CALCULO TRASCENDENTES TEMPRANAS

JAMES STEWART CÁ LCU LO TRASCENDENTES TEMPRANAS Octava edición CÁLCULO TRASCENDENTES TEMPRANAS OCTAVA EDICIÓN JAMES STEWART McMASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO Traducción Ana Elizabeth García Hernández Enrique C. Mercado González Revisión técnica Ileana Borja Tecuatl Departamento de Matemática Educativa, CINVESTAV-IPN Hiram Cárdenas Gordillo Luz Citlaly Estrada López Facultad de Ingeniería, Universidad La Salle, México Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingeniería, Universidad de Guadalajara, México Pedro Vásquez Urbano Universidad de Puerto Rico - Mayaguez Gilgamesh Luis Raya Universidad Politécnica de Pachuca, México José Ignacio Cuevas González Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Armando Silva Castillo Antonieta Martínez Velasco Universidad Politécnica Universidad Panamericana, campus Ciudad de México de Pachuca, México Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur Cálculo. Trascendentes tempranas, octava edición. James Stewart Director Higher Education Latinoamérica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial Latinoamérica: Jesús Mares Chacón Editor Senior Hardside: Pablo Miguel Guerrero Rosas Editora de desarrollo Abril Vega Orozco Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Karla Paola Benítez García Imagen de portada: © David Carrick | Dreamstime.com Composición tipográfica: Humberto Núñez Ramos Angélica Toledo Tirado Alejandro Hernández Hernández © D.R. 2018 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una compañía de Cengage Learning, Inc. Carretera México-Toluca núm. 5420, oficina 2301. Col. El Yaqui. Del. Cuajimalpa. C.P. 05320. Ciudad de México. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo, amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Reg 103 Traducido del libro Calculus: Early Transcendentals, Eighth Edition, International Metric Version. James Stewart. Publicado en inglés por Cengage Learning ©2016. ISBN: 978-1-305-27237-8 Datos para catalogación bibliográfica: Stewart, James. Cálculo. Trascendentes tempranas, octava edición. ISBN: 978-607-526-549-0 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 20 19 18 17 Contenido PREFACIO xi AL ESTUDIANTE xxiii CALCULADORAS, COMPUTADORAS Y OTROS DISPOSITIVOS DE GRAFICACIÓN xxiv PRUEBAS DE DIAGNÓSTICO xxvi 1 1 Funciones y modelos 9 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 © Pictura Collectus/Alamy Cuatro maneras de representar una función 10 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones esenciales 23 Funciones nuevas a partir de funciones previas 36 Funciones exponenciales 45 Funciones inversas y logarítmicas 55 Repaso 68 Principios para la resolución de problemas 71 2 © Jody Ann / Shutterstock.com Un adelanto del cálculo Límites y derivadas 77 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Problemas de la tangente y la velocidad 78 El límite de una función 83 Cálculo de límites usando las leyes de los límites 95 Definición precisa de límite 104 Continuidad 114 Límites al infinito; asíntotas horizontales 126 Derivadas y razones de cambio 140 Proyecto de redacción · Primeros métodos para encontrar tangentes 152 2.8 La derivada como una función 152 Repaso 165 Problemas adicionales 169 iii iv Contenido 3 Reglas de derivación 171 3.1 © Mechanik / Shutterstock.com Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales 172 Proyecto de aplicación · Construcción de una mejor Montaña Rusa 182 3.2 Reglas del producto y el cociente 183 3.3 Derivadas de funciones trigonométricas 190 3.4 La regla de la cadena 197 Proyecto de aplicación · ¿Dónde debería un piloto iniciar el descenso? 208 3.5 Derivación implícita 208 Proyecto de laboratorio · Familia de curvas implícitas 217 3.6 Derivadas de funciones logarítmicas 218 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales 224 3.8 Crecimiento y decaimiento exponenciales 237 Proyecto de aplicación · Controlar la pérdida de glóbulos rojos durante una cirugía 244 3.9 Razones relacionadas 245 3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales 251 Proyecto de laboratorio · Polinomios de Taylor 258 3.11 Funciones hiperbólicas 259 Repaso 266 Problemas adicionales 270 4 Aplicaciones de la derivada © Tatiana Makotra / Shutterstock.com 4.1 Valores máximos y mínimos 276 Proyecto de aplicación · El cálculo de los arcoíris 285 4.2 Teorema del valor medio 287 4.3 Cómo las derivadas afectan la forma de una gráfica 293 4.4 Formas indeterminadas y regla de L’Hôpital 304 Proyecto de redacción · Los orígenes de la regla de L’Hôpital 314 4.5 Resumen para el trazo de curvas 315 4.6 Trazo de gráficas con cálculo y calculadoras 323 4.7 Problemas de optimización 330 Proyecto de aplicación · La forma de una lata 343 Proyecto de aplicación · Aviones y pájaros: minimización de la energía 344 4.8 El método de Newton 345 4.9 Antiderivadas 350 Repaso 358 Problemas adicionales 363 275 Contenido 5 Integrales v 365 5.1 5.2 © JRC, Inc. / Alamy Áreas y distancias 366 La integral definida 378 Proyecto de descubrimiento · Funciones de áreas 391 5.3 El teorema fundamental del cálculo 392 5.4 Integrales indefinidas y el teorema del cambio neto 402 Proyecto de redacción · Newton, Leibniz y la invención del cálculo 411 5.5 Regla de sustitución 412 Repaso 421 Problemas adicionales 425 6 Aplicaciones de la integral 427 6.1 © Richard Paul Kane / Shutterstock.com Áreas entre curvas 428 Proyecto de aplicación · El índice de Gini 436 6.2 Volúmenes 438 6.3 Volúmenes mediante cascarones cilíndricos 449 6.4 Trabajo 455 6.5 Valor promedio de una función 461 Proyecto de aplicación · El cálculo y el béisbol 464 Proyecto de aplicación · Dónde sentarse en el cine 465 Repaso 466 Problemas adicionales 468 7 Técnicas de integración © USDA 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 Integración por partes 472 Integrales trigonométricas 479 Sustitución trigonométrica 486 Integración de funciones racionales por fracciones parciales 493 Estrategias para la integración 503 Integración utilizando tablas y sistemas algebraicos computacionales 508 Proyecto de descubrimiento · Patrones en integrales 513 7.7 Integración aproximada 514 7.8 Integrales impropias 527 Repaso 537 Problemas adicionales 540 471 vi Contenido 8 Aplicaciones adicionales de la integración 543 8.1 © planet5D LLC / Shutterstock.com Longitud de arco 544 Proyecto de descubrimiento · Concurso de longitudes de arco 550 8.2 Área de una superficie de revolución 551 Proyecto de descubrimiento · Rotación sobre una pendiente 557 8.3 Aplicaciones a la física y a la ingeniería 558 Proyecto de descubrimiento · Tazas de café complementarias 568 8.4 Aplicaciones a la economía y la biología 569 8.5 Probabilidad 573 Repaso 581 Problemas adicionales 583 9 Ecuaciones diferenciales 9.1 9.2 9.3 © Dennis Donohue / Shutterstock.com Modelado con ecuaciones diferenciales 586 Campos direccionales y método de Euler 591 Ecuaciones separables 599 Proyecto de aplicación · ¿Qué tan rápido se vacía un tanque? 608 Proyecto de aplicación · ¿Qué es más rápido, subir o bajar? 609 9.4 Modelos para el crecimiento poblacional 610 9.5 Ecuaciones lineales 620 9.6 Sistemas presa-depredador 627 Repaso 634 Problemas adicionales 637 10 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 10.1 © Stocktrek / Stockbyte / Getty Images 585 10.2 10.3 10.4 Curvas definidas por ecuaciones paramétricas 640 Proyecto de laboratorio · Circunferencias que corren alrededor de circunferencias 648 Cálculo con curvas paramétricas 649 Proyecto de laboratorio · Curvas de Bézier 657 Coordenadas polares 658 Proyecto de laboratorio · Familias de curvas polares 668 Áreas y longitudes en coordenadas polares 669 639 Contenido vii 10.5 10.6 Secciones cónicas 674 Secciones cónicas en coordenadas polares 682 Repaso 689 Problemas adicionales 692 11 Sucesiones y series infinitas 693 11.1 © STScI / NASA / ESA / Galaxy / Galaxy Picture Library / Alamy Sucesiones 694 Proyecto de laboratorio · Sucesiones logísticas 707 11.2 Series 707 11.3 La prueba de la integral y estimaciones de sumas 719 11.4 Pruebas por comparación 727 11.5 Series alternantes 732 11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raíz 737 11.7 Estrategia para probar series 744 11.8 Series de potencias 746 11.9 Representación de funciones como series de potencias 752 11.10 Series de Taylor y de Maclaurin 759 Proyecto de laboratorio · Un límite escurridizo 773 Proyecto de redacción · Cómo descubrió Newton las series binomiales 773 11.11 Aplicaciones de los polinomios de Taylor 774 Proyecto de aplicación · Radiación de las estrellas 783 Repaso 784 Problemas adicionales 787 12 Vectores y la geometría del espacio 12.1 12.2 12.3 12.4 Sistemas de coordenadas tridimensionales 792 Vectores 798 El producto punto 807 El producto cruz 814 Proyecto de descubrimiento · La geometría de un tetraedro 823 12.5 Ecuaciones de rectas y planos 823 Proyecto de laboratorio · Poner la tridimensionalidad en perspectiva 833 12.6 Cilindros y superficies cuádricas 834 Repaso 841 Problemas adicionales 844 791 viii Contenido 13 847 13.1 13.2 13.3 13.4 © Natalia Davydenko/Shutterstock.com Funciones vectoriales y curvas en el espacio 848 Derivadas e integrales de funciones vectoriales 855 Longitud de arco y curvatura 861 Movimiento en el espacio: velocidad y aceleración 870 Proyecto de aplicación · Leyes de Kepler 880 Repaso 881 Problemas adicionales 884 14 Derivadas parciales 887 14.1 14.2 14.3 14.4 Cortesía de © Speedo y ANSYS, Inc. Funciones de varias variables 888 Límites y continuidad 903 Derivadas parciales 911 Planos tangentes y aproximaciones lineales 927 Proyecto de aplicación · El Speedo LZR Racer 936 14.5 La regla de la cadena 937 14.6 Derivadas direccionales y el vector gradiente 946 14.7 Valores máximos y mínimos 959 Proyecto de aplicación · Diseño de un contenedor de desechos 970 Proyecto de descubrimiento · Aproximaciones cuadráticas y puntos críticos 970 14.8 Multiplicadores de Lagrange 971 Proyecto de aplicación · La ciencia de los cohetes 979 Proyecto de aplicación · Optimización de hidroturbinas 980 Repaso 981 Problemas adicionales 985 15 © Juan Gaertner/ Shutterstock.com Funciones vectoriales Integrales múltiples 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 Integrales dobles en rectángulos 988 Integrales dobles en regiones generales 1001 Integrales dobles en coordenadas polares 1010 Aplicaciones de las integrales dobles 1016 Área de una superficie 1026 987 Contenido ix 15.6 Integrales triples 1029 Proyecto de descubrimiento · Volúmenes de hiperesferas 1040 15.