida pela superfície gaussiana é q1 e a lei de Gauss nos dá 4 r 2 E = q1 0 ⇒ E= q1 . 4 0 r 2 (d) Para r = 1,50a, temos: E= q1 (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 /C2 )(5, 00 × 10 −15 C) = 0, 0499 N/C = 49,9 mN/C. = 4 0 r 2 (1, 50 × 2, 00 × 10 −2 m)2 (e) Para b < r < c, como a casca é condutora, o campo elétrico é zero. Assim, para r = 2,30a, E = 0. (f) Para r > c, a carga envolvida pela superfície gaussiana é zero e, portanto, de acordo com a lei de Gauss, 4pr2E = 0 ⇒ E = 0. Assim, para r = 3,50a, E = 0. (g) Considere uma superfície gaussiana que esteja no interior da casca condutora. Como o cam  po elétrico no interior do condutor é nulo, E ⋅ dA = 0 e, de acordo com a lei de Gauss, a carga envolvida pela superfície é zero. Se Qint é a carga na superfície interna da casca, q1 + Qint = 0 e, portanto, Qint = 2q1 = 25,00 fC. ∫ SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (h) Seja Qext a carga da superfície externa da casca. Como a carga total da casca é 2q, Qint + Qext = 2q1, o que nos dá Qext = 2q1 2 Qi = 2q1 2(2q1) = 0. 50. O ponto no qual os campos se cancelam não pode estar na região entre as cascas porque as cargas das cascas têm sinais opostos. Não pode estar no interior de uma das cascas porque, nesse caso, o único campo existente seria o campo da outra casca. Como a carga da casca 2 é maior em valor absoluto que a casca 1 (|s2|A2 > (|s1|A1), o ponto não pode estar à direita da casca 2. Assim, o ponto está à esquerda da casca 1, a uma distância r > R1 do centro, em que R1 é o raio da casca 1. Para que o campo se anule nesse ponto, E1 = E2 ⇒ | q1 | | q2 | = , 2 4 0 r 4 0 (r + L )2 o que nos dá |  2 | A2 1 A1 = . 4 0 r 2 4 0 (r + L )2 Usando o fato de que a área da superfície de uma esfera é A = 4pR2, obtemos: r= LR1 1 R2 |  2 | − R1 1 = (0, 06 m)(0,005 m) (4, 0 × 10 −6 C/m 2 (0, 020 m) (2, 0 × 10 −6 C/m 2 − (0, 005 m) (4, 0 × 10 −66 C/m 2 = 0, 033 m = 3, 3 cm. Como este valor satisfaz a condição r > R1, a resposta é x = −r = −3,3 cm. 51. Vamos usar uma superfície gaussiana na forma de uma esfera concêntrica com a casca e com um raio rg tal que a < rg < b. A carga da parte da casca esférica envolvida pela superfície gaussiana é dada pela integral qs = ∫  dV , em que r é a densidade volumétrica de carga, e os limites de integração são o raio interno da carga e o raio da superfície gaussiana. Como a distribuição de carga possui simetria esférica, podemos tomar o elemento de volume dV como o volume de uma casca esférica de raio r e espessura infinitesimal dr: dV = 4pr2dr. Assim, qs = 4 ∫ rg a rg A 2 r 2 dr = 4 ⌠ r dr = 4 A ⌡a r ∫ rg a r dr = 2 A (rg2 − a 2 ). A carga total no interior da superfície gaussiana é q + qs = q + 2 A (rg2 − a 2 ). Como o campo elétrico é radial, o fluxo através da superfície gaussiana é  = 4 rg2 E , na qual E é o módulo do campo. De acordo com a lei de Gauss, temos: 4 0 Erg2 = q + 2 A(rg2 − a 2 ). Explicitando E, obtemos: E= 2 Aa 2  1 q  2 + 2 A − . rg2  4 0  rg Para que o campo seja uniforme, o primeiro e o terceiro termos devem se cancelar, o que acontece se q 2 2pAa2 = 0, ou seja, se A = q/2pa2. Para a = 2,00 × 10−2 m e q = 45,0 × 10−15 C, obtemos A = 1,79 × 10−11 C/m2. 65 66 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 52. De acordo com a Eq. 23-16, o campo é zero para 0 ≤ r ≤ a. Assim, (a) E = 0 para r = 0. (b) E = 0 para r = a/2,00. (c) E = 0 para r = a. Para a ≤ r ≤ b, a carga envolvida qenv está relacionada ao volume através da equação  4 r 3 4 a3  qenv =   − .  3 3  Assim, o campo elétrico é E= 1 qenv   4 r 3 4 a3   r 3 − a3 = = − .   4 0 r 2 4 0 r 2  3 3  3 0 r 2 (d) Para r = 1,50a, o campo elétrico é E=  (1, 50 a)3 − a3 a = 3 0 (1, 50 a)2 3 0  2, 375  (1, 84 × 10 −9 C/m 3 )(0,100 m)  2, 375   2, 25  = 3(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )  2, 25  = 7, 32 N/C. (e) Para r = b = 2,00a, o campo elétrico é E=  (2, 00 a)3 − a3 a = 3 0 (2, 00 a)2 3 0  7  (1,884 × 10 −9 C/m 3 )(0,100 m)  7    = 12,1 N/C.   = 4 3(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )  4  (f) Para r ≥ b, o campo elétrico é E=  b3 − a3 qtotal = . 2 4 0 r 3 0 r 2 Assim, para r = 3,00b = 6,00a, o campo elétrico é E=  (2, 00 a)3 − a3 a  7  (1, 84 × 10 −9 C/m 3 )(0,100 m)  7  =  =   = 1, 35 N/C. 3 0 (6, 00 a)2 3 0  36  3(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )  36  53. (a) Vamos integrar a densidade volumétrica de carga para toda a esfera e igualar o resultado à carga total: ∫ ∫ ∫ dx dy dz  = 4 π ∫ R 0 dr r 2  = Q. Fazendo r =rsr/R, em que rs = 14,1 pC/m3, e executando a integração, obtemos     R4  4  s    = Q,  R 4  o que nos dá Q = s R3 =  (14,1 × 10 −12 C/m 3 )(0, 0560 m)3 = 7, 78 × 10 −15 C = 7,78 fC. (b) Para r = 0, o campo elétrico é zero (E = 0), já que a carga envolvida por uma superfície gaussiana é zero. De acordo com a lei de Gauss (veja as Eqs. 23-8 a 23-10), em um ponto do interior da esfera situado a uma distância r do centro, o campo elétrico é dado pela equação E= 1 qenv , 4 0 r 2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS na qual qenv pode ser calculada usando uma integral semelhante à do item (a): qenv = 4     r4  dr r 2  = 4  s    .  R 4  0 ∫ r Assim, E= 1 s r 4 1 s r 2 = . 2 4 0 Rr 4 0 R (c) Para r = R/2,00, em que R = 5,60 cm, o campo elétrico é E= = 1 s ( R / 2, 00)2 1 s R = 4 0 R 4 0 4, 00 (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) (14,1 × 10 −12 C/m 3 )(0, 0560 m) 4, 00 = 5, 58 × 10 −3 N/C = 5,58 mN/C. (d) Para r = R, o campo elétrico é E= 1 s R 2 s R = = (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) (14,1 × 10 −12 C/m 3 )(0, 0560 m) 4 0 R 4 0 = 2, 23 × 10 −2 N/C = 22,3 mN/C. (e) A figura a seguir mostra um gráfico do módulo do campo elétrico em função de r. 54. De acordo com a Eq. 23-20, temos: E1 = | q1 | | q1 |  R  1 | q1 | . r1 =  = 4 0 R3 4 0 R3  2  2 4 0 R 2 Do lado de fora da esfera 2, temos: E2 = | q2 | | q2 | . = 2 4 0 r 4 0 (1, 50 R)2 Igualando as expressões dos campos, obtemos a relação q2 9 = = 1,125. q1 8 55. Como E (r ) = 1 qenc = 4 0 r 2 4 0 r 2 ∫ r 0  (r )4 r 2 dr 67 68 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS temos:  (r ) = 0 d 2  d r E (r ) ] = 02 ( Kr 6 ) = 6K 0r 3 . [ 2 r dr r dr 56. (a) Φ2 = EA = 4p(0,20)2 = 0,50 N·m2/C. (b) Como o fluxo do campo elétrico através da superfície lateral do cilindro é zero, e o fluxo através da base situada em x = 0 é Φ0 = −2p(0,20)2 = 0,25 N·m2/C, a lei de Gauss nos dá qenv = â0 (Φ2 + Φ0) = (8,85 × 10−12)(0,50 N·m2/C − 0,25 N·m2/C) = 2,2 × 10–12 C = 2,2 pC. 57. (a) De acordo com a Eq. 23-16, para r < R, E = 0. (b) Para r ligeiramente maior que R, 2 ER = 1 q q (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C )(2, 00 × 10 −7 C) ≈ = = 2, 88 × 10 4 N C. 4 0 r 2 4 0 R 2 ( 0, 250 m )2 (c) Para r > R, 2 2 1 q  0, 250 m   R = 200 N C. E= = E R   = (2, 88 × 10 4 N C)  2    3,,00 m  r 4 0 r 58. De acordo com a lei de Gauss, temos: = qenv  r 2 (8, 0 × 10 −9 C/m 2 ) (0,050 m)2 = 7,1 N ⋅ m 2 /C. = = 0 0 8,885 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 59. (a) Nos pontos do plano x = 4,0 cm, o campo total é a soma de um campo que aponta para a direita, produzido pelas cargas que estão entre x = 25,0 cm e x = 4,0 cm, e um campo que aponta para a esquerda, produzido pelas cargas que estão entre x = 4,0 cm e x = 5,0 cm. Os dois campos podem ser calculados com o auxílio da Eq. 23-13. Como s = q/A = rV/A = r∆x, temos:   (0, 090 m)  (0, 010 m) (1, 2 × 10 −9 C/m 3 )(0, 090 m − 0, 010 m) E = − = = 5, 4 N C. 2 0 2 0 2(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) (b) Nos pontos do plano x = 6,0 cm, só existe o campo que aponta para a direita, produzido por todas as cargas da placa, e temos:   (0,100 m) (1, 2 × 10 −9 C/m 3 )(0,100 m) E = = = 6, 8 N C. 2 0 2(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) 60. (a) Considere o campo radial produzido no interior de uma distribuição cilíndrica de carga. O volume envolvido por uma superfície gaussiana cilíndrica de comprimento L e raio r é Lpr2. De acordo com a lei de Gauss, temos: E= |  | ( L r 2 ) |  | r | qenv | = = .  0 Acilindro  0 (2 rL ) 2 0 (b) De acordo com a expressão do item anterior, o campo radial aumenta quando r aumenta. (c) Como o pó está carregado negativamente, o campo aponta para o eixo do cilindro. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (d) O campo elétrico é máximo quando o valor de r é tal que toda a carga presente no cano é envolvida pela superfície cilíndrica, ou seja, quando r = R. Assim, para |r| = 0,0011 C/m3 e R = 0,050 m, temos: Emax = |  | R (0, 0011 C m 3 )(0, 050 m) = 3,1 × 106 N C. = 2 0 2(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) Este campo é atingido na superfície interna do cano. (e) Comparando o valor do campo máximo calculado no item (d) com a condição (1) do enunciado, vemos que o campo atinge um valor suficiente para produzir uma centelha e que esse valor é atingido nas proximidades da superfície interna do cano. 61. Podemos usar a Eq. 23-15, a Eq. 23-16 e o princípio de superposição. (a) Para r < a, E = 0. (b) Para a < r < b, E = qa 4  0 r 2 . (c) Para r > b, E = (qa + qb ) / 4 0 r 2 . (d) Como E = 0 para r < a, a carga na superfície interna da casca menor é zero e, portanto, a carga na superfície externa da casca menor é qa. Como E = 0 no interior da casca maior, a carga envolvida por uma superfície gaussiana situada entre a superfície interna e a superfície externa da casca maior é zero. Isso significa que a carga da superfície interna da casca maior é 2qa. Em consequência, a carga da superfície externa da casca maior é qb − qa. 62. De acordo com as Eqs. 23-16 e 23-17, temos: a)  E = q (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 ) (1, 0 × 10 −7 C) = = 4, 0 × 106 N C. 4 0 r12 (0, 015 m)2  (b) E = 0, já que o campo no interior de um condutor é zero no regime estacionário. 63. O próton está executando um movimento circular uniforme, no qual a força centrípeta é a força de atração eletrostática da esfera. De acordo com a segunda lei de Newton, F = mv2/r, na qual F é o módulo da força, v é a velocidade do próton e r é o raio da órbita. O módulo da força a que o próton está submetido é F = e|q|/4pâ0r2, na qual |q| é o valor absoluto da carga da esfera. Assim, 1 e | q | mv 2 = 4 0 r 2 r e, portanto, |q|= 4 0 mv 2r (1, 67 × 10 −27 kg)(3, 00 × 10 5 m/s)2 (0, 0100 m) = 1, 04 × 10 −9 C = 1,04 nC. = e (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 / C2 )(1, 60 × 10 −9 C) Como a força deve ser atrativa e o próton é uma partícula de carga positiva, a carga da esfera é negativa: q = –1,04 × 10–9 C. 64. Como a área da superfície de uma esfera é A = 4pr2 e a densidade superficial de carga é s = q/A (sem perda de generalidade, estamos supondo que a carga é positiva), temos: E= 1  q  1 q  =  =  0  0  4 r 2  4 0 r 2 que é o campo produzido por uma carga pontual (veja a Eq. 22-3). 69 70 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 65. (a) Como o volume de uma esfera de raio R/2 é igual a um oitavo do volume de uma esfera de raio R, a carga da região em que 0 < r < R/2 é Q/8. Assim, a fração pedida é 1/8 = 0,125. (b) No ponto r = R/2, o módulo do campo é E= 1 Q/8 Q , = 4 0 ( R / 2)2 2 4 0 R 2 o que equivale a metade do campo na superfície da esfera. Assim, a fração pedida é 1/2 = 0,500. 66. Vamos chamar de q o valor absoluto da carga da esfera e de E o módulo do campo produzido pela esfera da posição do próton. Quando o próton está a uma distância r ≥ R do centro da esfera, a força exercida pela esfera sobre o próton é  q  eq = F = eE = e  .  2  4 0 r  4 0 r 2 Note que, para r = R, esta expressão se torna FR = eq 4 0 R 2 (a) Fazendo F = FR/2 e explicitando r, obtemos r = R 2. Como o problema pede a distância a partir da superfície da esfera, a resposta é R 2 − R = 0, 41R. (b) Nesse caso, devemos ter Fint = FR/2, na qual Fint = eEint e Eint é dado pela Eq. 23-20. Assim,  q  1  eq  e r=  2  4 0 R 2   4 0 R3  ⇒ r= R = 0, 50 R. 2 67. O campo inicial (calculado “a uma pequena distância da superfície externa”, o que significa que é calculado para r = R2 = 0,20 m, o raio externo da casca) está relacionado à carga q da casca através da Eq. 23-15: Einicial = q / 4 0 R22 . Depois que a carga pontual Q é colocada no centro geométrico da casca, o campo final no mesmo ponto é a soma do campo inicial com o campo produzido pela carga Q (dado pela Eq. 22-3): Efinal = Einicial + Q . 4 0 R22 (a) A carga da casca é q = 4 0 R22 Einicial = (0, 20 m)2 (450 N/C) = 2, 0 × 10 −9 C = +2,0 nC. 8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 (b) A carga Q é Q = 4 0 R22 ( Efinal − Einicial ) = (0, 20 m)2 (180 N/C − 450 N/C) = −1, 2 × 10 −9 C = −1, 2 nC. 8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 (c) Como o campo no interior da casca condutora é zero, o campo produzido pela carga Q deve ser cancelado pelo campo produzido pela carga da superfície interna da casca. Assim, a resposta é +1,2 × 10−9 C. (d) Como a carga total da casca condutora é +2,0 nC e a carga da superfície interna é +1,2 nC, a carga da superfície externa é (+2,0 nC) − (+1,2 nC) = +0,80 nC. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 68. Seja Φ0 = 103 N . m2/C. O fluxo total através da superfície do dado é 6 = 6 ∑  = ∑ ( −1) n n =1 n n  0 =  0 ( −1 + 2 − 3 + 4 − 5 + 6 ) = 3 0 . n =1 Assim, de acordo com a lei de Gauss, a carga no interior do dado é q =  0  = 3 0  0 = 3 (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) (103 N ⋅ m 2 /C) = 2, 66 × 10 −8 C = 26,6 nC. 69. Como todos os campos envolvidos são uniformes, a localização precisa do ponto P não é importante; o que importa é que o ponto está acima das três placas, com as placas positivamente carregadas produzindo campos que apontam para cima e a placa negativamente carregada produzindo um campo que aponta para baixo. De acordo com a Eq. 23-13, o campo total aponta para cima e o módulo do campo é  1, 0 × 10 −6 C/m 2    = 5, 65 × 10 4 N C. |E|= 1 + 2 + 3 = 2 0 2 0 2 0 2(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )  Na notação dos vetores unitários, E = (5, 65 × 10 4 N/C) ˆj . 70. Como a distribuição de carga é uniforme, podemos calcular a carga total q multiplicando a densidade volumétrica r pelo volume da esfera (4p r3/3), o que nos dá q = (3, 2 × 10 −6 C/m 3 ) 4 (0, 050)3 = 1, 68 × 10 −9 C = 1, 68 nC. 3 (a) De acordo com a Eq. 23-20, E= |q|r (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 )(1, 68 × 10 −9 C)(0, 035) = = 4, 2 × 103 N/C = 4,2 kN/C. 4 0 R3 (0, 050)3 (b) De acordo com a Eq. 22-3, E= |q| (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(1, 68 × 10 −9 C) = 2, 4 × 103 N/C = 2,4 kN/C. = 2 4 0 r (0,080 m)2 71. Vamos usar um sistema de coordenadas com a origem no centro da base, o plano xy horizontal, coincidindo com a base, e o hemisfério no semiplano z > 0. (a)  base =  R 2 (− kˆ ) ⋅ Ekˆ = − R 2 E = − (0, 0568 m)2 (2,50 N/C) = −0, 0253 N ⋅ m 2 /C = −2, 53 × 10 −2 N ⋅ m 2 . (b) Como o fluxo através do hemisfério é zero, o fluxo através da superfície curva é   c = − base = +2, 53 × 10 −2 N ⋅ m 2 /C. 72. De acordo com a lei de Gauss, a carga total envolvida é q =  0  = (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(−48 N ⋅ m 2 C) = −4, 2 × 10 −10 C. 73. (a) De acordo com a lei de Gauss, temos:   E (r ) =   1 qenv  1 (4r 3 / 3)r r r= = . 4 0 r 3 4 0 r3 3 0 71 72 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) A distribuição de carga neste caso é equivalente à da combinação de uma esfera completa de densidade de carga r, com uma esfera menor de densidade –r ocupando o lugar da cavidade. Assim, por superposição,       r ( −  ) ( r − a )  a E (r ) = + = . 3 0 3 0 3 0 74. (a) Como o cubo está totalmente no interior da esfera, a carga envolvida pelo cubo é qenv = r Vcubo = (500 × 10–9 C/m3)(0,0400 m)3 = 3,20 × 10–11 C. Assim, de acordo com a lei de Gauss, Φ = qenv/â0 = 3,62 N·m2/C. (b) Como esfera está totalmente no interior do cubo (note que o raio da esfera é menor que metade da aresta do cubo), a carga total é qenv = r Vesfera = (500 × 10−9 C/m3)(4/3)p (0,0600 m)3 = 4,52 × 10–10 C. Assim, de acordo com a lei de Gauss, Φ = qenv/â0 = 51,1 N·m2/C. 75. O campo elétrico aponta radialmente para fora a partir do fio central. Estamos interessados em determinar o módulo do campo na região entre o fio e o cilindro em função da distância r entre o fio e o ponto considerado. Como o módulo do campo na superfície interna do cilindro é conhecido, escolhemos essa superfície como superfície gaussiana. Assim, a superfície gaussiana escolhida é um cilindro de raio R e comprimento L, coaxial com o fio. Apenas a carga do fio é envolvida pela superfície gaussiana; vamos chamá-la de q. A área lateral da superfície gaussiana é 2pRL e o fluxo que atravessa é Φ = 2pRLE. Supondo que o fluxo através das bases do cilindro é desprezível, este é o fluxo total. Assim, de acordo com a lei de Gauss, q = 2 0 RLE =2 (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(0,014 m)(0,16 m) (2,9 × 10 4 N/C) = 3,6 × 10 −9 C = 3,6 nC. 76. (a) A figura mostra uma seção reta do cilindro (linha cheia). Considere uma superfície gaussiana na forma de um cilindro de raio r e comprimento l, coaxial com o cilindro carregado, representada na figura do item a pela linha tracejada. A carga envolvida pela superfície gaussiana é q = rV = pr2lr, na qual V = pr2l é o volume do cilindro. Como, por simetria, o campo elétrico é radial, o fluxo total através do cilindro gaussiano é Φ = EAcilindro = E(2prl). Assim, de acordo com a lei de Gauss, 2 0 r lE =  r 2 l ⇒ E = r . 2 0 (b) Considere uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r > R. Se o campo elétrico externo é Eext, o fluxo através da superfície gaussiana é Φ = 2prlEext. A carga envolvida é a carga total em um segmento do cilindro carregado, de comprimento l, ou seja, q = pR2lr. Assim, de acordo com a lei de Gauss, 2 0 r lEext =  R 2 l ⇒ Eext =  R2 . 2 0 r SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 77. (a) Como a carga total da casca é 210 mC e a carga da superfície externa é –14 mC, a carga da superfície interna é +4,0 mC. (Não existem cargas no interior de condutores em situações estáticas.) (b) Como o campo no interior da casca é zero, a carga de +4,0 mC deve cancelar a carga da partícula que se encontra no interior da cavidade. Assim, a carga da partícula é –4,0 mC. 78. (a) Como o ponto está do lado de fora da esfera, usamos a Eq. 23-15: E= 1 q (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(6, 00 × 10 −12 C) = 15, 0 N C. = 4 0 r 2 (0,0600 m)2 (b) Como o ponto está no interior da esfera, usamos a Eq. 23-20:  q  (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 /C2 )(6, 00 × 10 −12 C)(0, 03 m) = E= r = 25, 3 N/C. (0, 04 m )3  4 0 R3  79. (a) O fluxo mássico é wdrv = (3,22 m) (1,04 m) (1000 kg/m3) (0,207 m/s) = 693 kg/s. (b) Como a água passa apenas pela área wd, o fluxo mássico é o mesmo do item (a), 693 kg/s. (c) O fluxo mássico é (wd/2) rv = (693 kg/s)/2 = 347 kg/s. (d) O fluxo mássico é (wd/2) rv = 347 kg/s. (e) O fluxo mássico é (wd cos u) rv = (693 kg/s) (cos 34o) = 575 kg/s. 80. O campo produzido por uma placa carregada é dado pela Eq. 23-13. As duas placas são horizontais (paralelas ao plano xy), e produzem campos verticais (paralelos ao eixo z), que apontam para cima acima da posição da placa e apontam para baixo abaixo da posição da placa. Vamos chamar a placa que está no plano z = 0 de placa A e a placa que está no plano z = 2,00 m de placa B. (a) O módulo do campo elétrico total na região entre as placas onde se encontra o plano z = 1,00 m, é  8, 00 × 10 −9 C/m 2 − 3, 00 × 10 −9 C/m 2   = 2, 82 × 10 2 N C = 0,282 N/C. |E|= A − B = 2(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) 2 0 2 0 (b) O módulo do campo elétrico total na região acima das duas placas onde se encontra o plano z = 3,00 m, é  8, 00 × 10 −9 C/m 2 + 3, 00 × 10 −9 C/m 2   = 6, 21 × 10 2 N C = 0,621 N C. |E|= A + B = 2(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) 2 0 2 0 81. (a) O campo é máximo na superfície da bola:  |q|  |q| = Emax =   4 0 r 2  para r = R 4 0 R 2 De acordo com a Eq. 23-20, temos: Eint = E |q|r = max 4 0 R3 4 ⇒ r= R = 0, 25 R. 4 73 74 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Do lado de fora da bola, temos: Eext = |q| E = max 2 4 0 r 4 ⇒ r = 2, 0 R. 82. (a) Usamos as relações meg = eE = es/â0 para calcular a densidade superficial de carga: = me g 0 (9,11 × 10 −31 kg)(9,8 m s) (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) = = 4, 9 × 10 −22 C m 2 . e 1, 60 × 10 −19 C (b) Para equilibrar a força  gravitacional, que aponta para baixo, a força elétrica deve apontar para cima. Como Fe = qE e, no caso do elétron, q = −e < 0, o campo elétron aponta para baixo. Capítulo 24 1. (a) Como um ampère equivale a um coulomb por segundo, temos: s  C⋅h  5 84 A ⋅ h =  84   3600  = 3, 0 × 10 C.  s h (b) A variação de energia potencial é ∆U = q∆V = (3,0 × 105 C)(12 V) = 3,6 × 106 J. 2. A variação é ∆U = e∆V = 1,2 × 109 eV. 3. Se o potencial elétrico é zero no infinito, na superfície de uma esfera uniformemente carregada tem o valor V = q/4pâ0R, na qual q é a carga da esfera e R é o raio da esfera. Assim, q = 4pâ0RV e o número de elétrons é n= q 4 0 R V (1, 0 × 10 −6 m)(400 V) = 2, 8 × 105. = = e e (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(1, 60 × 10 −19 C) 4. (a) E= F 3, 9 × 10 −15 N = 2, 4 × 10 4 N/C = 2, 4 × 10 4 V/m = e 1, 60 × 10 −19 C (b) V = E s = ( 2, 4 × 10 4 N C ) ( 0,12 m ) = 2, 9 × 103 V = 2,9 kV. 5. O módulo do campo elétrico produzido por uma placa infinita não condutora é E = s/2â0, na qual s é a densidade superficial de carga. O campo é perpendicular à superfície e é uniforme. Vamos colocar a origem do sistema de coordenadas na posição da placa e o eixo x paralelo ao campo e positivo no sentido do campo. Nesse caso, o potencial elétrico é V = Vp − ∫ x 0 E dx = Vp − Ex , na qual Vp é o potencial na posição da placa. As superfícies equipotenciais são superfícies de x constante, ou seja, planos paralelos à placa. Se a distância entre duas dessas superfícies é ∆x, a diferença de potencial é ∆V = E∆x = (s/2â0)∆x. Assim, x = 2 0 V 2 (8, 85 × 10 −12 C2 N ⋅ m 2 ) (50 V) = 8, 8 × 10 −3 m = 8,8 mm. = 0,10 × 10 −6 C m 2  6. (a) VB – VA = ∆U/q = –W/(–e) = – (3,94 × 10–19 J)/(–1,60 × 10–19 C) = 2,46 V. (b) VC – VA = VB – VA = 2,46 V. (c) VC – VB = 0 (C e B estão na mesma linha equipotencial). 76 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 7. Ligamos o ponto A à origem seguindo uma trajetória sobre o eixo y, ao longo da qual não   há diferença de potencial (Eq. 24-18: E ⋅ ds = 0). Em seguida, ligamos a origem ao ponto B seguindo uma trajetória sobre o eixo x; a diferença de potencial nesse percurso é ∫ V = − ∫ x=4 0   E ⋅ ds = −4, 00 ∫ 4 0  42  x dx = −4, 00   = −32, 0  2 o que nos dá VB – VA = –32,0 V. 8. (a) De acordo com a Eq. 24-18, a variação de potencial é o negativo da área sob a curva do campo elétrico em função da distância. Assim, usando a fórmula da área de um triângulo, temos: V − 10 = 1 (2)(20) = 20, 2 o que nos dá V = 30 V.   (b) No intervalo 0 < x < 3 m, − E ⋅ ds é positiva; para x > 3 m, é negativa. Assim, V = Vmax para x = 3 m. Usando a fórmula da área de um triângulo, temos: ∫ V − 10 = 1 (3)(20), 2 o que nos dá Vmax = 40 V. (c) Diante do resultado do item (b), sabemos que o potencial se anula em um ponto de coordenada X > 3 m tal que a área de x = 3 m até x = X é 40 V. Usando a fórmula da área de um triângulo para 3 m < x < 4 m e da área de um retângulo para x > 4 m, temos: 1 (1) (20) + ( X − 4) (20) = 40 , 2 o que nos dá X = 5,5 m. 9. (a) O trabalho realizado pelo campo elétrico é W= ∫ f i   q q0 E ⋅ ds = 0 2 0 ∫ d 0 dz = q0 d (1, 60 × 10 −19 C)(5, 80 × 10 −12 C/m 2 )(0, 0356 m) = 2 0 2(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) = 1, 87 × 10 −21 J. (b) Como V – V0 = –W/q0 = –sz/2â0, com V0 = 0 na superfície da placa, o potencial elétrico no ponto P é V =− (5, 80 × 10 −12 C/m 2 )(0, 0356 m) z = −1,17 × 10 −2 V. =− 2 0 2(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) 10. Na região entre as placas, ou seja, para 0 < x < 0,5 m, os campos produzidos pelas duas placas, dados pela Eq. 23-13, têm o mesmo sentido e o campo total é  ˆ  50 × 10 −9 C/m 2 25 × 10 −9 C/m 2 ˆ i = −(4, 2 × 10 3 N/C)i. Eint = −  + −12 C 2 /N ⋅ m 2 )  12 2 2 − ( , × ( , ) 2 8 85 10 2 8 85 10 × C /N ⋅ m   Para x > 0,5 m, os campos produzidos pelas duas placas têm sentidos opostos e o campo total é:  Eext = − 50 × 10 −9 C/m 2 25 × 10 −9 C/m 2 ˆi + ˆi = −(1, 4 × 10 3 N/C)iˆ . 2(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) 2(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS De acordo com a Eq. 24-18, temos: V = − ∫ 0 ,8 0   E ⋅ ds = − 0,5 ∫ 0  Eint dx − ∫ 0 ,8 0,5  Eext dx = − ( 4, 2 × 103 ) ( 0, 5) − (1, 4 × 103 ) ( 0, 3) = 2, 5 × 103 V = 2,5 kV. 11. (a) Para r = 1,45 cm = 0,0145 m, o potencial é V (r ) = V ( 0 ) − =− ∫ r 0 E ( r )dr = 0 − ∫ r 0 qr qr 2 dr = − 3 4 0 R 8 0 R3 (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(3, 50 × 10 −15 C)(0, 0145 m)2 2(0, 0231 m)3 = −2, 68 × 10 −4 V = −0, 268 mV. (b) Como ∆V = V(0) – V(R) = q/8pâ0R, temos: V ( R) = − q (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(3, 50 × 10 −15 C) =− 2(0, 0231 m) 8 0 R = −6, 81 × 10 −4 V = −0, 681 mV. 12. A carga é q = 4 0 RV = (10 m)(−1, 0 V) = −1,1 × 10 −9 C = −1,1 nC. 8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 /C2 13. (a) A carga da esfera é q = 4 0 RV = (0,15 m)(200 V) = 3, 3 × 10 −9 C = 3,3 nC. 8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 (b) A densidade superficial de carga é = q 3, 3 × 10 −9 C = = 1, 2 × 10 −8 C/m 2 = 12 nC/m 2 . 4 R 2 4 (0,15 m)2 14. (a) A diferença de potencial é VA − VB = q q 1   1 − − = (1, 0 × 10 −6 C)(8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )   2,0 m 1, 0 m  4 0 rA 4 0 rB = −4, 5 × 103 V = −4,5 kV.  (b) Como V(r) depende apenas do módulo de r, o resultado é o mesmo do item (a): V = −4,5 kV. 15. (a) O potencial elétrico V na superfície da gota, a carga q da gota e o raio R da gota estão relacionados através da equação V = q/4pâ0R. Assim, R= q (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 / C2 )(30 × 10 −12 C) = 5, 4 × 10 −4 m = 0,54 mm. = 4 0V 500 V (b) Quando as gotas se combinam, o volume total fica duas vezes maior e, portanto, o raio da nova gota é R9 = 21/3R. Como a carga da nova gota é q9 = 2q, temos: V′ = 1 q′ 1 2q = = 22 / 3 V = 22 / 3 (500 V) ≈ 790 V. 1 4 0 R ′ 4 0 2 / 3 R 77 78 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 16. Como as partículas dos vértices estão todas à mesma distância do centro, e como a carga total dessas partículas é 2q1– 3q1+ 2 q1– q1 = 0, a contribuição dessas partículas para o potencial, de acordo com a Eq. 24-27, é zero. Assim, o potencial é a soma dos potenciais das duas partículas de carga +4q2, que estão a uma distância a/2 do centro: V= 1 4 q2 1 4 q2 16q2 16(8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(6, 00 × 10 −12 C) + = = = 2, 21 V. 4 0 a / 2 4 0 a / 2 4 0 a 0, 39 m 17. O potencial elétrico no ponto P é V= q 4 0 q (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(5, 00 × 10 −15 C)  1 1 1 1  − 2d − d + d + d  = 8 d = 2(4, 00 × 10 −2 m) 0 = 5, 62 × 10 −4 V = 0,562 mV. 18. Quando a partícula 2 está a uma distância infinita, o potencial na origem se deve apenas à carga da partícula 1: q1 = 5, 76 × 1027 V. V1 = 4 0 d Assim, q1/d = (5,76 × 107)/(8,99 × 109) = 6,41 × 10−17 C/m. De acordo com o gráfico da Fig. 24-34b, quando a partícula 2 se encontra no ponto x = 0,080 m, o potencial total é zero. Assim, 0= kq2 kq + 1 0, 08 m d ⇒ q2 = −0, 08 q1 5,13 × 10 −18 = −5,13 × 10 −18 C = − e = −32e. d 1, 60 × 10 −19 19. Em primeiro lugar, observamos que V(x) não pode ser igual a zero para x > d. Na verdade, V(x) é negativa para todos os valores de x maiores que d. Vamos considerar as duas outras regiões do eixo x, x < 0 e 0 < x < d. (a) Para 0 < x < d, temos d1 = x e d2 = d – x. Assim, q q  q 1 d 24, 0 cm −3  V (x) = k  1 + 2  = = 6, 0 cm.  +  = 0 ⇒ x = = 4 4  d1 d 2  4 0 x d − x (b) Para x < 0, temos d1 = –x e d2 = d – x. Assim, q q  q  1 −3  d 24, 0 cm V (x) = k  1 + 2  = + = −12, 0 cm.   =0 ⇒ x=− =−  2 2  d1 d 2  4 0 − x d − x 20. Como, de acordo com o enunciado, existe um ponto entre as duas cargas no qual o campo elétrico é zero, as cargas têm necessariamente o mesmo sinal, o que significa que os potenciais elétricos produzidos pelas cargas se somam em todos os pontos do espaço. Assim, não existe nenhum ponto, além do infinito, no qual o potencial elétrico é zero. 21. De acordo com a Eq. 24-30, V= 1 p (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) (1, 47 × 3, 34 × 10 −30 C ⋅ m) = = 1, 63 × 10 −5 V = 16,3 V. (52, 0 × 10 −9 m)2 4 0 r 2 22. De acordo com as Eqs. 24-14 e 24-30, temos, para θi = 0º:  p cos  p cos i  ep cos  = Wa = qV = e  − ( cos  − 1)  4 0 r 2 4 0 r 2  4 0 r 2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS De acordo com o gráfico da Fig. 24-36b, Wa = −4,0 × 10−30 J para θ = 180o. Assim, −4, 0 × 10 −30 J = 2(8, 99 × 109 N ⋅ m/C2 )(1, 6 × 10 −19 C) p (20 × 10 −9 m)2 ⇒ p = 5, 6 × 10 −37 C ⋅ m. 23. (a) De acordo com a Eq. 24-35, o potencial é V =2  L / 2 + ( L2 / 4) + d 2   ln   4 0  d   (0, 06 m/ 2) + (0, 06 m)2 / 4 + (0, 08 m)2 = 2(8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(3, 68 × 10 −12 C/m) ln  0, 08 m  − 2 = 2, 43 × 10 V = 24,3 mV.    (b) Por simetria, o potencial no ponto P é V = 0. 24. O potencial é VP = −Q dq (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(25, 6 × 10 −12 C) 1 ⌠ 1 ⌠ = =−  dq = 3, 71 × 10 −2 m 4 0 ⌡barra R 4 0 R ⌡barra 4 0 R = −6, 20 V. Note que o resultado não depende do ângulo do arco e é igual ao que seria obtido no caso de uma carga pontual –Q situada a uma distância R do ponto P. Esta “coincidência” se deve, em parte, ao fato de que o potencial V é uma grandeza escalar. 25. (a) Como todas as cargas estão à mesma distância R do ponto C, o potencial elétrico no ponto C é V= 1 4 0 5Q1 5(8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(4, 20 × 10 −12 C)  Q1 6Q1  =− = −2, 30 V.  −  = − R R 4 0 R 8, 20 × 10 −2 m (b) Todas as cargas estão à mesma distância do ponto P. Como essa distância, de acordo com o teorema de Pitágoras, é R 2 + D 2 , o potencial elétrico no ponto P é V= 1  Q1 −  2 4 0  R + D 2 =− 6Q1 R2 + D2  5Q1 =− 2 4 0 R 2 + D  5(8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(4, 20 × 10 −12 C) (8, 20 × 10 −2 m)2 + (6, 71 × 10 −2 m)2 = −1, 78 V. 26. Podemos usar o mesmo raciocínio do livro (veja as Eqs. 24-33 a 24-35), mudando apenas o limite inferior da integral de x = 0 para x = D. O resultado é o seguinte: V=  L + L2 + d 2  2, 0 × 10 −6  4 + 17   ln  lnn  = = 2,18 × 10 4 V. 4 0  D + D 2 + d 2  4 0  1 + 2  27. De acordo com o que foi observado na solução do Problema 24, as barras podem ser substituídas por cargas pontuais situadas à mesma distância do ponto considerado. Assim, fazendo d = 0,010 m, temos: V= 3Q1 3Q1 Q1 Q1 (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(30 × 10 −9 C) + − = = 4 0 d 8 0 d 16 0 d 8 0 d 2(0, 01 m) = 1, 3 × 10 4 V = 13 kV. 79 80 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 28. Considere um segmento infinitesimal da barra, situado entre x e x + dx. O segmento tem comprimento dx e contém uma carga dq = l dx, na qual l = Q/L é a densidade linear de carga. A distância entre o segmento e o ponto P1 é d + x e o potencial criado pelo segmento no ponto P1 é dV = 1 dq 1 dx = . 4 0 d + x 4 0 d + x Para calcular o potencial total no ponto P1, integramos o potencial dV para toda a extensão da barra, o que nos dá V= =  4 0 ∫ L 0 dx  ln(d + x ) = d + x 4 0 L = 0 Q L  ln  1 +  4 0 L  d 0,12 m  (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(56,1 × 10 −15 C)  ln  1 +  0, 025 m  0,12 m = 7, 39 × 10 −3 V = 7,39 mV V. 29. Usando o mesmo raciocínio dos Problemas 24 e 27, temos: V= = 1 +Q1 1 +4Q1 1 −2Q1 1 Q1 + + = 4 0 R 4ο 2 R 4 0 R 4 0 R (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(7, 21 × 10 −12 C) 2, 00 m = 3, 24 × 10 −2 V = 32,4 mV. 30. De acordo com a Eq. 24-30, o potencial produzido pelo dipolo elétrico é V= p cos  p cos 90° = = 0. 2 4 0 r 4 0 r 2 Usando o mesmo raciocínio dos Problemas 24, 27 e 29, o potencial produzido pelo arco menor é q1 / 4 0 r1 e o potencial produzido pelo arco maior é q2 / 4 0 r2 . Assim, temos: V= q1 q2 1  q1 q2  1  2 C 3 C  = 0. + = + = −   4 0 r1 4 0 r2 4 0  r1 r2  4 0  4, 0 cm 6, 0 cm  31. Como a carga do disco é uniforme, o potencial no ponto P produzido por um quadrante é um quarto do potencial produzido pelo disco inteiro. Vamos primeiro calcular o potencial produzido pelo disco inteiro. Considere um anel de carga de raio r e largura infinitesimal dr. A área do anel é 2pr dr e a carga é dq = 2psr dr. Como todo o anel está a uma distância r 2 + D 2 do ponto P, o potencial que o anel produz no ponto P é dV = 1 2 rdr  rdr = . 4 0 r 2 + D 2 2 0 r 2 + D 2 O potencial total no ponto P é R V=  ⌠  2 0 ⌡0 rdr r2 + D2 =  2 0 R r 2 + D2 = 0   2 R + D2 − D  .  2 0  SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS O potencial Vq produzido por um quadrante no ponto P é, portanto, Vq = = V σ  2 = R + D2 − D   4 8 0  (7, 73 × 10 −15 C/m 2 )  (0, 640 m )2 + (0, 259 m)2 − 0, 259 m   8(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )  = 4, 71 × 10 −5 V = 47,1 V. Para D >> R, temos: Vq =   2  R + D2 − D  ≈   8 0 8 0 qq     R 2  R 2 / 4 1 R2  − = = = D D 1  + +     2  2D 4 0 D 4 0 D  8 0 2 D  e o potencial é aproximadamente igual ao produzido por uma carga pontual qq = pR2s/4. 32. Podemos usar a Eq. 24-32, com dq = l dx = bx dx (no intervalo 0 ≤ x ≤ 0,20 m). (a) Nesse caso, r = x e, portanto, 0 , 20 V= (b) Nesse caso, r = 1 ⌠  40 ⌡0 x 2 + d 2 e, portanto, 0 , 20 V= bx dx b(0, 20) = = 36 V. x 40 1 ⌠  4 0 ⌡0 bxdx x2 + d2 = b 4 0 ( x2 + d 2 ) 0 , 20 0 = 18 V. 33. Considere um segmento infinitesimal da barra, situado entre x e x + dx. O segmento tem um comprimento dx e uma carga dq = l dx = cx dx. A distância entre o segmento e o ponto P1 é d + x e o potencial criado pelo segmento no ponto P1 é dV = 1 dq 1 cx dx = . 4 0 d + x 4 0 d + x Para calcular o potencial total no ponto P1, integramos o potencial dV para toda a extensão da barra, o que nos dá L V= c ⌠ xdx c = [ x − d ln( x + d )]  4 0 ⌡0 d + x 4 0 L = 0 c  L  L − d ln  1 +     d 4 0   0,120 m    = (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(28, 9 × 10 −12 C/m 2 )  0,120 m − (0, 030 m) ln  1 +  0, 030 m    = 1, 86 × 10 −2 V = 18,6 mV. 34. O módulo do campo elétrico é dado por V 2(5, 0 V) = = 6, 7 × 10 2 V m . x 0,015m  Em todos os pontos da região entre as placas, o campo E aponta na direção da placa negativa. |E|= − 81 82 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 35. De acordo com a Eq. 24-41, E x ( x , y) = − ∂V ∂ = − [ (2, 0 V/m 2 ) x 2 − 3, 0 V/m 2 ) y 2 ] = −2(2, 0 V/m 2 ) x; ∂x ∂x E y ( x , y) = − ∂ ∂V = − [ (2, 0 V/m 2 ) x 2 − 3, 0 V/m 2 ) y 2 ] = 2(3, 0 V/m 2 ) y . ∂y ∂y Para x = 3,0 m e y = 2,0 m, temos:  ˆ E = (−12 V/m)iˆ + (12 V/m)j. 36. De acordo com a Eq. 24-41,  d  dV  ˆ ˆ E = − i = − (1500 x 2 ) ˆi = ( − 3000x ) ˆi = ( − 3000 V/m 2 ) (0, 0130 m)iˆ = (−39 V/m)i.  dx  dx (a) O módulo do campo elétrico é E = 39 V/m. (b) O campo elétrico aponta para a placa 1. 37. De acordo com a Eq. 24-41, Ex = − ∂V = −2, 00 yz 2 ∂x Ey = − ∂V = −2, 00 xz 2 ∂y Ez = − ∂V = −4, 00 xyz ∂z e, portanto, no ponto (x, y, z) = (3,00 m, –2,00 m, 4,00 m), temos (Ex, Ey, Ez) = (64,0 V/m, –96,0 V/m, 96,0 V/m). O módulo do campo é, portanto,  E = E x2 + E y2 + Ez2 = 150 V m = 150 N C. 38. (a) De acordo com o resultado do Problema 24-28, o potencial elétrico em um ponto de coordenada x é V= Q  x − L ln  . 4 0 L  x  No ponto x = d, temos: V= Q 0,135 m   d + L  (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(43, 6 × 10 −15 C)  ln  ln  1 +  =    d d 4 0 L 0,135 m 0,135 m  0,135 m    = (2, 90 × 10 −3 V) ln  1 +  .  = (2, 90 mV) ln  1 +  d d (b) Derivando o potencial em relação a x, temos: Ex = − =− Q ∂V Q ∂  x − L Q x  1 x − L =− ln   − 2  = −  =− x ∂x 4 0 L ∂x  x  4 0 L x − L  x 4 0 x ( x − L ) (3, 92 × 10 −4 N ⋅ m 2 C) (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(43, 6 × 10 −15 C) , =− x ( x + 0,135 m ) x ( x + 0,135 m) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS o que nos dá | Ex | = (3, 92 × 10 −4 N ⋅ m 2 C) (0, 392 mN ⋅ m 2 C) = . x ( x + 0,135 m) x ( x + 0,135 m) (c) Como Ex < 0, o ângulo que o campo faz com o semieixo x positivo é 180o. (d) Para x = d = 6,20 cm, temos: | Ex | = (3, 92 × 10 −4 N ⋅ m 2 C) = 0, 0321 N/C = 32,1 mN/C. (0, 0620 m)(0, 0620 m + 0,135 m) (e) Considere dois pontos muito próximos da barra situados na mesma reta vertical, um de cada lado da barra. A componente Ey do campo elétrico é dada pela diferença de potencial elétrico entre os dois pontos dividida pela distância entre os pontos. Como os pontos estão situados à mesma distância da barra, a diferença de potencial é zero e, portanto, Ey = 0. 39. O campo elétrico em uma direção qualquer é o negativo da derivada do potencial V em relação à coordenada nessa direção. Neste problema, as derivadas em relação às direções x e y são as inclinações das retas das Figs. 24-46a e 24-46b, respectivamente. Assim, temos: Ex = − ∂V  −500 V  = 2500 V/m = 2500 N/C = −  0,20 m  ∂x ∂V  300 V  = −1000 V/m = −1000 N//C = −  0,30 m  ∂y   A força a que o elétron é submetido é dada por F = qE , na qual q = –e. O sinal negativo asso  ciado ao valor de q significa que F aponta no sentido oposto ao de E. Para e = 1,60 × 10–19 C, temos:  ˆ ] = (−4, 0 × 10 −16 N)iˆ + (1, 60 × 10 −16 N)jˆ . F = (−1, 60 × 10 −19 C)[(2500 N/C)iˆ − (1000 N/C)j] Ey = − 40. (a) Considere um segmento infinitesimal da barra situado entre x e x + dx. A contribuição do segmento para o potencial no ponto P2 é dV = 1 1 ( x )dx = 2 2 4 0 x + y 4 0 cx x2 + y2 dx. Assim, L ) c 4 0 ( L2 + y 2 − y = (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(49, 9 × 10 −12 C/m 2 ) ( (0,100 m)2 + (0, 0356 m)2 − 0, 0356 m c ⌠ V= dVP =  barra 4 0 ⌡0 ∫ x x2 + y2 dx = = 3,16 × 10 −2 V = 31,6 mV. (b) A componente y do campo é Ey = − ∂VP c d =− ∂y 4 0 dy ( ) L2 + y 2 − y = c 4 0  1 −   = (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(49, 9 × 10 −12 C/m 2 )  1 −  = 0, 298 N/C.   L2 + y 2  y   (0,100 m)2 + (0, 0356 m)2  0, 0356 m ) 83 84 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) Calculamos o valor da componente Ey do campo elétrico a partir do potencial que foi calculado apenas em pontos do eixo y. Para calcular o valor da componente Ex teríamos que calcular primeiro o potencial em um ponto arbitrário do plano xy, da forma V(x,y), para depois calcular o campo Ex usando a relação Ex = −∂V(x,y)/∂x. 41. Aplicando a lei de conservação da energia à partícula livre que está livre para se mover, obtemos: 0 + Ui = Kf + Uf , na qual Ui = qQ/4pâ0ri, Uf = qQ/4pâ0rf, ri é a distância inicial entre as partículas e rf é a distância final. (a) Como as partículas, por terem cargas de mesmo sinal, se repelem, o valor inicial da distância entra elas é ri = 0,60 m e o valor final é 0,60 m + 0,40 m = 1,0 m. Assim, temos: K f = Ui − U f = qQ qQ − 4 0 ri 4 0 rf  1 1  = 0, 90 J. = (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 /C2 )(7, 5 × 10 −6 C)(20 × 10 −6 C)  −  0, 60 m 1, 00 m  (b) Como as partículas, por terem cargas de sinais opostos, se atraem, o valor inicial da distância entre elas é 0,60 e o valor final é 0,60 m − 0,40 m = 0,20 m. Assim, temos: K f = Ui − U f = − qQ qQ + 4 0 ri 4 0 rf  1 1  = −(8, 99 × 109 N ⋅ m 2 /C2 )(7, 5 × 10 −6 C)(20 × 10 −6 C)  − = 4, 5 J.  0, 60 m 0, 20 m  42. (a) De acordo com a Eq. 24-43, temos: U=k e 2 (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(1, 60 × 10 −19 C)2 q1q2 = 1,15 × 10 −19 J. =k = 2, 00 × 10 −9 m r r (b) Como U > 0 e U ∝ r–1, a energia potencial U diminui quando r aumenta. 43. Tomando a energia potencial elétrica do sistema como zero no infinito, a energia potencial inicial Ui do sistema é zero. Como a energia final é Uf = q2 4 0 1 1 1 1  2q 2  1  1 1  − 2 , − − + − − + =   a a   2a a a 2 a  4 0 a  2 o trabalho necessário para montar o arranjo é W = U = U f − U i = U f = = 2q 2  1  − 2   4 0 a  2 2(8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(2, 30 × 10 −12 C)2  1  − 2    0, 640 m 2 = −1,992 × 10 −13 J = −0,192 pJ. 44. O trabalho executado é igual à variação da energia potencial elétrica. De acordo com as Eqs. 24-14 e 24-26, temos: W= (3e − 2e + 2e)(6e) (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(18)(1, 60 × 10 −19 C)2 = = 2,1 × 10 −25 J. 4 0 r 0, 020 m SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 45. A energia potencial inicial da segunda partícula é Ui = q2/4pâ0r1, a energia cinética inicial é Ki = 0, a energia potencial final é Uf = q2/4pâ0r2 e a energia cinética final é Kf = mv2/2, na qual v é a velocidade final da partícula. De acordo com a lei de conservação da energia, temos: K i + Ui = K f + U f ⇒ 1 q2 q2 = + mv 2 . 4 0 r1 4 0 r2 2 Explicitando v, obtemos 2q 2  1 1  − 4 0 m  r1 r2  v= (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(2)(3,1 × 10 −6 C)2 20 × 10 −6 kg = 1 1    0, 90 × 10 −3 m − 2, 5 × 10 −3 m  = 2, 5 × 10 3 m s = 2,5 km/s. 46. Se q1 é a carga do anel, q2 é a carga pontual, r é o raio do anel e x é a distância entre a carga pontual e o centro do anel, o trabalho realizado por um agente externo é W = U = q1q2  1 − 40  r 1 r2 + x2    1 − = (−9, 0 × 10 −9 C) (−6, 0 × 10 −12 C)(8,99 × 10 9 N ⋅ m 2 /C2 ) ⋅   1, 5 m = 1, 8 × 10 −10 J.   (1, 5 m)2 + (3, 0 m)2  1 47. Como no caso da força gravitacional, discutido no Capítulo 13, a velocidade de escape pode ser calculada igualando a energia cinética inicial ao valor absoluto da energia potencial: eq 1 2 mv = 2 4 0 r ⇒ v= eq = 2 0 rm (1, 6 × 10 −19 C)(1, 6 × 10 −15 C) 2 (8, 85 × 10 −12 F/m)(0, 01)(9,11 × 10 −31 kg) = 2, 2 × 10 4 m/s = 22 km/s. 48. A variação da energia potencial elétrica do sistema elétron-casca quando o elétron parte da posição inicial e chega à superfície da casca é ∆U = (–e)(–V) = eV. Para que essa energia seja igual à energia inicial do elétron, K i = me vi2 / 2, a velocidade inicial do elétron deve ser vi = 2U = me 2eV = me 2(1, 6 × 10 −19 C)(125 V) = 6, 63 × 10 6 m/s. 9,11 × 10 −31 kg 49. Tomando a energia potencial como zero quando o elétron móvel está muito longe dos elétrons fixos, a energia potencial final do elétron móvel é Uf = 2e2/4pâ0d, na qual d é metade da distância entre os elétrons fixos. A energia inicial do elétron móvel é Ki = mv2/2, na qual m é a massa e v é a velocidade inicial do elétron; a energia cinética final é zero. De acordo com a lei de conservação da energia, temos: Ki = U f ⇒ 1 2 2e 2 mv = , 2 4 0 d o que nos dá v= 4e 2 = 40 dm (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) (4) (1, 60 × 10 −19 C)2 = 3, 2 × 10 2 m s = 0,32 km/s. (0, 010 m) (9,11 × 10 −31 kg) 85 86 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 50. O trabalho necessário é W = U = 1 4 0 1  q1Q q2Q  +   = d 2d 4 0  q1Q (− q1 /22)Q  +   = 0. 2d d 51. (a) Seja c o comprimento do retângulo e l a largura. Como a carga q1 está a uma distância c do ponto A e a carga q2 está a uma distância l, o potencial elétrico no ponto A é VA = 1 4 0 −6 −6   q1 q2  9 N ⋅ m 2 /C 2 ) −5, 0 × 10 C + 2, 0 × 10 C  ( , + = 8 99 × 10    l c 0,15 m 0, 050 m  = +6, 0 × 10 4 V. (b) Como a carga q1 está a uma distância l do ponto B e a carga q2 está a uma distância c, o potencial elétrico no ponto B é VB =  −5, 0 × 10 −6 C 2, 0 × 10 −6 C  1  q1 q2  2 2 9 +  +  = (8, 99 × 10 N ⋅ m /C )  c 4 0 l 0,15 m   0, 050 m = −7, 8 × 105 V. (c) Como a energia cinética é zero no início e no final do percurso, o trabalho realizado por um agente externo é igual à variação de energia potencial do sistema. A energia potencial é o produto da carga q3 pelo potencial elétrico. Se UA é a energia potencial quando q3 está na posição A e UB é a energia potencial quando q3 está na posição B, o trabalho realizado para deslocar a carga de B para A é W = UA – UB = q3(VA – VB) = (3,0 × 10–6 C)(6,0 × 104 V + 7,8 × 105 V) = 2,5 J. (d) Como o trabalho realizado pelo agente externo é positivo, esse trabalho faz a energia do sistema aumentar. (e) e (f) Como a força eletrostática é conservativa, o trabalho não depende do percurso; assim, as duas respostas são iguais à do item (c). 52. De acordo com a Eq. 24-5, a Eq. 24-30 e o gráfico da Fig. 25-5b, a energia potencial do elétron no ponto de máxima aproximação do dipolo (Kf = 0) é  p cos(180o )  ep U f = qV = −e  = ,  2 2  4 0 r  4 0 r na qual r = 0,020 m. De acordo com o gráfico da Fig. 25-51b, Ki = 100 eV. Como Kf = Ui = 0, a lei de conservação da energia nos dá Uf = Ki = 100 eV = 1,6 × 10−17 J. Assim, (1, 6 × 10 −17 J)(0, 02)2 ep −17 J ⇒ p = = 4, 5 × 10 −12 C ⋅ m. = , × 1 6 10 (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 /C2 )(1, 6 × 10 −19 C) 4 0 r 2 53. (a) Tomando como referência uma energia potencial zero quando a distância entre as esferas é infinita, a energia potencial elétrica do sistema é U= q2 (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) (5, 0 × 10 −6 C)2 = 0, 225 J = 40 d 1, 00 m (b) As duas esferas se repelem com uma força cujo módulo é F= q2 (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(5, 0 × 10 −6 C)2 = = 0, 225 N. 40 d 2 (1,00 m)2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS De acordo com a segunda lei de Newton, a aceleração de cada esfera é igual à força de repulsão dividida pela massa da esfera. Sejam mA e mB as massas das esferas. A aceleração da esfera A é aA = F 0, 225 N = = 45, 0 m s2 m A 5,0 × 10 −3 kg aB = F 0, 225 N = = 22, 5 m s2 . mB 10 × 10 −3 kg e a aceleração da esfera B é (c) A energia potencial inicial, calculada no item (a), é U = 0,225 J. A energia cinética inicial é zero, já que as esferas partem do repouso. A energia potencial final é praticamente zero, já que a distância entre as esferas é muito grande. A energia cinética final é 12 m A v 2A + 12 mB v B2 , na qual vA e vB são as velocidades finais. Assim, de acordo com a lei de conservação da energia, U= 1 1 m A v 2A + mB v B2 . 2 2 De acordo com a lei de conservação do momento, 0 = m A v A + mB vB . Explicitando vB na equação do momento, obtemos v B = −(m A /mB ) v A . Substituindo na equação da energia, obtemos U = 12 (m A / mB )(m A + mB ) v 2A , e, portanto, vA = 2UmB = m A (m A + m B ) 2(0, 225 J)(10 × 10 −3 kg) = 7, 75 m/s. (5, 0 × 10 −3 kg)(5,0 × 10 −3 kg + 10 × 10 −3 kg) e vB = −  5,0 × 10 −3 kg  mA vA = −  (7,75 m/s) = −3, 87 m/s, mB  10 × 10 −3 kg  o que nos dá | v B | = 3, 87 m/s. 54. (a) Usando a relação U = qV, podemos “traduzir” o gráfico de tensão da Fig. 24-54 para um gráfico de energia em unidades de elétrons-volts. De acordo com o enunciado, a energia cinética do pósitron, em elétrons-volts, é Ki = mv2/2e = (9,11 ×10−31)(1,0 × 107)2/2(1,6 × 10219) = 284 eV. Como este valor é menor que a altura da ìbarreiraî de energia potencial, 500 eV, o movimento do pósitron se inverte e ele emerge da região em que existe campo em x = 0. (b) De acordo com a lei de conservação da energia, a velocidade final do pósitron é igual à velocidade inicial, 1,0 × 107 m/s. 55. Vamos chamar de r a distância pedida. A energia cinética inicial do elétron é K i = 12 me vi2 , na qual vi = 3,2 × 105 m/s. Quando a velocidade dobra de valor, a energia cinética passa a ser 4Ki. Assim, U = 3 −e 2 = − K = −(4 K i − K i ) = −3K i = − me vi2 , 2 40r o que nos dá r= 2e 2 2(1, 6 × 10 −19 C)2 (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 ) = = 1, 6 × 10 −9 m. 3(9,11 × 10 −19 kg) (3,2 × 10 5 m s)2 3 ( 4 0 ) me vi2 87 88 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 56. De acordo com o gráfico da Fig. 24-53b, a energia potencial total do sistema é zero quando a partícula 3 está passando pelo ponto x = 0,10 m. De acordo com a Eq. 24-43, temos: 0= q1q2 q1q3 q3 q2 + + , 4 0 d 4 0 (d + 0,10 m) 4 0 (0,10 m) e, portanto, q1 q2  qq  =− 1 2, + q3   d + 0,10 m 0,10 m  d o que nos dá q3 = −5,7 µC. 57. Vamos chamar de 1 e 2 as partículas fixas e de partícula 3 a partícula móvel. Vamos também usar o índice 0 para representar a posição na qual as coordenadas da partícula 3 são (0, 0) e o índice 4 para representar a posição na qual as coordenadas são (0, 4 m). Aplicando a lei de conservação de energia à partícula 3, temos: K0 + U0 = K4 + U4 na qual U= q1q3 4 0 x2 + y2 + q2 q3 4 0 x 2 + y 2 . (a) Fazendo q1 = q2 = q e explicitando K4, obtemos: K 0 = K 4 + U 4 − U 0 = 1, 2 J + 2qq3   4 0  1 x 2 + y2 − 1   | x |  1 1  − = 1, 2 J − (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 /C2 )(2)(50 × 10 −6 C)(15 × 10 −6 C)    9 m 2 + 16 m 2 3 m  = 3, 0 J. (b) Fazendo Kf = 0, temos: K 0 + U0 = U f ⇒ 3, 0 J = 2qq3 4 0  1 −   3 m  , 9 m 2 + y 2  1 o que nos dá y = −8,5 m. (A raiz negativa foi escolhida porque é pedido o valor negativo de y.) A figura a seguir mostra a energia cinética da partícula 3 em função de y. Como se pode ver no gráfico, K = 3,0 para y = 0 e K = 0 para y = ±8,5. A partícula oscila entre os dois pontos de retorno, y = +8,5 e y = −8,5. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 58. (a) Quando o próton é liberado, sua energia é K + U = 4,0 eV + 3,0 eV = 7,0 eV (a energia potencial inicial pode ser obtida na Fig. 24-54). Isso significa que, se traçarmos uma reta horizontal para V = 7,0 V na Fig. 24-54, o ponto de retorno estará na interseção da reta horizontal com o gráfico do poço de potencial. Fazendo uma interpolação no trecho da reta entre 1,0 cm e 3,0 cm, descobrimos que o ponto de retorno é, aproximadamente, x = 1,7 cm. (b) Para uma energia total de 7,0 eV, não existe ponto de retorno do lado direito; de acordo com a lei de conservação da energia, a velocidade do próton no ponto x = 6,0 cm é v= 2(2, 0 eV)(1, 6 × 10 −19 J/eV) = 20 km/ss. 1, 67 × 10 −27 kg (c) O campo elétrico em qualquer ponto do gráfico da Fig. 24-54 é o negativo da inclinação do gráfico nesse ponto. Uma vez conhecido o campo elétrico, a força a que o próton está submetido pode ser calculada a partir da relação F = eE. Na região ligeiramente à esquerda do ponto x = 3,0 cm, a inclinação do gráfico é (3 V − 9 V)/(0,03 m − 0,01 m) = −300 V/m, o campo é E = 300 V/m e o módulo da força é F = (1,6 × 10−19 C)(300 V/m) = 4,8 × 10−17 N.   (d) A força F , como o campo E , aponta no sentido positivo do eixo x. (e) Na região ligeiramente à direita do ponto x = 5,0 cm, a inclinação do gráfico é (5 V − 3 V)/ (0,06 m − 0,05 m) 200 V/m, o campo é E = −200 V/m e o módulo da força é F = (1,6 × 10−19 C)(200) = 3,2 × 10−17 N.   (f) A força F , como o campo E , aponta no sentido negativo do eixo x. 59. (a) O campo elétrico na região entre as placas da Fig. 24-55 aponta para a esquerda, já que o campo elétrico sempre aponta do potencial mais alto para o potencial mais baixo. Como, de acordo com o enunciado, a força aponta para a esquerda, no mesmo sentido que o campo, a carga da partícula é positiva. Trata-se, portanto, de um próton. (b) De acordo com a lei de conservação da energia, temos: K 0 + U0 = K f + U f ⇒ 1 1 m p v02 + eV1 = m p v 2f + eV2 , 2 2 o que nos dá vf = v02 + 2e (V1 − V2 ) = mp (90 × 103 m/s)2 + 2(1, 6 × 10 −19 C ) (−70 V + 50 V) 1, 67 × 10 −27 = 6, 53 × 10 4 m/s = 65, 3 km/ss. Note que a solução não depende do valor de d. 60. (a) Como o trabalho realizado é igual ao aumento de energia potencial, temos:  Q  = 2,16 × 10 −13 J, W = q V = ( − e )   4 0 R  o que nos dá Q = −1,20 × 10−5 C = −12,0 µC. (b) Como o trabalho é o mesmo, o aumento de energia potencial é ∆U = 2,16 × 10−13 J = 0,216 pJ. 89 90 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 61. A distância entre dois pontos de uma circunferência de raio R separados por um ângulo θ (em radianos) é r = 2R sen(θ/2). Usando este fato, distinguindo os casos em que N é ímpar e os casos em que N é par e calculando as interações entre pares de elétrons, podemos obter a energia potencial total nos dois casos. No caso da configuração 1, temos: U1, N = par  N −1  2 1 1 Nke 2  = , U + = 1 , N ímpar = 2 R  j =1 sen ( j 2 ) 2  2R   Nke 2 ∑  N −1  2 1    sen ( j 2 )    j =1 ∑ na qual k = 1/4pâ0 e θ = 2p /N. No caso da configuração 2, temos: U 2, N = par = ( N − 1) ke 2 2R  N −1  2 1 ( N − 1) ke 2   + 2 , U 2, N = ímpar =  sen ( j ′ 2 ) 2R   j =1 ∑  N −3 2 1  +  sen j ′ 2 ) ( = 1 j  ∑  5 2  na qual θ ′ = 2p /(N − 1). Os resultados são todos da forma U1 ou 2 = ke 2 × um número adimensional. 2R A tabela a seguir mostra os números adimensionais para vários valores de N, nas duas configurações. Os valores da tabela são as energias potenciais divididas por ke2/2R. N 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 U1 3,83 6,88 10,96 16,13 22,44 29,92 38,62 48,58 59,81 72,35 86,22 101,5 U2 4,73 7,83 11,88 16,96 23,13 30,44 39,92 48,62 59,58 71,81 85,35 100,2 Vemos que a energia potencial da configuração 2 é maior que a da configuração 1 para N < 12; para N ≥ 12, a energia potencial da configuração 1 é maior. (a) O menor valor para o qual U2 < U1 é N = 12. (b) Para N = 12, a configuração 2 é formada por 11 elétrons distribuídos ao longo de uma circunferência a intervalos iguais e um elétron central. A distância entre um dos elétrons da circunferência, e0, e o centro da circunferência é R; a distância entre e0 e os vizinhos mais próximos que pertencem à circunferência (um de cada lado) é  r = 2 R sen   ≈ 0, 56 R.  11 A distância entre e0 e os segundos vizinhos mais próximos é  2  r = 2 R sen  ≈ 1,1R  11  Assim, existem apenas dois elétrons mais próximos de e0 que o elétron central. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 62. (a) Se as duas esferas estão ligadas por um fio condutor, os potenciais V1 e V2 são necessariamente iguais. Assim, a resposta é que o potencial V1 se torna igual ao potencial V2. Fazendo V1 = q1/4pâ0R1 = V2 = q2/4pâ0R2, q1 + q2 = q e R2 = 2R1, podemos obter os valores de q1/q e q2/q. (b) q1/q = 1/3 = 0,333. (c) q2/q = 2/3 = 0,667. (d) A razão entre as densidades superficiais de carga das duas esferas é 2 2 1 q1 4 R12  q1 q   R2   1  2 = = = = 2, 00.      2  1  2 q2 4 R22  q2 q   R1  63. (a) O potencial elétrico é a soma das contribuições das esferas. Seja q1 a carga da esfera 1, q2 a carga da esfera 2 e d a distância entre as esferas. O potencial do ponto a meio caminho entre os centros das esferas é V= q1 + q2 (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) (1, 0 × 10 −8 C − 3, 0 × 10 −8 C) = = −1, 8 × 10 2 V. 40 d 2 1, 0 m (b) A distância entre o centro de uma das esferas e a superfície da outra é d – R, na qual R é o raio das esferas. O potencial na superfície de cada esfera é a soma da contribuição da própria esfera com a contribuição da outra esfera. O potencial na superfície da esfera 1 é V1 =  1, 0 × 10 −8 C q  3, 0 × 10 −8 C  1  q1 − + 2  = (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )   2, 0 m − 0, 030 m  4 0  R d − R   0, 030 m = 2,99 × 10 3 V = 2,9 kV. (c) O potencial na superfície da esfera 2 é V2 =  1, 0 × 10 −8 C q  1  q1 3, 0 × 10 −8 C  + 2  = (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )  −  4 0  d − R R  0, 030 m   2, 0 m − 0, 030 m = −8, 9 × 103 V = −8, 9 kV. 64. Como o potencial elétrico é o mesmo em qualquer ponto do interior de um condutor, o potencial elétrico no centro também é +400 V. 65. Se o potencial elétrico é zero no infinito, o potencial na superfície da esfera é dado por V = q/4pâ0r, na qual q é a carga da esfera e r é o raio da esfera. Assim, q = 4 0 rV = (0,15 m) (1500 V) = 2, 5 × 10 −8 C. 8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 66. Como a distribuição de carga tem simetria esférica, podemos escrever: E (r ) = 1 qenv , 4 0 r na qual qenv é a carga envolvida por uma superfície esférica de raio r e centro na origem. (a) Como R1 < R2 < r, temos: E (r ) = q1 + q2 (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(2, 00 × 10 −6 C + 1, 00 × 10 −6 C) = 4 0 r 2 (4, 00 m)2 = 1, 69 × 103 V/m = 1,69 kV/m. 91 92 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Como R1 < r < R2, temos: E (r ) = q1 (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(2, 00 × 10 −6 C) = 4 0 r 2 (0, 700 m)2 = 3, 67 × 10 4 V/m = 36,7 kV/m. (c) Como r < R1 < R2, E = 0. Podemos calcular o potencial elétrico usando a Eq. 24-18: V (r ) − V (r ′ ) = ∫ r′ r E ( r ) dr . (d) Como R1 < R2 < r, temos: V (r ) = q1 + q2 (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(2, 00 × 10 −6 C + 1, 00 × 10 −6 C) = 4 0 r (4, 00 m) = 6, 74 × 103 V = 6,74 kV. (e) Como R1 < R2 = r, temos: V (r ) = q1 + q2 (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(2, 00 × 10 −6 C + 1, 00 × 10 −6 C) = 4 0 r (1, 00 m) = 2, 70 × 10 4 V = 27,0 kV. (f) Como R1 < r < R2, temos: V (r ) = −6 −6 1  q1 q2  9 N ⋅ m 2 C 2 )  2, 00 × 10 C + 1, 00 × 10 C  + ( , = 8 99 × 10  0, 700 m 4 0  r R2  1, 00 m  = 3, 47 × 10 4 V = 34,7 kV. (g) Como r = R1 < R2, temos: V (r ) = 1 4 0 −6  q1 q2  1, 00 × 10 −6 C  2 9 2  2, 00 × 10 C  r + R  = (8, 99 × 10 N ⋅ m C )  0, 500 m + 1, 00 m  2 = 4, 50 × 10 4 V = 45,0 kV. (h) Como r < R1 < R2, V= −6 −6 1  q1 q2  9 N ⋅ m 2 C 2 )  2, 00 × 10 C + 1, 00 × 10 C  + ( , = 8 99 × 10   0, 500 m 4 0  R1 R2  1, 00 m  = 4, 50 × 10 4 V = 45,0 kV. (i) Em r = 0, o potencial é o mesmo que no item (h), V = 45,0 kV. (j) As figuras a seguir mostram o campo elétrico e o potencial em função de r. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 67. (a) O módulo do campo elétrico é E= (3, 0 × 10 −8 C) (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) q  = 1, 2 × 10 4 N C . = = 2 (0,15 m)2  0 4 0 R (b) V = RE = (0,15 m)(1,2 × 104 N/C) = 1,8 × 103 V = 1,8 kV. (c) Se x é a distância, temos: V = V ( x ) − V = q 4π0 1  1 −  = −500 V,  R + x R o que nos dá x= RV (0,15 m)(−500 V) = = 5, 8 × 10 −2 m = 5,8 cm. −V − V −1800 V + 500 V 68. Como a energia potencial do sistema é U=  1  4 0   q1q2 ( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2  8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 3, 00 × 10 −6 C −4, 00 × 10 −6 C )( )( ) = (  ( 3, 50 + 2, 00 )2 + ( 0, 500 − 1, 50 )2 cm  = −1, 93 J, o trabalho realizado pela força elétrica é Wrealizado = −U = 1,93 J e, portanto, o trabalho necessário para colocar as cargas nas posições especificadas é Waplicado = −Wrealizado = −1,93 J. 69. Imagine uma superfície gaussiana cilíndrica A de raio r e comprimento h, concêntrica com o cilindro. De acordo com a lei de Gauss, ∫   q E ⋅ dA = 2 rhE = env , A 0 na qual qenv é a carga envolvida pela superfície gaussiana. Vamos chamar de R o raio do cilindro. Para r < R, ou seja, no interior do cilindro, qenv = 0, e, portanto, E = 0. Para r > R, ou seja, do lado de fora do cilindro, qenv = q, a carga total do cilindro, e o módulo do campo elétrico é E=  q q /h = = , 2 rh 0 2 r 0 2 r 0 na qual l é a densidade linear de carga. (a) Vamos chamar de EB o módulo do campo elétrico na superfície do cilindro, já que o ponto B está na superfície do cilindro. De acordo com a equação apresentada, para pontos do lado de fora do cilindro, o campo elétrico é inversamente proporcional a r: E = EB RB , r r ≥ RB . Assim, para r = RC = 0,050 m, temos: EC = E B RB  0, 020 m  = 64 N C . = (160 N/C   0, 050 m  RC ) 93 94 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) De acordo com a Eq. 24-18, a diferença de potencial VB − VC é R  E B RB  0, 050 m  dr = E B RB ln  C  = (160 N/C C)(0, 020 m) ln   0,020 m  r  RB  = 2, 9 V . VB − VC = − ∫ RB RC (c) Como o campo elétrico no interior do cilindro é zero, todos os pontos do cilindro têm o mesmo potencial e, portanto, tanto o ponto A como o ponto B pertencem ao cilindro, VA – VB = 0. 