Carlos Ivorra Castilló Castilló ALGEBRA

Carlos Ivorra Castillo ÁLGEBRA Mathematics, rightly viewed, posseses not only truth, but supreme beauty —a beauty cold and austere, like that of sculpture. Bertrand Russell Índice General Introducción ix Preliminares conjuntistas xv Capı́tulo I: Los números enteros y racionales 1.1 Construcción de los números enteros . . . . 1.2 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Cuerpos de cocientes. Números racionales . 1.4 Cuaterniones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 3 7 13 Capı́tulo II: Anillos de polinomios 15 2.1 Construcción de los anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Evaluación de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Capı́tulo III: Ideales 25 3.1 Ideales en un dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Dominios de ideales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3 Anillos noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Capı́tulo IV: Divisibilidad en dominios ı́ntegros 4.1 Conceptos básicos . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Ideales y divisibilidad . . . . . . . . . . . . . 4.3 Divisibilidad en Z . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Divisibilidad en anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 32 35 38 Capı́tulo V: Congruencias y anillos cociente 5.1 Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . 5.2 Números perfectos . . . . . . . . . . . . . 5.3 Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Homomorfismos y anillos cociente . . . . . 5.5 Cocientes de anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 45 49 54 58 60 v . . . . . . . . . . vi ÍNDICE GENERAL Capı́tulo VI: Algunas aplicaciones 6.1 Ternas pitagóricas . . . . . . . 6.2 Sumas de dos cuadrados . . . . 6.3 Sumas de cuatro cuadrados . . 6.4 Números de la forma x2 + 3y 2 . 6.5 La ecuación x2 + 3y 2 = z 3 . . . 6.6 El Último Teorema de Fermat . 6.7 Enteros ciclotómicos . . . . . . Capı́tulo VII: Módulos 7.1 Módulos . . . . . 7.2 Suma de módulos 7.3 Módulos libres. . y espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 65 67 72 74 77 80 83 vectoriales 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Capı́tulo VIII: Extensiones de cuerpos 8.1 Extensiones algebraicas . . . . . . 8.2 Homomorfismos entre extensiones . 8.3 Clausuras algebraicas . . . . . . . . 8.4 Extensiones normales . . . . . . . . 8.5 Extensiones separables . . . . . . . 8.6 El teorema del elemento primitivo 8.7 Normas y trazas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 105 110 115 119 123 129 131 Capı́tulo IX: Grupos 9.1 Definición y propiedades básicas . 9.2 Grupos de permutaciones . . . . . 9.3 Generadores, grupos cı́clicos . . . . 9.4 Conjugación y subgrupos normales 9.5 Producto de grupos . . . . . . . . . 9.6 Grupos cociente . . . . . . . . . . . 9.7 Grupos alternados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 135 139 144 147 150 152 154 Capı́tulo X: Matrices y determinantes 157 10.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 10.3 Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Capı́tulo XI: Enteros algebraicos 11.1 Definición y propiedades básicas . . . . . . 11.2 Ejemplos de anillos de enteros algebraicos . 11.3 Divisibilidad en anillos de enteros . . . . . . 11.4 Factorización única en cuerpos cuadráticos . 11.5 Aplicaciones de la factorización única . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 179 185 191 195 201 vii ÍNDICE GENERAL Capı́tulo XII: Factorización ideal 207 12.1 Dominios de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 12.2 Factorización ideal en anillos de enteros . . . . . . . . . . . . . . 214 12.3 Dominios de Dedekind y dominios de factorización única . . . . . 220 Capı́tulo XIII: Factorización en cuerpos 13.1 Los primos cuadráticos . . . . . . . . 13.2 El grupo de clases . . . . . . . . . . 13.3 Cálculo del número de clases . . . . cuadráticos 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 226 . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Capı́tulo XIV: La ley de reciprocidad cuadrática 14.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2 El sı́mbolo de Legendre . . . . . . . . . . . . . 14.3 El sı́mbolo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . 14.4 Los teoremas de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 243 247 252 255 Capı́tulo XV: La teorı́a de Galois 15.1 La correspondencia de Galois 15.2 Extensiones ciclotómicas . . . 15.3 Cuerpos finitos . . . . . . . . 15.4 Polinomios simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 259 265 273 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capı́tulo XVI: Módulos finitamente generados 281 16.1 Los teoremas de estructura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 16.2 La estructura de los grupos de unidades . . . . . . . . . . . . . . 289 Capı́tulo XVII: Resolución de ecuaciones por radicales 17.1 Extensiones radicales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Grupos resolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Caracterización de las extensiones radicales . . . . . . 17.4 La ecuación general de grado n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 294 297 303 305 Apéndice A: El teorema de la base normal 307 Apéndice B: Extensiones inseparables 311 Apéndice C: La resultante 315 Bibliografı́a 319 Índice de Tablas 321 Índice de Materias 322 Introducción El propósito de este libro es introducir a un lector con conocimientos mı́nimos de matemáticas en el estudio de los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Quizá esta afirmación sorprenda al lector por dos posibles motivos: bien porque crea que los números naturales son algo tan simple que difı́cilmente se puede escribir un libro sobre ellos, bien porque crea que un libro ası́ no deberı́a llamarse ‘Álgebra’. El primer caso es fácil de rectificar. Consideremos por ejemplo la ecuación x2 + xy − 3y 2 = 15. ¿Sabrı́a decidir el lector si existen números naturales (x, y) que satisfagan esta condición? Tenemos aquı́ un problema de planteamiento elemental cuya solución no es nada fácil. Si existiera un par ası́ podrı́amos tener suerte y encontrarlo por tanteo, pero si no lo hay necesitaremos algún tipo de razonamiento que lo justifique, pues el no encontrar soluciones no significa que no las haya. Si el problema fuera x2 + xy + 3y 2 = 15 el asunto serı́a muy diferente, pues podrı́amos hacer 4(x2 + xy + 3y 2 ) = (2x + y)2 + 11y 2 y de aquı́ sacarı́amos una cota a las posibles soluciones, con lo que un número finito de comprobaciones bastarı́a para decidir si las hay. Aun ası́ habrı́amos necesitado un pequeño truco que requerirı́a un mı́nimo de perspicacia. De nada sirve despejar la y en función de x, o viceversa, pues entonces nos encontraremos con el problema de determinar si una expresión con una raı́z cuadrada puede o no ser un número natural, y no podremos ir mucho más lejos. Sin duda el lector que creı́a dominar los números naturales reconocerá ya la precariedad de ese dominio. Sin embargo esta situación suele causar rechazo al matemático acostumbrado a otra clase de problemas más . . . ¿abstractos? La reacción natural es: ¿pero qué importa si existen o no soluciones naturales? Una pregunta interesante podrı́a ser si existen funciones reales continuas no derivables en ningún punto, por ejemplo, porque una solución negativa consolidarı́a nuestro conocimiento de la continuidad y la derivabilidad, mientras que una solución positiva serı́a (y de hecho es) algo verdaderamente curioso e intrigante. Sin embargo, tanto si alguien encuentra una solución a esa ecuación como si prueba que no las hay, lo cierto es que nos quedamos igual, obtenemos un dato irrelevante. ix x Introducción Esta objeción entronca con la posible sorpresa de que un libro que promete abordar estas banalidades tenga la osadı́a de titularse ‘Álgebra’. El reproche estarı́a justificado si lo único que fuéramos a ver en este libro fuera una colección de recetas o, aún peor, de trucos para resolver ecuaciones como la de antes. También en tal caso serı́a razonable opinar que el contenido del libro serı́a irrelevante, al menos según los gustos matemáticos al uso. Sin embargo, el interés de un problema puede no estar en la pregunta sino en la respuesta. Parafraseamos a Gauss al decir que la aridez de esta clase de problemas oculta una disciplina que merece el tı́tulo de Reina de las Matemáticas. ¿Por qué un matemático que destacó tan prodigiosamente en análisis, geometrı́a diferencial, fı́sica y estadı́stica, entre otras partes de la matemática, anteponı́a la teorı́a de números a todas ellas? Sencillamente porque al abordar problemas como el que hemos propuesto se encontró con una teorı́a mucho más rica, sutil y abstracta que cualquier otra de su época. Ciertamente, la teorı́a de números antes de Gauss era esencialmente una colección de trucos, verdaderos monumentos al ingenio humano, eso sı́, pero despreciables al gusto del matemático moderno, pero estamos hablando de la teorı́a de números del siglo XVIII. Para los matemáticos del siglo XIX la situación era radicalmente distinta, y es esta visión moderna la que queremos transmitir al lector de este libro. Básicamente se puede describir como sigue: Los números naturales son unos objetos extremadamente caprichosos, pero no caóticos. Es como si un pianista decide caprichosamente qué pieza va a tocar. A priori no podemos predecir lo que hará, pero una vez conocemos su decisión podemos anticipar cada uno de sus movimientos a partir de la partitura. Un pianista caótico serı́a por ejemplo un intérprete de Jazz que improvisara en todo momento. Ası́, el comportamiento de los números puede ser controlado en función de ciertos parámetros, caprichosos hasta donde hoy se sabe, y la forma de controlarlos no es la fuerza bruta (la manipulación de ecuaciones al estilo del siglo XVIII), que ofrece resultados muy limitados, sino la psicologı́a más fina, la búsqueda de leyes generales que sólo pueden ser expresadas en términos de objetos abstractos, impensables en una primera aproximación, pero que los matemáticos han podido descubrir poco a poco a lo largo de casi dos siglos. Pensemos por ejemplo en la introducción de los números enteros: ... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... Se trata del ejemplo más elemental de cómo un artificio algebraico como es poner un signo delante de los números resulta ser de inestimable ayuda en su manejo. Tanto es ası́ que en realidad, aunque la motivación primera en el estudio de los números proviene de los números naturales, es más justo decir que en este libro se estudian los números enteros. Pero si queremos resolver el problema que hemos planteado necesitamos ir mucho más lejos. El paso siguiente en esta dirección es factorizar la ecuación  √  √  x2 + xy − 3y 2 = x + y 1+2 13 x + y 1−2 13 . Esto puede parecer un sucio ‘truco’, pero en realidad es un paso obvio si se disfruta del punto de vista adecuado. Ası́ nos encontramos con que la ecuación xi está relacionada con el número D = 13, invisible hasta ahora, y que se conoce como discriminante de la ecuación. Por ejemplo, si antes decı́amos que el problema con −3 es más difı́cil que el mismo problema pero con un +3, un algebrista verá el discriminante D = 13 frente al discriminante D = −11, y el algebrista sabe que una de las caracterı́sticas generales de este tipo de ecuaciones es que las de discriminante negativo siempre son más fáciles. Vemos ası́ que el verdadero problema no era el signo del −3, sino el del discriminante. √ Además nos ha aparecido el número irracional 1+2 13 , y en este punto el algebrista deja de pensar en números para fijarse en algo mucho más abstracto, como es el conjunto  √    √ Z 1+2 13 = x + y 1+2 13 | x, y ∈ Z . Él sabe que este conjunto tiene una estructura importante conocida como dominio ı́ntegro, que lo hace muy similar al propio conjunto Z de los números enteros. Sobre este conjunto está definida una aplicación llamada norma  √  N : Z 1+2 13 −→ Z,   √  √  √  dada por N x + y 1+2 13 = x + y 1+2 13 x + y 1−2 13 = x2 + xy − 3y 2 y cuyo comportamiento es extremadamente regular. El resultado es que la penetración del algebrista convierte un arduo problema que todo el mundo entiende en un sencillo problema que sólo los algebristas √ 1+ 13 entienden: ¿Existe un entero cuadrático en Q( 2 ) cuya norma sea 15? Decimos ‘sencillo’ pensando, por supuesto, en el punto de vista del algebrista que cuenta con el equipaje de una sólida y elegante teorı́a. Para él la solución se obtiene analizando unos objetos todavı́a más abstractos y alejados de la simple ecuación dada: los ideales del anillo anterior. No importa si el lector no sabe en este punto de qué estamos hablando (eso es lo que puede aprender en este libro, precisamente), lo que importa es que esos ideales siguen un comportamiento extremadamente simple, de modo que una comprobación elemental le permite concluir la inexistencia de soluciones enteras. Citamos aquı́ la comprobación sin ánimo de que el lector la entienda, sólo para que admire su sencillez formal: Tenemos que 15 = 3 · 5 y si existiera un ideal de norma 15 éste tendrı́a un factor primo de norma 5, pero eso significarı́a que el discriminante 13 serı́a un resto cuadrático módulo 5, pero (13/5) = (3/5) = (5/3) = (2/3) = −1, contradicción. Todo esto puede ser razonado sin esfuerzo incluso mentalmente. El lector encontrará los detalles en el capı́tulo XIV. En realidad este problema era muy fácil. Si el término independiente de la ecuación no hubiera sido 15, sino otro número, como 17, entonces la solución habrı́a sido positiva, y para justificarlo el algebrista habrı́a tenido que contar con dos datos más, todavı́a másabstractos: √  1) El número de clases de Q 1+2 13 es h = 1,  √  2) El cuerpo Q 1+2 13 contiene unidades de norma negativa. xii Introducción Una vez más, no esperamos que el lector entienda nada de esto. La segunda propiedad es fácil de comprobar con un mı́nimo tanteo, mientras que la primera es un hecho nada trivial y que ejemplifica lo que antes llamábamos comporta √  miento ‘caprichoso’ de los números. En efecto, cada cuerpo como Q 1+2 13 tiene asociado un número natural h llamado su ‘número de clases’, que se puede calcular en la práctica mediante un algoritmo. √ ¿Por √ qué el número de clases para 13 es h = 1 mientras que, por ejemplo, para 15 es h = 2? Esto forma parte del comportamiento caprichoso de los números del que hablábamos antes, pero lo cierto es que, una vez determinado el número de clases, el algebrista sabe cuál es el ‘carácter’ que este capricho imprime a los problemas asociados a este número, y sabe a qué atenerse. No creemos necesario aburrir al lector con más afirmaciones que probablemente no entienda. Éstas habrán bastado para que comprenda la situación. Los problemas numéricos como el que hemos presentado abren la puerta, a la vez que dan sentido y motivación, a una teorı́a cuyo ‘sabor’ ha podido captar hace un momento, una teorı́a profunda, rica en conceptos y en ideas y que nos permite llegar a elegantes principios generales más simples formalmente cuanto más elevados y complejos conceptualmente. Se trata de una situación similar a la de la mecánica celeste: el movimiento de los planetas puede ser descrito eficientemente por las leyes ptolemaicas, meramente descriptivas y aproximadas, o por las leyes de Kepler, rigurosas pero técnicas, o por la ley de la gravitación universal de Newton, la más simple formalmente, o por las ecuaciones de la relatividad general de Einstein, las más sofisticadas de todas, pero las que proporcionan una mejor comprensión del fenómeno. El estudio de los números enteros se conoce en general como Teorı́a de Números, y la teorı́a que hay detrás es tan vasta que no encaja en ninguna rama particular de las matemáticas, sino que en ella intervienen el álgebra, la topologı́a, el análisis e incluso la geometrı́a. Por ello, y a pesar de que fraccionarla no deja de ser artificial, se habla de una Teorı́a de Números Elemental (que no usa más que la aritmética básica), una Teorı́a Algebraica de Números, una Teorı́a Analı́tica de números y una Geometrı́a de los Números. (No obstante las fronteras no pueden establecerse con precisión, y por eso se ha terminado hablando de una Teorı́a Algebraica de Números Analı́tica). El ejemplo que hemos dado corresponde a la Teorı́a Algebraica de Números (al igual que el contenido de este libro). Quizá después de todo podrı́a tener razón el lector que considerara que ‘Álgebra’ no es el tı́tulo adecuado de este libro, sino que serı́a mejor haberlo llamado ‘Teorı́a Algebraica de Números’. Sin embargo hemos decidido darle el tı́tulo que tiene porque al fin y al cabo abordamos a un nivel aceptable como introducción el equivalente a un primer curso de álgebra: álgebra lineal (módulos, espacios vectoriales, matrices, determinantes), teorı́a de anillos, teorı́a de cuerpos y teorı́a de grupos finitos (con especial hincapié en los grupos abelianos y resolubles y los grupos de permutaciones), y no creemos que la palabra ‘Álgebra’ deba significar otra cosa más especializada. Más bien los libros que se ocupan de resultados algebraicos tan xiii abstractos que ya no tienen nada que ver con los números (cuyo valor e interés nadie pone en duda) deberı́an llamarse ‘Álgebra abstracta’ (como de hecho algunos lo hacen), y un libro de Teorı́a Algebraica de Números serı́a algo más especializado y sistemático. Preferimos pensar, pues, que éste es un libro de álgebra con ilustraciones de teorı́a de números, encaminado a dotar al lector de una base algebraica suficiente para un estudio posterior de la Teorı́a Algebraica de Números propiamente dicha. El criterio general en la redacción ha sido usar los números como hilo conductor e ir introduciendo progresivamente los conceptos algebraicos necesarios a un nivel lo suficientemente general como para que el lector termine con un conocimiento sólido del álgebra elemental, pero nunca hasta el punto (esperamos) de que las ideas resulten oscurecidas por los conceptos formales. La restricción principal ha sido que a todos los efectos no existen los números reales. No hemos demostrado ningún resultado que requiera el uso de números reales ni se da ninguna interpretación geométrica o aplicación a la geometrı́a de los conceptos algebraicos. La razón de esta restricción es que, en primer lugar, los números reales no han resultado necesarios en ningún momento y, en segundo lugar, que consideramos que la introducción más razonable de los números reales es una introducción geométrica y no algebraica ni analı́tica, por lo que no es éste el libro adecuado para presentarlos. La única laguna importante que este criterio ha ocasionado es que no hemos hablado de equivalencia y semejanza de matrices, vectores propios, polinomios caracterı́sticos, etc., pues estos conceptos tienen una interpretación geométrica importante y serı́a absurdo introducirlos sin ella. También puede echarse en falta la teorı́a de Sylow, de la que no hemos hablado porque su indiscutible utilidad en el estudio de los números sólo se pone de manifiesto en estados más avanzados de la teorı́a, y por lo tanto hubiera sido forzado mostrar alguna aplicación más allá de la propia teorı́a de grupos. Hemos incluido tres apéndices con algunos resultados cuyo interés no puede comprenderse plenamente sin conocer el desarrollo posterior de la teorı́a, pero que de todos modos pueden ser ilustrativos porque son una prolongación natural de la teorı́a elemental. El orden de exposición pretende combinar la naturalidad, en el sentido de que cada concepto aparezca en el momento en que resulta necesario, con el mı́nimo orden preciso para una correcta asimilación por parte del lector. Esto hace que algunos resultados puedan estar en capı́tulos donde en principio no se esperarı́a encontrarlos. Piénsese que éste no es un libro de consulta, sino un libro para ser leı́do desde el principio hasta el final, un libro donde no se pretende que esté ‘todo’ sino sólo lo necesario para que no haya paja que saltar. Esperamos sinceramente que el lector disfrute, si no con la forma de este libro, de la que somos responsables, sı́ con su contenido, que ha cautivado a tantos matemáticos. Preliminares conjuntistas Citamos aquı́ brevemente los resultados los que el lector deberı́a conocer para entender este libro. De todos modos, salvo en muy contadas ocasiones todos los requisitos pueden suplirse con un poco de sentido común (o intuición, como suele decirse). Por ello el único requisito real es estar familiarizado con el lenguaje y el razonamiento matemático. Suponemos que el lector conoce el lenguaje de la teorı́a de conjuntos elemental: conjuntos, subconjuntos, unión, intersección, producto cartesiano, aplicaciones, etc. Sólo hay un punto a destacar a este respecto, y es que en este libro adoptaremos siempre el convenio de que en una composición de aplicacio nes actúa primero la aplicación de la izquierda, esto es, (f ◦ g)(x) = g f (x) . Consideramos que, a la larga, este convenio resulta mucho más natural que el contrario. Necesitaremos también algo de teorı́a de cardinales, aunque normalmente todos los cardinales que nos aparecerán serán finitos. Si el lector decide ignorar toda alusión a cardinales infinitos se perderá una mı́nima parte del contenido de este libro. Baste, pues, saber que el cardinal de un conjunto es, al menos si el conjunto es finito, lo que usualmente se entiende por su ‘número de elementos’, y que dos conjuntos tienen el mismo cardinal si y sólo si se puede establecer una aplicación biyectiva entre ellos. El cardinal de un conjunto X es menor o igual que el cardinal de un conjunto Y si y sólo si existe una aplicación inyectiva de X en Y . Un hecho elemental de uso muy frecuente es que si un conjunto finito X tiene el mismo cardinal que un subconjunto Y , entonces X = Y . Más en general: una aplicación entre dos conjuntos finitos del mismo cardinal es biyectiva si y sólo si es inyectiva si y sólo si es suprayectiva. Respecto a la aritmética cardinal usaremos a menudo que si un conjunto está dividido en subconjuntos disjuntos, entonces su cardinal es la suma de los cardinales de sus partes, y si todas ellas tienen el mismo cardinal, entonces el cardinal del conjunto total es el de una de sus partes multiplicado por el número de partes. Ası́ mismo, el cardinal de un producto cartesiano es el producto de los cardinales de los factores. El único punto donde necesitaremos algún resultado adicional es en la prueba de la equicardinalidad de bases (capı́tulo VII). Allı́ usaremos que si X es un conjunto infinito, entonces el número de subconjuntos finitos de X coincide con xv xvi Preliminares conjuntistas el cardinal de X, y que si X está dividido en conjuntos finitos, entonces el cardinal de X coincide con el número de partes. Mención especial requiere el Lema de Zorn, que nos aparecerá en pocas pero importantes ocasiones. Recordemos las definiciones que intervienen en su enunciado: Un conjunto X está parcialmente ordenado por una relación ≤ si se cumple: 1. x ≤ x para todo x ∈ X. 2. Si x ≤ y e y ≤ x, entonces x = y, para todo x, y, ∈ X. 3. Si x ≤ y e y ≤ z, entonces x ≤ z, para todo x, y, z ∈ X. El ejemplo tı́pico de orden parcial en una familia de conjuntos es el dado por la inclusión, es decir, x ≤ y si y sólo si x ⊂ y. Un subconjunto Y de un conjunto parcialmente ordenado X es una cadena si cualquier par de elementos x, y ∈ Y cumple x ≤ y o y ≤ x. Un elemento x de un conjunto parcialmente ordenado X es una cota superior de un conjunto Y ⊂ X si para todo y ∈ Y se cumple y ≤ x. Si X es un conjunto parcialmente ordenado, un maximal de X es un elemento x ∈ X tal que no existe ningún y ∈ X que cumpla x ≤ y, x = y. Lema de Zorn Si X es un conjunto parcialmente ordenado no vacı́o en el que toda cadena tiene una cota superior, entonces X tiene un elemento maximal. En la práctica, el lema de Zorn se aplica a conjuntos ordenados por la inclusión, y la forma tı́pica de probar que una cadena tiene cota superior es probar que la unión de todos sus elementos es también un elemento del conjunto, lo cual es siempre un ejercicio sencillo. El resultado es entonces la existencia de un miembro de la familia que no está contenido en ningún otro. Todas las verificaciones concretas de las hipótesis del lema de Zorn en este libro se dejan como un sencillo ejercicio para el lector. Hay un teorema que puede probarse mediante el lema de Zorn pero que hemos preferido probar de otro modo para evitar tecnicismos conjuntistas demasiado prolijos. Se trata de la existencia de clausura algebraica (capı́tulo VIII) En su lugar usaremos un resultado equivalente al lema de Zorn, y es el principio de buena ordenación de Zermelo: Principio de buena ordenación Todo conjunto admite un buen orden, esto es, una relación de orden total en la que todo subconjunto no vacı́o tiene un mı́nimo elemento. Usaremos este hecho junto con el teorema de recursión transfinita, según el cual, si X es un conjunto bien ordenado por una relación ≤, podemos definir una sucesión {Ax }x∈X definiendo un término arbitrario Ax en función de la sucesión de términos anteriores {Ay }y<x . Capı́tulo I Los números enteros y racionales 1.1 Construcción de los números enteros Seguramente el lector conocerá de sobra los números enteros. Los números enteros son: ... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... En definitiva los números enteros no son sino los números naturales por duplicado, de modo que mientras la operación 4 − 7 no puede efectuarse con números naturales, tiene en cambio la solución entera −3. En primer lugar vamos a indicar cómo construir los números enteros en teorı́a de conjuntos. Aunque la formalización conjuntista no va a ser nuestra preocupación principal, consideramos ilustrativo detenernos en ello porque se trata de un buen ejemplo del uso de las relaciones de equivalencia, y el lector deberı́a reflexionar sobre esta construcción no sólo hasta entenderla, sino hasta verla natural. En principio podrı́amos definir los números enteros como los números naturales precedidos de un signo +/−, con el convenio de que +0 = −0. Esto serı́a lógicamente aceptable y probablemente es la definición que más se ajusta a la idea que el lector tiene de estos números, pero no es la definición más práctica ni mucho menos en la que podrı́amos pensar. Por ejemplo, si a partir de dicha definición queremos definir la suma de dos números enteros deberı́amos escribir algo ası́ como: La suma de dos números enteros del mismo signo se calcula sumando sus valores absolutos con el mismo signo. La suma de dos números enteros de signos opuestos se calcula restando sus valores absolutos con el signo del sumando de mayor valor absoluto. El lector lo habrá entendido perfectamente, pero desde un punto de vista lógico es una ley enrevesada y si quisiéramos usarla para probar algo tan simple 1 2 Capı́tulo 1. Los números enteros y racionales como que (n + m) + r = n + (m + r) nos obligarı́a a distinguir casos y más casos. La idea para obtener una definición práctica parte del hecho de que un número entero puede ser determinado algebraicamente como la resta de dos números naturales. Por ejemplo, el par (8, 3) determina el número 8 − 3 = +5, mientras que el par (3, 8) determina al número 3 − 8 = −5. No podemos establecer que el número entero +5 será para nosotros el par de números naturales (8, 3), porque, por ejemplo, el par (7, 2) es otro objeto distinto que tendrı́a el mismo derecho a ser identificado con el entero +5. Entonces nos preguntamos cuándo dos pares de números (a, b) y (c, d) dan lugar al mismo número entero al restar sus componentes. Obviamente se cumple a − b = c − d si y sólo si a + d = b + c. Ahora observamos que los pares de números naturales y la relación a + d = b + c no involucran en absoluto números enteros, luego podemos usarlos para definir los números enteros sin que nuestra definición resulte circular. Definición 1.1 Suponemos conocido el conjunto de los números naturales, al que aquı́ llamaremos N. Definimos en N × N la relación R dada por (a, b) R (c, d) si y sólo si a + d = b + c. Es fácil probar que se trata de una relación de equivalencia. Llamaremos [a, b] a la clase de equivalencia del par (a, b), es decir, [a, b] es el conjunto formado por todos los pares relacionados con (a, b). En los términos anteriores los elementos de [a, b] son todos los pares que dan lugar al mismo número entero que (a, b) al restar sus componentes, con lo que existe exactamente una clase de equivalencia por cada número entero. Por ejemplo, el número +5 se corresponde con la clase cuyos elementos son (5, 0), (6, 1), (7, 2), . . . La diferencia lógica es que los números enteros no los tenemos definidos y las clases de equivalencia respecto a la relación R sı́. Llamaremos conjunto de los números enteros al cociente Z = (N × N)/R. La letra Z es por el alemán Zahl (número). Si n es un número natural llamaremos +n = [n, 0] y −n = [0, n]. Ahora es fácil probar que todo número entero [a, b] es de la forma [a − b, 0] o bien [0, b − a], según si a es mayor o menor que b, es decir, todo número entero es de la forma +n o bien −n para un número natural n. Además todos éstos son distintos salvo en el caso +0 = −0 = [0, 0]. Llamaremos números positivos a los del conjunto Z+ = {+n | n ∈ N, n = 0}. Los números negativos serán los del conjunto Z− = {−n | n ∈ N, n = 0}. De este modo el conjunto Z se expresa como unión disjunta Z = Z+ ∪ Z− ∪ {0}. Para ordenar los números enteros observamos que ha de ser a − b ≤ c − d si y sólo si a + d ≤ b + c (para todos los números naturales a, b, c, d), luego podemos definir [a, b] ≤ [c, d] si y sólo si a + d ≤ b + c. Esta definición exige comprobar que es compatible con la relación R, es decir, que si [a, b] = [a′ , b′ ] y [c, d] = [c′ , d′ ] entonces a + d ≤ b + c si y sólo si a′ + d′ ≤ b′ + c′ . 3 1.2. Anillos La comprobación es sencilla, como también lo es probar que esta relación define un orden total con el cual Z queda ordenado según lo hemos representado en la página 1. En lo sucesivo identificaremos los números naturales con los números enteros no negativos. En particular suprimiremos el signo +, de modo que 2 y +2 serán una misma cosa. Por tanto podemos escribir N ⊂ Z. La suma y el producto de números enteros se definen como sigue: [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d], [a, b][c, d] = [ac + bd, ad + bc]. (El lector debe convencerse de que éstas son las definiciones lógicas. Por ejemplo, en el caso de la suma ha de considerar que (a − b) + (c − d) = (a + c) − (b + d).) Es fácil ver que estas operaciones son compatibles con la identificación que hemos hecho entre números naturales y enteros, es decir, que 7 + 5 = 12 visto tanto como suma de números naturales como de enteros (más concretamente: (+m) + (+n) = +(m + n)). Ahora es fácil demostrar las propiedades básicas de la suma de enteros. Veamos como muestra la asociatividad que antes habı́amos puesto como ejemplo: ([a, b] + [c, d]) + [e, f ] = [a + c + e, b + d + f ] = [a, b] + ([c, d] + [e, f ]). 1.2 Anillos Nuestro estudio de los números enteros nos va a llevar más adelante a trabajar con ‘números’ más generales (o más abstractos, si se quiere). Por ello, en lugar de enunciar directamente las propiedades básicas de las operaciones con enteros conviene hacerlo en un contexto más general, de manera que el mismo lenguaje que introduzcamos ahora nos permita después sentir cierta familiaridad con los objetos que nos encontraremos. Definición 1.2 Una ley de composición interna en un conjunto A es una aplicación ∗ : A × A −→ A. Escribiremos a ∗ b en lugar de ∗(a, b). Diremos que una ley de composición interna ∗ es asociativa si cumple que (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) para todos los elementos a, b y c del conjunto A. En tal caso las expresiones de la forma a ∗ b ∗ c ∗ d ∗ e, y en general a1 ∗ · · · ∗ an están bien definidas, en el sentido de que no dependen del orden en que se efectúen las operaciones (respetando la posición de los factores) y por lo tanto no se necesitan paréntesis. Una ley de composición interna ∗ es conmutativa si cumple a ∗ b = b ∗ a para todos los elementos a y b del conjunto A. Si ∗ es a la vez asociativa y conmutativa las expresiones a1 ∗ · · · ∗ an no dependen tampoco de la posición de cada factor, es decir, podemos desordenarlas sin alterar el resultado. Un anillo es una terna (A, +, ·) en la que A es un conjunto y +, · son dos leyes internas en A, de modo que se cumplan las propiedades siguientes: 1. (a + b) + c = a + (b + c) para todos los a, b, c de A. 2. a + b = b + a para todos los a, b de A. 4 Capı́tulo 1. Los números enteros y racionales 3. Existe un elemento 0 en A tal que a + 0 = a para todo a de A. 4. Para todo a de A existe un −a en A tal que a + (−a) = 0. 5. (ab)c = a(bc) para todos los a, b, c de A. 6. a(b + c) = ab + ac (a + b)c = ac + bc para todos los a, b, c de A. El elemento aludido en la condición 3 ha de ser único, pues si 0 y 0′ cumplen lo mismo entonces 0 = 0 + 0′ = 0′ . Lo llamaremos elemento neutro o nulo del anillo A. Igualmente, para cada a de A el elemento −a aludido en 4 es único, pues si b cumpliera lo mismo entonces b = 0 + b = −a + a + b = −a + 0 = −a. Lo llamaremos elemento simétrico u opuesto de a. En lo sucesivo usaremos siempre los signos + y · para nombrar las operaciones de un anillo cualquiera, aunque en cada caso se tratará de una operación distinta. A la operación + la llamaremos ‘suma’ y a la operación · la llamaremos ‘producto’. Igualmente, ‘A es un anillo’ significará que lo es con ciertas operaciones que se sobrentienden. n Escribiremos a − b en lugar de a + (−b). La notación i=1 ai se usará para n representar sumas finitas mientras que i=1 ai indicará un producto finito. Un anillo A es conmutativo si ab = ba para todos los elementos a y b de A. Un anillo A es unitario si existe un elemento 1 en A tal que a · 1 = 1 · a = a para todo elemento a de A. Dicho elemento 1 ha de ser único, pues si 1 y 1′ cumplen lo mismo entonces 1 = 1 · 1′ = 1′ . Al elemento 1 lo llamaremos identidad de A. El teorema siguiente contiene unas cuantas propiedades sencillas de los anillos. Todas ellas se cumplen en particular en el caso de Z, pero aún más importante es saber que podremos usarlas al trabajar con cualquier conjunto del que sepamos que tiene estructura de anillo, por muy abstracta que pueda ser la naturaleza de sus elementos y sus operaciones. Teorema 1.3 Sea A un anillo y a, b, c elementos de A. 1. Si a + b = a + c entonces b = c. 2. Si a + a = a entonces a = 0. 3. −(−a) = a. 4. 0a = a0 = 0. 5. (−a)b = a(−b) = −(ab). 6. (−a)(−b) = ab. 7. −(a + b) = −a − b. 1.2. Anillos 5 Demostración: 1. a + b = a + c ⇒ −a + a + b = −a + a + c ⇒ 0 + b = 0 + c ⇒ b = c. 2. a + a = a ⇒ a + a = a + 0 ⇒ a = 0. 3. −a + a = 0 = −a + (−(−a)) ⇒ a = −(−a). 4. 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a ⇒ 0a = 0. 5. (−a)b + ab = (−a + a)b = 0b = 0 ⇒ (−a)b = −(ab). 6. (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab. 7. (−a − b) + (a + b) = a − a + b − b = 0 ⇒ (−a − b) = −(a + b). Observemos que si en un anillo unitario A se cumple 1 = 0 entonces cualquier a ∈ A cumple a = a · 1 = a · 0 = 0, luego A = {0}. Los anillos que más nos van a interesar son los anillos conmutativos y unitarios distintos de este caso trivial. A tales anillos los llamaremos dominios es decir: Un dominio es un anillo conmutativo y unitario en el que 1 = 0. Es fácil ver que Z es un dominio. Notemos que en cualquier anillo a0 = 0a = 0, pero no es cierto en general que si ab = 0 uno de los factores haya de ser nulo. Por supuesto en Z sı́ ocurre ası́. Vamos a dar una definición que recoja este hecho. Definición 1.4 Un elemento a de un dominio A es un divisor de cero si es no nulo y existe un b en A no nulo tal que ab = 0. Un dominio ı́ntegro es un dominio sin divisores de cero. Una propiedad muy importante de los dominios ı́ntegros es que en ellos podemos simplificar elementos no nulos de las igualdades, es decir, si en un dominio ı́ntegro tenemos que ab = ac y a = 0, entonces b = c, pues a(b − c) = 0, luego b − c = 0. Ejercicio: Dotar a Z × Z de una estructura de dominio que no sea ı́ntegro. Para acabar con las propiedades básicas del anillo Z vamos a probar que cualquier par de números no nulos se puede dividir euclı́deamente, es decir, se puede obtener un cociente y un resto. Nos basamos en que los números naturales cumplen esto mismo. Teorema 1.5 Sean D y d números enteros con d no nulo. Entonces existen unos únicos enteros c y r tales que D = dc + r y 0 ≤ r < |d|, donde |d| es igual a d si d es positivo y a −d si es negativo. Demostración: Consideremos los números naturales |D| y |d|. Sabemos que existen naturales c y r tales que |D| = |d|c + r, con 0 ≤ r < |d|. Si r = 0 entonces cambiando el signo de c si es preciso tenemos D = dc + 0. Supongamos r > 0. Si D ≥ 0 y d > 0 entonces tenemos D = dc + r, como querı́amos. 6 Capı́tulo 1. Los números enteros y racionales Si D ≥ 0 y d < 0 entonces sirve D = d(−c) + r. Si D < 0 y d > 0 entonces D = d(−c − 1) + (d − r). Si D < 0 y d < 0 entonces D = d(c + 1) + (−d − r). Si tuviéramos dos expresiones distintas D = dc + r = dc′ + r′ , entonces sea c̄ = c si d > 0 y c̄ = −c si d < 0. Igualmente definimos c̄′ . Ası́ dc = |d|c̄, dc′ = |d|′ c̄′ . Supongamos que c̄ < c̄′ . Entonces D = dc + r = |d|c̄ + r < |d|c̄ + |d| = |d|(c̄ + 1) ≤ |d|c̄′ = dc′ ≤ dc′ + r′ = D, y esto es una contradicción. Por lo tanto ha de ser c = c′ y de aquı́ que dc + r = dc + r′ , luego r = r′ . Esta propiedad de los números enteros confiere propiedades muy importantes al anillo Z y es poseı́da también por otros anillos de interés. Por ello conviene tratarla en general. Definición 1.6 Un dominio euclı́deo es un dominio ı́ntegro A tal que existe una función φ : A \ {0} −→ N que cumpla lo siguiente: 1. Si a, b son elementos de A no nulos φ(a) ≤ φ(ab). 2. Si D y d son elementos de A con d = 0 entonces existen c y r en A de manera que D = dc + r con r = 0 o bien 0 ≤ φ(r) < φ(d). La función φ se llama norma euclı́dea. Es obvio que Z es un dominio euclı́deo con la norma φ dada por φ(a) = |a|. Ahora bien, observemos que el cociente y el resto no son únicos. Por ejemplo, para dividir 8 entre 3 podemos hacer 8 = 3 · 2 + 2 o bien 8 = 3 · 3 − 1. En ambos casos |r| < |d|. Un elemento a de un dominio A es una unidad si existe un elemento b en A tal que ab = 1. Dicho elemento b está unı́vocamente determinado por a, ya que si ab = 1 = ac entonces b = b1 = bac = 1c = c. A este único elemento lo llamaremos inverso de a y lo representaremos por a−1 . Obviamente 1 es una unidad y 1−1 = 1. En cambio 0 no puede ser una unidad. Una unidad no puede ser divisor de cero, pues si a es una unidad y ab = 0, entonces b = 1b = a−1 ab = a−1 0 = 0. Las unidades de Z son exactamente 1 y −1. Un anillo de división es un anillo unitario con 1 = 0 en el que todo elemento no nulo es una unidad. Un cuerpo es un anillo de división conmutativo. En particular todo cuerpo es un dominio ı́ntegro. Observemos también que todo cuerpo K es un dominio euclı́deo tomando como norma la aplicación constante 1, pues la división euclı́dea puede realizarse siempre con resto 0, es decir, D = d(D/d) + 0. Vamos a definir operaciones entre números enteros y los elementos de un anillo. 7 1.3. Cuerpos de cocientes. Números racionales Sea A un anillo, a un elemento de A y n un elemento na como  n veces  a + ··· + a  0 na =  −n veces  (−a) + · · · + (−a) número entero. Definimos el si n > 0 si n = 0 si n < 0 n veces Si n > 0 definimos también an = a · · · a. Si A es unitario a0 = 1, y si a es −n veces una unidad y n < 0, entonces an = a−1 · · · a−1 . Es pura rutina comprobar los hechos siguientes. Teorema 1.7 Sea A un anillo unitario y a, b elementos de A (que supondremos inversibles cuando proceda). Sean m y n números enteros. Se cumple: 1. m(a + b) = ma + mb. 2. (m + n)a = ma + na. 3. (−m)a = −(ma) = m(−a). 4. m(na) = (mn)a. 5. Si ab = ba entonces (ab)m = am bm . 6. am+n = am an . 7. (am )n = amn . 8. a−m = (a−1 )m = (am )−1 . Además si A = Z, ma es lo mismo en el sentido de la definición anterior que en el sentido del producto usual en Z. 1.3 Cuerpos de cocientes. Números racionales A continuación vamos a dar un método para obtener un cuerpo a partir de un dominio ı́ntegro. A partir de Z obtendremos el cuerpo de los números racionales, pero el método es general y lo aplicaremos a más casos. a b Sea K un cuerpo y a, b dos elementos de K con b no nulo. Llamaremos = ab−1 . Es fácil comprobar las relaciones siguientes: c a = ⇔ ad = bc, b d a c ad + bc + = , b d bd Con estos hechos in mente definimos: ac ac = . bd bd 8 Capı́tulo 1. Los números enteros y racionales Definición 1.8 Sea A un dominio ı́ntegro y A∗ = A \ {0}. Sea R la relación en el conjunto A × A∗ dada por (a, b) R (c, d) ⇔ ad = bc. Es fácil probar que R es una relación de equivalencia en A × A∗ . Llamaremos ab a la clase de equivalencia del par (a, b). De este modo se cumple ab = dc ⇔ ad = bc. Llamaremos cuerpo de cocientes de A al conjunto cociente K = (A × A∗ )/R. Es fácil comprobar que ciertamente K es un cuerpo con las operaciones dadas ac ac 0 1 a −a a por ab + dc = ad+bc bd , b d = bd . Concretamente 0 = 1 , 1 = 1 ,− b = b = −b , y  −1 si ab = 0, entonces ab = ab . Para relacionar un anillo con su cuerpo de cocientes conviene introducir algunos conceptos. Es claro que lo que interesa de un anillo no es en absoluto la naturaleza conjuntista de sus elementos sino el modo en que los relacionan las leyes internas. Por ejemplo, si A = {a, b} es cualquier conjunto con dos elementos, es fácil convertirlo en un anillo (cuerpo, de hecho) con las leyes dadas por a + a = b + b = a, a + b = b + a = b, aa = ab = ba = a, bb = b. Si hacemos lo mismo con otro conjunto A′ = {a′ , b′ } obtenemos un anillo distinto conjuntistamente, pero el mismo anillo algebraicamente. La forma de plasmar esta relación es el concepto de homomorfismo de anillos que definimos a continuación. Definición 1.9 Sean A y B dos anillos. Una aplicación f : A −→ B es un homomorfismo de anillos si cumple f (a + b) = f (a) + f (b), f (ab) = f (a)f (b) para todos los elementos a y b de A. Una consecuencia inmediata es que f (0) = f (0 + 0) = f (0) + f (0), luego f (0) = 0, y que f (a) + f (−a) = f (a − a) = f (0) = 0, luego f (−a) = −f (a). También es claro que si m es un número entero f (ma) = mf (a). Una precaución es que no tiene por qué ocurrir f (1) = 1. Por ejemplo la aplicación que vale constantemente 0 es un homomorfismo (el único) que cumple f (1) = 0. Suponiendo f (1) = 0, una condición suficiente para que f (1) = 1 es que B sea un dominio ı́ntegro, pues entonces f (1)f (1) = f (1 · 1) = f (1) = f (1)1, luego f (1) = 1. Cuando f (1) = 1 se cumple f (an ) = f (a)n para todo elemento a de A y todo entero n. En cualquier caso esto vale para exponentes positivos. La composición de homomorfismos es un homomorfismo. Un isomorfismo de anillos es un homomorfismo biyectivo. Notemos que −1 si f : A −→ B es un isomorfismo, entonces : B −→ A también es un  −1f −1 −1 isomorfismo, pues f f (a) + f (b) = f f (a) + f f −1 (b) = a + b, luego f −1 (a + b) = f −1 (a) + f −1 (b), e igualmente ocurre con el producto. ∼ B) si existe un Dos anillos A y B son isomorfos (abreviadamente, A = isomorfismo f : A −→ B. Cuando dos anillos son isomorfos son algebraicamente indistinguibles, es decir, uno es conmutativo si y sólo si lo es el otro, etc. Por tanto podemos considerarlos el mismo anillo. 1.3. Cuerpos de cocientes. Números racionales 9 Un anillo A es un subanillo de un anillo B si A ⊂ B y las operaciones de A son las mismas que las de B. Por ejemplo, {2n | n ∈ Z} es un subanillo de Z (no unitario, por cierto). En general, si f : A −→ B es un homomorfismo, es fácil ver que f [A] es un subanillo de B. Ejercicio: Considerando Z × Z y Z × {0}, probar que la identidad de un subanillo puede ser distinta de la del anillo. Probar que esto es imposible si los anillos son dominios ı́ntegros. Un monomorfismo de anillos es un homomorfismo inyectivo. Si f : A −→ B es un monomorfismo es claro que f : A −→ f [A] es un isomorfismo, o sea, A es isomorfo a un subanillo de B, luego podemos identificar A con su imagen y considerar que A es un subanillo de B. Éste es el caso de un dominio ı́ntegro y su cuerpo de cocientes: Teorema 1.10 Sea A un dominio ı́ntegro y K su cuerpo de cocientes. a) La aplicación φ : A −→ K dada por φ(a) = a/1 es un monomorfismo de anillos. b) Si K ′ es un cuerpo y ψ : A −→ K ′ es un monomorfismo de anillos, existe un único monomorfismo de cuerpos χ : K −→ K ′ tal que para todo a de A se cumple χ(φ(a)) = ψ(a). Demostración: a) es inmediato. Para probar b) basta definir χ(a/b) = ψ(a)ψ(b)−1 . Se prueba que la definición no depende de la representación de a/b como fracción y que es un monomorfismo. Lo que afirma la parte a) del teorema anterior es que podemos considerar a A como un subanillo de su cuerpo de cocientes sin más que identificar cada elemento a con a/1, es decir, considerando que dividir entre 1 es no hacer nada. La parte b) afirma es que si un cuerpo K ′ contiene a A, entonces también contiene una copia isomorfa de K, a saber, el conjunto {ab−1 | a, b ∈ A}. En otras palabras, si ya tenemos a A contenido en un cuerpo K ′ no necesitamos salirnos de K ′ para construir el cuerpo de cocientes de A. Basta tomar todas las fracciones posibles con elementos de A aunque, si no tenemos a A metido en ningún cuerpo, siempre podemos realizar la construcción de la definición 1.8. Definición 1.11 Llamaremos cuerpo de los números racionales Q al cuerpo de cocientes de Z. Los elementos de Q son las fracciones a/b con a, b en Z, b = 0. Como ab = −a −b , podemos exigir que b sea positivo. El cuerpo Q está totalmente ordenado por la relación ab ≤ dc ⇔ ad ≤ bc (si b, d > 0). Es fácil ver que este orden extiende al de Z. Llamaremos Q+ al conjunto de los números racionales positivos (mayores que 0) y Q− al de los números negativos. El valor absoluto de un número racional r es  r si r ≥ 0, |r| = −r si r < 0. 10 Capı́tulo 1. Los números enteros y racionales El signo de r es sig r =   1 0  −1 si r > 0, si r = 0, si r < 0. El lector puede entretenerse demostrando el teorema siguiente: Teorema 1.12 Sean r, s, t y u números racionales. 1. Si r ≤ s y t ≤ u entonces r + t ≤ s + u. 2. Si r ≤ s entonces −s ≤ −r y si son no nulos 1/s ≤ 1/r. 3. Si 0 ≤ r y s ≤ t, entonces rs ≤ rt. 4. Existe un número natural n tal que r < n. 5. Si r < s existe un número racional t tal que r < t < s. 6. |r| = |s| si y sólo si r = s o r = −s. 7. |r| ≤ a si y sólo si −a ≤ r ≤ a. 8. |rs| = |r||s|. 9. |a + b| ≤ |a| + |b|.   10. |a| − |b| ≤ |a − b|. (Veamos por ejemplo la prueba de 10: por 9) |a| = |a − b + b| ≤ |a − b| + |b|, luego |a| − |b| ≤ |a − b|, y similarmente |b| − |a| ≤ |a − b|, luego tenemos que −|a − b| ≤ |a| − |b| ≤ |a − b|, y por 7) concluimos 10). Los cuerpos de cocientes nos permiten salirnos temporalmente de un anillo en nuestros cálculos aunque después volvamos a él. Veamos un ejemplo. Definición 1.13 Definimos inductivamente el factorial de un número natural mediante las condiciones siguientes: 0! = 1, (n + 1)! = (n + 1) n! Por ejemplo 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, etc. Sean n, n1 , . . . , nk números naturales tales que n = n1 +. . . +nk . Definimos el número combinatorio   n! n = n1 · · · n k n 1 ! · · · nk ! Si 0 ≤ m ≤ n abreviaremos     n! n n = = m n−m m m! (n − m)! 11 1.3. Cuerpos de cocientes. Números racionales   5 = 10. Vamos a demostrar las propiedades principales de los Por ejemplo, 3 números combinatorios. Teorema 1.14 Sean m ≤ n números naturales.  n n 1. m . = n−m n   2. n0 = nn = 1, 1 = n.  n+1  n n . 3. Si m < n, m + m+1 = m+1 4. Los números combinatorios son números naturales. Demostración: 3) Hay que probar que n! n! (n + 1)! + = . m! (n − m)! (m + 1)! (n − m − 1)! (m + 1)! (n − m)! Ahora bien,  = n! n! + m! (n − m)! (m + 1)! (n − m − 1)!  (m + 1)! (n − m)! n! (m + 1) m! (n − m)! n! (m + 1)! (n − m)(n − m − 1)! + m! (n − m)! (m + 1)! (n − m − 1)! = n! (m + 1) + n! (n − m) = m n! + n! + n n! − m n! = (n + 1) n! = (n + 1)! n es un número natural, pues cada 4) Una simple inducción nos da que m número combinatorio con n + 1 es suma de dos con n, por el apartado 3). Para el caso general basta usar que      n n − nk+1 n . = n1 . . . nk nk+1 nk+1 n1 . . . nk La forma más fácil de calcular los números combinatorios es disponerlos en forma de triángulo, de modo que cada uno es la suma de los dos que hay sobre él. El triángulo ası́ construido se suele llamar triángulo de Tartaglia. 1 1 1 1 1 1 3 4 5 1 2 1 3 6 10 1 4 10 1 5 1 Triángulo de Tartaglia La utilidad principal de estos números será para nosotros el hecho siguiente: 12 Capı́tulo 1. Los números enteros y racionales Teorema 1.15 (Binomio de Newton) Sea A dominio, n un número natural y a, b dos elementos de A. Entonces n    n m n−m n a b . (a + b) = m m=0 Demostración: Por inducción sobre n. Para n = 0 es inmediato. n    n m n−m n+1 n a b (a + b) (a + b) = (a + b) (a + b) = m m=0 n   n    n m+1 n−m  n m n−m+1 = a b + a b m m m=0 m=0 n+1   n    n n m n+1−m am bn+1−m + a b m−1 m m=1 m=0     n n+1 0 n 0 n+1 a b a b + = n 0  n   n    n m n+1−m n m n+1−m a b a b + + m m − 1 m=1 m=1     n 0 n+1 n + 1 n+1 0 = a b + a b 0 n+1    n   n n am bn+1−m + + m m − 1 m=1      n  n 0 n+1 n + 1 n+1 0  n + 1 m n+1−m = a b + a b + a b 0 n+1 m m=1 =  = n+1  m=0   n + 1 m n+1−m a b . m n n m=0 m Una consecuencia inmediata es que = (1 + 1)n = 2n . De forma similar se demuestra en general: Teorema 1.16 Sea A un anillo conmutativo y unitario,n un número natural y a1 , . . . , ak elementos de A. Entonces se cumple:    n n (a1 + · · · + ak ) = an1 1 · · · ank k , n · · · n 1 k n ,...,n 1 k donde la suma se extiende sobre todos los números naturales n1 , . . . , nk tales que n1 + · · · + nk = n. 13 1.4. Cuaterniones racionales 1.4 Cuaterniones racionales Para terminar esbozaremos un ejemplo de un anillo de división D que no es un cuerpo. La idea es que los elementos de D han de ser de la forma a + bi + cj + dk, donde a, b, c y d son números racionales. Los elementos i, j, k se multiplican como sigue: i2 = j 2 = k 2 = −1, ij = k, ji = −k, jk = i, kj = −i, ki = j, ik = −j. O sea, cuando multiplicamos en el orden i → j → k → i, el producto es el elemento restante, pero si multiplicamos en el orden inverso obtenemos el opuesto. Según esto, dos elementos cualesquiera se han de multiplicar ası́: (a+bi+cj +dk)(a′ +b′ i+c′ j +d′ k) = (aa′ −bb′ −cc′ −dd′ )+(ab′ +ba′ +cd′ −dc′ )i +(ac′ + ca′ + db′ − bd′ )j + (ad′ + da′ + bc′ − cb′ )k. Como un elemento de D viene determinado por cuatro números racionales, formalmente podemos definir D = Q4 y las operaciones vendrán dadas por: (a, b, c, d) + (a′ , b′ , c′ , d′ ) = (a + a′ , b + b′ , c + c′ , d + d′ ) (a, b, c, d)(a′ , b′ , c′ , d′ ) = (aa′ −bb′ −cc′ −dd′ , ab′ +ba′ +cd′ −dc′ , ac′ +ca′ +db′ −bd′ , ad′ +da′ +bc′ −cb′ ). Ası́ es fácil, aunque tedioso, probar que D es un anillo unitario. La identidad es, por supuesto, (1, 0, 0, 0). Llamando 1 = (1, 0, 0, 0), i = (0, 1, 0, 0), j = (0, 0, 1, 0) y k = (0, 0, 0, 1), es fácil probar que (a, b, c, d) = (a, 0, 0, 0)1 + (b, 0, 0, 0)i + (c, 0, 0, 0)j + (d, 0, 0, 0)k. Por otra parte, la aplicación que a cada número racional a le asigna (a, 0, 0, 0) es un monomorfismo de anillos, por lo que si identificamos a con (a, 0, 0, 0), obtenemos que cada elemento de D se expresa de forma única como querı́amos, es decir, (a, b, c, d) = a + bi + cj + dk. Los elementos de D se llaman cuaterniones racionales. Para probar que D es realmente un anillo de división conviene llamar conjugado de q = a + bi + cj + dk al cuaternión q̄ = a − bi − cj − dk. Es fácil probar que q q̄ = a2 + b2 + c2 + d2 . A este número lo llamaremos norma de q. La norma de un cuaternión q, que representaremos por N(q), es un número racional positivo y además claramente N(q) = 0 ⇔ q = 0. q̄ Si q es un cuaternión no nulo, tenemos que existe q −1 = N(q) , luego ciertamente D es un anillo de división. Como ij = ji, no es un cuerpo. Ejercicio: Comprobar que pq = q̄ p̄, y de aquı́ a su vez que N(pq) = N(p) N(q). Ejercicio: Escribir explı́citamente la igualdad N(pq) = N(p) N(q) e interpretarla como una propiedad de los números naturales. Ejercicio: ¿Qué condición ha de cumplir un cuerpo K para que podamos construir un anillo de división de cuaterniones sobre K? Capı́tulo II Anillos de polinomios Si x e y son números enteros, xy + x y x2 − 2y son otros números enteros. Su suma es x2 +xy+x−2y y su producto (xy+x)(x2 −2y) = x2 (xy+x)−2y(xy+x) = x3 y + x3 − 2xy 2 − 2xy. Al trabajar con números enteros surgen fácilmente relaciones de este estilo y a menudo resulta muy útil poder tratarlas como objetos y no como meros términos que relacionan números concretos. Lo que vamos a hacer es dar una construcción general que permite añadir a cada anillo A un conjunto de elementos indeterminados, como aquı́ son x e y, de modo que obtengamos un nuevo anillo con elementos como x3 y +x3 −2xy 2 −2xy. A estos objetos los llamaremos polinomios. Un polinomio no es nada más que esto, pero la construcción formal resulta un tanto técnica. 2.1 Construcción de los anillos de polinomios Definición 2.1 Sea S un conjunto. Llamemos M el conjunto de las aplicaciones u : S −→ N tales que el conjunto {i ∈ S | u(i) = 0} es finito. Por ejemplo, si S = {x, y, z} y una función u ∈ M cumple u(x) = 3, u(y) = 1, u(z) = 7, nuestra intención es que u represente al monomio puro x3 yz 7 . Si u, v son funciones de M llamaremos u + v a la función dada por (u + v)(i) = u(i) + v(i). Claramente u + v está en M . Notemos que la suma u + v representa al producto de los monomios representados por u ypor v. Si m ∈ N y u ∈ M llamaremos mu a la función dada por (mu)(i) = m u(i) . También es claro que mu está en M . Es claro que mu representa a la potencia m–sima del monomio representado por u. Llamaremos 0 a la función de M que toma constantemente el valor 0. Si x ∈ S llamaremos ǫx ∈ M a la función que toma el valor 1 en x y vale 0 en cualquier otro punto. Claramente, ǫx representa al monomio x. 15 16 Capı́tulo 2. Anillos de polinomios Notemos que si u ∈ M y x1 , . . . , xn son los puntos donde u no se anula, entonces u puede expresarse como u = u(x1 )ǫx1 + · · · + u(xn )ǫxn . Si pensamos en el primer ejemplo, esto se interpreta como que el monomio u es el producto del monomio x elevado a 3, por el monomio y, por el monomio z elevado a 7. Un polinomio arbitrario, como x3 y + x3 − 2xy 2 − 2xy, es una suma de monomios no necesariamente puros, sino multiplicados por coeficientes en un anillo dado. Esto nos lleva a la definición siguiente: Si A es un anillo, llamaremos conjunto de los polinomios con indeterminadas en S sobre A al conjunto A[S] formado por las funciones f : M −→ A tales que el conjunto {u ∈ M | f (u) = 0} es finito. Ası́, si f ∈ A[S] y u ∈ M , el elemento f (u) se interpreta como el coeficiente del monomio u en f . Con estas ideas el lector puede convencerse de que la definición lógica de las operaciones en A[S] es la siguiente: (f + g)(u) = f (u) + g(u), (f g)(u) = f (v)g(w). v+w=u Notar que el sumatorio que define el producto es finito. Teorema 2.2 Sea A un anillo y S un conjunto. Entonces A[S] es un anillo. Si A es conmutativo o unitario, A[S] también lo es. Demostración: Es fácil ver que si f , g, h ∈ A[S], entonces (f + g) + h = f + (g + h) y f + g = g + f . La aplicación 0 : M −→ A que toma constantemente el valor 0 es el elemento neutro de A[S] y si f ∈ A[S], la función dada por (−f )(u) = −f (u) es el simétrico de f . Si f , g, h ∈ A[S] y u ∈ M se cumple  (f g)h (u) = f (s)g(t)h(w) f (s)g(t)h(w) = w+s+t=u v+w=u s+t=v  f (s)g(t)h(w) = f (gh) (u), = s+v=u t+w=v luego (f g)h = f (gh).  f (g + h) (u) = v+w=u  f (v) g(w) + h(w) f (v)g(w) + = f (v)h(w) = (f g)(u) + (f h)(u), v+w=u v+w=u luego f (g + h) = f g + f h, e igualmente (f + g)h = f h + gh. Si A es conmutativo g(w)f (v) = (gf )(u), f (v)g(w) = (f g)(u) = v+w=u v+w=u luego f g = gf , es decir, A[S] es conmutativo. Si A es unitario, sea 1 la aplicación que vale 1 sobre 0 ∈ M y vale 0 en otro caso. Entonces (f 1)(u) = f (u), luego f 1 = f . Igualmente 1f = f . Los teoremas siguientes prueban que los polinomios son lo que esperamos que sean. El primer paso es sumergir A en A[S]. El teorema siguiente es una comprobación rutinaria. 2.1. Construcción de los anillos de polinomios 17 Teorema 2.3 Sea A un anillo y S un conjunto. Para cada a ∈ A sea fa el polinomio que cumple fa (0) = a y que toma el valor 0 en cualquier otro caso. Sea φ : A −→ A[S] la aplicación dada por φ(a) = fa . Entonces φ es un monomorfismo de anillos y si A es unitario φ(1) = 1. Definición 2.4 En lo sucesivo, si A es un anillo, S un conjunto y a ∈ A, escribiremos a en lugar de φ(a) y A en lugar de φ[A]. De este modo A es un subanillo de A[S]. Supongamos que A es unitario. Para cada x ∈ S llamaremos x̄ al polinomio que cumple x̄(ǫx ) = 1 y que toma el valor 0 en cualquier otro caso. La aplicación que a cada x le asigna x̄ es biyectiva, luego podemos identificar x con x̄ y ası́ considerar que S ⊂ A[S]. A los elementos de S los llamaremos indeterminadas. El teorema siguiente recoge el comportamiento de los polinomios construidos a partir de las indeterminadas mediante productos. Inmediatamente después probaremos que todo polinomio puede construirse a partir de las indeterminadas mediante sumas y productos. Teorema 2.5 Sea A un anillo unitario y S un conjunto. 1. Si k ∈ N, a ∈ A y x ∈ S, entonces el polinomio axk toma el valor a sobre kǫx y 0 en otro caso. 2. Si k1 , . . . , kn ∈ N, a ∈ A y x1 , . . . , xn son indeterminadas distintas, entonces el polinomio axk11 · · · xknn toma el valor a sobre k1 ǫx1 +· · ·+kn ǫxn y 0 en otro caso. 3. Si x, y ∈ S, entonces xy = yx. 4. Si a ∈ A y x ∈ S, entonces ax = xa. Demostración: 1. Por inducción sobre k. Para k = 0 es inmediato. Supuesto cierto para k, entonces (axk+1 )(u) = (axk )x (u) = (axk )(v)x(w) = 0 salvo si v = kǫx y w = ǫx , es decir, salvo si u = (k + 1)ǫx , en cuyo caso da a. 2. Por inducción sobre n. Para n = 1 es el caso anterior. Supuesto cierto kn+1 kn+1 kn para n tenemos que (axk11 · · · xn+1 )(u) = (axk1 1 · · · xn )(v)(xn+1 )(w) = 0 salvo que v = k1 ǫx1 + · · · + kn ǫxn y w = kn+1 ǫxn+1 , es decir, salvo si u = k1 ǫx1 + · · · + kn+1 ǫxn+1 , en cuyo caso vale a. 3. es inmediato por 2, pues ambos polinomios son la misma función. 4. Basta notar que el caso 1 se prueba igual con a por la derecha. Como consecuencia inmediata tenemos: 18 Capı́tulo 2. Anillos de polinomios Teorema 2.6 Sea A un anillo unitario y S un conjunto. El polinomio m i=1 ai xk1i1 · · · xknin , donde a1 , . . . , am ∈ A, x1 , . . . , xn son indeterminadas distintas y las n–tuplas de naturales (ki1 , . . . , kin ) son todas distintas, vale ai sobre ki1 ǫx1 + · · · + kin ǫxn y vale 0 en cualquier otro caso. Como los polinomios de esta forma cubren todas las aplicaciones posibles de M en A (con un número finito de imágenes no nulas) hemos demostrado: Teorema 2.7 Sea A un anillo unitario y S un conjunto. Todo polinomio no nulo de A[S] se expresa en la forma descrita en el teorema anterior para ciertas indeterminadas, ciertos elementos de A y ciertas n–tuplas de naturales. La expresión es única (salvo el orden) si exigimos que todos los ai sean no nulos y que cada indeterminada tenga exponente no nulo en al menos un sumando. Definición 2.8 En la expresión de 2.6, los elementos ai se llaman coeficientes del polinomio. Concretamente ai es el coeficiente del término en xk1i1 · · · xknin . Se entiende que si un término no aparece en la expresión, su coeficiente es 0 (siempre puede añadirse multiplicado por 0). Un polinomio con un único coeficiente no nulo (o sea, de la forma a xk11 . . . xknn ) es un monomio. Por tanto un polinomio se expresa siempre como suma de monomios. A veces se les llama binomios, trinomios, etc. según el número de monomios que los compongan. El coeficiente del término del monomio cuyos exponentes son todos nulos se llama término independiente, es decir, el término independiente de f es f (0). Un polinomio cuyo único coeficiente no nulo sea a lo sumo el término independiente es un polinomio constante. Los polinomios constantes son exactamente los elementos de A, según la identificación que hemos realizado. Tenemos definidos anillos de polinomios con cualquier cantidad de indeterminadas, posiblemente infinitas. Cuando S = {x1 , . . . , xn } es finito, en lugar de A[S] se escribe también A[x1 , . . . , xn ]. Por ejemplo, un elemento de Z[x, y, z] es 3x5 y 2 z 2 + 8x2 z − 6z 2 + 5. El término independiente es 5, el coeficiente del monomio en x2 z es 8 (en el cual la indeterminada y tiene exponente 0), el coeficiente del monomio en x5 es 0. Cuando sólo hay una indeterminada la expresión de un polinomio es más m sencilla. Cada polinomio no nulo de A[x] es de la forma i=0 ai xi , y la expresión es única si exigimos que am = 0. Si m es el mayor natural tal que el coeficiente de xm en un polinomio p es no nulo, entonces a dicho coeficiente se le llama coeficiente director del polinomio p y el número m se llama grado de p y lo representaremos por grad p. Un polinomio de A[x] es mónico si su coeficiente director es 1. La suma y el producto de polinomios con una indeterminada es más simple: m i=0 ai xi + m i=0 bi xi = m i=0 (ai + bi )xi , 19 2.2. Evaluación de polinomios m i ai x i=0  n i bi x i=0  m+n = i=0   i+j=k  ai bj xk . Por ejemplo, un elemento de Z[x] es 2x5 + 5x2 − 11x + 6. Se trata de un polinomio de grado 5 con coeficiente director igual a 2. En la práctica escribiremos p = p(x1 , . . . , xn ) para indicar que las indeterminadas x1 , . . . , xn son las únicas (a lo sumo) que aparecen en el polinomio p con exponentes no nulos. 2.2 Evaluación de polinomios La evaluación de polinomios es un concepto muy sencillo: si p(x) = 2x2 −4x, pretendemos que p(3) sea 2 · 32 − 4 · 3 = 6. No obstante vamos a definir las evaluaciones en un contexto más general que nos será útil después. Definición 2.9 Sean A y B dos anillos conmutativos y unitarios, φ : A −→ B un homomorfismo, S un conjunto y v : S −→ B cualquier aplicación. Para cada m polinomio p = i=1 ai x1ki1 . . . xknin ∈ A[S] definimos m φp(v) = i=1 φ(ai ) v(x1 )ki1 . . . v(xn )kin ∈ B. La conmutatividad de B y la unicidad de la expresión hacen que φp(v) esté bien definido, pues dos expresiones de p difieren sólo en el orden de las indeterminadas y en la presencia de monomios con coeficiente 0, o de indeterminadas con exponente 0, pero en cualquier caso se obtiene el mismo elemento de B. Tenemos, por tanto, una aplicación Φ : A[S] −→ B dada por Φ(p) = φp(v). En definitiva Φ(p) se calcula reemplazando los coeficientes de p por su imagen por φ y las indeterminadas por sus imágenes por v. En la práctica, si p = p(x1 , . . . , xn ) escribiremos φp(b1 , . . . , bn ) para indicar el polinomio que resulta de evaluar cada indeterminada xi con el elemento bi . Notar que aunque S pueda ser infinito, φp(v) sólo depende de la forma en que v actúa sobre las indeterminadas que aparecen en p, que son siempre un número finito. Cuando φ sea simplemente la identidad en A no lo escribiremos, y pondremos simplemente p(b1 , . . . , bn ). Teorema 2.10 Sean A y B dos anillos conmutativos y unitarios, φ : A −→ B un homomorfismo tal que φ(1) = 1, S un conjunto y v : S −→ B cualquier aplicación. Entonces la evaluación Φ : A[S] −→ B es el único homomorfismo que coincide con φ sobre A y con v sobre S. m ki1 kin Demostración: Sean p, q ∈ A[S], digamos p = y i=1 ai x1 . . . xn m ki1 kin q = i=1 bi x1 . . . xn . Observar que no hay problema en suponer que los exponentes de los monomios son los mismos, pues podemos añadir monomios con coeficiente 0 hasta igualar ambas expresiones. m  m ki1 kin Φ(p + q) = Φ = φ(ai + bi )v(x1 )ki1 . . . v(xn )kin (ai + bi ) x1 . . . xn i=1 i=1 20 Capı́tulo 2. Anillos de polinomios m = i=1  m φ(ai ) + φ(bi ) v(x1 )ki1 . . . v(xn )kin = φ(ai )v(x1 )ki1 . . . v(xn )kin i=1 m + φ(bi )v(x1 )ki1 . . . v(xn )kin = Φ(p) + Φ(q). i=1 Para probar que Φ conserva productos usaremos el hecho ya probado de que conserva las sumas.   m Φ(pq) = Φ i,j=1 m = i,j=1 m = i,j=1 m = k +kj1 ai bj x1i1 k +kj1 Φ(ai bj x1i1 . . . xnkin +kjn . . . xnkin +kjn ) φ(ai bj ) v(x1 )ki1 +kj1 . . . v(xn )kin +kjn φ(ai )φ(bj ) v(x1 )ki1 +kj1 . . . v(xn )kin +kjn i,j=1 = m ki1 φ(ai ) v(x1 ) kin . . . v(xn )  m kj1 φ(bj ) v(x1 ) . . . v(xn ) j=1 i=1 kjn  = Φ(p)Φ(q). La unicidad es evidente. De este teorema se deducen varios casos particulares de interés. Teorema 2.11 Sean A y B anillos conmutativos y unitarios y φ : A −→ B un homomorfismo tal que φ(1) = 1. Sea S un conjunto. Entonces existe un único homomorfismo φ̄ : A[S] −→ B[S] que coincide con φ en A y deja invariantes a las indeterminadas. Además es inyectivo, suprayectivo o biyectivo si φ lo es. Demostración: El homomorfismo no es sino el construido en el teorema anterior tomando como v la identidad en S. Concretamente m  m φ̄ φ(ai ) xk1i1 . . . xknin . ai xk1i1 . . . xknin = i=1 i=1 Todo lo pedido es obvio. Esto significa en particular que si A es un subanillo de B podemos considerar A[S] como un subanillo de B[S]. Ası́ por ejemplo, Z[S] ⊂ Q[S]. Teorema 2.12 Sea A un anillo conmutativo y unitario. Sea S un conjunto y supongamos que S = X ∪ Y con X e Y disjuntos. Sea B el conjunto de los polinomios de A[S] tales que todos sus monomios con coeficientes no nulos tengan tan sólo indeterminadas de X con exponentes no nulos. Entonces B es un subanillo de A[S] isomorfo a A[X] y A[S] es isomorfo a A[X][Y ]. 21 2.3. Propiedades algebraicas Demostración: Sea φ : A[X] −→ A[S] el homomorfismo construido en 2.10 con la identidad en A y la identidad en X. Es claro que B es la imagen de φ y que φ es un monomorfismo. Ahora sea ψ : A[X][Y ] −→ A[S] el homomorfismo construido en 2.10 a partir de φ y de la identidad en Y . Es inmediato probar que se trata de un isomorfismo de anillos. Por ejemplo, el polinomio 3x5 y 2 z 2 + 8x2 z − 6z 2 + 5 de Z[x, y, z] puede ser identificado con (3x5 y 2 − 6)z 2 + (8x2 )z + 5 ∈ Z[x, y][z], donde ahora 3x5 y 2 − 6 es el coeficiente de z 2 . Si lo queremos en Z[z][x, y] será: 3z 2 (x5 y 2 ) + (8z)x2 + (−6z 2 + 5), donde ahora −6z 2 + 5 es el término independiente. Por otra parte si S ⊂ T podemos considerar A[S] ⊂ A[T ]. 2.3 Propiedades algebraicas Las principales propiedades algebraicas de los anillos de polinomios se deducen a partir de consideraciones sobre los grados. Es obvio que el grado de la suma de dos polinomios f y g de A[x] es menor o igual que el máximo de los grados de f y g. Será igual a dicho máximo si sus grados son distintos, pero si coinciden se pueden cancelar los coeficientes directores y el grado de la suma disminuye: (3x5 − 2x2 + 5x + 2) + (−3x5 + x3 − x2 + 1) = x3 − 3x2 + 5x + 3. El grado del producto es a lo sumo la suma de los grados. Normalmente se da la igualdad. Las únicas excepciones se dan si uno de los factores es nulo, o si alguno de los coeficientes directores es un divisor de cero. Teorema 2.13 Sea A un anillo unitario y p, q dos polinomios no nulos de A[x] tales que al menos el coeficiente director de uno de ellos no sea un divisor de cero. Entonces pq = 0, grad(pq) = grad(p) + grad(q) y el coeficiente director del producto es el producto de los coeficientes directores. m n i i Demostración:  Sean p = i=0  ai x , q = i=0 bi x , con am = 0 = bn . m+n k m+n Entonces pq = k=0 es exactamente i+j=k ai bj x y el coeficiente de x am bn = 0, puesto que uno de ellos no es divisor de cero. Por lo tanto am bn es el coeficiente director de pq y el grado es m + n. Teorema 2.14 Sea A un dominio ı́ntegro y S un conjunto cualquiera. Entonces A[S] es un dominio ı́ntegro. Demostración: El teorema anterior nos da que si A es un dominio ı́ntegro entonces A[x] también lo es. Aplicándolo un número finito de veces obtenemos que si A es un dominio ı́ntegro y S es finito, entonces A[S] también lo es. Si S es arbitrario y f , g son dos polinomios no nulos de A[S], entonces los monomios 22 Capı́tulo 2. Anillos de polinomios con coeficientes no nulos de f y g contienen un número finito de indeterminadas con exponente no nulo, luego f y g están en un subanillo A[X] con X finito, luego A[X] es un dominio ı́ntegro, luego f g = 0. Por tanto A[S] es un dominio ı́ntegro. Teorema 2.15 Sea A un dominio ı́ntegro y S un conjunto. Entonces las unidades de A[S] son las mismas que las de A. Demostración: Veámoslo primero para A[x]. Si p ∈ A[x] es una unidad, entonces existe otro polinomio no nulo q tal que pq = 1. Por 2.13 tenemos que grad p + grad q = grad 1 = 0, luego ha de ser grad p = grad q = 0, es decir, p y q están en A, luego p es una unidad en A. De aquı́ se sigue el resultado para A[S] con S finito y, por el mismo argumento que en el teorema anterior, vale para todo S. En particular vemos que A[S] no es un cuerpo aunque A lo sea. Como sı́ es un dominio ı́ntegro, podemos definir su cuerpo de fracciones. Definición 2.16 Sea A un dominio ı́ntegro y S un conjunto. Llamaremos cuerpo de las fracciones algebraicas o funciones racionales sobre A con indeterminadas en S al cuerpo de cocientes de A[S]. Lo representaremos por A(S). Ası́, por ejemplo, un elemento de Z(x, y) es x4 −x3 y x3 −4xy 2 +4 . Ejercicio: Probar que Z(S) = Q(S). Quizá éste es un buen momento para empezar a entender la utilidad del lenguaje algebraico que empezamos a introducir en el capı́tulo anterior: el hecho de que Z[x] sea un anillo (y más concretamente un dominio ı́ntegro) nos permite tratar formalmente a sus elementos con las mismas reglas básicas que a los números enteros. El hecho de que conozcamos la construcción general del cuerpo de cocientes de un dominio ı́ntegro justifica que hablemos del fracciones de polinomios exactamente igual que de fracciones de enteros, y estos ejemplos son sólo una mı́nima parte de los que nos vamos a encontrar. Debemos ocuparnos ahora de la posibilidad de dividir polinomios. Esta es una caracterı́stica importantı́sima de los anillos con una indeterminada. Teorema 2.17 Sea A un anillo unitario, D y d dos polinomios no nulos de A[x] tales que el coeficiente director de d sea una unidad en A. Entonces existen unos únicos polinomios c y r en A[x] tales que D = dc + r con el grado de r menor estrictamente que el grado de d (también podemos exigir que D = cd + r, pero si A no es conmutativo los polinomios que cumplan esto no tienen por qué ser los mismos). Demostración: Si grad D < grad d basta tomar c = 0 y r = D. Supongamos que grad d ≤ grad D. n m Sea D = i=0 ai xi , d = i=0 bi xi , con an = 0 = bm y m ≤ n. Además estamos suponiendo que bm es una unidad de A. Veamos el teorema por inducción sobre n. 2.3. Propiedades algebraicas 23 Si n = 0, entonces también m = 0, es decir, D = a0 , d = b0 , luego basta tomar c = (b0 )−1 a0 y r = 0. Supongámoslo cierto para polinomios de grado menor que n. m n−m i+n−m Consideremos db−1 = i=0 bi b−1 . El monomio de mayor m an x m an x grado es bm (bm )−1 an xm+n−m = an xn , luego se trata de un polinomio de grado n con coeficiente director an . Consecuentemente el polinomio D − d(bm )−1 an xn−m tiene grado menor que n, luego por hipótesis de inducción existen polinomios c′ y r de manera que n−m D − db−1 = dc′ + r con grad r < grad d. m an x −1 Sea c = bm an xn−m + c′ . Ası́ D = dc + r como se pedı́a. Veamos ahora la unicidad. Supongamos que D = dc + r = dc′ + r′ . Entonces d(c−c′ ) = r′ −r. Si c−c′ = 0, como el coeficiente director de d es una unidad, por el teorema 2.13. resulta que grad(r′ −r) = grad(d(c−c′ )) = grad d+grad(c−c′ ), pero grad(r′ − r) < grad d ≤ grad d + grad(c − c′ ), contradicción. Concluimos entonces que c = c′ , luego también r = r′ . El lector que sepa dividir números naturales puede adaptar su método para dividir también polinomios. No hay ninguna diferencia esencial. Es importante que para poder dividir polinomios el divisor debe tener coeficiente director unitario. En particular podemos dividir siempre entre polinomios mónicos. Cuando A es un cuerpo todos los coeficientes son unidades, luego se pueden dividir polinomios cualesquiera. Como en este caso el grado del producto es la suma de los grados, tenemos todas las condiciones exigidas en la definición de dominio euclı́deo, es decir: Teorema 2.18 Si K es un cuerpo, entonces el anillo de polinomios K[x] es un dominio euclı́deo. Sin embargo esto es falso si K no es un cuerpo. Por ejemplo Z[x] no es un dominio euclı́deo. Tampoco es cierto en anillos de polinomios con más de una indeterminada, por ejemplo Q[x, y] no es un dominio euclı́deo. Estos hechos los probaremos en el capı́tulo siguiente. Es interesante notar que en estos momentos no tenemos idea de cómo puede probarse la no existencia de una norma euclı́dea. Si bien la teorı́a que estamos desarrollando ha surgido para resolver una serie de problemas anteriores a ella misma, estamos ante un ejemplo (a un nivel muy simple) de cómo cada teorı́a plantea de forma natural nuevos problemas a la vez que resuelve otros, problemas que nunca se hubieran podido formular fuera del contexto creado por ella. Capı́tulo III Ideales En los capı́tulos anteriores hemos introducido los que van a ser por ahora nuestros objetos de estudio principales: los números enteros y racionales y sus anillos de polinomios. Ahora vamos a introducir un concepto que ha resultado ser fundamental en el estudio de éstos y otros anillos relacionados. Se trata del concepto de ideal. Por razones que luego podremos entrever, el concepto de ideal surgió con cierto retraso en el estudio de los números. Nosotros lo introducimos desde un principio porque, dada su importancia, conviene familiarizarse con él cuanto antes. Sin embargo, para evitar un grado de abstracción que todavı́a no podemos justificar, aquı́ nos limitaremos a ver las mı́nimas ideas que nos puedan ser útiles de momento. 3.1 Ideales en un dominio Definición 3.1 Un ideal en un dominio A es un conjunto I ⊂ A que cumpla las propiedades siguientes: 1. 0 ∈ I, 2. si a, b ∈ I, entonces a + b ∈ I, 3. si a ∈ A y b ∈ I entonces ab ∈ I. Todo anillo tiene al menos dos ideales, a saber, {0} y el propio A. Se les llama ideales impropios. El ideal {0} es el ideal trivial y se representa simplemente por 0. Una observación trivial es que si un ideal I de dominio A contiene una unidad u, entonces I = A. En efecto, por definición de ideal se cumple que 1 = u−1 u ∈ I y si a ∈ A, entonces a = a1 ∈ I, es decir, todo elemento de A está en I. Por lo tanto los únicos ideales de un cuerpo son los impropios, pues si un ideal de un cuerpo posee un elemento no nulo, será una unidad, y el ideal será el cuerpo completo. 25 26 Capı́tulo 3. Ideales Definición 3.2 Es inmediato que la intersección de una familia de ideales de un anillo A sigue siendo un ideal de A. Por lo tanto si X ⊂ A, existe un mı́nimo ideal de A que contiene a X, a saber, la intersección de todos los ideales de A que contienen a X (existe al menos uno, el propio A). Lo llamaremos ideal generado por X y lo representaremos por (X). También se dice que el conjunto X es un generador del ideal (X). Ası́, para todo subconjunto X de A tenemos que (X) es un ideal de A, X ⊂ (X) y si I es un ideal de A tal que X ⊂ I, entonces (X) ⊂ I. Otro hecho obvio es que si X ⊂ Y ⊂ A, entonces X ⊂ (Y ), luego (X) ⊂ (Y ). Cuando el conjunto X es finito, X = {x1 , . . . , xn }, el ideal generado por X se representa por (x1 , . . . , xn ). Entonces se dice que el ideal está finitamente generado. El teorema siguiente nos da la forma de los elementos de un ideal a partir de sus generadores. Teorema 3.3 Sea A un dominio y X ⊂ A. Entonces (X) = {a1 x1 + · · · + an xn | n ∈ N, ai ∈ A, xi ∈ X} En particular si x ∈ A, entonces (x) = {ax | a ∈ A}. Demostración: Se comprueba sin dificultad que el conjunto de la derecha es un ideal de A y claramente contiene a X, luego (X) ⊂ {a1 x1 + · · · + an xn | n ∈ N, ai ∈ A, xi ∈ X}. Por otra parte (X) ha de contener a los elementos de la forma ax, con x en X, y por ser un subanillo a las sumas de estos elementos, luego se da la igualdad. n n Si X tiene un sólo elemento x, las sumas i=1 ai x = ( i=1 ai ) x están en {ax | a ∈ A}, luego (X) ⊂ {ax | a ∈ A}. La otra inclusión es obvia. Entre los ideales de un anillo se puede definir una suma y un producto como sigue: Definición 3.4 Sea A un anillo y sean S1 , . . . , Sn subconjuntos de A. Llamaremos S1 + · · · + S n S1 · · · S n = {s1 + · · · + sn | si ∈ Si para i = 1, . . . , n}  m si1 · · · sin | m ∈ N y sij ∈ Sj para j = 1, . . . , n = i=1 Es pura rutina comprobar que la suma y el producto de ideales de A vuelve a ser un ideal de A. Además son operaciones asociativas, conmutativas y distributivas, es decir, P (Q + R) = P Q + P R. De la definición de ideal se sigue que P Q ⊂ P ∩ Q. 3.2. Dominios de ideales principales 3.2 27 Dominios de ideales principales Definición 3.5 Un ideal de un dominio A es principal si está generado por un solo elemento, es decir, si es de la forma (a) = aA = {ab | b ∈ A}. Un dominio de ideales principales (DIP) es un dominio ı́ntegro en el que todo ideal es principal. Teorema 3.6 Todo dominio euclı́deo es un dominio de ideales principales. Demostración: Sea A un dominio euclı́deo y sea φ : A \ {0} −→ N su norma euclı́dea. Sea I = 0 un ideal de A (si I = 0 ya es principal). Sea a ∈ I tal que φ(a) sea el mı́nimo del conjunto {φ(b) | b ∈ I, b = 0}. Si b ∈ I, entonces b = ac + r, para r = 0 o bien φ(r) < φ(a). Como a ∈ I, por la definición de ideal ac ∈ I, y como I es un subanillo, también b − ac ∈ I, es decir, r ∈ I. Como φ(a) es mı́nimo, no puede ser φ(r) < φ(a), luego r = 0, es decir, b = ac ∈ Aa. Hemos probado que I ⊂ Aa. Como a ∈ I, la otra inclusión es consecuencia de la definición de ideal. Por tanto I = aA es un ideal principal. En particular tenemos que Z es un DIP, es decir, los únicos ideales de Z son los de la forma nZ, para n ∈ Z. También son DIP los anillos K[x], donde K es un cuerpo. Como los cuerpos no tienen más ideales que los impropios, y éstos son principales, (0 = (0), A = (1)), resulta que los cuerpos son trivialmente DIPs. (Alternativamente, sabemos que los cuerpos son dominios euclı́deos.) El hecho de que los anillos más importantes sean DIPs es la explicación de que el concepto de ideal tardara en surgir en teorı́a de números. Cualquier afirmación sobre ideales en un DIP puede reformularse como una afirmación sobre los elementos del anillo, pues cada ideal está determinado por su generador. No obstante hay anillos que no son DIP, y al estudiarlos conviene saber cuántas cosas son ciertas para ideales en general aunque no sean principales. De hecho, en ciertos casos de interés, resultados que en DIPs pueden formularse con elementos y con ideales, son falsos en otros anillos en términos de elementos, pero siguen siendo ciertos en términos de ideales. Vamos a ver unos ejemplos de dominios ı́ntegros que no son DIPs. Teorema 3.7 Sea A un dominio ı́ntegro. Entonces A[x] es DIP si y sólo si A es un cuerpo. Demostración: Si A es un cuerpo sabemos que A[x] es un dominio euclı́deo, luego es un DIP. Recı́procamente, si A[x] es DIP, sea a ∈ A un elemento no nulo y veamos que es una unidad en A. Para ello consideramos el ideal (x, a) de A[x]. Como ha de ser un ideal principal existe un polinomio p ∈ A[x] tal que (x, a) = (p), luego a = pq para cierto q ∈ A[x], pero entonces grad p + grad q = grad a = 0, luego grad p = 0 y por tanto p ∈ A. Por otra parte también x = pr, para cierto r ∈ A[x], pero entonces el coeficiente director de x, que es 1, 28 Capı́tulo 3. Ideales es el producto de p por el coeficiente director de r, luego p es una unidad y (p) = A[x]. Entonces 1 ∈ (p) = (x, a), luego 1 = ux + va, para ciertos polinomios u, v ∈ A[x]. Sin embargo el término independiente de ux es 0 y el de va es ba, donde b es el término independiente de v. Resulta, pues, que 1 = ba, con lo que a es una unidad en A. Esto nos da muchos ejemplos de dominios ı́ntegros que no son DIP (ni por tanto euclı́deos). A saber, Z[x] y más en  general A[S] cuando el cardinal de S es mayor que 1 (pues A[S] = A S \ {x} [x] y A[S \ {x}] no es un cuerpo). Ejercicio: Probar que (x, 2) no es un ideal principal de Z[x], y que (x, y) no es un ideal principal de Q[x, y]. 3.3 Anillos noetherianos Para acabar el capı́tulo vamos a definir una clase de anillos más general que la de los DIPs y que jugará un papel relevante en el próximo capı́tulo. Definición 3.8 Un dominio ı́ntegro A es un anillo noetheriano si todo ideal de A es finitamente generado. Evidentemente, todo DIP es un anillo noetheriano. Teorema 3.9 Sea A un dominio ı́ntegro. Son equivalentes: 1. A es un anillo noetheriano. 2. Para toda cadena ascendente de ideales de A I0 ⊂ I1 ⊂ I2 ⊂ I3 ⊂ . . . existe un número natural n tal que In = Im para todo m ≥ n. 3. Toda familia de ideales de A tiene un maximal para la inclusión. Demostración: Si I0 ⊂ I1 ⊂ I2 ⊂I3 ⊂ . . . es una cadena ascendente de ∞ ideales de A, es fácil ver que la unión i=0 Ii es también un ideal de A. Si A es noetheriano ha de tener un generador finito X. Cada elemento de X está en uno de los ideales Ii , y como X es finito y los ideales ∞ forman una cadena, existirá un natural n tal que X ⊂ In , pero entonces i=0 Ii = (X) ⊂ In , lo que implica que Ii = In para todo i ≥ n. Por tanto 1) implica 2). Si una familia de ideales de A no tuviera maximal, serı́a posible extraer una cadena ascendente de ideales que contradijera 2), luego 2) implica 3). Si A tuviera un ideal I que no admitiera un generador finito, entonces, dado cualquier elemento a0 de I, se cumple que (a0 ) = I, luego existe un elemento a1 ∈ I \ (a0 ), luego (a0 ) ⊂ (a0 , a1 ) = I, y de esta forma podemos conseguir una cadena de ideales (a0 ) ⊂ (a0 , a1 ) ⊂ (a0 , a1 , a2 ) ⊂. . . sin que ninguno de ellos sea maximal. Por lo tanto 3) implica 1). Capı́tulo IV Divisibilidad en dominios ı́ntegros El concepto de divisibilidad es uno de los más importantes en el estudio de los números. A partir de él se plantean los más interesantes y variados problemas cuyo estudio ha ocupado a los matemáticos durante milenios. Aquı́ desarrollaremos la teorı́a básica al respecto. En capı́tulos posteriores profundizaremos más en ella. 4.1 Conceptos básicos Definición 4.1 Sea A un dominio ı́ntegro y a, b dos elementos de A. Diremos que a divide a b, o que a es un divisor de b, o que b es un múltiplo de a (y lo representaremos a | b) si existe un elemento c de A tal que b = ac. Por ejemplo en Z es fácil ver que 3 divide a 15, pero no a 16. Es obvio que si a | b y b | c entonces a | c. Si u es una unidad, cualquier elemento a de A se expresa como a = u(u−1 a), luego las unidades dividen a todo elemento de A. Por otra parte si u es una unidad y a | u, entonces existe un b en A tal que u = ab, luego 1 = abu−1 , es decir, a es una unidad. En otras palabras, los divisores de las unidades son las unidades. Por el contrario 0 no divide a nadie salvo a sı́ mismo. Diremos que dos elementos a y b de A son asociados si a | b y b | a. Por ejemplo en Z se cumple que 3 y −3 son asociados. Ser asociado es una relación de equivalencia. Si dos elementos son asociados tienen los mismos múltiplos y divisores. La asociación está estrechamente relacionada con la existencia de unidades. En efecto, si a y b son asociados no nulos, entonces a = ub y b = va, para ciertos u y v del anillo A. Por lo tanto a = uva, de donde uv = 1, o sea, u y v son unidades. Ası́ pues, si dos elementos son asociados, uno se obtiene del otro 29 30 Capı́tulo 4. Divisibilidad en dominios ı́ntegros multiplicándolo por una unidad. El recı́proco es cierto, como es fácil observar. Además, cuando un mismo elemento no nulo se multiplica por unidades distintas obtenemos elementos distintos, luego un elemento no nulo de A tiene tantos asociados como unidades hay en A. Como Z tiene dos unidades, los asociados en Z forman parejas, salvo el cero, que es su único asociado. Tenemos, pues, que todo elemento de A tiene por divisores a las unidades de A y a sus propios asociados (entre los que está él mismo). A estos divisores los llamaremos divisores impropios de a. Cualquier otro divisor es un divisor propio. Por ejemplo, los divisores impropios de 4 en Z son 1, −1, 4 y −4. Sus divisores propios son 2 y −2. Estas consideraciones nos llevan al concepto de elemento irreducible: Un elemento a de un dominio ı́ntegro A es irreducible en A si es no nulo, no es una unidad y no admite ninguna descomposición a = bc con b y c elementos de A, salvo que uno de ellos sea una unidad (y, por lo tanto, el otro es un asociado de a). Equivalentemente, un elemento (no nulo ni unidad) es irreducible si sus únicos divisores son los impropios. También es obvio que un elemento es irreducible si y sólo si lo es cualquiera de sus asociados. Por ejemplo, es fácil ver que los únicos divisores de 5 en Z son 1, −1, 5 y −5, lo que implica que 5 es irreducible en Z. En cambio 15 no es irreducible, pues factoriza como 15 = 3 · 5. Si un número entero (no nulo ni unidad) no es irreducible, entonces factoriza como producto de dos enteros estrictamente menores en módulo. Si éstos no son irreducibles factorizarán a su vez en factores menores, y este proceso tiene que acabar antes o después, por lo que todo número entero se puede expresar como producto de irreducibles. Más aún, puede probarse que esta descomposición es esencialmente única. Para formular esto con precisión y en términos aplicables a otros casos (como por ejemplo a polinomios), conviene introducir el concepto siguiente: Un dominio ı́ntegro A es un dominio de factorización única (DFU) si todo elemento a de A no nulo y que no sea una unidad se descompone como producto de elementos irreducibles a = c1 · · · cn y la descomposición es única salvo ordenación o cambio por asociados (es decir, si a = c1 · · · cn = d1 · · · dm son dos descomposiciones de a en elementos irreducibles, entonces m = n y, ordenando los factores adecuadamente, cada ci es asociado a di ). No es difı́cil probar por métodos elementales que Z es un DFU. Por ejemplo la factorización única de 140 es 140 = 2 · 2 · 5 · 7 = (−5) · 2 · 7 · (−2) = · · · Sin embargo vamos a probar más en general que todo DIP es un DFU. Esto lo veremos en la sección siguiente. Acabaremos ésta con algunas consideraciones adicionales sobre DFUs que nos ayudarán a familiarizarnos con ellos. Si A es un DFU y a es un elemento no nulo ni unitario, para cada elemento irreducible p de A llamaremos exponente de p en a al número de veces que p o sus asociados aparecen en cualquier descomposición de a en factores irreducibles 4.1. Conceptos básicos 31 (puede ser igual a 0). Lo denotaremos por ep (a). En una descomposición de a aparecerán ep (a) factores asociados a p, es decir, factores de la forma up donde u es una unidad. Si multiplicamos todas las unidades que ası́ aparecen, resulta que a admite una descomposición en la forma a = u · pn1 1 · · · pnnm , donde los pi son irreducibles distintos, ni = epi (a) y u es una unidad. La presencia de u es necesaria, pues por ejemplo la única forma de factorizar en Z el −25 de este modo es −25 = (−1)52 . Lo importante es que cada p aparece siempre con exponente ep (a) en virtud de la unicidad de la factorización. Además el exponente de un irreducible en un elemento a es por definición el mismo que el de sus asociados, y el exponente de un irreducible en un elemento a es el mismo que en los asociados de a (pues una factorización de un asociado de a se obtiene multiplicando una factorización de a por una unidad, sin cambiar los irreducibles). La factorización en irreducibles de un producto puede obtenerse como el producto de las factorizaciones de los factores, de donde se sigue la relación ep (ab) = ep (a) + ep (b). Podemos definir ep (a) = 0 para todo irreducible p cuando a es una unidad y ası́ la relación anterior es válida también si a o b es una unidad. Notar también que un irreducible p divide a un elemento a si y sólo si ep (a) = 0. En efecto, si ep (a) = 0 eso significa que p aparece en una factorización de a, luego p | a. Por otra parte si p | a, entonces a = pb para cierto elemento b, luego ep (a) = ep (p) + ep (b) = 1 + ep (b) = 0. Si a | b, ha de cumplirse que ep (a) ≤ ep (b) para todo irreducible p de A. La condición es también suficiente, pues si se cumple esto, entonces b se obtiene como producto de a por el producto de todos los irreducibles p que dividen a b elevados al exponente ep (b) − ep (a) (y una unidad adecuada). Dos elementos a y b son asociados si y sólo si ep (a) = ep (b) para todo irreducible p de A. Como consecuencia de estos hechos tenemos que en un DFU, si p es irreducible y p | ab, entonces p | a o p | b. En efecto, estamos suponiendo que 0 = ep (a) + ep (b), luego una de los dos exponentes ha de ser no nulo. Este hecho resulta ser muy importante en la teorı́a de la divisibilidad, hasta el punto de que conviene introducir un nuevo concepto para comprenderlo adecuadamente: Si A es un dominio ı́ntegro, un elemento p de A es primo si es no nulo, no es una unidad y cuando p | ab entonces p | a o p | b para todos los elementos a y b de A. Ya hemos probado la mitad del siguiente teorema fundamental: Teorema 4.2 Sea A un dominio ı́ntegro 1. Todo primo de A es irreducible. 2. Si A es DFU, entonces un elemento de A es primo si y sólo si es irreducible Demostración: Efectivamente, si p es primo y se descompone como p = ab, entonces p | a o p | b, pero como a | p y b | p, lo que tenemos es que p es asociado 32 Capı́tulo 4. Divisibilidad en dominios ı́ntegros con a o con b, lo que implica que el otro es una unidad. La segunda afirmación ya está probada. 