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas 1040 Proyecto de descubrimiento · La intersección de tres cilindros 1044 15.8 Integrales triples en coordenadas esféricas 1045 Proyecto de aplicación · Carrera sobre ruedas 1052 15.9 Cambio de variables en integrales múltiples 1052 Repaso 1061 Problemas adicionales 1065 16 1067 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 © Everett Collection/Glow Images Campos vectoriales 1068 Integrales de línea 1075 El teorema fundamental para integrales de línea 1087 Teorema de Green 1096 Rotacional y divergencia 1103 Superficies paramétricas y sus áreas 1111 Integrales de superficie 1122 Teorema de Stokes 1134 Proyecto de redacción · Tres hombres y dos teoremas 1140 16.9 El teorema de la divergencia 1141 16.10 Resumen 1147 Repaso 1148 Problemas adicionales 1151 17 © CS Stock/Shutterstock.com Cálculo vectorial Ecuaciones diferenciales de segundo orden 17.1 17.2 17.3 17.4 Ecuaciones lineales de segundo orden 1154 Ecuaciones lineales no homogéneas 1160 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de segundo orden 1168 Soluciones con series de potencias 1176 Repaso 1181 1153 x Contenido Apéndices A B C D E F G H I A1 Números, desigualdades y valores absolutos A2 Rectas y geometría usando coordenadas A10 Gráficas de ecuaciones de segundo grado A16 Trigonometría A24 Notación sigma A34 Demostración de teoremas A39 El logaritmo definido como una integral A50 Números complejos A57 Respuestas a los ejercicios con número impar A65 Índice analítico I1 Referencias R1 Prefacio Esta versión de la obra difiere de la versión regular de Cálculo. Trascendentes tempranas, octava edición, de varias maneras: Las unidades usadas en casi todos los ejemplos y ejercicios han sido cambiadas del sistema tradicional de Estados Unidos a unidades métricas. Hay un número reducido de excepciones: en algunas aplicaciones de ingeniería (principalmente en la sección 8.3) puede ser útil para algunos ingenieros estar familiarizados con las unidades usadas en Estados Unidos. Y yo quise conservar algunos ejercicios (por ejemplo, los relacionados con el beisbol) donde sería inapropiado usar unidades métricas. He cambiado los ejemplos y ejercicios relacionados con datos del mundo real para que sean de naturaleza más internacional, de manera que la inmensa mayoría de ellos procede ahora de países distintos a Estados Unidos. Por ejemplo, ahora hay ejercicios y ejemplos concernientes a las tarifas postales en Hong Kong; la deuda pública canadiense; las tasas de desempleo en Australia; las horas de luz del sol en Ankara, Turquía; las isotermas en China; el porcentaje de la población en la Argentina rural; poblaciones de Malasia, Indonesia, México e India, y consumo de energía eléctrica en Ontario, entre muchos otros. Además de cambiar ejercicios para que las unidades sean métricas y los datos tengan un sabor más internacional, otros ejercicios han sido cambiados también, el resultado de lo cual es que alrededor de 10% de los ejercicios son diferentes de los de la versión regular. Filosofía del libro El arte de enseñar, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar al descubrimiento. Yo he tratado de escribir un libro que ayude a los estudiantes a descubrir el cálculo, tanto por su eficacia práctica como por su sorprendente belleza. En esta edición, como en las siete primeras, intento transmitir al estudiante una noción de la utilidad del cálculo y desarrollar competencia técnica, pero también me empeño en dar cierta apreciación de la belleza intrínseca del tema. Newton experimentó indudablemente una sensación de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos. Yo deseo que los estudiantes compartan parte de esa emoción. El énfasis está en la comprensión de conceptos. Pienso que casi todos están de acuerdo en que esta debería ser la meta primaria de la enseñanza de cálculo. De hecho, el ímpetu del actual movimiento de reforma del cálculo procedió de la Conferencia de Tulane de 1986, la cual formuló como su primera recomendación: Concentrarse en la comprensión conceptual. He tratado de implementar esta meta mediante la regla de tres: “Los temas deben presentarse geométrica, numérica y algebraicamente”. La visualización, la experimentación numérica y gráfica y otros enfoques han cambiado la forma en que se enseña el razonamiento conceptual de maneras fundamentales. Más recientemente, la regla de tres se ha ampliado para convertirse en la regla de cuatro enfatizando también el punto de vista verbal o descriptivo. Al escribir esta octava edición, mi premisa fue que sea posible alcanzar comprensión conceptual y retener todavía las mejores tradiciones del cálculo tradicional. El libro contiene elementos de reforma, pero en el contexto de un plan de estudios tradicional. xi xii Prefacio Versiones alternas He escrito otros libros de texto de cálculo que podrían ser preferibles para algunos profesores. La mayoría de ellos también se presenta en versiones de una y varias variables. • Calculus, octava edición, versión métrica internacional, es similar al presente libro de texto excepto que las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se cubren en el segundo semestre. • Essential Calculus, segunda edición, edición internacional, es un libro mucho más breve (840 páginas), que, sin embargo, contiene casi todos los temas de Calculus, octava edición, versión métrica internacional. La relativa brevedad se logra mediante una exposición más breve de algunos temas al trasladar algunas características al sitio web. • Essential Calculus: Early Transcendentals, segunda edición, edición internacional, se asemeja a Essential Calculus, edición internacional, pero las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se cubren en el capítulo 3. • Calculus: Concepts and Contexts, cuarta edición, edición métrica internacional, enfatiza la comprensión conceptual con más fuerza todavía que este libro. La cobertura de temas no es enciclopédica y el material sobre funciones trascendentes y sobre ecuaciones paramétricas se entreteje a lo largo del libro en lugar de ser tratado en capítulos separados. • Calculus: Early Vectors presenta los vectores y funciones vectoriales en el primer semestre y los integra a todo lo largo del libro. Este es conveniente para estudiantes que toman cursos de ingeniería y física al mismo tiempo que el de cálculo. • Brief Applied Calculus, edición internacional, está dirigido a estudiantes de negocios, ciencias sociales y ciencias de la vida. • Biocalculus: Calculus for the Life Sciences intenta mostrar a los estudiantes de las ciencias de la vida cómo se relaciona el cálculo con la biología. • Biocalculus: Calculus, Probability, and Statistics for the Life Sciences abarca todo el contenido de Biocalculus: Calculus for the Life Sciences, así como tres capítulos adicionales que cubren probabilidad y estadística. ¿Qué hay de nuevo en la octava edición? Los cambios resultaron de conversar con mis colegas y estudiantes en la Universidad de Toronto y de leer revistas, así como de sugerencias de usuarios y revisores. He aquí algunas de las muchas mejoras que he incorporado en esta edición: • Los datos en los ejemplos y ejercicios han sido actualizados para ser más oportunos. • Se han añadido nuevos ejemplos (véanse los ejemplos 6.1.5, 11.2.5 y 14.3.3, entre otros), y las soluciones de algunos de los ejemplos existentes se ampliaron. • Se agregaron tres nuevos proyectos: el proyecto Controlar la pérdida de glóbulos rojos durante una cirugía (página 244) describe el procedimiento anh, en el que se extrae sangre del paciente antes de una operación y se le reemplaza por una solución salina. Esto diluye la sangre del paciente para que se pierdan menos glóbulos rojos durante hemorragias y la sangre extraída es devuelta al paciente después de la cirugía. El proyecto Aviones y pájaros: minimización de la energía (página 344) pregunta cómo pueden las aves minimizar fuerza y energía al comparar entre batir sus alas y planear. En el proyecto El Speedo LZR Racer (página 936) se explica que este traje de baño reduce la fricción en el agua y, como consecuencia, Prefacio xiii se han roto muchos récords en la natación. Se pregunta a los estudiantes por qué un pequeño decremento en la fricción puede tener un efecto tan grande en el desempeño. • He reestructurado el capítulo 15 (Integrales múltiples) combinando las dos primeras secciones para que las integrales iteradas se traten antes. • Más de 20% de los ejercicios en cada capítulo son nuevos. He aquí algunos de mis favoritos: 2.7.61, 2.8.36-38, 3.1.79-80, 3.11.54, 4.1.69, 4.3.34, 4.3.66, 4.4.80, 4.7.39, 4.7.67, 5.1.19-20, 5.2.67-68, 5.4.70, 6.1.51, 8.1.39, 12.5.81, 12.6.29-30, 14.6.65-66. Además, hay nuevos y buenos Problemas adicionales. (Véanse los problemas 12-14 de la página 272, el problema 13 de la página 363, los problemas 16-17 de la página 426 y el problema 8 de la página 986.) Caraterísticas Ejercicios conceptuales El modo más importante de fomentar la comprensión conceptual es mediante los problemas que se asignan. Con ese fin he ideado varios tipos de problemas. Algunos conjuntos de ejercicios comienzan con peticiones de explicar los significados de conceptos básicos de la sección. (Véanse, por ejemplo, los primeros ejercicios de las secciones 2.2, 2.5, 11.2, 14.2 y 14.3.) De igual forma, todas las secciones de repaso comienzan con una Verificación de conceptos y un Examen verdadero-falso. Otros ejercicios ponen a prueba la comprensión conceptual por medio de gráficas o tablas (véanse los ejercicios 2.7.17, 2.8.35-38, 2.8.47-52, 9.1.11-13, 10.1.24-27, 11.10.2, 13.2.1-2, 13.3.33-39, 14.1.1-2, 14.1.32-38, 14.1.41-44, 14.3.3-10, 14.6.1-2, 14.7.3-4, 15.1.6-8, 16.1.11-18, 16.2.17-18 y 16.3.1-2). Otro tipo de ejercicios usa la descripción verbal para probar la comprensión conceptual (véanse los ejercicios 2.5.10, 2.8.66, 4.3.69-70 y 7.8.67). Valoro particularmente los problemas que combinan y comparan los enfoques gráfico, numérico y algebraico (véanse los ejercicios 2.6.45-46, 3.7.27 y 9.4.4). Conjuntos de ejercicios graduados Cada conjunto de ejercicios está cuidadosamente graduado, progresando de ejercicios conceptuales básicos y problemas de desarrollo de habilidades a problemas más desafiantes que implican aplicaciones y comprobaciones. Datos del mundo real Mis asistentes y yo dedicamos mucho tiempo a buscar en bibliotecas, hacer contacto con compañías y organismos gubernamentales y realizar búsquedas en internet en pos de datos interesantes del mundo real para presentar, motivar e ilustrar los conceptos del cálculo. En consecuencia, muchos de los ejemplos y ejercicios tienen que ver con funciones definidas por esos datos numéricos o gráficas. Véanse, por ejemplo, la figura 1 de la sección 1.1 (sismogramas del terremoto de Northridge), ejercicio 2.8.35 (tasas de desempleo), ejercicio 5.1.16 (velocidad del transbordador espacial Endeavour) y figura 4 de la sección 5.4 (consumo de energía eléctrica en San Francisco). Las funciones de dos variables son ilustradas por una tabla de valores del índice viento-frío como una función de temperatura del aire y velocidad del viento (ejemplo 14.1.12). Las derivadas parciales son presentadas en la sección 14.3 examinando una columna en una tabla de valores del índice de calor (temperatura del aire percibida) como una función de la temperatura real y la humedad relativa. Este ejemplo se retoma después en relación con aproximaciones lineales (ejemplo 14.4.3). Las derivadas direccionales se presentan en la sección 14.6 usando un mapa de contorno de temperatura para estimar la razón de cambio de la temperatura en Reno en la dirección de Las Vegas. Integrales dobles se usan para estimar la nevada promedio en Colorado del 20 y 21 de diciembre de 2006 (ejemplo 15.1.9). Los campos xiv Prefacio vectoriales se presentan en la sección 16.1 mediante descripciones de campos vectoriales de velocidad reales, que muestran los patrones de viento de la bahía de San Francisco. Proyectos Una forma de motivar a los estudiantes y convertirlos en aprendices activos es ponerlos a trabajar (quizás en grupos) en amplios proyectos que les den una sensación de logro sustancial al completarlos. He incluido cuatro