INDUKSI matematika

Kompetensi Dasar dan Indikator Kompetensi dasar Indikator 3.1 Menjelaskan metode pembuktian pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, keterbagian dengan induksi matematika. 3.1.1 Menjelaskan pengertian induksi matematika 3.1.2 Menjelaskan prinsip induksi matematika 3.1.3 Menerapkan prinsip induksi matematika dalam membuktikan rumus jumlahan barisan bilangan 3.1.4 Menerapkan prinsip induksi matematika dalam membuktikan pernyataan keterbagian 3.1.5 Menerapkan prinsip induksi matematika dalam membuktikan pernyataan ketidaksamaan 4.1 Menggunakan metode pembuktian induksi matematika untuk menguji pernyataan matematis berupa barisan,mketidaksamaan, keterbagian. 4.1.1 Mengaplikasikan Metode pembuktian dalam masalah kontekstual.   Wawasan Surah Al-Mu’minun ayat 14  ثُمَّ خَلَقْنَا النُّطْفَةَ عَلَقَةً فَخَلَقْنَا الْعَلَقَةَ مُضْغَةً فَخَلَقْنَا الْمُضْغَةَ عِظَامًا فَكَسَوْنَا الْعِظَامَ لَحْمًا ثُمَّ أَنْشَأْنَاهُ خَلْقًا آخَرَ فَتَبَارَكَ اللَّهُ أَحْسَنُ الْخَالِقِينَ “Kemudian air mani itu Kami jadikan segumpal darah, lalu segumpal darah itu Kami jadikan segumpal daging, dan segumpal daging itu Kami jadikan tulang belulang, lalu tulang belulang itu Kami bungkus dengan daging. kemudian Kami jadikan dia makhluk yang (berbentuk) lain. Maka Maha sucilah Allah, Pencipta yang paling baik.”  Pada Ayat ini Allah SWT menjelaskan proses penciptaan manusia yaitu dimulai dari air mani yang kemudian dijadikan segumpal darah, lalu segumpal darah itu dijadikan segumpal daging dan segumpal daging itu ada yg dijadikan tulang belulang yang kemudian tulang belulang itu dibungkus dengan daging dan Allah jadikan dia makhluk (berbentuk) lain atau jadilah dia seorang bayi. https://baitulmaqdis.com/mukjizat-islam/biologi/mukjizat-al-quran-proses-penciptaan-manusia-di-al-quran-sesuai-ilmu-teknologi-modern/ Begitulah proses-proses yang terjadi untuk menciptakan manusia. Didalam matematika terdapat suatu materi pembuktian yang juga memiliki proses-proses yang harus dilajani agar tercapailah suatu kebenaran yang diinginkan, materi tersebut adalah induksi matematika. Dalam induksi matematika proses-proses yang harus dilalui yang pertama adalah langkah basis yaitu menunjukkan bahwa P(1) pada pernyataan bernilai benar. Kemudian dilanjutkan dengan langkah induksi dimana P(k) dianggap benar,kemudian anggapan ini digunakan untuk membuktikan bahwa P(k + 1) benar. Jadi dalam hal ini proses penciptaan manusia dan induksi matematika sama-sana memiliki proses yang harus dilakukan dengan urut sesuai ketentuan. Peta Konsep Barisan Keterbagian Ketidaksamaan P(1) Benar P(k) dianggap benar dan akan dibuktikan bahwa p(k+1) juga benar PENEREPAN PRINSIP INDUKSI MATEMATIKA  Materi Pengertian Induksi matematika Induksi matematika adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli. Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku didalam matematika. Induksi matematika dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli, bukan untuk menemukan formula. Prinsip Induksi Matematika Induksi matematika memiliki beberapa prinsip, Misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan bilangan asli. Pernyataan P(n) benar jika memenuhi langkah berikut ini: Langkah Awal (basic Step): P(1) benar. Langkah Induksi (induction Step): jika P(k) benar, maka P(k+1) benar, untuk setiap k bilangan asli. Pada proses pembuktian dengan prinsip Induksi Matematika, untuk langkah awal tidak selalu dipilih untuk n=1, n= 2, dan n= 3, tetapi dapat dipilih sembarang nilai n