4.2 Ideales y divisibilidad Aunque todavı́a no estamos en condiciones de comprender enteramente por qué, lo cierto es que los ideales proporcionan el lenguaje idóneo para expresar los hechos más relevantes de la divisibilidad en un anillo. En primer lugar hemos de notar que si a es un elemento de un dominio ı́ntegro A, entonces el ideal (a) = Aa es precisamente el conjunto de todos los múltiplos de a. Es claro que a | b equivale a (b) ⊂ (a), de donde se sigue que a y b son asociados si y sólo si (a) = (b), es decir, si y sólo si generan el mismo ideal. Hemos de pensar que dos elementos asociados son una misma cosa a efectos de divisibilidad (ambos tienen los mismos múltiplos y divisores). Ahora vemos que a cada familia de elementos asociados de un dominio ı́ntegro le corresponde un único ideal principal. En particular el 0 se corresponde con el ideal 0 = (0) y las unidades de A se corresponden todas ellas con el ideal A = (1). El lector que quiera comprender adecuadamente la teorı́a de la divisibilidad debe esforzarse por llegar a entender que los ideales principales representan mejor que los elementos mismos del anillo los posibles divisores de un elemento dado. Quizá en esta dirección le ayude conocer un débil esbozo informal del modo en que el concepto de ideal era concebido cuando apareció en la teorı́a: Consideremos las dos afirmaciones siguientes relativas a Z. Por una parte 2 | 6 y por otra −2 | 6. A efectos de divisibilidad ambas son equivalentes, puesto que 2 y −2 son asociados. Podemos resumirlas en una sola si consideramos que es el ideal (2) = (−2) el que divide a 6, y escribimos en consecuencia (2) | 6. Podemos pensar que los divisores de los elementos de un dominio ı́ntegro no son otros elementos del anillo, sino sus ideales. Ası́, podemos definir (a) | b como a | b, lo cual no depende del generador elegido para el ideal, pues dos cualesquiera son asociados. Notar que esto equivale a que b ∈ (a), luego si I es un ideal principal tenemos (por definición) que I | b ⇔ b ∈ I. Lo que hace de esto una idea brillante es que en realidad no tenemos por qué exigir a I que sea principal, con lo que cualquier ideal I puede dividir a un elemento en este sentido. En un DIP cada ‘divisor ideal’ se corresponde con una familia de ‘divisores reales’ asociados (sus generadores), pero hay anillos no DIP en los que se puede hablar coherentemente de divisores ideales en este sentido sin que estén asociados a divisores reales, es decir, sin que sean principales. Tales ‘divisores ideales’ resultan esenciales para formular una teorı́a de divisibilidad razonable (y útil) en dichos anillos. De hecho, los ideales en el sentido moderno fueron introducidos por Dedekind a finales del siglo XIX para formalizar esta idea de divisor ideal que no se corresponde con ningún divisor real. Más en general, podemos extender la relación de divisibilidad de modo que los ideales puedan dividirse entre sı́. Podemos pensar que un ideal I divide a un ideal J si J ⊂ I (comparar con a | b ⇔ (b) ⊂ (a)). De momento no entraremos 4.2. Ideales y divisibilidad 33 en la teorı́a de divisores ideales. Nos limitaremos a desarrollar la teorı́a de divisibilidad en dominios ı́ntegros mostrando su conexión con los ideales del anillo. El lector debe tener presente que esta conexión se volverá esencial en capı́tulos posteriores, por lo que debe acostumbrarse a pensar e interpretar las cosas en términos de ideales en la medida de lo posible. Como primer ejemplo del paso a términos de ideales, veamos el equivalente del concepto de elemento primo: Definición 4.3 Un ideal P de un anillo A es primo si P = A y para todo par de ideales I, J de A tales que IJ ⊂ P , se cumple que I ⊂ P o J ⊂ P . Si tenemos in mente la equivalencia I | J ⇔ J ⊂ I vemos que la definición de ideal primo es paralela a la de elemento primo. La condición P = A se corresponde con al exigencia de que los primos no sean unidades. Hay, no obstante, una discrepancia debida principalmente a motivos históricos, y es que, mientras hemos exigido que el elemento 0 no sea considerado primo, sı́ admitimos que el ideal 0 sea considerado primo. He aquı́ una caracterización práctica del concepto de ideal primo. Teorema 4.4 Si A es un dominio ı́ntegro, un ideal P de A es primo si y sólo si P = A y para todo par de elementos a, b de A, si ab ∈ P entonces a ∈ P o b ∈ P. Demostración: Si P es primo y ab ∈ P , entonces (a)(b) ⊂ (ab) ⊂ P , de donde resulta que (a) ⊂ P o (b) ⊂ P , o sea, a ∈ P o b ∈ P . Recı́procamente, si IJ ⊂ P , pero I no está contenido en P , entonces existe un a ∈ I \ P . Ahora, si b ∈ J tenemos que ab ∈ IJ ⊂ P , luego a ∈ P o b ∈ P , y ha de ser b ∈ P , es decir, J ⊂ P . Ahora es inmediato que en un dominio ı́ntegro A se cumple que un elemento no nulo a es primo si y sólo si el ideal (a) es un ideal primo. No obstante recordamos que el ideal trivial (0) es primo, aunque el elemento 0 no lo es por definición. Si un elemento es irreducible cuando no tiene divisores propios, el concepto análogo para ideales es el siguiente: Definición 4.5 Un ideal M de un anillo A es un ideal maximal si M = A y si I es un ideal de A tal que M ⊂ I ⊂ A, entonces M = I o I = A. Como en el caso de ideales primos, estamos admitiendo la posibilidad de que el ideal 0 sea maximal (si bien no tiene por qué serlo necesariamente). La existencia de ideales maximales en cualquier anillo conmutativo y unitario A está garantizada por el lema de Zorn. Más aún, todo ideal distinto de A está contenido en un ideal maximal (la familia de ideales distintos de A que contienen a un ideal está ordenada por la inclusión, y todo subconjunto totalmente ordenado tiene una cota superior, pues la unión de una cadena de ideales es claramente un ideal, además es un ideal distinto de A porque no puede contener a la identidad). No vamos a necesitar esto de momento. 34 Capı́tulo 4. Divisibilidad en dominios ı́ntegros Al contrario de lo que ocurre con el concepto de ‘primo’, no es cierto que un elemento a de un dominio ı́ntegro A sea irreducible si y sólo si el ideal (a) es maximal. La situación es un poco más delicada. Concretamente a es irreducible si y sólo si (a) es maximal entre los ideales principales, es decir, si (a) = A y cuando (a) ⊂ (b) ⊂ A, entonces (a) = (b) o (b) = A. En efecto, si a es irreducible y (a) ⊂ (b) ⊂ A, entonces b | a, luego o bien b es una unidad (y entonces (b) = A) o bien b es asociado de a (con lo que (b) = (a)). El recı́proco es igual. Por lo tanto tenemos: Teorema 4.6 Sea A un dominio ı́ntegro y a = 0 un elemento de A. 1. a es primo si y sólo si (a) es primo. 2. a es irreducible si y sólo si (a) es maximal entre los ideales principales de A. 3. Si A es DIP, entonces a es irreducible si y sólo si (a) es maximal. La tercera afirmación es inmediata, pues en un DIP los ideales maximales coinciden con los ideales maximales entre los ideales principales. Hemos visto que todo elemento primo de un anillo es irreducible. Entre ideales podemos demostrar justo la implicación contraria: Teorema 4.7 En un dominio, todo ideal maximal es primo. Demostración: Si M es un ideal maximal en A y ab ∈ M , pero a, b ∈ / M, tendrı́amos que M  M + (a) ⊂ A, luego la maximalidad de M implica que M + (a) = A. Por lo tanto 1 = m + xa para cierto m ∈ M y cierto x ∈ A. Ası́ pues b = mb + xab ∈ M , con lo que tenemos una contradicción. Ahora estamos en condiciones de probar dos hechos clave. Teorema 4.8 En un DIP los ideales maximales coinciden con los ideales primos y los elementos irreducibles coinciden con los elementos primos. Demostración: Si A es un DIP y (a) es un ideal primo no trivial, supongamos que (b) es un ideal tal que (a) ⊂ (b) ⊂ A. Entonces a = bc para cierto c ∈ A. Como (a) es primo se ha de cumplir o bien b ∈ (a) (en cuyo caso (a) = (b)) o bien c ∈ (a), en cuyo caso c = da para cierto d ∈ A, y ası́ a = bc = bda, luego (dado que a = 0), bd = 1, o sea, b es una unidad y por lo tanto (b) = A. La segunda afirmación se sigue de la primera y de 4.6 Con esto podemos probar el resultado principal de esta sección. Diremos que un dominio ı́ntegro A tiene la propiedad de factorización si todo elemento de A no nulo ni unidad se descompone en producto de irreducibles. Teorema 4.9 Todo anillo noetheriano A tiene la propiedad de factorización. Si además todo elemento irreducible de A es primo, entonces A es DFU. En particular todo DIP es DFU. 4.3. Divisibilidad en Z 35 Demostración: Sea A un anillo noetheriano. Llamemos S al conjunto de los elementos de A no nulos ni unidades pero que no admitan una descomposición en irreducibles. Hemos de probar que S es vacı́o. Si existe un elemento a en S, entonces a no es unidad, luego (a) = A. Si a fuera irreducible entonces él mismo serı́a una descomposición en irreducibles, luego no lo es. Podemos factorizar a = bc donde ni b ni c es una unidad (ni 0). Si ninguno estuviera en S entonces se descompondrı́an en producto de irreducibles, y a también. Por tanto al menos uno de los dos está en S. Digamos que b ∈ S. Como b | a se cumple que (a) ⊂ (b). La inclusión es estricta, pues si (a) = (b) entonces a y b serı́an asociados, es decir, a = bu para cierta unidad u, pero entonces bu = bc, luego c = u serı́a una unidad, cuando no lo es. En definitiva hemos probado que para cada a ∈ S existe un b ∈ S tal que (a)  (b). Repitiendo este proceso obtendrı́amos una sucesión creciente de ideales (ao )  (a1 )  (a2 )  · · · en contradicción con el teorema 3.9. Por lo tanto S ha de ser vacı́o y ası́ todo elemento no nulo ni unitario de A admite una descomposición en irreducibles. Supongamos que los irreducibles coinciden con los primos y que tenemos dos descomposiciones en irreducibles de un mismo elemento a = c1 · · · cn = d1 · · · dm . Podemos suponer que m ≤ n. Como dm es primo, ha de dividir a uno de los factores de c1 · · · cn y como éstos son irreducibles, de hecho ha de ser asociado a uno de ellos. Pongamos que dm es asociado a cn . Entonces cn = um dm para cierta unidad um . Simplificando dm obtenemos que c1 · · · cn−1 um = d1 · · · dm−1 . Repitiendo el proceso con dm−1 (y teniendo en cuenta que un irreducible no puede dividir a una unidad), llegamos tras m pasos a que c1 · · · cn−m u1 · · · um = 1, lo que obliga a que n = m, pues ningún irreducible puede dividir a 1. Además hemos obtenido que cada ci es asociado a di , luego la descomposición es única. Con esto tenemos probada la factorización única de Z y de los anillos K[x] donde K es un cuerpo. Para el caso de Z es posible dar argumentos directos más elementales basados en el buen orden de N. Por ejemplo, para encontrar un factor irreducible de un número entero basta tomar el menor natural que lo divide. Lo mismo ocurre con K[x] considerando el grado de los polinomios. 4.3 Divisibilidad en Z En Z podemos afinar la unicidad de la descomposición en factores primos exigiendo que éstos sean positivos, es decir, números naturales. Ası́, la descomposición en primos del número 60 es 60 = 2 · 2 · 3 · 5, y no consideraremos otras como 2 · 2 · (−3) · (−5). Si no se indica lo contrario, cuando hablemos de primos en Z nos referiremos a naturales primos. El problema más elemental que surge a raı́z de todo esto es encontrar un método para obtener las factorizaciones en primos de números cualesquiera. En particular serı́a conveniente hallar un método para reconocer los números primos. El método más simple para hallar todos los primos hasta un número dado es la llamada criba de Eratóstenes, que consiste en escribir una lista con 36 Capı́tulo 4. Divisibilidad en dominios ı́ntegros los primeros n naturales, tachar el 1, que no es primo por definición, después tachar todos los múltiplos de 2 (salvo el propio 2), dejar el menor número que queda (el 3) y tachar sus múltiplos, dejar el menor número que queda (el 5) y tachar sus múltiplos, etc. Los números que sobrevivan serán los primos menores que n. He aquı́ la lista de los primos menores que 100, que hacen un total de 25. 2, 43, 3, 5, 47, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Para descomponer un número en factores primos podemos ir probando a dividirlo por los primos menores que él hasta hallar uno que lo divida e ir repitiendo la operación con los cocientes que vayamos obteniendo. Notar que si queremos factorizar un número n y m cumple que n ≤ m2 , entonces, si n no es primo, el menor primo que divide a n ha de ser menor que m. Por ejemplo, el menor primo que divida a un número menor que 100 ha de ser menor que 10, es decir, si un número menor que 100 no es divisible entre 2, 3, 5 o 7, entonces es primo. En cualquier caso, siempre es posible distinguir los números primos de los compuestos y hallar la factorización de cualquier número en un número finito de pasos. Más adelante encontraremos técnicas para abordar este problema con más elegancia. Una cuestión importante es si el número de primos es finito o infinito. La respuesta es que es infinito. Para probarlo observemos que en general un primo p no puede dividir al mismo tiempo a un número n y a n + 1, pues entonces dividirı́a a su diferencia, que es 1. De hecho, en Z, si p divide a n, el próximo número al que divide es n + p. Sabiendo esto demostramos: Teorema 4.10 (Euclides): En Z hay infinitos números primos. Demostración: Dado un número n consideremos n! Se cumple que todo número menor o igual que n divide a n!, luego ningún número menor o igual que n divide a n! + 1. En consecuencia un divisor primo de n! + 1 ha de ser mayor que n. Por lo tanto por encima de cada número n hay siempre un número primo. Esto implica que hay infinitos primos. Definición 4.11 Sea A un dominio ı́ntegro y X un subconjunto de A. Diremos que un elemento d de A es un máximo común divisor (mcd) de los elementos de X si d divide a los elementos de X y cualquier elemento de A que cumpla lo mismo es un divisor de d. Diremos que un elemento m de A es un mı́nimo común múltiplo (mcm) de los elementos de X si es múltiplo de todos los elementos de X y todo elemento de A que cumpla lo mismo es un múltiplo de m. Es obvio que m es un mcd o un mcm de X si y sólo si lo es cualquiera de sus asociados, es decir, estos conceptos son únicos salvo unidades. Por supuesto 4.3. Divisibilidad en Z 37 el mcd o el mcm de un conjunto dado no tiene por qué existir. No obstante, cualquier subconjunto finito de un DFU tiene mcd y mcm. El lector puede entretenerse probando que las siguientes “recetas” nos dan un mcd y un mcm de cualquier subconjunto finito X de un DFU. Un mcd de X está formado por el producto de los primos que dividen a todos los elementos de X elevados al mı́nimo exponente con el que aparecen en alguno de los elementos de X. Un mcm de X está formado por el producto de todos los primos que dividen a algún elemento de X elevados al mayor exponente con el que aparecen en los elementos de X. Por ejemplo, dados los números 22 · 3 · 75 , 2 · 5 · 7, 34 · 52 · 7, el mcd es 7 y el mcm es 22 · 34 · 52 · 75 . Escribiremos mcd(a1 , . . . , an ) y mcm(a1 , . . . , an ) para representar el mcd y el mcm de los elementos a1 , . . . , an . A veces el mcd lo representaremos simplemente por (a1 , . . . , an ). En Z el mcd es único si lo exigimos positivo. Si no se indica lo contrario siempre lo supondremos ası́. Hay que prestar un poco de atención al cero: por definición todo elemento de un anillo divide a 0, de donde se sigue fácilmente que el mcd de un conjunto de elementos que contenga a 0 es el mismo que el del conjunto que resulte de eliminarlo. Por otra parte si un conjunto de elementos contiene una unidad, su mcd es 1. Los elementos de un conjunto son primos entre sı́ si su mcd es 1, es decir, si no tienen divisores primos comunes. No hay que confundir esto con que sean primos entre sı́ dos a dos, que es más fuerte. Si dividimos los elementos de un conjunto por su mcd obtenemos un conjunto de elementos primos entre sı́, pues si d es el mcd y p es un primo que dividiera al conjunto resultante, entonces dp dividirı́a al conjunto original, luego dp | d y p serı́a una unidad. En un DIP el máximo común divisor de un conjunto finito de números cumple una propiedad muy importante: Teorema 4.12 (Relación de Bezout): Sea A un DIP y a1 , . . . , an elementos de A. Sea d un mcd de a1 , . . . , an . Entonces (d) = (a1 ) + · · · + (an ), luego existen ciertos elementos r1 , . . . , rn en A de manera que d = r1 a1 + · · · + rn an . Demostración: Sea (d) = (a1 ) + · · · + (an ) (por definición). Vamos a ver que d es un mcd de a1 , . . . , an . Como cada ai está en (d), ciertamente d | ai . Si s divide a todos los ai , entonces (ai ) ⊂ (s), luego (d) = (a1 ) + · · · + (an ) ⊂ (s), luego s | d. Observemos que si d′ es cualquier otro mcd de los elementos dados, entonces ′ (d ) = (d), luego la relación de Bezout es válida para cualquiera de ellos. Este resultado se aplica especialmente a pares de elementos primos entre sı́: si m y n son primos entre sı́, existen r y s tales que rm + sn = 1. 38 4.4 Capı́tulo 4. Divisibilidad en dominios ı́ntegros Divisibilidad en anillos de polinomios El estudio de la divisibilidad no es tan sencillo si pasamos a los anillos de polinomios A[x]. Tomemos unos cuantos polinomios y multipliquémoslos: (x2 + 3x − 5)(x − 1)(2x3 + 3) = 2x6 + 4x5 − 16x4 + 13x3 + 6x2 − 24x + 15. ¿Cómo encontrar los factores a partir del producto? De hecho ni siquiera sabemos si los factores que hemos tomado son irreducibles o no (es costumbre hablar de números primos pero de polinomios irreducibles, aunque en principio son términos equivalentes). El problema es que, a diferencia del caso numérico, hay infinitos posibles divisores para un polinomio dado. No hay ningún criterio general para determinar si un polinomio dado es o no irreducible, aunque algo se puede decir sobre el tema. De todos modos, antes de entrar en ello tenemos planteado otro problema más importante. Sabemos que A[x] es un DFU cuando A es un cuerpo, pero en otro caso A[x] no es DIP. ¿Sigue siendo A[x] un DFU a pesar de ello? ¿Es Z[x] DFU?, ¿Es Q[x, y] DFU? Vamos a probar que sı́, para lo cual necesitamos un trabajo previo. Si D es un DFU y K es su cuerpo de cocientes, vamos a probar que D[x] es un DFU apoyándonos en que K[x] lo es. La situación tı́pica con la que tenemos que encontrarnos es la siguiente: El polinomio 6x2 − 24 factoriza en Z[x] como 6x2 − 24 = 6(x2 − 4) = 2 · 3 · (x − 2) · (x + 2). Vemos que tiene 4 divisores primos. Sin embargo, en Q[x] sólo tiene dos, pues los primeros factores pasan a ser unidades. Conviene dar la definición siguiente: Definición 4.13 Sea D un DFU y sea c : D[x] −→ D una aplicación que asigne a cada polinomio f ∈ D[x] un mcd de sus coeficientes no nulos (y c(0) = 0). A c(f ) se le llama contenido del polinomio f . Usaremos la notación a ≈ b para indicar que a y b son asociados. Es claro que si f es un polinomio no nulo y a es un mcd de sus coeficientes no nulos, entonces a ≈ c(f ). Diremos que un polinomio f es primitivo si c(f ) es una unidad, o sea, si sus coeficientes son primos entre sı́. En particular, todo polinomio mónico es primitivo. Por ejemplo, el contenido del polinomio 6x2 −24 ∈ Z[x] es 6 (en Z[x] podemos elegir los contenidos naturales), mientras que el polinomio x2 −4 es primitivo. En general es inmediato que si f ∈ D[x] y f = 0, entonces f (x) = c(f )g(x) donde g(x) ∈ D[x] es un polinomio primitivo. Ası́, para probar que todo polinomio f (x) ∈ D[x] se descompone en irreducibles basta probar que podemos factorizar por una parte polinomios constantes y por otra polinomios primitivos. La factorización de las constantes es obvia, puesto que estamos suponiendo que D es un DFU. Notemos que todo a ∈ D es irreducible en D si y sólo si lo 4.4. Divisibilidad en anillos de polinomios 39 es en D[x]. (Una descomposición de a en factores no unitarios de D[x] tendrı́a que constar de polinomios de grado 0, luego serı́an factores no unitarios de D, y el recı́proco es obvio.) Para probar que todo polinomio primitivo p(x) ∈ D[x] se descompone en irreducibles observamos que los polinomios primitivos no son divisibles entre constantes no unitarias, ya que una constante que divida a p(x) divide también a su contenido. Ası́, si p(x) (no unitario) no pudiera descomponerse en irreducibles en D[x], en particular no serı́a irreducible, luego se descompondrı́a en dos factores, digamos p(x) = p1 (x)q1 (x), donde ninguno de los dos es una unidad, luego ambos tienen grado menor que el grado de p(x). Al menos uno de los dos no podrı́a descomponerse en irreducibles (digamos que p1 (x)), luego p1 (x) no es irreducible y factoriza como p1 (x) = p2 (x)q2 (x), donde ambos factores son no constantes, pues dividen a p(x), luego el grado de p2 (x) es menor que el de p1 (x). De este modo obtenemos una sucesión de polinomios p(x), p1 (x), p2 (x), . . . cuyos grados son estrictamente decrecientes, lo cual es absurdo. Con esto tenemos demostrado que todo polinomio de D[x] no nulo ni unitario se descompone en producto de irreducibles. La parte delicada es demostrar la unicidad de la descomposición. La idea es usar la factorización única en D para probar la unicidad de los factores irreducibles constantes y la unicidad en D[x] para probar la unicidad de los factores irreducibles no constantes. Necesitamos dos resultados sobre c(f ). Teorema 4.14 Sea D un DFU. 1. Si a ∈ D y f ∈ D[x], entonces c(af ) ≈ a · c(f ). 2. Si f , g ∈ D[x], entonces c(f g) ≈ c(f )c(g). Demostración: 1) Es inmediato que a · c(f ) es un mcd de los coeficientes de af . 2) Sea f = c(f )f1 y g = c(g)g1 con f1 y g1 primitivos. Entonces c(f g) = c (c(f )f1 · c(g)g1 ) ≈ c(f )c(g)c(f1 g1 ), luego basta probar que c(f1 g1 ) es una unidad. n m Sean f1 = i=0 ai xi , g1 = i=0 bi xi , con  an = 0 = bm . Entonces f1 · g1 = m+n k=0 i+j=k ai bj xk . Si c(f1 g1 ) no fuera una unidad en D, existirı́a un irreducible p tal que p | c(f1 g1 ). Entonces p | i+j=k ai bj para cada k entre 0 y n + m. Como c(f1 ) es una unidad, p no divide a c(f1 ), luego existe un mı́nimo ı́ndice s tal que p | ai para i < s y p ∤ as (en particular as = 0). Igualmente existe un mı́nimo ı́ndice t tal que p | bj para j < t y p ∤ bt (bt = 0). Ahora, tomando k = s + t, resulta que p divide a i+j=k ai bj y también divide a todos los sumandos salvo quizá a as bt , de donde divide a la diferencia, o sea, a as bt . Como p es primo divide a uno de los factores, lo que nos da una contradicción. 40 Capı́tulo 4. Divisibilidad en dominios ı́ntegros Ası́, si un polinomio f (x) ∈ D[x] no nulo ni unitario admite una descomposición en irreducibles de D[x] de la forma d1 · · · dr · p1 (x) · · · ps (x), donde los di son los factores constantes, entonces cada pi (x) es primitivo, pues en caso contrario serı́a divisible entre un polinomio constante irreducible. Por consiguiente c(f ) ≈ d1 · · · dr . Ahora, la factorización única en D garantiza que si f admite dos descomposiciones en irreducibles, los factores de grado 0 son los mismos salvo orden y asociación, pues ambos constituyen descomposiciones en irreducibles de c(f ) en D. Para demostrar la unicidad del resto de la descomposición necesitamos dos resultados: Teorema 4.15 Sea D un DFU, sea K su cuerpo de cocientes y sean f , g polinomios primitivos en D[x]. Entonces f y g son asociados en D[x] si y sólo si lo son en K[x]. Demostración: Si f y g son asociados en K[x] entonces f = gu para cierta unidad u de K[x]. Por el teorema 2.15 u es un polinomio constante, es decir, está en K. Por lo tanto u = r/s para ciertos r, s ∈ D no nulos. Entonces sf = rg. Como c(f ) y c(g) son unidades en D tenemos que s ≈ s·c(f ) ≈ c(sf ) = c(rg) ≈ r · c(g) ≈ r, luego r = sv para cierta unidad v de D. En consecuencia sf = rg = svg, luego f = vg, lo que prueba que f y g son asociados en D[x]. El recı́proco es obvio. Teorema 4.16 (Criterio de irreducibilidad de Gauss) Sea D un DFU, sea K su cuerpo de cocientes y f ∈ D[x] un polinomio primitivo no constante. Entonces f es irreducible en D[x] si y sólo si lo es en K[x]. Demostración: Supongamos que f es irreducible en D[x] pero f = gh donde g, h ∈ K[x] no son unidades. Entonces grad g ≥ 1, grad h ≥ 1. m n Sean g = i=0 abii xi y h = i=0 dcii xi para ciertos ai , bi , ci , di ∈ D con bi = 0 = d i . Llamemos b = b0 · · · bn y para cada i sea b∗i = b/bi ∈ D. n Consideremos el polinomio g1 = i=0 ai b∗i xi ∈ D[x]. Podemos descomponer g1 = ag2 , siendo a = c(g1 ) y g2 ∈ D[x] un polinomio primitivo. Claramente g = 1b g1 = ab g2 , luego grad g = grad g2 . Del mismo modo se llega a que h = dc h2 , donde c, d ∈ D y h2 ∈ D[x] es primitivo, grad h = grad h2 . Ahora f = gh = ac bd g2 h2 , con lo que f y g2 h2 son dos polinomios primitivos en D[x] asociados en K[x]. Por el teorema anterior son asociados en D[x], luego existe una unidad u ∈ D tal que f = ug2 h2 , y ası́ f es reducible en D[x], contradicción. Si f es irreducible en K[x] y f = gh con g, h ∈ D[x], entonces g o h es una unidad en K[x], por ejemplo g, lo que significa que g ∈ K, pero como está en D[x], en realidad g está en D. Ahora 1 ≈ c(f ) ≈ gc(h), luego g es una unidad en D, luego en D[x]. Esto prueba que f es irreducible en D[x]. Finalmente podemos probar: 4.4. Divisibilidad en anillos de polinomios 41 Teorema 4.17 (Gauss) Si D es un DFU y S un conjunto, entonces D[S] es un DFU. Demostración: Veamos primeramente que D[x] es DFU. Sea f ∈ D[x] no nulo ni unidad. Hemos visto que f admite una descomposición en polinomios irreducibles en D[x] f = d1 · · · dr p1 (x) · · · ps (x), donde los di son los factores de grado 0 y los pi (x) son necesariamente primitivos. También sabemos que los di son únicos salvo orden y asociación. Por otra parte, si K es el cuerpo de cocientes de D, tenemos que los pi (x) son irreducibles en K[x] y d1 · · · dr es una unidad en K[x]. Ası́, si f admite dos factorizaciones en D[x], los correspondientes pi (x) han de ser los mismos salvo orden y asociación en K[x], pero también sabemos que la asociación en K[x] coincide con la asociación en D[x] para polinomios primitivos de D[x]. Esto prueba la unicidad de la descomposición y nos da que D[x] es un DFU. Aplicando este resultado un número finito de veces obtenemos que D[S] es un DFU cuando el conjunto S es finito. El caso general se reduce al finito del modo usual. Tenemos ası́ demostrados dos resultados que, sin ser excesivamente complejos, no son triviales en absoluto y representan un papel relevante en la teorı́a que estamos desarrollando. Con las técnicas que hemos necesitado para llegar a ellos podemos probar fácilmente un criterio útil de irreducibilidad de polinomios. Teorema 4.18 (Criterio de irreducibilidad de Eisenstein) Sea D un DFU, K n su cuerpo de cocientes, f = i=0 ai xi ∈ D[x] un polinomio no constante con an = 0 y p ∈ D un primo. Supongamos que p | ai para i = 0, . . . n − 1, p ∤ an y p2 ∤ a0 . Entonces f es irreducible en K[x] y, si es primitivo, en D[x]. Demostración: Sea f = c(f )f1 donde f1 ∈ D[x] es primitivo. Basta probar que f1 es irreducible en K[x], pues c(f ) es una unidad en K, luego f también lo será. El resto del teorema es consecuencia del criterio de Gauss. También por el criterio de Gauss, basta probar que f1 es irreducible en D[x]. Notemos que p no divide a c(f ) (porque no divide a an ). Cada coeficiente de f es el producto de c(f ) por el correspondiente coeficiente de f1 , luego f1 sigue cumpliendo las hipótesis del teorema. Por no cambiar de notación podemos suponer que f = f1 (pero ahora f es primitivo). s r Supongamos que f = gh, donde g = i=0 bi xi y h = j=0 cj xj . Ninguno de los dos puede ser constante o de lo contrario f no serı́a primitivo. Como c(g)c(h) ≈ c(f ), tanto g como h son primitivos. Tenemos que p | a0 = b0 · c0 , luego p divide a uno de los factores. Pongamos por caso que p | b0 . Como p2 ∤ a0 no puede ser que p divida también a c0 . Como g es primitivo p no puede dividir a todos los bi . Tomemos el menor natural k tal que p | bi para i < k y p ∤ bk . Ası́ 1 ≤ k ≤ r < n. El coeficiente ak = i+j=k bi cj es divisible entre p y por otra parte p divide a todos los sumandos salvo quizá a bk c0 , luego divide a la diferencia, que es justo bk c0 . Sin embargo p ∤ bk y p ∤ c0 , contradicción. 42 Capı́tulo 4. Divisibilidad en dominios ı́ntegros Ejercicio: Probar que en Q[x] hay polinomios irreducibles de grado arbitrariamente grande. Aunque los polinomios a los que podemos aplicar el criterio de Eisenstein han de cumplir unas propiedades muy particulares, en realidad este criterio es útil en más ocasiones de las que en principio se podrı́a pensar. Ello se debe al resultado siguiente: Teorema 4.19 Sea A un dominio. Sea a una unidad de A y b cualquier elemento de A. La aplicación f : A[x] −→ A[x] dada por f p(x) = p(ax + b) es un isomorfismo de anillos, luego en particular un polinomio p(x) es irreducible en A[x] si y sólo si p(ax + b) lo es. Demostración: Claramente f es un homomorfismo porque no es sino la evaluación en ax + b. Es biyectivo porque tiene por inverso a la evaluación en a−1 x − a−1 b. Por ejemplo, para probar que el polinomio p(x) = 8x3 − 6x − 1 es irreducible en Z[x], basta ver que lo es en Q[x], pero por el teorema anterior basta ver que lo es el polinomio p( 12 x + 21 ) = x3 − 3x − 3, que es irreducible en Q[x] por el criterio de Eisenstein. En general no se conoce ningún método efectivo para determinar si un polinomio dado es o no irreducible, ni mucho menos para encontrar los factores irreducibles de un polinomio dado. La búsqueda de factores irreducibles de grado 1 de un polinomio equivale a la búsqueda de sus raı́ces, tal y como explicamos a continuación. Definición 4.20 Sea A un dominio y f (x) un polinomio en A[x]. Podemos considerar a f como una función f : A −→ A. En efecto, para cada elemento a ∈ A tenemos definida la evaluación f (a) ∈ A. Diremos que a es una raı́z del polinomio f si f (a) = 0. La relación básica entre la divisibilidad y la existencia de raı́ces se sigue del siguiente teorema elemental: Teorema 4.21 (Teorema del resto) Sea A un anillo conmutativo y unitario, f (x) ∈ A[x] y c ∈ A. Entonces existe un único polinomio q(x) ∈ A[x] tal que f (x) = q(x)(x − c) + f (c). Demostración: Si f = 0 basta tomar q = 0. En otro caso el resultado se sigue del teorema 2.17, que nos da dos polinomios q(x) y r(x) tales que f (x) = q(x)(x − c) + r(x) con el grado de r menor que el de x − c, o sea, r es de grado cero, luego constante. Sustituyendo x por c resulta que f (c) = q(c)(c − c) + r, o sea, r = f (c). Como consecuencia Teorema 4.22 Sea A un dominio ı́ntegro. Sea f (x) ∈ A[x] y c ∈ A. Entonces c es una raı́z de f (x) si y sólo si (x − c) | f (x). 4.4. Divisibilidad en anillos de polinomios 43 Demostración: Si c es una raı́z de f (x) entonces f (c) = 0, luego el teorema anterior se reduce a que existe un polinomio q(x) tal que f (x) = q(x)(x − c), luego (x − c) | f (x). Si (x − c) | f (x) entonces f (x) = q(x)(x − c) para cierto polinomio q(x). Por lo tanto f (c) = q(c)(c − c) = 0, es decir, c es una raı́z de f (x). De aquı́ que un polinomio irreducible de grado mayor que 1 no puede tener raı́ces. Por otro lado un polinomio de grado 1, ax + b siempre tiene una raı́z en un cuerpo, a saber, −b/a. Ası́ obtenemos lo siguiente: Si K es un cuerpo, un polinomio de grado 2 o 3 es irreducible en K[x] si y sólo si no tiene raı́ces en K. En efecto, si se pudiera descomponer en producto de irreducibles, al menos uno de sus factores irreducibles tendrı́a grado 1, luego tendrı́a una raı́z en K. Para polinomios de grado mayor que 3 la no existencia de raı́ces ya no implica la irreducibilidad. Por ejemplo, el polinomio (x2 + 1)2 es reducible en Q[x] y no tiene raı́ces en Q. El teorema anterior implica un hecho muy importante sobre las raı́ces de un polinomio en un dominio ı́ntegro. Teorema 4.23 Sea A un dominio ı́ntegro y sea f (x) ∈ A[x] un polinomio de grado n. Entonces f (x) tiene a lo sumo n raı́ces en A. Demostración: Sean c1 , . . . , cm raı́ces distintas de f (x) en A. Por el teorema anterior tenemos que (x − c1 ) | f (x), es decir, f (x) = (x − c1 )f ′ (x). Como c2 es raı́z de f tenemos que 0 = f (c2 ) = (c2 − c1 )f ′ (c2 ) y como las raı́ces son distintas c2 − c1 = 0. Como A es un dominio ı́ntegro ha de ser f ′ (c2 ) = 0, luego por el teorema anterior f ′ (x) = (x − c2 )f ′′ (x), de donde f (x) = (x − c1 )(x − c2 )f ′′ (x). Repitiendo esto m veces tenemos que (x − c1 ) · · · (x − cm ) | f (x), por lo que el grado de (x − c1 ) · · · (x − cm ), que es m, ha de ser menor o igual que el grado de f (x), que es n. Sin embargo el número de raı́ces de un polinomio no tiene por qué igualar a su grado. Por ejemplo, x2 + 1 no tiene raı́ces en Q[x], pues el cuadrado de un número racional no puede ser negativo. Por otro lado (x − 1)2 tiene grado 2 y una única raı́z. Ejercicio: Probar que el polinomio x2 + 1 tiene al menos tres raı́ces en el anillo D de los cuaterniones racionales. Hay un análogo al criterio de Gauss pero referente a la existencia de raı́ces en lugar de la irreducibilidad. La prueba es mucho más sencilla: Teorema 4.24 Sea D un DFU y K su cuerpo de cocientes. Sea p(x) un polinomio mónico no constante con coeficientes en D. Si c es una raı́z de p(x) en K, entonces c ∈ D. Demostración: Sea c = ab , con a, b ∈ D. Si c ∈ / D entonces b ∤ a, luego n existe un primo p ∈ D tal que ep (a) < ep (b). Sea p(x) = i=0 di xi , donde dn = 1. Entonces an−1 a an + d + · · · + d1 + d0 = 0. n−1 bn bn−1 b 44 Capı́tulo 4. Divisibilidad en dominios ı́ntegros Multiplicando por bn queda: an = −dn−1 ban−1 − · · · − d1 bn−1 a − d0 bn . Ahora bien, el exponente de p en el miembro izquierdo es exactamente nep (a), mientras que en el miembro derecho es estrictamente mayor que nep (a), con lo que tenemos una contradicción. Ejercicio: Probar que un número entero tiene una raı́z n–sima en Q si y sólo si la tiene en Z. Ejercicio: Probar que las raı́ces enteras de un polinomio de Z[x] dividen a su término independiente. Terminaremos con una aplicación más sofisticada del criterio de Eisenstein. Para ello necesitaremos un resultado sencillo que, según veremos en el capı́tulo siguiente, tiene una consecuencia muy importante en la teorı́a de anillos. Teorema 4.25 Sea p un número natural primo y 0 < m < p. Entonces   p p| m p p = p, luego efectivamente p | Demostraci ón: Si m = 1, entonces m . m p Si p | m y m + 1 < p, entonces     p! p p−m p−m p p! = . = = m+1 (m + 1)! (p − m − 1)! m + 1 m! (p − m)! m+1 m p Ası́ pues, p | (p − m) m , y como (m + 1, p) = 1, la divisibilidad se conserva al p . dividir entre m + 1, es decir, p | m+1 Consideremos el polinomio xn − 1 ∈ Z[x]. Evidentemente no es irreducible, porque tiene la raı́z x = 1. Eso significa que es divisible entre x − 1. No es difı́cil llegar a que xn − 1 = (x − 1)(xn−1 + xn−2 + · · · + x + 1). Vamos a probar que si p es un número natural primo, entonces el polinomio p(x) = xp−1 + xp−2 + · · · + x + 1 es irreducible en Z[x] (o equivalentemente en Q[x]). Por el teorema 4.19 basta probar que p(x + 1) es irreducible en Z[x]. Aplicamos la evaluación en x + 1 a la igualdad anterior y obtenemos (x + 1)p − 1 = (x + 1 − 1)p(x + 1) = xp(x + 1). Por tanto xp(x + 1) = p    p k p k=0 p k=1 k xk − 1 = k−1 p    p k=1 k xk , y en consecuencia p(x + 1) = x . Por el teorema anterior p divide a todos los coeficientes de p(x + 1) salvo al correspondiente a xp , que es 1. Además p2 no divide al término independiente, que es p. Por el criterio de Eisenstein, p(x + 1) es irreducible, luego p(x) también. Capı́tulo V Congruencias y anillos cociente Las congruencias son una herramienta muy potente en el estudio de los números enteros. La solución de muchos problemas de muy diversa ı́ndole, ası́ como algunas propiedades generales sobre los anillos, encuentran su expresión más natural en términos de congruencias. En este capı́tulo veremos muchos ejemplos de ello. Los anillos cociente proporcionan una visión alternativa más conceptual de la noción de congruencia. 5.1 Definiciones básicas Definición 5.1 Consideremos un dominio A y un ideal I. Diremos que dos elementos a y b de A son congruentes módulo I, abreviado a ≡ b (mód I), si a − b ∈ I. Teniendo en cuenta que 0 ∈ I, que el opuesto de un elemento de I está en I y que la suma de elementos de I está en I, se sigue fácilmente que la congruencia módulo I es una relación de equivalencia en A. Consideremos el caso concreto de Z. En general diremos que dos elementos de un anillo son congruentes módulo un tercero si lo son módulo el ideal que éste genera, por lo que en DIPs como Z no necesitamos mencionar ideales. En definitiva dos enteros a y b son congruentes módulo n si n | a − b. Dado un entero a, podemos dividirlo entre n de modo que a = nc + r, con 0 ≤ r < n. Resulta que a − r = nc, luego a ≡ r (mód n). Ası́, todo número entero es congruente con un número natural menor que n, exactamente con su resto al dividirlo entre n. Por otra parte dos números naturales distintos menores que n no pueden ser congruentes entre sı́, ya que su diferencia en el orden adecuado es un número natural no nulo menor que n, luego no puede ser un múltiplo de n. Vamos a expresar adecuadamente lo que hemos obtenido: 45 46 Capı́tulo 5. Congruencias y anillos cociente Si I es un ideal de un anillo A, llamaremos A/I al conjunto cociente originado por la relación de congruencia módulo I. Lo que acabamos de probar es que el conjunto Z/nZ tiene exactamente n elementos. Por ejemplo Z/5Z está formado por las clases siguientes: { { { { { ... ... ... ... ... −20, −19, −18, −17, −16, −15, −10, −5, 0, 5, 10, −14, −9, −4, 1, 6, 11, −13, −8, −3, 2, 7, 12, −12, −7, −2, 3, 8, 13, −11, −6, −1, 4, 9, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, ... ... ... ... ... } } } } } La primera clase la forman los múltiplos de 5, la segunda los números que al ser divididos entre 5 dan resto 1, etc. Si llamamos [a] a la clase de equivalencia  de a tenemos por ejemplo que [4] = [−1], Z/5Z = [0], [1], [2], [3], [4] . En general, en un anillo A, los elementos congruentes con un cierto a módulo un ideal I son los b que cumplen b − a ∈ I, es decir, los elementos de la forma a + i para un cierto i ∈ I. Por lo tanto [a] = a + I = {a + i | i ∈ I}. El interés de todo esto radica en el hecho siguiente: Teorema 5.2 Sea A un dominio e I un ideal de A. Si a, a′ , b, b′ son elementos de A que cumplen [a] = [a′ ] y [b] = [b′ ], entonces también [a + b] = [a′ + b′ ] y [ab] = [a′ b′ ]. El conjunto A/I se convierte en un dominio con las operaciones definidas mediante [a] + [b] = [a + b], [a][b] = [ab]. Al anillo A/I se le llama anillo cociente de A módulo el ideal I. Demostración: Tenemos que a − a′ ∈ I y que b − b′ ∈ I, de donde (a + b) − (a′ + b′ ) = (a − a′ ) + (b − b′ ) ∈ I, ab − a′ b′ = ab − a′ b + a′ b − a′ b′ = (a − a′ )b + a′ (b − b′ ) ∈ I, por las propiedades de los ideales. Esto nos garantiza que las operaciones definidas mediante [a] + [b] = [a + b] y [a][b] = [ab] no dependen de la elección de a y b en cada una de las clases. El resto del teorema es inmediato. Por ejemplo la asociatividad de la suma se cumple porque ([a] + [b]) + [c] = [a + b] + [c] = [a + b + c] = [a] + [b + c] = [a] + ([b] + [c]). Ejercicio: Construir las tablas de la suma y el producto en Z/5Z. De esta forma nos hemos encontrado con una colección de anillos finitos. Estos anillos resultan utilı́simos para determinar si un número dado divide o no a otro. En efecto, se cumple que m | n si y sólo si [n] = 0 módulo m, y esto es fácil de calcular. Por ejemplo, tomando clases módulo 7: [234] = [2][10][10] + [3][10] + [4] = [2][3][3] + [3][3] + [4] = [6][3] + [2] + [4] = [−1][3] + [6] = [3] 47 5.1. Definiciones básicas Esto prueba que el resto de 234 entre 7 es 3, y por tanto no es múltiplo de 7. Hemos hecho muchas operaciones, pero todas muy sencillas. Con números pequeños no siempre es más rápido, pero con números grandes es muy práctico. Ası́ podemos obtener criterios sencillos de divisibilidad. Normalmente escribimos los números en base 10, es decir, 1.247 = 1 · 1.000 + 2 · 100 + 4 · 10 + 7 = 1 · 103 + 2 · 102 + 4 · 10 + 7. Si en general tenemos un número de la forma a = módulo 2 se cumple n [a] = [ci ][10]i = i=0 n n i i=0 ci 10 , al tomar clases [ci ][0]i = [c0 ][0]0 = [c0 ], i=0 luego el número a será múltiplo de 2 si y sólo si [a] = 0, si y sólo si [c0 ] = 0, es decir, si y sólo si su última cifra es múltiplo de 2. En resumen: Un número natural n es múltiplo de 2 si y sólo si acaba en 0, 2, 4, 6 u 8. Con lo que a simple vista sabemos que 6.278 es par mientras que 29.953 es impar. Tomemos ahora clases módulo 3. La clave es que [10] = [1]: n [a] = i=0 [ci ][10]i = n [ci ][1]i = i=0 n n [ci ] = [ i=0 ci ]. i=0 Podemos enunciar el resultado ası́: Un número natural es múltiplo de 3 si y sólo si la suma de sus cifras lo es. Por ejemplo, para saber si 3.725 es múltiplo de 3 sumamos 3 + 7 + 2 + 5 = 17 y repetimos la operación: 1 + 7 = 8. Como 8 no es múltiplo de 3, concluimos que 3.725 tampoco lo es. De hecho al dividirlo entre 3 su resto es el mismo que el de 8, o sea, 2. Si consideramos clases módulo 4 resulta que [10] = 2, luego [100] = [2][2] = 0, y todas las potencias de 10 superiores a 10 dan resto cero. La regla que se obtiene es: Un número natural n es múltiplo de 4 si y sólo si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4. Por ejemplo, el año 2.494 no será bisiesto, ya que, módulo 4, [94] = [9][2] + [4] = [1][2] + [0] = [2]. Como [10] = 0 módulo 5, ocurre lo mismo que con el 2: Un número es múltiplo de 5 si y sólo si su última cifra lo es o, equivalentemente, Un número natural es múltiplo de 5 si y sólo si acaba en 0 o en 5. No hay un criterio fácil para el 6 o el 7. En todo caso, para saber si un número es múltiplo de 6 basta ver si lo es de 2 y de 3. Como [10] = [1] módulo 9, la 48 Capı́tulo 5. Congruencias y anillos cociente regla del 3 vale para el 9. El lector puede deducir una regla para el 10 y otra para el 11 (para el cual se cumple [10] = −[1]). Si el lector se ha entretenido en construir tablas de anillos Z/nZ se habrá encontrado ciertamente con algo interesante: los primeros ejemplos de anillos con divisores de cero. De hecho nos ha aparecido un caso al trabajar con los múltiplos de 4. En el anillo Z/4Z se cumple que [2][2] = [0], luego no es un dominio ı́ntegro. El lector experimentador puede obtener empı́ricamente los primeros valores de n para los cuales Z/nZ sı́ es dominio ı́ntegro: 2, 3, 5, 7, 11, . . . A éstos hay que añadir el 0 porque el correspondiente anillo cociente es isomorfo a Z, y no vale el 1 porque en la definición de dominio exigimos que 0 = 1, mientras que Z/1Z sólo tiene un elemento. Si analizamos la razón por la que un anillo Z/nZ no es ı́ntegro vemos que en cada caso la explicación es siempre la misma: en Z/4Z la clase [2] es un divisor de 0 porque 2 · 2 = 4. En Z/6Z las clases [2] y [3] son divisores de 0 porque 2 · 3 = 6, etc. En definitiva, que las factorizaciones de n dan lugar a divisores de cero. En resumen, un anillo Z/nZ no puede ser ı́ntegro a menos que n sea primo. El lector puede tratar de probar directamente que Z/pZ es ı́ntegro si p es primo. Nosotros vamos a dar una prueba general. Notemos que en un anillo cociente A/I se cumple 0 = [0] = 0 + I = I, luego [a] = 0 si y sólo si a ∈ I. Teorema 5.3 Sea A un dominio y P un ideal de A. Entonces A/P es un dominio ı́ntegro si y sólo si P es un ideal primo. Demostración: Si P es primo entonces P = A, luego 1 ∈ / P , luego en A/P se cumple que [1] = [0]. Ası́ pues, A/P es un dominio. Si [a], [b] son dos elementos de A/P tales que [a][b] = 0, entonces [ab] = [0], es decir, ab ∈ P . Como P es primo, a ∈ P o b ∈ P , luego se cumple que [a] = 0 o [b] = 0, es decir, A/P es un dominio ı́ntegro. Recı́procamente, si A/P es un dominio ı́ntegro, ha de ser [1] = [0], luego 1∈ / P y en consecuencia P = A. Si a, b son elementos de A tales que ab ∈ P , entonces [a][b] = [ab] = 0, y como A/P es ı́ntegro [a] = 0 o [b] = 0, es decir, a ∈ P o b ∈ P , luego P es primo. Queda ası́ justificado que los anillos Z/pZ son dominios ı́ntegros cuando p es un primo. El lector que tenga a mano sus tablas podrá conjeturar una respuesta a la siguiente pregunta: ¿De entre los Z/pZ, cuáles son cuerpos? La respuesta es que todos lo son. De nuevo el lector es invitado a justificar este hecho. Ha de probar que en un anillo Z/pZ con p primo todo elemento es una unidad. Por ejemplo, en Z/5Z vemos que [2]−1 = [3], pues [2][3] = [6] = [1]. El lector emprendedor deberı́a recordar la relación de Bezout (4.12). Una vez más aquı́ vamos a ver una prueba general. Teorema 5.4 Sea A un anillo conmutativo y unitario con 1 = 0 y sea M un ideal de A. Entonces A/M es un cuerpo si y sólo si M es un ideal maximal. Demostración: Si M es maximal entonces es primo, luego A/M es un dominio ı́ntegro. Veamos que si [a] = [0] entonces [a] es una unidad en A/M . 5.2. Números perfectos 49 Como a ∈ / M tenemos que M + (a) = M , luego por la maximalidad de M ha de ser M + (a) = A. En particular 1 ∈ M + (a), luego 1 se puede expresar de la forma 1 = m + ba, para cierto m ∈ M y cierto b ∈ A. Tomando clases resulta que [1] = [m] + [b][a] = [b][a], luego [a] es en efecto una unidad. Si A/M es cuerpo entonces M es un ideal primo, y en particular M = A. Consideremos un ideal N de A tal que M  N ⊂ A. Sea a un elemento de N que no esté en M . Ası́ [a] = 0, luego existe un b ∈ A tal que [a][b] = [1], es decir, [ab − 1] = [0], luego ab − 1 ∈ M ⊂ N y como a ∈ N , también ab ∈ N , luego 1 ∈ N y por tanto N = A. Esto prueba que M es un ideal maximal. Como en Z los ideales maximales coinciden con los primos, resulta que los anillos Z/pZ son cuerpos. Hay otra razón por la cual los anillos Z/nZ que son dominios ı́ntegros son también cuerpos, y es que son finitos: Teorema 5.5 Todo dominio ı́ntegro finito es un cuerpo. Demostración: Sea A un dominio ı́ntegro finito. Hay que probar que todo elemento no nulo u de A es una unidad. Si A = {0, u1 , . . . , un }, entonces los elementos uu1 , . . . , uun son todos distintos y no nulos, luego {u1 , . . . , un } = {uu1 , . . . , uun } y por lo tanto: u1 · · · un = uu1 · · · uun , es decir, u1 · · · un = un · (u1 · · · un ). Como u1 · · · un no es 0, podemos cancelarlo, lo que nos da un = 1, o sea u · un−1 = 1, luego u es una unidad. Hay una variante de este argumento que, según veremos, tiene muchas consecuencias interesantes: Teorema 5.6 Sea A un dominio con un número finito de unidades n y sea u una unidad de A. Entonces un = 1. Demostración: Sean u1 , . . . , un las unidades de A. Entonces los elementos uu1 , . . . , uun son todos distintos, pues si uui = uuj , como u es una unidad, se cumple ui = uj . Además el producto de unidades es una unidad, luego en realidad {u1 , . . . , un } = {uu1 , . . . , uun } y en particular los productos coinciden: u1 · · · un = uu1 · · · uun , es decir, u1 · · · un = un · (u1 · · · un ), y como u1 · · · un es una unidad, podemos cancelarlo, lo que nos da un = 1. En particular, Z/pZ tiene p−1 unidades, luego si [a] ∈ Z/pZ cumple [a] = [0], entonces [a]p−1 = [1], luego [a]p = [a] (y esto último vale incluso si [a] = [0]). Ésta es una de las formas en las que se suele enunciar el teorema de Fermat: Teorema 5.7 (Teorema de Fermat) Para todo primo p y todo número entero a, se cumple que ap ≡ a (mód p). 5.2 Números perfectos Veamos un ejemplo menos elemental del uso de las congruencias en el estudio de los números enteros. Los números se han relacionado desde siempre con el esoterismo y la adivinación. Ası́, el número 7 se ha considerado un número de 50 Capı́tulo 5. Congruencias y anillos cociente buena suerte, mientras el 13 era considerado nefasto. Un concepto que tiene su origen en esta clase de “teorı́as” es el de número perfecto. Un número es perfecto si es la suma de sus divisores distintos de él mismo (siempre considerando números naturales). Por ejemplo, los divisores de 6 son 1, 2 y 3 y se cumple que 6 = 1 + 2 + 3. El número 6 es perfecto. Otro ejemplo de número perfecto es el 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Definamos la función σ(n) igual a la suma de los divisores de n. En estos términos un número n es perfecto si y sólo si σ(n) = 2n (pues también sumamos el propio n). Una función f de números naturales es multiplicativa si cuando (m, n) = 1 cumple f (mn) = f (m)f (n). Las funciones multiplicativas aparecen frecuentemente en teorı́a de números, y de hecho acabamos de encontrarnos con una. Para probarlo hemos de tener en cuenta que si (m, n) = 1, entonces cada divisor de mn se expresa de forma única como el producto de un divisor de m y un divisor de n. En efecto, si a | mn, descomponemos el número a en un producto, el primero de cuyos factores contenga a los factores primos de a que dividen a m y el segundo a los que dividen a n. Por lo tanto     σ(mn) = d= uv = u v = u σ(n) = σ(m)σ(n). d|mn u|m v|n u|m v|n u|m Por otra parte, si p es un primo es fácil calcular σ(pn ) = 1 + p + · · · + pn . Teniendo en cuenta la identidad (1 + x + x2 + · · · + xn )(x − 1) = xn+1 − 1, resulta que pn+1 − 1 σ(pn ) = p−1 Ası́ podemos calcular fácilmente la función σ. Por ejemplo, σ(100) = σ(22 )σ(52 ) = 23 − 1 53 − 1 · = 7 · 31 = 217. 2−1 5−1 Euclides recoge en sus Elementos el hecho de que si el número 1+2+· · ·+2n = 2 − 1 es primo, entonces el número 2n (2n+1 − 1) es perfecto. En efecto, como para los primos p se cumple que σ(p) = p+1,  en nuestro caso tenemos que σ(2n+1 − 1) = 2n+1 , y como σ es multiplicativa σ 2n (2n+1 − 1) = σ(2n )σ(2n+1 − 1) = (2n+1 − 1) · 2n+1 = 2 · 2n (2n+1 − 1) . Descartes afirmó (y la primera prueba conocida se debe a Euler) que un número par es perfecto si y sólo si es de la forma indicada por Euclides. Para verlo tomemos un número par, que lo podremos expresar en la forma 2n m, donde n > 0 y m es un número impar. Si es perfecto σ(2n m) = 2n+1 m. Como σ es multiplicativa n+1 (2n+1 − 1)σ(m) = 2n+1 m. (5.1) Como 2n+1 − 1 es impar, el exponente de 2 en σ(m) ha de ser n + 1, es decir, σ(m) = 2n+1 a para cierto número natural a. 51 5.2. Números perfectos Sustituyendo en (5.1) obtenemos (2n+1 − 1)2n+1 a = 2n+1 m, luego (2n+1 − 1)a = m. (5.2) Por lo tanto σ(m) = 2n+1 a = m + a. Ahora bien, si a > 1 resulta que 1, a y m son divisores distintos de m, luego σ(m) debe ser al menos 1 + a + m, contradicción. Concluimos que a = 1 y que σ(m) = m + 1, lo que sólo es posible si m no tiene más divisores que 1 y m, es decir, si m es primo. Sustituyendo a = 1 en (5.2) queda que m = 2n+1 − 1, luego el número original era 2n (2n+1 − 1) con 2n+1 − 1 primo, o sea, de la forma establecida por Euclides. Con un leve cambio de ı́ndice podemos enunciar ası́ lo que hemos probado: Un número par es perfecto si y sólo si es de la forma 2n−1 (2n − 1) y 2n − 1 es primo. Respecto a los números perfectos impares no se conoce ninguno, pero nadie ha demostrado que no existan. Es un problema abierto. Ejercicio: Estudiar la función d(n) = número de divisores de n. Hasta aquı́ no hemos usado congruencias. Estas intervienen a la hora de determinar para qué valores de n se cumple que el número 2n − 1 es primo. El lector empı́rico ya deberı́a haber empezado a recopilar datos. He aquı́ lo que puede obtenerse sin esforzarse uno mucho: n 2n − 1 2 3 4 5 3 7 15 31 6 7 8 63 127 255 9 511 10 ¿11? 1023 ¿2047? La tabla muestra los primeros valores de 2n − 1. Es fácil ver que para n = 2, 3, 5 y 7 obtenemos primos (el 127 es primo porque no es divisible por primos menores que 12). Tampoco cuesta ver que los números restantes no lo son. Todos son múltiplos de 3 salvo el 511, que es divisible entre 7. El número correspondiente a 11 está entre interrogantes porque ya no es fácil decidir si es primo. Habrı́a que tratar de dividirlo entre todos los primos menores que 45 y hay un total de 14. Dejemos eso para luego y centrémonos en los casos claros. Vemos que 2n − 1 no siempre es primo. ¿Conjetura algo el lector sobre en qué casos lo es? No hay que forzar mucho la imaginación para sospechar que 2n − 1 es primo exactamente cuando n lo es. Tratemos de probar que 2n − 1 no es primo si n es compuesto. Para buscar un posible divisor a 2n − 1 observemos los divisores que hemos encontrado en nuestros ejemplos: n 2 −1 n 2 3 22 5 3 7 3 · 5 31 2·3 7 23 2 3 · 7 127 3 · 5 · 17 32 2·5 7 · 73 3 · 11 · 31 Si al lector no le basta esto para conjeturar qué divisores podemos encontrar en el número 2n − 1 cuando n no es primo, he aquı́ una pista más. La factorización siguiente no ha sido hallada por tanteo: 214 − 1 = 16 · 383 = 3 · 43 · 127. 52 Capı́tulo 5. Congruencias y anillos cociente Es fácil encontrar el factor 3, pero ¿cómo se encuentran los factores 43 y 127 en el cociente 5.461? La mayor pista está en el 127. El 127 es el primo correspondiente a n = 7 y 7 es uno de los factores de 14. El otro factor es 2 y su primo correspondiente el 3, que también divide a 214 − 1. También es claro el caso n = 10, cuyos factores son 2 y 5 y en 210 − 1 aparecen los primos correspondientes, 3 y 31. Vemos que también aparecen otros primos, como el 11 en 210 − 1 o el 5 y el 17 en 28 − 1, pero eso no importa. La conjetura es que si d | n entonces 2d − 1 | 2n − 1, y la prueba es trivial si usamos congruencias: tomando clases módulo 2d − 1 se cumple que [2]d = [1], luego si n = dm  [2n − 1] = [2]d m − [1] = [1]m − [1] = [0], lo que prueba que en efecto 2d − 1 | 2n − 1. Con esto ya tenemos que para que 2n − 1 sea primo el número n ha de ser primo. Los números de la forma 2p − 1 con p primo se llaman números de Mersenne. La cuestión es si todos los números de Mersenne son primos. Antes hemos probado que los primos de Mersenne están en correspondencia con los números pares perfectos. He aquı́ los números perfectos que hemos encontrado: p 2 3 2p − 1 3 7 2p−1 (2p − 1) 6 28 5 31 496 7 127 8.128 Según nuestras conjeturas el número 211 − 1 deberı́a ser primo. El lector animoso puede tratar de dividirlo entre los 14 primos menores que 45. Aquı́ vamos a estudiar el problema pensando más para trabajar menos. Es evidente que 211 − 1 = 2.047 no es múltiplo de 2, 3 o 5. Vamos a ver si puede ser múltiplo de 7. No sólo vamos a probar que no lo es, sino que vamos a encontrar razones por las que no puede serlo, con lo que podremos descartar muchos más primos aparte del 7. El número 211 − 1 será múltiplo de 7 si y sólo si al tomar clases módulo 7 se cumple que [2]11 = [1]. Las potencias de 2 módulo 7 pueden calcularse recurrentemente [2]n+1 = [2]n [2], lo que nos permite reducir las potencias al tiempo que las calculamos: [2]2 = [4], [2]3 = [4][2] = [8] = [1], [2]4 = [1][2] = [2], etc. Ası́ vamos obteniendo lo siguiente: n [2]n 0 1 2 3 4 5 6 ... [1] [2] [4] [1] [2] [4] [1] . . . Vemos que el [1] se alcanza cı́clicamente en los múltiplos de 3, luego no es necesario llegar hasta el 11: como 11 no es múltiplo de 3, 211 − 1 no puede ser múltiplo de 7. Por lo tanto la razón por la que 211 − 1 no es múltiplo de 7 es que 11 no es múltiplo de 3. ¿De dónde ha salido ese 3? Es obvio que al calcular potencias de un elemento dado no nulo de Z/pZ, como es [2], tarde o temprano obtendremos un valor repetido, pues sólo hay un número finito de valores posibles, o sea, dado a en Z/pZ, existen números naturales 0 < m < n tales que am = an = am ·an−m , 53 5.2. Números perfectos luego an−m = 1. En resumen, ha de haber un natural no nulo d tal que ad = 1. Si tomamos el d menor posible es obvio que el 1 se alcanzará exactamente en los múltiplos de d, que es lo que nos hemos encontrado. En resumen, dado un primo p existe un número d tal que [2]n − 1 es divisible entre p si y sólo si d | n. El lector puede calcular los valores de d para distintos primos. No es inmediato, pero tampoco excesivamente laborioso. Como siempre, el lector perezoso tiene a continuación una tabla: p d 3 2 5 4 7 3 11 13 10 12 17 19 8 18 ¿Encuentra el lector alguna relación entre p y d? Fermat encontró una al estudiar el problema: d | p − 1. Esto es esencialmente el teorema de Fermat que hemos probado en la sección anterior. En efecto, hemos visto que 2p−1 ≡ 1 (mód p), y como 2n vale 1 en los múltiplos de d, ha de ser d | p − 1. Tenemos que para que 211 − 1 sea divisible entre p es necesario que el d correspondiente a p divida a 11, pero como d no puede ser 1 (esto es evidente), ha de ser d = 11, y por el teorema de Fermat 11 | p − 1. En resumen, para que un primo p pueda dividir a 211 − 1 es necesario que sea de la forma p = 11m + 1. Buscamos ahora los números de la forma 11m + 1 menores que 45. Podemos ahorrarnos los valores impares de m porque dan números pares, que no pueden ser primos. Resulta que sólo hay un valor posible: 11 · 2 + 1 = 23. Acabamos de probar que si 211 − 1 no es primo, entonces es divisible entre 23. Ahora calculamos módulo 23: [2]5 [2]10 [2]11 = [32] = [9], = [9]2 = [9][3][3] = [27][3] = [4][3] = [12], = [24] = [1]. Luego resulta que, después de todo, 211 −1 no es primo. Concretamente factoriza como 23 · 89. En realidad hoy en dı́a no se sabe si hay un número finito o infinito de primos de Mersenne. De todos modos los primos de Mersenne no terminan en el 27 − 1. Vamos a probar con el siguiente candidato: 213 − 1 = 8.191. Ası́ veremos la potencia de la técnica que hemos desarrollado.  2 En primer lugar 213 − 1 < 214 = 27 = 1282 , luego nos basta buscar posibles divisores primos menores que 128. Supongamos que p | 213 − 1. Entonces módulo p se cumple que [2]13 = [1]. Si d es el menor natural no nulo tal que [2]d = [1] se cumple que d | 13, y por el teorema de Fermat 13 | p − 1. Ası́ pues p = 13n + 1. Más aún, como n ha de ser par necesariamente, p = 26n + 1. Los valores de 26n + 1 menores que 128 son 27, 53, 79, 105. Sólo hay dos primos, lo que significa que si 213 − 1 no es primo entonces es divisible entre 53 o 79. Es fácil ver que no es el caso. Tomamos clases módulo 53: [2]6 = [64] = [11], [2]12 = [11]2 = [121] = [15], [2]13 = [30] = [1]. 54 Capı́tulo 5. Congruencias y anillos cociente Y ahora módulo 79: [2]6 [2]12 [2]13 = [64] = [−15]2 = [−24] = [−15], = [−15][−5][3] = [75][3] = [−4][3] = [−12], = [1]. Con ayuda de ordenadores se ha podido ampliar la lista de primos de Mersenne. Los 15 primeros corresponden a los valores de p dados en la tabla 5.1. Tabla 5.1: Primos p tales que 2p − 1 es un primo de Mersenne p 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1.279, . . . Ejercicio: Probar que n − 1 | nk − 1, con lo que si k > 1 el número nk − 1 no puede ser primo salvo si n = 2. 5.3 Unidades Ahora obtendremos algunos resultados útiles sobre las unidades de un anillo. Muchos de ellos, especialmente 5.13 son inmediatos a partir de los resultados de la teorı́a de grupos finitos, pero preferimos dar aquı́ pruebas directas que no nos desvı́en de la teorı́a de anillos. Empezamos estudiando en particular el anillo Z/nZ. ¿Cuántas unidades tiene? Para responder a esta pregunta conviene responder antes a otra más pretenciosa: ¿cuáles son? El lector deberı́a construirse tablas y conjeturar algo. Hemos visto que los divisores de cero en Z/nZ se deben a las factorizaciones de n, es decir, si d | n, entonces [d] es un divisor de cero, luego no es una unidad. Por otra parte un múltiplo no nulo de un divisor de cero es también un divisor de cero, luego basta con que d y n tengan un divisor común para que [d] sea un divisor de cero. Por ejemplo, en Z/8Z la clase [6] no es unidad, pues como (6, 8) = 2, resulta que [6][4] = [0], donde el 4 sale de que 8 = 2 · 4. Esto significa que para que [m] sea una unidad de Z/nZ hace falta que (m, n) = 1. La condición es suficiente, pues si (m, n) = 1, por la relación de Bezout existen ciertos enteros r y s tales que rm + sn = 1, de donde [1] = [r][m] + [s][0] = [r][m]. Resumiendo: Teorema 5.8 El conjunto de las unidades de Z/nZ es   Un = [m] | (m, n) = 1 . Definición 5.9 Llamaremos φ(n) al número de números naturales menores que n y primos con n, o sea, al número de unidades de Z/nZ. La función φ se llama función de Euler. 55 5.3. Unidades Una versión más general del teorema de Fermat (consecuencia directa del teorema 5.6) es que si a y n son números enteros primos entre sı́, entonces aφ(n) ≡ 1 (mód n). Es fácil calcular los primeros valores de φ: 1 n φ(n) 0 2 3 1 2 4 2 5 4 6 2 7 6 8 4 9 6 10 11 12 4 10 4 13 14 15 12 6 8 16 8 ¿Encuentra el lector alguna regularidad? La hay. La función de Euler es multiplicativa. Lo probaremos a partir de un hecho general de interés. Notemos que si A y B son anillos el producto A × B es también un anillo con las operaciones definidas componente a componente, es decir, (a, b) + (a′ , b′ ) (a, b)(a′ , b′ ) = (a + a′ , b + b′ ), = (aa′ , bb′ ). Igualmente se puede definir el producto de una familia finita de anillos. En general esta construcción no es muy útil porque los anillos producto nunca son dominios ı́ntegros, pero ahora nos va a servir para comprender la estructura de los anillos Z/nZ. Teorema 5.10 Sean m1 , . . . , mn números naturales primos entre sı́ dos a dos. Sea m = m1 · · · mn . Entonces la aplicación f : Z/mZ −→ (Z/m1 Z) × · · · × (Z/mn Z)   dada por f [a] = [a], . . . , [a] es un isomorfismo de anillos. Demostración: Es inmediato comprobar que está bien definida. Más aún, es inyectiva, pues si [a], . . . , [a] = [b], . . . , [b] entonces cada mi | b−a, y como son primos entre sı́ es claro que m | b − a, es decir, [a] = [b] (módulo m). Como los dos anillos tienen m elementos podemos concluir que f es un isomorfismo. Es fácil ver que las unidades de un producto A × B son los pares (u, v) donde u es una unidad en A y v una unidad en B. Por lo tanto, si m y n son enteros primos entre sı́ el isomorfismo entre Z/mnZ y Z/mZ × Z/nZ hace corresponder los elementos de Umn con los de Um ×Un , y esto prueba que φ(mn) = φ(m)φ(n). Esta propiedad reduce el cálculo de la función de Euler a las potencias de primos, pero es fácil ver que φ(pn ) = (p−1)pn−1 (pues los números menores que pn y que no son primos con pn son los pn−1 múltiplos de p). Ası́ por ejemplo, para calcular φ(45) basta hacer φ(45) = φ(32 )φ(5) = 2 · 3 · 4 = 24. El teorema 5.10 tiene un enunciado clásico, conocido por los chinos desde hace más de 1.500 años. Teorema 5.11 (Teorema chino del resto) Sean m1 , . . . , mn números naturales primos entre sı́ dos a dos y sean c1 , . . . , cn enteros cualesquiera. Entonces las congruencias xi ≡ ci (mód mi ), para i = 1, . . . , n tienen una solución común única módulo m = m1 · · · mn . 56 Capı́tulo 5. Congruencias y anillos cociente Ejercicio: Probar que si a ≡ b (mód d) y d = (m, n), entonces las congruencias x ≡ a (mód m) y x ≡ b (mód n) tienen una solución común única módulo el m.c.m. de m y n. Todavı́a hay algo importante que podemos decir de las unidades de una dominio ı́ntegro en general cuando éstas son un número finito. Definición 5.12 Sea A un dominio con un número finito de unidades. Sea u una unidad de A. Llamaremos orden de u al menor natural no nulo tal que un = 1. Lo representaremos oA (u). El teorema 5.6 garantiza la existencia de oA (u). Si n y m son números enteros primos entre sı́, llamaremos on (m) al orden de la clase [m] en Z/nZ. Por ejemplo, el número d que considerábamos al estudiar los primos de Mersenne, no es sino d = op (2). Como vimos entonces, si s es un número entero  c y s = oA (u)c + r con 0 ≤ r < oA (u), entonces us = uoA (u) ur = ur = 1 salvo s que r = 0, luego u = 1 si y sólo si oA (u) | s. Más en general, dos potencias coinciden ui = uj si y sólo si uj−i = 1, si y  sólo si oA (u) | j − i, si y sólo si i ≡ j mod oA (u) . Esto significa que si u es una unidad de un dominio con un número finito de unidades, entonces, dada una unidad u de A, las potencias u0 , u, u2 , u3 , . . . se repiten cı́clicamente, de modo que 1 aparece exactamente en las potencias de exponente divisible entre oA (u). El teorema 5.6 afirma que oA (u) es un divisor del número total de unidades. He aquı́ unos cuantos ejemplos de órdenes de unidades en distintos anillos Z/nZ: Para n = 5, φ(5) = 4 m 1 2 o5 (m) 1 4 3 4 4 2 2 3 3 6 4 3 5 6 1 3 m o8 (m) 1 2 5 2 7 2 5 6 7 3 Para n = 7, φ(7) = 6 m 1 o7 (m) 1 6 2 Para n = 8, φ(8) = 4 Para n = 9, φ(9) = 6 1 m o9 (m) 1 2 4 6 3 8 2 57 5.3. Unidades Para n = 11, φ(11) = 10 m 1 2 o11 (m) 1 10 3 5 4 5 5 6 5 10 7 8 9 10 10 5 10 2 Observamos que cuando n es primo existen elementos de todos los órdenes posibles, es decir, de todos los órdenes que dividen al número de unidades. En general no es cierto, como muestra el ejemplo n = 8. Vamos a probar este hecho importante. Teorema 5.13 Sea A un dominio ı́ntegro con un número finito n de unidades. Entonces para cada divisor m de n existe una unidad en A de orden m. Demostración: Probemos que si u es una unidad de A, n = oA (u), y m | n, entonces oA (um ) = n/m. n/m En efecto, (um ) = un = 1, luego oA (um ) | n/m. Por otro lado, si m r (u ) = 1, entonces n | mr, luego n/m | r, y ası́ oA (um ) = n/m. Si u, v son unidades de A, oA (u) = r, oA (v) = s y (r, s) = 1, entonces oA (uv) = rs. s r En efecto, (uv)rs = (ur ) (v s ) = 1 · 1 = 1, luego oA (uv) | rs. Si (uv)m = 1, r entonces um v m = 1, luego um = v −m y oA (um ) = oA (v −m ). Como (um ) = 1, tenemos oA (um ) | r e igualmente oA (v −m ) | s, luego oA (um ) = oA (v −m ) = 1, o sea, um = v −m = 1 y por lo tanto r | m y s | m. Como (r, s) = 1, podemos concluir que rs | m. Ası́ pues, rs es el menor natural no nulo que hace 1 a uv al calcular la exponencial, es decir, oA (uv) = rs. Supongamos ahora que u y v son unidades de A, oA (u) = r, oA (v) = s, pero no necesariamente (r, s) = 1. Descompongamos r y s en potencias de primos y formemos como sigue dos números r′ y s′ : el número r′ es el producto de todas las potencias de primos que dividen a r con exponente mayor o igual que a s, mientras que s′ está formado por el producto de las potencias de primos que dividen a s con exponente mayor estrictamente que a r. De este modo r′ | r, s′ | s, r′ s′ = mcm(r, s) y (r′ , s′ ) = 1. ′ ′ ′ ′ Ası́ oA (ur/r ) = r′ y oA (v s/s ) = s′ , luego oA (ur/r v s/s ) = r′ s′ = mcm(r, s). Es decir, si existe una unidad de orden r y otra de orden s, existe una tercera de orden mcm(r, s). Aplicando esto varias veces obtenemos una unidad u tal que su orden m es múltiplo de los órdenes de todas las unidades de A. Sabemos que m = oA (u) | n, pero por otro lado, toda unidad de A es raı́z del polinomio xm − 1, y no puede haber más de m raı́ces, con lo que n ≤ m. Ası́ pues, oA (u) = n. Para cada divisor m de n, el elemento un/m tiene orden m. Definición 5.14 Una unidad en un dominio cuyo orden sea igual al número de unidades se llama una raı́z primitiva de la unidad. En general, una raı́z de la unidad de un dominio A es un elemento u de A que cumple un = 1 para cierto entero n no nulo (en particular es una unidad 58 Capı́tulo 5. Congruencias y anillos cociente porque u · un−1 = 1). El teorema 5.6 afirma que si hay un número finito de unidades, todas ellas son raı́ces de la unidad. El teorema anterior prueba que si además el dominio es ı́ntegro, entonces existen raı́ces primitivas de la unidad. En el caso concreto de los anillos Z/pZ las raı́ces primitivas de la unidad (o mejor los enteros cuyas clases son raı́ces primitivas de la unidad) se llaman raı́ces primitivas módulo p. El nombre de raı́ces primitivas se debe a que todas las demás unidades se obtienen de ellas por exponenciación. Por ejemplo, una raı́z primitiva módulo 7 es 3 y sus potencias módulo 7 son [3]0 = [1], [3]1 = [3], [3]2 = [2], [3]3 = [6], [3]4 = [4], [3]5 = [5], [3]6 = [1], éstos son todos los elementos de Z/7Z (salvo [0], que no es una unidad). No hay criterios para obtener raı́ces primitivas módulo p, pero sabemos que existen y podemos encontrarlas. Se pueden dar algunas condiciones que facilitan la búsqueda, pero en la práctica es preferible consultar tablas de raı́ces primitivas o usar ordenadores que las calculen. He aquı́ la lista de las mı́nimas raı́ces primitivas para los menores primos: Tabla 5.2: Raı́ces primitivas (mód p) p 2 3 5 7 11 5.4 r 1 2 2 3 2 p 13 17 19 23 29 r 2 3 2 5 2 p 31 37 41 43 47 r 3 2 6 3 5 p 53 59 61 67 71 r 2 2 2 2 7 p 73 79 83 89 97 r 5 3 2 3 5 Homomorfismos y anillos cociente Ya hemos visto que la existencia de un monomorfismo de anillos f : A −→ B se interpreta como que A puede ser considerado como un subanillo de B. Ahora veremos que si f es un epimorfismo entonces B puede ser considerado un cociente de A. Definición 5.15 Si f : A −→ B es un homomorfismo de anillos, llamaremos núcleo de f al conjunto N(f ) = {a ∈ A | f (a) = 0}. No ofrece ninguna dificultad probar que N(f ) es un ideal de A. Una propiedad útil es la siguiente: Teorema 5.16 Si f : A −→ B es un homomorfismo de anillos, se cumple que f es monomorfismo si y sólo si N(f ) = 0. Demostración: Una implicación es evidente, y para ver la otra supongamos que N(f ) = 0 y que f (a) = f (b). Entonces f (b − a) = 0, y en consecuencia b − a ∈ N(f ) = 0, es decir, b = a. 5.4. Homomorfismos y anillos cociente 59 Notemos ahora que si A es un anillo e I es un ideal de A, entonces la aplicación p : A −→ A/I dada por p(a) = [a] es un epimorfismo, llamado epimorfismo canónico. Claramente N(p) = I. El próximo teorema nos dice que todo epimorfismo es esencialmente de este tipo. Teorema 5.17 (Teorema de isomorfı́a) Sea f : A −→ B un homomorfismo de  anillos. Entonces la aplicación f¯ : A/ N(f ) −→ f [A] dada por f¯ [a] = f (a) es un isomorfismo de anillos. Demostración: La aplicación está bien definida, pues si [a] = [b], entonces a − b ∈ N(f ), con lo que f (a − b) = 0, o sea, f (a) = f (b). Es inmediato comprobar que se trata de un homomorfismo y es inyectivo  porque si f¯ [a] = f¯([b]), entonces f (a) = f (b), f (a − b) = 0, a − b ∈ N(f ), luego [a] = [b]. Con ayuda de estos conceptos vamos a profundizar un poco en la estructura de los anillos. Definición 5.18 Llamaremos caracterı́stica de un dominio A (car A) al mı́nimo número natural no nulo n tal que n1 = 0, o bien car A = 0 si no existe tal n. Claramente Z y Q son anillos de caracterı́stica 0, mientras que Z/nZ tiene caracterı́stica n. Notemos que si A ⊂ B son dominios ı́ntegros, entonces la identidad en A es la misma que la identidad en B (pues la identidad en A cumple 1 = 1 · 1, y el único elemento que cumple esto en B es la identidad), luego car A = car B. Otro hecho notable es que la caracterı́stica de un dominio ı́ntegro ha de ser 0 o un número primo, pues si car A = mn, donde m y n no son 1, entonces m1 = 0 = n1, pero (m1)(n1) = (mn)1 = 0, luego A no es ı́ntegro. Si A es un anillo unitario, la aplicación f : Z −→ A dada por f (n) = n1 es claramente un homomorfismo. Su núcleo es precisamente (car A). Si car A = 0 lo que tenemos es que f [Z] es un subanillo de A isomorfo a Z. Podemos identificar ambos anillos, es decir, identificar el número entero m con el elemento m1 de A. Si car A = n > 0 el teorema de isomorfı́a nos da que Z/nZ es isomorfo a f [Z], luego podemos identificar cada m1 con la clase [m] de Z/nZ. En la práctica identificaremos siempre m con m1, es decir, 3 será lo mismo que el elemento 1 + 1 + 1 de A, con la única precaución de que si por ejemplo car A = 5, entonces 7 = 12 cuando los consideramos como elementos de A. Si K es un cuerpo de caracterı́stica 0, K no sólo contiene a Z, sino que también contiene un subcuerpo isomorfo a su cuerpo de cocientes, es decir, a Q. También en este caso identificaremos a Q con un subcuerpo de K. Por ejemplo, 5/3 será lo mismo que el elemento de K 1+1+1+1+1 . 1+1+1 60 Capı́tulo 5. Congruencias y anillos cociente De este modo, los anillos Z y Z/nZ son los más pequeños en sus respectivas caracterı́sticas, pues están contenidos en cualquier anillo unitario de la misma caracterı́stica. Si nos centramos en dominios ı́ntegros tenemos que los menores son Z y los cuerpos Z/pZ y si consideramos cuerpos, resulta que todo cuerpo K contiene un subcuerpo isomorfo a Z/pZ o a Q. A dicho cuerpo se le llama cuerpo primo de K, y como está construido a partir de la identidad mediante sumas y cocientes, es claro que está contenido en cualquier subcuerpo de K. Veamos un par de teoremas que muestran por qué la caracterı́stica de un anillo es un dato a tener en cuenta. Teorema 5.19 Sea A un dominio de caracterı́stica prima p. Entonces para todos los elementos a y b de A se cumple (a ± b)p = ap ± bp . Demostración: Usamos el teorema 4.25: p−1   p     p k p−k p k p−k a b a b (a + b)p = = ap + bp . = ap + bp + k k k=0 k=1 Si p es impar (a − b)p = ap + (−b)p = ap − bp . Si p = 2 entonces b + b = 2b = 0, luego b = −b y el resultado vale. n n n Obviamente de aquı́ se sigue que, más en general, (a ± b)p = ap ± bp . Otro resultado en el que la caracterı́stica es relevante es el siguiente: Teorema 5.20 Sea K un cuerpo con car K = 2 y sea p(x) = ax2 +bx+c ∈ K[x] con a = 0. El polinomio p(x) tiene una raı́z en K si y sólo si existe √ un α ∈ K de manera que α2 = b2 − 4ac. En tal caso, si llamamos α = b2 − 4ac, las raı́ces de p(x) son √ −b ± b2 − 4ac . 2a Demostración: Supongamos que η ∈ K cumple aη 2 + bη + c = 0. Multiplicando por 4a tenemos que (2aη)2 √ + 2(2aηb) + 4ac = 0, de donde (2aη + b)2 = 2 b − 4ac y por lo tanto 2aη + b = ± b2 − 4ac. Como car K = 2, 2a = 0 y ası́ √ −b ± b2 − 4ac η= . (5.3) 2a √ Si existe b2 − 4ac ∈ K, es fácil ver que (5.3) son raı́ces de p(x). 5.5 Cocientes de anillos de polinomios Terminamos el capı́tulo mostrando cómo los anillos cociente nos dan un método para construir anillos que contengan elementos con caracterı́sticas predeterminadas. Antes de ver el caso general estudiaremos un ejemplo concreto. Vamos a construir un anillo en el que un elemento tenga cuadrado −5. 5.5. Cocientes de anillos de polinomios 61 Partimos del polinomio x2 + 5, que es irreducible en Q[x] (porque es de grado 2 y no tiene raı́ces en Z). Por lo tanto el ideal (x2 + 5) es √ maximal y el √ anillo cociente Q[x]/(x2 + 5) es un cuerpo. Vamos a llamar −5 = [x] y Q −5 = Q[x]/(x2 + 5). √ Como [x2 + 5] = [0], se cumple que [x]2 = −[5], o sea, ( −5)2 = −[5]. Si p(x) ∈ Q[x], dividimos p(x) = (x2 + 5)c(x) + a + bx. Entonces √ [p(x)] = [x2 + 5][c(x)] + [a] + [b][x] = [0] + [a] + [b] −5. √    √ Es decir, hemos probado que Q −5 = [a] + [b] −5 | a, b ∈ Q . √ √ Notemos que si [a] + [b] −5 = [c] + [d] −5, entonces [a − c + (b − d)x] = [0], luego a − c + (b − d)x ∈ (x2 + 5) y ası́ x2 + 5 | a − c + (b − d)x. Pero la única forma en que un polinomio de grado 2 puede dividir a otro de grado ≤ 1 es que éste sea nulo, o sea, a − c + (b − d)x = 0, √ y consecuentemente a =√c, b = d. No hay confusión si escribimos a + b −5 en lugar de [a] + [b] −5.   √  √ Llamemos Z −5 = m + n −5 | m, n ∈ Z . Es inmediato comprobar √  √  que Z −5 es un subanillo de Q −5 , obviamente un dominio ı́ntegro. √  Llamamos norma de un elemento de Z −5 al número natural √ √ √ 2 2 N(m + n −5) = (m + n −5)(m − n −5) = m + 5n . Una simple comprobación √  nos da que N(uv) = √ N(u) N(v), para todo par de elementos u y v de Z −5 . Por ejemplo, N(4 + −5) = 21. De aquı́ se deduce √  √ que 4 + −5 es irreducible en Z −5 . En efecto: no puede ser una unidad, pues si u es unidad 1 = N(1) = −1 N(uu−1 ) = N(u) N(u √ ), luego N(u) = 1, de donde u = ±1. Además si 4 + −5 = uv, entonces N(u) N(v) = 21, luego N(u) = 1, 3, 7 o 21. Pero N(u) = m2 +5n2 = 3 es imposible, pues si n = 0 tenemos m2 +5n2 ≥ 5 y si n = m2 = 3, y tampoco puede ser, o sea, N(u) = 3 para cualquier √0 queda  u de Z −5 . Tampoco puede ser N(u) = 7 porque entonces N(v) = 3, luego ha de ser N(u) = 1 o N(u) = 21, en cuyo caso N(v) = 1, es decir, u = ±1 o bien v = ±1. √ Del mismo modo se prueba que 4 − −5 es irreducible (tiene la misma norma) y de forma similar lo son 3 y 7. Ahora bien: √ √ 3 · 7 = 21 = (4 + −5)(4 − −5), √  Ası́ pues, un elemento de Z −5 , el 21, admite dos descomposiciones distintas en irreducibles (notar que como √ las únicas unidades son ±1, el único  asociado de 3 es −3). Esto prueba que Z −5 no es DFU. Los cuatro elementos considerados son ejemplos de irreducibles que no son primos. Posiblemente el lector considere artificial la prueba anterior. Ello se debe a que hemos usado técnicas que estudiaremos con detalle más adelante, de modo 62 Capı́tulo 5. Congruencias y anillos cociente que en su momento nos resultarán naturales. El lector puede repetir todos los pasos de la construcción anterior con el polinomio x2 + 1. Llamando i = [x] obtenemos un cuerpo Q[i] = Q[x]/(x2 + 1) con la propiedad de que i2 = −1. Ası́ mismo se cumple Q[i] = {a + bi | a, b ∈ Q}, de modo que a + bi = c + di si y sólo si a = c y b = d. En realidad ya hemos estudiado una copia isomorfa de este cuerpo. Podemos ver a Q[i] como un subcuerpo del anillo de los cuaterniones racionales estudiado al final del capı́tulo I. Definimos la norma en Q[i] como N(a + bi) = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 , y también es fácil ver que N(uv) = N(u) N(v) (de hecho es un caso particular de la propiedad correspondiente en los cuaterniones). Si nos restringimos al anillo Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z}, la norma toma valores naturales. Este anillo se conoce como anillo de de Gauss, y  √los enteros su comportamiento es completamente distinto al de Z −5 . En efecto, vamos a ver que es un dominio euclı́deo, y por lo tanto un DFU. La norma euclı́dea será la norma que acabamos de definir. Obviamente cumple la propiedad 1 de la definición 1.6. Sean α y β dos enteros de Gauss, β = 0. Entonces α/β = a + bi ∈ Q[i]. Sean m y n los enteros más próximos a a y b respectivamente. Entonces |a−m| ≤ 1/2, |b − n| ≤ 1/2. Llamemos γ = m + ni ∈ Z[i] y r = α − βγ. Ası́ α = βγ + r, con α N(β) 2 2 < N(β). N(r) = N(α−βγ) = N( −γ) N(β) = ((a−m) +(b−n) ) N(β) ≤ β 2 Vemos ası́ cómo la norma permite estudiar eficientemente las propiedades de los enteros de Gauss, por ejemplo, como en el caso anterior las unidades son los elementos de norma 1, lo que en este caso nos lleva a que hay cuatro unidades: ±1 y ±i. Otro ejemplo, como N(1 + i) = 2, el mismo argumento del ejemplo anterior nos lleva a que 1 + i es irreducible, luego primo. De hecho 2 = (1 + i)(1 − i) es la descomposición en primos de 2. Notemos que los factores son asociados, pues 1 − i = −i(1 + i). Finalmente damos un teorema general que recoge estos ejemplos. Teorema 5.21 Sea k un cuerpo y p(x) ∈ k[x] no constante. Entonces existe un cuerpo K que contiene a k en donde p(x) tiene una raı́z. Demostración: Tomando un factor irreducible, podemos suponer que p(x)  es irreducible. Entonces el ideal p(x) es maximal en k[x], luego el anillo  cociente K = k[x]/ p(x) es un cuerpo. La aplicación φ : k −→ K dada por φ(a) = [a] es un monomorfismo de cuerpos, pues si [a] = 0, entonces p(x) | a, luego a = 0 (o sea, N(f ) = 0). Por lo tanto podemos considerar que k está n contenido en K. Llamamos α = [x] ∈ K. De este modo, si p(x) = i=0 ai xi , n n i i entonces 0 = [p(x)] = i=0 [ai ][x] = i=0 ai α = p(α), donde hemos usado la identificación [ai ] = ai . Ası́ pues, α es una raı́z de p(x). En el caso en que p(x) es irreducible el cuerpo K que hemos construido tiene una estructura fácil de describir. En efecto, si α = [x] es la raı́z de p(x), entonces 63 5.5. Cocientes de anillos de polinomios todo elemento de K es de la forma [q(x)] = q(α) (por el mismo argumento con el que hemos probado que p(α) = 0). Ası́ pues,   K = k[α] = q(α) | q(x) ∈ k[x] . Con más exactitud, si el grado de p(x) es n, todo polinomio q(x) puede expresarse como q(x) = p(x)c(x) + r(x), con grad r(x) < n, y q(α) = r(α), es decir, los elementos de K son de la forma an−1 αn−1 + · · · + a1 α + a0 , ai ∈ k. Más aún, esta expresión es única, pues restando dos expresiones de este tipo obtenemos una expresión del tipo t(α) = 0, donde grad t(x) ≤ n − 1, luego [t(x)] = 0, luego p(x) | t(x), luego t(x) = 0, luego las dos expresiones eran la misma. √  Ejercicio: Definir y estudiar el anillo Z −2 . Probar que es un dominio euclı́deo. Capı́tulo VI Algunas aplicaciones En este capı́tulo estudiaremos algunos problemas clásicos de la teorı́a de números que ilustren la relación entre la teorı́a general de anillos que hemos estudiado y los problemas concretos sobre números enteros, a la vez que motiven las técnicas y conceptos algebraicos más avanzados que introduciremos en los temas siguientes. Comenzamos con un problema que se remonta a la matemática griega. 6.1 Ternas pitagóricas Diofanto trató en su Aritmética el problema de encontrar ternas de números naturales no nulos x, y, z tales que x2 + y 2 = z 2 . Estas ternas se llaman ternas pitagóricas, pues según el teorema de Pitágoras permiten construir triángulos rectángulos con lados enteros. Los egipcios las usaban para construir ángulos rectos en arquitectura. Entre los ejemplos más conocidos están 32 + 42 = 52 , 52 + 122 = 132 , 72 + 242 = 252 . ¿Cómo encontrarlas todas? En primer lugar notamos que si (x, y, z) es una terna pitagórica, también lo es (mx, my, mz) para cualquier número m y, recı́procamente, dada una terna pitagórica (x, y, z), podemos dividir sus componentes por su m.c.d. para obtener otra que cumpla además (x, y, z) = 1. Una terna cuyos elementos no tengan divisores comunes se llama primitiva. Si encontramos un método para hallar todas las ternas primitivas, las restantes se obtienen multiplicándolas por números arbitrarios, luego el problema está resuelto. Las ternas anteriores son todas primitivas. Ante todo notemos que un divisor primo de dos de las componentes de una terna pitagórica, divide a la tercera. Por ejemplo, si p | x y p | z, entonces p | z 2 − x2 , con lo que p | y 2 y por lo tanto p | y. Esto significa que, en realidad, las componentes de una terna pitagórica primitiva son primas entre sı́ dos a dos. En particular no puede haber más de una componente par. Un número es par o impar si y sólo si lo es su cuadrado, y la suma y la diferencia de números impares es par. Como consecuencia si dos de las componentes son impares, la restante 65 66 Capı́tulo 6. Algunas aplicaciones Tabla 6.1: Ternas pitagóricas p 2 3 4 4 5 5 6 6 7 7 7 q 1 2 1 3 2 4 1 5 2 4 6 x 4 12 8 24 20 40 12 60 28 56 84 y 3 5 15 7 21 9 35 11 45 33 13 z 5 13 17 25 29 41 37 61 53 65 85 ha de ser par, es decir, en una terna primitiva hay siempre dos componentes impares y una par. Ahora veamos que z ha de ser impar. En otro caso lo son x e y, es decir, x = 2m + 1, y = 2n + 1, luego x2 = 4m2 + 4m + 1, y 2 = 4n2 + 4n + 1. Al tomar clases módulo 4 resulta que [z]2 = [x]2 + [y]2 = [1] + [1] = [2]. Sin embargo ninguna clase módulo 4 tiene a [2] por cuadrado: [0]2 = [0], [1]2 = [1], [2]2 = [0], [3]2 = [1]. Como la situación de x e y es simétrica, podemos suponer que x es par e y impar. Según lo visto z es también impar. Consecuentemente z + y, z − y son ambos pares. Digamos que x = 2u, z + y = 2v, z − y = 2w. Ahora x2 = z 2 − y 2 = (z + y)(z − y), luego u2 = vw, v > 0, w > 0. Por otro lado (v, w) = 1, ya que si un primo p divide a ambos, entonces p p 1 (z + y) + 2 1 | (v − w) = (z + y) − 2 | (v + w) = 1 1 (z − y) = 2z = z, 2 2 1 (z − y) = y, 2 y como (y, z) = 1, esto es contradictorio. Por la factorización única, es claro que si vw = u2 con (v, w) = 1, v > 0, w > 0, entonces tanto v como w han de ser cuadrados (cada uno ha de contener cada primo un número par de veces porque ası́ le ocurre a u). Pongamos v = p2 y w = q 2 . Obviamente (p, q) = 1. Ası́ tenemos que z = v + w = p2 + q 2 , y = v − w = p2 − q 2 . En particular q < p. Como z e y son impares, p y q deben tener paridad opuesta. Sustituyendo en las fórmulas anteriores queda x2 = z 2 − y 2 = p4 + 2p2 q 2 + q 4 − p4 + 2p2 q 2 − q 4 = 4p2 q 2 = (2pq)2 , luego x = 2pq. 67 6.2. Sumas de dos cuadrados En consecuencia la terna original queda de la forma (x, y, z) = (2pq, p2 − q 2 , p2 + q 2 ), donde p, q son números naturales primos entre sı́, q < p y de paridad opuesta. Recı́procamente, es fácil comprobar que cualquier terna en estas condiciones es una terna pitagórica primitiva. Por lo tanto ya sabemos enumerarlas todas. La tabla 6.1 contiene las correspondientes a los valores de p ≤ 7. En una tablilla cuneiforme aproximadamente del año 1.500 a.C. se ha encontrado una enumeración de ternas pitagóricas, entre las cuales se encontraba (4.961, 6.480, 8.161). Se obtiene con p = 81 y q = 40. Ejercicio: Comprobar que toda terna pitagórica contiene un múltiplo de 3, un múltiplo de 4 y un múltiplo de 5. 6.2 Sumas de dos cuadrados Una pregunta relacionada con el problema anterior es ¿qué números naturales pueden expresarse como suma de dos cuadrados? Antes de teorizar sobre ellos echemos una ojeada a las sumas de los primeros diez cuadrados. Los primos están en negrita. 0 1 2 4 9 5 10 8 13 18 16 25 36 49 17 26 37 50 20 29 40 53 25 34 45 58 32 41 52 65 50 61 74 72 85 98 64 81 100 65 82 101 68 85 104 73 90 109 80 97 116 89 106 125 100 117 136 113 130 149 128 145 164 162 181 200 Antes de interpretar la tabla pensemos un poco qué debemos buscar en ella. Notemos que si z = x2 + y 2 entonces para todo natural n se cumple también n2 z = (nx)2 + (ny)2 , es decir, que si multiplicamos una suma de cuadrados por un cuadrado, obtenemos otra suma de cuadrados. Se dice que un número n es libre de cuadrados si todos los primos que lo dividen tienen multiplicidad 1. Todo número n puede expresarse de forma única como producto de un cuadrado perfecto y de un número libre de cuadrados. Basta agrupar por un lado todos los pares de primos que lo dividen y por otro los primos que queden sin pareja. Lo que decı́amos hace un momento es que si la parte libre de cuadrados de un número natural n es suma de dos cuadrados, entonces n también lo es. Lo primero que podemos observar en la tabla es que se cumple el recı́proco, es decir, la parte libre de cuadrados de todos los números de la tabla está también en la tabla. Por ejemplo: la parte libre de cuadrados de 117 es 13. Esto nos lleva a 68 Capı́tulo 6. Algunas aplicaciones nuestra primera conjetura: Un número es suma de dos cuadrados si y sólo si lo es su parte libre de cuadrados. Ahora quedémonos tan sólo con los números de nuestra lista que son libres de cuadrados, es decir: 0, 1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 34, 37, 41, 53, 58, 61, 65, 73, 74, 82, 85, 89, 97, 101, 106, 109, 113. Esta lista contiene todos los números libres de cuadrados menores que 121 (el primer número que falta en la tabla) que pueden expresarse como suma de dos cuadrados. Vemos que no están todos los primos, pero los primos que aparecen en los compuestos están también en la lista: 10 = 2 · 5, 26 = 2 · 13, 34 = 2 · 17, 58 = 2 · 29, 65 = 5 · 13, 74 = 2 · 37, 82 = 2 · 41, 85 = 5 · 17, 106 = 2 · 53. La conjetura es, pues, que un número libre de cuadrados es suma de dos cuadrados si y sólo si lo son los primos que lo componen. Respecto a los primos que son suma de dos cuadrados nos quedan los siguientes 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, 97, 101, 109, 113. Si el lector no conjetura nada a simple vista, no cuesta mucho encontrar una condición que han de cumplir. Si un primo impar es de la forma p = x2 + y 2 , entonces x e y han de tener paridades opuestas, digamos x = 2u, y = 2v + 1. Como consecuencia resulta que p = 4u2 + 4v 2 + 4v + 1, es decir, p = 4m + 1. Si el lector calcula los primeros primos de la forma 4n + 1 obtendrá precisamente la lista anterior (sin el 2, claro). Sospechamos entonces que un primo impar es suma de dos cuadrados si y sólo si es congruente con 1 módulo 4. La conjetura general serı́a entonces que un número es suma de dos cuadrados si y sólo si los primos impares que lo dividen con multiplicidad impar son congruentes con 1 módulo 4. Vamos a probar que la conjetura es exacta. Consideremos en primer lugar la fórmula (a2 + b2 )(c2 + d2 ) = (ac − bd)2 + (ad + bc)2 . Esta fórmula no sale del aire, sino que es simplemente la forma explı́cita de expresar que la norma de un producto de elementos del cuerpo Q[i] es igual al producto de las normas. En este contexto nos garantiza que un producto de números expresables como suma de dos cuadrados es también expresable como suma de dos cuadrados. Ya hemos comentado que el recı́proco no es totalmente cierto, pero algo podemos probar. Veamos que si a = pb donde p es primo y tanto a como p son suma de dos cuadrados, entonces b también lo es. Para ello observemos que si p = u2 + v 2 y a = r2 + s2 , entonces (us − rv)(us + rv) = u2 s2 − r2 v 2 = u2 s2 + u2 r2 − u2 r2 − r2 v 2 = u2 (s2 + r2 ) − r2 (u2 + v 2 ) = u2 a − r2 p, luego p | (us − rv)(us + rv) y por tanto p | (us − rv) o bien p | (us + rv). 69 6.2. Sumas de dos cuadrados Si p | (us + rv), entonces, como p2 | ap y ap = (r2 + s2 )(u2 + v 2 ) = (ru − sv)2 + (rv + us)2 , 2 2 resulta que p2 | (ru−sv)2 , luego b = ap = (ru−sv) + (rv+us) , suma de cuadrados. p2 p2 Si p | (us − rv) razonamos igual con la fórmula ap = (s2 + r2 )(u2 + v 2 ) = (su − rv)2 + (sv + ur)2 . Esto implica que si un número a, expresable como suma de dos cuadrados, es divisible por un número b que no lo es, entonces el cociente tiene un factor primo no expresable como suma de dos cuadrados, pues tendrı́amos a = bc y si todos los factores primos de c fueran expresables como suma de dos cuadrados, una aplicación repetida del resultado anterior nos darı́a que b es también expresable como suma de dos cuadrados. Ahora viene el resultado fundamental: si p es un primo tal que (a, b) = 1 y p | (a2 + b2 ), entonces p es suma de dos cuadrados. Notar que si r es libre de cuadrados y r = a2 + b2 , entonces (a, b) = 1, pues si d | a y d | b, entonces d2 | r. Por lo tanto un número libre de cuadrados es suma de dos cuadrados si y sólo si sus factores primos lo son. En efecto, sea a = pm ± c, b = pn ± d, donde |c|, |d| ≤ p/2 (si el resto de la división resulta mayor que p/2 sumamos 1 al cociente y tomamos resto negativo). Entonces a2 + b2 = m2 p2 ± 2mpc + c2 + n2 p2 ± 2npd + d2 = Ap + (c2 + d2 ). En consecuencia p | (c2 + d2 ), o sea, c2 + d2 = py, para cierto y. Como (c, d) < p, p no lo divide, luego (c, d)2 | y. Ahora dividimos la ecuación c2 + d2 = py hasta obtener e2 + f 2 = pz, donde (e, f ) = 1 y pz ≤ c2 + d2 ≤ (p/2)2 + (p/2)2 = p2 /2, luego z ≤ p/2. Si p no fuera suma de dos cuadrados, por el resultado anterior z tiene un factor primo q que tampoco es expresable como suma de dos cuadrados. En particular q ≤ z < p. Hemos probado que si existen números p, a, b, tales que p es primo, (a, b) = 1 y p divide a a2 + b2 , entonces existen números q, e, f , en las mismas condiciones y con q < p. Pero si existieran tales ternas de números deberı́a haber una con p mı́nimo, y según lo visto es imposible. Esto prueba la mayor parte de nuestra conjetura: Sea n = u2 v donde v es libre de cuadrados y supongamos que n es suma de dos cuadrados, n = a2 +b2 = (a, b)2 (c2 + d2 ) con (c, d) = 1. Entonces (a, b) | u, luego v | (c2 + d2 ). Por el resultado que acabamos de probar todo primo que divide a v (luego a c2 + d2 ) es suma de dos cuadrados, luego v es suma de dos cuadrados. En resumen, tenemos probado que un número es suma de dos cuadrados si y sólo si lo es su parte libre de cuadrados, si y sólo si los primos que dividen a su parte libre de cuadrados son suma de dos cuadrados. Sólo falta probar que los únicos primos impares expresables como suma de dos cuadrados son exactamente los congruentes con 1 módulo 4. La necesidad ya está probada. Veamos la suficiencia. Necesitamos un hecho curioso: 70 Capı́tulo 6. Algunas aplicaciones Consideremos las cuartas potencias de los primeros números naturales: 1, 16, 81, 256, 625, 1.296, 2.401, 4.096, 6.561, 10.000. Ahora calculemos las diferencias entre cada número obtenido y su anterior: 15, 65, 175, 369, 671, 1.105, 1.695, 2.465, 3.439. Otra vez: 50, 110, 194, 302, 434, 590, 770, 974. Y otra vez: 60, 84, 108, 132, 156, 180, 204. Y a la cuarta vez obtenemos 24, 24, 24, 24, 24, 24. Si el lector parte de otro exponente n distinto de cuatro llegará a un resultado similar. Unos cuantos ensayos le llevarán a convencerse de que la sucesión obtenida se vuelve constante a partir del n–simo paso y que la constante que aparece es concretamente el número n! ¿Sabrı́a dar una prueba? Veamos, para ello, que si p(x) es un polinomio con coeficientes enteros y de grado n no nulo, entonces p(x + 1) − p(x) es un polinomio de grado n − 1 cuyo coeficiente director es n veces el coeficiente director de p(x). n En efecto, sea p(x) = i=0 ai xi . Ası́ p(x + 1) − p(x) = n  i=0 ai (x + 1)i − n  ai xi . i=0 Cada polinomio (x + 1)i tiene grado i, luego el único monomio de grado n que aparece en p(x + 1) es el de an (x + 1)n , o sea, an xn , que se anula con el monomio correspondiente de p(x), luego el grado de p(x + 1) − p(x) es a lo sumo n − 1. Ahora calculemos el monomio de grado n − 1. n i En i=0 ai (x + 1) tenemos dos sumandos con grado ≥ n − 1, a saber, n an (x + 1) y an−1 (x + 1)n−1 . El monomio de grado n − 1 en cada uno de ellos es nan xn−1 y an−1 xn−1 , respectivamente, pero el último se cancela con el correspondiente monomio de p(x). Por tanto el monomio de grado n − 1 en p(x + 1) − p(x) es exactamente nan xn−1 , con lo que ciertamente se trata de un polinomio de grado n − 1 con coeficiente director nan . En consecuencia, si partimos del polinomio xn , las diferencias sucesivas son los valores que toma el polinomio (x + 1)n − xn , que es un polinomio de grado n − 1 con coeficiente director n, las siguientes diferencias vienen dadas por un polinomio de grado n − 2 y coeficiente director n(n − 1), luego las diferencias n–simas vienen dadas por un polinomio de grado 0, o sea, constante y con coeficiente director igual a n!, o sea, todas son iguales a n! 6.2. Sumas de dos cuadrados 71 Con ayuda de este hecho vamos a probar la conjetura que tenı́amos pendiente, según la cual si un número primo es congruente con 1 módulo 4, entonces es suma de dos cuadrados. En efecto, sea p = 4n + 1. Por el teorema de Fermat sabemos que todo número a entre 1 y p − 1 cumple [a]p−1 = 1 módulo p, es decir, [a]4n = 1, luego [a + 1]4n − [a]4n = 0, es decir, p | (a + 1)4n − a4n para 1 ≤ a ≤ 4n − 1. Por otra parte (a + 1)4n − a4n = ((a + 1)2n + a2n )((a + 1)2n − a2n ), luego o bien p | (a + 1)2n + a2n o bien p | (a + 1)2n − a2n . Si p | (a + 1)2n + a2n para algún número a, entonces, como (a, a + 1) = 1, sabemos que p es suma de dos cuadrados. Veamos que no es posible que p no divida a ninguno de estos números, es decir, que no es posible que se cumpla p | (a + 1)2n − a2n para todo número a entre 1 y 4n − 1. En tal caso p divide a las 4n − 2 diferencias de las potencias 2n–simas de los 4n − 2 primeros números enteros, luego también a las 4n − 3 diferencias de sus diferencias, etc. y ası́ deberı́a dividir a las 2n diferencias de orden 2n, que valen (2n)!, pero como p es primo, resulta que p divide a un m ≤ 2n, lo cual es imposible ya que p = 4n + 1. Lo que hemos visto es un ejemplo tı́pico de una demostración de teorı́a de números de finales del siglo XVIII. Ahora vamos a probar los mismos resultados con las técnicas de principios del siglo XIX (siempre —por supuesto— con notación moderna). La norma en el anillo Z[i] viene dada por N(a + bi) = a2 + b2 (ver el capı́tulo anterior), luego un número n es suma de dos cuadrados si y sólo si existe un u ∈ Z[i] tal que N(u) = n. Sabemos que Z[i] es un dominio de factorización única. Notemos que a + bi | (a + bi)(a − bi) = N(a + bi), es decir, todo entero de Gauss divide a su norma. Si π es un entero de Gauss primo, entonces π | N(π) y N(π) es un número natural que se descompone en producto de primos en Z, luego π ha de dividir a uno de esos primos. Es decir, existe un primo p tal que π | p, luego N(π) | p2 , luego N(π) = p o N(π) = p2 . Si N(π) = p2 = N(p) entonces p y π son asociados (pues π divide a p y el cociente tiene norma 1, luego es una unidad), luego π = ±p, ±pi, y en particular concluimos que p es primo en Z[i]. A su vez esto implica que no hay primos de norma p, ya que tal primo ρ deberı́a dividir a p, pero al ser p primo ρ serı́a asociado de p, luego su norma serı́a p2 y no p. En resumen, un primo de Gauss π tiene norma p (y entonces p es suma de dos cuadrados) o bien tiene norma p2 (y entonces no hay primos de norma p, luego p no es suma de dos cuadrados). De aquı́ se siguen la mayorı́a de los hechos que hemos probado antes: un número n es suma de dos cuadrados si y sólo si existe un entero de Gauss u tal que N(u) = n. Si descomponemos u = π1 · · · πr en producto de primos queda n = N(π1 ) · · · N(πr ). Ahora es obvio que si un primo p divide a n con exponente impar, uno de los factores N (πi ) ha de ser igual a p (si sólo hubiera del tipo p2 el exponente en n 72 Capı́tulo 6. Algunas aplicaciones serı́a par), luego p es suma de dos cuadrados. Recı́procamente, si los primos que dividen a n con exponente impar son suma de dos cuadrados, podemos formar un entero de Gauss u de norma n (multiplicando primos de Gauss de norma p si el exponente de p en n es impar y primos naturales p si el exponente es par). En resumen: un número es suma de dos cuadrados si y sólo si los primos que lo dividen con exponente impar son sumas de dos cuadrados. Teniendo en cuenta que la parte libre de cuadrados de un número es el producto de los primos que lo dividen con exponente impar, esto implica todo lo que habı́amos probado excepto una cosa: que los primos que son suma de dos cuadrados son 2 y los congruentes con 1 módulo 4. En términos de enteros de Gauss esto significa que hay enteros de Gauss de norma p si y sólo si p = 2 o bien p ≡ 1 (mód 4). La prueba que hemos visto de que los primos impares p = x2 + y 2 son congruentes con 1 módulo 4 es trivial, por lo que no tiene sentido buscar una alternativa. Por el contrario, vamos a dar una prueba “más moderna” del recı́proco. Supongamos que p ≡ 1 (mód 4). Hemos de probar que p es suma de dos cuadrados o, equivalentemente, que p no es primo en Z[i] (pues esto ya implica que p factoriza en dos primos de norma p, luego es suma de dos cuadrados). A su vez, para ello basta probar que existe un n ∈ Z tal que −1 ≡ n2 (mód p). En efecto, en tal caso p | n2 + 1 = (n + i)(n − i), pero claramente p ∤ n ± i en Z[i], luego p no puede ser primo. En otros términos, hemos de probar que −1 tiene raı́z cuadrada en Z/pZ. Para ello consideramos el polinomio x(p−1)/2 − 1, entre cuyas raı́ces están todos los cuadrados no nulos de Z/pZ (por el teorema de Fermat 5.7). Por otra parte, en Z/pZ hay (p − 1)/2 cuadrados no nulos (x2 = y 2 si y sólo si y = ±x, y x = −x). Como un polinomio tiene a lo sumo tantas raı́ces en un cuerpo como indica su grado, concluimos que las raı́ces de x(p−1)/2 − 1 son exactamente los elementos con raı́z cuadrada. Ciertamente, si p ≡ 1 (mód 4) tenemos que −1 es una de dichas raı́ces. Con lo visto podemos comprender la utilidad de los conceptos algebraicos tales como el anillo de enteros de Gauss. La prueba que hemos obtenido con ellos es mucho más sencilla, no requiere apenas cálculos, es por tanto más fácil de recordar y explica realmente por qué la propiedad de ser suma de dos cuadrados depende sólo de la parte libre de cuadrados. En muchos casos, las técnicas algebraicas permiten llegar a resultados que serı́an imposibles mediante meros cálculos. Más adelante veremos más ejemplos. 