ESPACIOS DE HILBERT EUDEMA

ESPACIOS DE HILBERT (Geometría, Operadores, Espectros) Lorenzo Abellanas Catedrático de Métodos Matemáticos en la Universidad Complutense Alberto Galindo Catedrático de Mecánica Cuántica en la Universidad Complutense EUDEMA EUDEMA UNIVERSIDAD: MANUALES Cubierta: José María Cerezo Reservados todos los derechos. Ni la totalidad, ni parte de este libro, puede reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electr6nico o mecánico, incluyendo fotocopia, grobaci6n magnética o cualquier almacenamiento de informaci6n y sistema de recuperaci6n, sin permiso escrito de EUDEMA (Ediciones de la Universidad Complutense, S. A.) ® Lorenzo Abellanas y Alberto Galindo EUDEMA, S. A. (Ediciones de la Universidad Complutense, S. A.), 1987 Fortuny, 53. 28010 Madrid Depósito legal: M 41.685-1988 ISBN: 84-7754-035-7 Printed in Spain Imprime: Anzos, S. A. - Fuenlabrada (Madrid) Índice Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l. Espacios lineales y aplicaciones lineales Espacios lineales . . . . . . . . . . . . . . . . Subespacios lineales . . . . . . . . . . . . . . Bases de Hamel. Dimensión lineal . . . . Suma directa de subespacios lineales . . Aplicaciones lineales y antilineales . . . . Gráfico de un operador lineal . . . . . . . Isomorfismos lineales . . . . . . . . . . . . . Proyectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios del capítulo 1 . . . . . . . . . . . Soluciones a los ejercicios del capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 13 13 14 15 16 17 20 20 21 23 25 2. Espacios lineales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relación norma-distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Compleción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sumas infinitas en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apéndice: Desigualdades de Minkovski y Holder (para sumas) . . . . . Ejercicios del capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones a los ejercicios del capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 31 32 34 36 37 39 42 3. Espacios LP .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . · Borelianos y funciones borelianas . . . . . . ·Integral de Lebesgue. Espacio !f' 1 • • • • • • Propiedades «c.d.». Espacios L 1 • • • • • • • Espacios LP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Otras propiedades de la integral . . . . . . . Comparación con la integral de Riemann Espacios U(!Rn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ejercicios del capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . Soluciones a los ejercicios del capítulo 3 . 49 49 50 55 59 61 62 64 65 67 69 71 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .................... .................... • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • .................... .................... .................... ... .. .. ... ... .... ... .................... .................... .................... 8 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 4. Espacios Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espacios con producto escalar (pre-Hilbert, Propiedades geométricas elementales . . . . Norma inducida por el producto escalar . Ejemplos de espacios con producto escalar Relación norma-producto escalar . . . . . . Espacios de Hilbert. Ejemplos . . . . . . . . Complementos ortogonales . . . . . . . . . . . Ejercicios del capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . Soluciones a los ejercicios del capítulo 4 . ....... Hilbert) ....... ....... ...... ....... ....... ....... ....... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Bases de Hilbert. Separabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt . . . Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espacios de Hilbert separables . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema del isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bases ortonormales y bases lineales . . . . . . . . . . . . . Algunas bases ortonormales importantes de funciones Bases ortonormales en varias variables . . . . . . . . . . Ejercicios del capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones a los ejercicios del capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . 6. Operadores lineales acotados. Generalidades . . Acotación y continuidad de operadores lineales Sobre el dominio de los operadores acotados . Existencia del inverso en d(H 1 , H 2 ) • • • • • • • Estructura de d (H 1 , H 2 ) • • • • • • • • • • • • • • • Algunos operadores interesantes . . . . . . . . . . Ejercicios del capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones a los ejercicios del capítulo 6 . . . . 7. Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funcionales lineales continuos. Espacio dual . Formas bilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Topología débil sobre H . . . . . . . . . . . . . . . Topologías útiles sobre d(H) . . . . . . . . . . . . Apéndice: Principios básicos del análisis lineal Ejercicios del capítulo 7 .............. : . Soluciones a los ejercicios del capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 . 10 l . · 102 . 104 . 107 . 109 . ll O . ll4 . 116 . 118 ................. ................ ................. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ................. ................. ................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................ ................ ................ ................ 8. Algunos tipos importantes de operadores lineales acotados . . . . ~operador adjunto ................................ Operadores autoadjuntos acotados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operadores (autoadjuntos) positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proyectores ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Operadores unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La transformación de Fourier como operador unitario sobre L2 Isometrías parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 75 76 78 79 80 82 85 89 92 123 123 125 126 127 129 136 138 . 143 . 143 . 148 . 150 . 154 . 157 . 163 . 165 . . . . . • • • • ..... 167 167 170 174 179 184 188 191 9 ESPACIOS DE HILBERT Operadores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apéndice (familias sumables) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9. Operadores compactos . . . . . . . . . . . Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . Operadores de la clase Hilbert-Schmidt Operadores de clase de traza . . . . . . ... ... .. ... 10. Espectro y resolvente . . . . . . . . . . . . . . Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades topológicas de u(A) y p(A) Comparación de los espectros de A y A+ Rango numérico y espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................... ..................... ..................... .................... ..................... 11. Espectro de unitarios y autoadjuntos en .s;/(H) Espectro de operadores normales . . . . . . . . Espectro de unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . Espectro de isométricos . . . . . . . . . . . . . . . Espectro de autoadjuntos en d(H) . . . . . . . Espectro de proyectores . . . . . . . . . . . . . . . Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................. ................. ................. ................. ................. ................. ................. 194 195 197 197 201 206 213 213 216 219 220 223 223 224 225 225 226 227 12. Espectro y forma canónica de operadores compactos . . . . . . . . . . . . . 229 Espectro de operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Descomposición espectral de los operadores compactos normales 232 Forma canónica de un compacto arbitrario ................... · 234 Triangulación de operadores compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 13. Introducción a las ecuaciones integrales . . . . . . . . . . Operadores integrales. Generalidades . . . . . . . . . . . Ecuaciones integrales de tipo compacto . . . . . . . . . . Ecuaciones integrales y ecuaciones diferenciales . . . . Propiedades espectrales de los operadores integrales de Núcleo resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Resolución del caso degenerado . . . . . . . . . . . . . . . Método iterativo (Serie de Neumann) . . . . . . . . . . . El método de los determinantes de Fredholm . . . . . Ecuaciones de Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ecuaciones integrales con núcleo simétrico . . . . . . . ........... ........... ........... ........... tipo compacto ........... ........... ........... ........... ........... ........... 14. Descomposición espectral de operadores normales acotados . . . . . . Cálculo funcional continuo con un operador autoadjunto acotado Cálculo funcional boreliano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Los proyectos espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Familias espectrales y medidas espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . Integración respecto de una medida espectral . . . . . . . . . . . . . . . Descomposición espectral de autoadjuntos acotados . . . . . . . . . . Relación entre u(A) y {Et} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... 241 241 244 246 248 249 250 253 256 259 260 265 265 . . . 270 . . . 275 . . . 278 . . . 279 . . . 280 . . . 282 10 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Representación espectral de operadores autoadjuntos acotados con espectro simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Descomposición espectral de unitarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Descomposición espectral de normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 Apéndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Matriz asociada a un operador lineal en A" . . . . . . . . . . . . . . . . Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Traza y determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Producto directo de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tipos importantes de matrices en Mn(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espectro y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo variacional de a(A), A autoadjunta . . . . . . . . . . . . . . . . Localización de los valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Diagonalización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polinomio mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cálculo funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caso particular: Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 293 293 293 294 295 295 296 297 298 299 302 302 303 304 308 Lista de símbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 lndice analítico 311 Biblíografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 1ntroducción · La teoría de operadores lineales en espacios de Hilbert se halla situada en una de esas curiosas confluencias entre la Física y la Matemática, que sólo por hábito dejan de provocar sorpresa. En los últimos cincuenta años, la Física ha recurrido a una teoría matemática basada en espacios de dimensión iriflnita, dotados de una estructura geométrica de tipo euclídeo, para formular sus propios problemas y esquemas de trabajo. Y no es menos cierto que ha devuelto generosamente el favor, tanto por las contribuciones de algunos fisicos a temas de carácter estrictamente matemático como por el planteamiento continuo de nuevos problemas que, a su vez, acaparan la atención y el esfuerzo de los matemáticos, cerrando así un ciclo de intercambios que actúa de catalizador sobre el desarrollo de ambos campos. En estas notas pretendemos dar una visión a la vez autocontenida, concisa y bastante completa de la teoría de operadores lineales acotados en espacios de Hilbert. Tras unos capítulos preliminares sobre espacios lineales normados, se introducen los espacios LP de Lebesgue. Su definición en el capítulo tercero se presenta por un método más rápido que el clásico en teoría de la medida (u-álgebras, etc.), esperando que su dificultad se vea, con ello, muy atenuada. Después de un análisis relativamente detallado de los aspectos más elementales de la geometría de los espacios de Hilbert y de las aplicaciones lineales continuas, se recogen algunas cuestiones relacionadas con los operadores lineales acotados que son de gran importancia, tanto teórica como práctica. Nos hemos reducido al análisis de operadores acotados con el fin de mantener la exposición a un nivel adecuado para sus finalidades docentes en el primer ciclo de la Licenciatura. De hecho, el análisis aquí presentado facilitará enormemente al lector interesado la incursión en problemas lineales no acotados. Entre los tipos más importantes de operadores acotados que quedan englobados en el alcance de estas notas destacan en primer lugar los unitarios, autoadjuntos y proyectores ortogonales, todos ellos casos particulares de los llamados operadores normales. A ellos se dedica el capítulo octavo. Otra familia de gran interés, la de los operadores compactos, ha sido aislada en el capítulo noveno, por gozar de propiedades muy peculiares. Los Capítulos JO, 11 y 12 presentan las nociones básicas de espectro y resolvente, sus propiedades generales y la estructura especifica del espectro de las familias antes citadas. Como aplicación inmediata de los Capítulos 9 y 12, en el Capítulo 13 se analizan algunos aspectos básicos en la teoría de ecuaciones integrales. Finalmente, el Capítulo 14 contiene el cálculo funcional para operadores auto- 12 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO adjuntos (más generalmente, normales) acotados, en sus versiones continua y boreliana, así como la descomposición espectral y tópicos con ella relacionados. Se ha intentado a lo largo de estas notas preservar en lo posible un equilibrio conveniente entre los resultados teóricos dt!l libro y algunos ejemplos ilustrativos intercalados en el texto a tal efecto. Lo cual no significa que se abrume al lector con una sarta de ejercicios monótoname11te repetidos, meramente mecánicos. Bien al contrario, hemos procurado escoger un muestrario de ejemplos, a veces bajo el título de ejercicios, suficientemente representativos y, siempre que ha sido posible, dentro de los operadores que con mayor frecuencia aparecen en la práctica (transformación de Fourier, matrices densidad, operador posición [acotado], operadores integrales... ). Sólo en un equilibrio adecuado entre el estudio de la teoría abstracta y la resolución de ejemplos y ejercicios puede lograrse un dominio razonable del análisis lineal en espacios de Hilbert. En este mismo orden de ideas, y pese a que la teoría de matrices es requisito previo para unos conocimientos de base en teoría general de operadores lineales, hemos creído aconsejable resumir en un apéndice las propiedades más destacables de las matrices finitas, con el doble fin de que el lector pueda consultarlas directamente, y además pensando en que le sirvan como almacén para autoproponerse ejercicios simples en conexión con las ideas del texto. Queremos agradecer a M. A. Iglesias su esmero en el mecanografiado del original de estas notas. Deseamos asimismo agradecer a M.a Ángeles Solano y Daniel Montanya, de Eudema, su inestimable colaboración en la edición y producción de esta obra. 1 Espacios lineales y aplicaciones lineales 1.1. ESPACIOS LINEALES Un espacio lineal (o vectorial) sobre un cuerpo A (que tomaremos= IR ó C) es una tema (L, +, ·) formada por un conjunto no vacío L y dos aplicaciones L x L ~ L, A x L -+ L llamadas suma y producto por escalares, respectivamente, que satisfacen: i) (L, +) es un grupo aditivo ii) A.· (x+y)=A. · x+A. ·y iii) A. · (fJ · x) = (A.fJ) · x iv) (A+fJ) · X=A · X+fJ · x V) } • X=X Vx, yEL VA., !JEA Corrientemente, escribiremos L en lugar de (L, +, ·), sobreentendiendo fijadas las aplicaciones ( +, ·). Y simplificaremos A. · x escribiendo A.x sencillamente, convenio que no induce a error debido a las condiciones (ii-v) precedentes. Los elementos de L se llaman vectores; los de A, escalares. Notaciones Sea L un espacio lineal sobre A, y sean A, B, dos subconjuntos de L. Definimos: A+B={x+ylxEA, yEB} , A+<l>=A A.A::: { A.xix E A} , A.<l>::: <l> AA= U A.A AEA 14 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Ejercicios J. Sea Mn(A) el conjunto de matrices n x n sobre A. Definase una estructura de espacio lineal en Mn(A) mediante las operaciones usuales con matrices. 2. Probar que el conjunto C[a,b] de funciones continuas complejas definidas sobre [a, b] e IR es un espacio lineal, con las operaciones habituales de suma de funciones, etc. 3. Todo espacio lineal L sobre C puede ser considerado como espacio lineal sobre R 4. Sea N el conjunto de n-plas {aJ~ =(a¡, a 2 , ••• , an) con ocie A, dotado de las operaciones {aiH+{Pi}~={ai+Pi}~; A.{ai}~={A.aiH· Probar que es un espacio lineal sobre A. 1.2. SUBESPACIOS LINEALES Un subconjunto no vacío M de un espacio lineal L se dice subespacio lineal deL si M+McM, AMcM. Es elemental probar que: n i) Si {MCl} «e A es una familia de subespacios lineales de L, entonces M Cl lo Cl es también. ii) Si M 1, M 2 , ••• , Mn, son subespacios lineales deL, entonces M 1 +M 2 + ··· +Mn también lo es. En todas estas afirmaciones, L y sus subespacios lineales se consideran sobre el mismo A. Dado un subconjunto (no vacío) X del espacio lineal L, se llama envolvente lineal de X al mínimo subespacio lineal que contiene a X. Se denotará por lin(X). Como consecuencias inmediatas de esta definición: i) lin(X)= n M, donde M es subespacio lineal de L. M=>X ii) lin(X)={xeLix=A. 1 x 1 +A. 2 x 2 + ··· +A.nxn, A.ieA, xieX}. Haciendo hincapié en este último punto, hagamos constar explícitamente antes de entrar a discutir conceptos tales como independencia lineal, etc., que el adjetivo «lineal» lleva siempre implícita la idea de sumas finitas exclusivamente. Así pues, por ejemplo, Iin(X) consta tan sólo de aquellos vectores en L que son alcanzables a partir de los del conjunto generador X mediante producto por escalares y sumas finitas. ¡Independientemente de que el conjunto X fuera finito o no! Ejercicio Sea X:={l, t, t 2 , ••• , elemento de lin(X)? ao tn tn, ... }cC[O, 1). Hallar Iin(X). ¿Es e'=}:---¡ un o n. ESPACIOS DE HILBERT 15 Respuesta lin(X)=conjunto de polinomios en la variable t. No, pues :t:e'~O, Vk entero>O. 1.3. BASES DE HAMEL. DIMENSION LINEAL Un subconjunto finito o infinito X (no vacío) de un espacio lineal L sobre A, se dice linealmente independiente (abreviado l.i.), si A1 x 1 + ··· +AnXn=O, xjEX, AjE A= VAj=O(nE N). Obsérvese que incluso en el caso aparentemente complicado de ser X infinito se deduce de la definición anterior que: X es l.i. si y sólo si todo subconjunto finito de X lo es. Se llama base de H amel (o base lineal) B de un espacio lineal L a todo subconjunto Be L, que sea l.i. maximal, es decir tal que, además de ser l.i., no está contenido propiamente en ningún otro conjunto l.i. en L. La existencia de bases de Hamel en cualquier espacio lineal# {O} la garantiza el lema de Zorn. Pueden probarse las siguientes propiedades relativas a las bases de Hamel: BHl) Todo conjunto l.i. X eL, es ampliable a una base de Hamel·de L. BH2) Dos bases de Hamel de L son coordinables, es decir tienen el mismo cardinal. A dicho cardinal común a todas las bases de Hamel de un L#{O} dado, se le llama dimensión lineal (o algebraica) deL, denotada por dim .... (L) o, de sobreentenderse A, por dim(L). Por convenio, se define dim(L)=O si L={O}. BH3) V base de Hamel B de L=L=lin(B). n BH4) Si B es una base de Hamel de L, la descomposición x= LAjXj, AjEA, 1 xjEB, que existe por BH3 es, además, única. Puede demostrarse sin esfuerzo que existen espacios lineales de dimensión arbitraria. Ejemplos l. Probar que dimc(L)< + oo =dimu¡(L)=2 dimc(L). 2. Sea L = C[O, 1], espacio lineal sobre C. Probar que el conjunto X= Un} donde fn(x)=e"x", es l.i. en L. (Ayuda: Teorema fundamental del álgebra.) 3. Probar que dim .... (A")=n. 4. Considérese el espacio lineal ANde elementos {cxj}i=(cx¡, cx 2 , ••• , ex", ... ), con cx¡E A y operaciones {exJi+ {PJi ={cxj+ Pj}i, A{cxj}i = {Acxj}i. Probar que tiene dimensión infinita. o, 16 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 5. Para convencerse de que los espacios funcionales son frecuentemente y de manera natural de dimensión infinita, demuéstrese que las funciones {x"}O' son l.i. en cualquier espacio de funciones definidas en un abierto no vacío y que contenga a los polinomios. 1.4. SUMA DIRECTA DE SUBESPACIOS LINEALES Un caso particular muy importante de suma de subespacios es el siguiente: Si M 1 , M 2 , .•• , M"' son subespacios lineales de L, diremos que la suma M= M 1 +M 2 + · · · + M n es directa, y la denotaremos .en tal caso: M 1 Ea M 2 Ea ... EBMn, cuando la descomposición x=x 1 +x 2 + ··· +xn, xieMi, es única VxeM. Ejemplo IR 3 =lin({e 1 , e2 })Ealin({e3 })=lin({e 1 , e2 })+lin({e2 , e 3 })= = lin({e 1 , e2 })Ealin({e 1 +e 2 +e 3 }) donde e 1, e2 , e3 , denota la base canónica de IR 3 . Ejercicio Demostrar que dim(M 1 Ea ... EBMn)=dim(M 1)+ ··· +dim(Mn). Sea M subespacio lineal de L. Si M' es otro subespacio de L tal que L=MEBM', diremos que M' es subespacio lineal complementario (o complemento lineal) de M en L. De (BH l) se sigue la existencia de complemento lineal para cualquier subespacio lineal M e L. Hasta aquí se ha definido lo que significa descomponer un espacio lineal en suma directa de subespacios suyos. Ahora vamos con la construcción inversa: dados espacios lineales L 1, L 2 , ••• , Ln, formar un espacio lineal que sea suma directa de los L i· Sea {L..}.. eA una colección de espacios lineales sobre A. El subconjunto del producto cartesiano conjunt•ista nL... formado por los elementos {x .. E L .. lx.. =o " finito de índices oceA}, tiene estructura de salvo a lo sumo para un número espacio lineal: ).{x.. } + Jl{Y..}={h.. + JlY.. } Investido con dicha estructura lineal constituye un espacio lineal que se conoce como suma directa Ea L .., y cuando A es finito se denota también por L 1 Ea L 2 Ea ... " Ef>Ln. - ESPACIOS DE H/LBERT 17 Ejercicios J. Inyectar cada L,. en ~L,., con imagen isomorfa al L,.. (Véase§ 1.7.) 2. Describir C 2 ~C 4 y C[O, l]~C[O, 1]. 3. Considerar la función f: xeR-+3xeR Probar que los puntos de su gráfica constituyen un subespacio lineal de R~R~ R2 • 4. ¿Y los de la función f(x)=x 2? 1.5. APLICACIONES LINEALES Y ANTILINEALES Nota Reservamos el término aplicación ( = ope,.ador) para asignaciones univaluadas. Por el contrario, cuando hablemos de relación R: A -+ B, se tratará de una asignación, en general multivaluada, de A en B. Más tarde, al hablar de inverso, se tendrá oportunidad de distinguir claramente ambos conceptos. Definición 1. 1 Sean L 1 , L 2 , espacios lineales sobre A. Una aplicación u operador T con dominio de definición D ( T), subespacio lineal de L 1 , y recorrido R ( n = = TD(T)cL 2 , se dirá lineal si T(x+ y)= Tx+ Ty T(A.x) =A.· Tx Vx, yeD(T) , VA.eA , VA.eC Obsérvese que escribimos, para simplificar, T(x)= Tx. Si, por el contrario, A = C y T cumple T(x+ y)= Tx+ Ty T(A.x) =I · Tx Vx, yeD(T) se dice que Tes antilineal. Un detalle, «a posteriori» fundamental, que va implícito en la definición de operador lineal es que tal objeto consta de dos partes: el dominio (=conjunto de vectores de L 1 en que está definida su actuación) y la actuación concreta de T sobre ese dominio, es decir, la asignación x-+ Tx. Es esencial darse cuenta de que cada T lleva asociado un dominio de definición, y que en general D(T) no tiene por qué coincidir con todo el espacio L 1 • El siguiente ejemplo puede ser ilustrativo: 18 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Ejemplo L 1 = C(O, 1]. ¿Puede aspirarse a que la aplicación T definida mediante derivación dfdx tenga por dominio todo L 1? No, evidentemente. Pero más aún, incluso restringiendo nuestra atención a las funciones derivables, ¿toda función derivable contenida en C(O, 1] es admisible en el dominio de T=dfdx, siendo L 2 = C[O, 1]? De nuevo, respuesta negativa. Antes, por pretender un espacio inicial L 1 demasiado grande. Ahora, por ser L 2 demasiado pequeño, con lo que algunos elementos que T asignaría como funciones derivadas salen fuera de él. El conjunto, claramente no vacío, de aplicaciones lineales T: L 1 -+ L 2 con dominio D(T)=L 1 y recorrido R(T)cL 2 , admite una estructura natural de espacio lineal sobre A, sin más que definir: Denotaremos tal espacio lineal por !t'(L 1 , L 2 ), y si L 1 =L 2 =L por !t'(L). El elemento nulo de !t'(L 1 , L 2 ) lo denotaremos por O(=OL, .... L,), para abreviar la notación. En particular, el operador identidad (E!t'(L)) lo denotaremos por IL ó 1 sin que haya peligro de confusión con 1 E A. Es inmediato probar, para un operador lineal T: L 1 -+L 2 , que i) V subespacio lineal M del L 1 => T(M) es subespacio lineal de L 2 • ii) En particular, R(T) es subespacio lineal de L 2 • iii) Definamos la relación inversa de T: D(T)cL 1 -+L 2 , como T- 1 : R(T) e L 2 -+ L 1 actuando así: para cualquier Yo E D(T - 1) R(T), es T- 1 (y0 )= {xED(T)ITx= Yo}· = iv) Como se acaba de indicar, T- 1 es generalmente una relación, no univaluada, pese a que T sea univaluada. ¿Cuándo es r- 1 univaluada, es decir un operador? He aquí un criterio útil: Criterio 1.2 (existencia de operador inverso) Dado un operador lineal T: D(T)cL 1 -+L 2 , las tres afirmaciones siguientes son equivalentes: a) T- 1 es un operador lineal: R(T)-+ D(T). b) Tes inyectivo. e) Tx=O=>x=O. <:2) Demostración (b-e) Evidente. ESPACIOS DE HILBERT 19 (a<=>b) La única cosa no trivial es darse cuenta de que, al ser T inyectivo, lleva elementos distintos de D(n a imágenes distintas en R(n. Luego cada y 0 eR(n tiene una preimagen única, que será definida como r- 1 y0 • (CQD). Observaciones a) En general, D(T- 1 ) =R(T) =1: L 2 , así que a !l'(L 2 , L 1 ), incluso si Te!l'(L 1 , L 2 ). r- 1 no tiene por qué pertenecer b) Te!l'(L 1 , L 2 )~R(T- 1 )=:D(n=L 1 • Ejemplos a) b) e) d) Te!l'(L 1 , L 2 ) tal que T- 1 e!l'(L 2 , L 1 ). Tómese L 1 =L 2 , T=l. Te!l'(L 1 , L 2 ) tal que r-• fJ!l'(L 2 , L 1). Tómese L 1 =1:{0}, T=O. Te!l'(L 1 , L 2 ) tal que r-• no es univaluado. Considérese L 1 ~{0}, T=O. T: fe C[O, 1] -+gfe C[O, 1]. ¿3 operador inverso T- 1? No, si por ejemplo g es una función continua con soporte en [0, 1/2]. La composición o producto de dos operadores lineales, T 1 , T 2 , suele escribirse T 2 T 1 si actúa antes T 1 que T 2 , y se define mediante el diagrama: Obsérvese que, tal como la figura sugiere, el dominio D(T2 T 1 ) puede ser mucho más reducido que D(T 1). Más aún, puede incluso darse el caso de que D(T2 T 1)={0}. 20 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Ejemplos a) Sea T: D(T) eL-+ L lineal. Escribamos T" = T · T ... T (n factores). Entonces D(T")=D(T) si y sólo si R(T)cD(T). b) Sea T: D(T)cC[O, 1]-+C[O, 1] con dominio D(T)=conjunto de /EC[O, 1] con derivada continua. Es decir, D(T) ={fE C[O, 1]1/ es de clase C 1 en [0, 1]}. Compárese D(T") con D(T). e) Si T 1 , T 2 , son operadores lineales con D(Ti), R(Ti)cL, entonces D(T2 T1 )=1=(/). ¿Por que? Ayuda: T lineal~TO=O. d) Ejemplo de operador lineal T: D(T)cL-+L con dominio denso tal que D(T2 )={0}. Considérese L=C[O, 1], D(T)={conjunto de polinomios en [0, 1]}, (Tp) (x)=g(x)p(x), siendo g continua no nula con soporte en [0, 1/2]. [Ayuda: teorema fundamental del álgebra.] Si T: D(T)cL 1 -+ L 2 tiene operador inverso T- 1 : R(T)c L 2 -+ L 1 , se satisface: 1.6. GRÁFICO DE UN OPERADOR LINEAL Sea T: D(T)-+R(T), D(T)cL 1, R(T)cL 2 , un operador lineal. Se llama gráfico de Tal conjunto r(T)=:{[x, Tx]lxED(T)}cL 1 IDL 2 • Claramente r(T) es subespacio lineal de L 1 ID L 2 • Y recíprocamente: Ejercicio Un subespacio lineal McL 1 IDL 2 es el gráfico de algún operador lineal con dominio en L 1 y recorrido en L 2 , si y sólo si [0, y] E M~ y= O. ¡Pruébese esta afirmación! 