70. (a) De acordo com a Eq. 24-18, Vparede − V = − ∫ R r E dr , e, portanto, para E = ρr/2â0 (veja a solução do Problema 60 do Capítulo 23), temos: 0−V = − ∫ R r r   2  0 ⇒ −V = −  ( R2 − r 2 ) , 4 0 o que nos dá ( R2 − r 2 ) . 4 0 V= (b) O valor da diferença de potencial para r = 0 é Veixo = −1,1 × 10 −3 C m 3 ( 0, 05 m )2 − 0  = −7, 8 × 10 4 V = −78 kV.  4(8, 85 × 10 −12 C V ⋅ m)  Assim, o valor absoluto da diferença de potencial é |Veixo| = 78 kV. 71. De acordo com a Eq. 24-30, o potencial elétrico de um dipolo em um ponto qualquer do espaço é dado por V= 1 p cos  4 0 r 2   na qual p é o módulo do momento p do dipolo, θ é o ângulo entre p e o vetor posição do ponto, e r é a distância entre o ponto e o dipolo. Como, no eixo do dipolo, θ = 0 ou θ = p, |cos θ฀| = 1. Assim, o módulo do campo elétrico é  ∂V p d  1 p = |E|= − .  2  = ∂r 4 0 dr r 2 0 r 3 Nota: se tomarmos o eixo z como eixo do dipolo, E+ = p 2 0 z 3 ( z > 0) e E − = − p 2 0 z 3 ( z < 0) 72. De acordo com a Eq. 24-18, temos: 3 A 1 1 A dr =  3 − 3  = (2, 9 × 10 −2 m −3 ) A 4 3 2 3  ⌡2 r V = −⌠  73. (a) O potencial na superfície da esfera é V= (4, 0 × 10 −6 C) (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) q = = 3, 6 × 10 5 V . 4 0 R 0,10 m SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) O campo logo acima da superfície da esfera seria E= q V 3, 6 × 105 V = = = 3, 6 × 106 V m , 2 4 0 R R 0,10 m um valor maior que 3,0 MV/m. Assim, a resposta é não. 74. O trabalho realizado é igual à variação da energia potencial elétrica do sistema, dada por U= q1q2 qq qq + 2 3 + 1 3 , 4 0 r12 4 0 r23 4 0 r13 na qual r12 indica a distância entre as partículas 1 e 2, e uma convenção semelhante é usada para r23 e r13. (a) Considere a diferença entre a energia potencial com r12 = b e r23 = a e a energia potencial com r12 = a e r23 = b (r13 não muda). Convertendo os valores dados no enunciado para unidades do SI, temos: qq qq qq qq W = U = 1 2 + 2 3 − 1 2 − 2 3 = −24 J. 4 0 b 4 0 a 4 0 a 4 0 b (b) Por simetria, quando as partículas 2 e 3 trocam de posição, as condições permanecem as mesmas do ponto de vista da energia potencial e, portanto, W = ∆U = 0. 75. Suponha que a distribuição de carga da Terra tem simetria esférica. Nesse caso, se o potencial elétrico é zero no infinito, o potencial elétrico na superfície da Terra é V = q/4pâ0R, na qual q é a carga da Terra e R = 6,37 × 106 m é o raio da Terra. Como o módulo do campo elétrico na superfície da Terra é E = q/4pâ0R2, temos: V = ER = (100 V/m) (6,37 × 106 m) = 6,4 × 108 V. 76. De acordo com a lei de Gauss, q = âοΦ฀=฀+495,8 nC. Assim, V= (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(4, 958 × 10 −7 C) q = 3, 71 × 10 4 V. = 4 0 r 0,120 m 77. A diferença de potencial é ∆V = E∆s = (1,92 × 105 N/C)(0,0150 m) = 2,90 × 103 V. 78. Como as cargas presentes nos arcos são equidistantes do ponto cujo potencial queremos calcular, podemos substituí-las por cargas pontuais e aplicar a Eq. 24-27. O resultado é o seguinte: V= 1 +Q1 1 −2Q1 1 +3Q1 1 2Q1 + + = 4 0 R 4 0 R 4 0 R 4 0 R = 2(8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(4, 52 × 10 −12 C) = 0, 956 V. 0, 0850 m 79. A energia potencial elétrica na presença do dipolo é U = qVdipolo = qp cos  (−e)(ed ) cos  . = 4 0 r 2 4 0 r 2 Para θi = θf = 0º, a lei de conservação da energia nos dá K f + U f = K i + Ui ⇒ v= 2e 2  1 1 5  −  = 7, 0 × 10 m/s. 4 0 md 25 49 95 96 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 80. Podemos tratar o sistema como a combinação de um disco completo, de raio R com uma densidade superficial de carga s,฀com um disco menor, de raio r e densidade superficial de carga –s. Aplicando a Eq. 24-37 aos dois objetos, temos: V=  2 0 ( ) z 2 + R2 − z + − 2 0 ( ) z2 + r2 − z . Esta expressão se anula quando r → ∞, como exige o problema. Substituindo por valores numéricos, temos: V=  R  5 5 − 101  (6, 20 × 10 −12 C/m 2 )(0,130 m)  5 5 − 101    =  0  8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 10 10    = 1, 03 × 10 −2 V = 10,3 mV. 81. (a) O elétron é liberado com uma energia K + U = 3,0 eV −฀6,0 eV = −3,0 eV (o valor da energia potencial pode ser obtido a partir do gráfico da Fig. 24-60 e do fato de que U = qV = −฀eV). Como a carga do elétron é negativa, é conveniente imaginar o eixo vertical em unidades de elétrons-volts e com um sinal negativo. Assim, o valor de 2 V para x = 0 se torna –2 eV, o valor de 6 V para x = 4,5 cm se torna –6 eV, etc. A energia total (−฀3,0 eV) é constante e, portanto, pode ser representada nesse gráfico como uma reta horizontal em −฀3,0 V. A reta intercepta o gráfico da energia potencial no ponto de retorno. Interpolando o trecho do gráfico no intervalo de 1,0 cm a 4,0 cm, descobrimos que o ponto de retorno é x = 1,75 cm ≈ 1,8 cm. (b) Como a reta não intercepta o gráfico de energia potencial em nenhum ponto à direita de x = 4,5 cm, não há ponto de retorno se o elétron estiver se movendo para a direita. De acordo com a lei de conservação da energia, a energia cinética do elétron no ponto x = 7,0 cm é K = −฀3,0 eV −฀(−฀5,0 eV) = 2,0 eV e, portanto, v= 2K = me 2(2,0 eV)(1, 60 × 10 −19 J/eV) = 8, 4 × 105 m/s. 9,11 × 10 −31 kgg (c) O campo elétrico em um ponto qualquer é a inclinação do gráfico da tensão em função da distância nesse ponto com o sinal trocado. Uma vez conhecido o campo  elétrico, podemos calcular a força a que o elétron está submetido usando a relação F = −eE. Usando esse método, determinamos que o campo elétrico na região imediatamente à esquerda do ponto x = 4,0 cm é   E = (−133 V/m) ˆi , a força é F = (2,1 × 10 −17 N) ˆi e o módulo da força é F = 2,1 × 10−17 N. (d) O sinal positivo indica que a força aponta no sentido positivo do eixo x.  (e)Na região imediatamente à direita do ponto x = 5,0 cm, o campo é E = (100 V/m) ˆi , a força é F = (−1, 6 × 10 −17 N) ˆi e o módulo da força é F = 1,6 × 10−17 N. (f) O sinal negativo indica que a força aponta no sentido negativo do eixo x. 82. (a) O potencial seria Ve = Qe 4 Re2 e = = 4 Re e k 4 0 Re 4 0 Re = 4 (6, 37 × 106 m) (1, 0 elétron m 2 ) (−1, 6 × 10 −9 C elétron) (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) = −0,12 V. (b) O campo elétrico seria E= 0,12V  e Ve = =− = −1, 8 × 10 −8 N C ,  0 Re 6,37 × 106 m o que nos dá | E | = 1, 8 × 10 −8 N C . (c) O sinal negativo de E significa que o campo elétrico aponta para baixo. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 83. (a) De acordo com a Eq. 24-26, o potencial elétrico no ponto P é VP = −2e 2e e (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(1, 6 × 10 −19 C) + = = 4 0 d1 4 0 d 2 4 0 (d / 2) 2, 00 m = 7,19 × 10 −10 V. (b) Como U = qV, a contribuição da partícula móvel para a energia potencial é zero quando está a uma distância r = ∞ das partículas fixas. Quando está no ponto P, a contribuição é U m = qVP = 2(1, 6 × 10 −19 C)(7,192 × 10 −10 V) = 2, 301 × 10 −28 J ≈ 2,30 × 10 −28 J. Assim, o trabalho realizado para deslocar a partícula móvel até o ponto P é Wm = 2,30 × 10−28 J. (c) Somando a contribuição Um da carga móvel, obtida no item (b), com a contribuição Uf das cargas fixas, dada por Uf = 1 4 0 (2e)(−2e) (4, 00 m)2 + (2, 00 m)2 = (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(4)(1, 60 × 10 −19 C)2 20, 0 m = −2, 058 × 10 −28 J, temos: Utotal = Um + Uf = 2,301 × 10−28 J − 2,058 × 10−28 J = 2,43 × 10–29 J. 84. Como o campo elétrico no interior da esfera é zero, o potencial é o mesmo em toda a esfera e, portanto, o potencial no ponto A tem o mesmo valor que na superfície de uma esfera carregada: VA = VS = q 4 0 R na qual q é a carga da esfera e R é o raio da esfera. Em pontos fora da esfera, o potencial é dado pela Eq. 24-26 e, portanto, VB = q 4 0 r na qual r é a distância entre o ponto B e o centro da esfera. (a) Temos: VS − VB = q  1 1 3  −  = 3, 6 × 10 V = 3, 6 kV. 4 0  R r  VA − VB = q 4 0 (b) Temos:  1 1 3  −  = 3, 6 × 10 V = 3, 6 kV. R r 85. Considerando como zero o potencial elétrico da carga móvel na posição inicial (a uma distância infinita das cargas fixas), o potencial elétrico na posição final é V= (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(2)(1, 60 × 10 −19 C) +2e +e 2e + = = 4 0 (2 D) 4 0 D 4 0 D 4, 00 m = 7,192 × 10 −10 V. 97 98 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS O trabalho realizado é igual à energia potencial na posição final da carga móvel: W = qV = (2e)(7,192 × 10−10 V) = 2,30 × 10−28 J. 86. Como o potencial elétrico é uma grandeza escalar, o cálculo é muito mais simples que no caso do campo elétrico. Podemos simplesmente dividir por dois o potencial elétrico que seria produzido no ponto P por uma esfera completa. No caso de uma esfera completa (de mesma densidade volumétrica de carga), a carga seria qesfera = 8,00 µC. Assim, V= 1 1 qesfera 1 (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 /C2 )(8, 00 × 10 −6 C) = Vesfera = = 2, 40 × 105 V 2 2 4 0 r 2 0,15 m = 240 kV. 87. O trabalho necessário é igual à variação de energia potencial: W = U = 2q 2 2q 2 2q 2 − = 4 0 d ′ 4 0 d 4 0  1  − d′ 1  d 1   1 = 1, 5 × 108 J. = 2(8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(0,12 C)2  −  1, 7 m/2 1, 7 m  A uma taxa P = 0,83 kW = 830 J/s, seriam necessários W/P = 1,8 × 105 s ou cerca de 2,1 dias para realizar o trabalho. 88. (a) A distância entre as cargas e o ponto C é a mesma e pode ser calculada usando o teorema de Pitágoras: r = (d / 2)2 + (d / 2)2 = d / 2. O potencial elétrico total no ponto C é a soma dos potenciais produzidos pelas duas cargas, mas, graças à simetria do problema, podemos calcular o potencial produzido por uma das cargas e multiplicar o resultado por dois: V= 2q 2 2 2q (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(2) 2 (2, 0 × 10 −6 C) = = = 2, 5 × 106 V = 2,5 MV. 40 d 40 d 0, 020 m (b) Quando a terceira carga é deslocada do infinito até o ponto C, a energia potencial varia de zero até qV, na qual V é o potencial elétrico no ponto C. A variação da energia potencial é igual ao trabalho necessário para deslocar a carga até a posição final: W = qV = (2, 0 × 10 −6 C) (2, 54 × 106 V) = 5,1 J. (c) O trabalho calculado no item (b) é igual apenas à energia potencial da carga móvel na presença das duas cargas fixas. Para determinar a energia potencial total do sistema de três cargas, precisamos somar a energia potencial associada à interação das duas cargas fixas. Como a distância entre as cargas fixas é d, esta energia potencial é q 2 / 4 0 d e a energia potencial total é U =W + q2 (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) (2, 0 × 10 −6 C)2 = 5,1 J + = 6, 9 J. 4 0 d 0, 020 m 89. O potencial no ponto P (o local onde colocamos o terceiro elétron) produzido pelas cargas fixas pode ser calculado usando a Eq. 24-27: VP = −e −e 2e + =− . 4 0 d 4 0 d 4 0 d Substituindo por valores numéricos, temos: VP = − 2e (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 )(2)(1, 60 × 10 −19 C) = −1, 438 × 10 −3 V . =− 4 0 d 2, 00 × 10 −6 m SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS De acordo com a Eq. 24-14, o trabalho necessário é W = (−e)VP = 2,30 × 10−22 J. 90. A partícula de carga –q possui energia potencial e energia cinética, que dependem do raio da órbita. Para começar, vamos obter uma expressão para a energia total em termos do raio r da órbita. A força de atração da partícula de carga Q é responsável pelo movimento circular uniforme da carga –q. O módulo dessa força é F = Qq/4pâ0r2. A aceleração da partícula de carga –q é v2/r, na qual v é a velocidade da partícula. De acordo com a segunda lei de Newton, temos: Qq Qq mv 2 = ⇒ mv 2 = , 2 4 0 r 4 0 r r o que nos dá uma energia cinética K= 1 2 Qq . mv = 2 8 0 r A energia potencial é U=− Qq 4 0 r e a energia total é E = K +U = Qq Qq Qq − =− . 8 0 r 4 0 r 8 0 r Quando o raio da órbita é r1, a energia é E1 = –Qq/8pâ0r1; quando o raio da órbita é r2, a energia é E2 = –Qq/8pâ0r2. A diferença E2 – E1 é o trabalho W realizado por um agente externo para mudar o raio: W = E2 − E1 = − Qq  1 1  Qq  1 1  . − = −  80  r2 r1  80  r1 r2  91. A velocidade inicial, vi, do elétron satisfaz a relação K i = 12 me vi2 = eV , que nos dá vi = 2eV = me 2(1, 60 × 10 −19 J) (625 V) = 1, 48 × 10 7 m s. 9,11 × 10 −31 kg 92. O potencial elétrico total no ponto P é a soma dos potenciais produzidos pelas seis cargas: 6 VP = ∑ i =1 + 10 −15  5, 00 −2, 00 −3, 00 + +  2 2 2 d /  2 4 d + (d / 2)2 0  0 i i =1  d + (dd / 2)  −2, 00 +5, 00 3, 00 9, 4 × 10 −16 = + +  d /2 d 2 + (d / 2)2 d 2 + (d / 2)2  4 0 (2, 54 × 10 −2 ) 6 VPi = qi ∑ 4 r = = 3, 34 × 10 −4 V = 0,334 mV. 93. Como, de acordo com o Problema 99, o potencial elétrico no eixo do anel é V= q 40 z 2 + R 2 , 99 100 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS a diferença de potencial entre os pontos A (situado no centro do anel) e B é VB − VA = q  4 0  1 z2 + 1 R  − R2   1 1 − = (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(16, 0 × 10 −6 C)   2 2 0, 030 m   (0, 030 m) + (0, 040 m) = −1, 92 × 106 V= − 1, 92 MV. 94. (a) De acordo com a Eq. 24-26, a superfície equipotencial é uma superfície esférica com centro na carga q e raio r= q (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 )(1, 50 × 10 −8 C) = = 4, 5 m. 4 0V 30,0 V (b) Não. Se o potencial fosse uma função linear de r, as superfícies equipotenciais seriam igualmente espaçadas; como, neste caso, V ∝ 1/r, o espaçamento diminui quando r aumenta. 95. (a) Para r > r2 o potencial é o mesmo de uma carga pontual, V= 1 Q . 4 0 r (b) Para determinar o potencial na região r1 < r < r2, vamos usar a lei de Gauss para obter uma expressão do campo elétrico e, em seguida, calcular a integral dessa expressão em uma trajetória radial de r2 até r. A superfície gaussiana é uma esfera de raio r, concêntrica com a casca. O campo elétrico é radial e, portanto, perpendicular à superfície. Como o módulo do campo elétrico é o mesmo em todos os pontos da superfície, o fluxo através da superfície é Φ = 4pr2E. Como o volume da casca é (4 / 3)(r23 − r13 ), a densidade volumétrica de carga é = 3Q 4 (r23 − r13 ) e a carga envolvida pela superfície gaussiana é  r3 − r3   4  3 3 q= r − r1 )  = Q  3 13  . (   3   r2 − r1  De acordo com a lei de Gauss, temos: = 3Q , 4 (r23 − r13 ) o que nos dá E= Q r 3 − r13 . 4 0 r 2 (r23 − r13 ) Se Vs é o potencial elétrico na superfície externa da casca (r = r2), o potencial a uma distância r do centro é dado por V = Vs − = Vs − ∫ r r2 E dr = Vs − 1 Q 3 4 0 r2 − r13 ∫ r r2 r13    r − r 2  dr Q 1  r 2 r22 r13 r13  − + − . 3 r r2  4 0 r2 − r13  2 2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS O potencial na superfície externa pode ser calculado fazendo r = r2 na expressão obtida no item (a); o resultado é Vs = Q/4pâ0r2. Fazendo esta substituição e agrupando termos, obtemos: V= 1  3r22 r 2 r13  Q − − . 4 0 r23 − r13  2 2 r Como  = 3Q 4 (r23 − r13 ) , temos: V=   3r22 r 2 r13  − − . 3 0  2 2 r (c) Como o campo elétrico é zero no interior da cavidade, o potencial é o mesmo em toda a cavidade e na superfície interna da casca. Fazendo r = r1 na expressão obtida no item (b) e agrupando termos, obtemos: V= Q 3(r22 − r12 ) , 4 0 2(r23 − r13 ) ou, em termos da densidade volumétrica de carga, V=  2 2 (r2 − r1 ) . 2 0 (d) Sim; fazendo r = r2 nas expressões obtidas nos itens (a) e (b) e r = r1 nas expressões obtidas nos itens (b) e (c), constatamos que as três soluções são compatíveis. 96. (a) Vamos usar a lei de Gauss para obter expressões para o campo elétrico dentro e fora da distribuição esférica de carga. Como o campo é radial, o potencial elétrico pode ser escrito como uma integral do campo ao longo de um dos raios da esfera, prolongado até o infinito. A integral deve ser dividida em duas partes, uma do infinito até a superfície da distribuição de carga e a outra da superfície até o centro da distribuição. Do lado de fora da distribuição, o módulo do campo é E = q/4pâ0r2 e o potencial é V = q/4pâ0r, na qual r é a distância entre o ponto considerado e o centro da distribuição. Estas expressões são as mesmas do campo elétrico e do potencial produzidos por uma carga pontual. Para obter uma expressão para o módulo do campo no interior da distribuição de carga, usamos uma superfície gaussiana de forma esférica, de raio r, concêntrica com a distribuição. Como o campo é normal à superfície gaussiana e tem o mesmo valor em todos os pontos da superfície, o fluxo através da superfície é Φ = 4pr2E. A carga envolvida é qr3/R3. De acordo com a lei de Gauss, 4 0 r 2 E = qr 3 qr ⇒ E= . 3 R 4 0 R3 Se Vs é o potencial na superfície da distribuição (ou seja, o potencial para r = R), o potencial em um ponto interno, situado a uma distância r do centro da distribuição, é dado por V = Vs − ∫ r R E dr = Vs − q 4 0 R3 ∫ r R r dr = Vs − qr 2 q . + 8 0 R3 8 0 R O potencial na superfície da distribuição pode ser calculado substituindo r por R na expressão para pontos do lado de fora da distribuição; o resultado é Vs = q/4pâ0R. Assim, V= 1  q 1 r2 q − 3+ = (3R2 − r 2 ) .   4 0  R 2 R 2 R  8 0 R3 (b) A diferença de potencial é V = Vs − Vc = 2q 3q q − =− , 8 0 R 8 0 R 8 0 R 101 102 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS o que nos dá | V | = q . 8 0 R 97. Nos desenhos a seguir, as linhas com setas são linhas de campo e as linhas sem setas são equipotenciais. Em todos os desenhos, q2 é a carga da esquerda e q1 é a carga da direita. (a) (b) 98. A energia potencial elétrica é U=k ∑ i≠ j = qi q j qq qq  1  = q1q2 + q1q3 + q2 q4 + q3 q4 + 1 4 + 2 3   rij 4 0 d  2 2 (12)(17) (−24)(31)  −19 2 (8, 99 × 10 9 )  (12)(−24) + (12)(31) + (−24)(17) + (31)(17) + + (10 )  1, 3 2 2   = −1, 2 × 10 −6 J = −1, 2  J. 99. (a) A carga é a mesma em todos os pontos do anel que estão à mesma distância de um ponto P do eixo; a distância é r = z 2 + R 2 , na qual R é o raio do anel e z é a distância entre o centro do anel e o ponto P. O potencial elétrico no ponto P é V= 1 4 0 ∫ dq 1 = r 4 0 ∫ dq z2 + R2 = 1 4 0 1 z2 + 1 R2 ∫ dq = 4 q 0 z2 + R2 . (b) O campo elétrico aponta na direção do eixo do anel, e o módulo é dado por E=− ∂V q ∂ 2 q =− ( z + R 2 )−1 / 2 = 4 0 ∂z 4 0 ∂z q z  1 2 2 −3 / 2 ,   ( z + R ) (2 z ) = 2 2 4 0 ( z + R 2 )3 / 2 o que está de acordo com a Eq. 22-16. 100. A distância r pedida é aquela para a qual a partícula alfa possui (momentaneamente) energia cinética zero. Assim, de acordo com a lei de conservação da energia, K 0 + U 0 = K + U ⇒ (0, 48 × 10 −12 ) + (2e)(92e) (2e)(92e) = 0+ . 4 0 r0 4 0 r Fazendo r0 = ∞ (para que U0 = 0), obtemos r = 8,8 × 10−14 m. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 101. (a) Vamos chamar de r a distância entre os quarks. A energia potencial elétrica para dois quarks up, em elétrons-volts, é dada por 1 (2e / 3) (2e / 3) 4 ke 4(8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 ) (1, 60 × 10 −19 C) = e= e 4 0 9r r 9(1, 32 × 10 −15 m) U up − up = = 4, 84 × 10 5 eV = 0, 484 MeV. (b) Para os três quarks, temos: U= 1  (2e / 3) (2e / 3) (−e / 3) (2e / 3) (−e / 3) (2e /3)  + +  = 0. 4 0  r r r 102. (a) Como, na menor distância centro a centro dp, a energia cinética inicial Ki do próton foi totalmente convertida em energia potencial elétrica entre o próton e o núcleo, temos: Ki = 1 eqchumbo 82e 2 . = 40 d p 40 d p Explicitando dp, obtemos: dp = 82e 2 82e 2 82 (1, 6 × 10 −19 C)2 =k = (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 C2 ) 4 0 K i Ki (1, 6 × 10 −19 C)(4, 80 × 106 eV) = 2, 5 × 10 −14 m = 25 fm. (b) Nesse caso, Ki =  82e 2  82e 2 1 q qchumbo = = 2 ,  40 d  40 d  40 d p o que nos dá dα/dp = 2,0. 103. Para que a energia potencial elétrica não mude com a introdução da terceira partícula, é preciso que o potencial elétrico total produzido no ponto P pelas outras duas partículas seja zero: q1 q2 + = 0. 4 0 r1 4 0 r2 Fazendo r1 = 5d/2 e r2 = 3d /2, obtemos q1 = – 5q2/3, o que nos dá 5 q1 = − ≈ −1, 7. 3 q2 104. Imagine que todas as cargas da superfície da esfera sejam deslocadas para o centro da esfera. De acordo com a lei de Gauss, isso não mudaria o campo elétrico do lado de fora da esfera. Assim, o módulo E do campo elétrico de uma esfera uniformemente carregada a uma distância do centro da esfera é dado por E(r) = q/(4pâ0r2) para r > R, na qual R é o raio da esfera. O potencial V na superfície da esfera é dado por V ( R) = V r =∞ + = 843 V. ∫ R ∞ R q q (8, 99 × 10 9 N ⋅ m 2 /C2 )(1, 50 × 108 C) dr = = 4 0 R 0,160 m ⌡∞ 4 0 r 2 E (r ) dr = ⌠  103 104 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 105. (a) Como V = 1000 V, a equação V = q/4pâ0R, na qual R = 0,010 m é o raio da esfera, nos dá a carga da esfera, q = 1,1 × 10−9 C. Dividindo por e, obtemos o número de elétrons que entraram na esfera, n = 6,95 × 109 elétrons. Como esse número de elétrons corresponde à metade dos 3,7 × 108 decaimentos por segundo, o tempo necessário é t= 6, 95 × 10 9 = 38 s. (3, 7 × 108 s −1 ) / 2 (b) Uma energia de 100 keV equivale a 1,6 × 10−14 J (por elétron que entrou na esfera). Como a capacidade térmica da esfera é 1,40 J/K, a energia necessária para obtermos um aumento de temperatura ∆T = 5,0 K é (1,40 J/K)(5,0 K) = 70 J. Dividindo por 1,6 × 10−14 J, descobrimos que o número de elétrons necessário para produzir esse aumento de temperatura é (70 J)/(1,6 × 10−14 J) = 4,375 × 1015 decaimentos. Multiplicando esse número por 2, já que apenas metade dos elétrons penetra na esfera, obtemos N = 8,75 × 1015 decaimentos. Como a atividade do revestimento de níquel tem uma atividade de 3,7 × 108 decaimentos por segundo, o tempo necessário para que 8,75 × 1015 decaimentos ocorram é t= 8, 75 × 1015 2, 36 × 10 7 s ≈ 273 dias. = 2, 36 × 10 7 s = 8 3, 7 × 10 86.400 s/dia Capítulo 25 1. (a) A capacitância do sistema é C= q 70 pC = = 3, 5 pF. V 20 V (b) Como a capacitância não depende da carga, o valor é o mesmo do item (a): C = 3,5 pF. (c) O novo valor da diferença de potencial é V = q 200 pC = = 57 V. C 3, 5 pF 2. A corrente no circuito persiste até que a diferença de potencial entre os terminais do capacitor seja igual à força eletromotriz da bateria. Quando isso acontece, a carga do capacitor é q = CV e é igual à carga total que passou pela bateria. Assim, q = (25 × 10–6 F)(120 V) = 3,0 × 10–3 C = 3,0 mC. 3. (a) A capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por C = â0A/d, na qual A é a área das placas e d é a distância entre as placas. Como as placas são circulares, a área das placas é A = pR2, em que R é o raio das placas. Assim, C=  0 R 2 (8, 85 × 10 −12 F m) (8, 2 × 10 −2 m)2 = 1, 44 × 10 −10 F = 144 pF. = d 1, 3 × 10 −3 m (b) A carga da placa positiva é dada por q = CV, na qual V é a diferença de potencial entre as placas. Assim, q = (1,44 × 10–10 F)(120 V) = 1,73 × 10–8 C = 17,3 nC. 4. (a) De acordo com a Eq. 25-17, C = 4 0 ab (40, 0 mm) (38, 0 mm) = 84, 5 pF. = b − a (8, 99 × 109 N ⋅ m 2 /C2 ) (40, 0 mm − 38, 0 mm) (b) Vamos chamar de A a área das placas. Nesse caso, C = â0A/(b – a) e A= C (b − a) (84, 5 pF ) (40, 0 mm − 38, 0 mm) = 191 cm 2 . = 0 (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) 5. Se R é o raio de uma das gotas, quando as gotas se fundem, o volume passa a ser V = 2(4p/3)R3 e o raio da nova gota, R9, é dado por 4 4 ( R ′ )3 = 2 R3 3 3 ⇒ R ′ = 21 3 R. A nova capacitância é C ′ = 4 0 R ′ = 4 0 21 3 R = 5, 04 0 R. Para R = 2,00 mm, obtemos q = CeqV = 3CV = 3(25, 0 F ) (4200 V) = 0, 315 C = 315 mC. 106 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 6. Podemos usar a equação C = Aâ0/d. (a) A distância entre as placas é d= A 0 (1, 00 m 2 ) (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) = = 8, 85 × 10 −12 m . C 1, 00 F (b) Como d é menor que o diâmetro de um átomo (∼ 10–10 m), este capacitor não é fisicamente viável. 7. Para uma dada diferença de potencial V, a carga na superfície da placa é q = Ne = (nAd )e na qual d é a profundidade da qual os elétrons migram para a superfície e n é a densidade dos elétrons de condução. De acordo com a Eq. 25-1, a carga acumulada na placa está relacionada à capacitância e à diferença de potencial através da equação q = CV. Combinando as duas expressões, obtemos d C = ne . V A Para d /V = d s /Vs = 5, 0 × 10 −14 m/V e n = 8, 49 × 10 28 /m 3 (veja o Exemplo “Carregamento de um capacitor de placas paralelas”), obtemos C = (8, 49 × 10 28 /m 3 )(1, 6 × 10 −19 C)(5, 0 × 10 −14 m/V) = 6, 79 × 10 −4 F/m 2 . A 8. A capacitância equivalente é dada por Ceq = q/V, na qual q é a carga total dos capacitores e V é a diferença de potencial entre os terminais dos capacitores. No caso de N capacitores iguais em paralelo, Ceq = NC, na qual C é a capacitância de um dos capacitores. Assim, NC = q/V e N= q 1, 00 C = = 9, 09 × 103. VC (110 V)(1, 00 × 10 −6 F) 9. A carga que atravessa o medidor A é q = CeqV = 3CV = 3(25, 0 F ) (4200 V) = 0, 315 C = 315 mC . 10. A capacitância equivalente é Ceq = C3 + C1C2 (10, 0 F ) (5, 00 F ) = 7, 33 F . = 4, 00F + C1 + C2 10, 0 F + 5, 00 F 11. A capacitância equivalente é Ceq = (C1 + C2 ) C3 (10, 0 F + 5,00 F ) ( 4, 00 F ) = = 3,16 F. C1 + C2 + C3 10, 0 F + 5, 00 F + 4, 00 F 12. Como os dois capacitores de 6,0 mF estão em paralelo, a capacitância equivalente é Ceq = 12 mF. Assim, a carga total armazenada (antes da modificação) é qtotal = CeqV = (12 F ) (10, 0 V) = 120 C. (a) e (b) Após a modificação, a capacitância de um dos capacitores aumenta para 12 mF (já que, de acordo com a Eq. 25-9, a capacitância é inversamente proporcional à distância entre as placas), o que representa um aumento de 6,0 mF da capacitância e um aumento da carga de qtotal = CeqV = ( 6, 0 F ) (10, 0 V) = 60 C. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 13. A carga inicial do primeiro capacitor é q = C1V0, na qual C1 = 100 pF é a capacitância e V0 = 50 V é a diferença de potencial inicial. Depois que a bateria é desligada e o segundo capacitor é ligado em paralelo com o primeiro, a carga do primeiro capacitor passa a ser q1 = C1V, na qual V = 35 V é a nova diferença de potencial. Como a carga é conservada no processo, a carga do segundo capacitor é q2 = q 2 q1, na qual C2 é a capacitância do segundo capacitor. Substituindo q por C1V0 e q1 por C1V, obtemos q2 = C1 (V0 – V). Como a diferença de potencial entre os terminais do segundo capacitor também é V, a capacitância é C2 = q2 V0 − V 50 V − 35 V C1 = = (100 pF ) = 43 pF. V V 35 V 14. (a) Como a diferença de potencial entre os terminais de C1 é V1 = 10,0 V, q1 = C1V1 = (10,0 mF)(10,0 V) = 1,00 × 10–4 C = 100 mC. (b) Considere primeiro o conjunto formado pelo capacitor C2 e os dois vizinhos mais próximos. A capacitância do conjunto é Ceq = C + C 2C = 1, 50 C . C + C2 A diferença de potencial entre os terminais do conjunto é V= CV1 CV1 = = 0, 40 V1 . C + Ceq C + 1, 50 C Como essa diferença de potencial é dividida igualmente entre C2 e o capacitor em série com C2, a diferença de potencial entre os terminais de C2 é V2 = V/2 = V1/5. Assim,  10, 0 V  0 C. q2 = C2V2 = (10, 0 F )  = 2, 00 × 10 −5 C = 20,0  5  15. (a) A capacitância equivalente dos dois capacitores de 4,00 mF ligados em série é dada por 4,00 mF/2 = 2,00 mF. Este conjunto está ligado em paralelo com outros dois capacitores de 2,00 mF (um de cada lado), o que resulta em uma capacitância equivalente C = 3(2,00 mF) = 6,00 mF. Esse conjunto está em série com outro conjunto, formado por dois capacitores de 3,0 mF ligados em paralelo [que equivalem a um capacitor de capacitância C9 = 2(3,00 mF) = 6,00 mF]. Assim, a capacitância equivalente do circuito é Ceq = CC ′ (6, 00 F ) (6, 00 F ) = 3, 00 F. = 6, 00 F + 6, 00 F C + C′ (b) Como a tensão da bateria é V = 20,0 V, temos: q = CeqV = (3,00 mF)(20,0 V) = 6,00 × 10–5 C = 60,0 mC. (c) A diferença de potencial entre os terminais de C1 é V1 = CV (6, 00 F)(20, 0 V) = = 10, 0 V. C + C ′ 6, 00 F + 6, 00 F (d) A carga do capacitor C1 é q1 = C1V1 = (3,00 mF)(10,0 V) = 3,00 × 10–5 C = 30,0 mC. (e) A diferença de potencial entre os terminais de C2 é V2 = V – V1 = 20,0 V – 10,0 V = 10,0 V. (f) A carga do capacitor C2 é q2 = C2V2 = (2,00 mF)(10,0 V) = 2,00 × 10–5 C = 20,0 mC. 107 108 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (g) Como a diferença de potencial V2 é dividida igualmente entre C3 e C5, a diferença de potencial entre os terminais de C3 é V3 = V2/2 = (10,0 V)/2 = 5,00 V. (h) q3 = C3V3 = (4,00 mF)(5,00 V) = 2,00 × 10–5 C = 20,0 mC. 16. Podemos determinar as capacitâncias a partir da inclinação das retas do gráfico da Fig. 25-32a. Assim, C1 = (12 mC)/(2,0 V) = 6,0 mF, C2 = (8 mC)/(2,0 V) = 4,0 mF e C3 = (4 mC)(2,0 V) = 2,0 mF. A capacitância equivalente dos capacitores 2 e 3 é C23 = 4,0 mF + 2,0 mF = 6,0 mF Como C23 = C1 = 6,0 mF, a tensão da bateria é dividida igualmente entre o capacitor 1 e os capacitores 2 e 3. Assim, a tensão entre os terminais do capacitor 2 é (6,0 V)/2 = 3,0 V e a carga do capacitor 2 é (4,0 mF)(3,0 V) = 12 mC. 17. A diferença de potencial inicial entre os terminais de C1 é V1 = CeqV (3,16 F ) (100, 0 V ) = 21,1 V . = C1 + C2 10, 0 F + 5, 00 F Assim, (b) ∆V1 = 100,0 V – 21,1 V = 78,9 V e (a) ∆q1 = C1∆V1 = (10,0 mF)(78,9 V) = 7,89 × 10–4 C = 789 mC. 18. Como a tensão entre os terminais de C3 é V3 = (12 V – 2 V – 5 V) = 5 V, a carga de C3 é q3 = C3 V3 = 4 mC. (a) Como C1, C2 e C3 estão ligados em série (e, portanto, têm a mesma carga), C1 = 4 C = 2, 0 F. 2V C2 = 4 C = 0, 80 F. 5V (b) Analogamente, 19. A carga de C3 é q3 = 12 mC – 8,0 mC = 4,0 mC. Como a carga de C4 é q4 = 8,0 mC, a tensão entre os terminais de C4 é q4/C4 = 2,0 V. A tensão entre os terminais de C3 é V3 = 2,0 V e, portanto, (b) C3 = q3 = 2, 0 F. V3 C3 e C4 estão em paralelo e são equivalentes a um capacitor de 6,0 mF em série com C2; como C2 = 3,0 mF, a Eq. 25-20 nos dá uma capacitância equivalente de (6,0 mF)(3,0 mF)/(6,0 mF)(3,0 mF) = 2,0 mF em série com C1 . Sabemos que a capacitância total do circuito (no sentido de que é a capacitância “vista” pela bateria) é 12 C 4 =  F. Vbateria 3 Assim, de acordo com a Eq. 25-20, (a) 1 1 3 + = F ⇒ C1 = 4, 0 F. C1 2F 4 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 20. Um capacitor desse tipo, com n placas fixas e n placas móveis, pode ser considerado um conjunto de 2n 21 capacitores em paralelo, com uma distância d entre as placas. A capacitância é máxima quando as placas móveis estão totalmente introduzidas entre as placas fixas, caso em que a área efetiva das placas é A. Assim, a capacitância de cada capacitor é C0 = â0A/d e a capacitância total do conjunto é C = (n − 1)C0 = (n − 1) 0 A (8 − 1)(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(1, 25 × 10 −4 m 2 ) = d 3, 40 × 10 −3 m = 2, 28 × 10 −12 F = 2,28 pF. 21. (a) Quando as chaves são fechadas, os dois capacitores ficam ligados em paralelo. A diferença de potencial entre os pontos a e b é dada por Vab = Q/Ceq, na qual Q é a carga total do conjunto e Ceq é a capacitância equivalente, dada por Ceq = C1 + C2 = 4,0 × 10–6 F. A carga total do conjunto é a soma das cargas armazenadas pelos dois capacitores. Como a carga do capacitor 1 era q1 = C1V = (1, 0 × 10 −6 F ) (100 V) = 1, 0 × 10 −4 C; e a carga do capacitor 2 era q2 = C2V = (3, 0 × 10 −6 F )(100 V) = 3, 0 × 10 −4 C, a carga total do conjunto é 3,0 × 10–4 C – 1,0 × 10–4 C = 2,0 × 10–4 C. A diferença de potencial é Vab = 2, 0 × 10 −4 C = 50 V. 4, 0 × 10 −6 F (b) A nova carga do capacitor 1 é q1 = C1Vab = (1,0 × 10–6 F)(50 V) = 5,0 × 10–5 C. (c) A nova carga do capacitor 2 é q2 = C2Vab = (3,0 × 10–6 F)(50 V) = 1,5 × 10–4 C. 22. Não podemos usar a lei de conservação da energia porque, antes que o equilíbrio seja atingido, parte da energia é dissipada na forma de calor e de ondas eletromagnéticas. Entretanto, a carga é conservada. Assim, se Q = C1Vbat = 100 mC e q1, q2 e q3 são as cargas armazenadas nos capacitores C1, C2 e C3 depois que a chave é acionada para a direita e o equilíbrio é atingido, temos: Q = q1 + q2 + q3. Como C2 e C3 têm o mesmo valor e estão ligados em paralelo, q2 = q3. Como os dois capacitores estão ligados em paralelo com C1, V1 = V3 e, portanto, q1/C1 = q3/C3 e q1 = q3/2. Assim, Q = (q3 / 2) + q3 + q3 = 5q3 / 2, o que nos dá q3 = 2Q/5 = 2(100 mC)/5 = 40 mC e, portanto, q1 = q3/2 = 20 mC. 23. A capacitância equivalente é C123 = [(C3)−1 + (C1 + C2)−1]−1 = 6 mF. (a) A carga que passa pelo ponto a é C123 Vbat = (6 mF)(12 V) = 72 mC. Dividindo por e = 1,60 × 10−19 C, obtemos o número de elétrons, N = 4,5 × 1014, que se movem para a esquerda, em direção ao terminal positivo da bateria. (b) Como a capacitância equivalente de C1 e C2 é C12 = C1 + C2 = 12 mF, a tensão entre os terminais da capacitância equivalente (que é igual à tensão entre os terminais de C1 e à tensão entre os terminais de C2) é (72 mC)/(12 mF) = 6 V. Assim, a carga armazenada em C1 é q1 = (4 mF)(6 V) = 24 mC. Dividindo por e, obtemos o número de elétrons, N1 = 1,5 × 1014, que passam pelo ponto b, em direção ao capacitor C1. 109 110 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) A carga armazenada em C2 é q2 = (8 mF)(6 V) = 48 mC. Dividindo por e, obtemos o número de elétrons, N2 = 3,0 × 1014, que passam pelo ponto c, em direção ao capacitor C2. (d) Finalmente, como C3 está em série com a bateria, a carga de C3 é igual à carga que passa pela bateria (e também pela chave). Assim, N3 = N1 + N2 = 1,5 × 1014 + 3,0 × 1014 = 4,5 × 1014 elétrons passam pelo ponto d, em direção aos capacitores C1 e C2. (e) Os elétrons estão se movendo para cima ao passarem pelo ponto b. (f) Os elétrons estão se movendo para cima ao passarem pelo ponto c. 24. De acordo com a Eq. 25-14, as capacitâncias são C1 = 2 0 L1 2 (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(0, 050 m) = 2, 53 pF = ln(b1 /a1 ) ln(15 mm/5,0 mm) C2 = 2 (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(0, 090 m) 2 0 L2 = = 3, 61 pF. ln(10 mm/2,5 mm) ln(b2 /a2 ) Inicialmente, a capacitância equivalente é (2, 53 pF )(3, 61 pF ) CC 1 1 1 C1 + C2 = + = ⇒ C12 = 1 2 = = 1, 49 pF C1 + C2 C12 C1 C2 C1C2 2, 53 pF + 3, 61 pF e a carga dos capacitores é (1,49 pF)(10 V) = 14,9 pC. Se o capacitor 2 é modificado da forma descrita no enunciado, temos: C2′ = 2 0 L2 2 (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(0, 090 m) = = 2,17 pF. ln(b2′ /a2 ) ln(25 mm/2,5 mm) A nova capacitância equivalente é C12 ′ = C1C2′ (2, 53 pF )(2,17 pF ) = = 1,17 pF C1 + C2′ 2, 53 pF + 2,17 pF e a nova carga dos capacitores é (1,17 pF)(10 V) = 11,7 pC. Assim, a carga transferida pela bateria em consequência da modificação é 14,9 pC 2 11,7 pC = 3,2 pC. (a) Como o número de elétrons que passam pelo ponto P é igual à carga transferida dividida por e, temos: N= 3, 2 × 10 −12 C = 2, 0 × 10 7. 1, 6 × 10 −19 C (b) Os elétrons transferidos pela bateria se movem para a direita na Fig. 25-39 (ou seja, na direção do capacitor 1), já que as placas positivas dos capacitores (as que estão mais próximas do ponto P) se tornaram menos positivas com a modificação. Uma placa metálica fica positiva quando possui mais prótons que elétrons. Neste problema, com a modificação, parte dos elétrons “voltou” para as placas positivas dos capacitores, tornando-as menos positivas. 25. A Eq. 23-14 pode ser aplicada aos dois capacitores. Como s = q/A, a carga total é qtotal = q1 + q2 = s 1 A1 + s 2 A2 = âo E1 A1 + âo E2 A2 = 3,6 pC. 26. Inicialmente, os capacitores C1, C2 e C3 formam um conjunto equivalente a um único capacitor, que vamos chamar de C123. A capacitância deste capacitor é dada pela equação C + C2 + C3 1 1 1 . = + = 1 C123 C1 C2 + C3 C1 (C2 + C3 ) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Como q = C123V = q1 = C1 V1 , temos: V1 = q1 q C123 C2 + C3 = = V= V. C1 C1 C1 C1 + C2 + C3 (a) Quando C3 → ∞, a expressão apresentada se torna V1 = V. Como, de acordo com o enunciado, V1 → 10 V neste limite, concluímos que V = 10 V. (b) e (c) De acordo com o gráfico da Fig. 25-41c, V1 = 2,0 V para C3 = 0. Nesse caso, a expressão apresentada nos dá C1 = 4C2. O gráfico mostra ainda que, quando C3 = 6,0 mF, V1 = 5 V = V/2. Assim, V1 1 C2 + 6, 0 F C2 + 6, 0 F , = = = V 2 C1 + C2 + 6, 0 F 4C1 + C2 + 6, 0 F o que nos dá C2 = 2,0 mF e C1 = 4C2 = 8,0 mF. 27. (a) Com apenas a chave S1 fechada, os capacitores 1 e 3 estão em série e, portanto, suas cargas são iguais: q1 = q3 = C1C3V (1, 00 F )(3, 00 F )(12, 0 V) = 9, 00 C. = C1 + C3 1, 00 F + 3,00 F (b) Como os capacitores 2 e 4 também estão em série, q2 = q4 = C 2C 4 V (2, 00 F )(4, 00 F )(12, 0 V) = 16, 0 C. = C2 + C4 2, 00 F + 4, 00 F (c) q3 = q1 = 9,00 mC. (d) q4 = q2 = 16,0 mC. (e) Quando a chave 2 é fechada, a diferença de potencial V1 entre os terminais de C1 se torna igual à diferença de potencial entre os terminais de C2 e é dada por V1 = C3 + C4 (3, 00 F + 4, 00 F )(12, 0 V) = 8, 40 V. V= 1, 00 F + 2, 00 F + 3, 00 F + 4, 00 F C1 + C2 + C3 + C4 Assim, q1 = C1V1 = (1,00 mF)(8,40 V) = 8,40 mC. (f) q2 = C2V1 = (2,00 mF)(8,40 V) = 16,8 mC. (g) q3 = C3(V – V1) = (3,00 mF)(12,0 V – 8,40 V) = 10,8 mC. (h) q4 = C4(V – V1) = (4,00 mF)(12,0 V – 8,40 V) = 14,4 mC. 28. Os capacitores 2 e 3 podem ser substituídos por um capacitor equivalente cuja capacitância é dada por 1 1 1 C2 + C3 = + = Ceq C2 C3 C2C3 ⇒ Ceq = C2C3 . C2 + C3 A carga do capacitor equivalente é a mesma dos capacitores originais, e a diferença de potencial entre os terminais do capacitor equivalente é q2/Ceq. A diferença de potencial entre os terminais do capacitor 1 é q1/C1. Como a diferença de potencial entre os terminais do capacitor equivalente é igual à diferença de potencial entre os terminais do capacitor 1, q1/C1 = q2/Ceq. 111 112 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Quando a chave S é deslocada para a direita, parte da carga do capacitor 1 é transferida para os capacitores 2 e 3. Se q0 era a carga original do capacitor 1, a lei de conservação da carga nos dá q1 + q2 = q0 = C1 V0, na qual V0 é a diferença de potencial original entre os terminais do capacitor 1. (a) Resolvendo o sistema de equações q1 q = 2 C1 Ceq q1 + q2 = C1V0 , obtemos q1 = C12V0 C12V0 C12 (C2 + C3 )V V0 . = = C C Ceq + C1 2 3 + C1 C1C2 + C1C3 + C2C3 C2 + C3 Substituindo por valores numéricos, obtemos q1 = 32,0 mC. (b) A carga do capacitor 2 é q2 = C1V0 − q1 = (4, 00F )(12, 0 V) − 32, 0 C = 16, 0 C. (c) A carga do capacitor 3 é igual à do capacitor 2: q3 = q2 = 16,0 mC. 29. A energia armazenada por um capacitor é dada por U = CV 2/2, na qual V é a diferença de potencial entre os terminais do capacitor. Vamos converter para joules o valor da energia dado no enunciado. Como 1 joule equivale a 1 watt por segundo, multiplicamos a energia em kW . h por (103 W/kW)(3600 s/h) para obter 10 kW . h = 3,6 × 107 J. Assim, C= 2U 2(3, 6 × 10 7 J) = = 72 F. V2 (1000 V)2 30. Se V é o volume de ar, a energia armazenada, de acordo com as Eqs. 25-23 e 25-25, é dada por U = uV = 1 1  0 E 2V = (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) (150 V m)2 (1, 00 m 3 ) 2 2 = 9, 96 × 10 −8 J = 99,6 nJ. 31. A energia total é a soma das energias armazenadas nos dois capacitores. Como os capacitores estão ligados em paralelo, a diferença de potencial entre os terminais dos capacitores é a mesma e a energia total é U= 1 1 (C1 + C2 ) V 2 = (2, 0 × 10 −6 F + 4, 0 × 10 −6 F )(300 V)2 = 0, 27 J. 2 2 32. (a) A capacitância é C=  0 A (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(40 × 10 −4 m 2 ) = = 3, 5 × 10 −11 F = 35 pF. d 1, 0 × 10 −3 m (b) q = CV = (35 pF)(600 V) = 2,1 × 10–8 C = 21 nC. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) U = CV2/2 = (35 pF)(21 nC)2/2 = 6,3 × 10−6 J = 6,3 mJ. (d) E = V/d = (600 V)/(1,0 × 10–3 m) = 6,0 × 105 V/m = 0,60 MV/m. (e) A densidade de energia (energia por unidade de volume) é u= U 6, 3 × 10 −6 J = = 1, 6 J m 3. Ad (40 × 10 −4 m 2 )(1, 0 × 10 −3 m) 33. Como E = q/4pâ0R2 = V/R, temos: 2 2 1 1 V 1  8000 V  = 0,11 J/m 3 . u =  0 E 2 =  0   = (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )     0,050 m  R 2 2 2 34. (a) A carga q3 do capacitor C3 da Fig. 5-28 é q3 = C3V = (4, 00 F )(100 V) = 4, 00 × 10 −4 C = 400 C. (b) V3 = V = 100 V. 1 C3V32 = 2, 00 × 10 −2 J = 20, 0 mJ. 2 C1C2V (10, 0 F )(5, 00 F )(100 V) = 3, 33 × 10 −4 C = 333 C. = (d) q1 = C1 + C2 10, 0 F + 5, 00 F (c) U3 = (e) V1 = q1/C1 = 3,33 × 10–4 C/10,0 mF = 33,3 V. (f) U1 = 1 C1V12 = 5, 55 × 10 −3 J = 5, 55 mJ. 2 (g) q2 = q1 = 333 mC. (h) V2 = V – V1 = 100 V – 33,3 V = 66,7 V. (i) U 2 = 1 C2V22 = 1,11 × 10 −2 J = 11,1 mJ. 2 35. A energia por unidade de volume é 2 u= 1 1  e  e2 = 0 E 2 = 0  .  2 2 2  4 0 r  32 2  0 r 4 (a) Para r = 1,00 × 10−3 m, u = 9,16 × 10−18 J/m3. (b) Para r = 1,00 × 10−6 m, u = 9,16 × 10−6 J/m3. (c) Para r = 1,00 × 10−9 m, u = 9,16 × 106 J/m3. (d) Para r = 1,00 × 10−12 m, u = 9,16 × 1018 J/m3. (e) De acordo com a expressão anterior, u ∝ r –4. Assim, para r → 0, u → ∞. 36. (a) Como, de acordo com a Fig. 25-44, apenas a superfície inferior e a superfície lateral do líquido possuem carga elétrica, a carga induzida na superfície do líquido é qs =  A = 2 rh +  r 2 = (2, 0 C/m 2 )(2 )(0, 20 m)(0,10 m) +  (0, 20 m)2 = 0, 50 C. 113 114 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS De acordo com a lei de conservação da carga, a carga induzida no interior do líquido é q = −qs = −0,50 mC. (b) De acordo com a Eq. 25-21, a energia potencial é U= q 2 (5, 0 × 10 −7 C)2 = 3, 6 × 10 −3 J = 36 mJ. = 2C 2(35 × 10 −12 F) (c) Como a energia calculada no item (b), 36 mJ, é menor que a necessária para inflamar o líquido, 100 mJ, a resposta é não. Entretanto, a diferença é relativamente pequena, de modo que seria temerário garantir que o recipiente é seguro. 37. (a) Seja q a carga da placa positiva. Como a capacitância de um capacitor de placas paralelas é dada por â0A/d, a carga é q = CV = â0AVi/di, na qual Vi é a tensão inicial do capacitor e di é a distância inicial entre as placas. Quando a distância entre as placas é aumentada para df, a tensão do capacitor passa a ser Vf. Nesse caso, como a carga permanece a mesma, q = â0AVf/df e Vf = df d f 0 A df 8, 00 × 10 −3 m (6, 00 V) = 16, 0 V. q= Vi = Vi = 0 A  0 A di di 3, 00 × 10 −3 m (b) A energia armazenada pelo capacitor no estado inicial é Ui = 1  AV 2 (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(8, 50 × 10 −4 m 2 )(6, 00 V)2 CVi2 = 0 i = 2 2di 2(3, 00 × 10 −3 m) = 4, 51 × 10 −11 J = 45,1 pJ. (c) A energia armazenada pelo capacitor no estado final é 2 Uf = df 1 0 A 2 1 0 A  d f  Vf = Vi  =  2 df 2 d f  di  di   0 AVi2  d f 8, 00 × 10 −3 m −11  d  = d Ui = 3, 00 × 10 −3 m (4, 51 × 10 J) i i = 1, 20 × 10 −10 J = 120 pJ. (d) O trabalho necessário para separar as placas é a diferença entre a energia final e a energia inicial: W = Uf 2 Ui = 7,49 pJ. 38. (a) A diferença de potencial entre os terminais de C1 (e entre os terminais de C2) é V1 = V2 = C3V (15, 0 F )(100 V) = 50, 0 V. = C1 + C2 + C3 10, 0 F + 5,00 F + 15,0 F Assim, q1 = C1V1 = (10, 0 F )(50, 0 V) = 500 C q2 = C2V2 = (5, 00 F )(50, 0 V) = 250 C q3 = q1 + q2 = 500 C + 250 C = 750 C. (b) V3 = V − V1 = 100 V − 50,0 V = 50,0 V. (c) U3 = 1 1 2 C3V32 = (15, 0 F ) ( 50, 0 V ) = 1, 88 × 10 −2 J = 18,,8 mJ. 2 2 (d) Como foi visto no item (a), q1 = 500 mC. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (e) Como foi visto no item (a), V1 = 50,0 V. (f) U1 = 1 1 C1V12 = (10, 0 F )(50, 0 V)2 = 1, 25 × 10 −2 J. 2 2 (g) Como foi visto no item (a), q2 = 250 mC. (h) Como foi visto no item (a), V2 = 50,0 V. (i) U 2 = 1 1 C2V22 = (5, 00 F )(50, 0 V)2 = 6, 25 × 10 −3 J. 2 2 39. (a) Como a carga é a mesma nos três capacitores, a maior diferença de potencial corresponde ao capacitor de menor capacitância. Com 100 V entre os terminais do capacitor de 10 mF, a tensão entre os terminais do capacitor de 20 mF é 50 V e a tensão entre os terminais do capacitor de 25 mF é 40 V. Assim, a tensão entre os terminais do conjunto é 100 V + 50 V + 40 V = 190 V. (b) De acordo com a Eq. 25-22, temos: U= = 1 (C1V12 + C2V22 + C3V32 ) 2 1 (10 × 10 −6 F )(100 V)2 + (20 × 10 −6 F )(50 V)2 + (25 × 10 −6 F )(40 V)2 2 = 0, 095 J = 95 mJ. 40. Se a capacitância original é dada por C = â0A/d, a nova capacitância é C′ = kâ0A/2d, na qual k é a constante dielétrica da cera. Assim, C9/C = k/2, o que nos dá k = 2C9/C = 2(2,6 pF/1,3 pF) = 4,0. 41. De acordo com a Eq. 25-14, a capacitância de um capacitor cilíndrico é dada por C = C0 = 2 0 L , ln(b / a) na qual k é a constante dielétrica, C0 é a capacitância sem o dielétrico, L é o comprimento, a é o raio interno e b é o raio externo. A capacitância por unidade de comprimento do cabo é C 2 0 2 (2, 6)(8, 85 × 10 −12 F/m) = 8,1 × 10 −11 F/m = 81 pF/m. = = L ln(b /a) ln[(0, 60 mm)/(0,10 mm)] 42. (a) Como C = â0A/d, temos: d=  0 A (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(0, 35 m 2 ) = = 6, 2 × 10 −2 m = 6,2 cm. C 50 × 10 −12 F (b) A nova capacitância é C9 = C(k/kar) = (50 pF)(5,6/1,0) = 2,8 ×฀102 pF = 0,28 nF. 43. A capacitância com o dielétrico no lugar é dada por C = kC0, na qual C0 é a capacitância sem o dielétrico. Como a energia armazenada é dada por U = CV2/2 = kC0V 2/2, temos: = 2U 2(7, 4 × 10 −6 J) = = 4, 7. C0V 2 (7, 4 × 10 −12 F )(652 V)2 De acordo com a Tabela 25-1, você deveria usar pirex. 115 116 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 44. (a) De acordo com a Eq. 25-14, C = 2 0 (4, 7)(0,15 m) L = 0, 73 nF. = 9 ln(b /a) 2(8, 99 × 10 N ⋅ m 2 /C2 ) ln(3, 8 cm/3,6 cm) (b) O potencial de ruptura é (14 kV/mm) (3,8 cm – 3,6 cm) = 28 kV. 45. De acordo com a Eq. 25-29, com s = q/A, temos:  E = q = 200 × 103 N C,  0 A o que nos dá q = (200 × 103 N C)(5, 5)(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(0, 034 m 2 ) = 3, 3 × 10 −7 C De acordo com as Eqs. 25-21 e 25-27, temos: U= q2 q2d = = 6, 6 × 10 −5 J = 66  J . 2C 2 0 A 46. De acordo com a Eq. 25-27, C1 =  0 A (3, 00)(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(5, 00 × 10 −3 m 2 ) = = 6, 64 × 10 −11 F 2, 00 × 10 −3 m d e, de acordo com a Eq. 25-9, C2 =  0 A (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(5, 00 × 10 −3 m 2 ) = 2, 21 × 10 −11 F = d 2, 00 × 10 −3 m Assim, q1 = C1V1 = (6,64 × 10−11 F)(12,0 V) = 8,00 × 10−10 C, q2 = C2V2 = (2,21 × 10−11 F)(12,0 V) = 2,66 × 10−10 C e, portanto, qtot = 1,06 × 10−9 C = 1,06 nC. 47. A capacitância é dada por C = kC0 = kâ0A/d, na qual k é a constante dielétrica, C0 é a capacitância sem o dielétrico, A é a área das placas e d é a distância entre as placas. O campo elétrico na região entre as placas é dado por E = V/d, na qual V é a diferença de potencial entre as placas. Assim, d = V/E, C = kâ0AE/V e A= CV .  0 E A área mínima pode ser obtida fazendo o campo elétrico igual à rigidez dielétrica, o que nos dá A= (7, 0 × 10 −8 F )(4,0 × 10 3 V) = 0, 63 m 2 . 2, 8(8, 85 × 10 −12 F/m)(18 × 106 V/m) 48. O capacitor pode ser visto como dois capacitores, C1 e C2 ligados em paralelo, com placas de área A/2 e distância d entre as placas, cujos dielétricos têm constantes dielétricas k1 e k2. Assim, em unidades do SI, temos: C = C1 + C2 = =  0 ( A / 2)1  0 ( A / 2)2  0 A  1 + 2  + =   d d d  2  (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(5, 56 × 10 −4 m 2 )  7, 00 + 12, 00  −12   = 8, 41 × 10 F = 8,41 pF. 2 5, 56 × 10 −3 m SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 49. Vamos supor que há uma carga q em uma das placas e uma carga 2q na outra placa. O campo elétrico na parte inferior da região entre as placas é E1 = q , 1 0 A na qual A é a área das placas. O campo elétrico na parte superior da região entre as placas é E2 = q .  2 0 A Seja d/2 a espessura de cada dielétrico. Como o campo elétrico é uniforme em cada região, a diferença de potencial entre as placas é V= E1d E2 d qd  1 qd 1 + 2 1 = + = + 2 2 2 0 A  1 2  2 0 A 12 e, portanto, C= q 2 0 A 12 = . V d 1 + 2 Esta expressão é igual à da capacitância equivalente de dois capacitores em série, um com um dielétrico de constante dielétrica k1 e outro com um dielétrico de constante dielétrica k2, com área das placas A e distância d/2 entre as placas. Note também que, para k1 = k2, a expressão se reduz a C = k1â0A/d, o resultado correto para um capacitor com um dielétrico de constante dielétrica k1, área das placas A e distância d entre as placas. Para A = 7,89 × 1024 m2, d = 4,62 × 1023 m, k1 = 11,0 e k2 = 12,0, temos: C= 2(8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(7, 89 × 10 −4 m 2 ) (11, 0)(12, 0) × = 1, 73 × 10 −11 F = 17,3 pF. 11, 0 + 12, 0 4, 62 × 10 −3 m 50. O capacitor composto descrito no enunciado é equivalente a três capacitores, com as seguintes características: C1 = â0(A/2)k1/2d = â0Ak1/4d, C2 = â0(A/2)k2/d = â0Ak2/2d, C3 = â0Ak3/2d. Note que C2 e C3 estão ligados em série e C1 está ligado em paralelo com a combinação C2-C3. Assim, C = C1 + 223  C2C3  A ( A d ) (2 2 ) (3 2 )  0 A  1 + . = 0 1+ 0 =  2 + 3  4d 4d  C2 + C3 2 2 + 3 2 Para A = 1,05 × 10−3 m2, d = 3,56 × 10−3 m, k1 = 21,0, k2 = 42,0 e k3 = 58,0, temos: C= (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(1, 05 × 10 −3 m 2 )  2(42, 0)(58, 0)  21, 0 + = 4,5 55 × 10 −11 F  − 3 4(3, 56 × 10 m) 42, 0 + 58, 0   = 45,5 pF. 51. (a) O campo elétrico na região entre as placas é dado por E = V/d, sendo que V é a diferença de potencial entre as placas e d é a distância entre as placas. A capacitância é dada por C = kâ0A/d, na qual A é a área das placas e k é a constante dielétrica. Assim, d = kâ0A/C e E= VC (50 V)(100 × 10 −12 F ) = = 1, 0 × 10 4 V m = 10 kV/m .  0 A 5, 4(8, 85 × 10 −12 F m) (100 × 10 −4 m 2 ) 117 118 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) A carga livre nas placas é ql = CV = (100 × 10–12 F)(50 V) = 5,0 × 10–9 C = 5,0 nC. (c) O campo elétrico é a soma do campo produzido pela carga livre com o campo produzido pela carga induzida. Como o campo em uma camada uniforme de carga de grandes dimensões é q/2â0A, o campo entre as placas é E= ql q q q + l − i − i , 2 0 A 2 0 A 2 0 A 2 0 A na qual o primeiro termo se deve à carga livre positiva em uma das placas, o segundo à carga livre negativa na outra placa, o terceiro à carga positiva induzida na superfície do dielétrico mais próxima da placa negativa do capacitor e o quarto à carga negativa induzida na superfície do dielétrico mais próxima da placa positiva do capacitor. Note que os campos produzidos pelas cargas induzidas têm o sinal contrário ao dos campos produzidos pelas cargas livres, o que faz com que o campo total seja menor que o campo produzido pelas cargas livres. Explicitando qi na expressão anterior, obtemos: qi = ql −  0 AE = 5, 0 × 10 −9 C − (8, 85 × 10 −12 F m)(100 × 10 −4 m 2 )(1, 0 × 10 4 V m) = 4,1 × 10 −9 C = 4,1 nC. 52. (a) Como o campo elétrico E1 no espaço entre as placas do capacitor e o dielétrico é E1 = q/â0A e o campo elétrico E2 no interior do dielétrico é E2 = E1/k = q/kâ0A, temos:  q  b V0 = E1 ( d − b ) + E2 b =   d − b +     0 A  e a capacitância é C= q  0 A (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(115 × 10 −4 m 2 )(2, 61) = = 13, 4 pF. = V0  ( d − b ) + b (2, 61)(0, 0124 m − 0, 00780 m) + (0, 00780 m) (b) q = CV = (13,4 × 10–12 F)(85,5 V) = 1,15 nC. (c) O módulo do campo elétrico no espaço entre as placas e o dielétrico é E1 = q 1,15 × 10 −9 C = 1,13 × 10 4 N C . =  0 A (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) (115 × 10 −4 m 2 ) (d) De acordo com a Eq. 25-34, temos: E2 = E1 1,13 × 10 4 N C = = 4, 33 × 103 N C .  2, 61 53. (a) Antes da introdução do dielétrico, a capacitância é C0 =  0 A (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) (0,12 m 2 ) = 89 pF. = d 1, 2 × 10 −2 m (b) Usando o mesmo raciocínio do Exemplo “Dielétrico preenchendo parcialmente o espaço entre as placas de um capacitor”, temos: C=  0 A (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(0,12 m 2 )(4, 8) = = 1, 2 × 10 2 pF = 0,12 nF. (d − b) + b (4, 8)(1, 2 − 0, 40)(10 −2 m) + (4, 0 × 10 −3 m) (c) Antes da introdução, q = C0V = (89 pF)(120 V) = 11 nC. (d) Como a bateria foi removida do circuito, a carga é a mesma após a introdução do dielétrico: q = 11 nC. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (e) E = q 11 × 10 −0 C = = 10 kV/m.  0 A (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) (0,12 m 2 ) (f) E ′ = E 10 kV/m = = 2,1 kV/m.  4, 8 (g) A diferença de potencial entre as placas é V = E(d 2 b) + E9b = (10 kV/m)(0,012 m 2 0,0040 m)+ (2,1 kV/m)(0,40 × 10–3 m) = 88 V. (h) O trabalho necessário para introduzir o dielétrico é W = U =  1  (11 × 10 −9 C)2  1 q2  1 1 = − −    − 12 12 − 2  C C0  2  89 × 10 F 120 × 10 F  = −1, 7 × 10 −7 J= − 0,17  J. 54. (a) Aplicando a lei de Gauss à superfície do dielétrico, obtemos q/â0 = kEA, o que nos dá = 8, 9 × 10 −7 C q = = 7, 2.  0 EA (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) (1, 4 × 10 −6 V m)(100 × 10 −4 m 2 ) (b) A carga induzida é 1 1    = 7, 7 × 10 −7 C = 0,77 C. q ′ = q  1 −  = (8, 9 × 10 −7 C)  1 −    7, 2  55. (a) De acordo com a Eq. 25-17, a capacitância de um capacitor esférico na ausência de um dielétrico é dada por  ab  C0 = 4 0  .  b − a  Quando o dielétrico é introduzido entre as placas, a capacitância é multiplicada por k, a constante dielétrica da substância. Assim, temos: 23, 5 (0, 0120 m)(0, 0170 m)  ab  C = 4 0  = × = 0,107 nF.  2 9 2  b − a  8, 99 × 10 N ⋅ m C 0, 0170 m − 0, 0120 m (b) A carga da placa positiva é q = CV = (0,107 nF)(73,0 V) = 7,79 nC. (c) Vamos chamar a carga da placa interna de 2q e a carga induzida na superfície vizinha do dielétrico de q9. Quando o campo elétrico é dividido por k quando o dielétrico está presente, – q + q9 = – q/k. Assim, q′ = ab  −1  23, 5 − 1, 00  q = 4 ( − 1) 0 V = (7, 79 nC) = 7, 45 nC.  b−a  23, 5  56. (a) Como existe uma diferença de potencial de 10,0 V entre os terminais do capacitor C1, a carga do capacitor é q1 = C1V1 = (10,0 mF)(10,0 V) = 100 mC. (b) O capacitor equivalente ao ramo do circuito que contém o capacitor C2 é 10 mF/2 = 5,00 mF. Como esse capacitor equivalente está em paralelo com um capacitor de 10,0 mF, o capacitor equivalente do conjunto é 5,00 mF + 10,0 mF = 15,0 mF. Assim, a parte do circuito abaixo da bateria pode ser reduzida a um capacitor de 15,0 mF em série com um capacitor de 10,0 mF. 119 120 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Como a diferença de potencial entre os terminais desses dois capacitores em série é 10,0 V, a diferença de potencial entre os terminais do ramo que contém o capacitor C2 é (10,0 V)(1/15,0 mF)/(1/10,0 mF + 1/15 mF) = 4,00 V. Como essa tensão é dividida igualmente entre o capacitor C2 e o capacitor em série com C2, a diferença de potencial entre os terminais de C2 é 2,00 V e, portanto, q2 = C2V2 = (10,0 mF)(2,00 V) = 20,0 mC. 57. Os capacitores C3 e C4 estão em paralelo e, portanto, podem ser substituídos por um capacitor equivalente de 15 mF + 15 mF = 30 mF. Como este capacitor equivalente está em série com dois capacitores de mesmo valor, a tensão da fonte é distribuída igualmente pelos três capacitores e a tensão entre os terminais do capacitor C4 é (9,0 V)/3 = 3,0 V, o que nos dá q4 = C4V4 = (15 mF)(3,0 V) = 45 mC. 58. (a) Como o terminal D não está ligado a nenhum componente, os capacitores 6C e 4C estão em série e o capacitor equivalente é (6C)(4C)/(6C + 4C) = 2,4C). Este capacitor, por sua vez, está em paralelo com o capacitor 2C, o que resulta em um capacitor equivalente de 4,4C. Finalmente, o capacitor equivalente de 4,4C está em série com o capacitor C, o que nos dá uma capacitância equivalente Ceq = (C ) (4, 4 C ) = 0, 82 C = 0, 82 (50 F ) = 41 F. C + 4, 4 C (b) Agora, B é o terminal que não está ligado a nenhum componente; os capacitores 6C e 2C estão em série e o capacitor equivalente é (6C)(2C)/(6C + 2C) = 1,5C, que, por sua vez, está em paralelo com o capacitor 4C, o que resulta em um capacitor equivalente de 5,5C). Finalmente, o capacitor equivalente de 5,5C está em série com o capacitor C, o que nos dá uma capacitância equivalente Ceq = (C )(5, 5 C ) = 0, 85C = 0, 85(50  F ) = 42 F . C + 5, 5 C 59. Os capacitores C1 e C2 estão em paralelo, o que também acontece com os capacitores C3 e C4; as capacitâncias equivalentes são 6,0 mF e 3,0 mF, respectivamente. Como essas capacitâncias equivalentes estão em série, a capacitância equivalente do circuito é (6,0 mF)(3,0 mF)/ (6,0 mF + 3,0 mF) = 2,0 mF. A carga do capacitor equivalente de 2,0 mF é (2,0 mF)(12 V) = 24 mC. Como esta carga também é a carga do capacitor equivalente de 3,0 mF (que corresponde à associação em paralelo de C3 e C4), a tensão entre os terminais de C3 e de C4 é V= q 24 C = = 8, 0 V. 3 F C A carga do capacitor C4 é, portanto, (2,0 mF)(8,0 V) = 16 mC. 60. (a) De acordo com a Eq. 25-22, temos: U= 1 1 CV 2 = (200 × 10 −12 F )(7, 0 × 103 V)2 = 4, 9 × 10 −3 J = 4,9 mJ. 2 2 (b) Como a energia calculada no item (a) é muito menor que 150 mJ, uma centelha produzida por um operário não poderia provocar a explosão. 61. Inicialmente, os capacitores C1, C2 e C3 estão ligados em série e podem ser substituídos por um capacitor equivalente, que vamos chamar de C123. Resolvendo a equação 1 1 1 1 C1C2 + C2C3 + C1C3 = + + = , C123 C1 C2 C3 C1C2C3 obtemos C123 = 2,40 mF. Como V = 12,0 V, a carga do circuito é q = C123V = 28,8 mC. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Na situação final, C2 e C4 estão em paralelo e podem ser substituídos por uma capacitância equivalente a C24 = 12,0 mF, que está em série com C1 e C3. A capacitância equivalente do circuito é obtida resolvendo a equação 1 1 1 1 C1C24 + C24C3 + C1C3 = + + = , C1234 C1 C24 C3 C1C24C3 que nos dá C1234 = 3,00 mF. Assim, a carga final é q = C1234V = 36,0 mC. (a) A carga que passa pelo ponto P é a diferença entre a carga final e a carga inicial: ∆q = 36,0 mC − 28,8 mC = 7,20 mC. (b) O capacitor C24, que usamos para substituir C2 e C4, está em série com C1 e C3 e, portanto, também adquire uma carga q = 36,0 mC. Assim, a tensão entre os terminais de C24 é V24 = q 36, 0 C = = 3, 00 V. C24 12,0 F Como esta tensão é a mesma que existe entre os terminais de C2 e de C4, V4 = 3,00 V, o que nos dá q4 = C4V4 = 18,0 mC. (c) A bateria fornece carga apenas às placas às quais está ligada; a carga das outras placas se deve apenas à transferência de elétrons de uma placa para outra, de acordo com a nova distribuição de tensões pelos capacitores. Assim, a bateria não fornece carga diretamente ao capacitor. 