6.3 Sumas de cuatro cuadrados No estamos en condiciones de estudiar qué numeros pueden expresarse como suma de tres cuadrados (aunque el lector podrı́a conjeturar fácilmente cuáles son), pero vamos a demostrar un importante resultado debido a Lagrange: Teorema 6.1 Todo número natural es suma de cuatro cuadrados. 73 6.3. Sumas de cuatro cuadrados Demostración: El problema se reduce a estudiar los números primos en cuanto pensamos en el anillo de los cuaterniones racionales y en el hecho de que la norma del producto es el producto de las normas. Al escribirlo explı́citamente obtenemos la fórmula: (x2 + y 2 + z 2 + w2 )(x′2 + y ′2 + z ′2 + w′2 ) = (xx′ − yy ′ − zz ′ − ww′ )2 + (xy ′ + yx′ + zw′ − wz ′ )2 +(xz ′ + zx′ + wy ′ − yw′ )2 + (xw′ + wx′ + yz ′ − zy ′ )2 . Esto nos dice que el producto de números expresables como suma de cuatro cuadrados es también expresable como suma de cuatro cuadrados, luego basta probar que todo número primo es expresable como suma de cuatro cuadrados. Por razones técnicas vamos a necesitar la variante que resulta de sustituir x′ por −x′ en la fórmula anterior: (x2 + y 2 + z 2 + w2 )(x′2 + y ′2 + z ′2 + w′2 ) = (−xx′ − yy ′ − zz ′ − ww′ )2 + (xy ′ − yx′ + zw′ − wz ′ )2 +(xz ′ − zx′ + wy ′ − yw′ )2 + (xw′ − wx′ + yz ′ − zy ′ )2 . (6.1) Como 2 = 12 + 12 + 02 + 02 , basta probar que todo primo impar p es suma de cuatro cuadrados. Los números x2 con 0 ≤ x ≤ 12 (p − 1) son incongruentes módulo p, e igualmente ocurre con −1 − y 2 con 0 ≤ y ≤ 12 (p − 1). Como en total son p + 1, existen x, y en estas condiciones tales que x2 ≡ −1 − y 2 (mód p). Equivalentemente, existe un natural m tal que  1 2 mp = x2 + y 2 + 1 < 1 + 2 p < p2 , 2 luego 0 < m < p. Sea r el menor natural no nulo tal que existen números enteros x, y, z, w que cumplan rp = x2 + y 2 + z 2 + w2 . Como m cumple esto, será r ≤ m < p. Necesariamente r es impar, pues si fuera par, 0, 2 o 4 de los x, y, z, w serı́an pares y, reordenándolos, podrı́amos exigir que x + y, x − y, z + w y z − w fueran pares. Entonces 1 1 rp = (x + y) 2 2 2 + 1 (x − y) 2 2 + en contradicción con la minimalidad de r. 1 (z + w) 2 2 + 1 2 (z − w) , 2 Nuestro objetivo es probar que r = 1. Supongamos que r > 1. Sean x′ , y ′ , z ′ , w′ los restos módulo r de x, y, z, w entre −r/2 y r/2 (es posible ya que r es impar). Claramente n = x′2 + y ′2 + z ′2 + w′2 ≡ x2 + y 2 + z 2 + w2 = rp ≡ 0 (mód r), pero n > 0, pues en otro caso x′ = y ′ = z ′ = w′ = 0, r dividirı́a x, y, z, w, luego 74 Capı́tulo 6. Algunas aplicaciones r2 | x2 + y 2 + z 2 + w2 = rp, de donde r | p y en consecuencia r = 1, contra lo supuesto. También es claro que n < 4( 21 r)2 = r2 . Sea 0 < k < r tal que n = kr. Por la identidad (6.1), krpr = z12 +z22 +z32 +z42 para ciertos naturales z1 , z2 , z3 , z4 y, teniendo en cuenta cómo se obtienen a partir de x, y, z, w, x′ , y ′ , z ′ , w′ , es claro que los cuatro son múltiplos de r (por ejemplo z1 = −xx′ − yy ′ − zz ′ − ww′ ≡ −x2 − y 2 − z 2 − w2 = −rp ≡ 0 (mód r)). Ası́ pues zi = rti y por tanto r2 kp = r2 t21 + r2 t22 + r2 t23 + r2 t24 , con lo que kp = t21 + t22 + t23 + t24 , en contra de la minimalidad de r. 6.4 Números de la forma x2 + 3y 2 Fermat planteó, junto al estudio de los números expresables como suma de dos cuadrados, el problema más general de determinar qué números pueden expresarse en la forma x2 + 2y 2 , x2 + 3y 2 , etc. Ahora estudiaremos el caso x2 + 3y 2 para destacar las analogı́as y las diferencias con el caso ya visto de las sumas de dos cuadrados. Comencemos examinando una tabla: 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 3 4 7 12 19 28 39 52 67 84 103 12 13 16 21 28 37 48 61 76 93 112 27 28 31 36 43 52 63 76 91 108 127 48 49 52 57 64 73 84 97 112 129 148 75 76 79 84 91 100 111 124 139 156 175 Como en el caso de las sumas de dos cuadrados, se observa que un número está en la tabla si y sólo si lo está su parte libre de cuadrados y que un número libre de cuadrados está en la tabla si y sólo si lo están los primos que lo componen. Del mismo modo que 2 era un caso excepcional en el caso de la suma de dos cuadrados, aquı́ lo es el tres, pues si observamos los primos distintos de 3 que aparecen en la tabla: 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97, notamos que son los de la forma 6n + 1. La conjetura es, por tanto, que un número es de la forma x2 + 3y 2 si y sólo si los primos que lo dividen con exponente impar diferentes de 3 son de la forma 6n + 1. Veamos en primer lugar la necesidad de la condición para los primos. Supongamos que un primo p = 3 es de la forma p = a2 + 3b2 . El número a no puede ser múltiplo de 3 o si no 3 | p. Consecuentemente, módulo 6 el número a es igual a 1, 2, 4 o 5, luego a2 ha de ser 1 o 4. Por otro lado los cuadrados módulo 6 son 0, 1, 3 o 4, luego 3b2 ha de ser congruente con 0 o 3. Ahora, la suma de un número congruente con 1 o 4 más un número congruente con 0 o 3 da un número congruente con 1 o 4 módulo 6, pero si p = 6n+4 entonces 2 | p, contradicción. Ası́ pues p = 6n + 1. 6.4. Números de la forma x2 + 3y 2 75 El hecho siguiente es que por la fórmula (a2 + 3b2 )(c2 + 3d2 ) = (ac − 3bd)2 + 3(ad + bc)2 , (6.2) el producto de números expresables en la forma x2 + 3y 2 es también de esta forma. Probamos ahora que si 2 divide a un número de la forma a2 + 3b2 entonces de hecho 4 | a2 + 3b2 y el cociente también es de esta forma. En efecto, a y b deben ser ambos pares o ambos impares. Si ambos son pares, entonces 4 | a2 y 4 | b2 , luego 4 | a2 + 3b2 y (a2 + 3b2 )/4 = (a/2)2 + 3(b/2)2 . Si ambos son impares a = 4m ± 1 y b = 4n ± 1. Escogiendo el signo de modo que los unos se cancelen resulta que 4 | a + b o bien 4 | a − b. Si 4 | a + b entonces, por (6.2), 4(a2 + 3b2 ) = (12 + 3 · 12 )(a2 + 3b2 ) = (a − 3b)2 + 3(a + b)2 , y a − 3b = a + b − 4b, luego 4 | a − 3b y ası́ 16 | 4(a2 + 3b2 ), es decir, 4 | (a2 + 3b2 ) y (a2 + 3b2 )/4 = ((a − 3b)/4)2 + 3((a + b)/4)2 . Si 4 | (a − b) se razona igual con la igualdad 4(a2 + 3b2 ) = (12 + 3(−1)2 )(a2 + 3b2 ) = (a + 3b)2 + 3(a − b)2 . Ahora probamos que si un número a2 + 3b2 es divisible por un primo de la forma p = u2 + 3v 2 , entonces el cociente también tiene esta forma. Para ello observamos que (ub − av)(ub + av) = u2 b2 − a2 v 2 = u2 b2 + 3v 2 b2 − 3v 2 b2 − a2 v 2 = b2 (u2 + 3v 2 ) − v 2 (a2 + 3b2 ). Por lo tanto p | (ub−av)(ub+av) y, como es primo, p | (ub−av) o p | (ub+av). Llamando s = ±1 según el caso tenemos que p | (ub + sav) y (de nuevo por (6.2)) (u2 + 3v 2 )(a2 + 3b2 ) = (u2 + 3(sv)2 )(a2 + 3b2 ) = (ua − s3vb)2 + 3(ub + sav)2 , luego p | (ua − s3vb)2 y, por ser primo, p2 | (ua − s3vb)2 , con lo que a2 + 3b2 = p  ua − s3vb p 2 +3  ub + sav p 2 . Como consecuencia, si un número a2 + 3b2 es divisible entre un número impar x que no es de esta forma, entonces el cociente tiene un factor impar que tampoco es de esta forma. En efecto, sea a2 +3b2 = xy. Si 2 | y, entonces hemos probado que 4 | y y además x(y/4) = c2 + 3d2 . Podemos repetir hasta que y/4n sea impar, con lo que y es de la forma y = p1 · · · pm , donde cada pi = 4 o bien es un primo impar. Si no hubiera primos impares o todos fueran de la forma u2 + 3v 2 , entonces los dos resultados anteriores nos darı́an que x también es de la forma r2 + 3s2 . 76 Capı́tulo 6. Algunas aplicaciones Si (a, b) = 1 y un primo impar p | a2 + 3b2 , entonces p es también de la forma p = c2 + 3d2 . En efecto, sean a = mp ± c y b = np ± d, donde |c| < p/2 y |d| < p/2 (la desigualdad estricta es posible sólo si p es impar). Módulo p se cumple que a2 + 3b2 = c2 + 3d2 , luego p | c2 + 3d2 . Sea c2 + 3d2 = py. Notemos que (c, d) | y, pues en otro caso p | (c, d), lo cual es imposible. Por consiguiente al dividir entre (c, d) queda e2 + 3f 2 = pz, con (e, f ) = 1, y si p no fuera de la forma pedida, entonces z tendrı́a un factor primo impar q que tampoco serı́a de esta forma. Ahora, pq | pz | e2 + 3f 2 | c2 + 3d2 , luego pq < (p/2)2 + 3(p/2)2 = p2 , con lo que q < p. En resumen, si p no cumple lo pedido, hay un primo menor que tampoco lo cumple. Esto es imposible, pues ha de haber un mı́nimo primo en las condiciones de p. Supongamos ahora que n = a2 + 3b2 . Entonces, si n es par, 4 | n y n/4 es también de esta forma. Repitiendo, podemos expresar n = 4i m, donde m es impar. Esto significa que la parte libre de cuadrados de n es impar. Sea n = u2 v con v libre de cuadrados e impar. Ası́ n = a2 + 3b2 = (a, b)2 (c2 + 3d2 ) con (c, d) = 1. Entonces (a, b) | u, luego v | c2 + 3d2 . Por el resultado que acabamos de probar todo primo (impar) que divide a v (luego a c2 + 3d2 ) es suma de la forma indicada, luego v también. Esto prueba que un número es de la forma a2 + 3b2 si y sólo si lo es su parte libre de cuadrados, y que un número libre de cuadrados es de esta forma si y sólo si lo son los primos que lo componen. Falta probar que los primos de esta forma son el 3 y los congruentes con 1 módulo 6. Notar que un primo es de la forma p = 6n + 1 si y sólo si p = 3n + 1, pues 3n ha de ser par. Como en el caso de las sumas de dos cuadrados, los números a3n son congruentes con 1 módulo p para a = 1, . . . , 3n (por el teorema de Fermat). Por tanto p divide a las 3n diferencias (a + 1)3n − a3n , para a = 1, . . . , 3n − 1. Ahora bien,   (a + 1)3n − a3n = (a + 1)n − an (a + 1)2n + (a + 1)n an + a2n = = ((a + 1)n − an )(A2 + A(2B) + (2B)2 ) = ((a + 1)n − an )(A + B)2 + 3B 2 , (donde hemos usado que o bien a, o bien a + 1 es par). Además (a, a + 1) = 1 implica que (A, B) = 1. Si p | (A + B)2 + 3B 2 , entonces p es de la forma pedida. En otro caso p | (a + 1)n − an para todo a = 1, . . . , 3n − 1, luego p divide a las 2n diferencias n–simas, que valen n!, lo que es imposible puesto que p = 3n + 1. Los argumentos que hemos empleado recuerdan en muchos aspectos a los que usamos al tratar las sumas de dos cuadrados, pero serı́a ingenuo pensar que se trata de dos casos particulares de un mismo argumento general. En realidad el caso que acabamos de estudiar presenta dificultades adicionales intrı́nsecas, sin un equivalente en las sumas de dos cuadrados. Esto no puede verse en la maraña de cálculos que hemos empleado, y sólo se comprende adecuadamente 6.5. La ecuación x2 + 3y 2 = z 3 77 cuando se plantea en el contexto algebraico adecuado. En esta lı́nea podrı́amos pensar en la factorización √ √ x2 + 3y 2 = (x + −3)(x − −3) y tratar de simplificar la prueba utilizando el anillo √ √    Z −3 = a + b −3 | a, b ∈ Z , del mismo modo que en el caso de las sumas de dos cuadrados hemos considerado el anillo de enteros de Gauss. Ciertamente este anillo está muy√relacionado  con el problema, pero nos encontramos con el obstáculo de que Z −3 no es un DFU. de costumbre, consideramos la norma definida por √ √ √ En efecto, como 2 −3) = (a + b −3)(a − b −3) = a + 3b2 . Como en los otros ejemplos (a + b N se comprueba que es multiplicativa, ası́ como que las unidades son los elementos de norma 1, lo que nos da únicamente ±1. La factorización √ √ (1 + −3)(1 − −3) = 4 = 2 · 2 (6.3) es un ejemplo de factorización no única, pues los cuatro factores tienen norma 4 y es fácil ver que no hay elementos de norma 2, por lo que los cuatro son irreducibles y no asociados. Éste es el motivo que hace más complicado el problema. La razón por la que, pese a ello, el problema no es excesivamente más complicado es que puede probarse que (6.3) es esencialmente el único caso de factorización no √la ecuación  única en Z −3 . En la sección siguiente estudiaremos esta factorización en relación con un problema similar al de la clasificación de las ternas pitagóricas. Ejercicio: Obtener una conjetura sobre qué números son de la forma a2 + 2b2 . Ejercicio: Estudiar los números de la forma a2 + 5b2 y comprobar que no cumplen propiedades similares a las de los ejemplos anteriores. 6.5 La ecuación x2 + 3y 2 = z 3 √  Aquı́ estudiaremos la factorización en el anillo Z −3 para probar el siguiente resultado técnico, que necesitaremos en la próxima sección. Las soluciones enteras de la ecuación x2 + 3y 2 = z 3 con (x, y) = 1 son exactamente las de la forma x = a3 − 9ab2 , y = 3a2 b − 3b3 z = a2 + 3b2 , donde a y b son enteros primos entre sı́. √  √  √ √ Sea σ : Q −3 −→ Q −3 la aplicación σ(a + b −3) = a − b −3. Es inmediato comprobar que se trata de un isomorfismo de anillos. √ √ 3 Sean a y b números √ y x 3+ y −3 = (a + b −3) . Aplicando σ √ cualesquiera obtenemos que x − y −3 = (a − b −3) y √ √ √ √ x2 + 3y 2 = (x + y −3)(x − y −3) = (a + b −3)3 (a − b −3)3 √ √   3 3 = (a + b −3)(a − b −3) = a2 + 3b2 . 78 Capı́tulo 6. Algunas aplicaciones √ Ası́, x2 + 3y 2 = z 3 , donde z = a2 + 3b2 . Desarrollando (a + b −3)3 por el teorema del binomio de Newton, obtenemos √ √ √ √ a3 + 3a2 b −3 + 3ab2 −3 2 + b3 −3 3 = a3 − 9ab2 + (3a2 b − 3b3 ) −3, luego x = a3 − 9ab2 , y = 3a2 b − 3b3 . Esto prueba que las ternas (a3 − 9ab2 , 3a2 b − 3b3 , a2 + 3b2 ) cumplen ciertamente la ecuación x2 + 3y 2 = z 3 . Además si (x, y) =√1 también (a, b) = 1, o de lo √ contrario un entero no unitario dividirı́a a a + b −3, luego a su cubo x √ + y −3,  luego a x y a y. Notar que una prueba directa que no use el anillo Z −3 es necesariamente mucho más complicada. Además los cálculos que acabamos √ de hacer nos√muestran que si tenemos x2 +3y 2 = z 3 nos basta probar que x+y −3 = (a+b −3)3 para ciertos  √ enteros a y b, pues entonces x e y tendrán la forma deseada. Si el anillo Z −3 fuera un DFU esto se reducirı́a esencialmente a justificar que en la igualdad √ √ z 3 = (x + y −3)(x − y −3) los dos factores de la derecha son primos entre sı́, pues entonces serı́a fácil ver que ambos habrı́an de ser cubos. Lo que haremos será probar que los elementos √ x + y −3 con (x, y) = 1 admiten algo muy parecido a una factorización única. √ √ 1)√ Si (a, b) = 1 y a2 + 3b2 es par, entonces (1 ± −3) | (a + b −3) (siempre en Z −3 ), donde el signo se escoge adecuadamente. √  √  En general p | q en Z −3 si y sólo si existe un r ∈ Z −3 tal que pr = q, √ es√ decir,si y sólo si p−1 q ∈ Z[ −3], donde el inverso se calcula, en principio, en Q −3 . √  Como N(u) = uσ(u), el inverso de u en Q −3 es u−1 = σ(u)/ N(u). √ √ Concretamente los√ inversos de 1 + −3 y 1 − √ −3 son, respectivamente, √ 1 −3) y 14 (1 + −3), y multiplicados por a + b −3 dan 4 (1 − √ √ 1 1 1 1 (a + 3b) + (−a + b) −3 y (a − 3b) + (a + b) −3. 4 4 4 4 √ √ 1 ± −3 dividirá a a + b −3 si uno de estos dos elementos está en √Ası́ pues,  Z −3 , es decir, si 4 | (a + 3b) y 4 | (−a + b) o bien 4 | (a − 3b) y 4 | (a + b). Ahora bien, a y b han de tener la misma paridad, y como son primos entre sı́, han de ser ambos impares. Por tanto serán de la forma 4n ± 1, luego a + b o a − b ha de ser divisible entre 4. Si 4 | a + b, también 4 | a − 3b, pues, módulo 4, se cumple [a − 3b] = [a] + [−3][b] = [a] + [b] = [a + b] = 0. Si 4 | a−b, entonces también 4 | a+3b, pues, módulo 4, [a+3b] = [a]+[3][b] = [a] + [−1][b] = [a − b] = 0. Además [−a + b] = [−1][a − b] = 0. Por tanto se cumple lo pedido. 2) Si (a, b) = 1 y a2 + 3b2 es divisible por el√primo impar p, entonces p es √ de la forma p = u2 + 3v 2 y (u ± v −3) | (a + b −3), donde el signo hay que escogerlo adecuadamente. 6.5. La ecuación x2 + 3y 2 = z 3 79 La primera parte está probada en la sección anterior. También allı́ se vio que si un primo impar p = u2 + 3v 2 divide a a2 + 3b2 , entonces p | (ub + sav), siendo s = ±1 y  2 2  ub + sav ua − s3vb 2 2 +3 . a + 3b = p p Llamando x = (ua − s3vb)/p e y = (ub + sav)/p, resulta que √ √ √ x + y −3 = (u + sv −3)(a + b −3)/p. √ Multiplicando por u − sv −3 obtenemos √ √ √ √ (u − sv −3)(x + y −3) = p(a + b −3)/p = a + b −3. 3) Si (a, b) = 1, entonces √ √ √ √ a + b −3 = ±(u1 ± v1 −3)(u2 ± v2 −3) · · · (un ± vn −3), (6.4) donde la norma de cada factor es 4 o un primo impar. Esto es consecuencia de los dos resultados anteriores, sin más √ √ √ que tener en cuenta que en una factorización a + b −3 = (u + v −3)(x + y −3) se ha de cumplir (x, y) = 1 o de lo contrario (a, b) = 1. 4) Los factores de (6.4) están determinados salvo signo por el hecho de que a2 +3b2 = (u21 +3v12 ) · · · (u2n +3vn2 ) es una descomposición de a2 +3b2 en producto de primos impares y cuatros. Además √ en la descomposición nunca aparecen a √ la vez dos factores u + v −3 y u − v −3. Lo que hay que probar es que si p = u2 + 3v 2 es un primo impar o un 4, entonces u y v están determinados salvo el signo. Para p = 4 es obvio. √ Si p 2 2 2 2 −3 = es un primo impar y p = u + 3v = r + 3s , entonces por 2) u + v √ √ 2 2 (r + s√ −3)(x + y −3), luego tomando normas, x + 3y = 1, con lo que √ √ x + y −3 = ±1 y ası́ u + v −3 = ±(r + s −3), es decir, u = ±r y v =√±s. Por dos factores u + v −3 y √ √ otra parte, si aparecieran simultáneamente u − v −3, entonces u2 + 3v 2 | a + b −3, luego u2 + 3v 2 | (a, b), contradicción. Ahora estamos en condiciones de demostrar el resultado que tenemos pendiente: √ √ Si (x, y) = 1 y x2 +3y 2 es un cubo, entonces x+y −3 = (a+b −3)3 para ciertos enteros a y b. En efecto: cada primo que divide a x2 + 3y 2 lo hace con exponente múltiplo de 3, y como 2 ha de dividirlo con exponente par, de hecho 2 lo divide con exponente múltiplo de 6. Ası́ x2 + 3y 2 = p31 · · · p3n , donde cada pi es un 4 o un primo impar. √ En la factorización de x + y −3 tipo (6.4), cada pi da lugar al mismo √ factor ui ± vi −3, pues no pueden aparecer con signos distintos, es decir, la factorización es de la forma √ √ √ √ x + y −3 = ±(u1 ± v1 −3)3 (u2 ± v2 −3)3 · · · (un ± vn −3)3 , √ luego x + y −3 es un cubo. 80 6.6 Capı́tulo 6. Algunas aplicaciones El Último Teorema de Fermat Pierre de Fermat fue un eminente matemático que realizó grandes descubrimientos en teorı́a de números, pero, de acuerdo con las costumbres de su época, jamás publicó nada, y su trabajo es conocido por la correspondencia que mantuvo con otros matemáticos ası́ como por la publicación póstuma de sus obras, llevada a cabo por su hijo Samuel. Entre las notas ası́ publicadas se encontraban ciertas anotaciones en los márgenes de una edición de la Aritmética de Diofanto, una de las cuales, situada junto al punto en el que Diofanto encuentra las ternas pitagóricas, afirma que mientras —ciertamente— existen números enteros que satisfacen la ecuación x2 + y 2 = z 2 , el resultado es falso para exponentes mayores que dos, es decir, la ecuación xn + y n = z n no tiene soluciones positivas para n > 2. Fermat afirma tener una maravillosa demostración de este hecho, pero que no cabe en el margen del libro. Indudablemente Fermat debió de cometer un error, pues sólo recientemente se ha encontrado una compleja prueba basada en potentes técnicas algebraicas de las que Fermat distaba mucho de disponer. La afirmación: La ecuación xn + y n = z n no tiene soluciones enteras positivas para exponentes n > 2. se conoce con el nombre de Último Teorema de Fermat, aunque, según lo dicho, es prácticamente seguro que Fermat nunca lo demostró ni tampoco fue su última conjetura, ni mucho menos. Aquı́ vamos a resolver algunos casos particulares del Último Teorema de Fermat y daremos algunas indicaciones del camino que permite obtener más resultados sobre él.El caso más simple, dado el estudio sobre las ternas pitagóricas que hemos llevado a cabo, es el caso n = 4. Teorema 6.2 La ecuación, x4 + y 4 = z 2 no tiene soluciones enteras positivas. En particular el Último Teorema de Fermat es cierto para n = 4. Demostración: Si existen soluciones positivas de la ecuación x4 + y 4 = z 2 , entonces (x2 , y 2 , z) es una terna pitagórica. Notar que si dividimos x, y, z por su m.c.d. obtenemos números primos entre sı́ que siguen cumpliendo la ecuación (notemos que si un primo p divide a x y a y, entonces p2 divide a z), luego podemos suponer que (x, y, z) = 1, y claramente esto implica que en realidad son primos entre sı́ dos a dos y que la terna (x2 , y 2 , z) es primitiva. Según los resultados de la sección primera, x2 = 2pq, y 2 = p2 −q 2 , z = p2 +q 2 , donde p y q son números enteros primos entre sı́, de distinta paridad y p > q > 0 (intercambiamos x con y si es necesario para que x2 sea el par). Ahora, p2 = y 2 + q 2 , luego (q, y, p) es otra terna pitagórica, lo que obliga a que p sea impar, luego q ha de ser par, y ası́ q = 2ab, y = a2 − b2 , p = a2 + b2 , para ciertos enteros a y b primos entre sı́, de paridad opuesta, a > b > 0 (notar que se trata de una terna primitiva porque (p, q) = 1). Por lo tanto x2 = 4ab(a2 + b2 ) y en consecuencia ab(a2 + b2 ) = (x/2)2 . Por otra parte (a, b) = 1 implica fácilmente que (ab, a2 + b2 ) = 1. 6.6. El Último Teorema de Fermat 81 Ahora usamos una vez más un argumento muy simple pero importante: si el producto de dos números naturales primos entre sı́ es un cuadrado, entonces ambos son cuadrados, pues cada uno de ellos debe tener cada factor primo con exponente par. Concluimos que ab y a2 + b2 son cuadrados y, por el mismo argumento, también lo son a y b. Digamos a = u2 , b = v 2 , a2 + b2 = w2 . Entonces u4 + v 4 = a2 + b2 = w2 = p < p2 + q 2 = z < z 2 . En resumen, si existe una terna de números positivos (x, y, z) de manera que x4 + y 4 = z 2 , existe otra (u, v, w) que cumple lo mismo pero con w2 < z 2 . Si existieran tales ternas deberı́a haber una con z mı́nimo, lo cual es falso según lo visto, por lo que la ecuación no tiene solución. Es importante notar que el teorema anterior no sólo prueba el Último Teorema de Fermat para n = 4, sino en general para n = 4k. En efecto, si existieran números positivos (x, y, z) tales que x4k + y 4k = z 4k , entonces (xk , y k , z k ) serı́a una solución a la ecuación x4 + y 4 = z 4 , lo cual es imposible. En particular el Último Teorema de Fermat es cierto para las potencias de dos. De aquı́ se sigue ahora que si el Último teorema de Fermat es cierto para exponentes primos impares, entonces es cierto para todo exponente. En efecto, si existen soluciones positivas a una ecuación xn + y n = z n , entonces n no puede ser potencia de 2, luego existe un primo impar p tal que p | n, o sea, n = pk, para cierto entero k, luego (xk , y k , z k ) es una solución positiva a la ecuación xp + y p = z p . Observemos que si p es impar el Último Teorema de Fermat equivale a la no existencia de soluciones enteras no triviales (o sea, con xyz = 0) de la ecuación xp + y p + z p = 0, lo que muestra que en realidad el papel de las tres variables es simétrico. Esto simplifica algunos argumentos. El caso p = 3 fue demostrado por Euler, y en la prueba aparecen nuevas ideas de interés. Vamos a verlo. Teorema 6.3 No existen enteros no nulos x, y, z tales que x3 + y 3 = z 3 . Demostración: Vamos a seguir la prueba del teorema 6.2. Para empezar suponemos que existen números (x, y, z) que cumplen x3 + y 3 = z 3 . Dividiéndolos entre su m.c.d. podemos suponer que son primos entre sı́ y, al cumplir la ecuación, han de ser primos entre sı́ dos a dos. Es obvio que a lo sumo uno de los tres números puede ser par, pero si x, y son impares entonces z es par, luego exactamente uno de ellos es par. Por simetrı́a podemos suponer que x e y son impares. Entonces x + y, x − y son pares, digamos x + y = 2p, x − y = 2q. Ası́ x = p + q, y = p − q. Ahora consideramos la factorización siguiente: x3 + y 3 = (x + y)(x2 − xy + y 2 ) [No es difı́cil llegar a ella: basta observar que el polinomio x3 + 1 tiene una raı́z igual a −1, luego es divisible entre x + 1, y la división da lugar a la factorización 82 Capı́tulo 6. Algunas aplicaciones x3 + 1 = (x + 1)(x2 − x + 1). Ahora se sustituye x por x/y y se multiplica por y 3 .] Sustituyendo obtenemos  x3 + y 3 = 2p (p + q)2 − (p + q)(p − q) + (p − q)2 = 2p(p2 + 3q 2 ). Además podemos afirmar que p y q son primos entre sı́ (un factor común lo serı́a de x e y) y tienen paridades opuestas (porque x = p + q es impar). Cambiando el signo de x, y, z si es necesario podemos suponer que x + y > 0, luego p > 0 e, intercambiando x con y si es necesario, también q > 0 (no puede ser que x = y, pues q serı́a 0, y como (x, y) = 1 habrı́a de ser x = y = 1, y entonces z 3 = 2, lo cual es imposible). En resumen, si existe una solución (x, y, z) con x e y impares, entonces existen números naturales no nulos p y q de paridad opuesta, primos entre sı́ tales que el número 2p(p2 + 3q 2 ) es un cubo. El análogo en la prueba del teorema 6.2 era la factorización x2 = 4ab(a2 +b2 ), que nos daba que ab(a2 + b2 ) debı́a ser un cuadrado. Igualmente nosotros hemos de justificar que los números 2p y p2 + 3q 2 son primos entre sı́, con lo que cada uno de ellos será un cubo. En realidad esto no tiene por qué ser cierto, pero poco falta. Notemos primero que, como p y q tienen paridad opuesta, p2 + 3q 2 es impar, de donde se sigue claramente que (2p, p2 + 3q 2 ) = (p, p2 + 3q 2 ) = (p, 3q 2 ) y como (p, q) = 1 el único factor común de p y 3q 2 es 3. En otras palabras, si 3 no divide a p, entonces (2p, p2 + 3q 2 ) = 1. Supongamos que es ası́. Entonces, según lo dicho, 2p y p2 + 3q 2 son cubos. En este punto usamos el resultado de la sección anterior (el análogo en el caso que nos ocupa a la clasificación de las ternas pitagóricas). Tenemos que p = a(a − 3b)(a + 3b), q = 3b(a − b)(a + b). Claramente a y b son primos entre sı́ y tienen paridades opuestas (o si no p y q serı́an pares). Por otra parte 2p = 2a(a − 3b)(a + 3b) es un cubo. Veamos de nuevo que los factores 2a, a − 3b y a + 3b son primos entre sı́ dos a dos, con lo que los tres serán cubos. Como a y b tienen paridades opuestas, a − 3b y a + 3b son impares, luego un factor común de 2a y a ± 3b es un factor de a y a ± 3b, luego un factor común de a y 3b. Igualmente un factor común de a + 3b y a − 3b lo es de a y 3b, luego basta probar que (a, 3b) = 1. Puesto que (a, b) = 1, lo contrario obligarı́a a que 3 | a, pero entonces 3 | p y estamos suponiendo lo contrario. Ası́ pues, 2a = u3 , a−3b = v 3 , a+3b = w3 , luego v 3 +w3 = 2a = u3 . Nuestro objetivo es encontrar una solución de la ecuación de Fermat con z 3 par y menor (en valor absoluto) que el valor del que hemos partido. Ası́ podremos concluir que no pueden existir tales soluciones ya que no puede haber una mı́nima. Hemos de reordenar la terna (u, v, w) para dejar en tercer lugar la componente par. Como u3 v 3 w3 = 2a(a−3b)(a+3b) = 2p | z 3 , lo cierto es que la componente par, sea cual sea, es menor en módulo que z 3 . Falta llegar a la misma conclusión si 3 | p. Supongamos que p = 3s y que 3 ∤ q. Entonces nuestro cubo es 2p(p2 + 3q 2 ) = 32 · 2s(3s2 + q 2 ) y los números 6.7. Enteros ciclotómicos 83 32 · 2s y 3s2 + q 2 son primos entre sı́, pues (s, q) = 1 obliga a que los únicos divisores comunes posibles sean 2 y 3, pero 3s2 + q 2 es impar (luego 2 no sirve) y 3 ∤ q, (luego tampoco sirve). Consecuentemente 32 · 2s = u3 y 3s2 + q 2 = v 3 . Por el resultado de la sección anterior, q = a(a − 3b)(a + 3b), s = 3b(a − b)(a + b). Por otro lado 32 · 2s = 33 · 2b(a − b)(a + b) es un cubo, luego 2b(a − b)(a + b) también lo es. El resto de la prueba es prácticamente igual al caso anterior. 6.7 Enteros ciclotómicos Hay dos aspectos de la prueba anterior que conviene destacar. Uno es el 2 2 uso de la descomposición x3 + y 3 = (x + y)(x √ − xy  + y ) en el comienzo de la demostración. El otro es el uso del anillo Z −3 como un medio de obtener resultados sobre números enteros pasando por números “imaginarios”. El caso p = 5 del último teorema de Fermat fue demostrado independientemente por Dirichlet y Legendre mediante técnicas similares, √ considerando factorizaciones más complejas y ayudándose del anillo Z −5 . Sin embargo la prueba resulta mucho más complicada que la que acabamos de ver y los casos superiores se vuelven prácticamente intratables debido a que la complejidad aumenta desmesuradamente. Dirichlet intentó probar el caso p = 7, pero sólo consiguió una prueba para exponente 14. Fue Kummer quien, basándose en ideas de Lamé, obtuvo una prueba del teorema de Fermat para una amplia clase de primos. No estamos en condiciones de abordar la teorı́a de Kummer, pero podemos indicar en qué se basa. Esencialmente se trata de usar números “imaginarios” para simplificar la factorización de xp + y p . Concretamente, tenemos la factorización xp − 1 = (x − 1)(xp−1 + · · · + x + 1), y vimos en el capı́tulo anterior que el factor p(x) = xp−1 + · · · + x + 1 es irreducible. El teorema 5.21 nos da que existe un cuerpo Q[ω] en el que p(x) tiene una raı́z ω. Concretamente Q[ω] = {ap−2 ω p−2 + · · · + a1 ω + ao | ap−2 , . . . , a0 ∈ Q}, y además la expresión de cada elemento es única. Por razones que ahora no podemos explicar a este cuerpo se le llama cuerpo ciclotómico p–ésimo. Como p(ω) = 0 y p(x) | xp − 1, resulta que ω p − 1 = 0, o sea, ω p = 1 y, obviamente, ω = 1. No puede ocurrir que ω n = 1 para 0 < n < p, pues entonces, tomando el mı́nimo n que cumple esto, p = nc + r con 0 < r < p (p es primo), y entonces ω p = (ω n )c ·ω r = ω r = 1, contradicción. Esto significa que las potencias 1 = ω 0 , ω, ω 2 , . . . , ω p−1 , son distintas dos a dos, pues si ω i = ω j , entonces ω i−j = 1. Además todas cumplen (ω i )p = 1, luego son las p raı́ces del polinomio xp −1, o sea, xp − 1 = (x − 1)(x − ω) · · · (x − ω p−1 ). 84 Capı́tulo 6. Algunas aplicaciones Sustituyendo x = −x/y y multiplicando por −y p obtenemos la factorización xp + y p = (x + y)(x + ωy) · · · (x + ω p−1 y). Esta factorización en polinomios de grado 1 es la más simple posible, y es la clave para obtener pruebas del teorema de Fermat para numerosos valores de p. Para ello es necesario estudiar el cuerpo Q[ω] ası́ como el anillo de los llamados enteros ciclotómicos: Z[ω] = {ap−2 ω p−2 + · · · + a1 ω + a0 | ap−2 , . . . , a0 ∈ Z}. Ello supone desarrollar una compleja teorı́a que nos queda muy lejana. Sin embargo vamos a hacer alguna observación adicional sobre estos anillos. Como la relación ω p = 1 es más sencilla de manejar que la relación ω p−1 + · · · + ω + 1 = 0, (6.5) resulta conveniente trabajar con los elementos de Q[ω] en la forma ap−1 ω p−1 + · · · + a1 ω + a0 (6.6) (de modo que, al operar, simplemente reducimos las potencias ω p que puedan aparecer). El único inconveniente es que la expresión ya no es única. Si tenemos ap−1 ω p−1 + · · · + a1 ω + a0 = 0, usando la relación (6.5) tenemos que ap−1 ω p−1 + · · · + a1 ω + a0 − ap−1 (ω p−1 + · · · + ω + 1) = 0, o sea, (ap−2 − ap−1 )ω p−2 + · · · + (a1 − ap−1 )ω + (a0 − ap−1 ) = 0, y por la unicidad ap−1 = ap−2 = · · · = a1 = a0 . De aquı́ se sigue en general que ap−1 ω p−1 + · · · + a1 ω + a0 = bp−1 ω p−1 + · · · + b1 ω + b0 si y sólo si (restando los dos miembros) ap−1 − bp−1 = ap−2 − bp−2 = · · · = a1 − b1 = a0 − b0 , o en otras palabras, si existe un número racional c tal que ai = bi + c, para todo i = 0, . . . , p − 1. Equivalentemente, los coeficientes de una expresión (6.6) están unı́vocamente determinados salvo suma de un número racional (o de un número entero si el elemento está en Z[ω]). 85 6.7. Enteros ciclotómicos En los próximos capı́tulos iremos aplicando a estos anillos los resultados que vayamos obteniendo. Para terminar, notemos que para p = 3 el elemento ω es raı́z del polinomio x2 + x + 1, y por lo tanto √ −1 + −3 ω= . 2 √ √ De aquı́ se sigue fácilmente que Q[ω] = Q[ −3], aunque Z[ −3]  Z[ω]. Esta inclusión es en el fondo la razón por la que se cumplen los resultados que hemos visto en la sección 6.3, pues sucede que el anillo √   1 + −3 Z[ω] = Z 2 sı́ tiene factorización única (es un dominio euclı́deo), y lo que hemos √ visto en la sección 6.3 es un reflejo de dicha factorización en el subanillo Z[ −3]. No estamos en condiciones de probar teóricamente la relación entre la factorización de uno y otro anillo, pero lo dicho basta para comprender que los resultados que hemos probado mediante cálculos prolijos pueden ser vistos como consecuencias claras de fenómenos abstractos conceptualmente mucho más simples y mucho más comprensibles. Ejercicio: Justificar que la igualdad 2 · 2 = (1 + factorización única en Z[ω]. √ −3)(1 − √ −3) no contradice la Capı́tulo VII Módulos y espacios vectoriales En este capı́tulo introduciremos una nueva estructura algebraica más sencilla que la de anillo. La idea es que la estructura de los anillos es en general muy complicada, pero, prescindiendo en parte de la operación de producto, obtenemos una estructura más simple que puede ser analizada con facilidad y nos proporciona información importante. 7.1 Módulos Definición 7.1 Sea A un anillo unitario. Un A–módulo izquierdo es una terna (M, +, ·) tal que M es un conjunto, + : M × M −→ M es una operación interna en M y · es lo que se llama una operación externa en M con dominio de operadores en A, lo que significa simplemente que · : A × M −→ M . Además se han de cumplir las propiedades siguientes: 1. (r + s) + t = r + (s + t) para todos los r, s, t ∈ M . 2. r + s = s + r para todos los r, s ∈ M . 3. Existe un elemento 0 ∈ M tal que r + 0 = r para todo r ∈ M . 4. Para todo r ∈ M existe un elemento −r ∈ M tal que r + (−r) = 0. 5. a(r + s) = ar + as para todo a ∈ A y todos los r, s ∈ M . 6. (a + b)r = ar + br para todos los a, b ∈ A y todo r ∈ M . 7. a(br) = (ab)r para todos los a, b ∈ A y todo r ∈ M . 8. 1r = r para todo r ∈ M . 87 88 Capı́tulo 7. Módulos y espacios vectoriales Observamos que la suma en un módulo ha de cumplir las mismas propiedades que la suma en un anillo, por lo que las propiedades elementales de la suma de anillos valen para módulos. Por ejemplo, el elemento 0 que aparece en la propiedad 3 es único, ası́ como los elementos simétricos que aparecen en 4. Un A–módulo derecho se define igualmente cambiando la operación externa por otra de la forma · : M × A −→ M . La única diferencia significativa es que la propiedad 7 se convierte en (rb)a = r(ba), que escrito por la izquierda serı́a a(br) = (ba)r (en lugar de a(br) = (ab)r, que es la propiedad de los módulos izquierdos). Mientras no se indique lo contrario sólo consideraremos módulos izquierdos, aunque todo vale para módulos derechos. Seguiremos el mismo convenio que con los anillos, según el cual las operaciones de un módulo se representarán siempre con los mismos signos, aunque sean distintas en cada caso. También escribiremos M en lugar de (M, +, ·). Si D es un anillo de división, los D–módulos se llaman espacios vectoriales. Tenemos disponibles muchos ejemplos de módulos: En primer lugar, si A es un anillo unitario, entonces A es un A–módulo con su suma y su producto. Más en general, si B es un anillo unitario y A es un subanillo que contenga a la identidad, entonces B es un A–módulo con la suma de B y el producto restringido a A × B. Más en general aún, si φ : A −→ B es un homomorfismo de anillos unitarios tal que φ(1) = 1, entonces B es un A–módulo con la suma en B y el producto dado por ab = φ(a)b (el ejemplo anterior serı́a un caso particular de éste tomando como homomorfismo la inclusión). Un caso particular de este ejemplo es que si A es un anillo unitario e I es un ideal de A, entonces el anillo cociente A/I es un A–módulo con su suma y el producto dado por a[b] = [ab] (basta tomar como φ el epimorfismo canónico). Otro caso particular es que si A es un anillo unitario, entonces A es un Z– módulo con el producto usual de un entero por un elemento de A (tomando φ(m) = m1). Enunciemos a continuación las propiedades elementales de los módulos. Todas se demuestran igual que para anillos. Observar que el producto de números enteros por elementos de un módulo está definido exactamente igual que para anillos. Teorema 7.2 Sea A un anillo unitario y M un A–módulo. 1. Si r + s = r + t entonces s = t para todos los r, s, t ∈ M , 2. r + r = r si y sólo si r = 0, para todo r ∈ M , 3. −(−r) = r para todo r ∈ M , 4. −(r + s) = −r − s, para todos los r, s ∈ M , 7.1. Módulos 89 5. a0 = 0r = 0, para todo a ∈ A y todo r ∈ M , 6. n(ar) = (na)r = a(nr), para todo n ∈ Z, a ∈ A y r ∈ M , 7. Si A es un anillo de división, a ∈ A, r ∈ M y ar = 0, entonces a = 0 o r = 0. (Por ejemplo, la propiedad 7 se cumple porque si a = 0, entonces existe a−1 y por tanto a−1 ar = a−1 0 = 0, 1r = 0, r = 0). Definición 7.3 Sea A un anillo unitario y M un A–módulo. Diremos que un módulo N es un submódulo de M si N ⊂ M y las operaciones de N son las mismas que las de M . Evidentemente, si un subconjunto de un módulo dado puede ser dotado de estructura de submódulo, la forma de hacerlo es única (pues las operaciones en N han de ser las restricciones de las de M ). Por tanto es indistinto hablar de submódulos de M que de subconjuntos que pueden ser estructurados como submódulos. No siempre es posible considerar a un subconjunto como submódulo (por ejemplo si no contiene al 0), las condiciones que se han de cumplir las da el teorema siguiente. Teorema 7.4 Sea A un anillo unitario y M un A–módulo. Un subconjunto N de M puede ser dotado de estructura de submódulo si y sólo si cumple las condiciones siguientes: 1. N = ∅, 2. Si r, s ∈ N entonces r + s ∈ N , 3. Si a ∈ A y r ∈ N , entonces ar ∈ N . Demostración: Obviamente si N es un submódulo ha de cumplir estas condiciones. Si N cumple estas condiciones entonces por 2) y 3) la suma y el producto están definidos en N . Por 1) existe un r ∈ N , por 3) −r = (−1)r ∈ N , por 2) 0 = r − r ∈ N . Por tanto N tiene neutro y de nuevo por 3) el simétrico de cada elemento de N está en N . El resto de las propiedades exigidas por la definición se cumplen por cumplirse en M . Observar que las condiciones 2) y 3) del teorema anterior pueden resumirse en una sola: Teorema 7.5 Sea A un anillo unitario y M un A–módulo. Un subconjunto N de M puede ser dotado de estructura de submódulo si y sólo si N = ∅ y para todos los a, b ∈ A y todos los r, s ∈ N se cumple que ar + bs ∈ N . El teorema 7.4 muestra claramente que cuando consideramos a un anillo unitario A como A–módulo, entonces los submódulos coinciden con los ideales izquierdos. 90 Capı́tulo 7. Módulos y espacios vectoriales Definición 7.6 De los teoremas anteriores se desprende que si A es un anillo unitario y M es un A–módulo, entonces M y 0 = {0} son submódulos de M , y se llaman submódulos impropios. Cualquier otro submódulo de M se llama submódulo propio. El submódulo 0 se llama también submódulo trivial. También es obvio que la intersección de una familia de submódulos de M es un submódulo de M . Si X es un subconjunto de M llamaremos submódulo generado por X a la intersección de todos los submódulos de M que contienen a X. Lo representaremos X. Es inmediato a partir de la definición que si N es un submódulo de M y X ⊂ N , entonces X ⊂ N . Igualmente si X ⊂ Y ⊂ M , entonces se cumple X ⊂ Y . Notar que ∅ = 0. Cuando el conjunto X sea finito, X = {x1 , . . . , xn }, escribiremos también X = x1 , . . . , xn . Si M = X diremos que el conjunto X es un sistema generador de M . Diremos que M es finitamente generado si tiene un sistema generador finito. El modulo M es monógeno si admite un generador con un solo elemento. Teniendo en cuenta que al considerar a un anillo conmutativo y unitario A como A–módulo los submódulos coinciden con los ideales, es inmediato que el submódulo generado por un subconjunto X coincide con el ideal generado por X, es decir, (X) = X. Es fácil reconocer los elementos del submódulo generado por un subconjunto: Teorema 7.7 Sea A un anillo unitario, M un A–módulo y X ⊂ M . Entonces  n    X = ai ri  n ∈ N, ai ∈ A, ri ∈ X . i=1 La prueba es sencilla: un submódulo que contenga a X ha de contener necesariamente al conjunto de la derecha, pero es fácil ver que este subconjunto es de hecho un submódulo, luego contiene a X. √  Veamos algunos ejemplos concretos. El cuerpo Q −3 considerado en el capı́tulo anterior es un Q–espacio vectorial. Como cuerpo no tiene ideales propios, pero como Q–espacio vectorial subespacios. Por√ejemplo ! √ ! tiene infinitos √ 1 = {a1 | a ∈ Q} = Q, o −3 = {a −3 | a ∈ Q}, 5 + 2 −3 = √ {a5 + 2a −3 | a ∈ Q}, etc. √  El anillo Z −3 es un Z–módulo. Cambiando Q por Z en los ejemplos √  anteriores tenemos ejemplos de submódulos de Z −3 . Los módulos cociente se definen exactamente igual que los anillos cociente, aunque para nosotros tendrán un interés secundario. Definición 7.8 Sea A un anillo unitario, M un A–módulo y N un submódulo de M . Definimos en M la relación de congruencia módulo N mediante r ≡ s (mód N ) si y sólo si r − s ∈ N . 91 7.1. Módulos Es fácil probar que se trata de una relación de equivalencia en M . Llamaremos M/N al conjunto cociente. La clase de equivalencia de un elemento r ∈ M es [r] = r + N = {r + s | s ∈ N }. Teorema 7.9 Sea A un anillo unitario, M un A–módulo y N un submódulo de M . El conjunto M/N es un A–módulo con las operaciones dadas por [r] + [s] = [r + s] y a[r] = [ar]. Se le llama módulo cociente. Definimos los homomorfismos de módulos de forma análoga a los de anillos. Su interpretación es la misma. Definición 7.10 Sea A un anillo unitario y M , N dos A–módulos. Una aplicación f : M −→ N es un homomorfismo de módulos si cumple: f (r + s) = f (r) + f (s), para todos los r, s ∈ M , f (ar) = af (r), para todo a ∈ A y todo r ∈ M . Obviamente esto equivale a que f (ar + bs) = af (r) + bf (s), para a, b ∈ A, r, s ∈ M . Un monomorfismo de módulos es un homomorfismo inyectivo. Un epimorfismo de módulos es un homomorfismo suprayectivo. Un isomorfismo de módulos es un homomorfismo biyectivo. Una aplicación lineal es un homomorfismo de espacios vectoriales. La composición de homomorfismos es un homomorfismo, la inversa de un isomorfismo es un isomorfismo. Dos módulos M y N son isomorfos (M ∼ = N) si existe un isomorfismo entre ellos. Si f : M −→ N es un homomorfismo de módulos, llamaremos núcleo de f al submódulo de M dado por N(f ) = {r ∈ M | f (r) = 0}, la imagen de f es el submódulo de N dado por Im f = f [M ] = {f (r) | r ∈ M }. Si A es un anillo unitario, M es un A–módulo y N es un submódulo de M , la aplicación f : M −→ M/N dada por f (r) = [r] es un epimorfismo de módulos llamado epimorfismo canónico. Se cumple que N(f ) = N . Teorema 7.11 Un homomorfismo de módulos es inyectivo si y sólo si su núcleo es trivial. (cf. 5.16). Teorema 7.12 (Teorema de isomorfı́a) Consideremos un anillo unitario A y sea f : M −→ N un homomorfismo de A–módulos. Entonces la aplicación f¯ : M/ N(f ) −→ Im f definida por f¯([r]) = f (r) es un isomorfismo de módulos. (cf. 5.17). 92 7.2 Capı́tulo 7. Módulos y espacios vectoriales Suma de módulos El interés que tendrán los módulos para nosotros es que, mientras la estructura de un anillo puede ser muy complicada, la estructura de módulo de ese mismo anillo puede ser fácil de describir. Un primer análisis de la estructura de un módulo consiste en descomponerlo en suma de módulos más simples en el sentido en que a continuación indicaremos. Definición 7.13 Sea A un anillo conmutativo y unitario y M un A–módulo. Llamaremos suma de una familia de submódulos {Ni }i∈I de M al submódulo $ "#  Ni Ni = i∈I i∈I Es decir, la suma de una familia de submódulos es el menor submódulo que los contiene a todos. Por el teorema 7.7, un elemento de este submódulo es una suma de elementos de algunos de los módulos Ni multiplicados por elementos de A, pero al multiplicar un elemento de Ni por un elemento de A obtenemos otro elemento de Ni , y la suma de dos elementos de un mismo Ni está también en Ni . Por lo tanto un elemento de i∈I Ni es de la forma r1 + · · · + rn , donde cada sumando está en un submódulo distinto. En particular si la familia es finita, N1 + · · · + Nn = {r1 + · · · + rn | ri ∈ Ni }. Descomponer un módulo en suma de submódulos nos da una√ información  importante sobre su estructura. Por ejemplo, todo elemento de Q −3 es de √  ! √ ! √ −3 . Igualmente la forma a + b −3, con a, b ∈ Q, luego Q −3 = 1 + √  ! √ ! Z −3 = 1 + −3 . √  En realidad se cumple más: no sólo cada elemento de Q −3 es suma de ! √ ! −3 , sino que además la descomposición es un elemento de 1 y otro de única. La razón es que los subespacios considerados tienen intersección trivial. Veamos esto con detalle: Definición 7.14 Sea A un anillo unitario y M un A–módulo. Se dice que una familia de submódulos {Ni }i∈I es independiente si para cada ı́ndice i se cumple  Ni ∩ Nj = 0. j=i Si {Ni }i∈I es una familia de submódulos % independientes, se dice que su suma es directa y en lugar de i∈I Ni se escribe i∈I Ni . √  ! √ ! Por ejemplo, tenemos que Q −3 = 1 ⊕ −3 . ! ! 2n 2n+1 Ejercicio: Probar que Q[x] = M ⊕ N , con M = x |n∈N ,N = x |n∈N . Como decı́amos, las sumas directas están relacionadas con la unicidad de las descomposiciones en sumas: Teorema 7.15 Sea A un anillo unitario, M un A–módulo y N1 , . . . , Nn una familia de submódulos tales que M = N1 + · · · + Nn . Equivalen: 93 7.2. Suma de módulos 1. M = N1 ⊕ · · · ⊕ Nn . 2. Si se da la igualdad m1 + · · · + mn = 0 con cada mi ∈ Ni , entonces cada mi = 0. 3. Cada elemento m ∈ M se expresa de forma única como suma m = m 1 + · · · + mn con cada mi ∈ Ni . Demostración: Por simplificar, vamos a probarlo para el caso n = 3. El caso general es análogo. De hecho el resultado es cierto incluso con infinitos sumandos. 1) ⇒ 2). Si m1 + m2 + m3 = 0 con cada mi ∈ Ni , entonces m1 = −m2 − m3 ∈ N1 ∩ (N2 + N3 ) = 0, y análogamente se concluye que m2 = m3 = 0. 2) ⇒ 3). Como M = N1 + N2 + N3 , todo elemento de M se descompone en una suma de la forma m1 + m2 + m3 , con cada mi ∈ Ni . Si un elemento admite dos descomposiciones m1 + m2 + m3 = m′1 + m′2 + m′3 entonces (m1 −m′1 )+(m2 −m′2 )+(m3 −m′3 ) = 0, luego por 2) podemos concluir que (m1 − m′1 ) = (m2 − m′2 ) = (m3 − m′3 ) = 0, luego ambas descomposiciones son la misma. 3) ⇒ 1). Si un elemento m1 ∈ N1 ∩ (N2 + N3 ), entonces m1 = m2 + m3 , mi ∈ Ni , o sea, m1 + 0 + 0 = 0 + m2 + m3 , luego por la unicidad, m1 = 0, es decir, N1 ∩ (N2 + N3 ) es el submódulo trivial. Igualmente ocurre si permutamos los ı́ndices. En definitiva, si un módulo M se expresa como suma directa de una familia de n submódulos, entonces cada elemento de M determina y está determinado por un elemento de cada uno de los submódulos. Para reflejar adecuadamente este hecho conviene introducir el concepto de producto de módulos. Definición 7.16 Sea A un anillo unitario y M1 , . . . , Mn una familia de A– módulos. Entonces el producto cartesiano   M1 × · · · × Mn = (m1 , . . . , mn ) | mj ∈ Mj para cada j = 1, . . . , n es un A–módulo con las operaciones dadas por (m1 , . . . , mn ) + (m′1 , . . . , m′n ) = (m1 + m′1 , . . . , mn + m′n ), r · (m1 , . . . , mn ) = (rm1 , . . . , rmn ). 94 Capı́tulo 7. Módulos y espacios vectoriales Es obvio que la aplicación ιi : Mi −→ M1 × · · · × Mn que a cada elemento m ∈ Mi le asigna la n–tupla cuya componente i–ésima es m y las restantes son 0 es un monomorfismo de módulos, por lo que podemos identificar a cada Mi con su imagen, es decir, con el submódulo de M1 × · · · × Mn formado por las n–tuplas que tienen nulas todas sus componentes salvo la i–ésima. La única precaución es que en principio puede ocurrir que Mi = Mj , mientras que sus imágenes respectivas por ιi y ιj serán submódulos distintos de M1 × · · · × Mn (isomorfos, pero distintos). También es inmediato que si (m1 , . . . , mn ) ∈ M1 × · · · × Mn entonces (m1 , . . . , mn ) = ι1 (m1 ) + · · · + ιn (mn ), luego M1 × · · · × Mn = M1 + · · · + Mn . Además M2 + · · · + Mn está formado por las n–tuplas con la primera componente nula, luego M1 ∩ (M2 + · · · + Mn ) = 0. Lo mismo vale con otros ı́ndices, con lo que M1 × · · · × Mn = M1 ⊕ · · · ⊕ Mn . En resumen, dada una familia de A–módulos, hemos construido un A– módulo que es suma directa de una familia de submódulos isomorfos a los dados. Recı́procamente, si un módulo M es suma directa de una familia de submódulos M = M1 ⊕ · · · ⊕ Mn , entonces M es isomorfo al producto cartesiano M1 × · · · × Mn . El isomorfismo es la aplicación que a cada elemento de M le asigna la n–tupla formada por los elementos en los que se descompone según el teorema 7.15. Estos resultados son ciertos en el caso de tener infinitos módulos, pero con una matización: Si tenemos una familia de A–módulos {Mi }i∈I , entonces el producto cartesiano i∈I Mi es un A–módulo con las operaciones definidas por (xi )i∈I + (yi )i∈I = (xi + yi )i∈I , r · (xi )i∈I = (r · xi )i∈I . Igualmente, las aplicaciones ιi : Mi −→ i∈I Mi son monomorfismos de módulos, pero al identificar cada módulo Mi con su imagen ya no es cierto que i∈I Mi , sino que i∈I Mi =  &    Mi  {i ∈ I | f (i) = 0} es finito . Mi = f ∈ i∈I i∈I Pero se cumple igualmente que la suma i∈I Mi es directa. Al módulo ası́ construido, o sea, a &    f∈ Mi  {i ∈ I | f (i) = 0} es finito i∈I lo llamaremos suma directa externa de los módulos {Mi }i∈I , y la representaremos ' Mi . i∈I De este modo, dada una familia arbitraria de A–módulos, podemos construir un módulo que se exprese como suma directa de submódulos isomorfos a los módulos dados. 95 7.3. Módulos libres. Finalmente notemos que si M = M1 ⊕ · · · ⊕ Mn , entonces las aplicaciones πi : M −→ Mi dadas por πi (m1 + · · · + mn ) = mi son epimorfismos de módulos. 7.3 Módulos libres. √ ! √  ! Notar que, como en la descomposición Q 3 = 1 ⊕ 3 los sumandos √  son monógenos, en lugar de decir que todo elemento de Q 3 se expresa de √ ! ! 3 , podemos forma única como un elemento de 1 más un elemento de √ precisar y decir que se expresa de forma única a · 1 + b · 3, con a y b en el √ como  anillo Q, es decir, que cada elemento de Q 3 determina y está determinado por dos números racionales. Vamos a estudiar esta situación en general. Definición 7.17 Sea A un anillo unitario, M un A–módulo y X un subconjunto de M . Diremos que X es un conjunto libre, o que sus elementos son linealmente independientes, si para todos los x1 , . . . , xn ∈ X y todos los a1 , . . . , an ∈ A, la igualdad a1 x1 + · · · + an xn = 0 sólo se da en el caso trivial a1 = · · · = an = 0. En caso contrario se dice que X es un conjunto ligado o que sus elementos son linealmente dependientes. Es claro que un conjunto que contenga a 0 es ligado, pues 1 · 0 = 0. Los elementos de M de la forma a1 x1 + · · · + an xn se llaman combinaciones lineales de los elementos x1 , . . . , xn , luego un conjunto es linealmente independiente si el 0 se expresa de forma única como combinación lineal de sus elementos. Notemos que si X = {x1 , . . . , xn } es un conjunto libre, entonces X = x1  ⊕ · · · ⊕ xn  , pues por el teorema 7.7 todo elemento de X es de la forma a1 x1 + · · · + an xn , es decir, X = x1  + · · · + xn , y por la definición de conjunto libre se cumple la condición 2) del teorema 7.15, luego la suma es directa. En % realidad la prueba vale igual si el conjunto X es infinito, en cuyo caso X = x∈X x. De nuevo por el teorema 7.15 resulta que si X es libre, cada elemento de X se expresa de forma única como combinación lineal de los elementos de X, es decir, si un conjunto X = {x1 , . . . , xn } es libre, el módulo X tiene tantos elementos como n–tuplas posibles de elementos de A. Para cada una de estas n–tuplas (a1 , . . . , an ) ∈ An , el elemento a1 x1 +· · ·+an xn es un elemento distinto de X. Más aún, teniendo en cuenta que (a1 x1 + · · · + an xn ) + (b1 x1 + · · · + bn xn ) = (a1 + b1 )x1 + · · · + (an + bn )xn , a(a1 x1 + · · · + an xn ) = aa1 x1 + · · · + aan xn , es obvio que la aplicación que a cada elemento de X le asigna su n–tupla de coeficientes (a1 , . . . , an ) es un isomorfismo de módulos, o sea, X ∼ = An . 96 Capı́tulo 7. Módulos y espacios vectoriales El recı́proco es cierto, pero antes de probarlo conviene introducir un nuevo concepto: Un subconjunto X de un A–módulo M es una base de M si es un generador libre. Un módulo es libre si tiene una base. Ya hemos probada la mitad del teorema siguiente: Teorema 7.18 Sea A un anillo unitario y M un A–módulo. Se cumple que M tiene una base con n elementos si y sólo si M es isomorfo al A–módulo producto An . Demostración: Sólo falta probar que el módulo An tiene una base con n elementos, pero es fácil ver que, por ejemplo, para n = 3, una base de A3 está formada por las ternas (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). Es fácil ver que el resultado vale igualmente para bases infinitas: Un A– módulo M tiene una base si y sólo si es isomorfo a una suma directa con todos los sumandos iguales al anillo A. En tal caso M tendrá una base con tantos elementos como sumandos. √ √ Por ejemplo, una base de Q[ 3] está formada por los elementos 1 y 3. Una base de Q[x] está formada por todas las potencias de x: 1, x, x2 , x3 , x4 , . . . Definición 7.19 Sea A un anillo unitario y M un A–módulo libre con una base X = {x1 , . . . , xn }. Entonces cada elemento m de M se expresa de forma única como combinación lineal m = a1 x1 + · · · + an xn . Los elementos (a1 , . . . , an ) se llaman coordenadas de m en la base X (esto presupone una ordenación en la base). Hemos visto que la aplicación que a cada elemento le asigna su n–tupla de coordenadas es un isomorfismo de módulos. El interés de las bases es que nos dan una representación clara de los elementos de un módulo. En definitiva, los elementos de un módulo libre son identificables con n-tuplas de elementos del anillo. Es importante señalar que no todos los módulos son libres, aunque sı́ lo serán casi todos los que nos van a interesar. Por ejemplo, el anillo Z/nZ es un Z–módulo no libre, ya que si fuera libre deberı́a ser isomorfo a una suma directa de varias veces Z, lo cual es imposible, ya que tales sumas son infinitas y él es finito. Hay un caso importante en el que podemos garantizar la existencia de bases: Teorema 7.20 Sea D un anillo de división y V un D–espacio vectorial. Entonces V es libre, más aún, todo subconjunto libre de V está contenido en una base de V. Demostración: La familia de los subconjuntos libres de un módulo (incluyendo al conjunto vacı́o) está inductivamente ordenada respecto a la inclusión, luego por el lema de Zorn todo subconjunto libre de un módulo está contenido en uno maximal para la inclusión. 7.3. Módulos libres. 97 Si X es un subconjunto libre de un D–espacio vectorial V , sea B un subconjunto libre maximal para la inclusión que contenga a X. Basta ver que B es un generador de V . En otro caso existirı́a un elemento v en V que no podrı́a expresarse como combinación lineal de elementos de B. Basta probar que B ∪ {v} es un subconjunto libre de V , pues esto contradice la maximalidad de B. En efecto, si 0 = dv + d1 v1 + · · · + dn vn para ciertos elementos d, d1 , . . . , dn en el anillo D, no todos nulos, y ciertos elementos v1 , . . . , vn de B, entonces no puede ser d = 0, o de lo contrario 0 = d1 v1 + · · · + dn vn implicarı́a que B no es libre luego, al ser D un anillo de división, existe d−1 y podemos despejar v = −d−1 d1 v1 − · · · − d−1 dn vn , con lo que v sı́ es combinación lineal de los elementos de B, contradicción en cualquier caso. Notar que todo subconjunto de todo conjunto libre es libre, y que todo conjunto que contenga a un conjunto generador es también generador. Hemos probado que en un espacio vectorial todo conjunto libre está contenido en una base. Ahora vamos a ver que todo generador contiene a una base. Teorema 7.21 Sea D un anillo de división y V un D–espacio vectorial. Entonces todo generador de V contiene una base. Demostración: Sea X un generador de V y sea B un conjunto libre contenido en X y maximal respecto a la inclusión. Se cumple que X ⊂ B, pues si existiera un elemento x ∈ X \ B, entonces se comprueba igual que en 7.20 que B ∪ {x} es libre y está contenido en X, en contradicción con la maximalidad de B. Por lo tanto V = X ⊂ B, es decir, V = B, y ası́ el conjunto B es una base de V contenida en X. A continuación vamos a probar una propiedad notable de los módulos libres sobre anillos conmutativos y unitarios, y es que en ellos todas las bases tienen el mismo número de elementos. La prueba no es sencilla. En primer lugar nos ocupamos del caso infinito. Teorema 7.22 Sea A un anillo unitario y M un A–módulo libre con una base infinita. Entonces todas las bases de M tienen el mismo cardinal. Demostración: Supongamos que X es una base infinita de M y sea Y otra base. Cada elemento x de X (necesariamente no nulo) se expresa como combinación lineal de elementos de Y , luego existe un subconjunto finito Fx de Y de modo que x se expresa como combinación lineal de los elementos de Fx con todos los coeficientes no nulos. Al ser Y una base, Fx es único. Consideremos la aplicación f : X −→ PY dada por f (x) = Fx . Por definición, si x ∈ X se cumple que x ∈ f (x).  En consecuencia, si F es un subconjunto finito de Y , se cumple que f −1 {F } ⊂ F . Cada elemento de F es combinación lineal de un número finito de elementos de X, luego podemos encontrar   un subconjunto finito G de X tal que F ⊂ G, luego tenemos que f −1 {F } ⊂ F  ⊂ G. 98 Capı́tulo 7. Módulos y espacios vectoriales     Más exactamente, f −1 {F } ⊂ G, pues si existiera un x ∈ f −1 {F } \ G, entonces x ∈ G, es decir, x serı́a combinación lineal de otros elementos de X (los de G), lo que nos darı́a  que X es linealmente dependiente. Esto significa que f −1 {F } es finito, para todo subconjunto finito de Y . Tenemos una aplicación f de X en el conjunto de los subconjuntos finitos de Y tal que cada subconjunto finito de Y tiene a lo sumo una cantidad finita de antiimágenes.    Claramente X = F f −1 {F} , donde F recorre los subconjuntos finitos de  −1 Y , pero como los conjuntos f {F } son finitos, esto implica que Y ha de ser infinito y además     ℵ0 = |Y |. |X| ≤ f −1 {F }  ≤ F F Intercambiando los papeles de X e Y obtenemos que |X| = |Y |. Nos queda considerar el caso de los módulos cuyas bases son finitas. Primero lo probamos para espacios vectoriales. Teorema 7.23 Sea V un espacio vectorial sobre un anillo de división D. Entonces todas las bases de V tienen el mismo cardinal. Demostración: Sean X e Y bases de V . Por el teorema anterior podemos suponer que son finitas. Digamos que X = {x1 , . . . , xn }, Y = {y1 , . . . , ym }. Podemos tomar n ≤ m. El elemento y1 se expresa como combinación lineal de los elementos de X y1 = d1 x1 + · · · + dn xn , y como es no nulo, alguno de los coeficientes será no nulo. Reordenando la base podemos suponer que d1 = 0. Entonces podemos despejar −1 −1 x1 = d−1 1 y1 − d1 d2 x2 − · · · − d1 dn xn , luego x1 ∈ y1 , x2 , . . . xn . Obviamente X ⊂ y1 , x2 , . . . xn  y ası́ y1 , x2 , . . . , xn  = V . Consecuentemente y2 = e1 y1 +· · ·+en xn y alguno de los coeficientes distintos de e1 ha de ser no nulo (o si no y2 = e1 y1 , luego e1 y1 − y2 = 0, con lo que Y serı́a ligado). Reordenando la base podemos suponer que e2 = 0 y repitiendo el argumento anterior concluimos que y1 , y2 , x3 , . . . , xn  = V . De este modo llegamos finalmente a que y1 , . . . , yn  = V . De aquı́ se sigue que m = n, pues en otro caso existirı́a yn+1 y serı́a combinación lineal de y1 , . . . , yn , o sea, yn+1 = a1 y1 + · · · + an yn , luego a1 y1 + · · · + an yn − yn+1 = 0, con lo que Y serı́a linealmente dependiente. Ejercicio: Deducir del teorema anterior que si M es un módulo sobre un dominio ı́ntegro entones todas las bases de M tienen el mismo cardinal. A continuación probamos el caso más general de equicardinalidad de bases que vamos a considerar. 99 7.3. Módulos libres. Teorema 7.24 Si A es un anillo conmutativo y unitario y M es un A–módulo libre, entonces todas las bases de M tienen el mismo cardinal. Demostración: Sea I un ideal maximal de A. Es claro que  n    IM = ai mi  n ∈ N, ai ∈ I, mi ∈ M i=1 es un submódulo de M . El A–módulo cociente M/IM se convierte en un A/I– módulo con el producto dado por [a][m] = [am]. Esta definición es correcta, pues si [a] = [a′ ] y [m] = [m′ ], entonces am − a′ m′ = am − am′ + am′ − a′ m′ = a(m − m′ ) + (a − a′ )m′ ∈ IM, pues m − m′ ∈ IM y a − a′ ∈ I. Como I es un ideal maximal, el anillo cociente A/I es en realidad un cuerpo, luego M/IM es un espacio vectorial, y todas sus bases tienen el mismo cardinal. Basta probar, pues, que toda A–base de M tiene el mismo cardinal que una A/I–base de M/IM . Sea X una base de M . Por simplificar la notación  supondremos  que es finita, digamos X = {x1 , . . . , xn }. Veamos que X ∗ = [x1 ], . . . , [xn ] es una base de M/IM . n Si [u] ∈ M/IM , entonces u ∈ M , luego u = j=1 aj xj para ciertos aj ∈ A. n Por lo tanto [u] = j=1 [aj ][xj ], lo que prueba que X ∗ genera M/IM . Veamos que [x1 ], . . . , [xn ] son linealmente independientes en M/IM (y en particular que son distintos). n Supongamos que j=1 [aj ][xj ] = [0] para ciertos elementos aj de A (que n n podemos suponer no nulos). Entonces j=1 aj xj ∈ IM , luego j=1 aj xj = m k=1 bk mk , para ciertos elementos mk ∈ M y ciertos bk ∈ I. n Como X es una base de M , cada mk se expresa como mk = j=1 cjk xj . Por lo tanto m  m n n m n       aj xj = cjk xj = b k mk = bk cjk xj . bk j=1 k=1 k=1 j=1 j=1 k=1 m k=1 bk cjk Pero como X es base, aj = ∈ I, porque cada bk ∈ I. Ası́ pues [a1 ] = · · · = [an ] = [0], como querı́amos probar. Con esto tenemos que X ∗ es base de M/IM , y en particular hemos visto que si x = x′ , entonces [x] = [x′ ], luego se cumple también que |X ∗ | = |X|. Definición 7.25 Si M es un módulo libre sobre un anillo conmutativo y unitario A, llamaremos rango de M (rang M ) al número de elementos de cualquier base de M . Si A es un anillo de división (y por lo tanto M es un espacio vectorial), al rango de M se le llama dimensión de M (dim M ). La dimensión en espacios vectoriales se comporta mucho mejor que el rango en módulos libres en general. Veamos primero algunos resultados positivos sobre espacios vectoriales y después comentaremos la situación general. 100 Capı́tulo 7. Módulos y espacios vectoriales Teorema 7.26 Sea V un espacio vectorial sobre un anillo de división D y sea W un subespacio de V . Entonces: 1. dim V = dim W + dim(V /W ). En particular dim W ≤ dim V . 2. Si dim W = dim V y ambas son finitas, entonces W = V . Demostración: 1) Sea X una base de W . Por el teorema 7.20 X se extiende a una base Y de V . Veamos que si y1 , . . . , yn ∈ Y \ X, entonces las clases [y1 ], . . . , [yn ] son linealmente independientes (y en particular distintas) en V /W . En efecto, si a1 [y1 ]+· · ·+an [yn ] = 0 entonces a1 y1 +· · ·+an yn ∈ W , luego se expresa como combinación lineal de elementos de X, es decir, a1 y1 +· · ·+an yn = b1 x1 + · · · + bm xm , y esto nos da dos expresiones distintas de un mismo elemento de V como combinación lineal de elementos de la base Y , lo cual es imposible salvo que todos los coeficientes sean nulos. Por otra parte, todo elemento de V /W es de la forma [v], donde v ∈ V . El elemento v se expresa como combinación lineal de elementos de Y , digamos v = a1 y1 +· · ·+an yn +b1 x1 +· · ·+bm xm , donde y1 , . . . , yn ∈ Y \X y x1 , . . . , xm ∈ X. Por tanto [v] = a1 [y1 ] + · · · + an [yn ] + b1 [x1 ] + · · · + bm [xm ] = a1 [y1 ] + · · · + an [yn ] + 0   y esto prueba que [y] | y ∈ Y \ X es un generador, luego una base de V /W , que según lo visto tiene el mismo cardinal que Y \ X. Ası́ pues dim V = |Y | = |X| + |Y − X| = dim W + dim(V /W ). 2) Si dim W = dim V = n finito, entonces una base de W (con n elementos) se ha de extender hasta una base de V , también con n elementos, luego toda base de W lo es también de V . Esto implica que W = V . Un razonamiento similar permite probar el resultado siguiente: Teorema 7.27 Sean V y W dos subespacios de un espacio vectorial sobre un anillo de división D. Entonces existen conjuntos X e Y tales que X es base de V , Y es base de W , X ∩ Y es base de V ∩ W y X ∪ Y es base de V + W . En particular dim(V + W ) + dim(V ∩ W ) = dim V + dim W. La prueba consiste esencialmente en partir de una base de V ∩W y extenderla hasta una base X de V y hasta una base Y de W . En particular la dimensión de una suma directa de subespacios es igual a la suma de las dimensiones de los subespacios. Como consecuencia inmediata del teorema de isomorfı́a y del teorema 7.26 se cumple lo siguiente: Teorema 7.28 Sea f : V −→ W una aplicación lineal entre espacios vectoriales sobre un anillo de división D. Entonces dim V = dim N(f ) + dim Im f . 101 7.3. Módulos libres. Otra propiedad sencilla en torno a las dimensiones es que si V es un espacio vectorial de dimensión finita n, entonces todo sistema libre con n elementos es una base, al igual que todo sistema generador con n elementos. En efecto, todo sistema libre con n elementos se extiende hasta una base, que ha de tener n elementos, o sea, es ya una base. Igualmente, todo sistema generador con n elementos contiene una base con n elementos, luego él mismo es una base. Casi todos estos resultados son falsos sobre módulos libres cualesquiera. Tan sólo podemos salvar lo que afirma el teorema siguiente: Teorema 7.29 Todo submódulo de un módulo libre sobre un dominio de ideales principales es libre de rango menor o igual. Demostración: Sea L un módulo libre sobre un dominio de ideales principales D. Sea B ⊂ L una base y consideremos en ella un buen orden. Para cada b ∈ B definimos Lb = c ∈ B | c < b , L̄b = c ∈ B | c ≤ b . Cada a ∈ L̄b se expresa de forma única como a = u+db, con u ∈ Lb y d ∈ D. La aplicación fb : L̄b −→ D dada por a → d es claramente un homomorfismo de módulos. Consideremos ahora un submódulo M ⊂ L y vamos a considerar los homomorfismos fb restringidos a fb : M ∩ L̄b −→ D. Ası́, el núcleo de fb es claramente M ∩ Lb . La imagen de fb será un ideal de D. Como D es un dominio de ideales principales, estará generada por un cierto db ∈ D. Sea B ′ = {b ∈ B | db = 0} y, para cada b ∈ B ′ elegimos un mb ∈ M ∩ L̄b tal que fb (mb ) = db . El teorema quedará probado si demostramos que C = {mb | b ∈ B ′ } es una base de M (pues, ciertamente, su cardinal es menor o igual que el de B). En primer lugar demostramos que C es linealmente independiente. Supongamos, para ello, que tenemos una combinación lineal nula a1 mb1 +· · ·+an mbn = 0, donde ai ∈ D y b1 < · · · < bn son elementos de B. En esta situación, para cada i < n, tenemos que mbi ∈ M ∩ L̄bi ⊂ M ∩ Lbn , luego a1 mb1 + · · · + an−1 mbn−1 ∈ M ∩ Lbn . Por lo tanto, 0 = fbn (0) = fbn (a1 mb1 + · · · + an−1 mbn−1 ) + fbn (an bn ) = an dn , y concluimos que an = 0. Aplicando ahora fbn−1 se obtiene que an−1 = 0, e igualmente con todos los coeficientes. Veamos ahora que C es un sistema generador de M . Por reducción al absurdo, supongamos que existe un m ∈ M que no puede expresarse como combinación lineal de elementos de C. Entonces m ∈ M ∩ L̄b para cierto b ∈ B, y podemos tomar el mı́nimo b tal que existe un m en estas condiciones. Si b ∈ / B ′ , entonces la imagen de fb es nula, luego fb (m) = 0, lo que significa que m ∈ M ∩ Lb , pero entonces existirá un b′ < b tal que m ∈ M ∩ L̄b′ , 102 Capı́tulo 7. Módulos y espacios vectoriales en contradicción con la minimalidad de b. Concluimos, pues, que b ∈ B ′ , y entonces fb (m) = ddb , para cierto d ∈ D. Llamemos m′ = m − dmb ∈ M ∩ L̄b . Claramente fb (m′ ) = ddb − ddb = 0. Consecuentemente, m′ ∈ M ∩ Lb , luego, existe un b′ < b tal que m ∈ M ∩ L̄b′ y, por la minimalidad de b, tenemos que m′ es combinación lineal de elementos de C, pero entonces m también lo es, y llegamos a una contradicción. En el caso de que los módulos tengan rango finito podemos hacer una precisión que nos será útil en varias ocasiones: Teorema 7.30 Sea A un dominio euclı́deo, M un A–módulo libre de rango m y N un submódulo no nulo de M . Entonces M tiene una base b1 , . . . , bm tal que existen a1 , . . . , an ∈ A (con n ≤ m) tales que a1 b1 , · · · , an bn es una base de N . Demostración: Para cada base y1 , . . . , ym de M y cada base z1 , . . . , zn de N podemos considerar las coordenadas de cada zi en la base y1 , . . . , ym , que obviamente no pueden ser todas nulas. Escojemos dos bases tales que exista un zi que tenga una coordenada no nula a1 ∈ A cuya norma euclı́dea sea la mı́nima posible (es decir, tal que cualquier coordenada no nula de cualquier elemento de cualquier base de N respecto de cualquier base de M tenga norma euclı́dea mayor o igual que la de a1 ). Reordenando las bases podemos suponer que z1 = a1 y1 + b2 y2 + · · · + bm ym . Dividamos bi = a1 ci + ri , donde cada ri es nulo o bien tiene norma euclı́dea menor que la de a1 . Ası́ z1 = a1 (y1 + c2 y2 + · · · + cm ym ) + r2 y2 + · · · + rm ym , Llamamos x1 = y1 +c2 y2 +· · ·+cm ym , y es fácil ver que x1 , y2 , . . . , ym es también una base de M , respecto de la cual, las coordenadas de z1 son (a1 , r2 , . . . , rm ). Por la minimalidad de a1 concluimos que r2 = · · · = rm = 0. Por consiguiente, z1 = a1 x1 . Llamemos M ′ = y2 , . . . , ym . Ası́, podemos expresar zi = bi x1 + zi′ , con bi ∈ A y zi′ ∈ M ′ . Dividamos bi = a1 ci + ri , donde ri es nulo o tiene norma menor que ai . Para cada i > 1 llamamos wi = zi −ci z1 = ri x1 +zi′ . Es claro que z1 , w2 , . . . , wn es una base de N , respecto de la cual las coordenadas de los wi en x1 son los ri . Por la elección de a1 concluimos que ri = 0. Equivalentemente, tenemos que N ′ = w2 , . . . , wn  ⊂ M ′ . Ahora razonamos por inducción sobre m (el rango de M ). Si m = 1 entonces N ′ = M ′ = 0 y hemos encontrado las bases x1 de M y a1 x1 de N , tal y como exige el teorema. Si el teorema es cierto para módulos de rango menor que M , entonces podemos aplicar la hipótesis de inducción a M ′ y N ′ , con lo que encontramos una base x2 , . . . , xm de M ′ tal que a2 x2 , . . . , an xn es una base de N ′ , para ciertos ai ∈ A. Es claro entonces que x1 , . . . , xm es una base de M y que a1 x1 , . . . , an xn es una base de N . Los demás resultados sobre espacios vectoriales son falsos para módulos hasta en los casos más simples. Por ejemplo, 2Z es un submódulo de Z con el mismo rango finito, pero 2Z = Z (al contrario que 7.26). Por otro lado {2} es un subconjunto libre de Z que no puede extenderse hasta una base de Z y el conjunto 7.3. Módulos libres. 103 {2, 3} es un generador de Z que no contiene una base. Por otra parte, no todo cociente de un módulo libre es libre (p.ej. Z/2Z). La existencia de bases en un módulo es importante a la hora de determinar los homomorfismos de un módulo en otro. Es inmediato que si dos homomorfismos de módulos coinciden sobre los elementos de un sistema generador, entonces son el mismo homomorfismo. Sobre las bases se puede decir más: Teorema 7.31 Sea A un anillo unitario, M y N dos A–módulos y X una base de M . Entonces cada aplicación f : X −→ N se extiende a un único homomorfismo f ∗ : M −→ N . Demostración: Cada elemento no nulo de M se expresa de forma única como combinación lineal a1 x1 + · · · + an xn de elementos de X con coeficientes en A no nulos. La unicidad nos permite definir sin ambigüedad f ∗ (a1 x1 + · · · + an xn ) = a1 f (x1 ) + · · · + an f (xn ) y es fácil ver que la aplicación ası́ definida (con la condición adicional f ∗ (0) = 0) es un homomorfismo. Concluimos con un resultado que generaliza en parte al teorema 7.30. Teorema 7.32 Sea A un dominio euclı́deo y M un A–módulo con un generador finito de n elementos. Entonces todo submódulo de M admite un generador finito con a lo sumo n elementos. Demostración: Sea {x1 , . . . , xn } un generador de M , sea L un A–módulo libre de rango n y sea {y1 , . . . , yn } una base de L. Entonces por el teorema anterior existe un homomorfismo f : L −→ M tal que f (yi ) = xi para cada i = 1, . . . , n. Como Imf es un submódulo que contiene a un generador de M , necesariamente ha de ser Imf = M , luego f es suprayectiva.   Ahora, si N es un submódulo de M , se cumple que N = f f −1 [N ] , se comprueba fácilmente que f −1 [N ] es un submódulo de L, luego por 7.30 es libre y de rango menor o igual que n. La imagen de una base de f −1 [N ] es claramente un sistema generador de N . Capı́tulo VIII Extensiones de cuerpos Con la teorı́a de módulos y espacios vectoriales como herramienta, estamos en condiciones de profundizar notablemente en el estudio de los anillos que nos han √ido apareciendo en capı́tulos anteriores, tales como los cuerpos cuadráticos Q −3 o los cuerpos ciclotómicos Q[ω]. De momento nos ocuparemos sólo de√los cuerpos y dejaremos para más adelante el estudio de los anillos como  Z −3 o Z[ω], pues en este capı́tulo usaremos fuertemente las propiedades de los espacios vectoriales. 8.1 Extensiones algebraicas Definición 8.1 Diremos que K/k es una extensión de cuerpos (o simplemente una extensión) si K es un cuerpo y k es un subcuerpo de K. El cuerpo k se llama cuerpo base de la extensión. Principalmente nos interesarán las extensiones que tienen por cuerpo base al cuerpo de los números racionales, pero conviene estudiar las extensiones en general. La primera observación importante es que si K/k es una extensión, entonces K es un k–espacio vectorial con las operaciones obvias. Llamaremos grado de la extensión a la dimensión de K como k–espacio vectorial. Lo representaremos por |K : k|. Una extensión √  es finita o infinita según lo sea √ su grado. Por ejemplo, Q −3 : Q = 2, pues una base de Q −3 como Q–espacio √ vectorial está formada por los números 1 y −3. Los resultados vistos en el capı́tulo VI   sobre los cuerpos ciclotómicos Q[ω] para un primo p, nos dan que Q[ω] : Q = p−1, pues una base de Q[ω] como Q–espacio vectorial es la formada por 1, ω, . . . , ω p−2 . Nos van a interesar especialmente las extensiones finitas, aunque tendremos ocasión de trabajar con algunas infinitas. El resultado siguiente es fundamental en todo lo que sigue: Teorema 8.2 (Teorema de transitividad de grados) Consideremos tres cuerpos k ⊂ K ⊂ L. Entonces |L : k| = |L : K| · |K : k|. 105 106 Capı́tulo 8. Extensiones de cuerpos Lo probaremos para extensiones finitas, aunque el caso general se prueba sin ningún cambio importante. Demostración: Sea {x1 , . . . , xm } una base de K como k–espacio vectorial. Sea {y1 , . . . , yn } una base de L como K–espacio vectorial. Basta probar que el conjunto {xi yj | i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n} es una base de L como k–espacio vectorial con exactamente mn elementos. n m Supongamos que j=1 i=1 aij xi yj = 0 para ciertos coeficientes aij en k. m Entonces, para cada j, se cumple que i=1 aij xi ∈ K y como {y1 , . . . , yn } es m una base de L sobre K, podemos concluir que i=1 aij xi = 0 para cada j. Ahora, al ser {x1 , . . . , xm } una base de K sobre k, podemos concluir que todos los coeficientes aij son nulos. Esto prueba que los xi yj son distintos para ı́ndices distintos y que forman un conjunto linealmente independiente. En particular tiene mn elementos. Ahora sea z cualquier elemento de L. Como {y1 , . . . , yn } es una base de L n sobre K, existen elementos b1 , . . . , bn en K tales que z = j=1 bj yj . Ahora cada m elemento bj se expresa como combinación lineal bj = i=1 aij xi para ciertos coeficientes aij en k. m n Por tanto z = i=1 aij xi yj es combinación lineal de los elementos j=1 xi yj , que son, pues un generador de L. En particular una extensión finita de una extensión finita es una extensión finita del cuerpo menor. Ahora introducimos el concepto más importante de este capı́tulo. Definición 8.3 Sea K/k una extensión y a ∈ K. Se dice que el elemento a es algebraico sobre k si existe un polinomio p(x) ∈ k[x] no nulo tal que p(a) = 0. En caso contrario se dice que es trascendente sobre k. La extensión K/k es algebraica si todos los elementos de K son algebraicos sobre k. En caso contrario se dice que es trascendente. Por ejemplo, todo elemento a del cuerpo base es algebraico, pues es raı́z del √ polinomio x − a ∈ k[x]. El elemento −3 es raı́z de x2 + 3 ∈ Q[x], luego es algebraico sobre Q. Por el contrario, en la extensión Q(x)/Q, el elemento x es obviamente trascendente. Puede parecer fuerte la exigencia de que todos los elementos de una extensión sean algebraicos, pero en realidad se cumplirá en todos los casos que vamos a manejar. De ello es responsable en gran parte el teorema siguiente: Teorema 8.4 Toda extensión finita es algebraica. Demostración: Sea K/k una extensión finita de grado n y sea a ∈ K. Consideremos las potencias 1, a, a2 , ... , an . Si hay dos iguales, digamos ai = aj con i = j, entonces a es raı́z del polinomio no nulo xi − xj ∈ k[x]. 107 8.1. Extensiones algebraicas Si son distintas, son n + 1 elementos distintos de un espacio vectorial de dimensión n, luego no pueden ser linealmente independientes. Existen coeficientes b0 , . . . , bn en k no todos nulos de modo que b0 + b1 a + · · · + bn an = 0, con lo que a es raı́z del polinomio no nulo b0 + b1 x + · · · + bn xn ∈ k[x]. √  √ Por ejemplo, consideremos el elemento 1 + −3 ∈ Q −3 . Como la ex√  tensión Q −3 /Q tiene grado 2, siguiendo la prueba del teorema anterior es √ √ √ suficiente considerar las potencias 1, 1 + −3, (1 + −3 )2 = −2 + 2 −3. Hay que buscar números racionales a, b, c que cumplan √ √ √ a + b(1 + −3) + c(−2 + 2 −3 ) = a + b − 2c + (b + 2c) −3 = 0, lo que equivale a que a√ + b − 2c = 0 = b + 2c. Por ejemplo sirven c = 1, b = −2 y a = 4. Ası́ pues, 1 + −3 es raı́z del polinomio 4 − 2x + x2 ∈ Q[x]. Introducimos ahora en general una notación que venimos empleando desde hace tiempo en muchos casos particulares. Se trata de una forma muy cómoda de describir extensiones de un cuerpo a partir de elementos generadores. Definición 8.5 Sea B un dominio ı́ntegro y A un subanillo unitario. Sea S un subconjunto de B. Llamaremos A[S] a la intersección de todos los subanillos de B que contienen a A y a S. Es fácil probar que A[S] = {p(a1 , . . . , an ) | n ∈ N, p(x1 , . . . , xn ) ∈ A[x1 , . . . , xn ], a1 , . . . , an ∈ S}, pues este conjunto es ciertamente un subanillo de B que contiene a A y a S, luego contiene a A[S], y por otra parte, como A[S] es un anillo, ha de contener a todos los elementos de la forma p(a1 , . . . , an ). Sea ahora K un cuerpo y k un subcuerpo de K. Si S es un subconjunto de K, llamaremos k(S) a la intersección de todos los subcuerpos de K que contienen a k y a S. Se prueba igualmente que  ( p(b1 , . . . bn ) k(S) = | n ∈ N, p, q ∈ k[x1 , . . . , xn ], bi ∈ S, q(b1 , . . . , bn ) = 0 . q(b1 , . . . bn ) El cuerpo k(S) se llama adjunción a k de S. Cuando el conjunto S = {b1 , . . . , bn } es finito escribiremos también A[b1 , . . . , bn ] y k(b1 , . . . , bn ). Notar que A[S ∪ T ] = A[S][T ] y k(S ∪ T ) = k(S)(T ). En particular A[b1 , . . . , bn ] = A[b1 ]. . . [bn ] y k(b1 , . . . , bn ) = k(b1 ). . . (bn ). Observar que la notación A[S] y k(S) para los anillos de polinomios y los cuerpos de fracciones algebraicas que venimos utilizando es un caso particular de la que acabamos de introducir. son casos particulares los nombres √ También  que hemos dado a los anillos Z −3 , etc. 108 Capı́tulo 8. Extensiones de cuerpos Una extensión K/k es finitamente generada si K = k(S), para un conjunto finito S ⊂ K. Si K = k(a) la extensión es simple. El elemento a (que no es único) se llama elemento primitivo de la extensión. Es fácil ver que toda extensión finita es finitamente generada, pues si S es una k–base de K es claro que K = k[S] = k(S). √ √ √ √ Ejercicio: Probar que Q( 2, 3 ) = Q( 2 + 3 ) Las extensiones algebraicas tienen un comportamiento y una estructura muy simples. La práctica totalidad de sus propiedades es consecuencia del teorema siguiente. Es de destacar que en la prueba hacemos uso de los principales resultados que conocemos sobre anillos de polinomios y divisibilidad. Teorema 8.6 Sea K/k una extensión y a ∈ K un elemento algebraico sobre k. Entonces: 1. Existe un único polinomio mónico irreducible p(x) ∈ k[x] tal que p(a) = 0. 2. Un polinomio g(x) ∈ k[x] cumple g(a) = 0 si y sólo si p(x) | g(x).   3. k(a) = k[a] = r(a) | r(x) ∈ k[x] y grad r(x) < grad p(x) . Demostración: Consideremos el epimorfismo φ : k[x] −→ k[a] dado por φ(g(x)) = g(a). El hecho de que a sea algebraico significa que N(φ) es un ideal no nulo y, como k[x] es DIP, existe un polinomio no nulo p(x) ∈ k[x] tal que N(φ) = p(x) . Como las constantes son unidades, podemos exigir que p(x) sea mónico (al dividir por el coeficiente director obtenemos un asociado que genera el mismo ideal).  Por el teorema de isomorfı́a, k[x]/ p(x) ∼ = k[a], que es un dominio ı́ntegro, luego el ideal (p(x)) es primo, pero en el capı́tulo IV vimosque en un DIP todo ideal primo es maximal, luego p(x) es irreducible y k[x]/ p(x) es un cuerpo. Por lo tanto k[a] resulta ser un cuerpo, de donde se sigue que k[a] = k(a). El polinomio p es único, pues si q(x) también cumple 1), entonces q(a) = 0,  es decir, q(x) ∈ N(φ) = p(x) , luego p(x) | q(x), pero si q(x) es irreducible han de ser asociados, es decir, difieren en una constante, y al ser ambos mónicos deben coincidir.  El apartado 2) es consecuencia de que N(φ) = p(x) . Respecto a 3), un elemento de k[a] es de la forma q(a) con q(x) ∈ k[x]. Existen polinomios c(x) y r(x) tales que q(x) = p(x)c(x) + r(x) y grad r(x) < grad p(x). Entonces q(a) = p(a)c(a) + r(a) = 0 · c(a) + r(a) = r(a), luego tiene la forma pedida. Definición 8.7 Sea K/k una extensión y a ∈ K un elemento algebraico sobre k. Llamaremos polinomio mı́nimo de a sobre k al polinomio pol mı́n(a, k) ∈ k[x] que cumple el teorema anterior. Ası́ pues, pol mı́n(a, k) es el menor polinomio no nulo de k[x] que tiene a a por raı́z, en el sentido de que divide a cualquier otro que cumpla lo mismo. El teorema siguiente precisa un poco más los resultados que hemos obtenido. 109 8.1. Extensiones algebraicas Teorema 8.8 Sea K/k una extensión y a ∈ K un elemento algebraico sobre k. Sea p(x) = pol mı́n(a, k). Entonces: 1. La extensión k(a)/k es finita y |k(a) : k| = grad p(x). 2. Una base de k(a) sobre k es {1, a, . . . , an−1 }, donde n = grad p(x). Demostración: El teorema 8.6 3) afirma que {1, a, . . . , an−1 } es un generador de k(a) como k–espacio vectorial. Por otra parte ha de ser libre, pues una combinación lineal de sus elementos no es sino un polinomio q(a) con coeficientes en k y grado menor o igual que n − 1, luego q(a) = 0 implica que p(x) | q(x), luego por grados q(x) = 0 y los coeficientes de la combinación lineal son nulos. Ası́ pues, al adjuntar a un cuerpo un elemento algebraico obtenemos una extensión finita, y en particular algebraica. Esto sigue siendo cierto si adjuntamos un número finito de elementos algebraicos. Si adjuntamos infinitos podemos perder la finitud, pero nunca el carácter algebraico de la extensión resultante. Veámoslo. Teorema 8.9 Sea K/k una extensión y S un conjunto de elementos de K algebraicos sobre k. Entonces k(S) = k[S] y k(S)/k es una extensión algebraica. Si el conjunto S es finito, entonces k(S)/k es finita. Demostración: Supongamos primero que S = {a1 , . . . , an } es finito. Entonces k(a1 ) = k[a1 ], ahora bien, como k[x] ⊂ k(a1 )[x], todo elemento algebraico sobre k lo es sobre k(a1 ), luego aplicando de nuevo el teorema 8.6 tenemos que k(a1 )(a2 ) = k(a1 )[a2 ], luego k(a1 , a2 ) = k[a1 ][a2 ] = k[a1 , a2 ]. Además k(a1 , a2 )/k(a1 ) es finita y por el teorema de transitividad de grados k(a1 , a2 )/k también es finita. Repitiendo n veces llegamos a que la extensión k(a1 , . . . , an )/k es finita y k[a1 , . . . , an ] = k(a1 , . . . , an ). Sea ahora S un conjunto cualquiera. Si a ∈ k(S), entonces a= p(b1 , . . . bn ) , q(b1 , . . . bn ) para ciertos polinomios p, q ∈ k[x1 , . . . , xn ] y ciertos b1 , . . . , bn ∈ S. Por lo tanto a ∈ k(b1 , . . . , bn ) = k[b1 , . . . , bn ] ⊂ k[S]. Además, según lo ya probado, la extensión k(b1 , . . . , bn )/k es algebraica, luego a es algebraico sobre k. En consecuencia k(S) = k[S] es una extensión algebraica de k. Ası́ pues una extensión algebraica es finita si y sólo si es finitamente generada. Una propiedad que acaba de redondear el comportamiento de las extensiones algebraicas es la siguiente: Teorema 8.10 Consideremos cuerpos k ⊂ K ⊂ L. Entonces la extensión L/k es algebraica si y sólo si lo son L/K y K/k. 110 Capı́tulo 8. Extensiones de cuerpos Demostración: Si L/k es algebraica, es obvio que K/k lo es. Por otra parte, todo elemento de L es raı́z de un polinomio no nulo con coeficientes en k, luego en K, es decir, L/K también es algebraica. Supongamos que L/K y K/k son algebraicas. Tomemos un a ∈ L. Entonces a es algebraico sobre K. Sean b1 , . . . , bn ∈ K los coeficientes de pol mı́n(a, K). Ası́, pol mı́n(a, K) ∈ k(b1 , . . . , bn )[x], luego a es algebraico sobre k(b1 , . . . , bn ), luego la extensión k(b1 , . . . , bn )(a)/k(b1 , . . . , bn ) es finita. Como b1 , . . . , bn son algebraicos sobre k, la extensión k(b1 , . . . , bn )/k también es finita, luego por transitividad de grados, k(b1 , . . . , bn )(a)/k es finita, luego algebraica, luego a es algebraico sobre k. Una consecuencia sencilla pero importante de estas propiedades es que las operaciones con elementos algebraicos dan elementos algebraicos. Lo dejamos como ejercicio. Ejercicio: Probar que si K/k es una extensión de cuerpos, entonces el conjunto de los elementos de K que son algebraicos sobre k es un subcuerpo de K. Ejercicio: Probar que si K/k es una extensión y p(x) ∈ K[x] tiene coeficientes algebraicos sobre k, entonces toda raı́z de p(x) en K es algebraica sobre k. 8.2 Homomorfismos entre extensiones En esta sección probaremos que si tenemos una extensión de cuerpos K/k y adjuntamos a k un conjunto S ⊂ K de elementos algebraicos, la extensión k(S) está completamente determinada por los polinomios mı́nimos de los elementos de S, y que en particular no depende de K. Para expresar esto con precisión necesitamos el concepto de homomorfismo de extensiones. En realidad, como los cuerpos no tienen ideales propios, un homomorfismo de cuerpos no nulo es de hecho un monomorfismo, por lo que definiremos tan sólo monomorfismos e isomorfismos entre extensiones. Definición 8.11 Sean K/k y L/l dos extensiones de cuerpos. Un isomorfismo entre ellas es un isomorfismo de cuerpos φ : K −→ L tal que φ[k] = l. Si K/k y L/k son extensiones de un mismo cuerpo k, entonces un k–monomorfismo (k–isomorfismo) entre ellas es un monomorfismo (isomorfismo) φ : K −→ L que deja invariantes a los elementos de k. En particular los k–monomorfismos de extensiones son monomorfismos de k–espacios vectoriales. Si K/k es una extensión, un k–automorfismo de K es un k–isomorfismo de K/k en K/k, es decir, un isomorfismo de K en K que deja invariantes a los elementos de k. (En general, un automorfismo de anillos, módulos, etc. es un isomorfismo de un anillo, módulo, etc. en sı́ mismo). Notar también que si φ : K −→ K es un isomorfismo de cuerpos, entonces el conjunto {a ∈ K | φ(a) = a} es un subcuerpo de K, luego contiene al cuerpo primo. Esto quiere decir, por ejemplo, que los Q–automorfismos de una 8.2. Homomorfismos entre extensiones 111 extensión K/Q son todos los automorfismos de K, es decir, la condición de fijar a los elementos de Q no es una restricción en realidad. Si K/k es una extensión, llamaremos G(K/k) al conjunto de todos los k–automorfismos de K. Si tenemos un cuerpo k y un polinomio irreducible p(x) ∈ k[x], el teorema 5.21 nos da una extensión de k donde p(x) tiene una raı́z. Si recordamos la prueba veremos que la extensión es concretamente K = k[x]/ p(x) y la raı́z es a = [x] (identificando a k con las clases de polinomios constantes). Esta extensión cumple además que K = k(a). Por otra parte, en la prueba del teorema 8.6 hemos obtenido que toda extensión de la forma k(a), donde a es raı́z de p(x), es isomorfa a la construida en 5.21. Como consecuencia dos cualesquiera de estas extensiones son isomorfas entre sı́. Lo probamos en un contexto más general. Teorema 8.12 Sean K/k y L/l dos extensiones y σ : k −→ l un isomorfismo. Sea a ∈ K un elemento algebraico sobre k. Sea p(x) = pol mı́n(a, k). Consideremos la extensión de σ a los anillos de polinomios σ : k[x] −→ l[x]. Sea b una raı́z en L de σp(x). Entonces σ se extiende a un isomorfismo σ ∗ : k(a) −→ l(b) tal que σ ∗ (a) = b.  