tipos de proyectos: los Proyectos de aplicación que contienen aplicaciones diseñadas para estimular la imaginación de los alumnos. El proyecto que está después de la sección 9.3 pregunta si una pelota lanzada hacia arriba tarda más en llegar a su altura máxima o en caer a su altura original. (La respuesta podría sorprenderlo.) El proyecto posterior a la sección 14.8 usa multiplicadores de Lagrange para determinar las masas de las tres etapas de un cohete a fin de minimizar la masa total mientras que a la vez se permite que alcance una velocidad deseada. Los Proyectos de laboratorio implican tecnología; el que sigue a la sección 10.2 muestra cómo utilizar las curvas de Bézier para diseñar formas que representan letras para una impresora láser. Los Proyectos de redacción piden a los estudiantes comparar métodos actuales con los de los fundadores del cálculo, el método de Fermat para determinar tangentes por ejemplo. Se proporcionan referencias sugeridas. Los Proyectos de descubrimiento anticipan resultados que se analizarán posteriormente o que alientan el descubrimiento mediante el reconocimiento de patrones (véase el que sigue a la sección 7.6). Otros exploran aspectos de geometría: tetraedros (después de la sección 12.4), hiperesferas (después de la sección 15.6) e intersecciones de tres cilindros (después de la sección 15.7). Proyectos adicionales pueden hallarse en la Instructor’s Guide* (véase, por ejemplo, Group Exercise 5.1: posición con base en muestras). Resolución de problemas Los estudiantes suelen tener dificultades con problemas para los que no hay un procedimiento claramente definido para la obtención de la respuesta. Pienso que nadie ha mejorado mucho la estrategia de resolución de problemas en cuatro etapas de George Polya, así que he incluido una versión de sus principios de resolución de problemas después del capítulo 1. Estos se aplican, explícita e implícitamente, a lo largo de todo el libro. Después de los demás capítulos he colocado secciones llamadas Problemas adicionales, que contienen ejemplos de cómo atacar problemas de cálculo desafiantes. Al seleccionar los variados problemas para esas secciones tuve en mente el consejo siguiente de David Hilbert: “Un problema matemático debe ser difícil a fin de atraernos, pero no inaccesible como para hacer mofa de nuestros esfuerzos”. Cuando pongo estos problemas desafiantes en tareas y exámenes, los califico de manera diferente. Aquí recompenso a los estudiantes significativamente por ideas hacia una solución y por reconocer cuáles principios de resolución de problemas son relevantes. Tecnología La disponibilidad de tecnología vuelve no menos sino más importante comprender con claridad los conceptos que subyacen en las imágenes en la pantalla. Calculadoras graficadoras y computadoras son herramientas eficaces para descubrir y comprender esos conceptos cuando se les emplea en forma apropiada. Este libro de texto puede usarse con o sin tecnología, y yo uso dos símbolos especiales para indicar claramente cuándo se requiere un tipo particular de aparato. El icono indica un ejercicio que definitivamente requiere el uso de esa tecnología, aunque eso no quiere decir que no pueda usarse en los demás ejercicios también. El símbolo se reserva a problemas en los que se requieren los servicios completos de un sistema algebraico computacional (como Maple, Mathematica o el TI-89). Pero la tecnología no vuelve obsoletos el lápiz y el papel. El cálculo y los diagramas a mano suelen ser preferibles a la tecnología para ilustrar y reforzar algunos conceptos. Tanto profesores como alumnos deben desarrollar la aptitud de decidir cuándo es apropiada la mano o la máquina. *Este material se encuentra solo disponible en inglés. Prefacio xv Herramientas para enriquecer el cálculo* tec es un suplemento del texto y busca enriquecer y complementar su contenido. (Ahora está disponible en el eBook vía CourseMate* y Enhanced WebAssign.* Visuals y Modules selectos están disponibles en www.stewartcalculus.com.*) Desarrollado por Harvey Keynes, Dan Clegg, Hubert Hohn y yo, tec usa un enfoque de descubrimiento y exploración. En secciones del libro donde la tecnología es particularmente apropiada, iconos al margen dirigen a los estudiantes a tec Modules que brindan un entorno de laboratorio en el que pueden explorar el tema de maneras diversas y en niveles diferentes. Los Visuals son animaciones de figuras en el texto; los Modules son actividades más elaboradas e incluyen ejercicios. Los profesores pueden optar por involucrarse en diversos niveles, desde simplemente alentar a los alumnos a usar los Visuals y Modules para su exploración independiente hasta asignar ejercicios específicos de los incluidos en cada Module o crear ejercicios, prácticas y proyectos adicionales que hagan uso de los Visuals y Modules. tec incluye asimismo Homework Hints para ejercicios representativos (usualmente con número impar) en cada sección del texto, indicados mediante la impresión del número del ejercicio en gris. Estas sugerencias suelen presentarse en forma de preguntas e intentan imitar a un asistente de aprendizaje eficaz funcionando como un tutor mudo. Están hechas para no revelar de la solución real más que lo mínimamente necesario para hacer progresos adicionales. Enhanced WebAssign* La tecnología ya tiene impacto en la manera en que se asignan tareas a los estudiantes, particularmente en grupos grandes. El uso de tareas en línea es creciente y su atractivo depende de la facilidad de empleo, la precisión de las calificaciones y la confiabilidad. Con la octava edición se ha trabajado con la comunidad del cálculo y WebAssign para desarrollar un sistema de tareas en línea. Hasta 70% de los ejercicios en cada sección se puede asignar como tareas en línea, incluidos formatos de respuesta libre, opción múltiple y partes múltiples. Este sistema también contiene Active Examples*, en los que los estudiantes son guiados en pequeños tutoriales paso a paso a través de ejemplos del texto, con vínculos con el libro de texto y soluciones en video. Sitio web Visite CengageBrain.com* o stewartcalculus.com* para estos materiales adicionales: • Homework Hints • Algebra Review • Lies My Calculator and Computer Told Me • History of Mathematics con vínculos a los mejores sitios históricos • Additional Topics (con conjuntos de ejercicios): series de Fourier, fórmulas para el término residuo en las series de Taylor, rotación de ejes • Archived Problems (ejercicios desafiantes que aparecieron en ediciones anteriores, junto con sus soluciones) • Challenge Problems (algunas de las secciones de Problemas adicionales de ediciones anteriores) • Vínculos de temas especiales con recursos externos de la web • Selected Visuals y Modules de Tools for Enriching Calculus (tec) *Este material se encuentra solo disponible en inglés. xvi Prefacio Contenido Pruebas de diagnóstico El libro comienza con cuatro pruebas de diagnóstico, en álgebra básica, geometría analítica, funciones y trigonometría. Un adelanto del cálculo Esta es una panorámica del tema e incluye una lista de preguntas para motivar el estudio del cálculo. 1 Funciones y modelos Desde el principio se enfatizan representaciones múltiples de funciones: verbal, numérica, visual y algebraica. Un análisis de modelos matemáticos conduce a una revisión de las funciones estándar, entre ellas funciones exponenciales o logarítmicas, desde esos cuatro puntos de vista. 2 Límites y derivadas El material sobre límites es motivado por un estudio previo de la tangente y problemas de velocidad. Los límites se tratan desde los puntos de vista descriptivo, gráfico, numérico y algebraico. La sección 2.4, sobre la definición precisa de un límite, es una sección opcional. Las secciones 2.7 y 2.8 tratan con derivadas (especialmente con funciones definidas gráfica y numéricamente) antes de que las reglas de derivación sean cubiertas en el capítulo 3. Aquí los ejemplos y ejercicios exploran los significados de las derivadas en varios contextos. Las derivadas de orden superior se presentan en la sección 2.8. 3 Reglas de derivación Todas las funciones básicas, incluidas las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas, se derivan aquí. Cuando se calculan derivadas en situaciones de aplicación, se pide a los estudiantes explicar sus significados. El crecimiento y decaimiento exponenciales se cubren ahora en este capítulo. 4 Aplicaciones de la derivada Los hechos básicos concernientes a valores extremos y formas de curvas se deducen del teorema del valor medio. La graficación con tecnología enfatiza la interacción entre cálculo y calculadoras y el análisis de familias de curvas. Algunos problemas de optimización sustanciales son provistos como una explicación de por qué uno debe elevar la cabeza 42° para ver la punta de un arcoíris. 5 Integrales El problema del área y el problema de la distancia sirven para motivar la integral definida, con la presentación de la notación sigma cuando es necesario. (Una cobertura completa de la notación sigma se proporciona en el apéndice E.) Se hace énfasis en explicar los significados de las integrales en varios contextos y en estimar sus valores a partir de gráficas y tablas. 6 Aplicaciones de la integral Aquí presento las aplicaciones de la integral —área, volumen, trabajo, valor promedio— que pueden hacerse razonablemente sin técnicas especializadas de integración. Se enfatizan métodos generales. La meta es que los estudiantes sean capaces de dividir una cantidad en piezas reducidas, estimar con sumas de Riemann y reconocer el límite como una integral. 7 Técnicas de integración Se cubren todos los métodos estándar, aunque, desde luego, el verdadero reto es poder reconocer qué técnica es la que más conviene usar en una situación dada. En consecuencia, en la sección 7.5 presento una estrategia de integración. El uso de sistemas algebraicos computacionales se analiza en la sección 7.6. 8 Aplicaciones adicionales Aquí están las aplicaciones de la integral —longitud de arco y área de superficies— de la integración para las que es útil disponer de todas las técnicas de integración, así como aplicaciones a la biología, economía y física (energía hidrostática y centros de masa). También he incluido una sección sobre probabilidad. Hay muchas aplicaciones aquí que pueden ser cubiertas en términos realistas en un curso dado. Los profesores deben seleccionar aplicaciones convenientes para sus alumnos y para las que ellos mismos tengan entusiasmo. Prefacio xvii 9 Ecuaciones diferenciales El modelado es el tema que unifica este tratamiento introductorio de las ecuaciones diferenciales. Campos direccionales y método de Euler se estudian antes de que las ecuaciones separables y lineales se resuelvan explícitamente, de modo que a los métodos cualitativo, numérico y analítico se les da igual consideración. Estos métodos se aplican a los modelos exponencial, logístico y otros para el crecimiento de una población. Las cuatro o cinco primeras secciones de este capítulo sirven como una buena introducción a las ecuaciones diferenciales de primer orden. Una sección final opcional usa modelos de presa-depredador para ilustrar sistemas de ecuaciones diferenciales. 