62. De acordo com as Eqs. 25-20 e 25-22, quando os capacitores são ligados em série, a capacitância total, e portanto a energia armazenada, é menor que as energias que podem ser armazenadas separadamente pelos dois capacitores. De acordo com as Eqs. 25-19 e 25-22, quando os capacitores são ligados em paralelo, a capacitância total, e, portanto, a energia armazenada, é maior que as energias que podem ser armazenadas separadamente pelos dois capacitores. Assim, os dois valores do meio correspondem às energias armazenadas separadamente pelos dois capacitores. De acordo com a Eq. 25-22, temos: (a) 100 mJ = C1 (10 V)2/2 ⇒ C1 = 2,0 mF; (b) 300 mJ = C2 (10 V)2/2 ⇒ C2 = 6,0 mF. 63. Inicialmente, a capacitância equivalente é C12 = [(C1)−1 + (C2)฀−1]−1 = 3,0 mF, e a carga da placa positiva dos dois capacitores é (3,0 mF)(10 V) = 30 mC. Quando a distância entre as placas de um dos capacitores (que vamos chamar de C1) é reduzida à metade, a capacitância aumenta para 12 mF (veja a Eq. 25-9). A nova capacitância equivalente é, portanto, C12 = [(C1)฀−1 + (C2)฀−1]−1 = 4,0 mF e a nova carga da placa positiva dos dois capacitores é (4,0 mF)(10 V) = 40 mC. (a) A carga adicional transferida para os capacitores é 40 mC − 30 mC = 10 mC. (b) Como estamos falando de dois capacitores em série, e capacitores em série armazenam cargas iguais, a carga total armazenada nos dois capacitores é duas vezes maior que o valor calculado no item (a), ou seja, 20 mC. 64. (a) Os capacitores C2, C3 e C4 em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente C′ = 12 mF e os capacitores C5 e C6 em paralelo podem ser substituídos pelo capacitor equivalente C = 12 mF. Isso nos dá três capacitores em série, C1, C9 e C, cuja capacitância equivalente é Ceq = 3 mF. Assim, a carga armazenada no sistema é qsis = CeqVbat = 36 mC. 121 122 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Como qsis = q1, a tensão entre os terminais de C1 é q1 36 C = = 6, 0 V. C1 6, 0 F V1 = A tensão aplicada à combinação em série de C9 e C é, portanto, Vbat − V1 = 6,0 V. Como C9 = C, V9 = V = 6,0/2 = 3,0 V, que, por sua vez, é igual a V4, a tensão aplicada a C4. Assim, q4 = C4V4 = (4,0 mF)(3,0 V) = 12 mC. 65. Podemos pensar no capacitor composto como a associação em série de dois capacitores, C1 e C2, o primeiro com um material de constante dielétrica k1 = 3,00 e o segundo com um material de constante dielétrica k2 = 4,00. Usando as Eqs. 25-9 e 25-27 e substituindo C1 e C2 por uma capacitância equivalente, obtida com o auxílio da Eq. 25-20, temos:    A Ceq =  1 2  0 = 1, 52 × 10 −10 F.  1 + 2  d Assim, q = CeqV = 1,06 × 10−9 C. 66. Antes de mais nada, precisamos obter uma expressão para a energia armazenada em um cilindro de raio R e comprimento L cuja superfície está entre os raios das placas do capacitor (a < R < b). A densidade de energia em qualquer ponto do interior do capacitor é dada por u = â0E2/2, na qual E é o módulo do campo elétrico no ponto considerado. De acordo com a Eq. 25-12, se q é a carga na superfície do cilindro interno, o módulo do campo elétrico em um ponto situado a uma distância r do eixo do cilindro é dado por E= q 2 0 Lr e a densidade de energia nesse ponto é u= 1 q2 0 E 2 = . 2 8 2 0 L2r 2 ∫ A energia armazenada no cilindro é a integral de volume U R = udV . Como dV = 2prLdr, temos: UR = ∫ R q2 a 8 2 0 L2 r 2 2 rLdr = q2 4 0 L ∫ R a dr q2  R lnn   . = 4 ε 0 L  a  r Para obter uma expressão para a energia total armazenada no capacitor, substituímos R por b: Ub = q2  b ln   . 4 0 L  a  Fazendo UR/Ub = 1/2, temos: ln R 1 b = ln . a 2 a Tomando as exponenciais de ambos os membros da equação mostrada, obtemos: R  b =  a  a o que nos dá R = ab . 1/ 2 = b , a SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 67. (a) A capacitância equivalente é Ceq = C1C2 (6, 00 F ) ( 4, 00F ) = 2, 40 F . = C1 + C2 6, 00 F + 4, 00 F (b) q1 = CeqV = (2,40 mF)(200 V) = 4,80 × 10−4 C = 0,480 mC. (c) V1 = q1/C1 = 4,80 × 10−4 C/6,00 mF = 80,0 V. (d) q2 = q1 = 4,80 × 10−4 C = 0,480 mC. (e) V2 = V – V1 = 200 V – 80,0 V = 120 V. 68. (a) Ceq = C1 + C2 = 6,00 mF + 4,00 mF = 10,0 mF. (b) q1 = C1V = (6,00 mF)(200 V) = 1,20 × 10–3 C = 1,20 mC. (c) V1 = 200 V. (d) q2 = C2V = (4,00 mF)(200 V) = 8,00 × 10–4 C = 0,800 mC. (e) V2 = V1 = 200 V. 69. De acordo com a Eq. 25-22, U = CV2/2. Quando a tensão aumenta de V para V + ∆V, a energia aumenta de U para U + ∆U = C(V + ∆V)2/2. Dividindo ambos os membros da última equação por ∆U, obtemos: 2 1+ U C (V + V )2 C (V + V )2  V  = = = 1 +  ,  2U U CV 2 V  o que nos dá V U = 1+ − 1 = 1 + 10% − 1 = 4, 9%. V U 70. (a) Como o efeito da introdução da barra de cobre é diminuir a distância efetiva entre as placas do capacitor de um valor igual à largura da barra, C9 = â0A/(d – b) = 0,708 pF. (b) De acordo com a Eq. 25-22, a razão entre as energias armazenadas antes e depois da introdução da barra é 5, 00 U q 2 / 2C C ′  0 A / (d − b) d = 1, 67. = 2 = = = =  0 A /d U ′ q / 2C ′ C d − b 5, 00 − 2, 00 (c) O trabalho realizado quando a barra é introduzida é W = U = U ′ − U = q2b q2  1 1  q2 (d − b − d ) = − = −5, 44 J.  −  = 2 C′ C 2 0 A 2 0 A (d) O fato de que o trabalho é negativo mostra que a barra é atraída para o espaço entre as placas. 71. (a) C9 = â0A/(d – b) = 0,708 pF, como no item (a) do Problema 25-70. (b) A razão entre as energias armazenadas é U CV 2 / 2 C  0 A /d d − b 5, 00 − 2, 00 = 0, 600. = = = = = 2 U ′ C ′V / 2 C ′  0 A / (d − b) d 5, 00 123 124 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) O trabalho realizado é W = U = U ′ − U = 1  A 1 − (C ′ − C )V 2 = 0  2 2 d−b 1  2  0 AbV 2 = 1, 02 × 10 −9 J. V = 2d (d − b) d (d) No Problema 25-70, no qual o capacitor é desligado da bateria e a barra é atraída para o espaço entre as placas, a força F de atração é dada por −dU/dx. Entretanto, a mesma relação não pode ser usada no caso em que a bateria continua ligada ao circuito porque, nesse caso, a força de atração não é conservativa. A distribuição de carga da barra faz com que a barra seja atraída pela distribuição de carga das placas, o que produz um aumento da energia potencial armazenada pela bateria no capacitor. 72. (a) A capacitância equivalente é Ceq = C1C2/(C1 + C2) e a carga armazenada nos capacitores é q = q1 = q2 = CeqV = C1C2V (2, 00 F)(8,00 F)(300 V) = 4, 80 × 10 −4 C = 0,480 mC. = C1 + C2 2, 00 F + 8, 00 F (b) A diferença de potencial é V1 = q/C1 = 4,80 × 10–4 C/2,0 mF = 240 V. (c) Como foi visto no item (a), q2 = q1 = 4,80 × 10−4 C = 0,480 mC. (d) V2 = V – V1 = 300 V – 240 V = 60,0 V. Nesse caso, q1′ /C1 = q2′ /C2 e q1′ + q2′ = 2q. Explicitando q2′ na segunda equação e substituindo na primeira, obtemos: (e) q1′ = 2C1q 2(2, 00F)(4,80 × 10 −4C ) = = 1, 92 × 10 −4 C = 0,192 mC. C1 + C2 2, 00 F + 8, 00 F (f) A nova diferença de potencial é V1′ = q1′ 1, 92 × 10 −4 C = = 96, 0 V. C1 2, 00 F (g) q2′ = 2q − q1′ = 2(4, 80 × 10 −4 C) − 1, 92 × 10 −4 C = 7, 68 × 10 −4 C = 0,768 mC. (h) V2′ = V1′ = 96, 0 V. (i) Nesse caso, os capacitores se descarregam e q1 = 0. (j) V1 = 0, (k) q2 = 0, (l) V2 = V1 = 0. 73. A tensão entre os terminais do capacitor 1 é V1 = q1 30 C = = 3, 0 V . C1 10 F Como V2 = V1, a carga do capacitor 2 é q2 = C2V2 = (20 F )(2 V) = 60 C , o que significa que a carga total armazenada nos capacitores C1 e C2 é 30 mC + 60 mC = 90 mC. Nesse caso, a carga total armazenada nos capacitores C3 e C4 também é 90 mC. Como C3 = C4, SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS a carga se divide igualmente entre os dois capacitores e, portanto, q3 = q4 = 45 mC. Assim, a tensão entre os terminais do capacitor 3 é V3 = q3 45 C = = 2, 3 V, C3 20 F o que nos dá |VA – VB| = V1 + V3 = 5,3 V. 74. Como C = â0kA/d ∝ k/d, para obter o maior valor possível de C, devemos escolher o material com o maior valor de k/d. Para os materiais propostos no enunciado, os valores de k/d são os seguintes: mica, 5,4/(0,0001 m) = 54.000 m−1; vidro, 7,0/(0,002 m) = 3500 m−1; parafina, 2,0/ (0,01 m) = 200 m−1. Assim, devemos escolher a mica. 75. Não podemos usar a lei de conservação da energia porque, antes que o equilíbrio seja atingido, parte da energia é dissipada na forma de calor e de ondas eletromagnéticas. Entretanto, a carga é conservada. Assim, se Q é a carga armazenada inicialmente no capacitor C e q1 e q2 são as cargas armazenadas nos dois capacitores depois que o sistema entra em equilíbrio, Q = q1 + q2 ⇒ C (100 V) = C (40 V) + (60 F )(40 V), o que nos dá C = 40 mF. 76. Vamos chamar de Vt a tensão aplicada ao conjunto de capacitores e de Ut a energia total armazenada nos capacitores. Como todos os capacitores são iguais, a tensão é dividida igualmente entre eles, e a tensão entre os terminais de cada capacitor é V = (Vt/n). Como a energia armazenada em cada capacitor é CV2/2, temos: 2 1  Vt  C   = Ut 2  n ⇒ n= CVt2 = 2U t (2 × 10 −6 F )(10 V)2 = 4. 2(25 × 10 −6 J) 77. (a) Como tanto a diferença de potencial entre as placas como a distância entre as placas são iguais para os dois capacitores, os campos elétricos em A e em B também são iguais: EB = E A = V = 2, 00 × 105 V m . d (b) Como foi visto no item (a), EA = 2,00 × 105 V/m = 200 kV/m. (c) De acordo com a Eq. 25-4, = q =  0 E A = (8, 85 × 10 −12 F/m)(2, 00 × 105 V/m ) A = 1, 77 × 10 −6 C m 2 = 1, 77 C/m 2 . (d) De acordo com a Eq. 25-29,  =  0 E B = (2, 60)(8, 85 × 10 −12 F/m)(2, 00 × 105 V/m) = 4, 60 × 10 −6 C m 2 = 4, 60 C/m 2 . (e) Embora a discussão do livro (Seção 25-8) seja feita usando a hipótese de que a carga permanece a mesma quando o dielétrico é introduzido, pode ser facilmente adaptada à situação descrita neste problema, na qual a tensão permanece a mesma quando o dielétrico é introduzido. O fato de que o campo elétrico é o mesmo no interior dos dois capacitores, embora a carga do capacitor B seja maior que a do capacitor A, está de acordo com a ideia apresentada no livro de que o campo elétrico produzido pelas cargas induzidas no dielétrico tem o sentido oposto ao do campo elétrico produzido pelas placas do capacitor. Adaptando a Eq. 25-35 a este problema, 125 126 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS vemos que a diferença entre as densidades de cargas livres no capacitor B e no capacitor A é igual à densidade de carga s′ na superfície do dielétrico do capacitor B. Assim, temos:  ′ = (1, 77 × 10 −6 ) − (4, 60 × 10 −6 ) = −2, 83 × 10 −6 C m 2 . 78. (a) Ligue cinco capacitores em série. Assim, a capacitância equivalente é Ceq = (2,0 mF)/5 = 0,40 mF e, como a diferença de potencial que cada capacitor pode suportar é 200 V, o circuito pode suportar uma tensão de 5(200 V) = 1000 V. (b) Uma possibilidade é montar três conjuntos iguais de capacitores em série, cada conjunto com cinco capacitores, e ligar os três conjuntos em paralelo. Assim, a capacitância equivalente é Ceq = 3(0,40 mF) = 1,2 mF e, como a diferença de potencial que cada capacitor pode suportar é 200 V, o circuito pode suportar uma tensão de 5(200 V) = 1000 V. Capítulo 26 1. (a) A carga que passa por uma seção reta do fio é o produto da corrente pelo intervalo de tempo ∆t de duração da corrente. Assim, temos: q = i∆t = (5,0 A)(240 s) = 1,2 × 103 C = 1,2 kC. (b) O número N é dado por N = q/e = (1200 C)/(1,60 × 10–19 C) = 7,5 × 1021. 2. Suponha que a carga da esfera aumenta de ∆q em um intervalo de tempo ∆t. Nesse intervalo de tempo, o potencial da esfera aumenta de q V = , 4 0 r em que r é o raio da esfera. Isso significa que ∆q = 4pâ0r∆V. Como ∆q = (ient – isai)∆t, na qual ient é a corrente que entra na esfera e isai é a corrente que sai da esfera, temos: t = q 4 0 r V (0,10 m) (1000 V) = = 9 ient − isai ient − isai (8, 99 × 10 F/m) (1, 0000020 A − 1, 0000000 A) = 5, 6 × 10 −3 s. 3. Se s é a densidade superficial de carga e l é a largura da correia, a corrente associada ao movimento das cargas é i = svl, o que nos dá = i 100 × 10 −6 A = = 6, 7 × 10 −6 C m 2 . vl (30 m s)(50 × 10 −2 m) 4. Para expressar a densidade de corrente em unidades do SI, convertemos os diâmetros dos fios de mils para polegadas, dividindo por 1000, e depois executamos a conversão de polegadas para metros, multiplicando por 0,0254. Feito isso, podemos usar a relação J= i i 4i = = , 2  D2 A R na qual i é a corrente e D é o diâmetro do fio. No caso de um fio calibre 14, por exemplo, D = 64 mils = 0,0016 m e a densidade de corrente segura é J = 4(15 A)/p(0,00163 m)2 = 7,2 × 106 A/m2. Na verdade, este é o calibre para o qual o valor de J é máximo. O gráfico a seguir mostra a densidade de corrente segura J, em A/m2, em função do diâmetro do fio em mils. 128 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 5. (a) O módulo da densidade de corrente é dado por J = nqv, na qual n é o número de partículas por unidade de volume, q é a carga das partículas e v é a velocidade das partículas. Como os íons são positivos e duplamente carregados, a carga das partículas é 2e. Assim, temos: J = n(2e)v = (2 × 1014 íons/m3)(3,20 × 10−19 C)(1,0 × 105 m/s) = 6,4 A/m2. (b) Como as partículas são positivamente carregadas, a densidade de corrente tem a mesma direção que a velocidade, ou seja, aponta para o norte. (c) Para calcular a corrente, é preciso conhecer a área da seção reta do feixe de íons, caso em que a equação i = JA pode ser usada. 6. (a) Como a área de um círculo é proporcional a r2, o eixo horizontal do gráfico da Fig. 26-23b representa (a menos de um fator constante p) à área do fio. O fato de que o gráfico é uma linha reta indica que a densidade de corrente J = i/A é constante. Por isso, a resposta é “sim, a densidade de corrente é uniforme”. (b) Como, de acordo com o gráfico da Fig. 26-23b, a corrente é 5,0 mA quando o raio é 4,00 mm2, temos: i 0, 005 A = = 398 ≈ 4, 0 × 10 2 A/m 2 .  r 2  (4 × 10 −6 m 2 ) J= 7. A área da seção reta do fio é dada por A = pr2, na qual r é o raio (metade do diâmetro) do fio. Como o módulo do vetor densidade de corrente é J= i i = , A r 2 temos: i = J r= 0, 50 A = 1, 9 × 10 −4 m.  (440 × 10 4 A/m 2 ) O diâmetro do fio é, portanto, d = 2r = 2(1,9 × 10–4 m) = 3,8 × 10–4 m = 0,38 mm. 8. (a) O módulo da densidade de corrente é J= i i 4(1, 2 × 10 −10 A) = 2, 4 × 10 −5 A/m 2 . = = A  d 2 / 4  (2, 5 × 10 −3 m)2 (b) A velocidade de deriva dos elétrons é vd = J 2, 4 × 10 −5 A/m 2 = = 1, 8 × 10 −15 m/s. ne (8, 47 × 10 28 /m 3 )(1, 60 × 10 −19 C) 9. A largura da região considerada, ∆r = 10 mm, é tão pequena em comparação com a distância da região ao centro do fio, r = 1,20 mm, que podemos usar a aproximação Assim, a corrente que passa no anel é ∫ Br 2 rdr ≈ Br 2 r r. ianel = 2pBr2∆r = 2p(2,00 × 105 A/m2)(0,00120)2(10 × 10−6) = 1,181 × 10−5 A = 18,1 mA. 10. Supondo que a densidade de corrente J é paralela ao fio, a Eq. 26-4 nos dá:  i = | J | dA = ∫ = ∫ R 9 R / 10 ( kr 2 )2 rdr = 1 k ( R 4 − 0, 656 R 4 ) 2 1 (3, 0 × 108 ) {(0, 00200 m)4 − [(0, 656)(0, 00200 m)]4 } = 2, 59 × 10 −3 A. 2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 11. (a) A corrente é i= ∫ S Ja dA = J0 R ∫ R 0 r ⋅ 2 rdr = 2 2  R 2 J0 =  (3, 40 × 10 −3 m)2 (5, 50 × 10 4 A/m 2 ) 3 3 = 1, 33 A. (b) A corrente é i= ∫ S Jb dA = ∫ R 0 1 1 r  J0  1 −  2 rdr =  R 2 J0 =  (3, 40 × 10 −3 m)2 (5, 50 × 10 4 A/m 2 )  3 3 R = 0, 666 A. (c) Comparando as duas funções, vemos que Jb → 0 para r → R, enquanto Ja não varia com a distância radial. Assim, Ja é maior perto da superfície do fio. 12. (a) O módulo da densidade de corrente é J = nev = (8, 70 × 10 6 m 3 )(1, 60 × 10 −19 C)(470 × 10 3 m/s) = 6, 54 × 10 −7 A/m 2 = 0, 654  A/m 2 . (b) Embora a área da superfície da Terra seja aproximadamente 4 RT2 (a área da superfície de uma esfera), a área a ser usada no cálculo de quantos prótons em um feixe aproximadamente unidirecional (o vento solar) são recebidos pela Terra é a seção de choque da Terra, ou seja, um “alvo” cuja área é uma circunferência de área  RT2 . Assim, temos: i = AJ =  RT2 J =  (6, 37 × 10 6 m)2 (6, 54 × 10 −7 A/m 2 ) = 8, 34 × 10 7 A = 83,4 MA. 13. Como a velocidade de deriva dos elétrons é dada por vd = J/ne = i/Ane, temos: t= L L LAne (0, 85 m)(0, 21 × 10 −14 m 2 )(8, 49 × 10 28 elétrons/m 3 )(1, 60 × 10 −19 C) = = = vd i /Ane i 300 A = 8,1 × 10 2 s = 13 min . 14. Como a diferença de potencial V e a corrente i estão relacionadas através da equação V = iR, na qual R é a resistência do eletricista, a tensão fatal é V = (50 × 10–3 A)(2000 Ω) = 100 V. 15. A resistência da bobina é dada por R = rL/A, na qual r é a resistividade do cobre, L é o comprimento do fio e A é a área da seção reta do fio. Como o comprimento de cada espira é 2pr, na qual r é o raio da bobina, L = (250)2pr = (250)(2p)(0,12 m) = 188,5 m. Se rf é o raio do fio, a área da seção reta é A =  rf2 =  (0, 65 × 10 −3 m)2 = 1, 33 × 10 −6 m 2 . Como, de acordo com a Tabela 26-1, a resistividade do cobre é r = 1,69 × 10−8 Ω . m, temos: R=  L (1, 69 × 10 −8  ⋅ m)(188, 5 m) = = 2, 4 . A 1, 33 × 10 −6 m 2 16. A resistência por unidade de comprimento rL e a resistividade r estão relacionadas através de equação rL = r/A, na qual A é a área da seção reta do fio; a massa por unidade de comprimento mL e a massa específica m estão relacionadas através da equação mL = m/A. 129 130 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (a) No caso do cobre, J = i/A = irL/r = (60,0 A)(0,150 Ω/km)/(1,69 × 10–8 Ω฀· m) = 5,32 × 105 A/m2. (b) No caso do cobre, mL = m/A = mr/rL = (8960 kg/m3)(1,69 × 10–8 Ω฀· m)/(0,150 Ω/km) = 1,01 kg/m. (c) No caso do alumínio, J = irL/r = (60,0 A)(0,150 Ω/km)/(2,75 × 10–8 Ω฀· m) = 3,27 × 105 A/m2. (d) No caso do alumínio, mL = mr/rL = (2700 kg/m3)(2,75 × 10–8 Ω฀· m)/(0,150 Ω/km) = 0,495 kg/m. 17. Como a condutividade s é o recíproco da resistividade, temos: = 1 L L Li (1, 0 m)(4,0 A) = 2, 0 × 10 6  −1 ⋅ m −1 . = = = =  RA (V /i ) A VA (2,0 V)(1,00 × 10 −6 m 2 ) 18. (a) i = V/R = 23,0 V/(15,0 × 10–3 Ω) = 1,53 × 103 A = 1,63 kA. (b) Como a área da seção reta do fio é A = pr2 = pD2/4, temos: J= i 4i 4(1, 53 × 10 −3 A) = 5, 41 × 10 7 A/m 2 = 54,1 MA/m 2 . = = A  D 2  (6,00 × 10 −3 m)2 (c) A resistividade é = RA (15, 0 × 10 −3 ) (6, 00 × 10 −3 m)2 = = 10, 6 × 10 −8  ⋅ m. L 4(4, 00 m) (d) O material é a platina. 19. De acordo com a Eq. 26-16, a resistência do fio é dada por R = rL/A, na qual r é a resistividade do material, L é o comprimento do fio e A é a área da seção reta do fio. Neste caso, A =  r 2 =  (0, 50 × 10 −3 m)2 = 7, 85 × 10 −7 m 2 e = RA (50 × 10 −3 )(7, 85 × 10 −7 m 2 ) = = 2, 0 × 10 −8  ⋅ m. 2, 0 m L 20. Vamos chamar o diâmetro do fio de D. Como R ∝ L/A (Eq. 26-16) e A = pD2/4 ∝ D2, a resistência do segundo fio é 2  A  L  D  L  2  1 R2 = R  1   2  = R  1   2  = R ( 2 )   = 2 R.  2  A2   L1   D2   L1  21. A resistência quando a lâmpada está acesa é R = V/i = (2,9 V)/(0,30 A) = 9,67 Ω. Como R – R0 = R0a (T – T0), temos: T = T0 +     9, 67   1 R 1 − 1 = 20 C +  − 1 = 1, 8 × 10 3 C .   R0   4, 5 × 10 −3 K   1,1   Como uma variação de temperatura em graus Celsius é igual a uma variação de temperatura em kelvins, o valor de a usado nos cálculos é compatível com as outras unidades envolvidas. O valor de a para o tungstênio foi obtido na Tabela 26-1. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 22. Seja r o raio da linha da pipa e seja e a espessura da camada de água. A área da seção reta da camada de água é A =  [ (r + t )2 − r 2 ] =  [(2, 50 × 10 −3 m)2 − (2, 00 × 10 −3 m)2 ] = 7, 07 × 10 −6 m 2 . De acordo com a Eq. 26-16, a resistência do fio molhado é R=  L (150  ⋅ m) (800 m) = = 1, 698 × 1010  A 7, 07 × 10 −6 m 2 e a corrente é i= V 1, 60 × 108 V = = 9, 42 × 10 −3 A = 9,42 mA. R 1,698 × 1010  23. De acordo com a Eq. 26-10, J = E/r, na qual J é a densidade de corrente, E é o campo elétrico (uniforme) no interior do fio e r é a resistividade do material do fio. Como o campo elétrico é dado por E = V/L, na qual V é a diferença de potencial entre as extremidades do fio e L é o comprimento do fio, J = V/Lr e = V 115 V = = 8, 2 × 10 −4  ⋅ m. LJ (10 m)(1, 4 × 10 4 A m 2 ) 24. (a) Como o material é o mesmo, a resistividade r é a mesma, o que significa, de acordo com a Eq. 26-11, que os campos elétricos nos diferentes trechos são diretamente proporcionais às densidades de corrente. Assim, de acordo com o gráfico da Fig. 26-24a, J1/2,5 = J2/4 = J3/1,5. Como as barras estão ligadas em série, a corrente é a mesma nas três barras e, portanto, J1A1 = J2A2 = J3A3. Como A ∝ r2, temos: 2, 5r12 = 4r22 = 1, 5r32 . Para r3 = 2 mm, a relação 2, 5r12 = 1, 5r32 nos dá r1 = 1,55 mm. (b) A relação 4r22 = 1,5r32 nos dá r2 = 1,22 mm. 25. Como a densidade do material não muda, o volume permanece o mesmo. Se L0 é o comprimento original, L é o novo comprimento, A0 é a área da seção reta original e A é a área da nova seção reta, L0A0 = LA e A = L0A0/L = L0A0/3L0 = A0/3. A nova resistência é R=  L 3 L0 L = = 9 0 = 9 R0 , A A0 / 3 A0 na qual R0 é a resistência original. Para R0 = 6,0 Ω, R = 9(6,0 Ω) = 54 Ω. 26. O valor absoluto da inclinação das retas do gráfico da Fig. 26-25b é igual ao valor absoluto do campo elétrico nos trechos correspondentes da placa. Aplicando as Eqs. 26-5 e 26-13 aos três trechos da placa resistiva, temos: J1 = i/A = s1 E1 = s1 (0,50 × 103 V/m) J2 = i/A = s2 E2 = s2 (4,0 × 103 V/m) J3 = i/A = s3 E3 = s3 (1,0 × 103 V/m). Note que J1 = J2 = J3, já que os valores de i e A são os mesmos nos três trechos. Como s3 = 3,00 × 107 (Ω . m)−1, temos: (a) s1 = 2s3 = 2 (3,00 × 107 (Ω . m)−1 = 6,00 ×฀107 (Ω . m)−1. (b) s2 = s3/4 = (3,00 × 107 Ω−1 . m−1)/4 = 7,50 × 106 (Ω . m)−1. 131 132 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 27. A resistência do condutor A é dada por RA = L ,  rA2 na qual rA é o raio do condutor. Se rext é o diâmetro externo do condutor B e rint é o diâmetro 2 − r2 ) interno, a área da seção reta é  (rext int e a resistência é RB = L . 2 ) − rint 2  (rext A razão pedida é 2 − r2 (1, 0 mm)2 − (0, 50 mm)2 RA rext int = 3, 0. = = (0, 50 mm)2 RB rA2 28. De acordo com as Eqs. 26-8 e 26-16, V = iR = irL/A. De acordo com a Tabela 26-1, a resistividade do cobre é 1,69 × 10−8 Ω . m. De acordo com o gráfico da Fig. 26-26, para L = xs, a queda de tensão é V = Vs, o que nos dá i= AVs  r 2Vs  (0, 002 m)2 (12 × 10 −6 V) = 0, 0029 A ≈ 3, 0 mA. = =  xs  xs (1, 69 × 10 −8  ⋅ m)(3, 0 m) 29. A resistência do fio de cobre é R=  L (1, 69 × 10 −8  ⋅ m) (0, 020 m) = 2, 69 × 10 −5  . = A  (2, 0 × 10 −3 m)2 Para uma diferença de potencial V = 3,00 nV, a corrente que atravessa o fio é i= V 3, 00 × 10 −9 V = 1,115 × 10 −4 A. = R 2,69 × 10 −5  A carga que passa por uma seção reta do fio em 3,00 ms é Q = it = (1,115 × 10 −4 A)(3,00 × 10 −3 s) = 3, 35 × 10 −7 C . 30. De acordo com as informações do enunciado, o diâmetro de um fio calibre 22 é 1/4 do diâmetro de um fio calibre 10. Assim, como R = rL/A, a resistência de 25 pés de um fio calibre 22 é R = (1,00 Ω)(25 pés/1000 pés)(4)2 = 0,40 Ω. 31. (a) A corrente em cada fio é i = 0,750 A/125 = 6,00 × 10–3 A. (b) A diferença de potencial é V = iR = (6,00 × 10–3 A)(2,65 × 10–6 Ω) = 1,59 × 10–8 V. (c) A resistência é Rtotal = 2,65 × 10–6 Ω/125 = 2,12 × 10–8 Ω. 32. De acordo com as Eqs. 26-7 e 26-13, J = s E = (n+ + n–)evd. (a) O módulo da densidade de corrente é J = s E = [2,70 × 10–14 (Ω฀· m)−1](120 V/m) = 3,24 × 10–12 A/m2 = 3,24 pA/m2. (b) A velocidade de deriva é vd = E [ 2, 70 × 10−14 ( ⋅ m)−1 ](120 V m ) = 1, 73 cm s . = (n+ + n− )e [( 620 + 550 ) íons cm 3 ] (1, 60 × 10 −19 C ) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 33. (a) i = V/R = 35,8 V/935 Ω = 3,83 × 10–2 A. (b) J = i/A = (3,83 × 10–2 A)/(3,50 × 10–4 m2) = 109 A/m2. (c) vd = J/ne = (109 A/m2)/[(5,33 × 1022/m3) (1,60 × 10–19 C)] = 1,28 × 10–2 m/s. (d) E = V/L = 35,8 V/0,158 m = 227 V/m. 34. A concentração de elétrons de condução no cobre é n = 8,49 × 1028 /m3. O campo elétrico no fio 2 é (10,0 mV)/(2,00 m) = 5,00 mV/m. Como r฀= 1,69 × 10−8 Ω฀· m para o cobre (veja a Tabela 26-1), a Eq. 26-10 nos dá uma densidade de corrente J2 = (5,00 mV/m)/(1,69 × 10−8 Ω฀· m) = 296 A/m2. Como a corrente é a mesma nos fios 1 e 2, temos, de acordo com a Eq. 26-5, J1 A1 = J2 A2 ⇒ J1 (4 R 2 ) = J2 ( R 2 ), o que nos dá J1 = 74 A/m2. Assim, de acordo com a Eq. 26-20, vd = J1 = 5, 44 × 10 −9 m/s. ne 35. (a) A Fig. 26-29 mostra a corrente i entrando no tronco de cone pela base menor e saindo pela base maior; vamos escolher este sentido como sentido positivo do eixo x. Como a densidade de corrente J é uniforme, J(x) = i/A, na qual A = pr2 é a área da seção reta do cone. Como, de acordo com a Eq. 26-11, E = rJ, temos: E(x) = i . r 2 Integrando E(x), podemos determinar a diferença de potencial V entre as bases do tronco de cone e calcular a resistência usando a relação R = V/i (Eq. 26-8). Para isso, porém, é preciso conhecer como r varia com x. Como o raio do tronco de cone varia linearmente com x, sabemos que r = c1 + c2x, na qual c1 e c2 são constantes. Tomando como origem o centro da base menor do tronco de cone, r = a para x = 0 e, portanto, c1 = a. Como r = b para x = L, b = a + c2L, o que nos dá c2 = (b − a)L. Assim, temos:  b − a r = a+ x.  L  Substituindo r por esse valor na expressão de E(x), obtemos: E(x) = i  b−a  x  a + L   −2 . A diferença de potencial entre as bases do tronco de cone é V =− = ∫ L 0 L i ⌠ E dx = −   ⌡0 i L  1  −  b−aa b−a   x  a + L  −2 b−a  i L  x dx =  a + L   b−a −1 L 0 1  i L b − a i L = = b   b − a ab  ab e a resistência é R= V L (731  ⋅ m)(1,94 × 10 −2 m) = 9, 81 × 105  = 981 k . = = i  ab  (2,00 × 10 −3 m)(2, 30 × 10 −3 m) Note que, se b = a, R = rL/pa2 = rL/A, na qual A = pa2 é a área da seção reta do cilindro. 133 134 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 36. Supondo que a corrente se espalha uniformemente no hemisfério, a densidade de corrente a uma distância r do local onde caiu o raio é J = I/2pr2. De acordo com a Eq. 26-10, o campo elétrico a essa distância é  I E = a J = a 2 , 2 r na qual ra é a resistividade da água. A diferença de potencial entre um ponto a uma distância D do local onde caiu o raio e um ponto a uma distância D + ∆r é V = − ∫ D + r D Edr = −⌠ D + r ⌡D a I  I 1 1  I r −  =− a dr = a  2 2 r 2  D + r D  2 D( D + r ) e, portanto, a corrente que atravessa o corpo do nadador é i= r | V | a I = . 2 R D( D + r ) R Substituindo por valores numéricos, obtemos i= (30, 0  ⋅ m)(7, 80 × 10 4 A) 0, 70 m = 5, 22 × 10 −2 A = 52 mA. 3 2 (4, 00 × 10 ) (35, 0 m)(35, 0 m + 0, 70 m) 37. De acordo com as Eqs. 26-23 e 26-24, r ∝ τ–1 ∝ vef; essas relações são discutidas no Exemplo “Tempo livre médio e livre caminho médio”. Como, de acordo com a Eq. 19-31, vef ∝ T ,  ∝ T. 38. A inclinação do gráfico da Fig. 26-31b é P = (2,50 × 10−3 J)/(5,00 s) = 5,0 ×฀10−4 W. Como, de acordo com a Eq. 26-28, P = V 2/R, temos: V= PR = (5, 0 × 10 −4 W)(20 ) = 0,10 V. 39. De acordo com a Eq. 26-26, a potência térmica gerada é P = iV = (10, 0 A)(120 V) = 1, 20 kW e o tempo necessário para cozinhar três salsichas é t= 3 × 60, 0 × 103 J = 150 s. 1, 20 × 103 W 40. R = P/i2 = (100 W)/(3,00 A)2 = 11,1 Ω. 41. (a) De acordo com a Eq. 26-28, a taxa de conversão de energia elétrica em energia térmica é P = V2/R, na qual V é a diferença de potencial aplicada ao aquecedor e R é a resistência do aquecedor. Assim, (120 V)2 P= = 1, 0 × 103 W = 1, 0 kW. 14  (b) O custo é (1,0 kW)(5,0 h)($ 0,05/kW . h) = $ 0,25. 42. (a) Como, na Fig. 26-32, a corrente convencional circula no sentido horário, o campo elétrico aponta para baixo, o que significa que os elétrons se movem para cima. (b) De acordo com a Eq. 24-8, W = −qV = eV = 12 eV (ou, em joules, W = 12 × 1,6 × 10−19 C = 1,9 × 10−18 J). (c) Como quase toda a energia dos elétrons é dissipada em forma de calor, a resposta é a mesma do item (b): 12 eV. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 43. Como, de acordo com a Eq. 26-28, P = V 2/R, P ∝ V 2. Assim, a potência dissipada no segundo caso é 2  1, 50 V  P= (0, 540 W) = 0,135 W.  3,00 V  44. Como, de acordo com a Eq. 26-26, P = iV, a carga é q = it = Pt/V = (7,0 W) (5,0 h) (3600 s/h)/9,0 V = 1,4 × 104 C = 14 kC. 45. (a) De acordo com a Eq. 26-26, a potência dissipada, a corrente do aquecedor e a tensão aplicada ao aquecedor estão relacionadas através da equação P = iV. Assim, i= P 1250 W = = 10, 9 A. V 115 V (b) De acordo com a Eq. 26-8, V = iR, na qual R é a resistência do aquecedor. Assim, R= V 115 V = = 10, 6  . i 10,9 A (c) A energia térmica E produzida pelo aquecedor em 1,0 h é E = Pt = (1250 W)(3600 s) = 4, 50 × 10 6 J = 4,50 MJ. 46. (a) De acordo com a Tabela 26-1 e a Eq. 26-10, temos:   2, 00 A = 1, 69 × 10 −2 V/m = 16,9 mV/m. E =  J = (1, 69 × 10 −8  ⋅ m)  − 6 2  2, 00 × 10 m  (b) De acordo com a Tabela 26-1 e a Eq. 26-16, R= L 4, 00 m = (1, 69 × 10 −8  ⋅ m) = 0, 0338  . A 2, 00 × 10 −6 m 2 A taxa de geração de energia térmica é dada pela Eq. 26-27: P = i2R = (2,00 A)2(0,0338 Ω) = 0,135 W. A energia térmica gerada em 30 min é dada por E = (0,135 J/s)(180 s) = 243 J. 47. (a) Como, de acordo com as Eqs. 26-28 e 26-16, P = V 2/R = AV 2/rL, temos: L= AV 2 (2, 60 × 10 −6 m 2 )(75, 0 V)2 = = 5, 85 m. P (5, 00 × 10 −7  ⋅ m)(500 W) (b) Como L ∝ V 2, o novo comprimento é 2 2  100 V   V ′ L ′ = L   = (5, 85 m)  = 10, 4 m. V  75,0 V  48. A massa de água envolvida é m =  AL = (1000 kg/m 3 )(15 × 10 −5 m 2 )(0,12 m) = 0, 018 kg e a energia necessária para vaporizar a água é Q = Lm = (2256 kJ / kg)(0, 018 kg) = 4, 06 × 10 4 J. A energia térmica produzida pela passagem da corrente elétrica através da água é dada por: Q = Pt = I 2 Rt. 135 136 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Como a resistência da massa de água envolvida é R= a L (150  ⋅ m ) ( 0,120 m ) = 1, 2 × 10 5  , = A 15 × 10 −5 m 2 a corrente necessária para vaporizar a água é I= Q = Rt 4, 06 × 10 4 J = 13, 0 A. (1, 2 × 105 )(2.0 × 10 −3 s) 49. (a) O custo pedido é (100 W)(24 h/dia)(31dias/mês)($ 0,06/kW . h) = $ 4,46. (b) R = V 2/P = (120 V)2/100 W = 144 Ω. (c) i = P/V = 100 W/120 V = 0,833 A. 50. As inclinações das retas da Fig. 26-33b nos dão P1 = (40 mJ)/(5 s) = 8 mW e P2 = (20 mJ)/ (5 s) = 4 mW. De acordo com a lei de conservação da energia, a potência da bateria é Pbat = P1 + P2 = 8 mW + 4 mW = 12 mW. 51. (a) De acordo com a Eq. 26-16, RC = C 1, 0 m LC = 2, 55  = (2, 0 × 10 −6  ⋅ m)  rC2  (0, 00050 m )2 e, de acordo com a Eq. 26-8, | V1 − V2 | = VC = iRC = (2, 0 A)(2, 55 ) = 5,1 V. (b) Analogamente, RD =  D 1, 0 m LD = 5, 09  = (1, 0 × 10 −6  ⋅ m) 2  rD  (0, 00025 m )2 e | V2 − V3 | = VD = iRD = (2, 0 A)(5, 09 ) = 10, 2 V ≈ 10 V. (c) De acordo com a Eq. 26-27, PC = i 2 RC = 10 W. (d) Analogamente, PD = i 2 RD = 20 W. 52. Supondo que a corrente é longitudinal, a Eq. 26-4 nos dá i= ∫ JdA = ∫ R 0 ar 2 2 rdr = 1 1 a R 4 = (2, 75 × 1010 A/m 4 )( )(3, 00 × 10 −3 m)4 = 3, 50 A. 2 2 A taxa de geração de energia térmica é dada pela Eq. 26-26: P = iV = (3,50 A)(60 V) = 210 W. A energia térmica gerada em 1 h é Q = Pt = (210 W)(3600 s) = 7, 56 × 105 J = 756 kJ. 53. (a) De acordo com a Eq. 26-28, R = V 2/P = (120 V)2/500 W = 28,8 Ω. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) De acordo com a Eq. 26-26, n= i P 500 W = = = 2, 60 × 1019 s −1 . e eV (1,60 × 10 −19 C)(120 V) 54. De acordo com a Eq. 26-28, para que a potência dissipada seja 200 W, devemos ter R = (5,0 V)2/(200 W) = 0,125 Ω, mas, para isso, é preciso que ∫ L 0 5, 00 x dx = 0,125  . Assim, (5, 00) L2 = 0,125 ⇒ L = 0, 224 m. 2 55. Seja RQ a resistência na temperatura mais alta (800°C) e RF a resistência na temperatura mais baixa (200°C). De acordo com a Eq. 26-28, como a diferença de potencial é a mesma nos dois casos, a potência dissipada na temperatura mais baixa é PL = V2/RL e a potência dissipada na temperatura mais alta é PQ = V 2/RQ, o que nos dá PF = (RQ/RF)PQ. Como RF = RQ +  RQ T , na qual ∆T = TL – TQ, temos: PF = PQ RQ 500 W = 660 W. = PQ = 1 + T 1 + (4, 0 × 10 −4 K −1 )( − 600 K) RQ +  RQ T 56. (a) A corrente é i=  Vd 2  (1, 20 V)[(0,0400 polegada)(2,54 × 10 −2 m/polegada)]2 V V = = = 4(1, 69 × 10 −8  ⋅ m)(33,0 m) 4 L R  L /A = 1, 74 A. (b) A densidade de corrente é J= i 4i 4(1, 74 A) = = A  d 2  [(0, 0400 polegada)(2,54 × 10 −2 m/polegada)]2 = 2,15 × 10 6 A/m 2 = 2,15 MA/m 2 . (c) E = V/L = 1,20 V/33,0 m = 3,63 × 10–2 V/m = 36,3 mV/m. (d) P = Vi = (1,20 V)(1,74 A) = 2,09 W. 57. De acordo com a Eq. 26-26, i = P/V = 2,00 A. De acordo com a Eq. 26-1, como a corrente é constante, ∆q = i∆t = 2,88 × 104 C. 58. Vamos usar o índice c para indicar a barra de cobre e o índice a para indicar a barra de alumínio. (a) A resistência da barra de alumínio é R = a L (2, 75 × 10 −8  ⋅ m)(1, 3 m) = 1, 3 × 10 −3 . = A (5, 2 × 10 −3 m)2 137 138 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Fazendo R = rcL/(pd 2/4) e explicitando d, o diâmetro da barra de cobre, obtemos: d= 4 c L = R 4(1, 69 × 10 −8  ⋅ m) (1, 3 m ) = 4, 6 × 10 −3 m.  (1, 3 × 10 −3 ) 59. (a) Como = RA R( d 2 / 4) (1, 09 × 10 −3 ) (5, 50 × 10 −3 m)2 / 4 = = = 1, 62 × 10 −8  ⋅ m, 1, 60 m L L o fio é feito de prata. (b) A resistência do disco é R= L 4  L 4(1, 62 × 10 −8  ⋅ m)(1,00 × 10 −3 m) = 5,16 × 10 −8  . = =  (2,, 00 × 10 −2 m)2 A d2 60. (a) A corrente elétrica pode ser considerada uma vazão de cargas elétricas. Como vimos no Capítulo 14, a vazão é o produto da área da seção reta do fluido em movimento pela velocidade média das partículas do fluido. Assim, i = rAv, na qual r é a carga por unidade de volume. Se a seção reta é circular, i = rpR2v. (b) Como um coulomb por segundo corresponde a um ampère, temos: i = (1,1 × 10 −3 C/m 3 )  (0, 050 m)2 (2, 0 m/s) = 1, 7 × 10 −5 A = 17  A. (c) O movimento das cargas não é na mesma direção que a da diferença de potencial calculada no Problema 70 do Capítulo 24. Basta pensar (por analogia) na Eq. 7-48; o produto escalar na     equação P = F ⋅ v deixa claro que P = 0 se F ⊥ v . Isto sugere que uma diferença de potencial radial e um movimento de cargas longitudinal não podem se combinar para produzir uma transferência de energia na forma de uma centelha. (d) Supondo que existe uma tensão igual à calculada no Problema 70 do Capítulo 24, com a orientação adequada para permitir que a energia seja transferida para uma centelha, podemos usar o resultado desse problema na Eq. 26-26: P = iV = (1, 7 × 10 −5 A)(7, 8 × 10 4 V) = 1, 3 W. (e) Se a centelha durou 0,20 s, a energia transferida foi (1,3 W)(0,20 s) = 0,27 J. (f) Como o resultado do item (e) é maior que a energia necessária para produzir uma centelha (0,15 J), concluímos que é provável que a centelha tenha acontecido na saída do cano, ou seja, na entrada do silo. 61. (a) A carga que atinge a superfície em um intervalo de tempo ∆t é dada por ∆q = i ∆t, na qual i é a corrente. Como cada partícula possui uma carga 2e, o número de partículas que atingem a superfície é N= q it (0, 25 × 10 −6 A)(3, 0 s) = 2, 3 × 1012. = = 2e 2e 2(1, 6 × 10 −19 C)) (b) Seja N′ o número de partículas em um segmento do feixe de comprimento L. Todas essas partículas passam pela seção reta do feixe na extremidade do segmento em um intervalo de tempo ∆t = L/v, na qual v é a velocidade das partículas. Como a corrente i é a carga que passa pela seção reta por unidade de tempo, i= 2eN ′ 2eN ′v , = t L SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS o que nos dá N′ = iL/2ev. Para calcular a velocidade das partículas, partimos do fato de que a energia cinética de uma partícula é K = 20 MeV = (20 × 10 6 eV)(1, 60 × 10 −19 J/eV) = 3, 2 × 10 −12 J. Como K = mv2/2, a velocidade é v = 2 K m . Como a massa de uma partícula alfa é aproximadamente 4 vezes maior que a massa de um próton, m ≈ 4(1,67 × 10–27 kg) = 6,68 × 10–27 kg, o que nos dá v= 2(3, 2 × 10 −12 J) = 3,1 × 10 7 m/s 6,68 × 10 −27 kg e N′ = ( 0, 25 × 10 −6 ) ( 20 × 10 −2 m ) = 5, 0 × 103. iL = 2ev 2 (1, 60 × 10 −19 C ) ( 3,1 × 10 7 m/s ) (c) De acordo com a lei de conservação da energia, a soma da energia potencial inicial com a energia cinética inicial é igual à soma da energia potencial final com a energia cinética final. Sabemos que a energia potencial inicial é Ui = q∆V = 2e∆V, na qual ∆V é a diferença de potencial que queremos calcular, a energia cinética inicial é Ki = 0, a energia potencial final Uf é zero e a energia cinética final é Kf = 20 MeV. Assim, Ui = 2e∆V = Uf + Kf − Ki = 0 + 20 MeV − 0 ⇒ ∆V = (20 MeV)/2e = 10 MV. 62. De acordo com a Eq. 26-28, R= V 2 (200 V)2 = = 13, 3  . P 3000 W 63. Combinando a Eq. 26-28 com a Eq. 26-16, é fácil mostrar que a potência é inversamente proporcional ao comprimento (quando a tensão permanece constante, como neste caso). Assim, como o novo comprimento é 7/8 do comprimento original, a nova potência é P= 8 (2, 0 kW) = 2, 4 kW. 7 64. (a) Como P = i2R = J 2A2R, a densidade de corrente é J= 1 A P 1 = R A P =  L /A P =  LA  (3,5 × 10 −5 1, 0 W  ⋅ m) (2, 0 × 10 −2 m) (5, 0 × 10 −3 m)2 = 1, 3 × 10 5 A/m 2 . (b) Como P = iV = JAV, temos: V= P P 1, 0 W = = = 9, 4 × 10 −2 V = 94 mV. 2 3 − AJ  r J  (5, 0 × 10 m)2 (1, 3 × 10 5 A/m 2 ) 65. Podemos usar a relação P = i2R = i2rL/A, que nos dá L/A = P/i2r. (a) Chamando os novos valores de seção reta e comprimento de A′ e L′, respectivamente, temos: L′  P  L 30  P  30 L = = = 1, 875 . = A′  i 2   novo 4 2  i 2   antigo 16 A A 139 140 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Como a densidade do fio não mudou, L′A′ = LA, o que nos dá A′ = LA/L′. Substituindo A′ por LA/L′ na equação apresentada, obtemos ( L ′)2 = 1, 875 L2 ⇒ L ′ = 1, 875 L = 1, 37 L ⇒ L′ = 1, 37. L (b) Substituindo L′ por LA/A′ na equação do item (a), obtemos ( A ′) 2 = A2 ⇒ 1, 875 A′ = A A = 1, 875 1, 37 ⇒ A′ = 0, 730. A iV (10 A)(12 V) 66. P = 0, 80 = (0, 80)(746 W/hp) = 0, 20 hp. 67. (a) Como P = V 2/R ∝ V 2, ∆P ∝ ∆V 2 ≈ 2V ∆V e, portanto, a queda percentual é 110 − 115 P V =2 =2 = −0, 86 = −8, 6% 115 P V (b) Uma redução de V causa uma diminuição de P, o que, por sua vez, diminui a temperatura do resistor. Com isso, a resistência R do resistor diminui. Como P ∝ R–1, uma diminuição de R resulta em um aumento de P, que compensa parcialmente a redução de P causada pela redução de V. Assim, a redução real de P é menor que a redução calculada sem levar em conta a variação de temperatura do resistor. 68. De acordo com a Eq. 26-17, r – r0 = ra(T – T0). Explicitando T e supondo que r/r0 = R/ R0, obtemos: T = T0 +  58    1  1 − 1 = 57 °C. − 1 = 20 °C +   0  4, 3 × 10 −3 K −1  50   69. De acordo com a Eq. 26-28, temos: P= V 2 (90 V)2 = = 20, 3 W R 400  e a energia consumida é (20,3 W)(2,00 × 3600 s) = 1,46 × 105 J = 146 kJ. 70. (a) A diferença de potencial entre as extremidades da lagarta é V = iR = i L (12 A) (1, 69 × 10 −8  ⋅ m) (4, 0 × 10 −2 m) = = 3, 8 × 10 −4 V. A  (2, 6 × 10 −3 m)2 (b) Como a lagarta está se movendo no sentido da deriva dos elétrons, que é contrário ao sentido da corrente, a cauda da lagarta é negativa em relação à cabeça. (c) Como a lagarta se move com a mesma velocidade que a velocidade de deriva dos elétrons no fio, temos: t= L lAne  Ld 2 ne  (1, 0 × 10 −2 m) (5, 2 × 10 −3 m))2 (8, 49 × 10 28 m − 3 ) (1, 60 × 10 −19 C) = = = 4i vd i 4(12 A) = 240 s = 4 min . 71. (a) Fazendo r = 2r0 na Eq. 26-17, na qual r0 é a resistividade à temperatura T0, temos:  − 0 = 20 − 0 = 0 ( T − T0 ) , SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Explicitando a temperatura T, obtemos: T = T0 + 1 1 = 20 °C + ≈ 250 °C.  4, 3 × 10 −3 K −1 Na Fig. 26-10, tomando uma ordenada igual ao dobro da ordenada para T = 20 + 273 = 293 K, que é 1,69 × 10−8 Ω . m, obtemos r ≈ 3,4 × 10−8 Ω . m. A temperatura correspondente é ≈ 520 K = 247 oC, um valor bem próximo do que foi calculado antes. (b) Sim; como a Eq. 26-17 envolve a resistividade, e não a resistência, a ìtemperatura para o dobro da resistênciaî não depende de fatores geométricos como a forma e o tamanho da amostra. 72. De acordo com a Eq. 26-16, R=  L (3, 00 × 10 −7  ⋅ m)(10, 0 × 103 m) = = 0, 536 . A 56, 0 × 10 −4 m 2 73. A potência fornecida ao líquido na forma de calor é P = iV = (5,2 A)(12 V) = 62,4 W. Isso significa que uma energia térmica de 62,4 J é fornecida ao líquido por segundo. Assim, de acordo com a Eq. 18-16, o calor de vaporização do líquido é L= Q 62, 4 J = = 3, 0 × 10 6 J/kg. m 21 × 10 −6 kg 74. De acordo com a Eq. 26-7, temos:  2, 0 × 106 A/m 2 |J| vd = = = 1, 47 × 10 −4 m/s . ne (8, 49 × 10 28 /m 3 )(1, 6 × 10 −19 C) A esta velocidade média, o tempo necessário para que o elétron percorra uma distância L = 5,0 mé t= L 5, 0 m = = 3, 4 × 10 4 s. vd 1, 47 × 10 −4 m/s 75. A potência do tubo é o produto da corrente pela diferença de potencial: P = iV = (7, 0 × 10 −3 A)(80 × 103 V) = 560 W. 76. (a) A corrente é dada por i = (3,1 × 1018 + 1,1 × 1018)e A = (4,2 × 1018)(1,6 × 10−19) A = 0,67 A. (b) De acordo com a Eq. 26-11, como o campo elétrico aponta do eletrodo positivo para o eletrodo negativo, o sentido da densidade de corrente J também é do eletrodo positivo para o eletrodo negativo. 141 Capítulo 27 1. (a) Seja i a corrente no circuito e vamos tomar como positivo o sentido para a esquerda em R1. De acordo com a regra das malhas, e1 – iR2 – iR1 – e2 = 0. Explicitando i, temos: i= 1 −  2 12 V − 6, 0 V = = 0, 50 A. R1 + R2 4,0  + 8, 0  Como o valor calculado é positivo, o sentido da corrente é o sentido anti-horário. De acordo com a Eq. 26-27, se i é a corrente em um resistor R, a potência dissipada pelo resistor é dada por P = i2R. (b) PR1 = i2R1 = (0,50 A)2(4,0 Ω) = 1,0 W. (c) PR2 = i2R2 = (0,50 A)2(8,0 Ω) = 2,0 W. De acordo com a Eq. 26-26, se i é a corrente em uma fonte de fem â, P = iâ é a potência fornecida pela fonte se a corrente e a fem têm o mesmo sentido, e é a potência absorvida pela fonte, se a corrente e a fem têm sentidos opostos. (d) Pâ1 = ie1 = (0,50 A)(12 V) = 6,0 W. (e) Pâ2 = ie2 = (0,50 A)(6,0 V) = 3,0 W. (f) Como, no caso da fonte 1, a corrente tem o mesmo sentido que a fem, a fonte 1 está fornecendo energia ao circuito. (g) Como, no caso da fonte 2, a corrente e a fem têm sentidos opostos, a fonte 2 está recebendo energia do circuito. 2. A corrente no circuito é i = (150 V 2 50 V)/(3,0 Ω + 2,0 Ω) = 20 A. Como VQ + 150 V – (2,0 Ω)i = VP, VQ = 100 V + (2,0 Ω)(20 A) –150 V = –10 V. 3. (a) A diferença de potencial é V = â + ir = 12 V + (50 A)(0,040 Ω) = 14 V. (b) P = i2r = (50 A)2(0,040 Ω) = 1,0×102 W. (c) P9 = iV = (50 A)(12 V) = 6,0×102 W. (d) V = e – ir = 12 V – (50 A)(0,040 Ω) = 10 V. (e) Pr = i2r =(50 A)2(0,040 Ω) = 1,0×102 W. 4. (a) Como, de acordo com a regra das malhas, a queda de tensão no ramo superior deve ser 12 V, a queda de tensão no resistor 3 é 5,0 V. Isso significa que a corrente no ramo superior é i = (5,0 V)/(200 Ω) = 25 mA. Nesse caso, a resistência do resistor 1 é (2,0 V)/i = 80 Ω. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) A resistência do resistor 2 é (5,00 V)/(25 mA) = 200 Ω. 5. A energia química da bateria é reduzida de ∆E = qe, na qual q é a carga que passa pela bateria em um intervalo de tempo ∆t = 6,0 min e â é a fem da bateria. Se i é a corrente, q = i∆t e ∆E = ie∆t = (5,0 A)(6,0 V) (6,0 min) (60 s/min) = 1,1 × 104 J = 11 kJ. Note que foi necessário converter o tempo de minutos para segundos. 6. (a) O custo é (100 W · 8,0 h/2,0 W · h) ($0,80) = $3,2 ×฀102. (b) O custo é (100 W · 8,0 h/103 W · h) ($0,06) = $0,048. 7. (a) A energia química consumida pela bateria é U = Pt = (2, 0 V)2 (2, 0 min)(60 s/min)  2t = 80 J. = r+R 1,0  + 5, 0  (b) A energia dissipada pelo fio é 2 U′ = i 2 Rt 2   2, 0 V    Rt =  = (5, 0 )(2, 0 min)(60 s/min) = 67 J.   r + R  1,0  + 5, 0   (c) A energia dissipada pela bateria é U − U′ = 80 J − 67 J = 13 J. 8. Se P é a potência fornecida pela bateria e ∆t é um intervalo de tempo, a energia fornecida no intervalo de tempo ∆t é ∆E = P∆t. Se q é a carga que passa pela bateria no intervalo de tempo ∆t e â é a fem da bateria, ∆E = qe. Igualando as duas expressões de ∆E e explicitando ∆t, obtemos t = q (120 A ⋅ h)(12, 0 V) = = 14, 4 h. P 100 W 9. (a) O trabalho W realizado pela fonte é igual à variação de energia potencial: W = q∆V = eV = e(12,0 V) = 12,0 eV. (b) P = iV = neV = (3,40 × 1018/s)(1,60 × 10–19 C)(12,0 V) = 6,53 W. 10. (a) De acordo com a regra das malhas, i = (e2 – e1)/(r1 + r2 + R). Explicitando R, obtemos: R=  2 − 1 3, 0 V − 2, 0 V − 3, 0  − 3, 0  = 9, 9 × 10 2  . − r1 − r2 = i 1,0 × 10 −3 A (b) P = i2R = (1,0 × 10–3 A)2(9,9 × 102 Ω) = 9,9 × 10–4 W. 11. (a) se i é a corrente e ∆V é a diferença de potencial, a potência absorvida é dada por P = i∆V. Assim, V = P 50 W = = 50 V. i 1, 0 A Como existe uma dissipação de energia entre o ponto A e o ponto B, o ponto A está a um potencial mais elevado que o ponto B, ou seja, VA – VB = 50 V. (b) A diferença de potencial entre os pontos A e B é VA – VB = +iR + e, na qual e é a fem do dispositivo X. Assim, e = VA – VB – iR = 50 V – (1,0 A)(2,0 Ω) = 48 V. 143 144 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) Como o valor de e é positivo, o terminal positivo está do lado esquerdo e, portanto, o ponto B está ligado ao terminal negativo. 12. (a) Para cada fio, Rfio = rL/A, na qual A = pr2. Assim, temos: Rfio = (1,69 × 10−8 Ω . m)(0,200 m)/p(0,00100 m)2 = 0,0011 Ω. A carga resistiva total da fonte é, portanto, Rtot = 2Rfio + R =฀2(0,0011 Ω)฀+฀6,00 Ω฀=฀6,0022฀ Ω. A corrente do circuito é, portanto, i= 12, 0 V  = = 1, 9993 A Rtot 6,0022 e a diferença de potencial entre as extremidades do resistor é V = iR = (1,9993 A)(6,00 Ω) = 11,996 V ≈ 12,0 V. (b) A diferença de potencial entre as extremidades de um dos fios é Vfio = iRfio = (1,9993 A)(0,0011 Ω) = 2,15 mV. (c) PR = i2R = (1,9993 A)2(6,00 Ω) = 23,98 W ≈ 24,0 W. (d) Pfio = i2Rfio = (1,9993 A)2(0,0011 Ω) = 4,396 mW ≈ 4,40 mW. 13. (a) Se L é o comprimento do cabo e a é a resistência do cabo por unidade de comprimento, a resistência medida na extremidade leste é R1 = 100 Ω = 2a(L – x) + R e a resistência medida na extremidade oeste é R2 = 2ax + R. Assim, x= R2 − R1 L 200  − 100  10 km + = + = 6, 9 km. 4 2 4 (13  km ) 2 (b) Temos também: R= 100  + 200  R1 + R2 − L = − (13  km ) (10 km ) = 20 . 2 2 14. (a) Vamos chamar de V1 e V2 as fem das fontes. De acordo com a regra das malhas, V2 2 ir2 + V1 2 ir1 2 iR = 0 ⇒ i = V2 + V1 . r1 + r2 + R A diferença de potencial entre os terminais da fonte 1 é V1T = V1 − ir1 e a diferença de potencial entre os terminais da fonte 2 é V2T = V2 − ir2, na qual r1 e r2 são as resistências internas das fontes 1 e 2, respectivamente. Assim, V1T = V1 2 r1 (V2 + V1 ) r (V + V ) , V2T = V2 2 1 2 1 . r1 + r2 + R r1 + r2 + R De acordo com o enunciado, V1 = V2 = 1,20 V. De acordo com o gráfico da Fig. 27-32b, V2T = 0 e V1T = 0,40 V para R = 0,10 Ω. Substituindo esses valores nas equações anteriores, obtemos um sistema de duas equações com duas incógnitas, r1 e r2. Resolvendo esse sistema, obtemos r1 = 0,20 Ω. (b) A solução do sistema de equações também nos dá r2 = 0,30 Ω. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 15. Vamos chamar de V a fem da fonte. Nesse caso, V = iR = i9(R + R9), na qual i = 5,0 A, i9 = 4,0 A e R’ = 2,0 Ω. Explicitando R, obtemos: R= i ′R ′ (4, 0 A) (2, 0 ) = = 8, 0 . i − i ′ 5, 0 A − 4, 0 A 16. (a) Seja e a fem da célula solar e seja V a diferença de potencial entre os terminais da célula. Nesse caso, V V =  − ir =  −   r .  R Substituindo por valores numéricos, temos:  0,10 V  0,10 V =  −  r  500    0,15 V  0,15 V =  −  r.  1000   Resolvendo o sistema de equações anterior, obtemos: (a) r = 1,0 ×฀103 Ω = 1,0 kΩ. (b) e = 0,30 V. (c) A eficiência h é = V 2 /R 0,15 V = = 2, 3 × 10 −3 = 0, 23%. Pfornecida (1000  ) (5, 0 cm 2 )(2, 0 × 10 −3 W/cm 2 ) 17. Para obter a solução mais geral possível, vamos chamar de e1 e e2 as fem das fontes, embora tenham o mesmo valor. Como as fontes estão em série com a mesma polaridade, as fem se somam e a fem total é e1 + e2. A resistência total do circuito é Rtotal = R + r1 + r2. (a) A corrente no circuito é i= 1 +  2 . r1 + r2 + R Como a fonte 1 possui uma resistência interna maior, ela é a que pode apresentar uma diferença de potencial zero entre os terminais. Fazendo e1 = ir1, obtemos: R=  2r1 − 1r2 (12, 0 V)(0, 016 ) − (12, 0 V)(0, 012 ) = = 0, 004  . 1 12, 0 V Note que, como e1 = e2, R = r1 – r2. (b) Como foi visto no item (a), isso acontece com a fonte 1. 18. De acordo com as Eqs. 27-18, 27-19 e 27-20, temos: i1 = 1 ( R2 + R3 ) −  2 R3 (4, 0 V)(10  + 5, 0 ) − (1, 0 V)(5,0 ) = 0, 275 A , = R1 R2 + R2 R3 + R1 R3 (10 )(10 ) + (10 )(5, 0 ) + (10 )(5, 0 ) i2 = (4, 0 V)(5,0 ) − (1, 0 V)(10  + 5,0 ) 1 R3 −  2 ( R1 + R2 ) = 0, 025 A , = R1 R2 + R2 R3 + R1 R3 (10 ))(10 ) + (10 )(5, 0 ) + (10 )(5, 0 ) i3 = i2 − i1 = 0, 025A − 0, 275A = −0, 250 A. 145 146 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS A diferença de potencial Vd – Vc pode ser calculada de várias formas. Vamos dar dois exemplos: a partir de Vd – i2R2 = Vc, obtemos Vd – Vc = i2R2 = (0,0250 A)(10 Ω) = +0,25 V; a partir de Vd + i3R3 + e2 = Vc, obtemos Vd – Vc = i3R3 – e2 = – (– 0,250 A)(5,0 Ω) – 1,0 V = +0,25 V. 19. (a) Como Req < R, os dois resistores (R = 12,0 Ω e Rx) devem ser ligados em paralelo: Req = 3, 00  = Rx R R (12, 0 ) = x . R + Rx 12, 0  + Rx Explicitando Rx, obtemos: Rx = Req R (3, 00 )(12, 0 ) = − 3, 00 . R − Req (12, 0  − 3, 00 ) (b) Como foi visto no item (a), as duas resistências devem ser ligadas em paralelo. 20. Sejam as resistências dos dois resistores R1 e R2, com R1 < R2. De acordo com o enunciado, R1 R2 = 3, 0  R1 + R2 R1 + R2 = 16 Ω. Resolvendo o sistema de equações anterior, obtemos R1 = 4,0 Ω e R2 = 12 Ω. (a) A menor resistência é R1 = 4,0 Ω. (b) A maior resistência é R2 = 12 Ω. 21. A diferença de potencial entre os terminais dos resistores é V = 25,0 V. Como os resistores são iguais, a corrente em cada um é i = V/R = (25,0 V)/(18,0 Ω) = 1,39 A e a corrente na fonte é itotal = 4(1,39 A) = 5,56 A. Também podemos resolver o problema usando o conceito de resistência equivalente. A resistência equivalente de quatro resistores iguais em paralelo é 1 = Req 1 4 ∑ R = R. Quando uma diferença de potencial de 25,0 V é aplicada ao resistor equivalente, a corrente é igual à corrente total nos quatro resistores em paralelo. Assim, itotal = V 4V 4(25, 0 V) = = = 5, 56 A. Req R 18, 0  22. (a) Req (FH) = (10,0 Ω)(10,0 Ω)(5,00 Ω)/[(10,0 Ω)(10,0 Ω) + 2(10,0 Ω)(5,00 Ω)] = 2,50 Ω. (b) Req (FG) = (5,00 Ω) R/(R + 5,00 Ω), na qual R = 5,00 Ω + (5,00 Ω)(10,0 Ω)/(5,00 Ω + 10,0 Ω) = 8,33 Ω. Assim, Req (FG) = (5,00 Ω)(8,33 Ω)/(5,00 Ω + 8,33 Ω) = 3,13 Ω. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 23. Vamos chamar de i1 a corrente em R1 e tomar o sentido para a direita como positivo. Vamos chamar de i2 a corrente em R2 e tomar o sentido para cima como positivo. (a) Aplicando a regra das malhas à malha inferior, obtemos  2 − i1 R1 = 0, e, portanto, i1 =  2 5, 0 V = = 0, 050 A = 50 mA. R1 100  (b) Aplicando a regra das malhas à malha superior, obtemos 1 −  2 − 3 − i2 R2 = 0, e, portanto, i2 = 1 −  2 − 3 6, 0 V − 5,0 V − 4, 0 V = = −0, 060 A, R2 50  o que nos dá | i2 | = 0, 060 A = 60 mA. O sinal negativo indica que o sentido da corrente em R2 é para baixo. (c) Se Vb é o potencial no ponto b, o potencial no ponto a é Va = Vb + e3 + e2 e, portanto, Va – Vb = e3 + e2 = 4,0 V + 5,0 V = 9,0 V. 24. Os dois resistores em paralelo, R1 e R2, são equivalentes a 1 1 1 = + R12 R1 R2 ⇒ R12 = R1 R2 . R1 + R2 Como o resistor equivalente aos resistores R1 e R2 está em série com o resistor R3, a resistência dos três resistores é Req = R3 + R12 = 2, 50  + (4, 00 )(4, 00 ) = 4, 50 . 4, 00  + 4, 00  25. Seja r a resistência de um dos fios. Como os fios são todos iguais e estão em paralelo, temos: 1 9 = , R r o que nos dá R = r/9. Temos ainda r = 4 l/ d 2, na qual r é a resistividade do cobre, e R = 4 l/ D 2. Assim, 4 l 4 l = ⇒ D = 3d . 2 D 9 d 2 26. A parte de R0 ligada em paralelo com R é dada por R1 = R0x/L, na qual L = 10 cm. A diferença de potencial entre os terminais de R é VR = eR'/Req, na qual R9 = RR1/(R + R1) e Req = R0(1 – x/L) + R9. Assim, 2 PR =  VR2 1  100 R( x R0 )2  RR1 ( R + R1 ) = =  ,  R R  R0 (1 − x L ) + RR1 ( R + R1 )  (100 R R0 + 10 x − x 2 )2 na qual x está em cm. 147 148 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS O gráfico da potência dissipada no resistor R em função de x para e = 50 V, R = 2000 Ω e R0 = 100 Ω aparece na figura a seguir. 27. Como as diferenças de potencial são as mesmas para as duas trajetórias, V1 = V2, na qual V1 é a diferença de potencial associada à corrente que chega ao solo passando pelo corpo da pessoa e V2 é a diferença de potencial associada à corrente que chega ao solo sem passar pelo corpo da pessoa, e, portanto, i1R1 = i2R2. Como, de acordo com a Eq. 26-16, R = rL/A, na qual r é a resistividade do ar, temos: i1d = i2 h ⇒ i2 = i1 (d / h). Para d/h = 0,400 e I = i1 + i2 = 5000 A, obtemos i1 = 3571 A e i2 = 1429 A. Assim, a corrente que atravessa a pessoa é i1 = 3571 A ≈ 3,6 × 103 A. 28. A reta 1 tem uma inclinação R1 = 6,0 kΩ, a reta 2 tem uma inclinação R2 = 4,0 kΩ e a reta 3 tem uma inclinação R3 = 2,0 kΩ. A resistência equivalente de R1 e R2 em paralelo é R12 = R1R2/ (R1 + R2) = 2,4 kΩ. Como essa resistência está em série com R3, a resistência equivalente do conjunto é R123 = R12 + R3 = 2, 4 k + 2, 0 k = 4, 4 k. A corrente que atravessa a bateria é, portanto, i = â/R123 = (6 V)(4,4 kΩ) e a queda de tensão em R3 é (6 V)(2 kΩ)/(4,4 kΩ) = 2,73 V. Subtraindo este valor da tensão da bateria (por causa da regra das malhas), obtemos a tensão entre os terminais de R2. A lei de Ohm nos dá a corrente em R2: (6 V – 2,73 V)/(4 kΩ) = 0,82 mA. 29. (a) A resistência equivalente dos três resistores iguais R2 = 18 Ω é R = (18 Ω)/3 = 6,0 Ω, que, em série com o resistor R1 = 6,0 Ω, nos dá uma resistência equivalente em série com a bateria R9 = R1 + R = 12 Ω. Assim, a corrente em R9 é (12 V)/R9 = 1,0 A, que também é a corrente que atravessa R. Como essa corrente se divide igualmente pelos três resistores de 18 Ω, i1 = 0,333 A. (b) O sentido da corrente i1 é para a direita. (c) De acordo com a Eq. 26-27, P = i2R9 = (1,0 A)2(12 Ω) = 12 W. Assim, em 60 s, a energia dissipada é (12 J/s)(60 s) = 720 J. 30. Usando a regra das junções (i3 = i1 + i2), obtemos duas equações de malha: 10,0 V 2 i1R1 2 (i1 + i2) R3 = 0 5,00 V 2 i2R2 2 (i1 + i2) R3 = 0. (a) Resolvendo o sistema de equações anterior, obtemos i1 = 1,25 A e i2 = 0. (b) i3 = i1 + i2 = 1,25 A. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 31. (a) Chamando de R a resistência dos resistores, a resistência equivalente dos dois resistores da direita é R9 = R/2 = 1,0 Ω e a resistência equivalente dos dois resistores do canto superior esquerdo é R = 2R = 4,0 Ω. Com isso, a resistência equivalente do conjunto de cinco resistores é R + R ′ + R ′′ = 7, 0  . De acordo com a regra das malhas, a queda de tensão no conjunto é 12 V − 5,0 V = 7,0 V, e, portanto, a corrente é (7,0 V)/(7,0 Ω) = 1,0 A, no sentido horário. Assim, a queda de tensão em R9 é (1,0 A)(1,0 Ω) = 1,0 V, o que significa que a diferença de potencial entre a terra e V1 é 12 V – 1 V = 11 V. Levando em conta a polaridade da fonte e2, concluímos que V1 = −11 V. (b) A queda de tensão em R é (1,0 A)(4,0 Ω) = 4,0 V, o que significa que a diferença de potencial entre a terra e V2 é 5,0 + 4,0 = 9,0 V. Levando em conta a polaridade da fonte e1, concluímos que V2 = –9,0 V. Podemos verificar que o resultado está correto notando que a queda de tensão em R, (1,0 A)(2,0 Ω) = 2,0 V, é igual a V2 − V1. 32. (a) Aplicando a regra das malhas à malha da esquerda, obtemos e2 + i1 R1 2 e1 = 0. Como a fem e1 é mantida constante enquanto e2 e i1 variam, vemos que esta expressão, para grandes valores de e2, nos dá valores negativos para i1. Isso significa que a reta tracejada da Fig. 27-43b corresponde a i1, ou seja, a corrente na fonte 1. Como, de acordo com essa reta, i1 é zero para e2 = 6 V, a regra das malhas nos dá, para este valor de i1, e1 = e2 = 6,0 V. (b) De acordo com a reta tracejada da Fig. 27-43b, i1 = 0,20 A para e2 = 2,0 V. Aplicando a regra das malhas à malha da esquerda e usando o valor de e1 obtido no item (a), obtemos R1 = 20 Ω. (c) Aplicando a regra das malhas à malha da direita, obtemos e1 2 i1 R1 = i1R2. No ponto em que a reta que corresponde a i2 cruza o eixo horizontal (ou seja, no ponto e2 = 4 V, i2 = 0), i1 = 0,1 A. Isso nos dá R2 = (6, 0 V) − (0,1 A)(20 ) = 40  . 0,1 A 33. Note que V4, a queda de tensão em R4, é a soma das quedas de tensão em R5 e R6: V4 = i6(R5 +R6) = (1,40 A)(8,00 Ω + 4,00 Ω) = 16,8 V. Isso significa que a corrente em R4 é dada por i4 = V4/R4 = 16,8 V/(16,0 Ω) = 1,05 A. De acordo com a regra dos nós, a corrente em R2 é i2 = i4 + i6 = 1,05 A + 1,40 A = 2,45 A e, portanto, a queda de tensão em R2 é V2 = (2,00 Ω)(2,45 A) = 4,90 V. De acordo com a regra das malhas, a queda de tensão em R3 é V3 = V2 + V4 = 21,7 V e, portanto, a corrente em R3 é i3 = V3/(2,00 Ω) = 10,85 A. Assim, de acordo com a regra dos nós, a corrente em R1 é i1 = i2 + i3 = 2,45 A + 10,85 A = 13,3 A, o que significa que a queda de tensão em R1 é V1 = (13,3 A)(2,00 Ω) = 26,6 V e, portanto, de acordo com a regra das malhas, e = V1 + V3 = 26,6 V + 21,7 V = 48,3 V. 149 150 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 34. (a) De acordo com a regra das malhas, a diferença de potencial V1 não varia quando a chave é fechada. O objetivo deste item é verificar se o aluno apreendeu corretamente o conceito de tensão. Alguns estudantes confundem os conceitos de tensão e corrente e pensam que a tensão é dividida entre dois resistores em paralelo, o que seria difícil de conciliar com a resposta correta. (b) A regra das malhas continua válida, é claro, mas, neste caso, de acordo com a regra dos nós e a lei de Ohm, as quedas de tensão em R1 e R3, que eram iguais antes do fechamento da chave, passam a ser diferentes. Como uma corrente maior atravessa a bateria, a queda de tensão em R3 aumenta. Como, de acordo com a regra das malhas, a soma das quedas de tensão em R3 e em R1 é igual à tensão da bateria, isso significa que a queda de tensão em R1 diminui. Como R1 e R3 têm o mesmo valor, quando a chave estava aberta, a queda de tensão em R1 era (12 V)/2 = 6,0 V. De acordo com a Eq. 27-24, com a chave fechada, a resistência equivalente de R1 e R2 é 3,0 Ω, o que significa que a resistência total entre os terminais da bateria é 6,0 Ω + 3,0 Ω = 9,0 Ω. A corrente é, portanto, (12,0 V)/(9,0 Ω) = 1,33 A, o que significa que a queda de tensão em R3 é (1,33 A)(6,0 Ω) = 8,0 V. Nesse caso, de acordo com a regra das malhas, a queda de tensão em R1 é 12 V 2 8,0 V = 4,0 V. Assim, a variação da diferença de potencial V1 quando a chave é fechada é 4,0 V − 6,0 V = −2,0 V. 35. (a) A simetria do problema permite usar i2 como a corrente nos dois resistores R2 e i1 como a corrente nos dois resistores R1. Aplicando a regra das malhas às malhas ACD e ABCD, obtemos o seguinte sistema de equações:  − i2 R2 − i1 R1 = 0  − 2i1 R1 − (i1 − i2 ) R3 = 0 . Resolvendo o sistema de equações, obtemos i1 = 0,002625 A e i2 = 0,00225 A. Assim, VA 2 VB = i1R1 = 5,25 V. (b) De acordo com a regra dos nós, i3 = i1 2 i2 = 0,000375 A. Assim, VB 2 VC = i3R3 = 1,50 V. (c) VC 2 VD = i1R1 = 5,25 V. (d) VA 2 VC = i2R2 = 6,75 V. 36. (a) Aplicando a regra das malhas à malha da esquerda e à malha da direita, obtemos o seguinte sistema de equações: 1 − i2 R2 − (i2 + i3 ) R1 = 0  2 − i3 R3 − (i2 + i3 ) R1 = 0 , no qual tomamos o sentido horário da corrente i2 como positivo e o sentido anti-horário da corrente i3 como positivo. Resolvendo o sistema de equações, obtemos i2 = 0,0109 A e i3 = 0,0273 A. De acordo com a regra dos nós, i1 = i2 + i3 = 0,0382 A. (b) De acordo com o item (a), o sentido da corrente i1 é para baixo. (c) De acordo com o item (a), i2 = 0,0109 A. (d) De acordo com o item (a), o sentido da corrente i2 é para a direita. (e) De acordo com o item (a), i3 = 0,0273 A. (f) De acordo com o item (a), o sentido da corrente i3 é para a esquerda. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (g) O potencial elétrico no ponto A é igual à queda de tensão no resistor R1: VA = (0,0382 A) (100 Ω) = +3,82 V. 37. A queda de tensão em R3 é V3 = eR9/(R9 + R1), na qual R9 = (R2R3)/(R2 + R3). Assim, 2 2  V32 1   R′  1    2  ( 2, 00  ) ( 5, 00  + R3 )  P3 = = = = 1 +  R3 R3  R ′ + R1  R3  1 + R1 /R ′  R3  (5, 00  ) R3  = −2 2 f ( R3 ) Para maximizar P3, precisamos minimizar f(R3). Derivando f(R3) e igualando o resultado a zero, obtemos df ( R3 ) 4, 00  2 49 =− + = 0, 25 dR3 R32 o que nos dá (4, 00  2 )(25) = 1,43  . 49 R3 = 38. (a) Como a queda de tensão em R3 é V3 = iR3= (6,0 A)(6,0 Ω) = 36 V, a queda de tensão em R1 é (VA – VB) – V3 = 78 − 36 = 42 V, o que significa que a corrente em R1 é i1 = (42 V)/(2,0 Ω) = 21 A. Nesse caso, de acordo com a regra dos nós, a corrente em R2 é i2 = i1 − i = 21 A − 6,0 A = 15 A. De acordo com a Eq. 26-27, a potência total dissipada pelos resistores é i12 (2,0 Ω) + i22(4,0 Ω) + i 2(6,0 Ω) = 1998 W ≈ 2,0 kW. Por outro lado, a potência fornecida a esta parte do circuito é PA = iA (VA − VB) = i1(VA − VB) = (21 A)(78 V) = 1638 W. Assim, o elemento representado como “?” está fornecendo energia. (b) A potência fornecida pelo elemento desconhecido é (1998 − 1638)W = 3,6×102 W. 39. (a) Como as fontes são iguais e estão ligadas em paralelo, a diferença de potencial é a mesma entre os terminais das duas fontes. Isso significa que a corrente é igual nas duas fontes. Vamos chamar de i essa corrente e considerar o sentido da direita para a esquerda como positivo. De acordo com a regra dos nós, a corrente no resistor R é 2i e o sentido da corrente é da esquerda para a direita. Aplicando a regra das malhas à malha formada por uma das fontes e o resistor R, temos:   − ir − 2iR = 0 ⇒ i = . r + 2R A potência dissipada no resistor R é P = (2i)2 R = 4 2 R . (r + 2 R)2 151 152 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Para determinar o valor de R para o qual a potência é máxima, derivamos a equação anterior em relação a R e igualamos o resultado a zero: 4 2 16 2 R 4 2 (r − 2 R) dP = 0, = − = 3 3 (r + 2 R) (r + 2 R)3 dR (r + 2 R) o que nos dá R = r/2. Para r = 0,300 Ω, obtemos R = 0,150 Ω. (b) Fazendo R = r/2 na equação P = 4e2R/(r + 2R)2, obtemos Pmax = 4 2 (r / 2) 2 (12, 0 V)2 = 240 W. = = [r + 2(r / 2)]2 2r 2(0,3300 ) 40. (a) Como as fontes são iguais e estão ligadas em paralelo, a diferença de potencial é a mesma entre os terminais das duas fontes. Isso significa que a corrente é igual nas duas fontes. Vamos chamar de i essa corrente e considerar o sentido da direita para a esquerda como positivo. De acordo com a regra dos nós, a corrente no resistor R é iR = 2i e o sentido da corrente é da esquerda para a direita. Aplicando a regra das malhas à malha formada por uma das fontes e o resistor R, temos:  − ir − 2iR = 0 ⇒ iR = 2i = 2 2(12, 0 V) = 24, 0 A. = r + 2 R 0, 200  + 2(0, 400 ) (b) De acordo com a regra das malhas, quando as fontes estão ligadas em série, 2e฀−฀iRr – iRr – iRR = 0, o que nos dá iR = 2 2(12, 0 V) = = 30, 0 A. 2r + R 2(0, 200 ) + 0, 400  (c) No caso da ligação em série, como mostram os resultados dos itens (a) e (b). (d) Se R = r/2,00 e as fontes estão ligadas em paralelo, iR = 2 2(12, 0 V) = = 60, 0 A. r + 2 R 0, 200  + 2(0,100 ) (e) Se R = r/2,00 e as fontes estão ligadas em série, iR = 2 2(12, 0 V) = = 48, 0 A. 2r + R 2(0, 200 ) + 0,100  (f) No caso de ligação em paralelo, como mostram os resultados dos itens (d) e (e). 41. Vamos calcular primeiro as correntes. Seja i1 a corrente em R1, tomando como positivo o sentido da esquerda para a direita; seja i2 a corrente em R2, tomando como positivo o sentido da direita para a esquerda; seja i3 a corrente em R3, tomando como positivo o sentido de baixo para cima. De acordo com a regra dos nós, temos: i1 + i2 + i3 = 0 . Aplicando a regra das malhas à malha da esquerda, obtemos 1 − i1 R1 + i3 R3 = 0 e aplicando a regra das malhas à malha da direita, obtemos  2 − i2 R2 + i3 R3 = 0. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS A primeira equação nos dá i3 = 2i2 2 i1. Substituindo nas outras duas equações, obtemos 1 − i1 R1 − i2 R3 − i1 R3 = 0 e  2 − i2 R2 − i2 R3 − i1 R3 = 0. Resolvendo esse sistema de equações, obtemos i1 = 1 ( R2 + R3 ) −  2 R3 (3, 00 V)(2, 00  + 5, 00 ) − (1, 00 V)(5, 00 ) = R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 (4, 00 )(2, 00 ) + (4, 00 )(5, 00 ) + (2, 00 )(5, 00 ) = 0, 421 A. i2 =  2 ( R1 + R3 ) − 1 R3 (1, 00 V)(4, 00  + 5, 00 ) − (3, 00 V)(5, 00 ) = R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 (4, 00 )(2, 00 ) + (4, 00 )(5, 00 ) + (2, 00 )(5, 00 ) = −0,158 A. i3 = −  2 R1 + 1 R2 (1, 00 V)(4, 00 ) + (3, 00 V)(2, 00 ) =− R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 (4, 00 )(2, 00 ) + (4, 00 )(5, 00 ) + (2, 00 )(5, 00 ) = −0, 263 A. O sinal positivo de i1 indica que o sentido da corrente em R1 é da esquerda para a direita. O sinal negativo de i2 indica que o sentido da corrente em R2 é da esquerda para a direita. O sinal negativo de i3 indica que o sentido da corrente em R3 é de cima para baixo. (a) A potência dissipada em R1 é P1 = i12 R1 = (0, 421 A)2 (4, 00 ) = 0, 709 W. (b) A potência dissipada em R2 é P2 = i22 R2 = (−0,158 A)2 (2, 00 ) = 0, 0499 W ≈ 0,050 W. (c) A potência dissipada em R3 é P3 = i32 R3 = (−0, 263 A)2 (5, 00 ) = 0, 346 W. (d) A potência fornecida pela fonte 1 é i3e1 = (0,421 A)(3,00 V) = 1,26 W. (e) A potência “fornecida” pela fonte 2 é i2e2 = (–0,158 A)(1,00 V) = –0,158 W. O sinal negativo indica que a fonte 2 absorve energia do circuito. 42. A resistência equivalente do circuito da Fig. 27-52 é Req = R + R  n + 1 =  R. n  n  A corrente da fonte é in = Vfonte n Vfonte . = Req n +1 R Se houvesse n +1 resistores em paralelo, in +1 = Vfonte n + 1 Vfonte . = Req n+2 R 153 154 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Para um aumento relativo de 1,25% = 0,0125 = 1/80, devemos ter (n + 1) / (n + 2) 1 in +1 − in in +1 , −1= = −1= 80 in in n / (n + 1) o que nos dá a equação do segundo grau n2 + 2n 2 80 = (n + 10)(n 2 8) = 0. A única solução que tem significado físico é a solução positiva, n = 8. Isso significa que existem oito resistores em paralelo na Fig. 27-52. 43. Suponha que os resistores sejam divididos em grupos de n resistores, com os resistores de cada grupo ligados em série, e que m desses grupos sejam ligados em paralelo. Se R é a resistência de cada resistor, a resistência equivalente de um dos grupos é nR e a resistência equivalente Req do conjunto de m grupos satisfaz a equação 1 = Req m 1 m ∑ nR = nR . 1 Como, de acordo com o enunciado, Req = 10 Ω = R, devemos ter n = m. De acordo com a Eq. 27-16, como, por simetria, a corrente é a mesma em todos os resistores e existem (n)(m) = n2 resistores, a potência máxima que pode ser dissipada pelo conjunto é Ptotal = n2P, na qual P = 1,0 W é a potência máxima que pode ser dissipada por um dos resistores. Como devemos ter Ptotal ≥ 5,0 W = 5,0P, n2 deve ser maior ou igual a 5,0. Como n é um número inteiro, o menor valor possível de n é 3. Isso significa que o número mínimo de resistores é n2 = 9. 44. (a) Como os resistores R2, R3 e R4 estão em paralelo, a Eq. 27-24 nos dá uma resistência equivalente R= R2 R3 R4 (50, 0 )(50, 0 )(75, 0 )) = R2 R3 + R2 R4 + R3 R4 (50, 0 )(50, 0 ) + (50, 0 )(75, 0 ) + (50, 0 )(75, 0 ) = 18, 8  . Assim, considerando a contribuição do resistor R1, a resistência equivalente do circuito é Req = R1 + R = 100 Ω + 18,8 Ω = 118,8 Ω฀≈ 119 Ω. (b) i1 = e/Req = 6,0 V/(118,8 Ω) = 5,05 × 10–2 A = 50,5 mA. (c) i2 = (e – V1)/R2 = (e – i1R1)/R2 = [6,0 V – (5,05 × 10–2 A)(100 Ω)]/50 Ω = 1,90 × 10–2 A = 19,0 mA. (d) i3 = (e – V1)/R3 = i2R2/R3 = (1,90 × 10–2 A)(50,0 Ω/50,0 Ω) = 1,90 × 10–2 A = 19,0 mA. (e) i4 = i1 – i2 – i3 = 5,05 × 10–2 A – 2(1,90 × 10–2 A) = 1,25 × 10–2 A = 12,5 mA. 45. (a) Note que existem dois resistores R1 em série em cada ramo do circuito, que contribuem com uma resistência total 2R1 para o ramo correspondente. Como e2 = e3 e R2 = 2R1, as correntes em e2 e e3 são iguais: i2 = i3 = i. Assim, a corrente em e1 é i1 = 2i. Nesse caso, Vb – Va = e2 – iR2 = e1 + (2R1)(2i) e, portanto, i= 4, 0 V − 2, 0 V  2 − 1 = 0, 33 A. = 4 R1 + R2 4(1,0 ) + 2, 0  Assim, a corrente em e1 é i1 = 2i = 0,67 A. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) O sentido de i1 é para baixo. (c) A corrente em e2 é i2 = 0,33 A. (d) O sentido de i2 é para cima. (e) A corrente em e3 é i3 = i2 = 0,33 A. (f) O sentido de i3 é para cima. (g) Va – Vb = –iR2 + e2 = –(0,333 A)(2,0 Ω) + 4,0 V = 3,3 V. 46. (a) Quando R3 = 0, toda a corrente passa por R1 e R3. Como o valor dessa corrente, de acordo com o gráfico da Fig. 27-55b, é 6 mA, a lei de Ohm nos dá R1 = (12 V)/(0,006 A) = 2,0 ×฀103 Ω = 2,0 kΩ. (b) Quando R3 = ∞, toda a corrente passa por R1 e R2. Como o valor dessa corrente, de acordo com o enunciado, é 2,0 mA, a lei de Ohm nos dá R2 = (12 V)/(0,002 A) 2 R1 = 4,0 ×฀103 Ω = 4,0 kΩ. 47. Como o fio de cobre e a capa de alumínio estão ligados em paralelo, estão submetidos à mesma diferença de potencial. Como a diferença de potencial é igual ao produto da corrente pela resistência, iCRC = iARA, na qual iC é a corrente no cobre, iA é a corrente no alumínio, RC é a resistência do cobre e RA é a resistência do alumínio. A resistência dos componentes é dada por R = rL/A, na qual r é a resistividade, L é o comprimento e A é a área da seção reta. A resistência do fio de cobre é RC = rCL/pa2 e a resistência da capa de alumínio é RA = rAL/p(b2 – a2). Substituindo essas expressões na relação iCRC = iARA e cancelando os fatores comuns, obtemos iC C i  = 2A A 2 . 2 a b −a Fazendo iA = i − iC, na qual i é a corrente total, obtemos: iC = a 2  Ai . (b 2 − a 2 )C + a 2  A iA = (b 2 − a 2 )C i . (b 2 − a 2 )C + a 2  A Fazendo iC = i − iA, obtemos: O denominador é o mesmo nos dois casos: (b 2 − a 2 )C + a 2  A = [ (0, 380 × 10 −3 m)2 − (0, 250 × 10 −3 m)2 ] (1, 69 × 10 −8  ⋅ m) + (0, 250 × 10 −3 m)2 (2, 75 × 10 −8  ⋅ m) = 3,10 × 10 −15  ⋅ m 3 . Assim, (a) iC = (0, 250 × 10 −3 m)2 (2, 75 × 10 −8  ⋅ m)(2, 00 A) = 1,11 A. 3,10 × 10 −15  ⋅ m 3 (b) iA = [(0, 380 × 10 −3 m)2 − (0, 250 × 10 −3 m)2 ] (1, 69 × 10 −8  ⋅ m)(2, 00 A) = 0, 893 A. 3,10 × 10 −15  ⋅ m 3 155 156 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) Considere o fio de cobre. Se V é a diferença de potencial, V = iCRC = iCrCL/pa2, o que nos dá L=  a 2V ( π) (0, 250 × 10 −3 m)2 (12, 0 V) = 126 m. = iC C (1,11 A) (1, 69 × 10 −8  ⋅ m) 48. (a) De acordo com a Eq. 26-28, P = e2/Req, na qual Req = 7, 00  + (12, 0 ) (4, 00 ) R . (12, 0 ) (4, 0 ) + (12, 0 ) R + (4, 00 ) R Fazendo P = 60,0 W e e = 24,0 V, obtemos R = 19,5 Ω. (b) Como P ∝ 1/Req, o valor de R que maximiza P é o valor que minimiza Req, ou seja, R = 0. (c) Como P ∝ 1/Req, o valor de R que minimiza P é o valor que maximiza Req, ou seja, R = ∞. (d) Como Req, min = 7,00 Ω, Pmax = e2/Req, min = (24,0 V)2/7,00 Ω = 82,3 W. (e) Como Req, max = 7,00 Ω + (12,0 Ω)(4,00 Ω)/(12,0 Ω + 4,00 Ω) = 10,0 Ω, Pmin = e2/Req, max = (24,0 V)2/10,0 Ω = 57,6 W. 49. (a) A corrente em R1 é dada por i1 = 5, 0 V  = 1,14 A. = R1 + R2 R3 /(R2 + R3 ) 2,0  + (4, 0 )(6, 0 ) /(4, 0  + 6, 0 ) Assim, i3 =  − V1  − i1 R1 5, 0 V − (1,14 A)(2, 0 ) = = = 0, 45 A. R3 R3 6, 0  (b) Para descrever a nova situação, basta permutar os índices 1 e 3 na equação anterior, o que nos dá i3 = 5, 0 V  = 0, 6818 A. = R3 + R2 R1 /(R2 + R1 ) 6,0  + ( 2, 0  ) ( 4, 0  ) / ( 2, 0  + 4, 0  ) Assim, i1 = 5, 0 V − (0, 6818 A)(6,0 ) = 0, 45 A, 2, 0  o mesmo valor do item (a). 50. Como, de acordo com o enunciado, a resistência do amperímetro é desprezível, a queda de tensão no amperímetro é nula e, portanto, as correntes nos dois resistores de baixo têm o mesmo valor, que vamos chamar de i. Nesse caso, a corrente da fonte é 2i. Como a resistência equivalente do circuito é Req = (2 R)( R) ( R)( R) 7 + = R, 2R + R R+ R 6 temos: 2i = 3    . ⇒ i= = = Req 2 Req 2(7 R / 6) 7 R SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Aplicando a regra das malhas à malha da esquerda, obtemos:  − i2 R (2 R) − iR = 0 ⇒ i2 R =  − iR . 2R Fazendo i = 3e/7R, obtemos i2R = 2e/7R. Como a corrente no amperímetro é a diferença entre i2R e i, temos: iamp = i − i2 R = 3 2  − = 7R 7R 7R ⇒ iamp 1 = = 0,143.  /R 7 51. Como a corrente no amperímetro é i, a leitura do voltímetro é V9 = V + i RA= i (R + RA), o que nos dá R = V′/i − RA = R9 – RA, na qual R′ = V′/i é a resistência aparente. A corrente da fonte é dada por iF = e/(Req + R0), na qual 1 1 1 = + Req RV RA + R ⇒ Req = RV ( R + RA ) (300 )(85, 0  + 3, 00 ) = = 68, 0  . RV + R + RA 300  + 85, 0  + 3, 00  A leitura do voltímetro é V ′ = iF Req =  Req (12, 0 V)(68,0 ) = 4,86 V. = Req + R0 68,0  + 100  (a) A leitura do amperímetro é i= V′ 4,86 V = = 0, 0552 A = 55,2 mA. R + RA 85,0  + 3, 00  (b) Como foi visto no item anterior, a leitura do voltímetro é V′ = 4,86 V. (c) R′ = V′/i = 4,86 V/(0,0552 A) = 88,0 Ω. (d) Como R = R′ − RA, se RA diminui, a diferença entre R′ e R diminui. 52. (a) Como i = e/(r + Rext) e imax = e/r, Rext = r(imax/i – 1), na qual r = 1,50 V/1,00 mA = 1,50 × 103 Ω. Assim, Rext = (1, 5 × 103 )(1/ 0,100 − 1) = 1, 35 × 10 4  = 13, 5 k . (b) Rext = (1, 5 × 103 )(1/ 0, 500 − 1) = 1, 5 × 10 3  = 1, 50 k . (c) Rext = (1, 5 × 103 )(1/ 0.900 − 1) = 167  . (d) Como r = 20,0 Ω + R, R = 1,50 × 103 Ω – 20,0 Ω = 1,48 × 103 Ω฀=฀1,48 kΩ . 53. A corrente em R2 é i. Vamos chamar de i1 a corrente em R1 e tomar o sentido para baixo como positivo. De acordo com a regra dos nós, a corrente no voltímetro é i – i1. Aplicando a regra das malhas à malha da esquerda, temos:  − iR2 − i1 R1 − ir = 0. Aplicando a regra das malhas à malha da direita, temos: i1 R1 − ( i − i1 ) RV = 0. A segunda equação nos dá i= R1 + RV i1 . RV 157 158 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Substituindo na primeira equação, obtemos − ( R2 + r )( R1 + RV ) i1 + R1i1 = 0, RV o que nos dá i1 =  RV . ( R2 + r )( R1 + RV ) + R1 RV A leitura do voltímetro é i1 R1 = =  RV R1 ( R2 + r )( R1 + RV ) + R1 RV (3, 0 V)(5, 0 × 10 3 )(250 ) (300  + 100 )(250  + 5, 0 × 10 3 ) + (250 )(5, 0 × 103 ) = 1,12 V. A corrente na ausência do voltímetro pode ser obtida tomando o limite da expressão anterior quando RV → ∞, o que nos dá i1 R1 =  R1 (3, 0 V)(250 ) = = 1,15 V. R1 + R2 + r 250  + 300  + 100  O erro percentual é, portanto, (1,12 – 1,15)/(1,15) = –0,030 = –3,0%. 54. (a) e = V + ir = 12 V + (10,0 A) (0,0500 Ω) = 12,5 V. (b) e = V9 + (imotor + 8,00 A)r, na qual V9 = i9ARfaróis = (8,00 A) (12,0 V/10 A) = 9,60 V. Assim, imotor = 12, 5 V − 9, 60 V  −V′ − 8, 00 A = − 8, 00 A = 50, 0 A. r 0, 0500  55. Seja i1 a corrente em R1 e R2, considerada positiva se o sentido é para a direita em R1. Seja i2 a corrente em Rs e Rx, considerada positiva se o sentido é para a direita em Rs. A regra das malhas nos dá (R1 + R2)i1 2 (Rx + Rs)i2 = 0. Como o potencial é o mesmo nos pontos a e b, i1R1 = i2Rs, o que nos dá i2 = i1R1/Rs. Substituindo na primeira equação, obtemos ( R1 + R2 )i1 = ( Rx + Rs ) RR R1 i1 ⇒ Rx = 2 s . R1 Rs 56. As correntes em R e RV são i e i9 2 i, respectivamente. Como V = iR = (i9 2 i)RV, temos, dividindo ambos os membros por V, 1 = (i9 /V 2 i/V)RV = (1/R9 2 1/R)RV. Assim, 1 1 1 = − R R ′ RV ⇒ R′ = RRV . R + RV A resistência equivalente do circuito é Req = RA + R0 + R ′ = RA + R0 + RRV . R + RV SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (a) A leitura do amperímetro é i′ = =   = Req RA + R0 + RV R ( R + RV ) 12, 0 V 3,00  + 100  + ( 300  ) (85, 0  ) ( 300  + 85, 0  ) = 7, 09 × 10 −2 A. (b) A leitura do voltímetro é V = e – i' (RA + R0) = 12,0 V – (0,0709 A) (103,00 Ω) = 4,70 V. (c) A resistência aparente é R9 = V/i9 = 4,70 V/(7,09 × 10–2 A) = 66,3 Ω. (d) Se RV aumenta, a diferença entre R e R′ diminui. 57. Vamos chamar de V a fem da fonte. Nesse caso, a condição de que a diferença de potencial entre os terminais do resistor seja igual à diferença de potencial entre os terminais do capacitor pode ser escrita na forma iR = Vcap, o que, de acordo com as Eqs. 27-34 e 27-35, nos dá Ve−t /RC = V(1 − e−t/RC) ⇒ t = RC ln 2 = 0,208 ms. 58. (a) t = RC = (1,40 × 106 Ω)(1,80 × 10–6 F) = 2,52 s. (b) qo = eC = (12,0 V)(1,80 m F) = 21,6 mC. (c) De acordo com a Eq. 27-33, q = q0(1 – e–t/RC), o que nos dá  q    21,6 C = 3, 40 s. t = RC ln  0  = ( 2, 52 s ) ln   21,6 C − 16, 0 C   q0 − q  59. Enquanto o capacitor está sendo carregado, a carga da placa positiva é dada por q = C (1 − e − t  ) , na qual C é a capacitância, e é a fem aplicada e t = RC é a constante de tempo. A carga final é qf = Ce. No instante em que q = 0,99qf = 0,99Ce, 0, 99 = 1 − e − t  ⇒ e − t / = 0, 01. Tomando o logaritmo natural de ambos os membros, obtemos t/t = – ln 0,01 = 4,61 60. (a) De acordo com a Eq. 27-39, q = q0 e − t / , o que nos dá t = t ln (q0/q), na qual t฀ = RC é a constante de tempo. Assim,  q  t  3 t1 / 3 =  ln  0  =  ln   = 0, 41 ⇒ 1 / 3 = 0,41.  2   2q0 / 3   q  t (b) t2 / 3 =  ln  0  =  ln3 = 1,1 ⇒ 2 / 3 = 1,1.   q0 / 3  61. (a) A diferença de potencial entre os terminais do capacitor é V(t) = e(1 − e−t/RC). Como, para t = 1,30 ms, V(t) = 5,00 V, 5,00 V = (12,0 V)(1 – e–1,30 ms/RC), o que nos dá t = (1,30 m s)/ln(12/7) = 2,41 ms. (b) A capacitância é C = t/R = (2,41 ms)/(15,0 kΩ) = 161 pF. 159 160 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 62. O tempo necessário para que a diferença de potencial entre os terminais do capacitor atinja o valor VL é dado por VL =  (1 − e − t RC ). Para que a lâmpada pisque duas vezes por segundo, esse tempo deve ser igual a 0,500 s. Assim, R= t 0, 500 s = − 6 C ln [ ( − VL ) ] (0,150 × 10 F ) ln [ 95, 0 V (95, 0 V − 72, 0 V) ] = 2, 35 × 106  63. No instante t = 0, o capacitor está totalmente descarregado e se comporta como um curtocircuito. Seja i1 a corrente em R1, considerada positiva se o sentido for para a direita. Seja i2 a corrente em R2, considerada positiva se o sentido for para baixo. Seja i3 a corrente em R3, considerada positiva se o sentido for para baixo. De acordo com a regra dos nós, i1 = i2 + i3. Aplicando a regra das malhas à malha da esquerda, obtemos  − i1 R1 − i2 R2 = 0 , e aplicando a regra das malhas à malha da direita, obtemos i2 R2 − i3 R3 = 0 . Como as resistências são todas iguais, podemos substituir R1, R2 e R3 por R, o que nos dá o seguinte sistema de equações: i1 = i2 + i3  − i1 R − i2 R = 0 i2 − i3 = 0 . Resolvendo o sistema de equações, obtemos: (a) i1 = 2 2(1, 2 × 103 V) = 1,1 × 10 −3 A = 1,1 mA. = 3 R 3(0, 73 × 106 ) (b) i2 = 1, 2 × 10 3 V  = 5, 5 × 10 −4 A = 0,55 mA. = 3 R 3(0, 73 × 10 6 ) (c) i3 = i2 = 5, 5 × 10 −4 A = 0,55 mA. (d) Para t → ∞,฀ o capacitor está totalmente carregado e se comporta como um circuito aberto. Assim, i1 = i2, e a regra das malhas nos dá  − i1 R1 − i1 R2 = 0 ⇒ i1 = 1, 2 × 103 V  = 8, 2 × 10 −4 A = 0,82 mA. = 2 R 2(0, 73 × 106 ) (e) i2 = i1 = 8, 2 × 10 −4 A = 0,82 mA. (f) Como foi visto no item anterior, i3 = 0. Em um instante genérico, as equações obtidas, aplicando ao circuito a regra dos nós e a regra das malhas, são: i1 = i2 + i3  − i1 R − i2 R = 0 − q − i3 R + i2 R = 0 . C SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Substituindo i1 por i2 + i3 na segunda equação, obtemos e – 2i2R – i3R = 0, o que nos dá i2 = (e – i3R)/2R. Substituindo na terceira equação, obtemos –(q/C) – (i3R) + (â/2) – (i3R/2) = 0. Substituindo i3 por dq/dt, temos: 3 R dq q  + = . 2 dt C 2 Como a equação anterior é a equação de um circuito RC série com uma constante de tempo t = 3RC/2 e uma fem aplicada e/2, a solução é q= C (1 − e−2 t 3 RC ) . 2 A corrente no ramo do capacitor é i3 (t ) = dq  −2 t 3 RC = . e dt 3 R A corrente no ramo central é i2 (t ) =  i3   −2 t 3 RC  − = − = e (3 − e−2t 3 RC ) 2R 2 2R 6R 6R e a queda de tensão em R2 é V2 (t ) = i2 R =  (3 − e−2t 3 RC ) . 6 (g) Para t = 0, e−2 t 3 RC = 1 e V2 =  3 = (1, 2 × 103 V) 3 = 4, 0 × 10 2 V. (h) Para t → ∞, e−2 t 3 RC → 0 e V2 =  2 = (1, 2 × 203 V) 2 = 6, 0 × 10 2 V. (i) A figura a seguir mostra um gráfico de V2 em função do tempo. 64. (a) A diferença de potencial V entre as placas de um capacitor está relacionada à carga q da placa positiva através da equação V = q/C, na qual C é a capacitância. Como a carga de um capacitor que está se descarregando é dada por q = q0 e–t/t, isto significa que V = V0 e − t / , na qual V0 é a diferença de potencial inicial. Dividindo ambos os membros por V0 e tomando o logaritmo natural, obtemos: t 10, 0 s =− =− = 2,17 s. ln (V V0 ) ln [ (1, 00 V) (100 V) ] (b) No instante t = 17,0 s, t/t = (17,0 s)/(2,17 s) = 7,83 e, portanto, V = V0 e − t  = (100 V)e −7,83 = 3, 96 × 10 −2 V = 39,6 mV . 161 162 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 65. No regime estacionário, a tensão entre os terminais do capacitor é igual à queda de tensão em R2: V0 = R2   20, 0 V  = 12, 0 V. = (15, 0 k)  R1 + R2  10,0 k + 15, 0 k  Multiplicando a Eq. 27-39 pela capacitância, obtemos V = V0e2t/RC como a equação que descreve a tensão entre os terminais do capacitor (e entre os terminais de R2) depois que a chave é aberta. Assim, para t = 0,00400 s, temos: V = (12)e −0 ,004 (15.000 )( 0 ,4 × 10 −6 ) = 6,16 V. Assim, de acordo com a lei de Ohm, a corrente em R2 é 6,16/15.000 = 411 mA. 66. Para resolver o problema, aplicamos a Eq. 27-39 aos dois capacitores, levamos em conta o fato de que a razão entre as cargas é 1,5 e explicitamos o tempo t. Como as constantes de tempo dos dois circuitos são 1 = R1C1 = (20, 0 )(5, 00 × 10 −6 F ) = 1, 00 × 10 −4 s  2 = R2C2 = (10, 0 )(8, 00 × 10 −6 F ) = 8, 00 × 10 −5 s , temos: t= ln(3 / 2) ln(3 / 2) = 1, 62 × 10 −4 s = 162 s. = − − 1 1 4  2 − 1 1, 25 × 10 s −1 − 1, 00 × 10 4 s −1 67. A diferença de potencial entre as placas do capacitor varia com o tempo de acordo com a equação V (t ) = V0 e − t / RC . Para V = V0/4 e t = 2,0 s, obtemos R= t 2, 0 s = = 7, 2 × 105  = 0, 72 M. C ln( V0 V ) (2,0 × 10 −6 F ) ln 4 68. (a) Como a energia inicial armazenada no capacitor é UC = q02 / 2C , na qual C é a capacitância e q0 é a carga inicial de uma das placas, temos: q0 = 2CUC = 2(1, 0 × 10 −6 F )(0, 50 J) = 1, 0 × 10 −3 C. (b) A variação da carga com o tempo é dada por q = q0 e − t  , na qual t é a constante de tempo. Derivando essa expressão em relação ao tempo, obtemos i=− dq q0 − t  = e ,  dt o que mostra que a corrente inicial é i0 = q0/t. Como a constante de tempo é t = RC = (1,0 × 10−6 F)(1,0 × 106 Ω) = 1,0 s, obtemos: i0 = 1, 0 × 10 −3 C = 1, 0 × 10 −3 A. 1, 0 s (c) Fazendo q = q0 e − t  na relação VC = q/C, obtemos VC = q0 − t   1, 0 × 10 −3 C  − t 1, 0 s = (1, 0 × 103 V)e − t . e = e C  1,0 × 10 −6 F  (d) Fazendo i = (q0  )e − t  na relação VR = iR, obtemos VR = q0 R − t  (1, 0 × 10 −3 C)(1, 0 × 106 ) − t 1, 0 s = (1, 0 × 103 V)e − t . e = e  1, 0 s SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (e) Fazendo i = (q0  )e − t  na relação P = i2R, obtemos P= q02 R −2 t  (1, 0 × 10 −3 C)2 (1, 0 × 106 ) −2 t 1, 0 s e = e = e −2 t W. 2 (1, 0 s)2 69. (a) A carga da placa positiva do capacitor é dada por q = C (1 − e − t  ) , na qual C é a capacitância, e é a fem da fonte e t é a constante de tempo. O valor de t é t = RC = (3,00 × 106 Ω)(1,00 × 10–6 F) = 3,00 s. Para t = 1,00 s, t/t = (1,00 s)/(3,00 s) = 0,333 e a taxa de aumento de carga do capacitor é dq C − t  (1, 00 × 10 −6 F ) (4, 00 V) −0 ,333 = 9, 55 × 10 −7 C s = 0,955 C/s. = = e e  3, 00 s dt (b) A energia armazenada no capacitor é dada por UC = q2/2C e a taxa de variação da energia é dUC q dq = . dt C dt Como q = C (1 − e − t  ) = (1, 00 × 10 −6 )(4, 00 V)(1 − e −0 ,333 ) = 1,13 × 10 −6 C, temos: dUC q dq  1,13 × 10 −6 C  = = (9, 55 × 10 −7 C s) = 1, 08 × 10 −6 W = 1,08  W. dt C dt  1, 00 × 10 −6 F  (c) A taxa com a qual a energia é dissipada no resistor é dada por P = i2R. Como a corrente é 9,55 × 10–7 A, P = (9, 55 × 10 −7 A)2 (3, 00 × 10 6 ) = 2, 74 × 10 −6 W = 2,74  W. (d) A taxa com a qual a energia é fornecida pela fonte é i = (9, 55 × 10 −7 A)(4, 00 V) = 3, 82 × 10 −6 W = 3,82  W. Como a energia fornecida pela fonte é armazenada no capacitor ou dissipada no resistor, o valor obtido no item (d) é igual à soma dos valores obtidos nos itens (b) e (c): 3,82 mW = 1,08 mW + 2,74 mW. 70. (a) Por simetria, sabemos que as correntes no ramo superior e no ramo central do circuito têm o mesmo valor, que vamos chamar de i. Isto significa que a corrente no resistor R do ramo inferior é iR = 2i. Assim, chamando de r a resistência interna das fontes e de e a fem das fontes e aplicando a regra das malhas à malha externa do circuito, obtemos 3 ( − ir ) − (2i) R = 0 , o que nos dá i = 3,0 e iR = 2i = 6,0 A. (b) A diferença de potencial entre os terminais de uma das fontes é e – ir = 8,0 V. (c) De acordo com a Eq. 27-17, Pf = ie = (3)(20) = 60 W. (d) De acordo com a Eq. 26-27, Pr = i2r = 36 W. 71. (a) Com a chave S1 fechada e as chaves S2 e S3 abertas, ia = e/2R1 = 120 V/40,0 Ω = 3,00 A. 163 164 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Com as chaves S1 e S2 fechadas e a chave S3 aberta, temos: Req = R1 + R1 (R1 + R2) /(2R1 + R2) = 20,0 Ω + (20,0 Ω) × (30,0 Ω)/(50,0 Ω) = 32,0 Ω, o que nos dá ia = e/Req = 120 V/32,0 Ω = 3,75 A. (c) Com as três chaves fechadas, Req = R1 + R1 R9/(R1 + R9), na qual R9 = R2 + R1 (R1 + R2)/(2R1 + R2) = 22,0 Ω, o que nos dá Req = 20,0 Ω + (20,0 Ω) (22,0 Ω)/(20,0 Ω + 22,0 Ω) = 30,5 Ω, e, portanto, ia = e/Req = 120 V/30,5 Ω = 3,94 A. 72. (a) A resistência equivalente dos resistores R1, R2, R3 e R4 é dada por Req = R12 + R34 = R1 R2 RR + 3 4 = 7, 0  + 3, 0  = 10 . R1 + R2 R3 + R4 Como a fem da fonte está aplicada aos terminais de Req, temos: i2 = e/Req = (30,0 V)/(10 Ω) = 3,0 A. (b) A resistência equivalente dos resistores R5, R6 e R7 é Req ′ = R56 + R7 = R5 R6 (6,0 )(2,0 ) + R7 = + 1, 5  = 3, 0 . R5 + R6 6,0  + 2, 0  Como a fem da fonte está aplicada aos terminais de Req ′ , temos: ′ = (30,0 V)/(3,0 Ω) = 10 A. i4 = e/Req (c) De acordo com a regra dos nós, i1 = i2 + i4 = 13 A. (d) Por simetria, i3 = i2/2 = 1,5 A. (e) Aplicando a regra das malhas à malha que contém a fonte e os resistores R6 e R7, temos: 30V 2 i4(1,5 Ω) 2 i5(2,0 Ω) = 0, o que nos dá i5 = 7,5 A. 73. (a) O módulo da densidade de corrente no fio A (e também no fio B) é JA = i V 4V 4(60, 0 V) = = = 2  (0,127  + 0, 729 )(2, 60 × 10 −3 m)2 A ( R1 + R2 ) A ( R1 + R2 ) D = 1, 32 × 10 7 A m 2 . (b) VA = VR1 (60, 0 V)(0,127 ) = = 8, 90 V. R1 + R2 (0,127  + 0, 729 ) (c)  A = RA A  RA D 2  (0,127 )(2, 60 × 10 −3 m)2 = 1, 69 × 10 −8  ⋅ m. = = 4 LA 4 ( 40 , 0 m ) LA De acordo com a Tabela 26-1, o fio A é feito de cobre. (d) J B = J A = 1, 32 × 10 7 A m 2. (e) VB = V 2 VA = 60,0 V 2 8,9 V = 51,1 V. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (f)  B = RB A  RB D 2  (0, 729 )(2, 60 × 10 −3 m)2 = 9, 68 × 10 −8  ⋅ m .. = = 4 LB 4 ( 40 , 0 m ) LB De acordo com a Tabela 26-1, o fio B é feito de ferro. 74. O resistor do lado esquerdo da letra i está acima de três outros resistores; juntos, esses resistores são equivalentes a um resistor de resistência R = 10 Ω, que conduz uma corrente i. Como se estivéssemos procurando a saída de um labirinto, podemos encontrar um percurso entre as extremidades de R que passa apenas por fontes (10, no total). Como 7 dessas fontes têm uma polaridade e as outras 3 têm a polaridade oposta, a fem aplicada a R é e = 40 V. (a) A corrente é i = e/R = 4,0 A. (b) O sentido da corrente é de baixo para cima. 75. (a) No processo descrito no enunciado, a carga é constante. Assim, q = C1V1 = C2V2 ⇒ V2 = V1 C1  150  = ( 200 )  = 3, 0 × 103 V = 3,0 kV.  10  C2 (b) Multiplicando a Eq. 27-39 pela capacitância, obtemos V = V0e2t/RC como a equação que descreve a tensão entre os terminais do capacitor. Assim, V = V0 e − t RC V   3000  ⇒ t = RC ln  0  = ( 300 × 10 9  ) (10 × 10 −12 F ) ln  , V  100  o que nos dá t = 10 s. Este é um intervalo de tempo maior que o que as pessoas levam para fazer algo como manusear um equipamento eletrônico depois de se levantarem. (c) Nesse caso, temos que obter o valor de R na equação V = V0 e − t V0 = 1400 V e t = 0,30 s. O resultado é o seguinte: R= RC para os novos valores t 0, 30 s = = 1,1 × 1010  = 11 G . 12 − C ln (V0 V ) (10 × 10 F ) ln (1400 100 ) 76. (a) Podemos reduzir o par de resistores em paralelo na parte de baixo do circuito a um único resistor R′ =1,00 Ω e combinar esse resistor com um resistor em série para obter um resistor equivalente R′′ = 2,00 Ω + 1,00 Ω = 3,00 Ω. A corrente em R′′ é a corrente i1 que precisamos calcular. Aplicando a regra das malhas a uma malha que inclui R′′ e as três fontes e supondo que o sentido da corrente i1 é da direita para a esquerda, obtemos: 5,00 V + 20,0 V −10,0 V − i1R = 0, o que nos dá i1 = 5,00 A. (b) Como o valor obtido para i1 no item (a) foi positivo, o sentido da corrente é o que foi escolhido inicialmente, ou seja, da direita para a esquerda. (c) Como o sentido da corrente da fonte 1 é do terminal negativo para o terminal positivo, a fonte 1 está fornecendo energia. (d) A potência fornecida pela fonte 1 é P1 = (5,00 A)(20,0 V) = 100 W. (e) Reduzindo os resistores que estão em paralelo com a fonte e2 a um único resistor R9 = 1,00 Ω, através do qual passa uma corrente i9= (10,0 V)//(1,00 Ω) = 10,0 A, de cima para baixo, vemos que, de acordo com a regra dos nós, a corrente na fonte e2 é i = i9 − i1 = 5,00 A para cima, ou seja, do terminal negativo para o terminal positivo. Isso significa que a fonte 2 está fornecendo energia. 165 166 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (f) De acordo com a Eq. 27-17, P2 = (5,00 A)(10,00 V) = 50,0 W. (g) O conjunto de resistores em paralelo com a fonte â3 pode ser reduzido a um único resistor R = 0,800 Ω (associando primeiro dois resistores em série e depois associando o resistor equivalente a dois resistores em paralelo), através do qual passa uma corrente i = (5,00 V)/ (0,800 Ω) = 6,25 A de cima para baixo. De acordo com a regra dos nós, a corrente na fonte e3 é i = i + i1 = 11,25 A para cima, ou seja, do terminal negativo para o terminal positivo. Isso significa que a fonte 3 está fornecendo energia. (h) De acordo com a Eq. 27-17, P3 = (11,25 A)(5 V) = 56,3 W. 77. Vamos usar o índice s para indicar silício, o índice f para indicar ferro e chamar de T0 a temperatura de referência. As resistências dos dois resistores são dadas por Rs ( T ) = Rs ( T0 ) 1 + s ( T − T0 )  , R f ( T ) = R f ( T0 ) 1 +  f ( T − T0 )  . Como os resistores estão ligados em série, R ( T ) = Rs ( T ) + R f ( T ) = Rs ( T0 ) 1 + s ( T − T0 )  + R f ( T0 ) 1 +  f ( T − T0 )  = Rs ( T0 ) + R f ( T0 ) +  Rs ( T0 ) s + R f ( T0 )  f  ( T − T0 ) . Para que R(T) não dependa da temperatura e seja igual a 1000 Ω, devemos ter: Rs(T0)as + Rf(T0)af = 0 Rs(T0) + Rf(T0) = 1000 Ω. Resolvendo o sistema de equação anterior, obtemos: (a) Rs ( T0 ) = R f (1000 )(6, 5 × 10 −3 K −1 ) = = 85, 0  .  f − s (6, 5 × 10 −3 K −1 ) − (−70 × 10 −3 K −1 ) (b) Ri(T0) = 1000 Ω – 85,0 Ω = 915 Ω฀. Nota: Só é possível construir um resistor desse tipo usando materiais, como o ferro e o silício, cujos coeficientes de temperatura da resistividade têm sinais opostos. Mesmo assim, a variação da resistência com a temperatura, embora pequena, não é exatamente zero, já que o próprio coeficiente de temperatura da resistividade varia com a temperatura, e a variação é diferente em diferentes materiais. É por isso que o enunciado do problema se refere a “um resistor cuja resistência varia muito pouco com a temperatura” e não a “um resistor cuja resistência não varia com a temperatura”. 78. Como a corrente no amperímetro é iA = e/(r + R1 + R2 + RA) e a corrente em R1 e R2 sem o amperímetro é i = e/(r + R1 + R2), o erro percentual é i i − i A r + R1 + R2 RA 0,10  = = = = 1− i i r + R1 + R2 + RA r + R1 + R2 + RA 2, 0  + 5, 0  + 4, 0  + 0,10  = 0, 90%. 79. (a) Como, de acordo com a Eq. 27-34, i(t) = (e/R)e–t/RC, a energia total fornecida pela fonte é U= ∫ ∞ 0 i dt = 2 R ∫ ∞ 0 e− t RC dt e, de acordo com a Eq. 25-22, UC = Ce2/2, temos: UC = U . 2 = C 2 = 2UC , SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Integrando o produto i2R, temos: UR = ∫ ∞ 0 i 2 Rdt = 2 R ∫ ∞ 0 e −2 t RC dt 1 2 U C = . 2 2 = 80. Como, no regime estacionário, a corrente nos capacitores é zero, a corrente é a mesma nos três resistores. De acordo com a regra das malhas, 20,0 V = (5,00 Ω)i + (10,0 Ω)i + (15,0 Ω)i, o que nos dá i = 2/3 A. Isso significa que a queda de tensão em R1 é (5,00 Ω)(2/3 A) = 10/3 V, que é também a tensão V1 entre os terminais do capacitor C1. De acordo com a Eq. 25-22, a energia armazenada no capacitor C1 é 2 1 1  10  U1 = C1V12 = (5, 00 × 10 −6 F )  V = 2, 78 × 10 −5 J.  3  2 2 A queda de tensão em R2 é (10,0 Ω)(2/3 A) = 20/3 V, que é também a tensão V2 entre os terminais do capacitor C2. Assim, 2 U2 = 1 1  20  C2V22 = (10, 0 × 10 −6 F )  V = 2, 22 × 10 −5 J.  3  2 2 A energia total armazenada nos capacitores é U1 + U2 = 2,50 × 10−4 J = 250 mJ. 81. A queda de tensão em R2 é V2 = iR2 =  R2 (12 V)(4, 0 ) = 4, 0 V. = R1 + R2 + R3 3, 0  + 4, 0  + 5, 0  82. Como Va – e1 = Vc – ir1 – iR e i = (e1 – e2)/(R + r1 + r2), temos:   −  Va − Vc = 1 − i(r1 + R) = 1 −  1 2  ( r1 + R )  R + r1 + r2    4, 4 V − 2,1 V (2, 3  + 5, 5 ) = 4, 4 V −   5, 5  + 1, 8  + 2, 3   = 2, 5 V. 83. A diferença de potencial entre os terminais do capacitor é V (t ) = V0 e − t / RC (a) Para tmin = 10,0 ms, Rmin = ⇒ R= 10, 0 s ( 0, 220 F ) ln (5, 00 (b) Para tmax = 6,00 ms, V (t ) = V0 e − t / RC ⇒ R= t . C ln (V0 V ) 0, 800 ) = 24, 8  . t . C ln (V0 V ) 84. (a) Quando Rboia = 140 Ω, i = 12 V/(10 Ω + 140 Ω) = 8,0 × 10−2 A = 80 mA. (b) Quando Rboia = (140 Ω + 20 Ω)/2 = 80 Ω, i = 12 V/(10 Ω + 80 Ω) = 0,13 A. (c) Quando Rboia = 20 Ω,฀i = 12 V/(10 Ω + 20 Ω) = 0,40 A. 167 168 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 85. Como a resistência interna da bateria é r = (12 V – 11,4 V)/50 A = 0,012 Ω฀< 0,020 Ω, a bateria está em boas condições. Por outro lado, a resistência do cabo é R = 3,0 V/50 A = 0,060 Ω > 0,040 Ω, o que mostra que o componente defeituoso é o cabo. 86. Quando os resistores são ligados em série, a potência dissipada é Ps = e2/(R1 + R2). Quando os resistores são ligados em paralelo, a potência dissipada é Pp = e2(R1 + R2)/R1R2. Fazendo Pp /Ps = 5, obtemos (R1 + R2)2/R1R2 = 5, o que nos dá a equação do segundo grau R22 − 3 R1 R2 + R1 = 0, cujas soluções, para R1 = 100 Ω, são R2 = 300 ± 90.000 − 40.000 300 ± 224 = . 2 2 (a) A menor solução é R2 = (300 − 224)/2 = 38 Ω. (b) A maior solução é R2 = (300 + 224)/2 = 262 Ω. 87. Quando a chave S permanece aberta por um longo tempo, a carga do capacitor C é qi = e2C. Quando a chave S permanece fechada por um longo tempo, a corrente i em R1 e R2 é i = (e2 – e1)/(R1 + R2) = (3,0 V – 1,0 V)/(0,20 Ω + 0,40 Ω) = 3,33 A. A diferença de potencial V entre as placas do capacitor é, portanto, V = e2 – iR2 = 3,0 V – (3,33 A) (0,40 Ω) = 1,67 V. Como a carga final do capacitor C é qf = VC, a variação da carga do capacitor é ∆q = qf – qi = (V – e2)C = (1,67 V – 3,0 V) (10 m F) = –13 m C. 88. De acordo com a regra das malhas e a regra dos nós, temos: 20, 0 − i1 R1 − i3 R3 = 0 20, 0 − i1 R1 − i2 R2 − 50 = 0 i2 + i3 = i1 Fazendo i1 = 0, R1 = 10,0 Ω e R2 = 20,0 Ω nas equações anteriores, obtemos: i1 = 40 − 3 R3 =0 20 + 3 R3 ⇒ R3 = 40 = 13, 3 . 3 89. Os dois resistores de baixo estão ligados em paralelo e equivalem a uma resistência de 2,0R. Essa resistência está em série com uma resistência R do lado direito, o que resulta em uma resistência equivalente R9 = 3,0R. Os resistores do canto superior esquerdo estão ligados em série e equivalem a uma resistência R = 6,0R. Finalmente, as resistências R9 e R estão ligadas em paralelo, o que nos dá uma resistência equivalente total Req = R ′R ′′ = 2, 0 R = 20  . R ′ + R ′′ 90. (a) De acordo com as Eqs. 26-27 e 27-4, a potência é dada por P = i2 R = 2R ( R + r )2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Derivando a potência em relação a R e igualando o resultado a zero, obtemos: dP d   2 R   2 (r − R) = = 0, = dR dR  ( R + r )2  ( R + r )3 cuja solução é R = r. (b) Para R = r, a potência dissipada no resistor externo é Pmax = 2R ( R + r )2 = R=r 2 . 4r 91. (a) Aplicando a regra das malhas à malha da esquerda, obtemos: i1 =  12, 0 V = = 3, 00 A. R 4, 00  (b) O sentido de i1 é para baixo. (c) Aplicando a regra das malhas à malha central, obtemos:  i  2 + (+i1 R) + (−i2 R) +  − 2  2  R + (−i2 R) = 0.  Usando o resultado do item (a), obtemos i2 = 1,60 A. (d) O sentido de i2 é para baixo. (e) Como o sentido das duas correntes é para baixo, o sentido da corrente na fonte 1 é do terminal negativo para o terminal positivo e, portanto, a fonte 1 está fornecendo energia. (f) De acordo com a regra dos nós, a corrente na fonte 1 é 3,00 A + 1,60 A = 4,60 A; de acordo com a Eq. 27-17, P = (4,60 A)(12,0 V) = 55,2 W. (g) Como o sentido da corrente na fonte 2 é do terminal negativo para o terminal positivo, a fonte 2 está fornecendo energia. (h) De acordo com a Eq. 27-17, P = i2(4,00 V) = 6,40 W. 92. A resistência equivalente de R3 e R4 em série é R34 = 4,0 Ω e a resistência equivalente de R1 e R2 em paralelo é R12 = 2,0 Ω. Como a queda de tensão em R34 é igual à queda de tensão em R12, V34 = V12 ⇒ i34 R34 = i12 R12 ⇒ i34 = 1 i12 . 2 De acordo com a regra dos nós, I = i12 + i34 = 6,00 A. Combinando as duas equações, obtemos: 2i12 + i12 = 12,00 A ⇒ i12 = 4,00 A. Como a corrente i12 se divide igualmente entre os resistores R1 e R2, i1 = i12/2 = 2,00 A. 93. (a) Como P = V 2/R, V = PR = (10 W)(0,10 ) = 1, 0 V. 169 170 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Como i = V/R = (e – V)/r, temos:  1, 5 V − 1, 0 V   −V = ( 0,10  )  r = R  = 0, 050  .  V  1, 0 V  94. (a) Req(AB) = 20,0 Ω/3 = 6,67 Ω (três resistores de 20,0 Ω em paralelo). (b) Req(AC) = 20,0 Ω/3 = 6,67 Ω (três resistores de 20,0 Ω em paralelo). (c) Req(BC) = 0 (os pontos B e C estão ligados por um fio condutor). 95. A potência máxima que pode ser dissipada é (120 V)(15 A) = 1800 W. Como 1800 W/500 W = 3,6, o número máximo de lâmpadas de 500 W é 3. 96. Vamos chamar de V a fem da fonte. De acordo com a Eq. 27-30, i= V q 12 V 8 × 10 −6 C − = − = 2, 5 A. R RC 4  (4 )(4 × 10 −6 F) 97. Quando as fontes estão ligadas em paralelo, a fem total é e,฀ a resistência equivalente é Rparalelo = R + r/N e a corrente é iparalelo =  Rparalelo = N  = . R + r /N NR + r Quando as fontes estão ligadas em série, a fem total é Ne, a resistência equivalente é Rsérie = R + Nr e a corrente é isérie = N N = . Rsérie R + Nr Comparando as duas expressões, vemos que, para R = r, iparalelo = isérie = N . ( N + 1)r 98. Com R2 e R3 em paralelo associadas com R1 em série, a resistência equivalente do circuito é Req = R1 + R2 R3 R R + R1 R3 + R2 R3 = 1 2 R2 + R3 R2 + R3 e a corrente é i=  ( R2 + R3 ) = . Req R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 A potência fornecida pela fonte é P = i = ( R2 + R3 ) 2 . R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 (a) Para determinar o valor de R3 que maximiza P, derivamos P em relação a R3. Depois de algumas transformações algébricas, obtemos dP R22 2 =− . ( R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 )2 dR3 Como a derivada é negativa para todos os valores positivos de R3, P é máxima para R3 = 0. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Fazendo R3 = 0, obtemos P=  2 (12, 0 V)2 = = 14, 4 W. R1 10,0  99. (a) Como o capacitor está inicialmente descarregado, ele se comporta inicialmente como um curto-circuito e, portanto, a tensão inicial é zero entre os terminais do resistor R2 e 30 V entre os terminais do resistor R1. Assim, de acordo com a lei de Ohm, i10 = (30 V)/(20 kΩ) = 1,5 × 10–3 A = 1,5 mA. (b) Como a tensão inicial entre os terminais do resistor R2 é 0, i20 = 0. (c) Depois de transcorrido um longo tempo, o capacitor passa a se comportar como um circuito aberto e os resistores R1 e R2 passam a se comportar como dois resistores em série, com uma resistência equivalente Req = R1 + R2 = 20 kΩ + 10 kΩ = 30 kΩ. Assim, a corrente no circuito, que é igual à corrente no resistor 2, é i= 30 V = 1, 0 × 10 −3 A = 1, 0 mA. 30 × 10 3  171 Capítulo 28 1. (a) De acordo com a Eq. 28-3, v= FB 6, 50 × 10 −17 N = 4, 00 × 105 m/s = 400 km/s. = eB sen  (1, 60 × 10 −19 C) (2, 60 × 10 −3 T) sen 23, 0° (b) A energia cinética do próton é K= 1 2 1 mv = (1, 67 × 10 −27 kg) (4, 00 × 105 m s)2 = 1, 34 × 10 −16 J, 2 2 que é equivalente a K = (1,34 × 102 16 J)/(1,60 × 102 19 J/eV) = 835 eV. 2. A força associada ao campo magnético deve apontar na direção ĵ para equilibrar a força da gravidade, que aponta na direção − ĵ. Para isso, de acordo com a regra da mão direita, o campo  B deve apontar na direção − k̂. O módulo |Bz| do campo é dado pela Eq. 28-3, com f = 90°. Assim, temos:   mg  ˆ  (1, 0 × 10 −2 kg)(9, 8 m/s2 )  ˆ ˆ ˆ = − B = Bz kˆ = −  k  (8, 0 × 10 −3 C)(2, 0 × 10 4 m/s)  k = −(0, 061 T)k = −(61 mT) k.  qv    3. (a) A força que age sobre o elétron é     FB = qv × B = q( v x ˆi + v y ˆj) × ( Bx ˆi + By j ) = q( v x By − v y Bx ) kˆ = ( − 1, 6 × 10 −19 C) [ (2, 0 × 106 m s) (−0,15 T) − (3, 0 × 10 6 m s) (0, 030 T) ] ˆ = (6, 2 × 10 −14 N) k. (b) O cálculo é semelhante ao do item (a); a única coisa que muda é o sinal da carga elétrica. Assim, a força que age sobre o próton é  ˆ FB = −(6, 2 × 10 −14 N) k. 4. (a) De acordo com a Eq. 28-3, FB = |q| vB sen f = (+ 3,2 × 10–19 C) (550 m/s) (0,045 T) (sen 52°) = 6,2 × 10–18 N. (b) A aceleração é a = FB/m = (6,2 × 10– 18 N) / (6,6 × 10– 27 kg) = 9,5 × 108 m/s2.   (c) Como FB é perpendicular a v, não exerce trabalho sobre a partícula. Assim, de acordo com o teorema do trabalho e energia cinética, a energia cinética da partícula permanece constante, o que significa que a velocidade também permanece constante. 5. De acordo com as Eqs. 3-30 e Eq. 28-2,  F = q v x By − v y Bx kˆ = q  v x ( 3 Bx ) − v y Bx  kˆ ( ) ˆ temos: Como, nesse instante, a força é (6, 4 × 10 −19 N) k, q(3v x − v y ) Bx = Fz ⇒ Bx = Fz 6, 4 × 10 −19 N = −2, 0 T. = q(3v x − v y ) (−1, 6 × 10 −19 C)[3(2, 0 m/s) − 4, 0 m] SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 6. A força magnética a que o próton está submetido é    F = qv × B na qual q = +e . De acordo com a Eq. 3-30, temos, em unidades do SI: (4 × 10 −17 ) ˆi + (2 × 10 −17 ) ˆj = e[(0, 03) v y + 40]ˆi + (20 − 0, 03v x ) ˆj − (0, 02 v x + 0, 01v y ) kˆ ] Igualando as componentes correspondentes, obtemos: (a) v x = 20e − 2 × 10 −17 20(1, 6 × 10 −19 ) − 2 × 10 −17 = −3, 5 × 103 m/s = −3,5 km/s. = 0, 03e 0,003(1, 6 × 10 −19 ) 40e − 4 × 10 −17 40(1, 6 × 10 −19 ) − 4 × 10 −17 = 7, 0 × 10 3 m/s = 7,0 km/s. = 0, 03e 0,003(1, 6 × 10 −19 )      7. Como F = q E + v × B = me a , temos:  me a   E= +B×v q (b) v y = ) ( = (9,11 × 10 −31 kg)(2, 00 × 1012 m s 2 ) ˆi + ( 400T ) ˆi × (12, 0 km s ) ˆj + (15, 0 km s ) kˆ  −1, 60 × 10 −19 C = (−11, 4 V/m)iˆ − (6, 00 V/m)jˆ + (4, 80 V/m) kˆ ) V m .    8. Fazendo F = q( E + v × B) = 0, obtemos vB sen  = E. Para resolver o problema, temos que conhecer o ângulo da velocidade do elétron com o plano formado pelos campos elétrico e magnético. Supondo que o ângulo é 90o, sen f = sen 90o = 1 e v= E 1, 50 × 103 V/m = = 3, 75 × 103 m/s = 3,75 km//s. B 0,400 T 9. Desprezando a força da gravidade, o fato de que a trajetória do elétron na região entre as placas é retilínea significa que aforça a que o elétron está submetido é nula. Assim,       F  q( E  v  B)  0. Note que v ⊥ B e, portanto, v × B = vB. Assim, temos: B= E = v E = 2 K /me 100 V/ (20 × 10 −3 m) 2(1, 0 × 103 V)(1, 60 × 10 −19 C) / (9,11 × 10 −31 kg) = 2, 67 × 10 −4 T.  Na notação dos vetores unitários, B = −(2, 67 × 10 −4 T)kˆ = −(0, 267 mT) kˆ . 10. (a) A força que age sobre o próton é       ˆ m s) ˆj × (−2,50 × 10 −3 T) ˆi  F = FE + FB = qE + qv × B = (1, 60 × 10 −19 C) (4, 00 V m) k+(2000 ˆ = (1, 44 × 10 −18 N) k. (b) Nesse caso, temos:       F = FE + FB = qE + qv × B = (1, 60 × 10 −19 C) ( −4, 00 V m ) kˆ + ( 2000 m s ) ˆj × ( −2,50 mT ) ˆi  ˆ = (1, 60 × 10 −19 N) k. 173 174 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) Nesse caso, temos:       F = FE + FB = qE + qv × B = (1, 60 × 10 −19 C) ( 4, 00 V m ) ˆi+ ( 2000 m s ) ˆj × ( −2,50 mT ) ˆi  ˆ = (6, 41 × 10 −19 N) ˆi+(8,01 × 10 −19 N) k.     11. Como aforça total F = q( E + v × B) é nula, o campo elétrico E é perpendicular ao campo  magnético B e à velocidade v da partícula. Como o campo magnético é perpendicular à velo  cidade, o módulo de v × B é vB e, para que a força total seja nula, o módulo do campo elétrico deve ser E = vB. Como a partícula tem carga e e é acelerada por uma diferença de potencial V, mv2/2 = eV e v = 2eV /m . Assim, E=B 2eV 2(1, 60 × 10 −19 C) (10 × 103 V) = 6, 8 × 105 V m = 0, 68 MV/m. = (1, 2 T) (9, 99 × 10 −27 kg) m   12. (a) Uma importante diferençaentre a força associada ao campo elétrico (F = qE ) e a força   associada ao campo magnético ( F = qv × B) é que, enquanto a primeira não depende da velocidade, a segunda se anula quando a velocidade é zero. No gráfico da Fig. 28-32, para v = 0, situação em que a única força é a produzida pelo campo elétrico, a componente y da força é –2,0 × 10–19 N. Como, de acordo com o enunciado, o campo elétrico é paralelo ao eixo y, isso significa que o módulo do campo elétrico é E= Ftot , y 2, 0 × 10 −19 N = 1, 25 N/C = 1, 25 V/m. = |q| 1, 6 × 10 −19 C (b) O gráfico da Fig. 28-32 mostra que a força total é zero quando a velocidade do elétron é 50 m/s. De acordo com a Eq. 28-7, isso significa que B = E/v = (1,25 V/m)/(50 m/s) = 2,50 × 10−2 T = 25,0 mT.        Para que FE = qv × B e FE = qE se cancelem, é preciso que o vetor v × B tenha o sentido oposto ao do vetor E, que, de acordo com o enunciado, aponta no sentido positivo do eixo y. Como o vetor velocidade aponta no sentido positivo do eixo x, concluímos, usando a regra da mão direita, que o campo  magnético aponta no sentido positivo do eixo z. Assim, na notação dos ˆ vetores unitários, B = (25, 0 mT) k. 13. De acordo com a Eq. 28-12, temos: V= iB ( 23 A ) ( 0,65 T ) = 7, 4 × 10 −6 V = 7,4 V. = 28 nle (8, 47 × 10 m 3 ) (150 m) (1, 6 × 10 −19 C)  14. livre q que se move no interior da fita com velocidade v está sujeita a uma força  Uma  carga   F = q( E + v × B). Igualando a força a zero e usando a relação entre campo elétrico e diferença de potencial, temos: v= E Vx − Vy d xy (3, 90 × 10 −9 V) = 0, 382 m s . = = B B (1, 20 × 10 −3 T)(0, 850 × 10 −2 m) 15. (a) Estamos interessados em calcular o campo eletrostático que é estabelecido quando as cargas se separam por ação do campo magnético. Uma vez estabelecido o equilíbrio, a Eq. 28-10 nos dá   | E | = v | B | = (20, 0 m/s)(0, 030 T) = 0, 600 V/m. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS O sentido docampo elétrico é o indicado na Fig. 28-8, ou seja, o sentido oposto ao do produto  vetorial v × B ; assim,  ˆ E = −(0, 600 V/m) kˆ = (−600 mV/m) k. (b) De acordo com a Eq. 28-9, V = Ed = (0, 600 V/m)(2,00 m) = 1, 20 V. 16. Como a diferença de  potencial é zero quando o objeto se desloca paralelamente ao eixo x, sabemos que o campo B aponta nessa direção. Combinando as Eqs. 28-7 e 28-9, obtemos d= V V = E vB na qual E, v e B são módulos de vetores mutuamente perpendiculares. Assim, quando a velocidade é paralela ao eixo y, como  sabemos que o campo magnético é paralelo ao eixo x, o campo d elétrico (e, portanto, o vetor ) é paralelo ao eixo z e temos: d = dz = 0, 012 V = 0, 20 m. (3,0 m/s)(0,020 T) Por outro lado, quando a velocidade é paralela ao eixo z, o campo elétrico é paralelo ao eixo y e temos: 0, 018 V d = dy = = 0, 30 m. (3,0 m/s)(0,020 T) Assim, as respostas são: (a) dx = 25 cm (valor a que chegamos por exclusão, já que conhecemos os valores de dy e dz ). (b) dy = 30 cm. (c) dz = 20 cm. 17. (a) De acordo com a Eq. 28-16, temos: v= rqB 2eB 2(4, 50 × 10 −2 m)(1, 60 × 10 −19 C)(1, 20 T) = = = 2, 60 × 106 m s . m 4, 00 u (4, 00 u)(1, 66 × 10 −27 kg u) (b) O período de revolução é: T= 2 r 2 (4, 50 × 10 −2 m) = = 1, 09 × 10 −7 s = 0,109 s. v 2, 60 × 106 m/s (c) A energia cinética da partícula alfa é: K= 1 (4, 00 u)(1, 66 × 10 −27 kg u)(2, 60 × 106 m s)2 m v 2 = = 1, 40 × 105 eV = 0,140 MeV . 2(1, 60 × 10 −19 J eV) 2 (d) ∆V = K/q = 1,40 × 105 eV/2e = 7,00 × 104 V = 70,0 keV.  18. Com o campo B apontando para fora do papel, usamos a regra da mão direita para determinar o sentido da força no ponto indicado na Fig. 28-35. Se a partícula fosse positiva, a força apontaria para a esquerda, o que não estaria de acordo com a figura, que mostra a trajetória se encurvando para a direita. Assim, a partícula é um elétron. 175 176 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (a) De acordo com a Eq. 28-3, temos: v= F 3, 20 × 10 −15 N = 5, 00 × 10 6 m s . = 19 − eB sen  (1, 60 × 10 C)(4, 00 × 10 −3 T)(sen 90o ) (b) De acordo com a Eq. 28-16, r= mv (9,11 × 10 −31 kg)(4, 99 × 106 m/s) = 0, 00710 m = 7,10 mm. = eB (1, 60 × 10 −19 C)(4, 00 × 10 −3 T) (c) De acordo com a Eq. 28-17, T= 2 r 2 (7,10 × 10 −3 m) = = 8, 92 × 10 −9 s = 8,92 ns. v 5, 00 × 106 m/s 19. Seja j a razão m/|q| que estamos interessados em calcular. De acordo com a Eq. 28-17, T = 2pj/B. Como o eixo horizontal do gráfico da Fig. 28-36 é o recíproco do campo magnético (1/B), a inclinação da reta mostrada no gráfico é igual a 2pj. Essa inclinação pode ser estimada em (37,5 × 10−9 s)/(5,0 T−1) = 7,5 × 10−9 T . s, o que nos dá = m 7, 5 × 10 −9 T ⋅ s = = 1, 2 × 10 −9 kg/C. |q| 2 20. Combinando a Eq. 28-16 com a lei de conservação da energia, que, neste caso, nos dá a relação eV = mev22, obtemos a relação r= me eB 2eV , me segundo a qual a inclinação do gráfico de r em função de V da Fig. 28-37 é igual a 2me /eB 2 . Essa inclinação pode ser estimada em (2,5 × 10−3 m)/(50,0 V1/2) = 5 × 10−5 m/V1/2. Nesse caso, temos: 2me = (5 × 10 −5 )2 e B= 2(9,11 × 10 −31 ) = 6, 7 × 10 −2 T. (25 × 10 −10 )(1, 60 × 10 −19 ) 21. (a) Como K = mev2/2, temos: v= 2K = me 2(1, 20 × 103 eV)(1, 60 × 10 −19 eV J) = 2, 05 × 10 7 m s . 9,11 × 10 −31 kg (b) Como r = mev/qB, temos: B= me v (9,11 × 10 −31 kg) (2, 05 × 10 7 m s) = 4, 67 × 10 −4 T = 467 T. = qr (1, 60 × 10 −19 C) (25, 0 × 10 −2 m) (c) A frequência de revolução é f = 2, 07 × 10 7 m s v = = 1, 31 × 10 7 Hz = 13,1 MHz. 2 r 2 (25, 0 × 10 −2 m) (d) O período do movimento é T= 1 1 = = 7, 63 × 10 −8 s = 76, 3 ns. f 1, 31 × 10 7 Hz 22. De acordo com a Eq. 28-16, o raio da trajetória circular é r= mv = qB 2mK qB SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS na qual K = mv2/2 é a energia cinética da partícula. Assim, temos: K= (rqB)2 q 2 ∝ . 2m m (a) K = (q q p )2 (m p m ) K p = (2)2 (1 4) K p = K p = 1, 0 MeV. (b) K d = (qd q p )2 (m p md ) K p = (1)2 (1 2) K p = 1, 0 MeV 2 = 0, 50 MeeV. 23. De acordo com a Eq. 28-16, temos: B= me v (9,11 × 10 −31 kg) (1, 30 × 106 m s) = 2,11 × 10 −5 T = 21,1 T. = er (1, 60 × 10 −19 C) (0, 350 m) 24. (a) O processo de aceleração pode ser visto como a conversão de uma energia potencial eV em energia cinética. Como o elétron parte do repouso, mev2/2 = eV e v= 2eV = me 2(1, 60 × 10 −19 C) (350 V) = 1,11 × 10 7 m s. 9,11 × 10 −31 kg (b) De acordo com a Eq. 28-16, r= me v (9,11 × 10 −31 kg) (1,11 × 10 7 m s) = 3,16 × 10 −4 m = 0,316 mm. = eB (1, 60 × 10 −19 C) (200 × 10 −3 T) 25. (a) A frequência de revolução é f = Bq (35, 0 × 10 −6 T)(1, 60 × 10 −19 C) = 9, 78 × 10 5 Hz = 0,978 MHz. = 2 me 2 (9,11 × 10 −31 kg) (b) De acordo com a Eq. 28-16, temos: r= me v = qB 2 me K = qB 2(9,11 × 10 −31 kg)(100 eV)(1, 60 × 10 −19 J eV) = 0, 964 m = 96,4 cm . (1, 60 × 10 −19 C)(35, 0 × 10 −6 T) 26. De acordo com a Fig. 28-38, no ponto em que a partícula penetra na região onde existe campo, o vetor velocidade aponta para baixo. Como o campo magnético aponta para fora do   papel, o vetor v × B aponta para a esquerda. Como a partícula é desviada para a esquerda pela força magnética, isso significa que a carga da partícula é positiva, ou seja, que a partícula é um próton. (a) De acordo com a Eq. 28-17, B= 2 m 2 (1, 67 × 10 −27 kg) = 0, 252 T. = eT (1, 60 × 10 −19 C)(2)(130 × 10 −9 s) (b) Como o período T não depende da energia cinética, permanece o mesmo: T = 130 ns. 27. (a) Explicitando B na equação m = B2qx2/8V (veja o Exemplo “Movimento circular uniforme de uma partícula carregada em um campo magnético”), obtemos: B= 8Vm = qx 2 8(100 × 103 V)(3, 92 × 10 −25 kg) = 0, 495 T = 495 mT . (3, 20 × 10 −19 C)(2, 00 m)2 177 178 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Seja N o número de íons que são separados pelo aparelho por unidade de tempo. A corrente é i = qN e a massa que é separada por unidade de tempo é dada por M = mN, na qual m é a massa de um íon. Se o aparelho é usado para separar 100 mg de material por hora, M= 100 × 10 −6 kg = 2, 78 × 10 −8 kg s . 3600 s Como N = M/m, temos: i= qM (3, 20 × 10 −19 C)(2, 78 × 10 −8 kg s) = = 2, 27 × 10 −2 A = 22,7 mA . m 3, 92 × 10 −25 kg (c) Como cada íon deposita uma energia qV no reservatório, a energia depositada em um intervalo de tempo ∆t é dada por iqV t = iV t = (2, 27 × 10 −2 A)(100 × 103 V)(3600 s) q = 8,17 × 10 6 J = 8,17 MJ . E = NqV t = 28. Como F = mv2/r e K = mv2/2, temos: K= Fr (1, 60 × 10 −17 N )(26,1 × 10 −6 m) = = 2, 09 × 10 −22 J. 2 2 29. A Fig. 28-11 pode facilitar a compreensão deste problema. De acordo com a Eq. 28-17, a  distância percorrida paralelamente a B é d|| = v||T = v|| (2 me /eB). Assim, v|| = d|| eB 2 me = (6, 00 × 10 −6 m)(1, 60 × 10 −19 C)(0, 300 T) = 50, 3 km/s. 2 (9,11 × 10 −31 kg) Como a força magnética é F = eBv⊥ , v⊥ = F 2, 00 × 10 −15 N = = 41, 7 km/s. eB (1, 60 × 10 −19 C)(0, 300 T) e v= v⊥2 + v||2 = 65, 3 km/s. 30. Como, de acordo com a Eq. 28-17, T = 2pme /eB, o tempo total é 1  me  1 T T ttot =   + tac +   = + + tac .  2 1  22 e  B1 B2  O tempo que o elétron passa no espaço entre as regiões onde existe campo magnético (sendo acelerado de acordo com a Eq. 2-15) deve ser calculado separadamente. Fazendo v0 = 2 K 0 /me e a = e∆V/med na Eq. 2-15, na qual K0 é a energia cinética inicial do elétron e d é a distância entre as regiões onde existe campo magnético, temos: d = v0 tac + 1 2 atac ⇒ d = 2 2K 0 1  eV  2 t ac , tac +  me 2  me d  o que nos dá tac ≈ 6 ns. Assim, temos:  me  1 1  (9,11 × 10 −31 kg))  1 1  + 6, 0 ns ttot = +  + 6, 0 ns = +   − 19 e  B1 B2  (1, 6 × 10 C)  0, 010 T 0, 020 T  = 8, 7 ns. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 31. As duas partículas se movem em trajetórias circulares, uma no sentido horário e outra no sentido anti-horário, e colidem após descreverem meia circunferência. Assim, de acordo com a Eq. 28-17, o tempo pedido é dado por T m  (9,11 × 10 −31 kg) = 5, 07 × 10 −9 s = 5,07 ns. = = 2 Bq (3, 53 × 10 −3 T)(1, 60 × 10 −19 C)  32. Como o elétron se move com velocidade constante v|| na direção de B enquanto descreve  um movimento circular uniforme de frequência f = eB/2pme na direção perpendicular a B, a distância d é dada por t= d = v|| T = v|| f = (v cos )2 me 2 (1, 5 × 10 7 m s)(9,11 × 10 −31 kg)(cos10°) = 0, 53 m. = eB (1, 60 × 10 −19 C)(1, 0 × 10 −3 T) 33. (a) se v é a velocidade escalar do pósitron, v sen f é a componente da velocidade no plano perpendicular ao campo magnético, na qual f é o ângulo entre a velocidade e o campo magnético. De acordo com a segunda lei de Newton, eBv sen f = me(v sen f)2/r, na qual r é o raio da órbita. Assim, r = (mev/eB) sen f e o período é dado por T= 2 r 2 me 2 (9,11 × 10 −31 kg) = 3, 58 × 10 −10 s = 0,358 ns. = = (1, 60 × 10 −19 C)(0,100 T) v sen  eB (b) O passo p é a distância percorrida na direção do campo magnético em um intervalo de tempo igual a um período: p = vT cos f. A velocidade do pósitron pode ser calculada a partir da energia cinética: v= 2K = me 2(2, 00 × 103 eV)(1, 60 × 10 −19 J eV) = 2, 65 × 10 7 m s. 9,11 × 10 −31 kg Assim, p = (2, 65 × 10 7 m s)(3, 58 × 10 −10 s) cos 89° = 1, 66 × 10 −4 m = 0,166 mm. (c) O raio da trajetória helicoidal é R= me v sen  (9,11 × 10 −31 kg) (2, 65 × 10 7 m s) sen 89 = = 1, 51 × 10 −3 m = 1,51 mm . eB (1, 60 × 10 −19 C)(0,100 T) 34. (a) De acordo com as Eqs. 3-20 e 3-23, temos:   v ⋅ B = vB cos  = v x Bx + v y By + vz Bz . Como v= 20 2 + 30 2 + 50 2 = 3800 , B= 20 2 + 50 2 + 30 2 = 3800 , v x Bx + v y By + vz Bz = (20)(20) + (50)(30) − (30)(50) = 4000, temos:  = cos −1 v x Bx + v y By + vz Bz 400 = cos −1 = cos −1 (0,105) = 84o. vB 3800 (b) Não, a velocidade escalar não varia com o tempo. O que varia com o tempo é apenas a direção da velocidade. (c) Não, o ângulo f não varia com o tempo, como se pode ver na Fig. 28-11. 179 180 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (d) Como v⊥ = v sen  = 3800 sen 84o = (61, 64)(0, 994) = 61, 63 m/s,, temos: r= mv⊥ (9,11 × 10 −31 kg)(61, 63 m/s) = 5, 7 nm. = eB (1, 6 × 10 −19 C))(61, 64 × 10 −3 T) 35. (a) De acordo com a lei de conservação da energia, a energia cinética aumenta de ∆K = eV = 200 eV a cada passagem. (b) Multiplicando o resultado do item (a) por 100, obtemos ∆K = 100(200 eV) = 20,0 keV. (c) Expressando a velocidade em termos da energia cinética e usando a Eq. 28-16, obtemos: r= mp eB 2n(200 eV) , mp na qual n é o número de passagens. Assim, o raio é proporcional a definido no enunciado é dado por aumento percentual = n e o aumento percentual 101 − 100 10, 0499 − 10, 0000 = = 0, 00499 = 0, 499%. 10, 0000 100 36. (a) O módulo do campo magnético para que haja ressonância é B= 2 fm p 2 (12, 0 × 10 6 Hz)(1, 67 × 10 −27 kg) = 0, 787 T. = 1, 60 × 10 −19 C q (b) A energia cinética dos prótons que saem do cíclotron é K = 12 mv 2 = 1 1 m(2 Rf )2 = (1, 67 × 10 −27 kg)4 2 (0, 530 m)2 (12, 0 × 106 Hz )2 2 2 = 1, 33 × 10 −12 J = 8, 34 × 106 eV = 8,34 MeV. (c) A nova frequência é f = qB (1, 60 × 10 −19 C)(1, 57 T) = 2, 39 × 10 7 Hz = 23,9 MHz. = 2 m p 2 (1, 67 × 10 −27 kgg) (d) A nova energia cinética é dada por K= 1 1 2 1 mv = m(2 Rf )2 = (1, 67 × 10 −27 kg)4 2 (0, 530 m)2 (2, 39 × 10 7 Hz)2 2 2 2 = 5, 3069 × 10 −12 J = 3, 32 × 10 7 eV. 37. A distância pedida é aproximadamente igual ao número de revoluções vezes a circunferência da órbita correspondente à energia média. Trata-se de uma aproximação razoável, já que o dêuteron recebe a mesma energia a cada revolução e o período não depende da energia. O dêuteron é acelerado duas vezes em cada revolução e a cada vez recebe uma energia de 80 × 103 eV. Como a energia final é 16,6 MeV, o número de revoluções é n= 16, 6 × 106 eV = 104 . 2(80 × 103 eV) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS A energia média durante o processo de aceleração é 16,6/2 = 8,3 MeV. O raio da órbita é dado por r= mv m = eB eB 2K = m 2 Km = eB 2(8, 3 × 106 eV)(1, 60 × 10 −19 J eV)(3, 34 × 10 −27 kg) (1, 60 × 10 −19 C)(1, 57 T) = 0, 375m. A distância total percorrida é, aproximadamente, 2prn = (2p)(0,375)(104) = 2,4 × 102 m. 38. (a) De acordo com as Eqs. 28-18 e 28-23, temos: fosc = eB (1, 60 × 10 −19 C)(1, 20 T) = 1, 83 × 10 7 Hz = 18,3 MHz. = 2 m p 2 (1, 67 × 10 −27 kg) (b) Como r = m p v qB = K= 2mP k qB , temos: (rqB)2 [(0, 500 m)(1, 60 × 10 −19 C)(1, 20 T)]2 = 1, 72 × 10 7 eV = 17,2 MeV. = 2(1, 67 × 10 −27 kg)(1, 60 × 10 −19 J eV) 2m p 39. (a) O módulo da força que o campo magnético da Terra exerce sobre a linha é dado por FB = iLB sen f, na qual i é a corrente na linha, L é o comprimento da linha, B é o módulo do campo magnético e f é o ângulo entre a corrente e o campo. Assim, FB = (5000 A)(100 m)(60, 0 × 10 −6 T) sen 70° = 28, 2 N .    (b) Aplicando a regra da mão direita ao produto vetorial FB = iL × B, constatamos que a força é horizontal e aponta para oeste. 40. A força magnética exercida pelo campo sobre o fio é FB = iBL sen  = (13, 0 A)(1, 50 T)(1, 80 m)(sen 35, 0°) = 20,1 N. 41. (a) A força que o campo magnético exerce sobre o fio aponta para cima e tem um módulo igual à força gravitacional mg a que o fio está submetido. Como o campo e a corrente são mutuamente perpendiculares, o módulo da força magnética é dado por FB = iLB, na qual L é o comprimento do fio. Assim, iLB = mg ⇒ i = mg (0, 0130 kg) (9, 8 m s2 ) = 0, 467 A = 467 mA. = (0, 620 m) (0, 440 T) LB (b) Aplicando a regra da mão direita, constatamos que o sentido da corrente é da esquerda para a direita. 42. (a) Por simetria, concluímos que a componente x da força que o campo magnético exerce sobre o fio é zero. De acordo com a regra da mão direita, um campo na direção k̂ produz nas duas partes do fio uma componente y da força que aponta na direção − ĵ e cujo módulo é  | Fy | = il | B | sen 30° = (2, 0 A)(2, 0 m)(4, 0 T) sen 30° = 8 N. Assim, a força total que o campo exerce sobre o fio é (−16 ˆj) N. (b) Nesse caso, a força que o campo exerce sobre o lado esquerdo do fio aponta no sentido − k̂ e a força que o campo exerce sobre o lado direito do fio aponta no sentido + k̂. Como, por simetria, as duas forças são iguais, a força total é 0. 181 182 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 43. Vamos escolher um sistema de coordenadas tal que o cateto de comprimento ly = 50 cm coincide com o semieixo y positivo e o cateto de comprimento lx = 120 cm coincide com o semieixo x positivo. O ângulo que a hipotenusa faz com o cateto que coincide com semieixo x positivo é u = tan–1 (50/120) = 22,6°. Medindo o ângulo no sentido anti-horário a partir do semieixo x positivo, o ângulo da hipotenusa é 180° – 22,6° = +157,4°. Vamos supor que o sentido da corrente na bobina triangular é o sentido anti-horário do ponto de vista de um observador situado no semieixo z positivo. Como o campo magnético é paralelo à corrente na hipotenusa, temos: Bx = B cos  = 0, 0750 cos 157, 4o = −0, 0692 T, By = B sen  = 0, 0750 sen 157, 4 o = 0, 0288 T. (a) Como o campo magnético é paralelo à corrente na hipotenusa, a força exercida sobre a hipotenusa é zero. (b) No caso do cateto de 50 cm, a componente Bx do campo magnético exerce uma força il y Bx k̂ e a força exercida pela componente By é zero. O módulo da força é, portanto, (4, 00 A)(0, 500 m)(0, 0692 T) = 0,138 N. (c) No caso do cateto de 120 cm, a componente By do campo magnético exerce uma força il x By k̂ e a força exercida pela componente Bx é zero. O módulo da força é, portanto, (4, 00 A)(1, 20 m)(0, 0288 T) = 0,138 N. (d) A força total é il y Bx kˆ + il x By kˆ = 0, já que Bx < 0 e By > 0. Se tivéssemos suposto que o sentido da corrente na espira era o sentido horário, teríamos obtido Bx > 0 e By < 0, mas a força total continuaria a ser zero. 44. Considere um segmento infinitesimal do anel, de comprimento ds. Como o campo magnético é perpendicular ao segmento, ele exerce sobre o segmento uma força de módulo dF = iB ds. A componente horizontal da força tem valor absoluto dFh = (iB cos  )ds e aponta para o centro do anel. A componente vertical tem valor absoluto dFy = (iB sen  )ds e aponta para cima. A força total é a soma das forças que agem sobre todos os segmentos do anel. Por simetria, a componente horizontal da força total é zero. A componente vertical é ∫ Fv = iB sen  ds = 2 aiB sen  = 2 (0, 018 m)(4, 6 × 10 −3 A)(3, 4 × 10 −3 T) sen 20° = 6, 0 × 10 −7 N = 0,60  N. Note que foi possível deixar i, B e sen u de fora do sinal de integral porque i, B e u têm o mesmo valor para todos os segmentos do anel. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 45. A força que o campo magnético exerce sobre o fio é    FB = iL × B = iLˆi × ( By ˆj + Bz kˆ ) = iL (− Bz ˆj + By kˆ ) = (0, 500 A)(0, 500 m)[−(0, 0100 T) ˆj + (0, 00300 T) kˆ ] = (−2, 50 × 10 −3 ˆj + 0, 750 × 10 −3 kˆ ) N ˆ = (−2, 50 mN) ˆj + (0, 750 mN) k. 46. (a) Como a força que o campo magnético exerce sobre o fio é FB = idB, temos: v = at = FB t idBt (9,13 × 10 −3 A)(2, 56 × 10 −2 m)(5, 63 × 10 −2 T)(0, 0611 s) = = m m 2, 41 × 10 −5 kg = 3, 34 × 10 −2 m/s = 3,34 cm/s. (b) O sentido é para a esquerda. 47. (a) A força do campo magnético deve ter uma componente horizontal para vencer a força de atrito, mas também pode ter uma componente vertical para  reduzir a força normal e, portanto, a força de atrito. As forças que agem sobre a barra são: F, a força do campo magnético; mg, a  força da gravidade; FN , a força normal exercida pelos trilhos; f , a força de atrito. Vamos supor, sem perda de generalidade, que a barra está na iminência de se mover para leste, o que significa  que a força f aponta para leste e tem o valor máximo msFN. Isso significa também que F possui uma componente Fx para leste e, além disso, pode possuir uma componente Fy para cima. Vamos supor também que o sentido da corrente é para o norte. Nesse caso, de acordo com a regra  da mão direita, uma componente de B para baixo, Bb, produz uma força Fx para leste, enquanto uma componente para oeste, Bo, produz uma força Fy para cima. Essas forças são: Fx = iLBb , Fy = iLBo . Igualando a zero a soma das forças verticais, obtemos FN = mg − Fy = mg − iLBo , o que nos dá f = fs , max = s ( mg − iLBo ) . Como a barra está na iminência de se mover, igualamos também a zero a soma das forças horizontais: Fx − f = 0 ⇒ iLBb = s ( mg − iLBo ) . O passo seguinte consiste em determinar o ângulo do campo aplicado com a vertical para que o módulo do campo seja mínimo. Como as componentes do campo são dadas por Bo = B senu e Bb = B cosu, temos: iLB cos  = s (mg − iLB sen  ) ⇒ B = s mg . iL (cos  + s sen  ) Derivando em relação a u a expressão para o campo magnético obtida e igualando o resultado a zero, temos: dB s mgiL (s cos − sen  ) = 0, = [iL (cos  + s sen  )]2 d 183 184 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS o que nos dá  = tan −1 (s ) = tan −1 (0, 60) = 31°. Assim, Bmin = 0, 60 (1, 0 kg) (9, 8 m s 2 ) = 0,10 T. (50 A) (1, 0 m) (cos 31° + 0, 60 sen 31°) (b) Como foi visto no item anterior, u = 31o.      48. Como dFB = idL × B, na qual dL = dxî e B = Bx ˆi + By ˆj, temos:    FB = idL × B = ∫ = (−5, 0 A)   ∫ ∫ xf xi 3, 0 1, 0 idxˆi × ( Bx ˆi + By ˆj) = i ∫ xf xi By dxkˆ (8, 0 x 2 dx )(m ⋅ mT)  kˆ = (−0, 35kˆ ) N.  49. O campo magnético aplicado tem duas componentes, Bx e Bz. Considerando os diferentes segmentos da bobina retangular, observamos que, de acordo com  a Eq. 28-26, a força exercida pelo campo é diferente de zero apenas para a componente de B perpendicular a cada segmento; observamos também que a força associada a um único fio deve ser multiplicada por N, na qual N é o número de espiras. Como estamos interessados em calcular o torque em relação à dobradiça, podemos ignorar a força que age sobre o segmento que coincide com o eixo y. As forças que o campo magnético exerce sobre os segmentos paralelos ao eixo x, causadas pela componente Bz, são paralelas ao eixo y e, portanto, não produzem torque em relação à dobradiça. Concluímos, portanto, que o torque resulta unicamente da força que o campo exerce sobre o segmento paralelo ao eixo y. Além disso, como a componente Bz exerce sobre este segmento uma força paralela ao eixo x, não contribui para o torque. Por outro lado, a componente Bx produz uma força na direção z que é igual a NiLBx, na qual N é o número de espiras, i é a corrente, L é o comprimento do segmento e Bx = B cos u é a componente x do campo aplicado (o ângulo u está definido na Fig. 28-44). Como a linha de ação desta força é perpendicular ao plano da bobina, temos:  = ( NiLBx ) ( x) = NiLxB cos  = (20) (0,10 A) (0,10 m) (0, 050 m) (0, 50 T) cos 30° = 0, 0043 N ⋅ m.    Como  = r × F, o torque aponta  no sentido negativo do eixo y. Assim, na notação dos vetores unitários, o torque é | Fy | = il | B | sen 30° = (2, 0 A)(2, 0 m)(4, 0 T) sen 30° = 8 N.   50. Como  max = |  × B |max =  B = i r 2 B e i = qf = qv/2pr, temos: 1  qv  2  max =   r B = qvrB  2 r  2 = 1 (1, 60 × 10 −19 C)(2,19 × 106 m/s)(5, 29 × 10 −11 m)(7,10 × 10 −3 T) 2 = 6, 58 × 10 −26 N ⋅ m. 51. As forças que agem sobre o cilindro são a força da gravidade mg, que é vertical e passa pelo centro de massa do cilindro, a força normal do plano inclinado FN, que é perpendicular ao plano inclinado e passa pelo centro de massa do cilindro, e a força de atrito f, que é paralela ao plano inclinado e passa pela superfície do cilindro. Vamos tomar o eixo x paralelo ao plano SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS inclinado e considerar o sentido para baixo como positivo. Nesse caso, aplicando a segunda lei de Newton às componentes das forças envolvidas em relação ao eixo x, temos: mg sen  − f = ma, na qual a é a aceleração do cilindro. O passo seguinte consiste em calcular o torque em relação ao eixo do cilindro. De acordo com a Eq. 28-37, o campo magnético produz um torque de módulo mB senu, na qual m é o momento dipolar do cilindro, e a força de atrito produz um torque de módulo fr, na qual r é o raio do cilindro. De acordo com a segunda lei de Newton para rotações, temos: fr −  B sen  = I , na qual I é o momento de inércia do cilindro e a é a aceleração angular do cilindro. Como estamos interessados em calcular a menor corrente para a qual o cilindro não entra em movimento, fazemos a = 0 na primeira equação e a = 0 na segunda, o que nos dá mgr =  B. Como a bobina é retangular, com dois lados de comprimento L e dois lados de comprimento 2r, na qual r é o raio do cilindro, a área da bobina é A = 2rL e o momento dipolar é  = NiA = Ni(2rL ). Assim, mgr = 2 NirLB e i= mg (0, 250 kg)(9, 8 m s 2 ) = 2, 45 A. = 2 NLB 2(10, 0)(0,100 m)(0, 500 T) 52. Para resolver este problema, basta saber que, entre os retângulos de mesmo perímetro, o retângulo de maior área é um retângulo de quatro lados iguais, ou seja, um quadrado. De acordo com o enunciado, o valor máximo do comprimento de um dos lados é x = 4 cm. Este valor corresponde ao caso em que dois lados paralelos do retângulo têm comprimento desprezível, o que nos leva à conclusão de que o comprimento total do fio é 8 cm. Assim, no caso de um quadrado, o comprimento dos lados é 8/4 = 2 cm e a área é A = (0,020 m)2 = 0,00040 m2. De acordo com as Eqs. 28-35 e 28-37, temos: i=   4, 80 × 10 −8 N ⋅ m = 0, 0030 A = 3, 0 mA. = = NA NAB (1)(4, 0 × 10 −4 m 2 )(4, 0 × 10 −2 T) 53. Vamos substituir a espira de forma arbitrária por um conjunto de espiras longas, finas, aproximadamente retangulares, muito próximas umas das outras, que sejam quase equivalentes à espira de forma arbitrária. Cada uma dessas espiras conduz uma corrente i no mesmo sentido  que a espira original. O módulo do torque  exercido pela enésima espira, de área ∆An, é dado por  n = NiB sen  An . Assim, para todo o conjunto, = ∑  n n = NiB ∑ A n = NiAB sen  . n 54. (a) Como o ganho de energia cinética, quando o dipolo passa de uma orientação definida por um ângulo u para a orientação na qual o momento dipolar está alinhado com o campo magnético, é igual à perda de energia potencial, temos: K = Ui − U f = − B cos  − (− B cos 0°) , o que nos dá    K  0, 00080 J = cos −1 1 −  = cos −1  1 −  = 77°.   B   ( 0, 020 J/T ) ( 0, 052 T )  (b) Como estamos supondo que não há dissipação de energia no processo, o ângulo para o qual o dipolo volta a entrar momentamente em repouso é igual ao ângulo inicial, u = 77°. 185 186 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 55. (a) O módulo do vetor momento magnético é = ∑i A n n n 2 2 =  r12i1 +  r22i2 =  (7, 00 A) ( 0, 200 m ) + ( 0, 300 m )  = 2, 86 A ⋅ m 2 . (b) Nesse caso, 2 2  =  r22i2 −  r12i1 =  (7, 00 A) ( 0, 300 m ) − ( 0, 200 m )  = 1,10 A ⋅ m 2 . 56. (a)  = NAi =  r 2i =  (0,150 m)2 (2, 60 A) = 0,184 A ⋅ m 2 .   (b)  =  × B =  B sen  = (0,184 A ⋅ m 2 ) (12, 0 T) sen 41, 0° = 1, 45 N ⋅ m. 57. (a) O módulo do momento dipolar magnético é dado por m = NiA, na qual N é o número de espiras, i é a corrente e A é a área da bobina. Neste caso, como as espiras são circulares, a área da bobina é A = pr2, na qual r é o raio das espiras, e i=  2, 30 A ⋅ m 2 = = 12, 7 A. N r 2 (160)( )(0, 0190 m)2 (b) O torque é máximo quando o momento dipolar magnético é perpendicular ao campo (o que significa que o plano da bobina é paralelo ao campo). O valor do torque máximo é  max =  B = (2, 30 A ⋅ m 2 ) (35, 0 × 10 −3 T) = 8, 05 × 10 −2 N ⋅ m = 0, 0805 N ⋅ m. 58. Como m = NiA = ipr2, temos: i=  8, 00 × 10 22 J T = = 2, 08 × 10 9 A = 2,08 GA. 2 r  (3500 × 10 3 m)2 59. (a) Como a área da bobina é A = (30 cm)(40 cm)/2 = 6,0 × 102 cm2,  = iA = (5, 0 A)(6, 0 × 10 −2 m 2 ) = 0, 30 A ⋅ m 2 . (b) O torque sobre a bobina é  =  Bsen  = (0, 30 A ⋅ m 2 )(80 × 10 3 T)sen 90° = 2, 4 × 10 −2 N ⋅ m = 0, 024 N ⋅ m. 60. Vamos fazer a = 30,0 cm, b = 20,0 cm e c = 10,0 cm. Seguindo a sugestão do enunciado, escrevemos     = 1 + 2 = iab(− kˆ ) + iac( ˆj) = ia(cˆj − bkˆ ) = (5, 00 A)(0, 300 m) ( 0,100 m ) ˆj − ( 0, 200 m ) kˆ  = (0,150 ˆj − 0, 300 kˆ ) A ⋅ m 2 .    61. A energia potencial magnética qual  é o momento  do sistema é dada por U = − ⋅ B, na  dipolar magnético da bobina e B é o campo magnético. O módulo de  é m = NiA, na qual i é a corrente na bobina, N é o número de espiras e A é a área da bobina. Por outro lado, o torque   que age sobre a bobina é dado pelo produto vetorial  =  × B.  (a) De acordo com a regra da mão direita, o momento dipolar magnético  aponta no sentido negativo do eixo y. Assim, temos:   = ( NiA)(− ˆj) = −(3)(2, 00 A)(4, 00 × 10 −3 m 2 ) ˆj = −(0, 0240 A ⋅ m 2 ) ˆj. A energia potencial correspondente é   U = − ⋅ B = − y By = −(−0, 0240 A ⋅ m 2 )( − 3,00 × 10 −3 T) = −7, 20 × 10 −5 J = −72, 0 µ J. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Como ˆj ⋅ ˆi = 0, ˆj × ˆj = 0 e ˆj × kˆ = ˆi, o torque que age sobre a bobina é     =  × B =  y Bz ˆi −  y Bx kˆ = ( − 0,0240 A ⋅ m 2 )( − 4,00 × 10 −3 T)iˆ − ( − 0,0240 A ⋅ m 2 )(2,00 × 10 −3 T)kˆ ˆ  N ⋅ m. = (9, 60 × 10 −5 N ⋅ m)iˆ + (4, 80 × 10 −5 N ⋅ m)kˆ = (96, 0 ˆi + 48, 0k) 62. Observando o ponto do gráfico da Fig. 28-50b para i2 = 0 (que corresponde a uma situação na qual o momento magnético da bobina 2 é zero), concluímos que o momento magnético da bobina 1 é m1 = 2,0 × 1025 A . m2. Observando o ponto no qual a reta cruza o eixo horizontal (que é o ponto i2 = 5,0 mA), concluímos (já que, para este valor da corrente, os dois momentos magnéticos se cancelam) que o módulo do momento magnético da bobina 2 é m2 = 2,0 × 1025 A . m2 para i2 = 5,0 mA, o que, de acordo com a Eq. 28-35, nos dá N 2 A2 = 2 2, 0 × 10 −5 A ⋅ m 2 = = 4, 0 × 10 −3 m 2 . i2 0, 0050 A Se o sentido da corrente na bobina 2 for invertido e a corrente da bobina 2 for i2 = 7,0 mA, o momento total será m = m1 + m2 = (2,0 × 1025 A . m2) + (N2A2i2) = (2,0 × 1025 A . m2) + (4,0 × 1023 m2)(0,0070 A) = 4,8 × 10–5 A . m2.  63. O momento magnético é  =  (0, 60 ˆi − 0, 80 ˆj), na qual m = iA = ipr2 = (0,20 A)p(0,080 m)2 = 4,02 × 10–4 A·m2 (a) O torque é     =  × B =  (0, 60 ˆi − 0, 80 ˆj) × (0, 25ˆi + 0, 30 kˆ ) =  (0, 60)(0, 30)( ˆi × kˆ ) − (0, 80)(0, 25)( ˆj × ˆi ) − (0, 80)(0, 30)( ˆj × kˆ )  = (4, 02 × 10 −4 )  −0,18 ˆj + 0, 20 kˆ − 0, 24 ˆi  = −(9, 7 × 10 −4 N ⋅ m) ˆi − (7, 2 × 10 −44 N ⋅ m) ˆj + (8, 0 × 10 −4 N ⋅ m)kˆ . (b) A energia potencial magnética da espira é   ˆ ) = − (0, 60)(0, 25) = −0,15 U = − ⋅ B = − (0, 60 ˆi − 0, 80 ˆj) ⋅ (0, 25ˆi + 0,30k) = (−0,15)(4, 02 × 10 −4 ) = −6, 0 × 10 −4 J.   64. Como, de acordo com a Eq. 28-39, U = − ⋅ B = − B cos  , no ponto f฀= 0, que corresponde ao ponto mais baixo do gráfico da Fig. 28-51, no qual a energia potencial é U0 = −mB = −5,0 × 10–4 J, a energia mecânica é K0 + U0 = 6,7 × 10−4 J + (−5,0 × 10−4 J) = 1,7 × 10−4 J. No ponto de retorno, K = 0 e, portanto, de acordo com a lei de conservação da energia, Uret = 1,7 × 10−4 J. Assim, o ângulo correspondente ao ponto de retorno é  1, 7 × 10 −4 J   U  = 110°  = cos −1  − ret  = cos −1  −  5, 0 × 10 −4 J   B  187 188 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 65. Se um fio de comprimento L é usado para fazer N espiras, a circunferência de cada espira é L/N, o raio de cada espira é R = L/2pN, e a área de cada espira é A =  R 2 =  ( L 2 N )2 = L2 4 N 2. (a) Para que o torque seja máximo, o plano das espiras deve ser paralelo ao campo magnético, o que faz com que o momento dipolar magnético da bobina seja perpendicular ao campo. Assim, o ângulo é 90o. (b) Com o plano das espiras paralelo ao campo magnético, o módulo do torque é iL2 B  L2  . B=  = NiAB = ( Ni)   2  4 N  4 N De acordo com a equação anterior, quanto menor o número N de espiras, maior o torque. Assim, o torque é máximo para N = 1. (c) O módulo do torque máximo é = iL2 B (4, 51 × 10 −3 A)(0,250 m)2 (5,71 × 10 −3 T) = = 1, 28 × 10 −7 N ⋅ m. 4 4 66. A equação de movimento do próton é    F = qv × B = q v x ˆi + v y ˆj + vz kˆ × Bˆi = qB vz ˆj − v y kˆ ) ( ( )  dv    dv y  ˆ  dvz  ˆ  k . = m p a = m p  x  ˆi +  j+  dt    dt   dt  Assim, dv y dv x dvz = 0, =  vz , = − v y , dt dt dt na qual ω = eB/m. A solução é vx = v0x, vy = v0y cos ωt e vz = –v0y sen ωt. Assim, temos:  ˆ v (t ) = v0 x ˆi + v0 y cos(t ) ˆj − v0 y ( sen t ) k.     67. (a) Podemos usar a equação  =  × B, na qual  aponta para a parede, já que o sentido da corrente é o sentido horário. Como B aponta na direção de 13 horas (ou 5 minutos), a regra da  mão direita mostra que  aponta na direção de 16 horas (ou 20 minutos). Assim, o intervalo de tempo é 20 minutos. (b) O módulo do torque é    =|  × B |=  B sen 90° = NiAB =  Nir 2 B = 6 (2, 0 A)(0,15m)2 (70 × 10 −3 T) = 5, 9 × 10 −2 N ⋅ m. 68. O vetor unitário associado a um comprimento infinitesimal dl do fio é − ĵ. A força que o campo magnético exerce sobre esse elemento, em unidades do SI, é dada por  dF = i d l(− ˆj) × (0, 3 yˆi+0,4yˆj). Como ˆj × ˆi = − kˆ e ˆj × ˆj = 0, temos:  dF = 0, 3iy d l kˆ = (6, 00 × 10 −4 N m 2 ) y d l kˆ . Integrando o elemento de força para todo o fio, obtemos:   F = dF = (6, 00 × 10 −4 N/m 2 ) kˆ ∫ ∫ 0,25 0 ˆ = (1, 88 × 10 −5 N)kˆ = (18,8  N)k.  0,252  ydy = (6, 00 × 10 −4 N/m 2 ) kˆ   2  SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 69. Como m = B2qx2/8V, ∆m = (B2q/8V)(2x∆x), na qual x = na expressão de ∆m para obter 8Vm B 2 q, que podemos substituir 8mV mq  B2q  2 m =  x = B x .  8V  2V B2q Assim, a distância entre os pontos em que os íons atingem o detector é x = = m B 2V mq (37 u − 35 u) (1, 66 × 10 −27 kg u) 0, 50 T 2(7, 3 × 103 V) (36 u) (1, 66 × 10 −27 kg u)(1, 60 × 10 −19 C) = 8, 2 × 10 −3 m = 8,2 mm . 70. (a) Igualando o módulo da força elétrica, FE = eE, ao módulo da força magnética, FB = evB sen f, obtemos B = E/(v sen f). Isso mostra que o campo é mínimo quando sen f é máximo, o que acontece para f = 90°. A velocidade pode ser calculada a partir da energia cinética usando a relação K = mv2/2: v= 2K = me 2(2, 5 × 103 eV)(1, 60 × 10 −19 J eV) = 2, 96 × 10 7 m s . 9,11 × 10 −31 kg Assim, B= E 10 × 103 V m = 3, 4 × 10 −4 T = 0,34 mT. = v 2, 96 × 10 7 m s A direção do campo magnético deve ser perpendicular à direção do campo elétrico (− ĵ) e à   F e E Como a força elétrica aponta na direção + ĵ, = ( − ) direção da velocidade do elétron (+ î). E    a força magnética FB = (−e) v × B aponta na direção − ĵ. Assim, a direção do campo magnético ˆ é − k̂. Na notação dos vetores unitários, B = (−0, 34 mT)k. 71. O período de revolução do íon de iodo monoionizado é T = 2pr/v = 2pm/Be, o que nos dá m= BeT (45, 0 × 10 −3 T)(1, 60 × 10 −19 C)(1, 29 × 10 −3 s) = 127 u. = (2 )(7)(1, 66 × 10 −27 kg u) 2 n  72. (a) A única componente de B que exerce uma força sobre os elétrons é a componente per pendicular a v, a velocidade dos elétrons. É mais eficiente, portanto, orientar o campo magnético perpendicularmente ao plano do papel. Nesse caso, a força que o campo magnético exerce sobre os elétrons é FB = evB e a aceleração dos elétrons é a = v2/r. De acordo com a segunda lei de Newton, evB = mev2/r e, portanto, o raio da trajetória dos elétrons é r = mev/eB. Se a energia dos elétrons é K = mev2/2, a velocidade é v = 2 K me . Assim, r= me eB 2K = me 2me K . e2 B2 Como esta distância deve ser menor que d, a condição pedida é B≥ 2me K ≤ d , o que nos dá e2 B2 2me K . e2d 2 (b) Para que os elétrons descrevam a trajetória mostrada na Fig. 28-52, o campo magnético deve apontar para fora do papel. 189 190 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 73. Como o elétron está se movendo paralelamente à componente horizontal do campo magnético da Terra, a força magnética experimentada pelo elétron se deve apenas à componente vertical do campo. O módulo da força que age sobre o elétron é dado por F = evB, na qual B é a componente vertical do campo magnético da Terra. Nesse caso, de acordo com a segunda lei de Newton, a aceleração do elétron é a = evB/me. (a) A velocidade do elétron pode ser calculada a partir da relação K = mv2/2: v= 2K = me 2(12, 0 × 103 eV)(1, 60 × 10 −19 J eV) = 6, 49 × 10 7 m s . 9,11 × 10 −31 kg Assim, a= evB (1, 60 × 10 −19 C)(6, 49 × 10 7 m s)(55, 0 × 10 −6 T) = 6, 27 × 1014 m s 2 ≈ 6, 3 × 1014 m s 2. = me 9,11 × 10 −31 kg (b) Supondo que o elétron continua a se mover paralelamente ao campo magnético da Terra, a trajetória do elétron é um arco de circunferência. O raio da circunferência é R= v 2 (6, 49 × 10 7 m/s)2 = = 6, 72 m. a 6, 27 × 1014 m/s 2 A linha tracejada mostra a trajetória do elétron. Seja h a distância a que o elétron se encontra do eixo x depois de percorrer uma distância d na direção do eixo. Como d = R sen u, temos: ( h = R(1 − cos  ) = R 1 − 1 − sen 2  ) ) ( = R 1 − 1 − ( d / R) 2 . Fazendo R = 6,72 m e d = 0,20 m na expressão anterior, obtemos h = 3,0 mm.    74. Fazendo Bx = By = B1 e Bz = B2 e usando a Eq. 28-2 (F = qv × B ), obtemos, em unidades do SI, 4 ˆi − 20 ˆj + 12 kˆ = 2 ( 4 B2 − 6 B1 ) ˆi + ( 6 B1 − 2 B2 ) ˆj + ( 2 B1 − 4 B1 ) kˆ  , o que nos dá B1 = 23 e B2 = 24. Assim,  B = (−3, 0 ˆi − 3, 0 ˆj − 4, 0 kˆ ) T . 75. De acordo com a Eq. 28-16, o raio da trajetória circular é r= mv = qB 2mK qB SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS na qual K = mv2/2 é a energia cinética da partícula. De acordo com a equação anterior, r  mK qB . rd = rp md K d q p = m p K p qd 2, 0 u e = 1, 0 u e (b) r = rp m K q p = m p K p q 4, 0 u e = 1, 0. 1, 0 u 2e (a) 2 ≈ 1, 4. 76. De acordo com a Eq. 28-16, a razão entre a carga e a massa é q/m = v/B′r. Como, de acordo com a Eq. 28-7, a velocidade dos íons é dada por v = E/B, temos: q E/B E = = . m B ′r BB ′r 77. De acordo com a Eq. 28-7,   | E |= v | B |= 500 V m . Para que a força elétrica e a força magnética se cancelem mutuamente, o campo elétrico  deve apontar no sentido negativo do eixo y. Assim, na notação dos vetores unitários, ˆ E = (−500 V/m)j. 78. (a) De acordo com EC = nevd . No caso do efeito Hall, a Eq. 28-10 nos dá E = vdB. Dividindo uma equação pela outra, obtemos E B = . EC ne (b) Usando o valor da resistividade do cobre dado na Tabela 26-1, obtemos E B 0, 65 T = 2, 84 × 10 −3. = = Ec ne (8, 47 × 10 28 m 3 ) (1, 60 × 10 −19 C) (1, 69 × 10 −8  ⋅ m) 79. (a) Como K = qV e qa = 2qp, Kp/Ka = 0,50. (b) Como K = qV e qa = 2qd, Kd/Ka = 0,50. (c) Como r = 2mK qB ∝ mK q , temos: rd = md K d q prp = m p K p qd (2, 00 u) K p rp = 10 2 cm m = 14 cm. (1, 00 u) K p (d) No caso de uma partícula alfa, temos: r = m K q prp = m p K p q (4, 00 u) K erp = 10 2 cm = 14 cm. (1, 00 u)( K 2) 2e 80. (a) A força é máxima quando a velocidade é perpendicular ao campo magnético. Nesse caso, de acordo com a Eq. 28-3, FB,max = |q| vB sen (90°) = evB = (1,60 × 10– 19 C) (7,20 × 106 m/s) (83,0 × 10– 3 T) = 9,56 × 10– 14 N. 191 192 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) A força é mínima quando a velocidade é paralela ao campo. Nesse caso, de acordo com a Eq. 28-3, FB,min = |q| vB sen (0) = 0. (c) Como, de acordo com a segunda lei de Newton, a = FB/me = |q| vB sen u /me, o ângulo entre   v e B é  ma   (9,11 × 10 −31 kg)(4, 90 × 1014 m s 2 )  = sen −1  e  = sen −1   = 0, 267° . − − 3 16 6  q vB   (1, 60 × 10 C)(7, 20 × 10 m s)(83, 0 × 10 T)  81. A contribuição do campo magnético para a força é dada pela Eq. 28-2,    FB = qv × B = q (17.000 ˆi × Bx ˆi ) + (−11.000 ˆj × Bx ˆi + (7000 kˆ × Bx ˆi )  = q(−220 kˆ − 140 ˆj) N, e a contribuição do campo elétrico para a força é dada pela Eq. 23-1,  FE = qE y ˆj = q(300 ˆj) N. Para q = 5,0 × 10–6 C, a força total que age sobre a partícula é    F = FB + FE = (5, 0 × 10 −6 C)(160 ˆj − 220 kˆ ) ˆ N = (0, 80 ˆj − 1,1k) ˆ mN. = (0, 00080 ˆj − 0, 0011k) 82. (a) De acordo com a Eq. 28-10, vd = E V 10 × 10 −6 V = 6, 7 × 10 −4 m/s = 0,67 mm/s. = = B dB (1, 0 × 10 −2 m)(1, 5 T) (b) De acordo com a Eq. 28-12, n= 3, 0 A Bi Bi i = = = − 4 V le Ed le vd d le (6, 7 × 10 m/s)(0, 010 m)(10 × 10 −6 m)(1, 6 × 1019 C) = 2, 8 × 10 29 m −3 . (c) Em vez de usar um desenho, vamos descrever a situação em termos das direções horizontais norte, sul,  leste e oeste e das direções verticais para cima e para baixo. Vamos supor que o campo B aponta para cima e que o plano da fita está na horizontal, com a maior dimensão na direção norte-sul. Vamos supor ainda que o sentido da corrente é do sul para o norte. De acordo com a regra da mão direita, os elétrons de condução experimentam uma força para oeste, o que estabelece uma diferença de potencial de Hall entre as bordas da fita, com a borda leste mais positiva que a borda oeste.    83. De acordo com da mão direita, o produto v × B aponta na direção − k . De acordo  a regra   com a Eq. 28-2 ( F = qv × B),para que a força aponte na direção + k̂, a carga deve ser negativa. De acordo com a Eq. 28-3, | F | =| q | v | B | sen  e, portanto,  |F| 0, 48 N  = 0, 040 C, |q|= = v | B | sen  (4000 m/s)(0, 0050 T) sen 35° o que nos dá q = 240 mC. 84. De acordo com a Eq. 28-2, temos:  F = (3, 00 A)    13  ˆ (−0, 600 T m 2 ) x 2 dx ( ˆi × ˆj) =  −1, 80   A ⋅ T ⋅ m  kˆ = (−0, 600 N)k. 0  3   ∫ 1 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 85. (a) De acordo com as Eqs. 3-30 e 28-2, temos, em unidades do SI,    F = qv × B = (+e)  v y Bz − vz By ˆi + ( vz Bx − v x Bz ) ˆj + v x By − v y Bx kˆ  ) ( ) ( {[(4)(0, 008) − (6)(−0, 004)]ˆi = (1, 60 × 10 −19 ) } + [(−6)(0, 002) − (−2)(0, 008)]ˆj + [(−2)(−0, 004) − (4)(0, 002)]kˆ = (1, 28 × 10 −21 ) ˆi + (6, 41 × 10 −22 ) ˆj = (12, 8 ˆi + 6, 41ˆj) × 10 −22 N   (b) De acordo com a própria definição de produto vetorial, o ângulo entre v e F é 90°. (c) De acordo com a Eq. 3-20, = cos −1    v⋅B  −68  −1   | v || B |  = cos  56 84  = 173°.    86. (a) Como B = Bx ˆi = (6 × 10 −5 T)iˆ , v × B = − v y Bx k̂ e a força magnética que age sobre o elétron é FB = (−e)(− v y Bx kˆ ). Assim, de acordo com a Eq. 28-16, r= me v y (9,11 × 10 −31 kg)(4 × 10 4 m/s) = 0, 0038 m. = e Bx (1, 6 × 10 −19 C)(6 × 10 −5 T) (b) O tempo necessário para uma revolução é T = 2pr/vy = 0,60 ms; durante esse tempo, o deslocamento do elétron da direção do eixo x (que é o passo da trajetória helicoidal) é ∆x = vxT = (32 × 103 m/s)(0,60 × 10–6 m/s) = 0,019 m = 19 mm. (c) Para um observador situado no semieixo x negativo, quando o elétron penetra na região na qual existe campo com uma velocidade vy positiva (que, para o observador, seria “para cima”), é submetido a uma força na direção do semieixo z positivo (que, para o observador, seria “para a direita”). Assim, para um observador situado atrás do elétron, o elétron se move no sentido horário. 193 Capítulo 29 1. (a) De acordo com a Eq. 29-4, B= 0 i (4 × 10−7 T ⋅ m A) (100 A) = = 3, 3 × 10 −6 T = 3, 3 T. 2 r 2 (6,10 m) (b) Como o valor obtido no item (a) é comparável com a componente horizontal do campo magnético da Terra, a resposta é sim. 2. De acordo com a Eq. 29-1, o valor de dB é máximo (no que diz respeito ao ângulo u) para u = 90º e assume o valor dBmax = 0 i ds . 4 R 2 De acordo com a Fig. 29-34b, dBmax = 60 × 10−12 T. Explicitando i na equação anterior, obtemos: i= 4 R 2 dBmax . 0 ds Substituindo i pelo seu valor na Eq. 29-4, obtemos: B= 2 RdBmax 2(0, 025 m)(60 × 10 −12 T) = 3, 0 × 10 −6 T = 3, 0 T. = ds (1, 00 × 10 −6 m)) 3. (a) De acordo com a Eq. 29-4, o valor absoluto da corrente é dado por i= 2 rB 2 (0, 080 m) (39 × 10 −6 T) = = 16 A. 0 4 × 10−7 T ⋅ m A (b) Para produzir um campo magnético que aponte para o sul, de modo a cancelar o campo magnético da Terra, o sentido da corrente deve ser de oeste para leste. 4. Como o campo magnético no ponto C produzido pelos trechos retilíneos do fio é zero (veja o Exemplo “Campo magnético no centro de um arco de circunferência percorrido por corrente”) e, além disso, por simetria, os campos produzidos pelos dois arcos de circunferência se cancelam, BC = 0. 5. (a) Podemos calcular o módulo do campo total no ponto a somando os campos produzidos por dois fios semi-infinitos (Eq. 29-7) com o campo produzido por um fio em forma de semicircunferência (Eq. 29-9 com f = p rad):   i   i  i  1 1  (44 × 10 −7 T ⋅ m/A)(10 A)  1 1  Ba = 2  0  + 0 = 0  +  =  +   4 R  4 R 2 R   2   2 2(0,0050 m) = 1, 0 × 10 −3 T = 1,0 mT. (b) O sentido do campo é para fora do papel, como mostra a Fig. 29-6c. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) De acordo com o enunciado, o ponto b está tão afastado do trecho curvo do fio que o campo produzido por esse trecho pode ser desprezado. Assim, de acordo com a Eq. 29-4,   i   i (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(10 A) Bb = 2  0  = 0 = = 8, 0 × 10 −4 T = 0, 80 mT.  2 πR   R  (0,0050 m) (d) O sentido do campo é para fora do papel.  6. Tomando o eixo x como horizontal e o eixo y como vertical na Fig. 29-37, o vetor r que liga      um segmento ds do fio ao ponto P é dado por r = − s ˆi + R ˆj . Como ds = ds î, | ds × r | = Rds. Assim, como r = s 2 + R 2 , a Eq. 29-3 nos dá dB = iR ds 0 . 2 4 (s + R 2 )3 / 2 (a) Como  a variável s aparece apenas no denominador, o elemento que mais contribui para o campo B é o elemento situado em s = 0. (b) O valor de dBmax, obtido fazendo s = 0 na equação anterior, é dBmax = 0 i ds . 4 R 2 Assim, a condição de que o campo produzido pelo elemento seja responsável por 10% da maior contribuição pode ser expressa através da equação dB = iR ds dB 0  i ds = max = 0 2 . 2 2 3 2 / 4 (s + R ) 10 40 R Explicitando s na equação anterior, obtemos s = R 10 2 / 3 − 1 = (2, 00 cm)(1, 91) = 3, 82 cm. 7. (a) O campo magnético no ponto P produzido pelos trechos retilíneos do fio é zero (veja o Exemplo “Campo magnético no centro de um arco de circunferência percorrido por corrente”). De acordo com a Eq. 29-9 (com f = u) e a regra da mão direita, o campo criado no ponto P pelo arco de raio b é 0 i 4 b, para fora do papel, e o campo criado pelo arco de raio a é 0 i 4 a, para dentro do papel. Assim, o campo total no ponto P é B= 0 i  1 1  (4  10 −7 T ⋅ m A)(0,411 A)(74 ⋅  /180)  1 1  = −  0,107 m − 0,135 m  4  b a 4 = 1, 02  10 −7 T = 0,102 T. (b) O sentido é para fora do papel. 8. (a) O campo magnético no ponto C produzido pelos trechos retilíneos do fio é zero (veja o Exemplo “Campo magnético no centro de um arco de circunferência percorrido por corrente”). De acordo com a Eq. 29-9 (com f = p) e a regra da mão direita, o campo criado no ponto C pelo arco de raio R1 é 0 i 4 R1 , para dentro do papel, e o campo criado pelo arco de raio R2 é 0 i 4 R2 , para fora do papel. Assim, o campo total no ponto C é B=  1 1  (4 × 10 −7 T ⋅ m A)(0,281A)  1 0 i  1 − − =    4 4  R1 R2   0,0315 m 0,0780 m  = 1, 67 × 10 −6 T = 1,67 T. (b) O sentido é para dentro do papel. 195 196 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 9. (a) Para que os campos magnéticos criados pelas duas correntes não se cancelem, as correntes devem ter sentidos opostos. (b) Como, em um ponto a meio caminho entre os dois fios, o campo criado pelas duas correntes tem o mesmo módulo, m0i/2pr, o módulo do campo total é B = m0i/pr e, portanto, i=  rB  (0, 040 m) (300 × 10 −6 T) = = 30 A. 0 4 × 10 −7 T ⋅ m A 10. (a) O campo magnético no ponto C produzido pelos trechos retilíneos do fio é zero (veja o Exemplo “Campo magnético no centro de um arco de circunferência percorrido por corrente”). De acordo com a Eq. 29-9 (com f = p) e a regra da mão direita, o campo criado no ponto C pelo arco é 0 i 4 R. Assim, o módulo do campo magnético é B= 0 i (4 × 10 −7 T ⋅ m A)(0,0348 A) = = 1,18 × 10 −7 T = 0,118 T. 4R 4(0, 0926 m) (b) De acordo com a regra da mão direita, o campo aponta para dentro do papel. 11. (a) BP1 = 0 i1 / 2 r1, na qual i1 = 6,5 A e r1 = d1 + d2 = 0,75 cm + 1,5 cm = 2,25 cm; BP2 = 0 i2 / 2 r2, na qual r2 = d2 = 1,5 cm. Fazendo BP1 = BP2, obtemos  1, 5 cm  r  = 4, 3 A. i2 = i1  2  = ( 6, 5 A )   r1   2,25 cm  (b) De acordo com a regra da mão direita, o sentido da corrente no fio 2 deve ser para fora do papel. 12. (a) Como as correntes têm o mesmo sentido, a única região na qual os campos podem se cancelar é a região entre os fios. Assim, se o ponto em que isso acontece está a uma distância r do fio que conduz uma corrente i1, então está a uma distância d 2 r do fio que conduz uma corrente 3,00i e, portanto, 0 i 0 (3i) = 2 r 2 (d − r ) ⇒ r= d 16, 0 cm = = 4, 0 cm.. 4 4 (b) Se as duas correntes são multiplicadas por dois, o ponto em que o campo magnético é zero permanece onde está. 13. Vamos tomar o eixo x coincidindo com o fio, com a origem no ponto médio do fio, e supor que o sentido da corrente é o sentido positivo do eixo x. Todos os segmentos do fio produzem campos magnéticos no ponto P1 orientados para fora do papel. De acordo com a lei de Biot-Savart, o módulo do campo produzido por um segmento infinitesimal do fio no ponto P1 é dado por  i sen  dB = 0 dx , 4 r 2 na qual u (o ângulo entre o segmento e a reta que liga o segmento a P1) e r (o comprimento da reta) são funções de x. Substituindo r por x 2 + R 2 , sen u por R r = R x 2 + R 2 e integrando de x = 2L/2 a x = L/2, obtemos: B= = dx x 0 iR ⌠ L / 2  iR 1 = 0  32 2 2 2 2 4 ⌡− L / 2 ( x + R ) 4 R ( x + R 2 )1 2 ( 4 × 10−7 T ⋅ m A ) ( 0, 0582 A ) 2 ( 0,131 m ) = 5, 03 × 10 −8 T = 5,03 nT. L 2 −L 2 = 0 i 2 R 0,180 m (0,180 m)2 + 4(0,131m)2 L L2 + 4 R2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 14. Usando a Eq. 29-6 com um limite superior finito, L/2, obtemos: L/2 Rds s  i L/2 i   B= 0 ⌠ = 0  2  2 1 2 2 3 2 / 2 / 2 ⌡0 (s + R ) 2 R  (s + R )  0 = 0 i 2 R L /2 ( L / 2)2 + R 2 . O problema nos pede para determinar o valor de L/R para o qual a seguinte relação é satisfeita: B∞ − B = 0, 01, B na qual B∞ = 0 i 2 R e B= 0 i 2 R L /2 ( L / 2)2 + R 2 . A solução obtida, depois de algumas manipulações algébricas, é 200 L = ≈ 14,1. R 201 15. (a) O campo magnético no ponto P produzido pelos trechos retilíneos do fio é zero (veja o Exemplo “Campo magnético no centro de um arco de circunferência percorrido por corrente”). A contribuição dos trechos curvos pode ser calculada usando a Eq. 29-9. Usando o vetor unitário k̂ para representar a direção para fora do papel, temos:   (0, 40 A) ( rad)  (0, 80 A) (2 / 3 rad) ˆ ˆ B= 0 k = −(1, 7 × 10 −6 T) k, kˆ − 0 4 (0, 040 m) 4 (0, 050 m)  o que nos dá | B | = 1, 7 × 10 −6 T = 1,7 T. (b) A orientação do campo magnético é − k̂, ou seja, para dentro do papel. (c) Invertendo o sentido de i1, temos:   (0, 40 A) ( rad) ˆ 0 (0, 80 A) (2 / 3 rad) ˆ ˆ B=− 0 k = −(6, 7 × 10 −6 T) k, k− 4 (0, 040 m) 4 (0, 050 m)  o que nos dá | B | = 6, 7 × 10 −6 T = 6,7 T. L/2 (d) A orientação do campo magnético é B =    2 = 0 i 2 R L /2 ( L / 2)2 + R 2 Rds s 0 i ⌠ L / 2 i   = 0  2 ⌡0 (s 2 + R 2 )3 / 2 2 R  (s 2 + R 2 )1 / 2  0 . ou seja, para dentro do papel. 16. Usando a lei dos cossenos e a condição de que B = 100 nT, obtemos  B 2 + B22 − B 2  = 144°,  = cos −1  1  −2 B1 B2  na qual a Eq. 29-10 foi usada para determinar B1 (168 nT) e B2 (151 nT). 17. Vamos tomar o eixo x coincidindo com o fio, com a origem na extremidade direita, e supor que o sentido positivo é o sentido da corrente. Todos os segmentos do fio produzem campos magnéticos no ponto P2 que apontam para fora do papel. De acordo com a lei de Biot-Savart, o módulo do campo produzido no ponto P2 por um segmento infinitesimal dx é dado por dB = 0 i sen  dx 4 r 2 =   + 197 198 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS na qual u é o ângulo entre o segmento e a reta que liga o segmento a P2, e r é o comprimento da reta. Substituindo r por x 2 + R 2 , sen u por R r = R x 2 + R 2 e integrando de x = –L até x = 0, obtemos B= = dx x 0 iR ⌠ 0  iR 1 = 0  2 2 2 2 3 2 4 ⌡− L ( x + R ) 4 R ( x + R 2 )1 2 (4 × 10−7 T ⋅ m A)(0, 693 A) 4 ( 0, 251 m ) 0 −L = 0 i 4 R L L2 + R 2 0,136 m (0,136 m)2 + (0, 251 m)2 = 1, 32 × 10 −77 T = 132 nT. 18. No primeiro caso temos Bpequeno + Bgrande = 47,25 mT; no segundo, Bpequeno – Bgrande = 15,75 mT. (Nota: Os nomes “pequeno” e “grande” se referem ao tamanho dos arcos e não ao valor dos campos magnéticos; na verdade, Bpequeno > Bgrande!) Dividindo uma das equações pela outra e cancelando fatores comuns (veja a Eq. 29-9), obtemos (1/rpequeno ) + (1/rgrande ) 1 + (rpequeno /rgrande ) = = 3, (1/rpequeno ) − (1/rgrande ) 1 − (rpequeno /rgrande ) o que nos dá rpequeno = rgrande /2. Como rgrande = 4,00 cm, temos: rpequeno = (4,00 cm)/2 = 2,00 cm. 19. De acordo com a Eq. 29-4, a contribuição do primeiro fio para o campo total é  i (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(30 A) ˆ B1 = 0 1 kˆ = k = (3, 0 × 10 −6 T) kˆ . 2 r1 2 (2,0 m) Como a distância entre o segundo fio e o ponto de interesse é r2 = 4 m − 2 m = 2 m, a contribuição do segundo fio para o campo total é  i (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(40 A) ˆ B2 = 0 2 ˆi = i = (4, 0 × 10 −6 T) ˆi . 2 r2 2 (2,0 m) O módulo do campo total é, portanto,  | Btot | = (3, 0 × 10 −6 T)2 + (4, 0 × 10 −6 T)2 = 5, 0 × 10 −6 T = 5,0 T. 20. (a) A contribuição do fio retilíneo para o campo magnético no ponto C é BC1 = 0 i 2 R BC 2 = 0 i . 2R e a contribuição do fio circular é Assim, 1  (4 × 10 −7 T ⋅ m A) (5, 78 × 10 −3 A)  1 0 i  −7  1 +  =  1 +  = 2, 53 × 10 T. 2R   2(0, 0189 m)  De acordo com a regra da mão direita, BC aponta para fora do papel, ou seja, no sentido positivo do eixo z. Assim, na notação dos vetores unitários,  BC = (2, 53 × 10 −7 T) kˆ = (253 nT)kˆ BC = BC1 + BC 2 = SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS   (b) Nesse caso, BC1 ⊥ BC 2 e, portanto, BC = BC2 1 + BC2 2 = (4 × 10 −7 T ⋅ m A) (5, 78 × 10 −3 A) 1 1 0 i 1+ 2 1+ 2 = 2(0, 0189 m) 2R   = 2, 02 × 10 −7 T  e BC faz um ângulo com o plano do papel dado por B   1 tan −1  C1  = tan −1   = 17, 66°.   BC 2  Na notação dos vetores unitários,  BC = 2, 02 × 10 −7 T(cos 17, 66° ˆi + sen 17, 66° kˆ ) = (1, 92 × 10 −7 T) ˆi + (6,12 × 10 −8 T)kˆ = (192 nT) ˆi + (61, 2 nT) kˆ . 21. Por simetria, e de acordo com a regra da mão direita, o campo magnético total aponta para a direita e é dado por  i | Btot | = 2 0 sen  2 r na qual r = d 22 + d12 / 4 e  d   4, 00 m  −1  4   = tan −1  2  = tan −1   = tan  3  = 53,1°. 6 00 m)/ 2 ( ,  d1 / 2    Assim,  | Btot | = (4 × 10 −7 T ⋅ m A)(4, 00 A) 0 i sen  = sen 53,1°  (5, 00 m)  d22 + d12 / 4 = 2,56  10 −7 T = 256 nT. 22. O fato de que By = 0 para x = 10 cm no gráfico da Fig. 29-49b significa que as correntes têm sentidos opostos. Assim, de acordo com a Eq. 29-4, By = 1 0 i1 i i  4 − 02 = 02 −  2 ( L + x ) 2 x 2  L + x x  Para maximizar By, derivamos a expressão anterior em relação a x e igualamos o resultado a zero, o que nos dá: dBy 0 i2  4 1  = − + 2  = 0 ⇒ 3 x 2 − 2 Lx − L2 = 0.  2 dx x  2  ( L + x ) A única raiz positiva da equação anterior é x = L, para a qual By = moi2/2pL. Para determinar o valor de L, fazemos x = 10 cm na expressão de By e igualamos o resultado a zero, o que nos dá: By = 4 1  0 i2  = 0 ⇒ L = 30 cm. −  2  L + 10 cm 10 cm  (a) A componente By é máxima para x = L = 30 cm. (b) Para i2 = 0,003 A, temos: By = 0 i2 (4 × 10 −7 H/m)(0, 003 A) = = 2, 0 × 10 −9 T = 2, 0 nT. 2 L 2 (0, 3 m) 199 200 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) e (d) A Fig. 29-49b mostra que em pontos muito próximos do fio 2, nos quais a contribuição do fio 2 é muito maior que a do fio 1, By aponta no sentido negativo do eixo 2y. De acordo com a regra da mão direita, isso indica que o sentido da corrente no fio 2 é para dentro do papel. Como sabemos que as correntes têm sentidos opostos, isso indica também que o sentido da corrente no fio 1 é para fora do papel. 23. De acordo com a Eq. 20-4, o campo magnético na posição do próton mostrada na Fig. 29-50 ˆ Assim, de acordo com a Eq. 28-2, é B = (0 i / 2 d ) k. ) (     iq  F = ev × B = 0 v × kˆ . 2 d  Como, de acordo com o enunciado, v = v(− ˆj), na qual v é o módulo da velocidade, temos: −7 −19   iqv (− ˆj) × kˆ  = − 0 iqv ˆi = − (4 × 10 T ⋅ m A)(0,350A)(1,60 × 10 C)(200 m/s) ˆi F= 0  2 d  2 d 2 (0,0289 m) ˆ = (−7, 75 × 10 −23 N)i. 24. Inicialmente, Btot,y = 0 e Btot,x = B2 + B4 = 2(mo i/2pd). Para obter a rotação de 30º descrita no enunciado, devemos ter Btot , y = Btot , x tan(30°)  i ⇒ B1′ − B3 = 2  0  tan(30°),  2 d  na qual B3 = mo i/2pd e B1′ = 0 i / 2 d ′. Como tan(30º) = 1/ 3 , isso nos dá d′ = 3 d = 0, 464 d . 3+2 (a) Para d = 15,0 cm, obtemos d′ = 7,0 cm. Examinando a geometria do problema, concluímos que é preciso deslocar o fio 1 para x = −7,0 cm.  (b) Para que o campo B volte à orientação inicial, basta restabelecer a simetria inicial, deslocando o fio 3 para x = +7,0 cm. 25. De acordo com a Eq. 29-7, a contribuição da corrente em cada fio semi-infinito para o campo magnético no centro da circunferência é Breto = m0i/4pR e, em ambos os casos, o campo aponta para fora do papel. De acordo com a Eq. 29-9, a contribuição da corrente no arco de circunferência para o campo magnético no centro da circunferência é Barco = m0iu/4pR e o campo aponta para dentro do papel. Igualando a zero o campo magnético total no centro da circunferência, temos: i   i   i B = 2 Breto − Barco = 2  0  − 0 = 0 (2, 00 −  ) = 0,  4 R  4 R 4 R o que nos dá u = 2,00 rad. 26. De acordo com o teorema de Pitágoras, temos a relação 2   i    i  B 2 = B12 + B22 =  0 1  +  0 2   4 R   2 R  2 que, interpretada como a equação de uma reta de B2 em função de i22 , permite identificar o primeiro termo (1,0 × 10−10 T2) como o “ponto de interseção com o eixo y” e o coeficiente de i22 no segundo termo (5 × 10−10 B2/A2) como “inclinação”. A segunda observação nos dá: R= 4 × 10 −7 H/m 0 = 8, 9 mm. = 2 5 × 10 −10 B2 /A 2 2 (2, 24 × 10 −5 B/A) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS A segunda observação nos dá: = 4 R 1, 0 × 10 −10 T 2 4 (0, 0089 m)(1, 0 × 10 −5 T) = 1, 8 rad. = (4 × 10 7 H/m)(0, 50 A) 0 i1 27. Podemos usar a Eq. 29-4 para relacionar os módulos dos campos magnéticos B1 e B2 às correntes i1 e i2. Como os campos são mutuamente perpendiculares, o ângulo que o campo total faz com o eixo x é dado por u = tan−1(B2 /B1) = tan−1(i2 /i1) = 53,13º. Uma vez obtida a rotação descrita no problema, o ângulo final é u′ = 53,13º – 20º = 33,13º. Assim, o novo valor da corrente i1 deve ser i2 /tanu′ = 61,3 mA. 28. De acordo com as Eqs. 29-9 e 29-4 e tomando o sentido para fora do papel na Fig. 29-55a como positivo, o campo total é B= 0 i1 0 i2 . − 4 R 2 ( R / 2) Examinando o gráfico da Fig. 29-55b, vemos que B = 0 para i2 = 0,5 A, o que nos dá, igualando a zero a expressão anterior, f = 4(i2 /i1) = 4(0,5/2) = 1,00 rad 29. Cada fio produz um campo no centro do quadrado de módulo B = 0 i / a 2 . Os campos produzidos pelos fios situados no vértice superior esquerdo e no vértice inferior direito do quadrado apontam na direção do vértice superior direito; os campos produzidos pelos fios situados no vértice superior direito e no vértice inferior esquerdo apontam na direção do vértice superior esquerdo. As componentes horizontais dos campos se cancelam e a soma das componentes verticais é Btot = 4 2 0 i 2(4 × 10 −7 T ⋅ m A) (20 A) 0 i = 8, 0 × 10 −5 T. cos 45° = =  (0, 20 m) a a 2 Como o campo total  aponta para cima, no sentido positivo do eixo y, temos, na notação dos ˆ vetores unitários, Btot = (8, 0 × 10 −5 T)jˆ = (80 T)j. A figura a seguir mostra o campo total e as contribuições dos quatro fios. Os sentidos dos campos podem ser determinados usando a regra da mão direita. 30. De acordo com o gráfico da Fig. 29-57c, quando a componente y do campo magnético produzido pelo fio 1 é zero (o que, de acordo com a regra da mão direita, acontece quando o ângulo que o fio 1 faz com o eixo x é u = 90º), a componente y do campo magnético total é zero. Isto significa que a posição do fio 2 é u = 90º ou u = −90º. 201 202 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (a) Vamos supor que o fio 2 está na posição u = −90º (ou seja, na extremidade inferior do cilindro), já que, se estivesse na parte superior do cilindro, seria um obstáculo para o movimento do fio 1, que é necessário para levantar os gráficos das Figs. 29-57b e 29-57c. (b) De acordo com o gráfico da Fig. 29-57b, quando a componente x do campo magnético produzido pelo fio 1 é zero (o que, de acordo com a regra da mão direita, acontece quando o ângulo que o fio 1 faz com o eixo x é u = 0o), a componente x do campo magnético total é 2,0 mT, e quando a componente x do campo magnético produzido pelo fio 1 é máxima (o que, de acordo com a regra da mão direita, acontece quando o ângulo que o fio 1 faz com o eixo x é u = 90o), a componente x do campo magnético total é 6,0 mT. Isso significa que B1x = 6,0 mT − 2,0 mT = 4,0 mT, o que, de acordo com a Eq. 29-4, nos dá i1 = 2 RB1x 2 (0,200 m)(4,0 × 10 −6 T) = 4, 0 A. = 0 4 × 10 −7 T ⋅ m/A (c) O fato de que, na Fig. 29-57b, B1x aumenta quando u1 varia de 0o até 90º significa que o sentido da corrente no fio 1 é para fora do papel. (d) Como foi visto no item (b), a componente x do campo produzido pelo fio 2 é B2x = 2,0 mT. Assim, de acordo com a Eq. 29-4, temos: i2 = 2 RB2 x 2 (0,200 m)(2,0 × 10 −6 T) = 2, 0 A. = 0 4 × 10 −7 T ⋅ m/A (e) De acordo com a regra da mão direita, o sentido da corrente no fio 2 é para dentro do papel. 31. (a) O campo magnético no ponto P produzido pelos segmentos do fio colineares com P é zero (veja o Exemplo “Campo magnético no centro de um arco de circunferência percorrido por corrente”). Vamos usar o resultado do Problema 29-17 para calcular as contribuições dos outros segmentos para o campo no ponto P, levando em conta o fato de que o campo magnético produzido pelo ponto P aponta para dentro do papel nos dois segmentos de comprimento a que não são colineares com P e aponta para fora do papel nos dois segmentos de comprimento 2a. O resultado é o seguinte:  2 0 i   2 0 i  2 0 i BP = 2  = − 2 =  2 a a   a 8 8 8 ( )     8 ( 0, 047 m ) = 1, 96 × 10 −5 T ≈ 2,0 × 10 −5 T = 20 T. (b) O sentido é para dentro do papel. 32. De acordo com a Eq. 29-9, o campo inicial é Bi = 0 i 0 i . + 4 R 4 r Quando a espira menor está na posição final, o teorema de Pitágoras nos dá 2 2   i    i  B 2f = Bz2 + By2 =  0  +  0  .  4 R   4 r  Elevando Bi ao quadrado e dividindo por B 2f , obtemos 2  Bi  [(1/R) + (1/r )]2  B  = (1/R)2 + (1/r )2  f ) 2 ( 4 × 10 −7 T ⋅ m A (13 A ⇒ r=R 1±  2 − 2 2 −1 ) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS na qual j = Bi/Bf. Observando o gráfico da Fig. 29-59c, chegamos à conclusão de que Bi/Bf = (12,0 mT)/(10,0 mT) = 1,2, o que nos dá r=R 1 + 1, 2 2 − 1, 2 = 2, 3 cm ou 43,1 cm. 1, 22 − 1 Como sabemos que r < R, a única resposta aceitável é r = 2,3 cm. 33. Considere um segmento infinitesimal da fita de largura dx situado a uma distância x do ponto P. A corrente no segmento é di = i dx/w e sua contribuição para o campo BP no ponto P é dBP = 0 di 0 idx . = 2 x 2 xw Assim, ∫ BP = dBP = = 0 i 2 w ∫ d+w d dx  i  w = 0 ln  1 +  2 w  x d (44 × 10 −7 T ⋅ m A)(4, 61 × 10 −6 A)  0, 0491  ln  1 +  2 ( 0, 0491 m ) 0, 0216  = 2, 23 × 10 −11 T = 22,3 pT.  B Como o campo P aponta para cima, este resultado nos dá, na notação dos vetores unitários,  − 11 BP = (2, 23 × 10 T) ˆj. Nota: Para d >> w, usando a expansão ln(1 + x ) = x − x 2 / 2 + . . . , o campo magnético se torna BP = 0 i  w  0 i w 0 i ⋅ = ln  1 +  ≈ , 2 w  d  2 w d 2 d que é o campo produzido por um fio fino. 34. De acordo com a regra da mão direita, o campo produzido pela corrente no fio 1, calculado na origem das coordenadas, aponta no sentido positivo do eixo y. O módulo B1 do campo é dado pela Eq. 29-4. Usando relações trigonométricas e a regra da mão direita, é fácil demonstrar que o campo produzido pelo fio 2, quando situado na posição especificada pelo ângulo u2 na Fig. 29-61, tem componentes B2 x = B2 sen 2 , B2 y = − B2 cos 2 , na qual o valor de B2 é dado pela Eq. 29-4. Assim, de acordo com o teorema de Pitágoras, o quadrado do módulo do campo total na origem é dado por B 2 = ( B2 sen 2 )2 + ( B1 − B2 cos 2 )2 = B12 + B22 − 2 B1 B2 cos 2 . Como B1 = 0 i1 i = 60 nT, B2 = 0 2 = 40 nT e B = 80, 0 nT, 2 πR 2 πR temos:  B 2 + B22 − B 2  −1 2 = cos −1  1  = cos (−1/ 4) = 104°. 2 B1 B2  203 204 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 35. A Eq. 29-13 pode ser usada para calcular o módulo da força entre os fios, e calcular a componente x corresponde a multiplicar o módulo por cos f = d2/ d12 + d 22 . Assim, a componente x da força por unidade de comprimento é (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(4,00 × 10 −3 A)(6, 80 × 10 −3 A)(0,050 m) Fx 0 i1i2 d 2 = = L 2 (d12 + d 22 ) 2 [(0,0240 m)2 + (0,050 m)2 ] = 8, 84 × 10 −11 N/m = 88,4 pN/m. 36. De acordo com a Eq. 29-13, (a) A força magnética a que está submetido o fio 1 é   i 2l  1 1 1 1  250 i 2l ˆ 25(4 × 10 −7 T ⋅ m A)(3, 00 A)2 (10, 0 m) ˆ F1 = 0  + + + j j= ĵ =  2  d 2d 3d 4 d  24 d 24 (8, 00 × 10 −2 m) = (4, 69 × 10 −4 N) ˆj = (469  N) ˆj. (b) A força magnética a que está submetido o fio 2 é   i 2l  1 1 5 i 2l F2 = 0  +  ˆj = 0 ˆj = (1,888 × 10 −4 N) ˆj = (188 N) ˆj. 2  2d 3d  12 d  (c) Por simetria, F3 = 0.   (d) Por simetria, F4 = − F2 = ( − 188  N) ˆj.   (e) Por simetria, F5 = − F1 = (−4, 69  N) ˆj.     37. Usamos a Eq. 29-13 e a composição de forças: F4 = F14 + F24 + F34. Para u = 45°, a situação é a mostrada na figura ao  lado. As componentes de F4 são F4 x = − F43 − F42 cos = − 3 i 2 0 i 2 0 i 2 cos 45° − =− 0 2 a 4 a 2 2 a e F4 y = F41 − F42 sen  = 0 i 2 0 i 2 sen 45° 0 i 2 − = . 2 a 4 a 2 2 a SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Assim, ( F4 = F42x + F42y = ) 12 12  3 i 2  2   i 2  2  =  − 0  +  0    4 a   4 a   = 10 0 i 2 4 a 10 (4 × 10 −7 T ⋅ m A)(7,50 A)2 4 ( 0,135 m ) = 1, 32 × 10 −4 N/m  e o ângulo que F4 faz com o semieixo x positivo é  F4 y   1 = tan −1  −  = 162°.  = tan −1    3  F4 x  Na notação dos vetores unitários, temos:  F1 = (1, 32 × 1024 N/m)[cos162° ˆi + sen 162° ˆj] = (−1, 25 × 1024 N/m) ˆi + (4,17 × 1025 N/m) ˆj = (−125  N/m) ˆi + (41, 7  N/m) ˆj. 38. (a) O fato de que o gráfico da Fig. 29-64b passa pelo zero significa que as correntes nos fios 1 e 3 exercem forças em sentidos opostos sobre o fio 2. Como sabemos que o sentido da corrente no fio 3 é para fora do papel, isso significa que o sentido da corrente 1 também é para fora do papel. Quando o fio 3 está a uma grande distância do fio 2, o único campo a que o fio 2 está submetido é o produzido pela corrente no fio 1; neste caso, de acordo com o gráfico da Fig. 29-64b, a força é negativa. Isto significa que o fio 2 é atraído pelo fio 1, o que indica, de acordo com a discussão da Seção 29-2), que o sentido da corrente no fio 2 é o mesmo da corrente no fio 1, ou seja, para fora do papel. De acordo com o enunciado, com o fio 3 a uma distância infinita do fio 2, a força por unidade de comprimento é −0,627 mN/m, o que nos permite escrever, de acordo com a Eq. 29-13, F12 = 0 i1i2 = 6, 27 × 10 −7 N/m. 2 d Quando o fio 3 está no ponto x = 0,04 m, a força é nula e, portanto, F23 = 0 i2i3  ii = F12 = 0 1 2 2 (0, 04) 2 d ⇒ d 0, 04 m 0, 04 m = = = 0,16 m/A. i1 i3 0, 250 A Substituindo d/i1 pelo seu valor na equação anterior, obtemos: i2 = 2 (6, 27 × 10 −7 N/m )(0,16 m/A) = 0, 50 A. 4 × 10 −7 H/m (b) O sentido de i2 é para fora do papel. 39. Como o sentido de todas as correntes, exceto a corrente i2, é para dentro do papel, o fio 3 é atraído por todas as correntes, exceto a corrente 2. Assim, de acordo com a Eq. 29-13, temos:  | F | 0 i3  i1 i2 i4 i5  = + + +  − 2  2d d d 2d  L = (4 × 10 −7 H/m)(0, 250 A)  2, 00 A 4, 00 A 4, 00 A 2, 00 A   − 2(0, 5 m ) + 0, 5 m + 0, 5 m + 2(0, 5 m)  = 2   = 8, 00 × 10 −7 N/m = 800 nN/m. 205 206 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 40. Por simetria, apenas as forças (ou suas componentes) ao longo das diagonais contribuem para a força total. Fazendo u = 45° e usando a Eq. 29-13, obtemos:    0 i 2 3  0 i 2    i2  = F1 = | F12 + F13 + F14 | = 2 F12 cos  + F13 = 2  0  cos 45° +    2 a  2 2 πa 2 2  a  3 (4 × 10 −7 T ⋅ m A)(15, 0 A)2 = 1,12 × 10 −3 N/m. (8, 50 × 10 −2 m) 2 2  A força F1 aponta na direção rˆ = ( ˆi − ˆj)/ 2. Na notação dos vetores unitários, temos: =  (1,12 × 10−3 N/m) ( ˆi − ˆj) = (7, 94 × 10−4 N/m)iˆ + (−7, 94 × 10−4 N/m)jˆ = F1 = 2 N/m) ˆj. = (0, 794 mN/m) ˆi + (−0, 794 mN 41. Os módulos das forças exercidas sobre os lados da espira paralelos ao fio longo podem ser calculados usando a Eq. 29-13, mas as forças exercidas sobre os lados perpendiculares teriam que ser calculadas através de integrais do tipo F= ∫ a+b a 0 i1i2 dy. 2 y Entretanto, por simetria, as forças exercidas sobre os lados perpendiculares ao fio longo se cancelam. No caso dos lados paralelos, temos: F= = 1  0 i1i2 L  1 0 i1i2 b  −  = 2 2 a ( a + b ) a a+d (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(30, 0 A)(20, 0 A)(8, 00 cm)(300 × 10 −2 m ) = 3, 20 × 10 −3 N, 2 (1, 00 cm + 8,0 0 cm )  e F aponta na direção do fio. Assim, na notação dos vetores unitários,  F = (3, 20 × 10 −3 N) ˆj = (3,20 mN) ˆj 42. Como a área envolvida pela integral de linha é A = (4d)(3d)/2 = 6d2, temos:   B ⋅ ds = 0 i = 0 jA = (4 × 10 −7 T ⋅ m A)(15 A/m 2 )(6)(0, 20 m)2 = 4, 5 × 10 −6 T ⋅ m. ∫ c 43. Vamos usar a Eq. 29-20, B = 0 ir / 2 a 2, para calcular o campo magnético no interior do fio (r < a), e a Eq. 29-17, B = 0 i / 2 r , para calcular o campo magnético do lado de fora do fio (r > a). (a) Para r = 0, B = 0. (b) Para r = 0,0100 m, B= 0 ir (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(170 A)(0, 0100 m) = = 8, 50 × 10 −4 T = 0,850 mT. 2 a 2 2 (0, 0200 m)2 (c) Para r = a = 0,0200 m, B= 0 ir (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(170 A)(0, 0200 m) = = 1, 70 × 10 −3 T = 1,70 mT. 2 a 2 2 (0, 0200 m)2 (d) Para r = 0,0400 m, B= 0 i (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(170 A) = = 8, 50 × 10 −4 T = 0,850 mT. 2 r 2 (0, 0400 m) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS   44. Vamos usar a lei de Ampère, B ⋅ ds = 0 i , na qual a integral é calculada ao longo de uma curva fechada e a corrente é a corrente total no interior da curva. ∫ (a) No caso da curva 1, o resultado é   B ⋅ ds = 0 (−5, 0 A + 3, 0 A) = (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(−2, 0 A) ∫ 1 = −2, 5 × 10 −6 T ⋅ m = −2, 5 T ⋅ m. (b) No caso da curva 2, temos:   B ⋅ ds = 0 (−5, 0 A − 5, 0 A − 3, 0 A) = (4 × 10 −7 T ⋅ m/A))(−13, 0 A) ∫ 2 = −1, 6 × 10 −5 T ⋅ m = −16 T ⋅ m. 45. (a) Como dois dos fios envolvidos pela curva conduzem corrente para fora do papel e um fio conduz corrente para dentro do papel, a corrente total envolvida pela curva é 2,0 A, para fora do papel. Como a curva é percorrida no sentido horário, de acordo com a regra da mão direita associada à lei de Ampère, uma corrente para dentro do papel é positiva e uma corrente para fora do papel é negativa. Assim,   B ⋅ ds = −0 i = −(4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(2, 0 A) = −2, 5 × 10 −6 T ⋅ m = −2, 5 T ⋅ m. ∫ (b) Como a corrente total no interior da curva é zero,   B ⋅ ds = 0 ienv = 0. ∫ 46. Observando a curva de perto, vemos que apenas as correntes 1, 3, 6 e 7 são envolvidas. Assim, levando em conta o sentido dessas correntes, temos:   B ⋅ ds = 0 (7i − 6i + 3i + i) = 50 i = 5(4 × 10 −7 T ⋅ m/A))(4, 50 × 10 −3 A) ∫ = +2, 83 × 10 −8 T ⋅ m = +28,3 nT ⋅ m. 47. Para r ≤ a, B (r ) = 0 ienv  = 0 2 r 2 r ∫ r 0 J ( r ) 2 rdr = 0 2 ∫ r 0  J r2 r J0   2 rdr = 0 0 .  a 3a (a) Para r = 0, B = 0. (b) Para r = a/2, temos: B(a / 2) = 0 J0 (a / 2)2 (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(310 A/m 2 )(3,1 × 10 −3 m/ 2)2 = 3a 3(3,1 × 10 −3 m) = 1, 0 × 10 −7 T = 0,10 T. (c) Para r = a, temos: B( a ) = 0 J0 a (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(310 A/m 2 )(3,1 × 10 −3 m) = 3 3 = 4, 0 × 10 −7 T = 0,40 T. 207 208 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 48. (a) Por simetria, o campo magnético no eixo do cano se deve apenas ao fio, e o módulo desse campo é i i BC = 0 fio = 0 fio . 2 (3R) 6 R Como o campo produzido pelo fio no ponto P é maior que o campo produzido pelo fio no eixo do cano, para que o campo total no ponto P seja igual ao campo no eixo do cano é preciso que o campo produzido pelo cano no ponto P tenha o sentido oposto ao do campo produzido pelo fio. Assim, i 0 i BP = BP , fio − BP , cano = 0 fio − . 2 R 2 (2 R) Fazendo BC = 2BP, obtemos ifio = 3i/8 = 3(8,00 × 10−3 A)/8 = 3,00 × 10−3 A = 3 mA. (b) O sentido é para dentro do papel. 49. (a) De acordo com a Eq. 29-24, B= 0 iN (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(0, 800 A)(500) = 5, 33 × 10 −4 T = 533 T. = 2 r 2 (0,150 m) (b) De acordo com a Eq. 29-24, B= 0 iN (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(0, 800 A)(500) = = 4, 00 × 10 −4 T = 400 T. 2 r 2 ( 0, 200 m ) 50. Seria possível, embora muito trabalhoso, usar a Eq. 29-26 para calcular as contribuições para o campo das 1200 espiras e depois somá-las, mas é muito mais fácil recorrer à Eq. 29-23, segundo a qual 1200  N B = 0 in = 0 i   = (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(3, 60 A)  l (0, 950 m) = 0, 00571 T = 5, 71 mT. 51. Seria possível, embora muito trabalhoso, usar a Eq. 29-26 para calcular as contribuições para o campo das 200 espiras e depois somá-las, mas é muito mais fácil recorrer à Eq. 29-23, segundo a qual 200  N B = 0 in = 0 i   = (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(0, 30 A)  l 0, 25 m = 3, 0 × 10 −4 T = 0, 30 mT. 52. Como, de acordo com a Eq. 29-23, B = m0in = m0iN/l, N = Bl/m0i e o comprimento L do fio é dado por L = 2 rN = 2 rBl 2 (2, 60 × 10 −2 m)(23, 0 × 10 −3 T)(1, 30 m) = 108 m. = 0 i 2(4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(18, 0 A) 53. Como o raio da órbita do elétron é r= mv mv = , eB e0 ni temos: i= mv (9,11 × 10 −31 kg)(0, 0460)(3, 00 × 108 m s)) = 0, 272 A. = − 19 e0 nr (1, 60 × 10 C)(4 × 10 −7 T ⋅ m A)(100 0, 0100 m)(2, 30 × 10 −2 m) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 54. De acordo com a Eq. 28-17 e supondo que o solenoide é ideal, o período T do movimento do elétron é dado por 2 m 2 m 2 mL = = , eB e0 in e0 iN T= na qual m é a massa do elétron, L é o comprimento do solenoide, i é a corrente do solenoide e N é o número de espiras do solenoide. Por outro lado, o tempo que o elétron leva para atravessar o solenoide é t= L L L , = = v|| v cos 30 o 0, 866v na qual v|| é a componente da velocidade paralela ao eixo do solenoide. Assim, o número de revoluções é n= t L e0 iN (1, 6 × 10 −19 C)(4 × 10 −7 H//m)(4, 0 A)(8000) = = = 1, 6 × 106. T 0, 866 v 2 mL 2 (0, 866)(800 m/s)(9,11 × 10 −31 kg)   55. (a) Vamos chamar os campos produzidos pelo solenoide e pelo fio  no ponto P de Bs e B f , respectivamente. Como Bs está alinhado com o eixo do solenoide e B f é perpendicular ao eixo do solenoide, os dois campos são mutuamente perpendiculares. Assim, para que o campo resultante faça um ângulo de 45° com a direção do eixo do solenoide, devemos ter Bs = Bf. Nesse caso, Bs = 0 is n = B f = 0 i f , 2 d na qual d é a distância entre o eixo e o ponto P, o que nos dá d= if 6, 00 A = = 4, 77 cm . 