Demostración: La aplicación φ : k[x] −→ k(a)dada por φ g(x) = g(a) es un epimorfismo cuyo  núcleo es precisamente el ideal p(x) , luego por el teorema de isomorfı́a k[x]/ p(x) ∼ = k(a), y la imagen de [x] por el isomorfismo es a. Es obvio que σp(x) = pol mı́n(b, l), luego por el mismo argumento tenemos  también que l[x]/ σp(x) ∼ = l(b), y la imagen de [x] por el isomorfismo es b. Por otra parteel isomorfismo  σ : k[x] −→ l[x] cumple σ(x) = x e induce un isomorfismo k[x]/ p(x) ∼ = l[x]/ σp(x) que lleva [x] a [x]. La composición de todos estos isomorfismos nos da el isomorfismo buscado. En particular, tal y como ya comentábamos, un cuerpo de la forma k(a) (con a algebraico) está totalmente determinado por k y el polinomio mı́nimo de a. Para enunciar esto de la forma más adecuada conviene introducir un concepto. Definición 8.13 Sean K/k y L/k dos extensiones de un mismo cuerpo k y sean a ∈ K y b ∈ L dos elementos algebraicos sobre k. Diremos que son k–conjugados si su polinomio mı́nimo sobre k es el mismo. Teorema 8.14 Sean K/k y L/k dos extensiones del mismo cuerpo k, sean a ∈ K y b ∈ L algebraicos sobre k. Entonces a y b son k–conjugados si y sólo si existe un k–isomorfismo σ : k(a) −→ k(b) tal que σ(a) = b. Demostración: Si a y b son k–conjugados el resultado se sigue del teorema anterior. Si existe σ en dichas condiciones  y p(x) = pol mı́n(a, k), entonces p(a) = 0, luego también p(b) = p σ(a) = σ p(a) = 0, con lo que p(x) = pol mı́n(b, k) 112 Capı́tulo 8. Extensiones de cuerpos En la prueba anterior hemos usado dos hechos elementales, pero de uso muy frecuente: el primero es que un polinomio mónico irreducible es el polinomio mı́nimo de cualquiera de sus raı́ces. El segundo es que la imagen por un k–monomorfismo de una raı́z de un polinomio de k[x] es necesariamente otra raı́z de dicho polinomio. Pensemos ahora en una extensión algebraica simple k(a)/k. Si σ y τ son dos k–automorfismos de k(a) tales que σ(a) = τ (a), entonces σ = τ , pues todo p(a) para cierto polinomio p(x) ∈ k[x], y  elemento  de k(a) es de la forma  σ p(a) = p σ(a) = p τ (a) = τ p(a) . En otras palabras, un k–automorfismo σ está determinado por el valor σ(a) que toma en un elemento primitivo a. Ahora bien, sabemos que σ(a) ha de ser una raı́z de pol mı́n(a, k), luego la extensión k(a)/k tiene a lo sumo tantos k–automorfismos como raı́ces tiene (en k(a)) el polinomio mı́nimo de a. Recı́procamente, si b es una raı́z en k(a) del polinomio mı́nimo de a, entonces a y b son k–conjugados, luego existe un k–isomorfismo σ : k(a) −→ k(b), pero k(b) ⊂ k(a) y ambos tienen el mismo grado sobre k (el grado del polinomio mı́nimo de a). Ası́ pues, k(a) = k(b) y σ es un k–automorfismo de k(a). En resumen, una extensión algebraica simple k(a)/k tiene exactamente tantos k–automorfismos como raı́ces tiene en k(a) el polinomio mı́nimo de a. En particular el número de k–automorfismos no puede superar al grado de la extensión. Por ejemplo, en la extensión Q(i)/Q el elemento primitivo i tiene dos conjugados, él mismo y −i. En consecuencia Q(i) tiene dos automorfismos, la identidad y el determinado por σ(i) = −i, es decir, σ(a + bi) = a − bi. Recordemos que tanto la prueba √de que  un anillo como Z[i] es un dominio euclı́deo, como la prueba de que Z −3 no es un DFU dependen fuertemente de las propiedades de las normas respectivas. Uno de los resultados que proporciona la teorı́a de extensiones algebraicas es la posibilidad de definir normas similares en cualquier extensión finita. Si una extensión K/k tiene grado n y σ1 , . . . σn son k–automorfismos de K, la norma de un elemento a ∈ K puede definirse como N(a) = σ1 (a) · · · σn (a). Es claro que una norma ası́ definida conserva productos, pero todavı́a no sabemos probar otro hecho fundamental, y es que, para que sirva de algo, N(a) ha de pertenecer al cuerpo base k. De momento podemos comprobar, al menos, que este esquema general es válido en los ejemplos que hemos manejado. Por ejemplo, la norma en Q(i) viene dada por N(a + bi) = a2 + b2 = (a + bi)(a − bi) = (a + bi)σ(a + bi), luego es ciertamente el producto de los dos automorfismos √ de la extensión Q(i)/Q. El lector puede igualmente contrastar el caso de Q −3 , etc. Ejercicio: Comprobar que la extensión ciclotómica Q(ω)/Q, donde ω p = 1, tiene exactamente p − 1 automorfismos. Calcular explı́citamente la norma de un elemento a0 + a1 ω + · · · + ap−2 ω p−2 (definida como el producto de sus imágenes por todos los 113 8.2. Homomorfismos entre extensiones automorfismos) en los casos p = 3 y p = 5. Comprobar que en ambos casos la norma es un número racional y que la norma de un elemento del anillo Z[ω] es un entero. Sin embargo no todas las extensiones algebraicas simples tienen tantos isomorfismos como su grado. Se trata de una patologı́a relativamente frecuente que debemos comprender. A continuación analizamos con detalle un ejemplo concreto. Nuestro objetivo a medio plazo será obtener un marco general que sustituya los razonamientos particulares que aquı́ vamos a emplear. Consideramos el polinomio x3 − 2, que por el criterio de Eisenstein es irredu√ cible en Q[x]. Podemos aplicar el teorema 5.21 para construir un cuerpo Q 3 2 donde tiene una raı́z. En este cuerpo podemos factorizar √ √ √ 3 3 3 x3 − 2 = (x − 2 )(x2 + 2x + 2 2 ). √ Vamos a ver que el segundo factor es irreducible en Q 3 2 [x], o lo que es √ lo mismo, que no tiene raı́ces en Q 3 2 . Equivalentemente, hemos de ver que √ √ √ √ 3 2 2 − 4 3 2 2 = −3 3 2 2 no tiene raı́z cuadrada en Q 3 2 , es decir, que no existe √ √ ningún elemento η ∈ Q 3 2 tal que η 2 = −3 3 2 2 . √ √ Como la extensión Q 3 2 /Q tiene grado 3, todo elemento de Q 3 2 es de √ √ la forma η = a + b 3 2 + c 3 2 2 para ciertos números racionales a, b, c. Entonces √ √ √ √ 3 3 3 3 η 2 = a2 + b2 2 2 + 2c2 2 + 2ab 2 + 2ac 2 2 + 4bc √ √ 3 3 = (a2 + 4bc) + (2c2 + 2ab) 2 + (b2 + 2ac) 2 2 . √ Por la unicidad de la expresión, η 2 = −3 3 2 2 equivale a que a2 + 4bc = 0, 2 2c + 2ab = 0, b2 + 2ac = −3, para ciertos números racionales a, b, c. Notar que b = 0, pues en otro caso se deduce a = b = c = 0, y no se cumplen 2 las ecuaciones. Igualmente c = 0. De la segunda ecuación se obtiene a = − cb , 3 4 y sustituyendo en la primera obtenemos que cb2 + 4bc = 0, de donde cb3 = −4. Tenemos, pues, que −4 tiene una raı́z cúbica en Q, lo cual es falso, pues entonces la tendrı́a en Z (ver el √ ejercicio √ tras el teorema 4.24).  √ Ası́ queda probado que x2 + 3 2x + 3 2 2 es irreducible en Q 3 2 [x]. El ele√ mento primitivo no tiene Q–conjugados en Q 3 2 , luego el único Q–automor√ fismo de Q 3 2 es la identidad y no podemos definir una norma en este cuerpo como producto de automorfismos. Sin embargo 5.21 √ √ y considerar una  √podemos volver a aplicar el teorema extensión de Q 3 2 en la que el polinomio x2 + 3 2x + 3 2 2 tenga una raı́z α. √ √ Consideremos Q 3 2 (α) = Q 3 2, α . √ El polinomio x3 − 2 tiene dos raı́ces en Q 3 2, α , luego tiene tres. Por √ razones de simetrı́a conviene abandonar la notación 3 2 y llamar α, β, γ a las tres raı́ces. Ası́ x3 − 2 = (x − α)(x − β)(x − γ). 114 Capı́tulo 8. Extensiones de cuerpos De este modo, x3 − 2 es el polinomio mı́nimo en Q de α, y x2 + αx + α2 es el polinomio mı́nimo en Q(α) de β y γ. Por lo tanto |Q(α, β) : Q| = |Q(α, β) : Q(α)||Q(α) : Q| = 2 · 3 = 6. Una Q–base de Q(α) la forman los elementos 1, α, α2 . Una Q(α)–base de Q(α, β) la forman 1, β, luego una Q–base de Q(α, β) está formada (ver la prueba de la transitividad de grados) por los elementos 1, α, α2 , β, αβ, α2 β. (8.1) Nos falta la expresión de γ en esta base, pero teniendo en cuenta que x2 + αx + α2 = (x − β)(x − γ), resulta que α = −β − γ, luego γ = −β − α. Ejercicio: Expresar el producto de cada par de elementos de la base (8.1) como combinación lineal de los elementos de dicha base. Notar que β 2 + αβ + α2 = 0, luego β 2 = −αβ − α2 . √ Ahora tenemos tres monomorfismos σα , σβ , σγ : Q 3 2 −→ Q(α, β) que √ valores α, β y γ. Con ellos ya podemos definir una norma. asignan a 3 2 los √ Para cada u ∈ Q 3 2 sea N(u) = σα (u)σβ (u)σγ (u) y ası́ tenemos una norma multiplicativa como en Q(i). Vamos√ a ver que, √ efectivamente, N(u) ∈ Q. El elemento u será de la forma u = a + b 3 2 + c 3 2 2 , para ciertos a, b, c ∈ Q. Sus conjugados son a + bα + cα2 , a + bβ + cβ 2 , a + bγ + cγ 2 . Por tanto la norma será (a + bα + cα2 )(a + bβ + cβ 2 )(a + bγ + cγ 2 ). Tras un cálculo no muy complejo (teniendo en cuenta las relaciones que hemos obtenido entre α, β, γ) se obtiene √ √ 3 3 2 3 3 3 N(a + b 2 + c 2 ) = a + 2b + 4c − 6abc ∈ Q. √  Más aún, la norma en el anillo Z 3 2 toma valores enteros. Una muestra de la potencia de la teorı́a es que no hubiera sido nada fácil probar directamente que esta expresión es multiplicativa, ni mucho menos haber llegado hasta ella sin el auxilio de la teorı́a de extensiones. No estamos en condiciones de apreciar el valor que tiene la norma de una extensión, pero lo cierto es que representa un papel fundamental no sólo en la práctica, sino también en los resultados teóricos más profundos. En general vemos que si queremos definir normas en una extensión simple K/k donde no hay suficientes automorfismos, lo que hay que hacer es considerar una extensión mayor L/K que contenga los conjugados del elemento primitivo y definir la norma como el producto de todos los k–monomorfismos σ : K −→ L. En las secciones siguientes nos ocuparemos de justificar que este procedimiento siempre funciona. 8.3. Clausuras algebraicas 8.3 115 Clausuras algebraicas Acabamos de ver que para definir una norma en una extensión puede hacernos falta considerar una extensión mayor, donde cierto polinomio tenga más raı́ces. Esto se consigue usando una o más veces el teorema 5.21. Aquı́ vamos a estudiar las extensiones que se obtienen de ese modo, para entender exactamente cuándo hace falta pasar a un cuerpo mayor, qué extensiones hemos de buscar y cuáles son las ventajas que presentan frente a las extensiones de partida. Todo resulta conceptualmente más simple si probamos primero que todo cuerpo tiene una máxima extensión algebraica, donde todos los polinomios tienen todas sus raı́ces, de manera que todos los cuerpos que nos interesarán podrán ser considerados como subcuerpos de dicha extensión máxima. La idea de que un polinomio tenga ‘todas’ sus raı́ces en un cuerpo hay que entenderla como sigue: Definición 8.15 Sea K un cuerpo y p(x) ∈ K[x]. Diremos que el polinomio p(x) se escinde en K[x] si existen elementos a0 , a1 , . . . , an ∈ K (no necesariamente distintos) tales que p(x) = a0 (x − a1 ) · · · (x − an ). Notar que a0 es el coeficiente director de p(x). Si tenemos un cuerpo k y un polinomio p(x) ∈ k[x], aplicando el teorema 5.21 a un factor irreducible de p(x) podemos encontrar una extensión donde p(x) factorice como p(x) = (x − a1 )p1 (x). Aplicándolo de nuevo a un factor irreducible de p1 (x) encontramos una extensión mayor donde p(x) = (x−a1 )(x− a2 )p2 (x), y tras un número finito de pasos llegamos a una extensión de k donde p(x) se escinde. En estos términos, lo que queremos probar es que todo cuerpo tiene una extensión algebraica en la que todos los polinomios se escinden, y por lo tanto nunca necesitaremos buscar una mayor para que un polinomio tenga más raı́ces. La prueba consiste en construir una cadena de extensiones de modo que en cada una de ellas se escinda un polinomio más, hasta recorrer todos los polinomios de k[x]. Como hemos de tratar con infinitos polinomios, necesitamos un poco de teorı́a de conjuntos. Teorema 8.16 Sea k un cuerpo. Existe una extensión algebraica K/k tal que todo polinomio no constante de k[x] se escinde en K[x]. Demostración: Sea P el conjunto de todos los polinomios no constantes de k[x]. Consideramos un buen orden  en P , es decir, un orden total en el que todo subconjunto no vacı́o tiene mı́nimo. Esto equivale a poner en una lista a todos los polinomios: p0 ≺ p1 ≺ . . . ≺ pω ≺ pω+1 ≺ pω+2 ≺ . . . ≺ pω+ω ≺ pω+ω+1 ≺ . . . Vamos a construir una cadena {Kp }p∈P de extensiones algebraicas de k tales que si q  p entonces Kp es una extensión de Kq y para cada p ∈ P el polinomio 116 Capı́tulo 8. Extensiones de cuerpos p(x) se escinde en Kp . Podemos hacerlo por recursión, es decir, basta definir Kp supuestos definidos {Kq }q≺p . Para ello consideramos Kp∗ = k ∪ # Kq , q≺p que claramente es un cuerpo y, de hecho, una extensión algebraica de k. Definimos Kp como una extensión algebraica de Kp∗ tal que p(x) se escinda en ∗ Kp [x] (existe por la observación previa al teorema). Esto termina la definición. Ahora tomamos # Kp . K= p∈P De nuevo es claro que K es un cuerpo, es una extensión algebraica de k y cada polinomio no constante p(x) ∈ k[x] se escinde en Kp [x], luego en K[x]. Veamos algunas caracterizaciones del cuerpo que hemos construido. Teorema 8.17 Sea K un cuerpo. Las condiciones siguientes son equivalentes: 1. K no tiene extensiones algebraicas distintas de sı́ mismo. 2. Los polinomios irreducibles en K[x] son los polinomios de grado 1. 3. Todo polinomio no constante de K[x] tiene una raı́z en K. 4. Todo polinomio de K[x] se escinde en K[x]. 5. K contiene un subcuerpo k tal que la extensión K/k es algebraica y todo polinomio no constante de k[x] se escinde en K[x]. Demostración: 1) ⇒ 2) Sabemos que todo polinomio de grado 1 es irreducible, y los de grado 0 son unidades o el 0. Si existiera un polinomio irreducible de grado mayor que 1, entonces dicho polinomio no tendrı́a raı́ces en K, luego existirı́a una extensión de K en el que tendrı́a una raı́z a, y K(a) serı́a una extensión algebraica propia de K. 2) ⇒ 3) Si un polinomio no es constante entonces no es nulo ni unitario, luego tiene un factor irreducible, que será de la forma ax + b ∈ K[x] con a = 0, luego el polinomio tendrá por raı́z −b/a. 3) ⇒ 4) Si f (x) ∈ K[x] es constante entonces f (x) = a0 ∈ K, luego se escinde en K[x]. Si no es constante tiene una raı́z a1 ∈ K, luego f (x) = (x − a1 )f1 (x), para cierto polinomio f1 (x) ∈ K[x]. Si f1 (x) tampoco es constante tiene una raı́z a2 ∈ K, luego f (x) = (x − a1 )f1 (x) = f (x) = (x − a1 )(x − a2 )f2 (x), para cierto polinomio f2 (x) ∈ K[x]. Como el grado de los polinomios que vamos obteniendo es cada vez una unidad menor, al cabo de un número finito n de pasos llegaremos a un polinomio de grado 0, es decir, a una constante a0 y tendremos f (x) = a0 (x − a1 ) · · · (x − an ). 4) ⇒ 5) Basta tomar k = K. 8.3. Clausuras algebraicas 117 5) ⇒ 1) Si L/K es una extensión algebraica y a ∈ L entonces a es algebraico sobre k, luego podemos considerar el polinomio p(x) = pol mı́n(a, k), que por hipótesis se escinde en K[x]. Existen a0 , a1 , . . . , an ∈ K tales que p(x) = a0 (x − a1 ) · · · (x − an ). Como p(a) = 0, necesariamente a = ai para algún i, luego a ∈ K y en consecuencia L = K. Definición 8.18 Diremos que un cuerpo K es algebraicamente cerrado si cumple cualquiera de las condiciones del teorema anterior. Un cuerpo K es una clausura algebraica de otro cuerpo k si K/k es una extensión algebraica y K es algebraicamente cerrado. El teorema 8.16 afirma que todo cuerpo tiene una clausura algebraica. Ahora probaremos que dos cualesquiera son isomorfas, con lo que podemos decir que todo cuerpo tiene esencialmente una única clausura algebraica. Lo probamos en un contexto más general que nos será útil después. Teorema 8.19 Sea K/k una extensión algebraica y σ : k −→ L un monomorfismo de cuerpos, con L es algebraicamente cerrado. Entonces σ se extiende a un monomorfismo σ ∗ : K −→ L. Demostración: Sea M el conjunto de todos los pares (A, τ ) tales que k ⊂ A ⊂ K y τ : A −→ L es un monomorfismo que extiende a σ. El conjunto M está inductivamente ordenado por la relación (A, τ ) ≤ (A′ , τ ′ ) si y sólo si A ⊂ A′ y τ ′ |A = τ. Sea (A, τ ) un elemento maximal. Es suficiente probar que A = K. En otro caso sea u ∈ K \ A. Sea p(x) = pol mı́n(u, A) y sea τ p(x) el polinomio correspondiente en τ [A][x] ⊂ L[x] que, al ser L algebraicamente cerrado, tiene una raı́z v ∈ L. El teorema 8.12 nos da un monomorfismo τ ′ : A(u) −→ L que extiende a τ , en contra de la maximalidad de (A, τ ). Por tanto A = K. El caso particular que nos interesa de momento es: Teorema 8.20 Si K es una clausura algebraica de k, K ′ es una clausura algebraica de k ′ y σ : k −→ k ′ es un isomorfismo, entonces σ se extiende a un isomorfismo σ ∗ : K −→ K ′ . En particular dos clausuras algebraicas de un cuerpo k son k–isomorfas. Demostración: Por el teorema anterior, σ se extiende a un monomorfismo σ ∗ : K −→ K ′ . Como K es algebraicamente cerrado, σ[K] también lo es, y la extensión K ′ /σ[K] es algebraica, luego ha de ser σ[K] = K ′ , es decir, σ ∗ es un isomorfismo. Si K y K ′ son dos clausuras algebraicas de un mismo cuerpo k, entonces la identidad en k se extiende a un k–isomorfismo de K en K ′ . 118 Capı́tulo 8. Extensiones de cuerpos Definición 8.21 Llamaremos A a una clausura algebraica de Q. No importa cuál sea, pues dos cualesquiera son Q–isomorfas, luego son el mismo cuerpo a todos los efectos. Cuando hablemos de ‘números algebraicos’, sin más precisión, se ha de entender que nos referimos a los elementos de A, los números algebraicos sobre Q. Ası́ tenemos una extensión algebraica A/Q, de modo que ya no necesitamos construir extensiones cada vez que queramos que un cierto polinomio tenga raı́ces, sino que todos los polinomios de Q[x] tienen raı́ces en A. Esto nos permite un cambio conceptual importante: Si tenemos un cuerpo k, hasta ahora no tenı́a sentido hablar de las raı́ces de un polinomio p(x) ∈ k[x] mientras no justificáramos su existencia en k o no construyéramos una extensión de k donde existieran. Ahora, en cambio, podemos hablar de las raı́ces p(x) con independencia de que estén o no en k. Si no están todas en k sabemos de todos modos que las que faltan están en su clausura algebraica (en una clausura algebraica prefijada), y podemos a k si nos interesa. √ √ adjuntarlas En particular, los objetos −3, 3 2, i, ω, etc. que hemos venido fabricando según los necesitábamos ya no serán para nosotros construcciones especı́ficas aisladas, sino elementos del cuerpo A. Con un ligero abuso de lenguaje, si p(x) es un polinomio de grado n con coeficientes en un cuerpo k y K es una clausura algebraica de k, podemos decir que p(x) tiene n raı́ces en K. Esto no es exacto, porque algunas de estas raı́ces pueden ser iguales. Con rigor, si K es un cuerpo algebraicamente cerrado, cada polinomio p(x) ∈ K[x] de grado n se escinde en la forma p(x) = a0 (x − a1 ) · · · (x − an ), y si agrupamos los factores iguales podemos escribir también p(x) = a0 (x − a1 )r1 · · · (x − am )rm , donde ahora a1 , . . . , am son distintos dos a dos y r1 + · · · + rm = n. Esta descomposición es única, pues no es sino la descomposición en irreducibles de p(x) en K[x], que es un DFU. Llamaremos orden de multiplicidad de la raı́z ai en el polinomio p(x) al exponente ri . De este modo, la suma de los órdenes de multiplicidad de las raı́ces de un polinomio en un cuerpo algebraicamente cerrado es igual al grado del polinomio. Para completar la definición, si un elemento a ∈ K no es raı́z de un polinomio p(x) ∈ K[x], diremos que su orden de multiplicidad en p(x) es 0. Una raı́z de un polinomio es simple si su orden de multiplicidad es 1. En otro caso es múltiple. A su vez una raı́z múltiple puede ser doble, triple, etc. Como por el criterio de Eisenstein, el polinomio xn − 2 es irreducible en Q[x] para todo número natural n no nulo, al tomar una raı́z u ∈ A, obtenemos una extensión Q(u) ⊂ A de modo que |Q(u) : Q| = n. Por la transitividad de grados, la extensión A/Q es infinita. 8.4. Extensiones normales 119 Ejercicio: Sea K/k una extensión no necesariamente algebraica donde K es algebraicamente cerrado. Probar que el conjunto de los elementos de K algebraicos sobre k es una clausura algebraica de k. Volvamos ahora al problema de definir normas. El problema con que nos √ encontrábamos al intentar definir la norma del cuerpo Q 3 2 (como extensión de Q) era que este cuerpo no √ tiene automorfismos. La razón es que los conjugados del elemento primitivo 3 2 están fuera del cuerpo.  √ Por ello tuvimos que extenderlo y considerar los tres monomorfismos σ : Q 3 2 −→ Q(α, β). Desde un punto de vista teórico el segundo cuerpo es irrelevante, en el sentido de √ que dichos monomorfismos son en realidad todos los monomorfismos σ : Q 3 2 −→ A. En efecto, cualquiera de estos monomorfismos ha de enviar √ 3 2 a uno de sus tres conjugados α, β, γ, luego ha de coincidir con uno de los anteriores. Ahora ya podemos definir la norma de una extensión finita K/k. Se calcula aplicando todos los k–monomorfismos de K en una clausura algebraica y multiplicándolos. La norma ası́ definida es obviamente multiplicativa, pero de momento seguimos sin poder probar que las normas de los elementos de K están en k, lo cual es fundamental. 8.4 Extensiones normales El concepto de clausura algebraica tiene interés teórico, porque nos permite hablar de las raı́ces de un polinomio como objetos existentes de antemano sin tener que construirlas en cada caso particular. Sin embargo suele suceder que la clausura algebraica de un cuerpo sea una extensión infinita, mientras que la mayorı́a de los resultados sobre extensiones de cuerpos valen sólo para extensiones finitas. Por otro lado nunca nos va a interesar trabajar con infinitos polinomios a un tiempo. Por ello conviene estudiar la mı́nima extensión donde un polinomio dado tiene todas sus raı́ces. Veremos que estas extensiones tienen un comportamiento muy parecido al de las clausuras algebraicas, pero conservan la finitud. Definición 8.22 Sea k un cuerpo y p(x) ∈ k[x]. Se dice que un cuerpo K es un cuerpo de escisión sobre k del polinomio p(x) si k ⊂ K, el polinomio p(x) se escinde en K[x] y K = k(a1 , . . . , an ), donde a1 , . . . , an son las raı́ces en K de p(x). Si fijamos una clausura algebraica K de un cuerpo k y nos restringimos a considerar las extensiones algebraicas de k contenidas en K, entonces cada polinomio p(x) ∈ k[x] tiene un único cuerpo de escisión, a saber, la adjunción a k de sus raı́ces en K. Si no nos restringimos a una clausura algebraica fija, entonces podemos probar que el cuerpo de escisión es único salvo k–isomorfismo: Teorema 8.23 Dos cuerpos de escisión cualesquiera de un mismo polinomio sobre un mismo cuerpo k son k–isomorfos. 120 Capı́tulo 8. Extensiones de cuerpos Demostración: Sean K y K ′ cuerpos de escisión de un polinomio p(x) sobre un cuerpo k. Consideremos dos clausuras algebraicas L y L′ de K y K ′ respectivamente. Por el teorema 8.20 la identidad en k se extiende a un k– isomorfismo σ : L −→ L′ . Basta probar que σ[K] = K ′ , pero σ[K] es un cuerpo de escisión de p(x) sobre k, luego ha de ser la adjunción a k de las raı́ces de p(x) en L′ , o sea, σ[K] = K ′ . Por ejemplo, Q(α, β) es el cuerpo de escisión sobre Q, o sobre Q(α), del √ polinomio x3 − 2. Ası́ mismo, Q 2 es el cuerpo de escisión sobre Q de x2 − 2 y el cuerpo ciclotómico p–ésimo Q(ω) es el cuerpo de escisión, sobre Q, del polinomio xp−1 + · · · + x + 1, o también de xp − 1. Sucede que las extensiones K/k donde K es el cuerpo de escisión sobre k de un cierto polinomio poseen muchas propiedades generales que no dependen del polinomio en cuestión. Por ello conviene introducir el concepto siguiente: Definición 8.24 Diremos que una extensión K/k es finita normal1 si K es el cuerpo de escisión sobre k de un polinomio p(x) ∈ k[x]. Ejercicio: Probar que toda extensión de grado 2 es normal. Los teoremas siguientes muestran que las extensiones finitas normales tienen un comportamiento similar al de las clausuras algebraicas. Todas las propiedades de estas extensiones se siguen esencialmente del próximo teorema técnico. Pese a su sencillez, contiene una de las ideas básicas en las que descansa la teorı́a que estamos desarrollando. Teorema 8.25 Sea k ⊂ F ⊂ K ⊂ L una cadena de extensiones algebraicas, donde K/k es finita normal. Sea σ : F −→ L un k–monomorfismo. Entonces se cumple que σ[F ] ⊂ K y σ se extiende a un k–automorfismo de K. Demostración: Sea L′ una clausura algebraica de L. Obviamente también lo es de F y de σ[F ]. Por el teorema 8.20 tenemos que σ se extiende a un k– automorfismo σ ∗ : L′ −→ L′ . Basta probar que σ ∗ [K] = K, pues entonces a fortiori σ[F ] ⊂ K y la restricción de σ ∗ a K será el k–automorfismo buscado. Sea p(x) ∈ k[x] tal que K sea el cuerpo de escisión sobre k de p(x). Sean a1 , . . . , an las raı́ces de p(x) en K. Entonces tenemos que K = k(a1 , . . . , an ), luego σ ∗ [K] = k(σ ∗ (a1 ), . . . σ ∗ (an )). Ahora bien, cada σ ∗ (ai ) es una raı́z de p(x) (no olvidemos que los k–monomorfismos envı́an raı́ces a raı́ces). Por lo tanto la restricción de σ ∗ al conjunto {a1 , . . . , an } es una inyección de dicho conjunto en sı́ mismo, y como es finito es de hecho una biyección. En otros términos, {σ ∗ (a1 ), . . . , σ ∗ (an )} = {a1 , . . . , an }. Por lo tanto σ ∗ [K] = k(a1 , . . . , an ) = K. Ası́ pues, un k–monomorfismo que parta de un subcuerpo de una extensión normal a un cuerpo mayor, en realidad no se sale de la extensión normal, y 1 Puede definirse una extensión normal no necesariamente finita como el cuerpo de escisión de un conjunto de polinomios, no necesariamente finito, pero aquı́ sólo vamos a considerar extensiones normales finitas. 8.4. Extensiones normales 121 además se extiende a un k–automorfismo de la extensión normal. Informalmente, es imposible ‘salirse’ de una extensión normal K/k mediante un k– monomorfismo. Quien asimile esta idea verá naturales los resultados siguientes. En primer lugar, siempre podemos pasar de un elemento a un k–conjugado mediante un k–monomorfismo. Luego una extensión normal K/k contiene a los k–conjugados de todos sus elementos. Con más detalle tenemos el teorema siguiente. Teorema 8.26 Sea K/k una extensión finita normal y p(x) ∈ k[x] un polinomio irreducible con una raı́z en K. Entonces p(x) se escinde en K[x]. Demostración: Sea a ∈ K una raı́z de p(x). Sea L una clausura algebraica de K. Sea b otra raı́z de p(x) en L. Entonces a y b son k–conjugados (su polinomio mı́nimo es p(x) dividido entre su coeficiente director). Por el teorema 8.14 existe un k–isomorfismo σ : k(a) −→ k(b). Por el teorema anterior (tomando F = k(a)) resulta que k(b) ⊂ K, es decir, K contiene todas las raı́ces de p(x) en L. Como p(x) se escinde en L[x], de hecho se escinde en K[x]. Ası́ pues, mientras en una clausura algebraica se escinden todos los polinomios, en una extensión normal se escinden al menos todos los irreducibles que  √tienen una mı́nima relación con K (una raı́z). Por ejemplo,  √ la extensión Q 3 2 /Q no es normal, pues x3 − 2 tiene una raı́z en Q 3 2 , pero no se escinde. Es fácil probar el recı́proco del teorema anterior: Teorema 8.27 Una extensión finita K/k es normal si y sólo si todo polinomio irreducible p(x) ∈ k[x] con una raı́z en K se escinde en K[x]. Demostración: La extensión K/k es finita, luego finitamente generada: K = k(a1 , . . . , an ) y, por hipótesis, los polinomios pi (x) = pol mı́n(ai , k) se escinden en K[x], luego f (x) = p1 (x) · · · pn (x) también se escinde. Entonces K es el cuerpo de escisión sobre k de f (x). Observar que si k ⊂ K ⊂ L y L/k es finita normal, entonces L/K también es normal (pues L es el cuerpo de escisión sobre K del mismo polinomio que sobre k). En general la extensión K/k no tiene por qué ser normal, como lo √ muestra Q ⊂ Q 3 2 ⊂ Q(α, β). El hecho de que los monomorfismos que parten de una extensión normal se extiendan a automorfismos hace que las extensiones normales tengan muchos automorfismos, y que éstos sean suficientes para controlar la extensión. El núcleo de la teorı́a de extensiones algebraicas consiste en obtener información de una extensión normal K/k a partir del conjunto G(K/k) de todos los k– automorfismos de K. Un ejemplo en dicha lı́nea es la siguiente mejora del teorema 8.14: Teorema 8.28 Sea K/k una extensión finita normal y a, b ∈ K. Entonces a y b son k–conjugados si y sólo si existe un σ ∈ G(K/k) tal que σ(a) = b. 122 Capı́tulo 8. Extensiones de cuerpos Demostración: Si a y b son conjugados, por 8.14 existe un k–isomorfismo σ : k(a) −→ k(b), que por 8.25 se extiende a un k–automorfismo de K. El recı́proco es obvio. Ejercicio: Dada una extensión K/k, se dice que K es el cuerpo de escisión sobre k de un conjunto S ⊂ k[x] si todos los polinomios de S se escinden en K[x] y K es la adjunción a k de sus raı́ces. Probar que K/k es finita normal si y sólo si K es el cuerpo de escisión de un conjunto finito de polinomios. Ejercicio: Una extensión K/k (no necesariamente finita) es normal si K es el cuerpo de escisión de un conjunto de polinomios de k[x]. Generalizar todos los teoremas anteriores al caso de extensiones normales cualesquiera. √ Para definir una norma en la extensión Q 3 2 /Q hemos tenido que pasar a la extensión Q(α, β)/Q. La razón es que la primera no es normal. La segunda es un sustituto finito de la clausura algebraica de Q. Vamos a generalizar esta idea. Partamos de una extensión finita K/k. En particular será finitamente generada, es decir, K = k(u1 , . . . , un ). Fijemos una clausura algebraica de K. Sea p(x) el producto de todos los polinomios pol mı́n(ui , k) y sea L el cuerpo de escisión de p(x) sobre k (en la clausura algebraica fijada). Entonces la extensión L/k es normal, y como entre las raı́ces de p(x) se encuentran u1 , . . . , un , concluimos que k ⊂ K ⊂ L. Más aún, si L′ es cualquier otra extensión normal de k que contenga a K (siempre en la clausura algebraica fijada), entonces los polinomios pol mı́n(ui , k) tienen todos una raı́z en L′ (precisamente ui ), luego se escinden en L′ [x], luego p(x) se escinde en L′ [x], con lo que L ⊂ L′ . Es decir, L es la menor extensión normal de k que contiene a K. En particular esto prueba que la definición de L no depende de la elección de los generadores u1 , . . . , un . En resumen hemos probado: Teorema 8.29 Sea K/k una extensión finita. Cada clausura algebraica de K contiene una mı́nima extensión finita normal L/k tal que k ⊂ K ⊂ L. Ésta se obtiene como el cuerpo de escisión sobre k del producto de los polinomios mı́nimos en k de cualquier generador finito de K/k. Se la llama clausura normal de K/k. Si no fijamos una clausura algebraica de K, es fácil ver que dos clausuras normales de una extensión K/k son K–isomorfas. √ Ası́ pues, Q(α, β) es la clausura normal de la extensión Q 3 2 /Q. Observar que si L es la clausura normal de una extensión K/k en una clausura algebraica C, los k–monomorfismos σ : K −→ C coinciden con los k– monomorfismos σ : K −→ L (por el teorema 8.25). Nuestra intención es definir la norma de un elemento de una extensión finita K/k como el producto de todas sus imágenes por los k–monomorfismos de K en una clausura algebraica, y ahora hemos visto que esto equivale a considerar los k–monomorfismos de K en la clausura normal de K/k, que es una extensión finita normal L/k. 123 8.5. Extensiones separables Observar también que si K/k es normal, entonces K es la clausura normal de la extensión, luego los k–monomorfismos de K en la clausura normal son precisamente los k–automorfismos de K. 8.5 Extensiones separables En esta sección vamos a obtener toda la información que necesitamos sobre los monomorfismos de una extensión de cuerpos. La idea básica es que si la normalidad de una extensión nos da propiedades cualitativas importantes acerca de sus automorfismos (que luego resultan aplicables a una extensión finita cualquiera tomando su clausura normal), aquı́ vamos a introducir otra propiedad, la separabilidad, que nos dará propiedades cuantitativas, es decir, acerca del número de automorfismos. La separabilidad concierne a la multiplicidad de las raı́ces de los polinomios irreducibles. Recordemos que si k es un cuerpo y f (x) ∈ k[x], el orden de multiplicidad de una raı́z a ∈ k es el número de veces que el factor x − a aparece en la descomposición de f (x) en irreducibles en K[x], siendo K la clausura algebraica de k, o simplemente un cuerpo de escisión de f (x). Si el orden de multiplicidad de una raı́z a es n, entonces f (x) = (x−a)n g(x), donde g(x) ∈ K[x] y g(a) = 0. Una raı́z de multiplicidad 1 es una raı́z simple. Aunque no es importante, debemos notar que si f (x) ∈ k[x] y a es una raı́z de f (x) en k, el orden de multiplicidad de a en f (x) es el único número natural para el que se da la descomposición f (x) = (x − a)n g(x), donde g(x) ∈ k[x] y g(a) = 0, aunque f (x) no se escinda en k[x]. La razón es que pasando a la clausura algebraica K de k, el polinomio g(x) se descompone en factores de grado 1 en K[x] entre los que no puede figurar x − a, ya que g(a) = 0, luego la descomposición de f (x) en K[x] tiene n factores x − a más los demás factores de g(x), con lo que n es el orden de multiplicidad de a. Otra observación menor es que podemos definir el orden de multiplicidad para polinomios con coeficientes en un dominio ı́ntegro, pues todo dominio ı́ntegro está contenido en su cuerpo de fracciones. Para estudiar la multiplicidad de las raı́ces de polinomios es indispensable el concepto de derivada formal: Definición 8.30 Sea D un dominio ı́ntegro y f (x) = remos derivada formal del polinomio f (x) al polinomio f ′ (x) = n  i=1 n i=0 ai xi ∈ D[x], llama- iai xi−1 ∈ D[x]. Por ejemplo, si f (x) = 5x3 − 2x2 + 4 ∈ Q[x], entonces f ′ (x) = 15x2 − 4x. Las propiedades siguientes sobre derivadas se demuestran mediante meros cálculos a partir de la definición. 124 Capı́tulo 8. Extensiones de cuerpos Teorema 8.31 Sea D un dominio ı́ntegro y f , g ∈ D[x]. 1. Si f ∈ D entonces f ′ = 0. 2. Si c ∈ D, entonces (cf )′ = cf ′ . 3. (f + g)′ = f ′ + g ′ . 4. (f g)′ = f ′ g + f g ′ . 5. (f /g)′ = (f ′ g − f g ′ )/g 2 . La relación entre las derivadas y la multiplicidad de las raı́ces viene dada por el teorema siguiente: Teorema 8.32 Sean D ⊂ E dominios ı́ntegros, f ∈ D[x] y c ∈ E tal que f (c) = 0. Entonces c es una raı́z simple de f si y sólo si f ′ (c) = 0. Demostración: Sea f (x) = (x−c)n g(x), donde g(c) = 0 (n ≥ 1 es el orden de multiplicidad de c). Entonces f ′ (x) = n(x − c)n−1 g(x) + (x − c)n g ′ (x). Si c es raı́z simple de f , entonces n = 1, luego f ′ (x) = g(x) + (x − c)g ′ (x), y por lo tanto f ′ (c) = g(c) + 0 = g(c) = 0. Si c es raı́z múltiple, entonces n > 1, luego f ′ (c) = n(c − c)n−1 g(c) + (c − c)n g ′ (c) = 0. Este resultado nos lleva a investigar los casos en que la derivada de un polinomio puede anularse. Un caso trivial es el de los polinomios constantes. Teorema 8.33 Sea D un dominio ı́ntegro y f (x) ∈ D[x] un polinomio no constante. 1. Si car D = 0 entonces f ′ (x) = 0. 2. Si car D = p, entonces f ′ (x) = 0 si y sólo si existe g(x) ∈ D[x] tal que f (x) = g(xp ). n Demostración: 1) Sea f (x) = i=0 ai xi , con n > 0 y an = 0. Entonces n f (x) = i=1 iai xi−1 , donde el coeficiente director es nan = 0, luego f ′ (x) = 0. ′ 2) Si f ′ (x) = 0, entonces (con la misma notación del apartado anterior) cada coeficiente iai = 0, para i = 1, . . . , n. Si ai = 0 es necesario que i = 0 (en D), es decir, que p | i. En otras palabras, que los monomios de f (x) con coeficientes no nulos tienen exponente múltiplo de p, es decir, r f (x) = i=0 donde g(x) = r i=0 ai xpi = r ai (xp )i = g(xp ), i=0 ai xi . El recı́proco es evidente. Ahora ya sabemos lo necesario para estudiar la separabilidad. 125 8.5. Extensiones separables Definición 8.34 Sea K/k una extensión y a ∈ K un elemento algebraico sobre k. Diremos que a es separable sobre k si a es raı́z simple de pol mı́n(a, k). Notar que si p(x) = pol mı́n(a, k) entonces a es separable si y sólo si p′ (a) = 0 (por 8.32), si y sólo si p′ (x) = 0, pues si p′ (a) = 0 entonces p(x) | p′ (x), y por grados p′ (x) = 0. Esta última condición depende sólo de p, luego si a es separable todos sus conjugados lo son también, y pol mı́n(a, k) tiene todas sus raı́ces simples. Una extensión K/k es separable si todos los elementos de K son separables sobre k (en particular una extensión separable es algebraica). Un cuerpo k es perfecto si todas sus extensiones algebraicas son separables. El interés de esta definición reside en que casi todos los cuerpos son perfectos, luego en la práctica todas las extensiones que manejaremos serán separables. Teorema 8.35 Se cumple: 1. Todo cuerpo de caracterı́stica 0 es perfecto. 2. Un cuerpo k de caracterı́stica p es perfecto si y sólo si k = k p = {ap | a ∈ k}. 3. Todo cuerpo finito es perfecto. Demostración: 1) Si car k = 0 y K/k es una extensión algebraica, sea a ∈ K. Entonces el polinomio p(x) = pol mı́n(a, k) no es constante y p′ (x) = 0, luego a es separable. 2) Si car k = p y k = k p , sea K/k una extensión algebraica y a ∈ K, sea p(x) = pol mı́n(a, k). Si a no fuera separable, entonces p′ (x) = 0, luego por 8.33 p(x) = f (xp ) para cierto polinomio f (x) ∈ k[x]. n Sea f (x) = i=0 ai xi . Como a0 , . . . , ar ∈ k = k p , existen b0 , . . . , br ∈ k de manera que ai = bpi . Por lo tanto p(x) = n  i=0 n bpi xpi = n   i=0 i p bi x =  n  i=0 i bi x p , donde el polinomio i=0 bi xi ∈ k[x]. Por lo tanto p(x) no es irreducible en k[x], contradicción. Ahora supongamos que k es perfecto y car k = p. Veamos que k = k p . Sea a ∈ k. Sea K la clausura algebraica de k, sea b una raı́z de xp − a en K. Entonces bp − a = 0, o sea, a = bp . El polinomio xp − a = xp − bp = (x − b)p , y por otro lado pol mı́n(b, k) | (x − b)p , luego ha de ser pol mı́n(b, k) = (x − b)n , para cierto n ≤ p, pero como k es perfecto b es raı́z simple de pol mı́n(b, k), es decir, n = 1, luego x − b = pol mı́n(b, k) ∈ k[x]. Por consiguiente b ∈ k y a = bp ∈ k p . 126 Capı́tulo 8. Extensiones de cuerpos 3) Si k es un cuerpo finito de caracterı́stica p, entonces la aplicación φ : k −→ k p dada por φ(a) = ap es suprayectiva, pero también inyectiva, puesto que si ap = bp , entonces ap − bp = (a − b)p = 0, luego a − b = 0, o sea, a = b. Por lo tanto k p ⊂ k y ambos tienen el mismo cardinal, lo que obliga a que k = kp . Como una primera muestra del interés de la separabilidad, vamos a ver el efecto que tiene combinarla con la normalidad. Para ello introducimos algunos conceptos. Definición 8.36 Sea K/k una extensión. Definimos su cuerpo fijado como   F = a ∈ K | σ(a) = a para todo σ ∈ G(K/k) . Es claro que efectivamente F es un cuerpo y k ⊂ F ⊂ K. Una extensión de Galois es una extensión normal y separable. El teorema siguiente nos da un importante criterio para determinar cuándo un elemento de una extensión finita de Galois pertenece de hecho al cuerpo base: Teorema 8.37 Una extensión finita K/k es de Galois si y sólo si su cuerpo fijado es k. Demostración: Sea K/k una extensión finita de Galois. Sea a un elemento de su cuerpo fijado y sea p(x) su polinomio mı́nimo sobre k. Por la normalidad, p(x) tiene todas sus raı́ces en K. Si b es cualquiera de ellas, ha de existir un σ ∈ G(K/k) tal que σ(a) = b (teorema 8.28). Pero a está en el cuerpo fijado, luego b = a, o sea, a es la única raı́z de p(x), que ha de ser, pues, p(x) = (x − a)n . Pero por otra parte a es separable sobre k, luego ha de ser una raı́z simple de p(x). Ası́ pues p(x) = x − a ∈ k[x] y por lo tanto a ∈ k. Supongamos ahora que k es el cuerpo fijado de la extensión. Veamos que K/k es normal. Sea p(x) ∈ k[x] un polinomio irreducible (que podemos suponer mónico) con una raı́z a ∈ K. Hemos de ver que p(x) se escinde en K[x]. Sean a1 , . . . , an todas las raı́ces de p(x) en K (sin repeticiones). Sea g(x) = (x − a1 ) · · · (x − an ) ∈ K[x].   Para cada σ ∈ G(K/k) se cumple que σg(x) = x − σ(a1 ) · · · x − σ(an ) , pero es obvio que σ(a1 ), . . . , σ(an ) son los mismos a1 , . . . , an cambiados de orden, luego en realidad σg(x) = g(x). Esto significa que todos los coeficientes de g(x) son fijados por σ, luego están en el cuerpo fijado de K/k, que por hipótesis es k, o sea, g(x) ∈ k[x]. Como p(x) es el polinomio mı́nimo de a y a es una de las raı́ces de g(x), tenemos que p(x) | g(x), pero por otra parte todas las raı́ces de g(x) lo son de p(x) y además son simples, luego g(x) | p(x). Como ambos son mónicos p(x) = g(x) se escinde en K[x] y además con raı́ces simples. Con esto hemos probado también que K/k es separable, pues dado a ∈ K, si tomamos p(x) = pol mı́n(a, k) hemos probado que las raı́ces de p(x) son simples. 127 8.5. Extensiones separables Comenzamos ahora la labor de ‘contar’ los automorfismos de una extensión finita. En realidad si la extensión no es normal √puede no haber más automorfismo que la identidad (como le ocurre a Q( 3 2 )/Q), luego si queremos resultados generales no hemos de contar automorfismos sino monomorfismos. Definición 8.38 Sea K/k una extensión finita. Llamaremos k–monomorfismos de K a los k–monomorfismos de K en una clausura algebraica de K. Según hemos visto al final de la sección anterior, los k–monomorfismos de K coinciden con los k–monomorfismos de K en una clausura normal de K sobre k, y si K/k es normal entonces los k–monomorfismos de K son de hecho los k–automorfismos de K. Llamaremos N(K/k) al número de k–monomorfismos de K (es inmediato que éste no depende de la elección de la clausura algebraica). Por ejemplo, si k(a)/k es una extensión simple de grado n sabemos que el número de k–monomorfismos de K es igual al número de k–conjugados de a, y si a es separable sobre k entonces pol mı́n(a, k) tiene todas sus raı́ces simples, luego a tiene exactamente n k–conjugados, es decir, el número de k–monomorfismos de k(a) es igual al grado de la extensión. En sı́mbolos: N(k(a)/k) = |k(a) : k|. Vamos a generalizar este hecho a extensiones separables cualesquiera. Primero probamos un resultado técnico: Teorema 8.39 Consideremos una cadena de extensiones k ⊂ K ⊂ L con L/k finita normal. Entonces N(L/k) = N(L/K) N(K/k). Demostración: Por 8.25 tenemos que cada k-monomorfismo de K se extiende a un k-automorfismo de L. Basta probar que de hecho se extiende exactamente a N(L/K) de ellos. Sean σ y τ dos extensiones a L de un mismo k–monomorfismo de K. Como L/k es normal σ y τ son k–automorfismos de L, luego τ σ −1 es un k–automorfismo de L que de hecho fija a K, es decir, ρ = τ σ −1 ∈ G(L/K) y τ = σρ. Ası́ pues, si σ es una extensión cualquiera de un k–monomorfismo de K, las restantes son de la forma σρ con ρ ∈ G(L/K). Por otra parte, si σρ = σρ′ , componiendo con σ −1 concluimos que ρ = ρ′ , luego en efecto, hay tantas extensiones como elementos de G(L/K) Sea ahora una extensión finita normal L = k(a1 , . . . , an ), donde los elementos ai son separables sobre k. Podemos aplicar el teorema anterior con K = k(a1 ) y concluir que N(L/k) = N L/k(a1 ) |k(a1 ) : k|. Ahora consideramos la cadena k(a1 ) ⊂ k(a1 , a2 ) ⊂ L. Es claro que está también en del teorema   las hipótesis anterior (a2 es separable sobre k(a1 ) porque pol mı́n a2 , k(a1 )  pol mı́n(a2 , k)). Por lo tanto concluimos que  N(L/k) = N L/k(a1 , a2 ) |k(a1 , a2 ) : k(a1 )| |k(a1 ) : k|  = N L/k(a1 , a2 ) |k(a1 , a2 ) : k|. 128 Capı́tulo 8. Extensiones de cuerpos Repitiendo el proceso llegamos a N(L/k) = |L : k|. Esto es esencialmente el resultado al que queremos llegar (y, como vemos, es una mera generalización del caso trivial de extensiones simples). Notemos ahora que si F es el cuerpo fijado de la extensión L/k entonces G(L/k) = G(L/F ), luego |L : k| = |G(L/k)| = |G(L/F )| = |L : F |, con lo que k = F y el teorema 8.37 nos permite concluir que la extensión L/k es separable. De aquı́ se sigue en primer lugar: Teorema 8.40 Si K = k(S), donde S es un conjunto de elementos separables sobre k, entonces la extensión K/k es separable. Demostración: Supongamos primero que S es finito. Sean a1 , . . . , an los conjugados de todos los elementos de S. Sabemos que todos ellos son separables sobre k. Entonces L = k(a1 , . . . , an ) es la clausura normal de K/k, y en estas condiciones hemos probado que L/k es separable, luego K/k también. El caso infinito se reduce trivialmente al caso finito. Notemos que acabamos de probar que la clausura normal de una extensión finita separable es una extensión finita de Galois. Finalmente estamos en condiciones de enunciar el teorema principal de esta sección: Teorema 8.41 Si K/k es una extensión finita separable de grado n entonces el número de k–monomorfismos de K es exactamente igual a n. En particular si K/k es finita de Galois |G(K/k)| = |K : k|. Demostración: Lo tenemos probado para extensiones normales. Si K/k no es normal tomamos la clausura normal L/k. Entonces las extensiones L/k y L/K son normales, luego el teorema 8.39 y el caso normal nos dan |L : k| = N(K/k) |L : K|, luego también N(K/k) = |K : k|. El teorema siguiente termina de perfilar el comportamiento de las extensiones separables, totalmente análogo al de las algebraicas en general: Teorema 8.42 Sea k ⊂ K ⊂ L una cadena de extensiones. Entonces L/k es separable si y sólo si L/K y K/k lo son. Demostración: Una implicación es sencilla. La otra se reduce fácilmente al caso en que las extensiones son finitas (ver por ejemplo 8.10). Supongamos, pues, que L/K y K/k son finitas separables. Si a ∈ L y b es un k–conjugado de a, entonces existe un k–monomorfismo de K tal que σ(a) = b. Si p(x) = pol mı́n(a, K) entonces pol mı́n(b, k) = σp(x), y es claro que si a es una raı́z simple de p(x) entonces b es raı́z simple de σp(x), es decir, los k–conjugados de elementos de L son separables sobre K. De aquı́ se sigue que la clausura normal de L sobre k es separable sobre K, luego podemos suponer que L/k es normal. La clausura normal de K/k está contenida en L, es separable y obviamente L es separable sobre ella (por la implicación opuesta a la que estamos probando). Por lo tanto podemos suponer también que K/k es normal. 8.6. El teorema del elemento primitivo 129 Veamos que el cuerpo fijado de L/k es k. Si a está en dicho cuerpo fijado, en particular a es fijado por G(L/K), luego a ∈ L (por 8.37). Todo automorfismo de K/k se extiende a un automorfismo de L/k que fija a a, luego a está en el cuerpo fijado de K/k, que es k. Ejercicio: Probar que si K/k es una extensión de cuerpos, el conjunto Ks de los elementos de K separables sobre k es un subcuerpo de K. 8.6 El teorema del elemento primitivo Ha llegado el momento de recoger el fruto de la teorı́a que hemos desarrollado, aunque en realidad pospondremos los resultados más profundos que en este momento no sabrı́amos aprovechar. En esta sección probaremos un teorema muy útil y nada trivial que ilustra muy bien las posibilidades que da el control de los monomorfismos de una extensión. Teorema 8.43 (Teorema del elemento primitivo) Toda extensión finita separable es simple. Demostración: Sea K/k una extensión finita separable. Distingamos dos casos según que el cuerpo base k sea finito o infinito. Si k es finito y K es una extensión finita de k, entonces K también es un cuerpo finito (cada elemento de K está determinado por sus coordenadas en una k-base, y sólo hay un número finito de coordenadas posibles). Por el teorema 5.13 en K hay una raı́z primitiva de la unidad, es decir, un elemento a tal que sus potencias recorren todos los elementos de K salvo el cero. Obviamente, K = k(a). Supongamos ahora que k es infinito. Toda extensión finita es finitamente generada, es decir, es de la forma k(a1 , . . . , an )/k. Razonando por inducción es suficiente probar que si a, b son elementos separables sobre un cuerpo k entonces existe un c ∈ k(a, b) tal que k(a, b) = k(c). Sea A el conjunto de todos los pares (a′ , b′ ), donde a′ es un k–conjugado de a y b′ es un k–conjugado de b. Es claro que si (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) son dos pares distintos en A, existe a lo sumo un u ∈ k tal que a1 + ub1 = a2 + ub2 . Ası́ pues, como A es finito y k es infinito existe un elemento v ∈ k distinto de cero y para el que a1 + vb1 = a2 + vb2 , para todo par de pares distintos (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ A. Sea c = si σ, τ son k–monomorfismos distintos de k(a, b)  a + vb. Entonces,  los pares σ(a), σ(b) y τ (a), τ (b) son pares distintos de A, luego σ(c) = σ(a) + vσ(b) = τ (a) + vτ (b) = τ (c). Esto significa que c tiene tantos conjugados como k–monomorfismos tiene la extensión k(a, b)/k. Por los resultados que hemos probado, el grado de pol mı́n(c, k) coincide con |k(a, b) : k| o también |k(c) : k| = |k(a, b) : k|. Puesto que k(c) ⊂ k(a, b), de hecho k(a, b) = k(c). Ası́ pues, para reducir dos generadores a, b de una extensión separable a uno solo, hemos de tomar un elemento de la forma c = a+vb, con v en el cuerpo base. 130 Capı́tulo 8. Extensiones de cuerpos La finalidad de v es simplemente romper la simetrı́a de la expresión para que el número de automorfismos sea el máximo posible. Unos ejemplos aclararán esta idea. √ √ Ejemplo Consideremos el cuerpo K = Q 2, 3 . La extensión K/Q es normal, pues K es el cuerpo de escisión sobre Q del polinomio (x2 − 2)(x2 − 3). Trivialmente es separable, pues los cuerpos son de caracterı́stica 0. Ası́ pues, K/Q es una extensión finita de Galois. Veamos que tiene grado 4. Para ello consideramos la cadena √ √ √ Q ⊂ Q 2 ⊂ Q 2, 3 . Es claro que el grado del primer tramo es 2, luego basta probar que √ √el segundo tramo también tiene grado 2. A su vez esto equivale a que 3 ∈ / Q 2 . Ahora bien, es fácil ver que la ecuación √ 2 √  a + b 2 = a2 + 2b2 + 2ab 2 = 3 no tiene solución para √ a, b ∈ Q. √ √ √ Los conjugados de 2 son ± 2 y los conjugados de √ ± 3. Un auto√ 3 son morfismo de K está determinado por las imágenes de 2 y 3. Como sólo hay cuatro posibilidades y ha de haber cuatro automorfismos, las cuatro posibilidades se dan. Ası́ pues, los cuatro automorfismos de K están determinados por la tabla siguiente: Automorfismo Imagen de √ 1 2 √ σ − 2 √ τ 2 √ ρ − 2 √ 2 Imagen de √ 3 √ 3 √ − 3 √ − 3 √ 3 √ √ √ √ √ √ Q–base de K es 1, 2, 3, 2 · 3 = 6. Un elemento primitivo es √ Una 2 + 3, pues al aplicar los cuatro automorfismos obtenemos los conjugados √ √ √ √ √ √ √ √ 2 + 3, − 2 + 3, 2 − 3, − 2 − 3. Los cuatro son, efectivamente, √ porque sus coordenadas en la base dada √distintos son distintas. Por lo tanto Q 2 + 3 tiene grado 4 sobre Q y está contenido en K, luego es K. √ √ Ejercicio: Calcular pol mı́n( 2 + 3, Q). Ejemplo Consideremos de nuevo K = Q(α, β), donde α y β son dos de las raı́ces del polinomio x3 −2. Según hemos visto en la sección anterior, la extensión K/Q es de Galois y tiene grado 6. La imagen de α y β por cada uno de los 131 8.7. Normas y trazas seis automorfismos de K ha de ser α, β o la tercera raı́z γ. Como sólo hay seis posibilidades distintas, cada una de ellas se corresponde con un automorfismo, según indica la tabla siguiente: Automorfismo Imagen de α 1 α σ2 α σ3 β σ4 β σ5 γ σ6 γ Imagen de β β γ α γ α β En este caso el elemento α + β no es un elemento primitivo de K/Q, pues al aplicarle los seis automorfismos obtenemos sólo tres conjugados: α + β, α + γ, β + γ. Por lo tanto pol mı́n(α + β, Q) tiene grado 3 y Q(α + β) es un cuerpo intermedio de grado 3 sobre Q. Un elemento primitivo es, por ejemplo α − β. En efecto, sus conjugados son α − β, β−γ = α + 2β, α − γ = 2α + β, γ − α = −2α − β, β − α, γ − β = − α − 2β, y son todos distintos por la independencia lineal de α y β. Puede comprobarse que pol mı́n(α − β) = x6 + 108. Notemos que la presencia del −1 se traduce en una pérdida de la simetrı́a de la expresión α + β, que hace que las las seis imágenes por los automorfismos sean distintas. La prueba del teorema del elemento primitivo justifica que siempre podemos conseguir el máximo número posible de conjugados mediante esta técnica. 8.7 Normas y trazas Finalmente podemos definir la norma de una extensión de cuerpos. Notemos primero que el teorema 8.37 vale en parte para extensiones separables (no necesariamente normales): Si K/k es separable, un elemento u ∈ K está en k si y sólo si σ(u) = u para todo k-monomorfismo σ de K. En efecto, si consideramos la clausura normal L/k, tenemos que u ∈ k si y sólo si σ(u) = u para todo σ ∈ G(L/k), pero las restricciones a K de los k-automorfismos de L son los k-monomorfismos de K. Definición 8.44 Sea K/k una extensión separable de grado n. Sean σ1 , . . . , σn los k-monomorfismos de K (en la clausura normal L de K/k). Definimos la norma y la traza de un elemento α ∈ K como N(α) = σ1 (α) · · · σn (α) ∈ L, Tr(α) = σ1 (α) + · · · + σn (α) ∈ L. Si σ ∈ G(L/k), entonces σi ◦ σ es un k-monomorfismo de K en L, luego σi ◦ σ = σj para algún j. Más aún, si i = j, entonces σi ◦ σ = σj ◦ σ, pues actúan de forma distinta sobre un elemento primitivo a de K. 132 Capı́tulo 8. Extensiones de cuerpos De este modo la composición  con σ permuta los monomorfismos y, en con secuencia, σ N(α) = N(α), σ Tr(α) = Tr(α) para todo α y todo σ, es decir, N(α), Tr(α) ∈ k. Tenemos ası́ dos aplicaciones N, Tr : K −→ k. Es obvio que N(uv) = N(u) N(v), Tr(u + v) = Tr(u) + Tr(v). De hecho la traza es una aplicación lineal de k-espacios vectoriales. Una propiedad elemental es que si α ∈ k, entonces |K:k| , N(α) = α Tr(α) = |K : k| α. Teorema 8.45 (Transitividad de normas) Sea k ⊂ K ⊂ L una cadena de extensiones finitas separables. Entonces para todo α ∈ L se cumple  L L K Nk (α) = Nk NK (α) ,  L K TrL k (α) = Trk TrK (α) Demostración: Sean σ1 , . . . , σn los K-monomorfismos de L. Ası́ L NK (α) = σ1 (α) · · · σn (α). Sean τ1 , . . . , τm los k-monomorfismos de K. Escojamos para cada uno de ellos τi una extensión a un de L sobre k,  k-automorfismo de la clausura normal K L digamos ρi . Entonces τi NL (α) = ρ (σ (α)) · · · ρ (σ (α)), y N i 1 i n K k NK (α) es el producto de estos términos para i = 1, . . . , m. Los monomorfismos σj ◦ ρi , definidos sobre L, son distintos dos a dos, pues si σj ◦ρi = σu ◦ρv , restringiendo a K tenemos ρi = ρv , luego i = v, y componiendo con el automorfismo inverso queda σj = σu , luego j = u. Como en total son mn  Lmonomorfismos, de hecho son todos los k-monomorfismos de L, luego NK k NK (α) , que es el producto de todos los ρi (σj (α)), es igual a NL (α). k El mismo razonamiento vale para las trazas. √ √ Ejemplo Vamos a calcular la norma de la extensión Q 2, 3 /Q. √ √ Un elemento arbitrario de Q 2, 3 es de la forma √ √ √ α = a + b 2 + c 3 + d 6, con a, b, c, d ∈ Q. √ √ √ Su norma en la extensión Q 2, 3 /Q 2 es  √ √ √  √ √ √  a+b 2+c 3+d 6 a+b 2−c 3−d 6  √ 2 √ 2  √ = a+b 2 − c 3+d 6 √ √ = a2 + 2b2 + 2ab 2 − 3c2 − 6d2 − 6cd 2, 133 8.7. Normas y trazas √ y la norma de este número en la extensión Q 2 /Q es  √  a2 + 2b2 − 3c2 − 6d2 + (2ab − 6cd) 2 N(α) =  √  · a2 + 2b2 − 3c2 − 6d2 − (2ab − 6cd) 2  2 2 = a2 + 2b2 − 3c2 − 6d2 − 2 (2ab − 6cd) . √ √ √ Ejercicio: Calcular la traza de las extensiones Q( 2, 3 )/Q y Q( 3 2 )/Q. Ejemplo Consideramos ahora la extensión ciclotómica p-ésima Q(ω)/Q para un primo impar p. Su grado es p − 1, luego tiene p − 1 automorfismos, determinados por la imagen que toman sobre el elemento primitivo ω, que ha de ser uno de sus conjugados ω i para i = 1, . . . , p − 1. Evaluando en 0 el polinomio xp−1 + · · · + x + 1 = (x − ω)(x − ω 2 ) · · · (x − ω p−1 ), obtenemos N(ω) = 1. Como la norma conserva productos se cumple N(ω i ) = 1 para todo i. Evaluando en 1 el mismo polinomio queda 2 p−1 ) = 1p−1 + · · · + 1 + 1 = p. N(1 − ω) = (1 − ω)(1 − ω ) · · · (1 − ω Si p ∤ i, entonces Tr(ω i ) es la suma de los p − 1 conjugados de ω i , es decir, Tr(ω i ) = ω + ω 2 + · · · + ω p−1 = −1. Si a ∈ Q entonces Tr(a) = a + a + · · · + a = (p − 1)a. En resumen,  −1 si p ∤ i i Tr(ω ) = p−1 si p | i Una ventaja de la traza frente a la norma es que es mucho más fácil de p−1 calcular. En efecto, si i=0 ai ω i es un elemento cualquiera de Q(ω), entonces Tr p−1  i=0 ai ω i  = p−1  i=0 = i ai Tr(ω ) = a0 Tr(1) − (p − 1)a0 − p−1  i=1 p−1  ai = pa0 − ai i=1 p−1  i=0 ai . Capı́tulo IX Grupos A lo largo de los temas anteriores nos hemos encontrado con una extensa gama de operaciones entre objetos diversos: las operaciones de un anillo, las de un módulo, el producto y la exponenciación por enteros en un anillo, la composición de aplicaciones, etc. Sucede que la mayorı́a de estas operaciones presentan propiedades comunes pese a su naturaleza tan diferente, lo cual se puede poner de manifiesto introduciendo una nueva estructura algebraica, la más simple de todas, que nos proporcione una visión unitaria de las caracterı́sticas compartidas por todas las operaciones que verifiquen unas propiedades mı́nimas. Ésta es la estructura de grupo. Vamos a introducirla y a tratar de convencernos de la conveniencia de pensar, siempre que sea posible, en términos de teorı́a de grupos. 9.1 Definición y propiedades básicas Definición 9.1 Un grupo es un par (G, ·), donde G es un conjunto y · es una ley de composición interna en G que cumple las propiedades siguientes: a) (ab)c = a(bc) para todos los elementos a, b, c ∈ G. b) Existe un elemento 1 ∈ G tal que a · 1 = 1 · a = a para todo a ∈ G. c) Para cada elemento a ∈ G existe otro a−1 ∈ G tal que aa−1 = a−1 a = 1. Como siempre, el elemento 1 cuya existencia afirma b) es único y se llama elemento neutro de G. También el elemento a−1 es único para cada a ∈ G y se llama elemento inverso de a. Un grupo (G, ·) es abeliano si cumple la propiedad adicional de que ab = ba para todo par de elementos a, b ∈ G. Siguiendo nuestra costumbre, omitiremos toda mención expresa a la ley interna de un grupo cuando ello no lleve a confusión. Ası́, cuando hablemos de un grupo G se entenderá que lo es con cierta ley interna que representaremos con el signo ·. En realidad con los grupos usaremos dos notaciones distintas según convenga. La notación multiplicativa es la notación según la cual la operación interna de 135 136 Capı́tulo 9. Grupos un grupo se representa mediante el signo ·, el elemento neutro se representa por 1 y el inverso de un elemento a se representa por a−1 . Con grupos abelianos usaremos también la llamada notación aditiva, según la cual la operación de un grupo se representa por el signo +, el elemento neutro se representa por 0 y el elemento inverso de un elemento a se representa por −a. Hasta el momento nos hemos encontrado con muchos ejemplos de grupos. El objetivo de este capı́tulo es dar una base teórica para poder trabajar simultáneamente con todos ellos y comprender su estructura. Recopilemos ahora algunos de esos ejemplos: 1. Si (A, +, ·) es un anillo, entonces (A, +) es un grupo abeliano, al que llamaremos el grupo aditivo de A. El conjunto de las unidades de A es un grupo con el producto de A (abeliano también si A es conmutativo). 2. En particular, si K es un cuerpo, K \ {0} es un grupo con el producto de K, lo llamaremos grupo multiplicativo de K. Lo representaremos por K ∗ . 3. Otros casos particulares de interés son los grupos Z/nZ con la suma usual y los grupos Un de las unidades de Z/nZ con el producto. 4. Si A es un anillo, el conjunto Aut A de todos los automorfismos de A es un grupo, donde la operación es la composición de aplicaciones. 5. Si K/k es una extensión de cuerpos, entonces el conjunto G(K/k) de todos los k-automorfismos de K es un grupo, llamado grupo de Galois de la extensión. Una extensión se dice abeliana si es de Galois y su grupo de Galois es abeliano. 6. Todo módulo es un grupo abeliano con la suma. Más aún, como veremos enseguida, los grupos abelianos están en correspondencia biunı́voca con los Z-módulos. Nuestro interés por los grupos proviene en gran medida de los grupos de Galois, por lo que nos van a interesar especialmente los grupos finitos. Es costumbre llamar orden de un grupo G al número de sus elementos, y se representa por |G|. Si G es un grupo y n un número entero, podemos definir el elemento g n exactamente igual como hicimos en el capı́tulo I cuando g era una unidad en un anillo. Se cumplen las mismas propiedades. Si usamos la notación aditiva, en lugar de g n escribiremos ng, y se cumplen las mismas propiedades que para la operación correspondiente en anillos y módulos. De este modo, si G es un grupo abeliano, la operación externa entre números enteros y elementos de G que acabamos de definir convierte a G en un Z-módulo cuya suma es la operación interna de G. De este modo, tal y como avanzábamos, todo Z-módulo es un grupo abeliano y cada grupo abeliano se puede convertir en un Z-módulo de forma natural. Ahora vamos a definir para los grupos los conceptos análogos a los que ya tenemos definidos para anillos y módulos: subgrupos, generadores, homomorfismos, cocientes, etc. 9.1. Definición y propiedades básicas 137 Comenzamos por el concepto de homomorfismo de grupos: Definición 9.2 Una aplicación f : G −→ H entre dos grupos G y H es un homomorfismo de grupos si cumple f (uv) = f (u)f (v) para todos los elementos u, v de G. La aplicación f es un monomorfismo, epimorfismo o isomorfismo si además es inyectiva, suprayectiva o biyectiva, respectivamente. Un isomorfismo de un grupo G en sı́ mismo es un automorfismo de G. Llamaremos Aut G al conjunto de los automorfismos de un grupo G. En general la composición de homomorfismos de grupos vuelve a ser un homomorfismo de grupos. La composición de isomorfismos es un isomorfismo, la aplicación inversa de un isomorfismo es un isomorfismo y por lo tanto, si G es un grupo, el conjunto Aut G resulta ser un grupo con la composición de aplicaciones como operación interna. Diremos que dos grupos G y H son isomorfos cuando existe un isomorfismo entre ellos, y lo representaremos G ∼ = H. En tal caso G y H tienen las mismas propiedades, son a todos los efectos el mismo grupo. Notar que en un grupo G, el elemento neutro 1 es el único elemento g ∈ G que cumple gg = g. Como consecuencia si f : G −→ H es un homomorfismo de grupos, f (1) = 1. Además, como f g f g −1 = f (1) = 1, también  −1 se cumple −1 f g = f (g) . Definición 9.3 Un grupo H es un subgrupo de un grupo G si H ⊂ G y el producto de dos elementos de H es el mismo en H que en G. Lo representaremos H ≤ G. Notar que si H ≤ G, entonces el elemento neutro de H es el mismo que el de G, pues es el único elemento g ∈ G que cumple gg = g. Igualmente el inverso de un elemento h ∈ H es su inverso en G, pues es el único elemento g ∈ G tal que gh = 1. Equivalentemente, diremos que un subconjunto H de un grupo G es un subgrupo de G si es un grupo con la operación de G. Esto supone que al operar dos elementos de H hemos de obtener un elemento de H, que el elemento neutro de G está en H y que el inverso de todo elemento de H está en H. Estas condiciones son también suficientes, aunque en realidad pueden resumirse en una sola: Teorema 9.4 Sea G un grupo y H un subconjunto no vacı́o de G. Entonces H es un subgrupo de G si y sólo si para todos los elementos g, h ∈ H se cumple gh−1 ∈ H. Demostración: Obviamente un subgrupo ha de cumplir esta condición. Si un subconjunto H de G cumple esto, por ser no vacı́o existe un cierto h ∈ H, luego 1 = hh−1 ∈ H, para todo h ∈ H se cumple h−1 = 1 · h−1 ∈ H y para todos los g, h ∈ H se cumple que g, h−1 ∈ H, luego gh = g(h−1 )−1 ∈ H. Esto prueba que H ≤ G. 138 Capı́tulo 9. Grupos Todo grupo G tiene al menos dos subgrupos, el propio G y el subgrupo 1 = {1}, llamado subgrupo trivial. Los subgrupos 1 y G se llaman subgrupos impropios. Es fácil probar que si f : G −→ H es un homomorfismo de grupos, entonces el núcleo de f , dado por N(f ) = {g ∈ G | f (g) = 1} y la imagen de f , dada por Im f = f [G], son subgrupos de G y H respectivamente. Al igual que vimos en el capı́tulo V para anillos y en el capı́tulo VII para módulos, un homomorfismo de grupos es inyectivo si y sólo si su núcleo es el subgrupo trivial. A la hora de definir los grupos cociente nos encontramos con una dificultad, y es que en grupos no abelianos podemos definir la relación de congruencia de dos formas distintas. Por ello la definición de los grupos cociente requiere algunos conceptos adicionales que veremos después. De momento nos limitaremos a definir las congruencias y probaremos algunos resultados elementales en torno a ellas, necesarios en el estudio de los subgrupos en general. Definición 9.5 Sea G un grupo y H ≤ G. Diremos que dos elementos u y v de G son congruentes por la izquierda módulo H (y lo representaremos u ≡i v (mód H)) si cumplen u−1 v ∈ H. Diremos que u y v son congruentes por la derecha módulo H si cumplen uv −1 ∈ H. Lo representaremos u ≡d v (mód H). Es muy fácil comprobar que ambas relaciones son de equivalencia y que la clase de equivalencia de un elemento a ∈ G para la congruencia por la izquierda es el conjunto aH = {ah | h ∈ H}, mientras que la clase de equivalencia de a para la congruencia por la derecha es Ha = {ha | h ∈ H}. Llamaremos (G/H)i y (G/H)d a los conjuntos cociente para las relaciones de congruencia módulo H por la izquierda y por la derecha, respectivamente. En general se cumple que todas las clases de equivalencia tienen tantos elementos como H, pues la aplicación que a cada h ∈ H le asigna el elemento ah ∈ aH biyecta H con aH (e igualmente por la derecha). Ası́ pues, todas las clases de equivalencia de un grupo G respecto a un subgrupo H tienen cardinal igual a |H|, luego, si G es finito, los dos conjuntos cociente (G/H)i y (G/H)d tienen cardinal igual a |G|/|H|. A este cardinal lo llamaremos ı́ndice del subgrupo H en el grupo G, y lo representaremos por |G : H|. Tenemos demostrado el teorema siguiente: Teorema 9.6 (Teorema de Lagrange) Sea G un grupo finito y H ≤ G. Entonces |G| = |G : H| · |H|. En particular el orden de todo subgrupo de G es un divisor del orden de G. Este resultado, pese a su simplicidad, es de importancia capital en el estudio de los grupos finitos. El lector puede demostrar que en realidad se cumple también para grupos infinitos, aunque aquı́ no lo necesitaremos. 139 9.2. Grupos de permutaciones 9.2 Grupos de permutaciones Antes de seguir introduciendo nuevos conceptos sobre grupos, vamos a estudiar con detalle una familia concreta de grupos finitos que nos permitirá poner ejemplos claros de cuanto veremos después. Definición 9.7 Si A es un conjunto cualquiera, llamaremos ΣA al conjunto de todas las aplicaciones biyectivas de f : A −→ A. Es inmediato que ΣA es un grupo con la operación dada por la composición de aplicaciones. Se le llama grupo simétrico del conjunto A. A los elementos de ΣA se les llama también permutaciones de A. Es inmediato que si dos conjuntos A y B tienen el mismo cardinal, entonces los grupos simétricos ΣA y ΣB son isomorfos. Basta tomar una aplicación biyectiva f : A −→ B y asignar a cada permutación g ∈ ΣA la permutación f −1 ◦ g ◦ f . En otras palabras, da igual hablar de las permutaciones del conjunto {a, b, c} que del conjunto {1, 2, 3}. El isomorfismo entre ambos grupos se obtiene cambiando el nombre a los elementos. Por ejemplo, la permutación que envı́a el 1 al 2, el 2 al 3 y el 3 al 1 se corresponde con la que envı́a a a b, b a c y c a a. Por lo tanto, a efectos prácticos, y puesto que sólo nos va a interesar el caso en el que el conjunto A es finito, podemos limitarnos a estudiar los grupos simétricos sobre los conjuntos {1, . . . , n}, donde n es un número natural. Al grupo simétrico sobre este conjunto lo representaremos por Σn , el grupo de las permutaciones de n elementos. Una forma elemental de representar una permutación de n elementos f es  mediante la n-tupla f (1), . . . , f (n) . Ası́ por ejemplo, (3, 2, 5, 1, 4) es uno de los elementos del grupo Σ5 , concretamente es la permutación que envı́a el 1 al 3, el 2 al 2, el 3 al 5, etc. De este modo, a cada permutación de Σn le corresponde una n-tupla con sus componentes distintas dos a dos, y cada una de estas n-tuplas representa a una permutación distinta. Ahora bien, una simple inducción demuestra que hay exactamente n! formas distintas de disponer n objetos en una n-tupla sin repeticiones, luego podemos concluir que |Σn | = n!. Consideremos la siguiente permutación de Σ8 : (3, 7, 4, 1, 8, 6, 2, 5). Para ver más claramente su comportamiento podemos representarla mediante un diagrama de flechas ası́: 1 4 7 8 6 3 2 5 140 Capı́tulo 9. Grupos Observamos que al actuar la permutación el 1 pasa al 3, si vuelve a actuar, el 3 pasa al 4 y de aquı́ vuelve al 1. En definitiva, mediante sucesivas aplicaciones de la permutación, el 1 puede ir a parar al 1, al 3 o al 4, pero nunca al 2 o al 6. En general, diremos que dos elementos a y b de A = {1, . . . , n} están relacionados por una permutación σ ∈ Σn si existe un número entero m tal que σ m (a) = b. Es inmediato que esta relación es de equivalencia, con lo que σ divide al conjunto A en clases de equivalencia llamadas órbitas, que en nuestro ejemplo son {1, 3, 4}, {2, 7}, {5, 8} y {6}. Sea σ una permutación de Σn . Sea a un número entre 1 y n. Los elementos a, σ(a), σ 2 (a), σ 3 (a), . . . están todos en la órbita de a. Como es finita, existen dos números naturales distintos tales que σ i (a) = σ j (a). Si por ejemplo i < j, entonces σ j−i (a) = a, o sea, existe un número natural r no nulo tal que σ r (a) = a. Sea r el menor posible. Entonces los elementos a, σ(a), σ 2 (a), . . . , σ r−1 (a) son todos distintos, pues si dos de ellos coincidieran, la diferencia de sus exponentes nos darı́a un número natural s < r para el que σ s (a) = a. Al seguir aplicando exponentes mayores vuelven a aparecernos los mismos elementos, σ r (a) = a, σ r+1 (a) = σ(a), etc. Por otra parte, como σ r (a) = a, también σ −1 (a) = σ r−1 (a), σ −2 (a) = σ r−2 (a), etc, luego los exponentes negativos no introducen nuevos elementos. Esto quiere decir que en a,  realidad toda la órbita de  o sea, el conjunto {σ u (a) | u ∈ Z}, es exactamente a, σ(a), σ 2 (a), . . . , σ r−1 (a) . Hemos demostrado que  la órbita de un elementoa respecto a una permutación σ es de la forma a, σ(a), σ 2 (a), . . . , σ m−1 (a) , y σ m (a) = a. Gráficamente, esto significa que los esquemas de flechas como el anterior dan lugar a ‘cı́rculos’ de flechas a → σ(a) → σ 2 (a) →. . . → σ m−1 (a) → a Las órbitas con un solo elemento se llaman triviales. En el ejemplo anterior hay una única órbita trivial, que es {6}. Una permutación es un ciclo si forma una única órbita no trivial. Un ejemplo de ciclo en Σ8 es la permutación (3, 2, 4, 1, 5, 6, 7, 8). Si el lector representa su esquema de flechas observará que se forman las órbitas {1, 3, 4}, {2}, {5}, {6}, {7} y {8}. Cuando hablemos de la órbita de un ciclo, se entenderá que nos referimos a su órbita no trivial. Llamaremos longitud de un ciclo al cardinal de su órbita. El ciclo de nuestro ejemplo tiene longitud 3. otra  Resulta2 cómodo usar  notación para los ciclos. Al ciclo cuya órbita es a, σ(a), σ (a), . . . , σ m−1 (a) lo representaremos mediante la m-tupla  a, σ(a), σ 2 (a), . . . , σ m−1 (a) . Por ejemplo, el ciclo que hemos mostrado antes no es sino (1, 3, 4) = (3, 4, 1) = (4, 1, 3). 141 9.2. Grupos de permutaciones La permutación (3, 7, 4, 1, 8, 6, 2, 5) que hemos analizado no es un ciclo, pero puede expresarse como producto de ciclos: (1, 3, 4)(2, 7)(5, 8). Esto no es casual. Diremos que dos ciclos son disjuntos si sus órbitas no tienen elementos en común. Toda permutación distinta de la identidad se expresa como producto de ciclos disjuntos. Veamos con un ejemplo que existe un método que a partir de cualquier permutación distinta de la identidad nos permite encontrar una expresión como producto de ciclos disjuntos. Partamos de la permutación σ = (3, 2, 10, 1, 11, 6, 9, 7, 8, 4, 5) ∈ Σ11 Esta permutación envı́a el 1 al 3, el 3 al 10, el 10 al 4 y el 4 al 1 de nuevo. Consideremos el ciclo (1, 3, 10, 4). Este ciclo se comporta igual que σ sobre los números 1, 3, 4 y 10. El menor número que no está aquı́ es el 2, pero σ(2) = 2, luego en realidad el ciclo (1, 3, 10, 4) coincide con σ también sobre el 2. El siguiente número es el 5. Ahora σ envı́a el 5 al 11 y el 11 al 5, luego el ciclo (5, 11) coincide con σ sobre el 5 y el 11. Más aún, el producto (1, 3, 10, 4)(5, 11) coincide con σ sobre los números 1, 2, 3, 4, 5, 10 y 11 y deja invariantes a los restantes. El siguiente número es el 6, pero también σ(6) = 6, luego no hay nada que hacer con él. Tomamos el 7. σ(7) = 9, σ(9) = 8 y σ(8) = 7, luego el ciclo (7, 9, 8) coincide con σ sobre 7, 8, 9, y el producto de ciclos disjuntos (1, 3, 10, 4)(5, 11)(7, 9, 8) es igual a σ. Notar que este proceso siempre da ciclos disjuntos porque la órbita de cada ciclo es una de las órbitas de σ y dos cualesquiera de ellas son disjuntas. La razón por la que al final obtenemos σ es que en un producto de ciclos disjuntos, la imagen de un número sólo depende del ciclo en cuya órbita se encuentre, ya que los anteriores lo fijan y los posteriores fijan también a su imagen (que está en la misma órbita). Ası́ pues, para saber la imagen del 4 por (1, 3, 10, 4)(5, 11)(7, 9, 8) basta fijarse en el ciclo en el que aparece el 4, que es (1, 3, 10, 4) y observar que su imagen por él es 1. Como el 2 no aparece en ningún ciclo, su imagen es 2. Observar que para calcular la imagen de un elemento por un producto de ciclos disjuntos no importa el orden en el que aparecen los ciclos. Esto significa que los ciclos disjuntos conmutan entre sı́ (su producto no depende del orden en que se multipliquen). Otro hecho importante es que toda permutación distinta de la identidad se expresa de forma única como producto de ciclos disjuntos. Como es más fácil entenderlo que explicarlo, dejamos que el lector se convenza por sı́ mismo. Ahora estamos en condiciones de representarnos   claramente los grupos de permutaciones. Obviamente Σ1 = 1, Σ2 = 1, (1, 2) . Los elementos no triviales de Σ3 pueden ser ciclos de longitud 2 o ciclos de longitud 3. En total tenemos las posibilidades siguientes:   Σ3 = 1, (1, 2, 3), (3, 2, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 3) . Ejercicio: Considerar G = Σ3 y H = (G/H)d y comprobar que son distintos.   1, (1, 2) . Calcular los cocientes (G/H)i y 142 Capı́tulo 9. Grupos En Σ4 tenemos los siguientes tipos de permutaciones: 1, (◦, ◦, ◦, ◦), (◦, ◦, ◦), (◦, ◦), (◦, ◦)(◦, ◦) Para construir un ciclo de longitud 4 podemos comenzar con cualquiera de los 4 números. Una vez fijado el primero, tenemos 3 opciones para el siguiente (pues no se pueden repetir), 2 más para el siguiente y una sola para el último. En total hay 4 · 3 · 2 · 1 formas de construir un ciclo de longitud 4. Sin embargo cada ciclo puede representarse de 4 formas diferentes: (1, 2, 3, 4) = (4, 1, 2, 3) = (3, 4, 1, 2) = (2, 3, 4, 1), luego en realidad hay 3 · 2 · 1 = 6 ciclos de longitud 4 en Σ4 . Del mismo modo hay 4 · 3 · 2/3 = 8 ciclos de longitud 3 y 4 · 3/2 = 6 ciclos de longitud 2. Como los elementos de tipo (◦, ◦)(◦, ◦) pueden representarse de 8 formas distintas: (1, 2)(3, 4) = (2, 1)(3, 4) = (4, 3)(2, 1), . . . hay un total de 4 · 3 · 2 · 1/8 = 3 permutaciones de este tipo. Añadiendo la identidad tenemos 1 + 6 + 8 + 6 + 3 = 24 = 4! elementos en Σ4 . Ejercicio: Calcular explı́citamente las 24 permutaciones de Σ4 . Ejercicio: Determinar los tipos de permutaciones de Σ5 ası́ como cuántas permutaciones hay de cada tipo. Es fácil operar con permutaciones expresadas como productos de ciclos. Por ejemplo, en Σ4 podemos considerar el producto de (1, 2)(3, 4) por (1, 3, 2, 4). Para calcularlo observamos que, cuando (1, 2)(3, 4)(1, 3, 2, 4) actúa sobre el 1, el primer ciclo lo envı́a al 2, el segundo deja invariante al 2 y el tercero lo envı́a al 4, luego la permutación total empieza ası́: (1, 4, . . . ). Ahora el primer ciclo deja fijo al 4, el segundo lo envı́a al 3 y el tercero envı́a el 3 al 2, luego tenemos (1, 4, 2, . . . ). Igualmente vemos que el 2 va a parar al 3 y por tanto ha de ser (1, 4, 2, 3, . . . ), pero como la longitud de un ciclo no puede ser mayor que 4, seguro que el 3 va a parar al 1 y ası́ (1, 2)(3, 4)(1, 3, 2, 4) = (1, 4, 2, 3). Con un poco de práctica el lector operará rápidamente con permutaciones. Ejercicio: Probar que Σn no es abeliano, para n ≥ 3. Por otra parte, el inverso de un ciclo es muy fácil de hallar. Teniendo en cuenta que se trata de la aplicación inversa es inmediato que (a, b, c, d)−1 = (d, c, b, a), es decir, el inverso de un ciclo se obtiene escribiéndolo del revés. Ası́ mientras (a, b, c, d) lleva a a b, el ciclo (d, c, b, a) lleva b a a, etc. El inverso de una permutación cualquiera se calcula fácilmente a partir del siguiente hecho general sobre grupos: (gh)−1 = h−1 g −1 o, más en general todavı́a: (g1 · · · gn )−1 = gn−1 · · · g1−1 .  −1 Por ejemplo, (1, 5, 2)(3, 6, 4)(7, 8) = (8, 7)(4, 6, 3)(2, 5, 1). Los grupos de permutaciones nos interesan, entre otros motivos, porque nos dan una representación fácil de manejar de los grupos de automorfismos de las 143 9.2. Grupos de permutaciones extensiones de Galois. En efecto, sea K/k una extensión finita de Galois, sea p(x) ∈ k[x] un polinomio del que K sea cuerpo de escisión y sea A el conjunto de las raı́ces de p(x) en K. Entonces K = k(A) y la aplicación f : G(K/k) −→ ΣA dada por f (σ) = σ|A es un monomorfismo de grupos. En efecto, sabemos que cualquier k-automorfismo σ envı́a raı́ces de p(x) a raı́ces de p(x), luego σ|A es una aplicación inyectiva (luego biyectiva, puesto que A es finito) de A en A. Por lo tanto f está bien definida y es obviamente un homomorfismo. Del hecho de que K = k(A) se sigue que si dos k-automorfismos coinciden sobre A entonces son iguales, luego f es inyectiva. Ası́ pues, en general, el grupo de Galois G(K/k) de una extensión finita de Galois es isomorfo a un subgrupo del grupo de las permutaciones de las raı́ces de cualquier polinomio del cual la extensión sea cuerpo de escisión. Ejemplo En el capı́tulo anterior estudiamos el cuerpo de escisión sobre Q del polinomio x3 − 2, que es de la forma Q(α, β), donde α, β, γ son las tres raı́ces del polinomio. Vimos que la extensión tiene seis automorfismos, que se corresponden con las seis permutaciones de las raı́ces, es decir, son 1, (α, β, γ), (γ, β, α), (α, β), (α, γ), (β, γ) En general la representación de un grupo de Galois como grupo de permutaciones no tiene por qué ser suprayectiva, es decir, puede haber permutaciones de raı́ces que no se correspondan con ningún automorfismo. Ejemplo Consideremos el polinomio x4 + x3 + x2 + x + 1. Su cuerpo de escisión sobre Q es el cuerpo ciclotómico Q(ω) de grado 4. El grupo de Galois G(Q(ω)/Q) puede identificarse con un subgrupo del grupo de las permutaciones de las cuatro raı́ces ω, ω 2 , ω 3 , ω 4 . Como cada automorfismo está determinado por su acción sobre ω, concluimos que sólo hay 4 automorfismos. Concretamente son 1, (ω, ω 2 , ω 3 , ω 4 ), (ω, ω 3 , ω 4 , ω 2 ), (ω, ω 4 )(ω 2 , ω 3 ). Por ejemplo, el automorfismo que cumple σ(ω) = ω 3 ha de cumplir también σ(ω 3 ) = σ(ω 4 ) = σ(ω 2 ) =    ω3 3 = ω9 = ω4 , ω3 4 = ω 12 = ω 2 , ω3 2 = ω 6 = ω. Por lo tanto es (ω, ω 3 , ω 4 , ω 2 ). Ası́ pues, no existe ningún automorfismo de esta extensión que permute las raı́ces en la forma (ω, ω 2 , ω 3 ), por ejemplo. √ √ Ejercicio: Representar el grupo de Galois G(Q 2, 3 /Q) como grupo de permu √  √ taciones de ± 2, ± 3 . 144 Capı́tulo 9. Grupos 9.3 Generadores, grupos cı́clicos Notemos que la intersección de una familia de subgrupos de un grupo es de nuevo un subgrupo, luego podemos dar una definición análoga a la vista para submódulos e ideales: Definición 9.8 Sea G un grupo y X ⊂ G. Llamaremos subgrupo generado por X a la intersección de todos los subgrupos de G que contienen a X. Lo representaremos mediante X. Si G = X diremos que el conjunto X es un generador de G. Un grupo que admite un generador con un solo elemento es un grupo cı́clico. Una extensión de cuerpos es cı́clica si es de Galois y su grupo de Galois es cı́clico. Es fácil encontrar una expresión para los elementos de un grupo en función de un conjunto de generadores. Teorema 9.9 Sea G un grupo, X un subconjunto de G, X −1 = {x−1 | x ∈ X} y g un elemento de G. Entonces: 1. X = {x1 · · · xn | x1 , . . . , xn ∈ X ∪ X −1 }. 2. Si G es finito X = {x1 · · · xn | x1 , . . . , xn ∈ X}. 3. g = {g n | n ∈ Z}.   4. Si g = m, entonces g = {1, g, . . . , g m−1 } y g n = 1 si y sólo si m | n. Demostración: 1) Llamemos H = {x1 · · · xn | x1 , . . . , xn ∈ X ∪ X −1 }. Tenemos que X es un grupo que contiene a los elementos de X, luego también a sus inversos y a los productos que pueden formarse entre ellos. Por lo tanto H ⊂ X. Es fácil ver que H es un subgrupo de G y obviamente contiene a X, luego X ⊂ H. 2) Basta ver que si G es finito y x ∈ G, entonces x−1 = xm para cierto número natural m. Ası́ un elemento de X −1 puede ser sustituido por varios factores (iguales) de X. Esto es cierto porque las potencias x, x2 , x3 , . . . no pueden ser todas distintas (ya que sólo pueden tomar un número finito de valores), por lo que existen dos números naturales m < n tales que xm = xn . Entonces xn−m = 1 con n − m > 0, luego x−1 = xn−m−1 , con n − m − 1 ≥ 0. 3) Es consecuencia inmediata de 1). 4) En la prueba de 2) hemos visto que existe un número natural n = 0 tal que g n = 1. Tomemos el menor n que cumple esto. Entonces los elementos 1, g, g 2 , . . . g n−1 son todos distintos, pues si dos de ellos coincidieran, g i = g j con i < j, entonces tendrı́amos g j−i = 1 con 0 < j − i < n, en contra de la elección de n. A partir de n las potencias de g se repiten, pues g n = 1, g n+1 = g, g n+2 = g 2 , etc. En particular g r = 1 si y sólo si n | r. 9.3. Generadores, grupos cı́clicos 145 Ası́ pues, g = {1, g, g 2 , . . . , g n−1 }, por lo que n es el orden de g, o sea, n = m. El teorema anterior nos proporciona mucha información sobre los grupos cı́clicos. Un hecho obvio es que todo grupo cı́clico es abeliano, pues dos elementos de un grupo cı́clico son de la forma g i y g j , para ciertos números enteros i y j, luego su producto en cualquier orden es g i+j = g j+i . Ahora conviene probar lo siguiente: Teorema 9.10 Todo subgrupo de un grupo cı́clico es cı́clico. Demostración: Sea G = g un grupo cı́clico. Entonces la aplicación f : Z −→ G dada por f (n) = g n es un epimorfismo de grupos. Si H ≤ G, es fácil ver que f −1 [H] ≤ Z (esto es cierto para cualquier homomorfismo), pero los subgrupos de Z coinciden con los ideales, es decir, existe un m ∈ Z tal que f −1 [H] = mZ, luego H = {g mn | n ∈ Z} = g m . En vista de esto resulta que las afirmaciones sobre los subgrupos de un grupo cı́clico pueden reformularse en términos de sus elementos (y los subgrupos que generan). En esta lı́nea conviene dar la definición siguiente:   Definición 9.11 Sea G un grupo y g ∈ G. Se llama orden de g a o(g) = g. Si G es un grupo finito, entonces o(g) es un número natural no nulo y o(g)  |G|. Un grupo de orden n es cı́clico si y sólo si tiene un elemento de orden n. Por el teorema 9.9, g m = 1 si y sólo si o(g) | m. Ejercicio: Probar que todo grupo de orden primo es cı́clico. Ejercicio: Calcular todos los subgrupos de Σ3 . Notar que el concepto de orden de una unidad en el sentido de 5.12 es un caso particular de esta definición, pues el conjunto de las unidades de un dominio es un grupo. La prueba del teorema 5.13 es válida en realidad en el siguiente contexto general: Teorema 9.12 Todo subgrupo finito del grupo multiplicativo de un dominio ı́ntegro es cı́clico. El resto del teorema 5.13, es decir, la existencia de elementos de todos los órdenes posibles, es válida para grupos cı́clicos en general: Teorema 9.13 Sea G = g un grupo cı́clico de orden n. ! ! 1. Si m es un número entero, g m = g d , donde d = (m, n). 2. Si m | n, entonces o(g m ) = n/m. 3. En general o(g m ) = n/(m, n). 146 Capı́tulo 9. Grupos 4. Para cada divisor m de n, G tiene un único subgrupo de orden m. 5. Si m | n, entonces G tiene exactamente φ(m) elementos de orden m, donde φ es la función de Euler (5.9). !  r Demostraci ón: 1) Sea m = rd. Entonces g m = g d ∈ g d , luego ! g m  ⊂ g d . Por la relación de Bezout, existen enteros a y b tales que d = !am + bn. a d a a Ası́, g d = (g m ) · (g n ) = (g m ) · 1 = (g m ) ∈ g m , luego g d ⊂ g m . 2) La prueba está dada en 5.13. 3) es consecuencia de 1) y 2). 4) De 2) se deduce que si m | n, entonces G tiene de orden m. ! un subgrupo ′! Si G tiene dos subgrupos de orden m, digamos g r y g r , entonces o(g r ) = ! ! ′ ′! o(g r ) = m, luego por 3) (r, n) = (r′ , n) = d, y por 1) g r = g d = g r . 5) Sea H el único subgrupo de G de orden m. Entonces H contiene a todos los elementos de G de orden m. Aplicando a H el apartado 3) tenemos que H tiene tantos elementos de orden m como números r ≤ m cumplen (r, m) = 1, es decir, hay φ(m). Veamos algunos resultados sobre órdenes y generadores en grupos simétricos. Teorema 9.14 Sea n un número natural no nulo. 1. El orden de un ciclo de Σn coincide con su longitud. 2. El orden de un producto de ciclos disjuntos es el mı́nimo común múltiplo de las longitudes de dichos ciclos. 3. El grupo Σn está generado por los ciclos de longitud 2. Más aún, está generado por los n − 1 ciclos (1, 2), (2, 3), . . . , (n − 1, n). Los ciclos de longitud 2 se llaman trasposiciones. Demostración: 1) Sea un ciclo σ = (a1 , . . . , am ). Es fácil ver entonces que para 1 ≤ i < m se cumple que σ i (a1 ) = ai+1 , luego σ i = 1. Sin embargo σ m (a1 ) = a1 y en realidad el mismo argumento vale para cualquier ai , luego σ m = 1, y en consecuencia, o(σ) = m. 2) Sea σ = σ1 · · · σr , donde las permutaciones σi son ciclos disjuntos. Sea mi el orden de σi y sea m el mı́nimo común múltiplo de los mi . Como los ciclos disjuntos conmutan, se cumple que σ m = σ1m · · · σrm = 1, luego o(σ) | m. Supongamos ahora que σ s = 1, luego como antes, σ1s · · · σrs = 1. Vamos a probar que σ1s = 1 y ası́ m1 = o(σ1 ) | s. Como las permutaciones conmutan, en realidad el argumento valdrá para todas ellas y ası́ cada mi | s, y por tanto m | s, lo que probará que o(σ) = m. Sea p un número en la órbita de σ1 . Como los ciclos son disjuntos, cada σj con j = 1 deja fijo a p, luego lo mismo hacen sus potencias y p = σ s (p) = (σ1s · · · σrs )(p) = σ1s (p). 9.4. Conjugación y subgrupos normales 147 Por otro lado, si p no está en la órbita de σ1 , entonces σ1 (p) = p y también se cumple σ s (p) = p. Esto prueba que σ s = 1. 3) Se trata de probar que toda permutación puede expresarse como producto de trasposiciones. Como toda permutación es producto de ciclos, basta probar que todo ciclo se expresa como producto trasposiciones. Pero eso es fácil: (a1 , . . . , am ) = (a1 , a2 )(a1 , a3 ) · · · (a1 , am ). La última afirmación del teorema anterior puede interpretarse como que podemos cambiar el orden de n elementos hasta dejarlos en cualquier disposición deseada mediante sucesivos intercambios de dos elementos cada vez. 9.4 Conjugación y subgrupos normales Hemos visto que en general las relaciones de congruencia por la izquierda y por la derecha respecto a un subgrupo no tienen por qué coincidir, y sucede que sólo cuando coinciden puede definirse consistentemente una estructura de grupo en el conjunto cociente. Estudiemos, pues, en qué casos coinciden. Para ello nos será de utilidad el concepto de automorfismo interno de un grupo. Definición 9.15 Sea G un grupo y g, h ∈ G. Definimos el conjugado de h por g como el elemento hg = g −1 hg ∈ G. Definimos la función αg : G −→ G dada por αg (h) = hg . Es fácil comprobar que αg es un automorfismo de G. Más aún, la aplicación α : G −→ Aut G dada por α(g) = αg es un homomorfismo de grupos. A la imagen de este homomorfismo, es decir, al subgrupo Int G = {αg | g ∈ G} se le llama grupo de los automorfismos internos de G. Es evidente que hg = h si y sólo si gh = hg, luego Int G = 1 si y sólo si G es abeliano. Si A ⊂ G, escribiremos Ag = αg [A] = {ag | a ∈ A}. Teorema 9.16 Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Las siguientes condiciones son equivalentes: 1. La relación de congruencia módulo H por la izquierda coincide con la relación de congruencia módulo H por la derecha. 2. gH = Hg para todo elemento g ∈ G. 3. (G/H)i = (G/H)d (y entonces escribiremos simplemente G/H). 4. H g = H para todo elemento g ∈ G. 5. H g ⊂ H para todo elemento g ∈ G. 148 Capı́tulo 9. Grupos Demostración: Teniendo en cuenta que gH y Hg son las clases de equivalencia de g por la izquierda y por la derecha módulo H, es claro que 1), 2) y 3) son equivalentes. También es fácil probar que gH = Hg equivale a que H = g −1 Hg = H g . −1 Sólo falta probar que 5) implica 4), pero esto es consecuencia de que H g ⊂ H g g implica que H ⊂ H , luego de hecho H = H . Definición 9.17 Notar que en general, si H ≤ G y g ∈ G, el conjunto H g es la imagen de H por un automorfismo de G, luego H g ≤ G. Los subgrupos de la forma H g se llaman conjugados de H. Dos elementos g, h ∈ G son conjugados si existe un x ∈ G tal que g = hx . Es fácil probar que la conjugación es una relación de equivalencia en G. A la clase de equivalencia de un elemento g ∈ G para la relación de conjugación se la llama clase de conjugación de g y se representa por cl(g). Diremos que N es un subgrupo normal de un grupo G si cumple las condiciones del teorema anterior. Lo representaremos mediante N
G. Es inmediato que todo subgrupo de un grupo abeliano es normal. También es fácil ver que todo subgrupo de ı́ndice 2 es normal. La razón es que un subgrupo H con ı́ndice 2 en un grupo G da lugar a dos clases de congruencia, una es H (tanto por la izquierda como por la derecha) y la otra es G \ H, luego se cumple la condición 3) de 9.16. Veamos las propiedades de la conjugación en grupos de permutaciones. Teorema 9.18 Sea n un número natural no nulo. 1. Si (a1 , . . . , am ) es un ciclo en Σn y σ ∈ Σn , entonces  σ (a1 , . . . , am ) = σ(a1 ), . . . , σ(am ) . 2. Dos permutaciones de Σn cuyas descomposiciones en producto de ciclos disjuntos sean σ1 · · · σr y τ1 · · · τs son conjugadas si y sólo si r = s y (reordenando adecuadamente) la longitud de cada σi coincide con la de τi . Demostración: 1) En primer lugar,   (a1 , . . . , am )σ σ(a1 )     = σ (a1 , . . . , am ) σ −1 σ(a1 )  = σ (a1 , . . . , am )(a1 ) = σ(a2 )   = σ(a1 ), . . . , σ(am ) σ(a1 ) . Lo mismo vale para cualquier otro ai . Si a es distinto de σ(a1 ), . . . , σ(am ), entonces σ −1 (a) es distinto de a1 , . . . , am , luego  (a1 , . . . , am ) σ −1 (a) = σ −1 (a) y      σ (a1 , . . . , am ) σ −1 (a) = σ σ −1 (a) = a = σ(a1 ), . . . , σ(am ) (a). 9.4. Conjugación y subgrupos normales 149  Ası́ pues (a1 , . . . , am )σ y σ(a1 ), . . . , σ(am ) actúan igual sobre todos los elementos, luego son iguales. 2) Veámoslo con un ejemplo: Tomamos una permutación de Σ7 : (1, 3, 5)(2, 4)(6, 7) Si la conjugamos por otra cualquiera, digamos por g = (1, 2, 6)(3, 5), usando 1) obtenemos la siguiente permutación (sólo hay que reemplazar cada número por su imagen por g): (2, 5, 3)(6, 4)(1, 7) No es casual que obtengamos ciclos disjuntos, pues cada ciclo de órbita A se transforma en otro de órbita g[A], luego si dos ciclos tienen órbitas disjuntas A y B, las órbitas de sus conjugados, g[A] y g[B] también son disjuntas. Esto prueba que dos permutaciones conjugadas tienen que tener descomposiciones en ciclos disjuntos del mismo tipo en el sentido de 2). Tomemos ahora dos permutaciones del mismo tipo: (1, 3, 5)(2, 4)(6, 7) (6, 1, 7)(3, 5)(2, 4) Basta considerar la permutación g = (1, 6, 2, 3)(4, 5, 7), es decir, la que envı́a a cada número de la permutación de arriba al que ocupa su lugar en la permutación de abajo, para que al conjugar la primera por g se obtenga la segunda. Algunos ejemplos: El grupo Σ3 tiene 6 elementos divididos en 3 clases de conjugación, a saber,  la del elemento neutro {1}, la de las trasposiciones (1, 2), (1, 3), (2, 3) (de   orden 2) y la de los ciclos de longitud 3, (1, 2, 3), (3, 2, 1) (de orden 3). Notar que en general todos los elementos de una misma clase de conjugación tienen el mismo orden, ya que existe un automorfismo que envı́a uno a otro, y los automorfismos conservan el orden. Por definición, un subgrupo es normal si y sólo si es unión de clases ! de conjugación, luego los únicos subgrupos normales de Σ3 son 1, (1, 2, 3) y Σ3 (el segundo es la unión de {1} y la clase de los ciclos de longitud 3). Otro hecho general de interés es que si un grupo tiene un único subgrupo de un cierto orden, éste ha de ser normal, pues no puede! tener más conjugados que él mismo. Esto nos da otra prueba de que (1, 2, 3) es normal en Σ3 . Un tercer argumento es que tiene ı́ndice 2. Ejercicio: Determinar el número de clases de conjugación de Σ4 , ası́ como el número de elementos de cada una de ellas. Los órdenes posibles para los subgrupos de Σ4 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. Tratemos de hallar al menos los subgrupos normales. Ningún subgrupo normal propio puede contener a las trasposiciones, ya que generan todo el grupo. Tampoco puede contener a los ciclos de longitud 4, ya 150 Capı́tulo 9. Grupos que son 6, más el neutro 7, luego el grupo deberı́a tener orden 8 o 12, pero no hay ninguna otra clase de conjugación de cardinal 1 o 5 que podamos añadir para completar esos 7 elementos. Es fácil ver que    V4 = {1} ∪ cl (1, 2)(3, 4) = 1, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3) es un subgrupo normal de Σ4 en el que todos los elementos no triviales tienen orden 2 (o sea, que no es cı́clico). A este grupo se le llama el grupo de Klein. Para que un subgrupo normal propio contenga a los ciclos de longitud 3 (que son  8 más el neutro 9) ha de tener orden 12, luego faltan los 3 elementos de cl (1, 2)(3, 4) . El lector puede probar directamente que   A4 = {1} ∪ cl (1, 2)(3, 4) ∪ cl (1, 2, 3) es un subgrupo normal de orden 12 llamado grupo alternado de grado 4. ! Ejercicio: Probar que A4 = (1, 2, 3), (1, 2)(3, 4) . En resumen, los únicos subgrupos normales de Σ4 son 1 < V4 < A4 < Σ4 . Es fácil ver que V4 es abeliano, mientras que A4 no lo es. Todos los subgrupos de Σ4 de orden 2 o 3 son cı́clicos, pues tienen orden primo. Hay tantos subgrupos de orden 2 como elementos de orden 2, o sea, 9. Cada subgrupo de orden 3 contiene dos elementos de orden 3 que lo generan, luego hay 4 subgrupos de orden 3. Todo subgrupo de orden 12 es normal por tener ı́ndice 2, luego A4 es el único. Ejercicio: Si H