1.7. ISOMORFISMOS LINEALES Dos espacios lineales L 1, L 2 , sobre A se dirán isomorfos (simbólicamente L 1 ::=L 2 ) si 3 alguna biyección TE!t'(L 1 , L 2 ). Se dice que Tes un isomorfismo lineal entre L 1 y L 2 • En tal caso, además, r- 1 E!t'(L 2 , L 1 ), y tanto T como r- 1 transportan las estructuras conjuntistas y lineales de L 1 , L 2 • De hecho, como cada vez que aparece la raíz «morfismo», se significa con ello conservación de las estructuras en cuestión. ESPACIOS DE HILBERT 21 Observando que una biyección lineal transforma bases de Hamel en bases de Hamel, no es dificil demostrar que (ambos sobre el mismo cuerpo escalar A): L ~ L' <=>dim (L) = dim(L') La dimensión lineal o algebraica caracteriza, en consecuencia, los espacios lineales sobre A, salvo isomorfismos. Ejercicios 1. Sea L el espacio lineal sobre ~ de las matrices 3 x 3 reales. Constrúyase un isomorfismo lineal explícito L ~ ~ 9 • 2. ¿Son C[O, l]~C[a, b], a<b finitos, como espacios lineales sobre e? Considérese el cambio de variable x-+a+(b-a)x. 3. Una matriz n X n, A: en-+ en, es un isomorfismo lineal si y sólo si det A#O. 1.8. PROYECTORES Recordemos (§ 1.4) que si L =M 1 É9 M 2 , para Vx EL existe una (única, además) descomposición x=x 1 +x 2 , con xiEMi. Con estas notaciones: Definición 1.3 La aplicación PM,: ·x EL-+ x 1 E M 1 se llama proyector (o proyección) de L sobre M 1 en la dirección de M 2 • Es fácil convencerse de que P M E .ft>(L), y de que es idempotente, es decir, 2 PM =PM. 1 'Por otra parte, R(PM )=Mt> M 2 =PM- 1 ({0}). Así pues, PM- 1 es un operador Efi>(M 1' L ), si y sólo si M1 = L, que es el caso del proyector identidad. Los proyectores son, pues, ejemplos de aplicaciones lineales en ft>(L) idempotentes. Pero es más: son los únicos ejemplos, de acuerdo con la próxima proposición. Proposición 1.4 Dado PE ft>(L ), lineal, idempotente, existe un subespacio lineal M 1 eL tal que P=PM, en la dirección de M 2 , con L=M 1 $M 2 • M 1 , M 2 , son únicos. 22 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Demostración Definimos M 1 =R(P), M 2 =P- 1 ({0}). El resto es una sencilla comprobación. (CQD). Ejercicio Para mejor comprender por qué decimos «proyector en la dirección de M 2 », analizar en los ejemplos pertinentes (sumas directas) del apartado 1.4, cuáles son los proyectores sobre los primeros sumandos, en la dirección de los segundos. ESPACIOS DE HILBERT 23 EJERCICIOS DEL CAPITULO 1 l. Sea L un espacio lineal sobre A(R o C) de dimens,!ón_lineal infinita. Denotan- do por B una base de Hamel de L, y por B, L, los cardinales de B y L, demostrar que L=sup {.B, e} siendo e el cardinal del continuo (e= R= {';). 2. Dado el espacio lineal C[O, 1), demostrar que su dimensión lineal es c. 3. Todo espacio lineal L sobre Ces, en particular, lineal sobre R. Si la dimensión lineal de L es infinita, probar que dimc(L)=dimu¡(L), y establecer una biyección entre ambos espacios. 4. Sea~ lcxiil> wi=(cxil• ... , cxin), L lcxikl• l~j~m(~n), m vectores de C". Demostrar que l~j~m=>{wJT es un conjunto l.i. k~j 5. Demostrar que en M 2(C) las matrices 1, u"' u.,, uz son l. i. [Las matrices u son las llamadas matrices de Pauli: o u.,= ( i -i) O ' 6. Si dim(L) = n (finita), se sabe que para todo par de subespacios lineales M 1 , M 2 cL se tiene M 1 nM 2 ~{0}, siempre que dim(M 1 ) y dim(M 2) sean sufi- cientemente grandes. Esto ya no es cierto si dim(L) es infinita. Exhibir en C[O, Ifdos subespacios M 1 , M 2 , de dimensión igual a la de C[O, 1], y tales que M 1 nM 2={0}. 7. Demostrar que M 1 + .. · +M n=M 1 $ .. · $M 2 si y sólo si M 1 n M 2 = (Mt +M2) nM3= .. ·=(M 1 + ... +Mn_.)nMn={O}. 8. Sea T 1:feD(T.)cC[O, Ii-+f'= ~~eC[O, 1) con dominio D(T.)=Iin({x"ln=O, 1, 2, ... });y sea T2:feD(T2)cC[O, 1]-+f'eC[O, 1] con dominio D(T2)=1in({e"x"ln=O, 1, 2, ... }). i) Calcular T 2T 1 • ii) Probar que ~T1 1 , 3T2 1, como operadores lineales. iii) Demostrar que ~ ningún isomorfismo lineal U entre D(T 1 ) y D(T2) que entrelace T 1 , T 2 (en el sentido T 2 U= UT 1 ). 24 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 9. Considérese en C[O, 1] la conjugación T: f(x)-+ f(x). Demostrar que: i) T es antilineal. ii) y2 =l. iii) C[O, l]=lin({!IT/=f})=lin({!IT/=- /}). JO. Sea en C[O, 1] la aplicación P: f(x)-+f(l-x). Demostrar que con e±= {!IPf= ±/},se tiene: i) e=e +E§ e_. ii) ~ (1 ± P) es el proyector de e sobre e± en la dirección de e+. 11. Considérese el espacio C'[O, oo) formado por las funciones complejas f(x), x e [0, oo ), continuas y con límite finito cuando x-+ oo. Demostrar que C' [0, oo) y e [0, 1] son linealmente isomorfos. ¿Sería esto cierto sin la restricción impuesta a las /(.) a grandes distancias? 12. Sea L un espacio lineal sobre A. Definamos una aplicación bilineal T: LxL-+L como aquella tal que T(l 1 , 12 ) es lineal en cada uno de los argumentos, y sea !l'( 21 (L) el espacio lineal de tales aplicaciones bilineales. Demostrar que !f'( 21 (L) es isomorfo a !l'(L, !l'(L)). 25 ESPACIOS DE HILBERT SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAPITULO 1 B~L. Por otro lado, dados dos subconjuntos finitos ordenados cualesquiera (A. 1, ••• , A.m), A.;EA, (b 1 , ••• , bn), b;EB, podemos asociarles el elemento 1= A. 1 b 1 + · · · + A.,b, EL, r = min {m, n}. Así se define una suprayección 1. Es claro que "" x ... x A) y Dado que A y B son conjuntos infinitos, los cardinales de U<A 1 00 U (B x ... x B) son iguales a A y B, y por tanto L ~ i\8. 1 En consecuencia, B ~ L ~ AB. Ahora bien, dados dos cardinales a.,_l3, tales que 0_</J~a.. a. infinito, se_sabe qu~ a.fl.=a.. Luego A~B=>AB=B=>L=B= sup{B, e}. Por otro lado, B~A=:.B~L~A. y como L~Ab, VbEB, también L;;¡¡:A. Luego L=A=sup(B, e). (CQD). 2. Toda función continua f(x) queda determinada por sus valores sobre los racionales. Luego C[O, l]~ett 0 =e, y el problema precedente permite concluir que B~e. para toda base de Hamel B de C[O, 1]. N Por otro lado, el conjunto {e'""! a. E IR} e C[O, 1] es l.i., pues si });e~,x =O, 1 N VxE[O, 1], entonces la función holomorfa f(z)=~);e~•z sería idénticamente 1 nula, luego f(O)=f(O)=f'(O)= ... ¡<N- 11 (0)=0, sistema este de ecuaciones lineales homogéneas para A. 1 , ••• , A.N, que carece de solución no trivial si a.;:Fa.i, i :Fj. En consecuencia, B;;¡¡:e. Luego B=e. (CQD). 3. Sea Be una base Hamel de L, como espacio lineal sobre C. Es claro que el conjunto Bn={b, iblbEBe} es l.i. sobre IR, y que lin(Bu¡)=L. Luego BR es base de Hamel de L sobre IR. Por otro lado, Hu¡=Be+Be=He, por ser dimc(L) infinita. De aquí, dimn(L)=dime(L). Finalmente, la aplicación N N N n: ~)Rezi+ilmzi)br-+ L(Rezi)bi+ I<Imzi) (ibi) 1 1 1 es una biyección de Le sobre Ln. [Notar que carece de sentido preguntarse si 11: es lineal, pues los cuerpos de escalares para Le y LR son distintos.] 26 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 4. De lo contrario, la matriz rectangular (cxik) tendría rango <m y, por tanto, existirían A. 1, ... , A.meC, no todos nulos, tales que A. 1cxi 1+ ... +A.mcxim=O, ~j ~m. ~ ~ 1 Sea i tal que IA.¡I IA.il• j :F i. Entonces IA.¡IIcx¡¡l = 1L A.icxiil IA.¡I L lcxiil => contradicción. (CQD). i*i i*i [Recordar que el rango de una matriz puede calcularse bien por filas o por columnas, con resultado idéntico.] Es obvio que esto exige cx.,=cx,.=cxz=cx0 =0. (CQD). 6. He aquí varios ejemplos: i) M 1={feC[O, l]lf(x)=O, O~x~l/2} M 2 ={feC[O, l]lf(x)=O, 1/2~x~ 1} ii) M 1 =lin({e'""'lcx>3}) M 2 = lin( {eulcx < 3}) iii) M 1={feC[O, l]lf(x)=f(l-x)} M 2 ={feC[O, I]lf(x)= -f(l-x)} Dejamos al cuidado del lector el probar que M 1nM 2 ={0}, dim(M 1)= dim(M 2 )=dim(C[O, 1]). 7. i) si: Basta probar que si x 1+ ... +xn=O, X¡EM¡, Vi, entonces X¡=O. Como -xn=X1 + ... +xn_ 1eM 1+ ... +Mn_ 1, -xneMn, y (M 1+ ... +Mn_ 1)nMn= {O} concluimos que xn=O, x 1+ ... +xn_ 1=0. Repitiendo este razonamiento, iremos concluyendo sucesivamente que Xn- 1=0, Xn- 2 =0, ... , x 1=0. ii) sólo si: De ser, por ejemplo, (M 1 + .. ·+M¡)nM¡+ 1 #{0}, existiría O#;-x¡+ 1 EM¡+ 1 tal que -X¡+ 1 =x 1 + .. ·+x¡eM 1 + .. ·+M¡, esto es, x 1 + ... +xi+ 1=0, con algún sumando no nulo. Contradicción. (CQD). 8. i) Por las propiedades de la derivación f-+ f', es evidente que R(T1)c D(T1 ), R(T2 )cD(T2 ). Por otro lado, D(T2 )nD(T1)={0}, ya que {x", e"'xmln, m=O, 1, ... } es l.i. Luego: ii) T 1: f=const.-+0. Luego T 1 no es inyectiva. (e"'p(x))':=O.=>p(·)=O, V po- linomio p. Luego T 2 es inyectiva. iii) Simple consecuencia de ii), pues de existir tal U, de T 1 no inyectiva se seguiría T 2 no inyectiva. (CQD). ESPACIOS DE HILBERT 27 9. i, ii) Evidentes. iii) El conjunto {!IT/ = f} es el formado por las funciones en C[O, 1] reales; el otro conjunto {!IT/ = - f} lo constituyen las funciones en C[O, 1] imaginarias puras. Ninguno de ellos es subespacio lineal (sobre C), pues · {!ITf=- f}=i{!ITf= f}. Pero para 'v'f: f=Ref +ilm/Elin({!ITf=f})= lin({!IT/=- !}). (CQD). JO. La operación P refleja cada fE C[O, 1] con respecto al punto medio del intervalo [0, 1]. e+ está formado por las funciones pares bajo esta reflexión y e_ por las impares. Ambos son, obviamente, subespacios lineales, por ser P lineal. Y puesto que dada /EC[O, 1], f(x)= /(1-x)], esto es, l=~(l+P)+~(l-P)), ~(f(x)+ f(l-x)]+~(f(x)- concluimos que e=e++e-. Más aún, esta suma es directa, pues si f + + f _ =O, f ± E e±, forzosamente f + = f _=O, ya que una función continua no idénticamente nula no puede ser a la vez par e impar. Luego e=e+ a!Je_. Finalmente, es claro que ~ ( 1± P) es el proyector de ~(1±P)f±=f±, ~(l±P)/:¡:=0. Por tanto, e sobre e± en la dirección de e:¡:. (CQD). 11. La aplicación T: C(O, 1]-+ C' [0, oo) definida mediante f(·)-+(Tf) (x)=f(~ arctg x) O:o;;x< oo establece un isomorfismo del tipo deseado. Aunque en dimensión finita un espacio lineal L 1 isomorfo a otro L 2 no puede serlo a L 3 si L 3 ~ L 2 , esto ya no es cierto en dimensión infinita. Denotando por C[O, oo) el conjunto de todas las funciones continuas en (0, oo ), argumentos análogos a los seguidos en el problema 2 muestran que dim(C(O, oo))=c y, por tanto, C[O, oo) y C(O, 1] son isomorfos linealmente. (Construir explícitamente un isomorfismo es otra cuestión.] 12. Dado TE!l'121 (L), es claro que T(l, ·): 1'-+ T(l, 1') pertenece a !l'(L), y que 1-+ T(l, ·) depende linealmente de l. Así" asociamos a TE!l'121 (L) un elemento de !l'(L, !l'(L)). Recíprocamente, dada U E!l'(L, !l'(L)), asignémos1e la aplicación lineal (1, 1')-+ u (1) 1'. Es inmediato comprobar que así se establece el isomorfismo buscado. 2 Espacios lineales normados 2.1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS Un espacio lineal normado (L, 11 · 11) sobre A es un espacio lineal L sobre A junto con una aplicación x EL-+ llxll E IR tal que: (NI) (N2) (N3) (N4) llxll ;¡:o llxll =0-x=O IIA.xll =IA.IIIxll llx+ Yll ~ llxll + IIYII Vx, yEL, VA.EA Cuando no haya lugar a dudas, escribiremos L en lugar de (L, ll·ll),sobreentendiendo prefijada la aplicación 11·11 asociada. La norma 11·11 induce sobre L una distancia d(x, y)= llx- yll, y en consecuencia una estructura topológica de espacio métrico. Toda referencia topológica a L se supondrá relativa a esta topología, mientras no se especifique lo contrario. Ejercicios l. Probar que d(x, y)= llx- yll es en efecto una distancia sobre L. 2. Demostrar que Vx, yEL: lllxll-llylll~llx-yll. 3. Probar que x, y-+ x +y es una aplicación continua de L x L en L. 4. Idem para;.,, x-+A.x de AxL en L y para xEL-+IIxiiEIR. Subespacios de espacios lineales normados Si (L, 11·11) es lineal normado, todo subespacio lineal M eL hereda por restricción la estructura normada de L. Con esta estructura, M es, a su vez, espacio lineal normado. Se dirá sencillamente que M es subespacio de (L, 11·11) o, incluso, de L, sobreentendiendo la norma cuando no haya lugar a confusión. 30 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Ejemplos de espacios lineales normados (ELN-1) Considerado A"(= IR" o C") con la norma euclídea 11·11 2 definida por: es fácil probar que constituye un espacio lineal normado cuya topología métrica asociada es la euclídea usual. (ELN-2) He aquí varios espacios lineales normados construidos sobre subespacios lineales de N'~ (véase § 1.3). 1!{:: {x= (ex¡, cx2, ... , ex"' ... )EAN lllxiiP= [:EicxiiPJliP < + oo} , 1 ~p< + oo l~={x=(cx¡, cx2, ... , CXn, ... )EANIIIxll..,=suplcxnl< +oo} n El carácter lineal normado de los 1~~. es consecuencia de la llamada desigualdad de Minkowski (véase Apéndice al final de este capítulo). (ELN-3) Una generalización inmediata que se ofrece a la vista del ejemplo anterior es considerar no ya conjuntos numerables ( = coordinables con los enteros naturales o una parte de ellos) de índices, sino familias más generales {cx 7, y E r}, siendo r un conjunto de índices arbitrario, por ejemplo un intervalo de la recta real, etc., de manera que se pueden definir nuevos espacios lineales normados l!{(r), l~(r) constituidos por todos aquellos {cx 7, y E r} tales que todos los escalares cx 7 e A son nulos excepto una colección numerable (con las operaciones lineales definidas componente a componente, como se hacía ya en el caso numerable) y tales que las respectivas normas 11·11 P y 11·11"" sean finitas. Ejercicios l. Probar que ll({l, 2, ... , n})~A". 2. r=[O, I]=>dim(lP(r))=c. (Es fácil probar que esta dimensión es mayor o igual que la del continuo. No es tan fácil demostrar que es exactamente la del continuo.) (ELN-4) Sea K un compacto de IR", y sea C(K) el espacio lineal constituido por todas las funciones f: K- C continuas sobre K. Investido con la norma ESPACIOS DE HILBERT 31 llflloo=suplf(x)l K se convierte en espacio lineal normado. (ELN-5) C(K) admite otras estructuras normadas, como por ejemplo (C(K), 11·11 2 ) con: Ejercicio Probar que 11·11 2 es una norma. Utilícese la desigualdad de Minkowski. (Véase Apéndice del Capítulo 3.) (ELN-6) Un ejemplo extraordinariamente importante, el de los espacios L 2 de Lebesgue, queda aplazado al próximo capítulo, pues tanto su gran interés como su delicada introducción exigen un tratamiento particular y detallado. 2.2 RELACIÓN NORMA-DIST ANClA Al objeto de evitar confusiones acerca de la transición 11·11-+d(.,.), antes citada, debemos insistir sobre las diferencias entre ambos conceptos, «norma» y «distancia», tal vez no suficientemente conocidas debido a la gran inercia que supone el haber trabajado siempre, o casi siempre, en métricas euclídeas. Para empezar, la noción de norma sobre un L exige, obviamente, que L sea espacio lineal, mientras que la definición de una distancia sobre un conjunto arbitrario es posible siempre. Pero incluso a nivel de espacios lineales, aunque ya se ha dicho que toda norma define una distancia asociada, el inverso es falso. Para poner en claro este punto, puede ser conveniente tener en cuenta que, dadas dos normas cualesquiera sobre A" (IR" o C"), puede demostrarse que existen constantes finitas a:, p>O tales que Se dice que ambas normas son equivalentes (porque definen la misma topología métrica asociada en A"). Por el contrario, existen distancias no provenientes de normas, que originan topologías métricas distintas: 32 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Ejercicios 1. Considérese la función .,( a: IR 2 X IR 2 -+ IR definida por: >={d(x,y) si 3A.e!R talque y=A.x . d(x, O)+d(O, y) en caso contrano a~y- donde des la euclídea usual. Probar que a aes una distancia para !R 2• 2. La distancia no proviene de ninguna norma. 3. Las distancias d, definen topologías no· equivalentes sobre IR 2 • (Ayuda: construir las bolas métricas en ambas topologías y estudiar a, la sucesión de puntos G, 1) cuando n-+ oo.) 2.3. SUCESIONES CONVERGENTES En un espacio lineal normado (L, 11·11), una base de entornos para un punto x 0 eL está formada por las bolas abiertas de radios racionales: B(x 0 , r)={xeLIIIx-x 0 11 <r, reO} Paralelamente, dada una sucesión {x,.} i e: L, se dice que converge en L a x 0 , simbólicamente x,.-+x0 , si llx,.-x0 11-+0 cuando n-+ oo, con x 0 eL. Otro concepto importante es el de sucesión de Cauchy (o fundamental): Se dice que {y,.}i es de Cauchy si. lly,.- Ymll-0, es decir si para 'v'e>O, n, m-+ oo 3N>O tal que lly,.-ymll <e, 'v'n, m> N. Proposición 2.1 Toda sucesión convergente en (L, 11·11) es de Cauchy. Demostración (CQD) Sin embargo, Cauchy +convergente. (L, 11·11) se dice completo si toda sucesión de Cauchy es convergente en L. Y un subconjunto no vacío S e: (L, 11·11) se dice completo si toda sucesión de Cauchy {s,.}i e: S converge en S. ESPACIOS DE HILBERT 33 La relación de esta serie de definiciones con la topología del espacio lineal normado L, depende del siguiente: Lema 2.2 Dado un subconjunto S e (L, 11·11) y un vector x EL: x E S<=> 3 sucesión {xn} j e S tal que Xn-+ x Demostración Sencillo ejercicio en topología métrica. Proposición 2.3 Si (L, 11·11) es completo, y S e (L, 11·11) un subconjunto no vacío, entonces: S completo<=> S cerrado Demostración [=>] Sea S completo. Si {xn} e S es tal que xn-+ Y/f L·1 entonces {xn} es de Cauchy en S, luego convergente en S. · [~J Dado S cerrado, si {xn} e S es de Cauchy, debe converger en L (completo) hacia yES=S, luego S es completo. (CQD). Ejemplos 1. IR" y C" son completos con la norma euclídea 11· h 2. 1~ es completo en la norma 11·11 2 definida en §2.1. Véase por ejemplo [Taylor]. 3. (C[O, 1), 11·11 2 ) no es completo. Bastará convencerse de que la siguiente sucesión {fn}i' de C[O, 1] es fundamental pero no converge en (C[O, 1], 11·11 2 ). o Sea fn(x)= 1 1 O:s;;x=s;;--2 n 1 1 1 2 2 n -~X~--- 1 2 :s;;x:s;;1 o ~ 34 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO { 1} O, ifn tiende a una función f(x)= O~x< 2 1 1, 2 que no pertenece a C[O, 1]! ~x~l Nótese que es esencial hablar de sucesiones convergentes en tal o cual espacio, pues el que una sucesión dada sea o no convergente depende no sólo de la propia sucesión, sino del espacio en que se trabaja. El próximo ejemplo insiste en este aspecto. II·ILX>), el conjunto &l de polinomios es un subespacio lineal normado. El teorema de Weierstrass asegura que para VfeC[O, 1], existe alguna sucesión de polinomios {Pn}i'-+ f en la norma ll·lloo· Luego si f~&l, tenemos un ejemplo de sucesión de Cauchy {Pn}i' que no es convergente en &J, pero sí lo es ea C[O, 1]. 4. En (C[O, 1], 5. Todo espacio lineal normado de dimensión.finita sobreRo Ces completo, por serlo R y C. (Tener en cuenta que basta probarlo para la norma euclídea, por lo dicho en §2.2.) 6. Un mismo L puede ser completo en una norma y no completo en otra. Así por ejemplo (C[O, 1], 11·11 2 ) no era completo, y sin embargo (C[O, 1], ll·lloo) sí es completo. En efecto, si {fn}i' es de Cauchy en ll·lloo, entonces llfn- fmii<X;<e, Vn, m>N(e). Es decir que Vt: lfn(t)- fm(t)l<e paran, m>N(e). Así que {fn(t)}l es de Cauchy Vt, luego 3 lim fn(t)=.f(t). Además, fn converge uniformemente a f sobre [0, 1] (basta tender m-+ oo en la desigualdad precedente). Y, como se sabe, el límite uniforme de funciones continuas es otra función continua, de modo que feC[O, 1]. (CQD). Nota Se suele llamar espacios de Banach a los espacios lineales normados completos, en honor del matemático polaco Stefan Banach (1892-1945). 2.4. COMPLECIÓN De los anteriores ejemplos puede concluirse de forma intuitiva que si una sucesión de Cauchy en (L, 11·11) no converge en L es porque L es demasiado pequeño. O, dicho de otra manera, parece que dichas sucesiones serán convergentes si se amplía suficientemente el espacio L. Esta idea intuitiva es confirmada por la operación consistente en «completar» espacios normados. ESPACIOS DE HILBERT 35 Teorema 2.4 Todo espacio lineal normado L=(L, 11·11) admite una compleción C, espacio lineal normado completo, única salvo isomorfismos en norma, tal que L es denso en y 'VxeL=> llxllc= llxiiL· e Explicación Dos espacios lineales normados L 1 , L 2 , se dicen isomorfos en norma si 3 isomorfismo lineal T: L 1 -+L 2 que es isométrico en el sentido de que IITxliL, = llxiiL,• 'VxeL 1 • Demostración Nos limitaremos a indicarla simplemente, pues es análoga a la seguida para construir IR a partir de 10. Se completa L añadiéndole elementos «ideales», clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy sin límite en L. La estructura lineal normada se extiende al por continuidad, pues L es denso en C. e Ejemplo Puede demostrarse que en la notación del ejemplo 4 en § 2.3, la compleción de (9, II·IL.,) no es sino (C[O, 1], 11·11,.,). Otros ejemplos interesantes los encontraremos en el próximo capítulo, al presentar los espacios LP funcionales. Proposición 2.5 Si M es un subespacio lineal de (L, 11'11) y éste es completo, entonces M es subespacio completo de (L, 11·11). Demostración Que el cierre M de M es aún subespacio lineal se sigue de que para cualesquiera X, y E M existen sucesiones {x,.} ro' {y,.} ro en M tales que lim x, =X, lim y,.= y. Claramente, {cxx,.+Py,.}ro e M es de Cauchy y converge hacia cxx+Py. Luego cxx+PyeM. En cuanto al hecho de ser M completo, se sigue de la proposición 2.3, en § 2.3. (CQD). Ejercicios l. Si N es un subconjunto finito de (L, M=lin(N), probar que M=M. 11·11 ), espacio normado, y si 36 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 2. Sin embargo, en dimensión infinita, no todo subespacio lineal es cerrado. Como contraejemplo, sirva de nuevo &'e (C[O, 1], ll·lloo). Se trata de un subespacio lineal propio denso, ¡situación imposible en dimensión finita! 3. Otro contraejemplo lo da en lx el espacio de aquellos elementos con todas las componentes nulas salvo, a lo sumo, un número finito de ellas. Es lineal, propio y denso en K (Ver ejercicio 9 al final de este Capítulo.) 2.5. SUMAS INFINITAS EN ESPACIOS NORMADOS Definición 2.6 00 00 Se dirá que, dados v,e(L, 11-11), la suma ¿v, converge en L hacia v, o que ¿v, 1 00 1 k tiene por suma v, o que v=Iv,, si 3veLtal que IIIv,-vll-0. 1 1 k-+ 00 00 O sea, si la sucesión constituida por las sumas parciales de Lv, es convergente 1 00 con límite ve L. Debe hacerse notar que tal operación L para vectores es posible 1 porque sobre L hay una estructura normada con la consiguiente topología métrica asociada. No es una pura operación algebraica de suma, sino que necesita, además, de la noción topológica de límite. Recordando lo que ya se explicó en § 1.2, cuando se trabaja con la única estructura de espacio lineal (no normado), uno puede tan sólo efectuar sumas finitas y producto por escalares; en resumen, lo que se suele denominar «combinaciones lineales» (finitas!!!). Para pasar a sumas infinitas se precisa la topología. Ejemplos Comparar esta situación con la del caso particular: sumas finitas y series en o c. ~ Ejercicio 00 Para que ¿v,, v,e(L, 11·11), sea convergente, es necesario que llv,ll-0. 1 Pero no es suficiente. ¿Por qué? n~oo ESPACIOS DE HILBERT 37 2.6. APÉNDICE: DESIGUALDADES DE MINKOWSKI Y HOLDER (PARA SUMAS) Desigualdad de Holder {ai}ielll. {bi}iel'- Demostración Es suficiente probar, módulo un cambio de escala, que Considerando que la curva y=xP- 1 (o, equivalentemente, x= y'l- 1) es convexa o cóncava, y monótona, resulta que si definimos Xo (Caso { sx.= Joj"• i Xp- 1 dx= Yo Sy o = o y'l- (Curva arbitraria) xg} p ,,q 1 Xo X p~2) dx= :!".!!. f q xg y~ entonces S"• +Sy. =- +- ~x 0 y 0 = p q =área del rectángulo. Haciendo en particular x0 =lail• y 0 =lb), y sumando entre 1 e oo=> (CQD). Nota p, q tales que ~ + ~ = 1 se suelen p q llamar exponentes conjugados. Es intere- san te señalar el papel simétrico que juega el valor p = q = 2. 38 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Desigualdad de Minkowski (~laj+bjiPY'p ~(~1aj1PY'p +(~lbjiPY'p p;;;:: 1 {ai}i. {bi}l e/K Demostración Trivial para p= 1, o cuando ai+bi=O, Vj. En los restantes casos, la identidad (lcxl + lfJI)P = (lcxl + lfJI)P- 1 (lcxl + IPD con ex= ai• P= bi implica, tras sumar: oc oc oc L(iail + lbii)P= L<laA+ lbii)P- 1 Iail + L (lail + ibii)r 1 lbil 1 1 1 La desigualdad de Holder aplicada a la derecha, recordando que en ella era (p-l)=pfq completa la demostración. (CQD). 39 ESPACIOS DE HILBERT EJERCICIOS DEL CAPITULO 2 1. Probar que en un espacio de Banach B toda sucesión convergente es acotada. ¿Es cierto el recíproco? 2. .Recordemos que una metrica o distancia sobre un conjunto no vacío X es cualquier aplicación p: X x X-~ que cumpla: (DI) (D2) (D3) (D4) p(x, y)~O. Vx, yeX. p(x, y)=O<=>x=y. p(x, y)=p(y, x), Vx, yeX. p(x, y)::;;;p(x, x 1 )+p(x 1 , y), Vx, y, x 1 eX (desigualdad triangular). Y en tales espacios métricos (X, p) una base para la topología métrica la constituyen las bolas abiertas B(x, r)::{yeX:p(y, x)<r}, VxeX, Vr>O Demuéstrese que en cualquier espacio métrico (X, p): 3. La aplicación de ~ x ~ en ~ definida por p: x, y- p(x, y)= 1 lx - Yl l es una 1 +x-y métrica para ~. Pruébese. ¿Proviene dicha métrica de alguna norma definida en el espacio lineal ~? 4. Pruébese que todo conjunto no vacío X admite al menos una estructura métrica. 5. Considérese la aplicación p: ~ 2 x ~ 2 - ~ dada por: Q)={~(P,O)+d(O,Q) P#Q P=Q donde d denota la distancia euclídea usual y O el origen del plano ~ 2 • Probar que: a) p define una métrica en el plano. (Digamos «métrica del repartidor de telegramas».) b) Todos los puntos (excepto el O) son abiertos. e) Todas las bolas abiertas B(O, r) son, a la vez, cerradas. P, Q-p(P, :: J definida sobre el plano en §2.2 (o «métrica de la RENFE») no es localmente compacta. (Nota: se dice que un espacio topológico es localmente compacto si todo punto en él tiene algún entorno compacto.) 6. Probar que la métrica 40 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 7. En los espacios métricos la completitud no es invariante topológico. Pruébese con f: IR-+(-1, +1) definida mediante la asignación x-+f(x)= 1:lxl' 8. Dar un ejemplo de sucesión en IR que sea de Cauchy en alguna métrica, pero que no sea de Cauchy en la métrica euclídea. 9. Considérese en F(=i~) el subconjunto F de todos aquellos v=(cx 1, cx 2, ... )e/ 2 que sean de tipo finito. Es decir, veF si 3n 0 (v) tal que cxi=O, 'Vj>n 0 (v). Probar que: a) F es subespacio lineal de F. b) F=FF. e) Fes denso en 12 • JO. Mismas cuestiones en (C[O, 1], ll·lloo) con el subconjunto flJJ de todos los polinomios P( t ), tE [0, 1]. 11. Sea McF el subconjunto de todos aquellos v=(cx 1, cx 2, ... )eF tales que lcxd ~ lcx2l ~ lcx31 ~ .. · ¿Es M subespacio lineal cerrado en 12? 12. Definamos sobre IR 2 las aplicaciones II·IIP dadas por v=(cx¡, cx2)EIR 2-+ llvllp=[lcxdP+Icx 21PPIPe!R a) Describir las bolas centradas en el origen, para el caso p= l. b) Idem para p=2. e) Sea el triángulo de vértices (0, 0), (0, e), (e, 0). Comentar la posible validez del teorema de Pitágoras para ese triángulo, en las diversas normas 11 · llp· 13. Demuéstrese el siguiente teorema, debido a S. Banach, que ha jugado -y sigue jugando- juntamente con varias generalizaciones posteriores, un papel crucial en el análisis: Teorema Sea (M, p) un espacio métrico completo. Sea T: M-+ M una aplicación para la que existe k< 1 tal que Entonces 3 un (único) xeM tal que Tx=x. Además, x=lim T"x 0 , Vx 0 eM. Nota Tales aplicaciones se dice que son «estrictamente contractivas». Y se dice que x es «punto fijo» de T. ESPACIOS DE HILBERT 41 14. Sea la aplicación T= R2 -+ R2 , cuya matriz en una cierta base ortonormal del plano e 1, e2 , es T=!(J3 -1) 4 1 J3 Probar que es una contracción estricta y hallar .su punto fijo. 15. Dar un criterio sencillo para saber qué matrices autoadjuntas son estrictamen- te contractivas en en. 16. ¿Cuáles de estas aplicaciones son contractivas estrictas? Buscar el punto fijo de las que lo sean. a) A: R-+ R definida por Ax =ex b) B: [2, oo)-+ [~, oo) definida por Bx = Jx + ~ e) C: L2 (R)-+L 2 (R) definida por Cf= T-x•¡ 1 d) D: [1, oo)-+[1, oo) con Dx=x+X e) E: C[O, b]-+C[O, b] con (Ef) (x)=f~f(t)dt, O~x~b Nota R, [2, oo) se consideran investidos con la métrica euclídea usual. Y C[a, b] con norma 11 • 11 oo· 42 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAPITULO 2 J. Sea {vn}'i' e B, tal que V n - v. n-+oo Dado &>0, existe pues un N 0 =N0 (e) tal que llvn-vll <&, Vn>N 0 • Luego Vn>N 0 => llvnll = llvn-v+vll ~ llvn-vll + llvll < llvll +e. Luego escogiendo una constante e=máx {llvll+e, llv 1 ll, llv 2ll, ... , llvN.II}<oo se deduce que: Que el recíproco no es cierto lo muestra la sucesión {en} 'i' e ll, donde en= (0, O, ... , O, 1, O, '--y---1 ... , O, ... ) n En efecto, la sucesión es acotada, pues llenll 2 = 1, '<In. Mientras que llen-em112 = J2, Vn::/=m, lo cual muestra que no es de Cauchy. 