10 Ecuaciones paramétricas Este capítulo presenta curvas paramétricas y polares y aplica los métodos del cálculo en y coordenadas polares ellas. Las curvas paramétricas son adecuadas para proyectos de laboratorio; las dos que se presentan aquí implican a familias de curvas y curvas de Bézier. Un breve tratamiento de las secciones cónicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes de Kepler en el capítulo 13. 11 Sucesiones y series infinitas Las pruebas de convergencia tienen justificaciones intuitivas (véase la página 719), así como comprobaciones formales. Estimaciones numéricas de sumas de series se basan en la prueba que se haya usado para comprobar la convergencia. Se hace énfasis en la serie y polinomios de Taylor y sus aplicaciones a la física. Las estimaciones de error incluyen las de dispositivos de graficación. 12 Vectores y la geometría El material sobre geometría analítica tridimensional y vectores se divide en dos capítulos. El del espacio capítulo 12 trata con vectores, los productos punto y cruz, rectas, planos y superficies. 13 Funciones vectoriales Este capítulo cubre las funciones con vectores como valores, sus derivadas e integrales, la longitud y curvatura de curvas en el espacio y la velocidad y aceleración a lo largo de curvas en el espacio, lo que culmina con las leyes de Kepler. 14 Derivadas parciales Las funciones de dos o más variables se estudian desde el punto de vista verbal, numérico, visual y algebraico. En particular, presento las derivadas parciales examinando una columna específica de una tabla de valores del índice de calor (temperatura del aire percibida) como una función de la temperatura real y la humedad relativa. 15 Integrales múltiples Los mapas de contorno y la regla del punto medio se utilizan para estimar la nevada promedio y temperatura promedio de regiones dadas. Las integrales dobles y triples se emplean para calcular probabilidades, áreas de superficies y (en proyectos) volúmenes de hiperesferas y volúmenes de intersecciones de tres cilindros. Se presentan coordenadas cilíndricas y esféricas en el contexto de evaluar integrales triples. 16 Cálculo vectorial Los campos vectoriales se presentan mediante imágenes de campos de velocidad que muestran patrones de viento de la bahía de San Francisco. Se enfatizan las semejanzas entre el teorema fundamental para integrales de línea, el teorema de Green, el teorema de Stokes y el teorema de la divergencia. 17 Ecuaciones diferenciales Dado que las ecuaciones diferenciales de primer orden se cubren en el capítulo 9, este de segundo orden último capítulo trata con ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, su aplicación a resortes vibratorios y circuitos eléctricos y soluciones de series. Complementos Cálculo. Trascendentes tempranas, octava edición, se apoya en un conjunto completo de complementos desarrollados bajo mi dirección. Cada pieza ha sido diseñada para favorecer la comprensión del estudiante y facilitar la enseñanza creativa. Las tablas de las páginas xxi-xxii describen cada uno de estos complementos. xviii Prefacio Agradecimientos La preparación de esta y las ediciones previas ha implicado mucho tiempo dedicado a leer los consejos razonados (aunque a veces contradictorios) de un gran número de perspicaces revisores. Agradezco enormemente el tiempo que ellos destinaron a comprender mi motivación para el enfoque adoptado. He aprendido algo de cada uno de ellos. Revisores de la octava edición Jay Abramson, Arizona State University Adam Bowers, University of California San Diego Neena Chopra, The Pennsylvania State University Edward Dobson, Mississippi State University Isaac Goldbring, University of Illinois en Chicago Lea Jenkins, Clemson University Rebecca Wahl, Butler University Revisores de tecnología Maria Andersen, Muskegon Community College Eric Aurand, Eastfield College Joy Becker, University of Wisconsin–Stout Przemyslaw Bogacki, Old Dominion University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama en Huntsville Monica Brown, University of Missouri–St. Louis Roxanne Byrne, University of Colorado en Denver y Health Sciences Center Teri Christiansen, University of Missouri–Columbia Bobby Dale Daniel, Lamar University Jennifer Daniel, Lamar University Andras Domokos, California State University, Sacramento Timothy Flaherty, Carnegie Mellon University Lee Gibson, University of Louisville Jane Golden, Hillsborough Community College Semion Gutman, University of Oklahoma Diane Hoffoss, University of San Diego Lorraine Hughes, Mississippi State University Jay Jahangiri, Kent State University John Jernigan, Community College of Philadelphia Brian Karasek, South Mountain Community College Jason Kozinski, University of Florida Carole Krueger, The University of Texas en Arlington Ken Kubota, University of Kentucky John Mitchell, Clark College Donald Paul, Tulsa Community College Chad Pierson, University of Minnesota, Duluth Lanita Presson, University of Alabama en Huntsville Karin Reinhold, State University of New York en Albany Thomas Riedel, University of Louisville Christopher Schroeder, Morehead State University Angela Sharp, University of Minnesota, Duluth Patricia Shaw, Mississippi State University Carl Spitznagel, John Carroll University Mohammad Tabanjeh, Virginia State University CPT. Koichi Takagi, United States Naval Academy Lorna TenEyck, Chemeketa Community College Roger Werbylo, Pima Community College David Williams, Clayton State University Zhuan Ye, Northern Illinois University Revisores de ediciones anteriores B. D. Aggarwala, University of Calgary John Alberghini, Manchester Community College Michael Albert, Carnegie Mellon University Daniel Anderson, University of Iowa Amy Austin, Texas A&M University Donna J. Bailey, Northeast Missouri State University Wayne Barber, Chemeketa Community College Marilyn Belkin, Villanova University Neil Berger, University of Illinois, Chicago David Berman, University of New Orleans Anthony J. Bevelacqua, University of North Dakota Richard Biggs, University of Western Ontario Robert Blumenthal, Oglethorpe University Martina Bode, Northwestern University Barbara Bohannon, Hofstra University Jay Bourland, Colorado State University Philip L. Bowers, Florida State University Amy Elizabeth Bowman, University of Alabama en Huntsville Stephen W. Brady, Wichita State University Michael Breen, Tennessee Technological University Robert N. Bryan, University of Western Ontario David Buchthal, University of Akron Jenna Carpenter, Louisiana Tech University Jorge Cassio, Miami-Dade Community College Jack Ceder, University of California, Santa Barbara Scott Chapman, Trinity University Prefacio Zhen-Qing Chen, University of Washington—Seattle James Choike, Oklahoma State University Barbara Cortzen, DePaul University Carl Cowen, Purdue University Philip S. Crooke, Vanderbilt University Charles N. Curtis, Missouri Southern State College Daniel Cyphert, Armstrong State College Robert Dahlin M. Hilary Davies, University of Alaska Anchorage Gregory J. Davis, University of Wisconsin–Green Bay Elias Deeba, University of Houston–Downtown Daniel DiMaria, Suffolk Community College Seymour Ditor, University of Western Ontario Greg Dresden, Washington and Lee University Daniel Drucker, Wayne State University Kenn Dunn, Dalhousie University Dennis Dunninger, Michigan State University Bruce Edwards, University of Florida David Ellis, San Francisco State University John Ellison, Grove City College Martin Erickson, Truman State University Garret Etgen, University of Houston Theodore G. Faticoni, Fordham University Laurene V. Fausett, Georgia Southern University Norman Feldman, Sonoma State University Le Baron O. Ferguson, University of California—Riverside Newman Fisher, San Francisco State University José D. Flores, The University of South Dakota William Francis, Michigan Technological University James T. Franklin, Valencia Community College, East Stanley Friedlander, Bronx Community College Patrick Gallagher, Columbia University–New York Paul Garrett, University of Minnesota–Minneapolis Frederick Gass, Miami University of Ohio Bruce Gilligan, University of Regina Matthias K. Gobbert, University of Maryland, Baltimore County Gerald Goff, Oklahoma State University Stuart Goldenberg, California Polytechnic State University John A. Graham, Buckingham Browne & Nichols School Richard Grassl, University of New Mexico Michael Gregory, University of North Dakota Charles Groetsch, University of Cincinnati Paul Triantafilos Hadavas, Armstrong Atlantic State University Salim M. Haïdar, Grand Valley State University D. W. Hall, Michigan State University Robert L. Hall, University of Wisconsin–Milwaukee Howard B. Hamilton, California State University, Sacramento Darel Hardy, Colorado State University Shari Harris, John Wood Community College Gary W. Harrison, College of Charleston Melvin Hausner, New York University/Courant Institute Curtis Herink, Mercer University Russell Herman, University of North Carolina en Wilmington Allen Hesse, Rochester Community College Randall R. Holmes, Auburn University James F. Hurley, University of Connecticut Amer Iqbal, University of Washington—Seattle Matthew A. Isom, Arizona State University xix Gerald Janusz, University of Illinois en Urbana-Champaign John H. Jenkins, Embry-Riddle Aeronautical University, Prescott Campus Clement Jeske, University of Wisconsin, Platteville Carl Jockusch, University of Illinois en Urbana-Champaign Jan E. H. Johansson, University of Vermont Jerry Johnson, Oklahoma State University Zsuzsanna M. Kadas, St. Michael’s College Nets Katz, Indiana University Bloomington Matt Kaufman Matthias Kawski, Arizona State University Frederick W. Keene, Pasadena City College Robert L. Kelley, University of Miami Akhtar Khan, Rochester Institute of Technology Marianne Korten, Kansas State University Virgil Kowalik, Texas A&I University Kevin Kreider, University of Akron Leonard Krop, DePaul University Mark Krusemeyer, Carleton College John C. Lawlor, University of Vermont Christopher C. Leary, State University of New York en Geneseo David Leeming, University of Victoria Sam Lesseig, Northeast Missouri State University Phil Locke, University of Maine Joyce Longman, Villanova University Joan McCarter, Arizona State University Phil McCartney, Northern Kentucky University Igor Malyshev, San Jose State University Larry Mansfield, Queens College Mary Martin, Colgate University Nathaniel F. G. Martin, University of Virginia Gerald Y. Matsumoto, American River College James McKinney, California State Polytechnic University, Pomona Tom Metzger, University of Pittsburgh Richard Millspaugh, University of North Dakota Lon H. Mitchell, Virginia Commonwealth University Michael Montaño, Riverside Community College Teri Jo Murphy, University of Oklahoma Martin Nakashima, California State Polytechnic University, Pomona Ho Kuen Ng, San Jose State University Richard Nowakowski, Dalhousie University Hussain S. Nur, California State University, Fresno Norma Ortiz-Robinson, Virginia Commonwealth University Wayne N. Palmer, Utica College Vincent Panico, University of the Pacific F. J. Papp, University of Michigan–Dearborn Mike Penna, Indiana University–Purdue University Indianapolis Mark Pinsky, Northwestern University Lothar Redlin, The Pennsylvania State University Joel W. Robbin, University of Wisconsin–Madison Lila Roberts, Georgia College and State University E. Arthur Robinson, Jr., The George Washington University Richard Rockwell, Pacific Union College Rob Root, Lafayette College Richard