K
G, ¿es necesariamente H
G? 9.5 Producto de grupos Introducimos ahora un producto de grupos similar a la suma de módulos, aunque en el caso que nos ocupa hay que prestar atención a ciertas particularidades, especialmente si los grupos no son abelianos. Definición 9.19 Sea G un grupo y A y B dos subconjuntos de G. Llamaremos AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B}. En notación aditiva hablaremos de suma de subconjuntos y la representaremos A + B. A diferencia de lo que ocurre con módulos, el producto de dos subgrupos no es necesariamente un subgrupo. El teorema siguiente aclara la situación. Teorema 9.20 Sea G un grupo y H y K dos subgrupos de G. 1. HK ≤ G si y sólo si HK = KH. 2. Si H
G o K
G, entonces HK ≤ G. 3. Si H
G y K
G, entonces HK
G. 9.5. Producto de grupos 151 Demostración: 1) Si HK ≤ G y x ∈ HK, entonces x−1 ∈ HK, luego es de la forma x−1 = hk, con h ∈ H y k ∈ K. Por lo tanto x = k −1 h−1 ∈ KH. Igualmente se prueba la otra inclusión, luego HK = KH. Si HK = KH, sean x, y ∈ HK. Entonces x = hk e y = h′ k ′ con h, h′ ∈ H y k, k ′ ∈ K. Por lo tanto xy −1 = hkk ′−1 h′−1 . El elemento kk ′−1 h′−1 ∈ KH = HK, luego kk ′−1 h′−1 = h′′ k ′′ para ciertos h′′ ∈ H y k ′′ ∈ K. Consecuentemente xy −1 = hh′′ k ′′ ∈ HK. Por el teorema 9.4 tenemos que HK ≤ G. 2) Si H
G y hk ∈ HK, entonces hk = kk −1 hk = khk ∈ KH k = KH e igualmente se prueba la otra inclusión. Por lo tanto HK = KH y por 1) HK ≤ G. 3) Si g ∈ G, como la conjugación por g es un automorfismo de G, se cumple que (HK)g = H g K g = HK. Por lo tanto HK
G. El lector debe tener clara la diferencia entre que HK = KH y que hk = kh para todo h ∈ H y todo k ∈ K. En el primer caso se dice que H y K conmutan. En el segundo se dice que conmutan elemento a elemento. La segunda propiedad implica obviamente la primera, pero el recı́proco no es cierto. Es fácil encontrar ejemplos en el grupo Σ3 . A menudo es útil este sencillo resultado: Teorema 9.21 Si dos subgrupos normales de un grupo G tienen intersección trivial, entonces conmutan elemento a elemento. Demostración: Sean N y M
que N ∩ M = 1. Sean n ∈ N  G tales n y m ∈ M . Entonces n−1 m−1 nm = m−1 m = n−1 nm ∈ N ∩ M = 1, luego nm = mn. Definición 9.22 Diremos que un grupo G es producto directo de los subgrupos N1 , . . . , Nr si todos son normales en G, G = N1 · · · Nr y la intersección de cada Ni con el producto de los factores restantes es trivial. En tal caso se escribe G = N1 × · · · × Nr . Para grupos abelianos el concepto de producto directo coincide con el concepto de suma directa de subgrupos vistos como Z-módulos. Simplemente hemos cambiado la notación aditiva por la multiplicativa (Notar que N1 · · · Nr = N1 , . . . , Nr ). Teniendo en cuenta el teorema anterior, la prueba del siguiente resultado es análoga a la del teorema 7.15. Teorema 9.23 Sea G un grupo y N1 , . . . , Nr una familia de subgrupos normales tales que G = N1 × · · · × Nr . Entonces: 1. Si se da la igualdad n1 · · · nr = 1 con cada ni ∈ Ni , entonces cada ni = 1. 2. Cada elemento g ∈ G se expresa de forma única como producto g = n1 · · · nr con cada ni ∈ Ni . Al igual que ocurre con los módulos, si tenemos una familia de grupos podemos construir un grupo que se exprese como producto directo de una familia de subgrupos isomorfos a los dados. 152 Capı́tulo 9. Grupos Definición 9.24 Sea una familia de grupos G1 , . . . , Gr . Llamaremos producto directo externo de G1 , . . . , Gr al grupo    G1 × · · · × Gr = (g1 , . . . , gr )  gj ∈ Gj para cada j = 1, . . . , r con la operación dada por (g1 , . . . , gr )(g1′ , . . . , gr′ ) = (g1 g1′ , . . . , gr gr′ ). Como en el caso de los módulos, la aplicación ιi : Gi −→ G1 × · · · × Gr que a cada elemento g ∈ Gi le asigna la r-tupla cuya componente i-ésima es g y las restantes son 1 es un monomorfismo de grupos, por lo que podemos identificar cada Gi con su imagen, es decir, con el subgrupo Ni de G1 × · · · × Gr formado por las r-tuplas que tienen todas sus componentes iguales a 1 salvo quizá la iésima. Es fácil ver que cada Ni es isomorfo a Gi y que G1 × · · · × Gr es producto directo (en el sentido de 9.22) de los subgrupos Ni . 9.6 Grupos cociente Pasamos por fin al estudio de los grupos cociente. Resulta que sólo pueden definirse cuando la congruencia izquierda coincide con la derecha, es decir, cuando el subgrupo es normal. Teorema 9.25 Sea G un grupo y N
G. Entonces el conjunto cociente G/N es un grupo con la operación dada por (gN )(hN ) = ghN . El elemento neutro de G/N es 1N = N . Si g ∈ G, se cumple que (gN )−1 = g −1 N . Si el grupo G es abeliano o cı́clico, entonces G/N también lo es. Demostración: Hay que probar que la operación en G/N está bien definida, es decir, que si gN = g ′ N y hN = h′ N , entonces ghN = g ′ h′ N . Para ello observamos que (gh)−1 g ′ h′ = h−1 g −1 g ′ h′ = h−1 h′ h′−1 g −1 g ′ h′ . Ahora, h−1 h′ ∈ N y g −1 g ′ ∈ N porque por hipótesis son congruentes módulo ′ N , y como N es normal, h′−1 g −1 g ′ h′ = (g −1 g ′ )h ∈ N , luego (gh)−1 g ′ h′ ∈ N y ′ ′ ası́ ghN = g h N . El resto del teorema es obvio. En todo caso, nótese que si G = g, entonces es claro que G/N = gN . Los teoremas sobre anillos y módulos cociente se prueban con pocos cambios para grupos. El más importante es el teorema de isomorfı́a: Teorema 9.26 (Teorema de Isomorfı́a) Sea f : G −→ H un homomorfismo de grupos. Entonces N(f )
G, y la aplicación f¯ : G/ N(f ) −→ Im f dada por f¯ g N(f ) = f (g) es un isomorfismo de grupos. Recı́procamente, todo subgrupo normal N de un grupo G es el núcleo de un epimorfismo de grupos, a saber, de la proyección canónica p : G −→ G/N definida mediante p(g) = gN . Como un ejemplo de uso del teorema anterior, notemos que si G = g es un grupo cı́clico de orden n, entonces la aplicación f : Z −→ G dada por f (n) = g n es un epimorfismo de grupos y, según 9.9, tenemos que N(f ) = nZ. Por el 9.6. Grupos cociente 153 teorema de isomorfı́a resulta que G es isomorfo a Z/nZ, de donde concluimos que dos grupos cı́clicos finitos son isomorfos si y sólo si tienen el mismo orden. Por otra parte, si G es infinito la aplicación f es un isomorfismo, luego todo grupo cı́clico infinito es isomorfo a Z. Teorema 9.27 Sea G un grupo y N
G. 1. Si N ≤ H ≤ G, entonces H/N ≤ G/N . 2. Si K ≤ G/N , entonces existe un subgrupo H de G tal que N ≤ H ≤ G y K = H/N . 3. Si N ≤ H ≤ G, entonces H/N
G/N si y sólo si H
G. 4. Las correspondencias descritas en los apartados 1) y 2) determinan una biyección entre los subgrupos de G/N y los subgrupos de G que contienen a N . Los subgrupos normales de G se corresponden con los subgrupos normales de G/N . Demostración: 1) Es inmediato. Los elementos de H/N son las clases hN con h ∈ H y los de G/N son las clases gN con g ∈ G. La operación es la misma. 2) Consideremos el epimorfismo canónico p : G −→ G/N dado por p(g) = gN . Definimos H = p−1 [K] ≤ G. Como N = p−1 [1N ], claramente N ≤ H. Ası́ H/N = {hN | h ∈ H} = p[H] = p p−1 [K] = K. 3) Si H/N
G/N , entonces al conjugar un elemento h ∈ H por un elemento g ∈ G se cumple hg N = (hN )gN ∈ H/N , luego hg ∈ H y ası́ H
G. El recı́proco es análogo. 4) Si H/N = H ′ /N , entonces H = p−1 [H/N ] = p−1 [H ′ /N ] = H ′ , luego la correspondencia es inyectiva, y por 2) es suprayectiva. Veamos un par de resultados adicionales muy útiles cuando se manejan grupos cociente. Teorema 9.28 (Segundo teorema de isomorfı́a) Sea G un grupo, H ≤ G y K
G. Entonces HK/K ∼ = H/(H ∩ K). Demostración: Consideremos la aplicación f : H −→ HK/K dada por f (h) = hK. Es claro que se trata de un homomorfismo de grupos. Además es un epimorfismo, pues un elemento de HK/K es de la forma hkK con h ∈ H y k ∈ K, pero hkK = hK = f (h). Un elemento h ∈ H está en N(f ) si y sólo si h ∈ H y hK ∈ K, si y sólo si h ∈ H ∩ K, luego N(f ) = H ∩ K y por el teorema de isomorfı́a concluimos HK/K ∼ = H/(H ∩ K). Teorema 9.29 (Tercer teorema de isomorfı́a) Consideremos un grupo G y dos subgrupos K
G y K ≤ H
G. Entonces (G/K)/(H/K) ∼ = G/H. 154 Capı́tulo 9. Grupos Demostración: Un elemento de G/K es de la forma gK con g ∈ G, luego un elemento cualquiera de (G/K)/(H/K) es de la forma (gK)(H/K). Además (gK)(H/K) = (1K)(H/K) si y sólo si gK ∈ H/K, es decir, si y sólo si g ∈ H. Esto significa que la aplicación f : G −→ (G/K)/(H/K) definida mediante f (g) = (gK)(H/K) es un epimorfismo de núcleo H, luego por el teorema de isomorfı́a, (G/K)/(H/K) ∼ = G/H. Ejercicio: Enunciar y demostrar teoremas de isomorfı́a análogos para módulos. El segundo teorema de isomorfı́a implica que si H y K son subgrupos de un grupo finito G y K es normal, entonces |HK| = |H| |K|/|H ∩ K|. Vamos a probar que esto sigue siendo cierto aunque ninguno de los subgrupos sea normal y HK no sea un subgrupo. Teorema 9.30 Sea G un grupo finito y H, K dos subgrupos de G. Entonces |HK| = |H| |K| . |H ∩ K| Demostración: Consideremos la aplicación f : H × K −→ HK dada por f (h, k) = hk. Obviamente es suprayectiva. Si f (h, k) = f (h′ , k ′ ), entonces hk = h′ k ′ , luego u = (h′ )−1 h = k ′ k −1 ∈ H ∩ K. Hemos probado que si f (h, k) = f (h′ , k ′ ), entonces (h′ , k ′ ) = (hu, u−1 k) para cierto u ∈ H ∩ K. El recı́proco es trivialmente Esto significa que   cierto.  para −1 −1  u ∈ H ∩ K , luego cada hk ∈ HK se cumple que f [hk] = (hu, u k)  −1  f [hk] = |H ∩ K|. En consecuencia, el número de elementos de H × K es igual al número de conjuntos de la forma f −1 [hk] (que es |HK|) multiplicado por el número de elementos de cada uno de estos conjuntos (que es |H ∩ K|), es decir, hemos probado que |H| |K| = |HK| |H ∩ K|. 9.7 Grupos alternados Terminamos el capı́tulo con un concepto importante sobre grupos de permutaciones.    Definición 9.31 Sea n ≥ 2, sea Pn = {i, j}  1 ≤ i < j ≤ n . Para cada permutación σ ∈ Σn y cada b = {i, j} con 1 ≤ i < j ≤ n, sea  1 si σ(i) < σ(j) ǫ(σ, b) = −1 si σ(j) < σ(i) Llamaremos signatura de σ a sig σ = & b∈Pn ǫ(σ, b) ∈ {1, −1}. Las permutaciones de signatura 1 se llaman permutaciones pares. Las de signatura −1 se llaman impares. 155 9.7. Grupos alternados Enseguida daremos una interpretación sencilla de este concepto. Primero conviene probar lo siguiente: Teorema 9.32 Sea n ≥ 2. Entonces la aplicación sig : Σn −→ {−1, 1} es un homomorfismo de grupos. Demostración: Sean σ, τ ∈ Σn y sea b ∈ Pn . Es fácil comprobar que  ǫ(στ, b) = ǫ(σ, b)ǫ τ, σ[b] . Como la aplicación Pn −→ Pn dada por b → σ[b] es biyectiva, se cumple que & &  sig(στ ) = ǫ(στ, b) = ǫ(σ, b)ǫ τ, σ[b] b∈Pn = & b∈Pn ǫ(σ, b) b∈Pn &  & & ǫ τ, σ[b] = ǫ(σ, b) ǫ(τ, b) = (sig σ)(sig τ ). b∈Pn b∈Pn b∈Pn  Consideremos la trasposición (1, 2) ∈ Σn . Es claro que ǫ (1, 2), b = −1 si y sólo si b = {1, 2}, luego sig(1, 2) = −1. Más aún, todas las trasposiciones son conjugadas (por el teorema 9.18), y obviamente sig(σ τ ) = (sig σ)sig τ = sig σ, pues {+1, −1} es un grupo abeliano. Esto implica que todas las trasposiciones tienen signatura −1. Si unimos esto al teorema anterior y al teorema 9.14, tenemos probado el teorema siguiente: Teorema 9.33 Una permutación es par o impar si y sólo si se descompone en un número par o impar de trasposiciones, respectivamente. Es fácil reconocer la signatura de una permutación descompuesta en ciclos. Basta recordar que, según la prueba de 9.14 3), un ciclo de longitud m se descompone en m − 1 trasposiciones, luego un ciclo es par si y sólo si su longitud es impar. Definición 9.34 Llamaremos grupo alternado de grado n al grupo An formado por las permutaciones pares de Σn , es decir, al núcleo del homomorfismo sig. Por el teorema de isomorfı́a, Σn /An ∼ = {1, −1}, luego |Σn : An | = 2, es decir, |An | = n!/2. Capı́tulo X Matrices y determinantes √  Recordemos que nuestra intención es estudiar anillos como Z −2 y hasta √ ahora sólo tenemos una teorı́a razonable sobre cuerpos como Q −2 . La razón es que la teorı́a de cuerpos se apoya en la teorı́a de espacios vectoriales, mientras que el análogo para anillos es la teorı́a de módulos, que no es tan potente o, al menos, requiere razonamientos más delicados para conseguir resultados que en el caso de espacios vectoriales son mucho más simples. En este capı́tulo introduciremos dos poderosas herramientas de la teorı́a de módulos con las que finalmente estaremos en condiciones de abordar los anillos numéricos. 10.1 Matrices Definición 10.1 Sea A un anillo unitario y m, n números naturales no nulos. Una matriz m × n sobre A es una aplicación B : {1, . . . , m} × {1, . . . , n} −→ A. Escribiremos bij en lugar de B(i, j) y también B = (bij ). En la práctica escribiremos los elementos de una matriz m × n dispuestos en m filas y n columnas ası́:   b11 · · · b1n  ..  B =  ... .  bm1 · · · bmn Llamaremos Matm×n (A) al conjunto de todas las matrices m × n sobre A. Las matrices n × n se llaman matrices cuadradas. Escribiremos Matn (A) en lugar de Matn×n (A). Evidentemente dos matrices B = (bij ) y C = (cij ) son iguales si y sólo si tienen las mismas dimensiones m × n y bij = cij para todo par de ı́ndices i, j. Podemos identificar los elementos de An con las matrices 1 × n, es decir, con las matrices con una sola fila y n columnas. A estas matrices se las llama matrices fila. Cuando A es un anillo de división se las llama también vectores fila. 157 158 Capı́tulo 10. Matrices y determinantes Por analogı́a, las matrices m × 1, es decir, las matrices que constan de una sola columna, se llaman matrices columna o vectores columna cuando A es un anillo de división. En las matrices fila y columna suprimiremos el ı́ndice fijo, es decir, las representaremos ası́:   a1  ..  (a1 , . . . , an ),  .  an Llamaremos matriz traspuesta de una matriz B ∈ Matm×n (A) a la matriz B t ∈ Matn×m (A) que resulta de intercambiar las filas de B por sus columnas, es decir, la componente (i, j) de B t es la componente (j, i) de B. De este modo, la traspuesta de una matriz fila es una matriz columna y viceversa. Claramente B tt = B. Una matriz cuadrada B es simétrica si B = B t , es decir, si bij = bji para todo par de ı́ndices i, j. La fila i-ésima de una matriz B es la matriz fila Bi = (bi1 , . . . , bin ). La columna j-ésima de la matriz B es la matriz columna   b1j   B j =  ...  bm,j luego, en este sentido, una matriz m × n tiene m filas y n columnas. Llamaremos matriz nula de orden m × n a la matriz m × n que tiene todas sus componentes iguales a 0. Llamaremos diagonal principal de una matriz cuadrada B ∈ Matn (A) a la n-tupla (b11 , . . . , bnn ). Una matriz cuadrada es una matriz diagonal si tiene nulas todas sus componentes que no están en la diagonal principal. Una matriz diagonal es una matriz escalar si tiene todas sus componentes de la diagonal principal iguales entre sı́. La matriz identidad de orden n es la matriz escalar n × n cuyas componentes de la diagonal principal son iguales a 1. La representaremos por In . Si definimos la delta de Kronecker mediante  1 si i = j δij = 0 si i = j entonces In = (δij ). Ahora definimos unas operaciones con matrices: Si B = (bij ) y C = (cij ) son matrices m × n, llamaremos B + C a la matriz m × n dada por B + C = (bij + cij ). Si B = (bij ) es una matriz m × n y a ∈ A, llamaremos aB a la matriz m × n dada por aB = (abij ). 10.1. Matrices 159 Con estas operaciones Matm×n (A) se convierte en un A-módulo libre de rango mn. Una base la forman las mn matrices que tienen un 1 en cada una de las posiciones posibles y las restantes componentes nulas. La estructura de A-módulo en los espacios de matrices fila no es sino la estructura usual en los espacios An . Finalmente definimos el siguiente producto de matrices: Si B ∈ Matm×n (A) y C ∈ Matn×r (A), la matriz BC ∈ Matm×r (A) es la n que tiene en la posición (i, j) el elemento k=1 bik ckj . Es pura rutina comprobar las propiedades siguientes (que se cumplen cuando las dimensiones de las matrices son las apropiadas): A(BC) = (AB)C. A(B + C) = AB + AC. (A + B)C = AC + BC. AIn = Im A = A. Si A es conmutativo (AB)t = B t At . En general, el producto de matrices no es una operación interna en el conjunto Matm×n (A), pero sı́ lo es en los espacios de matrices cuadradas. Los espacios Matn (A) son anillos unitarios con la suma y el producto de matrices. Salvo en casos triviales no son conmutativos. La aplicación que a cada elemento a ∈ A le asigna la matriz escalar aIn es un monomorfismo de anillos, con lo que podemos identificar los elementos de A con las matrices escalares, y ası́ A es un subanillo de Matn (A). El producto de una matriz por el elemento a coincide con el producto por la matriz aIn . Vamos a dar una interpretación de todo esto en términos de módulos. Sea M un A-módulo libre de rango finito n. Una base ordenada de M es una n-tupla B = (u1 , . . . , un ) tal que u1 , . . . , un forman una base de M . Llamaremos sistema de coordenadas asociado a la base ordenada B a la aplicación ΦB : M −→ An que a cada elemento m ∈ M le asigna la n-tupla (a1 , . . . , an ) tal que m = a1 u1 + · · · + an un . A ΦB (m) se le llama n-tupla de coordenadas de m respecto a la base B. Sea f : M −→ N un homomorfismo entre módulos libres de rangos m y n respectivamente. Sean B = (u1 , . . . , um ) y B ′ = (v1 , . . . , vn ) bases ordenadas de M y N . Para cada ui existen unos únicos elementos aij ∈ A tales que n f (ui ) = j=1 aij vj . ′ Llamaremos matriz asociada a f en las bases B y B ′ a MB B (f ) = (aij ), es decir, a la matriz que tiene por filas a las coordenadas en la base B ′ de las imágenes de los miembros de la base B. Teorema 10.2 Sea f : M −→ N un homomorfismo entre A-módulos libres de rangos m y n respectivamente. Sean B y B ′ bases ordenadas de M y N . ′ Entonces MB B (f ) es la única matriz que cumple:  ′ ΦB ′ f (u) = ΦB (u)MB B (f ), para todo u ∈ M . 160 Capı́tulo 10. Matrices y determinantes ′ Demostración: Sean B = (u1 , . . . , um ) y B ′ = (v1 , . . . , vn ), sea MB B (f ) = m (aij ) y sea ΦB (u) = (x1 , . . . , xm ). Entonces u = i=1 xi ui y  m n n m m      xi aij vj , aij vj = xi xi f (ui ) = f (u) = i=1 i=1 j=1 j=1 i=1 luego m   ΦB ′ f (u) = i=1 xi aij  ′ = ΦB (u)MB B (f ).  Si una matriz C cumple ΦB ′ f (u) = ΦB (u)C, entonces tomando u = ui la n-tupla ΦB (u) es la que tiene un 1 en el lugar i-ésimo y 0 en los restantes. El producto ΦB (u)C no es sino la fila  i-ésima de C, luego dicha fila i-ésima ′está formada por las coordenadas ΦB ′ f (ui ) , al igual que la fila i-ésima de MB B (f ). B′ Por lo tanto C = MB (f ). Definición 10.3 Si M y N son A-módulos libres de rangos m y n, llamaremos HomA (M, N ) al conjunto de todos los homomorfismos entre M y N . Fijadas dos bases ordenadas B y B ′ de M y N respectivamente, tenemos definida una aplicación ′ MB B : HomA (M, N ) −→ Matm×n (A), que claramente es biyectiva. ′ ′ B En efecto, si MB B (f ) = MB (g),  entonces por el teorema anterior para todo elemento u de M , se cumple ΦB ′ f (u) = ΦB ′ g(u) , luego ha de ser f (u) = g(u) y por lo tanto f = g, la aplicación es inyectiva. Por otra parte, dada una matriz C ∈ Matm×n (A), por el teorema 7.31 existe f ∈ HomA (M, N ) que envı́a a cada componente de la base B al elemento de N que en la base B ′ tiene por ′ n-tupla de coordenadas a la correspondiente fila de C, con lo que MB B (f ) = C. Ejercicio: Calcular la matriz asociada a los automorfismos del cuerpo ciclotómico Q(ω), donde ω 5 = 1, respecto a la base ordenada (1, ω, ω 2 , ω 3 ). Si A es un anillo conmutativo, el conjunto HomA (M, N ) puede ser dotado de estructura de A-módulo de forma natural: Definimos f + g como el homomorfismo que sobre cada m ∈ M actúa mediante (f + g)(m) = f (m) + g(m), y si a ∈ A, entonces af es el homomorfismo  determinado por (af )(m) = a f (m) (notar que si A no es conmutativo af no tiene por qué ser un homomorfismo). ′ Es fácil comprobar que la aplicación MB B es un isomorfismo de módulos, es ′ B′ B′ B′ B′ decir, que MB (f + g) = MB (f ) + MB (g) y que MB B (af ) = aMB (f ). Por ejemplo, si u ∈ M , entonces  ′ ′ B′ B′ ΦB (u) MB = ΦB (u)MB B (f ) + MB (g) B (f ) + ΦB (u)MB (g)   = ΦB ′ f (u) + ΦB ′ g(u)  = ΦB ′ f (u) + g(u)  = ΦB ′ (f + g)(u) , 161 10.1. Matrices ′ ′ ′ B B luego por la unicidad de 10.2, MB B (f + g) = MB (f ) + MB (g). Esto explica las definiciones que hemos dado de suma de matrices y producto de una matriz por un elemento de A: la suma de dos matrices es la operación que nos da la matriz asociada al homomorfismo suma de los homomorfismos asociados a los sumandos, y similarmente con el producto por elementos de A. Respecto al producto de matrices, su interpretación es la siguiente: Teorema 10.4 Sean f : M −→ N y g : N −→ R homomorfismos de Amódulos libres de rango finito. Sean B, B ′ y B ′′ bases ordenadas de M , N y R ′′ B ′′ B′ respectivamente. Entonces MB B (f ◦ g) = MB (f )MB ′ (g). Demostración: Si u ∈ M , entonces ′ ′′ B ΦB (u)MB B (f )MB ′ (g) = = ′′     ′′ ΦB ′ f (u) MB B ′ (g) = ΦB ′′ g f (u)  ΦB ′′ (f ◦ g)(u) , ′ ′′ B B luego por la unicidad de 10.2, MB B (f ◦ g) = MB (f )MB ′ (g). El espacio HomA (M, M ) es un anillo unitario con la suma y la composición ′ de aplicaciones. Acabamos de probar que la aplicación MB B es un isomorfismo. Notar que la matriz identidad se corresponde con la aplicación identidad. El lector debe tener presente que todas las propiedades sobre los conjuntos de matrices Matm×n (A) se traducen a propiedades de los espacios HomA (M, N ) a través de los isomorfismos que hemos definido. Definición 10.5 Una matriz C ∈ Matn (A) es regular si es una unidad del anillo Matn (A), es decir, si existe una matriz C −1 ∈ M atn (A) tal que CC −1 = C −1 C = In . En tal caso la matriz C −1 es única y se llama matriz inversa de C. Una matriz cuadrada que no es regular es una matriz singular. Una propiedad elemental es que si A es conmutativo y B es una matriz regular, entonces la matriz traspuesta B t también es regular y (B t )−1 = (B −1 )t . En efecto, basta observar que (B −1 )t B t = (BB −1 )t = Int = In , e igualmente en orden inverso. Teorema 10.6 Si f : M −→ N es un homomorfismo entre módulos libres del mismo rango finito y B, B ′ son bases ordenadas de M y N respectivamente, ′ entonces f es un isomorfismo si y sólo si MB B (f ) es regular y, en tal caso, ′ −1 −1 ) = MB . MB B (f ) B ′ (f Demostración: Sea g ∈ HomA (N, M ) tal que g = f −1 si suponemos que ′ −1 B′ si suponemos que MB f es isomorfismo o tal que MB B ′ (g) = MB (f ) B (f ) es regular. ′ B B B En cualquier caso se cumple que MB B (f )MB ′ (g) = MB (f ◦ g) = In = MB (I) B B′ B′ B′ y MB ′ (g)MB (f ) = MB ′ (g ◦ f ) = In = MB ′ (I), de donde se siguen las dos implicaciones. 162 Capı́tulo 10. Matrices y determinantes Definición 10.7 Si B = (u1 , . . . , un ) y B ′ = (v1 , . . . vn ) son dos bases ordenadas de un mismo A-módulo M , se llama matriz de cambio de base a la matriz ′ B′ MB B = MB (I), donde I es la identidad en M . ′ ′ ′ B −1 B Claramente MB es regular y (MB = MB B ) B ′ . La fila i-ésima de MB es ΦB ′ (ui ) y para todo m ∈ M se cumple la relación ′ ΦB ′ (m) = ΦB (m)MB B , ′ es decir, el producto por MB B transforma las coordenadas de m en B en las coordenadas de m en B ′ . Ejercicio: Sabemos√que el cuerpo ciclotómico Q(ω) coincide, para p = 3, con el  √ cuerpo cuadrático Q −3 . Concretamente, ω = −1 + −3 /2. Calcular la matriz  √ de cambio de base asociada a 1, −3 y (1, ω). Terminamos las propiedades generales sobre matrices con las observaciones siguientes: Teorema 10.8 Se cumple 1. Si A es un dominio ı́ntegro y B, C ∈ Matn (A) cumplen que BC = In , entonces B y C son regulares y C = B −1 . 2. Si A es un dominio ı́ntegro y B ∈ Matm×n (A), C ∈ Matn×m (A) cumplen que BC = Im , CB = In , entonces n = m, B y C son regulares y C = B −1 . Demostración: Sea K el cuerpo de cocientes de A. Entonces Matn (A) puede considerarse como un subanillo de Matn (K). Fijemos una base del espacio vectorial K n y consideremos las aplicaciones lineales f , g : K n −→ K n cuyas matrices en la base considerada sean B y C respectivamente. Entonces la matriz de f ◦ g es In , lo que significa que f ◦ g es la aplicación identidad. De aquı́ se sigue que f es un monomorfismo, luego dim Im f = dim K n = n. Por 7.26 tenemos que Im f = K n , luego f es un isomorfismo y por el teorema anterior B es regular. Multiplicando por B −1 en BC = In obtenemos que C = B −1 . La prueba de 2 es análoga. 10.2 Determinantes Pasamos ahora al estudio de los determinantes de matrices cuadradas. En lugar de definir directamente el concepto de determinante, que puede resultar artificial, vamos a establecer las propiedades que deseamos que cumplan los determinantes y concluiremos que la única definición posible es la que vamos a adoptar. Definición 10.9 Sea A un dominio y n un número natural no nulo. Entonces An es un A-módulo libre de rango n. Una aplicación f : (An )n −→ A es 163 10.2. Determinantes una forma multilineal si para todos los elementos v1 , . . . , vn , v ′ ∈ An , todos los a, a′ ∈ A y todo ı́ndice 1 ≤ i ≤ n se cumple f (v1 , . . . , avi + a′ v ′ , . . . , vn ) = af (v1 , . . . , vi , . . . , vn ) + a′ f (v1 , . . . , v ′ , . . . , vn ). Una forma multilineal f es antisimétrica si cuando la n-tupla x ∈ (An )n resulta de intercambiar el orden de dos componentes de la n-tupla y ∈ (An )n , entonces f (x) = −f (y). Una forma multilineal f es alternada si toma el valor 0 sobre todas las ntuplas que tienen dos componentes iguales. Antes de discutir estos conceptos conviene destacar algunas consecuencias sencillas de la definición: Teorema 10.10 Sea A un anillo conmutativo y unitario y f : (An )n −→ A una forma multilineal. 1. La forma f es antisimétrica si y sólo si para toda permutación σ ∈ Σn y todos los v1 , . . . , vn ∈ An se cumple f (vσ(1) , . . . , vσ(n) ) = (sig σ)f (v1 , . . . , vn ) 2. Si f es alternada, entonces es antisimétrica. Demostración: 1) Si f cumple esta propiedad es antisimétrica, pues al intercambiar dos elementos estamos aplicando una trasposición y las trasposiciones tienen signatura −1. Si f es antisimétrica, el valor de f (vσ(1) , . . . , vσ(n) ) puede obtenerse aplicando sucesivas trasposiciones sobre f (v1 , . . . , vn ), que cambiarán el signo de f tantas veces como trasposiciones compongan a σ. Por lo tanto el resultado final será (sig σ)f (v1 , . . . , vn ). 2) Supongamos que f es alternada y sean 1 ≤ i < j ≤ n, v1 , . . . , vn ∈ An . Entonces 0 (i) (j) = f (v1 , . . . , vi + vj , . . . , vi + vj , . . . vn ) (i) (j) (i) (j) (i) (j) (i) (j) = f (v1 , . . . , vi , . . . , vi , . . . vn ) + f (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . vn ) + f (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . vn ) + f (v1 , . . . , vj , . . . , vj , . . . vn ) = (i) (i) (i) (j) 0 + f (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . vn ) + f (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . vn ) + 0, luego f (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . vn ) = −f (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . vn ). Ejercicio: Probar que si car A es impar entonces una forma multilineal sobre (An )n es antisimétrica si y sólo si es alternada. De este modo vemos que los conceptos de forma antisimétrica y forma alternada son casi equivalentes. El segundo nos evita algunos problemas que surgen cuando puede ocurrir x = −x sin que x sea 0, pero en tal caso la teorı́a que vamos a desarrollar es de poca utilidad. Ahora probamos que siempre existe una forma multilineal alternada en (An )n , y que es esencialmente única, lo que dará pie a la definición de la función determinante. 164 Capı́tulo 10. Matrices y determinantes Teorema 10.11 Sea A un dominio y n un número natural no nulo. Para cada i = 1, . . . , n sea ei = (δi1 , . . . , δin ), es decir, la n-tupla que tiene un 1 en la posición i-ésima y 0 en las restantes. Sea a ∈ A. Existe una única forma multilineal alternada f : (An )n −→ A tal que f (e1 , . . . , en ) = a. Demostración: Supongamos que existe f y veamos que es única. De este modo obtendremos la forma que ha de tener y podremos construirla. Sea (v1 , . . . , vn ) ∈ (An )n . Para cada i = 1, . . . , n sea vi = (ai1 , . . . , ain ) = n j=1 aij ej . Por la multilinealidad,   n n   f (v1 , . . . , vn ) = f  a1j1 ej1 , . . . , anjn ejn  j1 =1 = n  j1 =1 ··· n  jn =1 jn =1 a1j1 · · · anjn f (ej1 , . . . , ejn ). Como f es alternada, todas las asignaciones k → jk que no sean biyecciones harán que f (ej1 , . . . , ejn ) = 0, luego podemos eliminarlas de las sumas y ası́ f (v1 , . . . , vn ) =  σ∈Σn a1σ(1) · · · anσ(n) f (eσ(1) , . . . , eσ(n) ). Como f es alternada tenemos que f (eσ(1) , . . . , eσ(n) ) = (sig σ)f (e1 , . . . , en ), luego  f (v1 , . . . , vn ) = a (sig σ)a1σ(1) · · · anσ(n) . (10.1) σ∈Σn Dado que esta expresión no depende de f concluimos que si f existe es única. Además esto nos lleva a definir f : (An )n −→ A por la fórmula (10.1). Si probamos que la función ası́ definida es una forma multilineal alternada y además f (e1 , . . . , en ) = a, el teorema quedará demostrado. Tomemos v1 , . . . , vn , v ′ ∈ An , b, b′ ∈ A y 1 ≤ i ≤ n. Sea vi = (ai1 , . . . , ain ), v = (a1 , . . . , an ). Claramente bvi + b′ v ′ = (bai1 + b′ a1 , . . . , bain + b′ an ), luego  f (v1 , . . . , bvi + b′ v ′ , . . . , vn ) = a (sig σ)a1σ(1) · · · (baiσ(i) + b′ aσ(i) ) · · · anσ(n) ′ σ∈Σn = ba  σ∈Σn (sig σ)a1σ(1) · · · aiσ(i) · · · anσ(n) + b′ a  σ∈Σn (sig σ)a1σ(1) · · · aσ(i) · · · anσ(n) = bf (v1 , . . . , vi , . . . , vn ) + b′ f (v1 , . . . , v ′ , . . . , vn ). Esto prueba que f es multilineal. Para probar que es alternada supongamos que vi = vj con i < j. Entonces aik = ajk para k = 1, . . . , n. Sea An el grupo alternado, formado por las permutaciones de signatura positiva, y sea Bn el conjunto de las permutaciones impares. 165 10.2. Determinantes Es inmediato que la aplicación g : An −→ Bn dada por g(σ) = (i, j)σ es biyectiva. Si σ ∈ An y τ = g(σ), entonces aiσ(i) = aiτ (j) = ajτ (j) e igualmente se cumple ajσ(j) = aiτ (i) . De aquı́ resulta que a1σ(1) · · · anσ(n) = a1τ (1) · · · anτ (n) , y como sig σ = − sig g(σ), el sumando correspondiente a σ se cancela con el correspondiente a g(σ) y, en total, f (v1 , . . . , vn ) = 0. Por último, si (v1 , . . . , vn ) = (e1 , . . . , en ), entonces aij = δij y el único sumando no nulo en (10.1) es el correspondiente a σ = 1, con lo que queda f (e1 , . . . , en ) = a. Ahora ya podemos definir la aplicación determinante. Conviene observar que si A es un dominio y n un número natural no nulo, podemos identificar (An )n con Matn (A). Concretamente, cada (v1 , . . . , vn ) ∈ (An )n puede identificarse con la matriz que tiene por filas a v1 , . . . , vn . De hecho esta correspondencia es un isomorfismo de A-módulos. Por ello es indistinto considerar que el dominio de una forma multilineal es (An )n o Matn (A). El teorema anterior puede reformularse como que existe una única forma multilineal alternada f sobre Matn (A) tal que f (In ) sea un valor dado a ∈ A. Definición 10.12 Si A es un dominio y n es un número natural no nulo, llamaremos función determinante det : Matn (A) −→ A a la única forma multilineal alternada que cumple det(In ) = 1. Dada una matriz cuadrada B, escribiremos indistintamente det(B) o |B| para representar al determinante de B. Según la construcción del teorema anterior, si B = (bij ), entonces |B| =  σ∈Σn (sig σ)b1σ(1) · · · bnσ(n) . Por ejemplo, si n = 1 es claro que |a| = a para todo a ∈ A. Para n = 2 tenemos la fórmula:    a b     c d  = ad − bc. Para n = 3 hay 6 sumandos, tres con signo positivo y tres con signo negativo. El lector puede comprobar que el desarrollo es el siguiente:    a b c     d e f  = aei + bf g + cdh − ceg − bdi − af h.    g h i  El esquema siguiente (conocido como regla de Sarrus) permite recordar fácilmente la fórmula: 166 Capı́tulo 10. Matrices y determinantes La fórmula de los determinantes de orden 4 contiene 24 sumandos, por lo que no resulta práctica. Más adelante veremos formas razonables de calcular determinantes de cualquier orden. Teorema 10.13 El determinante de una matriz cuadrada coincide con el de su traspuesta. Demostración: Sea B = (bij ) una matriz n × n con coeficientes en un dominio A. Entonces  (sig σ)bσ(1)1 · · · bσ(n)n . |B t | = σ∈Σn Reordenando los factores de cada sumando queda   |B t | = (sig σ)b1σ−1 (1) · · · bnσ−1 (n) = (sig σ −1 )b1σ−1 (1) · · · bnσ−1 (n) , σ∈Σn σ∈Σn y como la correspondencia σ → σ −1 es biyectiva queda  (sig σ)b1σ(1) · · · bnσ(n) = |B|. |B t | = σ∈Σn El interés de este teorema reside en que, gracias a él, todas las propiedades que cumplen los determinantes respecto a las filas de una matriz se cumplen también respecto a las columnas. Una de las propiedades más importantes de los determinantes es la siguiente: Teorema 10.14 Consideremos un dominio A, un número natural no nulo n y dos matrices B, C ∈ Matn (A). Entonces |BC| = |B| |C|. Demostración: Sea f : Matn (A) −→ A dada por f (B) = |BC|. Vamos a probar que f es una forma multilineal alternada. Por comodidad usaremos la notación f (B1 , . . . , Bn ) para indicar la imagen de la matriz B que tiene filas B1 , . . . , Bn . Notar que la fila i-ésima de BC es (Bi C 1 , . . . , Bi C n ), donde C 1 , . . . , C n son las columnas de la matriz C. Ası́, f (B1 , . . . , Bn ) = det(Z1 , . . . , Zn ), donde Zi = (Bi C 1 , . . . , Bi C n ). A partir de aquı́ se sigue inmediatamente la multilinealidad de f . Además, si Bi = Bj , entonces Zi = Zj , luego f (B1 , . . . , Bn ) = 0. 167 10.2. Determinantes Con la notación del teorema 10.11, tenemos además que f (e1 , . . . , en ) = f (In ) = |In C| = |C|, luego f ha de ser la aplicación construida en la prueba de dicho teorema para a = |C| (fórmula (10.1)), que en términos de matrices y determinantes es simplemente f (B) = |B|a. Ası́ pues: |BC| = f (B) = |B||C|. Ahora vamos a dar algunas propiedades elementales que permiten manipular determinantes. Teorema 10.15 Sea A un dominio y B, C ∈ Matn (A).Entonces 1. Si C resulta de intercambiar dos filas o columnas de la matriz B, entonces |C| = −|B|. 2. Si C resulta de multiplicar una fila o columna de B por un cierto a ∈ A, entonces |C| = a|B|. 3. Si C resulta de sumar a la fila (o columna) i-ésima de B la fila (o columna) j-ésima de B con i = j, multiplicada por un a ∈ A, entonces |C| = |B|. Demostración: 1) y 2) son consecuencias inmediatas de la definición de determinante (las variantes con columnas se cumplen por el teorema 10.13). 3) Se cumple porque |C| se descompone por multilinealidad en dos sumandos, uno es |B| y otro el determinante de la matriz que resulta de repetir en el lugar i-ésimo la columna j-ésima (multiplicado por a), y éste es nulo. Estos resultados nos permiten calcular determinantes de cualquier orden mediante manipulaciones adecuadas. Basta notar que si una matriz cuadrada B tiene nulos todos los coeficientes bajo la diagonal principal, es decir, si bij = 0 cuando i > j, entonces |B| es el producto de los coeficientes de la diagonal principal (pues la única permutación que no da lugar a un sumando nulo en la definición de determinante es la identidad). Por otro lado conviene observar que si A es un dominio ı́ntegro y K es su cuerpo de cocientes, una matriz en Matn (A) está también en Matn (K) y su determinante es el mismo en cualquier caso. Por ello a la hora de calcular determinantes podemos trabajar siempre en los cuerpos de cocientes, es decir, podemos hacer divisiones cuando convenga. Calculemos por ejemplo:      2 −3 2 2 3  3   2 −3    4 9 1 −6  3 5 0   0   = 13 15  3 −3 − 2  = 2 0 −3   0 2    5 2 4 7   0 19 −1 − 1  2 2 El segundo determinante resulta de sumar a la segunda fila la primera multiplicada por −2, a la tercera fila la primera multiplicada por −3/2 y a la cuarta la primera multiplicada por −5/2. De este modo conseguimos ceros bajo el término a11 . 168 Capı́tulo 10. Matrices y determinantes Por el mismo proceso hacemos ceros en todas las posiciones bajo la diagonal principal: sumamos a la tercera fila la segunda multiplicada por −13/18 y a la cuarta la segunda multiplicada por −19/18. Después sumamos a la cuarta fila la tercera multiplicada por −37/67 y obtenemos una matriz triangular, es decir, con ceros bajo la diagonal:     =    2 −3 0 9 0 0 0 0 2 1 − 67 18 − 37 18 3 −6 − 19 6 36 6         =       2 −3 0 9 0 0 0 0 2 1 − 67 18 0 3 −6 − 19 6 508 67     =    Ahora el determinante se reduce al producto de los elementos de la diagonal, o sea: = 2 · 9 · (−67/18) · (508/67) = −508. De este modo se puede calcular cualquier determinante, pero vamos a probar que el trabajo puede reducirse considerablemente. Definición 10.16 Sea A un dominio y B ∈ Matn (A). Llamaremos menor complementario de bij al determinante de la matriz que resulta de eliminar la fija i-ésima y la columna j-ésima de B. Lo representaremos por Bij . Teorema 10.17 Sea A un dominio y sea B ∈ Matn (A) tal que en su fila iésima el único elemento no nulo sea bij . Entonces |B| = (−1)i+j bij Bij . Demostración: Supongamos en primer lugar que i = j = n, o sea, bnj = 0 si j = 1, . . . , n − 1. Ası́ |B| =  σ∈Σn = bnn (sig σ)b1σ(1) · · · bnσ(n) =  σ∈Σn (sig σ)b1σ(1) · · · b(n−1)σ(n−1) bnn σ(n)=n  σ∈Σn−1 (sig σ)b1σ(1) · · · b(n−1)σ(n−1) = bnn Bnn = (−1)n+n bnn Bnn Si i y j son cualesquiera, sea B ′ la matriz que resulta de llevar la fila i-ésima de B a la posición n-sima. Para hacer este cambio hay que permutar la fila i-ésima con las n − i filas que le siguen, luego el signo del determinante cambia n − i veces: |B| = (−1)n−i |B ′ |. Sea ahora B ′′ la matriz que resulta de llevar la columna j-ésima de B ′ a la posición n-sima. De nuevo |B ′ | = (−1)n−j |B ′′ | y ası́ |B| = (−1)2n−i−j |B ′′ | = (−1)i+j |B ′′ |. La fila n-sima de B ′′ tiene únicamente la componente n-sima no nula, y además es igual a bij . ′′ ′′ Por lo ya probado |B| = (−1)i+j bij Bnn , pero es obvio que Bnn = Bij , luego i+j |B| = (−1) bij Bij . 169 10.2. Determinantes Teniendo esto en cuenta, en la primera columna:     2 −3 2 3     4 3 5 0     3 = 2 0 −3     5 2 4 7   en nuestro ejemplo era suficiente con hacer ceros 2 −3 0 9 0 13 2 19 2 0 2 3 1 −6 −3 − 15 2 − 12 −1         = 2      9 1 −3 13 2 19 2 −1  −6    − 15 2 , 1  −2 y el determinante que resulta se puede calcular fácilmente. Por supuesto el teorema anterior vale para columnas igual que para filas. Ejemplo Como aplicación vamos a calcular los llamados determinantes de Vandermonde. Concretamente probaremos que    1 ··· 1    a1 ··· an  &  (aj − ai ),  .. ..  =  . .  i<j  n−1  a · · · ann−1  1 donde a1 , . . . , an son elementos de un dominio A. En particular, si A es un dominio ı́ntegro, un determinante de Vandermonde es no nulo si y sólo si los elementos de su segunda fila son distintos dos a dos. Lo probaremos por inducción sobre n. Para n = 1 o incluso n = 2 es inmediato. Supuesto para n − 1 restamos a cada fila la anterior multiplicada por a1 , con lo que obtenemos     1 1 ··· 1     0 a − a · · · a − a 2 1 n 1   .  .. .. ..   . . .    0 an−1 − a1 an−2 · · · an−1 − a1 an−2  n n 2 2 Ahora aplicamos el teorema anterior y obtenemos   a2 − a1 ··· an − a1   .. ..  .  n−1 . n−2  a − a1 a · · · an−1 − a1 an−2 2 n 2 n     .   Por la multilinealidad sobre las columnas este determinante es igual a    1 ··· 1    a2 ··· an   (a2 − a1 ) · · · (an − a1 )  . ..  .  .. .   n−2 n−2   a ··· a 2 n Finalmente por la hipótesis de inducción esto es igual a i<j (aj − ai ). En realidad el teorema 10.17 es un caso particular de un resultado más general: 170 Capı́tulo 10. Matrices y determinantes Teorema 10.18 Sea A un dominio y B ∈ Matn (A). Entonces |B| = n  (−1)i+j bij Bij = n  (−1)i+j bij Bij . i=1 j=1 Demostración: Sean B1 , . . . , Bn las filas de B. Ası́ Bi = donde ej = (δij ). Claramente, det(B) = det(B1 , . . . , n  bij ej , . . . , Bn ) = j=1 = n  n  n j=1 bij ej , bij det(B1 , . . . , ej , . . . , Bn ) j=1 bij (−1)i+j Bij . j=1 La otra igualdad se prueba análogamente. Pasemos ahora a mostrar el interés teórico de los determinantes. En primer lugar veremos que los determinantes determinan cuándo una matriz es regular. Definición 10.19 Sea A un dominio y B ∈ Matn (A). Llamaremos matriz adjunta de B a la matriz B̃ ∈ Matn (A) dada por b̃ij = (−1)i+j Bji . Notar que en la posición (i, j) está el menor complementario de bji , es decir, B̃ se forma sustituyendo en B cada elemento por su menor complementario multiplicado por el signo adecuado y después trasponiendo la matriz resultante. Por ejemplo, si   1 3 −2 0 , B= 5 1 −3 4 2 entonces        5 1   5  1 0  0      = 23, B11 =  = 10, B13 =  = 2, B12 =  −3 4  −3 2  4 2             3 −2   = 14, B22 =  1 −2  = −4, B23 =  1 3  = 13, B21 =      −3 4  −3 2 4 2        1  1 −2   3 −2  3      = 2, = 14. = 10, B = B = B31 =  33 32  5  5 1  0  1 0  Al reemplazar cada elemento por su menor con el signo adecuado queda   2 −10 23  −14 −4 −13  2 −10 −14 luego la matriz adjunta de B es  2 B̃ =  −10 23  −14 2 −4 −10  . −13 −14 171 10.2. Determinantes Teorema 10.20 Sea A un dominio y B ∈ Matn (A). Entonces B B̃ = B̃B = |B|In . n Demostración: El término (i, j) de B B̃ es igual a k=1 bik (−1)k+j Bjk . n Si i = j queda k=1 bik (−1)k+j Bik = |B| por el teorema 10.18, luego los elementos de la diagonal principal de B B̃ son todos iguales a |B|. Si i = j llamemos D la matriz cuyas filas son las de B salvo que en la posición j-ésima tiene repetida la fila i-ésima. Entonces |D| = 0 y desarrollando por la n n fila j-ésima queda 0 = |D| = k=1 djk (−1)k+j Djk = k=1 bik (−1)k+j Bjk , o sea, los elementos fuera de la diagonal principal de B B̃ son nulos. Por lo tanto, B B̃ = |B|In . Del mismo modo se prueba la otra igualdad. Esto significa que la matriz adjunta de una matriz B es casi su matriz inversa. Para obtener la inversa sólo falta que sea lı́cito dividir entre el determinante de B. La situación es la siguiente: Teorema 10.21 Sea A un dominio y B ∈ Matn (A). Entonces la matriz B es regular si y sólo si |B| es una unidad de A, y en tal caso B −1 = 1 B̃. |B| Demostración: Si la matriz B es regular, entonces existe B −1 de manera que BB −1 = In , luego tomando determinantes |B| |B −1 | = |In | = 1, lo que prueba que |B| es una unidad de A. 1 B̃ ∈ Matn (A). Por el Si |B| es una unidad de A, entonces sea C = |B| teorema anterior, BC = CB = In, luego B es regular y B −1 = C. En particular una matriz con coeficientes en un cuerpo es regular si y sólo si su determinante es distinto de cero. Aplicación: La regla de Cramer Los resultados anteriores nos dan una expresión sencilla en términos de determinantes para las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales:  a11 x1 + · · · + a1n xn = b1  ··················  an1 xn + · · · + ann xn = bn Claramente podemos escribirlo matricialmente como Axt = bt , donde A = (aij ) es la matriz de los coeficientes, b = (bi ) es el vector de términos independientes y x = (x1 , . . . , xn ). Si |A| = 0, el sistema tiene una única solución, dada por 1 xt = A−1 bt = Ãbt . |A| 172 Capı́tulo 10. Matrices y determinantes En particular, xj = 1 n (−1)i+j bi Aij . |A| i=1 Ahora bien, si llamamos C = (cuv ) a la matriz que resulta de sustituir en A su columna j-ésima por el vector b, tenemos que Cij = Aij para todo i, ası́ como que cij = bi , luego, aplicando el teorema 10.18, llegamos a que xj = |C| 1 n (−1)i+j cij Cij = . |A| i=1 |A| En resumen: Regla de Cramer: La j-ésima coordenada de la solución de un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas (cuya matriz de coeficientes A tenga determinante no nulo) puede calcularse dividiendo entre |A| el determinante de la matriz que resulta de sustituir la columna j-ésima de A por el vector de términos independientes. Ejemplo La solución del sistema de ecuaciones  x − 2y + z = 3  2x + 2y − z = 1  x+ y+z =2 Puede calcularse con la regla de Cramer, pues    1 −2 1    2 2 −1  = 9 = 0,   1 1 1  y viene dada por    3 −2 1   1 2 −1  x =  1 9 2 1 1    1 3 1 y =  2 1 9 1 2 lo que nos da (x, y, z) = (4/3, −1/3, 1). 1 −1 1    ,     1 1 z =  2 9 1  −2 3  2 1  , 1 2  Los determinantes también nos permiten decidir si n elementos de un módulo libre de rango n son o no linealmente independientes, y si son o no una base. Teorema 10.22 Sea A un dominio ı́ntegro, sea M un A-módulo libre de rango n, sea (v1 , . . . , vn ) una base ordenada de M , sean w1 , . . . , wn elementos de M y sea B = (bij ) la matriz cuyas filas son las coordenadas de w1 , . . . , wn en la base dada. Entonces: 1. (w1 , . . . , wn ) es una base de M si y sólo si |B| es una unidad de A. 2. (w1 , . . . , wn ) son linealmente independientes si y sólo si |B| = 0. 10.2. Determinantes 173 Demostración: 1) Por 7.31 existe un homomorfismo f : M −→ M tal que f (vi ) = wi para cada i = 1, . . . , n. La matriz de f en la base (v1 , . . . , vn ) es precisamente B. Si w1 , . . . , wn forman una base de M entonces también existe un homomorfismo g : M −→ M tal que f (wi ) = vi para cada i = 1, . . . , n. La composición f ◦ g es la identidad sobre la base (v1 , . . . , vn ), luego por la unicidad del teorema 7.31 se cumple que f ◦ g es la aplicación identidad en M . Igualmente g ◦ f es la identidad en M . Esto prueba que f es un isomorfismo y por lo tanto |B| es una unidad. Si |B| es una unidad, la aplicación f es un isomorfismo, luego (w1 , . . . , wn ) es una base de M (pues son la imagen de una base por un isomorfismo). 2) Como la aplicación que asocia a cada elemento de M sus coordenadas en la base dada es un isomorfismo entre M y An , los elementos w1 , . . . , wn son linealmente dependientes si y sólo si lo son sus coordenadas, es decir, las filas de B. Las filas de B son linealmente independientes en An si y sólo si son linealmente independientes en K n , donde K es el cuerpo de fracciones de A. En efecto, si tenemos una combinación lineal de las filas de B con coeficientes en K no todos nulos y que es igual a 0, multiplicando por el producto de los denominadores de los coeficientes no nulos, obtenemos una nueva combinación lineal que también anula a las filas de A, ahora con los coeficientes en A y no todos nulos. La otra implicación es obvia. Como K n es un espacio vectorial de dimensión n, las filas de B son linealmente independientes en K n si y sólo si son una base de K n . Por 1), las filas de B son una base de K n si y sólo si |B| es una unidad en K, o sea, si y sólo si |B| = 0. Concluimos la sección con otra aplicación de los determinantes, esta vez al cálculo del cardinal de los módulos cociente de los Z-módulos libres. Teorema 10.23 Sea M un Z-módulo libre de rango m y sea N un submódulo de rango n. Entonces: 1. El módulo cociente M/N es finito si y sólo si n = m. 2. Si n = m, (v1 , . . . , vn ) es una base de M , (w1 , . . . , wn ) es una base de N y B es la matriz cuyas filas son las coordenadas de w1 , . . . , wn en la base (v1 , . . . , vn ), entonces el cardinal de M/N es | det B|. Demostración: 1) Sea (z1 , . . . , zm ) una base de M tal que (a1 z1 , . . . , an zn ) sea una base de N para ciertos elementos a1 , . . . , an ∈ Z (de acuerdo con el teorema 7.30). Sea R = (Z/a1 Z) × · · · × (Z/an Z) × Zm−n . Sea f : M −→ R el homomorfismo que a cada zi lo envı́a a la n-tupla que tiene un 1 en la posición i-ésima y 0 en las restantes. Obviamente f es un epimorfismo y un elemento c1 z1 + · · · + cm zm está en N(f ) si y sólo si [c1 ], . . . , [cn ], cn+1 , . . . , cm = 0, lo que equivale a que ai | ci para i = 1, . . . , n y ci = 0 para i = n + 1, . . . , m. 174 Capı́tulo 10. Matrices y determinantes Consecuentemente, N(f ) = a1 z1 , . . . , an zn  = N , y por el teorema de isomorfı́a M/N ∼ = (Z/a1 Z) × · · · × (Z/an Z) × Zm−n . El cociente será finito si y sólo si m − n = 0, o sea, si y sólo si m = n. 2) Si m = n, en las condiciones de 1) tenemos |M/N | = |(Z/a1 Z) × · · · × (Z/an Z)| = |a1 · · · an | = | det C|, donde C es la matriz que tiene a a1 , . . . , an en la diagonal y los restantes coeficientes nulos. Sea f : N −→ M la aplicación dada por f (x) = x para todo x ∈ N . La matriz de f en las bases (a1 z1 , . . . , an zn ) y (z1 , . . . , zn ) es precisamente C. Sea P la matriz de la aplicación identidad en N respecto de las bases (w1 , . . . , wn ) y (a1 z1 , . . . , an zn ) (la matriz de cambio de base). Por el teorema 10.21 tenemos que |P | = ±1. Sea Q la matriz de la aplicación identidad en M respecto de las bases (z1 , . . . , zn ) y (v1 , . . . , vn ). Por la misma razón |Q| = ±1. Por el teorema 10.4 la matriz P CQ es la matriz de f respecto de las bases (w1 , . . . , wn ) y (v1 , . . . , vn ). Por lo tanto las filas de P CQ son las coordenadas de w1 , . . . , wn en la base (v1 , . . . , vn ), es decir, B = P CQ. Tomando determinantes y valores absolutos, | det B| = | det P | | det C| | det Q| = | det C| = |M/N |. 10.3 Formas bilineales En las secciones anteriores hemos visto cómo las matrices describen homomorfismos entre módulos libres y cómo los determinantes aportan información sobre las matrices. Aquı́ emplearemos la matrices (y por lo tanto los determinantes) para describir otros objetos algebraicos de interés: las formas bilineales. Aunque podrı́amos trabajar más en general, nos centramos en el caso que realmente nos va a interesar en la práctica. Definición 10.24 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Una forma bilineal en V es una aplicación F : V × V −→ K tal que para todo v1 , v2 , v ∈ V , y todo a, b ∈ K se cumple F (av1 + bv2 , v) = aF (v1 , v) + bF (v2 , v), F (v, av1 + bv2 ) = aF (v, v1 ) + bF (v, v2 ). La aplicación determinante es un ejemplo de forma bilineal en K 2 , pero es antisimétrica, y ahora nos vamos a interesar por las formas bilineales opuestas: Una forma bilineal F es simétrica si para todo par de vectores v1 , v2 ∈ V se cumple F (v1 , v2 ) = F (v2 , v1 ). 175 10.3. Formas bilineales Si B = (v1 , . . . , vm ) es una base ordenada de V , llamaremos matriz de F respecto a dicha base a  MB (F ) = F (vi , vj ) . Teorema 10.25 Sea F : V × V −→ K una forma bilineal en un K-espacio vectorial V . Sea B = (v1 , . . . , vm ) una base ordenada de V . Entonces MB (F ) es la única matriz de Matn (K) tal que para todo v, v ′ ∈ V se cumple F (v, v ′ ) = ΦB (v) MB (F ) ΦB (v ′ )t . Demostración: Sea ΦB (v) = (x1 , . . . , xm ) y ΦB (v ′ ) = (y1 , . . . , yn ). Entonces   m  m n n    F (v, v ′ ) = F  xi F (vi , vj ) yj xi vi , yj vj  = i=1 = i=1 j=1 j=1 ′ t ΦB (v) MB (F ) ΦB (v ) . Si una matriz tiene esta propiedad, aplicándola a los vectores vi y vj obtenemos que su componente (i, j) ha de ser precisamente F (vi , vj ). Ejercicio: Probar que una forma bilineal es simétrica si y sólo si su matriz en una base cualquiera es simétrica. Ejercicio: Encontrar la relación entre las matrices de una misma forma bilineal en dos bases distintas. Las formas bilineales están muy relacionadas con el concepto de espacio dual, que introducimos seguidamente. Definición 10.26 Si K es un cuerpo y V es un K-espacio vectorial, llamaremos espacio dual de V a V ∗ = Hom(V, K). Si V tiene dimensión finita n sabemos que V ∗ ∼ = Matn×1 (K), luego en particular dim V ∗ = dim V . Con más exactitud, si B = (v1 , . . . , vn ) es una base de V y fijamos 1 como base de K, entonces la aplicación MB1 determina un isomorfismo entre V ∗ y Matn×1 (K). Una base del segundo espacio la forman los vectores ei = (δij ). La antiimagen de ei por el isomorfismo es una aplicación vi∗ tal que MB1 (vi∗ ) = ei , lo que significa que vi∗ (vj ) = δij . La base B ∗ = (v1∗ , . . . , vn∗ ) se llama base dual de (v1 , . . . , vn ). Es fácil hallar las coordenadas de un elemento de V ∗ respecto a esta base: Teorema 10.27 Sea K un cuerpo, V un K-espacio vectorial y B = (v1 , . . . , vn ) una base V . Entonces, las coordenadas en la base dual B ∗ = (v1∗ , . . . , vn∗ ) de un elemento cualquiera v ∗ ∈ V ∗ son ΦB ∗ (v ∗ ) = v ∗ (v1 ), . . . , v ∗ (vn ) . 176 Capı́tulo 10. Matrices y determinantes Demostración: Basta observar que   n n n    ∗ ∗ v ∗ (vi )δij = v ∗ (vj ), v ∗ (vi )vi∗ (vj ) = v (vi )vi (vj ) = i=1 i=1 i=1 y como ambas aplicaciones lineales coinciden sobre la base B, han de ser iguales, n o sea, v ∗ = i=1 v ∗ (vi )vi∗ . Ejercicio: Probar que si f : V −→ W es una aplicación lineal entre espacios vectoriales, entonces la aplicación dual f ∗ : W ∗ −→ V ∗ dada por f ∗ (w∗ ) = f ◦ w∗ es también lineal. Además f ∗ es inyectiva (suprayectiva) si y sólo si f es suprayectiva (inyectiva). B∗ ∗ Dadas bases B y C, hallar la relación entre MC B (f ) y MC ∗ (f ). Si F : V × V −→ K es una forma bilineal simétrica tenemos definida una aplicación lineal ιF : V −→ V ∗ v → V −→ K w → F (v, w) Consideremos una base B = (v1 , . . . , vn ) de V y vamos a calcular la matriz de esta aplicación respecto a las bases B y B ∗ . El elemento (i, j) de esta matriz será la coordenada j-ésima de ι(vi ), pero según el teorema anterior se trata de ∗ ιF (vi )(vj ) = F (vi , vj ). Por lo tanto MB B (ιF ) = MB (F ). Definición 10.28 Una forma bilineal simétrica F : V × V −→ K es regular si la aplicación ιF es inyectiva. Si el espacio V tiene dimensión finita esto equivale a que ιF sea un isomorfismo, y por el teorema 10.6 esto equivale a que MB (F ) sea una matriz regular (para una base cualquiera B de V ), o a que |MB (F )| = 0. Ası́ pues, toda forma bilineal simétrica regular en un espacio vectorial de dimensión finita induce un isomorfismo entre V y su espacio dual, del que hay que destacar que no depende de ninguna elección de bases. Si B = (v1 , . . . , vn ) es una base de V , la antiimagen por ιF de su base dual es una base B ∗ = (v1∗ , . . . , vn∗ ) de V (a la que también llamaremos base dual de B) caracterizada por que F (vi , vj∗ ) = δij , para todo par de ı́ndices i, j. Al igual que las demás construcciones algebraicas abstractas, las formas bilineales aparecen en contextos muy diversos en el estudio de los números. Dado el nivel introductorio de este libro, a nosotros sólo nos aparecerán en el ejemplo siguiente: Teorema 10.29 Sea K/k una extensión de cuerpos finita separable. Entonces la traza determina una forma bilineal simétrica regular dada por K ×K (α, β) −→ k → Tr(αβ) 177 10.3. Formas bilineales Demostración: Es claro que la aplicación ası́ definida es una forma bilineal simétrica. Calculemos su matriz en una base cualquiera B = (v1 , . . . , vn ) de K. Sean σ1 , . . . , σn los k-monomorfismos de K. Entonces  n   n    MB = (Tr(vi vj )) = σk (vi vj ) = σk (vi )σk (vj ) k=1 =  σk (vi ) ik  σk (vj ) k=1 kj   t = σi (vj ) σi (vj ) .  2 Por lo tanto |MB | = σi (vj ) . Basta comprobar que este determinante es no nulo para una base en particular. Concretamente, por el teorema del elemento primitivo sabemos que K = k(α) para cierto α ∈ K, y una k-base de K es B = (1, α, . . . , αn−1 ). Para esta base, el determinante que hemos de calcular es     1 ··· 1     σ1 (α) · · · σn (α)   ,  .. ..   . .    σ1 (α)n−1 · · · σn (α)n−1  y este determinante es de Vandermonde, y su segunda fila la forman los n conjugados de α, que son todos distintos (pues α es separable y su polinomio mı́nimo tiene grado n). Por lo tanto |MB | = 0 y la forma es regular. En particular hemos probado que la traza de una extensión finita separable es siempre no nula (lo que en caracterı́stica prima no es trivial). √ Ejercicio: Considerar el cuerpo Q 3 . Calcular la base dual respecto a la traza de  √ la base 1, 3 . Conviene extraer algunas ideas de la demostración del teorema anterior: Definición 10.30 Sea K/k una extensión finita separable y B = (v1 , . . . , vn ) una k-base de K. Llamaremos discriminante de B al determinante de la matriz de la forma bilineal asociada a la traza respecto a la base B. Equivalentemente:    2 ∆[B] = ∆[v1 , . . . , vn ] = Tr(vi vj ) = σi (vj ) , donde σ1 , . . . , σn son los k-monomorfismos de K. Notar que la segunda expresión implica que ∆[B] no depende del orden de los elementos de la base B (ni por supuesto del de los monomorfismos), pues una alteración de dicho orden se traduce en una permutación de las filas o columnas del determinante, lo que a lo sumo implica un cambio de signo que a su vez es absorbido por el cuadrado. Hemos probado que ∆[B] ∈ k es no nulo y si α es un elemento primitivo de la extensión, entonces   & 2 ∆ 1, α, . . . αn−1 = σj (α) − σi (α) . i<j Hay una última propiedad de los discriminantes que conviene observar. 178 Capı́tulo 10. Matrices y determinantes Teorema 10.31 Sea K/k una extensión de cuerpos finita separable y sean B, 2   C dos k-bases de K. Entonces ∆[B] = MC B ∆[C]. Demostración: Basta probar que las matrices de la forma bilineal asociada a traza guardan la relación  C MB = MC B MC MB t . (10.2) Ahora bien, para todo v, w ∈ K,  C ΦB (v) MC B MC MB t ΦB (w)t = ΦC (v) MC ΦC (w)t = T r(vw), luego por la unicidad de la matriz de una forma bilineal, se cumple (10.2). Capı́tulo XI Enteros algebraicos Con la teorı́a de anillos, la teorı́a de cuerpos y el álgebra lineal que hemos estudiado, estamos en condiciones de iniciar el estudio de los números desde un punto de vista moderno. La teorı́a algebraica de números dejó de ser una colección de resultados dispersos cuando, a finales del siglo XIX, Dedekind introdujo los enteros algebraicos, gracias a los cuales los profundos resultados alcanzados años atrás por Gauss, Kummer, Dirichlet, Eisenstein, y muchos más admitı́an un tratamiento unificado. Puede decirse que la teorı́a algebraica de números es precisamente el estudio de los anillos de enteros algebraicos. Si pensamos en los números algebraicos como una generalización de los números racionales, los enteros algebraicos son entonces el paralelo de los números enteros. 11.1 Definición y propiedades básicas Aunque la teorı́a de enteros algebraicos se puede desarrollar a un nivel más general, como una teorı́a de extensiones de anillos similar a la de extensiones de cuerpos, nosotros haremos fuerte uso de que Z es un dominio euclı́deo, por lo que habremos de limitarnos a trabajar con Z como anillo base y, en consecuencia, con Q como cuerpo base. Por ello conviene introducir antes que nada el concepto de cuerpo numérico. Definición 11.1 Un cuerpo numérico es una extensión finita de Q. En general, siempre que apliquemos a un cuerpo numérico K conceptos de la teorı́a de extensiones de cuerpos se entenderá que se refieren a la extensión K/Q. Por ejemplo, el grado de un cuerpo numérico será el grado sobre Q, un cuerpo numérico cı́clico o abeliano será una extensión finita de Galois de Q cuyo grupo de Galois es cı́clico o abeliano, etc. Consideremos un cuerpo K de caracterı́stica 0, es decir, un cuerpo que contiene al cuerpo Q de los números racionales. Un elemento a ∈ K es algebraico sobre Q (o, simplemente, algebraico) si y sólo si es la raı́z de un polinomio no 179 180 Capı́tulo 11. Enteros algebraicos nulo con coeficientes racionales, pero multiplicando dicho polinomio, en caso de que exista, por el producto de los denominadores de sus coeficientes no nulos obtenemos un polinomio con coeficientes enteros con las mismas raı́ces. Ası́ pues un elemento de K es algebraico si y sólo si es la raı́z de un polinomio con coeficientes enteros. El concepto de entero algebraico surge imponiendo una restricción: Definición 11.2 Sea K un cuerpo de caracterı́stica 0. Un elemento a ∈ K es un entero algebraico si es la raı́z de un polinomio mónico con coeficientes enteros. Como los enteros algebraicos son en particular números algebraicos, podemos limitarnos a estudiar los enteros algebraicos del cuerpo A. Llamaremos E al conjunto de los enteros algebraicos de A. Si K es un cuerpo numérico llamaremos OK al conjunto de los enteros algebraicos de K (La O hace referencia a ‘orden’, aunque aquı́ no introduciremos este concepto en general). Claramente tenemos que OK = K ∩ E. La caracterización siguiente muestra entre otras cosas que no todos los números algebraicos son enteros algebraicos. Teorema 11.3 Un elemento algebraico a de una extensión de Q es un entero algebraico si y sólo si pol mı́n(a, Q) ∈ Z[x]. Demostración: Una implicación es obvia. Supongamos que a es un entero algebraico y sea p(x) ∈ Z[x] un polinomio mónico tal que p(a) = 0. Sea q(x) un factor irreducible de p(x) en Z[x] tal que q(a) = 0. Existe un polinomio r(x) ∈ Z[x] tal que p(x) = q(x)r(x). Como el producto de los coeficientes directores de q(x) y r(x) debe ser igual al coeficiente director de p(x) que es 1, el coeficiente director de q(x) debe ser ±1. Podemos exigir que sea 1 y ası́ q(x) es un polinomio mónico irreducible en Z[x] del que a es raı́z. Por el criterio de Gauss, q(x) también es irreducible en Q[x], luego q(x) = pol mı́n(a, Q) ∈ Z[x]. Otra consecuencia de este teorema es que los enteros algebraicos de Q son precisamente los números enteros: Teorema 11.4 OQ = Z. Demostración: Un número racional q es un entero algebraico si y sólo si pol mı́n(q, Q) ∈ Z[x], si y sólo si x − q ∈ Z[x], si y sólo si q ∈ Z. El lector debe notar el paralelismo entre el teorema siguiente y resultados similares sobre cuerpos. Teorema 11.5 Sea K un cuerpo de caracterı́stica 0. Un elemento c ∈ K es    un entero algebraico si y sólo si Z[c] = q(c)  q(x) ∈ Z[x] es un Z-módulo finitamente generado. En tal caso es libre de rango |Q(c) : Q|. 11.1. Definición y propiedades básicas 181 Demostración: Supongamos que c es un entero algebraico. Entonces su polinomio mı́nimo p(x) tiene coeficientes enteros y su grado es n = |Q(c) : Q|. Veamos que Z[c] = cm | m = 1, . . . , n − 1 . (11.1) Un elemento arbitrario de Z[c] es de la forma q(c), donde q(x) es un polinomio con coeficientes enteros. Dividimos q(x) = p(x)u(x) + r(x), donde u y r tienen ambos coeficientes enteros y el grado de r es menor que n. Entonces resulta que q(c) = r(c), luego pertenece al miembro derecho de (11.1), y la otra inclusión es obvia. De hecho el generador (1, c, . . . , cn−1 ) es una base, pues una combinación lineal nula es de la forma r(c) = 0, con r(x) ∈ Z[x] de grado menor que n, luego concluimos que r = 0. Supongamos ahora que Z[c] es finitamente generado. Digamos que admite n generadores v1 , . . . , vn . Cada vi es un polinomio en c con coeficientes enteros. Sea m mayor que el grado de cualquiera de dichos polinomios. Entonces cm se expresa como combinación lineal con coeficientes enteros de los vi , luego en definitiva cm = q(c), con q(x) ∈ Z[x] de grado menor que m. La ecuación cm − q(c) = 0 justifica que c es un entero algebraico. De aquı́ podemos deducir las propiedades básicas de los enteros algebraicos. En primer lugar probamos que forman un anillo. Teorema 11.6 El conjunto E es un subanillo de A. Si K es un cuerpo numérico entonces OK es un subanillo de K. Demostración: Sean c, d ∈ E. Hay que probar que c + d y cd están en E. Sea {v1 , . . . , vn } un generador de Z[c] y sea {w1 , . . . , wm } un generador de Z[d]. Sea M el Z-módulo generado por los todos los productos vi wj . Todo cr se expresa como combinación lineal con coeficientes enteros de los vi y todo ds se expresa como combinación lineal con coeficientes enteros de los wj . Al multiplicar estas expresiones obtenemos una expresión de cr ds como combinación lineal con coeficientes enteros de los generadores de M , luego cada cr ds ∈ M . En particular, Z[cd] ⊂ M , luego es un Z-módulo finitamente generado (teorema 7.30). Por el teorema anterior cd ∈ E. Al desarrollar (c + d)k obtenemos una combinación lineal con coeficientes enteros de elementos de la forma cr ds , que están en M , luego Z[c + d] ⊂ M y también se cumple que c + d ∈ E. Obviamente OK = E ∩ K es un subanillo de K. Es costumbre referirse a los elementos del anillo OK como a los enteros de K, es decir, reservar la palabra ‘entero’ para los enteros algebraicos en lugar para los enteros de Z. Por este mismo convenio los enteros de Z = OQ son los enteros racionales, si K = Q(ω) es el cuerpo ciclotómico p-ésimo, los elementos de OK se llaman enteros ciclotómicos, etc. La relación entre K y OK es similar a la relación existente entre Q y Z. Por ejemplo, igual que Q es el cuerpo de cocientes de Z, se cumple que K es el cuerpo de cocientes de OK . Esto se deduce del resultado siguiente. 182 Capı́tulo 11. Enteros algebraicos Teorema 11.7 Para cada c ∈ A existe un entero racional no nulo m de manera que mc ∈ E. Demostración: Sea pol mı́n(c, Q) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 . Sea m el producto de los denominadores de todos los coeficientes no nulos de p(x). Entonces mn (cn + an−1 cn−1 + · · · + a1 c + a0 ) = 0, luego (mc)n + an−1 m(mc)n−1 + · · · + a1 mn−1 (mc) + a0 = 0. Por lo tanto, xn + an−1 mxn−1 + · · · + a1 mn−1 x + a0 es un polinomio mónico con coeficientes enteros del cual es raı́z mc. Teorema 11.8 Si K es un cuerpo numérico, entonces K es el cuerpo de cocientes de OK . Demostración: Si a ∈ K, entonces existe un entero racional no nulo m tal que ma ∈ OK , por lo tanto a = (ma)/m está en el cuerpo de cocientes de OK . Otra consecuencia importante del teorema 11.7 es que los elementos primitivos siempre se pueden tomar enteros: Teorema 11.9 Sea K un cuerpo numérico. Entonces existe un c ∈ OK tal que K = Q(c). Demostración: Por el teorema del elemento primitivo existe un a ∈ K tal que K = Q(a). Sea m un entero racional no nulo tal que c = ma sea entero en K. Claramente K = Q(c). Un paso más de cara a reproducir para anillos de enteros los resultados que conocemos sobre cuerpos es demostrar que si K es un cuerpo numérico de grado n entonces OK es un Z-módulo libre de rango n. Para ello nos apoyaremos en los discriminantes que definimos al final del capı́tulo anterior. He aquı́ un par de hechos adicionales sobre ellos que vamos a necesitar: Teorema 11.10 Sea K un cuerpo numérico de grado n y B una base de K formada por enteros. Entonces ∆[B] ∈ Z y ∆[B] ≡ 0, 1 (mód 4). Demostración: Sea B = (b1 , . . . , bn ). Por hipótesis b1 , . . . , bn son enteros, luego sus conjugados también lo son (los polinomios mı́nimos son los mismos), luego ∆[B] es por definición el cuadrado del determinante de una matriz de coeficientes enteros, luego es entero y además es un número racional, luego es un entero racional. Para obtener la segunda parte consideramos los monomorfismos de K, digamos σ1 , . . . σn , sea L la clausura normal de K/Q y sea ρ un automorfismo de L. Sea A = σi (bj ) . El determinante de A es una suma de productos de la forma ±στ (1) (b1 ) · · · στ (n) (bn ), 183 11.1. Definición y propiedades básicas donde τ ∈ Σn . Si le aplicamos ρ obtenemos un término de la forma   ±ρ στ (1) (b1 ) · · · ρ στ (n) (bn ) . Ahora bien, cada monomorfismo σi ρ ha de ser un σρ(i) , para cierto ı́ndice ρ(i) (y ahora estamos llamando ρ a una permutación de {1, . . . , n} inducida por el automorfismo ρ). Por lo tanto la imagen por ρ del producto es ±σρ(τ (1)) (b1 ) · · · σρ(τ (n)) (bn ), es decir, el sumando del determinante correspondiente a la permutación τ ρ. Si (la permutación inducida por) ρ es una permutación par entonces ρ envı́a sumandos con signo positivo a sumandos con signo positivo y sumandos con signo negativo a sumandos con signo negativo, mientras que si ρ es impar entonces intercambia los sumandos positivos con los negativos. En otras palabras, si llamamos respectivamente P y N a la suma de términos positivos y negativos (sin el signo) del determinante de A, tenemos que det A = P − N y o bien ρ(P ) = P y ρ(N ) = N , o bien ρ(P ) = N y ρ(N ) = P . En cualquier caso ρ(P + N ) = P + N y ρ(P N ) = P N , para todo automorfismo ρ, luego concluimos que P +N , P N ∈ Q. Además son enteros algebraicos, luego están en Z. Finalmente, ∆[B] = (P − N )2 = (P + N )2 − 4P N ≡ (P + N )2 ≡ 0, 1 (mod 4), pues todo cuadrado es 0 o 1 módulo 4. Teorema 11.11 Sea K un cuerpo numérico de grado n. Entonces OK es un Z-módulo libre de rango n. Demostración: Por 11.9 sabemos que K = Q(c), donde c ∈ OK . Entonces 1, c, . . . , cn−1 es una base de K formada por enteros. Podemos tomar una base de K B = {b1 , . . . , bn } formada por enteros tal que el número na tural ∆[b1 , . . . , bn ] sea mı́nimo. Vamos a probar que entonces {b1 , . . . , bn } es una base de OK como Z-módulo. Obviamente sus elementos son linealmente independientes sobre Z, pues lo son sobre Q. Basta probar que generan OK . Supongamos, por el contrario, que existe un elemento d ∈ OK que no pertenezca al submódulo generado por {b1 , . . . , bn }. Como en cualquier caso {b1 , . . . , bn } es una base de K, se cumplirá que d = a1 b1 + · · · + an bn , (11.2) para ciertos números racionales a1 , . . . , an no todos enteros. Podemos suponer que a1 ∈ / Z. Sea a1 = a + r, donde a ∈ Z y 0 < r < 1. Sustituyendo en (11.2) obtenemos que rb1 + a2 b2 + · · · + an bn = d − ab1 ∈ OK . 184 Capı́tulo 11. Enteros algebraicos Si llamamos c1 a este elemento y ci = bi para i = 2, . . . , n obtenemos una nueva base C de K formada por enteros tal que   r a2 a3 · · · an  0 1 0 ··· 0     0 0 1 ··· 0  MB . C =  .. .. .. . . ..   . . . . .  0 0 0 ··· 1    Claramente MB C = r y en consecuencia       ∆[C] = r2 ∆[B] < ∆[B], en contra de la elección de B. Por lo tanto B es una base de OK como Z-módulo. Definición 11.12 Sea K un cuerpo numérico. Una base entera de K es una base de OK como Z-módulo. Como todo elemento de K es de la forma c/m, donde c ∈ OK y m ∈ Z, es inmediato que una base entera de K es un generador de K como Q-espacio vectorial, luego es de hecho una base de K. Ası́, si α1 , . . . , αn es una base entera de K, tenemos que K OK = {a1 α1 + · · · + an αn | a1 , . . . , an ∈ Q}, = {a1 α1 + · · · + an αn | a1 , . . . , an ∈ Z}. En otros términos, los enteros de K son los elementos cuyas coordenadas son enteras. Es importante tener claro que una base de un cuerpo K formada por enteros no es necesariamente una base entera. Basta pensar que si v1 , . . . , vn es una base entera de K, entonces 2v1 , . . . , vn sigue siendo una base de K formada por enteros, pero ya no es una base entera, pues v1 es un entero algebraico y no tiene coordenadas enteras respecto a esta segunda √ base. √ Un ejemplo más concreto: Es obvio que 1, 5 forman una base de Q 5 y sus miembros son sin duda enteros algebraicos, pero √ para que fueran una base entera harı́a falta que los enteros algebraicos de Q 5 fueran exactamente los elementos de √ √ ! 1, 5 = {m + n 5 | m, n ∈ Z}, y esto no es evidente en absoluto ¡como que es falso! Ejercicio: Probar que √ 1+ 5 2 es un entero algebraico. En general, determinar el anillo de enteros algebraicos de un cuerpo numérico dado es un problema, cuanto menos, laborioso. Antes de ver algunos ejemplos conviene entender un poco mejor la situación en general. 11.2. Ejemplos de anillos de enteros algebraicos 185 Sea B una base entera de un cuerpo numérico K y C cualquier otra base formada por enteros. Entonces cada componente de C se expresa como comB binación lineal  de B con coordenadas enteras, es decir, MC ∈ Matn (Z), luego   es un número natural no nulo y n = det MB C ∆[C] = n2 ∆[B]. La base C será una base entera si y sólo si es una base de OK . Por el teorema 10.22 esto sucede si y sólo si det MB C = ±1, o sea, si y sólo si n = 1, si y sólo si ∆[C] = ∆[B]. En particular todas las bases enteras de K tienen el mismo discriminante. Llamaremos discriminante de un cuerpo numérico K al discriminante de cualquier base entera de K. Lo representaremos por ∆K . Ası́ pues, hemos probado que si C es cualquier base de K formada por enteros, entonces C es una base entera si y sólo si ∆[C] = ∆K , y en general se tiene ∆[C] = n2 ∆K , es decir, el discriminante de cualquier base formada por enteros es divisible entre el discriminante de K (y el cociente es un cuadrado). Ahora se entiende mejor por qué hemos demostrado la existencia de bases enteras tomando una con discriminante mı́nimo. Una consecuencia obvia es la siguiente: Teorema 11.13 Sea K un cuerpo numérico y B una base de K formada por enteros y tal que ∆[B] sea libre de cuadrados. Entonces B es una base entera de K. 11.2 Ejemplos de anillos de enteros algebraicos Enteros cuadráticos Como primer ejemplo veamos el caso de los cuerpos cuadráticos, es decir, los cuerpos numéricos de grado 2. En primer lugar, si K es un cuerpo cuadrático, K = Q(α), donde α es un entero algebraico, y por lo tanto raı́z de un polinomio x2 + bx + c ∈ Z[x]. Ası́ √ √ 2 pues, α = −b± 2b −4c y K = Q b2 − 4c . Podemos expresar b2 − 4c = m2 d, √  √ donde d es libre de cuadrados, y ası́ K = Q m d = Q d . √ Tenemos, pues, que todo cuerpo cuadrático es de la forma K = Q d , donde d es un entero libre de cuadrados (obviamente d = 1). Como √  √ √  pol mı́n d, Q = x2 − d = x + d x − d , √ resulta que los elementos de K son de la forma a + b d, donde a, b ∈ Q, la extensión K/Q es una extensión de Galois y sus automorfismos son la identidad √ √ y el determinado por σ d = − d. A este automorfismo lo llamaremos simplemente conjugación de K, y lo representaremos por una barra horizontal, es decir, √ √ a + b d = a − b d. 186 Capı́tulo 11. Enteros algebraicos √ En lo sucesivo, cuando hablemos de un cuerpo cuadrático Q d , sobrentenderemos que d es un entero libre de cuadrados. A la hora de encontrar el anillo de enteros de un cuerpo numérico, el primer √ paso es encontrar un elemento primitivo entero, en nuestro caso √ tenemos d. Esto nos da una base formada por enteros, concretamente {1, d}. Calculemos su discriminante: 2  √   1  √ 2 1   √ √ = −2 d = 4d. ∆ 1, d =  d − d  Con esto sabemos que el discriminante de K se diferencia de 4d a lo sumo en un cuadrado, y como d es libre de cuadrados, sólo hay dos posibilidades, ∆K = 4d o bien ∆K = d. El teorema 11.10 da una condición necesaria para el segundo caso, y es que d ≡ 1 (mód 4) (no puede ser d ≡ 0 (mód 4) porque d es libre de cuadrados). Veamos que la condición es también suficiente. Consideremos el número √ 1+ d α= . 2 Es fácil calcular su polinomio mı́nimo, que resulta ser x2 − x + 1−d . 4 Vemos, pues, que si d ≡ 1 (mód 4) entonces α es un entero algebraico y   ∆[1, α] =  1√ 1+ d 2 1√ 1− d 2 2   √  = − d  2 = d. Como d es libre de cuadrados concluimos que {1, α} es en este caso una base entera de K. Resumimos en un teorema lo que hemos obtenido. √ Teorema 11.14 Sea d un entero libre de cuadrados y K = Q d . √  1. Si d ≡ 1 (mód 4) entonces OK = Z d y ∆K = 4d.  √  2. Si d ≡ 1 (mód 4) entonces OK = Z 1+2 d y ∆K = d. √  Recordemos que el anillo Z −1 se conoce con el nombre de anillo de los enteros de Gauss. Éste fue el primer anillo √ de enteros algebraicos estudiado en profundidad. Es costumbre llamar i = −1, tal y como hemos venido haciendo hasta ahora. ′ Ejercicio:√ Probar que √ si d y d son enteros distintos libres de cuadrados entonces los ′ cuerpos Q d y Q d no son isomorfos. En general no es fácil calcular anillos de enteros, al menos no con la poca base teórica que tenemos. Disponemos de la suficiente álgebra para desarrollar 187 11.2. Ejemplos de anillos de enteros algebraicos la teorı́a general sobre anillos de enteros algebraicos, pero enfrentarse con casos concretos (por ejemplo para determinar bases enteras) es mucho más difı́cil que obtener resultados generales. Puede decirse que entre los anillos de enteros, si Z es la tierra firme, los cuerpos cuadráticos son la orilla del mar, pero queda un océano entero por explorar sobre el que podemos teorizar en la pizarra, pero obtener imágenes concretas de su fauna requiere expediciones demasiado bien equipadas para nuestras posibilidades. No obstante, curiosear en la orilla es un buen entrenamiento, y por ello los cuerpos cuadráticos van a ser nuestro modelo básico. No obstante a lo dicho, en esta sección haremos dos excursiones por las profundidades. Con una base mejor los argumentos que vamos a emplear podrı́an ser sustituidos por otros más conceptuales y más simples. Enteros ciclotómicos Sea ω una raı́z p-ésima primitiva de la unidad, donde p es un número primo impar, y consideremos el cuerpo K = Q(ω). Recordemos que en el capı́tulo VIII obtuvimos que p−1  p−1   i Tr ai , ai ω = pa0 − i=0 i=0 i ası́ como que N(ω ) = 1 para todo i, N(1 − ω) = p. Ahora debemos notar además que la norma y la traza de los enteros de un cuerpo numérico cualquiera son enteros racionales, pues por una parte son números racionales y por otra son producto (o suma) de enteros algebraicos, luego enteros. Con todo esto ya podemos demostrar el teorema siguiente: Teorema 11.15 Sea p un número primo impar y K = Q(ω), donde ω es una raı́z p-ésima primitiva de la unidad. Entonces OK = Z[ω]. p−2 i Demostración: Sea α = i=0 ai ω un entero ciclotómico de orden p. Hemos de probar que todos los coeficientes son enteros racionales. En principio sabemos que la traza es un entero. Más aún, para cada 0 ≤ k ≤ p−2 tenemos que Tr(αω −k ) ∈ Z. Ası́ tenemos la misma información sobre todos los coeficientes: Tr(αω −k ) Tr(αω) = pak − = − p−2  i=0 p−2  i=0 ai ∈ Z, para k = p − 1 ai ∈ Z. Por lo tanto pak ∈ Z para todo k = 0, . . . , p − 1. Llamemos bk = pak . Hemos de probar que p | bk para todo k, con lo que los ak serán también enteros. Consideremos π = 1 − ω. Sustituyendo ω = 1 − π y desarrollando obtenemos p−2 p−2   pα = bi ω i = ci π i , i=1 i=1 188 Capı́tulo 11. Enteros algebraicos donde p−2    j bj ∈ Z, (−1) ci = i j=i i para i = 0, . . . , p − 2. Como π = 1 − ω, por simetrı́a se cumple también bi = p−2  (−1)i j=i   j cj , i para i = 0, . . . , p − 2. Por lo tanto basta probar que p | cj para todo j, pues entonces estas fórmulas implican que p también divide a los bi . Lo probaremos por inducción. Suponemos que p | ci para cada i ≤ k − 1 y vamos a probar que p | ck , donde 0 ≤ k ≤ p − 2. La razón por la que hemos hecho el cambio de variable es que ω es una unidad de OK , mientras que π cumple N(π) = p (pronto veremos que esto implica que π es primo en OK ). Tenemos que p = N(1 − ω) = p−1 & i=1 (1 − ω i ) = (1 − ω)p−1 p−1 & i=1 (1 + ω + · · · + ω i−1 ) = π p−1 δ, para cierto δ ∈ OK . Esto implica que p ≡ 0 (mód π k+1 ), es decir, módulo el ideal generado por k+1 π en OK . Por otro lado, 0 ≡ pα = p−2  i=0 ci π i ≡ ck π k (mod π k+1 ), pues los términos anteriores a ck π k son múltiplos de p por hipótesis de inducción y los posteriores son múltiplos de π k+1 directamente. Esto equivale a que ck π k = ηπ k+1 para un cierto η ∈ OK , luego ck = ηπ. Finalmente tomamos normas: cp−1 = N(ck ) = N(η) N(π) = p N(η), luego en k efecto p | ck . Para calcular el discriminante de las extensiones ciclotómicas nos basaremos en el siguiente resultado general. Teorema 11.16 Sea K = Q(a) un cuerpo numérico de grado n y llamemos p(x) = pol mı́n(a, Q). Entonces  ∆[1, a, . . . , an−1 ] = (−1)n(n−1)/2 N p′ (a) , donde p′ (x) es la derivada formal de p(x). 189 11.2. Ejemplos de anillos de enteros algebraicos Demostración: Según vimos al final del capı́tulo anterior, &  2 ∆[1, a, . . . , an−1 ] = σj (a) − σi (a) , (11.3) 1≤i<j≤n donde σ1 (a), . . . , σn (a) son los conjugados de a. n  Por otro lado, p(x) = i=1 x − σi (a) , y se demuestra fácilmente (por inducción sobre n) que p′ (x) = n n &   j=1 i=1 i=j x − σi (a) , luego ′  p σj (a) = n &  i=1 i=j σj (a) − σi (a) para j = 1, . . . , n. Multiplicando todas estas ecuaciones obtenemos n n n & & &     ′ σj (a) − σi (a) . p′ σj (a) = σj p′ (a) = N p (a) = j=1 j=1 i,j=1 i=j    2 Agrupamos los pares σj (a) − σi (a) σ( a) − σj (a) = − σj (a) − σi (a) . El número de factores (−1) que aparecen es n(n − 1)/2, luego teniendo en cuenta (11.3) queda  ′ n(n−1)/2 ∆[1, a, . . . , an−1 ], N p (a) = (−1) y de aquı́ se sigue el teorema. Como caso particular obtenemos: Teorema 11.17 Sea p un primo impar. El discriminante del cuerpo ciclotómico de orden p es igual a (−1)(p−1)/2 pp−2 . Demostración: Sea ω una raı́z p-ésima primitiva de la unidad. Como los enteros ciclotómicos son el anillo Z[ω], una base entera de Q(ω) está formada p −1 por 1, ω, . . . , ω p−1 . El polinomio mı́nimo de ω es p(x) = xx−1 y su derivada vale pxp−1 (x − 1) − (xp − 1) p′ (x) = , (x − 1)2 luego p′ (ω) = pω p−1 ω−1 . Ası́ pues,  ′ pp−1 · 1p−1 = pp−2 . N p (ω) = p 190 Capı́tulo 11. Enteros algebraicos Como p es impar, (−1)(p−1)(p−2)/2 = (−1)(p−1)/2 y, por el teorema anterior, ∆[1, ω, . . . , ω p−1 ] = (−1)(p−1)/2 pp−2 . Ejercicio: Comprobar el teorema 11.16 sobre los cuerpos cuadráticos. √ √ El anillo de enteros de Q 3 2 . Vamos a probar que si K = Q 3 2 ,  √ entonces OK = Z 3 2 . √ Recordemos que si llamamos α = 3 2 y β, γ a las otras raı́ces del polinomio x3 − 2, entonces la clausura normal de K es Q(α, β) y los monomorfismos de K envı́an α a α, β y γ respectivamente. √ √ Un elemento de K es de la forma η = ud + vd 3 2 + wd 3 2 2 , donde u, v, w, d son enteros racionales primos entre sı́. Como la extensión tiene grado primo no hay cuerpos intermedios, luego pol mı́n(η, Q) tiene grado 3 y sus raı́ces son las imágenes de η por los tres monomorfismos de K, o sea, pol mı́n(η, Q) = (x − u v w u v w u v w − α − α2 )(x − − β − β 2 )(x − − γ − γ 2 ). d d d d d d d d d Operando (con bastante paciencia) se llega a pol mı́n(η, Q) = x3 − u3 + 2v 3 + 4w3 − 6uvw 3u 2 3u2 − 6vw x + x − . d d2 d3 Por lo tanto η será entero si y sólo si d d2 d3 | 3u | 3u2 − 6vw | u3 + 2v 3 + 4w3 − 6uvw (11.4) (11.5) (11.6) Si existe un primo p tal que p | d y p | u, entonces por (11.5) p2 | 6vw, lo que implica que p | v o p | w. Si p | v por (11.6) p3 | 4w3 − 6uvw, y como p2 | uv, también p2 | 4w3 , luego p = 2. Pero entonces 4 | 2w3 − 3uvw y 4 | uv, luego 4 | 2w3 y p | w, contradicción. Si p | w entonces p3 | 2v 3 − 6uvw, luego p2 | 2v 3 y p | v, contradicción. Ası́ pues (d, u) = 1 y entonces (11.4) implica que d√= 1 o d = 3. Basta probar que d no puede valer 3 y entonces η estará en Z 3 2 . Si d = 3, tenemos que (3, u) = 1, y de (11.5) se sigue que (3, v) = (3, w) = 1. Tomando clases módulo 3 en (11.6) queda [u] − [v] + [w] = 0. Las únicas posibilidades son [u] = [w] = [1], [v] = [−1] o bien [u] = [w] = [−1], [v] = [1]. Si hacemos u = 3k + 1, v = 3l − 1, w = 3r + 1, sustituimos en u3 + 2v 3 + 4w3 − 6uvw y tomamos clases módulo 27, después de operar queda [9], cuando por (11.6) deberı́a ser 0. 11.3. Divisibilidad en anillos de enteros 191 Con la segunda posibilidad llegamos a [−9], luego concluimos que d = 3 es imposible. Ahora el teorema 11.16 nos permite calcular el discriminante de la extensión: La derivada del polinomio mı́nimo de α es 3x2 , luego ∆K = (−1)3(3−1)/2 N(3α2 ) = − N(3) N(α)2 = −108. 11.3 Divisibilidad en anillos de enteros A la hora de estudiar la divisibilidad en anillos de enteros algebraicos es práctico hablar en términos de sus correspondientes cuerpos de cocientes, es decir, si K es un cuerpo numérico las unidades, los elementos irreducibles, primos etc. de K son por definición las unidades, elementos irreducibles, primos, etc. de OK . Todos estos conceptos serı́an triviales aplicados literalmente a K, por ser un cuerpo. Vamos a ver que los anillos de enteros tienen propiedades similares a las de Z, aunque no siempre son dominios de factorización única. No obstante, en el próximo capı́tulo veremos que la divisibilidad en estos anillos sigue unas leyes generales de las cuales la factorización única de Z es un caso particular. Una de las piezas clave en nuestro estudio será el hecho de que en los anillos OK hay definida una norma N : OK −→ Z que conserva los productos. Conviene recoger en un primer teorema sus propiedades principales: Teorema 11.18 Sea K un cuerpo numérico y N : OK −→ Z la norma asociada. 1. Para todo a, b ∈ OK , se cumple N(ab) = N(a) N(b). 2. Si a ∈ OK , entonces N(a) = 0 si y sólo si a = 0. 3. N(1) = 1. 4. Si a ∈ OK , entonces a | N(a). 5. Si a ∈ OK , entonces a es una unidad si y sólo si N (a) = ±1 y entonces N(a−1 ) = N(a). 6. Si a, b ∈ OK son asociados, entonces N(a) = ± N(b). 7. Si a ∈ OK y N(a) es un número primo, entonces a es irreducible en OK . Demostración: Las propiedades 1), 2), y 3) son consecuencia inmediata de la definición de norma. 4) Basta observar que N(a)/a es un producto de conjugados de a, luego es entero, y por otro lado está en K, luego N(a)/a ∈ OK . 5) Si a es una unidad, aa−1 = 1, luego N(a) N(a−1 ) = 1 y por lo tanto N(a) = ±1. Si N(a) = ±1 entonces a | ±1, luego es una unidad. Como N(a) N(a−1 ) = 1, se cumple N(a−1 ) = N(a). 6) es consecuencia de 5), pues dos asociados se diferencian en una unidad. 192 Capı́tulo 11. Enteros algebraicos 7) Si a = bc, con b, c ∈ OK , entonces N(a) = N(b) N(c), pero como N(a) es primo, N(b) = ±1 o bien N(c) = ±1, luego uno de los dos es una unidad. Ejercicio: Probar que 3 es primo en el anillo Z[i] a pesar de que su norma no es prima. Ejercicio: Si K es un cuerpo numérico y α ∈ K tiene norma 1, ¿es necesariamente una unidad? Tenemos caracterizadas las unidades de los cuerpos numéricos como los enteros de norma ±1. Obtener descripciones explı́citas de los grupos de unidades es, junto con la determinación de los anillos de enteros, una de las cuestiones más difı́ciles a la hora de estudiar ejemplos concretos de cuerpos numéricos, y resulta imprescindible al abordar muchos problemas concretos. Ası́, por ejemplo, los resultados de Kummer sobre el Último Teorema de Fermat dependen fuertemente de un análisis de las unidades ciclotómicas. En este libro estudiaremos únicamente las unidades de los cuerpos cuadráticos. Un teorema de Dirichlet afirma que el grupo de unidades de un cuerpo numérico es infinito salvo en el caso de los cuerpos cuadráticos de discriminante negativo. Para estos cuerpos es fácil mostrar explı́citamente las unidades. Lo hacemos en el teorema siguiente. El caso de los cuerpos cuadráticos de discriminante positivo es mucho más complicado, y no estaremos en condiciones de abordarlo hasta el capı́tulo XIII. Teorema 11.19 Sea d un número entero √ negativo y libre de cuadrados. Entonces el grupo U de las unidades de Q d es el siguiente:  √  Para d = −1, U = ±1, ± −1 . Para d = −3, U = {±1, ±ω, ±ω 2 }, donde ω = Para d < −3, U = {±1}. √ −1+ −3 . 2 √ √ Demostración: La norma en Q d viene dada por N(a+b d) = a2 −db2 , √ luego si d < 0 tenemos que la norma es siempre positiva. Un entero a + b d es una unidad si y sólo si se cumple la ecuación a2 − db2 = 1. √ Para d = −1 ésta se reduce a a2 + b2 = 1, y además los enteros de Q −1 √  son los elementos de Z −1 , luego a y b han de ser enteros racionales. Es claro que las únicas soluciones enteras de a2 + b2 = 1 son (1, 0), (0, 1), (−1, 0) y (0, −1), de donde U es el grupo indicado. √ Para d = −3 observamos que Q −3 es el cuerpo ciclotómico de orden 3. En efecto, como ya hemos observado en otras ocasiones, una raı́z √ del tercer polinomio ciclotómico, x2 +x+1, es el número ω del enunciado, luego Q −3 = Q(ω). La norma de un elemento del anillo de enteros Z[ω] es N(a + bω) = = (a + bω)(a + bω 2 ) = a2 + abω 2 + abω + b2 ω 3 = a2 − ab + b2 1 1 (2a)2 − 2(2a)b + b2 + 3b2 = (2a − b)2 + 3b2 . 4 4 11.3. Divisibilidad en anillos de enteros 193  El elemento a + bω será una unidad si y sólo si 41 (2a − b)2 + 3b2 = ±1, o sea, si y sólo si (2a − b)2 + 3b2 = 4. Si b = 0 ha de ser 2a = ±2, luego a = ±1. Si b = ±1 ha de ser 2a − b = ±1 y es fácil ver que entonces (a, b) ha de tomar los valores (0, 1), (0, −1), (1, 1), (−1, −1). En total quedan las soluciones ±1, ±ω y ±1 ± ω, o de otra forma, ±1, ±ω y ±ω 2 . Ası́ pues, las unidades de Z[ω] son {±1, ±ω, ±ω 2 }. Si d < −3 hemos de tener presente que a y b pueden ser enteros o semienteros, es decir, a = A/2, b = B/2, con A, B ∈ Z. Como el caso semientero incluye al caso entero, basta probar que las únicas soluciones semienteras de a2 − db2 = 1 son (1, 0) y (−1, 0). En efecto, tenemos A2 − dB 2 = 4, pero si B = 0, entonces A2 − dB 2 > 4, pues en realidad d ≤ −5, luego ha de ser B = 0 y A2 = 4, o sea, a = ±1, b = 0. El caso restante d = −2 se razona igualmente. Ocupémonos ahora de los ideales de los anillos de enteros. Los resultados básicos son los siguientes: Teorema 11.20 Sea K un cuerpo numérico y O su anillo de enteros. Entonces 1. O es un anillo noetheriano. 2. Si I es un ideal no nulo de O entonces el cociente O/I es finito. 3. Un ideal no nulo de O es primo si y sólo si es maximal. Demostración: 1) Un ideal I de O es un Z-submódulo de O. Como O es un Z-módulo libre de rango finito, I también lo es (teorema 7.30), luego I está finitamente generado como Z-módulo y a fortiori como ideal. 2) Sea a ∈ I, a = 0. Sea n = N (a) = 0. Como a | n, se cumple  que n ∈ I.  Sea {v1 , . . . , vr } una base de O como Z-módulo. Entonces [v1 ], . . . , [vr ] es un generador de O/I como Z-módulo, es decir, todo elemento de O/I se puede expresar de la forma m1 [v1 ] + · · · + mr [vr ], para ciertos números enteros m1 , . . . , mr . Por otra parte n[vi ] = [nvi ] = 0, para i = 1, . . . , r, pues n ∈ P . Esto significa que el orden de cada [vi ] es menor o igual que n y por lo tanto los números m1 , . . . , mr pueden tomarse siempre entre 0 y |n| − 1. En consecuencia el anillo O/I es finito. 3) Si P es un ideal primo no nulo, el anillo O/P es un dominio ı́ntegro (por 5.3) y el teorema 5.5 nos da que O/P es un cuerpo, luego el ideal P es maximal (por 5.4). El apartado 2) del teorema anterior puede precisarse más. El teorema siguiente muestra que la conexión de la norma con la divisibilidad es más fuerte de lo que podrı́a pensarse en un principio. 194 Capı́tulo 11. Enteros algebraicos Teorema 11.21 Sea K un cuerpo numérico y O su anillo de enteros. Para cada a ∈ O a = 0 se cumple que |O/aO| = | N(a)|. Demostración: Sea v1 , . . . , vn una base entera de K. Entonces todo elemento de O es de la forma m1 v1 + · · · + mn vn , con m1 , . . . , mn ∈ Z, y todo elemento de aO es de la forma m1 av1 + · · · + mn avn , luego una base de aO es av1 , . . . , avn . Sean σ1 , . . . , σn los monomorfismos de K. Entonces  2  2 ∆[av1 , . . . , avn ] = σi (avj ) = σi (a)σi (vj ) . Por la multilinealidad del determinante podemos sacar un factor σi (a) de cada fila de la matriz, con lo que obtenemos  2 ∆[av1 , . . . , avn ] = N(a)2 σi (vj ) = N(a)2 ∆K . Sea C la matriz cuya fila i-ésima la forman las coordenadas de avi en v1 , . . . , vn . Entonces sabemos que ∆[av1 , . . . , avn ] = |C|2 ∆K , luego ha de ser |C| = ± N(a). Por otro lado en virtud del teorema 10.23 tenemos que |O/aO| = | det C| = | N(a)|. Ejercicio: Usar el cociente Z[i]/(3) para construir las tablas de la suma y el producto de un cuerpo de 9 elementos. Ejercicio: Sea K un cuerpo numérico y α ∈ K un entero de norma prima. Probar que α es primo en OK . Por último demostramos que los anillos de enteros satisfacen una propiedad que, según el teorema 4.24 es una condición necesaria para que puedan tener factorización única. En primer lugar la demostramos para el anillo de todos los enteros algebraicos: Teorema 11.22 Si c ∈ A es raı́z de un polinomio mónico p(x) ∈ E[x], entonces c ∈ E. Demostración: Sea p(x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 , donde cada ai ∈ E. Sea B = Z[a0 , . . . , an−1 ]. Entonces B es un submódulo del anillo de enteros algebraicos de Q(a0 , . . . , an−1 ), luego es un Z-módulo finitamente generado. Digamos que B = v1 , . . . , vr . El mismo argumento empleado en el teorema 11.5 ! prueba ahora que B[c] = 1, c, . . . , cn−1 B (como B-módulo). Sea N el Z-módulo generado por los elementos vi · ck , donde 1 ≤ i ≤ r, 0 ≤ k ≤ n − 1. Ası́, un elemento de B[c] es una combinación lineal con coeficientes en B de los ck y cada coeficiente es una combinación lineal con coeficientes enteros de los vi . 11.4. Factorización única en cuerpos cuadráticos 195 Por lo tanto Z[c] ⊂ B[c] ⊂ N y es, en consecuencia, un Z-módulo finitamente generado. Por el teorema 11.5 concluimos que c es un entero algebraico. Este teorema sirve para probar que determinados números algebraicos son enteros. Por ejemplo, un caso particular es que toda raı́z n-sima de un entero algebraico es un entero algebraico. Como consecuencia inmediata tenemos la versión análoga para anillos de enteros algebraicos: Teorema 11.23 Sea K un cuerpo numérico y O su anillo de enteros algebraicos. Sea p(x) un polinomio mónico no constante con coeficientes en O. Si c es una raı́z de p(x) en K, entonces c ∈ O. De aquı́ se sigue que cualquier anillo A cuyo cuerpo de cocientes sea K pero que esté estrictamente contenido en O no puede tener factorización única, pues un elemento de O \ A es raı́z de un polinomio con coeficientes enteros (luego en A) y, sin embargo, no está√en A, en contra de lo que exige el teorema 4.24. Es el caso, por ejemplo, de Z[ 5]. 