2. De (D4) se deduce que lp(x, x 1 )-p(x 1, De m_anera que r 1 ,J,, y)l~p(x, y), Vx, x 1 , yeX (*). ~ •• , :o< . . ,. J lp(vn, wn)-p(v, w)l~lp(v~', wn)-p(vn, w)l+lp(vn, w)-p(v;' w)l~ ~p(wn, w)+p(vn, v ) - O, por ser Vn-+V, Wn-+W. n-+oo En la segunda desigualdad hemos utilizado (*). 3. Las propiedades (DI), (D2), (D3), son obvias. Veamos la (D4): llamando para abreviar a=lx-yl, b=lx-x 11, e=lx 1 -yl, la desigualdad (D4) equivale, tras reducir a común denominador, a esta otra: a~b+e+be(a+2). Pero por ser a~ b +e (propiedad triangular del módulo de los números complejos), eso equivale a que O~ be(a+ 2), trivialmente cierta porque a, b, e, son ;;;¡:O. Es curioso observar que esa extraña distancia satisface p(x, y)< 1, Vx, ye!R Esta simple observación última deja claro que p no proviene de ninguna norma. 4. En efecto, siempre es posible definir sobre él la llamada «métrica discreta», ~ : X x X-+ IR, a saber: ~(a, b)= g: :~: ESPACIOS DE H/LBERT 43 Es elemental comprobar (Dl-4) para esta {J. Se le llama «discreta» por cuanto cada punto a eX carece de vecinos a distancia < 1, es decir, que B(a, r)= {a}, Vr < l. Obviamente, el espacio métrico así obtenido es completo. Es una métrica muy patológica. Sus bolas abiertas son o un solo punto (radio < 1) o todo el conjunto X (radio ;;::: 1). Nota Esta {J determina sobre X la llamada «topología discreta». 5. a) Simple comprobación de (04). El resto, trivial. b) En efecto, si p(P, O)=k, entonces B(P, r)={P} para r<k, luego el conjunto {P} coincide con una bola abierta. e) En efecto, ~ 2 - B(O, r) es abierto (unión de abiertos, sus puntos). 6. El origen tiene por bolas centradas en él, B(O, r)={P:d(P, O)<r}. Para ver que el cierre de cualquiera de ellas es no compacto en la métrica J, basta exhibir una sucesión Q, de puntos en él que no tenga punto de acumulación. Sea Q,= ;e¡"'"· Como a(Q,, Qm)=r, Vn#:m, es claro que {Q,}I carece de subsucesiones convergentes. 7. Considerados ~ y ( -1, + 1) con la topología métrica usual (la euclídea), f es un homeomorfismo. Pese a lo cual ~ es Banach, mientras que (- 1, + 1) no lo es. 8. La sucesión x, = n, n = 1, 2, ... , no es de Cauchy en la métrica euclídea. Sin embargo, en la métrica que define sobre la recta real p(x, Y>=ll :1x1- 1:IYII esa sucesión es de Cauchy: p(x,, Xm)=ln: 1 -m: J-.o, para n, m--+ oo (Pruébese como ejercicio complementario que esa p es realmente una métrica sobre ~.) 9. a) Dados v, w e /2 , es evidente que A.v + JLW tiene nulas todas las componentes que fueran nulas simultáneamente en v y en w. Luego A.v+JLweF todavía, VA., JLEC. b) El elemento V 00 =(1, ~· ~· 3 ~, ... , ~· .. .)no es de tipo finito. Y, . 2 . 2-f 2_ 1 1 sm embargo, ve/, pues. llvll 2 =flcxil -1 + 3 + 9 + geométrica de suma finita 3/2. ··· + 31, + ... , serie 44 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO e) Hemos de probar que cualquier v=(oc 1 , oc 2 , ••• , ocn, ... )e/2 es límite de alguna sucesión {fn}i' e F. En efecto, si tomamos fn =(oc¡, oc 2 , ••• , OCn- ¡, ocn, O, O, ... ), con las n primeras componentes idénticas a las del v y el resto nulas, se tiene: llfn-vll~= oc L locil 2, que tiende a cero cuando n-+ oo, por ser ve/ 2 (es decir, n+l 00 la serie L locil 2 < oo). 1 JO. a) Es evidente que P 1 , P 2 , polinomios=> A.P 1 + J-LP 2 polinomio todavía. si x ~ 1 .. { O /2} . b) Lafunc10nj(x)= x-l/ 2 si x> 112 escontmuaen[O, l],peronoes un polinomio. (El teorema fundamental del álgebra afirma que un polinomio no nulo se anula a lo sumo en una familia finita de puntos.) e) La densidad de 9 en C[O, 1] relativa a la norma ll·lloo del supremo es exactamente el contenido del teorema clásico de Weierstrass. 11. No es ni subespacio lineal, porque si llamamos v 1 =(1, 1, O, O, O, ... ) y v2 =(-l, 1, O, O, ... ), entonces claramente v1 eM, v2 eM, pero v1 +v 2 rtM. 12. a) 'Gráfico de la bola B(O, r) en 11·11 1 • ¡Las bolas son cuadradas! b) Aquí B(O, r) es la usual. e) Si llamamos e a las longitudes (en sentido 11·11 1 ) de cada cateto: 11(0, e)ll 1 =ll(e, 0)11 1 =e, y llamamos h=IIO, e)-(e, 0)11 1 a la longitud de la hipotenusa, entonces: e+e=h ESPACIOS DE HILBERT 45 e e ¡en lugar de c2 +c 2 =h 2 , como afirma en 11·11 2 el teorema de Pitágoras! Nótese que, en general, en II·IIP' para el citado triángulo se tiene: Observación Se volverá a ver el papel crucial de la norma p = 2 en un marco más amplio, en el capítulo cuarto. 13. Tomemos cualquier punto x 0 eM. Definamos la sucesión Por ser T contracción estricta => {xn}~. con xn=T"x0 • Luego llxn+p-xnll ~ llxn+p-Xn+p-111 + ... + llxn+ 1-xnll ~ ~ (kn+p- 1 + ... +k") llx1 -xoll Y de la desigualdad evidente kn+p- 1 + ... +k"~ l~k deducimos que 'v'n~O. 'v'p~ 1 Hemos probado (recordar que k< 1 => 1~k -;:-:O) que {xn}~ es una sucesión de Cauchy. Por ser M completo por hipótesis, existe lim xn, al que llamaremos x. Es decir, x=.lim xn. El resto de la demostración es ya inmediato. a) 11 Tx-xll ~ 11 Tx- Txnll + 11 Txn-xll ~kllx-xnll + llxn+ 1-xli-O. n .... oc Luego Tx=x, que demuestra el carácter de punto fijo de x. b) Es el único punto fijo de Ten M. Porque si hubiese otro llx-xii=IITx-Txll~kllx-xll. y al ser k<l se seguiría que TX=x, sería x=x. 46 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO e) El x 0 de partida en esta demostración es arbitrario; luego, tal como afirmaba el teorema: 14. S1. v 1= (x ~o y¡), entonces Tv 1= (J3x1-Y1 , X1 +J3y1') . Luego 4 4 1iTv1-Tv2ii 2= / 6 ii(J3(x¡-x2)-(y1-Y2), (x1-x2)+J3(y1-y2))ii 2= 1 2 2 1 2 =T6[4(x1-x2) +4(y¡-y2) 1=¡11v1-v211 Luego 11Tv¡-Tv 2 ll~kllv 1 -v 2 ll, con k=~<l. Así pues, Tes estricta~ente contractiva. Su punto fijo es claramente v = (0, 0). Sería interesante que el lector llegara a él por lim T"v 0 , con v0 =(1, O) por ejemplo. 15. Al ser diagonalizables, una de tales matrices es expresable como y será estrictamente contractiva si y sólo si lA.il < 1, 'Vj = 1, 2, ... , n. En efecto, dados v = n n 1 1 ' Lcxiei, w = LPiei, en la misma base ortonormal a que está referida la matriz, obtenemos: n que es ~k 2 IIcxi-Pil 2 =k 2 llv-wll 2 , con k<l, si y sólo si max ¡;.il<l. j 1 16. a) No es estrictamente contractiva. Por ejemplo, x =O, y= 1 => le.x-eyl=le-11> 1 =lx- Yl b) IBx-Byi=IJx-JYI~ IJx-JYI·IJx+JYI = 2J2 lx-yl 2J2 ESPACIOS DE HILBERT Luego IBx- Byl ~ klx- yl, con k= 47 1¡;, <l. Es decir, que Bes contracción 2y2 estricta. Su punto fijo es fácil de hallar: Bx=x-Jx+ 3/4 =x. Luego x=9/4. e) IICJ -Cgll 2 = ~ lle-x'(J -g)ll 2 = ~t e-lx'lf -gl 2 dx~ ~ 4jR ~ r 1! -gl 2 dx= 4~ 11! -gll 2 Luego es contracción estricta. Su punto fijo es la función f =O eL 2 (R), como es fácil de ver, directamente o por iteración; por ejemplo, C"x1o.• 1(x)-O en U(R). n-oo Observación Toda aplicación estrictamente contractiva sobre un espacio de Banach o de Hilbert que sea además lineal, tiene como punto fijo forzosamente el vector nulo. d) IDx-Dyl=lx+ ~-y- ~l=l(x-y>[ 1+ ~JI<Ix-yl Es decir, que cumple una acotación análoga a las de contracción estricta, pero con k= l. No se puede lograr que k< 1, pues haciendo • .. . x, y-+ oo => IDx-Dyl l l -+l. (Se d'1ce que D es una contracc10n no estncta.) x-y Obsérvese que D, pese a cumplir una condición muy próxima a la que define a las contracciones estrictas, no tiene en [1, oo) ningún punto fijo. ~ ex=x ex1gma ... x+-1 =X=>-1 =O=>xrt l 1, oo). E n e1ecto, X e) X IIEJ -Egll =s~pltx [f(t)-g(t)]dtl ~~s~p[f(t)-g(t)]IJox dt~bllf -glloo Luego si b < 1, entonces E es contracción estricta. Por ejemplo, lo es en C[O, 1/2]. Su único punto fijo es el cero. 3 Espacios LP 3.1. INTRODUCCIÓN En el próximo capítulo iniciaremos el estudio de los espacios de Hilbert, cuyos ejemplos más importantes en la práctica son, tal vez, los espacios funcionales de Lebesgue, L 2 • Pensamos que unas pocas ideas elementales son suficientes para poder trabajar más tarde un buen número de ejemplos de operadores lineales en L 2 que, de otra forma, quedarían fuera de alcance pese a constituir un alto porcentaje de las aplicaciones de los espacios de Hilbert. Ya hemos dicho (Capítulo 2) que (C[O, 1],11·11 2 ) no es completo, y lo mismo puede decirse de (C(K), 11·11,) para cualquier compacto K e IR de interior no vacío y para cualquier número real 1 ~p< oo. Hemos denotado En efecto, la sucesión {fn}i e C[O, 1] vista en §2.3 ejemplo 3, sugiere un contraejemplo general. Probemos concretamente que Un}i es de Cauchy en 11·11,. En efecto, supuesto n <m: independientemente de m. o 50 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Aunque decepcionante en un cierto sentido, por demostrar que (C(K), II·IIP) no es completo si K 0 =i: (/), este ejemplo nos abre un nuevo horizonte esperanzador, por otro lado. En efecto, frente a la fría conclusión de existencia de compleción que contiene el teorema 2.1, donde la compleción contiene, aparte de los elementos antiguos de L (funciones, por ejemplo), otros nuevos definidos abstraelamente como «clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy», en el ejemplo que acabamos de ver {fn}i «converge» a una verdadera función; concretamente, es claro de manera intuitiva que fn tiende hacia la función x1112 . 11 característica del intervalo [Í, 1], definida por e 1]} o x~[!. XU/2.1l(x)= {1 xe[!, 1] Lo que ocurría es que x1112 . 11 ~ C[O, 1], pero al menos es una función, ¡no un ,...__,¡ objeto abstracto! ,__¿Cabe la esperanza de que todos los elementos de la compleción U[O,I]=(C[O, 1], 11·11 p) sean realizables como funciones? La cuestión es tanto más importante cuanto que, si en efecto fuesen funciones todos los elementos fe U[O, 1], podríamos extender el concepto de integral a esta nueva familia de funciones, más rica que la de funciones continuas, sin más que definir: Jólf(x)IPdx=ll/11=, feU[O, 1). Nota Es equivalente tomar el intervalo [0, 1) o cualquier otro [a, b] finito. Por cambio de parámetros x-+ x' = xb- a ~[a, b], -+ [0, 1],.. -a Vamos a presentar la solución a esa cuestión, definiendo un espacio mayor que C[a, b], que llamaremos LP[a, b], y sobre él una noción de integral que extiende la de Riemann usual. U[a, b] es completo. E indirectamente, por ser C[a, b] denso en U,se concluirá que U era, justamente, la deseada compleción de C[a, b) ya en realización funcional concreta. Estrictamente hablando, los elementos de LP serán «clases de funciones». No entraremos en demostraciones ni detalles técnicos prolijos, para los que remitimos a la bibliografia. 3.2 BORELIANOS Y FUNCIONES BORELIANAS Para motivar las próximas definiciones conducentes a ampliar la clase de funciones susceptibles de ser integradas, es interesante recordar dónde encuentra sus limitaciones la integral de Riemann de funciones reales acotadas sobre un intervalo [a, b). La figura muestra esencialmente en qué consiste el procedimiento de integración de Riemann: dada una partición 1t: a= x 0 < x 1< ··· < x" = b, de [a, b] en ESPACIOS DE H/LBERT 51 n subintervalos, con lnl = sup lxi - xi _ 11, se trata de saber si existen y coinciden j n n dos límites: 1= lim LR1nr = lim [n[ .... O 1 L Rtup, y en tal caso se define J~f(x)dx:=/. [n[ .... O 1 Hemos denotado por R1nr el área del rectángulo de base f(x), y análogamente para Rtup con altura inf xe [x,_ 1• x,l sup x,.- x" _1 y altura f(x). De manera que xe [x,_ 1, x,] mientras en la base se juega tan sólo con un conocimiento explícito de la «longitud» de un intervalo [x", xu ¡], es la función f quien ha de contribuir con un comportamiento suficientemente bueno en lo que respecta a la altura del rectángulo y a su límite, para hacer que exista la integral. En resumen, la integral de Rieman parte de los intervalos y uniones de intervalos como únicos conjuntos «medibles», con medida de [x,., X u d=lxu 1 - xtl• y «suma» los valores de f en cada subintervalo [x,., Xu 1]. La idea original en la integral que pretendemos introducir para extender la de Riemann, puede presentarse intuitivamente como un cambio de perspectiva, de tal forma que el interés se centrará ahora en el espacio de valores de f y no en su base. Concretamente, las preguntas previas al cálculo integral de Riemann y al nuevo (Lebesgue) pueden formularse así: R) ¿Qué área media encierra f sobre un subintervalo de la variable [x,., x" + ¡]? Luego se sumarán estas áreas y se tenderá lnl-+ O. L) ¿Qué medida tiene el conjunto de puntos de la base en el que los valores de f son tales que Yi-l ~f(x)<yi? Luego se sumarán las «áreas» obtenidas por producto de estas medidas de las bases por sendas alturas medias (entre Yi-1 é Yi) y se tenderá sup IYi- Yi- d-+0. j Los dos puntos de vista son duales, en el sentido de que Riemann requiere poder medir la altura media de f, mientras Lebesgue exige poder medir el conjunto de x en que f(x) yace entre Yi- 1 e Yi· Si se quiere que el nuevo método se aplique a una familia muy amplia de funciones, el precio será lógicamente saber determinar (en un sentido a precisar abajo) la medida de conjuntos mucho más generales que los intervalos en 11\t Y la ventaja de que, como veremos, haya posibilidad de integrar muchas más funciones que antes, se debe, «grosso modo», al hecho de que en el antiguo 52 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO procedimiento de integración (de Riemann) se dejaba todo en manos de la función a integrar, esperando que un comportamiento suficientemente bueno de f haría posible la existencia del límite de áreas rectangulares, al hacer los subintervalos de partición más y más pequeños, y por el contrario, ahora se es capaz en cierta medida de compensar un peor comportamiento de la f, a costa de esforzarse por dar medida a conjuntos base más generales (=>más complicados) que Jos simples intervalos. f Un ejemplo clásico . . .. Cons1derese la funcwn f : [O, 1] -+ x racional con va1ores /( x ) = {0, . . 1. 1, x 1rracwna Evidentemente (pruébese en detalle como ejercicio), no es integrable Riemann. El que sea integrable en el nuevo procedimiento que acabamos de esbozar dependerá de si somos capaces o no de asignar una medida a los conjuntos ¡- 1 ({0})={xE[0, 1], x racional} y ¡- 1 ({l})={xE[0, 1], x irracional}. 11"1> 11'1\ Los conjuntos que escogemos en IR como privilegiados para la construcción de la nueva teoría de integración son Jos que caen en el marco de la próxima definición. Definición 3.1 Denotaremos por fA la familia mínima de subconjuntos de IR que contenga todos los intervalos (a, b) y que sea: 00 i) Cerrada bajo uniones numerables ({Bi}f e fA=> U BiEPA). j=l ii) Cerrada bajo complementos (BE fA=> IR-BE 34). Puede probarse que tal familia mínima existe, porque la intersección de cualquier colección de familias que satisfagan las condiciones impuestas es todavía una familia que las satisface "(y es claro que la familia de todos los subconjuntos de IR cumple esos requisitos). Los elementos de fA se llaman conjuntos de Borel o borelianos de R Ejemplos J. Todo abierto de IR es unión numerable de intervalos abiertos, y, en conse- cuencia, boreliano. 2. Todo cerrado, y en particular todo compacto, de IR, son también borelianos (úsese 1 y ii). 53 ESPACIOS DE HILBERT 3. Toda colección numerable de puntos es un boreliano, por serlo un punto (cerrado) y la propiedad i). 4. El conjunto de puntos racionales en [0, 1] es boreliano. 5. Considérese la función f: x E IR-+ elxl E R Probar que¡- 1 ( {a}) E 34, Va E IR. 6. Mismo ejercicio con f: IR-+ IR, definida por f(x)= x4 sen x, lxl<2 {O , lxl~2. x racional 1 , lxl ~ 2, x irracional 7. Con las dos funciones de los ejercicios precedentes, probar que Aunque no entraremos en detalles, citaremos la existencia de subconjuntos no borelianos en IR. A veces, se introducen familias de subconjuntos más amplias que 34 para englobar más y más conjuntos, de forma que luego se pueda asignar una medida a cada uno de ellos. Sin embargo, no es posible asignar medidas a cualquier subconjunto de IR, si se desea respetar propiedades tan básicas como la noción de longitud para un intervalo, la invariancia traslacional, etc. Así pues, hemos de conformarnos con una parte de los subconjuntos, y él tiene la ventaja de ser la más sencilla de entre las que permiten compaginar la topología usual de IR y la teoría de la integración. De cualquier manera, evitaremos en lo sucesivo disquisiciones sobre estos aspectos finos de la teoría de integración de Lebesgue, con el propósito de no salir lejos de nuestro objetivo inmediato. Falta todavía definir la medida (de Borel-Lebesgue) para cada boreliano. Restringimos ya nuestra atención a R Definición 3.2 Dado un boreliano BE34, se define su medida de Borel-Lebesgue JL(B) como: JL(B) =inf 1(1) f:::>B 00 donde 1 recorre todas las uniones de intervalos abiertos disjuntos 1 = U(ai, bi), j=l para los que se define previamente la longitud 1(1) como la suma: 00 IU)= ¿ lbj-aA j= 1 Nótese que 1(1) ~ + oo, así que admitimos medidas infinitas lo mismo que finitas. Entre sus propiedades, son importantes las siguientes: l. BE24=>JL(B)=inf{JL(A)IA abierto =:J B}. 2. BE24=>JL(B)=sup{JL(C)IC compacto e B}. 54 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 3. Sean BnEBI, n~ l, disjuntos dos a dos. Entonces .u( QBn)= ~.u(Bn). Las dos primeras acercan la noción de medida de Borel-Lebesgue a nuestra intuición de qué es «medir» un subconjunto de IR, afirmando que la medida ,u(B) puede calcularse aproximando por dentro B mediante compactos o por fuera mediante abiertos. En cuanto a la tercera, se citará como la propiedad de a-aditividad de ,u. Ejemplos J. ,u((l))=O, ,u(IR)= OO. 2. ,u((a, oo))=.u((-oo, b))=oo. 3. .u((a, b))=lb-al. 4. ,u( {x E racionales en [0, 11}) =0. 5. Todo conjunto numerable de puntos tiene medida nula (en particular, si es finito). 6. ¿M denso en IR:::;. ,u(M) = oo? No. Contraejemplo: M= Q, racionales. ¡Es ,u(O)=O! En efecto, Q es numerable. Ahora que ya se dispone de un concepto de medida de subconjuntos muy generales de IR, es posible aislar una familia correspondiente, muy abundante, de funciones que serán susceptibles de integración. Definición 3.3 Se dice que una función f: IR-+ IR es medible Borel, o boreliana, si VBEBI. Es interesante observar la analogía siguiente: ¡- 1 (B) E 91, abiertos de la topología ++ conjuntos borelianos función continua--- función boreliana Es conveniente extender la noción de «medible» a funciones reales que puedan tomar valores ± oo. En tal caso, f se dirá Borel si ¡- 1 (B)EBI, VBEBI y si, además, ¡- 1 {+oo}E91, ¡- 1 {-oo}Eál. Definición 3.3' Una función f(x) de valores complejos se dice medible Borel si y sólo si Re f, Im f lo son. Consecuencia más o menos directa de la definición son las siguientes propiedades: ESPACIOS DE HILBERT 55 Proposición 3.4 ·Si f, g, son reales medible Borel, también lo son las funciones f +g, A.f(A.E l!l), fg, 1/1. f•g. Sin embargo, suele ser más útil, en la práctica, para investigar si una de Borel, recurrir al siguiente: · f dada es Criterio 3.5 a) f: lll-+lll es medible Borel si y sólo si ¡- 1 {(a, b)}EB!J, Va, Vb. b) Si fn es medible Borel, Vn, y si fn(x)-----+ f(x), Vx, entonces f es medible n-ao Dorel. e) f: ill-+lll es medible Borel si y sólo si {x:f(x)<b}EB!J, Vb. Ejemplos ¿Cuáles de las siguientes funciones x E [0, l]-+ f(x) E lll son medibles Borel? Considérese extendidas a lll como funciones nulas fuera de [0, 1]. l. f(x)=xn, n~O. 2. f(x)=cos 2 x. 3. f(x)= x- 2 4. f(x) = X¡o.t/21 x ~aci~nal x IrraciOnal 5 _ f(x)={O, l, 6 _ f(x)={O, x 2, x ~aci~nal x urac10nal 7. Vf continua. 3.3. INTEGRAL DE LEBESGUE. ESPACIO !!' 1 De entre las varias definiciones que pueden darse de la integral de Lebesgue, adoptaremos la más intuitiva, al igual que se ha hecho con la familia de conjuntos «medibles». Otras definiciones más axiomáticas resultan ser «a posteriori» equivalentes a ésta, aunque no es fácil llegar a concluir tal equivalencia. Definición 3.6 Dada f~O. acotada y medible Borel, se define su integral como Í f dx = lim r.,(f) JR lrrl-0 56 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINOO siendo n: 0=y0 <y 1 < ··· <Yn=sup f una partición del recorrido de f, y n-1 I:.,.(f):= LYi-1Jl{J- 1([yj-1o Yi))}+Yn-1Jl{J- 1([yn-1o Yn])} j= 1 Explicación La anterior definición reposa sobre la construcción de una partición 1t del espacio de valores de f, y por ser medible Borel la función f, sabemos que existe JL{.f- 1 (intervalo)}. Se calcula así la medida del conjunto de puntos base en que la función toma valores comprendidos entre Yi- 1 e Yi· Y se asigna como valor del «área» aproximante sobre ese conjunto la del «rectángulo» con esa base y de altura yi_ 1 • De ahí que en la suma I:.,.(f) aparezca como sumando dicha área. I:.,.(f) es, pues, una aproximación inferior al área encerrada por el gráfico de f sobre el eje x. Además, se cumple I:.,.. (f) ~ I:.,. (f) si n' refina a n, de manera que {I:.,.(f)} es una sucesión (generalizada) monótona no decreciente que, por tanto, tiene límite, finito o infinito. Y este límite es, por definición, el valor de Definición 3. 7 Dada f ~O, medible Borel, no necesariamente acotada, sea fn(X)= {f(x) s~ f(x)~n O SI f(x)>n Entonces fn~O. es medible Borel y acotada, y se define rfdx= n-+ooJR lim rfndx JR J/ dx. 57 ESPACIOS DE HILBERT Nótese que el límite existe, pues {f fndx} ~ es una sucesión monótona no decreciente. Dicho límite puede ser finiro o infinito. Definición 3.8 Dada f real (no necesariamente ~O) medible Borel, sean f+(x):=máx{f(x), 0}~0 ; f_(x):=máx{-f(x), 0}~0 -f- V Nótese que al ser f boreliana, V 1!1 = f + + f _ ~O lo es también (por la proposición en §3.2). De manera que 3 {lfldx. Diremos que fe.!t'~(IR) si {lfldx< +oo. Y para toda fe.!t'MIR) se define que es finita, evidentemente. Definición 3.9 Dada f real definida sobre [a, b], diremos que fe .!t'Ma, b] si la función F(x)={f~) ~:~:: :ne.!t'MIR). y se denotará rfdx= L Fdx su integral. Análogamente, si Be91, y f está definida sobre B, definiremos tfdx= i fx 8 dx. Cuando B sea un intervalo (ex, p), finito o no, se acostumbra también~ escribir t=J:. Definición 3./0 Dada f =u+iv compleja, definida sobre IR, se dice quefe.!t't(IR) si y en tal caso se define su integral: i lfldx< + oo, IR 58 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO f/dx= L udx+iL vdx La existencia está garantizada por ser IRe JI, llm JI~ lfl. (Véase d) abajo.) Abreviadamente, denotaremos .Pl;(IR) por 2 1 (IR), sobreentendiendo que se trata de funciones complejas. Análogamente, se define .P 1 [a, b], y .P 1 ( B), VBe fJB. A las funciones fe 2 1 O se les llama funciones integrables Lebesgue sobre O. ¡Nótese que la integrabilidad de f depende de lfl, su módulo! Que este nuevo concepto de integral goza de las propiedades más importantes que poseía la de Riemann no es tan sencillo de demostrar como para entrar en ello con precisión. Nos limitaremos a enumerar las más interesantes, enviando al lector a la bibliografia. Propiedades de la integral en .P 1 (1R) Si f, g, denotan dos funciones medibles Borel sobre IR: a) f, ge.P 1 (1R)=>1Xf +Pge.P 1 (1R), 'VIX, b) L(iXf+Pg)dx=iXLfdx+PLgdx, e) lf/dxi~Lifldx, Vfe.P 1 Pe C. Es decir, .P 1 (1R) es espacio lineal. 'VIX, pec. (1R). d) Si fe.P 1 (1R) y lgl~f. entonces ge.P 1 (1R). e) f~g } Í Í f, ge.P 1 (1R) => J/dx~J/dx. f) Dada fe.P 1 (1R), Ve>O, 3c5>0 tal que LI!IXAdx<e, siempre que ,u(A)<c5. g) f acotada en [a, b]=>fe.P 1 [a, b], conlfbfdxi~Mib-al, donde M:=suplfl. a ~~ Ejemplos J. Toda función continua en [a, b] es integrable. Es decir C[a, b] e 2 2. x" ~ 2 1 (IR). . 0 X racional } . . defimda en [0, 1] pertenece a 2 1 [0, 1]. 3. f(x)= { 1 x uracwna1 1 [a, b]. ESPACIOS DE HILBERT 59 3.4. PROPIEDADES «c.d.». ESPACIOS U A la vista de que ~· (R) es espacio lineal, parece posible dotarlo de una estructura normada, definiendo la norma de /E~ 1 (R) como llfllt = Llfldx (y análogamente en ~·[a, b]). Sin embargo, basta ver la propiedad (N2) de la norma en § 2.1, para darse cuenta de que con esa definición ~ 1 no es normado. Porque dos funciones / 1, f 2 E~· que difieren sólo en un punto o en un conjunto finito de puntos cumplen tl/ 1- f 2ldx=O sin que sean iguales. Ejercicio Probar esa afirmación. tl/ Indirectamente, esto quiere decir que desde el punto de vista de la integración, / 1 y / 2 son indistinguibles, pues f 2ldx mide por así decir el «área» 1- contenida entre ambas funciones. Parece natural, al menos desde un enfoque de integración, identificar tales funciones. Y para ello bastará retocar una de ellas en el punto o puntos en que diferían. Luego la cuestión queda centrada en aquellos conjuntos que puedan ser considerados como irrelevantes a efectos de integración. La respuesta viene expresada a través de la siguiente: Definición 3.11 Una propiedad P(x) dependiente del punto x E R, se dirá que es cierta casi doquiera (abreviado c.d.) si {xiP(x) falsa} está contenido en algún conjunto de medida nula. Y así, puede probarse que dos funciones / 1 , /2 E~ 1 (R) son iguales c.d., escrito / 1 = / 2 c.d., si y sólo si tlft- !2ldx=O. [En efecto: sea { g(x)dx=O, g~O. Denotando Gn= {x: g(x)> 1/n}, G0 = {x: g(x)>O}, es claro que G0 = UGn. Además 0= [ n JR gdx~ [ gdx~n- 1 ¡,t(Gn), por lo que ¡,t(Gn)=O, JG. Vn, y en consecuencia ¡,t(G 0 )=0, es decir, g(x)=O c.d.] Ejercicio Probar que la función f(x) del ejemplo 3 en § 3.3 cumple f(x) = 1 c. d. en [0, 1]. 60 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO La irrelevancia, a efectos de integración, de conjuntos Borel de medida nula sugiere ampliar la familia de funciones integrables, incluyendo en ella funciones que, sin ser estrictamente medibles Borel, sean iguales c. d. a funciones de !l' 1 (IR). De ahora en adelante, el símbolo !l' 1 (IR) incluirá toda función g para la que exista alguna f medible Borel e integrable Lebesgue tal que f =g c.d. Y definiremos fgdx=ffdx. Concretamente, para hacer que la definición sugerida arriba cumpla (N2): Definición 3.12 Denotaremos por L 1 (IR) (resp. L 1 (B)) al conjunto de clases de equivalencia de funciones de .!R 1(IR) (resp. !l' 1(B)) bajo la relación de equivalencia: / 1= f 2 c. d. La clase de f se denotará lfl. Proposición 3.13 a) (L 1(1R), ll·ll1), donde IILflll1 =Llfldx, es lineal normado completo ( =Banach). b) (L 1 (B), 11·11 1 ) es Banach. e) El conjunto imagen de C[a, b] es denso en (L 1 [a, b], 11·11 1 ). d) El conjunto de clases de las funciones continuas de soporte compacto C 0 (1R) es denso en (L 1(1R), ll·ll1). Corolario 3.14 (L 1[a, b], 11·11 1) es la compleción de C[a, b] respecto de la norma 11·11 1. Deben manejarse con cierto cuidado los elementos de L 1 , pues no se trata de funciones, sino de clases de equivalencia de funciones. Así pues, dos funciones J, g, que difieren sólo en un conjunto de medida nula son considerados como el mismo elemento [f] de L 1 • Claro está que si en la clase de equivalencia hay una función continua, ninguna otra función de la misma clase puede ser continua, y en tal situación es natural elegir como representante de la clase a dicha función continua. Pero, de cualquier modo, recuérdese que para los elementos de L 1 no tiene sentido hablar de su valor en un punto. Ejemplo f(x)=cos x es una función representante de una clase [f] en L 1 [0, 1]. Pero no puede hablarse del valor de [f] e U [0, 1] en x = !· cos x x:F En efecto, g(x)= { 7 x=! pertenece a la misma clase que cos x. !} . ESPACIOS DE HILBERT 61 Nota sobre terminología Pese a esta última advertencia, por abuso de lenguaje suele· hablarse de que tal o cual función fe L 1 (B), sobreentendiendo que con todo rigor habría que decir que fe[Jl, [JleU(B). 3.5. ESPACIOS U Dado un número real 1 ~p< diremos que + oo y una función compleja medible Borel f, fe !f'P(B) si llfiiP= IIIfiP dxlttp < + oo. Al igual que para !1' 1, incluiremos en !f'P aquellas funciones g para las que 3f medibles Borel con lfiP integrables Lebesgue tales que g = f c. d. Y tomaremos por definición llgiiP= llfllp· La desigualdad de Minkowski para integrales asegura que 11·11 P cumple la desigualdad triangular. Pero, nuevamente, (N2) plantea el mismo problema que en el caso particular de 11·11 1 , lo cual hace que pasemos a considerar clases de equivalencia de funciones para que II·IIP se convierta en una verdadera norma. Definición 3. 