La spirale aurea e l'algebra lineare

Matematicamente.it Magazine • NUMERO 21 − GENNAIO 2014 • 195. La spirale aurea e l’algebra lineare Francesco Daddi Liceo Scientifico “XXV Aprile” Pontedera È molto interessante scoprire le inaspettate applicazioni dell’algebra lineare alle più diverse branche della matematica. Ad esempio si veda [1] dove si trova una formula chiusa per la successione di Padovan. Nel presente articolo si mostra come l’algebra lineare porti all’equazione di spirali auree; infine viene proposto un approccio√alternativo, utilizzando i numeri complessi. 1+ 5 , ricordiamo che una spirale aurea è una particolaIndicata con φ la sezione aurea 2 re spirale logaritmica (si veda [2]) che ammette, in un opportuno sistema di riferimento polare, 2 un’equazione del tipo ρ = ρ0 φ− π θ . Ad ogni variazione di un angolo di ampiezza π/2 in senso antiorario la distanza dal polo si ottiene da quella precedente mediante la moltiplicazione per il fattore 1/φ; in un sistema di riferimento cartesiano una spirale aurea, in generale, ha equazioni parametriche della forma    a π    x = t cos t + β + x0   φ 2   con t parametro reale (1)      π a     y = φt sin 2 t + β + y0 dove (x0 , y0) è il centro della spirale a cui la curva tende per t → +∞. Consideriamo il rettangolo aureo R0 di vertici n o R0 : A0 = (0, 0) , B0 = (φ, 0) , C0 = (φ, 1) , D0 = (0, 1) e determiniamo le equazioni della similitudine diretta S che lo trasforma nel rettangolo (ancora aureo) di vertici rispettivamente n o R1 : A1 = B0 = (φ, 0) , B1 = C0 = (φ, 1) , C1 = (1, 1) , D1 = (1, 0) ; con semplici calcoli si trova  1   ! !  0 −  !  φ x′ φ  x   S : ′ =   y + 0 . y  1  0  φ L’unico punto fisso della trasformazione S è √ √ ! 5+3 5 5+ 5 Ω= , , 10 10 che si può determinare anche intersecando i segmenti A0 C0 e A1 C1 . 9 Matematicamente.it Magazine • NUMERO 21 − GENNAIO 2014 • Se applichiamo la trasformazione S al rettangolo R1 , ovvero se applichiamo S2 al rettangolo R0 , si ottiene il rettangolo (si ricordi che φn = Fn φ + Fn−1 dove Fk è il k-esimo numero della successione di Fibonacci) ( ! !) 1 1 R2 : A2 = B1 , B2 = C1 , C2 = 1 , , D2 = φ , φ φ e successivamente, applicando di nuovo S al rettangolo R2 (ovvero applicando S3 al rettangolo R0 ), si ricava !) ! ( 2 2 1 , , 1 ; , D3 = R3 : A3 = B2 , B3 = C2 , C3 = φ φ φ analogamente si ottengono i rettangoli ( ! !) 2 2 2 R4 : A4 = B3 , B4 = C3 , C4 = , , D4 = 1 , 2 , φ φ2 φ ! !) ( 3 2 1 3 e così via... R5 : A5 = B4 , B5 = C4 , C5 = 2 , 2 , D5 = 2 , φ φ φ φ La successione dei rettangoli Ri è descritta nella figura seguente: Figura 1: Successione dei rettangoli aurei. 10 Matematicamente.it Magazine • NUMERO 21 − GENNAIO 2014 • Riscrivendo le equazioni della trasformazione S nella forma (Ω è punto fisso di S)    0 − 1  ! ! !  x′ xΩ φ  x − xΩ   =  + , y′ yΩ  y − yΩ  1  0  φ le coordinate dell’immagine Ak del punto A0 = (0, 0) mediante la trasformazione Sk sono x Ak y Ak ! k   0 − 1  ! !  xΩ φ  0 − xΩ   =   0 − yΩ + yΩ  1  0  φ mentre per le coordinate di Dk , immagine di D0 mediante la trasformazione Sk , si ha xD k yD k ! k   0 − 1  ! !  xΩ φ  0 − xΩ   =   1 − yΩ + yΩ .  1  0  φ Per determinare in modo semplice la generica potenza k-esima della matrice è sufficiente osservare che          1 k π  π π π  0 − 1     0 −   cos  cos  k − sin k  − sin       φ  1  φ  1    2 2  2 2     =   =  da cui     .   