Ruedemann, Arizona State University David Ryeburn, Simon Fraser University Richard St. Andre, Central Michigan University xx Prefacio Ricardo Salinas, San Antonio College Robert Schmidt, South Dakota State University Eric Schreiner, Western Michigan University Mihr J. Shah, Kent State University–Trumbull Qin Sheng, Baylor University Theodore Shifrin, University of Georgia Wayne Skrapek, University of Saskatchewan Larry Small, Los Angeles Pierce College Teresa Morgan Smith, Blinn College William Smith, University of North Carolina Donald W. Solomon, University of Wisconsin–Milwaukee Edward Spitznagel, Washington University Joseph Stampfli, Indiana University Kristin Stoley, Blinn College M. B. Tavakoli, Chaffey College Magdalena Toda, Texas Tech University Ruth Trygstad, Salt Lake Community College Paul Xavier Uhlig, St. Mary’s University, San Antonio Stan Ver Nooy, University of Oregon Andrei Verona, California State University–Los Angeles Klaus Volpert, Villanova University Russell C. Walker, Carnegie Mellon University William L. Walton, McCallie School Peiyong Wang, Wayne State University Jack Weiner, University of Guelph Alan Weinstein, University of California, Berkeley Theodore W. Wilcox, Rochester Institute of Technology Steven Willard, University of Alberta Robert Wilson, University of Wisconsin–Madison Jerome Wolbert, University of Michigan–Ann Arbor Dennis H. Wortman, University of Massachusetts, Boston Mary Wright, Southern Illinois University–Carbondale Paul M. Wright, Austin Community College Xian Wu, University of South Carolina Me gustaría agradecer además a R. B. Burckel, Bruce Colletti, David Behrman, John Dersch, Gove Effinger, Bill Emerson, Dan Kalman, Quyan Khan, Alfonso Gracia-Saz, Allan MacIsaac, Tami Martin, Monica Nitsche, Lamia Raffo, Norton Starr y Jim Trefzger por sus sugerencias; a Al Shenk y Dennis Zill por la autorización para usar ejercicios de sus textos de cálculo; a comap por su autorización para usar material para proyectos; a George Bergman, David Bleecker, Dan Clegg, Victor Kaftal, Anthony Lam, Jamie Lawson, Ira Rosenholtz, Paul Sally, Lowell Smylie y Larry Wallen por sus ideas para ejercicios; a Dan Drucker por el proyecto de carrera sobre ruedas; a Thomas Banchoff, Tom Farmer, Fred Gass, John Ramsay, Larry Riddle, Philip Straffin y Klaus Volpert por sus ideas para proyectos; a Dan Anderson, Dan Clegg, Jeff Cole, Dan Drucker y Barbara Frank por resolver los ejercicios nuevos y sugerir maneras de mejorarlos; a Marv Riedesel y Mary Johnson por su precisión en la lectura de pruebas; a Andy Bulman-Fleming, Lothar Redlin, Gina Sanders y Saleem Watson por la lectura de pruebas adicional, y a Jeff Cole y Dan Clegg por su cuidadosa preparación y lectura de pruebas del manuscrito de respuestas. Agradezco además a quienes contribuyeron en ediciones anteriores: Ed Barbeau, George Bergman, Fred Brauer, Andy Bulman-Fleming, Bob Burton, David Cusick, Tom DiCiccio, Garret Etgen, Chris Fisher, Leon Gerber, Stuart Goldenberg, Arnold Good, Gene Hecht, Harvey Keynes, E. L. Koh, Zdislav Kovarik, Kevin Kreider, Emile LeBlanc, David Leep, Gerald Leibowitz, Larry Peterson, Mary Pugh, Lothar Redlin, Carl Riehm, John Ringland, Peter Rosenthal, Dusty Sabo, Doug Shaw, Dan Silver, Simon Smith, Saleem Watson, Alan Weinstein y Gail Wolkowicz. Gracias también a Kathi Townes, Stephanie Kuhns, Kristina Elliott y Kira Abdallah de TECHarts por sus servicios de producción y a los empleados siguientes de Cengage Learning: Cheryll Linthicum, gerente de proyectos de contenido; Stacy Green, desarrolladora de contenido titular; Samantha Lugtu, desarrolladora de contenido asociada; Stephanie Kreuz, asistente de producto; Lynh Pham, desarrolladora de medios; Ryan Ahern, gerente de mercadotecnia, y Vernon Boes, director de arte. Todos ellos hicieron un trabajo sobresaliente. He tenido la enorme suerte de trabajar con algunos de los mejores editores de matemáticas en el ramo en las últimas tres décadas: Ron Munro, Harry Campbell, Craig Barth, Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt, Bob Pirtle, Richard Stratton, Liz Covello y ahora Neha Taleja. Todos ellos han contribuido ampliamente en el éxito de este libro. james stewart Complementos para profesores Manual del instructor (Instructor’s Guide)* Por Douglas Shaw ISBN 978-1-305-39371-4 Cada sección de este texto es analizada desde varios puntos de vista. Instructor’s Guide contiene tiempo sugerido por asignar, puntos por enfatizar, temas de análisis del texto, materiales básicos para exponer en clase, sugerencias de talleres/debates, ejercicios de trabajo grupal en forma conveniente para su distribución y sugerencias de tareas. Manual de soluciones completas (Complete Solutions Manual)* Single Variable Early Transcendentals* ISBN 978-1-305-27262-0 Multivariable* ISBN 978-1-305-38699-0 Incluye soluciones desarrolladas de todos los ejercicios en el texto. Printed Test Bank* Por William Steven Harmon ISBN 978-1-305-38722-5 Contiene elementos de exámenes de opción múltiple y respuesta libre específicos del texto. Cengage Learning Testing Powered by Cognero* (login.cengage.com) Este sistema en línea flexible le permite crear, editar y gestionar contenido del banco de exámenes con base en múltiples soluciones de Cengage Learning; crear múltiples versiones de exámenes en un instante y aplicar exámenes desde su LMS, salón de clases o donde usted quiera. TOOLS FOR ENRICHING™ CALCULUS* Por James Stewart, Harvey Keynes, Dan Clegg y el desarrollador Hubert Hohn Tools for Enriching Calculus (TEC) funciona como una herramienta eficaz para profesores lo mismo que como un entorno tutorial en que los estudiantes pueden explorar y repasar temas selectos. Los módulos de simulación Flash en TEC incluyen instrucciones, explicaciones por escrito y en audio de los conceptos y ejercicios. TEC está disponible en el eBook vía CourseMate y Enhanced WebAssign. Visuals y Modules especiales pueden conseguirse en www.stewartcalculus.com. Enhanced WebAssign® www.webassign.net Código de acceso impreso: ISBN 978-1-285-85826-5 Código de acceso instantáneo: ISBN 978-1-285-85825-8 Exclusivamente de Cengage Learning, Enhanced WebAssign ofrece un amplio programa en línea para el Cálculo de Stewart a fin de alentar la práctica decisiva para el dominio de conceptos. La pedagogía meticulosamente elaborada y los ejercicios de nuestros textos probados se vuelven aún más efectivos en Enhanced WebAssign, complementados por apoyo tutorial en multimedia y retroalimentación inmediata a medida que los estudiantes completan sus tareas. Las características clave incluyen: n n n n n Complementos para profesores y estudiantes Stewart Website* www.stewartcalculus.com Contenido: Homework Hints n Algebra Review n Additional Topics n Drill Exercises n Challenge Problems n Web Links n History of Mathematics n Tools for Enriching Calculus (TEC) n n n Miles de problemas de tarea que coinciden con los ejercicios de fin de sección del libro de texto Oportunidades para que los alumnos repasen habilidades y contenido de prerrequisito tanto al principio del curso como al principio de cada sección Páginas del eBook Read It, videos Watch It, tutoriales Master It y vínculos Chat About It Un YouBook de Cengage personalizable con características para resaltar, tomar apuntes y buscar, así como con vínculos a recursos multimedia Personal Study Plans (basados en exámenes de diagnóstico) que identifican temas de capítulos que los estudiantes deberán dominar Un Answer Evaluator de WebAssign que reconoce y acepta respuestas matemáticas equivalentes en la misma forma en que un profesor califica Una característica de Show My Work que da a los profesores la opción de ver soluciones detalladas de los alumnos Visualizing Calculus Animations, Lecture Videos y más *Este material se encuentra disponible en inglés. Visite www.cengage.com para acceder a estos recursos. n Elementos electrónicos n Elementos impresos (La tabla continúa en la página xxii) xxi Cengage Customizable YouBook* YouBook es un eBook tanto interactivo como personalizable. Con todo el contenido del Cálculo de Stewart, YouBook ofrece una herramienta de edición de texto que permite a los profesores modificar la narración del libro de texto conforme sea necesario. Con YouBook, los profesores pueden reordenar rápidamente secciones y capítulos enteros o esconder contenido que no imparten para crear un eBook que se ajuste a la perfección a su curso. Los profesores pueden personalizar adicionalmente el texto añadiendo vínculos de video creados por ellos mismos o de YouTube. Elementos adicionales de medios incluyen figuras animadas, videoclips, características para resaltar y tomar apuntes y más. YouBook está disponible en Enhanced WebAssign. CourseMate* CourseMate es una perfecta herramienta de estudio personal para los alumnos y no requiere preparación alguna de los profesores. CourseMate da vida a conceptos del curso con herramientas interactivas de aprendizaje, estudio y preparación para exámenes que prestan apoyo al libro de texto impreso. CourseMate para el Cálculo de Stewart incluye un eBook interactivo, Tools for Enriching Calculus, videos, exámenes, tarjetas de conceptos y más. Para los profesores, CourseMate incluye Engagement Tracker, una herramienta única en su tipo que monitorea la participación de los estudiantes. CengageBrain.com* Para tener acceso a materiales adicionales de cursos, visite por favor www.cengagebrain.com. En la página principal de CengageBrain.com, busque el ISBN de su título (en el reverso de su libro) usando el cuadro de búsqueda en la parte superior de la página. Esto lo llevará a la página del producto donde pueden encontrarse estos recursos. Complementos para estudiantes Manual de soluciones para el estudiante (Student Solutions Manual)* Single Variable Early Transcendentals ISBN 978-1-305-27263-7 Multivariable ISBN 978-1-305-38698-3 Proporciona soluciones completamente elaboradas de todos los ejercicios de número impar del texto, dando a los estudiantes la oportunidad de verificar sus respuestas y cerciorarse de haber dado los pasos correctos para llegar a la respuesta. El Student Solutions Manual se puede ordenar o acceder a él en línea como un eBook en www.cengagebrain.com buscando el ISBN. Study Guide* Single Variable Early Transcendentals Por Richard St. Andre ISBN 978-1-305-27914-8 Multivariable* Por Richard St. Andre ISBN 978-1-305-27184-5 Para cada sección del texto, la Study Guide ofrece a los estudiantes una breve introducción, una lista corta de conceptos por dominar y preguntas de resumen y concentración con respuestas explicadas. La Study Guide también contiene pruebas de autoaplicación con preguntas tipo examen. La Study Guide se puede ordenar o acceder a ella en línea como un eBook en www.cengagebrain.com buscando el ISBN. A Companion to Calculus* Por Dennis Ebersole, Doris Schattschneider, Alicia Sevilla y Kay Somers ISBN 978-0-495-01124-8 Escrito para mejorar habilidades de álgebra y resolución de problemas de los estudiantes que toman un curso de álgebra, cada capítulo de este complemento está dirigido a un tema de cálculo, ofreciendo fundamentos conceptuales y técnicas específicas de álgebra necesarios para entender y resolver problemas de cálculo relacionados con ese tema. Está diseñado para cursos de cálculo que integran el repaso de conceptos de precálculo o para uso individual. Pida