sedemikian hingga dapat mempermudah supaya langkah awal terpenuhi . selanjutnya, yang ditemukan pada langkah awal merupakan modal untuk langkah induksi. Artinya, jika P(1) benar, maka P(2) benar, jika P(2) benar maka P(3) benar begitu seterusnya hingga disimpilkan P(k) benar. Dengan menggunakan P(k) benar maka akan ditunjukkan P(k+1) benar. Jika P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka formula P(n) terbukti benar. Jika salah satu dari kedua prinsip tidak dipenuhi, maka formula P(n) salah. Bentuk-bentuk Penerapan Induksi Matematika Penerapan Induksi matematika pada Barisan bilangan Misalkan ada sebuah barisan bilangan asli N=1,2,3,4,5......,n. Diketahui bahwa jumlahan dari barisan pertama sampai ke n adalah . Dari pernyataan tersbut akan dibuktikan bahwa adalah jumlahan dari barisan bilangan asli N dari 1 sampai n. Akan digunakan induksi matematika untuk membuktikan penyataan tersebut. Buktikan bahwa 1+2+3+....+n= . Langkah basis P(1) = == benar Langkah induksi Anggap p(k) benar, sehingga hipotesis kita adalah sehingga dapat menggunakan hipotesis untuk membuktikan bahwa P(k+1) benar, kita akan menggunakan ruas kiri dan menggunakan hipotesis induksi untuk memperoleh bentuk pada ruas kanan. = = = = = benar Setelah membuktikan langkah 1 dan 2 benar dengan menggunakan induksi matematika kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n. Contoh : Suatu penyataan menyatakan bahwa jumlahan bilangan ganjil yang berurutan . Buktikan pernyataan bahwa pernyataan tersebut benar! Langkah basis P(1)=1 benar Langkah induktif Anggap P(k)= benar, Akan dibuktikan bahwa P(k+1) juga benar P(k+1)= = = = benar Penerapan Induksi matematika pada Keterbagian Sebelum kita melangkah lebih jauh tentang penerapan induksi matematika, perlu ditegaskan makna keterbagian dalam hal ini, yaitu habis dibagi bukan hanya dapat dibagi. Tentu kamu dapat membedakan antara dapat dibagi dengan habis dibagi. Misalnya, 32 habis dibagi 4, tetapi 32 tidak habis dibagi oleh 6. Pada subbab ini, kita akan mengkaji bagaimana penerapan prinsip induksi matematika pada konsep keterbagian suatu formula bilangan asli. Mari kita cermati masalah berikut ini. Contoh 1 Dengan induksi matematika tunjukkan bahwa habis dibagi 4, untuk n bilangan asli. Penyelesaian: Kita misalkan P(n)= dengan n bilangan asli Langkah basis Untuk n(2) maka = 25-1=24 habis dibagi 4. benar Langkah induksi Anggap P(k) habis dibagi 4 (hipotesis), maka akan ditunjukkan P(k+1)= juga habis dibagi 4. = 5. = (4+1). = , dengan kelipatan 4 pasti habis dibagi 4 dan (hipotesis) habis dibagi 4 Karena P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika maka terbukti bahwa habis dibagi 4, untuk n bilangan asli. Contoh 2 Buktikan bahwa habis dibagi 8 untuk setiap n bilangan asli! Penyelesaian: Kita misalkan P(n)= habis dibagi 8 untuk setiap n bilangan asli Langkah basis P(2)= = = 80 habis dibagi 8. benar Langkah induksi Anggap P(k) habis dibagi 8 benar (hipotesis). Akan dibuktikan bahwa P(k+1) habis dibagi 8 juga benar. Bukti: = = = = = + , dg adalah kelipatan 8 pasti habis dibagi 8 habis dibagi 8 (hipotesis) Karena P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika maka terbukti bahwa habis dibagi 8 adalah benar, untuk setiap n bilangan asli. Penerapan Induksi matematika pada Ketidaksamaan (ketaksamaan) Pada subbab ini kita akan memperluas kajian penerapan prinsip induksi matematika dalam formula yang dinyatakan dengan ketidaksamaan matematik. Untuk lebih jelasnya mari kita cermati contoh berikut ini. Contoh 1 2