k   1  φ    1 π π    π π φ       sin cos  0  0  k cos k  sin 2 2 φ φ 2 2 Considerando k reale (nessuno infatti ci vieta di estendere il dominio di k), la curva alla quale appartengono i punti Ak ha equazioni parametriche √  √         π π   5 + 3 5   5 + 3 5   k − sin k  − !  cos    2 2   x 10   10  1  = k  √  +  √        y φ  π π       sin k cos k   − 5 + 5   5 + 5  2 2 10 10 ovvero √ √ √  "    #  1 π π 5 5 + 5 5 + 3 5 5 + 3    x= k · − cos k + sin k +   10 2 10 2 10 φ    (2)   √ √ √ " #        5+3 5 1 π π 5+ 5 5+ 5    sin k − cos k + .  y = φk · − 10 2 10 2 10 yΩ xΩ , sin β = − q e tenendo conto delle Scegliendo β tale che cos β = − q x2Ω + y2Ω x2Ω + y2Ω formule trigonometriche di addizione, le equazioni (2) diventano 11 Matematicamente.it Magazine • NUMERO 21 − GENNAIO 2014 • q      x2Ω + y2Ω   π    x= cos k + β + xΩ   2 φk    q       x2Ω + y2Ω   π    k + β + yΩ ; sin  y= 2 φk dal confronto con le equazioni (1) si deduce che la curva (2) è pertanto una spirale aurea avente centro nel punto Ω (detto “occhio di Dio” da Clifford A. Pickover); nella figura 2 questa spirale è la curva tratteggiata. Allo stesso modo si trova che la curva che passa per tutti i punti Dk ha equazioni parametriche √ √ √  "    #  5 + 3 5 5 5 π π 5 − 5 + 3 1    cos k − sin k + x= k · −   10 2 10 2 10 φ    (3)   √ √ √ " #        5+3 5 π π 1 5− 5 5+ 5    sin k + cos k + ;  y = φk · − 10 2 10 2 10 anch’essa è una spirale aurea di centro Ω; nella figura 2 questa spirale è la curva a tratto continuo. Figura 2: Sono disegnati tutti i rettangoli immagini del rettangolo iniziale R0 fino a k = 6, con passo ∆k = 0, 2. Le due spirali sono state disegnate per 0 ≤ k ≤ 6. 12 Matematicamente.it Magazine • NUMERO 21 − GENNAIO 2014 • In alternativa all’uso delle matrici è possibile utilizzare i numeri complessi; ricordiamo che, in generale, una generica similitudine diretta di equazioni ! ! ! ! x′ a −b x τx = + y′ b a y τy può essere riscritta, utilizzando i numeri complessi, nel modo seguente: x′ + i y′ = (a + i b)(x + i y) + τx + i τ y . Nel nostro caso particolare la trasformazione S ha equazione z′ = i · (z − zΩ ) + zΩ φ √ √ 5+ 5 5+3 5 +i . dove zΩ = 10 10 Calcolando le immagini di zA0 = 0 + 0 i mediante Sk si ha
ik · zA0 − zΩ + zΩ ⇒ k φ √ √ ! √ √ ik 5+3 5 5+ 5 5+ 5 5+3 5 zAk = k · − −i +i ; + 10 10 10 10 φ     π π k k + i sin k , quindi sfruttando la formula di De Moivre risulta i = cos 2 2 √ √ ! √ √      1 π π 5+3 5 5+ 5 5+ 5 5+3 5 zAk = k · cos k + i sin k · − −i +i ; + 2 2 10 10 10 10 φ zAk = svolgendo i calcoli si ricava √ √ √ "    # 5+3 5 π π 5+ 5 5+3 5 1 zAk = k · − cos k + sin k + + 10 2 10 2 10 φ √ √ √ ) ( "    # π π 1 5+3 5 5+ 5 5+ 5 − +i sin k − cos k + 10 2 10 2 10 φk ritrovando così le equazioni (2). Allo stesso modo si ricavano le immagini di zD0 = 0 + i mediante Sk :
ik · zD0 − zΩ + zΩ ⇒ k φ √ ! √ √ √ 5+ 5 5+ 5 5+3 5 5+3 5 ik −i +i ⇒ + = k · i− 10 10 10 10 φ zDk = zDk zDk √ √ √ "    # π π 1 5− 5 5+3 5 5+3 5 = k· − cos k − sin k + + 10 2 10 2 10 φ √ √ ) √ ( "    # 1 π π 5− 5 5+ 5 5+3 5 +i sin k + cos k + − 10 2 10 2 10 φk ritrovando così le equazioni (3). 13 Matematicamente.it Magazine • NUMERO 21 − GENNAIO 2014 • Bibliografia e Sitografia [1] F. Daddi, Una formula chiusa per i numeri di Padovan, Archimede, 4/2011, pp. 203-207. [2] M. J. Vygodskij, Manuale di matematica superiore, Edizioni MIR, Mosca, 1978. [3] http:\\en.wikipedia.org/wiki/Golden_spiral 14