un ejemplar del texto o acceda al eBook en línea en www.cengagebrain.com buscando el ISBN. Linear Algebra for Calculus* Por Konrad J. Heuvers, William P. Francis, John H. Kuisti, Deborah F. Lockhart, Daniel S. Moak y Gene M. Ortner ISBN 978-0-534-25248-9 Este libro es muy completo, diseñado para complementar el curso de cálculo, ofrece una introducción y repaso de las ideas básicas del álgebra lineal. Pida un ejemplar del texto o acceda al eBook en línea en www.cengagebrain.com buscando el ISBN. *Este material se encuentra disponible en inglés. Visite www.cengage.com para acceder a estos recursos. n Elementos electrónicos xxii n Elementos impresos Al estudiante Leer un libro de texto de cálculo es diferente a leer un periódico o una novela, o incluso un libro de física. No se desanime si tiene que leer un pasaje más de una vez para comprenderlo. Debería tener lápiz y papel y una calculadora a la mano para trazar un diagrama o hacer un cálculo. Algunos estudiantes comienzan probando sus problemas de tarea y leen el texto solo si se atoran en un ejercicio. Yo sugiero que un plan mucho mejor es leer y comprender una sección del texto antes de intentar hacer los ejercicios. En particular, usted debería examinar las definiciones para ver los significados exactos de los términos. Y antes de leer cada ejemplo, sugiero que cubra la solución e intente resolver el problema usted mismo. Obtendrá mucho más al estudiar la solución si lo hace así. Parte de la finalidad de este curso es estimular su pensamiento lógico. Aprenda a escribir las soluciones de los ejercicios en forma coherente paso a paso, con oraciones explicatorias, no solo como una cadena de ecuaciones o fórmulas inconexas. Las respuestas a los ejercicios con número impar aparecen al final del libro, en el apéndice I. Algunos ejercicios piden una explicación, interpretación o descripción verbal. En esos casos, no existe una manera correcta y única de expresar la respuesta, así que no se preocupe si no ha encontrado la respuesta definitiva. Además, hay varias formas en las cuales expresar una respuesta numérica o algebraica, así que si su respuesta difiere de la mía, no suponga de inmediato que está equivocado. Por ejemplo, si la respuesta dada al final del libro es s2 2 1 y usted obtiene 1/(11 s2), entonces usted está en lo correcto y racionalizar el denominador mostrará que las respuestas son equivalentes. El icono indica un ejercicio que definitivamente requiere el uso de una calculadora graficadora o una computadora con software de graficación. Pero eso no significa que dispositivos de graficación no puedan usarse también para verificar su trabajo en los demás ejercicios. El símbolo se reserva a problemas en los que son requeridos los recursos completos de un sistema algebraico computacional (como Maple, Mathematica o el TI-89). Usted también encontrará el símbolo , el cual lo previene de cometer un error. He puesto este símbolo al margen en situaciones en que he observado que una gran proporción de mis estudiantes tiende a cometer el mismo error. Tools for Enriching Calculus, que es un complemento de este texto, se refiere por medio del símbolo y puede ser consultado en el eBook vía Enhanced WebAssign y CourseMate (Visuals y Modules selectos están disponibles en www.stewartcalculus.com). Esto lo dirige a usted a módulos en los que puede explorar aspectos del cálculo para los cuales la computadora es particularmente útil. Notará que algunos números de ejercicios están impresos en gris: 5. Esto indica que Homework Hints están disponibles para el ejercicio. Estas sugerencias pueden hallarse en stewartcalculus.com así como en Enhanced WebAssign y CourseMate. Las sugerencias de tareas hacen preguntas que le permiten realizar progresos hacia una solución sin realmente darle la respuesta. Usted debe seguir cada sugerencia en forma activa con lápiz y papel para resolver los detalles. Si una sugerencia particular no le permite resolver el problema, puede hacer clic para revelar la sugerencia siguiente. Le recomiendo conservar este libro para efectos de consulta después de terminar el curso. Dado que es probable que olvide algunos de los detalles específicos del cálculo, el libro servirá como un recordatorio útil cuando deba usar el cálculo en cursos subsecuentes. Y como este libro contiene más material del que puede cubrirse en un curso, también puede servir como un valioso recurso para un científico o ingeniero en ejercicio profesional. El cálculo es un tema muy interesante, con justicia considerado uno de los grandes logros del intelecto humano. Espero que usted descubra que es no solo útil, sino también intrínsecamente bello. james stewart xxiii xxiv © Dan Clegg Usted también puede emplear software de computación como Graphing Calculator de Pacific Tech (www.pacifict.com) para ejecutar muchas de esas funciones, lo mismo que aplicaciones para teléfonos y tabletas como Quick Graph (Colombiamug) o Math-Studio (Pomegranate Apps). Funcionalidad similar está disponible usando una interfaz web en WolframAlpha.com. Los adelantos en tecnología siguen ofreciendo una variedad de herramientas cada vez más amplia para hacer matemáticas. Las calculadoras de bolsillo se han vuelto más potentes, lo mismo que los programas de software y los recursos en internet. Además, muchas aplicaciones matemáticas han sido lanzadas para teléfonos inteligentes y tabletas como la iPad. Algunos ejercicios de este texto están marcados con un icono de graficación , que indica que el uso de alguna tecnología es requerido. A menudo esto significa que se desea que un dispositivo de graficación se use para dibujar la gráfica de una función o ecuación. Usted podría necesitar también tecnología para determinar los ceros de una gráfica o los puntos de intersección de dos gráficas. En algunos casos se usará un dispositivo de cálculo para resolver una ecuación o evaluar numéricamente una integral definida. Muchas calculadoras científicas y graficadoras llevan integradas estas características, como la Texas Instruments TI-84 o TI-Nspire CX. Calculadoras similares son fabricadas por Hewlett Packard, Casio y Sharp. © Dan Clegg © Dan Clegg Calculadoras, computadoras y otros dispositivos de graficación se reserva a problemas en los que son requeridos los El icono recursos completos de un sistema algebraico computacional (sac). Un sac es capaz de hacer matemáticas (como resolver ecuaciones, calcular derivadas o integrales) simbólicamente más que solo numéricamente. Ejemplos de sistemas algebraicos computacionales firmemente establecidos son los paquetes de software de computación Maple y Mathematica. El sitio web de WolframAlpha usa el motor de Mathematica para proporcionar funcionalidad sac vía la web. Muchas calculadoras graficadoras de bolsillo tienen capacidades del sac, como la TI-89 y TI-Nspire CX CAS de Texas Instruments. Algunas aplicaciones para tabletas y teléfonos inteligentes brindan estas capacidades, como el ya mencionado MathStudio. © Dan Clegg © Dan Clegg © Dan Clegg En general, cuando se usa el término “calculadora” en este libro, se refiere al uso de cualquiera de los recursos que se han mencionado. xxv Pruebas de diagnóstico El éxito en cálculo depende en gran medida del conocimiento de las matemáticas que preceden al cálculo: álgebra, geometría analítica, funciones y trigonometría. Las pruebas siguientes buscan diagnosticar debilidades que usted podría tener en esas áreas. Después de realizar cada prueba, puede verificar sus respuestas contra las respuestas dadas y, si es necesario, reactivar sus habilidades remitiéndose a los materiales de repaso provistos. A Prueba de diagnóstico: álgebra 1. Evalúe cada expresión sin usar una calculadora. (a) s23d4 (d) (b) 234 5 23 5 21 (e) SD 2 3 (c) 324 22 (f) 16 23y4 2. Simplifique cada expresión. Escriba su respuesta sin exponentes negativos. (a) s 200 ] s 32 (b) s3a 3b 3 ds4ab 2 d 2 (c) S 3x 3y2 y 3 x 2 y21y2 D 22 3. Desarrolle y simplifique. (a) 3sx 1 6d 1 4s2x 2 5d (b) sx 1 3ds4x 2 5d (c) ss a 1 s b dssa 2sb d (d) s2x 1 3d2 (e) s x 1 2d3 4. Factorice cada expresión. (a) 4x 2 2 25 (b) 2x 2 1 5x 2 12 (c) x 3 2 3x 2 2 4x 1 12 (d) x 4 1 27x (e) 3x 3y2 2 9x 1y2 1 6x 21y2 (f) x 3 y 2 4xy 5. Simplifique la expresión racional. xxvi (a) x 2 1 3x 1 2 x2 2 x 2 2 (c) x11 x2 2 x2 2 4 x12 2x 2 2 x 2 1 x13 ? x2 2 9 2x 1 1 y x 2 x y (d) 1 1 2 y x (b) Pruebas de diagnóstico 6. Racionalice la expresión y simplifique. (a) s10 s5 2 2 (b) s4 1 h 2 2 h 7. Reescriba completando el cuadrado. (a) x 2 1 x 1 1 (b) 2x 2 2 12x 1 11 8. Resuelva la ecuación. (Halle solo las soluciones reales.) (c) x 2 2 x 2 12 5 0 2x 2x 2 1 5 x11 x (d) 2x 2 1 4x 1 1 5 0 (e) x 4 2 3x 2 1 2 5 0 (f) 3 x 2 4 5 10 (a) x 1 5 5 14 2 12 x (g) 2xs4 2 xd 21y2 (b) | 2 3 s4 2 x 5 0 | 9. Resuelva cada desigualdad. Escriba su respuesta usando notación de intervalos. (b) x 2 , 2x 1 8 (d) x 2 4 , 3 (a) 24 , 5 2 3x < 17 (c) xsx 2 1dsx 1 2d . 0 | 2x 2 3 (e) <1 x11 | 10. Diga si cada ecuación es verdadera o falsa. (b) sab 5 sa sb 1 1 TC 511T (d) C 1yx 1 (f) 5 ayx 2 byx a2b (a) s p 1 qd2 5 p 2 1 q 2 (c) sa 2 1 b 2 5 a 1 b (e) 1 1 1 5 2 x2y x y RESPUESTAS DE LA PRUEBA DE DIAGNÓSTICO A: ÁLGEBRA (a) 81 (b) 281 (c) (d) 25 (e) 9 4 (f) (a) 6s2 (b) 48a 5b7 (c) 1 81 1 8 x 9y7 (a) 11x 2 2 (b) 4x 2 1 7x 2 15 (c) a 2 b (d) 4x 2 1 12x 1 9 3 2 (e) x 1 6x 1 12x 1 8 (a) s2x 2 5ds2x 1 5d (c) sx 2 3dsx 2 2dsx 1 2d (e) 3x21y2sx 2 1dsx 2 2d x12 x22 1 (c) x22 (a) (b) s2x 2 3dsx 1 4d (d) xsx 1 3dsx 2 2 3x 1 9d (f) xysx 2 2dsx 1 2d (b) x21 x23 (d) 2sx 1 yd 1 (a) 5s2 1 2s10 (b) (a) s x 1 12 d 1 34 (b) 2sx 2 3d2 2 7 2 (a) 6 (d) 21 6 (g) 12 5 1 2 s2 (b) 1 (c) 23, 4 (e) 61, 6s2 (f) 23 , 22 3 (a) f24, 3d (c) s22, 0d ø s1, `d (e) s21, 4g (a) Falso (d) Falso s4 1 h 1 2 (b) s22, 4d (d) s1, 7d (b) Verdadero (e) Falso Si tuvo dificultad con estos problemas, consulte el repaso de álgebra en el sitio web www.stewartcalculus.com. (c) Falso (f) Verdadero xxvii xxviii Pruebas de diagnóstico B Prueba de diagnóstico: geometría analítica 1. Determine una ecuación para la recta que pasa por el punto (2, ]5) y (a) tiene pendiente ]3 (b) es paralela al eje x (c) es paralela al eje y (d) es paralela a la recta 2x ] 4y 5 3 2. Determine una ecuación para la circunferencia que tiene centro (]1, 4) y pasa por el punto (3, ]2). 3. Determine el centro y radio de la circunferencia con ecuación x2 1 y2 ] 6x 1 10y 1 9 5 0. 4. Sean A(]7, 4) y B(5, ]12) puntos en el plano. (a) Halle la pendiente de la recta que contiene a A y B. (b) Encuentre una ecuación de la recta que pasa por A y B. ¿Cuáles son las intersecciones? (c) Halle el punto medio del segmento AB. (d) Halle la longitud del segmento AB. (e) Encuentre una ecuación de la bisectriz perpendicular a AB. (f) Encuentre una ecuación de la circunferencia para el que AB es un diámetro. 