11.4 Factorización única en cuerpos cuadráticos En la sección anterior hemos podido comprobar que hay una gran similitud entre los anillos de enteros algebraicos y el anillo Z, sin embargo esta similitud no llega hasta garantizar la factorización única. En efecto, sabemos que los anillos de enteros comparten propiedades algebraicas con los DIP’s y los DFU’s, como que son noetherianos, los ideales maximales coinciden con los primos, etc., pero no es cierto que todos ellos sean DIP’s o DFU’s (como ya hemos comprobado en algunos ejemplos). El hecho de que sean noetherianos garantiza que todo elemento de un anillo de enteros (no nulo ni unidad) se descompone en producto de irreducibles. También sabemos que la factorización en irreducibles será única (salvo orden o asociación) si y sólo si los elementos irreducibles coinciden con los primos. Sin embargo, esto no siempre es cierto. Aquı́ vamos a estudiar la situación en los cuerpos cuadráticos. Antes de entrar en detalles, conviene notar que los cuerpos cuadráticos se dividen en dos familias muy diferentes: Definición 11.24 Un cuerpo cuadrático es real o imaginario según si su discriminante es positivo o negativo. Lo que hace diferentes a los cuerpos reales de los imaginarios es en esencia que la norma de los cuerpos imaginarios es siempre positiva, mientras que en los cuerpos reales hay elementos de norma positiva y negativa. Más exactamente, √ puesto que N a + b d = a2 − db2 , cuando d < 0 hay sólo un número finito de valores de a, b que pueden hacer que la norma tome un valor dado, mientras que si d > 0 no tenemos ninguna cota. Por ello los cuerpos imaginarios se comportan mucho mejor que los cuerpos reales. Por ello el argumento con el que hemos determinado las unidades de los cuerpos cuadráticos imaginarios no sirve para los cuerpos reales. En general los cuerpos cuadráticos imaginarios son los cuerpos numéricos más sencillos. 196 Capı́tulo 11. Enteros algebraicos Tabla 11.1: Factorizaciones no únicas en cuerpos cuadráticos imaginarios d −5 6 = 2·3 = −6 6 = 2·3 = −10 14 = 2·7 = −13 14 = 2·7 = −14 15 = 3·5 = −15 4 = 2·2 = −17 18 = 2·3·3 = −21 22 = 2 · 11 = −22 26 = 2 · 13 = −23 6 = 2·3 = −26 27 = 3·3·3 = −29 30 = 2·3·5 = −30 34 = 2 · 17 =  √ √ 1 + −5 1 − −5 √  √ −6 − −6   √ √ 2 + −10 2 − −10   √ √ 1 + −13 1 − −13   √ √ 1 + −14 1 − −14  √   √  1+ −15 2    1+ √ 1+ √ √ −17 −21 1− −15 2    1− 1− 1 + −22 1 −  √  √    1+ −23 2 1+ √ 1+ √ 2+ √ −26 −29 −30 √ √ √ −17 −21 −22  1− −23 2  1−  2−  1− √ √ √ −26 −29 −30 Comencemos, pues, estudiando la unicidad de las factorizaciones en cuerpos imaginarios. A la hora de encontrar factorizaciones no únicas es preciso asegurarse de que los factores considerados son irreducibles, lo cual no es obvio. Por ejemplo, podrı́a pensarse que las factorizaciones en Q(i) 10 = 2 · 5 = (3 + i)(3 − i) prueban que Q(i) no es un dominio de factorización única, pero no es ası́. La razón es que ninguno de los factores es irreducible. Se cumple que 2 = (1 + i)(1 − i) (no es difı́cil descubrirlo sin más que pensar en a2 + b2 = 2). Como N(1 + i) = 2 es primo, 1 + i sı́ es irreducible, al igual que 1 − i. Del mismo modo se concluye que 5 = (1 + 2i)(1 − 2i) es una descomposición en irreducibles. Por lo tanto la factorización de 10 en irreducibles es 10 = (1 + i)(1 − i)(1 + 2i)(1 − 2i). La otra factorización se obtiene agrupando los factores en otro orden: (1 + i)(1 − 2i) = 3 − i (1 − i)(1 + 2i) = 3 + i 197 11.4. Factorización única en cuerpos cuadráticos Hay otra razón por la que una aparente factorización doble puede no serlo. Por ejemplo, tenemos que 5 = (1 + 2i)(1 − 2i) = (2 + i)(2 − i). Esto se explica porque los factores son asociados. En efecto: 1 + 2i = 1 − 2i = (−i)(2 − i) (−i)(2 + i) Con estas salvedades podemos buscar auténticos ejemplos de factorizaciones dobles. Aunque este ejemplo no servı́a, nos da una idea provechosa, la de buscar números irreducibles cuya norma no sea un primo. La tabla 11.1 nos muestra que las factorizaciones no únicas √ son algo bastante frecuente. Vamos a comprobar el primer ejemplo. En Q −5 tenemos que   √ √ 6. N(2) = 4, N(3) = 9, N 1 + −5 = N 1 − −5 =√ √  Como −5 ≡ 1 (mód 4), el anillo de enteros de Q −5 es Z −5 . Si 2 = xy fuera una descomposición no trivial de 2, es decir, donde x e y son no unidades, entonces N(x) = N(y) = 2. √ Si x = a+b −5, entonces queda a2 +5b2 = 2. Si b = 0 entonces a2 +5b2 ≥ 5, luego ha de ser b = 0, pero entonces a2 = 2, lo que es imposible para a ∈ Z. Ası́ pues 2 es irreducible. Igualmente se prueba que no existen elementos de norma 3, lo que nos da la irreducibilidad de los cuatro factores. Por último, como √  N 1 + −5 = N(2), N(3), √ podemos asegurar que 1 + −5 no es asociado ni de 2 ni de 3, luego las factorizaciones son distintas en sentido estricto. Las comprobaciones restantes son un interesante ejercicio para el lector. Es de destacar que incluso hay factorizaciones con distinto número de factores en cada miembro. En los cuerpos cuadráticos reales el trabajo se complica debido a que las normas pueden√ ser negativas, lo que impide descartar tan fácilmente casos como N(x) = 2 en Q −5 . Pese a ello, la tabla 11.2 contiene algunos ejemplos que podemos comprobar. Tabla 11.2: Factorizaciones no únicas en cuerpos cuadráticos reales d 10 15 26 30 6 10 10 6 = 2·3 = = 2·5 = 2·5 = = 2·3 = =     4+ 5+ 6+ 6+ √ √ √ √ 10 15 26 30  4−  6−   5− 6− √ √ √ √ 10 15 26 30 198 Capı́tulo 11. Enteros algebraicos √  √ Por ejemplo, en Q 10 tenemos N(2) = 4, N(3) = 9, N 4 + 10 = √  N 4 − 10 = 6. Basta probar que no hay enteros de norma igual a ±2 ni a ±3. √  En primer lugar, el anillo de enteros es Z 10 . Si existiera un entero √ √ x = a + b 10 tal que N(a + b 10) = a2 − 10b2 = ±2 o ±3, entonces tendrı́a que ser a2 ≡ ±2 o ±3 (mód 10), o lo que es lo mismo, a2 ≡ 2, 3, 7, 8 (mód 10). Sin embargo, los cuadrados módulo 10 son: 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, luego la congruencia es imposible. Los otros casos se prueban de modo similar. Los ejemplos anteriores no deben llevar al lector a pensar que la factorización única no se da nunca o casi nunca en cuerpos numéricos. Vamos a ver ahora algunos ejemplos de factorización única. En general es difı́cil probar que un cuerpo numérico es un DFU, salvo en un caso: cuando se trata de un dominio euclı́deo. Como siempre, los casos más simples son los cuerpos cuadráticos imaginarios. Teorema 11.25 √ Sea d un número negativo libre de cuadrados. El anillo de los enteros de Q d es un dominio euclı́deo si y sólo si d es uno de los cinco números siguientes: −1, −2, −3, −7, −11 En estos casos, la norma euclı́dea es φ(a) = N(a). Demostración: En primer lugar veamos que los anillos indicados son en efecto dominios euclı́deos. Es inmediato que la función N cumple los requisitos para ser una norma euclı́dea. Sólo hay que probar que la división euclı́dea es realizable.√ Veamos que para ello es suficiente probar que para todo α ∈ Q d existe un entero γ tal que N(α − γ) < 1. En efecto, si se cumple esta condición, sean ∆ y δ dos enteros con δ = 0. Consideremos  α = ∆/δ. Por hipótesis existe un entero γ tal que N(∆/δ−γ) < 1, es decir, N (∆ − δγ)/δ < 1, luego N(∆ − δγ) < N(δ). Sea ǫ = ∆ − δγ. De este modo hemos obtenido que ∆ = δγ + ǫ, con N(ǫ) < N(δ). √ √ Sea, pues, α = r+s d ∈ Q d . Para d ≡ 1 (mód 4) tenemos que encontrar √ un elemento γ = x + y d tal que x, y ∈ Z y (r − x)2 − d(s − y)2 < 1. En los casos d = −1 y d = −2 basta tomar como x e y los enteros racionales más cercanos a los números racionales r y s, pues entonces |r − x|, |s − y| ≤ 1/2, con lo que (r − x)2 − d(s − y)2 ≤ 1/4 + 2(1/4) = 3/4 < 1. Los restantes valores de d son congruentes con 1 módulo 4, luego buscamos √ un elemento de la forma x+y 1+2 d , donde x, y son enteros racionales y de modo   2 2 que r − x − (1/2)y − d s − (1/2)y < 1. Si tomamos como y el entero racional más cercano a 2s, tenemos entonces   2 2 que |2s − y| ≤ 1/2, luego s − (1/2)y ≤ 1/16 y −d s − (1/2)y ≤ 11/16. Nos  2 falta elegir x de modo que r − x − (1/2)y < 5/16, para lo cual es suficiente 199 11.4. Factorización única en cuerpos cuadráticos   que r − x − (1/2)y  ≤ 1/2, es decir, tomamos como x el entero más cercano a r − (1/2)y. Respecto a los valores de d no contemplados en el enunciado, son √ −5, −6 y los enteros libres de cuadrados menores que −11. Hemos visto que Q −5 y √ Q −6 no son dominios de factorización única, luego no pueden ser euclı́deos. Supongamos ahora que d < −11 es libre de cuadrados, luego de hecho d ≤ −13. Sea O el anillo de enteros. Si O fuera euclı́deo podrı́amos tomar un δ ∈ O de norma euclı́dea mı́nima entre los enteros no nulos ni unitarios. Entonces todo ∆ ∈ O se expresa como ∆ r = 0, 1, −1, por  = δc + r, donde  la elección de δ. Esto significa que O/(δ) = [0], [1], [−1] , luego por el teorema 11.21 ha de ser N(δ) ≤ 3. √ Sea δ = (a/2)+(b/2) d, donde a y b son enteros. Tenemos que a2 −db2 ≤ 12, y como d ≤ −13, necesariamente b = 0 y |a| ≤ 3, pero entonces δ = a/2 es entero y no puede ser más que δ = 0, 1, −1, en contra de cómo ha sido elegido. Es importante notar que la prueba del teorema anterior nos da un criterio práctico para calcular divisiones euclı́deas en los cinco cuerpos a los que se aplica. Este criterio es especialmente simple en los casos d = −1 y d = −2, donde dados dos enteros ∆ y δ, el cociente γ se obtiene como el entero cuyas coordenadas están más próximas a las de ∆/δ, y el resto es simplemente la diferencia ∆ − δγ. Por otra parte, los cinco cuerpos anteriores no son los únicos en los que la factorización es única. No obstante no hay muchos más. Puede probarse que los únicos cuerpos cuadráticos con discriminante negativo que son dominios de factorización única son los correspondientes a los nueve valores siguientes de d: Tabla 11.3: Cuerpos cuadráticos imaginarios con factorización única d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67 − 163. En el capı́tulo XIII demostraremos que estos anillos son DFU’s. Probar que son los únicos excede nuestras posibilidades. El caso de los cuerpos cuadráticos reales es todavı́a más complicado. No se sabe si hay infinitos de ellos que sean dominios de factorización única. Los valores de d menores que 100 para los que la factorización es única son los siguientes: Tabla 11.4: Primeros cuerpos cuadráticos reales con factorización única d = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 29, 31, 33, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 53, 57, 59, 61, 62, 67, 69, 71, 73, 77, 83, 86, 89, 93, 94, 97. Tampoco se sabe si entre ellos hay un número finito de dominios euclı́deos. Al menos que sólo un número finito de ellos son euclı́deos con norma   se sabe φ(x) = N(x), pero se desconoce si puede haber cuerpos cuadráticos que sean dominios euclı́deos con otra norma. 200 Capı́tulo 11. Enteros algebraicos   Los cuerpos cuadráticos euclı́deos con la norma N son exactamente los correspondientes a los siguientes valores de d: Tabla 11.5: Cuerpos cuadráticos reales euclı́deos 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 38, 41, 57, 73 Aunque este resultado también escapa a las posibilidades de este libro, vamos a probar una porción. Teorema 11.26 Los cuerpos cuadráticos correspondientes a d = 2, 3, 5, 6, 7, 13, 17, 21, 29 son dominios euclı́deos con el valor absoluto de la norma. Demostración: El planteamiento es el mismo que en el teorema 11.25. Para agrupar los casos en los que d es congruente con 1 módulo 4 y los casos en los que no lo es, definimos λ = 0, E=d λ = 1/2, E = (1/4)d si d ≡ 1 (mód 4) si d ≡ 1 (mód 4). La condición que hay que probar es entonces que para todo par de números racionales r y s existen enteros x e y tales que   (r − x − λy)2 − E(s − y)2  < 1. (11.7) Por reducción al absurdo vamos a suponer que existen r y s para los que (11.7) no se cumple cualesquiera que sean x e y. En primer lugar probamos que podemos suponer que 0 ≤ r, s ≤ 1/2. Si d ≡ 1 (mód 4), podemos sustituir en (11.7) r, x, s, y por ǫ1 r + u, ǫ1 x + u, ǫ2 s + v, ǫ2 y + v, donde ǫ1 , ǫ2 = ±1 y u, v ∈ Z, sin que la expresión varı́e, y con esto podemos reducir r y s al intervalo deseado. Si d ≡ 1 (mód 4) la expresión (11.7) resulta inalterada si reemplazamos r, x, s, y por una de estas alternativas: ǫ1 r + u r r 1/2 − r ǫ1 x + u x−v x+y −x ǫ1 s s + 2v ǫ1 y y + 2v (11.8) (11.9) −s 1−s −y 1−y (11.10) (11.11) Mediante (11.8) podemos hacer 0 ≤ r ≤ 1/2. mediante (11.9) hacemos −1 ≤ s ≤ 1. Si es necesario, (11.10) nos da 0 ≤ s ≤ 1 y si s no es menor o igual que 1/2, entonces (11.11) hace que lo sea. 201 11.5. Aplicaciones de la factorización única Dados, pues, r y s entre 0 y 1/2 que no cumplan (11.7) para ningún par de enteros x e y, para cada uno de estos pares se ha de cumplir una de las dos afirmaciones siguientes: P (x, y) : Q(x, y) : (r − x − λy)2 E(s − y)2 ≥ 1 + E(s − y)2 ≥ 1 + (r − x − λy)2 Vamos a analizar tres casos particulares: P (0, 0) P (1, 0) P (−1, 0) r2 (1 − r)2 (1 + r)2 ≥ 1 + Es2 ≥ 1 + Es2 ≥ 1 + Es2 Q(0, 0) Es2 Q(1, 0) Es2 Q(−1, 0) Es2 ≥ 1 + r2 ≥ 1 + (1 − r)2 ≥ 1 + (1 + r)2 Como 0 ≤ r ≤ 1/2 y E > 0, tenemos que P (0, 0) y P (1, 0) no pueden darse, luego se cumplen Q(0, 0) y Q(1, 0). Si se cumple P (−1, 0), entonces, usando Q(1, 0) tenemos (1 + r)2 ≥ 1 + Es2 ≥ 2 + (1 − r)2 , (11.12) lo que operando lleva a que 4r ≥ 2, luego r = 1/2. Sustituyendo en (11.12) queda Es2 = 5/4. Ahora bien, dando a E todos los valores permitidos por el enunciado del teorema, en ningún caso de obtiene un valor para s que tenga raı́z cuadrada racional. Por lo tanto se cumple Q(−1, 0), es decir, Es2 ≥ 1+(1+r)2 ≥ 2 y ası́ E ≥ 8. Pero sucede que E < 8 en todos los casos que estamos contemplando. 11.5 Aplicaciones de la factorización única Terminamos el capı́tulo con algunas aplicaciones a los números enteros. El siguiente resultado fue planteado por Fermat a sus contemporáneos. Teorema Las únicas soluciones enteras de y 2 + 2 = x3 son (x, y) = (3, ±5). Demostración: En primer lugar, y ha de ser impar, pues si fuera par también lo serı́a x, y llegarı́amos a que 2 ≡ 0 (mód 4). Si x e y cumplen la ecuación, entonces √ √   y + −2 y − −2 = x3 . √  √ √ Un divisor común α de y + −2 y de y − −2 en Z −2 cumplirı́a que √ √ N(α) | N(y + −2) = x3 y, como también dividirı́a a la diferencia, 2 −2, también N(α) | 8, √ luego N(α)√= 1 (es impar y potencia de 2). Ası́ pues, y + −2, y√ − −2  son primos entre sı́. Teniendo en cuenta la factorización única de Z −2 ası́ como que las unidades en este anillo son {±1} y ambas son cubos, resulta que si dos números primos entre sı́ son un  √ √ 3 cubo, entonces cada factor lo es, es decir, y + −2 = a + b −2 para ciertos enteros a y b. 202 Capı́tulo 11. Enteros algebraicos Igualando los coeficientes de obtenemos que 1 = b(3a2 − 2b2 ), lo que sólo es posible si b = 1 y a = ±1, de donde y = ±5 y por lo tanto x = 3. Ejercicio: Si el producto de dos enteros de Gauss primos entre sı́ es una potencia cuarta ¿lo es necesariamente cada factor? ¿Es cierto con cubos? La variante que veremos a continuación, también propuesta por Fermat, resulta un poco más complicada. Teorema Las únicas soluciones enteras de la ecuación y 2 + 4 = x3 son (x, y) = (5, ±11), (2, ±2). Demostración: Supongamos primero que y es impar. Tenemos que (2 + iy)(2 − iy) = x3 . Un divisor común α de 2 + iy, 2 − iy lo es también de su suma, 4, luego N(α) | 16 y N(α) | x3 , impar, lo que implica que α = 1 y los dos factores 2 + iy, 2 − iy son primos entre sı́. Por consiguiente ambos son cubos, es decir, existen enteros racionales a y b tales que 2+iy = (a+ib)3 . Conjugando, 2−iy = (a−ib)3 y sumando las dos ecuaciones y simplificando se llega a que 4 = 2a(a2 − 3b2 ), luego tenemos que a(a2 − 3b2 ) = 2. Claramente entonces a = ±1, ±2, pero las únicas posibilidades que permiten la existencia de b son a = −1, b = ±1 y a = 2, b = ±1. Entonces  x3 = (a + ib)(a − ib) 3 = (a2 + b2 )3 y los valores de x que se obtienen son x = 2, 5. De y 2 + 4 = 8, 125, obtenemos que y = ±2, ±11. Ahora queda el caso en que y es par. Digamos y = 2Y . Entonces x ha de ser par también, x = 2X y se cumple Y 2 + 1 = 2X 3 . De aquı́ se sigue que Y es impar. Factorizamos (1 + iY )(1 − iY ) = 2X 3 . (11.13) El máximo común divisor de 1 + iY y 1 − iY divide a la suma 2 = −i(1 + i)2 . Como 1 + i es primo (tiene norma 2), dicho mcd ha de ser 1, 1 + i, o bien 2. Claramente 2 no divide a 1 + iY , sin embargo, 1 + i sı́ divide tanto a 1 + iY como a 1 − iY (se sigue de que Y es impar). Al dividir los dos miembros de (11.13) entre (1 + i)2 , en el primer miembro queda un producto de dos factores primos entre sı́, y en el segundo miembro queda −iX 3 = (iX)3 . Por lo tanto, cada factor del primer miembro ha de ser un cubo. En particular (1+iY )/(1+i) es un cubo, es decir, 1+iY = (1+i)(a+ib)3 . Conjugando y sumando como antes se llega a 1 = (a + b)(a2 − 4ab + b2 ) y de aquı́ salen las soluciones a = ±1, b = 0 o bien a = 0, b = ±1, que implican y = ±2, y entonces x = 2. Ahora veremos una interesante prueba debida a Nagell de una conjetura de Ramanujan. 203 11.5. Aplicaciones de la factorización única Teorema (x, n) Las únicas soluciones de la ecuación x2 + 7 = 2n son las siguientes: = (±1, 3), (±3, 4), (±5, 5), (±11, 7), (±181, 15). Demostración: Claramente, x tiene que ser impar, y podemos suponer que es positivo. Supongamos primero que n = 2m. Entonces podemos factorizar (2m + x)(2m − x) = 7, de donde 2m + x = 7 y 2m − x = 1. Sumando, 2m+1 = 8, luego m = 2, n = 4, x = 3. Sea ahora n impar. El caso n = 3 lleva a la solución (1, 3). Supongamos que n > 3. √ Trabajamos en el cuerpo Q −7 , cuyos enteros forman un dominio de factorización única. La descomposición en factores primos de 2 es la siguiente: √  √   1 − −7 1 + −7 2= 2 2 Como x es impar, es fácil ver que x2 +7 es múltiplo de 4. Tomando m = n−2 podemos reescribir la ecuación del siguiente modo: x2 + 7 = 2m 4 √ y podemos factorizarla ası́ en Q −7 : √   √ m  √ m √   x − −7 1 + −7 1 − −7 x + −7 . = 2 2 2 2 Ninguno de los primos de la derecha divide a la vez √ a los dos factores de la izquierda, pues entonces dividirı́a a su diferencia, −7, pero las normas correspondientes no se dividen. Por la unicidad de la factorización (y teniendo en cuenta que las unidades son ±1), podemos concluir que √ √ m  x ± −7 1 ± −7 =± , 2 2 donde esta expresión representa a dos ecuaciones de las que √ desconocemos los signos adecuados, pero en cualquier caso la ecuación para x+ 2 −7 debe tener a √ la derecha un primo y la de x− 2 −7 debe tener el otro, mientras que la unidad ±1 debe ser la misma en ambas ecuaciones. Al restarlas queda √ m  √ m  √ 1 + −7 1 − −7 ± −7 = − . 2 2 Ahora probamos que el signo ha √ de ser negativo. Supongamos que es posi√ tivo. Llamemos a = 1+ 2 −7 y b = 1− 2 −7 . Estamos suponiendo que am − bm = a − b. 204 Capı́tulo 11. Enteros algebraicos Como a + b = 1 y ab = 2, tenemos lo siguiente: a2 = (1 − b)2 = 1 − 2b + b2 = 1 − ab2 + b2 ≡ 1 (mod b2 ) Por lo tanto am = a(a2 )(m−1)/2 ≡ a (mód b2 ), y ası́ a − b = am − bm ≡ a − 0 (mód b2 ), es decir, b2 | b, lo cual   √ es imposible. √ √ m m Ası́ pues, −2m −7 = 1 + −7 − 1 − −7 . Al desarrollar por el teorema del binomio de Newton se cancelan los términos pares y queda       √ m √ m √ m √ 3 m −7 + 2 −7 + · · · + 2 −7 . −2m −7 = 2 1 3 m Sacamos factor común 2 y concluimos que −2m−1 ≡ m (mód 7). Como 26 ≡ 1 (mód 7), es claro que si un número m cumple esta congruencia, también lo cumplen todos los congruentes con m módulo 42. Si examinamos todos los números entre 0 y 41, vemos que los únicos que cumplen la congruencia son m = 3, 5 y 13. El teorema estará probado si demostramos que dos soluciones de la ecuación original (en el caso que estamos estudiando) no pueden ser congruentes módulo 42, pues entonces las únicas soluciones posibles serán n = 5, 7, 15, con las que se corresponden x = 5, 11, 181. Supongamos que m y m′ son soluciones de la ecuación (en realidad queremos decir que m + 2 y m′ + 2 lo son). Supongamos que m < m′ y m ≡ m′ (mód 42). Sea 7l la mayor potencia de 7 que divide a m′ − m. Entonces ′ ′ am = am am −m = am  m′ −m √  1 1 + −7 2 m′ −m . (11.14) l Como φ(7l+1 ) = 6 · 7l , el teorema 5.6 implica que 26·7 ≡ 1 (mód 7l+1 ), y como 6 · 7l | m′ − m, tenemos ′ 2m −m ≡ 1 (mód 7l+1 ). (11.15) Una sencilla inducción (en la que se usa el teorema 4.25) prueba que  1+ √ −7 7l √ = 1 + 7l −7 (1 + 7α), para cierto entero α. Al elevar después a (m′ − m)/7l y desarrollar, obtenemos que √ √ ′ (11.16) (1 + −7)m −m ≡ 1 + (m′ − m) −7 (mod 7l+1 ). Ahora pasamos la potencia de 2 al primer miembro√ de (11.14), tomamos congruencias módulo 7l+1 en el anillo de enteros de Q −7 y sustituimos (11.15) y (11.16), de lo que resulta √ ′ am ≡ am + am (m′ − m) −7 (mod 7l+1 ). (11.17) 205 11.5. Aplicaciones de la factorización única √ −7 De nuevo por inducción se prueba que am ≡ 1+m (mód 7), luego pode2m √ −7 + 7α para un cierto entero α. Como 7l | m′ − m, al mos escribir am = 1+m 2m sustituir en (11.17) queda ′ am ≡ am + m′ − m √ −7 (mod 7l+1 ). 2m (11.18) m′ − m √ −7 (mod 7l+1 ). 2m (11.19) Conjugando: ′ bm ≡ b m − Pero al ser m y m′ soluciones de la ecuación, tenemos √ ′ ′ am − bm = − −7 = am − bm , luego al restar (11.18) menos (11.19) llegamos a que √ (m′ − m) −7 ≡ 0 (mod 7l+1 ). √ Por lo tanto, la multiplicidad del primo −7 en m′ − m es al menos 2l + 1, pero ésta ha de ser el doble de la multiplicidad de 7 (visto como primo de Z) en √ m′ − m, luego la multiplicidad de −7 es al menos 2l + 2 y ası́ 7l+1 | m′ − m, en contra de la elección de l. √ Hemos afirmado sin prueba que Q −163 es un DFU (a pesar de que hemos demostrado que no es un dominio euclı́deo). Se trata de un hecho muy profundo que no estaremos preparados para probar hasta el capı́tulo XIII. De momento vamos a aceptarlo para probar un curioso teorema de Euler: Teorema El polinomio p(x) = x2 + x + 41 toma valores primos sobre todos los números naturales entre 0 y 39. Demostración: Es claro que si m < n, entonces p(m) < p(n), luego los cuarenta primos que se obtienen son distintos. También es fácil ver que p(−n − 1) = p(n), luego los 40 primeros números negativos dan los mismos primos. √ Como hemos dicho, la prueba usa la factorización única en Q −163 . Un √ entero de este cuerpo es de la forma x + y 1+ 2−163 , donde x e y son enteros √ racionales. Si hacemos y = 1 obtenemos un entero 2x+1+2 −163 con la propiedad de que no tiene divisores enteros racionales no unitarios, y su norma es, precisamente, x2 + x + 41. Supongamos que m = x2 + x + 41 es compuesto para un cierto entero x tal que 0 ≤ x ≤ 39. Puesto que m < 402 + 40 + 41 = 412 , Existirá un primo p | m tal que p ≤ 39. √ Tenemos p divide al producto de 2x+1+2 −163 por su conjugado, pero no √ puede dividir a ninguno de los dos factores, luego p no es primo en Q −163 . 206 Capı́tulo 11. Enteros algebraicos Como tiene norma p2 , ha de descomponerse en producto de dos primos de norma p. Digamos que √ √   p = s + t −163 s − t −163 = s2 + 163t2 , donde s y t son ambos enteros o ambos semienteros. Como p es un primo racional, necesariamente t = 0. Esto nos da la contradicción 163 ≤ (2s)2 + 163(2t)2 = 4p ≤ 4 · 39 = 156. Observar que p(40) = 402 + 40 + 41 = 40 · 41 + 41 = 412 ya no es primo. Los cuarenta primos alcanzados son: 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281, 313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853, 911, 971, 1.033, 1.097, 1.163, 1.231, 1.301, 1.373, 1.447, 1.523, 1.601. Capı́tulo XII Factorización ideal En este capı́tulo nos adentraremos en la teorı́a de la divisibilidad, cuyo estudio comenzamos en el capı́tulo IV. Nuestro objetivo es demostrar que, a pesar de los ejemplos que hemos visto en el capı́tulo anterior, los anillos de enteros algebraicos sı́ tienen factorización única siempre que admitamos la existencia de divisores ‘ideales’ que no se corresponden con elementos del anillo. Esta factorización única se comporta de modo extremadamente regular y, aunque no es tan potente como la factorización única ‘real’, en muchos casos es suficiente para comprender el comportamiento de estos anillos y, en parte, el comportamiento de los números enteros. El origen de las ideas que vamos a exponer se remontan al estudio de Kummer sobre los enteros ciclotómicos. Kummer querı́a averiguar si los anillos de enteros ciclotómicos tienen factorización única, y para ello se dedico a buscar factorizaciones de primos racionales por si encontraba algún contraejemplo. En este proceso llegó a desarrollar una teorı́a que le permitı́a determinar a priori el número de divisores primos que debı́a tener un primo racional p, sus multiplicidades, ası́ como criterios explı́citos que le permitı́an determinar a qué enteros ciclotómicos debı́a dividir cada factor, todo esto antes de encontrar dichos factores primos. Cuando llegó por fin a encontrar un contraejemplo a la factorización única su teorı́a estaba tan perfeccionada y era tan coherente que Kummer pudo demostrar que era consistente hablar de divisores ‘ideales’ que se comportaran según las reglas que habı́a obtenido, aunque no se correspondieran con ningún divisor real en el anillo (del mismo modo que los antiguos algebristas trabajaban con números ‘imaginarios’ aunque no se correspondieran con ningún número real). A finales del siglo XIX Dedekind formalizó la teorı́a de Kummer identificando sus divisores ideales con los ideales en el sentido usual de la teorı́a de anillos y probando que los resultados de Kummer son válidos en una clase muy general de anillos que ahora introducimos. 207 208 12.1 Capı́tulo 12. Factorización ideal Dominios de Dedekind Recordemos que si  n  pi q i ab = i=1 a y b son ideales de un anillo D, su producto es     n ∈ N y pi ∈ a, qi ∈ b para i = 1, . . . , n . (12.1) En otras palabras, ab es el menor ideal que contiene a todos los productos ab tales que a ∈ a y b ∈ b. Como a y b son ideales, estos productos están contenidos en ambos, luego se cumple que ab ⊂ a ∩ b. Definición 12.1 Un dominio ı́ntegro D es un dominio de Dedekind si todo ideal propio de D (o sea, distinto de 0 y D) se descompone de forma única salvo el orden en producto de ideales primos. Vamos a probar que la factorización ideal es formalmente análoga a la factorización real de los DFU’s. Sin embargo tenemos un obstáculo justo al principio, y es que hay un hecho obvio en todo dominio ı́ntegro cuyo análogo ideal no es evidente: los elementos no nulos son simplificables. Para probar que los ideales no nulos son simplificables demostraremos que el conjunto de los ideales de un dominio de Dedekind se puede sumergir en un grupo, con lo que para simplificar un ideal en ambos miembros de una igualdad bastará con multiplicar por su inverso en dicho grupo. Definición 12.2 Sea D un dominio ı́ntegro y K su cuerpo de cocientes. Un ideal fraccional de D es un D-submódulo no nulo a de K tal que existe un c ∈ D no nulo de manera que ca ⊂ D (donde ca = {ca | a ∈ a} ). Si a es un ideal fraccional de D, entonces ca es D-submódulo de K contenido en D, luego es un D-submódulo de D, o también, b = ca es un ideal no nulo de D y a = c−1 b. El recı́proco se prueba igualmente, luego, en definitiva, los ideales fraccionales de D son los conjuntos de la forma c−1 b, donde b es un ideal no nulo de D y c ∈ D es no nulo. Tomando c = 1 deducimos que todos los ideales no nulos de D son ideales fraccionales. Recı́procamente, un ideal fraccional a es un ideal si y sólo si a ⊂ D (por la propia definición). Podemos definir el producto de dos ideales fraccionales por la misma fórmula (12.1) que para ideales. Es fácil comprobar que efectivamente el producto de ideales fraccionales es un ideal fraccional, ası́ como que cumple la propiedad asociativa. Si c ∈ K es no nulo, llamaremos ideal fraccional principal generado por c al ideal fraccional (c) = cD. Es fácil ver que (c)a = ca. En particular (c)(d) = (cd). Llamaremos 1 = (1) = D. Es claro que a 1 = a para todo ideal fraccional a. Diremos que un ideal fraccional a es inversible si existe otro ideal fraccional b tal que ab = 1. Es claro que si existe tal b entonces es único, y lo representaremos por a−1 . 209 12.1. Dominios de Dedekind Todo ideal fraccional principal es inversible, pues (c)−1 = (c−1 ). Antes hemos visto que todo ideal fraccional es de la forma c−1 b, para cierto ideal b y cierto entero c. En términos del producto de ideales fraccionales tenemos que todo ideal fraccional es de la forma (c)−1 b, o sea, una fracción de dos ideales. Para probar que los ideales fraccionales de un dominio de Dedekind forman un grupo necesitamos unos hechos sencillos válidos en cualquier dominio ı́ntegro. Teorema 12.3 Sea D un dominio ı́ntegro. 1. Todo ideal fraccional principal de D es inversible. 2. Un producto de ideales de D es inversible si y sólo si lo es cada factor. 3. Si un ideal inversible de D factoriza como producto de ideales primos, entonces la descomposición es única salvo el orden. Demostración: 1) Ya hemos comentado que (c)−1 = (c−1 ). 2) Es obvio que si cada factor es inversible el producto también lo es (su inverso es el producto de los inversos). Si el producto es inversible entonces el inverso de un factor es el inverso del producto multiplicado por los factores restantes. 3) Supongamos que un mismo ideal no nulo se expresa de dos formas p 1 · · · p r = q1 · · · qs como producto de ideales primos (necesariamente no nulos). Podemos suponer que r ≤ s. Tomamos un factor (digamos p1 ) que no contenga estrictamente a ninguno de los restantes. Por definición de ideal primo, y puesto que q1 · · · qs ⊂ p1 , ha de existir un ı́ndice i de modo que qi ⊂ p1 . Reordenando podemos suponer que q1 ⊂ p1 . Igualmente ha de existir un ı́ndice j tal que pj ⊂ q1 ⊂ p1 . Por la elección de p1 ha de ser pj = q1 = p1 . Tomando inversos podemos eliminarlos de la factorización, hasta llegar a que D = qs−r · · · qs ⊂ qs , lo que contradice la definición de ideal primo a no ser que r = s. Es claro que con esto el teorema queda demostrado. Teorema 12.4 Si D es un dominio de Dedekind, entonces los ideales fraccionales de D forman un grupo. Además los ideales primos coinciden con los maximales. Demostración: Basta probar que todo ideal primo (no nulo) tiene un inverso y es maximal, pues entonces todo ideal no nulo será inversible por ser producto de ideales primos (inversibles) y todo ideal fraccional será inversible porque es de la forma (c)−1 b, donde (c)−1 es ciertamente inversible y b es un ideal, luego inversible también. 210 Capı́tulo 12. Factorización ideal Vemos primero que todo ideal primo inversible es maximal. Sea p un ideal primo. Hay que demostrar que si d ∈ D \ p entonces p + (d) = D. En caso contrario existen ideales primos tales que p+(d) = p1 · · · pr y p+(d2 ) = q1 · · · qs . Es fácil ver que       p + (d) /p = p1 /p · · · pr /p y p + (d2 ) /p = q1 /p · · · qs /p .   El ideal p + (d) /p = [d] es principal y D/p es un dominio ı́ntegro, luego tiene inverso por el teorema anterior, el cual nos da también que todos los ideales primos p1 /p, . . . , pr /p tienen inverso en D/p. Lo mismo ocurre con q1 /p, . . . , qs /p. Igualamos:     q1 /p · · · qs /p = [d2 ] = [d] 2  = p1 /p 2  2 · · · pr /p . Otra aplicación del teorema anterior nos da que s = 2r y que, ordenando adecuadamente, pi /p = q2i /p = q2i−1 /p. De aquı́ se sigue que pi = q2i = q2i−1 ,  2 y de aquı́ a su vez obtenemos que p + (d2 ) = p + (d) . Consecuentemente  p ⊂ p + (d2 ) = p + (d) 2 ⊂ p2 + (d). Todo elemento de p es, pues, de la forma c + ad, con c ∈ p2 y a ∈ D, pero como p es primo y d ∈ / p, ha de ser a ∈ p, lo que prueba que p ⊂ p2 + p(d) ⊂ p, 2 es decir, p = p + p(d), y como p tiene inverso, 1 = p + (d), contradicción. Finalmente, si p es cualquier ideal primo no nulo, sea c ∈ p, c = 0. Como D es un dominio de Dedekind podemos factorizar (c) = p1 · · · pr ⊂ p, donde los ideales primos pi son todos inversibles (por el teorema anterior, ya que (c) lo es) y en consecuencia maximales (por lo ya probado). Por definición de ideal primo, algún ideal pi está contenido en p, luego por maximalidad p = pi es maximal y tiene inverso. Ahora ya podemos trabajar con dominios de Dedekind como si fueran DFU’s. Definición 12.5 Sea D un dominio de Dedekind. Diremos que un ideal b divide a un ideal a si existe un ideal c tal que a = bc. Lo representaremos b | a. Notar que en tal caso c = ab−1 . Claramente b | a si y sólo si ab−1 es un ideal. Observar que b | a si y sólo si a ⊂ b. En efecto, si b | a entonces a = bc ⊂ b y si a ⊂ b la propia definición de producto nos da que ab−1 ⊂ bb−1 = 1 = D, luego el ideal fraccional ab−1 es de hecho un ideal y por lo tanto b | a. Ası́ un ideal p es primo si y sólo si p = 1 y cuando p | ab entonces p | a o p | b, es decir, el concepto de ideal primo en un dominio de Dedekind es formalmente análogo al de primo real en un DFU. Similarmente, un ideal p es maximal si y solo si p = 1 y cuando a | p entonces a = 1 o a = p, es decir, el concepto de ideal maximal en un dominio de Dedekind es formalmente análogo al de elemento irreducible en un DFU (notar que en términos de ideales no hay ni unidades ni asociados). Hemos probado que en un dominio de Dedekind maximal equivale a primo, lo cual es análogo al hecho de que en un DFU irreducible equivale a primo. 211 12.1. Dominios de Dedekind Si c ∈ D escribiremos a | c o c = ab en lugar de a | (c) o (c) = ab. De este modo los divisores ideales pueden dividir a elementos reales. Concretamente, tenemos a | c si y sólo si (c) ⊂ a, si y sólo si c ∈ a, es decir, un ideal, como conjunto, es el conjunto de todos sus múltiplos reales. Notar también que a | b si y sólo si (a) | (b). La factorización única ideal nos permite hablar de la multiplicidad de un ideal primo en otro ideal (o en un elemento real) exactamente en el mismo sentido que en un DFU. Toda familia finita de ideales tiene un máximo común divisor y un mı́nimo común múltiplo que se pueden calcular como en un DFU, aunque en realidad hay una caracterización más simple: Teniendo en cuenta que a | b es lo mismo que b ⊂ a, resulta que el máximo común divisor de una familia de ideales es el mayor ideal que los contiene, y el mı́nimo común múltiplo es el mayor ideal contenido en ellos, o sea: mcd(a1 , . . . , ar ) mcm(a1 , . . . , ar ) = a1 + · · · + ar , = a1 ∩ · · · ∩ ar . (esto generaliza el teorema de Bezout.) En particular (a, b) = (a) + (b) puede entenderse como el ideal generado por a y b o como el máximo común divisor de (a) y (b). Es equivalente. Podemos hablar de ideales primos entre sı́, etc. con las mismas propiedades que en un DFU. Es fácil encontrar DFU’s que no sean dominios de Dedekind. Por ejemplo Z[x] no es un dominio de Dedekind ya que Z[x]/(x) ∼ = Z, luego (x) es un ideal primo no maximal. Recı́procamente veremos que todos los anillos de enteros algebraicos son dominios de Dedekind y muchos de ellos no son DFU’s. Por lo tanto la divisibilidad ideal no es una generalización de la real, sino que ambas son paralelas. Las dos pueden darse simultáneamente. Esto ocurre exactamente en los DIP’s: Teorema 12.6 Un dominio ı́ntegro D es un DIP si y sólo si es un dominio de Dedekind y un dominio de factorización única. Demostración: Si D es DIP ya sabemos que es DFU, y todo ideal propio de D es de la forma (c), donde c no es 0 ni una unidad. Entonces c se descompone en producto de primos c = p1 · · · pn , con lo que (c) = (p1 ) · · · (pn ) también es producto de ideales primos. Recı́procamente, una descomposición de (c) en ideales primos da lugar a una factorización de c, de donde se sigue la unicidad. Si D es a la vez un dominio de Dedekind y un DFU entonces dado un ideal primo p tomamos un c ∈ p no nulo y lo factorizamos c = p1 · · · pn en producto de primos. Tenemos que p | c, luego p | pi para algún i, luego (pi ) ⊂ p y como los ideales primos son maximales, p = (pi ) es principal, y todo ideal propio de D es principal por ser producto de ideales primos principales. El concepto de DFU es muy útil en cuanto que proporciona un gran control sobre los anillos que tienen esta propiedad, pero está el inconveniente de que no es fácil determinar cuándo se da el caso. Ası́, por ejemplo, hasta ahora no hemos 212 Capı́tulo 12. Factorización ideal sabido probar que un anillo de enteros algebraicos tiene factorización única salvo en el caso en que de hecho es un dominio euclı́deo, pero esta propiedad es mucho más fuerte y deja de cubrir muchos casos de interés. El concepto de dominio de Dedekind, en cambio, admite una caracterización algebraica muy fácil de verificar en la práctica. Veámosla. Teorema 12.7 (Teorema de Dedekind) Sea D un dominio ı́ntegro y K su cuerpo de cocientes. Entonces D es un dominio de Dedekind si y sólo si cumple las tres propiedades siguientes: 1. D es noetheriano. 2. Los ideales primos no nulos de D son maximales. 3. Si a ∈ K es raı́z de un polinomio mónico con coeficientes en D, entonces a ∈ D. Demostración: Todo dominio de Dedekind es noetheriano, pues una cadena de ideales estrictamente creciente significarı́a una cadena decreciente de divisores, lo cual es imposible. La propiedad 2) está probada en el teorema 12.4. La prueba del teorema 4.24 vale para probar 3) sin más cambio que considerar divisores ideales en vez de reales. Supongamos ahora que un dominio ı́ntegro D cumple las tres propiedades del enunciado y veamos que es un dominio de Dedekind. Dividimos la prueba en varios pasos. (i) Sea a = 0 un ideal de D. Entonces existen ideales primos p1 , . . . , pr de manera que p1 · · · pr ⊂ a. En caso contrario por el teorema 3.9 existe un ideal a tal que no existen ideales primos en las condiciones pedidas y que es maximal entre los ideales para los que esto ocurre. En particular a no puede ser primo, o cumplirı́a (i) trivialmente. Tampoco puede ser que a = D. Por lo tanto existen dos ideales b y c tales que bc ⊂ a, pero no b ⊂ a o c ⊂ a. Por la maximalidad de a, existen ideales primos p1 , . . . , ps y ps+1 , . . . , pr tales que p1 · · · ps ⊂ a + b, ps+1 · · · pr ⊂ a + c, de donde p1 · · · pr ⊂ (a + b)(a + c) ⊂ aa + ab + ac + bc ⊂ a, contradicción. (ii) Si a es un ideal no nulo de D, llamaremos a−1 = {x ∈ K | xa ⊂ D}. Es claro que a−1 es un D-submódulo de K, y para cualquier c ∈ a no nulo se cumple que ca−1 ⊂ D, luego a−1 es un ideal fraccional de D. También es inmediato que D ⊂ a−1 , luego a = aD ⊂ aa−1 . De la definición de a−1 se sigue que aa−1 = a−1 a ⊂ D. Esto significa que el ideal fraccional a−1 a es de hecho un ideal de D. Notar también que si a ⊂ b son dos ideales de D, entonces D ⊂ b−1 ⊂ a−1 . 213 12.1. Dominios de Dedekind (iii) Si a es un ideal propio, entonces D  a−1 . Sea p un ideal maximal de D tal que a ⊂ p. Entonces p−1 ⊂ a−1 . Basta probar que p−1 contiene estrictamente a D. Sea a ∈ p no nulo. Por (i), sea r el menor natural tal que existen ideales primos para los que p1 · · · pr ⊂ (a). Como (a) ⊂ p y p es primo, existe un ı́ndice i tal que pi ⊂ p. Reordenando podemos suponer que p1 ⊂ p. Como p1 es maximal ha de ser p1 = p, y por la minimalidad de r tenemos que p2 · · · pr no está contenido en (a). Tomamos, pues, un elemento b ∈ p2 · · · pr \ (a). Claramente bp ⊂ (a), luego ba−1 p ⊂ a−1 (a) = D y ba−1 ∈ p−1 , pero por otra parte b ∈ / (a) = aD, luego ba−1 ∈ / D. Ası́ pues, p−1 = D. (iv) Si a es un ideal no nulo de D y S es un subconjunto de K tal que aS ⊂ a, entonces S ⊂ D. Sea s ∈ S. Como D es noetheriano tenemos que a = (a1 , . . . , am ) para ciertos a1 , . . . , am ∈ D. Por hipótesis ai s ∈ a para i = 1, . . . , m, luego existen elementos bij ∈ D de manera que ai s = m  bij aj para i = 1, . . . , m. j=1 Esto puede expresarse matricialmente mediante la ecuación s(aj )t = B(aj )t , donde llamamos B = (bij ). Equivalentemente, (B − sIm )(aj )t = 0. Por consiguiente la matriz B − sIm no puede ser regular, pues entonces multiplicando por su inversa concluirı́amos que (aj ) = 0, lo cual es imposible. Por lo tanto |B − sIm | = 0 y el polinomio p(x) = |B − xIm | ∈ D[x] es mónico, no nulo y tiene por raı́z a s. Por la hipótesis 3) tenemos que s ∈ D. (v) Si p es un ideal maximal de D, entonces pp−1 = D. Por (ii) sabemos que pp−1 es un ideal de D tal que p ⊂ pp−1 ⊂ D. Puesto que p es maximal, ha de ser p = pp−1 o bien pp−1 = D. Si se diera el primer caso, por (iv) tendrı́amos que p−1 ⊂ D, lo que contradice a (iii). (vi) Si a = 0 es un ideal, entonces aa−1 = D. Supongamos lo contrario. Como D es noetheriano existe un ideal a maximal entre los que incumplen (vi). Obviamente a = D. Sea p un ideal maximal tal que a ⊂ p. Por (ii) D ⊂ p−1 ⊂ a−1 , luego a ⊂ ap−1 ⊂ aa−1 ⊂ D. En particular el ideal fraccional ap−1 es un ideal de D. No puede ocurrir que a = ap−1 , pues entonces (iv) implicarı́a que p−1 ⊂ D en contradicción con (iii). Ası́ pues, a  ap−1 , luego la maximalidad de a implica que ap−1 cumple (vi), es decir, que ap−1 (ap−1 )−1 = D. Por definición de a−1 esto significa que p−1 (ap−1 )−1 ⊂ a−1 . Por lo tanto D = ap−1 (ap−1 )−1 ⊂ aa−1 ⊂ D, de donde aa−1 = D, en contradicción con nuestra hipótesis. 214 Capı́tulo 12. Factorización ideal (vii) Todo ideal propio de D es producto de ideales primos. En caso contrario sea a un ideal propio maximal entre los que no pueden expresarse como producto de ideales primos. En particular a no es primo. Sea p un ideal maximal tal que a ⊂ p. Como en (vi) concluimos que a ⊂ ap−1 ⊂ D y de nuevo por (iv) y (iii), la primera inclusión es estricta. Por la maximalidad de a tenemos que ap−1 = p1 · · · pr para ciertos ideales primos p1 , . . . , pr . Por lo tanto a = p1 · · · pr p, en contra de la elección de a. (viii) La descomposición de un ideal en primos es única salvo el orden. Supongamos que un mismo ideal propio se expresa de dos formas p 1 · · · p r = q1 · · · qs como producto de ideales primos (necesariamente no nulos) . Podemos suponer que r ≤ s. Entonces, puesto que p1 es primo y q1 · · · qs ⊂ p1 , ha de existir un ı́ndice i tal que qi ⊂ p1 . Reordenando podemos suponer que q1 ⊂ p1 y, por maximalidad, de hecho q1 = p1 . Multiplicando por el inverso tenemos p2 · · · pr = q2 · · · qs . Repitiendo el proceso llegamos a que pi = qi para i = 1, . . . , r y (si r < s) a que D = qs−r · · · qs , pero entonces D ⊂ qs , lo cual es imposible. Por lo tanto ha de ser r = s. Observar que la prueba del teorema anterior nos ha dado una expresión explı́cita para el inverso de un ideal en un dominio de Dedekind: a−1 = {x ∈ K | xa ⊂ D}. 12.2 Factorización ideal en anillos de enteros Los teoremas 11.20 y 11.23, junto con el teorema de Dedekind, implican que todo anillo de enteros algebraicos de un cuerpo numérico es un dominio de Dedekind. El teorema 11.20 afirma también que estos anillos de enteros cumplen una propiedad adicional muy importante que no poseen todos los dominios de Dedekind, y es que los cocientes módulo ideales no nulos son finitos. El anillo Q[x] es un ejemplo de dominio de Dedekind que no cumplen esta condición. El interés de la finitud de los cocientes reside en que es la clave para definir la norma de un ideal, que jugará el mismo papel que la norma de los elementos reales en el estudio de la divisibilidad. En efecto: Definición 12.8 Sea K un cuerpo numérico. Si a es un ideal no nulo de OK , llamaremos norma de a al cardinal del anillo cociente: N(a) = |O/a|. Ası́, la norma de a es un número natural no nulo y N(a) = 1 si y sólo si a = 1. El teorema 11.21 implica además que si a ∈ O entonces N (a) = | N(a)|, es decir, que la norma de ideales extiende (salvo signo) a la de enteros reales. El teorema siguiente acaba de garantizar que la norma de ideales se comporta satisfactoriamente: 12.2. Factorización ideal en anillos de enteros 215 Teorema 12.9 Sea K un cuerpo numérico y O su anillo de enteros. Si a, b son dos ideales no nulos de O, entonces N(ab) = N(a) N(b). Demostración: Por la unicidad de la factorización en primos e inducción sobre el número de factores, basta probar que N(ap) = N(a) N(p) cuando p es un ideal primo (el caso en que uno de los factores es 1 es obvio). Consideremos los grupos abelianos finitos a/ap ≤ O/ap. El tercer teorema de isomorfı́a implica que |O/ap| = |O/a| |a/ap|, o sea, N(ap) = N(a) |a/ap|. Basta probar que |a/ap| = |O/p|. Notemos que por la factorización única ap no puede ser igual a p, luego ap  a, es decir, |a/ap| > 1. Por el mismo motivo no pueden existir ideales b de O tales que ap  b  a, pues entonces a | b | ap, luego la descomposición en factores de b debe contener a la de a y estar contenida en la de ap, luego b será igual a ap o a a según que la multiplicidad de p en b sea la de ap o la de a. Por lo tanto, si a ∈ a\ap, entonces a = ap+(a) y a su vez esto implica que la aplicación f : O −→ a/ap dada por f (x) = [xa] es un epimorfismo de O-módulos con la propiedad de que p ⊂ N(f ). Ahora, N(f ) es un O-submódulo de O, o sea, un ideal. Como p es maximal, ha de ser N(f ) = p o N(f ) = O, pero el segundo caso implicarı́a que a/ap ∼ = O/O, con lo que |a/ap| = 1, contradicción. Lo correcto es a/ap ∼ = O/p, y ası́ |O/p| = |a/ap|. Con esto estamos en condiciones de ver ejemplos cómodamente. Vimos en √ el capı́tulo anterior que en Q −5 tenı́amos las siguientes descomposiciones en irreducibles: √ √   6 = 2 · 3 = 1 + −5 1 − −5 . (12.2) Esto prueba que 2 no es primo, y como N(2) = 4, el ideal (2) sólo puede descomponerse en producto de dos ideales primos de norma 2, o sea, 2 = p1 p2 . Igualmente 3 ha de ser producto de dos ideales de norma 3, digamos 3 = qr. Por otra parte, los factores de la derecha en (12.2) tienen los dos norma 6, luego han de descomponerse en producto de un ideal de norma  √2 por otro de norma 3. La unicidad de la factorización obliga a que sea 1 + −5 = p1 q y  √ 1 − −5 = p2 r, de modo que la factorización única de 6 es √ √   6 = 2 · 3 = (p1 p2 )(qr) = (p1 q)(p2 r) = 1 + −5 1 − −5 . √ Más aún, evidentemente p1 es el máximo común divisor de 2 y 1 + −5, es  √ decir, que p1 = 2, 1 + −5 .    √ √ √ Similarmente p2 = 2, 1 − −5 , q = 3, 1 + −5 y r = 3, 1 − −5 .  √ √ Finalmente observamos que p1 = p2 , pues 1 − −5 = 2 − 1 + −5 . Por  √ √ el contrario q = r, pues en otro caso 1 = 3 − 1 + −5 + 1 − −5 ∈ q, o sea, q = 1. Si llamamos p = p1 = p2 , la factorización de 6 es, √ en definitiva, 6 = p2 qr. Los  factores son ‘ideales’ porque no están en el anillo Z −5 , pero se comportan como si lo estuviesen. Ejercicio: Obtener las factorizaciones ideales correspondientes a las factorizaciones no únicas mostradas en el capı́tulo anterior en cuerpos cuadráticos reales e imaginarios. 216 Capı́tulo 12. Factorización ideal El teorema siguiente recoge los hechos básicos sobre las normas de ideales análogos a los ya conocidos para normas de enteros reales. Teorema 12.10 Sea K un cuerpo numérico y a, b ideales de OK . 1. Si a | b entonces N(a) | N(b). 2. Si N(a) es un número primo, entonces a es un ideal primo. 3. a | N(a). 4. Si a es un ideal primo no nulo, entonces a divide a un único primo racional p y se cumple que N(a) = pm para cierto natural m menor o igual que el grado de K. Demostración: 1) es consecuencia inmediata del teorema 12.9. 2) Un ideal de norma prima no puede descomponerse en primos (por 1), luego ha de ser primo. 3) Por definición, N(a) = |OK /a|. El anillo OK /a es en particular un grupo finito (con la suma) y el orden de cualquier elemento es divisible entre N(a). Por lo tanto N(a)[1] = [0], lo que equivale a que N(a) ∈ a. 4) Como a | N(a) y a es primo, a debe dividir a uno de los primos racionales que dividen a N(a). Digamos que a | p. Entonces N(a) | N(p) = pn , donde n es el grado de K. Consecuentemente, N(a) = pm para un cierto m ≤ n. Si a dividiera a otro primo q, el mismo argumento nos darı́a que N(a) habrı́a de ser potencia de q, lo cual es imposible salvo si q = p. Este teorema contiene información relevante a la hora de estudiar los ideales propios de un anillo de enteros. El apartado 4) nos dice que todo ideal primo divide a un primo racional, por lo que factorizando los primos racionales se encuentran todos los ideales primos. La unicidad de 4) implica que los primos racionales (no asociados) son primos entre sı́, de donde se sigue la existencia de infinitos ideales primos en cada anillo de enteros (al menos uno distinto para cada primo racional). Los hechos siguientes son muy sencillos, pero a menudo resultan útiles. Teorema 12.11 Sea K un cuerpo numérico. 1. Cada ideal no nulo de OK tiene sólo un número finito de divisores. 2. Cada elemento no nulo de OK pertenece a un número finito de ideales. 3. Sólo un número finito de ideales pueden tener una norma dada. Demostración: 1) es consecuencia inmediata de la factorización única. 2) es un caso particular de 1). 3) se sigue de 1) porque cada ideal es un divisor de su norma. 12.2. Factorización ideal en anillos de enteros 217 Veamos ahora que en la mayorı́a de los casos es muy fácil encontrar las factorizaciones ideales de los primos racionales (y con ello ir encontrando todos los ideales primos de un anillo de enteros). El teorema siguiente da cuenta de ello. Teorema 12.12 Sea K un cuerpo numérico y supongamos que el anillo de los enteros de K es de la forma Z[α], para un entero algebraico α. Sea g(x) = pol mı́n(α, Q) y p un primo racional. Sea ḡ(x) la imagen de g(x) por el epimorfismo de Z[x] sobre (Z/pZ)[x] y sea ḡ = ḡ1e1 · · · ḡrer la descomposición de  ḡ en polinomios mónicos irreducibles en (Z/pZ)[x]. Entonces los ideales pi = p, gi (α) , para i = 1, . . . , r son primos distintos y la descomposición de p en primos es p = pe11 · · · perr . Demostración: Para cada i = 1, . . . , r, sea αi una raı́z de ḡi (x) en una extensión de Z/pZ. Entonces (Z/pZ)(αi ) es una extensión finita de Z/pZ y ḡi = pol mı́n(αi , Z/pZ).  Consideremos la aplicación φi : Z[α] −→ (Z/pZ)(αi ) dada por φi q(α) = q̄(αi ). Está bien definida, pues si q(α) = r(α), entonces (q − r)(α) = 0, luego g | q − r, de donde ḡ | q̄ − r̄, y también ḡi | q̄ − r̄, luego q̄(ai ) − r̄(ai ) = 0. Obviamente φi es un epimorfismo, luego Z[α]/ N(φi ) ∼ = (Z/pZ)(αi ), y el segundo anillo esun cuerpo, de donde N(φi ) es un ideal primo de Z[α]. Es claro que p, gi (α) ⊂ N(φi ) (la imagen de p es [p] = 0). Veamos la otra inclusión. Si q(α) ∈ N(φi ), entonces q̄(αi ) = 0, luego q̄(x) = h̄(x)ḡi (x). El hecho de que q̄(x) − h̄(x)ḡi (x) = 0 significa que todos los coeficientes del polinomio q(x) − h(x)gi (x) son múltiplos de p. Consecuentemente   q(α) = q(α) − h(α)gi (α) + h(α)gi (α) ∈ p, gi (α) .  Por lo tanto, pi = p, gi (α) = N(φi ) es un ideal primo que obviamente divide a p. Aplicando que, en general, (p, u)(p, v) ⊂ (p, uv) concluimos que   pe11 · · · perr ⊂ p, g1 (α)e1 · · · gr (α)er = p, g(α) = (p, 0) = (p). Notar que la primera igualdad se debe a que g(α) y g1 (α)e1 · · · gr (α)er se diferencian en un entero múltiplo de p. Ası́ pues, p | pe11 · · · perr . La igualdad la obtendremos considerando las normas.   Por definición de norma, N(pi ) = |Z[α]/pi | = (Z/pZ)(αi ) = pgrad gi , pues (Z/pZ)(αi ) es un espacio vectorial de dimensión grad gi sobre Z/pZ, luego es isomorfo al espacio (Z/pZ)grad gi . En total N(pe11 · · · perr ) = pe1 grad g1 +···+er grad gr = pn , donde n es el grado de K. Ası́ pues N(pe11 · · · perr ) = N(p), lo que nos da que p = pe11 · · · perr . Los primos pi son distintos, pues si pi = pj , entonces pi | gj (α), luego los polinomios ḡi y ḡj tienen la raı́z [α] en común en el cuerpo Z[α]/pi (este cuerpo tiene caracterı́stica p, luego contiene a Z/pZ), pero eso es imposible porque ambos polinomios son irreducibles en Z/pZ, luego son primos entre sı́. 218 Capı́tulo 12. Factorización ideal La hipótesis OK = Z[α] no la cumplen todos los cuerpos numéricos, pero es bastante frecuente y sabemos que al menos la cumplen los cuerpos cuadráticos y ciclotómicos de orden primo. √  Ejemplo Las factorizaciones de 2 y 3 en Z −5 que hemos obtenido más arriba pueden obtenerse también como sigue: √ En primer lugar, pol mı́n( −5, Q) = x2 + 5. Su imagen en el cuerpo  √ 2 (Z/2Z)[x] es x2 + 1 = (x + 1)2 , luego 2 factoriza como 2 = 2, 1 + −5 . La imagen en (Z/3Z)[x] es x2 + 2 = x2 − 1 = (x + 1)(x − 1), lo que nos da la factorización √ √ √ √     3 = 3, 1 + −5 3, −1 + −5 = 3, 1 + −5 3, 1 − −5 . En el capı́tulo siguiente estudiaremos con detalle las factorizaciones en cuerpos cuadráticos. Veamos ahora un resultado general para cuerpos ciclotómicos. Teorema 12.13 Sea p un primo racional impar y sea O = Z[ω] el anillo de los enteros ciclotómicos de orden p. 1. La factorización de p en O es p = pp−1 , donde p = (ω − 1). 2. Si q = p es un primo racional, entonces la factorización de q es de la forma q = p1 · · · pr , donde los primos son distintos, N(pi ) = q f , con f = op (q) (el orden de q módulo p), y r = (p − 1)/f . Demostración: 1) En la prueba del teorema 11.15 vimos que π = ω − 1 cumple π p−1 | p, luego pp−1 | p y considerando las normas tenemos la igualdad. 2) Aplicamos el teorema anterior. Sea g(x) el polinomio mı́nimo de ω. Éste divide a xp − 1, lo cual sigue siendo cierto módulo q. Como la derivada de xp − 1 es pxp−1 , que es no nulo módulo q, y su única raı́z es 0, concluimos que las raı́ces de xp − 1 en una extensión de Z/qZ han de ser simples, luego lo mismo vale para las de ḡ(x). En particular, los factores irreducibles de ḡ(x) en Z/qZ son todos distintos dos a dos, luego la factorización de q es de la forma q = p1 · · · pr , donde los factores son distintos. Sólo falta probar que f = op (q), pues comparando las normas sale que r = (p − 1)/f . Sea e = op (q). Sabemos que L = Z[ω]/pi es un cuerpo con q f elementos. En él, [ω] es una raı́z p-ésima de la unidad distinta de 1 (pi no puede dividir a π = ω − 1), luego tiene orden p, pero por otro lado el grupo multiplicativo de L tiene orden q f − 1, con lo que p | q f − 1 y, en consecuencia, e = op (q) | f .  Un elemento de L es de la forma h [ω] , con h ∈ (Z/qZ)[x]. Como los ele   e e qe mentos de Z/qZ cumplen aq = a, resulta que h [w] = h [ω]q = h [ω q ] = 12.2. Factorización ideal en anillos de enteros 219  h [ω] , puesto que q e ≡ 1 (mód p). Esto significa que todos los elementos de L e son raı́ces de xq − x y ası́, el número de elementos de L ha de cumplir q f ≤ q e , luego e = f . Ejemplo Vamos a considerar el caso p = 23 y q = 47 en el teorema anterior. Como q ≡ 1 (mód p), tenemos que f = op (q) = 1, luego 47 factoriza en 22 primos distintos de norma 47. Vamos a probar que en Z[ω] no hay elementos de norma ±47, con lo que los factores primos de 47 serán ideales no principales, y habremos probado que Z[ω] no tiene factorización única. El discriminante del cuerpo es ∆ = −2321 . Si llamamos σ1 , . . . , σ22 a los monomorfismos de Q(ω), como Q(ω)/Q es que todos los √ normal concluimos √ conjugados σi (ω j ) están en Q(ω), luego ∆ = 2310 −23 = det σi (ω j ) ∈ √ Q(ω), y de aquı́ concluimos que Q −23 ⊂ Q(ω). Si en Q(ω) hubiera un entero √ de norma ±47, la norma de dicho entero respecto a la extensión Q(ω)/Q −23 serı́a un entero cuadrático de norma √ ±47 (necesariamente +47). Basta ver, pues, que en Q −23 no hay enteros de norma 47. √ √ Ahora bien, un entero de Q −23 es de la forma a + b 1+ 2−23 , con a, b enteros racionales, y su norma es √ √ √      1 + −23 2a + b 2a + b −23 −23 = +b −b N a+b 2 2 2 2 2  1 (2a − b)2 + 23b2 . = 4 Si hubiera un elemento de norma 47 tendrı́amos 188 = 47 · 4 = (2a − b)2 + 23b2 , pero 188 no es un cuadrado perfecto, ni 188 − 23 = 165, ni 188 − 23 · 4 = 96, luego b no puede tomar los valores 0, ±1, ±2, y para valores mayores resulta que (2a − b)2 + 23b2 > 188. En su estudio de los enteros ciclotómicos de orden primo, Kummer publicó en 1.844 las descomposiciones en factores primos de todos los primos racionales ≤ 1.000 para las extensiones de orden primo p ≤ 19. Sucede que todas estas extensiones son de hecho dominios de factorización única, por lo que Kummer pudo encontrar todas las factorizaciones, no sin grandes esfuerzos. Para el siguiente caso, p = 23, encontró las factorizaciones de todos los primos menores que 47 y demostró que 47 no podı́a ser descompuesto en primos, con lo que halló el menor contraejemplo a la factorización única en enteros ciclotómicos de orden primo. Afortunadamente su teorı́a estaba tan avanzada que Kummer confió más en ella que en la evidencia que le mostraba que los cuerpos ciclotómicos no tenı́an factorización única, y ası́ descubrió la factorización ideal de los anillos de enteros algebraicos. 220 Capı́tulo 12. Factorización ideal Ejemplo √  Factorización en el anillo Z 3 2 . Vamos a determinar  √ cómo se descompone un primo racional p en el anillo de enteros del cuerpo Q 3 2 . Para aplicar el teorema 12.12 hemos de considerar el polinomio x3 − 2. Si p = 2 tenemos que x3 − 2 ≡ x3 (mód √ 2), luego la factorización es de la forma 2 = p3 , con N(p) = 2 (De hecho 2 = 3 2 3 , y para esto no hace falta el teorema 12.12). Supongamos que p es impar y sea G = (Z/pZ)∗ . Consideremos el homomorfismo de grupos φ : G −→ G dado por φ(u) = u3 . Su núcleo está formado por las raı́ces cúbicas de la unidad de Z/pZ. Puede haber una o tres de ellas. Concretamente, Z/pZ tiene tres raı́ces cúbicas de la unidad si y sólo si p ≡ 1 (mód 3). En efecto: Si u ∈ G es una raı́z cúbica de la unidad distinta de 1, entonces o(u) = 3, y por el teorema de Lagrange 3 | p − 1, luego p ≡ 1 (mód 3). Si p ≡ 1 (mód 3) y v es una raı́z primitiva de la unidad módulo p, entonces u = v (p−1)/3 es una raı́z cúbica de la unidad distinta de 1. Por lo tanto, si p ≡ 1 (mód 3) el núcleo de φ es trivial, luego φ es un monomorfismo, luego un isomorfismo. Por lo tanto [2] tiene una única antiimagen por φ, una única raı́z cúbica módulo p, luego x3 − 2 se descompone en un factor de grado 1 y otro de grado 2, y en consecuencia p = pq, donde N(p) = p y N(q) = p2 . Si p ≡ 1 (mód 3) entonces, el núcleo de φ tiene tres elementos, con lo que o bien [2] ∈ Im φ, y entonces 2 tiene tres raı́ces cúbicas módulo p, o bien [2] ∈ / Im φ, y entonces 2 no tiene raı́ces cúbicas módulo p. En el primer caso la factorización es p = pqr, con los tres factores de norma p, y en el segundo p se conserva primo. Resumimos los resultados en la tabla siguiente: Primo Factorización p=2 p p ≡ 1 (mód 3) p ≡ 1 (mód 3) 12.3 x3 ≡ 2 (mód p) x3 ≡ 2 (mód p) p=2 resoluble no resoluble 3 Norma p pqr p p p3 pq p / p2 Dominios de Dedekind y dominios de factorización única Terminamos el capı́tulo profundizando un poco más en la relación entre la divisibilidad real e ideal, es decir, entre los dominios de factorización única y los dominios de Dedekind. Un hecho sencillo que conocemos es el siguiente: Un dominio de Dedekind es un dominio de factorización única si y sólo si todos sus elementos irreducibles son primos. 12.3. Dominios de Dedekind y dominios de factorización única 221 De hecho esto es cierto para todo anillo noetheriano (por el teorema 4.9). Ahora vamos a probar un resultado dual: Teorema 12.14 Un dominio de factorización única es un dominio de Dedekind si y sólo si todos sus ideales primos son maximales. Demostración: Una implicación es obvia. Sea D un DFU donde los ideales maximales coinciden con los primos y veamos que es un dominio de Dedekind. Dividimos la prueba en varios pasos. (i) Si π es primo en D, entonces las unidades módulo π r son las clases de los elementos primos con π. Lo probamos por inducción sobre r. Para r = 1 es obvio porque D/(π) es un cuerpo. Si vale para r y (α, π) = 1, por hipótesis de inducción existe ξo ∈ D de manera que αξ0 ≡ 1 (mód π r ), es decir, αξ0 −1 = π r β. Sea λ ∈ D y ξ = ξ0 +λπ r . Veamos que eligiendo λ adecuadamente se cumple que αξ ≡ 1 (mód π r+1 ). Tenemos que αξ−1 = αξ0 −1+αλπ r = π r (β +αλ), luego αξ ≡ 1 (mód π r+1 ) si y sólo si αλ ≡ −β (mód π). Ahora bien, por el caso r = 1 resulta que α es una unidad módulo π, luego existe un λ que cumple la congruencia. El recı́proco es obvio: si αξ ≡ 1 (mód π r+1 ) entonces αξ + βπ r+1 = 1, con lo que claramente π ∤ α. (ii) Si β ∈ D es no nulo ni unitario entonces las unidades módulo β son las clases de los elementos primos con β. Factoricemos β = ǫπ1r1 · · · πnrn , donde los πi son distintos y ǫ es una  primos r1 unidad. Consideramos el homomorfismo D −→ D/(π ) × · · · × D/(πnrn ) 1  definido por α → [α], . . . , [α] . Claramente su núcleo es (β). Veamos que es suprayectivo, con lo que tendremos D/(β) ∼ = D/(π1r1 ) × · · · × D/(πnrn ) . ri Dados α1 , . . . , αn ∈ D, sea βi = β/πi . Entonces (βi , πi ) = 1, luego por (i) tenemos que βi es una unidad módulo πiri . En consecuencia existe γi ∈ D tal que βi γi ≡ αi (mód πiri ). Sea α = β1 γ1 + · · · + βn γn . Claramente α ≡ αi (mód πiri ), luego es una antiimagen de la n-tupla [α1 ], . . . , [αn ]). Ahora es claro que α es una unidad módulo β si y sólo si lo es módulo πiri para todo i, lo que por (i) equivale a que (α, β) = 1. (iii) Si δ = mcd(α, β), entonces (δ) = (α, β). Sea α = α′ δ y β = β ′ δ. Entonces (α′ , β ′ ) = 1, luego por (ii) existe ξ tal que α ξ ≡ 1 (mód β ′ ). Ası́ β ′ | α′ ξ − 1, luego multiplicando por δ queda β | αξ − δ, es decir, δ = αξ + βξ ′ para cierto ξ ′ , y por lo tanto (δ) ⊂ (α, β). La otra inclusión es obvia. ′ 222 Capı́tulo 12. Factorización ideal (iv) D es DIP. Sea A un ideal propio de D. Sea α ∈ A no nulo. Factoricemos α = π1 · · · πn como producto de primos. Si π es cualquier primo y A ⊂ (π) entonces π | α luego π = πi para algún i. Definimos e(π) = mı́n eπ (α), donde α recorre los elementos no nulos de A y α ep (α) es el exponente de π en α. Acabamos de probar que si e(π) > 0 entonces π = πi para un i, es decir, que e(π) = 0 para todos los primos excepto quizá algunos de los πi . Por la propia definición de e(π) tenemos que para cada i existe un βi ∈ A e(π ) e(π ) de modo que eπi (βi ) = e(πi ). Sea δ = π1 1 · · · πn n . Obviamente se cumple A ⊂ (δ). Además δ = mcd(α, β1 , . . . , βn ), pues ciertamente δ divide a α, β1 , . . . , βn (porque están en A) y si γ es un divisor común de todos ellos entonces los divisores primos de γ serán algunos de los πi (porque γ | α) y eπi (γ) ≤ eπi (βi ) = e(πi ), luego γ | δ. Por (iii) tenemos que (δ) = (α, β1 , . . . , βn ) ⊂ A, luego A = (δ). Conviene observar que en la prueba del teorema anterior hemos visto que (ii) → (iii) → (iv), por lo que si un DFU cumple (ii) entonces es un DIP. Ası́ mismo, la prueba de (ii) contiene una demostración del teorema chino del resto (cf. 5.10) para DFU’s que sean dominios de Dedekind, es decir, para DIP’s. Ejercicio: Probar que si un DFU cumple el teorema chino del resto entonces es un DIP. Ejercicio: Probar el teorema chino del resto en un dominio de Dedekind arbitrario, es decir, probar el teorema 5.10 para ideales m1 , . . . , mn primos entre sı́ en un dominio de Dedekind D y después dar un enunciado equivalente en términos de congruencias. Ejercicio: Probar que si X es infinito entonces Q[X] es un DFU no noetheriano. Ejercicio: Probar que Z[x] es un DFU noetheriano pero no es un dominio de Dedekind. Volviendo al caso de los anillos de enteros algebraicos, puesto que todos ellos son dominios de Dedekind, probar que tienen factorización única equivale a probar que son DIP’s. Sin embargo, no es fácil, no ya probar que todos los ideales de un anillo sean principales, sino tan sólo decidir si un ideal dado lo es. La factorización ideal proporciona técnicas para abordar este problema. En el capı́tulo siguiente nos ocuparemos de ello en el caso particular de los cuerpos cuadráticos. Capı́tulo XIII Factorización en cuerpos cuadráticos Los cuerpos cuadráticos son los más simples de todos los cuerpos numéricos y, entre ellos, los más simples son los imaginarios. Sin embargo, su estudio proporciona resultados importantes sobre los números enteros. En otros capı́tulos hemos visto algunas de sus aplicaciones. Aquı́ vamos a estudiar más a fondo su estructura, demostrando algunos resultados que no tienen análogos en otros cuerpos y también otros válidos para cuerpos numéricos arbitrarios, pero cuyas demostraciones generales no están a nuestro alcance. Entre otras cosas, daremos un algoritmo para determinar si un cuerpo cuadrático tiene o no factorización única, ası́ como para decidir si un ideal dado es o no principal, y obtener en su caso un generador. 13.1 Los primos cuadráticos Comenzamos determinando los primos cuadráticos. Para facilitar el estudio conviene introducir unas definiciones. √ Definición 13.1 Sea Q d un cuerpo cuadrático, O su anillo de enteros y p un primo racional. Entonces N(p) = p2 , luego p puede descomponerse a lo sumo en dos factores primos de O de norma p. Esto da lugar a tres modos posibles de factorización. Si p sigue siendo primo en O, diremos que p se conserva. Si p se descompone en producto de dos ideales primos distintos, p = pq, diremos que p se escinde. Si p es el cuadrado de un primo, p = p2 , diremos que p se ramifica. Ahora vamos a aplicar el teorema 12.12 a los cuerpos cuadráticos. En primer √ lugar, si Q d es un cuerpo cuadrático, entonces su anillo de enteros es de la √ forma Z[α], tal√ y como exigen las hipótesis. El entero α es d si d ≡ 1 (mód 4) o bien α = 1+2 d si d ≡ 1 (mód 4). En el primer caso el polinomio mı́nimo de α es g(x) = x2 − d y en el segundo es g(x) = x2 − x + 1−d 4 . 223 224 Capı́tulo 13. Factorización en cuerpos cuadráticos Según 12.12, la factorización de un primo racional p depende de la factorización de g(x) módulo p. Más concretamente, tenemos que p se conserva primo, se ramifica o se escinde según si g(x) tiene 0, 1 o 2 raı́ces distintas módulo p respectivamente. Consideramos primero el caso p = 2, pues bajo esta hipótesis podemos considerar la fórmula usual para las soluciones de la ecuación general de grado 2, en virtud de la cual la factorización de g(x) depende únicamente de su discriminante, que resulta ser ∆ = 4d si d ≡ 1 (mód 4) y ∆ = d si d ≡ 1 (mód 4) (o sea, el discriminante de g(x) es precisamente el discriminante de K). Ahora conviene introducir un concepto: Si p es un primo impar y d un entero primo con p, diremos que d es un resto cuadrático módulo p si existe un u ∈ Z tal que d ≡ u2 (mód p). En caso contrario (siempre suponiendo que d es primo con p) diremos que d es un resto no cuadrático módulo p. En estos términos, tenemos que g(x) tiene 0, 1 o 2 raı́ces módulo p si y sólo si ∆ es un resto no cuadrático, es cero o es un resto cuadrático módulo p, respectivamente. Ahora bien, como ∆ = d o ∆ = 4d y p = 2, en realidad este criterio sigue siendo cierto si cambiamos ∆ por d. Ası́ pues, si p | d (o, equivalentemente, si p | ∆) tenemos que g(x) = x2 − d ≡ x2 (mód p) o g(x) = x2 − x + 1−d ≡ (x − 1/2)2 (mód p), 4 donde el 1/2 ha de entenderse como el inverso de 2 módulo p. Por consiguiente p = p2 , donde p = (p, α) o p = (p, α − 1/2). Supongamos ahora que p ∤ d, en cuyo caso tenemos dos posibilidades. Si d es un resto no cuadrático módulo p entonces p se conserva primo, mientras que si d ≡ u2 (mód p) entonces g(x) = x2 − d ≡ (x + u)(x − u) (mód p) o bien 1−d ≡ g(x) = x − x + 4 2 de donde a su vez p = p1 p2 , con pi = (p, α ± u) o  1+u x− 2 pi =   1−u x− 2 p, α − 1±u 2   , . Nos falta estudiar el caso p = 2. Si 2 | d entonces d ≡ 2 (mód 4) (pues d no puede ser múltiplo de 4). Entonces g(x) = x2 − d ≡ x2 (mód 2), luego 2 = p2 , con p = (2, α). 225 13.1. Los primos cuadráticos Si 2 ∤ d tenemos dos posibilidades: si d ≡ 3 (mód 4) entonces g(x) = x2 − d ≡ x2 − 1 ≡ (x − 1)2 (mód 2), luego 2 = p2 con p = (2, α − 1). Si, por el contrario, d ≡ 1 (mód 4), digamos d = 4k + 1, entonces g(x) = x2 − x − k. A su vez hemos de distinguir dos casos: Si k es impar (o equivalentemente, si d ≡ 5 (mód 8)) entonces g(x) no tiene raı́ces módulo 2 y p se conserva primo. Si k es par (o sea, d ≡ 1 (mód 8)), entonces g(x) ≡ x2 − x = x(x − 1) (mód 2), luego 2 = p1 p2 , donde p1 = (2, α), p2 = (2, α − 1). El teorema siguiente resume todo lo que hemos obtenido, pero antes introducimos una notación útil: Si p es un primo y u ∈ Z, definimos [p, u] = (p, α − u). Es claro que el ideal [p, u] depende sólo del resto de u módulo p, por lo que podemos considerar u ∈ Z/pZ. Teorema 13.2 Sea d un número entero libre de cuadrados y p un primo √ racional. Consideremos el anillo de los enteros algebraicos del cuerpo Q d . 1. Si p es impar y p | d, entonces p se ramifica:  [p, 0]2 si d ≡ 1 (mód p), p= [p, 21 ]2 si d ≡ 1 (mód p). 2. Si p es impar y d ≡ u2 (mód p), entonces p se escinde:  [p, u][p, −u] si d ≡ 1 (mód p), p= 1−u [p, 1+u ][p, ] si d ≡ 1 (mód p). 2 2 3. Si p es impar y d es un resto no cuadrático módulo p, entonces p se conserva primo. 4. Si p = 2 tenemos las posibilidades siguientes: d≡1 (mód 8) 2 = [2, 0][2, 1] (se escinde), 2 = [2, 0]2 (se ramifica), d ≡ 3, 7 (mód 8) 2 = [2, 1]2 d ≡ 5 (mód 8) 2 = 2 (se ramifica), (se conserva). d ≡ 2, 6 (mód 8) 226 Capı́tulo 13. Factorización en cuerpos cuadráticos Observaciones: 1. No puede ocurrir d ≡ 0, 4 (mód 8) porque d es libre de cuadrados. 2. Del teorema se sigue que un primo p se ramifica en K si y sólo si p | ∆. 3. Si p = [p, u] es un ideal en las condiciones del teorema, entonces N(p) = p, luego Z[α]/p = Z/pZ, y α ≡ u (mód p). Esto nos permite determinar fácilmente si dos enteros cuadráticos son congruentes módulo p, y en particular si un entero cuadrático es divisible entre p. 4. El cuerpo K tiene un único automorfismo no trivial, al que llamaremos conjugación y representaremos por x → x̄. Es claro que si a es un ideal de K lo mismo le sucede a su imagen por la conjugación, que representaremos por ā. Del teorema se sigue que cuando p se escinde, entonces lo hace en la forma p = pp̄, para cierto ideal primo p. Por ejemplo, en el caso p = 2, d ≡ 1 (mód 8) tenemos que 2 = (2, α)(2, α − 1) y, ciertamente, ᾱ = −(α − 1), luego (2, α − 1) = (2, ᾱ) = (2, α). De la última observación se sigue fácilmente un resultado más general: Teorema 13.3 Sea K un cuerpo cuadrático y a un ideal de su anillo de enteros. Entonces N(a) = aa. Demostración: Por la factorización única basta probarlo para ideales primos. Si p es un ideal primo sea p el único primo racional al que divide. Si p se conserva primo, entonces p = p y N(p) = p2 = pp̄. Si p se ramifica, entonces p = p2 , de donde p = p y N(p) = p. Por lo tanto se cumple también N(p) = p = p2 = pp. Si p se escinde, hemos visto que lo hace en la forma p = pp, y concluimos igualmente. 13.2 El grupo de clases El problema más importante que presenta la factorización ideal es el de determinar en qué casos un divisor ideal se corresponde con un divisor real (o sea, es principal) y, en particular, cuándo todos los divisores son reales, y por lo tanto el anillo es DFU. Para abordar este problema introducimos un concepto fundamental en el estudio de los enteros algebraicos. Definición 13.4 Sea K un cuerpo numérico y O su anillo de enteros. Sea F el grupo de los ideales fraccionales de O y P el subgrupo formadopor los ideales fraccionales principales. Es decir, P = (a)(b)−1 | a, b ∈ O \ {0} . Llamaremos grupo de clases de K al grupo cociente H = F/P. 13.2. El grupo de clases 227 −1 Notemos que todo ideal fraccional es de la forma a(b)   , donde a es un ideal, luego al tomar clases módulo P resulta que a(b)−1 = [a], es decir, que podemos considerar a los elementos de H como clases de ideales, en el sentido de que siempre podemos trabajar con representantes ideales. Por otra parte, si un ideal c está en P, o sea, si c = (a)(b)−1 , entonces (a) = (b)c, luego (b) | (a), luego b | a, luego a = bc para cierto entero c, y (b)c = (a) = (b)(c). Por lo tanto c = (c). Esto prueba que [c] = 1 si y sólo si c es principal. En consecuencia O es un DIP si y sólo si H = 1. Puede probarse, aunque ello excede nuestras posibilidades, que el grupo H siempre es finito, y a su número de elementos se le llama número de clases de K, y se representa por h. En estos términos O es DIP si y sólo si h = 1. Aquı́ demostraremos la finitud del número de clases en el caso particular de los cuerpos cuadráticos y daremos un procedimiento para calcularlo. Diremos que dos ideales a y b son similares (a ≈ b) si son congruentes módulo P. Concretamente, a ≈ b si y sólo si existen enteros algebraicos a y b tales que b = (a)(b)−1 a, o equivalentemente, (a)a = (b)b. Notemos que si a, b y c son ideales no nulos tales que ac y bc son principales, entonces a ≈ b, pues módulo P tenemos [ac] = 1 = [bc], luego [a] = [b]. En el caso concreto de los cuerpos cuadráticos, si b es un ideal no nulo  tenemos que bb = N(b) ≈ (1) = bb−1 , luego b es similar a b−1 . Además a ≈ b si y sólo si ab es principal. Nuestro objetivo es encontrar un conjunto finito de representantes de las clases de H y luego dar un algoritmo que nos permita saber cuándo dos clases son la misma, con lo que tendremos completamente determinado el grupo de clases. El primer paso es observar que todo ideal a es similar a otro no divisible entre enteros racionales no unitarios. En efecto: si m es un entero maximal que divida a a, entonces a = mb y obviamente b no es divisible entre enteros racionales no unitarios. También es obvio que b es similar a a. Ahora probamos que b tiene un comportamiento especialmente satisfactorio. Teorema √ 13.5 Sea d un entero libre de cuadrados y O el anillo de los enteros de Q d . Sea a un ideal de O que no sea divisible entre enteros racionales no unitarios. Sea a = N(a). Entonces todo entero cuadrático es congruente módulo a con un entero racional y dos enteros racionales son congruentes módulo a si y sólo si lo son módulo a. En particular se cumple que O/a ∼ = Z/aZ. Demostración: Por hipótesis a no es divisible entre primos que se conserven, luego su descomposición en primos es de la forma a = pe11 · · · perr , donde N(pi ) = pi . Si el primo pi se ramifica entonces ei = 1 (o de lo contrario pi | a). Si pi se escinde entonces pi ∤ a, o de lo contrario pi | a. Por lo tanto los primos pi son distintos dos a dos. 228 Capı́tulo 13. Factorización en cuerpos cuadráticos Veamos que si m es un entero racional, entonces a | m si y sólo si a | m. En efecto, puesto que a | a, una implicación es evidente. Supongamos que a | m. Tenemos que a = N(a) = pe11 · · · perr . Si pi se ramifica, ei = 1, pi | m y tomando normas pi | m2 , luego pei i | m. Si pi se escinde entonces pei i | m y conjugando pei i | m. Como ambos ideales son primos entre sı́ concluimos que pei i = pei i pei i | m. Por lo tanto a | m. Obviamente entonces, m ≡ n (mód a) es equivalente a m ≡ n (mód a). A su vez esto implica que la caracterı́stica de O/a es a, luego Z/aZ ⊂ O/a. Concretamente Z/aZ está formado por las clases con representante entero racional. Puesto que a = N(a) = |O/a|, ha de darse la igualdad y el teorema queda probado. El teorema siguiente contiene esencialmente la finitud del grupo de clases: Teorema √ 13.6 Sea d un entero libre de cuadrados y sea O el anillo de enteros de Q d . Sea ∆ el discriminante de K. Entonces todo ideal no nulo a de O es similar a otro ideal b tal que 2 N(b) ≤ |∆| . 3 Demostración: Podemos suponer que a no es divisible entre enteros racionales no unitarios. Consideremos a = N(a). Sea  √ d√ si d ≡ 1 (mód 4) (13.1) α= 1+ d si d ≡ 1 (mód 4) 2 El teorema anterior nos da que α ≡ s (mód a) para cierto entero racional s. Llamemos  s si d ≡ 1 (mód 4) r= 2s−1 si d ≡ 1 (mód 4) 2 En ambos casos tenemos que r− √ ∆ = s − α ∈ a. 2 (observemos que en el segundo caso ninguno de los dos sumandos es entero, pero sı́ la suma.) El teorema anterior nos da también que si a r le sumamos un múltiplo de a se sigue cumpliendo la relación anterior,√ luego podemos exigir que |r| ≤ a/2. √ ∆ Tenemos que a | r − 2 , luego r − 2∆ = ab para cierto ideal b. Además  √   √    ∆ ∆   2 ∆  1 |∆| |∆|  r+ ≤ a2 + .  = r −  ≤ r2 + N(ab) =  r −  2 2   4 4 4 4 Si N(a) ≤ N(b), entonces N(a) N(a) ≤ N(a) N(b), o sea, a2 ≤ (a2 + |∆|)/4, lo que equivale a que a2 ≤ |∆|/3. 229 13.2. El grupo de clases Por otro lado, por el teorema 13.3, N(b) = bb, y como ab y bb son ambos principales, resulta que a ≈ b. En resumen, a ≈ b y N(b) < N(a) salvo si N(a)2 ≤ |∆|/3. Además b no es divisible entre enteros racionales no unitarios, pues si m | b √ entonces m | b | r − 2∆ , pero esto es imposible: entonces m dividirı́a a s − α, y en consecuencia s − α = m(u + vα), luego −1 = mv, contradicción. Esto significa que podemos obtener una sucesión de ideales similares con normas estrictamente decrecientes mientras los cuadrados de las normas superen a |∆|/3. Como las normas son números naturales, tras un número finito de pasos hemos de llegar a un ideal b similar al de partida y tal que N(b)2 ≤ |∆|/3. Teorema 13.7 Sea d un entero libre de cuadrados y O el anillo de enteros de √ Q d . Entonces el grupo de clases de O es un grupo abeliano finito. Demostración: Todo ideal fraccional es congruente con un ideal, y todo ideal es similar a un ideal de norma menor o igual que el menor natural cuyo cuadrado supera a |∆|/3. Por el teorema 12.11 sólo hay un número finito de ideales con una norma dada, luego tenemos que todo ideal fraccional es similar a un ideal de entre los elementos de un conjunto finito. Por lo tanto sólo puede haber un número finito de clases de similitud, y el grupo cociente es finito. Sólo con la ayuda de este teorema podemos probar que h = 1 en los casos d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, 2, 3, 5, 13, y que h = 2 en los casos d = −5, −6, −10, −13, −15. Veamos algunos ejemplos: si d = −1 tenemos ∆ = −4, luego todo ideal es similar a uno de norma a tal que a2 ≤ 4/3, luego a = 1. Ası́ pues todo ideal es similar a 1 y por lo tanto h = 1. Esto ya lo sabı́amos, porque Z[i] es euclı́deo. Si d = −5 entonces ∆ = −20 y la cota es a2 ≤ 20/3, luego a ≤ 2. En √ Q −5 el 2 se ramifica, luego sólo hay dos ideales de norma menor o igual que √ 2, a saber, 1 y [2, 1]. Por lo tanto h ≤ 2. En el capı́tulo XI vimos que Q −5 no tiene factorización única, luego h = 1. Por lo tanto h = 2. Si d = −10 tenemos a2 ≤ 40/3, luego a ≤ 3. De nuevo 2 se ramifica y 3 se conserva primo, luego no hay ideales de norma 3. Tenemos sólo dos ideales y ası́ h ≤ 2. Como la factorización no es única h = 2. Más interesante es el caso d = −19. Tenemos que a2 ≤ 19/3, luego a ≤ 2, es decir, todo ideal es similar a uno de norma menor o igual que 2, pero 2 √ se conserva primo en Q −19 , luego no hay ideales de norma 2. Ası́ pues √ todo ideal es similar a 1, o sea Q −19 tiene factorización única y por otro lado sabemos que no es euclı́deo. Es el primer ejemplo que tenemos de DIP no euclı́deo. 230 Capı́tulo 13. Factorización en cuerpos cuadráticos 13.3 Cálculo del número de clases Ahora veremos que refinando los argumentos de la sección anterior podemos determinar el número de clases de cualquier cuerpo cuadrático. Trataremos por separado los cuerpos imaginarios y los reales. Como siempre, los primeros son más sencillos. 13.3.1 Cuerpos cuadráticos imaginarios Sea ai un ideal no divisible entre enteros distintos de ±1. Sea ai = N(ai ). En la prueba del teorema 13.6 partimos de un número entero o semientero ri tal que √ ai ∆ ri − |ri | ≤ . ∈ ai , 2 2 Desde aquı́ encontramos otro ideal ai+1 ≈ ai (no divisible entre enteros no unitarios) determinado por ai+1 ai = ri − √ ∆ . 2 Llamemos ai+1 = N(ai+1 ). Como ai+1 | ri − √ (13.2) √ ∆ 2 , conjugando ai+1 | ri + √ ∆ 2 , es decir, −ri − 2∆ ∈ ai+1 . Por lo tanto, si llamamos ri+1 a la reducción de −ri módulo ai+1 de modo que |ri+1 | ≤ (1/2)ai+1 , resulta que (ai+1 , ri+1 ) vuelve a estar en las hipótesis de 13.6. Tomando normas en la igualdad (13.2) obtenemos que ai+1 ai = ri2 − ∆/4, por lo que en total tenemos: ai+1 = ri2 − ∆/4 , ai ri+1 ≡ −ri (mód ai+1 ), |ri+1 | ≤ ai+1 . 2 (13.3) Estas fórmulas nos permiten calcular los sucesivos ai y ri sin necesidad de calcular lo ideales ai . Si alguno de los ai toma el valor 1, entonces el ideal correspondiente ai será (1), luego el ideal de partida a0 será principal. Ahora vamos a probar que el recı́proco es cierto, es decir, que si el ideal de partida es principal, se alcanza el valor ai = 1 para algún i. Más aún, probaremos que si la sucesión de los ai deja de ser estrictamente decreciente sin alcanzar el valor 1, entonces nunca toma el valor 1, con lo que en un número finito de pasos sabremos siempre si el ideal de partida es o no principal. En efecto, supongamos que a0 es principal. Sea i el menor natural tal que ai+1 ≥ ai . Según la√prueba del teorema 13.6, esto implica que a2i ≤ |∆|/3.  Sea ai = u + v d , donde u, v son enteros o semienteros. Tenemos, pues, que |∆| (u2 − v 2 d)2 ≤ . 3 231 13.3. Cálculo del número de clases En el caso d ≡ 1 (mód 4) tenemos que u y v son enteros y (u2 − v 2 d)2 ≤ 4|d| . 3 En el caso d ≡ 1 (mód 4) multiplicamos y dividimos entre 16 y queda 1 (2u)2 − (2v)2 d 16 2 ≤ |d| . 3 Si v = 0 tenemos en el primer caso d2 ≤ 4|d|/3, luego |d| ≤ 4/3, d = −1 y entonces a2i ≤ 4/3, luego ai = 1 y por lo tanto ai = 1. En el segundo caso queda d2 ≤ 16|d|/3, luego |d| ≤ 16/3 y, puesto que d ≡ 1 (mód 4), la única posibilidad es d = −3, luego a2i ≤ 1 y ası́ ai = 1, como antes. Por otra parte, si v = 0 nos queda ai = (u), luego u ha de ser entero y, como ai no es divisible entre enteros no unitarios, ai = 1. Hemos probado que si a0 es principal entonces la sucesión de los ai decrece hasta llegar a 1, luego si deja de decrecer antes de llegar a 1 es que el ideal de partida no es principal. Si nos fijamos todavı́a más en el proceso podemos obtener un generador del ideal de partida cuando es principal: Supongamos que tenemos un generador  √  de ai+1 = (u). De (13.2) deducimos que (u) ri − 2∆ = ai+1 ai+1 ai = ai+1 ai , y por lo tanto   √ ri − ∆/2 ai = u . ai+1 Como un generador del último ideal es 1, resulta que un generador del ideal de partida a0 viene dado por     √ √ r0 − ∆/2 · · · ri−1 − ∆/2 , (13.4) u= a1 · · · ai donde i es el menor ı́ndice que cumple ai = 1. Ejemplos El primer caso que no podı́amos abordar directamente √ con el teorema 13.6 es d = −14. El teorema nos da que todo ideal de Z −14 es similar a uno de norma menor o igual que 4. Los primos menores que 4 son 2 = [2, 0]2 y 3 = [3, 1][3, −1]. Todo ideal de norma menor que cuatro es producto de éstos, luego tenemos las siguientes posibilidades: (1), [2, 0], [3, 1], [3, −1]. Faltarı́a [2, 0]2 , pero es principal, luego similar a (1). Esto nos da que el número de clases es h ≤ 4. En primer lugar, el algoritmo que hemos obtenido nos da que ninguno de los tres ideales distintos de (1) es principal. En efecto, para [2, 0] tenemos que a0 = 2 y r0 = 0. Entonces a1 = (02 + 14)/2 = 7, y como es mayor que a0 , 232 Capı́tulo 13. Factorización en cuerpos cuadráticos resulta que [2, 0] no es principal. Para [3, 1] y [3, −1] obtenemos a1 = 5, luego tampoco son principales. El ideal [2, 0]2 = (2) es principal. Veamos qué ocurre con [3, 1]2 . √ En este caso a0 = 9 y hemos de hallar r0 . Sabemos que [3, 1] | 1 − −14,  √ √ 2 por lo que [3, 1]2 | 1 − −14 = −13 − 2 −14 y el inverso de 2 módulo 9 es √ 2 −4, √ luego tenemos [3, 1]2 | 52 − −14. Al reducir 52 módulo 9 llegamos a que −14 ≡ −2 (mód [3, 1] ). Ası́ pues, r0 = −2. El algoritmo nos da: (9, −2), (2, 0), (7, ∗), luego [3, 1]2 no es principal. Además hemos obtenido que [3, 1]2 es similar a un ideal de norma 2, y el único posible es [2, 0], luego [3, 1]2 ≈ [2, 0]. Como el orden de [2, 0] en el grupo de las clases es 2, concluimos que el orden de [3, 1] ha de ser 4, luego el grupo tiene orden h = 4. Además tenemos su estructura, se trata de un grupo cı́clico generado por [3, 1], y sus elementos son (1), [3, 1], [3, 1]2 ≈ [2, 0], [3, 1]3 ≈ [3, −1]. √  Veamos ahora un ejemplo más sofisticado. Consideremos el anillo Z −74 . Por el teorema 13.6 todo ideal es similar a uno de norma ≤ 9. Los primos menores que 9 son: 2 = [2, 0]2 , 3 = [3, 1][3, −1], 5 = [5, 1][5, −1], 7. Como 7 se conserva tiene norma 49, luego lo eliminamos. Los ideales con norma menor o igual que 9 son: (1), [2, 0], [3, 1], [2, 0][3, 1], [3, −1], [2, 0][3, −1], [5, 1], [3, 1]2 , [5, −1], [3, −1]2 , 2, 3. Si eliminamos los principales no triviales nos quedan 10. Por lo tanto h ≤ 10. El ideal [2, 0] no es principal, pues el algoritmo nos da (2, 0), (37, ∗). Por lo tanto tiene orden 2 en el grupo de las clases. Para el ideal [3, 1] tenemos (3, 1), (25, ∗), luego tampoco es principal. Consideramos [3, 1]2 , para el que a0 = 9. Para calcular r0 partimos de que  √ √ √ 2 [3, 1] | 1− −74 , luego [3, 1]2 | 1− −74 = −73−2 −74, y en consecuencia √ 2 −74 ≡ 1 (mód [3, 1]2 ). El inverso de 2 módulo 9 es −4, luego tenemos que √ −74 ≡ −4 (mód [3, 1]2 ), o sea, r0 = −4. El algoritmo nos da: (9, −4), (10, ∗), luego [3, 1]2 no es principal. Calculamos [3, 1]3 . En este caso a0 = 27. Además  1− √ −74 3 √ ≡ −5 + 17 −74 (mód 27). El inverso de 17 módulo 27 es 1717 (17 = φ(27) − 1), que reducido es 8, luego r0 se obtiene reduciendo a 40 (mód 27), es decir, r0 = 13. Ası́: (27, 13), (9, −4), (10, ∗). Esto nos dice que [3, 1]3 es similar a un ideal no principal de norma 9. Los únicos candidatos son [3, 1]2 y [3, −1]2 , pero [3, 1]2 es 233 13.3. Cálculo del número de clases imposible: si [3, 1]3 ≈ [3, 1]2 , entonces [3, 1] ≈ (1). Ası́ pues [3, 1]3 ≈ [3, −1]2 y el orden de [3, 1] es al menos 4, pero [3, 1]4 ≈ [3, −1]2 [3, 1] = (3)[3, −1] ≈ [3, −1], que tampoco es principal (o lo serı́a [3, −1]2 ). Finalmente, [3, 1]5 ≈ [3, −1][3, 1] = (3) ≈ (1), lo que nos permite concluir que el orden de [3, 1] en el grupo de las clases es exactamente 5. Por el teorema de Lagrange, 5 | h ≤ 10, luego las únicas posibilidades para h son 5 y 10. Como [2, 0] tiene orden 2, ha de ser h = 10, luego los 10 ideales de nuestra lista son no similares dos a dos. Como [3, 1] tiene orden 5 y [2, 0] tiene orden 2, la teorı́a de grupos nos da que [3, 1][2, 0] es un generador del grupo. Ejercicio: Identificar en la lista las diez potencias del ideal [3, 1][2, 0]. Una aplicación distinta es encontrar generadores de ideales principales, Por ejemplo, el primo 541 se escinde en Z[i], pues una raı́z cuadrada de −1 módulo 541 es 52, (puede hallarse a partir de que 2 es una raı́z primitiva de la unidad módulo 541, luego [−1] = [2540/2 ] y una raı́z cuadrada es [2540/4 ] = [52]). Ası́ tenemos el primo [541, 52], que ha de ser un ideal principal. Calculamos (541, 52), (5, −2), (1, ∗), luego, de acuerdo con (13.4), un generador es (52 − i)(−2 − i) = −21 − 10i. 5·1 Por lo tanto 541 = (−21 − 10i)(−21 + 10i) = (21 + 10i)(21 − 10i). De este modo hemos obtenido la representación de 541 = 212 + 102 como suma de dos cuadrados. √ En el capı́tulo anterior usamos la factorización única de Q −163 . Ahora es fácil justificarla: hay que considerar ideales de norma ≤ 7 y los primos 2, 3, 5 y 7 se conservan, luego todos los ideales a considerar son principales. Ejercicio: Probar que para los valores d = −43 y −67 el número de clases es h = 1. Veamos ahora un ejemplo con d ≡ 1 (mód 4). Tomemos d = −47. Hay que considerar ideales con normas ≤ 3. Tenemos 2 = [2, 0][2, 1] y 3 = [3, 0][3, 1]. Los ideales posibles son (1), [2, 0], [2, 1], [3, 0], [3, 1]. √ Para [2, 0] tenemos que 1+ 2−47 ≡ 0 (mód [2, 0]), luego cambiando el signo r0 = −1/2. El algoritmo nos da (2, −1/2), (6, ∗), y [2, 0] no es principal.  √ 2 Consideramos ahora [2, 0]2 . Se cumple que 1+ 2−47 ≡ 0 (mód [2, 0]2 ), √ es decir, 23− 2 −47 ≡ 0 (mód [2, 0]2 ), luego, reduciendo 23/2 módulo 4, queda r0 = −1/2. El algoritmo da (4, −1/2), (3, 1/2), (4, ∗), luego no es principal y es similar a un ideal de norma 3 √ con r = 1/2. Veamos cuál de los dos es. Para [3, 0] tenemos que 1− 2−47 ≡ 0 (mód [3, 0]) y r = 1/2. Para [3, 1] tenemos que √ −1− −47 2 ≡ 0 (mód [3, 1]) y r = −1/2. Por lo tanto [2, 0]2 ≈ [3, −1] y de aquı́ [2, 0]3 ≈ [3, −1][2, 0]. 234 Capı́tulo 13. Factorización en cuerpos cuadráticos Tabla 13.1: Número de clases de cuerpos cuadráticos imaginarios (Los números en negrita son los que cumplen d ≡ 1 (mód 4).) d h −1 1 −2 1 −3 1 −5 2 −6 2 −7 1 −10 2 −11 1 −13 2 −14 4 −15 2 −17 4 −19 1 −21 4 −22 2 −23 3 d h −26 6 −29 6 −30 4 −31 3 −33 4 −34 4 −35 2 −37 2 −38 6 −39 4 −41 8 −42 4 −43 1 −46 4 −47 4 −51 2 d h −53 6 −55 4 −57 4 −58 2 −59 3 −61 6 −62 8 −65 8 −66 8 −67 1 −69 8 −70 4 −71 7 −73 4 −74 10 −77 8 d h −78 4 −79 5 −82 4 −83 3 −85 4 −86 10 −87 6 −89 12 −91 2 −93 4 −94 8 −95 8 −97 4 √ √ Tenemos que 1+ 2−47 ≡ 0 (mód [3, 0]) y 1+ 2−47 ≡ 0 (mód [2, 0]), luego √ también 1+ 2−47 ≡ 0 (mód [3, 0][2, 0]). Ası́ pues, r0 = −1/2, con lo que la sucesión del algoritmo es (6, −1/2), (2, 1/2), de donde [2, 0]3 ≈ [2, 1] y [2, 0]4 ≈ [2, 1][2, 0] ≈ (1). En conclusión, la clase del ideal [2, 0] tiene orden 4 en el grupo de las clases, con lo que tenemos que 4 | h ≤ 5, luego h = 4 y los representantes de las clases son (1), [2, 0], [3, 0], [2, 1]. El ideal sobrante, [3, 1], es similar a [3, 0]. En efecto, de [3, 0] ≈ [2, 0]2 obtenemos conjugando que [3, 1] ≈ [2, 1]2 ≈ [2, 0]6 ≈ [2, 0]2 ≈ [3, 0]. La tabla 13.1 recoge los números de clases h de todos los cuerpos cuadráticos con −100 ≤ d ≤ −1. El lector puede comprobar los valores que desee. Obsérvese que el comportamiento de h es extremadamente irregular. 13.3.2 Cuerpos cuadráticos reales El caso real presenta algunas dificultades adicionales. Partimos de un ideal a no divisible entre enteros no unitarios. Aplicando el algoritmo que hemos visto para el caso d < 0 llegamos a un ideal ai+1 en las mismas condiciones con la propiedad de que a2i+1 = N(ai+1 )2 < ∆/3. 235 13.3. Cálculo del número de clases A partir de este momento cambiaremos el criterio para elegir r módulo a. Tomaremos ri+1 de manera que ri+1 ≡ −ri (mód ai+1 ) y ri+1 sea el máximo 2 que cumple ri+1 < ∆/4. En definitiva, continuaremos la sucesión de ideales de acuerdo con las fórmulas: √ ∆ ai+1 ai = ri − . (13.5) 2 ∆/4 − ri2 2 ai+1 = , ri+1 ≡ −ri (mód ai+1 ), ri+1 < ∆/4 (máximo). (13.6) ai (Notemos que la primera ecuación de (13.6) procede de tomar normas en (13.5), y en el segundo miembro hay que poner un valor absoluto o, equivalentemente, hay que garantizar que sea positivo. Ésa es la razón del cambio de orden respecto a (13.3).) Hemos de probar que siempre es posible encontrar un ri+1 en las condiciones de (13.6). La primera vez es posible porque tenemos a2i+1 < ∆/3 (obtenido por el criterio anterior) y existe un entero o semientero r que cumple r ≡ −ri (mód ai+1 ) y |r| ≤ ai+1 /2 (el que eligirı́amos con el criterio anterior). Este r cumple también r2 ≤ a2i+1 /4 ≤ ∆/12 < ∆/4. Sólo hay que cambiarlo por el máximo posible y ya tenemos ri+1 . Sin embargo, a partir de aquı́ ai+1 ya no cumple necesariamente a2i+1 < ∆/3, luego no tenemos asegurado que podamos encontrar ri+1 en las condiciones requeridas. Vamos a probarlo. Por la maximalidad de ri tenemos que (ri + ai )2 > ∆/4 (la igualdad no puede darse porque d es libre de cuadrados). De aquı́   2 ri − ∆/4 2 2 + 2ri + ai > 0, −ai+1 + 2ri + ai > 0 ri − ∆/4 + 2ri ai + ai > 0, ai ai y multiplicando por −ai+1 queda a2i+1 − 2ri ai+1 − ai ai+1 < 0, a2i+1 − 2ri ai+1 + ri2 − ∆/4 < 0, luego (ai+1 − ri )2 < ∆/4. Ası́ pues, cambiando ai+1 − ri por el máximo posible módulo ai+1 , encontramos un ri+1 que cumple (13.6). Más aún, hemos visto que ai+1 − ri ≤ ri+1 , luego −ri ≤ ri+1 − ai+1 ≤ ri+1 . 2 Puesto que tanto ri+1 < ∆/4 como ri2 < ∆/4, esto implica (ri+1 −ai+1 )2 < ∆/4, mientras que por definición de ri+1 tenemos (ri+1 + ai+1 )2 > ∆/4, es decir, (ri+1 − ai+1 )2 < (ri+1 + ai+1 )2 . Desarrollando los cuadrados queda −ri+1 < ri+1 , luego ri+1 > 0, es decir, a partir del momento en que usamos el nuevo criterio, los ri serán siempre positivos. Ahora notamos que ai+1 ≤ ai ai+1 = ∆/4 − ri2 < ∆/4, luego los ideales ai recorren un conjunto finito de ideales posibles. Necesariamente la sucesión ha de entrar en un ciclo. 236 Capı́tulo 13. Factorización en cuerpos cuadráticos Para garantizar que este algoritmo nos permite decidir siempre si el ideal de partida es principal basta probar que si es ası́ entonces el ideal 1 aparece en el ciclo. Podemos suponer que a0 es el comienzo del ciclo, de modo que para un k (mı́nimo) se cumple a0 = ak. √ Supongamos que a0 = x0 + y0 d , donde los coeficientes son enteros o √ semienteros. Por construcción, a0 a1 = (r0 + ∆/2), luego al multiplicar queda √  √  x0 + y0 d r0 + ∆/2 = a0 a1 , √ y de este modo a1 = (x1 + y1 d), donde √ √ √ r0 + ∆/2  x1 + y1 d = x0 + y0 d . a0 √  Repitiendo k veces llegamos a que ak = xk + yk d , donde √ √ √ √ (r0 + ∆/2) · · · (rk−1 + ∆/2)  xk + yk d = x0 + y0 d , a0 · · · ak−1 √ √   y como x0 + y0 d = xk + yk d , se ha de cumplir que el número √ √ (r0 + ∆/2) · · · (rk−1 + ∆/2) ǫ= (13.7) a0 · · · ak−1 es una unidad. En general se cumple que √ √ √   aj+nk = xj+nk + yj+nk d , donde xj+nk + yj+nk d = xj + yj d ǫn . √ √  Definamos xj + yj d = ǫ−n xj+nk + yj+nk d para j < 0, donde n es un entero suficientemente grande para que j + nk sea positivo. Sea igualmente √  aj = xj + yj d , de modo que aj+nk = aj para todo n y todo j (observemos que los ideales aj con j < 0 no son necesariamente los ideales obtenidos mediante el algoritmo antes√de llegar al ciclo que comienza con a0 ). Sea ǫ = u + v d. Teniendo en cuenta la expresión de ǫ y que todos los√rj son positivos, es claro que u, v > 0. En particular ǫ = ±1. Sea ǫn = un + vn d. Los enteros (o semienteros) un y vn satisfacen las relaciones: un+1 vn+1 = uvn + dvvn = vun + uvn (13.8) (13.9) Estas ecuaciones muestran que un , vn > 0, ası́ como que ambos se hacen arbitrariamente grandes cuando n crece. (El caso menos obvio se da si u y v son semienteros. Entonces d > 4 y (13.8) implica un+1 > 2vn , a su vez (13.9) implica vn+1 ≥ un /2 y entonces vn+2 > un+1 /2 > vn .) √ √  Tenemos que xnk + ynk d = x0 + y0 d ǫn , luego xnk = un x0 + dvn y0 , ynk = vn x0 + un y0 . 