15 U(IR) es el conjunto de clases de equivalencias de funciones fe !f'P(!R), entendiendo por equivalentes dos funciones f, g, tales que llf -giiP=O. Puede demostrarse que llf -gllp=O<=>f=g c.d. De lo que se deduce que es el mismo criterio de equivalencia que antes (§ 3.4). Análogamente se define U(B). Proposición 3.16 a) (U(IR), b) (U(B), II·IIP) es Banach. II·IIP) es Banach. li'llp). II·IIP)." e) C[a, b] es denso en (U[a, b], d) C 0 (1R) es denso en (U(IR), Corolario 3.17 LP[a, b] es la compleción de C[a, b] en la norma II·IIP' También aquí, el carácter lineal normado se debe a las desigualdades de Holder y Minkowski, ahora en versión integral (véase Apéndice a este capítulo). 62 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 3.6. OTRAS PROPIEDADES DE LA INTEGRAL Recopilamos en esta sección una colección de resultados fundamentales sobre la integral de Lebesgue, para posterior referencia y por su utilidad a la hora de manejar ejemplos concretos de funciones integrables. Los dos primeros son criterios suficientes de integrabilidad, debidos a Lebesgue, formulados aquí en versión restringida, suficiente para nuestros propósitos inmediatos. Teorema 3.18 (de la convergencia monótona) Sea {!,.}!"' una sucesión de funciones medibles Borel en IR tales que Y supongamos que j,.(x)-+ f(x), 'r/x. Si además 3k>O tal que Lf,.(x)dx<k, 'r/n, entonces i) fe9'1(1R). ii) f / dx = !~~ f/,.dx ( simbólicam~nte flim = limD· Teorema 3.19 (de la convergencia dominada) Sea {!,.} !"' una sucesión de funciones en 9' 1 (IR) tales que 3 lim j,.(x) = f(x), c.d. ,. ... 00 Si además 3g real no negativa e9' 1(1R) tal que lf,.(x)l~g(x), c.d. 'r/neN, entonces: i) fe 9' 1 (IR). ii) {fdx= !~~ Lf,.dx (simbólicamente flim=lim D· El siguiente ejemplo muestra que sin la existencia de tal función dominante el teorema sería falso. Contraejemplo j,.(x)= ~n x10.,.1 -o, 'r/x, y no obstante Í f,.dx= 1 - 1 #O n~oo JR n~oo ESPACIOS DE HILBERT 63 Definición N Se llama función (de Borel) simple a toda función de la forma LIXnXB.• 1Xn E e 1 todos distintos, Bnedl. Son funciones s(x) que toman sólo un conjunto finito de valores IXi, siendo Bi=s- 1 (1X) borelianos. Generalizan la noción de función escalonada, utilizada en la integral de Riemann. Teorema 3.20 (aproximación por funciones simples) J. Una función f~O es medible Borel si y sólo si existe alguna sucesión no decreciente de funciones simples sn~O tal que sn(x)-+f(x), Vx. 2. Dada f~O en ..2' 1 (~) se tiene [ f dx = sup [ s dx, JR o-.s-.¡ JR con s simple 3. El conjunto de funciones simples tales que JL({xl s(x)#O})< +oo es denso en LP, para 1 ~p< oo. Otro aspecto interesante de la integral de Lebesgue es su relación con la continuidad y la derivabilidad. En esta línea se insertan los próximos resultados. Definición 3.21 si Una función f: ~-+ ~ se llama monótona no decreciente (resp. no creciente) (resp. f(x 1 )~f(x 2 )), siempre que x 1 ~x 2 • f(x 1 )~f(x 2 ) Pese a no exigir ni siquiera continuidad, la condición de ser monótonas es tan fuerte que gozan de las siguientes propiedades, esencialmente probadas por Lebesgue: Proposición 3.22 (propiedades de las funciones monótonas) Sea f monótona en [a, b]. Entonces: a) fe ..2' 1 [a, b]. b) e) f f es continua c.d. en [a, b]. tiene derivada finita f' en [a, b] c.d. d) f monótona no decreciente en [a, f b]~f'e..2' 1 [a, b] con Lbf'dx~f(b)-f(a). Nótese que no tiene por qué darse en d) la igualdad siempre, porque la función puede tener saltos que no contribuyan a la integral de f'. Por ejemplo, 64 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO f(x)= { O, xe [ a,2a+b)} [a+b => 1, xe - 2 -, b J 1 b, f dx=O< 1 Más sorprendente es el hecho de que pueden exhibirse funciones continuas monótonas para las que aún es J>· dx<f(b)- f(a). Para terminar, analizaremos el comportamiento de la integral de una función integrable, en relación al extremo de la integral. Teorema 3.23 Sea F(x)= f'f(t)dt, con fe.!l' 1 [a, b]. Entonces i) La derivada :x F(x) existe en [a, b] c. d. ii) Y además es :x F(x) = f(x), c. d. 3.7. COMPARACIÓN CON LA INTEGRAL DE RIEMANN Es sabido que una función acotada en [a, b] es integrable Riemann si y sólo si f es continua c.d. Por otro lado, hemos visto funciones integrables Lebesgue acotadas y discontinuas en todo punto (ejemplo 3 en § 3.3). Esto sugiere que la integración Lebesgue es más amplia que la de Riemann. Que esto es así lo demuestra la siguiente Proposición 3.24 Sea f acotada definida sobre [a, b]. Si fes integrable Rieman en [a, b] entonces l.o) fe.!l'l[a, b]. 2. 0 ) Ambas integrables coinciden. Nota a) Sobre [a, b] y para funciones acotadas, integrable Riemann=>integrable Lebesgue, pero el inverso es falso. Contraejemplo: f(x) = X0 (x). b) Para no acotadas, puede existir integral Riemann (impropia) y no existir la de Lebesgue. Por ejemplo, en (0, 1], f(x)= ~sen~. X X 65 ESPACIOS DE HILBERT e) Sobre un intervalo infinito (semirrecta o recta - ~) puede demostrarse que: Si existe la integral Riemann de lfl, también existe la de Lebesgue y con el mismo valor. Si existe la integral impropia de Riemann para f, pero 1!1 no es integrable Riemann, entonces la función f no es integrable Lebesgue. . sen x . . . . Por eJemplo, f(x) = - - admite mtegral1mprop1a convergente X f+ x sen x - dx = n -x X (aplicar residuos), pero la integral J::¡se: xldx no existe (dicho de otra manera, es infinita). Al tomar módulos, ya no hay compensaciones (véase figura). sen x X Ejercicios i) Sea f(x)=( -1)"+ 1 para xe[n, n+ 1), n entero. Esta función definida sobre ~. ¿es integrable Riemann? ¿Integrable Lebesgue? ii) Lo mismo con f(x)= 3.8. ESPACIOS (-1)n+l n+ 1 para xe[n, n+ 1), n entero ;;?;0, en [0, oo). U(~") La generalización a ~"(n > 1) del concepto de integral de Lebesgue y la definición de U(~"), es inmediata sin más que arrancar del concepto de área (n = 2), volumen (n = 3), etc., como generalización de la longitud de un intervalo en ~. Se define la medida de una celda [a 1 , b¡] x ... x [an, bn1 como el producto l(a 1 , b1) x ... x l(an, bn), y con los mismos métodos apuntados en las precedentes secciones, la extensión a ~n es fácil. Un ejercicio muy conveniente sería que el lector reformulara para ~ 3 una colección de resultados y definiciones análoga a las de § 3.2-§ 3.5. Denotaremos por Jd" x la integral de Lebesgue así construida sobre~". 66 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Nos limitaremos a enunciar, sin demostración, algunos de los resultados más importantes en integración en varias variables, para posterior referencia. El primero de ellos es un criterio para intercambio de integraciones sucesivas. Teorema 3.25 (Fubini) Sean M e: ~Rm, N e: IR", subconjuntos medibles Borel, y sea f(x, y) una función de M x N en C, medible Borel (m, n';;:!: 1). Definamos IMN= JM(Lif(x, y)ld"y)dmx INM= L(f)f(x, y)ldmx )d"y Entonces: a) IMN< +oc<=>INM< +oo. IMN o INM (y, por tanto, las dos) son finitas<=>fe9' 1 (MxN), y entonces b) Ejemplo f: IR x IR-+ IR dada por f(x, y)= x0 (x)A~10 , 11 (y). Compruébese la validez del teorema de Fubini. Contraejemplo Para ver que la convergencia de la integral de 1!1 es esencial para concluir el intercambio de orden de integraciones, tómese la función f: IR x IR-+ IR dada por 1 x>O, y>O, x-ye[O, 1] { f(x, y)= -1 x>O, y>O, y-xe(O, 1] O resto Un sencillo cálculo da como resultado: L(f¡(x, y)dy )dx= fJtf(x, y)dx )dy= J J 1 0 1 0 (x-l)dx=(1-y)dy= ¡Distintos; nótese que lf(x, y)l no da integral finita! ~ +~ 67 ESPACIOS DE HILBERT Otro resultado interesante que queremos citar, relacionado con el intercambio de las operaciones de derivación y de integración, requiere un tipo particular de funciones, cuyas principales propiedades recogemos, por ser utilizadas también más adelante al estudiar el operador momento. Definición 3.26 Una función f definida en [a, b], intervalo finito de IR, se llama absolutamente continua en [a, b] si 3g E ~ 1 [a, b] tal que f(x) = f(a) + Es decir, si salvo una constante aditiva, f f' VxE [a, b] g(t)dt es una integral indefinida. Propiedades a) Condición necesaria y suficiente para que f sea absolutamente continua n sobre [a, b] es que Ve>O, 3<5>0 tal que Llf(di)- f(ci)l <e, V familia finita de 1 n subintervalos disjuntos {(ci, di}H de [a, b] tales que Lldi-cil <h. 1 b) e) d) e) f absolutamente continua=> f continua y de variación acotada en [a, f absolutamente continua=>3f' c.d. en [a, b] y además f'=g, c.d. f absolutamente continua en [a, b] ~ f' E ~ 1 [a, b]. J¡, / 2 , absolutamente continuas en [a, b]=> !dí E~ 1 [a, b]. b]. Teorema 3.27 (derivación bajo el signo integral) Sea f(x, y) una función definida y medible Borel sobre [a, b].x x IRy tal que: i) f(x 0 , y)E~ 1 (~y), Vx 0 E [a, b]. ii) f(x, y0 ) es absolutamente continua en [a, b] como función de x, c.d. en IRy. ... )of(x,y) rol([ b] OX E .z; a, 111 X '"') 11\\ • Entonces: Jr d dx /(x, y)dy = Jr of(x,y) ox dy R , c. d. en [a, b] 3.9. APÉNDICE Por su importancia no sólo para garantizar que los LP tienen estructura normada sino en muchas demostraciones que afectan a tales espacios, enunciamos 68 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO a continuación las desigualdades paralelas a las del Capítulo 2, pero ahora en su formulación integral. Denotamos por X indistintamente IR, IR", [a, b], o cualquier celda de IR", o cualquier boreliano de IR, IR". Proposición 3.28 (desigualdades integrales de Holder y Minkowski) Si p, q, son tales que~+~= 1, 1 <p< oo y si f, heLP(x), geU(x) entonces: p q La desigualdad (M) demuestra la propiedad triangular de ll·llp· Y por su parte, (H) da como caso particular la desigualdad de Schwarz-Cauchy-Buniakowskii, cuando p=q=2. Ejercicio Probar (H) usando la desigualdad obtenida implícitamente en el apéndice al Capítulo 2: lf(x)l ab~ aP + p lg(x)l bq, Va, q . b,~O, con p y q conjugados. . Tomar a= II!IIP, b= llgllq, e mtegrar en la vanable x. Corolarios 3.29 1. 0 ) 2.0 ) fe U, 1 geU,- 1 +- = 1=> fgeL 1 • p q Evidente de (H). L 2 [a, b]cL 1 [a, b]. En efecto, úsese (H) con p=q=2, y tómese g(x)= 1, ¡que está en L 2 [a, b]! 3.0 ) Sin embargo, L 2 (1R)~L 1 (1R). Así, f(x)=(x 2 ~ 1 r 12 eL 2 (1R)-U(IR). 69 ESPACIOS DE HILBERT EJERCICIOS DEL CAPITULO 3 1. Demostrar directamente, a partir de la definición 3.2, que el conjunto O de los racionales de la recta tiene medida (Borel-Lebesgue) nula. 2. Probar que las funciones (1), (3), (5) y (7) dadas en los ejercicios de § 3.2 son medibles Borel. 3. Para disipar la sospecha de que los borelianos de medida nula fueran siempre conjuntos numerables, demostrar que el siguiente conjunto C (llamado conjunto ternario de Cantor) es boreliano, no numerable, y de medida nula: Dado [0, 1], extraer del mismo el tercio abierto central (1/3, 2/3). De los dos tercios restantes, eliminar también sus tercios centrales (1/3 2 , 2/3 2 ), (7/3 2 , 8/3 2 ). Con los cuatro (tercios) 2 restantes, hacer lo mismo, y así sucesivamente. Lo que queda del [0, 1] tras estas extracciones es el conjunto ternario de Cantor, C. ., 4. Demostrar que la func1on es integrable Riemann. f : [0, {0, 1 } no . . 1]-+ R, con va ores f (x) = 1 x racional , x 1rrac1ona1 5. Sea la función x(x)= lim [ lim {cos (k!nx)} 2 lc:-+oo m-+co m] Probar que x(·) es medible Borel. ¿De qué conjunto en R es característica? 6. Exhibir una función f: [0, 1]-+ R, continua en (0, 1], tal que f x función ,¡ !f'P, \fp ;;:¡::l. 7. Demostrar que 1 ~ p < q < oo => !t'q[a, b] e !f'P[a, b]. 8. Sea f: (0, oo)-+R definida como 1 f(x) = x(l + lln xl) 2 Demostrar que si g=f 11P, p;;;¡:: 1, entonces ge!f'P, gfl!t'q, \fq;;;¡:: 1, p::¡i:q. 9. Si se extiende la definición de !f'P a los casos O<p< 1, demostrar que la desigualdad de Minkowski falla y que por tanto, en tales casos, U no es normado. 70 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO JO. Sea la sucesión Un} de funciones en !t' 1 (IR): Calcular lim f/ndx. ¿Puede procederse al límite bajo el signo integral? 11. Calcular i 2" lim n-+oo 12. Sea f: (sen x)nlln xldx O IR x IR-+ IR dada por x f( ' y) = {(x2- y2)/(x2 + y2)2' si O en el resto Discutir la aplicabilidad del teorema de Fubini. ESPACIOS DE HILBERT 71 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAPITULO 3 l. a es un boreliano numerable. Sea {r 1 , r 2 , ... } una enumeración de a. Dado e> O, consideremos la sucesión de intervalos abiertos 1n,. = {xllx- rni < ef2n + 1 }, 00 n= 1, 2, ... Es claro que a e: Uln .• =n•. abierto. Por otro lado, 1 00 1(0.) ~ Ll{ln,e) =e 1 y, en consecuencia, inf 1(0.)=0. Luego Jl(a)=O. (CQD). 2. (1) Es función continua de [0, 1]-+ R, y será consecuencia de (7), abajo. (3) Idem en (0, 1). Por otro lado, ¡- 1 (oo)={O}, boreliano. (5) Dado (a, b) e: R, se tiene si O, 1 ~(a, b) ¡- 1 {( b)} = { (R-[0, l])u(an[O, 1)) si Oe(a, b), 1 ~(a, b) a, {irracionales en [0, 11} si O~(a, b), 1e(a, b) R si O,le(a,b) (j) Luego ¡- 1 {(a, b)} es medible Borel. (7) Sea f: 1-+ R, continua, donde 1 es un intervalo (finito o no) de la recta real. Extendamos f=O sobre R-1, y probemos que la función f R-+R así obtenida es medible Borel. Dado (a, b) e: R, tendremos ¡- 1 {( b)}={/- 1 {(a,b)} si O~(a,b) a, ¡- 1 {(a, b)}u(R-1) si Oe(a, b) Como ¡- 1 {(a, b)} es abierto relativo a 1, por ser f continua, es claro que b)} será medible Borel. (CQD). [ - 1 {(a, 3. Como e=[O, 1]-{unión numerable de abiertos}, e es Borel. Por otro lado, 1 2 22 Jl(e)=Jl([O, 1])- :3- JI-p- ... = 1-1 =0 00 Finalmente, e no es numerable, pues xee si y sólo si x=Ian/3n, donde 1 an=O, 2, y, por tanto, - 00 00 1 1 e=c, ya que Ianrn-+ L(an/2)2-n es una suprayección de e sobre [0, 1). (CQD). 72 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 4. Para todo [a, b] e [0, 1], a<b, se tiene inf f(x)=O, sup f(x)= 1, pues tal xe[a,b) xe[a,b) [a, b] contiene algún racional y algún irracional. En consecuencia, y con la notación de § 3.2: n lim L Rlnr =0:#= 1= lnl-0 1 n lim L R~up lnl-0 1 (CQD). 5. El criterio 3.5 (b) de §3.2 muestra que x (en caso de existir) es medible Borel, pues se obtiene por sucesivos pasos al límite de las funciones continuas (=> Borel) [cos(k!1tx)jlm. Dado x racional, 3k suficientemente grande tal que k!1tx es múltiplo de 1t. Para tales x, por tanto, x(x)= l. En contra, si x es irracional, lcos(k!7tx)l< 1, y, por ende, lim {cos(k!7tx)} 2 m=0; de aquí x(x)=O. m-oo Luego x existe, es Borel, y es la función característica de los racionales. 6. Bastará hallar una función positiva y tan singular en x-+ O que todas sus potencias positivas encierren área infinita. Por ejemplo, f(x)=e 1 fx. Como lf(x)IP=eP1x>pfx, es claro que frt!f'P[O, 1], 't/p~ l. 7. Tal inclusión es de esperar, pues las singularidades de una función Borel f: [a, b]-+ e son más fuertes para lflq que para IJIP, por lo que lflq E ..2' 1 parece implicar «a fortiori» lfiP e .!f 1 • Y, en efecto, así es: se tiene lf (x )IP ~ sup {1, lf(x )lq} y por tanto fe .!fq=> llfll== lllfl,llt ~sup{lllll~o lllflqllt} =sup{b-a, IIJII:} < oo (CQD). [La acotación del intervalo de integración ha sido esencial; el próximo problema muestra la falsedad de la inclusión pretendida cuando [a, b] se sustituye por un intervalo infinito.] siendo 73 ESPACIOS DE HILBERT Pero x'"(I +lln xi) 11 -+0, x!O, x-'"(1 +lln xi)11 -+0, x-+ oo, 'v'tX>O 'v'tX>O y por tanto llgoll:=oo si q>p llgtll:=oo si q<p esto es, g ~ !t'q, si q =F p. Por otro lado, oo dx foo d(In x) 2 !f'P llgll~= f 0 x(l+llnxl) 2 = o (l+llnxl) 2 = <oo=->ge (CQD). 9. Considérese X= [0, 1], y sean f = x10• 1121, g = x1112 , 11 • Entonces mientras que 11/llp= llgllp=2-l/p Pero O<p< 1=->r 11 P< 1/2. Luego JO. Es claro que 11! +gllp> 11/IIP+ llgiiP (CQD). l J,.dx=O, y, por tanto, Joc lim l f,.dx=O. La función f(x)= limf,.(x) n~ooJIII n-+oo es Borel, pero ~!!' 1 (~). pues lf(x)l=l, 'v'x~O. Por tanto, no tiene sentido f/ dx, ni en consecuencia proceder al límite bajo la integral. ll. Como el integrando se halla acotado en módulo por lln xl e !!' 1 [0, 2n], podremos aplicar el teorema de la convergencia dominada, siempre que exista lim (sen x)"lln xl, n-+oo, c.d. Pero lim (sen x)"lln xl =0 c.d, en [0, 2n]. Luego f 2n lim n-+oo O (sen x)"lln xldx=O 74 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 12. Se tiene Lf(x, y)dy= 1 ~x2' r f(x, y)dx=- -+y1 1 JR 2 por lo que El orden de integración es, pues, esencial. La no-aplicabilidad del teorema de Fubini se debe a que lf(x, y)l no es integrable. 4 Espacios de Hilbert 4.1. ESPACIOS CON PRODUCTO ESCALAR (PRE-HILBERT, HILBERT) Definición 4.1 Sea L un espacio lineal sobre A(IR ó C). Por un producto escalar (o interno) sobre L entendemos una aplicación (., .): L x L-+ A denotada por v, w-+ (v, w) que cumple: (PE!) (v, v)~O. y (v, v)=O si y sólo si v=O (PE2) (v, v1 + v2 ) = (v, v 1 ) + (v, v2 ) (PE3) (v, A.w)=A.(v, w) (PE4) 'r/v, V¡, v2 , wEL 'r/A.EA (v, w)=(w, v) Otras propiedades deducidas inmediatamente de las anteriores son: (A., v, + ). 2 v2 , w) =X, (v,, w) + X2 (v 2 , w) (v, w)=O, 'rlwEL=>v=O (v 1 , w)=(v 2 , w), 'r/wEL=>v 1 =v 2 Naturalmente, en el caso A= IR sobran las conjugaciones. No así para A= C. Definición 4.2 Al par (L,(., .)) se le llama espacio con producto escalar (o pre-Hilbert). Un espacio de Hilbert es un espacio con producto escalar, completo en la norma v) 112 • (Denominación que será justificada en §4.3.) llvll =(v, Todo el contenido de las secciones §4.1 hasta §4.5 es válido en cualquier espacio con producto escalar, no necesariamente Hilbert. Y, de hecho, en estas secciones, (L,(.,.)) denotará un espacio pre-Hilbert. 76 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Todo subespacio lineal M e (L,(.,.)) recibe por restricción la estructura de espacio con producto escalar (M,(.,.)). Nota No hay unanimidad en cuanto a los convenios de notación del producto escalar, concretamente en lo que se refiere a (PE3), pues muchos autores exigen, por el contrario, que los escalares salgan intactos de la izquierda de la coma. A este convenio se adscriben casi en su totalidad los matemáticos y al de nuestra definición los físicos, como regla general. Debe tenerse cuidado de comprobar este detalle al consultar la bibliografía. Desde un punto de vista geométrico, la gran ventaja de la estructura de producto escalar radica en la posibilidad que ofrece de introducir generalizaciones naturales del concepto de ortogonalidad o perpendicularidad de la geometría euclídea clásica. Definición 4.3 Dos vectores v, we(L,(.,.)) se dirán ortogonales si (v, w)=O. Y escribiremos simbólicamente v.l w. Asimismo, un conjunto de vectores S={v,.},.eA c(L,(.,.)) se dirá ortogonal si (v,., v11)=0, Vrx=I=P. Si además (v,., v,.)= 1, Vrx, se dice que el conjunto S es ortonormal. Ejercicio Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es l.i. Finalmente, dados dos conjuntos S 1 , S 2 , de vectores en (L,(.,.)), diremos que S 1 .lS 2 si (v 1 , v2 )=0, Vv 1 eS 1 , Vv 2 eS 2 • Antes de dar ejemplos de espacios con producto escalar, deduciremos las propiedades geométricas que gozan tales espacios como consecuencia del concepto recién introducido de ortogonalidad. La analogía con la geometría elemental es perfecta. 4.2. PROPIEDADES GEOMÉTRICAS ELEMENTALES A lo largo de esta sección denotaremos llvll :=(v, v) 1' 2 (raíz positiva), dejando para §4.3 su justificación rigurosa como norma. ESPACIOS DE H/LBERT 77 Teorema 4.4 (de Pitágoras generalizado) Si {vJ~ es ortonormal en (L,(.,.)), se tiene 'r/veL: n n llvii 2 =LI(vi, vW+IIv-})vi, v)vill 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 • , v)v ,.___ _ _ _1 I<v 1 1 1 Demostración n Basta señalar que el conjunto {v¡, v2 , ••• , Vn, d}, con d=v- })vi, v)vi, es 1 ortogonal, y efectuar el producto escalar (v, v) escribiendo v = d + (v- d), y utilizando que llvill = 1, 'r/j. (CQD). Cerelaries 4.5 Este «teorema de Pitágoras» era esencialmente conocido unos mil años antes de Pitágoras, en Babilonia. 2. Si {viH es ortonormal en (L,(.,.)), se tiene VveL: (desigualdad finita de Bessel) 3. 'r/v, w=> l(v, w)l~llvllllwlll (dP..sigualdad de SchwarzCauchy-Buniakowskii) Además: l(v, w)l= llvllllwll<=>{v, w} no l.i. 78 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Demostración l. Inmediato de la definición de 11·11. 2. Evidente del teorema 4.4. 3. Obvio para v=O. Si v~O, { 1 ~ 1 } Bessel=>IC~II, w)1 ~ llwll 2 2, es ortonormal y la desigualdad de es decir, l(v, w)l ~ llvll·llwll. Para obtener la igualdad el teorema de Pitágoras exige, para el caso no trivial v ~O, que: Jlw-C~II, w) II~IIII=O, o sea llvll 2 w=(v, w)v (CQD) 4.3. NORMA INDUCIDA POR EL PRODUCTO ESCALAR Teorema 4.6 En un pre-Hilbert (L,(.,.)), la aplicación v--+ llvll =(v, v) 112 , define una norma. Demostración La única propiedad no trivial a verificar es (N4), la desigualdad triangular (véase §2.1). Ahora bien, dados v, weL: según la desigualdad de Schwarz (CQD). Volviendo la vista atrás un momento, recordemos que una norma determina automáticamente sobre el L subyacente una estructura métrica asociada. Así que la cadena: Producto escalar--+ Norma--+ Métrica (distancia)--+ Topología métrica garantiza la existencia sobre cualquier pre-Hilbert de una topología métrica definida mediante la distanciad: L x L--+ ~definida por d(v, w)= llv-wll =(v-w, v-w) 112 • Mientras no se especifique lo contrario, toda afirmación concerniente a propiedades topológicas de (L,(.,.)) hará referencia a esta topología. Ejercicios i) En un pre-Hilbert, interpretar la convergencia de una sucesión vn--+ v en términos de la función distancia. ESPACIOS DE HILBERT 19 ii) Probar que las funciones L-+ A siguientes son continuas: v-+ llvll v-+(w, v), w fijo eL iii) La aplicación A x L-+ L definida por A., v-+ A.v es continua. iv) Utilizando la desigualdad de Schwarz, pruébese que(.,.): LxL-+A es continua, en el sentido de que v) La suma vectorial LxL-+L, es decir v1, v2 -+v 1 +v 2 también es continua. lpsistimos en que en cualquier referencia a continuidad, convergencia, clausuras, etc., sobreentenderemos siempre la topología métrica asociada al producto escalar. Y sobre A(~ o C) se supone siempre la topología métrica usual de ~ o C ~ ~ 2 definida por la norma euclídea. 4.4. EJEMPLOS DE ESPACIOS CON PRODUCTO ESCALAR (EpHl) An admite estructura de espacio con producto escalar con la definición: n = (v, w) 'f.aifJi para v =(a., ... , O!n) , w = (fJ., ... , fJn) 1 (EpH2) lx(A) con el producto escalar de v= {a~heA• w= {fJd~eA dado por: (v, w) = 'f. a.~p~ ~eA Utilizaremos con frecuencia H.= /x(N). (Epll3) C(K), con K e:~ compacto, y producto escalar: (f, g) =tf(x)g(x)dx (EpH4) L 2 (~) con producto escalar: (/, g)= Lf(x)g(x)dx Análogamente para L 2 [a, b]. 80 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Los precedentes productos escalares inducen sobre los correspondientes espacios lineales subyacentes, vía el teorema 4.6, las normas del tipo 11·11 2 (véase Capítulo 2). De ahora en adelante, cada vez que se hable de estos cuatro espacios se sobreentenderá que van investidos con los productos escalares que acabamos de definir. Que (.,.) es finito para cada par de vectores de los anteriores espacios (como ha de ser para tomar valores en IR o C), se debe a que: l 'f.a~p~l ~'f.lad ·IP~I ~ ~ 'f.<lad ~ ~ 2 ~ + 1/Jd 2 ) l lf<x)g(x)l ~ 2(lf(xW + lg(xW) El resto, para comprobar que los cuatro productos definidos arriba son verdaderamente productos escalares según se definió en § 4.1, es un sencillo ejercicio. 4.5. RELACIÓN NORMA-PRODUCTO ESCALAR Sabemos ya que en un espacio pre-Hilbert la norma proviene del producto escalar mediante la identificación llvll =(v, v) 112 • Caben varias preguntas interesantes a este respecto. La primera de ellas sería si un espacio lineal normado admite varias estructuras pre-Hilbert distintas, pero que induzcan la misma norma 11·11 sobre el espacio lineal subyacente. La respuesta es negativa, como se sigue del próximo: Ejercicio Sea (L,(., .)) pre-Hilbert. Demuéstrese que el ,Producto escalar puede recobrarse de la norma, probando la llamada «identidad de polarización»: Así, cada estructura normada puede provenir a lo sumo de un producto escalar. Y, naturalmente, la cuestión inmediata es: ¿qué estructuras normadas provienen de algún producto escalar? He aquí el criterio que zanja la cuestión: Criterio 4.7 ( 11·11 +- (.,.)) La condición necesaria y suficiente para que (L, 11·11) admita un producto escalar(.,.) tal que llvll 2 =(v, v), Vv, es que se satisfaga la ley del paralelogramo: 11 V+ W 11 2 + 11 V- W 11 2 = 211 V 11 2 + 211 W 11 2 Vv, weL ESPACIOS DE HILBERT 81 Demostración [N] Verificación elemental. [S] Puesto que, caso de existir, el tal producto escalar debe cumplir la identidad de polarización, el candidato es ((*)). Queda por probar que satisface las propiedades (PE 1-4) de § 4.1. Tanto en el caso A= R como en el A= C, las propiedades PE 1 y PE4 son evidentes. Probemos en el caso A= R las restantes (dejamos como ejercicio el caso A= C). Como en el caso real es (v, w)= ~[llv+wll 2 -llv-wll 2 ], vemos que la igualdad (PE2) se cumple si y sólo si: [Pruébese esta relación descomponiendo y por aplicación reiterada de la ley del paralelogramo.] Finalmente, para probar (PE3), se utiliza primero (PE2) para verlo con ),=k . 1, entonces . .. s1. 11.1 = k- raciOna entero. A contmuac10n, n Usando (PE4) y el resultado parcial para coeficientes enteros: (v, ).w) = ).(v, w), 'VA. racional. Y por continuidad, concluimos que ha de ser válido 'VA.eR. (CQD). Ejercicio Interpretar geométricamente la ley del paralelogramo. Ejemplos l. Las normas II·IIP de los llt(N), cuando p=F2, no provienen de ningún producto escalar. Tan sólo el H. admite estructura pre-Hilbert. Ayuda: Considerar los elementos v=(l, O, O, O, ... ) y w=(O, 1, O, O, ... ) para ver que la ley del paralelogramo se satisface si y sólo si 2 x 221 P=4. 2. Considérese (C[O, 1], 11·11 ocJ definido en § 2.1. Probar que esta estructura normada no proviene de ningún producto escalar. Ayuda: Ensayar con las funciones f(x)=x, g(x)= 1-x. Como 11/llx. = IIYIIoo = 11/ +glloo = 11/ -glloo = 1, la ley del paralelogramo falla. 3. De entre todos los LP, sólo L 2 admite estructura pre-Hilbert compatible con su norma ll·llp=l· En efecto, sean las funciones f, g, como en la figura adjunta. 82 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO /="1.(0,1] o g="J.(J,2] o 2 2 Entonces, un sencillo cálculo da por resultado: Luego la ley del paralelogramo es válida para f, g, si y sólo si 221 P = 2. Que se cumple si y sólo si p = 2. (Por otra parte, L 2 sí admite producto escalar como ya vimos en §4.4.) Notación Dado que a partir de la prox1ma sección nos reduciremos al estudio de espacios con producto escalar, abandonaremos la tediosa notación (L,(.,.)), y, sobreentendiendo el producto escalar, hablaremos por ejemplo de «un espacio de Hilbert H», etc. E id~ntificaremos tácitamente llvll =(v, v) 112 • 4.6. ESPACIOS DE HILBERT. EJEMPLOS Recordemos que se entiende por espacio de Hilbert un espacio lineal H con producto escalar, completo en la topología métrica asociada. Diremos que es real si A= IR, complejo si A= C. Explícitamente, el ser completo exige que para 'v'{vn}1 eH tal que llvn-vmll = ::(vn-Vm, Vn-Vm) 112 - 0 , n,m-oo exista algún veH tal que Vn-+V, es decir, llvn-vll-0. n ..... oo Todo subespacio lineal cerrado de un espacio de Hilbert H hereda por estructura hilbertiana, y se dirá que es un subespacio de Hilbert de H. 