5. Trace la región en el plano xy definida por la ecuación o desigualdades. (a) 21 < y < 3 (c) y , 1 2 (b) 1 2x |x| , 4 y |y| , 2 (d) y > x 2 2 1 (e) x 2 1 y 2 , 4 (f) 9x 2 1 16y 2 5 144 RESPUESTAS DE LA PRUEBA DE DIAGNÓSTICO B: GEOMETRÍA ANALÍTICA (a) y 5 23x 1 1 (b) y 5 25 (c) x 5 2 (d) y 5 12 x 2 6 (a) 3 sx 1 1d2 1 s y 2 4d2 5 52 x _1 234 4x 1 3y 1 16 5 0; intersección en x 5 24, intersección en y 5 2 16 3 s21, 24d 20 3x 2 4y 5 13 sx 1 1d2 1 s y 1 4d2 5 100 (d) _4 1 0 (e) 4x 0 1 x (f) y 2 _1 y 1 y=1- 2 x 2 x _2 y 0 (c) y 2 0 Centro s3, 25d, radio 5 (a) (b) (c) (d) (e) (f) (b) y 0 ≈+¥=4 2 y=≈-1 Si tuvo dificultad con estos problemas, consulte el repaso de geometría analítica en los apéndices B y C. x y 3 0 4 x xxix Pruebas de diagnóstico C Prueba de diagnóstico: funciones 1. La gráfica de una función f se da a la izquierda. (a) Enuncie el valor de f (]1). (b) Estime el valor de f (2). (c) ¿Para cuáles valores de x es f (x) 5 2? (d) Estime los valores de x tales que f (x) 5 0. (e) Enuncie el dominio y rango de f. f s2 1 hd 2 f s2d 2. Si f (x) 5 x3, evalúe el cociente de diferencia y simplifique su respuesta. h 3. Determine el dominio de cada función. y 1 0 1 x FIGURA PARA EL PROBLEMA 1 (a) f sxd 5 2x 1 1 x2 1 x 2 2 (b) tsxd 5 3 x s x2 1 1 (c) hsxd 5 s4 2 x 1 sx 2 2 1 4. ¿Cómo se obtienen las gráficas de las siguientes funciones a partir de la gráfica de f ? (a) y 5 2f sxd (b) y 5 2 f sxd 2 1 (c) y 5 f sx 2 3d 1 2 5. Sin usar una calculadora, haga un diagrama preliminar de la gráfica. (a) y 5 x 3 (d) y 5 4 2 x 2 (g) y 5 22 x (b) y 5 sx 1 1d3 (e) y 5 sx (h) y 5 1 1 x21 (c) y 5 sx 2 2d3 1 3 (f) y 5 2 sx H 2 si x < 0 6. Sea f sxd 5 1 2 x 2x 1 1 si x . 0 (a) Evalúe f (]2) y f (1). (b) Trace la gráfica de f. 7. Si f sxd 5 x 1 2x 2 1 y tsxd 5 2x 2 3, determine cada una de las funciones siguientes. 2 (a) f 8 t (b) t 8 f (c) t 8 t 8 t RESPUESTAS DE LA PRUEBA DE DIAGNÓSTICO C: FUNCIONES (a) 22 (c) 23, 1 (e) f23, 3g, f22, 3g (b) 2.8 (d) 22.5, 0.3 (a) 0 4. (a) Refleje a través del eje x (b) Prolongue verticalmente por un factor de 2 y luego desplace 1 unidad hacia abajo (c) Desplace 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba (d) (g) 1 x 2 0 _1 (e) (h) x 1 x 1 x y 1 0 1 x 0 0 (f) y 0 x y _1 y 1 y 4 0 (c) y 1 12 1 6h 1 h 2 (a) s2`, 22d ø s22, 1d ø s1, `d (b) s2`, `d (c) s2`, 21g ø f1, 4g (b) y x y 0 1 x xxx Pruebas de diagnóstico (a) 23, 3 (b) (a) s f 8 tdsxd 5 4x 2 2 8x 1 2 (b) s t 8 f dsxd 5 2x 2 1 4x 2 5 y 1 _1 0 (c) s t 8 t 8 tdsxd 5 8x 2 21 x Si tuvo dificultad con estos problemas, examine las secciones 1.1-1.3 de este libro. D Prueba de diagnóstico: trigonometría 1. Convierta de grados a radianes. (a) 300° (b) ]18° 2. Convierta de radianes a grados. (a) 5y6 (b) 2 3. Determine la longitud de un arco de un círculo con radio 12 cm si el arco subtiende un ángulo central de 30°. 4. Determine los valores exactos. (a) tans y3d (b) sens7 y6d (c) secs5 y3d 5. Exprese las longitudes de a y b en la figura en términos de . 24 6. Si sen x 5 13 y sec y 5 54, donde x y y se sitúan entre 0 y y2, evalúe sen(x 1 y). a 7. Compruebe las identidades. ¨ b FIGURA PARA EL PROBLEMA 5 (a) tan sen 1 cos 5 sec (b) 2 tan x 5 sen 2x 1 1 tan 2x 8. Determine todos los valores de x tales que sen 2x 5 sen x y 0 ø x ø 2. 9. Trace la gráfica de la función y 5 1 1 sen 2x sin usar una calculadora. RESPUESTAS DE LA PRUEBA DE DIAGNÓSTICO D: TRIGONOMETRÍA s4 1 6 s2 d (a) 5 y3 (b) 2 y10 1 15 (a) 1508 (b) 3608y < 114.68 0, y3, , 5 y3, 2 2 cm 221 (a) s3 (b) (a) 24 sen (b) 24 cos y 2 (c) 2 _π 0 π x Si tuvo dificultad con estos problemas, examine el apéndice D de este libro. Un adelanto del cálculo Cuando termine este curso, será capaz de calcular la longitud de la curva utilizada para diseñar el Gateway Arch en St. Louis, determinar dónde un piloto debe iniciar el descenso para un aterrizaje suave, calcular la fuerza sobre un bate de béisbol cuando golpea la pelota y medir la cantidad de luz captada por el ojo humano conforme cambia el tamaño de la pupila. EL CÁLCULO ES FUNDAMENTALMENTE DIFERENTE DE las matemáticas que ha estudiado anteriormente: el cálculo es menos estático y más dinámico. Se ocupa de los cambios y del movimiento; estudia cantidades que se aproximan a otras cantidades. Por eso puede ser útil tener una visión general del tema antes de comenzar su estudio intensivo. Aquí se da un vistazo de algunas de las ideas principales del cálculo, se muestran cómo surge el concepto de límite cuando se intentan resolver diferentes problemas. 1 Stewart_ch00_001-008.indd 1 08/06/17 12:50 p.m. 2 UN ADELANTO DEL CÁLCULO El problema del área A¡ Los orígenes del cálculo se remontan a unos 2500 años a los antiguos griegos, quienes calcularon áreas usando el “método de agotamiento”. Los griegos sabían cómo encontrar el área de cualquier polígono al dividirlo en triángulos como se ve en la figura 1 y sumar las áreas de estos triángulos. Un problema mucho más difícil es encontrar el área encerrada por una figura curvada. El método griego de agotamiento consistía en inscribir y circunscribir polígonos en la figura y luego aumentar el número de lados de los polígonos. La figura 2 ilustra este proceso para el caso especial de un círculo con polígonos regulares inscritos. A∞ A™ A¢ A£ A=A¡+A™+A£+A¢+A∞ FIGURA 1 A£ A¢ A∞ Aß A¶  A¡™  FIGURA 2 Sea An el área del polígono inscrito con n lados. A medida que aumenta n, el área se parece cada vez más y más al área del círculo. Se dice que el área del círculo es el límite de las áreas de los polígonos inscritos, y se escribe TEC En Preview Visual, puede ver cómo las áreas de los polígonos inscritos y circunscritos se aproximan al área del círculo. A − lím An n:` Los griegos no utilizaron de manera explícita el concepto de límite. Sin embargo, por razonamiento indirecto, Eudoxo (siglo v a. C.) utilizó la técnica de agotamiento para demostrar la conocida fórmula para el área de un círculo: A 5 pr2. En el capítulo 5 se utilizará una idea similar para encontrar las áreas de regiones del tipo que se muestra en la figura 3. Se aproximará al área deseada por medio de áreas de rectángulos (como en la figura 4), disminuyendo el ancho de los rectángulos y luego calculando el área A como el límite de estas sumas de áreas de rectángulos. y y y (1, 1) y (1, 1) (1, 1) (1, 1) y=≈ A 0 FIGURA 3 1 x 0 1 4 1 2 3 4 1 x 0 1 x 0 1 n 1 x FIGURA 4 El problema del área es el problema central en la rama del cálculo llamado cálculo integral. Las técnicas que se desarrollarán en el capítulo 5 para encontrar áreas también permitirán calcular el volumen de un sólido, la longitud de una curva, la fuerza de las aguas contra una presa, la masa y el centro de gravedad de una varilla y el trabajo realizado al bombear agua hacia afuera de un tanque. El problema de la tangente Considere el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente t a una curva con ecuación y 5 f(x) en un punto dado P. (En el capítulo 2 se dará una definición precisa de una recta tangente. Por ahora la puede considerar como una recta que toca la curva en P Stewart_ch00_001-008.indd 2 08/06/17 12:50 p.m. 3 UN ADELANTO DEL CÁLCULO como en la figura 5.) Como se sabe que el punto P se encuentra en la recta tangente, se puede encontrar la ecuación de t si se sabe su pendiente m. El problema es que se necesitan dos puntos para calcular la pendiente y se tiene solo un punto P de t. Como una solución alternativa al problema se encuentra en primer lugar una aproximación a m tomando un punto cercano Q de la curva y se calcula la pendiente mPQ de la recta secante PQ. De la figura 6 se ve que y t y=ƒ P 0 x FIGURA 5 La recta tangente en P mPQ 5 t Q { x, ƒ} ƒ-f(a) P { a, f(a)} m − lím mPQ Q :P x-a a f sxd 2 f sad x2a Ahora imagine que Q se mueve a lo largo de la curva hacia P como en la figura 7. Puede verse que la recta secante gira y se acerca a la recta tangente como su posición límite. Esto significa que la pendiente de la recta secante se acerca más y más a la pendiente mPQ de la recta tangente. Escriba y 0 1 x x FIGURA 6 La recta secante PQ y diga que m es el límite de mPQ cuando Q se aproxima a P a lo largo de la curva. Puesto que x se aproxima a a cuando Q se aproxima a P, también se puede utilizar la ecuación 1 para escribir 2 m − lím x:a f sxd 2 f sad x2a y t Q P 0 x FIGURA 7 Recta secante aproximándose a la recta tangente En el capítulo 2 se verán ejemplos específicos de este procedimiento. El problema de la tangente ha dado lugar a la rama del cálculo llamada cálculo diferencial, inventada más de 2000 años después que el cálculo integral. Las principales ideas detrás del cálculo diferencial se deben al matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665) y fueron desarrolladas por los matemáticos ingleses John Wallis (1616-1703), Isaac Barrow (1630-1677) e Isaac Newton (1642-1727); y el matemático alemán Gottfried Leibniz (1646-1716). Las dos ramas de cálculo y sus principales problemas, el problema del área y el problema de la tangente, parecen ser muy diferentes, pero resulta que hay una conexión muy estrecha entre ellas. El problema de la tangente y el área son problemas inversos en un sentido que se describe en el capítulo 5. Velocidad Cuando se ve el velocímetro de un automóvil y se lee que se está desplazando a 48 km/h, ¿qué información se obtiene? Si la velocidad se mantiene constante, después de una hora se habrá desplazado 48 km. Pero, si la velocidad del auto varía, ¿qué significa decir que la velocidad en un instante dado es 48 km/h? Para analizar esta situación, examine el caso de un automóvil que viaja a lo largo de una carretera recta en el que se supone que es posible medir la distancia recorrida por el vehículo (en metros) a intervalos de un segundo como se registra en la tabla siguiente: Stewart_ch00_001-008.indd 3 t 5 tiempo transcurrido (s) 0 1 2 3 4 5 d 5 distancia (m) 0 2 9 24 42 71 08/06/17 12:50 p.m. 4 UN ADELANTO DEL CÁLCULO Un primer paso para determinar la velocidad una vez que han transcurrido 2 segundos, es encontrar la velocidad promedio durante el intervalo 2 < t < 4: cambio en la posición tiempo transcurrido velocidad promedio − 42 2 9 422 − − 16.5 mys Del mismo modo, la velocidad promedio en el intervalo 2 < t < 3 es velocidad promedio − 24 2 9 − 15 mys 322 Se tiene la sensación de que la velocidad en el instante t 5 2 no puede ser muy diferente de la velocidad promedio durante un corto intervalo de tiempo desde t 5 2. Así que imagine que se ha medido la distancia recorrida en intervalos de tiempo de 0.1 segundo como se ve en la tabla siguiente: t 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 d 9.00 10.02 11.16 12.45 13.96 15.80 Entonces se puede calcular, por ejemplo, la velocidad promedio en el intervalo de tiempo [2, 2.5]: velocidad promedio − 15.80 2 9.00 − 13.6 mys 2.5 2 2 Los resultados de estos cálculos se muestran en la tabla siguiente: Intervalo de tiempo f2, 3g f2, 2.5g f2, 2.4g f2, 2.3g f2, 2.2g f2, 2.1g Velocidad promedio (m/s) 15.0 13.6 12.4 11.5 10.8 10.2 Las velocidades promedio durante intervalos sucesivamente más pequeños parecen estar aproximándose cada vez más a un número cercano a 10 y, por tanto, se esperaría que la velocidad exactamente en t 5 2 fuera de 10 m/s. En el capítulo 2 se definirá la velocidad instantánea de un objeto en movimiento, como el valor límite de las velocidades promedio durante intervalos de tiempo cada vez más pequeños. En la figura 8 se muestra una representación gráfica del movimiento del automóvil al trazar la distancia recorrida como función del tiempo. Si se escribe d 5 f(t), entonces f(t) es el número de metros recorridos después de t segundos. La velocidad promedio en el intervalo de tiempo [2, t] es d Q { t, f(t)} velocidad promedio − que es lo mismo que la pendiente de la recta secante PQ en la figura 8. La velocidad y cuando t 5 2 es el valor límite de esta velocidad promedio cuando t se aproxima a 2; es decir, 20 10 0 P { 2, f(2)} 1 2 FIGURA 8 Stewart_ch00_001-008.indd 4 3 4 cambio en la posición f std 2 f s2d − tiempo transcurrido