2 is n 2 (20, 0 × 10 −3 A)(10 espiras cm) (b) O módulo do campo magnético é B= 2 Bs = 2 (4 × 10 −7 T ⋅ m A)(20, 0 × 10 −3 A)(10 espiras 0,,0 100 m) = 3, 55 × 10 −5 T = 35,5 T. 56. De acordo com a Eq. 29-26, temos: BP = 2[ 20 iR 2 N ] 32 R 2 + ( R / 2)2 = 80 Ni 8(4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(200)(0, 0122 A) = 5 5 ( 0, 25 m ) 5 5R = 8, 78 × 10 −6 T = 8,78 T. 57. (a) De acordo com a Eq. 28-35, o módulo do momento dipolar magnético é dado por m = NiA, na qual N é o número de espiras, i é a corrente e A é a área. Como A = pR2, na qual R é o raio das espiras, temos:  = Ni R 2 = (300)(4, 0 A) (0, 025 m)2 = 2, 4 A ⋅ m 2 . (b) O campo magnético no eixo de um dipolo é dado pela Eq. 29-27: B= 0  . 2 z 3 209 210 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Explicitando z, obtemos:  0   z=  2 B  13  (4 × 10 −7 T ⋅ m A)(2, 36 A ⋅ m 2 )  =  2 (5, 0 × 10 −6 T)  13 = 46 cm. 58. (a) Para uma espira, de acordo com a Eq. 29-10, B = m0i/2R, e, portanto, B ∝ i/R. Como a bobina b tem duas espiras, Bb 2i Rb 2 Ra = = = 4, 0. Ba i Ra Rb (b) A razão entre os momentos dipolares das duas bobinas é 2 b 2iAb 2 Rb2 1  1 = = 2 = 2   = = 0, 50.   iAa Ra 2 2 a 59. De acordo com a Eq. 28-35, o módulo do momento dipolar magnético é dado por m = NiA, na qual N é o número de espiras, i é a corrente e A é a área. Como A = pR2, na qual R é o raio das espiras, temos:  = (200)(0, 30 A) (0, 050 m)2 = 0, 47 A ⋅ m 2. 60. De acordo com a Eq. 29-26, a componente y do campo é By = 0 i1 R 2 0 i2 R 2 , − 2 2 3 2 / 2( R + z1 ) 2( R 2 + z22 )3 / 2 na qual z1 = L (veja a Fig. 29-73a) e z2 = y porque o eixo das espiras é chamado de y em vez de z. O fato de que os campos produzidos pelas duas espiras têm sinais opostos se deve à observação de que o campo mostrado na Fig. 29-73b se anula para um valor finito de y, o que seria impossível se os dois campos tivessem o mesmo sinal (fisicamente, isto significa que as duas correntes circulam em sentidos opostos). (a) Quando y → ∞, apenas o primeiro termo contribui para a componente y do campo magnético; como sabemos que, neste caso, By = 7,2 × 10−6 T, obtemos i1 = 2 By ( R 2 + L2 )3 / 2 2(7, 2 × 10 −6 T)[(0, 04 m)2 + (0, 03 m)2 ]3 / 2 = ≈ 0, 90 A. 0 R 2 (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(0, 04 m)2 (b) Como, de acordo com a Fig. 29-73b, By = 0 para y = 6 cm, temos: 0 i1 R 2 0 i2 R 2 = , 2 2 3 2 / 2( R + L ) 2( R 2 + y 2 )3 / 2 o que nos dá i2 = [(0, 04 m)2 + (0, 06 m)2 ]3 / 2 ( R 2 + y 2 )3 / 2 (0, 90 A) = 2, 7 A. i = 1 [(0, 04 m)2 + (0, 03 m)2 ]3 / 2 ( R 2 + L2 )3 / 2 61. Vamos usar o índice 1, para indicar a espira, e o índice 2, para indicar a bobina. (a) De acordo com a Eq. 29-10, temos: B1 = 0 i1 (4 × 10 −7 T ⋅ m A)(15 A) = = 7, 9 × 10 −5 T = 79 T. 2 R1 2(0,12 m) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) De acordo com a Eq. 28-37, temos:    = | 2 × B1 | = 2 B1 sen 90° = N 2i2 A2 B1 =  N 2i2r22 B1 =  (50)(1, 3 A)(0, 82 × 10 −2 m)2 (7, 9 × 10 −5 T) = 1,1 × 10 −6 N ⋅ m. 62. (a) De acordo com a Eq. 29-9, com f = p rad, temos: B=  1 1 0 i 0 i 0 i  1 1  (4 × 10 −7 T ⋅ m/A) ( 0, 0562 A )  + = +  +  =  4 4 a b 4 a 4 b  0, 0572 m 0, 0936 m  = 4, 97 × 10 −7 T = 0,497 T.  (b) De acordo com a regra da mão direita, o campo B aponta para dentro do papel no ponto P (veja a Fig. 29-6c). (c) De acordo com a Eq. 28-35, como a área envolvida é A = (pa2 + pb2)/2, o módulo do momento magnético da espira é i 2  (0, 0562 A)  ||= (a + b 2 ) = [(0, 0572m)2 + (0, 0936m)2 ] 2 2 = 1, 06 × 10 −3 A ⋅ m 2 = 1, 06 mA ⋅ m 2 .   (d) O sentido de  é o mesmo de B, ou seja, para dentro do papel. 63. Imaginando que os segmentos bg e cf (que, de acordo com a figura, não conduzem corrente) conduzem duas correntes de mesmo valor absoluto (i) e sinais opostos, que se cancelam mutuamente, podemos considerar o circuito uma combinação de três espiras quadradas que conduzem uma corrente i, como sugere o enunciado do problema. (a) O momento dipolar magnético do circuito abcdefgha é      = bcfgb + abgha + cdefc = (ia 2 )( ˆj − ˆi + ˆi ) = ia 2 ˆj 2 = ( 6, 0 A ) ( 0,10 m ) ˆj = (6,0 × 10 −2 A ⋅ m 2 ) ˆj = (0, 060 A ⋅ m 2 ) ˆj. (b) Como a distância entre o ponto e o cubo é muito maior que a aresta do cubo, podemos usar a aproximação dipolar. Para (x, y, z) = (0, 5,0 m, 0), a Eq. 29-27 nos dá     (1, 26 × 10 −6 T ⋅ m/A)(6,0 × 10 −2 m 2 ⋅ A) ˆj B(0, 5, 0 m, 0) ≈ 0 3 = 2 y 2 (5, 0 m)3 = (9, 6 × 10 −11 T ) ˆj = (96 pT) ĵ. 64. (a) Os segmentos retilíneos não contribuem para o campo magnético no ponto  P, e a contribuição dos segmentos circulares é dada pela Eq. 29-9. Usando o vetor unitário k para indicar a direção “para fora do papel”, temos:   (0, 200 A)(7 / 4 rad) ˆ 0 (0, 200 A)(7 / 4 rad) ˆ BP = 0 k = −2, 75 × 10 −8 kˆ T, k − 4 (2, 00 m) 4 (4, 00 m)  o que nos dá | B | = 2, 75 × 10 −8 T = 27, 5 nT. (b) O sentido é − k̂, ou seja, para dentro do papel. 211 212 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 65. De acordo com a Eq. 29-20,  2 R 2 | B | 2 (8, 00 × 10 −3 m)2 (1, 00 × 10 −4 T) = 0, 00128 m = 1, 28 mm. = r= 0 i (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(25, 0 A) 66. (a) De acordo com a Eq. 29-4, temos:    i i Btot = B1 + B2 = − 0 1 kˆ − 0 2 kˆ 2 r1 2 r2 =− (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(6, 00 A) ˆ (4 × 10 7 T ⋅ m/A)(10, 0 A) ˆ k− k 2 (10, 0 cm) 2 (5, 0 cm) ˆ = (−52, 0 × 10 −6 T) kˆ = ( − 52, 0 T) k. (b) Nesse caso, r1 < y < r2. Fazendo 0 i1 0 i2 = , 2 (r1 − y) 2 ( y − r2 ) obtemos y= i2r1 + i1r2 (10, 0 A)(10, 0 cm) + (6, 00 A)(5, 00 cm) = = 8,13 cm. i2 + i1 (10, 0 A) + (6, 00 A) (c) Nesse caso, y > r2. Fazendo 0 i A  0 iB = , 2 ( y − r1 ) 2 ( y − r2 ) obtemos y= i2r1 − i1r2 (10, 0 A)(10, 0 cm) − (6, 00 A)(5, 00 cm) = = 17, 5 cm. i2 − i1 (10, 0 A) − (6, 00 A) 67. Vamos chamar de a o comprimento do lado do quadrado. Na solução do Problema 13 foi visto que o campo magnético produzido a uma distância R do centro de um fio de comprimento L é dado por B= 0 i 2 R L L2 + 4 R 2 . Como o centro do quadrado está a uma distância a/2 de quatro fios de comprimento a, temos: a  0 i   Bcentro = 4   2   2 (a 2)   a + 4 (a 2)2  2 2 0 i . = a  Por outro lado, de acordo com a Eq. 29-10, o campo magnético no centro de um fio circular de raio R é m0i/2R. Assim, o problema pede para mostrar que 2 2 0 i  0 i > a 2R ⇒ 4 2 1 > . a R Como os dois fios têm o mesmo comprimento, o perímetro do quadrado de lado a é igual ao perímetro da circunferência de raio R, ou seja, 4 a = 2 R ⇒ a = R . 2 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Assim, devemos provar que 4 2 8 2 1 = 2 > , a  R R o que pode ser feito através de um simples cálculo numérico: 8 2/p2 ≈ 1,15 > 1. 68. Vamos supor que o sentido da corrente é o sentido positivo do eixo x e que o elétron está em um ponto P situado a uma distância r acima do fio. De acordo com a regra da mão direita, se a direção “para cima” é o sentido positivo do eixo y, o campo produzido pela corrente no ponto P aponta no sentido positivo do eixo z. Combinando a Eq. 29-4 com a Eq. 28-2, obtemos F=− e0 i  ˆ ( v × k). 2 r (a) Se o elétron está se movendo para baixo, em direção ao fio, a velocidade do elétron é  v = − v ĵ e, portanto,  −e0 iv F= (− ˆi ) = (3, 2 × 10 −16 N) ˆi, 2 r  o que nos dá | F | = 3, 20 × 10 −16 N.  (b) Neste caso, a velocidade do elétron é v = v î e, portanto,  −e0 iv F= (− ˆj) = (3, 2 × 10 −16 N) ˆj, 2 r  o que nos dá | F | = 3, 20 × 10 −16 N.    (c) Neste caso, a velocidade do elétron é v = v k̂ ou v = − v k e, nos dois casos,  F ∝ kˆ × kˆ = 0.  69. (a) De acordo com a regra da mão direita, o campo magnético B1 produzido no ponto a pelo fio 1 (o fio do vértice inferior  esquerdo) está no plano xy e faz um ângulo f = 150° com o semieixo x positivo; o campo B2 produzido no ponto a pelo fio 2 (o fio do vértice inferior direito) também está no plano xy e faz um ângulo f = 210° com o semieixo x positivo. Por simetria, as componentes y dos dois campos se cancelam e as componentes x se somam, produzindo um campo resultante que, de acordo com a Eq. 29-4, é dado por     i  B = B1 + B2 =  2 0 cos 150 0  ˆi = (−3, 46 × 10 −5 T) ˆi.  2 l  Para cancelar este campo, a corrente do fio b deve ter o sentido para dentro do papel (ou seja, o sentido − k̂) e um valor absoluto que, de acordo com a Eq. 29-4, é dado por ib = B 2 r 2 (0, 087 m) = (3, 46 × 10 −5 T) = 15 A, 0 4 × 10 −7 T ⋅ m/A na qual r = l 3 / 2 é a distância entre o ponto b e o ponto a. (b) Como foi dito no item anterior, o sentido do fio b é para dentro da página, ou seja, o sentido −z.  70. Os segmentos retilíneos não contribuem para o campo B e a contribuição dos arcos de circunferência é dada pela Eq. 29-9. Chamando de k̂ a direção para fora do papel, temos:   i( rad)  i( / 2 rad) ˆ 0 i( / 2 rad) ˆ ˆ B= 0 k− k = (1,57 × 10 −7 T) k, kˆ + 0 4 (4, 00 m) 4 (2, 00 m) 4 (4, 00 m)  o que nos dá | B | = 1, 57 × 10 −7 T = 157 nT. 213 214 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 71. Chamando de R o raio do fio, uma corrente i produz um campo magnético B= 0 i (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(50 A) = = 7, 7 × 10 −3 T = 7,7 mT. 2 R 2 (0, 0013 m) na superfície do fio. 72. (a) O módulo do campo magnético do lado de fora do cilindro é dado por   0 ienv 2 r | B | 2 (5, 00 × 10 −3 m)(11, 0 × 10 −6 T ) ⇒ ienv = = B= = 25 × 10 −3 A = 25 mA. 2 r 0 4 × 10 −7 T ⋅ m/A Como a corrente do cilindro é 30 mA, a corrente do fio é 5,0 mA, no sentido contrário. (b) O sentido da corrente no fio é para baixo. 73. (a) O campo magnético em um ponto do interior do furo pode ser considerado como a soma dos campos produzidos por duas correntes: a corrente produzida por um cilindro sem o furo e uma corrente, no sentido contrário, produzida por um cilindro de dimensões iguais às do furo. O campo produzido no interior de um cilindro sem o furo a uma distância r do eixo do cilindro é dado por B= 0 ir , 2 R 2 na qual R é o raio do cilindro. No caso do cilindro que estamos considerando, a densidade de corrente é J= i i , = 2 A  (a − b 2 ) a corrente no cilindro sem o furo é ia 2 a2 − b2 I1 = JA =  Ja 2 = e o módulo do campo produzido em um ponto no interior do cilindro, a uma distância r1 do eixo, é B1 = 0 I1r1 0 ir1a 2 0 ir2 . = = 2 2 2 2 2 a 2 a (a − b ) 2 (a 2 − b 2 ) A corrente em um cilindro com as mesmas dimensões que o furo é I 2 =  Jb 2 = ib 2 − b2 a2 e o módulo do campo produzido em um ponto no interior do cilindro, a uma distância r2 do eixo, é B2 = 0 I 2r2 0 ir2 b 2 0 ir2 . = = 2 2 b 2 b 2 (a 2 − b 2 ) 2 (a 2 − b 2 ) No centro do furo, o campo B2 é zero e o campo nesse ponto é o mesmo que em um cilindro sem o furo. Fazendo r1 = d na expressão de B1, obtemos o campo no centro do furo: B= (4 × 10 −7 T ⋅ m/A) ( 5, 25 A ) (0, 0200 m) 0 id = 1, 53 × 10 −5 T = 15,3 T. = 2 (a 2 − b 2 ) 2 [(0, 0400 m)2 − (0, 0150 m)2 ] Se o sentido da corrente na Fig. 29-79 é para fora do papel, o campo aponta para cima. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Para b = 0, a expressão anterior se torna B= 0 id , 2 a 2 que é a expressão correta para o campo no interior de um cilindro sem um furo, de raio a, a uma distância d do eixo. Para d = 0, a expressão anterior nos dá B = 0, que é a expressão correta para o campo no eixo de uma casca cilíndrica que conduz uma corrente uniforme. Nota: Podemos usar a lei de Ampère para mostrar que o campo magnético no interior do furo é uniforme. Considere uma trajetória retangular com dois lados compridos (1 e 2, de comprimento L), e 2 lados curtos (de comprimento menor que b). Se o lado 1 coincide com o eixo do furo, o lado dois é paralelo ao eixo do furo. Para assegurar que os lados curtos não contribuem para a integral da lei de Ampère, podemos supor que o comprimento L é muito grande (maior até que  o comprimento do cilindro) ou argumentar que o campo B faz um ângulo muito próximo de 90° com os lados curtos. Seja como for, a integral da lei de Ampère se reduz a   B ⋅ ds = 0 ienv ∫ retângulo ∫ lado 1   B ⋅ ds + ∫ lado 2   B ⋅ ds = 0 ino furo ( Blado1 − Blado 2 ) L = 0 na qual Blado 1 é o campo calculado no item (a). Isto mostra que o campo em um ponto fora do eixo do furo (pelo qual passa o lado 2 da trajetória de integração) é igual ao campo no centro do furo, o que significa que o campo é uniforme no interior do furo. 74. De acordo com a Eq. 29-4, i= 2 RB 2 (0,880 m)(7, 30 × 10 −6 T) = 32,1 A . = 0 4 × 10 −7 T ⋅ m A 75. De acordo com a lei de Biot-Savart,      is × rˆ 0 is × r . B ( x , y, z ) = 0 = 4 r 2 4 r 3   ˆ temos: Para s = sĵ e r = xˆi + yˆj + zk,   ˆ = s( zˆi − xkˆ ), s × r = (sˆj) × ( xˆi + yˆj + zk) ˆ ˆj × ˆj = 0 e ˆj × kˆ = ˆi. Assim, a equação anterior se na qual foram usadas as relações ˆj × ˆi = − k, torna  B( x , y, z ) = 0 i s( zˆi − xkˆ ) . 4 ( x 2 + y 2 + z 2 )3 2 (a) O campo no ponto (x = 0, y = 0, z = 5,0 m) é  (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(2, 0 A)(3, 0 × 10 −2 m)(5, 0 m) ˆ B ( 0, 0, 5, 0 m ) = i 2 3/ 2 4  0 2 + 0 2 + ( 5, 0 m )  = (2, 4 × 10 −10 T)iˆ = (0,24 ˆi) nT.  (b) O campo no ponto (x = 0, y = 6,0 m, z = 0) é B = 0. 215 216 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) O campo no ponto (x = 7 m, y = 7 m, z = 0) é  (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(2, 0 A)(3, 0 × 10 −2 m)(−7, 0 m) ˆ B ( 7, 0 m, 7,0 m, 0 = k 3/ 2 4 (7,0 m)2 + (7, 0 m)2 + 0 2  ) ˆ pT. = (−4, 3 × 10 −11 T) kˆ = −(43 k) (d) O campo no ponto (x = 23 m, y = 24 m, z = 0) é  (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(2, 0 A)(3, 0 × 10 −2 m)(3, 0 m) ˆ k B ( −3, 0 m, − 4,0 m, 0 = 3/ 2 4 (−3, 0 m)2 + (−4, 0 m)2 + 0 2  ) ˆ ˆ nT. = (1, 4 × 10 −10 T ) k=(0,14 k)  Nota: Nos eixos x e z, a expressão de B pode ser simplificada para   i s ˆ   i s B ( 0, 0, z ) = 0 2 ˆi . B ( x , 0, 0 ) = − 0 2 k, 4 x 4 z  O campo magnético no eixo y é zero porque, como a corrente é paralela ao eixo y, ds × rˆ = 0. 76. (a) Com as correntes paralelas, a aplicação da regra da mão direita mostra que as componentes verticais se cancelam e as componentes horizontais se somam. O resultado é o seguinte:    i B = −2  0  cos 45, 0 0 ˆi = (−4, 00 × 10 −4 T) ˆi = ( − 400 T) ˆi  2 r  na qual r = d/ 2 é a distância entre os fios e o ponto P. (b) Com as correntes antiparalelas, a aplicação da regra da mão direita mostra que as componentes horizontais se cancelam e as componentes verticais se somam. O resultado é o seguinte:   i B = 2  0  sen 45, 0 0 ˆj = (4, 00 × 10 −4 T) ˆj = (4400 T) ˆj.  2 r  77. Vamos chamar de ponto C o centro da circunferência. Como foi visto no Exemplo “Campo magnético no centro de um arco de circunferência percorrido por corrente”, o campo magnético no ponto C produzido pelos trechos retilíneos do fio cujo prolongamento passa por C é zero. De acordo com a Eq. 29-9 (com f = p/2 rad) e a regra da mão direita, a contribuição dos dois arcos de circunferência para o campo magnético no ponto C é 0 i( 2) 0 i( 2) − = 0. 4 R 4 R Assim, as únicas contribuições diferentes de zero são as dos dois segmentos retilíneos que não são colineares com C. Trata-se de dois fios semi-infinitos, um a uma distância vertical R acima de C e o outro a uma distância horizontal R à esquerda de C. Os campos produzidos pelos dois segmentos apontam para fora do papel (veja a Fig. 29-6c). Como os módulos das duas contribuições (dados pela Eq. 29-7) se somam, o resultado é  i i B = 2 0  = 0 .  4 R  2 R o mesmo de um único fio muito longo (veja a Eq. 29-4). Para que esse fio produzisse um campo com o mesmo sentido (para fora do papel) com uma corrente da direita para a esquerda, teria que estar acima do ponto considerado (veja novamente a Fig. 29-6c). SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 78. Os pontos em que o campo é zero estão em uma reta paralela ao fio, a uma distância r tal que Bfio = m0i/2p = Bext, o que nos dá (4 × 10−7 T ⋅ m A) (100 A) 0 i = 4, 0 × 10 −3 m = 4,0 mm . = 2 Bext 2 (5, 0 × 10 −3 T) r= 79. (a) O campo nessa região se deve apenas ao fio. De acordo com a Eq. 29-17, temos: B= 0 i f (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(24 A) = = 4, 8 × 10 −3 T = 4,8 mT. 2 r 2 (0, 0010 m) (b) Nesse caso, o campo é a soma da contribuição do fio, dada pela Eq. 29-17, com a contribuição de parte do condutor, dada pela Eq. 29-20, modificada para levar em conta o fato de que o condutor é oco: B= 2  0 i f 0 ienv 0 i f 0 ic  r 2 − Rint − = −  2 2  2 r 2 r 2 r 2 r  Rext − Rint    (3, 0 × 10 −3 m)2 − (2, 0 × 10 −3 m)2   = 1, 6 × 10 −3 T 1 −     (4, 0 × 10 −3 m)2 − (2, 0 × 10 −3 m)2   = 9, 3 × 10 −4 T = 0, 93 mT. (c) Do lado de fora do condutor, os dois campos se cancelam e B = 0. 80. Vamos chamar de ponto 1 o ponto mais próximo do fio e de ponto 2 o ponto mais distante. Como B2 < B1, sabemos que o ponto 2 está do lado de fora do fio. Assim, de acordo com a Eq. 29-20, o campo no ponto 2 é dado por: B2 = 0 i 2 r2 ⇒ i= 2 r2 B2 2 (10 × 10 −3 m)(0, 20 × 10 −3 T) = 10 A. = 4 × 10 −7 T ⋅ m/A 0 De acordo com a Eq. 29-17, o campo no ponto 1 é dado por  i  B =  0 2  r1 ,  2 R  o que nos dá   ir  R =  0 1  2 B  1/ 2 1/ 2  (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(10 A)(4, 0 × 10 −3 m)  =  2 (0, 28 × 10 −3 T)   = 5, 3 × 10 −3 m = 5, 3 mm. 81. A “corrente por unidade de largura” de que fala o enunciado pode ser vista como a densidade de corrente multiplicada pela espessura ∆y da placa: l = J∆y. A lei de Ampère é frequentemente expressa em termos do vetor densidade de corrente, da seguinte forma:     B ⋅ ds = 0 J ⋅ dA, ∫ ∫ na qual a integral de superfície do segundo membro se estende à região envolvida pela integral de linha do primeiro membro (e J aponta no sentido positivo do eixo z, para fora do papel). Se J é uniforme, como neste problema, o segundo membro se reduz a m0JA = m0J∆y∆x = m0l∆x. 217 218 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS  (a) A Fig. 29-83 mostra corretamente as componentes horizontais de B nos pontos P e P9, mas  a questão é a seguinte: será que o campo B pode ter uma componente vertical? Vamos nos concentrar no ponto P. Suponha que o campo magnético não seja paralelo à placa, como na figura da esquerda. Se invertermos o sentido da corrente, o campo também mudará de sentido, como na figura do meio. Se fizermos a placa girar 180o em torno de uma reta perpendicular à placa, o campo também sofrerá uma rotação de 180o e passará a apontar para o lado oposto, como na figura da direita. Entretanto, com a rotação, a distribuição de corrente passou a ser exatamente a mesma que a inicial, responsável pelo campo mostrado na figura da esquerda. Comparando as figuras da direita e da esquerda, vemos que, para que sejam iguais, é preciso que o campo seja paralelo à placa. Isso significa que o campo no ponto P é horizontal, como na Fig. 29-83. (b) Para calcular a integral de linha da lei de Ampère, vamos usar uma trajetória retangular, de largura ∆x, com os lados horizontais passando pelos pontos P e P’, e altura dy > ∆y. Como o campo B é horizontal, os lados verticais não contribuem para a integral, e a lei de Ampère nos dá 2 Bx = 0 x ⇒ B = 1 0 . 2 82. Podemos aplicar a Eq. 29-17 aos dois fios, com r = R 2 + (d / 2)2 (pelo teorema de Pitágoras). As componentes verticais dos campos se cancelam e as componentes horizontais se somam, apontando no sentido positivo do eixo x. O resultado final é 0 id   i   d /2  = = 1, 25 × 10 −6 T, B = 2 0    2 r   r  2  R 2 + ( d / 2 )2     o que nos dá, na notação dos vetores unitários, B = (1, 25 × 10 −6 T) ˆi = (1,25 T) ˆi . 83. Podemos dividir o quadrado da Fig. 29-85 nos segmentos numerados de 1 a 8 na figura a seguir, à esquerda, todos os quais podem ser considerados variações da situação mostrada na figura da direita. Como, de acordo com o resultado do Problema 29-17, o campo magnético em um ponto P2, como o mostrado na figura da direita, é dado por BP2 = 0 i 4 R L L2 + R2 , SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS os campos magnéticos produzidos pelos 8 segmentos são BP1 = BP 8 = 2 0 i 2 0 i , = 8 (a 4) 2 a BP 4 = BP 5 = 2 0 i 2 0 i = , 6 a 8 (3a 4) BP 2 = BP 7 = 3a 4 0 i 30 i , ⋅ 12 = 2 2 4 ( a 4 ) [ (3 a 4) + (a 4) ] 10 a BP 3 = BP 6 = a4 0 i 0 i ⋅ . = 1 2 4 (3a 4) [ (a 4)2 + (3 a 4)2 ] 3 10 a Somando todas as contribuições, obtemos:  BP = 8 ∑B Pn (− k̂) = −2 n =1 =− 2 3 1 ˆ 0 i  2 + + + k  6 a  2 10 3 10  2(4 × 10 −7 T ⋅ m A)(10 A)  2 2 3 1 ˆ k + + +  −2  (8, 0 × 10 m) 6 10 3 10   2 = (−2, 0 × 10 −4 T) kˆ = (−0, 20 mT) k̂ˆ , na qual k̂ é um vetor unitário que aponta para fora do papel. Nota: se o ponto P está no centro do quadrado, a contribuição de todos os segmentos é a mesma, BP1 = BP 2 =  BP8 = 2 0 i , 4 a e o campo total é Bcentro = 8 BP1 = 2 2 0 i . a 84. (a) Nesse caso, as correntes nos três fios são paralelas e todos os fios se atraem. Assim, o fio “de cima” é atraído “para baixo” em direção dos outros dois por uma força de módulo F= 0 (3, 0 m)(5, 0 A)(3, 2 A) 0 (3, 0 m)(5, 0 A)(5, 0 A) + = 1, 7 × 10 −4 N = 0,17 mN. 2 (0, 20 m) 2 (0,10 m) (b) Nesse caso, como o fio “de cima” é repelido pelo fio do meio e atraído pelo fio “de baixo”, o módulo da força resultante é F= 0 (3, 0 m) ( 5, 0 A ) ( 3, 2 A ) 0 (3, 0 m) ( 5, 0 A ) ( 5, 0 A ) − = 2,1 × 10 −5 N = 0,021 mN. 2 (0,10 m) 2 ( 0, 20 m) 85. (a) De acordo com a lei de Ampère, no caso de uma trajetória circular de raio r tal que b < r < a, temos: ∫    (r 2 − b 2 ) B ⋅ ds = 2 rB = 0 ienv = 0 i .  (a 2 − b 2 ) Assim, B= 0 i  r 2 − b2  . 2 2 2 (a − b )  r  219 220 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Para r = a, o módulo do campo magnético é B= 0 i  a 2 − b 2  0 i = , 2 2 2 (a − b )  a  2 a o que está de acordo com a Eq. 29-17. Para r = b, B = 0. Para b = 0, B= 0 i r 2 0 ir , = 2 a 2 r 2 a 2 o que está de acordo com a Eq. 29-20. (c) A figura a seguir mostra o gráfico pedido. 86. Vamos chamar o lado de comprimento L de lado longo e o lado de comprimento W de lado curto. O centro está a uma distância W/2 do ponto médio dos lados longos e a uma distância L/2 do ponto médio dos lados curtos. Tratando cada lado como um segmento como o do Problema 29-17, obtemos: B=2 0 i 2 (W 2) L L2 + 4(W 2)2 +2 0 i 2 ( L 2) W W 2 + 4( L 2)2 = 20 i ( L2 + W 2 )1/ 2 .  LW 87. (a) De acordo com a Eq. 29-20, para r < c, B= 0 ir . 2 c 2 (b) De acordo com a Eq. 29-17, para c < r < b, B= 0 i . 2 r (c) De acordo com o resultado do Problema 29-79, para b < r < a, temos: B= 0 i 0 i  r 2 − b 2  0 i  a 2 − r 2  . = − 2 r 2 r  a 2 − b 2  2 r  a 2 − b 2  (d) Do lado de fora do cabo coaxial, a corrente total envolvida por uma amperiana é zero e, portanto, para r > a, B = 0. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (e) Vamos testar as expressões para três casos especiais. Fazendo r = c nas expressões dos itens (a) e (b), obtemos o mesmo resultado, B = m0i/2pc. Fazendo r = b nas expressões dos itens (b) e (c), obtemos a mesma expressão, B = m0i/2pb. Finalmente, fazendo r = a na expressão do item (c), obtemos o mesmo valor do item (d), B = 0. (f) A figura a seguir mostra o gráfico pedido. 88. (a) Considere um segmento do projétil entre y e y + dy. Podemos usar a Eq. 29-7 para calcular o campo magnético produzido pelos trilhos, considerados como fios semi-infinitos, chamando o trilho de cima de 1 e o trilho de baixo de 2, e a Eq. 29-12 para calcular a força magnética que age sobre o segmento. A corrente no trilho 1 é no sentido + î e a corrente no trilho 2 é no sentido − î. Na região entre os fios, os campos têm o mesmo sentido, o sentido − k̂ (para dentro do papel), e a força que age sobre o segmento do projétil é      dF = dF1 + dF2 = idy(− ˆj) × B1 + dy(− ˆj) × B2 = i [ B1 + B2 ] ˆi dy  0 i i =i + 0  ˆi dy.  4 (2 R + w − y) 4 y  A força que age sobre o projétil é, portanto,   i 20 ⌠ R + w  1 1 w  i2  F = dF = +  dy î = 0 ln  1 +  ˆi.    4 π ⌡R  2 R + w − y y  R 2 ∫ (b) Como, de acordo com o teorema do trabalho e energia,   K = 12 mv 2f = Wext = ∫ F ⋅ ds = FL , a velocidade final do projétil é  2W  v f =  ext   m  1/ 2 1/ 2 w   2 0 i 2  = ln  1 +  L   m R  2   m)/(6,7 cm) ] (4, 0 m)   2(4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(450 × 103 A)2 ln [1 + (1, 2 cm =  − 3 2 (10 × 10 kg)   1/ 2 = 2, 3 × 10 3 m/s = 2,3 km/s. 89. De acordo com o resultado do Problema 29-13, o campo a uma distância R do ponto médio de um segmento de fio de comprimento L é dado por B= 0 i 2 R L L2 + 4 R2 . 221 222 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Como, neste problema, o centro da espira está a uma distância d/2 de quatro segmentos de fio de comprimento a, temos:  2 2 0 i a  0 i   B = 4 . =  2  2 a  2 (a / 2)   a + 4(a / 2)  90. (a) O módulo do campo magnético no eixo de uma bobina circular, a uma distância z do centro da bobina, é dado pela Eq. 29-26: B= N 0 iR 2 , 2( R 2 + z 2 )3 / 2 na qual N é o número de espiras, i é a corrente e R é o raio da bobina. As duas bobinas têm o mesmo número de espiras, o mesmo raio e conduzem correntes iguais. Os campos produzidos pelas correntes têm o mesmo sentido na região entre as bobinas. Vamos colocar a origem das coordenadas no centro da bobina da esquerda e o eixo x na reta que liga os centros das bobinas. Para calcular o campo produzido pela bobina da esquerda, fazemos z = x na equação anterior. O ponto escolhido está a uma distância s − x do centro da bobina da direita, na qual s é a distância entre os centros das bobinas. Para calcular o campo produzido pela bobina da direita nesse ponto, fazemos z = s 2 x na equação anterior. Isso nos dá um campo total B= N 0 iR 2 2 1 1    ( R 2 + x 2 )3 / 2 + ( R 2 + x 2 − 2sx + s 2 )3 / 2  .   A derivada do campo em relação a x é 3x 3( x − s) dB N 0 iR 2   . =− + 2  2 2 5 2 2 2 5 / 2 / 2 ( R + x − 2sx + s )  dx  (R + x ) No ponto x = s/2 (a meio caminho entre as bobinas), o resultado é 3s / 2 3s / 2 dB N 0 iR 2   =− − 2 2 = 0,  2 2 5 / 2 2 2 5 / 2 2 dx s / 2 ( R + s / 4 − s + s )   ( R + s / 4) independentemente do valor de s. (b) A derivada segunda é 3 15 x 2   − ( R 2 + x 2 )5 / 2 + ( R 2 + x 2 ) 7 / 2  3 15( x − s)2  . − 2 + 7 / 2 2 2 5 / 2 2 2 2 ( R + x − 2sx + s ) ( R + x − 2sx + s )  d 2 B N 0 iR 2 = 2 dx 2 No ponto x = s/2, 6 30 s 2 / 4 d2B N 0 iR 2   = − +  / 2 7 2 2 2 5 2 2 2 / 2 ( R + s / 4)  dx s / 2  ( R + s / 4) = s 2 − R2 N 0 R 2  −6( R 2 + s 2 / 4) + 30 s 2 / 4  2 3 N iR ,  = 0  ( R 2 + s 2 / 4) 7 / 2 2  ( R 2 + s 2 / 4) 7 / 2  que se anula para s = R. 91. Como estamos interessados em calcular o campo em pontos P cuja posição é especificada por uma coordenada x, situados em uma reta perpendicular ao plano da espira, vamos supor que a espira quadrada está no plano yz, com o centro na origem. De acordo com o teorema de SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Pitágoras, como a origem está a uma distância a/2 dos lados da espira, a distância do ponto P aos lados do quadrado é x 2 + (a / 2)2 = x 2 + a2 / 4 . De acordo com o resultado do Problema 29-13, o campo a uma distância R do ponto médio de um segmento de fio de comprimento L é dado por B= 0 i 2 R L L2 x 2 + a 2 / 4 de quatro segmentos de fio Como, neste problema, o ponto P está a uma distância de comprimento a, temos, para cada fio, B′ = 0 i  . + 4 R2 a 4x2 + 4 x 2 + 2a 2 a2 . Por simetria, é fácil mostrar que apenas as componentes x dos componentes dos campos produzidos pelos quatro segmentos contribuem para o campo total (as componentes y e z se cancelam aos pares). De acordo com o teorema de Pitágoras, o valor da componente x é a/2 Bx′ = x 2 + a2 / 4 a = 4 x 2 + a2 B ′. O campo criado pelos quatro segmentos é, portanto, B( x ) = 4 Bx′ = 4 0 i  a 4 x 2 + a2 a 4 x 2 + 2a 2 4 x 2 + a2 = 4a2 0 i ,  (4 x 2 + a 2 )(4 x 2 + 2a 2 )1 / 2 que é a expressão pedida. Para x = 0, a expressão anterior nos dá B( 0 ) = 2 2 0 i 0 i 4 a 2 = ,  a 2 2a 2 a que é a expressão obtida no Problema 29-89. Note que, para x >> a, temos: 0 i 4 a 2 0 ia 2 0  = = ,  8 x 3 2 x 3 2 x 3 B( x ) ≈ na qual m = iA = ia2 é o momento dipolar magnético da espira quadrada. Esta expressão é a mesma da Eq. 29-77. 92. Como, neste caso, o comprimento do toroide é aproximadamente igual a 2pr, temos:  N  B = 0 i  = 0 ni.  2 r  Este resultado é razoável, já que, nesse caso, cada trecho do toroide se comporta como uma parte de um solenoide longo. 93. De acordo com a lei de Ampère, ∫   B ⋅ ds = ienv , na qual ienv é a corrente total envolvida pela amperiana. Para a trajetória tracejada da Fig. 29-89, ienv = 0, já que a corrente que entra pelo lado de cima é igual à corrente que sai pelo lado de bai- 223 224 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS   xo. A integral B ⋅ ds é zero no lado esquerdo, no lado de cima e no lado de baixo do percurso: no lado direito, porque o campo é zero; no lado de cima e no lado de baixo, porque o campo é    perpendicular a ds . Se l é o comprimento do lado esquerdo, a integral completa é B ⋅ ds = Bl, na qual B é o módulo do campo do lado esquerdo da trajetória. Como B e l são diferentes de zero, a lei de Ampère não é respeitada, pois o lado esquerdo é diferente de zero e o lado direito é igual a zero. A causa da aparente contradição é o fato de que as linhas de campo magnético mostradas na Fig. 29-89 não estão corretas. Na verdade, as linhas de campo se encurvam para fora nas bordas da região onde existe campo magnético e a concentração das linhas diminui gradualmente, e não de forma abrupta, como na figura. ∫ ∫ Capítulo 30 1. Como a rotação da espira não faz variar o fluxo FB = BA cos u, a força eletromotriz induzida é zero. 2. De acordo com a lei de Faraday, a fem induzida é =− d (π r 2 ) dr d B d ( BA ) dA =− = −B = −B = −2π rB dt dt dt dt dt = −2π (0,12 m)(0, 800 T)(−0, 750 m/s) = 0, 452 V. 3. Como a fem induzida é  = −N d di di d B  dB  = − NA ( µ0 ni) = − N µ0 nA = − N µ0 n(π r 2 ) = − NA  dt  dt dt dt dt 2  1, 5 A  = −(120)(4π × 10 −7 T ⋅ m A)(22.0000 m −1 ) π ( 0, 016 m )   0, 025 s  = 0,16V, a lei de Ohm nos dá i= |  | 0, 016 V = = 0, 030 A = 30 mA. R 5, 3  4. De acordo com a Eq. 30-4, e = −dFB/dt = −pr2dB/dt. (a) Para 0 < t < 2,0 s, e = −π r 2  0, 5 T dB 2 −2 = −π ( 0,12m )   = −1,1 × 10 V = −11 mV. dt  2, 0 s − 0, 0 s  (b) Para 2,0 s < t < 4,0 s, e ∝ dB/dt = 0. (c) Para 4,0 s < t < 6,0 s, e = −π r 2  −0, 5 T  dB −2 = −π (0,12m)2   = 1,1 × 10 V = 11 mV. dt  6, 0 s − 4, 0 s  5. Como o campo magnético produzido pelo fio aponta para fora do papel no lado superior da espira e aponta para dentro do papel no lado inferior da espira, o fluxo total através da espira é zero e, portanto, a corrente induzida na espira é zero. 6. De acordo com o gráfico da Fig. 30-35b, i = 1,5 mA no instante t = 0, ou seja, sem campo aplicado, o que significa que a resistência do circuito é R= 6, 00 × 10 −6 V = 0, 0040  . 1, 5 × 10 −3 A 226 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS No intervalo 10 s < t < 20 s, temos: Vfonte + e induzida = 0, 00050 A R e, portanto,  induzida = (0, 00050 A) R − Vfonte = (0, 00050 A)(0, 0040 ) − 6, 00 × 10 −6 V = −4, 0 × 10 −6 V. De acordo com a lei de Faraday,  induzida = −  d B dB 4,, 0 × 10 −6 V = −A = − Aa ⇒ a = − induzida = = 8, 0 × 10 −3 T/s. dt dt A 5, 0 × 10 −4 m 2 7. (a) O valor absoluto da fem é e = d B d = (6, 0t 2 + 7, 0t ) = 12t + 7, 0 = 12(2, 0) + 7, 0 = 31mV. dt dt (b) De acordo com a lei de Lenz (veja, em especial, a Fig. 30-5a), a corrente circula na espira no sentido horário. Isso significa que o sentido da corrente no resistor R é da direita para a esquerda. 8. A resistência da espira é R= L  (0,10 m) = (1, 69 × 10 −8  ⋅ m) = 1,1 × 10 −3  .  (2, 5 × 10 −3 m)2 / 4 A Como i = |e|/R = |dFB/dt|/R = (pr2/R)|dB/dt|, temos: dB iR (10 A) (1,1 × 10 −3 ) = = = 1, 4 T s . 2 r  (0, 05 m)2 dt 9. A amplitude da fem induzida na espira é  m = Aµ0 ni0ω = (6, 8 × 10 −6 m 2 )(4π × 10 −7 T ⋅ m A)(85.400 m −1 )(1, 28 A)(212 rad/s) = 1, 98 × 10 −4 V. 10. (a) Como o fluxo magnético FB através da espira é dado por B = 2B r 2 r 2B cos 45o = , 2 2 temos: π ( 3, 7 × 10 −2 m )  0 − 76 × 10 −3 T  d B d  π r2B  π r 2  B  =− =−  =− =−     4, 5 × 10 −3 s  dt dt  2  2 2  t  2 = 5,1 × 10 −2 V. (a) O sentido da fem induzida é o sentido horário, do ponto de vista do sentido de incidência de B. 11. (a) Convém chamar atenção para o fato de que o resultado, que está expresso em termos de sen(2p ft), poderia, em vez disso, estar expresso em termos de cos(2pft) ou mesmo de cos(2pft + f), em que f é uma constante de fase. A posição angular u da bobina é medida em relação a uma reta ou plano de referência, e, de acordo com a escolha da referência, o fluxo magnético pode ser escrito como BA cosu, BA senu ou BA cos(u + f). Para a referência que foi escolhida, SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS FB = BA cosu. Como a bobina está girando com velocidade angular constante, u aumenta linearmente com o tempo. Assim, u = 2pft, em que u é o ângulo em radianos e 2pf a velocidade angular. Como a área de uma bobina retangular é A = ab, a lei de Faraday nos dá  = −N d cos(2π f ) d ( BA cos θ ) = − NBA = 2π fNabB sen(2π ft), dt dt que é a equação que queríamos demonstrar. No enunciado, a equação também é escrita de outra forma, e0 sen(2p฀ft), para deixar claro que a fem induzida é senoidal e tem uma amplitude e0 = 2pf NabB. (b) Como e0 = 150 V = 2p฀f NabB, temos: Nab = 150V 150 V = = 0, 796 m 2 . 2 fB 2 (60, 0 s −1 )(0, 500 T) 12. Para que seja induzida uma fem, o campo magnético deve ter uma componente perpendicular à espira e deve variar com o tempo.  ˆ dB/dt = 0 e, portanto, e = 0. (a) Para B = (4, 00 × 10 −2 T/m) yk, (b) Nenhum.  ˆ (c) Para B = (6, 00 × 10 −2 T/s)tk, =− dB d B = −A = −(0, 400 m × 0, 250 m)(0, 0600 T/s) = −6, 00 mV, dt dt o que nos dá |e| = 6,00 mV. (d) Horário.  ˆ (e) Para B = (8, 00 × 10 −2 T/m ⋅ s) yt k,  B = (0, 400)(0, 0800 t ) ∫ 0 ,250 0 y2 y dy = (0, 032) 2 0 ,250 = 1, 00 × 10 −3 t. 0 A fem induzida é =− o que nos dá |e| = 1,00 mV. (f) Anti-horário. (g)  B = 0 ⇒  = 0 . (h) Nenhum. (i)  B = 0 ⇒  = 0. (j) Nenhum. d B = −1, 00 × 10 −3 V = −1, 00 mV, dt 227 228 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 13. A carga é q(t ) = A 1 1, 20 × 10 −3 m 2 [ B (0) −  B (t )] = [ B(0) − B(t )] = [1, 60 T − ( − 1,60 T)] R R 13, 0  = 2,95 × 10 −2 C = 29, 5 mC . 14. De acordo com a Fig. 30-40b, o valor de dB/dt [a inclinação da reta que representa a função B(t)] é 0,003 T/s. Assim, a lei de Faraday nos dá =− dB d B d ( BA) =− = −A = −(8, 0 × 10 −4 m 2 )(0, 003 T/s) = 2, 4 × 10 −8 V. dt dt dt De acordo com a Fig. 30-40c, o valor da corrente i = dq/dt [a inclinação da reta que representa a função q(t)] é 0,002 A. Assim, a lei de Ohm nos dá R= |  | A | dB /dt | (8, 0 × 10 −4 m 2 )(0, 0030 T/s) = 0, 0012  = 1, 2 m . = = i i 0,0020 A 15. (a) Seja L o comprimento do lado da espira. Nesse caso, o fluxo magnético através do circuito é  B = L2 B / 2 e a fem induzida é i = − d B L2 dB . =− 2 dt dt Como B = 0,042 2 0,870t, dB/dt = 20,870 T/s e i = (2, 00 m)2 (0, 870 T/s) =1,74 V. 2 Como o campo magnético aponta para fora do papel e está diminuindo, a fem induzida tem a mesma polaridade que a fem da fonte, e a fem total é e + ei = 20,0 V + 1,74 V = 21,7 V. (b) O sentido da corrente é o sentido anti-horário. 16. (a) Escolhendo o sinal positivo para o fluxo de B1 e B2, a fem induzida é =− ∑ d B  dB1 dB2 dB3  =A + +  dt dt dt  dt = (0,10 m)(0, 20 m)(2, 0 × 10 −6 T/s + 1, 0 × 10 −6 T/s − 5, 0 × 10 −6 T/s) = −4, 0 × 10 −8 V. Assim, de acordo com a lei de Ohm, o valor absoluto da corrente é |  | 4, 0 × 10 −8 V = 8, 0 × 10 −6 A = 8, 0 µ A. = R 5, 0 × 10 −3  (b) De acordo com a lei de Lenz, o sentido da corrente induzida é o sentido anti-horário. 17. O campo no centro da espira maior pode ser calculado usando a Eq. 29-10, B = m0i/2R, na qual R é o raio da espira. Assim, para i(t) = i0 + kt, na qual i0 = 200 A e k = (–200 A – 200 A)/1,00 s = – 400 A/s, temos: (a) B(t = 0) = 0 i0 (4 × 10 −7 H/m)(200 A) = = 1, 26 × 10 −4 T. 2R 2(1, 00 m) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) B(t = 0, 500 s) = (c) B(t = 1, 00 s) = (4 × 10 −7 H/m)  200 A − ( 400 A/s ) ( 0, 500 s )  2(1, 00 m) = 0. (4 × 10 −7 H/m)  200 A − ( 400 A/s ) (1, 00 s )  = −1, 26 × 10 −4 T, 2(1, 00 m) o que nos dá | B(t = 1, 00 s) | = 1, 26 × 10 −4 T. (d) Sim, como indica a diferença entre os sinais de B(t) nos itens (a) e (c). (e) Seja a a área da espira menor. Nesse caso, B = Ba e a lei de Faraday nos dá =− dB d B d ( Ba)  B  =− = −a = −a   t  dt dt dt  −1, 26 × 10 −4 T − 1,26 × 10 −4 T  = −(2, 000 × 10 −4 m 2 )   1, 00 s  = 5, 04 × 10 −8 V . 18. (a) A “altura” do triângulo formado pelos trilhos e pela barra no instante t é igual à distância percorrida pela barra até esse instante: d = vt, na qual v é a velocidade da barra. A “base” do triângulo (distância entre os pontos de interseção da barra com os trilhos) é 2d. Assim, a área do triângulo é 1 1 A = ( base)(altura) = (2 vt )( vt ) = v 2 t 2 . 2 2 Como o campo é uniforme, o fluxo, em unidades do SI, é B = BA = (0,350)(5,20)2t2 = 9,464t2. No instante t = 3,00 s, B = (9,464)(9,00) = 85,2 Wb. (b) De acordo com a lei de Faraday, a fem, em unidades do SI, é dada por = d B dt 2 = 9, 464 = 18, 93t . dt dt No instante t = 3,00 s, e = (18,93)(3,00) = 56,8 V. (c) O cálculo do item (b) mostra que n = 1. 19. De acordo com a lei de Faraday,  = −N d cos(2π ft ) d ( BA cos θ ) = − NBA = NBA2π f sen(2π ft), dt dt o que nos dá  max = 2π fNAB = 2π (16, 7 rev s)(100 espiras)(0,15 m 2 )(3, 5 T) = 5, 50 × 103 V = 5,5 kV . 20. Como 1 gauss = 1024 T, a carga que atravessa o medidor é q( t ) = = 2 NBA cos 20° N [ BA cos 20° − (− BA cos 20°)] = R R 2(1000)(0, 590 × 10 −4 T) (0,100 m)2 (cos 20°) = 1, 55 × 10 −5 C . 85,0  + 140  Note que o eixo da bobina faz um ângulo de 20°, e não 70°, com o campo magnético da Terra. 229 230 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 21. (a) A frequência é f =  (40 rev/s)(2 rad/rev) = = 40 Hz. 2 2 (b) Em primeiro lugar, definimos um ângulo em relação ao plano da Fig. 30-44, tal que o fio semicircular se encontra na posição u = 0 no instante inicial e um quarto de período de revolução mais tarde se encontra na posição u = p/2, com o ponto médio a uma distância a acima do plano da figura. Nesse instante, a área envolvida pelo circuito está reduzida a um retângulo, cuja área vamos chamar de A0. Como a área de um semicírculo é pa2/2, a área envolvida pelo circuito em função de u é dada por A = A0 +  a2 cos 2 na qual u = 2pft, se tomarmos t = 0 como o instante em que o fio semicircular se encontra na posição u฀ = 0. Como o campo magnético é constante e uniforme, a lei de Faraday nos dá =− d [ A0 + (π a 2 / 2) cos θ ] π a 2 d cos(2π ft ) d B dA = −B = −B = −B = Bπ 2 a 2 f sen(2π ft ). 2 dt dt dt dt A amplitude da fem induzida é, portanto,  m = Bπ 2 a 2 f = (0, 020 T)π 2 (0, 020 m)2 (40 s−1 ) = 3, 2 × 10 −3 V = 3,2 mV. 22. De acordo com a lei de Faraday, =− d d ( BA cos φ ) dφ =− = BA sen φ = (0, 20 T)(0,15 m 2 ) sen(π / 2)(0, 60 s −1 ) dt dt dt = 0, 018 V = 18 mV. 23. (a) Na região onde se encontra a espira menor, o campo magnético produzido pela espira maior pode ser considerado uniforme e igual ao valor do campo no centro da espira menor, que, de acordo com a Eq. 29-26, com z = x >> R, é dado por   iR 2 B = 0 3 î 2x na qual o sentido do eixo x é para cima na Fig. 30-45. O fluxo do campo magnético através da espira menor é aproximadamente igual ao produto deste campo pela área da espira menor: B = 0 ir 2 R 2 . 2x3 (b) De acordo com a lei de Faraday, a fem induzida é =− d B  πµ0 ir 2 R 2   3 dx  3πµ0 ir 2 R 2 v  πµ ir 2 R 2  d  1  = − = − 0 .    − x 4 dt  =  dt  x 3   2 2x4 2 dt (c) Quando a espira menor se afasta da espira maior, o fluxo do campo magnético através da espira menor diminui e temos uma situação semelhante à da Fig. 30-5b. De acordo com a lei de Lenz, o sentido da corrente induzida deve ser tal que produza um campo magnético orientado no mesmo sentido que o campo magnético produzido pela espira maior, de modo a se opor à diminuição do fluxo. Assim, o sentido da corrente é o sentido anti-horário quando a espira maior é vista de cima, o mesmo sentido da corrente i na Fig. 30-45.  24. (a) Como B = B î, apenas a área “projetadaî no plano yz contribui para o fluxo. Esta área “projetada” corresponde a um quarto de circunferência. Assim, o fluxo magnético B através da espira é   1  B = B ⋅ dA =  r 2 B 4 ∫ SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS e, portanto, | |= d B d 1 2  π r 2 dB 1 = π (0,10 m)2 (3, 0 × 10 −3 T/s) = πr B =  dt dt  4 4 dt 4 = 2,4 × 10 −5 V = 24 µ V . (b) De acordo com a lei de Lenz, o sentido da corrente no segmento bc é de c para b (a situação é análoga à da Fig. 30-5a). 25. (a) Vamos chamar de L o comprimento dos fios e supor que o eixo central de um dos fios passa pela origem do sistema de coordenadas e o outro pelo ponto x = D, para o qual D é a distância entre os fios. Como, por simetria, os campos magnéticos produzidos em pontos no intervalo 0 < D/2 < x são iguais aos campos magnéticos produzidos em pontos no intervalo D/2 < x < D, podemos escrever: B = 2 ∫ D2 0 B dA = 2 ∫ d 2 0 BL dx + 2 ∫ D2 d 2 BL dx na qual d é o diâmetro dos fios. Vamos usar R = d/2 e r em vez de x nos cálculos a seguir. Temos: R B =2⌠  L ⌡0 = D/2 0 i  0 i  ⌠  2 R 2 r + 2 ( D − r )  dr + 2    ⌡0   0 i 0 i  2 r + 2 ( D − r )  dr   0 i   D − R   0 i  D − R  1 − 2 ln  ln  +   D     R  2  = 0, 23 × 10 −5 T ⋅ m + 1, 08 × 10 −5 T ⋅ m = 1, 3 × 10 −5 T ⋅ m = 13  Wb/m. (b) Como, de acordo com os resultados do item (a), o fluxo por metro que corresponde ao interior dos fios é 0,23 × 10–5 T·m, a porcentagem que está no interior do fluxo que está no interior dos fios é 0, 23 × 10 −5 T ⋅ m = 0,17 = 17%. 1, 3 × 10 −5 T ⋅ m (c) Nesse caso, os campos magnéticos produzidos em pontos no intervalo 0 < D/2 < x são iguais, em valor absoluto, aos campos magnéticos produzidos em pontos no intervalo D/2 < x < D, mas têm o sentido oposto e, portanto, o fluxo total (e, em consequência, o fluxo por metro) é igual a 0. 26. (a) Para começar, observamos que, em uma parte da região envolvida pela espira, os fluxos do campo magnético se cancelam. De acordo com a regra da mão direita, o campo magnético produzido pela corrente no fio retilíneo longo na parte da espira acima do fio aponta para fora do papel e o campo produzido na parte da espira abaixo do fio aponta para dentro do papel. Como a altura da parte da espira acima do fio é b 2 a, o fluxo em uma parte da espira abaixo do fio, de altura b 2 a, tem o mesmo valor absoluto e o sinal oposto ao do fluxo acima do fio e os dois fluxos se cancelam. Assim, o fluxo através da espira é dado por: B = ∫ a 0 ib  a   0 i  ln  .   ( b dr ) =  b − a  2π ⌡b − a 2 πr BdA = ⌠  231 232 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Nesse caso, a lei de Faraday nos dá =− =− = d B d =− dt dt µ0 b  a  di  µ0 ib  a    2π ln  b − a   = − 2π lnn  b − a  dt   µ0 b  a  d  9 2 ln t − 10t   2π  b − a  dt  2 − µ0 b ( 9t − 10 )  a  ln .  b − a 2π Para a = 0,120 m, b = 0,160 m e t = 3,00 s, temos: = (4π × 10 −7 )(0,16) [ 9(3) − 10 ]  0,12  = 5, 98 × 10 −7 V = 0,598 µ V . ln   0,16 − 0,12  2π (b) Como di/dt > 0 no instante t = 3 s, a situação é análoga à da Fig. 30-5c. Assim, de acordo com a lei de Lenz, a fem induzida produz uma corrente no sentido anti-horário. 27. (a) Considere uma fita de largura infinitesimal dy e espessura l = 0,020 m. Se a fita está localizada na altura y, o fluxo magnético através da fita é d  B = BdA = (4 t 2 y)(ldy) e o fluxo total através da espira é B = ∫ dB = ∫ ( 4t yl) dy = 2t l . l 2 2 3 0 Assim, de acordo com a lei de Faraday,  = d B = 4t l 3 = 4(2, 5s)(0, 020 m)3 = 8, 0 × 10 −5 V = 80 µ V . dt (b) De acordo com a lei de Lenz, o sentido da força eletromotriz induzida é o sentido horário. 28. (a) O campo produzido pelo fio é dado pela Eq. 29-17. Para calcular o fluxo, podemos usar a Eq. 30-1: (b) Para calcular a corrente induzida na espira, calculamos a fem induzida, usando a lei de Faraday e levando em conta o fato de que dr/dt = v, e dividimos o resultado pela resistência da espira, o que nos dá i   ia d  r  b / 2  0 iabv   2 0 ln 2 R[r 2 2 (b / 2)2 ] 2 R dt  r 2 b / 2  R (4 1027 T  m / A)(4, 7 A)(0, 022m)(0, 0080 m)(3, 2 1023 m / s 2 (4, 0  1024 )[2(0, 0080 m 2 ]  1, 0 1025 A  10  A. 29. (a) De acordo com a Eq. 30-8,  = BLv = (0, 350 T)(0,250 m)(0,55 m/s) = 0, 0481 V . (b) De acordo com a lei de Ohm, temos: i= 0, 0481 V = 0, 00267 A = 2, 67 mA. 18, 0  SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) De acordo com a Eq. 26-27, P = i2R = 0,000129 W = 0,129 mW. 30. De acordo com a lei de Faraday, a fem induzida é dada por = d B d ( BA) dB = =A . dt dt dt Como, de acordo com a Eq. 29-23, o campo no interior do solenoide é dado por B = moni (e é zero do lado de fora do solenoide, o que significa que A = Asolenoide), temos: =A dB d di = Asolenoide ( µ0 nisolenoide ) = µ0 nAsolenoide solenoide , dt dt dt na qual, de acordo com a Fig. 30-51b, disolenoide/dt = (1,00 A)/(2,0 s) = 0,5 A/s. Para n = 8000 espiras/s e Asolenoide = p(0,02)2 (note que o raio da espira não aparece nos cálculos, que envolvem apenas no raio do solenoide), obtemos e = 6,3 mV. De acordo com a Eq. 26-28, a taxa de conversão de energia elétrica em energia térmica é dada por e2/R, enquanto, de acordo com a Fig. 30-51c, é dada por dEt /dt = (80,0 nJ)/(2,0 s) = 40,0 nJ/s. Assim, temos: R= (6, 3 × 10 −6 V)2 2 = = 1, 0 m dEt /dt 40, 0 × 10 −9 J/s) 31. De acordo com a Eq. 26-28, a taxa de geração de energia térmica é P = e2/R. De acordo com a Eq. 26-16, a resistência é dada por R = ρL/A, na qual ρ é a resistividade do material, L é o comprimento do fio e A é a área da seção reta do fio. A área envolvida pela espira é 2 L2  L  2 . = Aenv =  respira =   2  4 Como, de acordo com a lei de Faraday, = dB L2 dB d B = Aenv = , dt 4π dt dt temos: P=  2 ( L2 / 4π )2 (dB /dt )2 d 2 L3  dB  2 (1, 00 × 10 −3 m)2 (0, 500 m)3 = = = ( 0, 0100 T/s )2 R 64πρ  dt  64π (1,69 × 10 −8  ⋅ m) ρ L / (π d 2 / 4) = 3, 68 × 10 −6 W = 3,68 µ W . 32. Como, neste caso, |∆B| = B, a energia térmica produzida é 2 2 Pt t = = A2 B2 B  1  2 t 1  d B  t = = − t =  − A   Rt t  R R  dt  R (2, 00 × 10 −4 m 2 )2 (17, 0 × 10 −6 T)2 (5, 21 × 10 −6 )(2, 96 × 10 −3 s) = 7, 50 × 10 −10 J = 750 pJ.. 33. (a) Vamos chamar de x a distância entre a barra e a extremidade direita dos trilhos. De acordo com a Eq. 29-17, o campo produzido pelo fio em um ponto do espaço é B = m0i/2pr, na qual r é a distância entre o ponto e o fio. Considere uma tira horizontal infinitesimal de comprimento x e largura dr, situada a uma distância r do fio. O fluxo através da tira é d  B = BdA = 0 i xdr . 2 r 233 234 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS De acordo com a Eq. 30-1, o fluxo total através da espira formada pela barra e pelos trilhos é B = 0 ix ⌠ a + L dr 0 ix  a + L  ln  . =  a  2 ⌡a 2 r De acordo com a lei de Faraday, a fem induzida na espira é = = d B µ0 i dx  a + L  µ0 iv  a + L  = = ln ln  a  dt 2π dt  a  2π (4π × 10 −7 T ⋅ m/A)(100 A)(5, 00 m/s)  1, 00 cm + 10,0cm  ln    1, 00 cm 2π = 2, 40 × 10 −4 V = 240 µ V. (b) De acordo com a ii =  2, 40 × 10 −4 V = = 6, 00 × 10 −4 A = 0, 600 mA. R 0, 400  Como o fluxo está aumentando, o campo magnético produzido pela corrente induzida aponta para dentro do papel na região envolvida pela barra e pelos trilhos e, portanto, a corrente tem o sentido horário. (c) A potência dissipada na espira é dada por P = ii2 R = (6, 00 × 10 −4 A)2 (0, 400 ) = 1, 44 × 10 −7 W = 0,144  W. (d) Para que a barra se mova com velocidade constante, a resultante das forças que agem sobre a barra deve ser nula. Para isso, a força externa aplicada à barra deve ser igual, em módulo, à força magnética e deve ter o sentido oposto. O módulo da força magnética exercida sobre um segmento infinitesimal da barra de comprimento dr, situado a uma distância r do fio, é dFB = iBdr = 0 ii i dr . 2 r Integrando força acima para toda a barra, temos: FB = = 0 ii i ⌠ a + L dr 0 ii i  a + L  ln  =  a  r 2 ⌡a 2 (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(6, 00 × 10 −4 A)(100 A)  1, 00 cm + 10,0 cm  ln   2 1, 00 cm  = 2, 87 × 10 −8 N. Como o campo produzido pelo fio aponta para fora do papel na região onde a barra está se movendo e o sentido da corrente na barra é para cima, a força associada ao campo magnético aponta para a direita e, portanto, a força externa aplicada deve apontar para a esquerda. (e) De acordo com a Eq. 7-48, a taxa com a qual a força externa realiza trabalho sobre a espira é P = Fv = (2,87 × 10–8 N)(5,00 m/s) = 1,44 × 10–7 W = 0,144 mW. Como toda a energia fornecida pela força externa é convertida em energia térmica, este valor é igual ao da potência dissipada na espira, calculado no item (c). 34. Como Ftot = BiL – mg = 0, temos: i= o que nos dá vt = mgR/B2L2. mg |  | 1 d B B dA Bvt L = = = = , BL R R dt R dt R SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 35. (a) De acordo com a Eq. 30-8,  = BLv = (1, 2 T)(0,10 m)(5,0 m/s) = 0,60 V . (b) De acordo com a lei de Lenz, o sentido da fem induzida é o sentido horário. Isso significa que, na barra, o sentido da fem é para cima. (c) De acordo com a lei de Ohm, a corrente induzida é i = 0,60 V/0,40 Ω = 1,5 A. (d) O sentido da corrente é o sentido horário. (e) De acordo com a Eq. 26-27, P = i2R = 0,90 W. (f) De acordo com a Eq. 28-2, a força que o campo magnético exerce sobre a barra aponta para a direita e tem um módulo F = iLB = (1, 5 A)(0,10 m)(1,2 T) = 0,18 N. Para manter a barra em movimento com velocidade constante, é preciso aplicar uma força de mesmo módulo no sentido da direita para a esquerda. A resposta é, portanto, Fext = 0,18 N. (g) De acordo com a Eq. 7-48, a taxa com a qual a força realiza trabalho sobre a barra é dada por P = Fv = (0,18 N)(5,0 m/s) = 0,90 W. Como toda a energia fornecida pela força externa é convertida em energia térmica, este valor é igual ao da taxa com a qual a energia é dissipada na barra em forma de calor, calculado na item (e). 36. (a) No caso da trajetória 1, temos:   dB dB d  B1 d = ( B1 A1 ) = A1 1 =  r12 1 =  (0, 200 m)2 (−8, 50 × 10 −3 T/s) E ⋅ ds = − 1 dt dt dt dt ∫ = −1, 07 × 10 −3 V = −1, 07 mV. (b) No caso da trajetória 2, temos:   ∫ E ⋅ ds = − 2 d B2 dB =  r22 2 =  (0, 300 m)2 (−8, 50 × 10 −3 T/s) dt dt = −2, 40 × 10 −3 V = −2, 40 mV. (c) No caso da trajetória 3, temos:     E ⋅ ds = E ⋅ ds − ∫ 3 ∫ 1   ∫ E ⋅ ds = −1, 07 × 10 2 −3 V − (−2, 4 × 10 −3 V) = 1, 33 × 10 −3 V = 1, 33 mV. 37. (a) Como o ponto está dentro do solenoide, devemos usar a Eq. 30-25. O módulo do campo elétrico induzido é E= 1 dB 1 r = (6, 5 × 10 −3 T/s)(0, 0220 m) = 7,15 × 10 −5 V/m = 71,5 V/m. 2 dt 2 (b) Como o ponto está fora do solenoide, devemos usar a Eq. 30-27. O módulo do campo elétrico induzido é E= (0, 0600 m)2 1 dB R 2 1 = (6, 5 × 10 −3 T/s) = 1, 43 × 10 −4 V/m = 143V/m. (0, 0820 m) 2 dt r 2 235 236 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 38. A mudança brusca de inclinação do gráfico da Fig. 30-55 mostra que o raio da região circular é 2,0 cm. De acordo com a Eq. 30-20, para valores de r menores que este valor,   ∫ E ⋅ ds = E(2 r ) = dB d  B d ( BA) = =A =  r 2 a, dt dt dt o que nos dá E/r = a/2. E/r é a inclinação da parte retilínea do gráfico, cujo valor é (300 × 10−6 N/C)/(2,00 × 10−3 m) = 0,015 m. Assim, a = 2E/r = 0,030 T/s. 39. O campo magnético B pode ser escrito na forma B ( t ) = B0 + B1 sen (t + 0 ) , na qual B0 = (30,0 T + 29,6 T)/2 = 29,8 T e B1 = (30,0 T 2 29,6 T)/2 = 0,200 T. Nesse caso, de acordo com a Eq. 30-25, E (t ) = r d 1 1  dB   B0 + B1 sen (t + 0 )  = B1r cos (t + 0 ) .   r = 2 2 dt 2 dt Como ω = 2pf e o valor de E(t) é máximo para cos(ωt + f0) = 1, temos: Emax = 1 1 B1 (2 f )r = (0, 200 T)(2 )(15 Hz)(1, 6 × 10 −2 m) = 0,15 V/m. 2 2 40. Como NFB = Li, temos: B = Li (8, 0 × 10 −3 H)(5, 0 × 10 −3 A) = = 1, 0 × 10 −7 Wb = 0,10  Wb. N 400 41. (a) O fluxo magnético que enlaça as espiras é igual ao fluxo que atravessa uma espira multiplicado pelo número de espiras:  total = N  B = NBA = NB( r 2 ) = (30, 0)(2, 60 × 10 −3 T)( )(0,100 m)2 = 2, 45 × 10 −3 Wb = 2,45 mWb. (b) De acordo com a Eq. 30-33, temos: L= N  B 2, 45 × 10 −3 Wb = = 6, 45 × 10 −4 H = 0,645 mH H. i 3, 80 A 42. (a) Podemos imaginar que o solenoide é a combinação de N espiras circulares dispostas ao longo da largura W da fita de cobre. Nesse caso, a corrente em cada fita é ∆i = i/N e o campo magnético no interior do solenoide é  N   i   i (4 × 10 −7 T ⋅ m//A)(0,035 A) B = 0 ni = 0     = 0 = W N W 0,16 m = 2, 7 × 10 −7 T = 0,27 T. (b) De acordo com a Eq. 30-33, temos: L=  B  R 2 B  R 2 (0 i / W ) 0 R 2  (4 × 10 −7 T ⋅ m//A)(0,018 m)2 = = = = i i i W 0,16 m = 8, 0 × 10 −9 H = 8,0 nH. 43. Vamos definir um eixo de coordenadas r tal que o eixo central de um dos fios está na origem e o outro em r = d. De acordo com a regra da mão direita, os campos se somam da região entre os dois fios e, por simetria, os campos na região em que 0 < r < d/2 têm o mesmo valor que os campos na região em que d/2 < r < d, com r substituído por d − r. Vamos chamar de l SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS o comprimento dos fios e calcular, por integração, o fluxo magnético por unidade de comprimento, FB/l. Devido à simetria, podemos realizar a integração apenas no intervalo 0 < xr < d/2 e multiplicar o resultado por 2: B = 2 ∫ d /2 0 B dA = 2 ∫ a 0 Bint (l dr ) + 2 ∫ d /2 a Bext (l dr ), na qual Bint é o campo no interior dos fios, dado pela Eq. 29-20, e Bext é o campo do lado de fora dos fios, dado pela Eq. 29-17. Assim, temos: d /2 a B 0 i   0 i = 2⌠ dr + 2⌠ r+     2 2 (d − r )  l ⌡0  2 a ⌡a = 0 i   0 i  2 r + 2 (d − r )  dr   0 i   d − a   0 i  d − a  ln  , 1 − 2 ln  +   d     a  2  na qual o primeiro termo é o fluxo no interior dos fios e será desprezado, como sugere o enunciado do problema. Assim, o fluxo é dado, aproximadamente, por B = 0 il  d − a  ln   a   e, de acordo com a Eq. 30-33 (com N = 1), temos: L  B 0  d − a  (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)  142 − 1, 53  = = ln  ln  =  1, 53  l   a   Li = 1, 81 × 10 −6 H/m = 1,81 H/m. 44. Como, de acordo com a Eq. 30-35, e = –L(di/dt), temos: di  60 V =− =− = −5, 0 A/s, dt L 12 H o que nos dá |di/dt| = 5,0 A/s. Podemos obter esta taxa de variação, por exemplo, reduzindo a corrente de 2,0 A para zero em 40 ms a uma taxa constante. 45. (a) De acordo com a lei de Lenz, a força eletromotriz se opõe à variação da corrente. Assim, se a polaridade da fem é tal que a corrente induzida tem o mesmo sentido que a corrente já existente, isso indica que a corrente está diminuindo. (b) De acordo com a Eq. 30-35, L= 17 V  = = 6, 8 × 10 −4 H = 0,68 mH. di /dt 2,5 kA/s 46. Durante os períodos de tempo em que a corrente está variando linearmente com o tempo, a Eq. 30-35 nos dá | e |= L | i /t | . Assim, temos (omitindo os símbolos de valor absoluto para simplificar a notação): (a) Para 0 < t < 2 ms, =L i (4, 6 H)(7, 0 A − 0) = 1, 6 × 10 4 V = 16 kV. = 2, 0 × 10 −3 s t (b) Para 2 ms < t < 5 ms, =L i ( 4, 6 H ) ( 5, 0 A − 7, 0 A ) = = 3,1 × 10 3 V = 3,1 kV. t ( 5, 0 − 2, 0 )10 −3 s 237 238 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) Para 5 ms < t < 6 ms, =L i ( 4, 6 H ) ( 0 − 5, 0 A ) = = 2, 3 × 10 4 V = 23 kV. ( 6, 0 − 5, 0 )10 −3 s t 47. (a) De acordo com a Eq. 30-35, a tensão entre os terminais dos indutores é diretamente proporcional à indutância. A situação é análoga à dos resistores. Como as tensões (independentes) de componentes em série se somam, as indutâncias de indutores em série se somam. Assim, temos: Leq = L1 + L2. Note que, para que as tensões dos indutores sejam independentes, é preciso que o campo magnético produzido por um dos indutores não afete o outro, o que significa que os indutores não devem estar muito próximos (o caso em que os campos magnéticos produzidos por indutores afetam outros indutores é discutido na Seção 30-12). (b) Analogamente ao caso dos resistores, Leq = ∑ N n =1 Ln . 48. (a) se dois indutores, L1 e L2, estão submetidos à mesma tensão V, a Eq. 30-35 nos dá: di1 L =− 1 dt V di2 L =− 2 dt V e Como a corrente total que passa pelos dois indutores é i1 + i2, temos: di di1 di2 L L = + =− 1 − 2. dt dt dt V V De acordo com a Eq. 30-35, se substituirmos os dois indutores por um único indutor equivalente, deveremos ter: Leq di =− dt V Combinando as duas equações anteriores, obtemos: 1 1 1 = + . Leq L1 L2 Note que, para que as correntes dos indutores sejam independentes, é preciso que o campo magnético produzido por um dos indutores não afete o outro, o que significa que os indutores não devem estar muito próximos (o caso em que os campos magnéticos produzidos por indutores afetam outros indutores é discutido na Seção 30-12). (b) Analogamente ao caso dos resistores, 1 = Leq N 1 . n =1 n ∑L 49. De acordo com os resultados dos Problemas 30-47 e 30-48, a resistência equivalente é Leq = L1 + L4 + L23 = L1 + L4 + L2 L3 (50, 0 mH)(20, 0 mH) = 30, 0 mH + 15, 0 mH + L2 + L3 50, 0 mH + 20, 0 mH = 59, 3 mH. 50. Vamos chamar de if o valor final da corrente. De acordo com o enunciado, i = if /3 no instante t = 5,00 s. Nesse caso, de acordo com a Eq. 30-41, temos: i = i f (1 − e − t /  L ) ⇒  L = − t 5, 00 s = = 12, 3 s. ln(1 − i /i f ) ln(1 − 1/33) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 51. A corrente no circuito é dada por i = i0 e − t  L , na qual i0 é a corrente no instante t = 0 e tL = L/R é a constante de tempo indutiva. Dividindo por i0 e tomando o logaritmo de ambos os membros, obtemos  i t ln   = − , L  i0  o que nos dá L = − 1, 0 s t = 0, 217s. =− ln(i / i0 ) ln [ (10 × 10 −3 A) /(1, 0 A) ] Assim, R = L/tL = 10 H/0,217 s = 46 Ω. 52. (a) Logo após o fechamento da chave, e – eL = iR. Entretanto, como i = 0 nesse instante, eL = e, o que nos dá eL/e = 1,00. (b)  L (t ) =  e− t τ L =  e−2, 0τ L τL =  e−2, 0 = 0,135 , o que nos dá eL/e = 0,135. (c) Como e L (t ) = e e− t τ L , temos:    t = ln   = ln 2 τL  L  ⇒ t = τ L ln 2 = 0, 693τ L ⇒ t /τ L = 0, 693. 