'Este tipo de espacios, que constituyen el objeto central de estas notas, deben su nombre al matemático alemán David Hilbert (1861-1943). No deja de ser paradójico que la figura de este eminente hombre de ciencia, enemigo acérrimo de cuanto pudiese sonar a Matemática aplicada, aparezca hoy ligada tan estrechamente a la Física. A tal extremo llegaba su concepción aislada y abstracta de la Matemática que, estando como profesor invitado por F. Klein en Gottingen, y debiendo sustituir a éste con ocasión de un discurso dirigido a un auditorio de técnicos e ingenieros, cuyo tema había sido fijado previamente, sobre el acercamiento entre la Matemática y la Técnica (de acuerdo con el espíritu mucho más universal de Klein), afirmó Hilbert entre la natural expectación de los presentes: re~tricción ESPACIOS DE H/LBERT 83 «Se habla mucho sobre la hostilidad entre científicos e ingenieros. Yo no creo en tal cosa ... Es más, estoy completamente convencido de que es falso ... ¡No puede haber nada entre ellos, porque ninguna de las dos partes tiene nada en absoluto que ver con la otra!» Y no ha transcurrido demasiado tiempo aún, cuando su nombre va emparejado, junto a otras muchas facetas de la Matemática actual ciertamente, a una ciencia aplicada. En todo caso, volviendo a los espacios de Hilbert, puede ser útil el siguiente esquema gráfico para recordar con facilidad el contexto en que nos desenvolvemos. En particular, todo Hilbert es Banach. Pero el criterio estudiado en § 4.5 afirma que sólo algunos Banach son Hllbert. Ejemplos de espacios de Hilbert (EHl) IR", C", son de Hilbert. (Véanse §2.3 y §4.4.) (EH2) H. es Hilbert. (EH3) L 2 (1R), L 2 [a, b] son de Hilbert también. Ejercicios A) En IR", C", el lector ha efectuado ya infinidad de cálculos y de ejercicios de geometría euclídea con el producto escalar habitual v=(~ 1 • ~ 2 .... , ~"), w=(P 1 , P2 • n ... , Pn)-+(v, w)="fJiiPi· No creemos 1 necesario insistir. B) En H. adoptaremos como notación canónica la siguiente: e1 =(1, O, O, ... ) e 2 =(0, 1, O, ... ) 84 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO en=(O, O, ... , 1, O, ... ) En otras palabras, la componente k-ésima de en es ~nk· Bl) Probar que {en}! es un conjunto ortonormal. B2) ¿Cuáles de estos vectores pertenecen a ll. y cuáles a /~? v1 =(1, 1, 1, ... ), componente n-ésima= l. v2 =(i, 1, i, 1, ... ), componentes pares 1, impares i. ~· ~· ···• ;n• ··} v4=(1. ~· ~· ... , Jn' ··} V3=(l, B3) Dado v=(cx 1, cx 2, cx 3, cx 4, O, O, O, ... ), con cxi arbitrarios U= 1, 2, 3, 4), compruébese la desigualdad de Bessel para cualquier familia finita contenida en {en}!. B4) Dar algún ejemplo de sucesión {vn}l en H. que no sea de Cauchy. (Tomar vn=en.) B5) ¿Son ciertas en a) Si Vn = ( H. estas afirmaciones sobre convergencia? ~· 3- ~, n14 , O, O, O, .. } entonces Vn-+ (2, 3, O, O, O, ... ). b) Si Vn =en, entonces Vn-+ o. e) Si Vn = ~n (e 1 + e2 + ··· +en), entonces Vn-+ O. d) Si ve /~. entonces ( v, en}-----+ O. n->oc. C) Consideremos L 2 [a, b] con el producto escalar (j, g):: rj(x)g(x)dx, tal como. se definió en § 4.4. Cl) ¿Es ortonormal el conjunto 1, x, x 2 , ••• , x 10? C2) Considérese el conjunto ortogonal Xca.aHl• Xcau,a+2cll• Xca+2cl.a+3cll con ~= ib~al. ¿Qué significa para una feU[a, b] la desigualdad de Bessel? C3) ¿Cuál de estas sucesiones converge en L 2[0, 1]? ¿Hacia qué función? a) Un}!" con fn(x) =COS nx. b) Un}!" con fn(x)= x se~ x. n e) Un}!" con fn(X)=X¡o,t-1/nl d) Un}!" con fn(X)=nX¡o,t¡nJ ESPACIOS DE HILBERT 85 4.7. COMPLEMENTOS ORTOGONALES Definición 4.8 Sea M un subconjunto cualquiera de un espacio de Hilbert H. Denotaremos, si M =F (/): y diremos que Ml. es el complemento ortogonal de M en H. Se escribe también a veces M l. =H 8 M, notación compatible con el teorema fundamental de la proyección ortogonal (véase abajo). Ejercicios i) Para todo subconjunto M, Ml. es subespacio lineal cerrado de H (y hereda, por tanto, estructura hilbertiana). La linealidad es trivial, y el ser cerrado se debe a la continuidad del producto escalar (§4.3). ii) Además M nMl. e {0}. En efecto, ve M nMl.=>(v, v)=O,luego (PEl) =>v=O. iii) M l. l.= (Ml.)l..=> M. Evidente, por la definición. iv) Ml.=(M)l.=(lin M)l.=(lin M)l.. v) Compár~se esta noción de complemento ortogonal con 1~ de complemento lineal (§ 1.4). No deben confundirse. Tras el próximo teorema se comprenderá mejor la ·relación entre ambas. Con la noción de complemento ortogonal se entra de lleno en una colección de resultados que son característicos de los espacios de Hilbert, en el sentido de que los de Banach, en general, no los comparten. Se trata de propiedades que exigen la existencia de un producto escalar, y que generalizan las de la geometría euclídea, razón por la cual la geometría de espacios de Hilbert es muy similar a la tan familiar de ~". C". Pese a todo no estará de más poner en guardia al lector sobre el manejo de esta analogía con espacios de dimensión finita, pues si no se extreman las precauciones suele caerse en generalizaciones intuitivamente claras, pero no siempre ciertas. Conforme avance en su estudio, tendrá ocasión de ver dónde terminan las analogías. El teorema geométrico que se enuncia a continuación es uno de los puntales de todo cuanto seguirá. Distíngase, de paso, entre las propiedades lineales, las propiedades métricas (derivadas de la noción de distancia), y las propiedades geométricas (asociadas a la existencia de un producto escalar y la consiguiente noción de ortogonalidad). 86 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Teorema 4.9 (de la proyección ortogonal) Si M es un subespacio lineal cerrado del espacio de Hilbert H, entonces VveH: v=v 1 +v 2 con v 1 e M, v2 eML , y tal descomposición es única. Definición 4.10 Se dice que v 1 es la proyección ortogonal de v sobre M. Demostración Consta de dos pasos. En el primero se caracteriza v1 como aquel vector en M cuyo extremo está a la mínima distancia del extremo de v, y se prueba su existencia y unicidad. En el segundo se demuestra que v-v 1 eM1.. i) Sea d= inf llv-wll, distancia de v al subespacio M. Por su condición de weM ínfimo, debe existir alguna sucesión {wn}i e M tal que lim llv-wnll =d. n-eo Probemos que {wn}i es de Cauchy, utilizando la ley del paralelogramo: llwn-wmll 2 + 112v-(wn+wm)ll 2 =211v- wnll 2 +211v- wmll 2 2 2 pues Wn+Wm eM. Pero 112v-(wn+wm)ll 2 =4 11 v- Wn+Wmll ~4d, 2 2 Luego llwn-wmll 2 ~2[11v-wnll 2 + llv-wmll 2 -2d 2]-+0, para n, m-+ 00 (*) M cerrado=>3lim wn=v 1 eM. Y claramente d=llv-v 1 ll. En cuanto a la unicidad, si existiesen dos V¡, v'1 e M tales que llv-v 1 ll = llv-v'1 ll =d, la desigualdad (*) seguiría siendo válida cambiando Wno wm por v 1 , v'1 , y de ella obtendríamos llv 1 -v; 11 2 ~0, y en consecuencia V¡ =V'1 . ii) Falta ver que v2 =v-v 1 eM1.. Como llv-v 1 11 =d, tenemos VA. eA y VweM: d 2 ~ llv-(v 1 +A.w)ll 2 =d 2 +IA.I 2 ·llwii 2 -2Re[A.(v-v 1 , w)] esto es, IA.I 2 ·llwii 2 ~2Re[A.(v-v 1 , w)]. . . b . , S1 fuese (v-v 1 , w)~O para algun weM, astana tomar 11.= (w,v-v¡} llwll 2 para llegar a un absurdo (CQO). Consecuencias l. 0 ) H =M$ M 1., V subespacio lineal cerrado M e H. Sin embargo, la-construcción implícita en el teorema 4.9 es mucho más restrictiva que una simple operación de complemento lineal. Por ello conviene distinguirla mediante la siguiente: ESPACIOS DE HILBERT 87 Definición 4.11 Dados subespacios lineales cerrados M, N, de un espacio de Hilbert H, diremos que H es suma directa ortogonal de ambos, simbólicamente H=Mr.BN si además de ser H=MffiN, se cumple Ml.N. Con esta definición: 2. 0 ) H =M (;B M 1., V subespacio lineal cerrado M e H. ¡Compárense de nuevo en este punto los conceptos de complemento lineal y complemento ortogonal! 3. 0 ) Si denotamos por PM el proyector sobre M en la dirección de M.! (véase § 1.8): PM+PM.i=ln PMPM.i=O=PM.!PM Se dice que PM es el proyector ortogonal sobre M. 4. 0 ) Para todo subconjunto no vacío S eH, se tiene su =lin(S). En efecto, es inmediato convencerse de que lin(S) e su sin más que recordar las definiciones. Ahora bien, si fuese lin (S) =F su, aplicando el teorema de la proyección ortogonal al espacio de Hilbert su (consultar §4.7, ejercicio (i)) y a su subespacio cerrado propio lin(S), hallaríamos algún O:Fvesu tal que vl.lin(S). Esto es, veS.inSu={O}, absurdo. (CQD). 5. 0 ) Un subespacio lineal S de Hes denso en H si y sólo si S.i={O}. 6. 0 ) Dado {uiH ortonormal en H y veH se tiene: Dicho de otra forma, el problema de aproximación óptima al vector v mediante elementos del subespacio M=lin({ui}D, lo resuelve el vector PMv. Evidente de la demostración del teorema de la proyección ortogonal. Ejercicio Dados subespacios lineales cerrados M, N, de un Hilbert H, con N e M, probar que: Se escribe a veces M n N .1 = M de N en M. eN y se le llama complemento ortogonal 88 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO La propiedad de que cada subespacio cerrado de un espacio de Hilbert tenga algún subespacio complementario cerrado (su ortogonal), facilita enormemente el análisis funcional en estos espacios, y no se cumple en general para espacios de Banach. ESPACIOS DE HILBERT 89 EJERCICIOS DEL CAPITULO 4 l. Considérese el espacio lineal real Mn(IR) de matrices reales n x n(n> 1). Denotaremos A, B, C, ... , sus elementos. Discútase cuáles de las siguientes aplicaciones A, B-+(A, B)EIR definidas en Mn(IR)xMn(IR) son productos escalares para M n(IR): . a) (A, B)=tr A+tr B. b) (A, B)=det(AB). e) (A, B)=tr(AB). 2. Misma pregunta que en el ejercicio anterior, relativa al espacio lineal complejo cn(n> 1): Denotamos v=(V¡, ... , vn)ECn, w=(W¡, ... , wn)ECn. a) (w, v)=w 2 v 1 • b) (w, v)=w 1 v 1 +2w 2 v2 +3w 3 v3 + ··· +nwnvn. e) (w, v)=lwtl 2 +lwzl 2 + ··· +lwnl 2 • 3. Demostrar que si v, w, son elementos cualesquiera (:¡o!: O) de un espacio de Hilbert H, son equivalentes las siguientes afirmaciones: A 1 ) 3cx>O tal que w=cxv. Az) llv+wll = llvll + llwll. A3) lllvll-llwlll=llv-wll. (Ayuda: utilizar la ley del paralelogramo.) 4. Probar que en cualquier espacio de Hilbert complejo H: i) La aplicación Tv.: vE H-+ (v 0 , v) E C es continua. ii) Vn -+V} =>(Vn, Wn)-+(V, W) Wn-+W 5. ¿Cuáles de estos «vectores» pertenecen a 12 =l~? a) v 1 =(l, -1, ), -1, ... , (-l)n+l, ... ). b) Vz=G, ~' ... , ;n' ··} e) v3 =(i, -1, -i, 1, i, ... , ¡n .... ). d) v4 = ( l, ili 1 i) 2!' 3!' 4!' ... , (2n-l)!' (2n)!' ··· 90 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 6. Discutir la veracidad de las siguientes afirmaciones sobre convergencia en 12 : a) Si v,.=(7+ 21n' 71 11 b) v,.=- ¿ei=>v,.~o. n e) ~·O, O, .. .). entonces v,.~(7. 7, O, O, ... ). 1 vE1 2 =>(v, e,.)~O. d) La sucesión e,. no es convergente en [2. 7. Resolver el ejercicio (C) de §4.6, suponiendo O<a<b. 8. Sea M e L 2 [0, 27t] el subespacio lineal cerrado mínimo que contiene las funciones sen nx, n ~ 1 entero. Hallar la proyección ortonormal sobre M de la función cos x. 9. Probar que las funciones {cos nt}:'= 1 constituyen un conjunto ortogonal en L2[ -1t, 1t]. JO. Dar algún ejemplo, si existe, de vectores v=(oc 1 , oc 2 , ••• ,oc,., ... )El2 tales que: 00 a) ¿¡oc,.l 4 sea divergente. 1 00 b) ¿¡oc,.l sea divergente. 1 11. Se dice que un subconjunto C de un espacio lineal L es convexo si para cualquier par de puntos e, e' E también A.c + (1- A.)c' E e, 'v'O <A.< l. Es decir, e si todo el segmento de extremos e, e', cae dentro de C. En el espacio de Hilbert 12 , ¿son convexos los siguientes conjuntos?: a) b) e) d) A= {vE l2 lllvll = 1} («esfera unidad»). B={vEI 2 IIIvll~l} («bola unidad»). C:=lin {e 1, e2 , ••• , e1ool· D={vEl2 1 v de tipo finito}. e) E={v=(tx¡, a2, ... )EI 2 IIa,.l~2-"12 }. 12. Con ayuda de la ley del paralelogramo, pruébese el siguiente teorema: Sea C un subconjunto convexo y cerrado de un espacio de Hilbert H. Dado un vector arbitrario vE H, existe un único vector asociado c., E C, tal que llv-c.,ll ~ llv-cll, 'v'cEC. Nota Se dice que c., es el vector minimizante del v respecto del convexo C. ESPACIOS DE HILBERT 91 13. Hallar los vectores minimizantes cv en las situaciones siguientes: a) e={we/ 2 lllwll~l}, v=1e4 +e 5 • b) e={we/2 l(w, e 2 )~5}, v=O. e) e=lin {sen x, sen 2x, sen 3x} e L 2 [ -n, n], v=cos 2 x. d) e={feL 2 (1R)IIIfll ~6}, v=x1o.t 1• 14. Dar contraejemplos que muestren la falsedad del teorema del ejercicio 12 anterior, cuando: i) e no es cerrado. ii) e no es convexo,. 15. Sea H = Q(D(O, 1 +e)) el conjunto de funciones analíticas en algún disco D(O, 1 +e), con e>O arbitrario. Definamos la aplicación de H X H en e dada por i f{Zjg(z)d f 'g-+ (f'g ) =- _1 2m. e z z donde e denota la circunferencia frontera del disco D(O, 1) orientada positivamente. Probar que es un producto escalar sobre H. 16. Probar que en el espacio de ejercicio anterior las funciones una base ortonormal. {z"}o constituyen 92 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAPITULO 4 l. a) No, pues no verifica (PEI-3). b) No verifica (PEI-2). e) No, porque en (PEI) la matriz A=(aii) con 1 i=l,j=n } 2 2 aii= { 0 (i,j):F:(l, n) cumple A =0, luego tr A =0, pese a que A :F=O. 2. a) No, porque hay. ve C" tales que (v, v) =O sin que v =O. (Tómese v=(O, O, O, ... , O, P.) b) Sí es un buen producto escalar para C". De hecho es sencillamente el producto escalar euclídeo usual, en cuanto hagamos un cambio de coordenadas definido por la matriz diagonal: e) No satisface (PE2-4). 3. Bastará probar la siguiente cadena de implicaciones: (A 1 =>A 3 ) w=ow=> llwll =ex llvll =>lllvll-llwlll=lllvll-cx llvlll =11-cxl·llvll .. que, evidentemente, coincide con llv-wll = llv-cxvll =11-cxl·llvll. (A 3 =>A 2 ) Supongamos que lllvll-llwlll = llv-wll. En tal caso, la ley del paralelogramo llv+wll 2 + llv-wll 2 =211vll 2 +211wll 2 nos muestra, tras la sustitución de llv-wll 2 , que: (A 2 =>A 1) En efecto, ESPACIOS DE H/LBERT 93 que habría de ser igual a Es decir, Re(v, w)= llvll· llwll, que al ser Re z~lzl, \fzeC, muestra que v, w no son linealmente independientes (recuérdese el comentario a la desigualdad de Cauchy-Schwarz-Buniakowskii). Es decir, que 3oc, PeR tales que w=(oc+iP)v. Pero, además, el ser exactamente Re(v, w)= llwll · llvll exige que: Re(v, (oc+iP)v)=oc(v, v)=ocllvll 2 =llwll · llvll Es decir, llwll =ocllvll; luego oc>O (las normas son no negativas por definición). Y, finalmente, por ser además Re(v, w)=l(v, w)l, resulta P=O. (CQD). 4. i) Hemos de probar que si una sucesión v"-+v, entonces Tv.(v")-+Tv.(v) en C. En efecto, 1Tv.(v")-Tv.(v)l=l(v0 , v")-(v 0 , v)l=l(v 0 , v"-v)l~llv 0 11 · llvn-vll, donde hemos utilizado la desigualdad de Schwarz. Como 11 v0 11 es una constante finita y, por definición de convergencia en H, es llvn-vll -o, deducimos el deseado resultado. n-+oo ii) l(vn, w")-(v, w)l=l(vn, wn)-(v", w)+(vn, w)-(v, w)l~ ~l(v", w"-w)l+l(v"-v, w)l~ ~ llvnll · llwn-wll + llvn-vll · llwll (*) Pero llvn-vll y llwn-wll tienden hacia cero cuando n-+oo. Y por su parte llwll es una constante fija finita, mientras que para n suficientemente grandes llvnll < llvll +e, con e>O tan pequeño como se desee. Luego (*)-+0 cuando n-+ oo. 5. a) No, porque 11 12 00 OC) 1 1 L!<-1)"+ 112 =L1=oo. 1 b) ~ 2" =~ 4" = 00 00 1 3. Luego v 2 el 2 • e) No (téngase bien en cuenta siempre que en la definición de 11·11 2 entran los módulos de las componentes, no las propias componentes). 00 ( 1 1 d) Sí, porque la serie llv4 11 2 = ¿ 1 es mayorada por¿ 1 =e-1 < oo. 1 n. 1 n. )2 6. a) Denotemos v=(7, 7, O, O, O, ... ). Entonces: OC) 94 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO que, evidentemente, tiende hacia cero paran-+ oo. Luego, en efecto, vn-+ v, en sentido de convergencia de 12 • 1 1 1 1 1 b) llvn-OII 2 =IIvnii 2 =::I+::I+ ... +::I=nz=--+0, n-+oo. Luego Vn-+0. n n n n n e) Por la desigualdad finita de Bessel sabemos que VN> O entero, dado ve 12 N arbitrario=> Ll(v, en)l 2 ~ llvV Luego la serie 1 oo Ll<v. enW tiene suma finita, 1 por ser de términos positivos y ser sus sumas parciales acotadas por una constante fija llvll 2 • En otras palabras, la sucesión de sumas parciales N {LN}N=1• con LN=LI(v, en)l 2 , es monótona creciente y acotada, luego 1 tiene límite ~ llvll 2 • Y es sabido que en toda serie Icxn convergente, el término general es tal 1 que lcxnl-+0, n-+ oo. d) Por el apartado e), el único límite posible sería el vector nulo. Ahora bien, es obvio que: llen-OII=IIenll=l, Vn, ¡que no tiende a cero cuando n-+oo! 7. Cl) No, por ejemplo: (1, x),..=: Lb xdx=(b 2 -a 2 )/2 sólo puede ser cero si b= ±a. C2) La desigualdad de Bessel implica, en este ejemplo concreto, que a b que viene a decir simplemente que el «área» encerrada por el gráfico de 1/1 2 en todo el intervalo (a, b) es mayor (o igual, como mínimo) que la encerrada en (a, (a+b)/2). C3) a) 11/n- fmll 2 = t 1 (cos 2 nx+cos 2 mx-2 cos nx cos mx)dx= = 1 +sen 2n +sen 2m_ sen(n+m) _ sen(n-m) 2n 2m n+m n-m ESPACIOS DE HILBERT 95 Todos los sumandos tienen límite al hacer n, m-+ oo excepto el último. Luego la sucesión no es de Cauchy. b) /,.-+0 en L 2 [0, 1] porque: r r x sen xll 2 1 1 1 1 1 ll ----;¡r- = n4 Jo x 2 sen 2 x dx~ ñ4 Jo x 2 dx= Jñ4-+0, n-+0 d) En primer lugar, /,.(x)-+0 c.d. en [0, 1]; más concretamente, en todo x#O, porque x> 1/m::;.. /,.(x)=O, 't/n>m. Luego el único límite posible en L 2 [0, 1], si existe, de tal sucesión {f,.}i', sería la función f=OeL 2 [0, 1]. Ahora bien: 1 11/,.11 2= foiin 2 dx=n+O, para n-+oo De manera que {f,.}i' no es convergente en L 2 [0, 1]. 8. Un sencillo cálculo muestra que cos x es ortogonal a sen nx, 't/n?:; l. En efecto: f (cos x, sen nx)L•¡o, 2 ,.1= 2" o cos x sen nxdx= ( -1)" f+" cos x sen nxdx=O - .. por ser la función cos x sen nx impar en la variable x. Luego cos x.lM =;..PM(cos x)=O. 9. En efecto, para m#n tenemos que: f + .. (cos nt, cos mt)L•¡-,.,,.1= _,. cos nt cos mtdt= 1 =2 porque f J+"_,. [cos(m+n)t+cos(m-n)t]dt=O +" _,. cos ktdt=O, k entero#O Cuando m= n, obtenemos: llcos ntii 2 L 2 [-K,K) = f " cos 2 ntdt= f" -K Luego el conjunto {cos nt} no es ortonormal. -K 1 +cos 2nt dt=n 2 96 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO JO. a) Al ser ve/ 2 , ha de ocurrir que lcxnl-0. Podemos suponer, pues, paran n-+oo suficientemente grande, lcxnl < l. Ahora bien, O~ A< 1 ~ A4 ~ A.l. Luego, por el criterio de comparación de series con términos reales positivos, vemos 00 que si Llcxnl 4 fuese divergente, también debería serlo automáticamente 1 00 luego vj/ 2 • No existe, pues, tal v. Llcxnl 2 , 1 00 b) Tómese CXn=n- 1, con lo cual Llcxnl es la serie armónica (divergente), 1 mientras que llvll 2 =~:2 <oo. El vector v=(l, ~· ~· ...) satisface lo exigido. 11. a) No. Por ejemplo, e¡, e2 eA, pero e¡ +e2 2-1/2~1. 2 =(~.~.O, O, ... )tiene norma 2 2 b) Sí, porque para O<A< 1 tenemos: IIA.x+(l-A)YII ~ IIAxll + 11(1-A)YII ~A+(l-A)= 1, 'Vx, yeB e) Todo subespacio lineal es convexo, trivialmente. d) Sí, porque dados dos vectores cualesquiera v, w, de tipo finito, digamos tales que: v= (ex¡, cx2, ... ) w=(P¡, P2 •... ) con CXn=O, con Pn=O, 'Vn>N 1 'Vn>N2 entonces es claro que el segmento AV+ ( 1 -A) w está todo él contenido en lin{e 1 , e 2 , ••• , eN}, con N=:máx{N 1, N 2 }. Y todos los vectores de este subespacio son de tipo finito. Nota Merece la pena destacar la enorme complicación que presentan los subespacios lineales densos no cerrados en un Hilbert de dimensión infinita. Es un reto auténtico a la intuición la existencia de tales conjuntos, ¡convexos además!, frente a la sencillez de la situación en dimensión finita. e) Sí, porque dados v=(cx 1 , cx 2 , ••• )eE, IAcxn+(I-A)Pni~IAcxni+I(I-A)Pnl~ w=(P 1 , p2 , A 1-A "2" "2" ¡;;¡¡ + ••• )eE, es claro que 1 ¡;;¡¡ = ¡;;¡¡ "2" 12. Sea t5=:infllv-cll. Escojamos (por definición de ínfimo) una sucesión cualquiecec ra {cn}f e e tal que: llv-cnll -+<5, n-+ oo (*) ESPACIOS DE HILBERT 91 Según la ley del paralelogramo: llcm -cnll 2 = 211cm- vll 2 + 211cn- vll 2 -411cn ~cm - vlr C d fi . . ' d .~: 1 Por convex1'dad Cn - +Cm 2- e , y por e mlclon e u es e aro entonces que: Luego la sucesión {en} es de Cauchy, y al ser C cerrado 3lim cn=cveC. ft""CO Es ya evidente que llv-c.,ll=lJ~IIv-cll, VceC (**).Ese c., es el único vector de C tal que se verifica (**). En efecto, en caso de haber otro e~ e C minimizante en el sentido de que llv-c~ll =lJ, tendríamos de nuevo por la ley del paralelogramo: c.,+c~ porque - 2- e C. Luego c.,=c., .. Nota Cuando se toma v =O, supuesto O,¡ C, el correspondiente c., es sencillamente el vector de norma mínima del convexo cerrado C,. 13. a) Para todo ceC ocurre que llv-cll~lllvll-llciii=J50-IIcii~J50-1. Luego basta exhibir un c., que haga exactamente Jlv-c.,JI =JS0-1. Es fácil ver que c.,=50- 112 [7e4 +e 5 ] es la solución, porque: No era dificil prever la solución geométricamente, pues C era la bola unidad, y, en consecuencia, c., tenía que ser el vector de norma unidad en la dirección del propio v. b) c.,=5e 2 • Es el vector de norma mínima en C. e) Es fácil probar que {sen x, sen 2x, sen 3x} es un conjunto ortogonal en L 2 [ -n, n], análogamente a como se hizo en el ejercicio 9 con las funciones cos nx. Además, llsen xll = llsen 2xll = llsen 3xll =Jx. 98 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Como estamos en el caso de un subespacio iineal cerrado (de dimensión 3), podemos aplicar lo expuesto al final de §4.7, lo que lleva a concluir que: f f +• A. 1 =(sen x, cos 2 x)= - .. sen x cos 2 xdx=O, porque el integrado es función impar de x. + .. A. 2 ::(sen 2x, cos 2 x)= - .. sen 2x cos 2 xdx=O, por la misma razón. Y A. 3 ::(sen 3x, cos 2 x)=O, análogamente. Entonces el vector minimizante es la proyección ortogonal de v sobre lin{sen x, sen 2x, sen 3x}, a saber: 13 Cv=- _LA.,. sen kx=O 1t 1 ¡Resultado de esperar porque cos 2 x es ortogonal a sen nx, Vn >O entero, en L 2 [ -n, +n]! d) En este caso, es evidente que el elemento vEe, pues llx10, 11 11=1<6. Luego Cv=v. Siempre que V E e, él mismo es minimizan te: llcv-vll = llv-vll =0~ llc-vll, VcEe 14. i) H=R 2 , e=D(O, l)={v=(v~o v2 )ER 2 : llvll= +Jvi+v~<1}. Si tomamos v=(2, 0), claramente infllc-vll = 1, pero no hay ningún vector ceC en e que alcance ese ínfimo. El candidato obvio es (1, O)~e. ii) H = R2 , e= {vE R2 : 11 v 11 ;¡¡: 1}, cerrado pero no convexo. En efecto, los vectores (2, O) y ( -2, O) están en e, pero su semisuma (0, O)~e. Cojamos v=(O, 0). Entonces infllc-vll=l. Y, de hecho, existe CvEe tal que ceC llcv-vll =l. Pero hay infinitos de tales vectores, todos los de norma concretamente. Falla la unicidad. 15. Pasando a polares, z=ei11, bajo la integral vemos que: que es una cantidad finita Vf, gEH. Veamos las diversas propiedades del producto escalar: (PE1) (f, f)= 2~J02 Ifl dO;¡¡:O. Además, (f, f)=O si y sólo si f=O, pues al .. 2 ESPACIOS DE HILBERT 99 ser 1!1 continua y positiva, si fuese estrictamente >O en algún punto de C la contribución de un entorno de ese punto a la integral sería estrictamente positiva, luego (f, f) >O. (PE2) (f, g 1 +g 2 )=(f, g¡)+(f, g 2 ), evidente por ser lineal en g la integral. (PE3) (f, A.g)=A.(f, g), por idéntica razón. (PE4) (f, g)= 211t J2"-jgdO= 21 J2" fgdO =(g,- f) 0 1t 0 Luego {z"}O' es un sistema ortonormal en H. El ser completo, es decir base ortonormal, lo debe al desarrollo de Taylor. O bien, si se prefiere un argumento más directo: Si f .l'v'z", n~O, como z=z- 1 , 'v'zeC, obtenemos que: f f z"f(z) d = _1 f(z)d O=( z n ' f)= _1 21tl. e z z 2m. cZn+ 1 z que comparada con las fórmulas para las derivadas complejo=> j<"l(O)=O, 'v'n~O. Luego f=O. Jl"l conocidas del análisis Nota La serie de Fourier en esta base ortonormal es la serie de Taylor. 5 Bases de Hilbert. Separabilidad 5.1. PROCESO DE ORTONORMALIZACIÓN DE GRAM-SCHMIDT Hemos visto que si un conjunto de vectores S de un espacio de Hilbert H es ortonormal, entonces es forzosamente l.i. Que el recíproco no es cierto, salta a la vista. No obstante, existe un método sencillo de conseguir, dado un conjunto S l.i. en H, un conjunto equivalente de vectores ortonormales ya, donde la equivalencia debe entenderse en el· sentido de que engendran idénticas envolventes lineales, tal como afirma de manera precisa el próximo: Teorema 5.1 (Gram-Schmidt) Sea {v1} 1e1 e: H, un conjunto l.i., con J finito ({1, 2, ... , n)} o infinito numerable (1\1). Entonces 3{u1}JeJ ortonormal tal que: i) u1 elin({v 1 , v2 , ••• , v1}). ii) v1 elin({u 1 , u2 , ••• , u1}). iii) lin({v1} 1e1 )=lin({uJlJeJ)· Demostración Hagamos ' m-1 Wm=:Vm- ¿ k= 1 (Uk, Vm)Uk u1 W1 = llw1ll 102 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Nótese que wm#:O por la supuesta independencia lineal de los vi. Por construcción, {ui}ieJ es ortonormal, como puede comprobarse fácilmente. Además, i), ii), son claras. Y por tanto, también iii), pues de i), ii), se sigue que lin({viLe1 )= lin({uiLe1 ). (CQD). Ejercicios 1. Aplicar el proceso de Gram-Schmidt al sistema l.i. de funciones 1, x, x 2 , x 3 , en L 2 [0, 1]. 2. Probar, con la notación del teorema precedente, que la sucesión ortonormal {ui}ieJ es esencialmente única, en el sentido de que cualquier otra ortonormal {u]LeJ satisfaciendo (i-iii), cumple uj=),iui, con lA)= l, Vj. 5.2. BASES ORTONORMALES Definición 5.2 Un conjunto ortonormal S={v.,}.,eA de vectores en un espacio de Hilbert H, se dice que constituye una base ortonormal de H si es maximal, es decir si no es subconjunto propio de ningún otro conjunto ortonormal de H. El interés de esta definición, así como su interpretación en el contexto de los espacios de Hilbert y su relación con el concepto de base lineal, serán mucho más transparentes un poco más adelante. El primer problema que se plantea es el de la existencia, resuelto por el lema de Zorn: Proposición 5.3 (3 de bases ortonormales) Todo espacio de Hilbert :#:{O} poseee alguna base ortonormal. Demostración La familia (no vacía, evidentemente) de conjuntos ortonormales de H puede ordenarse por inclusión. Si una subfamilia de conjuntos ortonormales está totalmente ordenada, admite cota superior: la unión de todos ellos, que es a su vez otro conjunto ortonormal. Luego el lema de Zorn asegura la existencia de conjuntos ortonormales maximales bajo esa relación de orden. (CQD). Una colección de condiciones necesarias y suficientes para que un conjunto ortonormal sea base ortonormal, y por tanto otras tantas posibles redefiniciones de este concepto quedan resumidas en el próximo teorema. Puede el lector escoger la que desee como definición de base ortonormal, y mirar las demás como propiedades características de las bases ortonormales. ESPACIOS DE H/LBERT 103 Teorema 5.4 (caracterización de bases ortonormales) Sea S={v,.},.eA un conjunto ortonormal en un espacio de Hilbert H#{O}. Las siguientes proposiciones son equivalentes dos a dos: (801) S es base ortonormal de H. (802) lin(S)=H. (803) v.Lv,., 'v'cx::;.v=O. Es decir (804) 'fveH::;. 1 SJ.={O} 1 v=L(v,., v)v,. (desarrollo en serie de Fourier) 11 (805) 'v'v, weH::;. (v, w)=L(V, v,.) (v,., w) (identidad de Parseval) 11 (806) 'v'veH::;. llvii 2 =LI(v,., v)l 2 (identidad de Parseval) 11 Demostración (1 ::;.2) Si lin(S) no fuese denso en H, existiría algún veS.!. con llvll = 1 (véase § 4. 7, consecuencia 5), de modo que añadiendo v al S se obtendría otro conjunto ortonormal::;. absurdo por ser S maximal. (2::;.3) SJ.#{O}::;.Jin(S)=S.l..l.#H, donde se ha utilizado §4.7. (3::;.4) Por la desigualdad finita de 8essel (§4.2): Li(v,., vW~IIvll 2 , V subcon..eJ junto finito JeA de índices. Luego (v,., v)=O para todo ex excepto a lo sumo un conjunto finito o infinito numerable de índices (véase ejercicio, abajo), y en cualquiera de los dos casos es Ll(v,., v)l 2 ~11vll 2 • IIEA Si es finito, definamos v' = L ( v,., v) v,., que tiene sentido como simple suma IIEA finita de vectores. Y si es infinito numerable, digamos {v,.;} ¡; ~o la sucesión de n sumas parciales {wn=L(V,.;, v)v,.;}:=l es de Cauchy. En efecto, 1 n llwn-wmll 2 = L i(v,.;, m+l v)I 2 -0, para n>m-~ 104 LORf:NZO A BELLA NAS Y ALBERTO GALINDO 00 Por tanto, podemos definir un vector v'= L (v .., v)v.. = L(v"i' v)v..¡eH. IIEA 1 En ambos casos, un cálculo directo muestra que v- v' .l'v'v... Luego v = v', por (B03). (4=>5), (5=>6). Elementales. (6=> 1) De lo contrario, 3v tal que Su {v} sería ortonormal. Por tanto, v.lS, lo cual es absurdo porque debería verificarse que 1=11vll 2 = Li(v.., v)l 2 =0 (CQD). OlEA Notas 1) Los números (v .., v) en (B04) se denominan coeficientes de Fourier de ven la base {v.. }..eA· 2) La identidad (B06) expresa la saturación de la desigualdad de Bessel, válida para conjuntos ortonormales, finitos o no. Ejercicio Probar que en la suma v= ¿(v.. , v)v.. , con un conjunto de índices " a lo sumo numerable de términos no arbitrario, sólo hay una colección nulos. (Ayuda: Dan contribución no nula los términos provenientes de en={v... IXEAII(v... v)l~ 1/n}, para algún n entero positivo. Cada en es numerable, debido a la desigualdad finita de Bessel. En efecto, en no puede contener más de n2 llvll 2 elementos, así que cada en es incluso finito. Y la unión Uen es, por tanto, numerable.) n [Sobre convergencia de series de vectores, véase Criterio 5.15.] Ejercicio Una base ortonormal de H, ¿es siempre base de Hamel para H? Respuesta más adelante (§ 5.5). 