t22 5 t v − lím t:2 f std 2 f s2d t22 y de la ecuación 2 se reconoce que esta es igual a la pendiente de la recta tangente a la curva en P. 08/06/17 12:50 p.m. 5 UN ADELANTO DEL CÁLCULO Así, cuando se resuelve el problema de la tangente en el cálculo diferencial, también se da solución a problemas relativos a velocidades. Las mismas técnicas permiten resolver problemas relacionados con tasas de cambio en las ciencias naturales y sociales. El límite de una sucesión En el siglo v a. C., el filósofo griego Zenón de Elea planteó cuatro problemas, ahora conocidos como Paradojas de Zenón, que estaban diseñados para cuestionar algunas de las ideas sobre el espacio y el tiempo que se sostenían en esos días. La segunda paradoja de Zenón se refiere a una carrera entre Aquiles, el héroe griego, y una tortuga a la que se ha dado cierta ventaja al inicio. Zenón argumentaba que Aquiles nunca podría rebasar a la tortuga. Suponga que Aquiles empieza en la posición a1 y la tortuga comienza en posición t1 (véase la figura 9). Cuando Aquiles alcanza el punto a2 5 t1, la tortuga está más adelante en la posición t2. Cuando Aquiles llega a a3 5 t2, la tortuga está en t3. Este proceso continúa indefinidamente y así parece que ¡la tortuga siempre estará por delante! Pero esto desafía el sentido común. Aquiles FIGURA 9 a¡ Tortuga a™ a£ a¢ a∞ ... t¡ t™ t£ t¢ ... Una manera de explicar esta paradoja es con el concepto de sucesión. Las posiciones sucesivas de Aquiles (a1, a2, a3,….) o las posiciones sucesivas de la tortuga (t1, t2, t3,….) forman lo que se conoce como una sucesión. En general, una sucesión {an} es un conjunto de números escritos en un orden definido. Por ejemplo, la sucesión h1, 12 , 13 , 14 , 15 , . . . j puede describirse dando la siguiente fórmula para el enésimo término: an − a¢ a£ a™ 0 Puede visualizar esta sucesión ubicando sus términos en una recta numérica como en la figura 10(a) o dibujando su gráfica como en la figura 10(b). En cualesquiera de las dos representaciones se observa que los términos de la sucesión a n 5 1/n se aproximan cada vez más y más a 0 conforme n aumenta. De hecho, se pueden encontrar términos tan pequeños como se quiera haciendo n suficientemente grande. En estas condiciones, se dice que el límite de la sucesión es 0, y se indica escribiendo a¡ 1 (a) 1 1 2 3 4 5 6 7 8 (b) FIGURA 10 1 n lím n:` n 1 −0 n En general, la notación lím a n − L n:` se utiliza si los términos an se aproximan al número L cuando n es suficientemente grande. Esto significa que los números an pueden acercarse al número L tanto como se quiera si se toma una n suficientemente grande. Stewart_ch00_001-008.indd 5 08/06/17 12:50 p.m. 6 UN ADELANTO DEL CÁLCULO El concepto de límite de una sucesión aparece cada vez que se utiliza la representación decimal de un número real. Por ejemplo, si a 1 − 3.1 a 2 − 3.14 a 3 − 3.141 a 4 − 3.1415 a 5 − 3.14159 a 6 − 3.141592 a 7 − 3.1415926 f lím a n − entonces n:` Los términos de esta sucesión son aproximaciones racionales de p. Regrese a la paradoja de Zenón. Las posiciones sucesivas de Aquiles y la tortuga forman sucesiones {an} y {tn}, donde an , tn para toda n. Puede demostrarse que ambas sucesiones tienen el mismo límite: lím a n − p − lím tn n→` n→` Es precisamente en este punto p que Aquiles alcanza a la tortuga. La suma de una serie Otra de las paradojas de Zenón, según Aristóteles, es la siguiente: “un hombre parado en una sala no puede caminar hasta la pared. Para ello, primero tendría que recorrer la mitad de la distancia, después recorrer la mitad de la distancia restante y, luego, recorrer la mitad de lo que falta. Este proceso puede mantenerse siempre y nunca puede terminarse” (véase la figura 11). 1 2 FIGURA 11 1 4 1 8 1 16 Por supuesto, se sabe que el hombre realmente puede llegar a la pared, lo que sugiere que tal vez la distancia total puede expresarse como la suma de una infinidad de distancias cada vez más pequeñas como sigue: 3 Stewart_ch00_001-008.indd 6 1− 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∙∙∙ 1 n 1 ∙∙∙ 2 4 8 16 2 08/06/17 12:50 p.m. UN AVANCE DE CÁLCULO 7 Zenón argumentaba que no tiene sentido sumar una infinidad de números. Pero hay otras situaciones en que se utilizan implícitamente sumas infinitas. Por ejemplo, en notación decimal, el símbolo 0.3 − 0.3333 . . . significa 3 3 3 3 1 1 1 1 10 100 1000 10 000 y así, en cierto sentido, debe ser cierto que 3 3 3 3 1 1 1 1 10 100 1000 10 000 − 1 3 Más generalmente, si dn denota el enésimo dígito en la representación decimal de un número, entonces 0.d1 d2 d3 d4 . . . − d1 d2 d3 dn 1 2 1 3 1 ∙∙∙ 1 n 1 ∙∙∙ 10 10 10 10 Por tanto, algunas sumas infinitas o series infinitas, como se les llama, tienen un significado. Pero se debe definir con cuidado lo que es la suma de una serie infinita. Regresando a la serie en la ecuación 3, se denota por sn la suma de los n primeros términos de la serie. Por tanto, s1 − 12 − 0.5 s2 − 12 1 14 − 0.75 s3 − 12 1 14 1 18 − 0.875 1 s4 − 12 1 14 1 18 1 16 − 0.9375 1 1 s5 − 12 1 14 1 18 1 16 1 32 − 0.96875 1 1 1 s6 − 12 1 14 1 18 1 16 1 32 1 64 − 0.984375 1 1 1 1 s7 − 12 1 14 1 18 1 16 1 32 1 64 1 128 − 0.9921875 f 1 s10 − 12 1 14 1 ∙ ∙ ∙ 1 1024 < 0.99902344 f s16 − 1 1 1 1 1 ∙ ∙ ∙ 1 16 < 0.99998474 2 4 2 Observe que como le se añadieron cada vez más términos, las sumas parciales parecen estar más cercanas a 1. De hecho, puede demostrarse que si n es suficientemente grande (es decir, si se suman suficientes términos de la serie), se puede aproximar la suma parcial tanto como se quiera al número 1. Por tanto, parece razonable decir que la suma de la serie infinita es 1 y escribir 1 1 1 1 1 1 1 ∙∙∙ 1 n 1 ∙∙∙ − 1 2 4 8 2 Stewart_ch00_001-008.indd 7 08/06/17 12:50 p.m. 8 UN AVANCE DE CÁLCULO En otras palabras, la razón de que la suma de la serie sea 1 es que lim sn − 1 n→` En el capítulo 11 se analizarán con más detalle estas ideas y se utilizará la propuesta de Newton de combinar las series infinitas con el cálculo diferencial e integral. Resumen Se vio que el concepto de límite surge al intentar encontrar el área de una región, la pendiente de la recta tangente a una curva, la velocidad de un auto o la suma de una serie infinita. En cada caso el problema común es el cálculo de una cantidad como el límite de otras cantidades fáciles de calcular. Esta idea básica de límite separa al cálculo de otras áreas de las matemáticas. De hecho, podría definirse el cálculo como la parte de las matemáticas que estudia límites. Después de que Sir Isaac Newton inventó su versión del cálculo, lo usó para explicar el movimiento de los planetas alrededor del Sol. Hoy el cálculo se utiliza para determinar las órbitas de los satélites y naves espaciales, en la predicción de tamaños de población, en la estimación de la rapidez con la que los precios del petróleo suben o bajan, en el pronóstico del clima, en medir el gasto cardiaco, en el cálculo de las primas de seguros de vida y en una gran variedad de otras áreas. En este libro se explorarán algunos de estos usos del cálculo. Con el fin de dar una idea del poder del cálculo, se termina este panorama preliminar con una lista de algunas de las preguntas que usted podrá responder al usar el cálculo: 1. ¿Cómo podría explicar el hecho, ilustrado en la figura 12, de que el ángulo de elevación desde un observador hasta el punto más alto en un arcoíris es 42°? (Véase la página 285). Rayos del Sol 138° Rayos del Sol 42° 2. ¿Cómo podría explicar las formas de las latas en los estantes del supermercado? (Véase la página 343). 3. ¿Dónde está el mejor lugar para sentarse en una sala de cine? (Véase la página 465). Observador FIGURA 12 4. ¿Cómo diseñaría una montaña rusa para un viaje suave? (Véase la página 182). 5. ¿A qué distancia de la pista de un aeropuerto debe un piloto iniciar el descenso? (Véase la página 208). 6. ¿Cómo podría ajustar distintas curvas para que al unirlas sirvan para diseñar letras que puedan ser impresas en una impresora láser? (Véase la página 657). 7. ¿Cómo estimaría el número de trabajadores que fueron necesarios para construir la gran pirámide de Keops en Egipto? (Véase la página 460). 8. ¿Dónde debe colocarse un parador en corto para atrapar una pelota de béisbol lanzada por un jardinero y arrojarla al plato (home)? (Véase la página 465). 9. Una bola lanzada verticalmente hacia arriba, ¿tarda más tiempo en llegar a su altura máxima o en volver a su posición original de lanzamiento? (Véase la página 609). 10. ¿Cómo podría explicar el hecho de que planetas y satélites se mueven en órbitas elípticas? (Véase la página 876). 11. ¿Cómo distribuiría el caudal entre las turbinas en una central hidroeléctrica para maximizar la producción total de energía? (Véase la página 980). 12. Si una canica, una pelota de squash, una barra de acero y un tubo de plomo bajan una pendiente, ¿cuál de ellos llega primero al fondo? (Véase la página 1052). Stewart_ch00_001-008.indd 8 08/06/17 12:50 p.m. 1 A menudo una gráfica es la mejor manera de representar una función porque transmite mucha información en un vistazo. Se muestra la gráfica de la aceleración vertical del suelo, creada por el terremoto de 2011 cerca de Tohoku en Japón. El terremoto tuvo una magnitud de 9.0 en la escala de Ritcher y fue tan fuerte que movió el norte de Japón 2.4 metros más cerca de América del Norte. Funciones y modelos © Pictura Collectus/Alamy (cm/s@) 2000 1000 0 tiempo _1000 _2000 0 50 100 150 200 © Seismological Society of America LOS OBJETOS FUNDAMENTALES CON LOS que trata el cálculo son las funciones. Este capítulo prepara el camino para el cálculo discutiendo las ideas básicas sobre las gráficas de funciones y la manera de transformarlas y combinarlas. Se destaca que una función puede representarse de diferentes maneras: mediante una ecuación, una tabla, una gráfica o con palabras. Se verán los principales tipos de funciones que se presentan en el cálculo y se describirán cómo se utilizan estas funciones para modelar matemáticamente fenómenos del mundo real. 9 Stewart_ch01_009-024.indd 9 08/06/17 1:09 p.m. 10 CAPÍTULO 1 Funciones y modelos 1.1 Cuatro maneras de representar una función Las funciones surgen siempre que una cantidad depende de otra. Considere las cuatro situaciones siguientes: A. El área A de un círculo depende de su radio r. La regla que relaciona A con r está dada por la ecuación A 5 pr2. Con cada número positivo r hay asociado un valor de A, por lo que se dice que A es una función de r. Año Población (millones) 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6080 6870 B. La población humana del mundo P depende del tiempo t. La tabla muestra las estimaciones de la población mundial P(t) en el tiempo t, para algunos años. Por ejemplo, P(1950) < 2 560 000 000 Pero para cada valor del tiempo t hay un valor correspondiente de P, por lo que se dice que P es una función de t. C. El costo C de envío de un paquete por correo depende de su peso w. Aunque no hay alguna fórmula simple que relacione a w con C, la oficina de correos tiene una regla para determinar C cuando se conoce w. D. La aceleración vertical a del suelo, medida por un sismógrafo durante un terremoto, es una función del tiempo transcurrido t. La figura 1 muestra una gráfica generada por la actividad sísmica durante el terremoto de Northridge que sacudió Los Ángeles en 1994. Para un determinado valor de t, la gráfica proporciona un valor correspondiente d