53. (a) se a bateria é ligada ao circuito no instante t = 0, a corrente para t > 0 é dada por i=  (1 − e− t / τ L ) , R na qual tL = L/R. No instante em que i = 0,800e/R, temos: 0, 800 = 1 − e − t /  L ⇒ e − t /  L = 0, 200 . Tomando o logaritmo natural de ambos os membros, obtemos –(t/tL) = ln(0,200) = –1,609, o que nos dá t = 1, 609 L = 1, 609 L 1, 609(6, 30 × 10 −6 H) = 8, 45 × 10 −9 s = 8,45 ns . = R 1, 20 × 103  (b) No instante t = 1,0tL, a corrente no circuito é i=    (1 − e−1,0 ) =  14, 0 V3  (1 − e−1,0 ) = 7, 37 × 10 −3 A = 7,37 mA . R  1,20 × 10   A figura a seguir mostra a corrente no circuito em função de t/tL. 239 240 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 54. (a) Imediatamente após o fechamento da chave, a corrente no indutor é zero e, portanto, i1 = 100 V  = = 3, 33 A. R1 + R2 10,0  + 20,0  (b) Como foi visto no item (a), a corrente no indutor é zero e, portanto, i2 = i1 = 3,33 A. Após um longo tempo, a corrente atinge o valor final. Quando isso acontece, a fem entre os terminais do indutor é zero e o componente pode ser substituído por um fio condutor. Nesse caso, a corrente em R3 é i1 2 i2 e, de acordo com a regra das malhas,  − i1 R1 − i2 R2 = 0,  − i1 R1 − (i1 − i2 ) R3 = 0. Resolvendo o sistema de equações anterior, obtemos: (c) i1 =  ( R2 + R3 ) (100 V)(20, 0  + 30, 0 ) = R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 (10, 0 )(20, 0 ) + (10, 0 )(30, 0 ) + (20, 0 )(30, 0 ) = 4, 55 A. (d) i2 =  R3 (100 V)(30, 0 ) = R1 R2 + R1 R3 + R2 R3 (10, 0 )(20, 0 ) + (10, 0 )(30, 0 ) + (20, 0 )(30, 0 ) = 2, 73 A. (e) Como, após o fechamento da chave, a malha da esquerda deixa de conduzir corrente, i1 = 0. (f) Como o valor da corrente em um indutor não pode mudar bruscamente, o valor da corrente em R3 imediatamente após a chave ser aberta é o mesmo que antes da abertura da chave, i3 = i1 2 i2 = 4,55 A 2 2,73 A = 1,82 A. De acordo com a lei dos nós, a corrente em R2 tem o mesmo valor absoluto e o sentido inverso: i2 = 21,82 A. Como a fonte de alimentação foi desligada do circuito, o valor final de todas as correntes é zero. Assim, (g) i1 = 0. (h) i2 = 0. 55. O valor da corrente para t > 0 é dado por i = i f (1 − e − t / L ) , na qual if é a corrente final e tL = L/R é a constante de tempo indutiva. No instante em que i = 0,9990if , temos: 0, 990i f = i f (1 − e − t /  L ) ⇒ ln(0, 0010) = −(t / ) ⇒ t / L = 6, 91. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS A figura a seguir mostra a corrente normalizada, i/if , em função de t/tL. 56. Como a inclinação do gráfico da Fig. 30-62 é igual a /i, temos: /i = (4,0 × 10−4 T . m2)/ (2,00 A) = 2 ×10−4 H. Assim, como N = 25, a indutância do indutor é L = N฀/i = 5 × 10−3 H. Derivando a Eq. 30-41 em relação ao tempo, obtemos: di  R − t / τ L  − t / τ L 16 V = = e e e−1,5 = 7,1 × 10 2 A/s. dt R L L 5 × 10 −3 H 57. (a) Como a corrente no resistor é zero antes da queima do fusível, a aplicação da regra das malhas à malha formada pela fonte, pelo fusível e pelo indutor nos dá −L di t =0 ⇒ i= . L dt No instante tq em que o fusível queima, i = iq = 3,0 A. Assim, tq = iq L (3, 0 A)(5, 0 H) = = 1, 5 s.  10 V (b) A figura a seguir mostra o gráfico pedido. 58. De acordo com a regra das malhas, =L di d + iR = L (3, 0 + 5, 0 t ) + (3, 0 + 5, 0 t ) R = (6, 0)(5, 0) + (3, 0 + 5, 0 t )(4, 0) dt dt = (42 + 20 t ) V. 241 242 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 59. (a) Vamos supor que o sentido da corrente i na chave é da esquerda para a direita. Vamos chamar de i1 a corrente no resistor e supor que o sentido dessa corrente é para baixo. Vamos chamar de i2 a corrente no indutor e supor que o sentido dessa corrente também é para baixo. De acordo com a regra das malhas, i1R 2 L(di2/dt) = 0. De acordo com a regra dos nós, i = i1 + i2. Como a corrente i é constante, a derivada desta equação em relação ao tempo nos dá di1/dt = 2 di2/dt. Substituindo na primeira equação, obtemos L di1 + i1 R = 0. dt Por analogia com a Eq. 30-44, a solução é dada pela Eq. 30-45, com i1 no lugar de i: i1 = i0 e − Rt L , na qual i0 é a corrente no resistor no instante t = 0, imediatamente após o fechamento da chave. Como a corrente em um indutor não pode variar bruscamente, nesse instante i2 = 0 e i1 = i. Assim, i0 = i e i1 = ie − Rt L , i2 = i − i1 = i(1 − e − Rt L ). (b) Quando i2 = i1, e − Rt L = 1 − e − Rt L ⇒ e − Rt L = 1 . 2 Tomando o logaritmo natural de ambos os membros, temos: L  Rt    = ln 2 ⇒ t = ln 2. R L A figura a seguir mostra os gráficos de i1/i e i2/i em função de t/tL. 60. (a) Vamos usar a seguinte notação: h é a altura do núcleo toroidal, a é o raio interno e b é o raio externo. Como a seção reta é quadrada, h = b 2 a. Podemos calcular o fluxo usando a Eq. 29-24 e a indutância usando a Eq. 30-33: B = ∫ b a b  Nih  b    Ni  ln   B dA = ⌠   0  h dr = 0  a 2 ⌡a 2 r e L= N  B 0 N 2 h  b  ln   . =  a 2 i SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Como a circunferência interna do núcleo é l = 2pa = 2p(10 cm) ≈ 62,8 cm, o número de espiras é N ≈ 62,8 cm/1,0 mm = 628. Assim, L= 0 N 2 h  b  (4 × 10 −7 H m)(628)2 (0, 02 m))  12  ln   ≈ ln   = 2, 9 × 10 −4 H = 0,29 mH.  a  10  2 2 (b) Como o perímetro de um quadrado é igual a quatro vezes o lado, o comprimento total do fio é l = (628)(4)(2,0 cm) = 50 m e a resistência do fio é R = (50 m)(0,02 Ω/m) = 1,0 Ω. Assim, L = L 2, 9 × 10 −4 H = = 2, 9 × 10 −4 s = 0,29 ms. R 1,0  61. (a) Se a bateria é ligada ao circuito no instante t = 0, a corrente é dada por i=  (1 − e− t τ L ) , R na qual e é a fem da bateria, R é a resistência e tL é a constante de tempo indutiva (L/R). Isso nos dá e− t τ L = 1 − iR t  iR ⇒− = ln 1 −  .   τL  Como  (2, 00 × 10 −3 A)(10, 0 × 10 3 )   iR ln 1 −  = ln 1 −  = −0, 5108 ,   50, 0 V   a constante de tempo indutiva é L = 5, 00 × 10 −3 s t = = 9, 79 × 10 −3 s 0, 5108 0, 5108 e a indutância é L =  L R = (9, 79 × 10 −3 s)(10, 0 × 10 3 ) = 97, 9 H. (b) A energia armazenada na bobina é UB = 1 2 1 Li = (97, 9 H)(2, 00 × 10 −3 A)2 = 1, 96 × 10 −4 J = 0,196 mJ. 2 2 62. (a) De acordo com as Eqs. 30-49 e 30-41, a taxa com a qual a energia está sendo armazenada no campo magnético da bobina é 1   1 −t τ L   2 dU B d ( 2 Li 2 ) di  − t τ L e− t τ L . 1 − e− t τ L )  = e = Li = L ( )  = R (1 − e R   R τL dt dt dt Como tL = L/R = 2.0 H/10 Ω = 0,20 s e e = 100 V, a expressão anterior nos dá dUB/dt = 2,4 × 102 W para t = 0,10 s. (b) De acordo com as Eqs. 26-27 e 30-41, a potência dissipada na resistência é Pt = i 2 R = 2 2 −t τ L 2 R =  − e 1 ( (1 − e− t τ L )2 . ) 2 R R 243 244 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Para t = 0,10 s, a expressão anterior nos dá Pt = 1,5 × 102 W. (c) De acordo com a lei de conservação da energia, a potência fornecida pela fonte é Pfonte = Pt + dU B = 3, 9 × 10 2 W. dt Note que o mesmo resultado poderia ser obtido usando as Eqs. 26-26 e 30-41. 63. De acordo com as Eqs. 30-49 e 30-41, a taxa com a qual a energia é armazenada no campo magnético do indutor é   1 −t τ L   2 dU B d ( Li 2 / 2 ) di  − t τ L )e − t τ L . e = Li = L  (1 − e− t τ L )   =  = R (1 − e dt dt dt R  R τL De acordo com as Eqs. 26-27 e 30-41, a taxa com a qual a energia é dissipada no resistor é Pt = i 2 R = 2 2 − t τ L ) 2 R =  (1 − e− t τ L ) 2 . 1 ( − e R2 R Igualando as duas equações e explicitando o tempo, obtemos: 2 2 (1 − e− t τ L )2 = (1 − e− t τ L )e− t τ L ⇒ R R t = τ L ln 2 = (37, 0 ms) ln 2 = 25, 6 ms. 64. Seja U B ( t ) = 12 Li 2 ( t ). Queremos que a energia no instante t seja metade do valor final: U (t ) = U B (t → º ) / 2 = Li 2f / 4 . Isto nos dá i(t ) = i f / 2. Como i(t ) = i f (1 − e − t /  L ), temos: 1 − e− t  L = 1 2 ⇒ 1  t  = − ln  1 −  = 1, 23.  L 2 65. (a) A energia fornecida pela fonte é a integral da Eq. 27-14, na qual a corrente é dada pela Eq. 30-41: ∫ t 0 t 2  2  L − Rt L 1 − e− Rt L ) dt = t + (e − 1)  ( ⌡0 R R  R  Pfonte dt = ⌠ = (5, 50 H)  e− (6, 70  )( 2, 00 s) 5,50 H − 1  (10, 0 V)2    2, 00 s + 6, 70  6, 70     = 18, 7 J. (b) A energia armazenada no campo magnético é dada pela Eq. 30-49: 2 2 2  10, 0 V  1 1  e 1 1 − e− (6, 70  )( 2, 00 s) 5,50 H  (1 − e− Rt L )2 = ( 5, 50 H )  U B = Li 2 (t ) = L    R 2 2 2  6, 70   = 5,10 J. (c) De acordo com a lei de conservação da energia, a energia dissipada no resistor é igual à diferença entre os resultados dos itens (a) e (b): 18,7 J 2 5,10 J = 13,6 J. 66. (a) De acordo com a Eq. 29-9, o módulo do campo magnético no centro da espira é B= 0 i (4 × 10 −7 H m) (100 A) = = 1, 3 × 10 −3 T = 1, 3 mT. 2R 2(50 × 10 −3 m) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) De acordo com a Eq. 30-55, a densidade de energia nas proximidades do centro da espira é uB = B2 (1, 3 × 10 −3 T)2 = 0, 63 J m 3 . = 20 2(4 × 10 −7 H m) 67. (a) De acordo com a Eq. 30-55, a densidade de energia magnética é dada por uB = B2/2m0. Como, no interior de um solenoide, B = m0ni, na qual n, neste caso, é dado por n = (950 espiras)/(0,850 m) = 1,118 × 103 m–1, a densidade de energia magnética é uB = 1 1 0 n 2i 2 = (4 × 10 −7 T ⋅ m A)(1,118 × 103 m −1 )2 (6, 60 A)2 = 34, 2 J m 3 . 2 2 (b) Como o campo magnético é uniforme no interior de um solenoide ideal, a energia total armazenada no campo magnético é UB = uBV, na qual V é o volume do solenoide. O volume V, por sua vez, é igual ao produto da área da seção reta pelo comprimento do solenoide. Assim, U B = (34, 2 J m 3 )(17, 0 × 10 −4 m 2 )(0, 850 m) = 4, 94 × 10 −2 J = 49,4 mJ . 68. A energia magnética armazenada no indutor toroidal é dada por UB = Li2/2, na qual L é a indutância e i é a corrente. A energia magnética também é dada por UB = uBV, na qual uB é densidade de energia média e V é o volume. Assim, i= 2uBV = L 2(70, 0 J m 3 )(0, 0200 m 3 ) = 5, 58 A . 90, 0 × 10 −3 H 69. Como uE =  0 E 2 / 2 = uB = B 2 / 20 , temos: E= B =  0 0 0, 50 T (8, 85 × 10 −12 F m) (4 × 10 −7 H m) = 1, 5 × 108 V m . 70. É importante notar que o gráfico da Fig. 30-65b não expressa a densidade de energia em função da coordenada do ponto na qual a densidade de energia é medida; a densidade de energia é sempre medida na origem. O que o gráfico mostra é a densidade de energia na origem em função da posição do fio 2. Note que o gráfico passa por um ponto em que a densidade de energia é zero. Isso significa que os campos magnéticos produzidos pelas duas correntes têm sentidos opostos, o que, por sua vez, significa que as correntes têm o mesmo sentido nos dois fios. Além disso, sabemos que |B1| = |B2| quando x = 0,20 cm, o valor de x para o qual uB é zero. Assim, de acordo com a Eq. 29-4, 0 i1 0 i2 = , 2 d 2 (0, 20 m) o que nos dá d = 0,067 m. Sabemos também que quando a densidade de energia é produzida exclusivamente por B1 (o que acontece quando x → ∞), uB = 1,96 × 10−9 J/m3, o que nos dá B1 = 20 uB = 2(4 × 10 −7 H/m)(1,96 × 10 −9 J/m 3 ) = 7, 02 × 10 −8 T. (a) Como B1 = m0i1/2pd, temos: i1 = 2 dB1 2 (0, 067 m)(7, 02 × 10 −8 T) = = 0, 023 A = 23 mA. 0 4 × 10 −7 H/m (b) i2 = 3i1 = 3(23 mA) ≈ 70 mA. 245 246 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 71. (a) A densidade de energia do campo magnético é 2 uB = 0 i 2 (4 × 10 −7 H m) (10 A)2 1  0 i  B2 = 1, 0 J m 3 . = =   = 2 − 3 2 20 20 2 R 8R 8(2, 5 × 10 m 2) (b) A densidade de energia do campo elétrico é 2 uE =   iR 1 1 2 2  0 E 2 = 0 ( ρ J ) = 0   = (8, 85 × 10 −12 F m) [ (10 A)(3, 3  103 m) ] 2 2 2 l 2 = 4, 8 × 10 −15 J m 3 . 72. (a) O enlaçamento de fluxo magnético 12 da bobina 1 é L1i1 (25 mH)(6, 0 mA) = = 1, 5  Wb. N1 100 12 = (b) A força eletromotriz autoinduzida na bobina 1 é 1 = L1 di1 = (25 mH)(4, 0 A s) = 1, 0 × 10 2 mV. dt (c) O enlaçamento de fluxo magnético 21 da bobina 2 é  21 = Mi1 ( 3, 0 mH ) ( 6, 0 mA ) = 90 nWb. = N2 200 (d) A força eletromotriz autoinduzida na bobina 2 é 2 = M di1 = ( 3, 0 mH ) ( 4, 0 A s ) = 12 mV. dt 73. (a) De acordo com a Eq. 30-65, temos: M= ε1 = di2 dt 25, 0 mV = 1, 67 mH . 15, 0 A s (b) De acordo com a Eq. 30-59, temos: N 2 21 = Mi1 = (1, 67 mH)(3, 60 A) = 6, 00 mWb . 74. Como e2 = –M di1/dt ≈ M|∆i/∆t|, temos: M=  i1 t = 30 × 103 V = 13 H . 6, 0 A (2,5 × 10 −3 s) 75. Como o fluxo magnético através da espira do campo B produzido pela corrente i é dado por a+b Bl dr = ⌠ a+b 0 il  il  b  dr = 0 ln  1 +  , 2 r 2  a = ∫ M= N  N 0 l  ln  1 + =  2 i a ⌡a temos: = b  a (100) (4 × 10 −7 H m) (0, 30 m)  8, 0  ln  1 +  1, 0  2 = 1, 3 × 10 −5 H = 13 H . SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 76. (a) A indutância mútua da combinação bobina-solenoide é M = M bs = N  bs N (0 is n R 2 ) = = 0 R 2 nN . is is (b) Como o campo magnético do lado de fora de um solenoide longo é praticamente nulo, se o solenoide estiver envolvido pela bobina C, o fluxo do campo magnético através da bobina será sc = BsAs = BspR2, independentemente da forma, tamanho ou possível falta de compactação da bobina. 77. (a) Vamos supor que a taxa de variação da corrente é di/dt e calcular a fem total induzida no circuito formado pelas duas bobinas. Os campos magnéticos produzidos pelas duas bobinas apontam para a direita. Quando a corrente aumenta, os dois campos aumentam e as duas variações do fluxo induzem forças eletromotrizes de mesma polaridade. Assim, a fem induzida no circuito é  = 1 +  2 = 1 = − ( L1 + M ) di di di − ( L2 + M ) = − ( L1 + L2 + 2 M ) , dt dt dt que é a fem que seria produzida se as duas bobinas fossem substituídas por uma única bobina de indutância Leq = L1 + L2 + 2M. (b) Para obter este novo valor da indutância equivalente, basta inverter as ligações da bobina 2 com a bobina 1. Isso faz com que os fluxos das bobinas tenham sentidos opostos: o aumento da corrente na bobina 1 aumenta o fluxo na bobina 1, mas esse aumento também aumenta a corrente na bobina 2, o que produz um fluxo na bobina 1 oposto ao fluxo criado pela própria bobina. O mesmo acontece com o fluxo na bobina 2. Assim, a fem induzida no circuito é  = 1 +  2 = 1 = − ( L1 − M ) di di di − ( L2 − M ) = − ( L1 + L2 − 2 M ) , dt dt dt que é a fem que seria produzida se as duas bobinas fossem substituídas por uma única bobina de indutância Leq = L1 + L2 2 2M. 78. Derivando a Eq. 30-41 em relação ao tempo, obtemos di d    − t / τ L  − Rt / L , = (1 − e− t / τ L )  = e = e τL dt dt  R R L  o que nos dá e− Rt / L =  L   di  .     dt  Tomando o logaritmo natural de ambos os membros e explicitando R, obtemos: R=− L  L   di   23, 0 × 10 −3 H (23, 0 × 10 −3 H)(280 A/s) = − = 95, 4  . ln ln  12, 0 V t  e   dt   0,150 × 10 −3 s 79. (a) V1 = e e i1 = e/R1 = (10 V)/(5,0 Ω) = 2,0 A. (b) Como a corrente não pode variar bruscamente em um indutor, i2 = 0. (c) is = i1 + i2 = 2,0 A + 0 = 2,0 A. (d) Como i2 = 0, V2 = R2i2 = 0. (e) VL = e = 10 V. 247 248 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (f) di2/dt = VL/L = e/L = (10 V)/(5,0 H) = 2,0 A/s. (g) V1 = e = 10 V e, portanto, i1 = (10 V)/(5,0 Ω) = 2,0 A. (h) Como VL = 0, i2 = e/R2 = (10 V)/(10 Ω) = 1,0 A. (i) is = i1 + i2 = 2,0 A + 1,0 A = 3,0 A. (j) Como VL = 0, V2 = e – VL = e = 10 V. (k) VL = 0. (l) di2/dt = VL/L = 0. 80. De acordo com a Eq. 30-41, i=  (1 − e− t τ L ) =  (1 − e− Rt R R L ), o que nos dá t=  1  L   1   8, 0 × 10 −6 H   ≈ 1, 0 ns. ln = ln  R   1 − iR /e   4, 0 × 10 3    1 − (2, 0 × 10 −3 A)(4, 0 × 103 ) / (20 V)  81. Podemos usar a lei de Ohm para relacionar a corrente induzida à fem, que é dada pela lei de Faraday: i= |  | 1 d = . R R dt (a) Quando a espira penetrou parcialmente na região 1, de modo que uma parte x do comprimento da espira está na região x, o fluxo é FB = xHB1, o que significa que d  B dx vHB1 = ( HB1 ) = vHB1 ⇒ i = dt dt R ⇒ B1 = iR vH Observando a Fig. 30-70b, vemos que, nessa situação, i = 3,0 mA, o que nos dá B1 = iR (3, 0 × 10 −6 A)(0, 020 ) = 10 T. = vH (40 × 10 −2 m/s)(1, 5 × 10 −2 m) (b) De acordo com lei de Lenz, o sentido do campo magnético na região 1 é para fora do papel. (c) Quando a espira penetrou parcialmente na região 2, de modo que uma parte x do comprimento da espira está na região 2 e uma parte D – x está na região 1, o fluxo é FB = xHB2 + (D – x)HB1= DHB1 + xH(B2 2 B1), o que significa que iR + vHB1 d  B dx . H(B2 2 B1) = vH(B2 2 B1) ⇒ i = vH(B2 2 B1)/R ⇒ B2 = = vH dt dt SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Observando a Fig. 30-70b, vemos que, nessa situação, i = −2,0 mA, o que nos dá B2 = = iR + vHB1 vH −(2, 0 × 10 −6 A)(0, 020 ) + (40 × 10 −2 m/s)(1, 5 × 10 −2 m/s)(10 × 10 −6 T) (40 × 10 −2 m/s)(1, 5 × 10 −2 m) = 3, 3 T. (d) De acordo com a lei de Lenz, o sentido do campo magnético na região 2 é para fora do papel. 82. De acordo com a lei de Faraday, temos (considerando apenas uma espira, uma área constante e um campo B variável no tempo): =− dB dB d B d ( BA) =− = −A = −π r 2 . dt dt dt dt Neste problema, B = B0 e − t / ⇒ dB B = − 0 e − t / , dt  o que nos dá  = π r2 B0 − t / τ e . τ 83. Estamos interessados em determinar o instante no qual VL = VR. Como, de acordo com a lei das malhas, e = VR + VL, isso significa que, nesse instante, e = 2VR = 2iR. A variação com o tempo da corrente no circuito é dada pela Eq. 30-40. Assim, podemos escrever:   = 2iR = 2  (1 − e− Rt / L )  R = 2 (1 − e− Rt / L ), R   o que nos dá t= 15, 0 × 10 −3 H L (0, 69) = 0, 520 ms. ln 2 = 20, 0  R 84. De acordo com a lei de Faraday, temos (considerando apenas uma espira, uma área constante e um campo B variável no tempo): =− d B d ( BA) dB dB =− = −A = −π R 2 dt dt dt dt e, portanto, dB  , =π 2 R dt o que significa que a inclinação das retas da Fig. 30-71b é igual a p(dB/dt). (a) Como a inclinação da reta da esquerda é (8 nV)/(1 cm2) = (8 × 10−9 V)/(10−4 m2) = 80 mV/ m2, temos: dB1 80 V/m 2 = ≈ 25 T/s.  dt 249 250 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Como a inclinação da reta da direita é (12 nV)/(3 cm2) = 40 mV/m2, temos: dB2 40 V/m 2 = ≈ 13 T/s.  dt  (c) De acordo com a lei de Lenz, o módulo de B2 está aumentando. 85. O campo elétrico induzido é dado pela Eq. 30-20:   ∫ E ⋅ ds = − dB . dt Como, para a configuração da Fig. 30-72, as linhas de campo elétrico são circunferências concêntricas com o eixo do cilindro, temos, para uma trajetória ao longo de uma linha de campo elétrico: 1 dB r. 2 dt   Como a força que o campo exerce sobre um elétron é F = −eE , a aceleração do elétron, de   acordo com a segunda lei de Newton, é a = −eE /m. E (2 r ) = −( r 2 ) dB dt ⇒ E=− (a) No ponto a, r  dB  1 E = −   = − (5, 0 × 10 −2 m)(−10 × 10 −3 T s) = 2, 5 × 10 −4 V/m. 2  dt  2 Considerando positivo o sentido da normal para dentro do papel, que é o sentido do campo mag horário. Assim, o sentido do campo elétrico nético, o sentido positivo do campo E é o sentido  ˆ A aceleração resultante é no ponto a é para a esquerda, o que nos dá E = −(2, 5 × 10 −4 V/m)i.  −eE (−1, 60 × 10 −19 C)(−2, 5 × 10 −4 V/m) ˆ  i = (4, 4 × 10 7 m/s 2 ) ˆi . = aa = m (9,11 × 10 −31 kg)   (b) No ponto b, r = 0, E = 0 e, portanto, ab = 0. (c) O campo elétrico no ponto c tem o mesmo módulo que no ponto a e o sentido oposto. Assim, a aceleração de um elétron liberado no ponto c é   ac = − aa = (−4, 4 × 10 7 m s 2 ) ˆi . 86. Por causa do decaimento da corrente (Eq. 30-45) que acontece quando as chaves são deslocadas para a posição B, o fluxo magnético nos circuitos das Figs. 30-73a e 30-73b decai de acordo com as equações 1 = 10 e − t /  L1 e  2 =  20 e − t /  L2 , na qual as constantes de tempo são dadas pela Eq. 30-42. Igualando os fluxos e explicitando o tempo, obtemos: t= ln( 20 /10 ) ln(1, 50) = 81,1 s. = ( R2 /L2 ) − ( R1 /L1 ) (30, 0  / 0, 0030 H) − (25  / 0, 0050 H) 87. (a) A força eletromotriz média é  med =  B −dB BAi (2, 0 T)(0, 20 m)2 = = = = 0, 40 V. t 0, 20 s dt t SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) A corrente média induzida é imed =  med 0, 40 V = = 20 A. R 20 × 10 −3  88. (a) De acordo com a Eq. 30-28, temos: L= N  (150)(50 × 10 −9 T ⋅ m 2 ) = = 3, 75 mH. i 2, 00 × 10 −3 A (b) A indutância não muda; continua a ser 3,75 mH. (c) Como o campo magnético é diretamente proporcional à corrente na bobina e o fluxo é diretamente proporcional ao campo magnético, quando a corrente dobra de valor, o fluxo também dobra de valor. Assim, o novo fluxo é 2(50) = 100 nWb. (d) De acordo com a Eq. 30-35, o valor absoluto da fem máxima induzida é L di dt = (0, 00375 H)(0, 0030 A)(377 rad/s) = 0, 00424 V = 4,24 mV. max 89. (a) i0 = e฀/R = 100 V/10 Ω = 10 A. (b) U B = Li02 / 2 = (2, 0 H)(10 A)2 = 1, 0 × 10 2 J. 90. De acordo com a Eq. 30-45, i = i0 e − t  L . Fazendo i0 = 0,100 e explicitando t, obtemos:  i  L  i  2, 00 H  i0  = 1, 54 s . t =  L ln  0  = ln  0  = ln  i  R  i  3,00   0,100 i0  91. (a) Como a corrente em um indutor não pode variar bruscamente, a corrente na fonte é zero logo depois que a chave é fechada. (b) Como a corrente na fonte é zero logo depois que a chave é fechada, a aplicação da regra das malhas mostra que a tensão do indutor, eL, é igual, em valor absoluto, à fem da fonte. Como a corrente da fonte é igual à corrente do indutor, a Eq. 30-35 nos dá difonte |  L | 40 V = = = 8, 0 × 10 2 A s . dt L 0, 050 H (c) Este circuito se torna equivalente ao que foi analisado na Seção 30-9 se substituirmos os dois resistores de 20 kΩ em paralelo por um resistor equivalente de resistência R = 10 kΩ. Nesse caso, de acordo com a Eq. 30-41, temos: ifonte = 40 V  4 −6 −3 (1 − e Rt / L ) = (1 − e− (1, 0 ×10  )(3, 0 ×10 s) 50 ×10 H ) ≈ 1, 8 × 10 −3 A = 1,8 mA. R 1, 0 × 10 4  (d) De acordo com a regra das malhas, temos:  L =  − ifonte R = 40 V − (1, 8 × 10 −3 A)(1, 0 × 10 4 ) = 40 V − 18 V = 22 V. Assim, de acordo com a Eq. 30-35, difonte |  L | 22 V = = = 4, 4 × 10 2 A s . dt L 0, 050 H 251 252 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (e) Muito tempo após o fechamento da chave, o circuito está no regime estacionário, com eL = 0. Nesse caso, a regra das malhas nos dá  − ifonte R = 0 ⇒ ifonte =  40 V = = 4, 0 × 10 −3 A = 4,0 mA. R 1, 0 × 10 4  (f) Muito tempo após o fechamento da chave, o circuito está no regime estacionário, difonte/ dt = 0. 92. (a) L = F/i = 26 × 10–3 Wb/5,5 A = 4,7 × 10–3 H = 4,7 mH. (b) Explicitando t na Eq. 30-41, obtemos: L  iR 4, 7 × 10 −3 H  (2, 5 A)(0, 75 )   iR ln 1 − t = −τ L ln 1 −  = − ln 1 −  = −   6, 0 V   R  0,,75    = 2, 4 × 10 −3 s = 2,4 ms. 93. A energia armazenada quando a corrente é UB = Li2/2, na qual L é a indutância do indutor. Esta energia é armazenada a uma taxa di dU B = Li , dt dt na qual a corrente i é dada pela Eq. 30-41. Assim, no instante t = 1,61tL, temos: (12, 0 V)2 dU B V 2 (1 − e −1,61 ) e −1,61 = 1,15 W. (1 − e − t /  L ) e − t /  L = = 20, 0  dt R 94. (a) De acordo com a Eq. 30-31, a indutância do solenoide por unidade de comprimento é L m)2 = 0,10 H m . = 0 n 2 A = (4 π × 10 −7 H m)(100 espiras cm)2 ( )(1, 6 cm l (b) De acordo com a Eq. 30-35, a força eletromotriz induzida por metro é  L di = = ( 0,10 H m ) (13 A s ) = 1, 3 V m . l l dt 95. (a) Como a corrente em um indutor não pode variar bruscamente, a corrente no circuito é zero logo após o fechamento da chave. Isso significa que a tensão eL1 do indutor L1 é igual, em valor absoluto, à tensão da fonte. Assim, de acordo com a Eq. 30-35, temos: 6, 0 di  L1 = = = 20 A s . 0, 30 dt L1 (b) Como, no regime estacionário, a resistência dos indutores é nula, a aplicação da regra das malhas à malha externa nos dá  − i R1 = 0 ⇒ i = 6, 0 V = 0, 75 A . R1 96. Chamando de l o comprimento dos lados do quadrado, a área do quadrado é l2 e a taxa de variação da área com o tempo é dA/dt = 2ldl/dt. Assim, de acordo com a Eq. 30-34, com N = 1, temos: =− dl dA d B d ( BA) =− = −B = −2lB , dt dt dt dt SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS o que nos dá e฀= −2(12 × 10−2 m)(0,24 T)(5,0 × 10−2 m) = 0,0029 V. 97. Podemos tratar a indutância e a resistência da bobina como um indutor “puro” em série com um resistor “puro”, caso em que a situação descrita no problema pode ser analisada usando a Eq. 30-41. Derivando a Eq. 30-41, obtemos: di d = dt dt   (1 − e− t / τ L )  =  e− t / τ L =  e− Rt / L = 45 V e− (180  )(1, 2 ×10−3 s) / ( 0 , 050 H ) = 12 A/s.  R  Rτ L 0, 050 H L 98. (a) De acordo com a Eq. 30-35, L = (3,00 mV)/(5,00 A/s) = 0,600 mH. (b) Como N = iL, temos: N= iL (8, 00 A)(0, 6 × 10 −3 H) = 120. =  40, 0 × 10 −6 Wb 253 Capítulo 31 1. (a) Quando a carga do capacitor é máxima, toda a energia do circuito está presente no capacitor. Assim, se Q é a carga máxima do capacitor, a energia total é U= Q 2 (2, 90 × 10 −6 C)2 = 1,17 × 10 −6 J = 1,17 J. = 2C 2(3, 60 × 10 −6 F ) (b) Quando o capacitor está totalmente decarregado, toda a energia está presente no indutor e a corrente é máxima. Assim, se I é a corrente máxima, U = LI2/2 e I= 2U = L 2(1,168 × 10 −6 J) = 5, 58 × 10 −3 A = 5,58 8 mA. 75 × 10 −3 H 2. (a) Os valores de t para os quais a placa A está novamente com a carga positiva máxima são múltiplos do período: t A = nT = n n = = n(5, 00 s), f 2, 00 × 10 3 Hz no qual n = 1, 2, 3, 4, … Como o menor desses tempos corresponde a n = 1, tA = 5,00 ms. (b) Como o tempo para que a outra placa esteja com a carga positiva máxima é metade do período, a primeira vez em que isso ocorre é tA/2 = 2,50 ms. (c) Como o tempo para que a corrente seja máxima (e, consequentememente, o campo magnético do indutor seja máximo) é um quarto do periodo, a primeira vez em que isso ocorre é tA/4 = 1,25 ms. 3. (a) O período é T = 4(1,50 ms) = 6,00 ms. (b) A frequência é f = 1/T = 1/6,00 ms = 167 kHz. (c) Como a energia magnética não depende do sentido da corrente (UB ∝ i2), o tempo necessário é T/2 = 3,00 ms. 4. Como U = Q2/2C, C= Q 2 (1, 60 × 10 −6 C)2 = = 9,14 × 10 −9 F = 9,14 nF. 2U 2(140 × 10 −6 J) 5. Como U = LI2/2 = Q2/2C, I= Q = LC 3, 00 × 10 −6 C (1,10 × 10 −3 H)(4, 00 × 10 −6 F ) = 4, 52 × 10 −2 A = 45,2 mA. 6. (a) A frequência angular é = k = m F x = m ( 2,0 8, 0 N = 89 rad s . m ) ( 0, 50 kg ) × 10 −13 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) O período é T= 2 2 = = 7, 0 × 10 −2 s = 70 ms.  89 rad s (c) Como v = (LC)–1/2, temos: C= 1 1 = = 2, 5 × 10 −5 F = 25F . 2  L (89 rad s )2 ( 5, 0 H ) 7. As energias dos dois sistemas são comparadas na Tabela 31-1. Observando a tabela, podemos fazer as seguintes correspondências: x ↔ q, k ↔ dx dq 1 , m ↔ L, v = ↔ = i, C dt dt q2 1 2 kx ↔ , 2 2C 1 2 1 mv ↔ Li 2 . 2 2 (a) Como a massa m corresponde à indutância, m = 1,25 kg. (b) A constante elástica k corresponde ao recíproco da capacitância. Como a energia total é dada por U = Q2/2C, na qual Q é a carga máxima do capacitor e C é a capacitância, C= Q 2 (175 × 10 −6 C)2 = 2, 69 × 10 −3 F = 2U 2(5, 70 × 10 −6 J) e 1 = 372 N/m. 2, 69 × 10 −3 m/N k= (c) Como o deslocamento máximo corresponde à carga máxima, x max = 1, 75 × 10 −4 m. (d) A velocidade máxima vmax corresponde à corrente máxima. A corrente máxima é I = Q = 175 × 10 −6 C Q = LC (1, 25 H)(2, 69 × 10 −3 F) = 3, 02 × 10 −3 A, a velocidade máxima é vmax = 3,02 × 10–3 m/s = 3,02 mm/s. 8. Aplicando a lei das malhas ao circuito, temos:  total =  L1 + C1 +  R1 +  = ∑ ( Lj  ) ∑  L + C j +  R j = j j j  di q di q + + iR j  = L + + iR dt C j dt C  na qual L= ∑L , j j 1 = C 1 ∑C , j j R= ∑R j j e etotal = 0. Este comportamento é equivalente ao do circuito LRC simples da Fig. 31-26b. 9. Como o tempo necessário é t = T/4, na qual o período é dado por T = 2 / = 2 LC , temos: t= T 2 LC 2 (0, 050 H)(4, 0 × 10 −6 F ) = = = 7, 0 × 10 −4 s.. 4 4 4 255 256 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS ( 10. Como f =  /2 = 2 LC L= ) −1 , 1 1 = = 3, 8 × 10 −5 H = 38 H. 2 2 3 f C 4 (10 × 10 Hz)2 (6, 7 × 10 −6 F ) 4 2 11. (a) Como a frequência de oscilação f está relacionada à indutância L e à capacitância C através da equação f = 1/ 2 LC , o menor valor de C corresponde ao maior valor de f. Assim, fmax = 1/ 2 LCmin , fmin = 1/ 2 LCmax e Cmax = Cmin fmax = fmin 365 pF = 6, 0. 10 pF (b) Devemos usar uma capacitância adicional C tal que a razão entre a frequência máxima e a frequência mínima seja 1, 60 MHz r= = 2, 96. 0, 54 MHz Como o capacitor adicional está em paralelo com o capacitor de sintonia, as duas capacitâncias se somam. Assim, com C em picofarads (pF), devemos ter: C + 365 pF = 2, 96, C + 10 pF o que nos dá C= (365 pF ) − (2, 96)2 (10 pF ) = 36 pF. (2, 96)2 − 1 (c) Sabemos que f = 1/ 2 LC . Como, no caso da frequência mínima, C = 365 pF + 36 pF = 401 pF e f = 0,54 MHz, temos: L= 1 1 = = 2, 2 × 10 −4 H = 0,22 mH. 2 2 2 − 12 (2 ) Cf (2 ) (401 × 10 F )(0, 54 × 10 6 Hz)2 12. (a) Como a porcentagem de energia armazenada no campo elétrico do capacitor é (1 − 75, 0%) = 25, 0%, temos: U E q 2 / 2C = 2 = 25, 0%, U Q / 2C o que nos dá q = Q 0, 250 = 0, 500. (b) Como U B Li 2 / 2 = 2 = 75, 0%, U LI / 2 temos i = I 0, 750 = 0, 866. 13. (a) A variação da carga com o tempo é dada por q = Q sen t , na qual Q é a carga máxima do capacitor e v é a frequência angular de oscilação. A função seno foi escolhida para que q = 0 no instante t = 0. A variação da corrente com o tempo é dada por i= dq = Q cos t , dt SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS e, no instante t = 0, a corrente é I = vQ. Como  = 1 / LC , temos: Q = I LC = (2, 00 A) (3, 00 × 10 −3 H)(2, 70 × 10 −6 F ) = 1, 80 × 10 −4 C = 0,180 mC. (b) A energia armazenada no capacitor é dada por UE = q 2 Q 2 sen 2 t = 2C 2C e a taxa de variação é dU E Q 2 sen t cos t Q 2 sen(2t ) = = 2C dt C A taxa de variação é máxima para sen(2vt) = 1, o que nos dá 2vt = p/2 rad. Assim, t=   = 4 4 LC =  4 (3, 00 × 10 −3 H)(2, 70 × 10 −6 F ) = 7, 07 × 10 −5 s = 70,7s. (c) Fazendo v = 2p/T e sen(2vt) = 1 na equação dUE/dt = (vQ2/2C) sen(2vt),obtemos 2 Q 2  Q 2  dU E  . = =   2TC dt max TC Como T = 2 LC = 2 (3, 00 × 10 −3 H)(2, 70 × 10 −6 F ) = 5, 655 × 10 −4 s, temos:  (1, 80 × 10 −4 C)2  dU E  = 66, 7 W. =   dt max (5, 655 × 10 −4 s)(2, 70 × 10 −6 F ) Note que a derivada é positiva, o que mostra que a energia armazenada no capacitor está realmente aumentando no instante t = T/8. 14. Os capacitores C1 e C2 podem ser usados de quatro formas diferentes: (1) C1 e C2 em paralelo; (2) apenas C1; (3) apenas C2; (4) C1 e C2 em série. (a) A menor frequência de oscilação é a que corresponde à forma (1): f1 = 1 1 = 6, 0 × 10 2 Hz. = 2 L (C1 + C2 ) 2 (1, 0 × 10 −2 H)(2, 0 × 10 −6 F + 5,0 × 10 −6 F ) (b) A segunda menor frequência de oscilação é a que corresponde à forma (2): f2 = 1 1 = = 7,1 × 10 2 Hz. 2 LC1 2 (1, 0 × 10 −2 H)(5, 0 × 10 −6 F ) (c) A terceira maior frequência de oscilação é a que corresponde à forma (3): f3 = 1 1 = = 1,1 × 103 Hz = 1,1 kHz. − 2 2 LC2 2 (1, 0 × 10 H)(2, 0 × 10 −6 F ) (d) A maior frequência de oscilação é a que corresponde à forma (4): f4 = 1 2 LC1C2 / (C1 + C2 ) = 1 2 2, 0 × 10 −6 F + 5,0 × 10 −6 F (11, 0 × 10 −2 H)(2, 0 × 10 −6 F )(5, 0 × 10 −6 F ) = 1, 3 × 10 3 Hz = 1,3 kHz. 15. (a) A carga máxima é Q = CVmax = (1,0 × 10–9 F)(3,0 V) = 3,0 × 10–9 C = 3,0 nC. 257 258 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Como U = LI2 = Q2/2C, temos: I= Q = LC 3, 0 × 10 −9 C (3, 0 × 10 −3 H)(1, 0 × 10 −9 F ) = 1, 7 × 10 −3 A = 1,7 mA. (c) Quando a corrente é máxima, a energia magnética também é máxima. Assim, U B,max = 1 2 1 LI = (3, 0 × 10 −3 H)(1, 7 × 10 −3 A)2 = 4, 5 × 10 −9 J = 4,5 nJ. 2 2 16. A relação linear entre u (o ângulo de rotação do botão, em graus) e a frequência f deve ser  f     f = f0  1 + ⇒  = 180°  − 1  180°   f0  na qual f0 = 2 × 105 Hz. Como f = v/2p = 1/2p฀ LC , podemos expressar a capacitância C em função de u: C= 4 2 Lf02 1 81 2 = (1 +  /180°) 400.000 2 (180° +  )2 em unidade do SI ou, com a capacitância em picofarads, C= 81 × 1012 2, 05 × 10 7 = 2 400.000 2 (180° +  ) (180° +  )2 A figura a seguir mostra o gráfico da capacitância em função do ângulo de rotação. 17. (a) Quando a chave é colocada na posição b, o circuito se torna um circuito LC. Assim, a frequência angular de oscilação é  = 1/ LC e a frequência é f = 1 1  = = = 275 Hz. 3 − 2 2 LC 2 (54, 0 × 10 H)(6, 20 × 10 −6 F ) (b) Como a chave permaneceu muito tempo na posição a, o capacitor se carregou totalmente. Assim, quando a chave é colocada na posição b, a tensão entre as placas do capacitor é V = 34,0 V e a carga do capacitor é Q = VC = (34,0 V)(6,20 × 10–6 F) = 2,11 × 10–4 C. A amplitude da corrente é I = CV = Q = 2 fQ = 2 (275 Hz)(2,11 × 10 −4 C) = 0, 365 A = 365 mA. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 18. (a) Como V = IXC = I/vC, v฀= I/CV e, portanto, T = 2p/v = 2pCV/I = 46,1 ms. (b) A energia máxima armazenada no capacitor é UE = 1 1 CV 2 = (2, 20 × 10 −7 F )(0, 250 V)2 = 6, 88 × 10 −9 J = 6,88 nJ. 2 2 (c) De acordo com a lei de conservação da energia, a energia máxima armazenada no indutor tem o mesmo valor que a energia máxima armazenada no capacitor, calculada no item (b): UB = 6,88 nJ. (d) De acordo com a Eq. 30-35, V = L(di/dt)max. Como L = CV2/I2, temos: (7, 50 × 10 −3 A)2 V V I2  di  = 1, 02 × 103 A/s. = = = =   dt max L CV 2 /I 2 CV (2, 20 × 10 −7 F )(0, 250 V) (e) Derivando a equação UB = Li2/2 em relação ao tempo, obtemos: dU B 1 = LI 2 sen t cos t = LI 2 sen 2t. dt 2 Assim, 1 1 1  dU B  = LI 2 = IV = (7, 50 × 10 −3 A)(0, 250 V) = 0, 938 mW.   2 2 dt max 2 19. Quando a regra das malhas é aplicada a uma malha com apenas dois dispositivos, a conclusão é que a diferença de potencial deve ser a mesma, em valor absoluto, nos dois dispositivos. Suponha que o capacitor tem uma carga q e que a diferença de potencial entre os terminais (que vamos considerar positiva nesta discussão) é V = q/C. Suponha ainda que, neste momento, a corrente no indutor é tal que a carga do capacitor está aumentando (ou seja, i = +dq/dt). Nesse caso, de acordo com a Eq. 30-35, V = −L(di/dt), e interpretamos o fato de que −di/dt > 0 como significando que d(dq/dt)/dt = d2q/dt2 < 0 representa uma “desaceleração” do processo de carga do capacitor (já que a carga está se aproximando do valor máximo). Desta forma, podemos verificar que os sinais da Eq. 31-11 (segundo a qual q/C = − L d2q/dt2) estão corretos. 20. (a) Usamos a relação LI2/2 = Q2/2C para obter o valor de L: 2 L= 2 2 1  Q 1  CVmax   1, 50 V   Vmax  −6   =   = C   = (4, 00 × 10 F )   50,0 × 10 −3 A  I  C I C I  2 = 3, 60 × 10 −3 H = 3,60 mH. (b) A frequência é f = 1 2 LC = 1 2 (3, 60 × 10 −3 H)(4, 00 × 10 −6 F ) = 1, 33 × 103 Hz = 1,33 kHz. (c) De acordo com a Fig. 31-1, o tempo necessário é um quarto do período. Assim, t= 1 1 1 T= = = 1, 88 × 10 −4 s = 0,188 mss. 4 4 f 4(1, 33 × 103 Hz) 21. (a) Vamos comparar esta expressão da corrente com i = I sen(vt+f). Fazendo (vt+f) = 2500t + 0,680 = p/2, obtemos t = 3,56 × 10–4 s = 356 ms. (b) Como v = 2500 rad/s = (LC)–1/2, L= 1 1 = = 2, 50 × 10 −3 H = 2,50 mH. 2 2  C (2500 rad/s) (64, 0 × 10 −6 F ) 259 260 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) A energia total é 1 2 1 LI = (2, 50 × 10 −3 H)(1, 60 A)2 = 3, 20 × 10 −3 J = 3,,20 mJ. 2 2 U= 22. No primeiro circuito, v = (L1C1)–1/2; no segundo, v = (L2C2)–1/2. Quando os dois circuitos são ligados em série, a nova frequência é ′ = = 1 = LeqCeq 1 = ( L1 + L2 )C1C2 / (C1 + C2) 1 ( L1C1C2 + L1C12 ) /C1 + C2 = 1 L1C1 1 ( L1C1C2 + L2C1C2 ) / (C1 + C2 ) 1 = . (C1 + C2 ) / (C1 + C2) 23. (a) A energia total U é a soma das energias do indutor e do capacitor: U = UE + UB = q 2 i 2 L (3, 80 × 10 −6 C)2 (9, 20 × 10 −3 A)2 (25, 0 × 10 −3 H) + + = 2C 2 2(7, 80 × 10 −6 F)) 2 = 1, 98 × 10 −6 J = 1,998  J. (b) A carga máxima pode ser calculada a partir da relação U = Q2/2C: Q= 2CU = 2(7, 80 × 10 −6 F )(1, 98 × 10 −6 J) = 5, 56 × 10 −6 C = 5,56 C. (c) A corrente máxima pode ser calculada a partir da relação U = I2L/2: I= 2(1, 98 × 10 −6 J) = 1, 26 × 10 −2 A = 12,,6 mA. 25, 0 × 10 −3 H 2U = L (d) Se q0 é a carga do capacitor no instante t = 0, q0 = Q cos f e  q  = cos −1   = cos −1  Q  3, 80 × 10 −6 C  = ±46, 9°.  5, 56 × 10 −6 C  Para f = +46,9°, a carga do capacitor está diminuindo; para f = –46,9°, a carga está aumentando. Para chegar a esta conclusão, derivamos a carga q em relação ao tempo e fazemos t = 0. O resultado é –vQ sen f. Como sen(+46,9°) é um número positivo e sen(–46,9°) é um número negativo, o ângulo de fase para o qual a carga está aumentando no instante t =0 é f = –46,9°. (e) Como foi visto no item (d), para que a carga esteja diminuindo no instante t = 0, devemos ter f = +46,9°. 24. A carga q após N ciclos pode ser calculada fazendo t = NT = 2pN/v' na Eq. 31-25: q = Qe − Rt / 2 L cos ( ′t +  ) = Qe − RNT / 2 L cos  ′ ( 2 N / ′ ) +   = Qe − RN ( 2 = Qe − N  R ) L /C / 2L C/L cos ( 2 N +  ) cos . Como a carga inicial, obtida fazendo N = 0 na equação anterior, é q0 = Q cos f, podemos escrever a equação anterior na forma qN = q0 exp(− N R C /L ), na qual, de acordo com o enunciado, q0 = 6,20 mC. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (a) Para N = 5, q5 = ( 6, 20 C ) exp  −5 ( 7, 20  ) 0, 00000320 F/12,0 H  = 5, 85 C. (b) Para N = 10, q10 = ( 6, 20 C ) exp  −10 ( 7, 20  ) 0, 00000320 F/12,0 H  = 5, 52 C. (c) Para N = 100, q100 = ( 6, 20 C ) exp  −100 ( 7, 20  ) 0, 00000320 F/12,0 H  = 1, 93 C. 25. Como v' ≈ v, o período é T ≈ 2p/v, na qual  = 1 / ciclos sejam completados é  2  t = 50 T = 50  = 50(2 LC ) = 50  2     LC . O tempo necessário para que 50 ( 220 × 10 −3 H ) (12, 0 × 10 −6 F )  = 0, 5104 s. Como foi visto na Seção 31-5, a carga máxima decai de acordo com a equação qmax = Qe − Rt / 2 L , na qual Q é a carga no instante t = 0 (se fizermos f = 0 na Eq. 31-25). Dividindo por Q e tomando o logaritmo natural de ambos os membros, obtemos q  Rt ln  max  = − ,  Q  2L o que nos dá R=− 2 L  qmax  2(220 × 10 −3 H) =− ln ( 0, 99 ) = 8, 66 × 10 −3  = 8, 66 m. ln    Q  t 0, 5104 s 26. De acordo com o enunciado, q = Q em t = 0, o que equivale a dizer que f = 0 na Eq. 31-25. 2 / 2C Como a energia máxima armazenada no capacitor em cada ciclo é qmax , na qual qmax é a carga máxima nesse ciclo, temos que determinar o instante no qual 2 1 Q2 Q qmax = ⇒ qmax = . 2C 2 2C 2 Como foi visto na Seção 31-5, a carga qmax é dada por q  Rt . qmax = Qe − Rt / 2 L ⇒ ln  max  = −  Q  2L Fazendo qmax = Q / 2 e explicitando t, obtemos: t=− 2 L  qmax  2L  1  L =− ln  ln   = ln 2.  R  Q  R  2 R 261 262 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 27. Seja t o instante no qual o capacitor está totalmente carregado em um certo ciclo e seja qmax 1 a carga do capacitor nesse instante. No mesmo instante, a energia armazenada no capacitor é U (t ) = 2 qmax Q 2 − Rt / L 1 = e 2C 2C na qual, de acordo com a Eq. 31-25, qmax 1 = Qe − Rt / 2 L Depois de transcorrido um período, a carga do capacitor totalmente carrregado é qmax 2 = Qe− R (t + T ) 2 / L em que T = 2 ' e a energia é U (t + T ) = 2 qmax Q 2 − R(t + T ) / L 2 = e . 2C 2C A fração de energia perdida é | U | U (t ) − U (t + T ) e − Rt / L − e − R( t + T )/ L = = = 1 − e − RT / L . U U (t ) e − Rt / L Supondo que RT/L << 1 (o que é válido se a resistência for pequena), podemos substituir a exponencial pelos dois primeiros termos de uma expansão em série (veja o Apêndice E): e − RT / L ≈ 1 − RT L e usar a aproximação v ≈ v', que nos dá T = 2p/v. O resultado é o seguinte: | U | RT  RT 2 R  ≈ 1 − 1 − . ≈ =  L U L  L 28. (a) Como I = e/Xc = vdCe, temos: I = ω d C m = 2π fd C m = 2π (1, 00 × 10 3 Hz)(1, 50 × 10 −6 F)(30,0 V) = 0,283 A . (b) I = 2p(8,00 × 103 Hz)(1,50 × 10–6 F)(30,0 V) = 2,26 A. 29. (a) A amplitude da corrente é dada por I = VL/XL, na qual XL = vdL = 2pfdL. Como o circuito contém apenas o indutor e uma fonte de tensão senoidal, VL = em. Assim, I= VL 30, 0 V m = = = 0, 0955A = 95, 5 mA. X L 2π fd L 2π (1, 00 × 10 3 Hz)(50,0 × 10 −3 H) (b) Como a frequência é oito vezes maior que a do item (a), a reatância indutiva XL é oito vezes maior e a corrente é oito vezes menor. Assim, I = (0,0955 A)/8 = 0,0119 A = 11,9 mA. 30. (a) A amplitude da corrente que atravessa o resistor é I=  m 30, 0 V = = 0, 600 A. R 50,0  (b) Qualquer que seja a frequência da força eletromotriz, I = 0,600 A. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 31. (a) A reatância indutiva para uma frequência angular vd é XL = vdL e a reatância capacitiva para a mesma frequência é XC = 1/vdC. Para que as duas reatâncias sejam iguais, é preciso que vdL = 1/vdC, o que nos dá d = 1/ LC . A frequência correspondente é fd = 1 1 d = = = 6, 5 × 10 2 Hz = 0,65 kHz. 2 2 LC 2 (6, 0 × 10 −3 H)(10 × 10 −6 F) (b) A reatância é XC = XL = vdL = 2pfdL = 2p(650 Hz)(6,0 × 10–3 H) = 24 Ω. (c) Como foi visto no item (a), a frequência é f =  / 2 = 1/ 2 LC , a frequência natural do circuito. 32. (a) Como o circuito contém apenas um gerador e um indutor, em = VL. A amplitude da corrente é I= m  25, 0 V = m = = 5, 22 × 10 −3 A = 5,22 mA . X L ω d L (377 rad/s)(12,7 H) (b) Quando a corrente é máxima, a taxa de variação da corrente com o tempo é zero. Assim, a Eq. 30-35 nos dá eL = 0 nesse instante. Em outras palavras, como existe uma diferença de fase de 90° entre e(t) e i(t), e(t) = 0 quando i(t) = I. O fato de que f฀= 90° rad é usado no item (c). (c) Fazendo e = −12,5 V = −em/2 na Eq. 31-28, obtemos sen(vdt) = –1/2, o que nos dá vdt = 210o ou vdt = 330o. Note, porém, que é pedido o instante em que a força eletromotriz está aumentando em valor absoluto, ou seja, está se tornando mais negativa. Assim, não basta que a condição sen(vdt) = −1/2 seja satisfeita; é preciso também que de/dt = vd cos(vdt) < 0. Para isso, é preciso que vdt = 210o. Assim, a Eq. 31-29 nos dá  3 i = I sen(210 o − 90 o ) = I sen(120 o ) = (5, 22 × 10 −3 A)  = 4, 51 × 10 −3 A = 4,51 mA.  2  33. (a) A expressão da força eletromotriz apresentada no enunciado do problema mostra que a fem é máxima para sen(vdt – p/4) = 1, ou seja, para vdt – p/4 = (p/2) ± 2np, na qual n é um número inteiro. Para determinar a primeira vez em que a igualdade anterior é satisfeita após t = 0, fazemos n = 0, o que nos dá vdt – p/4 = p/2. Assim, t= 3 3 = = 6, 73 × 10 −3 s = 6,73 ms. 4d 4(350 rad/s) (b) A corrente é máxima para sen(vdt – 3p/4) = 1, ou seja, para vdt – 3p/4 = (p/2) ± 2np, na qual n é um número inteiro. Para determinar a primeira vez em que a igualdade anterior é satisfeita após t = 0, fazemos n = 0, o que nos dá vdt – 3p/4 = p/2. Assim, t= 5 5 = = 1,12 × 10 −2 s = 11, 2 ms. 4d 4(350 rad/s) (c) Como a corrente está atrasada 90o em relação à fem, o elemento é um indutor. (d) A amplitude I da corrente no indutor está relacionada à amplitude VL da tensão entre os terminais do indutor através da relação VL = IXL, na qual XL é a reatância indutiva, dada por XL = vdL. Além disso, como há apenas um componente no circuito, a amplitude da diferença de 263 264 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS potencial entre os terminais do componente é igual à amplitude da fem no gerador: VL = em. Assim, em = IvdL e L= m 30, 0 V = = 0,138 H = 138 mH. Iω d (620 × 10 −3 A)(350 rad/s) 34. (a) Como o circuito é formado apenas por um gerador e um capacitor, VC = em e, portanto, a amplitude da corrente é I= m = ω C m = (377 rad/s)(4,15 × 10 −6 F)(25,0 V) = 3,91 × 10 −2 A = 39,1 mA. XC (b) O instante em que a corrente é máxima é o instante em que a variação com o tempo da carga do capacitor é máxima, que coincide com o instante em que o capacitor está momentaneamente descarregado. Como q = CV, no instante em que isso acontece, a tensão entre as placas do capacitor (e, portanto, de acordo com regra das malhas, a fem do gerador) também é zero. Em termos matemáticos, a corrente está adiantada de 90o em relação à fem, o que significa que e(t) = 0 quando i(t) = I. O fato de que f = –90° será usado no item (c). (c) Fazendo e = −12,5 V = −em/2 na Eq. 31-28, obtemos sen(vdt) = –1/2, o que nos dá vdt = 210o ou vdt = 330o. Note, porém, que é pedido o instante em que a força eletromotriz está aumentando em valor absoluto, ou seja, está se tornando mais negativa. Assim, não basta que a condição sen(vdt) = − 1/2 seja satisfeita; é preciso também que de/dt = vd cos(vdt) < 0. Para isso, é preciso que vdt = 210o. Assim, a Eq. 31-29 nos dá  3 i = I sen(210 o + 90 o ) = I sen(300 o ) = −(3, 91 × 10 −2 A)  = −3, 38 × 10 −2 A = −33,8 mA.  2  35. De acordo com a Eq. 31-65, X L − XC d L − 1/d C = = tan  , R R o que nos dá R=   1  1  1 1 = (2 )(930 Hz)(8, 8 × 10 −2 H) − d L −    − 6 tan   (2 )(930 Hz)(0,94 × 10 F  d C  tan 75°  = 89 .. 36. (a) Como o circuito contém apenas um resistor e um capacitor e a resistência não varia com a frequência, enquanto a reatância capacitiva é inversamente proporcional à frequência, o valor assintótico de Z corresponde ao valor da resistência, ou seja, R = 500 Ω. (b) Vamos usar três métodos diferentes para calcular o valor de C, baseados em pontos diferentes do gráfico. Método 1: Para vd = 50 rad/s, Z ≈ 700 Ω, o que nos dá C= 1 d Z2 − R2 = 1 (50 rad/s) (700 )2 − (500 )2 Método 2: Para vd = 50 rad/s, XC ≈ 500 Ω, o que nos dá C= 1 1 = = 40 F. d XC (50 rad/s)(500 ) = 41 F. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Método 3: Para vd = 250 rad/s, XC ≈ 100 Ω, o que nos dá C= 1 1 = = 40 F. d XC (250 rad/s)(100 ) 37. A corrente rms do motor é I rms =  rms = Z  rms = R 2 + X L2 420 V (45,0 )2 + (32, 0 )2 = 7, 61 A. 38. (a) O gráfico da Fig. 31-29 mostra que a frequência angular de ressonância é 25.000 rad/s, o que, de acordo com a Eq. 31-4, nos dá C = (v2L)−1 = [(25.000)2 × 200 × 10−6]−1 = 8,0 mF. (b) O gráfico da Fig. 31-29 também mostra que a amplitude da corrente na frequência de ressonância é 4,0 A. Como, na ressonância, a impedância Z é puramente resistiva (Z = R), podemos dividir a amplitude da fem pela amplitude da corrente para obter valor da resistência: R = 8,0/4,0 = 2,0 Ω. 39. (a) Como, nesse caso, XL = 0, R = 200 Ω e XC = 1/2pfdC = 177 Ω, a impedância é Z= R 2 + XC2 = (200 )2 + (177 )2 = 267 . (b) O ângulo de fase é  0 − 177    X − XC  = −41, 5°.  = tan −1  L = tan −1    R   200   (c) A amplitude da corrente é I= em 36, 0 V = = 0,135 A = 135 mA . 267  Z (d) Vamos primeiro calcular as amplitudes das tensões entre os terminais dos componentes do circuito: VR = IR = (0,135 A)(200 ) ≈ 27, 0 V VC = IXC = (0,135 A)(177 ) ≈ 23, 9 V. Como o circuito é capacitivo, a corrente I está adiantada em relação à força eletromotriz em . O diagrama fasorial, desenhado em escala, aparece na figura a seguir. 40. Um diagrama fasorial como o da Fig. 31-14d nos dá a seguinte relação: VL 2 VC = (6,00 V) sen(30º) = 3,00 V. Para VC = 5,00 V, a equação anterior nos dá VL = 8,00 V. Como a diferença de fase entre os fasores que presentam as tensões do capacitor e do indutor é 180°, a diferença de potencial entre os terminais do indutor é −8,00 V. 265 266 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 41. (a) A reatância capacitiva é XC = 1 1 1 = = = 37, 9 . d C 2 fd C 2 (60, 0 Ηz)(70, 0 × 10 −6 F) A reatância indutiva é XL = vdL = 2pfdL = 2p(60,0 Hz)(230 × 10−3 H) = 86,7 Ω. Assim, Z= R 2 + ( X L − XC )2 = (200 )2 + (37, 9  − 86, 7 )2 = 206 . (b) O ângulo de fase é   X − XC  −1 86, 7  − 37, 9   = 13, 7°.  = tan −1  L  = tan    R 200   (c) A amplitude da corrente é I=  m 36, 0 V = = 0,175A. Z 206  (d) Vamos primeiro calcular as amplitudes das tensões entre os terminais dos componentes do circuito: VR = IR = (0,175 A)(200 ) = 35, 0 V, VL = IX L = (0,175 A)(86,7 ) = 15, 2 V, VC = IXC = (0,175 A)(37,9 ) = 6, 62 V. Note que XL > XC e, portanto, em está adiantada em relação a I. O diagrama fasorial, desenhado em escala, aparece na figura a seguir. 42. (a) Como Z = 31-30, R = 40 Ω. R 2 + X L2 e XL = vd L, Z = R para vd = 0, o que nos dá, de acordo com a Fig. (b) Como XL = vd L, L é dado pela inclinação da reta XL = f(vd) da Fig. 31-30. Como, de acordo com a Fig. 31-30, XL = 120 Ω para vd = 2000 rad/s, temos: L = (120 Ω)/(2000 rad/s) = 0,060 H = 60 mH. 43. (a) Para R = 200 Ω e XL = vdL = 2pfdL = 2p(60,0 Hz)(230 × 10−3 H) = 86,7 Ω, a impedância é Z= R 2 + X L2 = (200 )2 + (86, 7 )2 = 218  . SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) De acordo com a Eq. 31-65, o ângulo de fase é   X − XC  −1 86, 7  − 0  = 23, 4°.  = tan −1  L  = tan   R   200   (c) A amplitude da corrente é I=  m 36, 0 V = = 0,165 A. Z 218  (d) Vamos primeiro calcular as amplitudes das tensões entre os terminais dos componentes do circuito: VR = IR = (0,165 A)(200 ) ≈ 33 V, VL = IX L = (0,165 A)(86,7 ) ≈ 14,3 V. Como se trata de um circuito indutivo, em está adiantada em relação a I. O diagrama fasorial, desenhado em escala, aparece na figura a seguir. 44. (a) A reatância capacitiva é XC = 1 1 = = 16, 6  . 2 fC 2 (400 Hz)(24,0 × 10 −6 F) (b) A impedância é Z= = R 2 + ( X L − XC ) 2 = R 2 + (2 fL − XC )2 (220 )2 + [2 (400 Hz)(150 × 10 −3 H) − 16,6 ]2 = 422  . (c) A amplitude da corrente é I=  m 220 V = = 0, 521 A . Z 422  (d) Como a inclusão de um capacitor em série diminui a capacitância e XC ∝ 1/C, XC aumenta. (e) Ceq = C/2 e a nova impedância é Z= (220 )2 + [2 (400 Hz)(150 × 10 −3 H) − 2(16,6 )]2 = 408  < 422  . Z, portanto, diminui. (f) Como I ∝ 1/Z, I aumenta. 267 268 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 45. (a) Sim, a amplitude da tensão entre os terminais do indutor pode ser maior que a amplitude da fem do gerador. (b) A amplitude da tensão entre os terminais do indutor de um circuito RLC série é dada por VL = IXL = IvdL. Na ressonância, a frequência angular aplicada é igual à frequência angular natural do circuito: d =  = 1 / LC . Assim, para o circuito dado, 1, 0 H L = LC XL = (1,0 H)(1,0 × 10 −6 F) = 1000  . Na ressonância, a reatância capacitiva e a reatância indutiva se cancelam e a impedância se torna igual à resistência: Z = R. Assim, I= m Z = ressonância  m 10 V = = 1, 0 A. R 10  A amplitude da tensão entre os terminais do indutor é, portanto, VL = IX L = (1, 0 A)(1000 ) = 1, 0 × 103 V, que é muito maior que a força eletromotriz do gerador. 46. (a) O diagrama fasorial é semelhante ao da Fig. 31-11b, com o dístico “IC” da seta verde (veja o livro-texto) substituído por “VR”. (b) Se IR = IXC, R = XC = 1/vdC, o que nos dá f = 1 1 d = = = 159 Hz. 2 2 RC 2 (50, 0 )(2, 00 × 10 −5 F ) (c) f = tan−1(−VC /VR) = – 45°. (d) vd = 1/RC =1,00 ×103 rad/s. (e) I = 12 + R2 XC2 = 6 ≈ 170 mA. 25 2 47. (a) Para uma dada amplitude em da fem do gerador, a amplitude da corrente é dada por I= m = Z R2 m . + (ω d L − 1 / ω d C )2 Para determinar para que frequência angular a corrente é máxima, derivamos a corrente em relação a vd e igualamos o resultado a zero:  1  dI = −( E )m [ R 2 + (d L − 1 / d C )2 ]−3 / 2 d L − d C  d d   1   L +  2C  = 0 , d   o que nos dá d = 1 = LC 1 (1, 00 H)(20,0 × 10 −6 F) = 224 rad/s. (b) Para vd = v, a impedância é Z = R e a amplitude da corrente é I=  m 30, 0 V = = 6, 00 A. R 5,00  SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) Precisamos encontrar os valores de vd para os quais I= R2 m  = m. 2 2R + (ω d L − 1 / ω d C ) Elevando ao quadrado e reagrupando os termos, obtemos: 2  1  2  d L −  C  = 3 R . d Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros e multiplicando por vd C, obtemos d2 ( LC ) ± d ( 3CR) − 1 = 0 . A menor solução positiva da equação anterior é 1 = − 3CR + 3C 2 R 2 + 4 LC − 3 (20, 0 × 10 −6 F)(5,00 ) = 2 LC 2(1, 00 H)(20,0 × 10 −6 F) + 3(20, 0 × 10 −6 F)2 (5, 00 )2 + 4(1, 00 H)(20, 0 × 10 −6 F) 2(1, 00 H)(20,0 × 10 −6 F) = 219 rad/s. (d) A maior solução positiva é 2 = + 3CR + 3C 2 R 2 + 4 LC + 3 (20, 0 × 10 −6 F)(5,00 ) = 2 LC 2(1, 00 H)(20,0 × 10 −6 F) + 3(20, 0 × 10 −6 F)2 (5, 00 )2 + 4(1, 00 H)(20, 0 × 10 −6 F) 2(1, 00 H)(20,0 × 10 −6 F) = 228 rad/s. (e) A largura de linha relativa a meia altura é 2 − 1 228 rad/s − 219 rad/s = = 0, 040. 0 224 rad/s A figura a seguir mostra a amplitude I da corrente em função da frequência angular vd da fonte; os gráficos foram traçados usando escalas diferentes do eixo horizontal. Podemos ver que I atinge o valor máximo (6 A), quando vd = v = 224 rad/s, e atinge um valor igual à metade do valor máximo (3 A) quando vd = 219 rad/s e vd = 224 rad/s. 48. (a) Com as duas chaves fechadas (o que remove o resistor e um dos capacitores do circuito), a impedância é igual à reatância do outro capacitor e do indutor e é dada por Xtot = (12 V)/(0,447 A) = 26,85 Ω. 269 270 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Com a chave 1 fechada e a chave 2 aberta, temos a mesma reatância do caso anterior, mas agora o resistor faz parte do circuito. De acordo com a Eq. 31-65, temos: R= X tot 26, 85  = = 100  tan tan 15° (b) Com as duas chaves abertas, o segundo capacitor passa a fazer parte do circuito e, de acordo com a Eq. 31-65, a nova reatância é dada por X′tot = R tan f′ = (100 Ω) tan(230,9º) = 259,96 Ω = 26,85 − XC Assim, a reatância do capacitor C é dada por XC = 26,85 Ω 2 (259,96 Ω) = 86,81 Ω. Nesse caso, de acordo com a Eq. 31-39, C= 1 1 = = 30, 6 F.  XC 2 (60 Hz)(86, 81 ) (c) Como Xtot = X 2 XC , XL = Xtot + XC = 26,85 Ω + 86,81 Ω = 113,66 Ω e L= XL 113, 66  = = 301 mH.  2 (60 Hz ) 49. (a) Como, neste circuito, Leq = L1 + L2 e Ceq = C1 + C2 + C3, a frequência de ressonância é f = = 1 = 2 Leq Ceq 2 1 ( L1 + L2 ) (C1 + C2 + C3 ) 1 2 (1, 70 × 10 −3 H + 2,30 × 10 −3 H ) ( 4, 00 × 10 −6 F + 2,50 × 10 −6 F + 3,50 × 10 −6 F ) = 796 Hz. (b) Como f não depende de R, a frequência permanece a mesma quando R aumenta. (c) Como f ∝ Leq–1/2 e Leq aumenta quando L1 aumenta, a frequência diminui quando L1 aumenta. (d) Como f ∝ Ceq−1/2 e Ceq diminui quando C3 é removido, a frequência aumenta quando C3 é removido. 50. (a) O diagrama fasorial é semelhante ao da Fig. 31-13b, com o dístico “IL” da seta verde (veja o livro-texto) substituído por “VR”. (b) se VR = VL, IR = IXL, o que nos dá f = 80, 0  R d = = = 318 Hz. 2 2 L 2 (40, 00 × 10 −3 H) (c) f = tan−1(VL /VR) = tan−1(1) = +45°. (d) vd = R/L = (80,0 Ω)/(40,0 mH) = 2,00 × 103 rad/s. (e) I = em/ R 2 + X L2 = (6 V)/(80 2 Ω) ≈ 53,0 mA. 51. De acordo com as expressões obtidas no Problema 31-47, 1 = + 3CR + 3C 2 R 2 + 4 LC − 3CR + 3C 2 R 2 + 4 LC , 2 = , 2 LC 2 LC SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS o que nos dá, de acordo com a Eq. 31-4, d 1 − 2 2 3CR LC 3C = = =R .   2 LC L Para os dados do Problema 31-47, 3(20, 0 × 10 −6 F) d = (5, 00 ) = 3, 87 × 10 −2. 1, 00 H  O resultado está de acordo com o que foi obtido no Problema 31-47; entretanto, no método usado no Problema 31-47, a resposta é obtida com apenas um algarismo significativo, já que é o resultado da diferença entre dois números muito próximos, v1 e v2. No método usado neste problema, a diferença é calculada algebricamente, o que permite obter a resposta com três algarismos significativos. 52. Como a impedância do voltímetro é elevada, não afeta a impedância do circuito quando é ligada em paralelo com o circuito. Assim, a leitura é 100 V nos três casos. 53. (a) De acordo com a Eq. 31-61, a impedância é Z= R 2 + ( X L − XC )2 = (12, 0  )2 + (1, 30  − 0 )2 = 12,1 . (b) A potência média consumida pelo aparelho é Pmed = 2 R (120 V)2 (12, 0 )  rms = = 1,186 × 10 3 W ≈ 1,19 × 10 3 W = 1,19 kW. Z2 (12, 07 )2 54. O valor máximo da tensão (valor de pico) é Vmax = 2Vrms = 2 (100 V ) = 141 V. 55. A potência média dissipada por uma resistência R ao ser submetida a uma corrente alter2 R, na qual I nada é dada por Pmed = I rms rms é a corrente média quadrática. Como I rms = I / 2 ,na qual I é a amplitude da corrente, temos também a relação Pmed = I2R/2. A potência dissipada pela mesma resistência ao ser submetida a uma corrente contínua i é dada por P = i2R. Igualando as duas potências e explicitando i, obtemos i= I 2, 60 A = = 1, 84 A. 2 2 56. (a) Como a potência consumida pela lâmpada é P = I2R/2, Pmax/Pmin = (I/Imin)2 = 5, o que nos dá 2 2 2    m / Z min   I   Z max   = = =  I   Z    / Z   min m max min 2 2 R 2 + ( Lmax )   = 5. R  Explicitando Lmax, temos: Lmax = 2 R 2(120 V)2 /1000 W = = 7, 64 × 10 −2 H = 76,4 mH.  2 (60, 0 Hz) (b) Sim, é possível usar um resistor variável. (c) Nesse caso, devemos fazer 2  Rmax + Rlâmpada    = 5, Rlâmpada   271 272 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS o que nos dá Rmax = ( 5 − 1) Rlâmpada = ( 5 − 1) (120 V)2 = 17, 8 . 1000 W (d) Este método não é usado porque os resistores dissipam energia, enquanto os indutores a armazenam temporariamente. 57. De acordo com as Eqs. 31-63, 31-70 e 31-71, Pmed = na qual Z =  m2 R  m2 R = , 2 Z 2 2  R 2 + (ω d L − 1 / ω d C )2    R 2 + (d L − 1/d C ) é a impedância do circuito. 2 (a) No caso de C variável, o valor de Pmed é máximo quando o valor de R 2 + (d L − 1/d C ) é mínimo. Isso acontece para vdL = 1/vdC, o que nos dá 2 C= 1 1 = = 1,17 × 10 −4 F = 117 F. 2 2 d L (2 ) (60, 0 Hz)2 (60, 0 × 10 −3 H) Para este valor de C, o circuito está em ressonância. (b) Neste caso, queremos que Z2 tenha o maior valor possível. A impedância aumenta sem limite quando C tende a zero. Assim, a potência dissipada é mínima para C = 0 (o que equivale a interromper o circuito). (c) Para vdL = 1/vdC, temos: Pmed =  m2 (30, 0 V)2 = = 90, 0 W. 2 R 2(5, 00 ) (d) Para vdL = 1/vdC, temos: tan  = X L − XC d L − 1/d C = = 0, R R o que nos dá f = 0o. (e) Para f = 0o, o fator de potência é cos f = cos 0° = 1. (f) A dissipação mínima é Pmed = 0 (como em um circuito aberto). (g) Quando C → 0, XC → ∞ e, portanto, tan f → −∞. Assim, para C = 0, temos: f = tan−1(−∞) = −90o. (h) Para f = −90o, o fator de potência é cos f = cos(–90°) = 0. 58. Como o circuito não contém reatâncias, Irms = erms/R. De acordo com a Eq. 31-71, a potência média dissipada no resistor R é 2 2 R= PR = I rms  m  R.  r + R Para determinar o valor de R que maximiza PR, derivamos PR em relação a R e igualamos o resultado a zero: 2 2 dPR  m ( r + R ) − 2 ( r + R ) R   m2 ( r − R ) = =0 ⇒ R=r = dR ( r + R )4 ( r + R )3 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 59. (a) A corrente rms é I rms =  rms = Z  rms R 2 + ( 2π fL − 1 / 2π fC ) 2 75, 0 V = (15,0  )2 + {2π (550Hz ) ( 25, 0 mH ) − 1 /  2π (550 Hz ) ( 4, 70 µF )} 2 = 2, 59 A. (b) A tensão rms em R é Vab = I rms R = (2, 59 A)(15, 0 ) = 38, 8 V. (c) A tensão rms em C é Vbc = I rms XC = I rms 2, 59 A = = 159 V. 2 fC 2 (550 Hz)(4, 70F ) (d) A tensão rms em L é Vcd = I rms X L = 2 I rms fL = 2 ( 2, 59 A)(550 Hz)(25, 0 mH) = 224 V. (e) A tensão rms em C e L juntos é Vbd = Vbc − Vcd = 159, 5 V − 223,7 V = 64, 2V. (f) A tensão rms em R, C e L juntos é Vad = Vab2 + Vbd2 = (38, 8 V )2 + (64, 2 V )2 = 75, 0 V. (g) A potência média dissipada em R é PR = Vab2 (38, 8 V)2 = = 100 W. R 15, 0  (h) A potência dissipada em C é 0. (i) A potência dissipada em L é 0. 60. A corrente no circuito é dada por i(t) = I sen(vdt – f), na qual I= = m = Z m R 2 + (ω d L − 1 / ω d C ) 2 45, 0 V (16,0  ) 2 { + ( 3000 rad/s ) ( 9, 20 mH ) − 1 / ( 3000 rad/s ) ( 31, 2 µ F )  } = 1, 93 A e  X − XC  −1   d L − 1 /  d C   = tan −1  L  = tan    R R  ( 3000 rad/s ) ( 9, 20 mH )  1 = tan −1  − 16, 0  (3000 rad/s ) (16, 0  ) (31, 2 F )   = 46, 5°. 2 273 274 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (a) A taxa com a qual a energia está sendo fornecida pelo gerador é PG = i(t ) (t ) = I sen (d t −  )  m sen d t = (1, 93 A ) ( 45, 0 V ) sen ( 3000 rad/s ) ( 0, 442 ms )  sen ( 3000 rad/s ) ( 0, 442 ms ) − 46, 5°  = 41, 4 W. (b) Como vc (t ) = Vc sen(d t −  −  / 2) = −Vc cos(d t −  ) na qual VC = I/vdC, a taxa com a qual a energia do capacitor está variando é PC = q d  q2  = i = ivc C dt  2C   I  I2 cos (d t −  ) = − sen  2 (d t −  )  = − I sen (d t −  )   2d C  d C  =− (1, 933 A )2 sen  2 ( 3000 rad/s ) ( 0, 442 ms ) − 2 ( 46, 5 )  2 ( 3000 rad/s ) ( 31, 2 × 10 −6 F ) = −17, 0 W. (c) A taxa com a qual a energia do indutor está variando é PL = = d di d  1 2 1 Li = Li = LI sen (d t −  )  I sen (d t −  )  = d LI 2 sen  2 (d t −  )   dt dt dt  2 2 1 (3000 radd/s ) (1, 93 A )2 (9, 20 mH ) sen  2 (3000 rad/s ) ( 0, 442 ms ) − 2 ( 46, 5 ) 2 = 44,1 W. (d) A taxa com a qual a energia está sendo dissipada no resistor é PR = i 2 R = I 2 R sen 2 (d t −  ) = (1, 93 A ) (16, 0  ) sen 2 ( 3000 rad/s ) ( 0, 442 ms ) − 46, 5  2 = 14, 4 W. (e) A soma é igual. PL + PR + PC = 44,1 W − 17,0 W + 14,4 W = 41,5 W = PG . 