5.3. ESPACIOS DE HILBERT SEPARABLES Definición 5.5 Un espacio topológico X se llama separable si posee algún subconjunto numerable denso en X. ESPACIOS DE HILBERT 105 Ejemplos 1. En C" el conjunto de vectores con componentes racionales (partes real e imaginaria racionales) es numerable denso. 2. En C[a, b] los polinomios con coeficientes de tipo racional es numerable y denso. En el caso particular de espacios métricos: Proposición 5.6 Un espacio métrico M es separable si y sólo si posee una base numerable de abiertos. Demostración Sea {Ui}.i= 1 una base numerable de abiertos, es decir que todo abierto U e M es unión de una subcolección de los Ui· Escojamos puntos x i e Ui• por lo demás arbitrarios. Es fácil probar que el conjunto {xi}i es denso en M. Recíprocamente, dado un conjunto de puntos {x Ji denso en M, las bolas centradas en los x i con radios racionales, constituyen una base numerable de abiertos para M. Basta darse cuenta de que 'v'reQ, 'v'xeM, 3x; de esa colección tal que d(x, x;)<r, y en consecuencia la bola centrada en X¡ con radio res un entorno de x. (CQD). Para el aún más particular contexto de espacios de Hilbert, es posible dar un criterio que relaciona la separabilidad con el cardinal de las bases ortonormales. Criterio 5.7 (separabilidad para espacios de Hilbert) Un espacio de Hilbert H ~{O} es separable si y sólo si admite una base ortonormal numerable (finita o infinita numerable). Demostración [~] Si H es separable, sea D = {di} i un conjunto de vectores denso en H. Sea {vi} la subcolección seleccionada de D por recurrencia como sigue: v1 es el primer vector de D que ~ea ~0. Una vez elegidos v1 , •.• , vk, l.i., se toma como vk+ 1 el próximo vector en D que no sea combinación lineal de v1 , ••• , vk. El proceso puede detenerse, o no, pero en cualquier caso el método de Gram-Schmidt produce un conjunto ortonormal numerable {ek} con la propiedad, entre otras, de que si v.l'v'ek, entonces es v.llin(D). Luego v=O. En consecuencia, {ek} es una base ortonormal. [<=]Si H admite una base ortonormal B={ek}i. entonces (B02) en §5.2~1in(B) es denso en H. Sea M el subconjunto numerable de lin(B) formado por aquellas combinaciones lineales con coeficientes de tipo racional en los vectores de B. Falta ver que M es denso en H. 106 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO n Dados veH, e>O, 3welin(B), digamos w= LA.iei tal que llv-wll <e. Luego, 1 n tomando números de tipo racional Pi tales que IA.i- Pii <eJJn, el vector w' = LPiei 1 cumple: llv-w'll ~ llv-wll + llw-w'll ~2e (CQD) Nótese que para espacios separables, el lema de Zorn no es necesario a la hora de probar la existencia de bases ortonormales. El proceso de Gram-Schmidt proporciona una demostración constructiva. Que el anterior criterio es coherente lo demuestra el siguiente resultado, que enunciamos sin demostración al objeto de evitar entrar en detalles técnicos sobre cardinales y operaciones con cardinales. Proposición 5.8 Todas las bases ortonormales de un espacio de Hilbert H tienen el mismo cardinal. Definición 5.9 A este cardinal común a todas las bases ortonormales de H se le llama dimensión hilbertiana de H. Ejemplos l. IR", C", tienen dimensión hilbertiana n (sobre IR, C, respectivamente). Dar algún ejemplo de base ortonormal en ambos casos. 2. 17.. es un espacio de Hilbert separable de dimensión hilbertiana infinita. Una base ortonormal la constituyen los vectores {en} 1 definidos por las sucesiones en=(O, O, ... , 1, O, O, ... ), con única componente no nula la n-ésima. Es decir, (en)j=t5nj· Que {en}! es un sistema ortonormal es sencillo de comprobar. El hecho de ser base ortonormal es trivial si se tiene en cuenta (806) en § 5.2, y la definición de 11· b 3. En § 5.6 probaremos que L 2 [a, b] y U (IR) son espacios de Hilbert separables, y se especificarán varias bases ortonormales interesantes en la práctica. 4. Puede demostrarse que la dimensión hilbertiam: de lx(A), para un conjunto arbitrario A, es sencillamente el cardinal de A. De manera que existen espacios de Hilbert no separables, más aún, de dimensión hilbertiana arbitrariamente grande. ESPACIOS DE HILBERT 107 Aparte de la sencillez que supone la separabilidad, la importancia decisiva de los espacios de Hilbert separables frente a los no separables radica en el hecho de que hasta el momento puede afirmarse que el uso de espacios no separables de Hilbert en Física es prácticamente nulo. Por esta razón, estaremos interesados de una manera muy particular en el estudio de espacios de Hilbert separables, principalmente de dimensión infinita, pues los de dimensión finita son, como veremos en la próxima sección, isomorfos al A", y no presentan facetas nuevas sobre la geometría euclídea y el álgebra lineal usual en n dimensiones. 5.4. TEOREMA DEL ISOMORFISMO Definición 5.JO Dos espacios de Hilbert sobre A, H 1 , H 2 , se dicen isomorfos si existe algún isomorfismo lineal U: H 1 -+ H 2 que conserva productos escalares, es decir (Ux, Uy) 8 , =(x, y) 8 ,, 'r/x, y eH 1 • (Se dice a veces que H 1 , H 2 , son isométricamente isomorfos.) Al igual que en el caso de espacios lineales (sin más estructura) la dimensión lineal los caracterizaba salvo isomorfismo lineal, ahora tenemos con la añadida estructura hilbertiana: Teorema 5.11 (del isomorfismo) Todo espacio de Hilbert H#{O} es isomorfo a /x(A), con A=dimensión hilbertiana de H. Demostración Dada una base ortonormal {é'11 } 11eA de H, la aplicación U: H -+lX(A) definida por v-+ { (é'11, v)} <leA establece el deseado isomorfismo. En efecto, su carácter lineal es evidente. Conserva, además, los productos escalares porque: (Uv, Uw)I~(A) =L (é' 11 , v) (é'11 , w)=(v, w) 8 , :zeA por la identidad de Parseval (§ 5.2). Es además inyectiva, pues Uv=Uw=>(é'11 , v)=(é'11 , w), 'r11XEA=>v-wl.Vé'11 • Y (B03)=>v=w Finalmente, es suprayectiva. Efectivamente, por definición, dado un elemento ..1.11 =0, excepto a lo sumo para índices IX 1 , IX 2 , ••• Si este {A.11 } 11eAEIX(A) se tiene conjunto es finito IX¡, IX 2 , ••• , n 1Xn, el vector v=LA .é' verifica (é' 1 1 1 11 11 • 11 , v)=A.11 • Y si fuese 108 LORENZO A BELLA NAS Y ALBERTO GALINDO n infinito, entonces formamos la sucesión {vn} f definida por Vn =~) 11'}.é'11'}•• Es de 1 00 Cauchy y su límite v=IA. 1 11 .é',..= ¿A.11 é'11 es también tal que '} '} IIEA (e 11 , v)=A.11 • (CQD). Notemos que el isomorfismo construido en la demostración lleva é'11 sobre los vectores e11 :={h11¡¡}¡¡eA· En particular, pues, {e11 } 11eA es una base ortonormal en /~(A) que llamaremos estándar. Así, para cada cardinal existe un sólo tipo (salvo isomorfismos) de espacio de Hilbert. Concretamente, veremos que /~(N), L 2 [a, b] son isomorfos entre sí. Surge, naturalmente, la cuestión de ¿para qué utilizar diversas realizaciones de un mismo espacio de Hilbert abstracto? Porque podría trabajarse únicamente con los canónicos /~(A). La razón es que, al igual que ocurre en C", donde un endomorfismo lineal adopta una expresión particularmente sencilla (forma canónica) en un determinado sistema de referencia no necesariamente coincidente con el inicial (1, O, ... , 0), (0, 1, O, ... ), etc., las operaciones lineales entre espacios de Hilbert adoptan expresiones muy simples si se elige adecuadamente la realización del espacio de Hilbert. En esa elección radica en buena parte la dificultad de la teoría espectral de operadores lineales. Corolario 5.12 Todo espacio de Hilbert separable de dimensión hilbertiana infinita (sobre A) es isomorfo al /~(N). Tomemos, para fijar ideas, L 2 [0, 2n], separable (véase § 5.6), con base ortonormal { ~e±inx} V 2n . Denotemos esa base en un cierto orden {fn(x)}f. nel'll El proceso de transición de este espacio de Hilbert al pensarse así: Mediante el producto escalar (f, g)= /~(N) canónico puede L 2 "fgdx en L 2 [0, 2n] determinamos una cierta base ortonormal {fn}f. Si ahora desarrollamos todas y cada una de las funciones fe L 2 [0, 2n] en serie de Fourier f = L (f"' f)f,, la asignación 1 f +-+ {A."= (J,, f)} f nos pasa al /~(N), y módulo la identificación de f con su correspondiente elemento en /~(N), podemos trabajar ya con las funciones f, g, ... , como si fuesen sucesiones de coeficientes, olvidando incluso si se desea el original producto escalar en L 2 [0, 2n], para pasar a calcular ahora en /~así: oo _ _ (f, g)= L<f,, j) <Jn, g) 1 Por ende, en cuanto se escoge una base ortonormal en un H separable, todos los cálculos y resultados pueden formularse en la norma y el producto escalar «canónicos» del tipo /2 • ESPACIOS DE HILBERT 109 5.5 BASES ORTONORMALES Y BASES LINEALES Con el fin de dejar claramente establecidas las diferencias y analogías entre Base lineal (o de Hamel)l ¡Base ortonormal !Dimensión lineal ...._... Dimensión hilbertiana 1 probaremos el siguiente: Teorema 5.13 Sea H un espacio de Hilbert separable. a) Si H tiene dimensión hilbertiana finita n, su dimensión lineal es también n. Además, toda base ortonormal es base de Hamel para H. b) Si H tiene dimensión hilbertiana infinita, su dimensión lineal es estrictamente mayor que la hilbertiana. Además, ninguna base ortonormal es base de Hamel. Demostración a) Si {ei}~ es base ortonormal de H, (B04) en §5.2 y la independencia lineal de conjuntos ortonormales=> (CQD). El proceso de Gram-Schmidt permite, dada una base de Hamel de H, construir con ella una base ortonormal. b) Basta probar que un espacio de Hilbert de dimensión hilbertiana infinita numerable no puede tener base de Hamel infinita numerable. Es decir, supongamos que 3 sucesión l.i. infinita {vn} 1 e H tal que Vv EH es combinación lineal de vectores vn. Probemos que eso implicaría un absurdo. En efecto, por Gram-Schmidt, puede pasarse {vn} 1, conjunto l.i. de vectores, a un conjunto ortonormal {un} 1 tal que Vv EH es combinación lineal de los nuevos un. 00 Tomemos ¿(n!)- 1' 2 un. Que esta suma infinita converge en H a un 1 vector vE H se debe a que si llamamos sm a las sumas parciales, se tiene llsn-smll 2 = n L (k!)k;m+1 1 --+0 para m, n--+oo; luego la sucesión de sumas parciales es de Cauchy. H completo=> convergente. Pues bien, como v ha de ser combinación lineal de los un, tenemos: 00 v:: L(n!)- 112 un=A1Ua, +A2Ua, + "' +).,u"'r 1 Multiplicando por ui=>(j!)- 112 =0 para infinitos valores de j. ¡Absurdo! (CQD). 110 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Corolario 5.14 H de Hilbert separable de dimensión infinita:::::;.toda base lineal es no numerable. Así que en espacios de Hilbert separables de dimensión infinita no hay que confundir base de Hamel con base ortonormal. Debe sobre todo tenerse muy en cuenta que respecto de una base lineal de Hamel, todo vector es suma finita, mientras que respecto de una base ortonormal todo vector es suma finita o infinita. Es útil tener un criterio para saber cuándo una suma infinita converge en un Hilbert. Criterio 5.15 (convergencia de series de vectores) Sea {un}f un conjunto ortonormal de vectores de H, espacio de Hilbert. 00 ~)iui converge en 1 00 H<=> L!A.l converge en ~ 1 Demostración 00 LA.iui converge en H<=>la sucesión de sumas parciales es de Cauchy 1 -11 f. A.iuill-+0, m,n-+oo<=> f. IA.il m+! ya que m+l ~ 2 -+0, m, n-+oo<=>f1A.i1 2 es convergente 1 en~. es completo. (CQD). Nótese la analogía de esta condición necesaria y suficiente con la definición de los elementos de H.(i\1), donde se exigía exactamente, para que una sucesión 00 (1X 1 , ••• , 1Xn, ... )el~(i\1), que fuese LI1Xil 2 <oo. ¡Ya no puede extrañar esta analogía 1 a la vista del teorema del isomorfismo y del párrafo final de § 5.4! 5.6. ALGUNAS BASES ORTONORMALES IMPORTANTES DE FUNCIONES Aunque la demostración de que algunos de estos sistemas son bases ortonormales en los respectivos espacios de Hilbert se basa en un lema técnico, postergamos éste al final de esta sección, para pasar directamente a exponer ejemplos de bases ortonormales muy importantes. ESPACIOS DE H/LBERT 111 Base de Legendre H=L 2 [a, b]. Consideremos la sucesión {x"} 0 cH. Es un conjunto l.i. (¡Teorema fundamental del álgebra!). Pero no es ortonormal. El proceso de GramSchmidt aplicado a este caso proporciona un conjunto ortonormal de polinomios de grados n=O, 1, 2, ... En el caso particular de [a, b] = [- 1, + 1], los polinomios así obtenidos son, salvo factores constantes, los llamados polinomios de Legendre: Integrando por partes se comprueba sin dificultad que el producto escalar (Pm, Pn)=O, Vn::Fm, y que IIPnll 2 = 2n:l, lo que prueba la afirmación anterior. dk Basta tener en cuenta que tfXl'(x 2 -l)" se anula en x= supuesto m~ ± 1, Vk<n. Así que, n: (*) Como (x 2 -l)m es de grado 2m, vemos que m<n~Pml.Pn. Además, m=n~ IIPnll 2 = 2n: 1 , como se ve por cálculo directo e~ (*). Ejercicio Probar que El lema al final de la sección asegura que { R n}: P es base ortonormal para L 2 [ -1, 1]. Base de Hermite H = L 2 (IR). Ahora x" ft H, pero sin embargo puede considerarse un nuevo conjunto de funciones {x"e-"'12 } 0 eH, que es l.i. por análoga razón a la antes 112 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO apuntada. La sucesión ortonormal a que conduce el proceso de Gram-Schmidt es, salvo un factor de módulo 1, <Pn(X)= 1 (n!2" Jn>t/2 e-"' 12 Hn(X) siendo {Hn}o los llamados polinomios de Hermite z d" - H n (x)=(-l)"e" dx"e " z Las <Pn(x) suelen llamarse funciones de Hermite. Nuevamente, el hecho de que las funciones de Hermite fornian una base ortonormal de L 2 (IR) es consecuencia del lema anunciado. Base trigonométrica de Fourier -e±inx}oo 1 H=L 2 [0, 2n]. El conjunto de funciones { - Jf.it constituye una base n=O ortonormal. El ser conjunto ortonormal es fácilmente verificable de manera directa. En cuanto a probar que su envolvente lineal M es densa en H, es, esta vez, simple consecuencia del teorema de Weierstrass, ya que de él se deduce que M es densa en C(O, 2n] bajo 11·11 oo, luego también bajo 11·11 ( 11 11 2 ). Y por ser las funciones continuas densas en U[a, b]=>(CQD). = Ejercicio Por el mismo tipo de argumentos, pruébese que el ejemplo 1 proporciona una base ortonormal en L 2 [a, b]. Es consecuencia del teorema de caracterización de bases ortonormales que: Corolario 5.16 (Serie trigonométrica de Fourier) Toda función fe U [0, 2n] es desarrollable en serie de Fourier relativa a la ~ei""} 00 , es decir: base de funciones trigonométricas V 2n --x, {en= ESPACIOS DE H/LBERT 113 Advertencia La serie de Fourier de f converge a f en 11·11. pero no necesariamente punto a punto. Sin embargo, es bien conocido en análisis clásico que si fe C 1 [0, 2n], +n esto es, si posee derivada continua, entonces ¿(ei, f)ei(x) converge uniforme-n mente hacia f(x), cuando n-+oo, para 'v'xe[O, 2n]. No ha mucho se ha conseguido probar que esas sumas parciales convergen punto a punto c.d., para 'v'feL 2 [0, 2n] (Carleson, 1964). Nota histórica Aunque en la actualidad se engloban bajo la denominación de «series de Fourier» todos los desarrollos de elementos de un espacio de Hilbert relativo a bases ortonormales, las series de Fourier propiamente dichas se refieren a la base {einx} o, mejor aún, a la base de cosenos y senos. J. Fourier (1768-1830) expuso la posibilidad de desarrollar funciones más o menos arbitrarias en términos de cosenos y senos hacia 1807, y utilizó Juego en su famosa obra, Théorie Analytique de la Chaleur, repetidas veces esta idea. Naturalmente que, tanto la clase de funciones susceptibles de tal análisis como el sentido en que las bases del tipo trigonométrico aproximaban dichas funciones, no estaban en aquella época tratados ni delimitadas con el rigor y precisión que hoy Jo entendemos, pero lo cierto es que el análisis «a la Fourier» ha sido y es uno de los pilares básicos de las aplicaciones del Análisis Funcional en la Física. Base de Laguerre H=U(~+), ~+=[0, +oo). La sucesión {e-x12 xn} 0 cH es l.i. y por GramSchmidt conduce a una familia ortonormal {t/ln(x)} f, donde salvo constante de módulo 1: siendo Ln los polinomios de Laguerre J dn L (x)= -ex-(e-xxn) n n! dxn El lema que sigue demuestra que también esta familia es base ortonormal de H. He aquí, para terminar, el lema técnico que permite probar el carácter de base de Jos ejemplos precedentes [recuérdese que el soporte sop f de una función fes el cerrado complementario del mayor abierto en que fes idénticamente nula]: Lema 5.17 (Criterio bases ortonormales de polinomios asociados a una función peso) Sea O,¡. pe L 1 (~). no negativa, y tal que 3~X >O, para el que 114 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO t e'*'p(t)dt< oo Si {Pn(t)}g' denotan los polinomios ortonormales respecto del producto escalar (f, g)p=Ljgpdt, obtenidos de {tn}g> por Gram-Schmidt, entonces las funciones {Pn(t)p 112 (t)}g' son una base ortonormal para L 2 (sop p). Nota El método de Gram-Schmidt está justificado porque el producto escalar introducido define una estructura de -espacio de Hilbert para el conjunto de funciones f tales que(/, f)p<oo. Aplicación i) p(t}=e-r• definida sobre R. En este caso, el lema demuestra que las funciones de Hermite son base ortonormal en U(R). ii) p(t)={e~', ~~~ Usando el lema, se concluye que las funciones de Laguerre 1/Jn(x) constituyen una base ortonormal en L 2 (R+>· iii) Cuando sop p es acotado, la condición impuesta en el lema es trivialmente satisfecha. Probar así que el ejemplo anterior (1) proporciona en efecto una base ortonormal. 5.7 BASES ORTONORMALES EN VARIAS VARIABLES La construcción de bases ortonormales en L 2 (X) donde X es un borealiano de Rn (n > 1), o en particular para L 2 (R), es sugerida por el siguiente: Teorema 5.18 Dados dos borelianos B1 e R~, B2 e R;, y sendas bases ortonormales {!Jf', {gk}f' de L 2 (B¡}, U(B 2) respectivamente, el conjunto {fi(x)gk(y)}fk= 1 constitu- ye una base ortonormal de L 2 (B), donde B=B 1 x B 2 e Rm+n. (Suponemos el caso no trivial ¡.t(B¡), ¡.t(B2 )#:0.) Demos~ración Sea hik(x, y)=fi(x)gk(y). Entonces, utilizando el teorema de Fubini (§3.8): (hik• hi'k.)L•(BJ= JB.gk(y)gdy>[t.fi(x)fj·(x)dmx Jdny=~ii'~kk' ESPACIOS DE HILBERT 115 Luego {hik}./:'k=t es ortonormal. Para ver que es base usaremos (B03) de §5.2. Basta ver que f l.hik=>/=0. Sea cpi(y)= f .{(x, y)fi(x)dmx. Se tiene Vk: JB, Por ser {gk} base ortonormal de L 2 (B 2 ) se tiene cpi(y)=O c.d. en B2 • Luego f .{(x, y)fi(x)dmx=O c.d. en y, Vj, y al ser {Ji} JB, base ortonormal para U(B 1 ) resulta f(x, y)=O c.d. en x, c.d. en y. El teorema de Fubini (§3.8)=>/=0eU(B). (CQD). Ejemplos A partir de las bases de funciones expuestas en § 5.6, pueden construirse varias bases para espacios L 2 (B), sobre borelianos en ~". n> l, que sean productos cartesianos. En particular, {(2n)-"12 eik-x}, donde k=(k 1 , ... , kn), Vki enteros, y donde k·x denota el producto escalar usual de vectores en ~". es una base ortonormal para L 2 ([0, 2n] x ... x [0, 2n]) que da origen a las llamadas series múltiples de Fourier. 116 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO EJERCICIOS DEL CAPITULO 5 l. Ortonormalizar, por Gram-Schmidt, el sistema l.i. de funciones 1, x, x 2 , en L 2 [0, 1]. 2. Sea {ei}r, 1 ~N~ oo, una base ortonormal en un Hilbert complejo separable H de dimensión N, finita o no. Probar que 3v:#O en H tal que {ei-v}r sigue siendo un sistema ortonormal si y sólo si N< oo. 3. Calcular los a, b, e E e, que minimizan la integral f 2" 1 0 f(x)-a-b sen x-ecos xl 2 dx donde f(x)=sgn(x-n). 4. Demostrar que el conjunto {P2n}o = { J2n + ~ P 2n}~ de funciones, extraído de la base de Hermite en L 2[- 1, 1], es base ortonormal para el espacio de Hilbert H formado por las funciones en L 2[- 1, 1] que son pares. 5. Es sabido que en=(2n)- 112 ei""', n=O, en L 2[0, 2n]. Demostrar que: ± 1, ... , forman una base ortonormal i) También {en}~«> es una base ortonormal para L 2[ -1t, n]. ii) Las funciones L 2 [0, n]. iii) Idem con e;= e~= A cos nx, A sen nx, n n~O. constituyen una base ortonormal en ~ l. 6. En § 5.6 se dan algunas bases ortonormales en L 2(1), siendo 1 un intervalo, finito o no, de R. Estas bases son de la forma lfJn(x)=p 112 (x)p"(x), n=O, 1, 2, ... , donde p es una función positiva y continua, y Pn(x) un polinomio real de grado n. Demostrar que Pn(x) tienen ceros reales y distintos en el interior 1° de l. 7. Considérese en L 2[0, 1] el siguiente conjunto de elementos: lfJo.o= 1, y (/Jm,n(X)= m-1/2 si ~<x<-2-n- -2n/2 SI ~<x<2n o donde n, m, son enteros, m-1 2"'2 n~O. m-1/2 en el resto y 1 ~m~2n. m ESPACIOS DE HILBERT 117 Demostrar que forma una base ortonormal en L 2[0, 1] (base de Haar). 8. Sea la función f(x)= I<o -l)ncos(2n+ 1)x 2n+ 1 i) ¿Pertenece fa L 2[0, 2n]? ii) Sumar la serie anterior. 9. Sabiendo que t1 xP 2 n(x)dx=(-l)n-l 22n(~~l~!~~!+l)!' n~l. hallar el de- sarrollo de lxl en serie de polinomios de Legendre, en el intervalo [ -1, 1]. JO. Utilizando la expresión [G dícesefunción generatriz de los polinomios de Hermite], desarroÜar e-"'' 2 e;." en serie de funciones de Hermite lfJn· e~= A cos nx, n par, una base ortonormal en L 2[0, ¿De qué subespacio de L 2[0, n] lo es? 11. ¿Es el conjunto 12. Dar una base ortonormal para L 2(B), siendo B = [0, 2n] x R. 1t ]? 118 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAPITULO 5 l. Sean v1 = 1, v2 =x, v3 =x 2 • De acuerdo con el teorema de Gram-Schmidt, construimos: W 1 =V 1, llw 1 l = 1, w2 =x-(u 1, U¡= 1 v2 )u 1 =x-1/2, w3 =x 2 -(U¡, v3 )u 1 -(u 2 , llwJII = 6 Js, llw 2 11 = V 3 )U2=X 2 1 li' u2 =2Jj(x-l/2) 2y 3 -x+ 61 u3 =6J5(x 2 -x+ ~) Las funciones u 1 , u2 , u3 , proporcionan el resultado que buscamos. 2. La exigencia (ei-v, ek-v)=«5ik=>llvll 2 =(ei, v)+(v, ek)=>(ei, v)=IX (constante N independiente de j). Luego N< oo, Re IX= 11 igualdad=> 11 v 11 2 =N I1XI 2 • En consecuencia, 1X=2/N. 3. La combinación lineal v11 2 /2, y v =IXLei· Pero esta última NI1XI 2 = 2 Re 1 IX. Luego basta tomar ~ (a 0 +b0 eix+c0 e-ix) que difiere en 11·11 2 lo menos v' 2Tr posible de f es la proporcionada por el desarrollo Fourier (véase §4.7, consecuencia 6): a0 =(e0 , f)=O b 0 =(e 1 , f)= 4i M: v' 2Tr 4i c0 =(e_ 1 , f)=li0 =- M: v' 2Tt . d 1 . Sien o en= M: e'"x. Por tanto, v' 2n a=c=O, b= -8/fo 4. Por supuesto que {Pzn}~ es un sistema ortonormal, constituido por funciones pares. Su carácter completo en H se prueba teniendo en cuenta que Vfe L 2 [ - 1, 1] es desarrollable en la forma ESPACIOS DE HILBERT 119 y que (pn, f)=O siempre que n sea impar y f par. 5. i) Es evidente que {en}~oo es también ortonormal en L 2[ -1t, 1t]. De no ser base, existiría [( ~0)EL 2 [ -1t, 1t] tal que (en, /)=0, 'r/n. Pero O=(en, f>= _l_f" e-inx {(x)dx=( -l)"-l-f2" e-inx {(x-1t)dx J2ic -" J2ic o Como la función f(x)=f(x-1t) es un elemento no nulo en L 2[0, 21t], la igualdad anterior violaría el hecho de que {en}~ 00 es base ortonormal en L 2 [0, 21t]. ii) De lo contrario, existiría gEU[O, 1t], g~O. tal que (e~. g)=O, 'r/n. Ahora bien, la función par G(x)=g(lxl), XE [ -1t, 1t], define un elemento no nulo de L 2[ -1t, 1t], y f" . 1 (en, G)= M.:. e-•nxg(lxl)dx=(e~, g)=O v 21t _, Contradicción con i). iii) Análogamente, con G (x) = g (lxl)sgn (x ). 6. Como p0 es una constante ( ~0), (/)o tiene signo constante sobre /. Luego (({) 0 , ({) 1 )=0, por lo que (/) 1 debe cambiar de signo al recorrer / 0 , y por tanto p 1 tiene un cero x 1 • 1 E / 0 • En general, Pn tiene n ceros simples Xn . 1 , o••• , xn . nE / 0 : de lo contrario, si xn. 1, ••• , xn. N• N< n, fueran los puntos en 1 en que Pn cambia de signo, podríamos escribir Pn (x) = (x- xn. 1 ) •.. (x- xn. N)q (x ), siendo q de grado n-N y bien q;;:¡:O, ó q~O. sobre / 0 • Pero (({)i, (/)n)=O, O~j<n=> f,P(x)pn(x)P(x)dx=O, V polinomio P de grado <n Tomando P(x)=(x-xn. 1 ) ••• (x-xn.N), se llega claramente a contradicción. (CQD). [Más aún, puede demostrarse la propiedad de entrelazado: entre dos ceros consecutivos de Pn hay un cero de Pn- 1 , y uno solo.] 7. Que es ortonormal, es claro: (/)o.o es ortogonal a todas las otras, (/)m,.nj_(/)m,.n (m 1 ~ m2), pues (/)m,.n(X)(/)m,.n(X) =0, 'r/x, y (/)m,.n, j_(/)m,.n, (n 1 < n2 ) pues su producto es, o bien idénticamente nulo, ó ±2n•12 ({)m,.n,(x), y la integral de esta función es cero. Además, 11 (/)m.n 11 2= l. Sea ahora jEL 2[0, 1], y supongamos f j_(/)m.n• 'r/m, n. Haciendo F(x)= f 0xf(y)dy 120 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO (recordemos que L 2[0, 1] e U [0, 1]), tendremos, sucesivamente: 0=((/Jo,o• 0= (cp1,0• 0=(cp 1,¡, 0=(cp 2,¡, f)=F(l) f) = 2F(l/2) f)=2j2F(l/4) f)=2j2F(3/4) utilizando en cada igualdad los resultados de las anteriores. En general, pues, F(m/2")=0, 'v'n~O. O~m~2", y como el conjunto de racionales {m/2"} es denso en [0, 1] y F es continua (más aún, absolutamente continua), resulta F(x)=O, O~x~ 1, y de aquí f(x)=O, c.d. (véase teorema 3.23). Por tanto, f=O como elemento de L 2[0, l]. (CQD). 8. i) Escribiendo f= f Cn y ~einx, se tiene 2n -ao c±2n=O, c±(2n+ 11=( -1)" fo/2(2n + 1), ao Por tanto, L lcnl 2<oo, y feL 2[0, 2n]. -ao ii) Como cos(2n+ 1)x=Re ei 12 "+ 1lx, resulta ao z2n+ 1 f(x)=Re¿(-1)"=Re(arctg z) 2 o n+ 1 . 1 1 +iz con z=e'x. Como arctg z= -2 .1n- . , queda 1 -IZ 1 7r. 1 1+ieix 1 . { f(x)= -arg--.-. = -arg(1 cos x)= 2 1-le'x 2 4 1r. 4 !l. Por ser lxl par, y pertenecer a L 2[- 1, 1]: ao lxl = LC2nP2n(X) o Los coeficientes e2" satisfacen, evidentemente, SI si 'v'n~O ESPACIOS DE HILBERT 121 En consecuencia, 1 11 _ 1 (2n-2)!(4n+ l) Co=:z· c2,.=(-l) 22"(n-l)!(n+l)!' Como resulta JJ. No es base ortonormal en L 2 [0, n], pues e'1 .le2,., Vn. El subespacio subtendido por esos elementos eí,. se caracteriza por estar formado por funciones simétricas respecto del punto medio del intervalo [0, n). Basta observar que e~(x) = ( -l)"e~(n-x) 12. Como e,.(x)= 1 . ¡;ce'"", n=O, ± l, ±2, ... ..,¡27t forman una base ortonormal en U [0, 2n], y (/)m(Y)=(m!2mj1t)- 112 e-y'í 2Hm(y), lo hacen para L 2 (IR), las funciones constituyen una base ortonormal en L 2 (B). m=O, 1, 2, ... 6 Operadores lineales acotados. Generalidades OBSERVACIÓN IMPORTANTE: Todo lo contenido en las secciones 1, 2, 3, 4, es válido en espacios de Banach, como el lector puede comprobar sin más que seguir paso a paso las diversas definiciones y demostraciones implicadas, en las que sólo la norma aparece, sin alusión alguna al producto escalar. No obstante, teniendo como principal objetivo el análisis de operadores en espacios de Hilbert, preferimos hablar tan sólo de ellos explícitamente. Se pierde generalidad para ganar tiempo y economizar esfuerzos. 6.1. ACOTACIÓN Y CONTINUIDAD DE OPERADORES LINEALES Es bien sabido que, cuando se manejan estructuras topológicas, los objetos continuos juegan un papel central. Se confirma una vez más esta idea en los operadores lineales entre espacios de Hilbert, pero con una peculiaridad adicional: la continuidad de un operador lineal está íntimamente ligada a una cierta propiedad de carácter numérico, expuesta a continuación. Definición 6.1 Sean H 1 , H 2 , espacios de Hilbert sobre A, y sea Te e!l' (H 1 , H 2 ). Se dice que IITvll . T es acotado st ~~J' Tvf 11 Tll < + oo. = v;'d Ese número real ;::: O que hemos denotado 11 Tll se llama norma del operador T. Ejercicio Verificar para IITIIlas propiedades exigidas a una norma (§2.1). Representaremos por d (H 1 , H 2 ) al conjunto de operadores lineales acotados de H 1 en H 2 , con dominio H 1 • O por d(H) si es H 1 =H 2 =H. 124 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Notas a la definición 6.1 a) Hay tres definiciones equivalentes de la norma de un operador lineal, a saber, aparte la ya expuesta: 11 Tll = sup 11 Tvll veH 1 llvll =1 Diversos autores emplean una u otra indistintamente. Pruébese la identidad de las tres definiciones. b) El llamar acotados a tales operadores tiene por objeto recordar la existencia de un número real finito M> O que sirve de cota para T en el sentido de que para VveH 1 es IITvii~MIIvll. Más aún, IITII es justamente el ínfimo de dichas posibles cotas. Pero hay que hacer constar que no es una cota absoluta para las normas de todos los vectores del recorrido de T, sino que es una cota a la «dilatación» en longitudes comparando con la 11 v 11 inicial la 11 Tv 11 final. Ejercicio El único Te!t'(H 1 , H 2 ) tal que IITvll <k<+ oo, VveH 1 , es el operador nulo T =O. Ejemplos i) Calcular IITII para Te!t'(C 2 ) dado por la matriz(~ ;;} ii) Calcular IIQII para Qe!t'(L2 [a, b]) definido por (Qf) (x)=xf(x), VfeL2 [a, b]. Ahora estamos ya en disposición de hacer explícita la relación anunciada entre acotación y continuidad en el próximo teorema, que eleva al rango máximo el concepto introducido en la definición 6.1. Teorema 6.2 Sea Te!t'(H 1 , H 2 ), con H 1 , H 2 , espacios de Hilbert. Las siguiente afirmaciones son equivalentes: l. Ted(H 1 , H 2 ). 