237 13.3. Cálculo del número de clases Supongamos que x0 e y0 son no nulos y tienen signos opuestos. Para saber el signo de xnk restamos los cuadrados de los dos sumandos (y tenemos en cuenta que N(ǫn ) = ±1). u2n x20 − d2 vn2 y02 = (±1 + dvn2 )x20 − d2 vn2 y02 = ±x20 + dvn2 (x20 − dy02 ). Para valores de n lo suficientemente grandes como para que dvn2 (x20 − dy02 ) supere en módulo a ±x20 (lo cual siempre acaba ocurriendo porque vn se hace cada vez mayor) el signo de esta expresión es el de x20 − dy02 , luego el signo de xnk será el de x0 o el de y0 según si x20 − dy02 es mayor o menor que 0. El cálculo análogo para ynk es el siguiente: vn2 x20 − u2n y02 = vn2 x20 − (±1 + dvn2 )y02 = ±y02 + vn2 (x20 − dy02 ). De aquı́ deducimos que para valores grandes de n el signo de ynk es también el de x0 o el de y0 según si x20 − dy02 es mayor o menor que 0. En resumen, que si x0 e y0 son no nulos y tienen signos opuestos, para valores grandes de n se cumple que xnk e ynk tienen el mismo signo. Supongamos ahora que x0 e y0 son no nulos y tienen el mismo signo. Lo que hemos probado antes es que si el signo es distinto, entonces los coeficientes de √  x0 + y0 d ǫn tienen el mismo signo si n es suficientemente grande, luego en √  nuestro caso los coeficientes de x0 − y0 d ǫn tienen el mismo signo cuando n es grande. √ √  Por definición, x−nk + y −nk d = x0 + y0 d ǫ−n . Conjugamos teniendo √ −1 en cuenta que √ Nn(ǫ) = ǫǫ = ±1 (luego ǫ = ±ǫ) y obtenemos x−nk − y−nk d = ± x0 − y0 d ǫ . Ası́ pues, resulta que x−nk y −y−nk tienen el mismo signo cuando n es grande, con lo que x−nk e y−nk tienen signos opuestos. Con todo esto hemos probado que o bien hay un ı́ndice j para el que xj yj = 0 o bien xj yj toma signos distintos en distintos j’s. En este último caso ha de haber un entero j tal que xj yj < 0 y xj+1 yj+1 > 0. Vamos a demostrar que esto es imposible. √ √  √  Tenemos que xj+1 + yj+1 d = xj + yj d rj + d /aj , y por otra parte  √  √   aj =  xj + yj d xj − yj d . Por lo tanto  √ √ √   xj+1 + yj+1 d xj − yj d = ± rj + d . Igualando los coeficientes obtenemos las ecuaciones siguientes: xj+1 xj − dyj+1 yj xj yj+1 − xj+1 yj = ±rj , = ±1. Si suponemos xj yj < 0 y xj+1 yj+1 > 0 se convierten en |xj+1 xj | + d|yj+1 yj | = rj , |xj yj+1 | + |xj+1 yj | = 1. (13.10) (13.11) 238 Capı́tulo 13. Factorización en cuerpos cuadráticos Obviamente la segunda ecuación es imposible si las variables son enteros no nulos. Si son semienteros multiplicamos las ecuaciones por 4 y queda |2xj+1 | |2xj | + d|2yj+1 | |2yj | = 4rj , |2xj | |2yj+1 | + |2xj+1 | |2yj | = 4. Si, por ejemplo xj es semientero (luego yj también), entonces |2xj |, |2yj | son congruentes con ±1 módulo 4. Multiplicamos la primera ecuación por |2xj |, tomamos congruencias módulo 4, usamos la segunda ecuación (también como congruencia) y nos queda que ±4rj ≡ |2xj |2 |2xj+1 | − |2yj |2 |2xj+1 | ≡ 0 (mód 4), luego rj es entero, pero esto es una contradicción, pues ha de ser semientero. En consecuencia existe un entero j para el que xj yj = 0, pero no puede ser xj = 0 ya que (13.10) nos da entonces dyj+1 yj = ±rj , lo que contradice la condición |rj |2 < ∆/4 (notemos que en cualquier caso yj es entero). Por lo tanto yj = 0, y como aj = (xj ) no es divisible entre enteros no unitarios, ha de ser xj = ±1 y, cualquiera que sea j, el ideal aj = 1 es igual a uno del ciclo 0, . . . , k, como querı́amos probar. Notemos que la fórmula (13.4) para calcular el generador de un ideal principal sigue siendo válida en este caso. Ejemplo Vamos a calcular el número de clases para d = 79. Todo ideal es similar a uno de norma menor o igual que 10. Los primos se comportan como sigue: 2 = [2, 1]2 , 3 = [3, 1][3, −1], 5 = [5, 2][5, −2], 7 = [7, 3][7, −3]. Los ideales posibles son (1), [2, 1], [2, 1][3, 1], [3, 1], [2, 1][3, −1], [3, −1], [5, 2], [2, 1][5, 2], [5, −2], [2, 1][5, −2], [7, 3], [3, 1]2 , [7, −3], [3, −1]2 . Partiendo de [2, 1], tenemos que a0 = 2 y r0 es el mayor número congruente con 1 módulo 2 cuyo cuadrado no supera a 79, o sea, r0 = 7. Aplicamos el algoritmo: (2, 7), (15, 8), (1, ∗), luego resulta que [2, 1] es principal (notemos que la sucesión de las normas ya no es decreciente). Ahora consideramos el ideal [3, 1]. Para éste a0 = 3 y r0 es el mayor número congruente con 1 módulo 3 cuyo cuadrado no supera a 79, o sea, r0 = 7. Ahora tenemos (3, 7), (10, 3), (7, 4), (9, 5), (6, 7), (5, 8), (3, 7). Como entramos en un ciclo, el ideal [3, 1] no es principal. Además vemos que [3, 1] es similar a ideales de norma 10, 7, 9, 6 y 5, que tienen que ser algunos de los que figuran en nuestra lista. No importa cuáles sean de hecho, pues como son pares de conjugados, el que no es similar a [3, 1] lo es a [3, −1], luego es redundante en cualquier caso. Con esto nuestros candidatos se reducen a (1), [3, 1], [3, −1]. Sabemos que [3, 1] es similar a un ideal de norma 9, que ha de ser [3, 1]2 o bien [3, −1]2 , pero si fuera [3, 1]2 ≈ [3, 1], entonces [3, 1] ≈ (1), luego podemos 13.3. Cálculo del número de clases 239 concluir que [3, 1] ≈ [3, −1]2 , y por consiguiente [3, −1]2 no es principal (ni [3, −1], por ser el conjugado de [3, 1]). Esto nos dice que la clase del ideal [3, −1] tiene orden 3 en el grupo de clases, luego los tres ideales (1), [3, 1] y [3, −1] no son similares entre sı́, y el número de clases es h = 3. No damos más ejemplos porque las diferencias con el caso d < 0 son mı́nimas en la práctica. Veamos ahora que el algoritmo que hemos dado nos permite también determinar las unidades de los anillos de enteros cuadráticos reales. Apliquemos el algoritmo al ideal a0 = (1) (en ningún momento hemos excluido este caso). Como es principal, al cabo de k pasos volveremos a obtener el (1), √ pero, siguiendo la notación anterior, el generador al que llegaremos xk + yk d no será 1 sino la√unidad ǫ dada por (13.7). Sabemos que ǫ = u + v d = ±1 y que u, v > 0. De aquı́ se sigue que √las potencias de ǫ son todas distintas. Vamos a probar que las unidades de Q d son exactamente ±ǫn , donde √ n recorre los números enteros. En efecto, sea x + y 0 0 d una unidad cualquiera. Al partir del ideal a0 = √  x0 + y0 d se ha de alcanzar aj = (1) para algún j. Como a0 = 1, el valor de r0 es simplemente el mayor entero cuyo cuadrado no supera a d (la congruencia módulo 1 no es una restricción), luego el algoritmo a partir de (a0 , r0 ) continúa exactamente igual a como empieza cuando partı́amos de a0 = (1), luego el ciclo de aj ’s y rj ’s que √ se produce al partir de a0 = (1) es el mismo que el producido  con a0 = x0 + y0 d , luego el valor de ǫ que da la fórmula (13.7) es el mismo en ambos casos. Además hemos probado no sólo √ √ que aj = (1), sino que para un cierto entero ±1. Por otra parte xj+nk + yj+nk d = n se tiene√además xj+nk + yj+nk d = √  ǫn x0 +y0 d , luego resulta que x0 +y0 d = ±ǫ−n , como querı́amos demostrar. En particular hemos demostrado el teorema siguiente: Teorema 13.8 Sea d un √número natural libre de cuadrados d = 1. Entonces existe una unidad ǫ de Q d tal que los elementos ±ǫn para n ∈ Z son distintos √ dos a dos y constituyen todas las unidades de Q d . Dicha unidad se llama unidad fundamental. √ Ejemplos Calculemos la unidad fundamental de Q 2 . Hemos de partir del ideal (1), luego a0 = 1 y r0 es el mayor entero cuyo cuadrado no supera a 2, o sea, r0 = 1. √  El algoritmo es (1, 1), (1, ∗), luego ǫ = 1 + 2 /1 es la unidad fundamental. √ n  Las demás unidades son las de la forma ± 1 + 2 . √ Para Q 3 queda (1, 1), (2, 1), (1, ∗), luego √  √  √ 1+ 3 1+ 3 ǫ= = 2 + 3. 2 √ Para Q 6 resulta (1, 2), (2, 2), (1, ∗), luego √  √  √ 2+ 6 2+ 6 = 5 + 2 6. ǫ= 2 240 Capı́tulo 13. Factorización en cuerpos cuadráticos Tabla 13.2: Número de clases de cuerpos cuadráticos reales Se indica también la unidad fundamental ǫ y su norma. Los números en negrita son los que cumplen d ≡ 1 (mód 4). El número α es el definido en (13.1). d 2 3 5 6 7 10 11 13 14 15 17 19 21 22 23 26 29 30 31 33 34 35 37 38 39 41 42 43 46 47 51 h ǫ 1 1+α 1 2+α 1 α 1 5 + 2α 1 8 + 3α 2 3+α 1 10 + 3α 1 1+α 1 15 + 4α 2 4+α 1 3 + 2α 1 170 + 39α 1 2+α 1 197 + 42α 1 24 + 5α 2 5+α 1 2+α 2 11 + 2α 1 1.520 + 233α 1 19 + 8α 2 35 + 6α 2 6+α 1 5 + 2α 1 37 + 6α 2 25 + 4α 1 27 + 10α 2 13 + 2α 1 3.482 + 531α 1 24.335 + 3.588α 1 48 + 7α 2 50 + 7α d h ǫ N(ǫ) −1 53 1 3+α +1 55 2 89 + 12α −1 57 1 131 + 40α +1 58 2 99 + 13α +1 59 1 530 + 69α −1 61 1 17 + 5α +1 62 1 63 + 8α −1 65 2 7 + 2α +1 66 2 65 + 8α +1 67 1 48.842 + 5.967α −1 69 1 11 + 3α +1 70 2 251 + 30α +1 71 1 3.480 + 413α +1 73 1 943 + 250α +1 74 2 43 + 5α −1 77 1 4+α −1 78 2 53 + 6α +1 79 3 80 + 9α +1 82 4 9+α +1 83 1 82 + 9α +1 85 2 4+α +1 86 1 10.405 + 1.122α −1 87 2 28 + 3α +1 89 1 447 + 106α +1 91 2 1.574 + 165α −1 93 1 13 + 3α +1 94 1 2.143.295 + 221.064α +1 95 2 39 + 4α +1 97 1 5.035 + 1.138α +1 101 1 9 + 2α +1 √ Para Q 5 es r0 = 1/2 y ası́ (1, 1/2), (1, ∗). Por lo tanto, √ 1+ 5 ǫ= . 2 N(ǫ) −1 +1 +1 −1 +1 −1 +1 −1 +1 +1 +1 +1 +1 −1 −1 +1 +1 +1 −1 +1 −1 +1 +1 −1 +1 +1 +1 +1 −1 −1 13.3. Cálculo del número de clases 241 √ Para Q 97 es r0 = 9/2, luego el algoritmo nos da (1, 9/2), (4, 7/2), (3, 5/2), (6, 7/2), (2, 9/2), (2, 7/2), (6, 5/2), (3, 7/2), (4, 9/2), (1, ∗). √ La unidad fundamental es 5.604 + 569 97. Una aplicación de estos resultados es la solución de la llamada ecuación de Pell. Se trata de la ecuación dy 2 + 1 = x2 . Fermat planteó a los matemáticos ingleses de su tiempo encontrar un método para hallar las soluciones enteras de dicha ecuación. El nombre de ‘ecuación de Pell’ se debe a un error de Euler, que atribuyó a Pell su solución, cuando al parecer Pell no hizo ninguna contribución a este tema. √  Desde nuestro punto de vista la ecuación equivale a N x+y d = 1. Cuando d es positivo, libre de cuadrados y no es congruente con 4 sabemos √1 módulo  que tiene infinitas soluciones, a saber, las unidades de Z d de norma 1. Si d < 0 es fácil ver que las únicas soluciones son x = ±1, y = 0, luego el caso no tiene interés. También es fácil ver que d no debe ser un cuadrado perfecto, pues si d = a2 una solución de la ecuación de Pell da lugar a la expresión (ay)2 + 1 = x2 , y es fácil ver que dos cuadrados perfectos no pueden diferir en una unidad (salvo y = 0, x = ±1). Sin embargo, no hay más limitaciones. La ecuación de Pell tiene infinitas soluciones enteras siempre que d sea un número positivo no cuadrado perfecto. No vamos a demostrar esto aquı́, pero lo cierto es que las soluciones de la ecuación de Pell dy 2 + 1 = x2 son exactamente los coeficientes de las potencias de la unidad ǫ que se obtiene según el algoritmo visto en este capı́tulo para el caso d > 0, d ≡ 1 (mód 4) (es decir, tomando ∆ = 4d, aun en el caso de que d no cumpla estas hipótesis) si N(ǫ) = 1, y son los coeficientes de las potencias de ǫ2 si por el contrario N(ǫ) = −1. De hecho este algoritmo (conocido como ‘método inglés’) fue ideado por Wallis en respuesta al reto de Fermat de resolver la ecuación de Pell y de él derivan los demás algoritmos que hemos visto. Una justificación de todo esto desde nuestro punto de vista supondrı́a estudiar los subanillos de los anillos de enteros algebraicos, en lo cual no nos vamos√a detener. Por ejemplo, la unidad fundamental para d = 97 es 5.604 √ + 569 97 , pero tiene norma −1, y su cuadrado es 62.809.633 + 6.377.352 97, por lo que la menor solución de la ecuación de Pell para d = 97 es 97(6.377.352)2 + 1 = 62.809.6332 . No cabe duda de que Fermat conocı́a la solución del problema que planteó, pues mostró como ejemplos las soluciones para los casos d = 109 y d = 149, que son nada menos que y = 15.140.424.455.100 e y = 2.113.761.020, respectivamente. En el siglo XII, el matemático hindú Bháscara Achárya conocı́a la solución mı́nima para d = 61, que es la más grande para d ≤ 100. Se trata de y = 226.153.980. 242 Capı́tulo 13. Factorización en cuerpos cuadráticos Tabla 13.3: Soluciones mı́nimas de la ecuación de Pell d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 y ∗ 2 1 ∗ 4 2 3 1 ∗ 6 3 2 180 4 1 ∗ 8 4 39 2 12 42 5 1 ∗ d y 26 10 27 5 28 24 29 1.820 30 2 31 273 32 3 33 4 34 6 35 1 36 ∗ 37 12 38 6 39 4 41 3 41 320 42 2 43 531 44 30 45 24 46 3.588 47 7 48 1 49 ∗ 50 14 d y 51 7 52 90 53 9.100 54 66 55 12 56 2 57 20 58 2.574 59 69 60 4 61 226.153.980 62 8 63 1 64 ∗ 65 16 66 8 67 5.967 68 4 69 936 70 30 71 413 72 2 73 267.000 74 430 75 3 d 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 y 6.630 40 6 9 1 ∗ 18 9 6 30.996 1.122 3 21 53.000 2 165 120 1.260 221.064 4 5 6.377.352 10 1 ∗ Ejemplo Vamos a resolver la ecuación de Pell 18y 2 + 1 = x2 (notemos que 18 no es libre de cuadrados). Tenemos: (1, 4), (2, 4), (1, ∗). Por lo tanto √ √   √ 4 + 18 4 + 18 ǫ= = 17 + 4 18. 2 Como N(ǫ) = 1, la menor solución es y = 4. La tabla 13.3 contiene las menores soluciones de la ecuación de Pell para los primeros valores de d. Es evidente que los ejemplos mostrados por Fermat no estaban elegidos al azar. El lector emprendedor puede abordar el caso d = 421. La solución mı́nima tiene 33 dı́gitos. Capı́tulo XIV La ley de reciprocidad cuadrática 14.1 Introducción En el capı́tulo anterior hemos obtenido resultados muy profundos sobre la aritmética de los cuerpos cuadráticos, el más importante de los cuales es sin duda el algoritmo que nos permite calcular los números de clases y las unidades fundamentales. Para hacernos una idea de su importancia vamos a considerar un cuerpo cuadrático K que cumpla dos condiciones: 1. Su número de clases de h = 1, es decir, OK es un DFU. 2. Si K es real entonces tiene unidades de norma negativa. √ √ Un ejemplo es K = Q 13 . Su unidad fundamental es 1 + 1+2 13 y tiene norma −1 (notar que la existencia de unidades de norma negativa equivale a que la unidad fundamental tenga  norma negativa).  √ En general tenemos que N x + y 1+2 13 = x2 + xy − 3y 2 . Consideremos el problema siguiente: ¿Existen números enteros x e y tales que x2 + xy − 3y 2 = 15? Para alguien que desconozca la teorı́a que hemos desarrollado se trata de un problema muy difı́cil, pues el signo negativo delante del 3 hace que la mı́nima solución, si existe, pueda estar formada por números muy grandes, imposibles de obtener por tanteo. Sin embargo para nosotros es trivial: la pregunta es si existe un entero de K de norma 15. Dicho entero factorizarı́a en el producto de un primo de norma 3 por uno de norma 5 (pues los primos cuadráticos han de tener norma potencia de primo), luego en particular ha de haber un primo de norma 5, lo que significa que 5 ha de escindirse en K (no se ramifica porque no divide al discriminante ∆ = 13). Ahora bien, sabemos que 5 se escinde si y sólo si 13 es un resto 243 244 Capı́tulo 14. La ley de reciprocidad cuadrática cuadrático módulo 5, pero los restos cuadráticos módulo 5 son 1 y 4, luego [13] = [3] no es uno de ellos. Ası́ pues, la ecuación no tiene soluciones enteras. Si el lector se pregunta dónde hemos usado las dos hipótesis sobre K la respuesta es que en ningún sitio: el argumento anterior es válido para cualquier cuerpo cuadrático. Las hipótesis las necesitamos si queremos resolver casos en los que sı́ haya solución: En general, existen enteros cuadráticos de norma un primo p si y sólo si p se escinde o se ramifica en K. Aquı́ sı́ hacemos uso de las dos hipótesis: sin ellas sólo podemos decir que existe un ideal p de norma p si y sólo si p se escinde o se ramifica en K. Si h = 1 se cumplirá además que p = (π), para cierto primo π, luego podemos concluir que existe un entero cuadrático π tal que | N(π)| = p si y sólo si π se escinde o se ramifica. Si K es imaginario todas las normas son positivas, si K es real y hay unidades de norma −1, multiplicando π por una de ellas si es preciso podemos exigir también que N(π) = p, con lo que tenemos que hay un entero cuadrático π de norma p si y sólo si p se escinde o se ramifica en K. Por lo tanto podemos construir enteros cuadráticos de cualquier norma m con la única restricción de que los primos que dividan a m con exponente impar se escindan o ramifiquen en K (pues siempre existen enteros cuadráticos de norma p2 , a saber el propio p). En nuestro caso concreto tenemos: La ecuación x2 + xy − 3y 2 = m tiene soluciones enteras para un m dado si y sólo si los primos que dividen a m con exponente impar son de la forma x2 + xy − 3y 2 , y un primo p es de esta forma si y sólo si p = 13 o 13 es un resto cuadrático módulo p. Ésta es una solución completamente satisfactoria del problema, pues nos permite saber con un número finito de operaciones si cualquier número m es o no de la forma indicada. Las operaciones consisten en determinar si 13 es o no un resto cuadrático módulo un número finito de primos. Fijémonos en la condición ‘13 √ es un resto cuadrático módulo p’. En el caso general de un cuerpo K = Q d y p un primo impar serı́a ‘d es un resto cuadrático módulo p’, y como el discriminante es ∆ = d o ∆ = 4d, y ciertamente d es un resto cuadrático módulo p si y sólo si lo es 4d, podemos expresar la condición como ∆ es un resto cuadrático módulo p. Ésta es la condición para que un primo impar que no divida a ∆ se escinda en K, y es lo que hay que comprobar para un número finito de primos p a la hora de decidir si un número m es la norma de un entero cuadrático. En principio, si nos dan cien primos p y determinamos si cumplen o no esta condición, nuestros cálculos no nos ayudarán en nada para decidir si un nuevo primo cumple la condición o no, es decir, el saber si ∆ es o no un resto cuadrático módulo p no nos dice nada sobre si lo es módulo otro primo q. Pues bien, alrededor de 1.740 Euler estaba investigando un caso particular de este problema (concretamente cuándo un primo p divide a un número de la forma x2 + ny 2 ) y descubrió algo sorprendente. Es obvio que la condición 14.1. Introducción 245 ∆ es un resto cuadrático módulo p depende sólo del resto de ∆ módulo p. Lo que Euler descubrió (formulado en nuestros términos) es que dicha condición depende sólo del resto de p módulo ∆, es decir, si dos primos impares p, q cumplen p ≡ q (mód ∆) entonces ∆ es un resto cuadrático módulo p si y sólo si lo es módulo q (o equivalentemente, p se escinde en K si y sólo si q se escinde en K). Esto es mucho más que un mero juego de palabras: en efecto, que la condición dependa sólo del resto de ∆ módulo p no nos dice nada, porque ∆ es fijo y al cambiar p cambiamos el resto módulo p, pero que la condición dependa sólo del resto de p módulo ∆ es algo completamente distinto pues, como ∆ es una constante de nuestro problema, hay sólo un número finito de restos módulo ∆ a tener en cuenta. Concretamente, un primo p que no divida a ∆ ha de pertenecer a una de las  φ |∆| clases del grupo U|∆| de las unidades módulo |∆|. Lo que nos dice  el descubrimiento de Euler es que si determinamos el comportamiento de φ |∆| primos, uno en cada clase, ya no necesitamos comprobar si ∆ es o no un resto cuadrático módulo ningún otro primo, sino que, dado otro primo p, bastará calcular su resto módulo ∆ (o sea, ver a qué clase corresponde) y ya sabremos que el comportamiento de p será el mismo que el del primo en dicha clase que ya habı́amos estudiado. En nuestro ejemplo concreto tenemos que considerar el grupo   U13 = [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12] . Tomamos un primo en cada clase, por ejemplo: 53, 2, 3, 17, 5, 19, 7, 47, 61, 23, 37, 51. Comprobamos si 13 es o no un resto cuadrático módulo cada uno de estos doce primos (es resto cuadrático módulo los que están en negrita). Si el lector se molesta en hacer los cálculos se hará una idea de lo tedioso que resulta comprobar que 13 es un resto no cuadrático módulo 37. Admitiendo el descubrimiento de Euler, la conclusión a la que llegamos es que un primo p se escinde en K si y sólo si p ≡ 1, 3, 4, 9, 10, 12 (mód 13), p se conserva en K si y sólo si p ≡ 2, 5, 6, 7, 8, 11 (mód 13) y p se ramifica si y sólo si p = 13. (En realidad nuestros razonamientos no incluyen el caso p = 2, pero veremos que la conclusión vale igualmente). Ésta es, pues, una solución muchı́simo más elegante desde un punto de vista teórico y muchı́simo más satisfactoria desde un punto de vista práctico, pues es más fácil calcular el resto de p módulo 13 que determinar si 13 es o no un resto cuadrático módulo p. Pero los descubrimientos de Euler no acaban aquı́. Notemos que de las 12 clases resulta que 6 corresponden a primos que se escinden y las otras 6 a primos quese ramifican. Esto no es  casual. Más aún, si nos fijamos veremos que las clases [1], [3], [4], [9], [10], [12] , correspondientes a primos que se escinden, forman un subgrupo de U13 . También llama la atención que 1 + 12 = 3 + 10 = 4 + 9 = 13. En general, si llamamos clases de escisión a aquellas cuyos primos se escinden, se cumple: 246 Capı́tulo 14. La ley de reciprocidad cuadrática 1. Las clases de escisión forman un subgrupo de ı́ndice 2 en U|∆| . 2. Si K es real la clase [n] es de escisión si y sólo si lo es [−n], si K es imaginario [n] es una clase de escisión si y sólo si [−n] no lo es. Sabiendo esto, el camino por el que hemos llegado a la solución del ejemplo se allana mucho más. En efecto: comprobamos sin dificultad que 13 es un resto cuadrático módulo 3 (pues [13] = [1]), por lo tanto [3] es una clase de escisión. Por la propiedad 2) también lo es [−3] = [10]. Por 1) también lo es [3]2 = [9] y por 2) [−9] = [4]. Por último [1] es clase de escisión por 1) y [12] lo es por 2). Como ya tenemos 6, sabemos que son todas. Ası́ pues, con esta información la solución del problema no requiere más ‘cálculo’ que el carácter cuadrático de 13 módulo 3 (el lector que se haya molestado en calcular el carácter cuadrático de los doce primos de antes apreciará sin duda la diferencia). Euler descubrió empı́ricamente estos hechos, aunque no fue capaz de demostrar sino una mı́nima parte de ellos. No obstante encontró una propiedad sencilla de enunciar sobre restos cuadráticos a partir de la cual demostró todos estos resultados. Hoy se conoce como Ley de Reciprocidad Cuadrática. Legendre demostró la ley de reciprocidad a partir de un principio aparentemente más sencillo que no pudo demostrar y que nosotros hemos usado tácitamente: que toda clase de Um contiene algún primo. En efecto, en la clase [1] hemos encontrado el primo 53, en [4] está el 17, etc., pero ¿qué garantı́a tenı́amos de que en todas las clases ı́bamos a encontrar algún primo? Si una clase no contuviera primos no tendrı́a sentido decir si es o no una clase de escisión. Notar que si [n] es una clase de Um sus elementos son los números de la forma mx + n, por lo que el postulado de Legendre se puede enunciar ası́: Si m y n son números naturales primos entre sı́ entonces la progresión aritmética mx + n contiene un número primo. Cuando contaba con poco más de veinte años de edad, Gauss redescubrió la ley de reciprocidad cuadrática y la demostró. También se tropezó con el postulado de Legendre y no consiguió demostrarlo, pero pudo eludirlo a la hora de probar la ley de reciprocidad. Años más tarde, Dirichlet demostró lo que hoy se conoce como teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas, según el cual si (m, n) = 1 la progresión aritmética mx + n contiene infinitos primos. La prueba original de Dirichlet combinaba técnicas analı́ticas con la aritmética de los cuerpos ciclotómicos (de cualquier orden, no necesariamente primo) y escapa a nuestras posibilidades actuales. Hoy se conoce una prueba que no requiere teorı́a algebraica de números pero sı́ una cierta dosis de teorı́a de funciones analı́ticas, algo completamente ajeno a este libro. Ası́ pues, nosotros no demostraremos el teorema de Dirichlet, pero probaremos la ley de reciprocidad sin él. La prueba original de Gauss era muy complicada, al parecer capaz de desesperar a sus alumnos más aventajados. 14.2. El sı́mbolo de Legendre 247 Después encontró otra prueba basada esencialmente en la aritmética de los cuerpos cuadráticos también muy profunda pero conceptualmente más clara. Años más tarde encontró varias pruebas más de carácter más elemental. Aquı́ veremos una prueba más moderna completamente elemental. Después tendremos que ingeniárnoslas para evitar el teorema de Dirichlet a la hora de deducir los teoremas de Euler sobre cuerpos cuadráticos. 14.2 El sı́mbolo de Legendre Los resultados sobre restos cuadráticos se enuncian más cómodamente utilizando una notación debida a Legendre. Definición 14.1 Sea p > 0 un primo impar y n un entero. Definimos el sı́mbolo de Legendre (n/p) como     1 si n es un resto cuadrático módulo p n −1 si n es un resto no cuadrático módulo p =  p 0 si p | n Obviamente, si n ≡ n′ (mód p) entonces (n/p) = (n′ /p). Sea p un primo impar y consideremos la aplicación Up −→ Up dada por x → x2 . Obviamente es un homomorfismo de grupos cuya imagen la forman las clases de restos cuadráticos módulo p. Su núcleo son las clases de Z/pZ que cumplen x2 − 1 = 0. Como Z/pZ es un cuerpo este polinomio tiene sólo dos raı́ces, a saber, ±[1]. Ahora el teorema de isomorfı́a nos da que el número de clases de restos cuadráticos es exactamente la mitad del total de clases, o sea, (p − 1)/2. El paso siguiente en el estudio de los restos cuadráticos es el teorema siguiente: Teorema 14.2 (Criterio de Euler) Sea p un primo impar y n ∈ Z. Entonces   n ≡ n(p−1)/2 (mód p). p Demostración: Si p | n el teorema es evidente. Supongamos lo contrario.  2 Tomando clases módulo p, vemos que n(p−1)/2 = [n]p−1 = [1], pues [n] es un elemento del grupo Up , de orden p − 1, y acabamos  de comentar que las únicas clases que cumplen esto son ±[1], luego n(p−1)/2 = ±[1]. Por otro lado, si n es un resto cuadrático se cumple [n] = [u]2 , luego   n(p−1)/2 = [u]p−1 = [1]. Basta probar que esto sólo ocurre cuando n es un resto cuadrático, pero esto ocurre cuando [n] es una raı́z del polinomio x(p−1)/2 − 1, que a lo sumo tiene (p − 1)/2 raı́ces, y como de hecho las clases de los restos cuadráticos suman 248 Capı́tulo 14. La ley de reciprocidad cuadrática ya este número, concluimos que no hay más. Por lo tanto, si n es un resto no   cuadrático n(p−1)/2 ha de ser −[1]. Esto nos da un método para calcular sı́mbolos de Legendre ligeramente más práctico que calcular todos los cuadrados módulo p: se calcula n(p−1)/2 y se reduce módulo p. Tiene que dar −1, 0 o 1 y ése es el valor de (n/p). Una consecuencia teórica de interés es que el sı́mbolo de Legendre es multiplicativo: Teorema 14.3 Sea p un primo impar y a, b enteros cualesquiera. Entonces:      ab a b = p p p Demostración: El criterio de Euler nos da que ambos miembros son congruentes, pero como valen −1, 0 o 1, de hecho son iguales. Del criterio de Euler también se deduce un caso particular de la ley de reciprocidad cuadrática: Teorema 14.4 Si p es un primo impar,   −1 = (−1)(p−1)/2 , p luego −1 es un resto cuadrático módulo p si y sólo si p ≡ 1 (mód 4). En efecto, el criterio de Euler nos da que ambos miembros son congruentes módulo p, pero de hecho ambos son iguales a ±1, luego son iguales entre sı́. √ ¿Por qué módulo 4? Porque −4 es el discriminante de Q −1 . Tenemos que −1 es un resto cuadrático módulo p si y sólo si ∆ = −4 es un resto cuadrático módulo p y, según uno de los teoremas de Euler que hemos citado en la introducción, esto ha de depender sólo del resto de p módulo |∆| = 4, que es lo que ahora acabamos de probar. Nuestra prueba de la ley de reciprocidad se basará en el siguiente teorema de Gauss: Teorema 14.5 (Gauss): Sea p un primo impar y a un entero primo con p. Sean los subconjuntos de Up dados por  p−1  p−1  ] y P = [1], . . . , [ ] . 2 2      Sea r = [a]P ∩ N , donde [a]P = [a][u]  [u] ∈ P . Entonces N=  [−1], . . . , [−   a = (−1)r . p 14.2. El sı́mbolo de Legendre 249 Demostración: Como  [a]  es una unidad, la aplicación que a [u] le asigna [a][u] es biyectiva, luego [a]P  = |P | = (p − 1)/2. Dados dos elementos de P , digamos [u] y [v] con 0 < u < v ≤ (p − 1)/2, no puede suceder que [a][u] = −[a][v], pues entonces [a][u] + [a][v] = 0, o sea, p | a(u + v), luego p|u + v < p, lo cual es imposible.  Esto significa que [a]P = ±[1], . . . , ±[(p − 1)/2] , y hay exactamente r signos negativos. Por lo tanto, si llamamos [z] al producto de todos los elementos de P , tenemos que el producto de todos los elementos de [a]P es por un lado [a](p−1)/2 [z] y por otro es (−1)r [z]. Como [z] es una unidad podemos simplificarla y queda [a](p−1)/2 = [(−1)r ]. El teorema se sigue ahora del criterio de Euler. Este criterio no nos será especialmente interesante en cuanto dispongamos de la ley de reciprocidad cuadrática, pero como ejemplo para comprenderlo adecuadamente vamos a usarlo para determinar si 3 es un resto cuadrático módulo 19. Calculamos [3]P , es decir, multiplicamos [3] por los números del 1 al 9:   [3]P = [3], [6], [9], [12], [15], [18], [2], [5], [8] . Restamos 19 a los números mayores que 9 y queda:   [3]P = [3], [6], [9], [−7], [−4], [−1], [2], [5], [8]   = [−1], [2], [3], [−4], [5], [6], [−7], [8], [9] . Como hay 3 signos negativos, (3/19) = (−1)3 = −1, luego 3 es un resto no cuadrático módulo 19. Nótese que este cálculo es más simple que aplicar el criterio de Euler directamente. El −1 es un caso aparte en la ley de reciprocidad cuadrática porque es una unidad. También es un caso aparte el 2 (y muy en el fondo el motivo es que 2 es el grado de los cuerpos cuadráticos). El teorema anterior nos permite resolverlo: Teorema 14.6 Sea p un primo impar. Entonces   2 2 = (−1)(p −1)/8 , p luego 2 es un resto cuadrático módulo p si y sólo si p ≡ ±1 (mód 8).   Aplicamos el teorema de Gauss. Consideramos [2]P = [2], [4], . . . , [p−1] . Entonces r = p−1 2 − s, donde s es el mayor natural tal que 2s ≤ (p − 1)/2. Caso 1: (p − 1)/2 es par y, consecuentemente 2s = p−1 2 . Calculando obtenemos r = (p − 1)/4 y el valor del sı́mbolo de Legendre es (−1)(p−1)/4 , pero como (p + 1)/2 es impar, este valor no se altera si lo elevamos a (p + 1)/2, y p+1 p2 −1 como p−1 4 2 = 8 , se cumple el teorema. 250 Capı́tulo 14. La ley de reciprocidad cuadrática Caso 2: (p − 1)/2 es impar, y 2s = p−1 2 − 1, luego r = (p + 1)/4, y como en el caso anterior podemos elevar el resultado que nos da el teorema de Gauss al exponente impar (p − 1)/2, de donde se sigue también el enunciado. A la hora de determinar si un número n es o no un resto cuadrático módulo un primo dado p, lo mejor es usar el teorema 14.3, que nos reduce el problema a calcular los sı́mbolos de Legendre para los primos divisores de n y para −1 si n es negativo (de hecho, los primos que tengan exponente par pueden ser ignorados, pues el cuadrado de un sı́mbolo de Legendre siempre es 1). Por lo tanto el problema se reduce a calcular sı́mbolos de Legendre (q/p), donde q es primo o q = −1. Los casos q = −1 y q = 2 ya están resueltos. La ley de reciprocidad cuadrática cubre los casos restantes: Teorema 14.7 (Ley de reciprocidad cuadrática) Sean p y q primos impares distintos. 1. Si p o q es congruente con 1 módulo 4, entonces     p q = , q p 2. Si ninguno de los dos primos es congruente con 1 módulo 4, entonces     p q =− , q p Equivalentemente, para cualquier par de primos impares p y q se cumple    q p = (−1)(p−1)(q−1)/4 . q p Demostración: Es claro que si p o q es congruente con 1 módulo 4 entonces (p − 1)(q − 1)/4 es un número par, y en otro caso es impar (los factores (p − 1)/2 y (q − 1)/2 son impares). Por lo tanto la última afirmación del enunciado es equivalente a las dos primeras. Por el teorema de Gauss, (p/q) = (−1)r , donde r es el número de enteros x entre 1 y (q − 1)/2 tales que px es congruente módulo q con un entero u tal que −(q − 1)/2 ≤ u < 0, o sea, px = qy + u para cierto entero y, completamente determinado por x. Por lo tanto, r es también el número de pares de números enteros (x, y) tales que 1/2 < x < q/2 y − q/2 < px − qy < 0. Entonces qy < px + q/2 < pq/2 + q/2, luego y < p/2 + 1/2 y, al ser entero, y < p/2. Notar también que, como px > 0 y u < 0, de px = qy + u se sigue que y > 0. En resumen, r es el número de pares de números enteros (x, y) que cumplen 1/2 < x < q/2, 1/2 < y < p/2 −q/2 < px − qy < 0. (14.1) (14.2) 251 14.2. El sı́mbolo de Legendre Análogamente, (q/p) = (−1)s , donde s es el número de pares de enteros que cumplen estas mismas condiciones cambiando p por q y viceversa. Este número no se altera si cambiamos también x por y. Si además multiplicamos las desigualdades por −1 queda: 1/2 < x < q/2, 1/2 < y < p/2 (14.3) 0 < px − qy < p/2. (14.4)    q Lo que queremos probar es que pq = (−1)r+s = (−1)(p−1)(q−1)/4 , lo p que equivale a que (p − 1)(q − 1)/4 − (r + s) sea un número par. Ahora bien, (p − 1)(q − 1)/4 es el número de pares de enteros (x, y) que cumplen (14.1), luego (p − 1)(q − 1)/4 − (r + s) resulta ser el número de pares de enteros (x, y) que cumplen (14.1) pero que no cumplen ni (14.2) ni (14.4). Notemos que siendo p = q es imposible px − qy = 0, ya que en tal caso p | y < p/2. Por lo tanto, la negación de (14.2) y (14.4) equivale a la negación de −q/2 < px − qy < p/2. Lo que debemos probar es que el número de pares de enteros (x, y) que cumplen 1/2 < x < q/2, 1/2 < y < p/2, y no − q/2 < px − qy < p/2 es un número par. La figura 14.1 ilustra la prueba en el caso p = 11 y q = 17. y 11x – 17y = 0 5 4 11x – 17y < –17/2 3 2 11x – 17y > 11/2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 x Figura 14.1: La ley de reciprocidad cuadrática Definimos los conjuntos    A = (x, y)  1/2 < x < q/2, 1/2 < y < p/2, px − qy < −q/2    B = (x, y)  1/2 < x < q/2, 1/2 < y < p/2, px − qy > p/2 . 252 Capı́tulo 14. La ley de reciprocidad cuadrática Claramente se trata de conjuntos disjuntos y hemos de probar que el número de elementos de A ∪ B es par. Para ello basta comprobar que A y B tienen el mismo número de elementos. La aplicación φ : Z × Z −→ Z × Z dada por φ(x, y) = (q+1)/2−x, (p+1)/2−y es claramente biyectiva y es fácil comprobar que cumple f [A] = B, luego el teorema está probado. Antes de extraer consecuencias teóricas de la ley de reciprocidad, vamos a ver cómo nos permite calcular cualquier sı́mbolo de Legendre mediante operaciones elementales. El método consiste, dado (n/p), en reducir n módulo p, factorizarlo en primos y descomponer según 14.3 en el producto de los sı́mbolos de Legendre de la forma (q/p), donde q recorre los primos que dividen a n con exponente impar y el −1 si n es negativo. Después reducimos cada q módulo p y volvemos a factorizar. Cuando lleguemos a un factor (q/p), donde q ya es menor que p, invertimos el sı́mbolo mediante la ley de reciprocidad y seguimos ası́ hasta reducir los sı́mbolos a casos calculables directamente o, si queremos, hasta llegar a 1 o a −1. En la práctica es mucho más simple de lo que parece. Veamos algunos ejemplos:              2.002 62 2 31 31 97 4 = = = = = = 1, 97 97 97 97 97 31 31 donde usamos que 97 ≡ 1 (mód 8), luego (2/97) = 1, y 97 ≡ 1 (mód 4), luego (31/97) = (97/31). Finalmente, 4 es un cuadrado perfecto, luego (4/31) = 1.            3 5 71 71 2 1 15 = =− =− = 1. 71 71 71 3 5 3 5 14.3 El sı́mbolo de Jacobi Recordemos que nuestro objetivo es deducir los teoremas de Euler a partir de la ley de reciprocidad cuadrática. Sin embargo no podemos hacerlo directamente porque ello nos llevarı́a a tomar primos en las clases de los grupos Um , y no sabemos justificar su existencia. De este modo, si bien en la práctica siempre es más conveniente reducir todos los cálculos a números primos mediante factorizaciones, en teorı́a hemos de arreglárnoslas para trabajar con números cualesquiera. Vamos a demostrar una ley de reciprocidad en la que los números que intercambiemos no sean primos necesariamente. El primer paso es generalizar el sı́mbolo de Legendre: Definición 14.8 Sean m y n enteros no nulos primos entre sı́. Supongamos que n es impar positivo y factoriza en la forma n = p1 · · · pr , donde los primos son positivos y no necesariamente distintos. Definimos el sı́mbolo de Jacobi de m y n como   m  m  m = ··· , n p1 pr (donde los sı́mbolos de la derecha son sı́mbolos de Legendre). Para n = 1 definimos (m/1) = 1. 253 14.3. El sı́mbolo de Jacobi Claramente se tiene     ′ mm′ m m = , n n n  m  m m = , nn′ n n′ ası́ como que si m ≡ m′ (mód n), entonces (m/n) = (m′ /n). Además el sı́mbolo de Jacobi coincide con el de Legendre cuando n es primo. Es importante dejar claro que no es cierto que (m/n) = 1 si y sólo si m es un resto cuadrático módulo n. El interés del sı́mbolo de Jacobi es simplemente que generaliza formalmente el sı́mbolo de Legendre a números compuestos, pero no sirve directamente para obtener resultados sobre restos. He aquı́ la ley de reciprocidad generalizada: Teorema 14.9 Sean m, n > 0 enteros impares con (m, n) = 1.   −1 1. = (−1)(n−1)/2 . n   2 2 2. = (−1)(n −1)/8 . n m  n  3. = (−1)(m−1)(n−1)/4 . n m Demostración: 1) se deduce inmediatamente a partir de la definición y de la propiedad análoga de los sı́mbolos de Legendre. Hay que tener en cuenta que si n y n′ son impares, 4 | (n − 1)(n′ − 1) = nn′ − 1 − (n − 1) − (n′ − 1), luego el número (nn′ − 1)/2 − (n − 1)/2 − (n′ − 1)/2 es par, es decir, ′ ′ (−1)(nn −1)/2 = (−1)(n−1)/2 (−1)(n −1)/2 . 2) se demuestra igual que 1), usando esta vez que si n y n′ son impares  16 | (n2 − 1)(n′2 − 1) = (nn′ )2 − 1 − (n2 − 1) − (n′2 − 1),  luego (nn′ )2 − 1 /8 − (n2 − 1)/8 − (n′2 − 1)/8 es par. 3) Si m = 1 es obvio. Supongamos que m es primo. Si m ≡ 1 (mód 4), entonces desarrollamos (m/n) según los factores primos de n, invertimos por la ley de reciprocidad cuadrática, volvemos a agrupar y queda (m/n) = (n/m). Supongamos que m ≡ −1 (mód 4). Si n ≡ 1 (mód 4), entonces el número de factores primos de n congruentes con −1 módulo 4 ha de ser par, luego al descomponer, invertir y agrupar aparece un número par de signos negativos, luego de nuevo (m/n) = (n/m). Si n ≡ −1 (mód 4) el número de signos negativos que aparecen es impar, luego resulta que (m/n) = −(n/m). Si m no es primo razonamos igual descomponiendo m y usando la parte ya probada en lugar de la ley de reciprocidad. 254 Capı́tulo 14. La ley de reciprocidad cuadrática Estos resultados nos permiten calcular sı́mbolos de Jacobi igual que los de Legendre. El teorema siguiente contiene el núcleo de los teoremas de Euler: Los sı́mbolos de Jacobi dependen sólo del resto del numerador módulo el denominador. Ahora usaremos la ley de reciprocidad para probar que (con ciertas restricciones) sólo dependen del resto del denominador módulo el numerador. Teorema 14.10 Sean m y n enteros primos entre sı́ con n impar y positivo. Si n′ es un entero impar y positivo tal que n ≡ n′ (mód 4m), entonces m n = m n′ . Si se cumple m ≡ 1 (mód 4) es suficiente exigir n ≡ n′ (mód m). Demostración: Sea m = ǫ 2j m′ , donde m′ es impar y ǫ = ±1. Entonces m n m n′    j  ′     j n ′ m ǫ 2 ǫ 2 = (−1)(m −1)(n−1)/4 = n n n n n m′  ′     j  ′     j ǫ n 2 m ǫ 2 (m′ −1)(n′ −1)/4 (−1) = = . n′ n′ n′ n′ n′ m′ Como n ≡ n′ (mód m), se cumple (n/m′ ) = (n′ /m′ ). ′ ′ ′ Como n ≡ n′ (mód 4), también (−1)(m −1)(n−1)/4 = (−1)(m −1)(n −1)/4 . Si j es par, también (2/n)j = (2/n′ )j . Si j es impar, entonces (2/n)j = (2/n) y (2/n′ )j = (2/n′ ). Además m es par, luego de n ≡ n′ (mód 4m) se deduce n ≡ n′ (mód 8), y por el teorema 14.9 (2/n) = (2/n′ ) (vale 1 si y sólo si n (o n′ ) es congruente con ±1 módulo 8). Finalmente, también por el teorema 14.9, (ǫ/n) = (ǫ/n′ ) (es igual a 1 si y sólo si n (o n′ ) es congruente con 1 módulo 4). En consecuencia (m/n) = (m/n′ ). Si m ≡ 1 (mód 4) y n ≡ n′ (mód m) entonces j = 0. Si ǫ = 1 entonces directamente      ′   m n n m . = = = n m m n′ Si ǫ = −1 entonces m′ ≡ −1 (mód 4), luego ′ (−1)(m −1)(n−1)/4 = (−1)(n−1)/2 = y llegamos a la misma conclusión. ǫ n , 255 14.4. Los teoremas de Euler 14.4 Los teoremas de Euler Definición 14.11 √ Sea d = 1 un entero libre de cuadrados y sea ∆ el discriminante del cuerpo Q d . Definimos la aplicación signatura sig : U|∆| −→ {1, −1},  mediante sig [n] = (d/n) (donde n > 0 es impar) Por los teoremas 11.14 y 14.10, sig([n]) no depende del impar n > 0 escogido en la clase. Diremos que una clase A ∈ U|∆| es una clase de escisión para d si sig(A) = +1. Probamos finalmente los teoremas de Euler: Teorema 14.12 √ Sea d = 1 un entero libre de cuadrados y ∆ el discriminante del cuerpo Q d . 1. La aplicación sig : U|∆| −→ {1, −1} es un epimorfismo de grupos, por lo que el conjunto de lasclases de escisión forma un subgrupo de ı́ndice 2 en U|∆| , y su orden es φ |∆| /2. 2. Si d > 0 entonces [n] es una clase de escisión si y sólo si [−n] es una clase de escisión. 3. Si d < 0 entonces [n] es una clase de escisión si y sólo si [−n] no es una clase de escisión. √ 4. Si p es un primo que no divide a ∆, entonces p se escinde en Q d si y sólo si [p] es una clase de escisión. En otro caso se conserva primo. Demostración: Es inmediato que la signatura es un  homomorfismo de grupos. Los apartados 2) y 3) se reducen a probar que sig [−1] = signo de d. En efecto: Sea d = ǫ 2j u, donde u > 0 es impar y ǫ = ±1. Entonces  sig [−1] =  d 4|d| − 1  =  ǫ 4|d| − 1  2 4|d| − 1 j  u 4|d| − 1  . Aplicamos a cada factor el caso correspondiente del teorema 14.9:   ǫ = ǫ, 4|d| − 1  O bien j = 0, o bien 8  4|d|. En culquier caso  2 4|d| − 1 j = 1. Finalmente,       u 4|d| − 1 −1 = (−1)(u−1)/2 = (−1)(u−1)/2 = 1. 4|d| − 1 u u 256 Capı́tulo 14. La ley de reciprocidad cuadrática  Por lo tanto sig [−1] = ǫ. Para probar que la signatura es un epimorfismo es suficiente encontrar un entero n tal que sig [n] = −1. Si d < 0 es consecuencia del apartado 3). Supongamos d > 0. El caso d = 2 se sigue del teorema 14.9. Basta tomar un entero n ≡ ±1 (mód 8). Si d = 2 sea p un primo impar que divida a d. Sea d = pm. Podemos tomar un entero u tal que (u/p) = −1. Por el teorema chino del resto existe un entero n tal que n ≡ u (mód p) y n ≡ 1 (mód 4m) (pues al ser d libre de cuadrados se cumple que (p, m) = 1). Notar que (d, n) = 1. Entonces             d p m n m u m sig [n] = = = = = −1. n n n p n p 1 El resto del apartado 1) es el teorema de isomorfı́a. 4) Por el teorema 13.2 un primo impar p que no divide a ∆ se escinde si y sólo si d es un resto cuadrático módulo p, o sea, si y sólo si sig [p] = (d/p) = 1. En caso contrario p se conserva. Falta considerar el caso p = 2. Si 2 ∤ ∆ entonces ∆ = d ≡ 1 (mód 4). Para calcular sig [2] hemos de expresar [2] = [2 + kd], donde k se escoge de modo que 2 + kd sea impar y positivo. Podemos exigir k ≡ −1 (mód 4), y ası́ 2 + kd ≡ 1 (mód 4). El teorema 14.9 −1 nos da entonces que 2+kd = 1, luego  sig [2] =  d 2 + kd  =  |d| 2 + kd Según el teorema 14.9 concluimos que  sig [2] = 1 si y sólo si  =  2 + kd |d|  =  2 |d|  . |d| ≡ ±1 (mód 8), y como d ≡ 1 (mód 4) esto equivale a que d ≡ 1 (mód 8), es decir, a que 2 se escinda en K (según el teorema 13.2). Entre los teoremas de Euler figuraban algunas propiedades más, como que los cuadrados de U|∆| son clases de escisión, pero esto es consecuencia de que la signatura es un homomorfismo. Igualmente, el producto de dos clases que no sean de escisión es una clase de escisión, etc. √ Ejemplo: Consideremos K = Q 3 . Sabemos que su anillo de enteros √  Z 3 es un dominio de factorización única (es euclı́deo), pero en el capı́tulo √ anterior vimos que su unidad fundamental es ǫ = 2 + 3, y N(ǫ) √ = 1. Como todas las demás unidades son potencia de ésta, resulta que Z 3 no tiene unidades de norma negativa, con lo que no se cumple una de las hipótesis que ponı́amos al principio del capı́tulo. Tratemos de estudiar, a pesar de ello, qué números √ son de la forma x2 − 3y 2 , es decir, qué números son la norma de un entero de Z 3 . 14.4. Los teoremas de Euler 257   El discriminante de K es ∆ = 12 y en el grupo U12 = [1], [5], [7], [11] son clases de escisión [1] y [11] (directamente por el teorema 14.12). Ası́ pues se ramifican 2 y 3, se escinden los primos p ≡ ±1 (mód 12) y se conservan los primos p ≡ ±5 (mód 12). Por lo tanto, una condición necesaria para que un entero m sea de la forma m = x2 − 3y 2 es que si un primo p divide a m con exponente impar entonces p = 2, 3, o p ≡ ±1 (mód 12), pues en caso contrario es imposible constuir primos cuadráticos de norma p. El recı́proco no es cierto. Tomemos p = 11. Entones p se escinde, pero eso sólo significa que existe un ideal primo denorma √11, sin embargo no hay enteros de norma 11. Lo único que tenemos es N 1 ± 2 3 = −11 (si un primo tuviera norma 11 serı́a asociado de uno de estos dos, y el cociente serı́a una unidad de norma −1). Si prescindimos de los signos tenemos una equivalencia: para todo entero m se cumple que ±m = x2 − 3y 2 si y sólo si todo primo p que divida a m con exponente impar cumple p = 2, 3, o p ≡ ±1 (mód 12). Para cada m sólo un signo es posible (los detalles quedan a cargo del lector) No es difı́cil determinar cuál es el signo adecuado: Si m cumple las condiciones, su signo será el mismo que el de su parte libre de cuadrados m′ . Si además (m′ , 3) = 1 entonces ±m′ = x2 − 3y 2 implica ±m′ ≡ 1 (mód 3), luego ′ el signo adecudo Si 3 | m′ , como √ es el que verifica también m ≡ ±1 (mód 3). ′ −3 = N 1 ± 3 , el signo para m es el opuesto que para m /3. Capı́tulo XV La teorı́a de Galois En los capı́tulos anteriores hemos conocido una parte de la teorı́a de cuerpos cuadráticos, no en toda su profundidad, pero sı́ en grado suficiente como para comprender el grado de sofisticación a que puede llegar la teorı́a algebraica de números. Los cuerpos cuadráticos son los más simples de todos los cuerpos numéricos, por lo que no ha de extrañarnos que el estudio de los cuerpos numéricos en general requiera técnicas más potentes que las que hasta ahora hemos estudiado. En realidad muchos de los conceptos que hemos manejado hasta ahora serı́an excesivos si los quisiéramos tan sólo para estudiar simplemente los cuerpos cuadráticos. Por ejemplo, hemos usado la teorı́a de extensiones de cuerpos para dar una definición general de norma, pero es muy fácil definir directamente las normas de los cuerpos cuadráticos sin tanto artificio. El interés de la teorı́a de extensiones de cuerpos, de la teorı́a de enteros algebraicos, etc. es que nos capacitan para afrontar el estudio de los cuerpos numéricos arbitrarios. En este capı́tulo presentamos otra de las piedras angulares de la teorı́a algebraica de números: el teorema de Galois. Sobre cuerpos cuadráticos resulta trivial, pero sobre cuerpos mayores es una herramienta indispensable. Después de desarrollar la teorı́a general mostraremos diversos contextos en los que se aplica. No obstante, el lector debe tener presente que no estamos en condiciones de estudiar más a fondo la aritmética de los cuerpos numéricos en general, que es lo que realmente da sentido a todo lo que vamos a ver, por lo que este capı́tulo ha de entenderse como una base algebraica para estudios posteriores. De todos modos, en el capı́tulo XVII veremos un ejemplo más importante y representativo de la utilidad de la teorı́a de Galois. 15.1 La correspondencia de Galois El teorema de Galois establece una biyección entre los cuerpos intermedios de una extensión finita de Galois y los subgrupos de su grupo de Galois G(K/k), lo que permite reducir muchos problemas de cuerpos a problemas sobre grupos finitos. Recordemos que si K/k es una extensión finita de Galois el grupo G(K/k) 259 260 Capı́tulo 15. La teorı́a de Galois tiene orden igual al grado de la extensión. La correspondencia de Galois asigna a cada subgrupo el cuerpo que definimos a continuación: Definición 15.1 Sea K/k una extensión de cuerpos y H un subgrupo del grupo de Galois G(K/k). Llamaremos cuerpo fijado por H al cuerpo   F (H) = a ∈ K | σ(a) = a para todo σ ∈ H . Es muy fácil probar que ciertamente F (H) es un cuerpo y k ⊂ F (H) ⊂ K. El teorema 8.37 afirma  que una extensión algebraica K de un cuerpo k es de Galois si y sólo si F G(K/k) = k. El teorema siguiente contiene la parte técnica del teorema de Galois y resulta útil por sı́ mismo en algunas ocasiones. Teorema 15.2 (Teorema de independencia de Dedekind) Sea K un cuerpo y σ1 , . . . , σn automorfismos distintos de K. Si c1 , . . . , cn son elementos de K tales n que i=1 ci σi (a) = 0 para todo a ∈ K, entonces c1 = · · · = cn = 0. Demostración: Por inducción sobre n. Si n = 1, entonces c1 σ1 (a) = 0 para todo a ∈ K, luego en particular c1 σ1 (1) = 0, es decir, c1 = 0. Supongamos que n > 1 y que n  ci σi (a) = 0 i=1 para todo a ∈ K. (15.1) Si algún ci es nulo entonces todos lo son por hipótesis de inducción. Supongamos que son todos no nulos. Como σ1 = σn , existe un elemento b ∈ K tal que σ1 (b) = σn (b). Obviamente b = 0. Por hipótesis, n  i=1 ci σi (ba) = 0 para todo a ∈ K. Multiplicando por σn (b−1 ) y restando de (15.1) queda: n   ci 1 − σn (b−1 )σi (b) σi (a) = 0 i=1 para todo a ∈ K. Como el último  sumando es nulo, podemos aplicar la hipótesis de inducción y concluir que ci 1 − σn (b−1 )σi (b) = 0 para i = 1, . . . , n − 1. En particular 1 − σn (b−1 )σ1 (b) = 0 y σ1 (b) = σn (b), contradicción. Con la ayuda de este resultado podemos probar el teorema siguiente, que esencialmente contiene la biyectividad de la correspondencia de Galois: Teorema 15.3 Sea K/k una extensión y H un subgrupo finito de G(K/k). Entonces |K : F (H)| = |H|. 261 15.1. La correspondencia de Galois Demostración: Supongamos que |K : F (H)| = r < |H| = n. Sea b1 , . . . , br una base de K como F (H)-espacio vectorial. Sea H = {σ1 , . . . , σn }. La aplicación f : K n −→ K r dada por f (x1 , . . . , xn ) = n  xi σi (b1 ), . . . , i=1 n  xi σi (br ) i=1 es claramente lineal, y como n = dim N(f )+dim Im f ≤ dim N(f )+r, concluimos que dim N(f ) > 0, luego existe una n-tupla (c1 , . . . , cn ) de elementos de K no n todos nulos de modo que i=1 ci σi (bj ) = 0 para j = 1, . . . , r. Si a ∈ K, entonces a = a1 b1 + · · · + ar br para ciertos a1 , . . . , ar ∈ F (H). Como son fijados por los automorfismos de H se cumple que n  ci σi (aj bj ) = aj n  ci σi (bj ) = 0, i=1 i=1 y sumando para todos los j obtenemos que pero esto contradice al teorema anterior. n i=1 ci σi (a) = 0 para todo a ∈ K, Supongamos ahora que |K : F (H)| > |H| = n. Sean b1 , . . . , bn+1 elementos de K linealmente independientes sobre F (H). Como antes podemos concluir que existen elementos (a1 , . . . , an+1 ) de K no todos nulos de modo que n+1  ai σj (bi ) = 0 para j = 1, . . . , n. (15.2) i=1 Tomando el valor de j correspondiente al automorfismo identidad, se cumple n+1 que i=1 ai bi = 0, lo que significa que alguno de los ai ∈ / F (H), pues los bi son independientes. Reordenando podemos suponer que ai = 0 para i = 1, . . . , r y que los restantes son nulos. También podemos escoger los ai con r mı́nimo. Ha de ser r > 1, porque en otro caso tendrı́amos b1 a1 = 0 y entonces a1 = 0, contradicción. Podemos multiplicar todos los ai por a−1 y ası́ suponer que ar = 1. Como r algún ai ∈ / F (H) y éste no es ciertamente ar , podemos tomar a1 ∈ / F (H). Entonces existe un ı́ndice h tal que σh (a1 ) = a1 .  n+1 Aplicando σh a (15.2) tenemos que i=1 σh (ai )σh σj (bi ) = 0 para todo j = 1, . . . , n. Como σj σh recorre todo H cuando j = 1, . . . , n, podemos escribir n+1 i=1 σh (ai )σj (bi ) = 0 y restando de (15.2) llegamos a que n+1  i=1  ai − σh (ai ) σj (bi ) = 0, para j = 1, . . . , n. Pero ahora los coeficientes son nulos para i = r, . . . , n + 1, aunque no lo es el primero. O sea, hemos encontrado unos valores que cumplen lo mismo que (a1 , . . . , an+1 ) pero con más ceros, en contra de la minimalidad de r. 262 Capı́tulo 15. La teorı́a de Galois Con esto llegamos al teorema de Galois. En el apartado 7) usamos la notación KL para el cuerpo K(L) = L(K), o sea, el mı́nimo cuerpo que contiene a K y L (donde K y L son dos cuerpos contenidos en un cuerpo común). Teorema 15.4 (Teorema Fundamental de la Teorı́a de Galois) Sea K/k una extensión finita de Galois. 1. Existe una biyección entre los cuerpos intermedios k ⊂ L ⊂ K y los subgrupos de G(K/k). Esta biyección asigna a cada cuerpo L el grupo G(K/L) y su inversa asigna a cada grupo H el cuerpo F (H). 2. Si k ⊂ L ⊂ L′ ⊂ K, entonces G(K/L′ ) ≤ G(K/L) ≤ G(K/k). 3. Si H ≤ H ′ ≤ G(K/k), entonces k ⊂ F (H ′ ) ⊂ F (H) ⊂ K. 4. Si k ⊂ L ⊂ K entonces K/L es una extensión normal (luego de Galois). 5. Si k ⊂ L ⊂ K, la extensión L/k es normal (luego de Galois) si y sólo si G(K/L) es un subgrupo normal de G(K/k). 6. Si k ⊂ L ⊂ K y L/k es de Galois, la aplicación r : G(K/k) −→ G(L/k) dada por r(σ) = σ|L es un epimorfismo de grupos cuyo núcleo es G(K/L), luego G(L/k) ∼ = G(K/k)/G(K/L) 7. Si H1 , H2 ≤ G(K/k) entonces  F H1 , H2  = F (H1 ) ∩ F (H2 ) y F (H1 ∩ H2 ) = F (H1 )F (H2 ). Demostración: 4) Si K/k es normal, K es el cuerpo de escisión sobre k de un cierto polinomio p(x), pero, obviamente, K también es el cuerpo de escisión sobre L de p(x), luego K/L es normal (esto ya lo probamos en el capı́tulo VIII). 1) La aplicación que a cada L le asigna G(K/L) es   inyectiva, pues si tenemos G(K/L) = G(K/L′ ), entonces F G(K/L) = F G(K/L′ ) , y como las extensiones son de Galois, L = L′ . Si H ≤ G(K/k) y L = F (H), es obvio que H ≤ G(K/L) y, por el teorema  anterior, |H| = |K : L| = G(K/L) porque la extensión es de Galois, luego H = G(K/L). Por lo tanto L es una antiimagen de H, luego la aplicación es biyectiva y su inversa es la que indica el enunciado. 2) y 3) son inmediatos. 5) Supongamos que L/k es normal. Sea σ ∈ G(K/L) y τ ∈ G(K/k). Para cada a ∈ L se cumple que τ −1 (a) ∈ L (por el teorema 8.25). Consecuentemente,    σ τ −1 (a) = τ −1 (a) y σ τ (a) = τ σ τ −1 (a) = τ τ −1 (a) = a, luego tenemos que σ τ ∈ G(K/L) y en consecuencia G(K/L)
G(K/k). Si G(K/L)
G(K/k), tomemos un polinomio irreducible p(x) ∈ k[x] con una raı́z a en L. Como K/k es normal p(x) se escinde en K. Basta probar que todas las raı́ces de p(x) en K están en L, y ası́ p(x) se escindirá en L. Sea b otra 15.1. La correspondencia de Galois 263 raı́z de p(x) en K. Por el teorema 8.28 existe  un automorfismo τ ∈ G(K/k) tal que τ (b) = a. Hemos de probar que b ∈ F G(K/L) = L.  τ −1  Sea σ ∈ G(K/L). Entonces σ ∈ G(K/L), luego τ σ(τ (a) = a, o sea, τ σ(b) = a o, lo que es lo mismo, σ(b) = b. 6) La aplicación r está bien definida porque si σ ∈ G(K/k), entonces el teorema 8.25 garantiza que σ[L] = L, luego r(σ) ∈ G(L/k). La aplicación r es suprayectiva también por el teorema 8.25, y obviamente es un epimorfismo de grupos. El resto es inmediato. 7) Es una consecuencia inmediata de 1), 2) y 3). El grupo H1 , H2  es el menor subgrupo de G(K/k) que contiene a H1 y a H2 , luego su cuerpo fijado ha de ser el mayor cuerpo intermedio contenido en F (H1 ) y en F (H2 ), o sea, ha de ser F (H1 ) ∩ F (H2 ). Análogamente se tiene la otra igualdad. Ejemplo El estudio de los grupos de Galois nos permite conocer todos los cuerpos intermedios de una extensión finita de Galois. Como ilustración vamos a aplicarlo al cuerpo de escisión sobre Q del polinomio x3 − 2. Sabemos que es de la forma K = Q(α, β), donde α, β y γ son las raı́ces del polinomio, ası́ como que el grado de la extensión es 6, que el grupo de Galois G es isomorfo a Σ3 y que por lo tanto permuta las tres raı́ces de todos los modos posibles. Como Σ3 tiene cuatro subgrupos propios, el teorema de Galois nos dice que la extensión Q(α, β)/Q tiene exactamente cuatro cuerpos intermedios. Vamos a calcularlos. Los subgrupos de Σ3 son los tres subgrupos de orden 2 generados por las trasposiciones (β, γ), (α, γ) y (α, β) y el subgrupo de orden 3 generado por el ciclo (α, β, γ).         El cuerpo F (β, γ) cumple que Q(α, β) : F (β, γ)  = (β, γ) = 2,         luego F (β, γ) : Q = 3 = Q(α) : Q. Como obviamente α ∈ F (β, γ) ,  tenemos la inclusión Q(α) ⊂ F (β, γ) y, al coincidir los grados, ha de ser Q(α) = F (β, γ) .   Igualmente, Q(β) = F (α, γ) y Q(γ) = F (α, β) .  Nos falta calcular F (α, β, γ) , que ha de tener grado 2 sobre Q. Para ello observamos que como α = β, se cumple α/β = 1, pero (α/β)3 = 2/2 = 1, luego ω = α/β es una raı́z del polinomio x3 − 1 distinta de 1. Por consiguiente Q(ω), el cuerpo ciclotómico en K y tiene grado 2 sobre Q,  de orden 3, está contenido √ luego ha de ser F (α, β, γ) = Q(ω) = Q −3 . Definición 15.5 Si k es un cuerpo, p(x) ∈ k[x] es un polinomio no constante, y K es el cuerpo de escisión de p(x) sobre k, se llama grupo de Galois de p(x) al grupo G(K/k). Es claro que el grupo de Galois de un polinomio no depende (salvo isomorfismo) del cuerpo de escisión considerado, pues dos cualesquiera son k-isomorfos, 264 Capı́tulo 15. La teorı́a de Galois y un k-isomorfismo entre las extensiones induce de forma natural un isomorfismo entre los grupos de Galois. En el ejemplo anterior hemos visto que el grupo de Galois (sobre Q) del polinomio x3 − 2 es (isomorfo a) Σ3 . Es obvio que el grupo de Galois de todo polinomio irreducible de grado 2 es un grupo cı́clico de orden 2. Existen técnicas para determinar el grupo de Galois de un polinomio en algunos casos concretos, pero no vamos a entrar en ello. En las secciones siguientes veremos algunos ejemplos más. Ahora veamos un par de resultados sencillos pero muy útiles con los que acabaremos de perfilar la teorı́a de Galois: Teorema 15.6 Sean K/k y L/k extensiones finitas de un cuerpo k (contenidas en un mismo cuerpo) y además supongamos que K/k es de Galois. Entonces la extensión KL/L es también de Galois y G(KL/L) ∼ = G(K/K ∩ L). Demostración: La extensión K/k es normal, luego K es el cuerpo de escisión sobre k de un cierto polinomio f (x) ∈ k[x]. Sean a1 , . . . , an las raı́ces de f (x) en K. Entonces K = k(a1 , . . . , an ), luego es obvio que KL = L(a1 , . . . , an ). Además a1 , . . . , an son las raı́ces de f (x) ∈ K[x] en KL, luego KL es el cuerpo de escisión sobre K de f (x), lo que implica que la extensión KL/L es normal. Como los ai son separables sobre k, lo son sobre L y ası́ KL/L es de Galois. Si σ ∈ G(KL/L), como K/k es normal, se cumple que σ|K : K −→ K, y claramente σ|K ∈ G(K/K ∩ L). La aplicación φ : G(KL/L) −→ G(K/K ∩ L) dada por φ(σ) = σ|K es ciertamente un homomorfismo de grupos y de hecho es un monomorfismo, pues si φ(σ) = I|K , entonces, como σ|L = I|L , resulta que σ = I|KL . Consideremos el cuerpo E = F (Im φ). Entonces K ∩ L ⊂ E ⊂ K. Si a ∈ E se cumple σ|K (a) = a para todo σ ∈ G(KL/L), luego a ∈ F G(KL/L) = L.  Por lo tanto E ⊂ K ∩L, es decir, E = K ∩L y ası́ F (Im φ) = F G(K/K ∩L) , con lo que Im φ = G(K/K ∩ L) y φ es un isomorfismo. Teorema 15.7 Sean K/k y L/k dos extensiones finitas de Galois de un mismo cuerpo k (ambas contenidas en un cuerpo mayor) y tales que K ∩ L = k. Entonces KL/k es finita de Galois y G(KL/k) ∼ = G(K/k) × G(L/k). Demostración: Si K es el cuerpo de escición sobre k de un polinomio p(x) y L es el cuerpo de escición de q(x), es claro que KL es el cuerpo de escisión de pq, luego KL/k es una extensión finita de Galois (la separabilidad es clara). Por el teorema de Galois podemos definir φ : G(KL/k) −→ G(K/k) × G(L/k) mediante φ(σ) = (σ|K , σ|L ). Obviamente φ es un homomorfismo de grupos. De hecho es un monomorfismo porque su núcleo es claramente trivial. Para probar que φ es biyectiva basta ver que ambos grupos tienen el mismo orden, pero por el teorema anterior   G(K/k) = G(KL/L), y ası́ |KL : k| = |KL : L| |L : k| = |K : k| |L : k|. 265 15.2. Extensiones ciclotómicas 15.2 Extensiones ciclotómicas En esta sección mostraremos cómo la teorı́a de Galois nos da un buen control sobre los cuerpos ciclotómicos. Más en general, aprovechamos la ocasión para introducir el concepto de extensión ciclotómica de un cuerpo arbitrario y de un orden arbitrario, no necesariamente primo. Definición 15.8 Llamaremos extensión ciclotómica n-sima de un cuerpo k al cuerpo de escisión sobre k del polinomio xn − 1. u Si car k = p y n = pu m con (m, p) = 1, entonces xn − 1 = (xm − 1)p , lo que implica que el cuerpo de escisión de xn − 1 es el mismo que el de xm − 1, o en otros términos, que la extensión ciclotómica n-sima coincide con la extensión ciclotómica m-sima. Por esta razón podemos estudiar sólo el caso en el que car k ∤ n (incluyendo el caso car k = 0). Sea K/k una extensión ciclotómica n-sima tal que car k ∤ n. Entonces la derivada del polinomio xn − 1 es nxn−1 = 0, y la única raı́z de este polinomio es 0, que no es raı́z de xn − 1. Por lo tanto las raı́ces de xn − 1 en K son todas simples (separables) y hay n de ellas. Ası́ pues, toda extensión ciclotómica es finita de Galois. Las raı́ces del polinomio xn − 1 en un cuerpo cualquiera se llaman raı́ces n-simas de la unidad. En una extensión ciclotómica n-sima (bajo las hipótesis indicadas) hay n raı́ces n-simas de la unidad. Es obvio que el producto de dos raı́ces n-simas de la unidad vuelve a ser una raı́z n-sima, ası́ como que el inverso de una raı́z n-sima es también una raı́z n-sima. Esto significa que el conjunto de las raı́ces n-simas de la unidad en un cuerpo cualquiera forman un subgrupo finito del grupo multiplicativo del cuerpo. Por el teorema 9.12 se trata de un grupo cı́clico. Ası́ pues, si K/k es una extensión ciclotómica n-sima tal que car k ∤ n, el conjunto de las raı́ces n-simas de la unidad es un grupo cı́clico de orden n. A los elementos de orden n (o sea, a los generadores) se les llama raı́ces n-simas primitivas de la unidad. Por 9.13 hay exactamente φ(n) de ellas, donde φ es la función de Euler. Ası́, si ω es una raı́z n-sima primitiva de la unidad, las raı́ces restantes son 1, ω, ω 2 , . . . , ω n−1 . Obviamente, K = k(ω). Llamaremos polinomio ciclotómico n-simo al polinomio cn (x) = (x − ω1 ) · · · (x − ωm ), donde ω1 , . . . , ωm son las raı́ces n-simas primitivas de la unidad en K. Notemos que grad cn (x) = m = φ(n). Si K/k es una extensión ciclotómica n-sima, ω ∈ K es una raı́z n-sima primitiva de la unidad y P es el cuerpo primo de k, entonces cn (x) ∈ P [x]. En efecto,la extensión P (ω)/P es también ciclotómica n-sima y, por definición, el polinomio cn (x) para la extensión P (ω)/P es el mismo que para K/k. Los automorfismos de P (ω) permutan las raı́ces primitivas, luego sus extensiones 266 Capı́tulo 15. La teorı́a de Galois a P (ω)[x] dejan invariante a cn (x) (permutan sus factores), pero esto es lo mismo que decir que dejan invariantes a sus coeficientes y, por lo tanto, estos  coeficientes están en F G(P (ω)/P ) = P . Con esto hemos probado que los polinomios cn (x) pueden obtenerse siempre a partir de una extensión ciclotómica de un cuerpo primo P . Como dos cuerpos de escisión de un mismo polinomio sobre P son P -isomorfos, en realidad cn (x) no depende de la extensión K de P que tomemos. En resumen, que hay un único polinomio cn (x) para cada cuerpo primo, o dicho de otro modo, si K es cualquier cuerpo en el que exista una raı́z n-sima primitiva de la unidad, es decir, una raı́z n-sima de la unidad de orden n, entonces el polinomio cuyas raı́ces (simples) son todas las raı́ces n-simas primitivas de la unidad en K es cn (x), un polinomio que no depende más que de la caracterı́stica de K. Pronto probaremos que, esencialmente, el polinomio cn (x) tampoco depende de la caracterı́stica. Observar que c1 (x) = x−1 y c2 (x) = x+1 (pues −1 es la única raı́z cuadrada primitiva de la unidad). El teorema siguiente nos permite calcular fácilmente los polinomios ciclotómicos. Teorema 15.9 Sea k un cuerpo tal que car k ∤ n. Entonces xn − 1 = & cd (x). d|n Demostración: Sea K/k una extensión ciclotómica n-sima. Para cada divisor d de n sea Ad el conjunto de las raı́ces de la unidad de orden d. De este modo {Ad }d|n es una partición del conjunto de las raı́ces n-simas de la unidad, es decir, una partición del conjunto de las raı́ces de xn − 1, y los elementos de cada Ad son las raı́ces d-ésimas primitivas de la unidad en K, luego cd (x) tiene por raı́ces a los elementos de Ad . A partir de aquı́ el teorema es inmediato. Por lo tanto, cn (x) = xn − 1 cd (x) d|n d=n Ası́ podemos calcular recurrentemente los polinomios ciclotómicos: c3 (x) = c6 (x) = x3 − 1 = x2 + x + 1, x−1 x6 − 1 = x2 − x + 1. (x − 1)(x + 1)(x2 + x + 1) La tabla 15.1 contiene los primeros polinomios ciclotómicos. El lector observará sin duda que los coeficientes no nulos de los polinomios ciclotómicos son ±1. Ası́ se cumple hasta llegar al polinomio ciclotómico de orden 104, en cambio, éste es el centésimo quinto polinomio ciclotómico: 267 15.2. Extensiones ciclotómicas Tabla 15.1: Polinomios ciclotómicos c1 (x) c2 (x) c3 (x) c4 (x) c5 (x) c6 (x) c7 (x) c8 (x) c9 (x) c10 (x) c105 (x) = = = = = = = = = = x−1 x+1 x2 + x + 1 x2 + 1 x4 + x3 + x2 + x + 1 x2 − x + 1 x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 x4 + 1 x6 + x3 + 1 x4 − x3 + x2 − x + 1 = x48 + x47 + x46 − x43 − x42 − 2x41 − x40 − x39 + x36 + x35 + x34 + x33 + x32 + x31 − x28 − x26 − x24 − x22 − x20 + x17 + x16 + x15 + x14 + x13 + x12 − x9 − x8 − 2x7 − x6 − x5 + x2 + x + 1. Como vemos, tiene dos coeficientes iguales a −2. Puede probarse que existen polinomios ciclotómicos con coeficientes tan grandes en módulo como se quiera. Lo que sı́ se cumple siempre es que los coeficientes son enteros: Teorema 15.10 Los polinomios ciclotómicos sobre Q tienen los coeficientes enteros. Demostración: Por inducción. Para n = 1 tenemos c1 (x) = x − 1. Supongamos que cm (x) ∈ Z[x] para todo m < n. Sea & cd (x). q(x) = d|n d=n Por hipótesis de inducción q(x) ∈ Z[x] y es mónico. Por el teorema anterior xn − 1 = cn (x)q(x). En Z[x] existen polinomios p(x) y r(x) tales que xn − 1 = q(x)p(x) + r(x), donde el grado de r(x) es menor que el de q(x), pero esto también es cierto en Q[x] y, por la unicidad de la división euclı́dea, ha de ser p(x) = cn (x) y r(x) = 0, o sea, cn (x) ∈ Z[x]. Notar que las divisiones necesarias para calcular cn (x) según el teorema 15.9 se pueden hacer como si los polinomios fueran de Z[x] aunque en realidad sean de (Z/pZ) [x], lo que significa que los polinomios ciclotómicos de caracterı́stica p (cuando existen) son los mismos que los de caracterı́stica 0, pero considerando a sus coeficientes en Z/pZ. En definitiva, cn (x) es esencialmente único. Ya conocemos los polinomios ciclotómicos de orden primo p. En capı́tulos anteriores hemos visto que cp (x) = xp−1 +· · ·+x+1 y que es irreducible en Q[x]. 268 Capı́tulo 15. La teorı́a de Galois Vamos a ver que en realidad esto vale para todos los polinomios ciclotómicos sobre Q. Teorema 15.11 El polinomio cn (x) es irreducible en Q[x]. Demostración: Por el criterio de Gauss es suficiente probar que es irreducible en Z[x]. Sea f (x) un factor mónico irreducible de cn (x) en Z[x] (no constante). Hemos de probar que f (x) = cn (x). Sea ω una raı́z n-sima primitiva de la unidad tal que f (ω) = 0. Sea p un primo tal que p ≤ n y (p, n) = 1. Veamos que ω p es raı́z de f (x). Sea cn (x) = f (x)g(x), con f (x), g(x) ∈ Z[x]. Por el teorema 9.13 el orden de ω p es también n, o sea, ω p es otra raı́z n-sima primitiva de la unidad y, en consecuencia, es raı́z de cn (x). Si no fuera raı́z de f (x) lo serı́a de g(x), o sea, g(ω p ) = 0. Entonces ω es raı́z del polinomio g(xp ) y, como f (x) = pol mı́n(ω, Q), se ha de cumplir f (x) | g(xp ). Sea g(xp ) = f (x)h(x). Dividiendo euclı́deamente en Z[x] y por la unicidad de la división en Q[x] podemos concluir que h(x) ∈ Z[x]. Ahora tomamos módulo p en los coeficientes de los polinomios, con lo    clases   que g(xp ) = f (x) h(x) . Pero todo u ∈ Z/pZ cumple up = u (pues si u = 0 p−1 pertenece al grupo multiplicativo, = 1), y esto nos  pde orden  p −p 1, luego u permite extraer el exponente: g(x ) = g(x) .    p   Todo factor irreducible de f (x) divide a g(x) , luego a g(x) . De aquı́ llegamos a una contradicción, pues xn − 1 = cn (x)s(x), para un cierto polinomio en Q[x]. De nuevo por la unicidad euclı́dea    de la división  de hecho s(x) ∈ Z[x], luego luego xn − [1] = f (x) g(x) s(x) , ahora bien, sabemos que el polinomio xn −[1] debe escindirse en factores distintos, pero por otro lado los polinomios f (x) y g(x) tienen factores comunes. Con esto hemos probado que ω p es raı́z de f (x) para todo primo p < n con (p, n) = 1. Si (m, n) = 1 y m < n, entonces los primos en los que se descompone m son menores que n y primos con n, luego aplicando repetidas veces lo anterior llegamos a que ω m es también raı́z de f (x), pero por el teorema 9.13 toda raı́z primitiva es de la forma ω m con (n, m) = 1, luego f (x) tiene todas las raı́ces de cn (x) y, en consecuencia, f (x) = cn (x). Tras estos resultados generales, pasamos a estudiar los grupos de Galois de las extensiones ciclotómicas. En el teorema siguiente incluimos algunos hechos básicos que ya hemos usado y probado. Teorema 15.12 Sea K/k una extensión ciclotómica n-sima, tal que car k ∤ n. Entonces: 1. La extensión K/k es finita de Galois. 2. Si ω ∈ K es una raı́z n-sima primitiva de la unidad, K = k(ω). 3. pol mı́n(ω, k) | cn (x). 4. G(K/k) es isomorfo a un subgrupo del grupo Un de las unidades de Z/nZ. 269 15.2. Extensiones ciclotómicas 5. El polinomio cn (x) es irreducible en k[x] si y sólo si G(K/k) ∼ = Un , y en tal caso el grado de la extensión es φ(n). Demostración: 1), 2) y 3) ya están probados. Para probar 4) fijamos una raı́z n-sima primitiva de la unidad ω. Para cada σ ∈ G(K/k) es claro que σ(ω) ha de ser otra raı́z n-sima primitiva, que será de la forma ω m , con (m, n) = 1. Como el orden de ω es n, el número m sólo está determinado módulo n, o lo que es lo mismo, la clase [m] ∈ Un está unı́vocamente determinada por σ. Sea φ : G(K/k) −→ Un que a cada automorfismo σ le asigna la clase [m] del modo descrito. Ası́, si φ(σ) = [m], entonces σ(ω) = ω m . Es fácil ver que φ es un homomorfismo de grupos. Además si φ(σ) = [1] entonces σ(ω) = ω, luego σ = 1. Por lo tanto φ es inyectivo y G(K/k) es isomorfo a un subgrupo de Un . 5) El polinomio cn (x) es irreducible en k[x] si y sólo si es el polinomio mı́nimo de las raı́ces (por 3), si y sólo si |K : k| = φ(n) (por 2), si y sólo si   primitivas  G(K/k) = Un , si y sólo si G(K/k) ∼ = Un (por 4). En particular todas las extensiones ciclotómicas son abelianas y las de orden primo son cı́clicas (pues los grupos Up son cı́clicos). El teorema siguiente es un ejemplo sencillo de cómo la teorı́a de Galois transforma un problema de cuerpos en otro más manejable sobre grupos finitos. Teorema 15.13 Para cada número natural n sea ωn una raı́z n-sima primitiva de la unidad. Sean a y b dos números naturales, d = mcd(a, b) y m = mcm(a, b). Entonces Q(ωa )Q(ωb ) = Q(ωm ) y Q(ωa ) ∩ Q(ωb ) = Q(ωd ). Demostración: Es claro que Q(ωd ), Q(ωa ) y Q(ωb ) están contenidos en Q(ωm ), pues ωd , ωa y ωb son potencias de ω  m . Para i = d, a, b, m, llamemos Hi = G Q(ωm )/Q(ωi ) . Si identificamos G Q(ωm )/Q ∼ = Um , de acuerdo con el teorema 15.12, entonces    Hi = [x] ∈ Um  x ≡ 1 (mód i) , pues [x] ∈ Hi si y sólo si ωix = ωi si y sólo si x ≡ 1 (mód i). Hemos de probar que Ha ∩ Hb = Hm = 1 y que Ha Hb = Hd . Ahora bien, es obvio que x − 1 es múltiplo de a y b si y sólo si es múltiplo de m, lo que nos da la primera igualdad. A su vez esto implica  que |Ha Hb | = |Ha | |Hb | (por el teorema 9.30). Teniendo en cuenta que |Hi | = Q(ωm ) : Q(ωi ) = φ(m)/φ(i), concluimos que |Ha Hb | = φ(m) φ(m) φ(m) = = |Hd |. φ(a) φ(b) φ(d) Como Ha Hb ≤ Hd , la igualdad de órdenes implica Ha Hb = Hd . 270 Capı́tulo 15. La teorı́a de Galois Ejercicio: Probar que ωa ωb es una raı́z m-sima primitiva de la unidad. Deducir directamente la primera igualdad del teorema anterior. Ejercicio: Probar que si m es impar entonces Q(ωm ) = Q(ω2m ). Con los resultados de este libro no estamos en condiciones de profundizar en los cuerpos ciclotómicos arbitrarios. En su lugar vamos a usar la teorı́a de Galois para comprender mejor los cuerpos ciclotómicos de orden primo. Si p es un número primo el grupo de las raı́ces p-ésimas primitivas de la unidad sobre Q tiene orden p, luego todas las raı́ces distintas de 1 son primitivas (no hay más órdenes posibles que 1 y p). Si ω es una raı́z p-ésima primitiva, el grado de la extensión Q(ω)/Q es p − 1 y el grupo G(Q(ω)/Q) es isomorfo a Up , que cı́clico. De acuerdo con la prueba de 15.12, cada clase [m] ∈ Up se corresponde con el automorfismo que envı́a ω a ω m . De este modo, si m es una raı́z primitiva de la unidad módulo p, es decir, si [m] es un generador de Up , entonces el automorfismo σ que cumple σ(ω) = ω m es un generador de G(Q(ω)/Q). Como consecuencia del teorema de Galois, la extensión Q(ω)/Q tiene tantos cuerpos intermedios como divisores tiene p − 1. Vamos a describir estos cuerpos. En primer lugar notemos que si un automorfismo fija a un elemento, también  lo fijan sus potencias, luego el cuerpo F σ fijado por un grupo cı́clico de automorfismos coincide con el conjunto de los elementos fijados por σ, por lo que escribiremos simplemente F (σ). Sea σ un generador de G(Q(ω)/Q). Para cada divisor m de p − 1, el automorfismo σ m tiene orden (p − 1)/m, luego |Q(ω) : F (σ m )| = o(σ m ) = (p − 1)/m y por lo tanto |F (σ m ) : Q| = m. Llamemos d = (p − 1)/m. Antes de seguir nuestro análisis en general conviene poner un ejemplo para imaginarnos la situación. Tomemos p = 13, m = 3, d= 4. Vamos a obtener el cuerpo intermedio de grado 3 sobre Q. En primer lugar necesitamos un generador del grupo de Galois. Como 2 es una raı́z primitiva módulo 13, nos sirve el automorfismo σ que cumple σ(ω) = ω 2 . Nuestro cuerpo es el fijado por σ 3 , que está determinado por σ 3 (ω) = ω 8 . Un elemento cualquiera de Q(ω) es de la forma: a + bω + cω 2 + dω 3 + eω 4 + f ω 5 + gω 6 + hω 7 + iω 8 + jω 9 + kω 10 + lω 11 + mω 12 , donde es importante tener presente que la expresión no es única, sino que podemos sumar una misma cantidad a todos lo coeficientes sin alterar el elemento (ver el capı́tulo VIII). Ahora bien, si dos elementos de esta forma tienen igual un coeficiente, serán iguales si y sólo si tienen los mismos coeficientes. Al aplicar σ 3 a nuestro elemento obtenemos lo siguiente: a + bω 8 + cω 3 + dω 11 + eω 6 + f ω + gω 9 + hω 4 + iω 12 + jω 7 + kω 2 + lω 10 + mω 5 . El elemento estará en F (σ 3 ) si y sólo si esta expresión coincide con la primera. Como el término independiente es a en ambos casos, todos los coeficientes deben coincidir. Esto ocurre si y sólo si b = f = m = i, c = k = l = d, e = h = j = g, es decir, si y sólo si nuestro elemento es de la forma a + u(ω + ω 5 + ω 8 + ω 12 ) + v(ω 2 + ω 3 + ω 10 + ω 11 ) + w(ω 4 + ω 6 + ω 7 + ω 8 ). 15.2. Extensiones ciclotómicas 271 Llamemos η0 = ω + ω 5 + ω 8 + ω 12 , η1 = ω 2 + ω 3 + ω 10 + ω 11 , η2 = ω 4 + ω 6 + ω 7 + ω 8 . Lo que hemos obtenido es que F (σ 3 ) es el espacio vectorial generado por los elementos 1, η0 , η1 , η2 . Claramente se da la relación 1 + η0 + η1 + η2 = 0, luego estos elementos no son linealmente independientes. De hecho sabemos que la dimensión de F (σ 3 ) es 3, luego tres cualesquiera de ellos forman una base. Por ejemplo 1, η0 , η1 . Todo elemento de F (σ 3 ) se expresa de forma única como combinación lineal de 1, η0 , η1 (o de η0 , η1 , η2 ). Si lo expresamos como combinación lineal de los primeros, la expresión es única salvo que se puede sumar una cantidad arbitraria a todos los coeficientes sin alterar el elemento. Ahora vamos con el caso general. Podemos considerar a σ m como una permutación de las raı́ces ω, . . . , ω p−1 . Los valores ω, σ(ω), . . . , σ p−2 (ω) son todos distintos (en caso contrario serı́a fácil probar que σ i (ω) = ω para 1 ≤ i < p − 1, luego σ no tendrı́a orden p − 1. Esto significa que, visto como permutación, σ es un ciclo de longitud p − 1, concretamente, ω, σ(ω), . . . , σ p−2 (ω) . Por lo tanto, los valores ω, σ m (ω), σ 2m (ω), . . . , σ (d−1)m (ω) son también distintos (son parte de los anteriores), mientras que el siguiente es σ dm (ω) = ω. Esto vale para cualquier raı́z primitiva ω y significa que si aplicamos sucesivamente σ m sobre una raı́z primitiva ω, pasamos por d raı́ces distintas, es decir, σ m considerada como una permutación de las raı́ces ω, . . . , ω p−1 es un producto de m ciclos disjuntos de longitud d. Llamemos η0 , η1 , . . . , ηm−1 a las sumas de los elementos de cada órbita. Cuando σ m actúa sobre un elemento de Q(ω) expresado como combinación lineal de 1, ω, . . . , ω p−1 , da lugar a otro elemento en el que el coeficiente de una raı́z ω pasa a estar junto a la raı́z σ m (ω) y, teniendo en cuenta que el término independiente no varı́a, para que el elemento sea fijado es necesario que el coeficiente de cada raı́z ω coincida con el de σ m (ω), y a su vez éste ha de coincidir con el de σ 2m (ω), etc., lo que significa que todos los coeficientes de una misma órbita deben coincidir, luego pueden sacarse como factores comunes y el elemento puede expresarse como combinación lineal de 1, η0 , η1 , . . . , ηm−1 . (Esto se ve claramente en el ejemplo anterior). Por otro lado los elementos 1, η0 , η1 , . . . , ηm−1 son fijados por σ m , luego hemos probado que F (σ m ) es el subespacio generado por 1, η0 , η1 , . . . , ηm−1 . No vale la pena repetir en general las condiciones de la unicidad de la expresión. Los elementos η0 , η1 , . . . , ηm−1 se llaman perı́odos de longitud d, pues cada uno es la suma de d raı́ces primitivas. Cumplen la relación 1+η0 +. . . +ηm−1 = 0. Más aún, si la raı́z ω está en η0 y ω i es otra raı́z primitiva, existe un automorfismo σ j tal que σ j (ω) = ω i . Si σ km (ω) es otra raı́z de η0 , entonces  km j σ σ (ω) = σ km σ j (ω) = σ km (ω i ) está en el mismo perı́odo que ω i , es decir, σ j envı́a todas las raı́ces de η0 a las raı́ces del perı́odo de ω i , luego σ j (η0 ) es el perı́odo de ω i . Con esto hemos probado que los perı́odos son conjugados. También es fácil ver que la imagen de un perı́odo por un automorfismo es siempre un perı́odo. Por lo tanto, si llamamos concretamente η0 al perı́odo de ω, la sucesión η0 , σ(η0 ), σ 2 (η0 ), . . . , σ p−1 (η0 ) recorre todos los perı́odos. Más exactamente: la 272 Capı́tulo 15. La teorı́a de Galois sucesión η0 , σ(η0 ), σ 2 (η0 ), . . . , σ m−1 (η0 ) está formada por todos los perı́odos. La razón es que si no están todos, alguno se repite, pero en cuanto un perı́odo se repite entramos en un ciclo en el que ya no pueden aparecer nuevos perı́odos. Por lo tanto numeraremos los perı́odos con el orden dado por ηi = σ i (η0 ), donde η0 es el perı́odo de ω. Esta definición es válida para todo entero i, de modo que ηm = σ m (η0 ) = η0 (pues σ m permuta los sumandos de cada perı́odo), ηm+1 = η1 , etc. En general σ i (ηj ) = ηi+j , para enteros cualesquiera i, j. Desde esta perspectiva general es fácil hallar los perı́odos concretos que hemos obtenido en nuestro ejemplo p = 13, m = 3, d = 4: Recordemos que σ(ω) = ω 2 y σ 3 (ω) = ω 8 . Para hallar η0 partimos de ω y le aplicamos repetidas veces σ 3 : σ 3 (ω) = ω 8 , σ 3 (ω 8 ) = ω 12 , σ 3 (ω 12 ) = ω 5 , σ 3 (ω 5 ) = ω. Ası́ pues, η0 = ω + ω 5 + ω 8 + ω 12 . Para obtener η1 simplemente hacemos η1 = σ(η0 ) = σ(ω + ω 5 + ω 8 + ω 12 ) = ω 2 + ω 10 + ω 3 + ω 11 = ω 2 + ω 3 + ω 10 + ω 11 . Igualmente η2 = σ(η1 ) = ω 4 + ω 6 + ω 7 + ω 8 . Es importante que los perı́odos no dependen de la elección del generador σ, aunque en general su orden sı́ depende de esta elección. Un perı́odo tiene por sumandos a las raı́ces a las que se puede llegar desde una dada mediante los automorfismos del subgrupo de orden m, y esto no depende de σ. Ejercicio: Determinar todos los subcuerpos del cuerpo ciclotómico decimotercero. Indicar las inclusiones entre ellos y, para cada uno, calcular los perı́odos que lo generan, la tabla del producto de perı́odos y el subgrupo asociado en el grupo de Galois. El conocimiento de esta estructura de las extensiones ciclotómicas es importante a la hora de trabajar con ellas. Como ejemplo vamos a ver que simplifican considerablemente el cálculo de normas. Supongamos que queremos calcular la norma de α = ω 5 − ω 4 − 3ω 2 − 3ω − 2 para p = 7. Una raı́z primitiva módulo 7 es 3, luego un generador del grupo de automorfismos es σ(ω) = ω 3 , y ası́ 2 3 4 5 N(α) = ασ(α)σ (α)σ (α)σ (α)σ (α). El truco está en agrupar los factores en la forma:   2 4 3 5 N(α) = ασ (α)σ (α) σ(α)σ (α)σ (α) , con lo que el primer factor es invariante por σ 2 y el segundo es la imagen por σ del primero. Calculamos los términos del primer factor: α = ω 5 − ω 4 − 3ω 2 − 3ω − 2 σ (α) = −3ω 4 + ω 3 − 3ω 2 − ω − 2 2 σ 4 (α) = ω 6 − 3ω 4 − ω 2 − 3ω − 2 273 15.3. Cuerpos finitos Multiplicamos ασ 2 (α): 0 1 −1 0 −3 −3 0 0 −3 1 −3 −1 0 −2 2 0 6 6 −1 1 0 3 3 2 3 0 9 9 6 0 0 −3 −3 −2 0 1 9 9 6 0 −3 3 11 5 14 10 12 12 −2 −2 4 0 −3 −1 0 0 El producto se ordena como en una multiplicación usual de polinomios, con la única diferencia de que los términos en ω 7 = 1 no se sitúan a la izquierda de los términos en ω 6 , sino bajo los términos independientes, e igualmente con exponentes superiores. El resultado es 11ω 6 +5ω 5 +14ω 4 +10ω 3 +12ω 2 +12ω, que puede simplificarse restando 12 a todos los coeficientes, con lo que queda −ω 6 −7ω 5 +2ω 4 −2ω 3 −12. Ahora lo multiplicamos por σ 4 (α): 1 0 −3 0 −1 −3 −2 −1 −7 2 −2 0 0 −12 −12 0 36 0 12 36 24 0 2 6 4 −2 0 6 −2 −6 −4 2 0 −6 0 21 14 −7 0 21 0 7 2 −1 0 3 0 1 3 9 9 31 9 31 31 40 El primer factor es, pues, 40 + 31η0 + 9η1 = 31 + 22η0 . El segundo se obtiene aplicando σ, luego es 40 + 31η1 + 9η0 = 9 − 22η0 . Por lo tanto N(α) = (31 + 22η0 )(9 − 22η0 ) = 279 − 484η0 − 484η02 . Ahora es fácil calcular η02 = η0 + 2η1 = η0 + 2(−1 − η0 ) = −2 − η0 . Con esto podemos concluir N(α) = 279 − 484η0 + 484η0 + 968 = 1.247. No ha sido un cálculo rápido, pero el camino directo supone hacer seis multiplicaciones en lugar de dos. En general el cálculo de normas se simplifica agrupando los factores en dos grupos. Si a su vez el número de factores en un grupo no es primo, se pueden formar grupos dentro de los grupos y el cálculo se reduce más. 15.3 Cuerpos finitos Los cuerpos finitos aparecen en teorı́a de números como cocientes de los anillos de enteros de los cuerpos numéricos sobre sus ideales primos, y resultan indispensables cuando se estudian extensiones arbitrarias de cuerpos numéricos (donde el cuerpo base no es necesariamente Q. Fueron estudiados por primera vez por Galois, por lo que se les llama cuerpos de Galois. 274 Capı́tulo 15. La teorı́a de Galois Comencemos observando que los cuerpos finitos tienen necesariamente caracterı́stica prima, pues todo cuerpo de caracterı́stica 0 contiene a los números racionales, luego es infinito. Además, si k es un cuerpo finito de caracterı́stica p, es inmediato que k ha de ser una extensión finita de su cuerpo primo Z/pZ (no puede contener una base infinita), luego si |k : Z/pZ| = n, tenemos que k es un espacio vectorial de dimensión n sobre el cuerpo Z/pZ, luego es isomorfo al producto cartesiano de Z/pZ por sı́ mismo n veces, luego en particular |k| = pn . En resumen, si k es un cuerpo finito, car k = p, y |k : Z/pZ| = n, entonces |k| = pn , luego no hay cuerpos finitos de todos los cardinales posibles, sino tan sólo de cardinales que sean potencias de primo. Sea ahora k un cuerpo finito de cardinal pn . Entonces por 9.12 el grupo multiplicativo de k es cı́clico de orden pn − 1. Esto implica que si u es un n n elemento no nulo de k, se cumple up −1 = 1, luego up = u, pero esto es válido n también si u = 0. Ası́ pues, todo elemento de k es raı́z del polinomio xp − x. Vamos a probar que este hecho permite construir, a la vez que caracteriza, los cuerpos de pn elementos. Definición 15.14 Llamaremos Ap a la clausura algebraica del cuerpo Z/pZ. Llamemos cuerpo de Galois de pn elementos al conjunto CG(pn ) de las raı́ces n en Ap del polinomio xp − x. El teorema siguiente prueba, entre otras cosas, que CG(pn ) es realmente un cuerpo de pn elementos. Teorema 15.15 Sea p un número primo y n > 0 un número natural. Entonces n 1. CG(pn ) es el cuerpo de escición sobre Z/pZ del polinomio xp − x. 2. CG(pn ) es, salvo isomorfismo, el único cuerpo de pn elementos y es el único subcuerpo de Ap con pn elementos. 3. Ap es la unión de todos los cuerpos CG(pn ). En particular es infinito. Demostración: 1) Sólo hay que probar que CG(pn ) es realmente un cuerpo, pero esto es inmediato, teniendo en cuenta que (u + v)p = up + v p , para todos los u, v ∈ Ap . n n 2) Como la derivada formal de xp − x es pn xp −1 − 1 = −1, que no tiene n raı́ces, resulta que las raı́ces de xp − x son todas distintas, luego CG(pn ) tiene n p elementos. Según hemos probado, un subcuerpo de Ap con pn elementos n ha de estar constituido por las raı́ces de xp − x, luego ha de ser exactamente n n CG(p ). Todo cuerpo de p elementos tiene caracterı́stica p, es una extensión finita de Z/pZ, luego es isomorfo a un subcuerpo de Ap , o sea, a CG(pn ). 3) Si u ∈ Ap , entonces (Z/pZ) (u) es un cuerpo finito, luego es CG(pn ) para cierto número natural n. En particular u ∈ CG(pn ). En particular CG(p) = Z/pZ. Al trabajar con cuerpos es más usual la notación CG(p) que Z/pZ. Investiguemos ahora los grupos de Galois. 275 15.3. Cuerpos finitos Definición 15.16 Si K es un cuerpo finito se llama automorfismo de Frobenius de K a la aplicación σ : K −→ K dada por σ(u) = up . Es claro que σ es un automorfismo de K (ver la prueba de 8.35). Teorema 15.17 Sea K = CG(pn ) y k = CG(p). Sea σ el automorfismo de Frobenius de K. Entonces K/k es finita de Galois y G(K/k) = σ. Demostración: La extensión es de Galois porque los cuerpos son perfectos n y K es el cuerpo de escisión sobre K del polinomio xp − x. ∗ Sabemos que el grupo multiplicativo K es cı́clico. Sea K ∗ = u. Entonces m pn u = 1, pero up = 1 para todo m < n. Esto equivale a que σ m (u) = 1 para todo m < n, luego el orden de σ es como mı́nimo n, pero como el grupo de Galois tiene n elementos, el orden de σ ha de ser exactamente n, y es un generador.  Ası́ pues, el grupo G CG(pn )/CG(pn ) es cı́clico de orden n, luego tiene exactamente un subgrupo para cada divisor de m. Si m | n y H es el subgrupo de orden n/m, o sea, H = σ m , entonces |CG(pn ) : F (H)| = n/m, luego |F (H) : CG(p)| = m. En consecuencia F (H) = CG(pm ). Con esto hemos probado: Teorema 15.18 Sean m y n números naturales no nulos y p un primo. Entonces CG(pm ) ⊂ CG(pn ) si y sólo si m | n.  Ejercicio: Demostrar que G CG(pn )/CG(pm ) = σ m . Conviene observar que las extensiones entre cuerpos finitos no sólo son cı́clicas, sino también ciclotómicas. En efecto, los generadores del grupo multiplicativo de CG(pn ) son raı́ces pn − 1-ésimas primitivas de la unidad. El cuerpo CG(pn ) es una extensión ciclotómica de orden pn − 1 de cualquiera de sus subcuerpos. Ejercicio: Sea m un número natural no nulo y p un primo que no divida a m. Entonces el grado de la extensión ciclotómica m-sima sobre CG(p) es om (p). Nótese que la observación anterior es un caso particular de este hecho. (Ver la prueba de 12.13.) Ejemplo Vamos a describir el cuerpo de 8 elementos. Se trata de la única extensión de grado 3 de CG(2). Buscamos un polinomio mónico irreducible de grado 3 en CG(2)[x]. Hay 8 polinomios mónicos de grado 3. Descartamos los que no tienen término independiente porque no son irreducibles, con lo que quedan 4, a saber: x3 + x2 + x + 1, x3 + x2 + 1, x3 + x + 1 y x3 + 1 El primero y el último tienen raı́z 1, luego sólo nos quedan los dos de enmedio. Por ejemplo, tomamos p(x) = x3 + x + 1. 276 Capı́tulo 15. La teorı́a de Galois Necesariamente CG(8) = CG(2)[α], donde α es una raı́z de p(x). Por consiguiente, CG(8) = {aα2 + bα + c | a, b, c ∈ CG(2)}. La suma de dos elementos de CG(8) se calcula sumando las coordenadas, mientras que el producto se calcula operando de forma habitual y reduciendo las potencias de α mediante la relación α3 = −α − 1. Ejercicio: Describir el CG(9). Mostrar un isomorfismo entre este cuerpo y Z[i]/(3). En capı́tulos anteriores hemos visto que algunos problemas de la teorı́a de números pueden formularse en términos de si un número entero dado es o no una norma de un entero algebraico. En cuerpos finitos la situación es mucho más simple: Teorema 15.19 En una extensión de cuerpos finitos, la norma y la traza son suprayectivas. Demostración: Sea K/k una extensión de cuerpos finitos. Digamos que k = CG(m) y que |K : k| = d. Entonces G(K/k) = σ, donde σ(x) = xm . Por lo tanto la norma es d−1 1+m+···+m N(x) = x d = x(m −1)/(m−1) . Considerando a la norma como homomorfismo de grupos N : K ∗ −→ k ∗ , d vemos que su núcleo está formado por las raı́ces del polinomio x(m −1)/(m−1) −1, luego a lo sumo tiene (md − 1)/(m − 1) elementos. Por el teorema de isomorfı́a la imagen tiene al menos m − 1 elementos (observemos que |K ∗ | = md − 1), pero éstos son todos los elementos de k ∗ , luego la norma es suprayectiva. Similarmente, el núcleo de la traza Tr : K −→ k está formado por las raı́ces del polinomio d−1 xm + · · · + xm + x, luego a lo sumo tiene md−1 elementos, y la imagen de la traza tiene como mı́nimo m elementos, luego también es suprayectiva. 15.4 Polinomios simétricos Los polinomios simétricos proporcionan una relación importante entre los coeficientes de un polinomio y sus raı́ces. Sus propiedades (conceptualmente más simples) pueden, en ocasiones, sustituir a la teorı́a de Galois. También juegan un papel relevante en la teorı́a de números trascendentes (por ejemplo en la prueba de la trascendencia de π). Aquı́ usaremos la teorı́a de Galois para demostrar un resultado en torno a ellos. Definición 15.20 Sea A un dominio y σ ∈ Σn . Por 2.10 se cumple que la aplicación : σ : A[x1 , . . . , xn ] −→ A[x1 , . . . , xn ] definida mediante  σ p(x1 , . . . , xn ) = p(xσ(1) , . . . , xσ(n) ) 277 15.4. Polinomios simétricos es un homomorfismo de anillos. De hecho es claro que se trata de un isomorfismo que claramente se extiende a un automorfismo del cuerpo A(x1 , . . . , xn ) (al que seguiremos llamando σ).  También es fácil comprobar que la aplicación Σn −→ Aut A(x1 , . . . , xn ) dada por σ → σ es un monomorfismo de grupos. Si no hay confusión escribiremos σ(p) en lugar de σ(p) cuando p sea un polinomio o una fracción algebraica en las indeterminadas x1 , . . . , xn . En definitiva, σ(p) se obtiene a partir de p intercambiando sus variables del modo indicado por σ. Diremos que una fracción algebraica p (en particular un polinomio) es simétrica si σ(p) = p para toda permutación σ ∈ Σn . Notar que la definición depende del anillo de polinomios (o el cuerpo de fracciones algebraicas) que consideremos pues, por ejemplo, xy + xz + yz es simétrico como elemento de Q[x, y, z], pero no como elemento de Q[v, x, y, z], pues la trasposición (v, x) no lo deja fijo. Del hecho de que las aplicaciones σ sean isomorfismos se deduce inmediatamente que el conjunto de todas las fracciones algebraicas simétricas del cuerpo A(x1 , . . . , xn ) es un subcuerpo, ası́ como que el conjunto de todos los polinomios simétricos de A[x1 , . . . , xn ] es un subanillo. Llamaremos polinomios simétricos elementales de A[x1 , . . . , xn ] a los polinomios e0 , . . . , en dados por  e0 = 1, ek = para k = 1, . . . , n. xi1 · · · xik 1≤i1 <···<ik ≤n Vemos, pues, que cada ek es un polinomio simétrico de grado k. Por ejemplo, los polinomios simétricos de 3 indeterminadas son 1, x + y + z, xy + xz + yz, xyz. En otras palabras, el polinomio ek es la suma de todos los monomios que pueden construirse multiplicando k variables distintas. El teorema siguiente proporciona una relación útil entre los polinomios simétricos elementales de orden n y los de orden n − 1. La demostración es muy sencilla y queda a cargo del lector. Teorema 15.21 Sea A un dominio, n > 1, e0 , . . . , en los polinomios simétricos elementales en A[x1 , . . . , xn ] y ē0 , . . . , ēn−1 los polinomios simétricos elementales en A[x1 , . . . , xn−1 ]. Entonces: 1. en (x1 , . . . , xn ) = xn ēn−1 (x1 , . . . , xn−1 ). 