61. (a) O fator de potência é cos f, na qual f é a constante de fase definida pela expressão i = I sen(vt – f). Assim, f = – 42,0° e cos f = cos(– 42,0°) = 0,743. (b) Como f < 0, vt – f > vt. Isso significa que a corrente está adiantada em relação à fem. (c) A constante de fase está relacionada à diferença das reatâncias através da equação tan f = (XL – XC)/R. Como, neste caso, tan f = tan(– 42,0°) = –0,900, um número negativo, a diferença XL – XC é negativa, o que significa que XC > XL. Assim, o circuito é principalmente capacitivo. (d) Se o circuito estivesse sendo excitado na frequência de ressonância, XL seria igual a XC, tan f seria igual a zero e f seria igual a zero. Como f é diferente de zero, a resposta é não. (e) Como tan f tem um valor negativo, a reatância capacitiva é diferente de zero. Isso significa que a caixa contém um capacitor e, portanto, a resposta é sim. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (f) Como a reatância indutiva pode ser nula, a caixa pode conter ou não um indutor e, portanto, a resposta é não. (g) Como tan f tem um valor finito, a resistência é diferente de zero. Isso significa que a caixa contém um indutor e, portanto, a resposta é sim. (h) A potência média fornecida pelo gerador é Pmed = 1 1  m I cos φ = (75, 0 V)(1, 20 A)(0, 743) = 33, 4 W. 2 2 (i) As respostas anteriores dependem apenas da constante de fase f, que foi dada. Se, em vez da constante de fase, tivessem sido fornecidos os valores de R, L e C, seria preciso conhecer o valor da frequência para responder às perguntas. 62. De acordo com a Eq. 31-79, temos: N   500  Vs = Vp  s  = (100 V )  = 1, 00 × 103 V.  50  N  p 63. (a) A tensão no secundário é N   10  Vs = Vp  s  = (120 V )  = 2, 4 V.  500   Np  (b) A corrente no secundário, de acordo com a lei de Ohm, é Is = Vs 2, 4 V = = 0,16 A Rs 15  e a corrente no primário, de acordo com a Eq. 31-80, é N   10  I p = I s  s  = ( 0,16 A )  = 3, 2 × 10 −3 A = 3,2 mA.  500   Np  (c) Como foi visto no item (b), a corrente no secundário é Is = 0,16 A. 64. No caso de um transformador elevador de tensão: (a) O menor valor da razão Vs/Vp é obtido usando o enrolamento T2T3 como primário e o enrolamento T1T3 como secundário: V13/V23 = (800 + 200)/800 = 1,25. (b) O segundo menor valor da razão Vs/Vp é obtido usando o enrolamento T1T2 como primário e o enrolamento T2T3 como secundário: V23/V13 = 800/200 = 4,00. (c) O maior valor da razão Vs/Vp é obtido usando o enrolamento T1T2 como primário e o enrolamento T1T3 como secundário: V13/V12 = (800 + 200)/200 = 5,00. Para examinar o caso de um transformador abaixador de tensão, basta permutar os enrolamentos primário e secundário nos três casos anteriores. (d) O menor valor da razão Vs/Vp é 1/5,00 = 0,200. (e) O segundo menor valor da razão Vs/Vp é 1/4,00 = 0,250. (f) O maior valor da razão Vs/Vp é 1/1,25 = 0,800. 275 276 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 65. (a) Como a corrente rms no cabo é I rms = P 250 × 10 3 W = 3,125 A, = Vt 80 × 10 3 V a queda de tensão na linha de transmissão é ∆V = IrmsR = (3,125 A)(2)(0,30Ω) = 1,9 V. (b) A potência dissipada na linha é 2 R = (3,125 A )(2)(0, 60 ) = 5, 9 W. Pd = I rms (c) Nesse caso, como a corrente no cabo é I rms = P 250 × 10 3 W = = 31, 25 A, Vt 8 × 10 3 V a queda de tensão na linha de transmissão é ∆V = IrmsR = (31,25 A)(2)(0,30Ω) = 19 V. (d) A potência dissipada da linha é Pd = (3,125 A)2 (0, 60 ) = 5, 9 × 10 2 W. (e) Nesse caso, como a corrente na linha é I rms = P 250 × 103 W = = 312, 5 A, Vt 0, 8 × 103 V a queda de tensão na linha de transmissão é ∆V = IrmsR = (312,5 A)(2)(0,30Ω) = 1,9 × 102 V = 0,19 kV. (f) A potência dissipada na linha é Pd = (312, 5 A)2 (0, 60 ) = 5, 9 × 10 4 W = 54 kW. 66. (a) O amplificador deve ser ligado ao enrolamento primário de um transformador e o resistor R deve ser ligado ao enrolamento secundário. (b) Se Is é a corrente rms no enrolamento secundário, a potência média fornecida ao resistor R é Pmed = I s2 R. Como Is = (Np/Ns)Ip, temos: 2 Pmed  I pN p  = R,  N s  na qual Ip é a corrente no enrolamento primário. O circuito primário é formado pelo gerador e duas resistências em série: a resistência de saída do amplficador, r, e a resistência equivalente Req = (Np/Ns)2R do enrolamento primário (Eq. 31-82). Assim, Ip =  rms  rms = r + Req r + N p /N s ( )2 R e, portanto, Pmed =  2 ( N p /N s )2 R  r + ( N p /N s )2 R  2 . SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Precisamos determinar o valor de Np/Ns para o qual Pmed é máxima. Fazendo x = (Np/Ns)2, temos: Pmed =  2 Rx . (r + xR)2 Derivando a equação anterior e igualando o resultado a zero, obtemos dPmed  2 R(r − xR) = 0, = (r + xR)3 dx o que nos dá x= r 1000  = = 100. R 10  Como Pmed é diretamente proporcional a x para pequenos valores de x e inversamente proporcional a x para grandes valores de x, o extremo correspondente a x = r/R é realmente um máximo, e não um mínimo. Como x = (Np/Ns)2, concluímos que a transferência de energia é máxima para Np = Ns x = 10. A figura a seguir mostra, de forma esquemática, um transformador com uma relação de espiras de 10 para 1. Na prática, o transformador teria um número muito maior de espiras, tanto no enrolamento primário como no enrolamento secundário. 67. (a) Fazendo vt − p/4 = p/2, obtemos t = 3 / 4 = 3 /[4(350 rad/s)] = 6, 73 × 10 −3 s = 6, 73 ms. (b) Fazendo vt + p/4 = p/2, obtemos t =  / 4 =  /[4(350 rad/s)] = 2, 24 × 10 −3 s = 2,24 ms. (c) Como a corrente está adiantada de p/2 em relação à fem, o elemento é um capacitor. (d) Como XC = (ω C )−1 =  m /I , temos: C= I 6, 20 × 10 −3 A = = 5, 90 × 10 −5 F = 59,0 µ F.  mω (30, 0 V)(350 rad/s) 277 278 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 68. (a) Como vd = 2pfd = 12566 rad/s, XL = vdL = 754 Ω e XC = 1/vdC = 199 Ω. Assim, a Eq. 31-65 nos dá  X − XC   = tan −1  L  = +1, 22 rad.  R  (b) De acordo com a Eq. 31-60, I= R2 m = 0, 288 A. + ( X L − XC ) 2 69. (a) Como v = 2pf, XL = vL, XC = 1/vC e tan(f) = (XL −XC)/R, temos:  = tan −1 16, 022 − 33,157 = −0, 40473 rad ≈ −0, 405 rad. 40, 0 (b) De acordo com a Eq. 31-63, I= 120 V (40 ) 2 + (16, 022  − 33,157 )2 = 2, 7576 A ≈ 2, 76 A. (c) Como XC > XL, o circuito é capacitivo. 70. (a) Como XL = vL = 2pfL, temos: f = 1, 30 × 103  XL = 4, 60 × 10 3 Hz = 4,60 kHz. = 2 L 2 (45, 0 × 10 −3 H) (b) Como XC = 1/vC = 1/2pfC, temos: C= 1 1 = = 2, 66 × 10 −8 F = 26,6 nF. 3 2 fXC 2 (4, 60 × 10 Hz)(1, 30 × 103 ) (c) Como XL ∝ f, se f for multiplicada por dois, XL será multiplicada por dois. Assim, XL = 2(1,30 kΩ) = 2,60 kΩ. (d) Como XC ∝฀1/f, se f for multiplicada por dois, XC será dividida por dois. Assim, XC = (1,30 kΩ)/2 = 0,650 kΩ. 71. (a) A impedância é Z = (80,0 V)/(1,25 A) = 64,0 Ω. (b) Como cos f = R/Z, R = (64,0 Ω)cos(0,650 rad) = 50,9 Ω. (c) Como a corrente está adiantada em relação à fem, o circuito é capacitivo. 72. (a) De acordo com a Eq. 31-65, temos:  V − VC   V − (VL /1, 50)  −1  2   = tan −1  L = tan −1  L  = tan  3  = 0, 588 rad. , 00 ) ( / V 2  VR  L   (b) Como o ângulo f é positivo, o circuito é indutivo (XL > XC). (c) Como VR = IR = (0,2 A)(49,9 Ω) = 9,98 V, VL = 2,00VR = 20,0 V e VC = VL/1,50 = 13,3 V. Assim, de acordo com a Eq. 31-60,  m = VR2 + (VL − VC )2 = (9, 98 V)2 + (20, 0 V − 13, 3 V)2 = 12, 0 V. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 73. (a) De acordo com a Eq. 31-4, L = (v2C)−1 = [(2pf)2C] −1 = 2,41 mH. (b) Umax = LI2/2 = 21,4 pJ. (c) Como, de acordo com a Eq. 25-21, Umax = Q2/2C, Q = 2CU max = 82,2 nC. 74. (a) De acordo com a Eq. 31-4,  = 1/ LC ≈ 5,77 ×฀103 rad/s. (b) De acordo com a Eq. 16-8, T = 2p/v฀=฀1,09 ms. (c) A figura a seguir mostra um gráfico da carga do capacitor em função do tempo. 75. (a) A impedância é Z=  m 125 V = = 39,1  . I 3,20 A (b) Como VR = IR = em cos f, temos: R=  m cos φ (125 V) cos(0, 982 rad) = = 21, 7  . I 3, 20 A (c) Como a corrente está adiantada em relação à fem, concluímos que o circuito é principalmente capacitivo. 76. (a) De acordo com a Eq. 31-39, f = v/2p = (2pCXC)−1 = 8,84 kHz. (b) Como a reatância capacitiva é inversamente proporcional à frequência, se a frequência for multiplicada por dois, a nova reatância capacitiva será XC = 12,00 Ω/2 = 6,00 Ω. 77. (a) Temos que considerar as seguintes combinações: ∆V12 = V1 – V2, ∆V13 = V1 − V3 e ∆V23 = V2 – V3. No caso de ∆V12,  120°   2 t − 120°  cos  d V12 = A sen(d t ) − A sen(d t − 120°) = 2 A sen    2   2 = 3 A cos(d t − 60°), na qual usamos a identidade sen  − sen  = 2 sen ( −  ) 2  cos ( +  ) 2  . 279 280 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Da mesma forma,  240°   2 t − 240°  V13 = A sen(d t ) − A sen(d t − 240°) = 2 A sen  cos  d    2   2 = 3 A cos (d t − 120° ) e  120°   2 t − 360°  V23 = A sen(d t − 120°) − A sen(d t − 240°) = 2 A sen  cos  d   2   2 = 3 A cos (d t − 180° ) . As três expressões são funções senoidais de t com frequência angular vd. (b) A amplitude das três funções senoidais é 3A. 2 R 78. (a) Como I rms efetiva = Pmecânica , Refetiva = Pmecânica (0,100 hp)(746 W/hp) = 177  . = 2 I rms (0, 650 A)2 (b) A resistência efetiva não é a resistência R dos enrolamentos do motor e sim a resistência 2 R associada à conversão de energia elétrica em energia mecânica. O produto I rms do quadrado da corrente efetiva pela resistência dos enrolamentos é igual, não à potência mecânica, mas à potência dissipada nos enrolamentos. 79. (a) Em qualquer instante, a energia total U do circuito é a soma da energia UE armazenada no capacitor com a energia UB armazenada no indutor. Se, em um certo instante t, UE = 0,500UB, UB = 2,00UE e U = UE + UB = 3,00UE. 2 Sabemos que UE = q /2C, na qual q é a carga do capacitor no instante t. A energia total U é dada por Q2/2C, na qual Q é a carga máxima do capacitor. Assim, Q 2 3, 00 q 2 = ⇒ q= 2C 2C Q = 0, 577Q . 3, 00 (b) Se o capacitor está totalmente carregado no instante t = 0, a carga do capacitor em função do tempo é dada por q = Q cos vt. Assim, a condição q = 0,577Q é satisfeita para cosvt = 0,557, o que nos dá vt = 0,955 rad. Como v = 2p/T, na qual T é o período das oscilações, t/T = 0,955/2p = 0,152. Nota: A fração da energia total armazenada no capacitor no instante t é dada por U E (Q 2 / 2C ) cos 2 t  2 t  = = cos 2 t = cos 2  . 2  T  U Q / 2C A figura a seguir mostra um gráfico de UE/U em função de t/T. O ponto mostrado no gráfico confirma que UE/U = 1/3 para t/T = 0,152. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 80. (a) Como X L = 2 fd L = 2 (400 Hz )(0, 0242 H) = 60, 82  e XC = (2 fd C )−1 = [2 (400 Hz)(1, 21 × 10 −5 F )]−1 = 32, 88 , a impedância é Z= R 2 + ( X L − XC ) 2 = (20, 0 )2 + (60, 82  − 32, 88 )2 = 34, 36 . Para e = 90,0 V, temos: I  90, 0 V 2, 62 A = = 2, 62 A ⇒ I rms = = = 1, 85 A. Z 34,36  2 2 I= Assim, a diferença de potencial rms no resistor é VR rms = Irms R = 37,0 V. (b) A diferença de potencial rms no capacitor é VC rms = Irms XC = 60,9 V. (c) A diferença de potencial rms no indutor é VL rms = Irms XL = 113 V. (d) A potência média dissipada no circuito é Pmed = (Irms)2R = 68,6 W. 81. (a) A constante de fase é  V − VC   V − VL / 2, 00   = tan −1  L = tan −1  L = tan −1 (1, 00 ) = 45, 0°.  VR   VL / 2, 00  (b) Como em cos f = IR, temos: R=  m cos φ (30, 0 V)(cos 45) = = 70, 7  . I 300 × 10 −3 A 82. Como Umax = LI2/2, 2U max = L I= 2(10, 0 × 10 −6 J) = 0,115 A. 1, 50 × 10 −3 H 83. De acordo com a Eq. 31-4, f = 1 2 LC = 1 2 (2, 5 × 10 −3 H )(3, 00 × 10 −6 F ) = 1, 84 kHz. 84. (a) se a constante de fase é 45º, a reatância do circuito é igual à resistência e a impedância é Z=R 2 ⇒ R = Z 2 = (1, 00 × 103 2 )  = 707  . (b) f = 8000 Hz, vd = 2p(8000) rad/s. Como a reatância é igual à resistência, temos: X L − XC = d L − 1 = 707 , d C na qual vd = 2pf = 2p(8000) rad/s. De acordo com a Eq. 31-4, se a frequência de ressonância é 6000 Hz, C= 1 1 1 1 . = = = 2 2 2 2 2  L (2 f ) L 4 f L 4 (6000 Hz)2 L 281 282 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Substituindo este valor de C na expressão anterior, obtemos L = 32,2 mH. (c) C = 1 4 2 (6000 85. (a) L = (b) U = (c) Q = Hz)2 L = 21, 9 nF. 1 1 = = 6, 89 × 10 −7 H = 0,689 H. 2 2 3 f C 4 (10, 4 × 10 Hz)2 (340 × 10 −6 F) 4 2 1 2 1 LI = (6, 89 × 10 −7 H)(7, 20 × 10 −3 A)2 = 1, 79 × 10 −11 J. 2 2 2CU = 2(340 × 10 −6 F )(1, 79 × 10 −11 J) = 1,10 × 10 −7 C. 86. De acordo com a Eq. 31-60, R 2 + X L2 = ε2 I2 ⇒ ε2 − R2 = I2 XL = (220 V)2 − (24, 0 )2 = 69, 3  . (3, 00 A)2 87. Quando a chave está aberta, temos um circuito LRC série do qual participa apenas o capacitor da direita. De acordo com a Eq. 31-65, temos: 1 d C d L − R = tan o = tan(−20°) = − tan 20°, o que mostra que 1/vdC > vdL. Com a chave da posição 1, a capacitância equivalente do circuito passa a ser 2C e temos: 1 2d C = tan 1 = tan 10°. R d L − Finalmente, com a chave na posição 2, o circuito é um circuito LC, cuja amplitude de corrente é dada por I2 = m = Z LC m ω L − 1  ωdC   d 2 = m , 1 −ω L d ωdC na qual usamos o fato de que 1/vdC > vdL para simplificar a raiz quadrada. Resolvendo o sistema de equações formado pelas três equações anteriores, obtemos: (a) R= − m −120 V = = 165  . I 2 tan φo (2, 00 A) tan (−20, 0°) (b) L= m ωd I2   tan (10, 0°)  tan φ1  120 V  1 − 2 tan φ  = 2π (60, 0 Hz)(2, 00 A) 1 − 2 tan (−20, 0°)  = 0, 313 H o   = 313 mH. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) C= 2, 00 A I2 = 2ω d  m (1 − tan φ1 / tan φ0 ) 2(2π )(60,0 Hz)((120 V) [1 − tan(10, 0°) / tan(−20, 0°) ] = 1, 49 × 10 −5 F = 14,9 µ F. 88. (a) De acordo com as Eqs. 31-4 e 31-14, 1 = I LC = 1, 27 × 10 −6 C = 1, 27 C .  Q= (b) Para que i0 = I na Eq. 31-15, fazemos f = −p/2 na Eq. 31-12. A energia armazenada no capacitor é q2 Q2 (sen t )2 . = UE = 2C 2C Derivando a equação anterior em relação ao tempo e usando a identidade 2 sen u cos u = sen 2u, obtemos dU E Q 2 =  sen 2t . 2C dt O primeiro máximo da expressão anterior acontece para sen 2vt = p/2, o que nos dá t=   = 4 4  4 LC = (8, 0 × 10 −3 H)(1, 40 × 10 −6 F ) = 8, 31 × 10 −5 s = 83,1 s. (c) Fazendo 2vt = p/2 na expressão de dUE/dt obtida no item (b), temos: ( I LC )2 Q2  dU E   = =   2C dt  max 2C I I2 = 2 LC L = 5, 44 × 10 −3 W = 5, 44 mW . C 89. (a) Como a energia armazenada no capacitor é dada por UE = q2/2C e a carga q é uma função periódica de t de período T, UE é uma função periódica de t de período T/2 e, portanto, a energia armazenada no capacitor não varia em um ciclo completo de período T. (b) Como a energia armazenada no indutor é UB = Li2/2 e a corrente i é uma função periódica de t de período T, UB é uma função periódica de t de período T/2 e, portanto, a energia armazenada no indutor não varia em um ciclo completo de período T. (c) A energia fornecida pela fonte alternada em um ciclo é U = ∫ T 0 P dt = I  m ∫ = Im = T 0 ∫ T 0 sen(d t −  ) sen(d t )dt [seen d t cos  − cos d t sen  ]sen(d t )dt T I  m cos  , 2 na qual usamos as relações ∫ T 0 sen 2 (d t ) dt = T 2 ∫ e T 0 sen(d t ) cos(d t )dt = 0. (d) A energia dissipada no resistor em um ciclo é UR = ∫ T 0 PR dt = I 2 R ∫ T 0 sen 2 (d t −  )dt = T 2 I R. 2 283 284 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (e) Como  m I cos φ =  m I (VR / m ) = ε m I ( IR / m ) = I 2 R, os resultados dos itens (c) e (d) são iguais. Nota: Para resolver os itens (c) e (d), poderíamos ter usado as Eqs. 31-71 e 31-74. De acordo com essas equações, a energia fornecida pela fonte é PmedT = ( I rms rms cos φ ) T = 1  T  I cos φ 2  m na qual usamos as relações I rms = I / 2 e  rms =  m / 2 . Por outro lado, a energia dissipada no resistor é 1  Pmed, resistor T = ( I rmsVR )T = I rms ( I rms R)T =  T  I 2 R. 2  Assim, os mesmos resultados podem ser obtidos sem usar integrais. 90. De acordo com a Eq. 31-4, temos: C= 1 1 1 = 1, 59 F. = =  2 L 4 2 f 2 L 4 2 (3, 50 × 10 3 Hz)2 (1, 30 × 10 −3 H)) 91. A ressonância acontece quando a reatância indutiva é igual à reatância capacitiva. Como a frequência de ressonância é a mesma para os dois circuitos, temos:  L1 = 1 C1  L2 = 1 C2 Somando membro a membro as duas equações, obtemos  ( L1 + L2 ) = 1 1 1 + .    C1 C2  Como Leq = L1 + L2 e 1/Ceq = 1/C1 + 1/C2, temos:  Leq = 1 , Ceq o que mostra que a frequência de ressonância do novo circuito é a mesma dos dois circuitos separados. 92. Quando a chave S1 está fechada e as outras duas estão abertas, o indutor fica fora do circuito e o circuito resultante é um circuito RC, cuja constante de tempo é tC = RC. Quando a chave S2 está fechada e as outras duas estão abertas, o capacitor fica fora do circuito e o circuito resultante é um crcuito LR, cuja constante de tempo é tL = L/R. Quando a chave S3 está fechada e as outras duas estão abertas, o resistor fica fora do circuito e o circuito resultante é um circuito LC, que oscila com um período T = 2 LC . Fazendo L = RtL e C = tC/R, obtemos T = 2  C L . Capítulo 32 1. Como, de acordo com a lei de Gauss para campos magnéticos, 5  B6 = − ∑ Bn ∑ 6 n =1  Bn = 0, temos: = − ( −1 Wb + 2 Wb − 3 Wb + 4 Wb − 5 Wb ) = +3 Wb . n =1 2. (a) O fluxo através da face superior é +(0,30 T)pr2, na qual r = 0,020 m. De acordo com o enunciado, o fluxo através da face inferior é +0,70 mWb. Como o fluxo total é zero, o fluxo através das faces laterais deve ser negativo e igual, em valor absoluto, à soma dos fluxos através das faces superior e inferior. Assim, o valor absoluto do fluxo através das faces laterais é 1,1 mWb. (b) O fato de que o fluxo através das faces laterais é negativo significa que o sentido do fluxo é para dentro. 3. (a) De acordo com a lei de Gauss para campos magnéticos, descrito no enunciado, temos:   B ⋅ dA = 1 +  2 + C , ∫   B ⋅ dA = 0. No caso do cilindro ∫ na qual Φ1 é o fluxo magnético através da primeira base, Φ2 é o fluxo magnético através da segunda base e ΦC é o fluxo magnético através da superfície lateral. Como, no caso da primeira base, o fluxo magnético é para dentro, Φ1 = –25,0 mWb. Como, no caso da segunda base, o campo magnético é uniforme, normal à superfície e dirigido para fora, Φ2 = AB = pr2B, na qual A é a área da base e r é o raio do cilindro. Assim,  2 = π ( 0,120 m )2 (1, 60 × 10 −3 T) = +7, 24 × 10 −5 Wb = +72, 4  Wb. Como a soma dos três fluxos deve ser igual a zero, C = −1 −  2 = 25, 0  Wb − 72, 4  Wb = −47, 4  Wb . Assim, o valor absoluto do fluxo magnético através da superfície lateral do cilindro é | C | = |  | = 47, 4  Wb. (b) Como o sinal de ΦC é negativo, o fluxo através da superfície lateral do cilindro é para dentro. 4. De acordo com a lei de Gauss para campos magnéticos, o fluxo S1 através da metade da superfície lateral do cilindro que está acima do eixo x é igual ao fluxo S2 através da parte do plano xz que está no interior do cilindro. Assim,  B (S1 ) =  B (S2 ) = ∫ r −r B( x ) L dx = 2 ∫ r −r Besquerdo ( x ) L dx = 2 ∫ r −r 0 i 1  iL L dx = 0 ln 3 . 2 2r − x  5. Podemos usar o resultado do item (b) do Exemplo “Campo magnético induzido por um campo elétrico variável”, B= µ0 ε 0 R 2 dE , (r ≥ R) 2r dt  286 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS para obter o valor de dE/dt: 2 Br 2(2, 0 × 10 −7 T)(6, 0 × 10 −3 m) dE = = dt µ0 ε 0 R 2 (4π × 100 −7 T ⋅ m A) (8.85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) (3, 0 × 10 −3 m)2 = 2, 4 × 1013 V/m ⋅ s. 6. De acordo com as Eqs. 32-18 e 32-19, a integral do campo ao longo da trajetória indicada é dada por (4, 0 cm)(2, 0 cm)  área envolvida  = 52 nT ⋅ m. 0 id  = 0 (0, 75 A)   área total  12 cm 2 7. (a) Como r1 = 2,00 cm < R, usamos a Eq. 32-16, B = 0 id r1 / 2 R 2, na qual a corrente de deslocamento id é dada pela Eq. 32-10: id =  0 d E = (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(3, 00 × 10 −3 V/m ⋅ s) = 2, 66 × 10 −14 A. dt Assim, temos: B= 0 id r1 (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(2.66 × 10 −14 A)(0, 0200 m) = = 1,18 × 10 −19 T. 2 R 2 2 (0, 0300 m)2 (b) Como r2 = 0,0500 m > R, usamos a Eq. 32-17: B= 0 id (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(2,66 × 10 −14 A) = 1, 06 × 10 −19 T. = 2 r2 2 (0, 0500 m) 8. (a) Aplicando a Eq. 32-3 à circunferência descrita no enunciado, obtemos: B(2 r ) =  0 0 (0, 60 V ⋅ m/s) r . R Para r = 0,0200 m (na verdade, o valor de r não é usado na solução e serve apenas para indicar que a circunferência está no interior da região circular) e R = 0,0300 m, temos: B=  0 µ0 (0, 60 V ⋅ m/s) (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(4π × 10 −7 T ⋅ m/A)(0, 60 V ⋅ m/s) = 2π (0, 0300 m) 2π R = 3, 54 × 10 −17 T. (b) Para um valor de r maior que R, o fluxo envolvido tem o valor máximo. Assim, temos: B(2π r ) = ε 0 µ0 (0, 60 V ⋅ m/s), o que nos dá B= ε 0 µ0 (0, 60 V ⋅ m/s) (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(4π × 10 −7 T ⋅ m/A)(0, 60 V ⋅ m/s) = 2π (0, 0500 m) 2π r = 2,13 × 10 −17 T. 9. (a) Usando a Eq. 32-7 com A = pr2 e dE/dt = 0,00450 V/m . s, temos: B(2π r ) =  0 µ0π r 2 ( 0, 00450 V/m ⋅ s ) . SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Para r = 0,0200 m, obtemos B= = 1 e0 µ0 r (0, 00450 V/m ⋅ s) 2 1 (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(4π × 10 −7 T ⋅ m/A)(0, 0200 m)(0, 00450 V/m ⋅ s) 2 = 5, 01 × 10 −22 T. (b) Para r > R, a expressão do item (a) deve ser substituída por B(2π r ) =  0 µ0π R 2 (0, 00450 V/m ⋅ s). Fazendo r = 0,050 m e R = 0,030 m, obtemos B= = R2 1  0 µ0 (0, 00450 V/m ⋅ s) = r 2 (0, 030 m)2 1 (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 )(4π × 10 −7 T ⋅ m/A) (0, 00450 V/m ⋅ s) 0, 050 m 2 = 4, 51 × 10 −22 T. 10. (a) O fluxo do campo elétrico através da região é dado por E = r  r2 r3  r  E 2 rdr = t (0, 500 V/m ⋅ s)(2 )⌠   1 −  r dr = t  −  0 R ⌡0  2 3R  ∫ r em unidades do SI. Assim, de acordo com a Eq. 32-3,  r2 r3  , B(2 r ) = 0 0  −  2 3 R  que, para r = 0,0200 e R = 0,0300 m, nos dá  (00, 0200)2 (0, 0200)3   r2 r3  B = µ0 0  − = (8, 85 × 10 −12 )(4π × 10 −7 )  −    4 6R  4 6(0, 0300)   = 3, 09 × 10 −20 T. (b) Nesse caso, como r > R, o limite superior da integral passa a ser R em vez de r, o que nos dá  R 2 R3  1 = t R 2 .  E = t  −  2 3 R  6 Assim, de acordo com a Eq. 32-3, B(2π r ) = 1 µ0 0π R 2 , 6 que, para r = 0,0500 m, nos dá B= µ0 0 R 2 (8, 85 × 10 −12 )(4π × 10 −7 )(0, 030)2 = = 1, 67 × 10 −20 T. 12r 12(0, 0500) 287 288 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 11. (a) Levando em conta o fato de que o campo elétrico (supostamente uniforme) é dado por E = V/d, na qual d é a distância entre as placas, podemos usar o resultado do item (a) do Exemplo “Campo magnético induzido por um campo elétrico variável”: B= µ0 0 r dE µ0 0 r dV = 2 dt 2d dt (r ≤ R). Para V = Vmax sen(vt), obtemos B= µ0 0 r Vmaxω cos(ω t ) 2d ⇒ Bmax = µ0 0 rVmaxω 2d na qual Vmax = 150 V. O valor de Bmax aumenta com R até atingir o valor máximo para R = r = 30 mm: Bmax r=R = µ0 0 RVmaxω (4π × 10 −7 H m)(8, 85 × 10 −12 F m) (30 × 10 −3 m) (150 V)(150 V) = 2d 2(5, 0 × 10 −3 m) = 1, 9 × 10 −12 T = 1,9 pT. (b) Para r ≤ 0,03 m, usamos a expressão obtida no item (a), Bmax = m0e0rVmaxv/2d; para r > 0,03 m, ≥ 0,03 m, usamos o resultado do item (b) do Exemplo “Campo magnético induzido por um campo elétrico variável”:  µ  R 2 dE   µ  R 2 dV   µ  R2  =  0 0 Vmaxω cos(ω t )  Bmax =  0 0 = 0 0     2r   2rd dt max  2rd dt max  max µ0 0 R 2Vmaxω = (r ≥ R) 2rd A figura a seguir mostra o gráfico de Bmax em função de r. 12. Os resultados do Exemplo “Campo magnético induzido por um campo elétrico variável” mostram que B ∝ r para r ≤ R e B ∝ r–1 para r ≥ R. Assim, o valor de B é máximo para r = R e existem dois valores possíveis de r para os quais o campo magnético é 75% de Bmax. Vamos chamar de r1 e r2 esses dois valores, com r1 < R e r2 > R. (a) Do lado de dentro do capacitor, 0,75 Bmax/Bmax = r1/R, o que nos dá r1 = 0,75R = 0,75(40 mm) = 30 mm. (b) Do lado de fora do capacitor, 0,75Bmax/Bmax = R/r2, o que nos dá r2 = R/0,75 = (40 mm)/ 0,75 = 53 mm. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) De acordo com as Eqs. 32-15 e 32-17, Bmax = 0 id  i (4 × 10 −7 T ⋅ m A)(6, 0 A) = 3, 0 × 10 −5 T. = 0 = 2 R 2 R 2 (0, 040 m) 13. Vamos chamar de A a área das placas e de d a distância entre as placas. De acordo com a Eq. 32-10, id =  0 d  V   0 A  dV  d E d = =  0 ( AE ) =  0 A , dt  d  d  dt  dt dt e, portanto, 1, 5 A dV id d id = = = = 7, 5 × 105 V s . dt e0 A C 2,0 × 10 −6 F  14. Considere uma superfície de área A perpendicular a um campo elétrico uniforme E. A densidade de corrente de deslocamento é uniforme e perpendicular à superfície. O módulo dessa densidade de corrente é dado por Jd = id/A. Como, de acordo com a Eq. 32-10, id = e0A(dE/dt), temos: Jd = 1 dE dE = 0 0 A . dt dt A 15. A corrente de deslocamento em um capacitor de placas paralelas é dada por id = e0A(dE/ dt), na qual A é a área de uma das placas e E é o módulo do campo elétrico na região entre as placas. Como o campo na região entre as placas é uniforme, E = V/d, na qual V é a diferença de potencial entre as placas e d é a distância entre as placas. Assim, id =  0 A dV . d dt Como a capacitância C de um capacitor de placas paralelas (que não contém um dielétrico) é e0A/d, temos: id = C dV . dt 16. Podemos usar a Eq. 32-14, id =  0 A(dE / dt ). Note, que, nesta equação, A é a área na qual existe um campo elétrico variável. Como o raio r do anel é maior que o raio R das placas do capacitor, A = pR2. Assim, dE i id 2, 0 A 12 = d = = 2 = 7, 2 × 10 V/m ⋅ s. 2 12 − dt  0 A  0π R π (8, 85 × 10 C2 /N ⋅ m 2 ) ( 0,10 m ) 17. (a) De acordo com as Eqs. 26-5 e 26-10, E = J = i (1, 62 × 10 −8  ⋅ m)(100 A) = 0, 324 V m. = A 5, 00 × 10 −6 m 2 (b) A corrente de deslocamento é id =  0 d  ρi  di dE d E =  0 ρ = (8, 85 × 10 −12 F/m)(1, 62 × 10 −8 )(2000 A s) = 0 A = 0 A   dt A dt dt dt = 2, 87 × 10 −16 A . 289 290 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) A razão entre os módulos dos campos é B ( produzido por id ) 0 id 2 r id 2, 87 × 10 −16 A = = = = 2, 87 × 10 −18. 0 i 2 r 100 A i B ( produzido por i ) 18. De acordo com a Eq. 28-11, i=  − t / RC , e R na qual, de acordo com a Eq. 25-9, C=  0 A  0π (0, 05 m)2 = = 2, 318 × 10 −11 F. d 0, 003 m No instante t = 250 ms, a corrente é i= 12, 0 V 6 −11 e − t /( 20 ,0 × 10 / 2,318 × 10 ) = 3, 50 × 10 −7 A. 20, 0 × 10 6  De acordo com a Eq. 32-16, o campo magnético a uma distância radial r do eixo de um capacitor de placas circulares de raio R é dado por B= 0 id r . 2 R 2 Como, de acordo com a Eq. 32-15, i = id, temos: B= 0 id r (4 × 10 −7 T ⋅ m/A)(3,50 × 10 −7 A)(0, 030 m) = = 8, 40 × 10 −13 T. 2 R 2 2 (0,050 m)2 19. (a) De acordo com as Eqs. 26-5 e 32-16, temos: B= = 0 id r 0 Jd Ar 0 Jd ( R 2 )r 1 = = = 0 Jd r 2 R 2 2 R 2 2 R 2 2 1 (4π × 10 −7 T ⋅ m/A)(6,00 A/m 2 )(0,0200 m) = 75, 4 nT . 2 (b) De acordo com a Eq. 32-17, temos: B= 0 id 0 Jd  R 2 = = 67, 9 nT. 2 r 2 r 20. (a) De acordo com a Eq. 32-16, temos: B= 0 id r = 2, 22 T. 2 R 2 (b) De acordo com a Eq. 32-17, temos: B= 0 id = 2, 00 T. 2 r 21. (a) Vamos usar a Eq. 32-11, considerando nulo o segundo termo. O primeiro termo, id,env, pode ser calculado integrando a densidade de corrente de deslocamento: id , env = ∫ r 0 Jd 2 r dr = (4, 00 A/m 2 )(2 ) ∫ r 0 1 2 (1 − r /R ) r dr = 8  r 2 − r3  3 R  SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS em unidades do SI. De acordo com a Eq. 32-17 (com a corrente id substituída por id,env), obtemos: 0 id , env = 27, 9 nT. B= 2 r (b) Como, nesse caso, r > R, o limite superior da integral do item (a) passa a ser R. Assim, temos: R3  4 1 =  R2 id , env = id = 8  R 2 − 2 3 R  3 e a Eq. 32-17 nos dá B= 0 id = 15,1 nT. 2 r 22. (a) Vamos usar a Eq. 32-11, considerando nulo o segundo termo. De acordo com a Eq. 32-17 (com a corrente id substituída por id,env), obtemos: B= 0 id , env 0 (3, 00 A)(r /R) = = 20, 0 T. 2 r 2 r (b) Nesse caso, id = 3,00 A e B= 0 id = 12, 0 T. 2 r 23. Seja A a área das placas e seja E o módulo do campo elétrico na região entre as placas. Como o campo elétrico na região entre as placas é uniforme, E = V/d, na qual V é a diferença de potencial entre as placas e d é a distância entre as placas. A corrente que entra na placa positiva do capacitor é i= dq d dV  0 A d ( Ed ) dE d E = ( CV ) = C = = 0 A = 0 , dt dt dt d dt dt dt e é igual à corrente de deslocamento. (a) Como a corrente de deslocamento id no espaço entre as placas é igual à corrente de carga do capacitor, id = i = 2,0 A. (b) A taxa de variação do campo elétrico é dE id 1  d E  2, 0 A = = = 2, 3 × 1011 V/m ⋅ s.   0  = −  0 A (8,85 × 10 12 F m)(1, 0 m)2 dt  0 A dt (c) A corrente de deslocamento na trajetória indicada é 2  d2   0, 50 m  id′ = id  2  = ( 2, 0 A )  = 0, 50 A.  1,0m  L  (d) A integral do campo ao longo da trajetória indicada é   B ⋅ ds = 0 id′ = (1, 26 × 10 −16 H m)(0, 50 A) = 6, 3 × 10 −7 T ⋅ m = 0,63 T ⋅ m. ∫ 24. (a) De acordo com a Eq. 32-10, id =  0 d E dE d = 0 A  0 A ( 4, 0 × 105 ) − ( 6, 0 × 10 4 t )  = − 0 A ( 6, 0 × 10 4 V m ⋅ s ) dt dt dt = − (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) ( 4, 0 × 10 −2 m 2 ) ( 6, 0 × 10 4 V m ⋅ s ) = −2,1 × 10 −8 A . 291 292 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS Assim, o valor absoluto da corrente de deslocamento é | id | = 2,1 × 10 −8 A . (b) Como o sinal de id é negativo, o sentido da corrente de deslocamento é para baixo. (c) De acordo com a Eq. 32-18, para uma trajetória circular no sentido anti-horário na região entre as placas,   B ⋅ ds = 0 id < 0, ∫ s    o que significa que B ⋅ ds < 0. Assim, o sentido de B é o sentido horário. 25. (a) De acordo com a Eq. 32-18, temos: B= 1 0 I env 0 ( Jd  r 2 ) 1 = = 0 Jd r = (1, 26 × 10 −6 H m ) ( 20 A m 2 ) ( 50 × 10 −3 m ) 2 r 2 r 2 2 = 6, 3 × 10 −7 T = 0,63 T. (b) Como id = J d π r 2 =  0 d E dE =  0π r 2 , temos: dt dt dE J d 20 A m 2 = = = 2, 3 × 1012 V/m ⋅ s. dt  0 8, 85 × 10 −12 F m 26. (a) Como, de acordo com a Eq. 32-15, i = id, a corrente de deslocamento envolvida pelo anel é id , env = i  ( R / 3)2 i = = 1, 33 A .  R2 9 (b) Como foi visto no Exemplo “Campo magnético induzido por um campo elétrico variável”, o campo magnético é proporcional a r para r < R e é máximo para r = R. Assim, B 3, 00 mT r = = , Bmax 12,0 mT R o que nos dá r = R/4 = (1,20 cm)/4 = 0,300 cm. (c) De acordo com a Eq. 32-17, fora da região entre as placas, o campo é inversamente proporcional a r. Assim, B 3, 00 mT R = = , Bmax 12,0 mT r o que nos dá r = 4R = 4(1,20 cm) = 4,80 cm. 27. (a) No intervalo a do gráfico da Fig. 32-33, id =  0 d E dE 4, 5 × 105 N C − 6, 0 × 105 N C = 0 A = (8, 85 × 10 −12 F m ) (1, 6 m 2 ) dt dt 4, 0 × 10 −6 s = 0, 71 A. (b) No intervalo b do gráfico, id ∝ dE/dt = 0. (c) No intervalo c do gráfico, | id | =  0 A dE −4, 0 × 105 N C = (8, 85 × 10 −12 F m)(1, 6m 2 ) = 2, 8 A. dt 2, 0 × 10 −6 s SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 28. (a) De acordo com o gráfico da Fig. 32-34b, i = 4,0 A para t = 20 ms. Assim, Bi = 0 i = 0, 089 mT. 2 r (b) De acordo com o gráfico da Fig. 32-34b, i = 8,0 A para t = 40 ms. Assim, Bi = 0 i = 0,178 mT ≈ 0,18 mT. 2 r (c) De acordo com a gráfico da Fig. 32-34b, i = 10 A para t > 50 ms. Assim, Bi = 0 i = 0, 22 mT. 2 r (d) De acordo com a Eq. 32-10, id = eoA(dE/dt) e, de acordo com as Eqs. 26-5 e 26-10, E = ri/A. Assim, id = eor(di/dt). Como, de acordo com o gráfico da Fig. 32-34b, di/dt = 200 A/s no intervalo 0 < t < 50 ms, Bid = 0 id = 6, 4 × 10 −22 T. 2 r (e) O resultado é o mesmo do item (d): Bid = 6,4 × 10−22 T. (f) Como di/dt = 0 para t > 50,0 ms, Bid = 0.  (g) De acordo com a regra da mão direita, o sentido de Bi em t = 20 ms é para fora do papel.  (h) De acordo com a regra da mão direita, o sentido de Bid em t = 20 ms é para fora do papel. 29. (a) De acordo com a Eq. 32-15, id = i para qualquer valor de t. Assim, imax = id max = 7,60 mA. (b) Como, de acordo com a Eq. 32-10, id = e0 (dΦE/dt), id max 7, 60 × 10 −6 A  d E  = 8, 59 × 105 V ⋅ m s = 859 kV ⋅ m s . = =   ε0 dt max 8,85 × 10 −12 F m (c) A corrente de deslocamento é dada por id =  0 d E d d  V   0 A  dV  = =  0 ( AE ) =  0 A , dt dt dt  d  d  dt  na qual A é a área das placas. Como a diferença de potencial entre as placas do capacitor é igual, em valor absoluto, à fem da fonte, V = em sen vt e dV/dt = vem cos vt. Assim, id = (e0Ave/d) cos vt, idmax = e0Ave/d e d=  0 Aω m (8, 85 × 10 −12 F m)π (0,180 m)2 (130 rad s)(220 V) = id max 7, 60 × 10 −6 A = 3, 39 × 10 −3 m = 3,39 mm, na qual foi usada a relação A = pR2.   (d) Podemos usar a lei de Ampère-Maxwell (Eq. 32-5) na forma B ⋅ ds = 0 I d , na qual a trajetória de integração é uma circunferência de raio r em um plano paralelo às placas situado entre as placas e Id é a corrente de deslocamento na região envolvida pela trajetória de integração. Como a densidade de corrente de deslocamento é uniforme na região entre as placas, Id = (r2/ R2)id, na qual id é a corrente de deslocamento total e R é o raio das placas. Como as linhas de ∫ 293 294 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS   campo magnético são circunferências com o centro no eixo das placas, B é paralelo a ds . Como   o módulo do campo é constante ao longo de uma circunferência, B ⋅ ds = 2 rB e ∫   2 rB = 0  2  id R  r2 ⇒ B= 0 id r . 2 R 2 O campo magnético máximo é dado por Bmax = 0 id max r (4 × 10 −7 T ⋅ m A)(7, 6 × 10 −6 A)(0,110 m) = 2 2 R 2 2 ( 0,180 m ) = 5,16 × 10 −12 T = 5,16 pT. 30. (a) O fluxo magnético através do estado do Arizona é  = − Br A = −(43 × 10 −6 T)(295, 000 km 2 )(103 m km)2 = −1, 3 × 10 7 Wb, apontando para dentro da Terra. De acordo com a lei de Gauss, este fluxo é igual ao negativo do fluxo Φ' através do resto da superfície da Terra. Assim, Φ' = 1,3 × 107 Wb = 13 MWb. (b) O fluxo magnético através do resto da superfície do planeta aponta para fora. 31. A componente horizontal do campo magnético da Terra é dada por Bh = B cos fi, na qual B é o módulo do campo e fi é o ângulo de inclinação. Assim, B= Bh 16 T = = 55 T. cos i cos 73°  32. (a) A energia potencial do átomo na presença de um campo magnético externo Bext é dada pelas Eqs. 32-31 e 32-32:  U = − orb ⋅ Bext = − orb,z Bext = − ml B Bext .  O fato de que a energia do nível 1 não muda quando o campo Bext é aplicado significa que ml = 0 para este nível.  (b) Como a aplicação do campo Bext faz o nível 2 se dividir em três, o estado original envolve três valores diferentes de ml. O estado do meio tem a mesma energia que o estado E2 na ausência de campo aplicado e, portanto, corresponde ao estado com ml = 0. Os outros dois estados possuem ml = −1 e ml = +1. (c) Como, para dois níveis vizinhos do estado E2, |∆ ml| = 1, o espaçamento entre os níveis desdobrados é U = | (− ml B B) | = | ml |  B B =  B B = (9, 27 × 10 −24 J/T)((0,50T) = 4,64 × 10 −24 J. 33. (a) Para ml = 0, Lorb,z = mlh/2p = 0. (b) Para ml = 0, morb,z = –mlmB = 0. (c) De acordo com a Eq. 32-32, Uorb = –morb,zBext = – mlmΒBext = 0. (d) De acordo com a Eq. 32-27, Uspin = −s , z B = ± B B = ± ( 9, 27 × 10 −24 J T ) ( 35 mT ) = ±3, 2 × 10 −25 J . SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (e) Para ml = –3, Lorb, z = ml h (−3)(6, 63 × 10 −27 J ⋅ s) = = − 3,16 × 10 −34 J ⋅ s ≈ −3, 2 × 10 −34 J ⋅ s. 2 2 (f) Para ml = 23, orb, z = − ml B = − (−3)(9, 27 × 10 −24 J T) = 2, 78 × 10 −23 J T ≈ 2, 8 × 10 −23 J T . (g) A energia potencial associada ao momento magnético orbital do elétron passa a ser Uorb = − orb, z Bext = − (2, 78 × 10 −23 J T)(35 × 10 −3 T) = − 9, 7 × 10 −25 J. (h) Como a energia potencial associada ao spin do elétron não depende de ml, tem o valor que foi calculado no item (d): Uspin = ±3,2 × 10–25 J. 34. De acordo com a Eq. 32-27, ∆U = –∆(ms,zB) = –B∆ms,z, na qual, de acordo com as Eqs. 32-24 e 32-25, s , z = ±eh 4 me = ± B . Assim, U = − B  B − ( − B )  = 2 B B = 2(9, 27 × 10 −24 J T)(0, 25 T) = 4, 6 × 10 −24 J . 35. De acordo com a Eq. 32-31, morb, z = –ml/mB. (a) Para ml = 1, morb,z = –(1) (9,3 × 10–24 J/T) = –9,3 × 10–24 J/T. (b) Para ml = –2, morb,z = –(–2) (9,3 × 10–24 J/T) = 1,9 × 10–23 J/T. 36. Combinando a Eq. 32-27 com as Eqs. 32-22 e 32-23, vemos que a diferença de energia é U = 2 B B na qual mB é o magnéton de Bohr, cujo valor é dado na Eq. 32-25. Para ∆U = 6,00 ×10−25 J, obtemos B = 32,3 mT. 37. (a) A figura a seguir mostra as linhas de campo magnético produzidas pelo ímã em forma de barra nas proximidades do anel.  (b) Deacordo com a discussão da Seção 32-9, o momento magnético  tem o sentido oposto ao de B. Assim, o sentido do momento magnético na figura do item a é para a direita, ou seja, o sentido +x. (c) O sentido da corrente convencional é o sentido horário (do ponto de vista do ímã em forma de barra). (d) Como todo material diamagnético é repelido da região onde o campo magnético é mais  intenso para a região onde o campo magnético é menos intenso e o módulo de B é proporcional à “densidade” de linhas de força, o sentido da força magnética exercida sobre o anel é para a direita, ou seja, o sentido +x. 295 296 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 38. Um campo elétrico com linhas de campo circulares é induzido quando o campo magnético é aplicado. Suponha que o campo magnético aumente linearmente de zero a B em um intervalo de tempo ∆t. De acordo com a Eq. 30-25, o módulo do campo elétrico na posição da órbita é dado por  r  dB  r  B E=  = ,  2  dt  2  t na qual r é o raio da órbita. O campo elétrico induzido é tangente à órbita e muda a velocidade do elétron. A variação de velocidade é dada por v = at =  e r B  eE erB . t =       t = me 2me  me   2   t  A corrente associada ao movimento do elétron é i = ev/2pr e o momento dipolar magnético é  ev  1  = Ai = ( r 2 )  = evr .  2 r  2 A variação do momento dipolar magnético é  = 1 1  erB  e 2r 2 B = . er v = er  2 2  2me  4 me 39. No teste proposto, o maior valor da razão entre o campo magnético e a temperatura é (0,50 T)/(10 K) = 0,050 T/K. Observando a Fig. 32-14, vemos que este ponto está na região linear da curva de magnetização. A resposta, portanto, é sim. 40. (a) Observando a Fig. 32-14, estimamos que a inclinação da curva no ponto em que M/Mmax = 0,5 é B/T = 0,50 T/K. Assim, B = 0,50 T = (0,50 T/K)(300 K) = 1,5 × 102 T. (b) No ponto em que M/Mmax = 0,9, B/T ≈ 2 e, portanto, B = (2)(300) = 6,0 × 102 T. (c) Esses campos não podem ser produzidos em laboratório, a não ser por um tempo muito curto e em espaços muito pequenos. 41. Como a magnetização é o momento dipolar por unidade de volume, o momento dipolar magnético é dado por m = Mg, na qual M é a magnetização e g é o volume do ímã (g = pr2L, na qual r é o raio e L é o comprimento do ímã). Assim, T= 4 B 4(1, 0 × 10 −23 J T)(0, 50 T) = 0, 48K . = 3k 3(1, 38 × 10 −23 J K)) 42. Temos: K= 3     kT =  ⋅ B − − ⋅ B = 2 B, 2 ( ) o que nos dá T= 4 B 4(1, 0 × 10 −23 J T)(0, 50 T) = 0, 48K . = 3k 3(1, 38 × 10 −23 J K)) 43. (a) Como uma carga e que se move com velocidade constante v em uma trajetória circular de raio r leva um tempo T = 2pr/v para descrever uma órbita completa, a corrente média é i= e ev = . T 2 r SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS O módulo do momento dipolar é igual a essa corrente multiplicada pela área da órbita: = evr ev . r 2 = 2 r 2 Como a força centrípeta responsável pelo movimento circular tem módulo evB, a segunda lei de Newton para rotações nos dá evB = mev2/r. Explicitando r e substituindo na equação anterior, obtemos K 1 m v  1 1  = ( ev )  e  =    me v 2  = e .       B eB B 2 2   A força magnética −ev × B deve apontar para o centro da trajetória circular. Para que isso aconteça, se o elétron está se movendo no sentido anti-horário no plano do papel, o campo magnético deve apontar para fora do papel, ou seja, no sentido definido como positivo para o eixo z. Como a carga do elétron é negativa, o sentido convencional da corrente é o sentido oposto e, de acordo com a regra da mão direita para momentos dipolares, o momento dipolar aponta para dentro da página, ou seja, no sentido negativo do eixo z. Assim, o momento dipolar tem o sentido oposto ao do campo magnético. (b) Como, na demonstração da relação m = Ke/B, os sinais se cancelam, a mesma relação é válida para um íon positivo. (c) A direção do momento dipolar é a mesma do item (a). (d) A magnetização do gás é dada por M = mene + mini, na qual me é o momento dipolar de um elétron, ne é a concentração de elétrons, mi é o momento dipolar de um íon e ni é a concentração de íons. Como ne = ni, podemos chamar de n as duas concentrações. Fazendo me = Ke/B e mi = Ki/B, obtemos: M= n 5, 3 × 10 21 m −3 ( Ke + Ki ) = (6, 2 × 10 −20 J + 7,6 × 100 −21 J) = 3,1 × 10 2 A m . B 1, 2 T 44. Os termos usados neste problema e a relação entre M e m são discutidos na Seção 32-10. Como a inclinação do gráfico da Fig. 32-38 é 0,15 M /M max = = 0, 75 K/T, 0, 20 T/K Bext /T temos: 0, 800 T  = (0, 75 K/T) = 0, 30. 2,00 K max   45. (a) Vamos chamar de P(m) a probabilidade de que um dipolo  e o campo B estejam paralelos e de P(–m) a probabilidade de que um dipolo e o campo estejam antiparalelos. A magnetização pode ser considerada uma “média ponderada” dos campos magnéticos produzidos pelos dipolos, calculada a partir destas probabilidades: M= N  P (  ) − N  P ( − ) N  ( e B KT − e −  B KT )  B  = = N  tanh  .  kT  e B KT + e −  B KT P ( ) + P ( − ) (b) Para mB << kT (ou seja, para mB/kT << 1), e ±  B /kT ≈ 1 ±  B /kT e, portanto,   B  N  (1 +  B kT ) − (1 −  B kT )  N  2 B M = N  tanh  = . ≈  kT  kT (1 +  B kT ) + (1 −  B kT ) 297 298 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) Para mB >> kT, tanh (mB/kT) ≈ 1 e, portanto,  B  ≈ N . M = N  tanh   kT  (d) A função tangente hiperbólica pode ser plotada com o auxílio de um computador ou de uma calculadora gráfica. Ajustando os parâmetros do gráfico, é possível obter uma curva semelhante à da Fig. 32-14. 46. De acordo com a Eq. 28-36, t฀= −mBh senu;฀o sinal negativo indica que o torque se opõe ao deslocamento angular u. Para pequenos ângulos, t ≈ −mBhu, o que é característico do movimento harmônico simples (veja a Seção 15-3). Comparando com a Eq. 15-13, vemos que o período de oscilação é T = 2 I  Bh na qual I é o momento de inércia a ser determinado. Como a frequência é 0,312 Hz, o período é T = 1/f = 1/(0,312 Hz) = 3,21 s. Explicitando I na equação anterior, obtemos I=  Bh T 2 (0, 680 × 10 −3 J/T)(18, 0 × 10 −6 T)(3, 21 s)2 = = 3,19 × 10 −9 kg ⋅ m 2 . 4 2 4 2 47. (a) se a esfera está magneticamente saturada, o momento dipolar total é mtotal = Nm, na qual N é o número de átomos de ferro e m é o momento dipolar de um átomo de ferro. Queremos determinar o raio de uma esfera de ferro com N átomos de ferro. A massa dessa esfera é Nm, em que m é a massa de um átomo de ferro. Essa massa também é dada por 4prR3/3, sendo r a massa específica do ferro e R é o raio da esfera. Assim, Nm = 4prR3/3 e N= 4 R3 . 3m Substituindo N por seu valor na relação mtotal = Nm, obtemos  total = 4 R3 3m ⇒  3m total  R=  4  13 . Como a massa de um átomo de ferro é m = 56 u = (56 u)(1,66 × 10−27 kg/u) = 9,30 × 10−26 kg, temos: 13  3(9, 30 × 10 −26 kg)(8, 0 × 10 22 J T)  R=  −23 3 3  4 (14 × 10 kg m )(2,1 × 10 J T)  = 1, 8 × 105 m. (b) Como o volume da esfera é Ve = 4 3 4 (1, 82 × 105 m)3 = 2, 53 × 1016 m 3 R = 3 3 e o volume da Terra é Vt = 4 3 6, 37 × 10 6 m ) = 1, 08 × 10 21 m 3 , ( 3 a fração do volume da Terra ocupada pela esfera é 2, 53 × 1016 m 3 = 2, 3 × 10 −5. 1, 08 × 10 21 m 3 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 48. (a) Como, de acordo com o Apêndice F, a massa molar do ferro é 55,847 g/mol, o número de átomos de ferro contidos na barra de ferro é N= (7, 9 g cm 3 )(5, 0 cm)(1, 0 cm 2 ) = 4, 3 × 10 23. (55, 847 g mol) (6, 022 × 10 23 mol) Assim, o momento dipolar da barra de ferro é  = (2,1 × 10 −23 J T)(4, 3 × 10 23 ) = 8, 9 A ⋅ m 2 . (b) t = mB sen 90° = (8,9 A · m2)(1,57 T) = 13 N·m. 49. (a) O campo produzido em um ponto do eixo de um dipolo é dado pela Eq. 29-27: B = m0m/2pz3, na qual m é o momento dipolar e z é a distância a que o ponto se encontra do dipolo. Assim, (4 × 10 −7 T ⋅ m A)(1, 5 × 10 −23 J T) = 3, 0 × 10 −6 T = 3,0 T. 2 (10 × 10 −9 m)   (b) A energia de um dipolo magnético  na presença de um campo magnético B é dada por   U = − ⋅ B = − B cos  , B= na qual f é o ângulo entre o momento dipolar e o campo. A energia necessária para inverter o dipolo (ou seja, fazer o ângulo mudar de f = 0° para f = 180°) é U = 2 B = 2(1, 5 × 10 −23 J T)(3, 0 × 10 −6 T) = 9, 0 × 10 −29 J = (9, 0 × 10 −29 J)(6,242 × 1018 eV/J) = 5,6 × 10 −10 eV. (c) De acordo com o enunciado, a energia cinética média de translação à temperatura ambiente é 0,039 eV, um valor muito maior que ∆U. Se as interações dipolo-dipolo fossem responsáveis pelo alinhamento dos dipolos, a agitação térmica à temperatura ambiente seria suficiente para impedir que os dipolos pemanecessem alinhados. 50. (a) De acordo com a Eq. 28-36,  =  barra B sen  = (2700 A/m)(0, 06 m) (0, 003 m)2 (0, 035 T) sen(68o ) = 1, 49 × 10 −4 N ⋅ m, na qual usamos o fato de que o volume de um cilindro é igual à area da base multiplicada pela altura. (b) De acordo com a Eq. 29-38, temos: ฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀฀∆U = – mbarra B(cos uf – cos ui) = –(2700 A/m)(0,06 m)p(0,003m)2(0,035T)[cos(34°) – cos(68°)] = –72,9 mJ. 51. A magnetização de saturação corresponde ao alinhamento perfeito de todos os dipolos atômicos e é dada por Msat = mn, na qual n é o número de átomos por unidade de volume e m é o momento dipolar magnético de um átomo. O número de átomos de níquel por unidade de volume é n = r/m, sendo r a massa específica do níquel. A massa de um átomo de níquel pode ser calculada usando a relação m = M/NA, na qual M é a massa atômica do níquel e NA é a constante de Avogadro. Assim, n=  N A (8, 90 g cm 3 )(6, 02 × 10 23 átomos mol) = 9,126 × 10 22 átomos cm 3 = M 58, 71 g mol = 9,126 × 10 28 átomos m 3 . 299 300 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS O momento dipolar de um átomo de níquel é = Msat 4, 70 × 105 A m = 5,15 × 10 −24 A ⋅ m 2 . = 9,126 × 10 28 m 3 n 52. A temperatura de Curie do ferro é 770°C. Se x é a profundidade na qual a temperatura atinge este valor, 10°C + (30°C/km)x = 770°C. Assim, x= 770 °C − 10 °C = 25 km . 30 °C km 53. (a) De acordo com a Eq. 32-40, o módulo do campo magnético produzido por um toroide é dado por B0 = m0niP, na qual n é o número de espiras por unidade de comprimento do toroide e iP é a corrente na bobina. Vamos usar o raio médio rmed = (rext + rint)/2, em que rext é o raio externo e rint é o raio interno, para calcular n: n= N 400 espiras = = 1,16 × 10 3 espiras/m . 2 rmed 2 (5, 5 × 10 −2 m) iP = B0 0, 20 × 10 −3 T = 0,14 A . = − 7 0 n (4 × 10 T ⋅ m/A)(1,16 × 103 / m) Assim, (b) Se Φ é o fluxo magnético que atravessa a bobina secundária, o valor absoluto da fem induzida na bobina é e = N(dΦ/dt) e a corrente na bobina é iS = e/R, na qual R é a resistência da bobina. Assim,  N  d iS =   .  R  dt A carga que atravessa a bobina secundária quando a corrente na bobina primária começa a circular é ∫ q = iS dt = N N  N ⌠ d dt = ⌠ d  = . R R ⌡0 R ⌡ dt O módulo do campo magnético no interior da bobina secundária é B = B0 + BM = 801B0, na qual BM é o campo dos dipolos magnéticos do material magnético. Como o campo total é perpendicular ao plano da bobina secundária, o fluxo magnético é Φ฀= AB, em que A é a área do anel de Rowland (o campo magnético calculado existe no interior do anel, mas não na região entre o anel e a bobina). Se r é o raio da seção reta do anel, A = pr2 e, portanto,  = 801 r 2 B0 . Como o raio r é dado por r = (6,0 cm – 5,0 cm)/2 = 0,50 cm,  = 801 (0, 50 × 10 −2 m)2 (0, 20 × 10 −3 T) = 1,26 × 10 −5 Wb e, portanto, q= 50(1, 26 × 10 −5 Wb) = 7, 9 × 10 −5 C = 79 C. 8, 0  54. (a) De acordo com o Problema 32-61, a uma distância r do centro da Terra, o módulo do campo elétrico é dado por B= 0  4 r 3 1 + 3sen 2 m , SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS na qual m é o momento dipolar da Terra e lm é a latitude magnética. A razão entre os módulos do campo a diferentes distâncias na mesma latitude é B2 r13 = . B1 r23 Vamos chamar de B1 o módulo do campo magnético na superfície da Terra, de r1 = Rt, na qual Rt é o raio da Terra, a distância correspoondente do centro da Terra, e de r2 = Rt + h, na qual h é a altitude, o ponto no qual o módulo do campo magnético é B1/2. Nesse caso, r1 Rt3 = 0, 5. = r2 ( Rt + h )3 Explicitando h, obtemos: h = (21 3 − 1) Rt = (21 3 − 1)(6370 km) = 1, 66 × 10 3 km. (b) Para obter o valor máximo de B a 2900 km de profundidade, fazemos sen lm = 1,00 e r = 6370 km – 2900 km = 3470 km, o que nos dá Bmax = 0  4 r 3 1 + 3 sen 2 m = (4 × 10 −7 T ⋅ m A)(8, 00 × 10 22 A ⋅ m 2 ) 1 + 3(1, 00)2 4 (3, 47 × 106 m)3 = 3, 83 × 10 −4 T. (c) Como o ângulo entre o eixo magnético e o eixo de rotação da Terra é 11,5° (veja a Seção 32-6), lm = 90,0° – 11,5° = 78,5° no polo geográfico da Terra. Além disso, r = Rt = 6370 km. Assim, B= 0  4 Rt3 1 + 3 sen 2 m = (4 × 10 −7 T ⋅ m A)(8, 0 × 10 22 J T) 1 + 3 sen 2 78, 5° 4 (6, 37 × 106 m)3 = 6,11 × 10 −5 T. (d) i = tan −1 ( 2 tan 78, 5° ) = 84, 2°. (e) Uma explicação plausível para a discrepância entre os valores calculados e medidos do campo magnético da Terra é que as expressões usadas para calcular o campo são baseadas na hipótese de que o campo magnético da Terra é o campo de um dipolo, o que não corresponde exatamente à realidade. 55. (a) De acordo com a relação  = iA = i Rt2 , temos: i=  8, 0 × 10 22 J/T = = 6, 3 × 108 A. 2  Rt  (6, 37 × 10 6 m)2 (b) Sim, porque, longe da Terra, tanto o campo magnético da Terra como o campo magnético criado pela espira seriam campos dipolares. Se os dois campos tivessem orientações opostas, o cancelamento seria total. (c) Não, porque, nas proximidades da espira, o campo produzido por uma espira não é igual ao campo produzido por um dipolo magnético. 56. (a) Como o período de rotação é T = 2p/v, este é o tempo que a carga completa do anel leva para passar por um ponto fixo na trajetória do anel. Assim, a corrente associada à carga do anel é i = q/T = qv/2p e o módulo do momento dipolar magnético é  = iA = q 2 1  r = qr 2 . 2 2 301 302 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) Dobramos os dedos da mão direita no sentido da rotação. Como a carga é positiva, o polegar aponta na direção do momento dipolar magnético, que é a mesma do vetor momento angular do anel. 57. A energia potencial associada à interação do dipolo magnético da bússola com o campo magnético da Terra é   U = − ⋅ Bt = − Bt cos ,   na qual u é o ângulo entre  e Bt . Para u pequeno,  2  1 U ( ) = − Bt cos ≈ − Bt  1 −  =  2 −  Bt  2 2 na qual k = mBt. Aplicando a lei de conservação da energia ao movimento da agulha da bússola, temos: 2 1  d  1 I   +  2 = const. 2  dt  2 Essa expressão é semelhante à da conservação da energia mecânica em um sistema massamola: 2 1  dx  1 m   + kx 2 = const., 2  dt  2 que nos dá  = k m. Assim, por analogia, temos: =  = I  Bt = I  Bt , ml 2 12 o que nos dá = ml 2 2 (0, 050 kg)(4, 0 × 10 −2 m)2 (45 rad s)2 = 8, 4 × 10 2 J T . = 12 Bt 12(16 × 10 −6 T) 58. (a) De acordo com a Eq. 29-20, B = 0 ir = 222 T. 2 R f 2 (b) De acordo com a Eq. 29-17, B = 0 i = 167 T. 2 r (c) De acordo com a Eq. 29-17, B = 0 i = 22, 7 T. 2 r (d) De acordo com as Eqs. 32-15 e 32-16, B = 0 id r = 1, 25 T. 2 R p2 (e) De acordo com as Eqs. 32-15 e 32-16, B = 0 id r = 3, 75 T. 2 r 2 (f) A Eq. 32-17 nos dá B = 0 id = 22, 7 T. 2 r (g) Como a corrente de deslocamento no espaço entre as placas se distribui em uma área maior, os valores de B nessa área são relativamente pequenos. Do lado de fora do espaço entre as placas, os valores da corrente no fio e da corrente de deslocamento são iguais. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 59. (a) Podemos usar o resultado do item (a) do Exemplo “Campo magnético induzido por um campo elétrico variável”: B= µ0 ε 0 r dE 2 dt ( para r ≤ R ) , na qual, no nosso caso, r = 0,80R e dE d  V  1 d V =  = V0 e − t  ) = − 0 e − t  , ( d dt dt  d  d dt na qual V0 = 100 V. Substituindo por valores numéricos, temos: B (t ) = µεVr  µ0 ε 0 r   V0 − t τ  = − 0 0 0 e− t τ − e   2   τd 2τ d =− (4π × 10 −7 T ⋅ m A) (8, 85 × 10 −12 C2 /N ⋅ m 2 ) (100 V)(0, 80)(16 mm) − t 12 ms e 2(12 × 10 −3 s)(5, 0 mm) = −(1, 2 × 10 −13 T)e− t 12 ms . Assim, B(t ) = (1, 2 × 10 −13 T)e − t 12 ms = (1, 2 × 10 −13 T)e − t 0 , 012 s . (b) No instante t = 3t, B(t) = –(1,2 × 10–13 T)e–3t/t = –5,9 × 10–15 T; assim, |B|= 5,9 × 10–15 T. 60. (a) De acordo com a Eq. 32-1, temos: ( B )entra = ( B )sai = 0, 0070 Wb + (0, 40 T)( r 2 ) = 9, 2 × 10 −3 Wb. Assim, o valor absoluto do fluxo magnético através da parte curva da superfície é 9,2 mWb. (b) O fluxo é para dentro. 61. (a) De acordo com o teorema de Pitágoras, 2 B= = Bh2 + Bv2 = 0  4 r 3 2   0     cos m  +  0 3 sen m  = 0 3    2 r  4 r 3 4 r cos 2 m + 4 sen 2 m 1 + 3 sen 2 m , na qual usamos a relação cos2 lm + sen2 lm = 1. (b) De acordo com a Eq. 3-6, tan i = Bv (0  2 r 3 ) sen m = = 2 tan m . Bh (0  4 r 3 ) cos m 62. (a) No equador geomagnético (lm = 0), o campo é B= 0  (4 × 10 −7 T ⋅ m A)(8, 00 × 10 22 A ⋅ m 2 ) = 3,10 × 10 −5 T = 31,0 T. = 4 r 3 4 (6, 37 × 106 m)3 (b) fi = tan–1 (2 tan lm) = tan–1 (0) = 0°. 303 304 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (c) Para lm = 60,0°, temos: B= 0  4 r 3 1 + 3 sen 2 m = (3,10 × 10 −5 ) 1 + 3 sen 2 60, 0° = 5, 59 × 10 −5 T = 55,9 T. (d) fi = tan–1 (2 tan 60,0°) = 73,9°. (e) No polo norte geomagnético (lm = 90,0°), temos: B= 0  4 r 3 1 + 3 sen 2 m = (3,10 × 10 −5 ) 1 + 3(1, 00)2 = 6, 20 × 10 −5 T = 62,0 T. (f) fi = tan–1 (2 tan 90,0°) = 90,0°. 63. Seja R o raio das placas do capacitor e seja r a distância entre o ponto considerado e o eixo do capacitor. O módulo do campo magnético é dado pelas Eqs. 32-8 e 32-9: B= µ0 0 r dE 2 dt ( r ≤ R) e B= µ0 0 R 2 dE 2r dt (r ≥ R). O campo magnético é máximo nos pontos em que r = R; o valor do campo nesses pontos pode ser calculado usando qualquer uma das equações anteriores: Bmax = µ0 0 R dE . 2 dt Existem dois valores de r para os quais B é igual a 50% de Bmax, um menor que R e outro maior que R. (a) Para r < R, temos: µ0 0 r dE µ0 0 R dE = 2 dt 4 dt ⇒ r = R / 2 = (55, 0 mm) / 2 = 27, 5 mm. (b) Para r > R, temos: µ0 0 R 2 dE µ0 0 R dE = 2r 4 dt dt ⇒ r = 2 R = 2(55, 0 mm) = 110 mm m. 64. (a) De acordo com a Fig. 32-14, para M/Mmax = 50% temos B/T = 0,50 e, portanto, T= B/0,50 = 2/0,50 = 4 K. (b) De acordo com a Fig. 32-14, para M/Mmax = 90% temos B/T = 2,0 e, portanto, T = 2/2,0 = 1 K. 65. Seja A a área das placas e seja a a área da região central. Nesse caso, A  R2 = =4 a  ( R 2)2 e, de acordo com a Eq. 32-15, a corrente de descarga é dada por i = id = 4(2,0 A) = 8,0 A. 66. Ignorando os pontos de transição, constatamos que o intervalo da curva da Fig. 32-40 no qual a inclinação é maior é 6 ms < t < 7 ms. Nesse intervalo, de acordo com a Eq. 32-14, id =  0 A E =  0 (2, 0 m 2 ) (2, 0 × 106 V m) = 3, 5 × 10 −5 A. t SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 67. (a) Usando a Eq. 32-13 mas levando em conta o fato de que o capacitor está sendo descarregado, temos: 5, 0 A dE i = −8, 8 × 1015 V/m ⋅ s. =− =− 12 2 − 0 A (8, 85 × 10 C /N ⋅ m 2 )(0, 0080 m)2 dt (b) Supondo que o campo é perfeitamente uniforme, mesmo perto das bordas, podemos usar o mesmo raciocínio do item (a) do Exemplo “Substituição de um campo elétrico variável por uma corrente de deslocamento” e relacionar o valor absoluto da integral de linha à parte da corrente de deslocamento envolvida:   ∫ B ⋅ ds =  i 0 d , env  WH  = 0  2 i = 5, 9 × 10 −7 Wb/m m.  L  68. (a) De acordo com a Eq. 32-31, morb,z = –3mB = –2,78 × 10–23 J/T. (b) De acordo com a Eq. 32-31, morb,z = 4mB = 3,71 × 10–23 J/T. 69. (a) Como as linhas de campo de um ímã em forma de barra apontam na direção do polo Sul, as linhas de campo do desenho devem apontar para a esquerda e na direção do eixo central.    (b) O sinal de B ⋅ dA em todos os elementos de área dA da superfície lateral do cilindro é negativo. (c) Não, porque a lei de Gauss para o magnetismo se aplica apenas a superfícies fechadas. Se acrescentarmos as bases do cilindro para formar uma superfície fechada, a lei de Gauss será válida, pois o fluxo negativo através da superfície lateral do cilindro e da base do cilindro mais distante do ímã será compensado por um fluxo positivo na base do cilindro mais próxima do ímã. 70. (a) De acordo com a Eq. 22-3, E= e (1, 60 × 10 −19 C)(8, 99 × 109 N ⋅ m 2 C2 ) = 5, 3 × 1011 V/m. = 2 4π 0 r (5, 2 × 10 −11 m)2 (b) De acordo com a Eq. 29-28, B= 0  p (4 × 10 −7 T ⋅ m A) (1, 4 × 10 −26 J T) = 2, 0 × 10 −2 T = 20 mT. = 2 r 3 2 (5, 2 × 10 −11 m)3 (c) De acordo com a Eq. 32-30, orb eh 4 me  B 9, 27 × 10 −24 J T = 6, 6 × 10 2. = = = p p p 1, 4 × 10 −26 J T 71. (a) A figura a seguir mostra as linhas de campo magnético produzidas pelo ímã em forma de barra nas proximidades do anel.   (b) No caso de materiais paramagnéticos, o momento dipolar magnético  é paralelo a B. Na  figura do item anterior,  aponta no sentido negativo do eixo x. 305 306 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS  (c) De acordo com a regra da mão direita, como  aponta no sentido negativo do eixo x, o sentido da corrente convencional é o sentido anti-horário, do ponto de vista do ímã em forma de barra. (d) O efeito da força magnética é deslocar o anel para regiões em que o campo magnético é mais intenso. Como a “densidade” das linhas de força é proporcional à intensidade do campo magnético, isso significa que a força aponta no sentido negativo do eixo x, ou seja, no sentido 2x. 72. (a) Entre as placas do capacitor, B1 = m0idr1/2pR2 (Eq. 32-16); do lado de fora do capacitor, B2 = m0id/2pr2 (Eq. 32-17). Assim, B2 = B1 (4, 00)2 R2 = 12, 5 = 16, 7 nT. (2, 00)(6, 00) r1r2 (b) De acordo com a Eq. 32-16, a corrente de deslocamento é id = 2 R 2 B1 = 5, 00 mA. 0 r1 73. (a) Para um dado valor de l, ml varia de −l a +l. Neste caso, como l = 3, o número de diferentes valores de ml é 2l + 1 = 2(3) + 1 = 7. Assim, como Lorb,z ∝฀ml, o número de diferentes valores de Lorb,z é 7. (b) Como morb,z ∝฀ml, o número de diferentes valores de morb,z é 7. (c) Como Lorb,z = ml h/2p, o maior valor permitido de Lorb,z é | ml |maxh/2p = 3h/2p. (d) Como morb,z = – ml mB, o maior valor permitido de morb,z é | ml |maxmB = 3eh/4pme. (e) De acordo com as Eqs. 32-23 e 32-29, a componente z do momento angular total do elétron é Ltot , z = Lorb, z + Ls , z = ml h ms h + . 2 2 Assim, o valor máximo de Ltot,z acontece para ml = (ml)max = 3 e ms = 1/2: 1 h 3, 5 h   Ltot, z  = 3 +  . = max  2  2 2 (f) Como o valor máximo de Ltot,z é dado por [mJ]maxh/2p, na qual, de acordo com o item (e), [mJ]max = 3,5, o número de valores permitidos de Ltot,z é 2[mJ]max + 1 = 2(3,5) + 1 = 8. 74. De acordo com a Eq. 32-17, id = 2 rB 2 (0, 0300 m) (2, 00 × 10 −6 T) = 0, 300 A. = 4 × 10 −7 T ⋅ m A 0 75. (a) Os valores possíveis são: {−4,฀−3,฀−2,฀−1, 0, +1, +2, +3, +4} ⇒ 9, no total. (b) O valor máximo é 4mB = 3,71 × 10−23 J/T. (c) Multiplicando o resultado do item (b) por 0,250 T, obtemos Umax = +9,27 × 10−24 J. (d) Como, de acordo com o item (a), o valor mínimo de morb,z é −4mB, a menor energia potencial é Umin = (0,250 T)(−4mB) = −9,27 × 10−24 J.