2. T es continuo. 3. T es continuo en algún punto de H 1 • ESPACIOS DE H/LBERT 125 Demostración (1 ~2) Dados v0 eH 1 , e>O, sea 15::::(1 + IITII)- 1 e. Tenemos: IITv- Tv 0 11 = IIT(v-v0 )11 ~ IITII·IIv-v0 11 <e, Vv tal que llv-v 0 11 <15 (2 ~ 3) Trivial. 1) Supongamos T continuo en v0 eH 1, es decir, (3~ Ve>O, 315>0 tal que llv-v 0 11<15~11Tv-Tv 0 ll<e Haciendo w=v-v 0 , vemos que IITwll <e cuando llwll <15, luego Tes continuo en el cero. Si O:FveH¡, eligiendo w= ~ ll:ll se tiene llwll <15, y por tanto 2 2e IITvll =J llvii·IITwll < ~ llvll. luego T admite por cota ~ < oo. (CQD). La equivalencia 1<=>3 es un criterio rápido para estudiar la acotación de un operador lineal dado. Es una simplificación debida (2<=>3) a la invariancia traslacional de la topología definida por una norma. Resumiendo, de ahora en adelante «continuo» y «acotado» serán sinónimos cuando se hable de operadores lineales. 6.2. SOBRE EL DOMINIO DE LOS OPERADORES ACOTADOS Definición 6.3 Diremos que un operador lineal T: D (T) e: H 1 -+ H 2 es acotado en su dominio si IITvll sup - 11- 11 < veD(T) V , .. o + oo Teorema 6.4 Sea T: D(T)c:H 1 -+_H 2 con D(T)=H¡, lineal y acotado en su dominio. Entonces 3 único Ted(H 1 , H 2 ) que extiende T al cierre H 1 de D(T). Además, 11 fll = 11 Tll. 126 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Demostración Si {vn} 1 e D (Y) es de Cauchy, también {Yvn} 1 e Hz lo es. Pero Hz es completo, luego 3 lim Yvn en Hz. Si {v~}1 e D(Y) es otra sucesión de Cauchy que converge al mismo elemento v que la anterior {vn} 1 en el cierre D (Y)= H 1 , es fácil ver que lim Yv~ = lim Yvn. Se puede definir, pues, independientemente de la sucesión aproximante escogida: fv::::lim Yvn, con vn-+vEH 1 • El resto, unicidad, linealidad y acotación, es elemental. (CQD). Así pues, como corolario de este procedimiento de extensión unívoca, dado un operador lineal acotado Y: D (Y) e H 1 -+Hz, podemos pasar a trabajar con un nuevof: D(Y)-+Hz. Puesto que D(Y) es un subespacio cerrado del espacio de Hilbert H 1 , es a su vez espacio de Hilbert. Concretamente, si D(Y)=H 1 , se logra mediante la extensión propugnada por el teorema 6.4, un operador fE d (H 1 , Hz), con dominio todo el espacio inicial. Ello refuerza la importancia de la familia de operadores d (H 1 , Hz), hasta tal punto que es frecuente en la literatura definir ya de entrada: operador=aplicación lineal continua H 1 -+Hz, con dominio todo el H 1 • Deben tenerse presente, no obstante, las dos fuertes restricciones que lleva consigo tal definición, a saber, de un lado el rechazar todos los operadores no acotados, que son fundamentales en las aplicaciones, y del otro el dar ya por hecha la extensión de cada operador acotado al espacio total inicial. Al consultar tales textos adviértase esa terminología restrictiva, pues de otra forma se caerá en interpretaciones erróneas o excesivas de resultados allí enunciados. 6.3. EXISTENCIA DE INVERSO EN d(H 1 , Hz) No todo operador YE!l'(H 1 , Hz) lleva asociado un operador inverso y- 1 E !l'(R(Y), H 1 ), como sabemos desde § 1.5. Pero aun cuando la situación sea suficientemente buena para que exista y- 1 E!l'(Hz, H 1 ), incluso con D(Y- 1 )=Hz, otra irregularidad puede aparecer: en general YEd(H 1, Hz)~Y- 1 Ed(Hz, H 1 ). Dicho en otros términos: no se mantiene la acotación en la transición Y-+ y- 1 • Ya vimos un criterio de existencia de inverso dentro de !l'(H 1 , Hz) en§ 1.5. Aquí se enunciará otro criterio que permita saber cuándo, en el marco de d (H 1 , Hz), existe inverso de un operador dado. Teorema 6.5 (criterio de inversión manteniendo acotación) Sean H 1 , Hz=F{O} espacios de Hilbert. Y sea YEd(H 1, Hz) con R(Y)=Hz. Entonces: '<lvEH 1 ESPACIOS DE HILBERT 127 Demostración (=>)IIT- 1 wll ~ IIT- 1 ll·llwll, VweH 2 • Haciendo v= T- 1 w=>llvll ~ IIT- 1 II·IITvll. 1 Luego basta tomar k= ll r- 1 ll . (<=)Como de Tv=O se sigue llvii~O. luego v=O, 3T- 1 e!t'(H 2 , H 1 ). Además, poniendo w = Tv, la desigualdad del enunciado dice que (CQD) Corolario 6.6 Sea Ted(H) biyectivo, con H:F{O}. Entonces: T- 1 ed(H) <:> 3k>O tal que 11Tvll;1!:kllvll, VveH Ejercicios 1. Estudiar la existencia de inverso acotado en varios ejemplos de la próxima §6.5. 2. Sea Te !t' (il) definido por r- Analizar para qué sucesiones {A.J 00 existe T- 1 e!t'(l~) y cuándo 1 ed(l~). 3. Dar algún ejemplo Te!t'(H) con R(T):FH, para el que y sea acotado en su dominio. 6.4. ESTRUCTURA DE d(H 1, H 2 ) Con la definición de norma de un operador acotado (§ 6.1), el conjunto .511 (H 1 , H 2 ) se convirtió en un espacio lineal normado. (La topología asociada se llama topología de la norma de d(H 1, H 2 ) y en ella An-+A significa IIAn-AII-+0, n-+ oo ). El próximo teorema afirma que es incluso Banach. Teorema 6.7 H 1 , H 2 , espacios de Hilbert=>d(H 1 , H 2 ) es espacio de Banach. 128 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Demostración Dados A, Bed(H 1 , H 2) se tiene llaA+PBii =~~~ ii(aA + PB)vii IIAvll IIBvll llvll ~lai~~~1Vf +IPI~~~1Vf =lai·IIAII +IPI·IIBII Es claro que d (H 1 , H 2) es, por tanto, subespacio lineal de !l' (H 1 , H 2). Veamos que es completo en 11·11. Si {An} i' e: d (H., H 2) es de Cauchy, es decir IIAn-Amll-0, entonces {Anv}i' es de Cauchy en H 2, VveH 1 • Por ser H 2 n,m-oo completo, existe lim Anv=Av. Es elemental probar que el A así definido pertenece a !l'(H 1 , H 2 ). Además IIIAnii-IIAmlll ~ IIAn-Amll =>{IIAnll}i' es de Cauchy=> =>3k~O tal que IIAnll ~k, Vn Luego: IIAvll =limiiAnvll ~limiiAnll·llvll ~kllvll =>Aed(H 1 , H 2). Finalmente, An-+ A en la topología de la norma, pues: Sin embargo, pese a ser H 1, H 2 de Hilbert, en general no puede in vestirse a d (H 1 , H 2) con un producto escalar compatible con 11·11. En efecto: Ejercicio Si dim H> 1, d(H) no admite estructura de producto escalar compatible con su norma. Ayuda: Escójanse e 1 , e 2, en una base ortonormal de H. Sean P 1 , P 2, los proyectores ortogonales sobre los subespacios unidimensionales {e.}, {e 2} respectivamente. Entonces la ley del paralelogramo 2( IIP 1 11 2 + 11 P211 2) = IIPt +P2II 2 + IIP 1 -P 211 2 falla. Nota Veremos en el Capítulo 7 que d(H 1 , H 2) admite estructura hilbertiana cuando dim H 2 = l. ESPACIOS DE HILBERT 129 Definición 6.8 Un espacio lineal normado L sobre A, se llama álgebra de Banach con unidad si está dotado de una ley de producto L x L-+L denotada por x, y-+xy, asociativa y tal que i) ii) iii) iv) v) vi) x(y+z)=xy+xz. (x+ y)z=xz+ yz. (A.x)y=A.(xy)=x(A.y). llxyll ~ llxii·IIYII3eeL con llell = l que es unidad del álgebra para la ley de producto. L es completo. Proposición 6.9 H espacio de Hilbert=>d(H) es un álgebra de Banach. Demostración Tómese e= 18 . La única propiedad no inmediata es iv). En el caso no trivial B =F O se tiene: IIABvll IIABvll IIBvll [ IIAwll] [ IIBvll] IIABII=~~~-¡¡vr=~~~ IIBvll Tvil~ !~~M· ~~~Tvil =IIAII·IIBII (CQD) Bv~O Ejercicios - Probar que si K e IR es compacto, entonces C(K) con ll·lloo es un álgebra de Banach dotada con la ley de producto (jg)(x)=f(x)g(x). - Sean {An} i, {Bn} i, sucesiones en .91 (H) convergentes en la topología de la norma a A, B, respectivamente. Es decir, IIAn-AII-+0, IIBn-BII-+0 paran-+ oo. Probar que AnBn-+ AB. Ayuda: Usar iv) y la descomposición 6.5. ALGUNOS OPERADORES INTERESANTES La decisión de acumular esta colección de operadores en una sección se debe en parte a que aparecerán reiteradas veces y es así más fácil su localización. Y, sobre todo, porque merece la pena que el lector se vaya familiarizando con ellos, siendo muy aconsejable por otra parte que cada proposición que hagamos sobre 130 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO operadores en lo sucesivo sea contrastada con alguno de estos ejemplos. Con ello se conseguirá un conocimiento más eficaz y profundo de la teoría expuesta, con la ventaja de analizar sus entresijos no con ejemplos más o menos académicos, sino con operadores fundamentales, sacados de aplicaciones concretas a la Física los más de ellos. (E0-1) En el espacio de Hilbert de dimensión finita C", todo operador lineal puede representarse como una matriz referida a una base {ekH prefijada. Y además todo operador lineal A es acotado, es decir, d(C")=2(C"). (Lo mismo es cierto para~".) n En efecto, dado AE 2 (C") y dado cualquier v = ¿;,kek E C", la desigualdad de ~ ~ 2=1 Av11 ~ ~~~.!, (Ae,~~.;;; ~12.1 v,:(~l.t.l')"' -(~vi)"', don- HOlder con p q de vk=IIAekii;¡¡:O. Luego IIAvii::!6;MIIvll, para IIAI1::!6;M. M=(~vfr 12 • Y A es acotado, con Nota Probamos (§ 5.3) que todo espacio de Hilbert complejo (resp. real) de dimensión n es isomorfo al C"(resp. ~"), de manera que en cualquier espacio de Hilbert Hn de dimensión finita n, d(Hn)=2(H"). (E0-2) Definamos sobre H. el operador lineal Es claro que T+ 1 Ed(l~l con IIT+1II =l. Además, R(T+¡}=IA8lin{e¡}~lt Como IIT+ 1 vll=llvll. Vv, se sigue que 3T- 1 Ed(R(T+ 1 ), 1~). pero T- 1 '12(1~). (E0-3) En 1~ se definen formalmente varios operadores lineales importantes en Física Cuántica: a: (oc 0 , OC¡, oc 2, ••. , OCn, ... )-+(oc¡, J2oc 2, j3oc3, ... , Jñ+l OCn+l• ... ) a+: (oc 0 , OC¡, oc 2, ... , OCn, ... ) -+(0, oc 0 , J2oc 1, ... , Jñocn-l• ••• ) N: (oco, OC¡, oc2, ••. , ocn, •.. ) -+(0, OC¡, 2oc2, ... , nocn, ... ) ESPACIOS DE HILBERT 131 Y decimos formalmente porque en general la sucesión resultante no pertenece a IX, por lo que para definir estos operadores con dominio y recorrido en lx, nos vemos obligados a admitir que sus dominios respectivos D (a), D (a+), D (N) no son todo el K Pero en los tres casos el dominio admisible es denso en K Ejercicio i) Todas las sucesiones de tipo finito (=sólo tienen un número finito de componentes :1:0) en /x, son del dominio de a, a+, N. Es evidente, pues la sucesión resultante es finita. ii) El conjunto de tales sucesiones es denso en IX. Basta darse cuenta de que (1X0, IX¡, •.• , IX,., •.. ) es límite en lx de elementos de tipo finito, los obtenidos truncando {IXi}O". Los operadores a, a+, N, no son acotados en sus dominios respectivos de definición, pues con {e,.}O" denotando la base canónica (§5.4) tenemos: Nótese que formalmente se satisfacen las siguientes relaciones algebraicas entre ellos: N=a+a [a, a+]::aa+ -a+ a= 1 Estas relaciones son de hecho rigurosas sobre el subespacio lineal constituido por los elementos de tipo finito, que es estable bajo a, a+, N. Estos operadores son muy importantes en Mecánica Cuántica (oscilador armónico, etc.), donde reciben los nombres de: operador destructor (a), creador (a+) y número (N). (E0-4) Sea Q el operador lineal definido sobre L 2 [a, b] como: Q: f(x)-+xf(x) Este operador Qed(L 2 [a, b]) con IIQII =max{lbl, lal}< +oo. En efecto: IIQfll~= rlxf(x)l 2 dx~[max{lbl, laiW·UII~ Luego IIQII ~max{lbl, lal}. Por otro lado, suponiendo para fijar ideas que lbl;;:::: lal, tómese f,(x) = X!b-b;",bl(x). Tomando n suficientemente grande se consigue que IIQ/,.11/11!,.11 difiera de lbl tan poco como se desee. (CQD). 132 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Ejercicio Generalizar al caso del operador: f(x)-+m(x)f(x), con m(x) boreliana y acotada. (E0-5) Esta vez definimos un operador análogo, denotado aún por Q, en L 2 (R): Q: f(x)-+xf(x) con D(Q)={feL 2 (R)IxfeL 2 (R)}. Por ejemplo, f(x)= 1 ~lxi~D(Q). Sin embargo, D(Q) es denso en L 2 (R), pues evidentemente C(K) e D(Q), V compacto K e R, por lo que C0 (R) e D(Q), y §3.5=>D(Q)=L 2 (R). Además, interesante contraste con (E0-3), ahora Q no es acotado en su dominio. ¡Pruébese! Ayuda: Comparar 11/11. IIQ/11 para f = X1-n. +nJ· Este dominio es ~U(R). (E0-6) Sea m(x) una función medible Borel esencialmente acotada sobre R, en el sentido de que 3h(x) medible Borel acotada sobre R tal que m(x)=h(x) c.d. Tales funciones medibles m(x) se caracterizan porque llmll oc. =inf{tX>OIJ.t({xllm(x)l >tX}) =0} < oo y constituyen el espacio L~(R), que puede demostrarse es Banach bajo 11·11-x,· Es fácil probar que el operador lineal definido sobre L 2 (R) por: /(x)-+m(x)f(x) pertenece a d'(U(R)), con norma llmll~· En particular, si m(x) = XA• A e~ con ¡.t(A) ~O. el operador correspondiente: f(x) f(x)-+XA(x)f(x)= { 0 xeA x~A es idempotente y de norma l. Es, sencillamente, el proyector ortogonal sobre el subespacio cerrado de aquellas funciones con soporte en A. (E0-7) Fijada una función de dos variables reales k(x, y)eL 2 (R 2 ), construyamos con ella el operador lineal: ESPACIOS DE HILBERT K: f(x)-+ L k(x, y)f(y)dy=(Kf) 133 (x) El teorema de Fubini (§ 3.8) asegura que k (x, ·)EL 2 (R), c. d. en x. Y la desigualdad de Schwarz (o sea la de Holder con p=2) afirma que: IL k(x. Y>J<y>dyr ~[Lik<x. yWdyJ·IIJII~ es decir, que IIKfll 2 ~ llkll 2 ·11!11 2 , así que K Ed(L 2 (R)) con IIKII ~ llkll 2 • Estos operadores integrales se llaman de Hilbert-Schmidt y juegan un papel preponderante en teoría de ecuaciones integrales y en la gestación del actual contexto abstracto de espacios de Hilbert. Tendremos ocasión más adelante de volver sobre ellos en detalle. (E0-8) Sea U(R") y fijemos un vector a ER". El operador lineal U a: f(x)-+ f(x-a) es, evidentemente. una biyección isométrica: 11 U.JII 2 = 11!11 2 • Luego Ua E d (L 2 ) con IIUall =l. Nota Es frecuente en la práctica encontrar operadores definidos indirectamente en L 2 (R"), vía una acción directa sobre los vectores de R". Así, en este caso, hay una operación subyacente de traslación de vectores x-+x+a, que induce sobre las funciones una acción Ua. En particular, U0 = IL•· Asimismo Va: f(x)-+e-i<a.xlf(x), con (a, x)=a 1 x 1 + ... +anxn, es una biyección isométrica de L 2 , con 11 V..ll = l. Es interesante señalar que tanto a-+ U a• como a-+ V,., son representaciones (unitarias) (véase Capítulo 8) del grupo abeliano R". Y algebraicamente están ligados por la relación: ua V,= ei(a, b) V, ua (*) En Mecánica Cuántica, U a representa la acción de una traslación en la posición; V,., la acción sobre funciones de onda de una traslación de momentos; y (*) es la expresión finita de Weyl para las reglas de conmutación entre posiciones y momentos conjugados. 134 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO (E0-9) Sea R una rotación en IR 3 alrededor del origen, y definamos sobre L 2(IR 3 ) el operador lineal U(R): f(x)-+ f(R- 1 x) Una vez más estamos ante una biyección isométrica, IIU(R)II = 1, y la aplicación R-+ U (R) es una representación de S0(3). En Mecánica Cuántica, U (R) representa la acción de una rotación sobre las funciones de onda. (E0-10) Sea H=L 2(1R). El operador de derivación P: f(x)-+ - i :xf(x) tiene por dominio natural !/(IR)= conjunto de funciones infinitamente derivables que, junto con todas sus derivadas, decrecen asintóticamente (lxl-+ oo) a cero más deprisa que el inverso de cualquier polinomio. Puede probarse que !/(IR) es un subespacio lineal denso en L 2(IR). Es claro que P es lineal. Y es no acotado. En efecto, dados fe!/ (IR), A.> O, definamos fA(x)=A- 112 f(A.x) Es fácil comprobar que fAe!/(IR), y que llfAII2= llfh Ahora bien: (E0-11) H=L 2(1Rn), Y'(IRn)=conjunto de funciones C 00 (1Rn) que, junto con todas sus derivadas, decrecen asintóticamente a cero más deprisa que el inverso de cualquier polinomio. Definiremos sobre Y'(!Rn) los operadores: Qi: f(x)-+xd(x) Pk: f(x)-+ (j, k= l, 2, ... , n1 _¡_!____ f(x) éJxk Es inmediato probar que Qi y Pk no son acotados, por analogía a los ejemplos anteriores. ESPACIOS DE HILBERT 135 Sobre 9"(1R") es elemental comprobar (hágase como ejercicio de producto de operadores) que que son las famosas relaciones de conmutación de Heisenberg entre los operadores de posición Qi y los de momento Pk. En L 2 (1R 3 ) se construye, con notación vectorial simbólica, con los operadores Q={Q 1 , Q2 , Q3 }, P={P 1 , P 2 , P 3 } el operador L={L 1 , L 2 , L 3 }=QI\P, llamado de momento angular orbital: que aplican linealmente 9"(1R 3 ) en 9"(1R 3 ), y satisfacen sobre este dominio las reglas de conmutación: Los operadores Q, P, l, son los generadores de los grupos de isometrías Ua• V.,, U (R) en L 2 (IR 3 ), vistos en ejemplos precedentes, en el sentido de que VfE 9" (IR 3): (Qif) (x)=i lim[(V..•/- f) (x)]/oc ¡z-+0 (Ptf) (x)=i lim[(U~~•f- f) 1 (x)]/oc (Lif) (x)=i lim[{U(R, (O))f-!} (x)]/0 0-+0 J indicando por {e 1 , e2 , e3 } los vectores de una base ortonormal y por R,(O) la rotación de ángulo O alrededor del eje de vector e. Las convergencias de las tres igualdades precedentes, punto a punto, lo son también en 11· 11 2 sobre 9"(1R 3 ). 136 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO EJERCICIOS DEL CAPITULO 6 l. Calcular 11 A 11, siendo A: ~ 2 -+ ~ 2 el operador definido por la matriz A=(~ _~)en una base ortonormal e 1, e2 de ~2• 2. ldem con el operador A: C 2 -+C 2 definido en una base ortonormal e 1, e 2 de e2 por (; o ;) 1 . 3. Sea U: ~ 3 -+ ~ 3 el operador de matriz representativa: cosO senO O) U= ( -sen O cos O O o o 1 en una base ortonormal e 1 , e 2 , e 3 de ~ 3 . Calcular IIUII. 4. Considérese el espacio de Hilbert U[a, b], con a<O<b. Discutir para qué valores de a, b, es acotado el operador lineal A definido en U [a, b] por f(x)-+(Af) (x)=f(x) cos x Calcular 11 A 11. 5. Discútase si es acotado en su dominio el operador A: D(A) e: U(~)-+L2 (~) dado por f(x)-+exf(x) con D(A)={feL 2 (~) con soporte compacto}. 6. Exhibir ejemplos que muestren la falsedad del teorema 6.1 para operadores no lineales. 7. Discutir cuáles de estos operadores son lineales: a) A: v=(a 1 , a2 , ... )e/ 2 -+Av=(at. ai .... , a;, ... ) e/2 b) A: v=(a 1 , ... , an)eC"-+Av=(a 1 +a 2 ... +an, O, O, ... , O)eC~ e) A: ve~ 3 -+Av=v+v0 e~ 3 • siendo v0 un vector fijo (no nulo) de ~ 3 • d) A: f(x)eL2 (~)-+ X¡o, 21 (x)x11 , 61 (x)f(x)=(Af) (x)eL2 (~) e) A: f(x)eL2 (~)-+(Af) (x)=f(x+ l)eL2 (~) /) A: D(A) e: L 2 (~ 3 )-+U(~ 3 ) ~2 e2 f(x) -+(Af) (x)=- 2m A! -lxlf ESPACIOS DE HILBERT 137 con D(A) ={!E C"". sup f compacto no conteniendo el origen}. y siendo m. e, constantes reales no nulas. 8. Dados los operadores lineales A: f(x) E !1' eL 2 (IR) -+xf'(x) E L 2 (IR) B: f(x) E !1' eL 2 (IR)-+ [xf(x)+ 3f"(x)] E U (IR) describir cómo actúa sobre !1' el operador [A, B] = AB-BA. 9. Describir, si existe, el operador inverso de varios de los operadores de § 6.5. Discútase en cada caso si el inverso es o no acotado. JO. Probar que en un Hilbert Hn de dimensión finita n no es posible encontrar ningún par de operadores A, B, sobre H" tales que [A, B]=cxl, cx~O. 11. Sea el operador lineal P: q>EC 0 (1R)eU(IR)-+(Pq>)(x)= -iq>'(x)EL 2 (1R). El producto escalar (q>, Pq>), cuando llll'll = 1 se conoce como «valor medio» de P en el estado q> (terminología de Mecánica Cuántica). Probar que el valor medio de P en cualquier q> real (es decir q>(x)EIR, 'v'xEIR) es nulo. 138 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAPITULO 6 1. Dado un vector genérico v = (:) de ~ 2 , con norma 1, es decir con a2 + b2 = 1, calculemos: Considerada como función de a, tiene su máximo valor en a= O. Luego si v0 =(~) entonces IIAII =sup IIAvll = IIAvoll =.J49=7 11•·11 = 1 2. Basta intentar el procedimiento del ejercicio precedente, es decir la definición de 11 A 11 directamente aun en este sencillísimo ejemplo de una matriz 2 x 2, para convencerse de la rapidez con que se va complicando el método. Adelantando ideas que aparecerán en el marco general de espacios de Hilbert, en § 8.1, pero que son conocidas en dimensiones finitas, recordamos el siguiente método que puede ser mucho más económico en esfuerzo: Sea la matriz }¡i ii• es decir la matriz adjunta ( = conjugada de la traspuesta) de A. Entonces se prueba: IIAII 2 =máxi.A.I, donde), recorre todas -).1 )=0. las soluciones de la ecuación algebraica det(A A+ (A+ =A Apliquemos este método al caso +A A=(~ :). A+=(=: ~).Luego A+A=G ~).matriz Es inmediato ver que autoadjunta. Sus valores propios se calculan como las soluciones de la ecuación: 1 ) =(l-A.) • (2-),)-1 = O=det ( 1-). 1 2-A. 12 I-3A.+~~. 3+J5 2 ). => .= ---- [3+J5 Luego IIAII=v~· 3. Es geométricamente evidente que el girar alrededor del origen un cierto vector v no cambia su longitud. Luego VIl =sup IIIUI v =sup v =l. 11 11 ,,,.0 V 11 ,,,.o 11 11 11 V 11 ESPACIOS DE HILBERT 139 El método expuesto en el ejercicio 2 permite otra forma de llegar a esa conclusión: cosO u+u= ( senO o O) (-senO cosO -sen O cosO O o 1 o sen O coso o que evidentemente tiene norma l. 4. Puesto que leos xl ~ 1, 'r/x, utilizando la propiedad e) en § 3.3, deducimos que: acotación que es independiente de a, b. Luego 'r/a, 'r/b, ocurre que: IIAfll . IIAII =;~~17if ~l. (1) Es decir, que el operador A es acotado en L 2 [a, b], 'r/a, 'r/b. 1 lxl ~&} Para calcular la norma, sea J.(x)=X¡-•.•J(x)= { 0 lxl>& Entonces, si e es suficientemente pequeño: Luego 11 ¡¡J.j¡ 11 ;;?;leos el~l. Esto, junto con (1), demuestra que IIAII =l. = 5. La fu~ción fn(x) X¡n,n+ 11 (x) es claramente de soporte compacto, y además fneL (R). Un sencillo cálculo muestra que llfnll = 1, 'r/n, mientras que por ser~ función monótona creciente de x. 140 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Luego IIAfnll lTnf =e 2 n -;;::oo. por lo que IIA/11 l7f = oo. ~~~ . En consecuencia, feD(AI A no es acotado en D(A). 6. i) Tomemos H =IR, espacio euclídeo real de una dimensión. El operador A(x)=x 2 definido sobre H es no lineal, pues A(A.x)=A. 2 x 2 =#A.A(x). Es continuo y no acotado. La continuidad es evidente. Y en cuanto a la no acotación bastará observar que: IIAnll n2 IIAxll Tnf = 11 =n-+oo, luego ~~~N =oo ii) Un ejemplo de operador (no lineal) que es acotado pero no continuo puede ser el siguiente: 1 lxl~ 1 lxl> 1 A: IR-+ IR con A(x)= { 0 Nota Es muy fácil proponer ejemplos análogos en dimensión infinita. Lo dejamos al cuidado del lector. 7. a) No es lineal, pues por ejemplo A(),v)=A(A.cx., A.cx 2, ... )=(A.2cxf, A. 2 cx~ •... )= ), 2 Av:#; ).Av, en general. b) Sí es lineal, con matriz asociada 1 1 o o o o o o o o o o o o e) No, porque A(A.v)=),v+v0 :#;),(v+v0 ). d) Puesto que x10 •21 (x)x11 , 61 (x)=x11 , 21 (x), el operador actúa así: (Af) (x)= X!1.2J(x)f(x). Es fácil comprobar que: A [),f +/Jg] (x)=x11 • 21 (x)[A.f(x)+/Jg(x)]= =A.x11 .2 1(x)f(x)+ Px11 • 21 (x)g(x) = [A.(Af)+ fJ(Ag)](x) Luego A es lineal. ESPACIOS DE HILBERT 141 e) También es lineal porque: (A.f +Pg) (x+ l)=lf(x+ l)+Pg(x+ 1) f) Sí es lineal. El término lif lo es porque la derivación es una operación lineal. Y en cuanto al segundo sumando es de tipo multiplicativo, luego lineal (véase apartado d). 8. Dada fe!/', no hay ningún problema en el siguiente cálculo: {[A, B]f} (x)=(ABJ) (x)-(BAf) (x)=A[xf(x)+3f"(x)J-B[xf'(x)J= R d =x dx [xf(x)+3f"(x)J-x[xf'(x)J-3 dx 2 [xf'(x)J= =xLf(x) +xf' (x)+ 3f"' (x)]-x 2 f' (x)- 3[2f"(x)+ xf"' (x)] = =xf(x)-6f"(x) Simbólicamente [A, B]=x-6 ::2 • 9. (E0-1) Si Ae!t'(Hn), y lo representamos en una cierta base ortonormal de Hn como matriz n x n, que seguiremos denotando por A, es sabido por teoría de matrices que 3A -• si y sólo si det A ~0. Y si det A~O, entonces A- 1 e!t'(Hn)=d(Hn). (E0-3) ~a- 1 porque ae 0 =0. En cuanto al operador a+ es inyectivo, porque como es fácil de comprobar a+ v=O=>v=O. Lo cual hace que 3(a+)- 1 e!t'(R(a+), D(a+)). Pero R(a+)=H8{e 0 }~H. (E0-4) Qf=O=>xf(x)=O, Vxe[a, b)=>f=O. Luego Q es inyectivo, de manera que r 3Q- 1 como operador lineal con D(Q- 1 )=R(Q). Además, si o~[a. bJ entonces IIQ/11 2 = lxf(xWdx~[min{lal.lbllJZ ·11/11 2 • 1 luego Q-.• es acotado, con IIQ- 1 11 ~ min{lal, lbl}. Mientras que si a~O~b, el operador lineal Q- 1 no es acotado. Trataremos el caso a~ O< b explícitamente. 142 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Sea /,(x)=Jñx[o,k](x). Entonces 11/,11 = 1, 'Vn (supongamos n suficien1 temente grande para que- <b). Y por otro lado: n f b IIQ/,11 2 = , lxf,l 2 dx=n fl " 0 1 x 2 dx= Jn 2 -+0, n-+ oo (E0-8) Claramente, u;; 1 : f(x)-+ f(x+a). Nota Todo operador isométrico admite inverso porque A/=0~11!11 = IIA/11 =0~ f=O (E0-9) U(R)- 1 : f(x)-+f(Rx), acotado e isométrico, como en (E0-8). JO. Basta recordar la llamada propiedad circular de la traza en matrices n x n, es decir: Concretamente tr(AB)=tr(BA), elemental de verificar por otra parte. Por consiguiente, tomando trazas en ambos miembros de la relación matricial AB- BA =oc 1~ tr(AB-BA)=tr(AB)-tr(BA)=0=Ftr(oc1 )=ocn, salvo si oc=O 11. (cp, Pcp)= f cp(x)[ -icp'(x)]dx= -if +oc cp(x)cp'(x)dx JR -oc Integrando por partes (válido por tratarse de funciones C 00 ) y habida cuenta de que cp e C0 , con soporte compacto, se obtiene: +oc + i J+oo J+oo _ cp' (x)cp(x)dx =0 + i _oc cp' (x)cp(x)dx = (cp, Pcp) = - ilcp(x)l 2 =- f-oc+oc Luego (cp, Pcp) =O. _ 00 00 ' cp(x)[-icp'(x)]dx= -(cp, Pcp) 7 Dualidad 7.1. FUNCIONALES LINEALES CONTINUOS. ESPACIO DUAL Definición 7.1 Dado un espacio lineal L sobre A(IR ó C), se llama funcional lineal (o forma lineal) sobre L a cualquier aplicación lineal F: L-+ A. Es decir, un funcional lineal sobre Les sencillamente un elemento de !i'(L, A). Si además el espacio lineal es normado, se llama funcional lineal continuo a cualquier elemento de Sil (L, A). Y al espacio lineal Sil (L, A) de todos los funcionales lineales continuos sobre L se le llama espacio dual de L. Nótese que continuo es sinónimo de acotado, según vimos en § 6.1. Nuestro objetivo en esta sección es analizar el caso de espacios de Hilbert. Comenzaremos por el caso de dimensión finita. Como sabemos, basta estudiar !Rn, en (véase § 5.4). Proposición 7.2 S!I(N, A)=!i'(N, A) Es decir, todo funcional lineal es continuo automáticamente en dimensión finita. Un hecho paralelo al ya expuesto en §6.4 (E0-1). Demostración Sea {eiH una base ortonormal de N y definamos para FE!i'(N, A): n Entonces la desigualdad de Schwarz implica que si v= ¿vieiE N: 1 (CQD) La descripción del dual de !Rn o de en es también particularmente simple. 144 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Proposición 7.3 La dimensión (sobre A) del espacio dual de N es n. Demostración Definamos para j= 1, 2, ... , n, funcionales lineales Ei: An-A mediante su actuación sobre una base lineal {eiH de N así: Vamos a probar que {Ei}7 constituye una base lineal para el espacio dual n d(N, A). Que son l.i. los Ei es claro porque si ~:CXiEi=O, aplicando esa suma a 1 un vector ek de la base: n 0= L a.iEi(ek)=a.k j= 1 Luego 'v'a.k=O. En cuanto a su carácter de base es elemental probarlo, pues dado Fed(N, A), se cumple obviamente (CQD) Se llama a {EiH base dual de la {eJ7. En el caso de dimensión infinita, no es dificil exhibir ejemplos de funcionales lineales continuos. Cualquier veH proporciona un Fved(H, A) definido como Que esta aplicación es lineal y continua es claro, por gozar el producto escalar de ambas propiedades. Lo realmente interesante es que no hay ya más ejemplos que dar, porque todo funcional lineal continuo definido sobre H es del tipo expuesto en el ejemplo. Tal es el contenido del teorema próximo sobre representación de funcionales por vectores: Teorema 7.4 (Riesz-Fréchet) Sea H un espacio de Hilbert (separable o no) con producto escalar(.,.). Para 'v'F: H-A lineal continuo 3 un (único) vector feH tal que 1 F(g)=(f, g) 1 'v'geH ESPACIOS DE HILBERT 145 Demostración [Existencia] M 0 ={hE Hl F ( h) =O} es subespacio lineal cerrado de H. Se llama núcleo de F. i) M 0 = H => F =O=> f =O resuelve el problema. ii) M 0 =FH=>3el.M 0 tal que llell =l. Así pues, A.::F(e)#O. Sea f=Ie, que es ortogonal a M 0 . Tendremos VgEH: (*) Es fácil ver que F(g¡)=O, luego g 1 EM 0 . Por otra parte, g2l.M 0 , por serlo f. Luego (*) es la descomposición de g relativa a la suma ortogonal directa H=M 0 Cf.1Mt. Finalmente: F(g) F(g) 2 (CQD) g)=~+u. g2)= w u · n= wiA.I =F(g) <J. =0 [Unicidad] Evidente, ya que (f'-f, g)=O, VgEH=>f'=f. (CQD). Corolario 7.5 dim(Mt)= 1 En efecto, Mt = lin( {!