2. ek (x1 , . . . , xn ) = ēk (x1 , . . . , xn−1 )+xn ēk−1 (x1 , . . . , xn−1 ), para 1 ≤ k < n. Esto significa que los polinomios simétricos elementales de n variables pueden obtenerse a partir de los polinomios simétricos elementales de n − 1 variables mediante sumas y productos en las que intervenga también la variable xn que les falta. Una simple inducción permite probar la siguiente generalización de este hecho (que no nos va a ser necesaria luego). 278 Capı́tulo 15. La teorı́a de Galois Teorema 15.22 Sea A un dominio, e0 , . . . , en los polinomios simétricos elementales en A[x1 , . . . , xn ] y ē0 , . . . , ēk los polinomios simétricos elementales en A[x1 , . . . , xk ], donde 1 ≤ k < n. Entonces ei ∈ A[ē0 , . . . , ēk , xk+1 , . . . , xn ] para i = 0, . . . , n. El interés de los polinomios simétricos elementales reside principalmente en que son los que nos dan los coeficientes de un polinomio a partir de sus raı́ces en un cuerpo de escisión. Veámoslo. Teorema 15.23 Sea A un dominio y e0 , . . . , en los polinomios simétricos elementales en A[x1 , . . . , xn ]. Entonces (x − x1 ) · · · (x − xn ) = n  (−1)n−k en−k (x1 , . . . , xn )xk . k=0 Demostración: Por inducción sobre n. Para n = 1 es obvio. Supongámoslo para n − 1. Sean ē0 , . . . , ēn−1 los polinomios simétricos elementales en A[x1 , . . . , xn−1 ]. Entonces (x − x1 ) · · · (x − xn ) = = n−1  k=0 = n−1  k=0 (−1)n−1−k ēn−1−k xk (x − xn ) (−1)n−1−k ēn−1−k xk+1 − (−1)n xn ēn−1 + xn + n−2  n−1  (−1)n−1−k xn ēn−1−k xk k=0 (−1)n−1−k ēn−1−k xk+1 k=0 − = n−1  (−1)n−1−k xn ēn−1−k xk k=1 (−1)n xn ēn−1 + xn + n−1  (−1)n−k (ēn−k + xn ēn−1−k )xk k=1 (por 15.21) = (−1)n en + xn + n−1  (−1)n−k en−k xk k=1 = n  (−1)n−k en−k xk . k=0 Por ejemplo, (x−a)(x−b)(x−c) = x3 −(a+b+c)x2 +(ab+ac+bc)x−abc, lo que en algunos casos puede evitarnos muchas operaciones. Veamos ahora otro de los hechos clave sobre polinomios simétricos: Teorema 15.24 Sea A un dominio y sean e1 , . . . , en los polinomios simétricos elementales en A[x1 , . . . , xn ]. Entonces el anillo de los polinomios simétricos de A[x1 , . . . , xn ] es A[e1 , . . . , en ]. 15.4. Polinomios simétricos 279 Demostración: Por inducción sobre n. Para n = 1 resulta que todo polinomio de A[x] es simétrico, y como e1 = x, se cumple el teorema. Supongamos el teorema para n−1. Sea p(x1 , . . . , xn ) un polinomio simétrico del anillo A[x1 , . . . , xn ]. Veamos que p(x1 , . . . , xn ) ∈ A[e1 , . . . , en ] por inducción sobre el grado de p. En caso de que p sea de grado 0 es evidente. Supongamos que todo polinomio simétrico de grado menor que m está en A[e1 , . . . , en ] y que p tiene grado m. Sea p̄(x1 , . . . , xn−1 ) = p(x1 , . . . , xn−1 , 0) ∈ A[x1 , . . . , xn−1 ]. Claramente p̄ es simétrico. Por la primera hipótesis de inducción p̄ ∈ A[ē1 , . . . , ēn−1 ], donde ē1 , . . . , ēn−1 son los polinomios simétricos elementales de A[x1 , . . . , xn−1 ]. Esto significa que existe un polinomio g ∈ A[x1 , . . . , xn−1 ] tal que p̄ = g(ē1 , . . . , ēn−1 ). Sea h(x1 , . . . , xn ) = p(x1 , . . . , xn ) − g(e1 , . . . , en−1 ), simétrico. Por 15.21 se cumple que ei (x1 , . . . , xn−1 , 0) = ēi (x1 , . . . , xn−1 ) para i = 1, . . . , n − 1, luego h(x1 , . . . , xn−1 , 0) = p̄(x1 , . . . , xn−1 ) − g(ē1 , . . . , ēn−1 ) = 0. Ası́ pues, xn divide a h(x1 , . . . , xn ) y por simetrı́a todas las variables lo dividen, y su producto también, o sea, en divide a h. Sea h = en h̄. Si σ ∈ Σn , tenemos que en h̄ = σ(h) = σ(h) = σ(en )σ(h̄) = en σ(h̄), luego σ(h̄) = h̄. Esto prueba que h̄ es simétrico y de grado menor que m, luego por la segunda hipótesis de inducción h̄ ∈ A[e1 , . . . , en ], con lo que también p = g(e1 , . . . , en−1 ) + en h̄ ∈ A[e1 , . . . , en ]. Ejercicio: Probar que si A es un dominio, α1 , . . . , αn son todas las raı́ces de un polinomio mónico de A[x] en una extensión en la cual se escinda (repetidas según su multiplicidad), y p(x1 , . . . , xn ) es un polinomio simétrico, entonces p(α1 , . . . , αn ) ∈ A. Enunciar casos particulares de este resultado que puedan probarse sin los teoremas anteriores (con teorı́a de Galois, de enteros algebraicos, etc.) No es inmediato, ni siquiera a partir del teorema anterior, que el subcuerpo de las fracciones algebraicas simétricas de un cuerpo k(x1 , . . . , xn ) sea precisamente el cuerpo k(e1 , . . . , en ). Esto es tanto como afirmar que toda fracción algebraica simétrica se expresa como cociente de dos polinomios simétricos. Daremos una prueba basada en la teorı́a de Galois. Teorema 15.25 Sea k un cuerpo y n ≥ 1. Entonces el cuerpo de las fracciones algebraicas simétricas de k(x1 , . . . , xn ) es k(e1 , . . . , en ). Además la extensión k(x1 , . . . , xn )/k(e1 , . . . , en ) es finita de Galois y su grupo de Galois es Σn . Demostración: Consideremos el polinomio p(x) = (x − x1 ) · · · (x − xn ). El teorema 15.23 afirma que p(x) ∈ k(e1 , . . . , en )[x], lo que implica que las indeterminadas x1 , . . . , xn son algebraicas sobre k(e1 , . . . , en ). Más aún, son separables (porque son raı́ces simples de p(x)) y k(x1 , . . . , xn ) es el cuerpo de escisión sobre k(e1 , . . . , en ) de p(x), luego la extensión es finita de Galois. Según vimos en el capı́tulo VIII, el grupo de Galois  G = G k(x1 , . . . , xn )/k(e1 , . . . , en ) puede identificarse con un subgrupo del grupo de las permutaciones de las raı́ces de p(x), es decir, de Σn , por lo que |G| ≤ n!. 280 Capı́tulo 15. La teorı́a de Galois  Por otro lado tenemos un monomorfismo Σn −→ Aut k(x1 , . . . , xn ) y las imágenes de los elementos de Σn , por definición de simetrı́a, fijan a los elementos de k(e1 , . . . , en ), es decir, de hecho tenemos un monomorfismo Σn −→ G. Teniendo en cuenta los órdenes, este monomorfismo es de hecho un isomorfismo, es decir, los automorfismos de la extensión son exactamente las permutaciones de las indeterminadas. Ahora bien, si llamamos E al cuerpo de las fracciones algebraicas simétricas de k(x1 , . . . , xn ), tenemos las inclusiones k ⊂ k(e1 , . . . , en ) ⊂ E ⊂ k(x1 , . . . , xn ), y por definición de simetrı́a es obvio que G(k(x1 , . . . , xn )/E) = G, luego el teorema de Galois implica que E = k(e1 , . . . , en ). Capı́tulo XVI Módulos finitamente generados Llegados a este punto está claro que el estudio de los números algebraicos es una combinación de muchas ramas del álgebra: teorı́a de cuerpos, teorı́a de anillos, teorı́a de grupos, álgebra lineal. En estados más avanzados aparecen también el álgebra homológica, ası́ como disciplinas no algebraicas, como la teorı́a de funciones holomorfas, topologı́a, análisis de Fourier, etc. Ciñéndonos a la parte que conocemos, podemos decir que uno de los teoremas fundamentales que aporta la teorı́a de anillos es el hecho de que los cuerpos numéricos tienen factorización única en ideales, la teorı́a de cuerpos aporta el teorema de Galois y ahora vamos a ver un resultado no menos importante en la vertiente del álgebra lineal (si quisiéramos buscar un hecho clave de igual peso por parte de la teorı́a de grupos deberı́amos pensar probablemente en los teoremas de Sylow, que no veremos en este libro). Se trata de un teorema que nos da la estructura de los módulos finitamente generados sobre un dominio euclı́deo (en realidad el teorema es válido para DIPs, pero la prueba es algo más técnica). Como ejemplo mostraremos la estructura de los grupos de unidades de los grupos Un de las unidades módulo n. 16.1 Los teoremas de estructura El punto de partida es el teorema siguiente: Teorema 16.1 Sea A un dominio euclı́deo y M un A-módulo finitamente generado. Entonces A es suma directa de un número finito de submódulos monógenos. Demostración: Sea {a1 , . . . , an } un sistema generador de M . Sea N un A-módulo libre de rango n y sea {x1 , . . . , xn } una base de N . Por el teorema 7.31 existe un homomorfismo de módulos f : N −→ M tal que f (xi ) = ai para i = 1, . . . , n. Obviamente f es un epimorfismo. 281 282 Capı́tulo 16. Módulos finitamente generados Sea R = N(f ). Por el teorema 7.30, R es un módulo libre y podemos encontrar una base {y1 , . . . , yn } de N y unos elementos a1 , . . . , am de A tales que {a1 y1 , . . . , am ym } es una base de R para cierto m ≤ n. Basta probar que N/R es suma directa de un número finito de submódulos monógenos, ya que ! es un módulo ! isomorfo a M . Concretamente, vamos a probar que N/R = [y1 ] ⊕ · · · ⊕ [yn ] . En efecto, si b1 , . . . , bn ∈ A cumplen b1 [y1 ] + · · · + bn [yn ] = 0, entonces se cumple que b1 y1 +· · ·+bn yn ∈ R, luego b1 y1 +· · ·+bn yn = c1 a1 y1 +· · ·+cm am ym para ciertos elementos c1 , . . . , cm de A. Como {y1 , . . . , yn } es base de N las coordenadas son únicas, luego ha de ser bi = ci ai para i = 1, . . . , m y bi = 0 para i = m + 1, . . . , n. En cualquier caso se cumple bi [yi ] = 0 (pues [ai yi ] = 0 para i = 1, . . . , m). Por el teorema 7.15 la suma es directa. En el capı́tulo VII vimos que el concepto de suma directa de módulos coincide con el de producto cuando el número de factores es finito. En teorı́a de grupos finitos se prefiere el término producto directo al de suma directa, con lo que un caso particular del teorema anterior puede enunciarse como sigue: Teorema 16.2 Todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a un producto directo de grupos cı́clicos. Ası́ por ejemplo, un grupo abeliano de orden 4 puede ser un grupo cı́clico o bien el producto directo de dos grupos cı́clicos de orden 2. Un ejemplo de cada caso son los grupos Z/4Z y (Z/2Z) × (Z/2Z). El primero lo hemos manejado   en muchas ocasiones. Si llamamos 1 = [0], [0] , a = [1], [0] , b = [0], [1] y  c = [1], [1] , la tabla del segundo es 1 1 b c 1 a b c 1 a b c a 1 c b b c 1 a c b a 1 Observamos que no son grupos isomorfos puesto que el producto de dos grupos cı́clicos de orden 2 no tiene elementos de orden 4. Es costumbre usar la notación Cn para referirse a un grupo cı́clico cualquiera de orden n (sabemos que dos cualesquiera son isomorfos entre sı́). De este modo, un grupo abeliano de orden 4 ha de ser de tipo C4 o C2 × C2 . Se distinguen porque en los grupos de tipo C4 hay elementos de orden 4 y en los de tipo C2 × C2 no los hay. Por ejemplo, el grupo de Klein V4 que definimos en el capı́tulo IX es de tipo C2 × C2 . Quizá el lector piense que un grupo abeliano de orden 6 puede ser de dos tipos diferentes, a saber, C6 o C2 × C3 . Esto es falso y la razón nos la da el teorema siguiente. Para enunciarlo en términos de módulos vamos a introducir un concepto que generaliza al de orden de un elemento en un grupo abeliano. 16.1. Los teoremas de estructura 283 Definición 16.3 Sea A un DIP, M un A-módulo y m ∈ M . Llamaremos anulador de m al conjunto An(m) = {a ∈ A | am = 0}. Es claro que se trata de un ideal de A. Como A es DIP existirá un a ∈ A tal que An(m) = (a). El elemento a se llama perı́odo de m, y está unı́vocamente determinado salvo unidades. Lo representaremos por o(m). En el caso de que A = Z y M es un grupo abeliano, entonces el perı́odo de un elemento no es sino su orden, cuando éste es finito, y 0 si el elemento es de orden infinito. Teorema 16.4 Sea A un dominio euclı́deo y sea M un A-módulo monógeno, M = m. Sea o(m) = a1 a2 , donde (a1 , a2 ) = 1. Entonces M = m1  ⊕ m2 , para ciertos elementos m1 , m2 de M tales que o(m1 ) = a1 y o(m2 ) = a2 . Demostración: Sean m1 = a2 m y m2 = a1 m. Obviamente tenemos que m1  + m2  ≤ m. Por la relación de Bezout existen elementos u, v ∈ A tales que ua1 +va2 = 1. Por lo tanto m = ua1 m+va2 m = vm1 +um2 ∈ m1 +m2 , luego m1  + m2  = m. Para probar que la suma es directa nos falta ver que m1  ∩ m2  = 0. Supongamos que x ∈ m1  ∩ m2 . Entonces x = ra2 m = sa1 m y de aquı́ resulta que x = (ua1 + va2 )x = ua1 ra2 m + va2 sa1 m = ur(am) + vs(am) = 0. Ası́ pues, M = m1  ⊕ m2 . Como a1 m1 = a1 a2 m = 0, tenemos que (a1 ) ⊂ An(m1 ). Si b ∈ An(m1 ), entonces ba2 m = 0, luego ba2 ∈ An(m), luego a1 a2 | ba2 , y por lo tanto a1 | b, es decir, b ∈ (a1 ). Esto prueba que An(m1 ) = (a1 ) y por tanto que o(m1 ) = a1 . Igualmente se obtiene que o(m2 ) = a2 . La traducción a grupos abelianos finitos es la siguiente: Teorema 16.5 Sean m y n números naturales tales que (m, n) = 1. Entonces Cmn ∼ = Cm × Cn . Por lo tanto sólo hay un tipo de grupos abelianos de orden 6, a saber, C6 ∼ = C2 × C3 , o dicho de otro modo, todo grupo abeliano de orden 6 es cı́clico. Teorema 16.6 Sea A un dominio euclı́deo y M un A-módulo. Supongamos que existen elementos m1 y m2 en M tales que M = m1  ⊕ m2 , o(m1 ) = a1 , o(m2 ) = a2 y (a1 , a2 ) = 1. Entonces M = m1 + m2  y o(m1 + m2 ) = a1 a2 . Demostración: Por el teorema de Bezout existen elementos u, v ∈ A tales que ua1 +va2 = 1. Entonces m1 = ua1 m1 +va2 m1 = va2 m1 = va2 m1 +va2 m2 = va2 (m1 + m2 ), de donde m1 ∈ m1 + m2 . Igualmente m2 ∈ m1 + m2 , y ası́ M = m1 + m2 . Claramente a1 a2 (m1 + m2 ) = 0, luego (a1 a2 ) ⊂ An(m1 + m2 ). Si b ∈ An(m1 + m2 ), entonces bm1 + bm2 = 0, y como la suma es directa se cumple bm1 = bm2 = 0, luego a1 | b y a2 | b. Como son primos entre sı́, a1 a2 | b y b ∈ (a1 a2 ). Esto prueba que An(m1 + m2 ) = (a1 a2 ) y ası́ o(m1 + m2 ) = a1 a2 . 284 Capı́tulo 16. Módulos finitamente generados Observemos que si en un grupo abeliano tenemos un elemento u de orden m y otro v de orden n con (m, n) = 1, acabamos de ver que uv tiene orden mn. Los teoremas anteriores no son aplicables a elementos de orden 0 (o sea, de orden infinito en el caso de grupos cı́clicos). Vamos a probar que estos elementos generan un módulo libre, que quedará completamente descrito por su rango. En esta dirección definimos los conceptos siguientes: Definición 16.7 Sea A un dominio y M un A-módulo. Un elemento m de M es de torsión si existe un a ∈ A no nulo tal que am = 0. En el caso de que A sea un DIP, esto equivale a que el perı́odo de m no sea 0. Llamaremos submódulo de torsión de M al conjunto Mt de todos los elementos de torsión. Es inmediato comprobar que Mt es ciertamente un submódulo de M . Se dice que el módulo M es libre de torsión si Mt = 0. Los elementos de torsión son los elementos de orden no nulo y que podemos controlar con los teoremas anteriores. Para los módulos que no son de torsión tenemos lo siguiente: Teorema 16.8 Sea A un dominio euclı́deo y M un A-módulo finitamente generado. Entonces existe un submódulo M ′ de M de manera que M ′ es libre y M = M ′ ⊕ Mt . El rango de M ′ no depende de la descomposición y se llama rango de M . En particular M es libre si y sólo si es libre de torsión. Demostración: Por el teorema 16.1, sabemos que M es suma directa de submódulos monógenos, digamos que M = y1  ⊕ · · · ⊕ yn . Ordenando los generadores podemos suponer que los r primeros son elementos de torsión y los restantes no. Sean N = y1  ⊕ · · · ⊕ yr  y M ′ = yr+1  ⊕ · · · ⊕ yn . Entonces M = N ⊕ M ′. Es claro que {yr+1 , . . . , yn } es una base de M ′ , pues si ar+1 yr+1 + · · · + an yn = 0, como la suma es directa, ar+1 yr+1 = · · · = an yn = 0, y como los elementos yr+1 , . . . , yn no son de torsión, ar+1 = · · · = an = 0. Por lo tanto M ′ es un módulo libre. Como y1 , . . . , yr son elementos de torsión, tenemos que N ⊂ Mt . Recı́procamente, un elemento x ∈ Mt se expresará de la forma x = a1 y1 + · · · + an yn para ciertos a1 , . . . , an de A. Si b ∈ A, b = 0 y bx = 0, entonces ba1 y1 + · · · + ban yn = 0 y, como la suma es directa, ha de ser ba1 y1 = · · · = ban yn = 0. Como yr+1 , . . . , yn no son de torsión, bar+1 = · · · = ban = 0 y como A es un dominio ı́ntegro y b = 0, se cumple que ar+1 = · · · = an = 0, luego x = a1 y1 + · · · + ar yr ∈ N. Ası́ pues, N = Mt . 16.1. Los teoremas de estructura 285 Observemos que cualquiera que sea la descomposición M = M ′ ⊕ Mt , se cumple que M ′ ∼ = M/Mt , pues la aplicación f : M −→ M ′ que a cada m = m1 + m2 con m1 ∈ M ′ y m2 ∈ Mt le asigna f (m) = m1 es un epimorfismo de núcleo Mt . Por lo tanto M/Mt es libre y el rango de cualquier M ′ es el mismo que el de M/Mt . Finalmente vamos a clasificar la parte de torsión de un módulo. Si pensamos en grupos finitos la cuestión es saber cuántos tipos distintos de grupos abelianos hay de un orden dado. Por ejemplo de orden 12 sabemos que a lo sumo hay dos, a saber, C2 × C2 × C3 y C12 . Otras posibilidades como C4 × C3 las hemos descartado porque C4 × C3 ∼ = C12 . Sólo nos falta saber si en efecto los grupos C2 × C2 × C3 y C12 son no isomorfos. El teorema siguiente responde a esta pregunta. Teorema 16.9 Sea A un dominio euclı́deo y M un A-módulo finitamente generado. 1. Existen elementos x1 , . . . , xn ∈ M tales que Mt = x1  ⊕ · · · ⊕ xn  y para cada i = 1, . . . , n, o(xi ) = pei i , donde pi es un primo de A y ei es un número natural no nulo. 2. Existen elementos y1 , . . . , ym ∈ M tales que Mt = y1  ⊕ · · · ⊕ ym , y si llamamos bi = o(yi ), entonces para cada i = 1, . . . , m, se cumple que bi no es cero ni unidad y si i < m, entonces bi | bi+1 . 3. Los números n y m, los pei i para i = 1, . . . , n y los bi para i = 1, . . . , m están determinados por M salvo unidades, es decir, cualquier descomposición de M en la forma indicada en 1) o en 2) da lugar a los mismos n, m, etc. Los elementos pei i se llaman divisores elementales de M , los elementos bi se llaman factores invariantes de M . Demostración: Sabemos que Mt se descompone en suma directa de submódulos monógenos, cuyos generadores son elementos de torsión y podemos tomarlos no nulos, luego sus perı́odos serán elementos de A no nulos ni unidades. Descomponiéndolos en potencias de primos y aplicando el teorema 16.4 conseguimos una descomposición de tipo 1). Si ahora agrupamos los sumandos correspondientes a los divisores elementales de todas las bases posibles y los máximos exponentes obtenemos el último factor invariante, repitiendo con los sumandos restantes vamos obteniendo los factores invariantes anteriores. Por ejemplo, si nos dan el grupo abeliano C6 × C18 × C10 × C25 × C15 , la descomposición en divisores elementales es C2 × C3 × C2 × C9 × C2 × C5 × C25 × C3 × C5 . Ahora agrupamos las mayores potencias de primos, es decir, 2 × 9 × 25 y obtenemos un factor C450 . Los restantes son C3 × C2 × C2 × C5 × C3 × C5 . Ahora agrupamos 2 × 3 × 5 y obtenemos un factor C30 . Quedan C2 × C3 × C5 , que nos dan otro factor C30 . En total la descomposición tipo 2) es C30 × C30 × C450 . Es 286 Capı́tulo 16. Módulos finitamente generados claro que siempre es posible obtener una descomposición en factores invariantes a partir de una descomposición en factores elementales. Falta probar que sólo hay un resultado posible. Daremos la prueba en varios pasos. a) Sea Mt = y1  ⊕ · · · ⊕ ym  una descomposición tipo 2) y sea p un primo de A. Definimos Mi = yi  , Mi (p) = {r ∈ Mi | pr = 0} y M (p) = {r ∈ Mt | pr = 0}. Es obvio que todos ellos son submódulos de M . Vamos a probar que M (p) = M1 (p) ⊕ · · · ⊕ Mm (p). Como cada Mi (p) ⊂ Mi y la suma de los Mi es directa, es fácil ver que la suma de los Mi (p) también es directa, luego tenemos M1 (p) ⊕ · · · ⊕ Mm (p) ⊂ M (p). Si r ∈ M (p), entonces r = u1 y1 + · · · + um ym para ciertos u1 , . . . , um de A. Como pr = 0, tenemos que pu1 y1 + · · · + pum ym = 0 y, como la suma es directa, pu1 y1 = · · · = pum ym = 0, luego cada ui yi ∈ Mi (p). Ası́ pues M (p) = M1 (p) ⊕ · · · ⊕ Mm (p). b) El ideal (p) es maximal, luego A/(p) es un cuerpo y M (p) es un espacio vectorial sobre A/(p) con la operación externa dada por [u]r = ur. En efecto, lo único que hay que comprobar es que la operación está bien definida, es decir que si [u] = [v] entonces ur = vr, pero si [u] = [v], entonces p | (u − v), es decir, u − v = qp para cierto q ∈ A y (u − v)r = qpr = 0, luego ur = vr. A partir de aquı́ se prueban sin problemas las condiciones de espacio vectorial. La expresión M (p) = M1 (p)⊕· · ·⊕Mm (p) vale también como A/(p)-espacios vectoriales, pues los Mi (p) son claramente subespacios vectoriales y 0 se sigue expresando de forma única como suma de elementos de cada sumando.  0 si p ∤ o(yi ) c) dim Mi (p) = 1 si p | o(yi ) Si p ∤ o(yi ), entonces un r ∈ Mi (p) es de la forma r = uyi para un u ∈ A y pr = 0, luego puyi = 0 y o(yi ) | pu, luego o(yi ) | u, y ası́ r = uyi = 0, o sea, Mi (p) = 0. Si o(yi ) = pv, para un v ∈ A, entonces razonando igual que antes concluimos que o(yi ) | pu, luego v | u, digamos u = tv, con lo que r = tvyi . y por lo tanto Mi (p) = vyi  (es fácil ver que vyi ∈ Mi (p) y que es no nulo). d) Por lo tanto la dimensión de M (p) es igual al número de factores invariantes divisibles entre p. e) Si tenemos dos descomposiciones tipo 2), una en m sumandos y otra en m′ sumandos, tomamos un primo que divida al primer factor invariante de la primera descomposición (y que por lo tanto divide a los m factores invariantes). Ahora bien, la definición de M (p) no depende de la descomposición de tipo 2) escogida, luego su dimensión como A/(p)-espacio vectorial es igual al número de factores invariantes de la primera descomposición divisibles entre p (o sea, igual a m) y por otra parte es el número de factores invariantes de la segunda 287 16.1. Los teoremas de estructura descomposición divisibles entre p (o sea, ≤ m′ ). Esto prueba que m ≤ m′ , e igualmente se prueba m′ ≤ m, luego tenemos que dos descomposiciones tipo 2) han de tener el mismo número de sumandos, es decir, que el número de factores invariantes es invariante. Más aún, hemos probado que todo primo que divide al primer factor invariante de una descomposición, divide al primer factor invariante de cualquier otra descomposición. f) En una descomposición de tipo 2), el último factor invariante bm es múltiplo de todos los anteriores, luego anula a todos los generadores de Mt , y por lo tanto a todos los elementos de Mt , es decir, bm r = 0 para todo r ∈ Mt . El conjunto {u ∈ A | ur = 0 para todo r ∈ Mt } es claramente un ideal de A al cual pertenece bm . Recı́procamente, si u está en este ideal, entonces uym = 0, luego bm | u. Por lo tanto {u ∈ A | ur = 0 para todo r ∈ Mt } = (bm ). De aquı́ se desprende que dos descomposiciones tipo 2) deben tener igual (salvo unidades) el último factor invariante. g) Vamos a probar la unicidad de los factores invariantes por inducción sobre el número de factores primos en que se descompone el último factor invariante de M (que ya sabemos que es invariante). Sean dos descomposiciones tipo 2: Mt = y1  ⊕ · · · ⊕ ym  y Mt = z1  ⊕ · · · ⊕ zm  , la primera con factores invariantes b1 , . . . , bm y la segunda con factores invariantes c1 , . . . , cm . Ya sabemos que bm = cm . Si bm se descompone en un solo primo, entonces bm es primo, y como los restantes factores invariantes son divisores suyos, son todos salvo unidades ese mismo primo, es decir, todos los bi y los ci son iguales, luego tenemos la unicidad. Supongamos que la unicidad se cumple para módulos cuyo último factor invariante se descomponga en n factores primos y que bm se descompone en n + 1 primos. En e) hemos probado que b1 y c1 son divisibles entre los mismos primos. Sea p un primo que divida a ambos (luego divide a todos los bi y a todos los ci ). Sea pM = {pr | r ∈ Mt }. Es claro que pM es un submódulo de M y además pM = py1  ⊕ · · · ⊕ pym  = pz1  ⊕ · · · ⊕ pzm  . También es obvio que o(pyi ) = bi /p y o(pzi ) = ci /p. Puede ocurrir que los primeros bi sean iguales a p, con lo que los primeros sumandos de estas descomposiciones serı́an nulos. Si en ambas descomposiciones eliminamos los primeros sumandos si son nulos, obtenemos dos descomposiciones tipo 2) del módulo pM , donde el último factor invariante es bm /p, luego podemos aplicar la hipótesis de inducción y concluir que el número de sumandos nulos el igual para las dos descomposiciones, y que las restantes tienen los mismos factores invariantes (salvo unidades), es decir, el número de bi ’s iguales a p es el mismo que el de ci ’s, y para los restantes, bi /p = ci /p (salvo unidades). Esto implica la igualdad (salvo unidades) de los bi ’s y los ci ’s. 288 Capı́tulo 16. Módulos finitamente generados h) La unicidad de los divisores elementales se deduce de la de los factores invariantes, pues es fácil ver que a partir de dos descomposiciones distintas de tipo 1) se pueden conseguir dos descomposiciones distintas de tipo 2). El teorema siguiente resume la situación de la forma más clara: Teorema 16.10 Sea A un dominio euclı́deo y M , N dos A-módulos finitamente generados. Entonces M ∼ = N si y sólo si M y N tienen el mismo rango y los mismos factores invariantes (o el mismo rango y los mismos divisores elementales). Demostración: Una implicación es obvia. Supongamos que M y N tienen el mismo rango y los mismos factores invariantes o divisores elementales. Entonces existen descomposiciones M = M ′ ⊕ x1  ⊕ · · · ⊕ xm  N = N ′ ⊕ y1  ⊕ · · · ⊕ ym  , donde M ′ y N ′ son módulos libres del mismo rango y o(xi ) = o(yi ) para i = 1, . . . , m. Es claro que la aplicación fi : A −→ xi  dada por fi (u) = uxi es un epimorfismo de A-módulos cuyo núcleo es o(xi ) , luego xi  ∼ = A/ o(xi ) y lo mismo vale para los sumandos yi , luego xi  ∼ = yi  para i = 1, . . . , m. Por otra parte M ′ ∼ = N ′ porque son dos módulos libres del mismo rango. A partir de un isomorfismo entre cada sumando directo podemos construir un isomorfismo entre las dos sumas, es decir, M ∼ = N. Ahora ya podemos concluir que C2 × C2 × C3 y C12 son no isomorfos, pues los divisores elementales del primero son (2, 2, 3), y los del segundo son (4, 3). Alternativamente, los factores invariantes del primero son (2, 6) y los del segundo son (12). Un hecho importante que hemos obtenido en esta prueba es que en un grupo abeliano finito G existe un elemento cuyo orden es múltiplo del orden de todos los demás elementos de G, concretamente, un elementos cuyo orden sea el último factor invariante. En general, al mı́nimo común múltiplo de los órdenes de los elementos de un grupo finito G se le llama exponente de G (y es siempre un divisor de |G|). Lo que hemos probado es que en un grupo abeliano finito, el exponente es el último factor invariante y por lo tanto es el orden de un elemento de G, cosa que en general no es cierta. Por ejemplo el grupo Σ3 tiene elementos de orden 2 y 3, luego su exponente es 6, pero no tiene elementos de orden 6. Esta observación sobre el exponente nos proporciona una prueba alternativa del teorema 9.12: Si G es un subgrupo finito del grupo multiplicativo de un dominio ı́ntegro D, sea n el exponente de G. Entonces todo elemento de G es raı́z del polinomio xn − 1, luego G tiene a lo sumo n elementos, y como hay un elemento de orden n, concluimos que G es cı́clico. Ejercicio: Probar que un grupo abeliano finito posee subgrupos de todos los órdenes que dividen al orden del grupo. 289 16.2. La estructura de los grupos de unidades Ejercicio: Probar que si G es un grupo abeliano finito y p es un primo que divide al orden de G, entonces G tiene un elemento de orden p. 16.2 La estructura de los grupos de unidades Seguidamente vamos a obtener la estructura de unos grupos abelianos importantes, los grupos Un de las unidades de los anillos Z/nZ, que según sabemos son los grupos de Galois de los cuerpos ciclotómicos. Es importante notar que aquı́ no vamos a necesitar los teoremas de estructura que acabamos de probar. No necesitamos teoremas generales para obtener la estructura de grupos particulares. Lo que estos teoremas garantizan es que los resultados que vamos a obtener sobre grupos de unidades tienen análogos en cualquier grupo abeliano finito. En el apéndice A se encuentra una aplicación interesante de los teoremas de estructura a la teorı́a de cuerpos. El hecho más elemental es que si p es un primo el grupo Up consta de todas las clases no nulas de Z/pZ y es cı́clico. Lo probamos esencialmente en 5.13, aunque más en general tenemos el resultado de 9.12, según el cual todo subgrupo finito del grupo multiplicativo de un dominio ı́ntegro es cı́clico. Los teoremas de estructura nos dan una prueba más elegante de este mismo hecho: si G es un subgrupo finito del grupo multiplicativo de un cuerpo K y su exponente es m, entonces el polinomio xm −1 tiene tantas raı́ces como elementos tiene G, luego |G| ≤ m, y la otra desigualdad es obvia, pues G es abeliano y tiene un elemento g de orden m. Por lo tanto |G| = m y G = g. Recordemos que las raı́ces primitivas de la unidad de Z/pZ, es decir, los generadores de Up , se llaman raı́ces primitivas módulo p. Consideremos ahora los grupos Upe , donde p es primo. Teorema 16.11 Sea p un primo impar y e ≥ 2. Entonces el grupo Upe es cı́clico y un generador es [r(p + 1)], donde r es una cierta raı́z primitiva módulo p (elegida adecuadamente). Demostración: Puesto que el orden de Upe es φ(pe ) = pe−1 (p − 1), basta probar que [r] tiene orden p − 1 y [p + 1] tiene orden pe−1 . Sea s una raı́z primitiva módulo p cualquiera. Entonces definimos e−1 r = sp ≡ s (mód p), con lo que r también es una raı́z primitiva módulo p. Además e−1 [r]p−1 = [s]p (p−1) = [1], pues el orden de cualquier elemento divide al orden del grupo. Si [r]m = [1], entonces pe | rm − 1, luego p | rm − 1, luego p − 1 | m (pues r tiene orden p − 1 módulo p). Esto prueba que el orden de [r] es p − 1. 290 Capı́tulo 16. Módulos finitamente generados e−2 Veamos por inducción sobre e ≥ 2 que (1 + p)p ≡ 1 + kpe−1 (mód pe ), para un cierto k (dependiente de e) tal que k ≡ 0 (mód p). Para e = 2 se cumple con k = 1. e−2 Supuesto cierto para e, tenemos (1 + p)p = 1 + kpe−1 + ape = 1 + tpe−1 , donde t = k + ap ≡ 0 (mód p). Entonces (1 + p)p e−1 = (1 + tpe−1 )p = 1 + ptpe−1 + · · · + tp pp(e−1) . Como p > 2 y e ≥ 2, esta expresión es de la forma 1 + tpe + bpe+1 , luego e−1 (1 + p)p ≡ 1 + tpe (mód pe+1 ), con t ≡ 0 (mód p). e−1 Por lo tanto al tomar clases módulo pe resulta [1 + p]p = [1], luego el orden de la clase [1 + p] ha de ser un divisor de pe−1 . Si el orden fuera menor e−2 = [1], o sea, [kpe−1 ] = [0], luego que pe−1 , entonces tendrı́amos que [1 + p]p p | k, contradicción. Por lo tanto el orden de [1 + p] es exactamente pe−1 . El teorema anterior no es válido para p = 2. Obviamente U2 = 1 y U4 ∼ = C2 . Para potencias mayores la situación es la siguiente: Teorema 16.12 Si e ≥ 3, entonces U2e ∼ = C2 ×C2e−2 . Un generador del primer factor es [−1] y un generador del segundo es [5], es decir, todo elemento de U2e se expresa de forma única como ±[5]j , donde j = 0, . . . , 2e−2 − 1. El orden de U2e es 2e−1 . Claramente [−1] tiene orden 2. Una simple inducción muestra que para e ≥ 3 52 de donde [5]2 e−3 e−3 = (1 + 22 )2 e−3 ≡ 1 + 2e−1 (mod 2e ), = [1], mientras que 52 e−2 ≡ (1 + 2e−1 )2 ≡ 1 (mod 2e ), luego el orden de [5] es 2e−2 . Por otra parte [−1] no es una potencia de [5], ya que si se cumpliera 2e | 5r +1 para algún r, entonces 4 | 5r + 1, pero módulo 4 es [5]r = [1]r = [1] = [−1]. ! ! De este modo, los subgrupos [−1] intersección trivial, luego ! y [5] ! tienene−1 su suma es directa. Ası́ pues, [−1] × [5] tiene 2 elementos y por consiguiente es todo el grupo U2e . Para completar la clasificación de los grupos de unidades recordamos un hecho que ya usamos en el capı́tulo V para probar que la función de Euler es multiplicativa (y que es consecuencia inmediata del teorema 5.10): Teorema 16.13 Si m y n son primos entre sı́, entonces Umn ∼ = Um × Un . Con esto conocemos la estructura de todos los grupos de unidades. Por ejemplo U300 ∼ = C2 × C2 × C20 . = U4 × U3 × U25 ∼ Como aplicación vamos a usar esta información para determinar los restos cuadráticos módulo enteros arbitrarios, no necesariamente primos. 16.2. La estructura de los grupos de unidades 291 Teorema 16.14 Sea p un primo impar y e ≥ 2. Entonces un entero m es un resto cuadrático módulo pe si y sólo si es un resto cuadrático módulo p. Demostración: Una implicación es obvia. Supongamos que m es un resto cuadrático módulo p. Por definición m es una unidad módulo pe , luego por el teorema 16.11 se cumple que m ≡ ri (1 + p)i (mód pe ), donde r es una cierta raı́z primitiva módulo p. Tomando clases módulo p queda [m] = [r]i . Como [m] es un resto cuadrático módulo p existe un entero s tal que [r]i = [s]2 . Como r es una raı́z primitiva, existe un entero j tal que [s] = [r]j , luego [r]i = [r]2j , de donde resulta que i ≡ 2j (mód p − 1), por lo que i es par, i = 2k. Ası́ m ≡ r2k (1 + p)2k ≡ (rk (1 + p)k )2 (mód pe ), es decir, m es un resto cuadrático módulo pe . La situación para p = 2 es, como siempre, distinta. Teorema 16.15 Un entero impar m es un resto cuadrático módulo 4 si y sólo si m ≡ 1 (mód 4), y es un resto cuadrático módulo 2e con e ≥ 3 si y sólo si m ≡ 1 (mód 8). Demostración: El caso e = 2 es claro. Si e ≥ 3, entonces por el teorema 16.12, m ≡ ±5i (mód 2e ). Si m es un resto cuadrático, entonces m ≡ r2 (mód 2e ) para cierto entero r, que también será de la forma r ≡ ±5j (mód 2e ), luego r2 ≡ 52j (mód 2e ), y por lo tanto ±5i ≡ 52j (mód 2e ). La unicidad de la expresión exige que el signo sea positivo y que i = 2j (si tomamos los exponentes reducidos módulo 2e−2 ). Por lo tanto m ≡ 52j (mód 2e ) ≡ 25j (mód 8) ≡ 1 (mód 8). Recı́procamente, si m ≡ 1 (mód 8), entonces ±5i ≡ 1 (mód 8), y como se cumple que 52 ≡ 1 (mód 8), las potencias de 5 sólo son congruentes con 1 y con 5 módulo 8, luego el signo ha de ser positivo e i ha de ser par, i = 2j. Entonces m ≡ (5j )2 (mód 2e ), luego es un resto cuadrático. El resultado siguiente es consecuencia inmediata del isomorfismo definido en el teorema 5.10 y de los teoremas anteriores. Teorema 16.16 Sea m = pe11 · · · perr , donde p1 , . . . , pr son primos distintos. Entonces un entero n es un resto cuadrático módulo m si y sólo si es un resto cuadrático módulo pei i para i = 1, . . . , r. Si m es impar esto equivale a que n sea un resto cuadrático módulo pi para i = 1, . . . , r. Ahora queda claro lo que dijimos en el capı́tulo XIV sobre que el hecho de que un sı́mbolo de Jacobi (m/n) valga 1 no implica que m sea un resto cuadrático módulo n, pues (2/15) = (2/3)(2/5) = (−1)(−1) = 1, pero precisamente porque (2/3) = (2/5) = −1, tenemos que 2 no es un resto cuadrático módulo 15. Capı́tulo XVII Resolución de ecuaciones por radicales En el capı́tulo V (teorema 5.20) vimos que las soluciones de una ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0 con coeficientes a, b y c en un cuerpo de caracterı́stica distinta de 2 pueden obtenerse mediante la fórmula √ −b ± b2 − 4ac , x= 2a √ donde b2 − 4ac representa a una raı́z cuadrada del elemento b2 − 4ac, es decir, un elemento cuyo cuadrado es b2 − 4ac. Esta fórmula es conocida desde la antigüedad, mientras que una fórmula similar que permita resolver ecuaciones polinómicas de tercer grado no fue hallada hasta el siglo XVI, por el matemático Cardano (si bien Tartaglia afirmaba que fue él quien la encontró y se la comunicó a Cardano bajo palabra de no revelarla). La fórmula de Cardano es demasiado complicada para que resulte de utilidad práctica, por lo que no vamos a demostrarla. No obstante es instructivo conocer su aspecto: Dada una ecuación cúbica ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a = 0, una de sus raı́ces tiene la forma x = u + v, donde 2 3 3 q p3 p q2 u= − + + y v=− (en el supuesto de que u = 0.) 2 4 27 3u a su vez 3ac − b2 2b3 − 9abc + 27a2 d y q= . 2 3a 27a3 Las dos soluciones restantes se obtienen cambiando la elección de la raı́z cúbica que define a u. En caso de que u = 0, los valores de v se obtienen mediante otra expresión del mismo estilo. p= 293 294 Capı́tulo 17. Resolución de ecuaciones por radicales Vemos, pues, que las soluciones de la ecuación ax3 + bx2 + cx + d = 0 pueden obtenerse a partir de los coeficientes a, b, c y d mediante fórmulas consistentes en sumas, restas, productos, cocientes y extracción de raı́ces. Posteriormente el matemático Ferrari obtuvo la solución (todavı́a más compleja) de las ecuaciones polinómicas de grado 4, o sea, obtuvo una expresión similar de las raı́ces de una ecuación polinómica de grado 4 en función de sus coeficientes. Con esto quedaba planteado el problema de resolver la ecuación general de grado n, es decir, la ecuación an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0. Se entiende que resolver la ecuación de grado n significa encontrar una fórmula que exprese sus raı́ces en términos de sumas, restas, productos, cocientes y extracción de raı́ces a partir de sus coeficientes a0 , . . . , an . Sin embargo en este capı́tulo probaremos que el teorema de Ferrari es el mejor resultado posible en este terreno, que no existe tal fórmula para polinomios de grado ≥ 5. 17.1 Extensiones radicales El primer paso en el problema que hemos planteado es dar una definición algebraica precisa del concepto de ‘expresabilidad mediante raı́ces’. Definición 17.1 Una extensión de cuerpos K/k es radical si existen elementos a1 , . . . , an en K tales que K = k(a1 , . . . , an ) y existen naturales no nulos r1 , . . . , rn de manera que ar11 ∈ k y ari i ∈ k(a1 , . . . , ai−1 ), para i = 2, . . . , n. Ası́, los elementos de k(a1 ) son polinomios en a1 con coeficientes en k y a1 es una raı́z r1 -ésima de un elemento de k, los elementos de k(a1 , a2 ) son polinomios en a2 con coeficientes en k(a1 ) y a2 es una raı́z r2 -ésima de un elemento de k(a1 ). En general todos los elementos de K se pueden obtener a partir de los de k mediante sumas, productos, cocientes y extracción de raı́ces. Recı́procamente, si un elemento a admite una expresión de este tipo a partir de ciertos elementos de k, es claro que a está contenido en una extensión radical de k. Por lo tanto, si p(x) es un polinomio no constante con coeficientes en un cuerpo k, diremos que la ecuación p(x) = 0 es resoluble por radicales si existe una extensión radical K/k tal que p(x) se escinde en K. Esto equivale a que las raı́ces de p(x) se puedan expresar mediante sumas, productos, cocientes y raı́ces a partir de los elementos de k. Ejemplo Consideremos la ecuación x10 −5x5 +5 = 0. Sus diez raı́ces cumplen 2 √ √ 5 5 5 ± 5 5 ± 5 x = , luego x= . 2 2 295 17.1. Extensiones radicales Esta fórmula prueba que la ecuación es resoluble por radicales. Para expresarlo en términos de la definición que hemos dado consideramos los cuerpos √ √ √ √ Q ⊂ Q 5 ⊂ Q 5, ω ⊂ Q 5, ω, α ⊂ Q 5, ω, α, β = K, donde ω es una raı́z quinta primitiva de la unidad, y α, β son 2 2 √ √ 5 5 5 5 + 5 5 − α= , β= 2 2 (las raı́ces quintas se eligen arbitrariamente). En estos términos, las raı́ces de la ecuación son ω i α y ω i β, para i = 1, . . . , 5, luego todas ellas están en K, y también es claro que K/Q es una extensión radical. El teorema siguiente justifica que podemos limitarnos a trabajar con extensiones radicales de Galois. Ante todo, notar que ciertamente toda extensión radical es finita. Teorema 17.2 Sea k un cuerpo de caracterı́stica 0 y K/k una extensión radical. Sea N la clausura normal de K sobre k. Entonces la extensión N/k es radical (y de Galois). Demostración: Sea K = k(a1 , . . . , an ) según la definición 17.1. Llamemos pi (x) = pol mı́n(ai , k). Los polinomios pi (x) se escinden en N y N es la adjunción a k de sus raı́ces (pues esta extensión es normal y contiene a K, y N es la mı́nima extensión que cumple esto). Si v es una raı́z en N de pi (x), entonces ai y v son conjugados, luego existe un σ ∈ G(N/k) tal que σ(ai ) = v. Entonces σ[K] es un cuerpo k-isomorfo a K que contiene a v. De aquı́ se sigue que existen cuerpos K1 , . . . , Kr todos ellos k-isomorfos a K y tales que N = K1 · · · Kr . Es obvio que las extensiones Ki /k son todas radicales, luego existen elementos ai1 , . . . , ain de manera que Ki = k(ai1 , . . . , ain ) y se cumpla la definición de extensión radical. Es fácil ver que tomando N = k(a11 , . . . , a1n , . . . , ar1 , . . . , arn ) se cumple la definición de extensión radical. Por lo tanto una ecuación es resoluble por radicales si y sólo si su cuerpo de escisión está contenido en una extensión radical de Galois. Si K = k(a1 , . . . , an ) es una extensión radical, podemos considerar la cadena de cuerpos intermedios Ki = k(a1 , . . . , ai ), de manera que k = k0 ⊂ k1 ⊂ k2 ⊂ · · · ⊂ kn = K, y cada extensión intermedia es de la forma Ki = Ki−1 (ai ), con ari i ∈ Ki−1 . (17.1) Si además la extensión es de Galois podemos considerar los grupos asociados Gi = G(K/Ki ), que forman una cadena 1 = Gn ≤ Gn−1 ≤ · · · ≤ G1 ≤ G(K/k). (17.2) 296 Capı́tulo 17. Resolución de ecuaciones por radicales Ahora la clave es que vamos a probar que, salvo una restricción técnica, la condición (17.1) equivale a que Gi
Gi−1 y Gi−1 /Gi es cı́clico. (17.3) De este modo, tendremos que una extensión finita de Galois K/k es radical si y sólo si el grupo G(K/k) tiene una sucesión de subgrupos (17.2) que cumplan (17.3). Esta caracterización algebraica es fácil de comprobar si se conoce el grupo de Galois y, como veremos, nos permitirá resolver el problema que nos hemos planteado. Teorema 17.3 Sea K/k una extensión de cuerpos, n un número natural no nulo y ω ∈ k una raı́z n-sima primitiva de la unidad. Las afirmaciones siguientes son equivalentes: 1. K/k es una extensión cı́clica de grado d | n. 2. K es el cuerpo de escisión sobre k de un polinomio de la forma xd − a irreducible en k[x], y si u es una raı́z en K de dicho polinomio, entonces K = k(u). 3. K = k(u) para un cierto u tal que un ∈ k. Demostración: 1) → 2) Sea G(K/k) = σ y η = ω n/d ∈ k, raı́z d-ésima primitiva de la unidad. Por el teorema 15.2 existe un w ∈ K tal que v= d−1  η i σ i (w) = 0. i=0 d−1 Entonces ησ(v) = η i=0 η i σ i+1 (w) = u = v −1 tenemos que σ(u) = ηu. d−1 i=0 η i+1 σ i+1 (w) = v. Llamando En general, σ i (u) = η i u, luego los elementos η i u para i = 0, . . . , d − 1 son k-conjugados. Además σ(ud ) = σ(u)d = η d ud = ud , luego a = ud es fijado por el grupo de Galois y está, por consiguiente, en k. El polinomio xd − a ∈ k[x] tiene por raı́ces a todos los η i u para i = 1, . . . , d − 1, luego son todas sus raı́ces, es decir, se escinde en K[x]. Además, como son k-conjugadas, xd − a es irreducible en k[x]. Si adjuntamos a k cualquiera de las raı́ces de xd − a obtenemos una extensión de grado d, pero |K : k| = d, luego obtenemos K. 2) → 3) Sea u una raı́z de xd − a en K. Por hipótesis K = k(u). Además u = (ud )n/d = an/d ∈ k. n 3) → 1) Sea b = un . Es claro que el polinomio p(x) = xn − b ∈ k[x] tiene n raı́ces distintas en K, a saber: ω i u, para i = 1, . . . , n. Por lo tanto p(x) se escinde en K y sus raı́ces son separables. Concluimos que K/k es una extensión finita de Galois. Para cada σ ∈ G(K/k), el elemento σ(u) ha de ser otra raı́z de p(x), luego existe un entero i determinado módulo n tal que σ(u) = ω i u. Consideremos la aplicación f : G(K/k) −→ Z/nZ dada por f (σ) = [i]. 17.2. Grupos resolubles 297 Se trata de un homomorfismo de grupos, pues si σ(u) = ω i v y τ (u) = ω j v, entonces τ σ(u) = ω j ω i (u), luego f (στ ) = f (σ) + f (τ ). También es fácil ver que se trata de un monomorfismo, luego G(K/k) es isomorfo a un subgrupo de Z/nZ, luego cı́clico de orden divisor de n. Observemos que si en 2) queremos obtener el elemento u que cumple a = ud ∈ k y K = k(u), simplemente hemos de buscar un u que cumpla σ(u) = ηu, donde σ es un generador del grupo de Galois y η una raı́z d-ésima primitiva de la unidad en k. Ahora vemos la restricción técnica de la que hablábamos antes y que nos impide pasar directamente de (17.1) a (17.3) y viceversa. Para sortear este obstáculo necesitaremos algo de teorı́a de grupos. 17.2 Grupos resolubles Las consideraciones de la sección anterior llevan de forma natural a la definición siguiente: Definición 17.4 Un grupo finito G es resoluble si existe una sucesión de subgrupos de G 1 = G 0
G1
· · ·
Gn = G (17.4) tal que cada cociente Gi+1 /Gi sea un grupo abeliano. En general, una sucesión de subgrupos (17.4) se llama una serie de G. Los subgrupos Gi se llaman términos de la serie y los cocientes Gi+1 /Gi se llaman factores de la serie. Una serie es abeliana, cı́clica, etc. si todos sus factores son grupos abelianos, cı́clicos, etc. En estos términos, un grupo es resoluble si tiene una serie abeliana. El nombre de ‘resoluble’ se debe a que, según veremos, un polinomio es resoluble por radicales si y sólo si su grupo de Galois es resoluble. Según lo dicho en la sección anterior, quizá el lector piense que deberı́amos haber definido un grupo resoluble como un grupo con una serie cı́clica. Sucede que es equivalente —después lo probaremos—, pero la definición que hemos dado resulta ser más manejable. Ejercicio: Admitiendo que un grupo es resoluble si y sólo si tiene una serie cı́clica, probar que si K/k es una extensión de Galois de grado n y k contiene una raı́z n-sima primitiva de la unidad, entonces K/k es radical si y sólo si G(K/k) es resoluble. Es inmediato que todo grupo abeliano G es resoluble, pues 1
G es ya una serie abeliana de G. Sin embargo hay grupos resolubles que no son abelianos. Por ejemplo una serie abeliana de Σ3 viene dada por 1
A3
Σ3 . Los factores son A3 /1 ∼ = C3 y Σ3 /A3 ∼ = C2 . Una serie abeliana de Σ4 es 1
V4
A4
S4 . Ahora V4 /1 ∼ = C2 × C2, A4 /V4 ∼ = C2 (téngase en cuenta que un grupo de orden primo ha = C3 y Σ4 /A4 ∼ de ser cı́clico). 298 Capı́tulo 17. Resolución de ecuaciones por radicales Más adelante veremos ejemplos de grupos no resolubles. Informalmente podemos decir que la mayorı́a de los grupos finitos son resolubles. El menor grupo no resoluble tiene 60 elementos y es el único grupo no resoluble de orden menor que 120. Una de las razones por las que la mayorı́a de los grupos son resolubles es que la resolubilidad se conserva por la mayorı́a de las operaciones que pueden realizarse con grupos. El teorema siguiente da cuenta de ello. Al mismo tiempo, las propiedades que vamos a ver son las que nos permitirán esquivar las raı́ces de la unidad en la caracterización de las extensiones radicales. Teorema 17.5 Se cumple: 1. Si G es un grupo resoluble y H ≤ G, entonces H es resoluble. 2. Si G es un grupo resoluble y N
G, entonces G/N es resoluble. 3. Si G es un grupo y N es un subgrupo normal de G tal que N y G/N son resolubles, entonces G es resoluble. 4. Si H y K son subgrupos resolubles de un grupo G y H
G, entonces HK es resoluble. En particular el producto directo de grupos resolubles es resoluble. Demostración: 1) Sea 1 = G0
G1
· · ·
Gn = G una serie abeliana de G. Entonces 1 = G0 ∩ H
G 1 ∩ H
· · ·
G n ∩ H = H es una serie abeliana de H, pues, por el segundo teorema de isomorfı́a, 4 4 (Gi+1 ∩ H) (Gi ∩ H) = (Gi+1 ∩ H) Gi ∩ (Gi+1 ∩ H) 4 ∼ = Gi (Gi+1 ∩ H) Gi ≤ Gi+1 /Gi , y como el último grupo es abeliano, el primero también lo es. Por lo tanto H es resoluble. 2) Si 1 = G0
G1
· · ·
Gn = G es una serie abeliana de G entonces 1 = G0 N/N
G1 N/N
· · ·
Gn N/N = G/N es una serie abeliana de G/N , pues por los teoremas de isomorfı́a 4 4 4  Gi+1 N/N ) (Gi N/N ) ∼ = Gi+1 N Gi N = Gi+1 (Gi N ) Gi N 4 ∼ = Gi+1 (Gi+1 ∩ Gi N ) 4 ∼ = (Gi+1 /Gi ) (Gi+1 ∩ Gi N )/Gi , 299 17.2. Grupos resolubles y el último grupo es un cociente del grupo abeliano Gi+1 /Gi . Por lo tanto G/N es resoluble. 3) Sean 1 = No
N1
· · ·
Nn = N y 1 = Ho /N
H1 /N
· · ·
Hm /N = G/N series abelianas de N y G/N respectivamente. Entonces una serie abeliana de G es claramente 1 = N0
N1
· · ·
Nn = H0
H1
· · ·
Hm = G. 4) Por el teorema de isomorfı́a, HK/H ∼ = K/(H ∩ K), que es resoluble por ser cociente de K. Como H también es resoluble, por el apartado anterior HK también lo es. Ahora ya podemos probar que, como anticipábamos, los grupos resolubles tienen series cı́clicas. La idea es tomar series lo más largas posibles. Diremos que una serie de un grupo es estricta si cada término es un subgrupo estricto del siguiente, es decir, si ningún factor es trivial. Dado un grupo no trivial G, la serie estricta 1 ⊳ G puede extenderse hasta llegar a una serie estricta 1 = G0 ⊳ G1 ⊳ · · · ⊳ Gn = G en la que ya no sea posible insertar más términos. No es posible insertar términos indefinidamente porque el producto de los órdenes de los factores de una serie es igual al orden de G, luego el número de factores nunca puede superar el orden de G. El hecho de que entre dos términos Gi ⊳ Gi+1 no sea posible insertar ningún subgrupo, o sea, que no haya subgrupos H tales que Gi ⊳ H ⊳ Gi+1 , equivale, según el teorema 9.27, a que ningún factor Gi+1 /Gi posea subgrupos normales 1 ⊳ H/Gi ⊳ Gi+1 /Gi . Un grupo no trivial G que no posea subgrupos normales propios es un grupo simple. Acabamos de probar que todo grupo no trivial posee una serie estricta cuyos factores son simples. Por el tercer teorema de isomorfı́a cualquier factor de cualquier serie de un grupo resoluble es resoluble, luego un grupo resoluble tiene una serie estricta formada por grupos simples y resolubles a la vez. Ahora bien: Teorema 17.6 Un grupo finito es simple y resoluble si y sólo si es cı́clico de orden primo. Demostración: Un grupo cı́clico de orden primo no tiene subgrupos propios, luego es simple, y es abeliano, luego es resoluble. Si un grupo G es simple y resoluble su única serie es 1 ⊳ G, luego ha de ser una serie abeliana, pero entonces G es abeliano. Como todos los subgrupos de un grupo abeliano son normales sólo puede ser simple si no tiene subgrupos. 300 Capı́tulo 17. Resolución de ecuaciones por radicales Por definición de grupo simple G no es trivial, luego existe un g ∈ G no trivial. Entonces g = 1, y como G no tiene subgrupos propios, G = g, o sea, G es cı́clico. Pero un grupo cı́clico posee subgrupos para todos los divisores del orden del grupo, luego el orden de G ha de ser un número primo. Consecuentemente hemos probado: Teorema 17.7 Si G es un grupo resoluble, entonces G tiene una serie cuyos factores son grupos cı́clicos de orden primo. Con esto ya podemos caracterizar las extensiones radicales, pero todavı́a necesitaremos un hecho más para demostrar que la ecuación general de grado n no es resoluble por radicales cuando n ≥ 5. La causa reside fundamentalmente en el teorema que probamos a continuación: Teorema 17.8 Si n ≥ 5 entonces el grupo alternado An es un grupo simple y no abeliano. En particular An y Σn no son resolubles. Demostración: Dividimos la prueba en varios pasos: 1) An está generado por los ciclos de longitud 3. Consideremos un producto de dos trasposiciones. Ha de ser de la forma (a, b)(c, d) o bien de la forma (a, b)(a, c). En el primer caso (a, b)(c, d) = (a, b, c)(c, a, d). En el segundo (a, b)(a, c) = (a, b, c). Todo elemento de An se puede expresar como producto de un número par de trasposiciones, y cada par de trasposiciones se puede sustituir por un producto de ciclos de longitud 3, luego toda permutación de An se expresa como producto de ciclos de longitud 3. 2) Si un subgrupo N
An contiene un ciclo de longitud 3, entonces N = An . En efecto, sea (a, b, c) ∈ N . Si σ es cualquier otro ciclo de longitud 3, por el teorema 9.18 existe una permutación τ ∈ Σn tal que (a, b, c)τ = σ. Si τ ∈ An entonces σ = (a, b, c)τ ∈ N τ = N . Si τ es impar, (a, b, c) = (c, b, a)−1 = (c, b, a)(a,c) , y σ = (c, b, a)(a,c)τ , donde ahora la permutación (a, c)τ es par y, como (c, b, a) = (a, b, c)−1 ∈ N , concluimos igualmente que σ ∈ N . Por lo tanto N contiene a todos los ciclos de longitud 3, que generan An , luego N = An . 3) A5 es simple. Si N
A5 y N = 1, un elemento de N ha de ser de la forma (a, b, c), (a, b, c, d, e) o bien (a, b)(c, d). Si N contiene un elemento de la forma (a, b, c) ya hemos visto que N = A5 . Si N contiene un elemento de la forma (a, b, c, d, e), entonces (a, b, c, d, e)(a, b, c, d, e)(a,b)(d,e) = (a, b, c, d, e)(b, a, c, e, d) = (b, e, c) ∈ N, 17.2. Grupos resolubles 301 luego también N = A5 . Si N contiene un elemento de la forma (a, b)(c, d), sea e distinto de a, b, c, d. Entonces  (a,b,e) (a, b)(c, d) (a, b)(c, d) = (a, b)(c, d)(b, e)(c, d) = (a, e, b) ∈ N, luego también N = A5 . Por lo tanto A5 es simple. 4) Finalmente probamos que An+1 es simple suponiendo que lo es An . Sea N
An+1 y N = 1. Notemos que una permutación como (1, 2, 3) puede considerarse como permutación de A3 o de A4 , etc. Con precisión, podemos identificar An con el conjunto de las permutaciones de An+1 que dejan fijo a n + 1. Ası́ An ≤ An+1 . Tenemos que N ∩ An
An , y por hipótesis de inducción es simple, luego N ∩ An = 1 o bien N ∩ An = An . Si se da el segundo caso, entonces N contiene todos los ciclos de longitud 3 de An , luego N = An+1 . Veamos que no puede ocurrir N ∩ An = 1. En tal caso sea σ ∈ N , σ = 1. Sea j = σ(n + 1) = n + 1. La permutación σ no puede ser una trasposición porque serı́a impar. Tampoco puede ser un ciclo de longitud 3 porque entonces N = An+1 . En consecuencia podemos encontrar ı́ndices k = l distintos de j y de n + 1 tales que σ(k) = l (en la expresión de σ como producto de ciclos disjuntos aparecerán al menos 4 ı́ndices). Sea τ = σ (n+1,j)(k,l,u,v) , donde u y v son elementos distintos de los anteriores (estamos en el caso en que n ≥ 6). Como hemos conjugado por una permutación par, tenemos que στ ∈ N . Como σ(n + 1) = j, se cumple que τ (j) = n + 1 y como σ(k) = l, también τ (l) = u. Por lo tanto (στ )(n + 1) = n + 1, mientras que (στ )(k) = u, luego στ = 1, pero στ ∈ N ∩ An , contradicción. El hecho de que An es no abeliano para n ≥ 5 es consecuencia inmediata de que An contiene a A4 , que es un grupo no abeliano: (1, 2, 3)(1, 2) = (2, 3), (1, 2)(1, 2, 3) = (1, 3). Puede probarse que A5 es el menor grupo simple no abeliano y también el menor grupo no resoluble. También hemos visto que Σn es resoluble para n ≤ 4. La teorı́a de grupos resolubles va mucho más allá del alcance de este libro. Aunque no nos va a hacer falta más adelante demostraremos un último resultado sobre estos grupos porque involucra un concepto básico de la teorı́a general de grupos que es conveniente conocer. La serie descrita en el teorema 17.7 tiene la mayor longitud posible. Tiene tantos factores como primos aparecen en el orden de G. Su interés reside en que sus factores son los más sencillos posibles, pero a veces interesa todo lo contrario, es decir, trabajar con una serie abeliana de longitud mı́nima. Para construirla partiremos de G y en cada paso tomaremos el menor subgrupo que podamos sin que el cociente deje de ser abeliano. 302 Capı́tulo 17. Resolución de ecuaciones por radicales Definición 17.9 Sea G un grupo. Llamaremos subgrupo derivado de G al subgrupo G′ generado por los elementos de la forma [x, y] = x−1 y −1 xy, para todos los x, y ∈ G. El elemento [x, y] se llama conmutador de x, y. Su nombre se debe a que obviamente xy = yx[x, y]. En particular [x, y] = 1 si y sólo si xy = yx, es decir, si y sólo si x e y conmutan. El teorema siguiente afirma que G′ es el menor subgrupo normal de G cuyo cociente es abeliano. Teorema 17.10 Sea G un grupo. Entonces 1. G′
G y G/G′ es un grupo abeliano. 2. Si N
G, entonces G/N es abeliano si y sólo si G′ ≤ N . Demostración: 1) Es inmediato que si x, y, g ∈ G entonces [x, y]g = [x , y g ]. Los elementos de G′ son productos de conmutadores, luego sus conjugados también, es decir, G′g ≤ G′ , lo que prueba que G′ es normal. Claramente el cociente G/G′ es abeliano, pues si xG′ , yG′ son dos de sus elementos, tenemos que x−1 y −1 xy ∈ G′ , luego (xG′ )(yG′ ) = (yG′ )(xG′ ). 5 2) Si G′ ≤ N , entonces G/N ∼ = (G/G′ ) (N/G′ ), que es un grupo abeliano por ser un cociente de un grupo abeliano. Si G/N es abeliano entonces para todo x, y ∈ G se cumple (xN )(yN ) = (yN )(xN ), luego [x, y] = x−1 y −1 xy ∈ N y, como los conmutadores generan G′ , concluimos que G′ ≤ N . g En particular un grupo G es abeliano si y sólo si G′ = 1. Un grupo simple no abeliano ha de cumplir G′ = G, pues ha de ser G′ = 1 y no hay más subgrupos normales. Otra propiedad evidente es que si H ≤ G, entonces H ′ ≤ G′ . Definimos el derivado n-simo Gn) de un grupo G mediante ′  G0) = G, Gn+1) = Gn) . Claramente se cumple · · · Gn+1)
Gn)
· · ·
G1)
G0) = G. Si existe un número n tal que Gn) = 1 entonces la serie derivada 1 = Gn)
···
G1)
G0) = G. es abeliana, luego G es resoluble. Recı́procamente, si G es resoluble y 1 = H n
· · ·
H1
H0 = G es una serie abeliana de G, aplicando repetidamente el teorema anterior obtenemos que Gi) ≤ Hi para i = 1, . . . , n. En efecto, si vale para i, como Hi /Hi+1  ′ es abeliano tenemos que Gi+1) = Gi) ≤ Hi′ ≤ Hi+1 . Ası́ concluimos que Gn) = 1 y que la longitud de la serie derivada es menor o igual que la longitud de la serie dada. La serie derivada es, pues, la menor serie abeliana de un grupo resoluble. 17.3. Caracterización de las extensiones radicales 17.3 303 Caracterización de las extensiones radicales Por fin estamos en condiciones de probar el teorema (debido a Galois) que caracteriza las extensiones radicales en términos de su grupo de automorfismos. Recordemos que el único problema era que hasta ahora tenı́amos que suponer que el cuerpo base contenı́a una raı́z de la unidad adecuada. Aunque es posible dar resultados más finos, para no tener problemas con la existencia de raı́ces primitivas, trabajaremos con cuerpos de caracterı́stica cero. Teorema 17.11 Sea k un cuerpo de caracterı́stica 0, sea K/k una extensión radical y L un cuerpo tal que k ⊂ L ⊂ K con L/k de Galois. Entonces G(L/k) es resoluble. Demostración: Por el teorema 17.2 podemos 5 suponer que K/k es de Galois. Por el teorema de Galois, G(L/k) ∼ = G(K/k) G(K/L), luego basta probar que G(K/k) es resoluble. Sean K = k(a1 , . . . , an ) y r1 , . . . , rn según la definición 17.1. Sea K0 = k y para cada i = 0, . . . , n − 1, sea Ki+1 = Ki (ai+1 ). De este modo tenemos k = K0 ⊂ K1 ⊂ · · · ⊂ Kn = K. Sea m = r1 · · · rn y sea ω una raı́z m-sima primitiva de la unidad en una extensión de K. Sea Li = Ki (ω). Entonces k(ω) = L0 ⊂ L1 ⊂ · · · ⊂ Ln = K(ω) y Li+1 = Li (ai+1 ). Ahora, Ln /L0 = K(ω)/k(ω) = Kk(ω)/k(ω). Por el teorema15.6 la ex5 tensión Ln /L0 es finita de Galois y G(Ln /L0 ) ∼ = G K K ∩ k(ω) . Llamemos bi = ari i ∈ Ki−1 . Por el teorema 17.3 la extensión Li /Li−1 es finita de Galois y el grupo G(Li /Li−1 ) es cı́clico. Sea Hi = G(Ln /Li ). Entonces 1 = Hn
Hn−1
· · ·
H1
H0 = G(Ln /L0 ). y los factores 4 Hi /Hi−1 = G(Ln /Li ) G(Ln /Li−1 ) ∼ = G(Li /Li−1 ) son  cı́clicos. Esto prueba que el grupo G(Ln /L0 ) es resoluble y por consiguiente G K/(K ∩ k(ω)) también lo es. La situación es k ⊂ K ∩  k(ω) ⊂ k(ω). La extensión k(ω)/k es ciclotómica, luego abeliana, por lo que K ∩ k(ω) /k es una extensión finita de Galois abeliana. Además 4 4  5    G K ∩ k(ω) k ∼ = G k(ω)/k G K K ∩ k(ω) 304 Capı́tulo 17. Resolución de ecuaciones por radicales es un grupo abeliano, luego resoluble. Finalmente consideramos k ⊂ K ∩ k(ω) ⊂ K. Se cumple que  4  5  5  G(K/k) G K K ∩ k(ω) ∼ = G K ∩ k(ω) k  5   5  y tanto G K K ∩ k(a) como G K ∩ k(ω) k son resolubles, por lo que G(K/k) es resoluble. Ahora vamos a probar el recı́proco. Notemos que al igual que ocurre con el teorema anterior, la prueba se complica por la necesidad de incorporar una raı́z primitiva. Teorema 17.12 Sea k un cuerpo de caracterı́stica 0 y K/k una extensión finita de Galois tal que G(K/k) sea resoluble. Entonces existe una extensión radical de k que contiene a K. Demostración: Sea n el grado de la extensión K/k y sea ω una raı́z n-sima primitiva de la unidad en una extensión de K. Como en el teorema anterior se prueba que la extensión K(ω)/k(ω) es finita de Galois y  5   G = G K(ω)/k(ω) ∼ = G K K ∩ k(ω) ≤ G(K/k) es resoluble. En consecuencia existe una serie cı́clica 1 = Gm
Gm−1
· · ·
G1
G0 = G.  Sea Fi el cuerpo fijado por Gi . Entonces Gi = G K(ω)/Fi y k(ω) = F0 ⊂ F1 ⊂ · · · ⊂ Fm = K(ω). Para cada i tenemos Fi−1 ⊂ Fi ⊂ K(ω), y como Gi−1
Gi , también Fi /Fi−1 es de Galois y G(Fi /Fi−1 ) ∼ = Gi /Gi−1 es cı́clico. Sea          ri = Fi : Fi−1   K(ω) : k(ω) = G K(ω)/k(ω)  G(K/k) = n. Podemos aplicar el teorema 17.3, que nos da que Fi = Fi−1 (ai ), donde ai es una raı́z de un polinomio xri − bi ∈ Fi−1 [x]. Ası́ k ⊂ k(ω) ⊂ k(ω, a1 ) ⊂ · · · ⊂ k(ω, a1 , . . . , am ) = K(ω) y claramente K(ω)/k resulta ser una extensión radical que contiene a K. El teorema siguiente es consecuencia inmediata de los dos anteriores: Teorema 17.13 (Galois): Sea k un cuerpo de caracterı́stica 0 y p(x) un polinomio no constante con coeficientes en k. La ecuación p(x) = 0 es resoluble por radicales si y sólo si el grupo de Galois de p(x) sobre k es resoluble. 17.4. La ecuación general de grado n 305 Si p(x) es un polinomio de grado menor o igual que 4, su grupo de Galois es isomorfo a un subgrupo del grupo de las permutaciones de sus raı́ces, es decir, de Σn para n ≤ 4, luego es un grupo resoluble. Por lo tanto todas las ecuaciones de grado menor o igual que 4 son resolubles por radicales (y la forma concreta de resolverlas nos la dan los teoremas de Cardano y Ferrari). Es obvio que existen ecuaciones de grado superior a 4 resolubles por radicales. Hemos visto un ejemplo tras la definición 17.1. Sin embargo sucede que no todas lo son. No es fácil encontrar ejemplos concretos con los métodos de los que disponemos. Aunque no vamos a demostrarlo, lo cierto es que la ecuación x5 − 4x + 2 = 0 no es resoluble por radicales. 17.4 La ecuación general de grado n Como suele suceder en teorı́a de números, es más fácil obtener resultados generales que estudiar casos particulares, y ası́, más fácil que mostrar ejemplos concretos de ecuaciones no resolubles por radicales es probar que la ecuación general de grado n no es resoluble por radicales cuando n ≥ 5, es decir, que no existen fórmulas similares a las de Cardano y Ferrari que nos expresen las raı́ces de una ecuación polinómica arbitraria a partir de sus coeficientes mediante una expresión radical. Para plantear el problema con precisión necesitamos una definición algebraica de ‘ecuación general’. Definición 17.14 Sea n ≥ 1, k un cuerpo y K = k(a0 , . . . , an−1 ) el cuerpo de las fracciones algebraicas en las indeterminadas a0 , . . . , an−1 . Llamaremos polinomio general de grado n sobre k al polinomio pn (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ K[x]. La ecuación pn (x) = 0 se llama ecuación general de grado n. De este modo transformamos el concepto lógico de variables arbitrarias a0 , . . . , an−1 en el concepto algebraico de indeterminadas de un cuerpo de fracciones algebraicas. A efectos prácticos es equivalente. Por ejemplo, la fórmula 6 −a1 ± a21 − 4a0 x= 2 se interpreta ahora como la expresión de las raı́ces de p2 (x) en una extensión de K. En general, una expresión para la solución de la ecuación general de grado n sobre un cuerpo k es una fórmula para resolver todas las ecuaciones particulares de grado n con coeficientes en k (de aquı́ el nombre de ecuación general). Por lo tanto, si probamos que la ecuación general de grado n no es resoluble por radicales para n ≥ 5, habremos probado que no existen teoremas similares a los de Cardano y Ferrari para grados superiores a 4. Para ello es suficiente demostrar que el grupo de Galois del polinomio general de grado n es Σn , pues hemos visto que el grupo Σn no es resoluble para n ≥ 5. 306 Capı́tulo 17. Resolución de ecuaciones por radicales Teorema 17.15 Sea k un cuerpo de caracterı́stica 0. Entonces el grupo de Galois del polinomio general de grado n sobre k es isomorfo a Σn . Demostración: Sean a0 , . . . , an−1 los coeficientes de pn (x) y sean u1 , . . . , un las raı́ces de pn (x) en una extensión de k(a0 , . . . , an−1 ). Entonces, F = k(a0 , . . . , an−1 , u1 , . . . , un ) es un cuerpo de escisión de pn (x) sobre k(a0 , . . . , an−1 ). Tenemos que pn (x) = (x − u1 ) · · · (x − un ), luego por el teorema 15.23 se cumple que ak = (−1)n−k en−k (u1 , . . . , un ) para k = 0, . . . , n − 1. Consideremos la aplicación φ : k[a0 , . . . , an−1 ] −→ k[e1 , . . . , en ]  h(a0 , . . . , an−1 ) → h (−1)n en , . . . , −e1 Claramente se trata de un epimorfismo de anillos.  Además si φ h(a0 , . . . , an−1 ) = 0, entonces h (−1)n en , . . . , −e1 = 0 y en particular  h (−1)n en (u1 , . . . , un ), . . . , −e1 (u1 , . . . , un ) = 0, o sea, h(a0 , . . . , an−1 ) = 0, lo que prueba que se trata de un isomorfismo de anillos, que se extiende a un isomorfismo entre los cuerpos k(a0 , . . . , an−1 ) y k(e1 , . . . , en ) y que, a su vez, se extiende a un isomorfismo entre sus respectivos anillos de polinomios en la indeterminada x. La imagen por este isomorfismo del polinomio general pn (x) es xn − e1 xn−1 + · · · + (−1)n en = (x − x1 ) · · · (x − xn ). Como F es el cuerpo de escisión sobre k(a0 , . . . , an−1 ) de pn (x) y k(x1 , . . . , xn ) es el cuerpo de escisión sobre k(e1 , . . . , en ) de (x − x1 ) · · · (x − xn ), es claro que los respectivos grupos de Galois deben ser isomorfos, es decir,   5 G F/k(a0 , . . . , an−1 ) ∼ = G k(x1 , . . . , xn ) k(e1 , . . . , en ) . El primero es el grupo de Galois de pn (x) y el segundo es isomorfo a Σn por el teorema 15.25. Como consecuencia inmediata tenemos: Teorema 17.16 (Abel) La ecuación general de grado no es resoluble por radicales para n ≥ 5. Apéndice A El teorema de la base normal En este apéndice demostraremos un teorema de cierta importancia en la teorı́a de Galois (especialmente en relación con la cohomologı́a de grupos). Su enunciado es muy sencillo: si K/k es una extensión de cuerpos, una base normal de K sobre k es una base cuyos elementos forman una clase de conjugación, es decir, son todas las raı́ces de un mismo polinomio irreducible de k[x]. El teorema de la base normal afirma que toda extensión finita de Galois tiene una base normal. Ejercicio: Probar que si una extensión finita tiene una base normal entonces es de Galois. Un enunciado alternativo del teorema de la base normal es que en toda extensión finita de Galois K/k existe un v ∈ K tal que {σ(v) | σ ∈ G(K/k)} es una k-base de K. Como primer paso de la demostración probamos el resultado siguiente: Teorema 1 Si K/k es una extensión finita de Galois, el cuerpo kes infinito y G(K/k) = {σ1 , . . . , σn }, entonces existe un v ∈ K tal que la matriz σi σj−1 (v) ij tiene determinante no nulo. Demostración: Sea n = |K : k|. Sea u un elemento primitivo, es decir, K = k(u). Esto implica que pol mı́n(u, k) tiene grado n, luego los conjugados σ1 (u), . . . , σn (u) son distintos dos a dos. Sea g(x) ∈ K[x] un polinomio cuyas raı́ces sean exactamente los conjugados de u distintos del propio u. Multiplicándolo por la constante  adecuada podemos exigir que g(u) = 1. Claramente entonces g σj σi−1 (u) = δij , donde δij =  1 si i = j 0 si i = j 307 308 Apéndice A. El teorema de la base normal  Al aplicar el automorfismo σi σj−1 a la igualdad g σj σi−1 (u) = δij obtenemos  (σi σj−1 )(g) (u) = δij , donde (σi σj−1 )(g) es el polinomio que resulta de sustituir los coeficientes de g por sus imágenes por el automorfismo.  Consideremos ahora el polinomio p(x) = det (σi σj−1 )(g)(x) . Obviamente es no nulo, pues p(u) = 1. Como tiene un número finito de raı́ces y el cuerpo k es infinito, existe un a ∈ k tal que p(a) = 0. Como (σi σj−1 )(a) = a, es claro que   (σi σj−1 )(g) (a) = (σi σj−1 ) g(a) ,  luego si llamamos v = g(a) se cumple p(a) = det (σi σj−1 )(v) = 0. Con esto ya podemos probar: Teorema 2 Si K/k es una extensión finita de Galois y el cuerpo k es infinito entonces K/k tiene una base normal. Demostración: Sea G(K/k) = {σ1 , . . . , σn } y sea v según el teorema anterior. Basta probar que los conjugados σ1 (v), . . . , σn (v) forman una k-base de K. De hecho basta ver que son linealmente independientes. Supongamos que existen elementos a1 , . . . , an ∈ k tales que a1 σ1 (v) + · · · + an σn (v) = 0. Aplicamos σj−1 para j = 1, . . . , n y obtenemos un sistema de ecuaciones de la forma n  ai (σi σj−1 )(v) = 0, j = 1, . . . , n. i=1  El hecho de que la matriz σi σj−1 (v) ij tenga determinante no nulo significa que sus columnas son linealmente independientes, luego a1 = · · · = an = 0. Nos falta demostrar que las extensiones finitas de cuerpos finitos tienen bases normales. Según hemos visto en el capı́tulo XV, estas extensiones son cı́clicas, luego el caso restante está incluido en el teorema próximo, con el que concluye la prueba. Teorema 3 Toda extensión cı́clica tiene una base normal. Demostración: Sea G(K/k) = σ. Vamos a dotar a K de estructura de módulo sobre el anillo k[x]. Para ello definimos (am xm + · · · + a1 x + a0 )α = am σ m (α) + · · · + a1 σ(α) + a0 α. Es fácil ver que con este producto (y su suma) K es ciertamente un k[x]-módulo. 309 Más aún, es un módulo finitamente generado, pues una k-base de K es también un generador de K como k[x]-módulo (notar que el producto por elementos de k como subconjunto de k[x] coincide con el producto como k-espacio vectorial). Como k[x] es un dominio de ideales principales podemos usar los teoremas de estructura vistos en el capı́tulo XVI. Si n = |K : k| tenemos que σ n = 1, es decir, σ n (α) − α = 0, o equivalentemente, (xn − 1)α = 0 para todo α ∈ K. Esto significa que todos los elementos de K son de torsión, luego el teorema 16.9 nos da la descomposición K = y1  ⊕ · · · ⊕ ym  , donde, si llamamos pi (x) = o(yi ), los pi son polinomios no constantes y cumplen pi | pi+1 . Es obvio entonces que el polinomio pm anula a todos los elementos de K. Su grado no puede ser menor que n, pues en tal caso, si pm (x) = an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , tendrı́amos que an−1 σ n−1 (α) + · · · + a1 σ(α) + a0 α = 0 para todo α ∈ K, en contradicción con el teorema 15.2 (es fácil ver que de hecho pm (x) = xn − 1). Ahora podemos probar que los conjugados de ym forman una base normal, es decir, son linealmente independientes. Si se cumpliera que an−1 σ n−1 (ym ) + · · · + a1 σ(ym ) + a0 ym = 0, para ciertos elementos ai ∈ k, entonces tendrı́amos (an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 )ym = 0, es decir, q(x)ym = 0 para un cierto polinomio q(x) de grado menor que n. Entonces o(ym ) | q(x), y comparando los grados ha de ser q(x) = 0, o sea, an−1 = · · · = a0 = 0. El lector con conocimientos adicionales de álgebra lineal se habrá dado cuenta de que la prueba se reduce a demostrar que el polinomio mı́nimo de σ es xn − 1, con lo que el submódulo generado por ym tiene dimensión n y es, por lo tanto, todo K, y por otra parte es sabido que una base de dicho módulo es la formada por ym , σ(ym ), . . . , σ n−1 (ym ). Apéndice B Extensiones inseparables Prácticamente todas las extensiones de cuerpos que hemos manejado en este libro han sido de caracterı́stica 0 y por tanto separables. Aquı́ describiremos el comportamiento básico de las extensiones no separables. El lector debe tener presente que es posible adentrarse bastante en la teorı́a de números sin encontrarse nunca con extensiones no separables, por lo que quizá nunca necesite conocer los resultados de este apéndice. No obstante, cuando se trabaja con extensiones de cuerpos infinitos de caracterı́stica prima (aunque sean separables) es útil conocer el comportamiento de las extensiones no separables para justificar que las extensiones que interesan son realmente separables. Puesto que todas las extensiones de caracterı́stica 0 son separables, en todo este apéndice supondremos que todos los cuerpos son de caracterı́stica prima p. En primer lugar veremos cómo factorizan los polinomios en el caso general. Definición 1 Sea k un cuerpo y f (x) ∈ k[x] un polinomio no constante. Se llama grado de inseparabilidad de f (x) a la mayor potencia pn tal que f (x) = n g(xp ), para cierto g(x) ∈ k[x]. n Obviamente g(x) no puede ser constante, y grad f (x) = grad g(xp ) = n p grad g(x), luego ciertamente hay un máximo n que cumple f (x) = g(xp ) para cierto g. El interés de este concepto lo muestra el teorema siguiente: n Teorema 2 Sea k un cuerpo y f (x) ∈ k[x] un polinomio irreducible con grado de inseparabilidad pn . Entonces la factorización de f (x) en su cuerpo de escisión es n n f (x) = a0 (x − a1 )p · · · (x − ar )p , donde a1 , . . . , ar son distintos dos a dos. n Demostración: Tenemos que f (x) = g(xp ) y el polinomio g(x) no puede n+1 expresarse en la forma g(x) = h(xp ), o de lo contrario f (x) = h(xp ), en contra de la definición del grado de inseparabilidad. El teorema 8.33 nos da entonces que g ′ (x) = 0. 311 312 Apéndice B. Extensiones inseparables Por otra parte g(x) es irreducible, ya que si g(x) = u(x)v(x) entonces n n n también f (x) = u(xp )v(xp ), luego uno de los factores, digamos u(xp ), es constante, y u(x) también. Según el teorema 8.32, las raı́ces de g(x) son simples, luego su factorización en una clausura algebraica de k es de la forma g(x) = a0 (x − b1 ) · · · (x − br ), donde b1 , . . . , br son distintos dos a dos. n Sea ahora ai una raı́z de xp − bi . Entonces n n n n n n n f (x) = g(xp ) = a0 (xp − ap1 ) · · · (xp − apr ) = a0 (x − a1 )p · · · (x − ar )p . Ası́ pues, todas las raı́ces de un mismo polinomio irreducible tienen la misma multiplicidad y ésta es potencia de p. El concepto clave en el estudio de las extensiones no separables es el de la inseparabilidad pura, que en cierto sentido es el complementario de la separabilidad. Definición 3 Un elemento algebraico sobre un cuerpo k es puramente inseparable si es la única raı́z de su polinomio mı́nimo sobre k. Una extensión K/k es puramente inseparable si y sólo si todo elemento de K es puramente inseparable sobre k. Obviamente un elemento a es a la vez separable y puramente inseparable sobre k si y sólo si pol mı́n(a, k) = x − a, si y sólo si a ∈ k. Más en general, según el teorema anterior, un elemento a es puramente inseparable sobre k si y sólo si su polinomio mı́nimo es n n n pol mı́n(a, k) = (x − a)p = xp − ap . n n Entonces ap ∈ k y, recı́procamente, si ap ∈ k para cierto n entonces a n n es raı́z del polinomio (x − a)p ∈ k[x], luego pol mı́n(a, k) | (x − a)p , y a es puramente inseparable sobre k. Es decir, hemos probado el teorema siguiente: Teorema 4 Un elemento a en una extensión de un cuerpo k es puramente n inseparable sobre k si y sólo si existe un número natural n tal que ap ∈ k. De aquı́ se sigue fácilmente que la adjunción a un cuerpo de elementos puramente inseparables da lugar a extensiones puramente inseparables y que una cadena de extensiones es puramente inseparable si y sólo si lo son sus términos. Definición 5 Sea K/k una extensión de cuerpos. Definimos la clausura separable de K sobre k como el conjunto Ks de todos los elementos de K separables sobre k, y la clausura puramente inseparable (o clausura perfecta) de K sobre k como el conjunto Kp de todos los elementos de K puramente inseparables sobre k. 313 Del teorema 8.40 se sigue fácilmente que Ks es un cuerpo, y el teorema 4 implica que Kp también lo es. Definimos el grado de separabilidad y el grado de inseparabilidad de una extensión K/k como los grados, respectivamente, |Ks : k| y |Kp : k|. Si la extensión Kp /k es finita su grado es potencia de p (por transitividad de grados se reduce al caso de una extensión simple y éste es evidente porque los polinomios mı́nimos de los elementos puramente inseparables tienen grado potencia de p). El teorema siguiente nos da un gran control sobre las extensiones de caracterı́stica prima, pues las reduce a una extensión separable y una puramente inseparable: Teorema 6 Sea K/k una extensión algebraica. Entonces la extensión K/Ks es puramente inseparable y K/Kp es separable. Demostración: Sea a ∈ K. Sea p(x) = pol mı́n(a, k). Sea pn su grado de n n inseparabilidad. Entonces f (x) = g(xp ), con g(x) ∈ k[x]. Entonces g(ap ) = f (a) = 0 e igual que en la prueba del teorema 2 vemos que g(x) es irreducible n n y g ′ (x) = 0. Por lo tanto ap es raı́z simple de g(x), y en consecuencia ap es n separable sobre k, o sea, ap ∈ Ks . Según el teorema 4 tenemos que K/Ks es puramente inseparable. Por otra parte, sea L la clausura normal de K sobre k. Entonces Kp es el cuerpo fijado de la extensión L/k. En efecto, un elemento de L está en el cuerpo fijado de L/k si y sólo si él es su único k-conjugado, si y sólo si es la única raı́z de su polinomio mı́nimo sobre k, si y sólo si está en Kp . Obviamente Kp es también el cuerpo fijado de L/Kp y por el teorema 8.37 L/Kp es separable, y K/Kp también. Ası́ pues, tenemos las cadenas k ⊂ Ks ⊂ K y k ⊂ Kp ⊂ K. La primera tiene el primer tramo separable y el segundo puramente inseparable, y la segunda tiene el primer tramo puramente inseparable y el segundo separable. Veamos ahora el comportamiento de los monomorfismo con relación a estas descomposiciones. Nos basamos en el teorema siguiente: Teorema 7 Sea K/k una extensión puramente inseparable y σ : k −→ C un monomorfismo de k en una clausura algebraica de K. Entonces σ admite una única extensión a K. Demostración: Por el teorema 8.19 sabemos que σ admite al menos una n extensión σ ∗ . Ésta es única, pues si a ∈ K entonces existe un n tal que ap ∈ k, n n luego σ ∗ (a)p = σ(ap ), con lo que σ ∗ (a) es necesariamente la única raı́z del n n polinomio xp − σ(ap ) en C. 314 Teorema 8 Apéndice B. Extensiones inseparables Sea K/k una extensión algebraica. Entonces K = Ks Kp y k = Ks ∩ Kp. Si además es finita de grado n, su grado de separabilidad es ns y su grado de inseparabilidad es np entonces n = ns n p , |K : Kp | = ns y |K : Ks | = np . Demostración: Ya sabemos que k = Ks ∩ Kp . La extensión K/Ks Kp es separable y puramente inseparable, luego K = Ks Kp . El grado de separabilidad de K/k es el número de k-monomorfismos de Ks y por el teorema anterior cada uno de ellos se extiende a un único k-monomorfismo de de K. Por otra parte es obvio que todo k-monomorfismo de K es un Kp -monomorfismo de K (un k-monomorfismo de K envı́a un elemento puramente inseparable de K a un k-conjugado, o sea, a sı́ mismo). Ası́ pues ns es el número de Kp monomorfismos de K, y como K/Kp es separable esto es el grado |K : Kp |. La cadena k ⊂ Kp ⊂ K nos da ahora la igualdad n = ns np y la cadena k ⊂ Ks ⊂ K nos da |K : Ks | = np . Conviene destacar que en la prueba anterior hemos visto que en general el número de k-monomorfismos de una extensión finita K/k es el grado de separabilidad de la extensión. Terminamos con algunas observaciones sencillas: toda extensión puramente inseparable es normal, y si K/k es una extensión normal entonces G(K/k) = G(K/Kp ) ∼ = G(Ks /k), G(Kp /k) = 1. Apéndice C La resultante Dedicamos este apéndice a estudiar los conceptos de resultante y discriminante, que son útiles al profundizar en el estudio de los polinomios. Definición 1 Consideremos un anillo conmutativo y unitario A y dos polinomios f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an , g(x) = b0 xm + b1 xm−1 + · · · + bm , donde a0 b0 = 0. Definimos la resultante de f (x) y g(x) como el determinante   a0        R(f, g) =   b0       a1 a0 b1 b0 · · · · · · an a1 · · · · · · .. .. . . a0 a1 · · · · · · bm b1 · · · · · · .. . b0 b1 an .. ··· . ··· an bm .. ··· . · · · bm                   donde los coeficientes de f aparecen en m filas y los de g en n filas (y donde se entiende que los huecos corresponden a coeficientes nulos). En particular, si en el anillo de polinomios A = Z[u0 , . . . , un , v0 , . . . , vm ] consideramos los polinomios f (x) = u0 xn + u1 xn−1 + · · · + un , g(x) = v0 xm + v1 xm−1 + · · · + vm , tenemos la resultante general R ∈ Z[u0 , . . . , un , v0 , . . . , vm ] de grados n y m, que es un polinomio que se particuliza a la resultante de cualquier par de polinomios f y g de grados n y m en cualquier anillo A, cuando sus variables se sustituyen por los coeficientes de f y g. 315 316 Apéndice C. La resultante De la propia definición de determinante se sigue inmediatamente que la resultante general R(u0 , . . . , un , v0 , . . . , vm ) es un polinomio cuyos monomios tienen n todos m variables ui y n variables vi . El monomio um 0 vm (la diagonal del determinante) aparece con coeficiente 1. En particular tenemos que R = 0. Tenemos las relaciones siguientes en Z[u0 , . . . , un , v0 , . . . , vm , x]: a0 xn+m−1 + a1 xn+m−2 + a0 xn+m−2 + b0 xn+m−1 + b1 xn+m−2 + b0 xn+m−2 + ··· ··· ··· .. . a0 xn +a1 xn−1 · · · +bm xn−1 ··· ··· = xm−1 f (x) = xm−2 f (x) +an xm−2 .. ··· . ··· an = f (x) = xn−1 g(x) = xn−2 g(x) ··· bm = .. b0 xn +b1 . ··· xn−1 g(x) Esto se interpreta como que el sistema de ecuaciones lineales que tiene por matriz la que define a R y con términos independientes los de los miembros derechos, tiene por solución (xn+m−1 , xn+m−2 , . . . , x, 1). Como R = 0, podemos resolver este sistema por la regla de Cramer y, concretamente, la última componente (igual a 1) se obtiene como cociente de dos determinantes, uno de ellos es R y el otro es el determinante que resulta de sustituir la última columna de la matriz que define a R por el vector de términos independientes. Concluimos que R es igual a este último determinante y, como los términos independientes son múltiplos de f (x) o de g(x), concluimos que R = F f + Gg, para ciertos polinomios f , g ∈ Z[u0 , . . . , un , v0 , . . . , vm , x]. Sustituyendo las indeterminadas ui , vi por elementos de un anillo A, obtenemos que, para todo par de polinomios f (x), g(x) ∈ A[x], existen polinomios F (x), G(x) ∈ A[x] tales que R(f, g) = F (x)f (x) + G(x)g(x). En particular, vemos que si f (x) y g(x) tienen una raı́z común (en A o en cualquier extensión), entonces R(f, g) = 0. El resultado principal que queremos probar es el recı́proco. Para ello consideramos el anillo B = Z[u0 , v0 , s1 , . . . , sn , t1 , . . . , tm ], y en B[x] los polinomios F (x) = u0 (x − s1 ) · · · (x − sn ), G(x) = v0 (x − t1 ) · · · (x − tm ). Llamemos ui , vi ∈ B a los coeficientes de F y G respectivamente, y vamos a calcular R(F, G). Observemos que ui = u0 u′i , donde u′i es el coeficiente iésimo de F/u0 , e igualmente vi = v0 vi′ . Como cada monomio de R contiene m variables ui y n variables vi , es claro que n R(F, G) = um 0 v0 h, 317 para cierto h ∈ C = Z[s1 , . . . , sn , t1 , . . . , tm ]. Si en R sustituimos un tj por un si , obtenemos la resultante de dos polinomios con una raı́z en común, luego se anula (y h también). Si vemos a h como polinomio en Z[s1 , . . . , sn , t1 , . . . t̂i , . . . tm ][ti ] (donde el circunflejo significa que quitamos ti ), tenemos que si es raı́z de h, luego h es divisible entre si − tj , para todo i y todo j. Como estos polinomios son primos entre sı́ dos a dos, concluimos que n (si − tj )h′ , R(F, G) = um 0 v0 i,j para cierto h′ ∈ C. Ahora bien, cada ui (para i ≥ 1) es un polinomio de grado n en s1 , . . . , sn y cada uj (para j ≥ 1) es un polinomio de grado m en t1 , . . . , tm . Por otra parte, en cada monomio de R(F, G) aparecen m variables ui y n variables vi , luego R(f, g) tiene grado mn en cada una de las variables si , ti . Como lo mismo es cierto para el producto que aparece en la igualdad anterior, concluimos que h′ ∈ Z[u0 , v0 ]. Ahora bien, podemos expresar ′ R(F, G) = um 0 h n G(si ), i=1 de donde se sigue que el miembro derecho (sin contar h′ ) contiene el monomio n n m m n um 0 vm = (−1) u0 t1 · · · tm , al igual que el miembro derecho, luego ha de ser ′ h = 1. En definitiva, hemos probado que n (si − tj ) = um R(F, G) = um 0 0 v0 i,j n G(si ). i=1 Consideremos ahora un cuerpo k y dos polinomios f , g no constantes que se escindan en k, es decir, que se descompongan como f = a0 (x − a1 ) · · · (x − an ), g = b0 (x − b1 ) · · · (x − bm ). El homomorfismo Z[u0 , v0 , s1 , . . . , sn , t1 , . . . , tm ] −→ k dado por u0 → a0 , v0 → b0 , si → ai , ti → bi transforma los ui y los vi en los coeficientes de f y g, luego transforma R(F, G) en R(f, g), lo que nos da la relación n R(f, g) = am (ai − bj ) = am 0 b0 0 i,j Ahora es inmediato el teorema siguiente: n g(ai ). i=1 318 Apéndice C. La resultante Teorema 2 Sean f y g dos polinomios no constantes con coeficientes en un cuerpo k que se escindan en k[x]. Entonces R(f, g) = 0 si y sólo si f y g tienen una raı́z en común. Un caso de particular interés se da cuando g es la derivada de f , pues una raı́z común entre f y f ′ es una raı́z múltiple de f . Si n f (x) = a0 i=1 entonces (x − ai ), n f ′ (x) = a0 i=1 j=i (x − aj ). y, según hemos visto, R(f, f ′ ) = a2n−1 0 = n i=1 f ′ (ai ) = a02n−1 (−1)n(n−1)/2 a02n−1 i<j i=j (ai − aj ) (ai − aj )2 Notemos que el coeficiente director de f ′ es na0 , luego la definición de resultante muestra que R(f, f ′ )/a0 depende polinómicamente —con coeficientes enteros— de los coeficientes de f (porque podemos sacar a0 de la primera columna del determinante). Definición 3 Si f (x) es un polinomio de grado n con coeficientes en un cuerpo k, definimos su discriminante como ∆(f ) = (−1)n(n−1)/2 R(f, f ′ )/a0 = a02n−2 i<j (ai − aj )2 , donde a1 , . . . , an son las raı́ces de f (x) en una clausura algebraica de k (repetidas según su multiplicidad). Hemos probado que ∆(f ) depende polinómicamente —con coeficientes enteros— de los coeficientes de f . El teorema siguiente es inmediato: Teorema 4 Un polinomio f (x) con coeficientes en un cuerpo tiene una raı́z múltiple (en una extensión algebraica) si y sólo si su discriminante es cero. Ejemplo Si f (x) = ax2 + bx + c, entonces su discriminante es    a b c   1 ∆(f ) = −  2a b 0  = b2 − 4ac. a 0 2a b  Bibliografı́a [1] Baker, A. Breve introducción a la teorı́a de números. Alianza Ed., Madrid, 1986. [2] Bastida, J.R. Field extensions and Galois theory. Addison-Wesley P.C., California, 1984. [3] Borevich, Z.I., Shafarevich, I.R. Number Theory. Academic Press, New York, 1967. [4] Edwards, H. M. Fermat’s last theorem. Springer-Verlag, New York, 1977. [5] Hungerford, T.W. Algebra. Springer-Verlag, New York, 1974. [6] Lang, S., Algebra Addison-Wesley P.C., California, 1965. [7] Stewart, I. y Tall, D. Algebraic number theory. Chapman and Hall, Londres, 1979. 319 Índice de Tablas 5.1 5.2 Primos p tales que 2p − 1 es un primo de Mersenne . . . . . . . . Raı́ces primitivas (mód p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 58 6.1 Ternas pitagóricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 Factorizaciones no únicas en cuerpos cuadráticos imaginarios Factorizaciones no únicas en cuerpos cuadráticos reales . . . . Cuerpos cuadráticos imaginarios con factorización única . . . Primeros cuerpos cuadráticos reales con factorización única . Cuerpos cuadráticos reales euclı́deos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 197 199 199 200 13.1 Número de clases de cuerpos cuadráticos imaginarios . . . . . . . 234 13.2 Número de clases de cuerpos cuadráticos reales . . . . . . . . . . 240 13.3 Soluciones mı́nimas de la ecuación de Pell . . . . . . . . . . . . . 242 15.1 Polinomios ciclotómicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267 321 Índice de Materias separable, 312 coeficientes, 18 columna, 158 combinación lineal, 95 combinatorio (número), 10 congruencia, 45, 90, 138 conjugación, 185 de cuaterniones, 13 en un cuerpo, 111 en un grupo, 147, 148 conmutador, 302 conmutativa (propiedad), 3 conmutativo (anillo), 4 conservación (de un primo), 223 contenido, 38 coordenadas, 96, 159 cuaterniones, 13 cuerpo, 6 cuadrático, 185 real/imaginario, 195 de cocientes, 8 de escisión, 119 de Galois, 274 fijado, 126, 260 numérico, 179 primo, 60 abeliano, 135 aditiva (notación), 136 adjunción, 107 adjunta (matriz), 170 algebraicamente cerrado, 117 algebraico, 106 alternada (forma), 163 alternado (grupo), 155 anillo, 3 de división, 6 antisimétrica (forma), 163 anulador, 283 aplicación lineal, 91 asociados, 29 asociativa (propiedad), 3 automorfismo, 110, 137 de Frobenius, 275 interno, 147 base, 96 dual, 175, 176 entera, 184 normal, 307 ordenada, 159 Bezout, 37 bilineal (forma), 174 Buena ordenación, xvi delta de Kronecker, 158 derivada formal, 123 derivado, 302 determinante, 165 diagonal principal, 158 DIP, 27 discriminante, 177, 185, 318 divisor, 29, 210 divisor de cero, 5 divisores elementales, 285 cı́clico, 144 ciclo, 140 ciclotómico, 83, 265 clase de conjugación, 148 clausura algebraica, 117 normal, 122 perfecta, 312 puramente inseparable, 312 322 323 ÍNDICE DE MATERIAS dominio, 5 ı́ntegro, 5 de Dedekind, 208 de factorización única, 30 de ideales principales, 27 euclı́deo, 6 dual aplicación, 176 base, 175, 176 espacio, 175 ecuación general, 305 Eisenstein (criterio), 41 elemento primitivo, 108 entero, 181 algebraico, 180 ciclotómico, 181 de Gauss, 62, 186 número, 2 racional, 181 epimorfismo canónico, 59, 91, 153 de grupos, 137 de módulos, 91 escisión cuerpo de, 119 de un polinomio, 115 de un primo, 223 espacio vectorial, 88 Euler criterio de, 247 función de, 54 exponente, 30, 288 extensión, 105 abeliana, 136 algebraica, 106 cı́clica, 144 de Galois, 126 finita, 105 finitamente generada, 108 normal, 120 radical, 294 separable, 125 simple, 108 trascendente, 106 factores invariantes, 285 factorial, 10 factorización (propiedad), 34 fila, 158 finitamente generado, 90 extensión, 108 ideal, 26 forma bilineal, 174 regular, 176 simétrica, 174 multilineal, 163 alternada, 163 antisimétrica, 163 fracción algebraica, 22 fraccional ideal, 208 función multiplicativa, 50 Gauss criterio, 40 enteros de, 62 generador, 90, 144 de un ideal, 26 grado de inseparabilidad, 311, 313 de separabilidad, 313 de un polinomio, 18 de una extensión, 105 grupo, 135 aditivo, 136 alternado, 150, 155 de clases, 226 de Galois, 136 de un polinomio, 263 de Klein, 150 multiplicativo, 136 resoluble, 297 simple, 299 homomorfismo de anillos, 8 de grupos, 137 de módulos, 91 ideal fraccional, 208 generado, 26 324 impropio, 25 maximal, 33 primo, 33 principal, 27 trivial, 25 identidad, 4 matriz, 158 imagen, 91, 138 impropios subgrupos, 138 submódulos, 90 independiente (familia), 92 indeterminada, 16, 17 ı́ndice de un subgrupo, 138 inversible ideal, 208 inverso, 6, 135 irreducible, 30 isomorfismo de anillos, 8 de extensiones, 110 de grupos, 137 de módulos, 91 Jacobi (sı́mbolo), 252 Klein (grupo), 150 Legendre (sı́mbolo), 247 ley de composición interna, 3 Ley de reciprocidad cuadrática, 250, 253 libre conjunto, 95 de torsión, 284 módulo, 96 libre de cuadrados, 67 ligado (conjunto), 95 linealmente dependientes, 95 linealmente independientes, 95 longitud de un ciclo, 140 matriz, 157 adjunta, 170 columna, 158 cuadrada, 157 ÍNDICE DE MATERIAS de cambio de base, 162 de una aplicación, 159 de una forma bilineal, 175 diagonal, 158 escalar, 158 fila, 157 identidad, 158 inversa, 161 nula, 158 regular, 161 simétrica, 158 singular, 161 traspuesta, 158 maximal (ideal), 33 máximo común divisor, 36, 211 menor complementario, 168 Mersenne (número de), 52 mı́nimo común múltiplo, 36, 211 módulo, 87 cociente, 91 libre, 96 de torsión, 284 monógeno, 90 mónico (polinomio), 18 monógeno (módulo), 90 monomio, 18 monomorfismo de anillos, 9 de grupos, 137 de módulos, 91 multiplicativa función, 50 notación, 135 multiplicidad, 118, 211 múltiplo, 29, 210 neutro, 4, 135 Newton (binomio), 12 noetheriano (anillo), 28 norma de un cuaternión, 13 de un ideal, 214 de una extensión, 131 euclı́dea, 6 normal extensión, 120 325 ÍNDICE DE MATERIAS subgrupo, 148 notación aditiva, 136 multiplicativa, 135 núcleo, 58, 91, 138 nulo (elemento), 4 número combinatorio, 10 de clases, 227 de Mersenne, 52 perfecto, 50 opuesto (elemento), 4 órbita, 140 orden de un elemento, 145 de un grupo, 136 de una unidad, 56 Pell (ecuación), 241 perfecto cuerpo, 125 número, 50 permutación, 139 par/impar, 154 perı́odo, 271, 283 polinomio, 16 ciclotómico, 265 general, 305 minimo, 108 primitivo, 38 simétrico, 277 elemental, 277 primo elemento, 31 ideal, 33 primos entre sı́, 37 principal, 27, 208 producto de módulos, 93 directo, 151 producto directo, 152 puramente inseparable, 312 racionales (números), 9 radical (extensión), 294 raı́z de la unidad, 57, 265 de un polinomio, 42 primitiva, 57, 58, 265 ramificación (de un primo), 223 rango, 99, 284 regular forma bilineal, 176 matriz, 161 resoluble grupo, 297 por radicales, 294 resto cuadrático, 224, 290 resultante, 315 separable, 125 serie, 297 signatura, 154, 255 signo, 10 simétrica forma bilineal, 174 matriz, 158 simétrico elemento, 4 grupo, 139 polinomio, 277 similitud (de ideales), 227 simple extensión, 108 grupo, 299 singular (matriz), 161 sistema de coordenadas, 159 subanillo, 9 subgrupo, 137 derivado, 302 generado, 144 impropio, 138 normal, 148 trivial, 138 submódulo, 89 de torsión, 284 generado, 90 impropio, 90 trivial, 90 suma de módulos, 92 directa, 92, 94 Tartaglia (triángulo), 11 Teorema chino del resto, 55 de Dedekind, 212, 260 de Fermat, 49, 80 de Galois, 304 de isomorfı́a, 59, 91, 152, 153 del elemento primitivo, 129 del resto, 42 terna pitagórica, 65 torsión, 284 transitividad de grados, 105 de normas, 132 trascendente, 106 trasposición, 146 traspuesta (matriz), 158 traza, 131 trivial subgrupo, 138 submódulo, 90 Último Teorema de Fermat, 80 unidad, 6 fundamental, 239 unitario (anillo), 4 valor absoluto, 9 Vandermonde, 169 vector columna, 158 fila, 157 Zorn (lema de), xvi