}), según se ha visto en la demostración anterior. Así que la descripción geométrica de cualquier funcional lineal continuo sobre H es fácil. Dado un tal O=1= FE .91 (H, A),· hay un subespacio M 0 de Mij 146 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO codimensión 1 en H (es decir, un hiperplano) sobre todos cuyos vectores el F toma valor cero. Y el vector f que representa a F, ortogonal a tal hiperplano, genera por tanto el subespacio unidimensional (complemento ortogonal) Mt. Los valores numéricos que toma F sobre los vectores g de H se obtienen por proyección ortogonal de g sobre Mt, de manera que si la proyección es kf, el valor F(g)=kll/11 2 • De esta manera, puede pensarse en ese subespacio unidimensional lin({f}) como parametrizado con los valores del funcional sobre las secciones perpendiculares. Corolario 7.6 Sea {eJ~ una base ortonormal de A". Entonces 'VqJ: H -+A" lineal y continuo, 3/ 1, / 2 , ... , fnEH tales que Este corolario da la realización vectorial de los elementos de d (H, A") paralela a la del teorema de Riesz-Fréchet en n =l. Corolario 7.7 Con la notación del teorema, IIFII...-<n.Al= llflln· Demostración Trivial para f =0. En los otros casos: IIFII = sup IF(g)l por definición. 11911 = 1 Por otro lado: 11!11 = (1. 1 1111 ) ~ sup l(f, g) ~ 11/11 11911 = 1 donde se ha utilizado la desigualdad de Schwarz. Luego (CQD). El núcleo de todo funcional lineal sobre H es subespacio lineal de H. Pero no siempre es cerrado, pues se tiene: Corolario 7.8 Un funcional lineal F: H-+ A, donde H es un espacio de Hilbert: Es continuo si y sólo si su núcleo M 0 ={g EH: F(g) =O} es cerrado en H. Demostración [Necesaria] Se desprende del teorema de Riesz-Fréchet. [Suficiente] Supongamos F: H-+ A lineal con M 0 cerrado. En tal caso dim Mt~l. porque si fuese >1, tomando dos vectores l.i. V¡, v 2 EMt no nulos, es claro que 3A. 1,A. 2 E A tales que F(A. 1 v1 ) =F(A. 2 v2 ) ~O. por lo que ). 1 v1 - ) . 2 v2 E M 0 n Mt = {0}, contra la supuesta independencia lineal. Dim Mt=O=>M 0 =H=>F=O, continuo. Dim Mt = 1 => Vg EH: g = g 1 + kf, con g 1 E M 0 , fE Mt, de norma unidad. ESPACIOS DE HJLBERT Luego F(g)=F(g¡}+kF(f)=kF(f), ¡F(g)l ---¡¡gr ~IF(f)l, 147 'Vg=FO, y por ende Fed(H, A). (CQD). Es consecuencia de este último corolario que la existencia de funcionales lineales no continuos va íntimamente ligada a la existencia de subespacios lineales no cerrados. ¿Cómo es pues el núcleo de un funcional lineal no continuo? Ejercicio Probar que si M 0 es el núcleo de un funcional lineal F sobre H, no continuo, entonces M 0 es un subespacio lineal denso en H y propio. Ayuda: Si dim Mt>O, 3e.lM 0 , con F(e)= l. Notar que entonces H={e}E!;>M 0 , luego M 0 cerrado. Aplicar Corolario 7.8. Ejemplo Sea H=U[a, b], con base de Hamel B={fa}ae[O.ll• en la que escogemos B viene garantizada por (BHl) y ejemplo 5 en § 1.3. [Nota: En §5 se vio que la dimensión lineal de L 2 [a, b] es no numerable. Puede probarse más exactamente que tiene la potencia del continuo.] Definamos un funcional lineal O=F F: H--+ IC mediante su actuación sobre la base de Hamel: f 11"(x)=x", 'Vn>O, f 0 (x)= l. La existencia de tal base r F(;rz)= ·{ Puesto que fYJ e 1 O a=O, -(Vn>O) n a resto de los a Núcleo de F, F es un funcional lineal no continuo sobre H. El teorema de Riesz sugiere que podemos dotar a d(H, A) con un producto escalar. En efecto, si F 1 , F 2 ed(H, A), sean f 1 , f 2 , los vectores de H que dicho teorema les asocia respectivamente. Definamos la aplicación (.,.): d(H, A) X d(H, A)--+ A Se comprueba sin dificultad que(.,.) es un producto escalar sobre d(H, A). Por el corolario 3, este producto escalar determina la norma previamente definida sobre d(H, A). Y puesto que d(H, A) es completo (§6.4) se deduce que d(H, A) tiene estructura de espacio de Hilbert sobre A. Es así como se le considera en el resto de esta sección. 148 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Corolario 7.9 La aplicación feH-+F 1 e.!ii(H, A), donde F1 (g)==.(f, g), es una biyección isométrica antilineal. (Se dice que son antiisomorfos ambos espacios de Hilbert.) Demostración La biyección es clara por el teorema de Riesz-Fréchet. El carácter antilineal se debe a que: F;.1 (g)=(lf, g)=I(f, g)=IF1 (g) (¡Y de ahí el cambio de orden en la definición de (.,.)!). Y es isométrica por el corolario 7.7. (CQD). Notas (1) La dimensión hilbertiana de H y la de su dual coinciden. En consecuencia, deben ser isomorfos (§ 5.4). En efecto, es fácil ver que si se compone la aplicación del corolario 7.9 con una conjugación ve H-+ ve H (donde prefijando una base ortonormal {u,.} de H, se define v= ¿I,.u,., si era v= ¿;.,.u,.), se obtiene un isomorfismo 11 11 de H con su dual. (2) Puede probarse que el espacio dual del espacio de Banach lP (resp. U) con 1 <p< oo es isomorfo a lq (resp. U) con q tal que~+~= l. p q Obsérvese nuevamente el peculiar comportamiento del caso «central» p = q = 2. Ejercicio Sea e e H un subconjunto de vectores en el espacio de Hilbert H. Probar que lin(e)=H si y sólo si el único Fe.!ii(H, A) que es nulo sobre e es el F=O. 7.2. FORMAS BILINEALES Sea H un espacio de Hilbert sobre A(R ó C). Definición 7.10 Una aplicación cp: H x H -+A tal que i) cp(cxw, Pv)=riPcp(w, v), Vcx, PeA, Vv, weH ii) cp(w 1 +w 2 , v)=cp(w 1 , v)+(w 2 , v) iii) cp(w, v1 +v 2 )=cp(w, v1 )+ (w, v2 ) ESPACIOS DE HILBERT 149 (es decir, cp es lineal en la segunda variable y antilineal en la primera) se llama una forma bilineal sobre H (o más propiamente forma sesquilineal). Nótese que sólo para A= IR es verdaderamente bi-lineal. En el caso A= C se dice bilineal por abuso de lenguaje. Se dice que cp es acotada si 3k tal que lcp(w, v)l~kllwll·llvll, Vw, vEH. En tal caso se define llcpll lcp(w, v)l =w!~~v llwll·llvll' Ejercicio Probar que cp--+ 11 cp 11 es una norma sobre el espacio lineal constituido por todas las formas bilineales sobre H. Ejemplo Dado A E d (H), este operador define una forma bilineal sobre H mediante la expresión: cpA(w, v):=(w, Av) Es obvio, dado el carácter lineal acotado de A, que cp es una forma bilineal acotada. Y de las definiciones correspondientes se sigue que además es 11 A 11 = 11 cp A 11. Ayuda: Utilizar la igualdad 11/11 =:~~l({~:>l. Pues bien, al igual que ocurría en el teorema de Riesz-Fréchet para las formas lineales continuas H--+ A, aquí también la posible gama de ejemplos ha sido agotada ya. En efecto: Teorema 7.11 Sea cp: H x H--+ A, una forma bilineal acotada sobre H (espacio de Hilbert). Entonces 3 un (único) operador AEd(H) tal que cp(w, v)=(w, Av} , Vv, wEH Además llcpll = IIAII. Demostración Fijemos un vE H y consideremos la aplicación cpv: H--+ !l. dada por 150 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Claramente cpv es un funcional lineal sobre H, acotado además, porque: lcpv(w)l=lcp(w, v)l~ llcpll·llwll·llvll Luego el teorema de Riesz-Fréchet=>3 único v'eH tal que cpv(w)=(v', w), VweH Es decir que, tras conjugación: cp(w, v)=(w, v'), VweH. Definimos ahora un operador A como: Av=v', VveH. Así que: cp(w, v)= (w, Av), Vv, we H (*). Falta ver que es lineal, acotado y único. i) A lineal. En efecto, Vwe H se tiene, usando la linealidad de cp y la fórmula (*): (w, A(1Xv 1 +(Jv 2 ))=cp(w, =IX(w, v1 )+(Jcp(w, v2 )= Avt>+fJ(w, Av 2 )=(w, 1XAv 1 +fJAv 2 ) IXV 1 +(Jv 2 )=1Xcp(w, Luego §4.1 =>(CQD). ii) A acotado. Evidente del corolario 7.7 en §7.1 y de(*). iii) A único. Si hubiese otro B tal que cp(w, v) = (w, Bv) = (w, Av), Vv, we H, entonces para Vv sería (Bv-Av).lH, luego B=A. La igualdad de normas se demuestra como en el ejemplo precedente. (CQD). 7.3. TOPOLOGÍA DÉBIL SOBRE 11 Es sabido que en un espacio lineal la norma induce una topología métrica, y que este es el caso para cualquier espacio de Hilbert H. Más aún, en espacios normados de dimensión finita esa topología es suficiente para el análisis. No así para espacios de dimensión infinita, donde una nueva topología irrumpe con personalidad propia, asociada al concepto de dualidad. Definición 7.12 Sea H un espacio de Hilbert. Se llama topología débil sobre H a la topología más débil en la que todo elemento de .!li(H, A) sea continuo. La topología débil queda caracterizada también dando su base de entornos en un punto f 0 eH (al resto se extiende por traslación), que puede tomarse como la colección de subconjuntos: donde k, &>0, Fied(H, A) arbitrarios. ESPACIOS DE H/LBERT 151 En efecto, si tomamos f 0 =O por sencillez, esos W0 son intersecciones finitas de conjuntos del tipo {!eH: IFi (f)l <e}, e> O. Pero éstas son precisamente las preimágenes, bajo cada funcional de d(H, A), de una base de abiertos del cero escalar para la topología usual de A (R o C). De la definición es claro que la topología débil es más débil que la topología métrica definida por 11·11 =(.,.) 112 y que, en contraposición, se denomina también topología fuerte. Puede probarse que para H de dimensión infinita la topología débil es estrictamente más débil, y de hecho no metrizable (véase también observación b) más abajo). Más débil significa menos abiertos, menos cerrados, y por tanto clausuras o cierres mayores. Este punto queda reflejado en la siguiente proposición, que no demostraremos: Proposición 7.13 El cierre débil de la esfera unidad {v:llvll=l} en un espacio de Hilbert de dimensión infinita, es la bola unidad {v: llvll ~ 1}. Ejercicio Probar que la esfera unidad es cerrada en la topología fuerte. Ayuda: Ejercicio 2 en § 2.1. El que la topología débil no sea metrizable (en dimensión infinita), si bien es HausdorfT, hace que no sea suficiente considerar sucesiones al plantearse problemas de convergencia, cierres, etc. (véase observación b) abajo). Pero aún así las sucesiones juegan un papel importante, por lo que pasamos a discutir el significado de convergencia débil de sucesiones. Una sucesión {vn} 1 eH se dice que es de Cauchy en la topología débil si {(vn, v)}l es de Cauchy en A para todo veH, y por tanto convergente en A. Y finalmente se dice que {vn}l-+v0 débilmente si (vn, v)-(v 0 , v), VveH. n--x, Equivalentemente, {vn}l converge débilmente a v0 si y sólo si F(vn)-+F(v 0 ), VFe.oi(H, A). Es claro que: {vn} f -+ v0 (véase además v) abajo). débilmente~ {vn} f es de Cauchy en la topología débil Ejercicios - Probar que este concepto de convergencia va asociado a la topología definida por la base de entornos Wv antes introducida. El límite débil de una sucesión, si eiiste, es único. Las principales propiedades de la convergencia débil de sucesiones pueden condensarse en el siguiente teorema. 152 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Teorema 7.14 Sea H un espacio de Hilbert. Entonces: i) Si dim(H)< oo, una sucesión {vn}i eH converge débilmente a v0 si y sólo si converge fuertemente a v0 . ii) Si dim (H) es infinita: {vn} i-+ v fuertemente~ {vn} i-+ v débilmente. iii) {vn} i-+ v débilmente} { }"" f llvnll -+ llvll <=> v" 1 -+V uertemente. iv) Toda sucesión Cauchy débil es acotada. v) Hes débilmente completo, es decir, toda sucesión de Cauchy en sentido débil tiene límite débil en H. vi) Toda sucesión acotada contiene alguna subsucesión Cauchy débil en H . .. ) { }"' Od'b"l {(vn,d)-+O,n-+oo,paraVdED,D=H vn Vn 1' -+ e 1 mente<=> ll ll k · Vn < <OO, Vn viii) VA E.<;/ (H): Si {vn} 1'-+ v0 débilmente, entonces {Avn} i-+ Av0 débilmente. Demostración i) Basta ver que convergencia débil en A"=>convergencia fuerte. Fijemos una base ortonormal {eJ~ de A". Si {vn}i converge débilmente a v0 , entonces (ei, vn)-----+(ei, v0 ), Vj, es decir que la convergencia ocurre n~cx, componente a componente, luego también fuertemente por ser finito el número de componentes. ii) Exhibamos un ejemplo de sucesión convergente débil pero no fuertemente. Sea B una base ortonormal de H, y sean {en}i e B. Claramente, en-----+0 débilmente, por (806) en el Capítulo 5. Pero llenll = n-rx., 1 luego no converge a cero fuertemente. iii) [=] Evidente. iv) Si {v"} 1' es Cauchy débil, Vw E H la sucesión {( v", w)} ¡ es acotada. Luego el teorema de Banach-Steinhaus (apéndice a este capítulo)=>{llvnll}i acotada. v) Hemos de probar que toda sucesión {vn}i de Cauchy en sentido débil converge débilmente hacia algún vE H. El ser de Cauchy débil significa que {(vn, w)}l' converge en A, VwEH. Y en particular w-+(v"' w) define una sucesión de funcionales (n= 1, 2, ... )a los que el teorema citado de Banach-Steinhaus (apéndice) es aplicable, luego 3k>O tal que {llvnll}l' está acotada por k. 153 ESPACIOS DE H/LBERT De manera que la aplicación w-+ lim (vn, w) es un funcional lineal acotado con norma ~k. Y Riesz-Fréchet=3 único v tal que lim (vn, w)=(v, w), 11-<Xl VweH. Este ves el límite débil de {vn}f'. (CQD). vi) Véase por ejemplo [Zaanen]. vii) Véase [Kolmogorov y Fomin]. viii) Será inmediato tras la definición y propiedades del operador adjunto (Capítulo 8). Observaciones a) En A" las topologías débil y fuerte coinciden. Basta ver que dentro de cualquier entorno del cero en una de las topologías se puede meter uno de la otra. Dado el entorno fuerte de cero: U 0 :={feH:IIfll<e}, podemos meter dentro de él el entorno débil Wo ( E •• E2 • ... , En; Jn ¡; ) donde {Ei}i es base dual de una base ortonormal {ei}i de A". n n n 82 En efecto: f=L,(ei, f)ei=llfii 2 =LI<ei, .fW<'L_:_- =e 2 , V.feW0 • 1 1 1 n Recíprocamente (y esta parte es válida para cualquier dimensión), dado un entorno débil W0 (F 1, •••• Fk; 1:) del cero, podemos incluir en él este entorno fuerte: U 0={feH:IIfll<e/(l+maxiiFill)}. En efecto, .feUó= Vj= l. 2• ... ,k h) Un ejemplo que muestra el carácter no metrizable de la topología débil en 1~ es el de .fo =O e/~. que está en la clausura débil del conjunto de e vectores del tipo f 1m.n 1: .f;m.n1 =(0, ... , 1, O, ... , n, O, ... ), m>n con componentes todas nulas excepto la n-ésima ( = 1) y la m-ésima ( =n). Vamos a mostrar que ninguna sucesión de vectores en e tiende débilmente al O. Comenzaremos probando que O está en el cierre débil de C. En efecto, dado W0 (F 1, ••• , Fk; e) entorno débil del cero, por el teorema de Riesz-Fréchet este conjunto W0 es del tipo: donde fi={fin}:~. son los vectores representantes de Fi• j=l, 2, ... ,k. 154 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Evidentemente Prefijado el 6, 3N tal que 'r/n ~N=> 1/inl < ~, por la definición de K Pues bien. fijemos uno de tales n0 , y tomemos m0 > n0 suficientemente grande para que 6 1/im.l < 2no. Entonces Y. en consecuencia, O está en la clausura débil de C. Supongamos ahora que existiese una subsucesión ftm-....1--:---0. débiiJ J r•oo mente. Ello implicaría que, dada una base ortonormal {e,.}j de H: (e;.ftm·J" ,..J1)j-....0 , Vi. Luego por la construcción de los <r f 1m.J" ,..J1 ha de ocurrir para ello que ni--:--+ oo. } .... <r Elegimos una subfamilia jk de entre los índices j tal que l.o) k>k'=>nik>nik·' mik>mik·· 2.o) nik~2k. Sea g el vector con componentes todas nulas excepto las mik-ésimas, que . 1es a - 1 respectivamente. . son 1gua nik Que ge/X. es claro porque: llgii 2 =I -nik1 )2 ~L 1 )2 <l. 00 ( 00 ( --¡ 1 1 2 Finalmente, se ve que: l(g, ftm;,· n¡,l)l ~ 1, 'rlk= 1, 2, ... ,y por tanto ftm¡,. n¡,I+O débilmente. Luego ftm¡. n¡I+O. débilmente. (CQD). 7.4. TOPOLOGÍAS UTILES SOBRE d(H) Hay tres topologías importantes sobre el espacio lineal .91 (H), H de Hilbert, que vamos a comparar, así como sus conceptos asociados de convergencia. ESPACIOS DE HILBERT 155 Topología uniforme o de la norma Se llama así a la topología inducida por la· norma de operadores (§ 6.1 ), en la que el concepto de convergencia asociado es el de convergencia uniforme: n-+oo El llamarla uniforme se debe a que la norma controla simultáneamente la acción de An-A sobre todos y cada uno de los vectores de H. Lo denotaremos también sin el índice «u», es decir simplemente An-+ A. En esta topología, que ya hemos utilizado en §6, .f!/(H) es Banach. Topología fuerte Lleva asociada la noción de convergencia fuerte: n-+ oo, VveH Topología débil Lleva asociada la llamada convergencia débil de operadores: d An-A - (w, Anv)-(w, Av), n-ao Vv, weH Con los símbolos u-Iim, f-lim, d-lim denotaremos a veces estos tres tipos de convergencia. He aquí respectivas bases de entornos del (operador) cero: Uniforme: {T: 11 Tll <e}, Fuerte: {T:IITvill<e, j=l, 2, ... , n}, e>O, vieH. Débil: {T:I(wi, Tvk)l <e, k= 1, 2, ... , n, j= 1, 2, ... , m} e>O. con e>O y vi, wkeH. Nota Si dim(H)=finita, las tres topologías coinciden. No así en dimensión infinita, donde: Top. uniforme > Top. fuerte > Top. débil =F =F como muestran los siguientes: 156 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Ejemplos Sea H =H. para fijar ideas, y consideremos los operadores lineales definidos así: T112: (a¡, a2, ... ,a,., ... )-+(~a¡, ~a2, ... ,~a,., ... ) T -1: (a¡, a2, ... ,a,., ... )-+(a2, a3, ... ,a,.+ 1• ... ) T+ 1: (a 1, a 2 , ••• ,a,., ... )-+(0, a 1, ... , a,_ 1, ... ) 1 En cuanto al segundo, es fácil ver que T"- 1 -o, pero 1"_ 1 ....)....o. (Ayuda: 11 T"- di= l.) Finalmente 11 T"+ 1 11 = 1, 111"+ 1 vil= llvll. y, sin embargo, para v=(a 1 , a2 , ••• ,a,., ... )e/x, w=(P~o P2 , ••• , p,., ... )eH. se tiene Luego T"+ 1 ~ O, 1 pero T"+ 1--r-+0, T"+ 1+o. Ejercicio Sean A,. e J1l (/x) definidos así: con única componente no nula del vector imagen la n-ésima. ¿En qué topologías de las tres anteriormente definidas converge A,. hacia O? Para terminar, enunciaremos, sin demostración, otra consecuencia del teorema de Banach-Steinhaus: Proposición 7.15 Sean {A,.}i e d(H) tales que (w, A,.v) converge cuando n-+ oo, Vv, weH. Entonces: 3A e J1l (H) tal que A,. -4 A. Véase [Reed y Simon]. Un resultado análogo para la convergencia fuerte se probará en § 7.5, Corolario 7.17. 157 ESPACIOS DE HILBERT Nota final Todas las nociones y resultados recogidos en las secciones § 7.3 y § 7.4 son generalizables de manera inmediata a espacios de Banach y también aplicables a operadores entre dos espacios distintos, es decir a elementos de d(B 1 , B 2 ), B 1 , B 2 de Banach. La única cosa particular en lo aquí expuesto ha sido el empleo del teorema de Riesz-Fréchet, que no es válido para espacios de Banach en general. 7.5. APÉNDICE: PRINCIPIOS BÁSICOS DEL ANÁLISIS LINEAL Gran parte del análisis lineal reposa sobre unos pocos resultados básicos, que por hacer más autocontenidas estas notas, vamos a resumir en esta sección. Todos ellos son válidos para espacios de Banach, aunque aquí sean utilizados exclusivamente para espacios de Hilbert. Y es curioso observar que la base de casi todos ellos se encuentra en un teorema cuya aplicación directa no es frecuente, incluso muy rara, pero cuyos corolarios jalonan una serie de pasos adelante decisivos, como se ha dicho, en la teoría de operadores lineales. Es el siguiente resultado, debido a R. Baire (1899) para la recta real, y generalizado a espacios métricos por C. Kuratowski y S. Banach en 1930. Teorema 7.16 (de la categoría) de Baire co En un espacio métrico completo (M, p) es imposible que M= Uei con 1 Terminología Se dice que un subconjunto e de un espacio topológico Y tal que (C) 0 = (/) es denso en ninguna parte. Y se dice que S e: Y es de primera categoría si S es unión numerable de densos en ninguna parte. En caso contrario, S se dice de segunda categoría. Por ello el teorema de Baire es reformulable como: Todo espacio métrico completo es de segunda categoría. Demostración Se basa en un argumento de bolas decrecientes, con el que suelen verse probados frecuentemente sus corolarios de forma directa. Basta exhibir una sucesión de Cauchy {xn} f cuyo punto límite en M (3 por ser M completo) no pertenece a ningún ei. Construcción de la sucesión: Sea X 1 '1 l• y tomemos una bola abierta B 1 centrada en x 1 con radio <1 tal que B 1 ne 1 =(/). (3B 1 porque x 1 eM-C 1 , abierto.) Como e 2 es denso en ninguna parte, 3x 2 eB 1 -C2 • Tomemos otra bola e abierta B 2 centrada en x 2 con radio<~ tal que{;::~~=(/). 158 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Por inducción se consigue una sucesión de bolas abiertas Bn(.'<n• r"), con 1 rn< 2n-l tal que Caso de tener límite la sucesión {xnH· ese límite no cae en ningún Cj. pues a partir del índice j + 1 todos los elementos de la sucesión están a distancia -;;;:k j >O de ej. por construcción. con kj=p(Bj+ 1 • e). Y. en efecto. {xn}í tiene límite en M porque es de Cauchy, pues Corolario 7.17 (Teorema de Banach-Steinhaus, 1927) Sean B 1 • B 2 • espacios de Banach, y sea una familia !Fe .t1(B 1 , B2 ). Si {!/Tr//}re.- está acotada 'VreB" 1 • entonces {IITII}re.:f: está acotada. Demostración Basta definir para cada n: en= {r: 11 Tt•ll ~ n, 'VTe!F}. La hipótesis del corolario X significa que B 1 = Uen· Pero como los e" son cerrados, el teorema de Baire 1 asegura que alguno de ellos ha de tener interior no vacío. Digamos por ejemplo que ek contiene la bola abierta B(t'o· e). Entonces 'VreB 1 tal que llt•ll <e se tiene I!Tvll ~ IIT(v+v 0 )1! + I!Tv 0 ll ~k+ /1Tv 0 /l. 'VTe.7. Así que 'VreB 1 = IITt·ll ~2(k+ I!Tt• 0 ll)e- 1 1!rl!. 'VTe!F. Y por ser [ 11 Tr0 11 he,.. acotada, 3k' >O tal que k+k' IITrll ~2-·llv/1. e 'VTe!F (CQD) Nota No hace falta que B 2 sea completo. Revisar la demostración para convencerse de ello. Corolario 7.18 Sea una sucesión {Tn}í e si (B¡, B 2 ), con B¡, B 2 , espacios de Banach, tal que 3lim Tnt·eB 2 , 'Vt·eB 1 • Entonces el operador T definido como Tv= lim Tnv, n-x 'VreB 1 es lineal y acotado. n .... oo 159 ESPACIOS DE H/LBERT Demostración El único problema es su acotación. Pero por las hipótesis se ve que {Tnv}i es una sucesión acotada VveB 1 • Luego Banach-Steinhaus=>3k>O tal que IITnll ~k, Vn. De manera que IITvll = lim IITnvll ~kllvll. (CQD). n-+ao Corolario 7.19 (Teorema de la ap6caci6n abierta, Banach) Sean B 1 , B 2 , espacios de Banach, y sea Te.91(B 1 , B2 ) con R(T)=B 2 • Entonces Tes abierta (es decir, S abierto en B 1 => T(S) abierto en B2 ). Demostración Consultar por ejemplo [Reed y Simon]. Corolario 7.20 (Teorema del operador inverso, Banach) Sea Te.91(B 1 , B2 ) biyectivo, con B 1 , B 2 , espacios de Banach. Entonces T- 1 e.91(B 2 , B 1 ). Demostración El corolario => T abierto=> T- 1 continuo. (CQD). Corolario 7.21 (Teorema del gráfico cerrado) Sean B 1 , B 2 , espacios de Banach, y sea Te!l'(B 1 , B2 ). Entonces: T acotado<=> el gráfico r(T) es cerrado Demostración [=>]Recordar la definición de r(T) en§ 1.6. Es subespacio lineal de B1 EBB 2 :=B. Además, B con la norma ll[v 1 , v2 ]ll 8 = llv 1 ll 8 , + llv 2 ll 8 , es un espacio de Banach. La afirmación del teorema es que r(T) es un subespacio lineal cerrado de B. Explícitamente, hemos de probar que si [vi, Tvj]--;----+ [v, w] entonces [v, w] e r(n J-+"" De otra forma aún, que si {vi}i es una sucesión tal que {vTr-+v , vi convergente entonces Tvr-+ Tv. Sea pues {vi}i-:--+v. Automáticamente, por ser T continuo, Tvr-:---+ Tv. J-'t 00 J- 00 [<=] Supongamos que r<n es cerrado en B, luego completo (§2.3), es decir Banach respecto de la norma ll[v, Tv]ll 8 = llvll 8 , + IITviiB,· Llamemos 1t 1 : [v, Tv]er<n-veB 1 160 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Ambas aplicaciones son continuas en 11 lis. y además n 1 es biyectiva por ser D(T)=B1 y r(T) un gráfico; así que el corolario 7.19=>n1 1 es continua. Finalmente, puesto que T=n 2 n1 1 , deducimos que Tes continua. (CQD). Ejercicio El último resultado fundamental, que no se deduce ya del teorema de Baire y que enunciaremos sin demostración, fue probado por H. Hahn (1926) y S. Banach (1929) para A=IR, y por Sukhomlinov, Bohnenblust y Sobczyk (1938) para A=C. E incluso estaba presente de alguna forma en los trabajos de Helly (1921). Teorema 7.22 (Hahn-Banach) Sea X un espacio lineal normado sobre A= IR o C, y M un subespacio lineal de X. VFed(M, A)=>3Fed(X, A) que extiende a F, con IIFII = IIFII Para su demostración, véase por ejemplo [Reed y Simon]. Terminaremos este resumen de teoremas generales con una breve incursión en posibles aplicaciones concretas de uno de ellos: el. de Banach-Steinhaus. Proposición 7.23 Si una función medible Borel f 0 : IR-+A es tal que f 0 geL 1(1R), VgeU(IR), entonces Jo eL 2 (1R).' Demostración Definamos Fn(g)=. Í Jcn f 0 gdt, siendo Cn={te[-n, +n]:lfo(t)I~Jn/2}. Utilizando la definición de Cn y la desigualdad de Schwarz es claro que luego cada Fned(L 2 (1R), A). Además, la sucesión {Fn(g)}f es acotada VgeL 2 (1R), porque por hipótesis IFn(g)l~nllgll. lim IFn(g)l=l Í fogdtl<oo n-+oo JR Luego Banach-Steinhaus=>{IIFnll}f acotada por cierto k>O. Así que, para llgii~O: 161 ESPACIOS DE HILBERT Í f 0 gdtl JR 1 llgll de modo que el funcional lineal g-+ Fréchet=>3 única = lim IFn(g)l llgll n-+oo Lf 0 gdt /~eU(IR) tal que <fo, g)= ~k es continuo sobre L 2 (1R). Y Riesz- Lf 0 gdt, 'VgeU(IR). Y por las propiedades de la integral de Lebesgue=>fo=/0 c.d.=>f0 eU(IR). (CQD). Esta proposición viene a indicar que el espacio de Hilbert está «completo» o saturado en el sentido de que los posibles elementos que darían «producto escalar» finito con todas las funciones de L 2 (1R) ya estaban dentro del espacio. Si se intenta una demostración directa de la proposición, es decir del tipo: «Si f 0 fiL 2 (1R), encontremos alguna geL 2 (1R) tal que la integral de f 0 g sea infinita», es mucho menos fácil de lo que pudiera parecer. Incluso es así en el caso discreto que recoge el próximo: Ejercicio 00 Sea {cxnH" una sucesión de números positivos tal que 'i)nPn < oo, 1 00 00 1 1 'V{Pn}i que cumpla 'f.P~<oo, Pn~O. Probar que 'f.cx~<oo. N Ayuda: Definanse funcionales FN en ll así: FN({Pn}i)='f.cxnPno N= l, 2, ... , 1 y aplíquese Banach-Steinhaus. En este caso, una demostración directa la proporciona {Pn}i con Pn= ncxn (Utilícese el teorema de Dini-Pringsheim sobre convergencia de 'f.cxf 1 series [Knopp]). Curiosamente, sin embargo, puede probarse que hay un conjunto denso de tales elementos «divergentes». Ello se deduce de una versión más precisa del teorema de Banach-Steinhaus, que guarda más explícita la huella del teorema de Baire. Tanto este teorema como el ya enunciado en forma de corolario, suelen llamarse también principio de acotación uniforme. Teorema 7.24 (Banach-Steinhaus, 2.• versión) Sea F = {T.. }..eA e d(B 1 , B2 ), donde B 1 , B 2 , son espacios de Banach. Dos únicas situaciones (excluyentes) son posibles: 162 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO a) {IIT«II}«eA es acotada (es decir supiiT«II <oo). « b) supiT«vl = oo, 'v'vealgún subconjunto denso de B., que es además intersec« ción numerable de abiertos. Demostración Véase por ejemplo [Rudin]. Ejercicio Deducir de esta versión la antes enunciada como corolario 1 en esta sección. ESPACIOS DE HILBERT 163 EJERCICIOS DEL CAPITULO 7 l. Considérense los siguientes funcionales definidos sobre ll: a) ep 1: v:=(tx 1, tx 2, ... , tx", ... )-+ep 1 (v)::e~•. b) ep2(v)=tx1tx2-txi. e) ep 3 (v) 3tx 3 • = 00 d) ep 4 (v) (X =~ S";2 • i) Discutir cuáles son lineales y continuos sobre ll. ii) Hallar los vectores vi e ll que representan a estos últimos según el teorema de Riesz. 2. Mismas cuestiones para los siguientes funcionales definidos sobre L 2 (~): a) F1: f -+FI(f)= f_+,... fdx. b) F2: f -+F2(f):: t 1 jldx. e) F 3 : f -+F3(f):: 1 + tlfldx. 3. Sea &'e: U[O, 2n] el conjunto de polinomios P(x) definidos sobre [0, 2n]. Dar algún ejemplo, si existe, de: i) Un funcional lineal continuo F definido sobre L 2 [0, 2n] tal que F(P)= 1, VPe&'. ii) Un funcional lineal continuo F definido sobre U[O, 2n] tal que F(P)=O, VPe&'. + 1) y la aplicación lineal <5: f-+ (<5, /) =/(0) definida sobre las funciones continuas en [ -1, + 1]. Probar que t5 no es continua bajo la norma ll·h 4. Considérese L 2 [ -1, 5. Hallar el operador Ai(j= 1, 2, 3) que representa cada una de las siguientes formas bilineales definidas y continuas sobre ll: a) ep 1: w, v-+ ep 1(w, v) = /I2 tx~o donde v = {txi} i, w= {Pi} i, referidos a una cierta base ortonormal {ei}l" de 10 b) ep 2 (w, v) ='f./Iitxi. 1 00 /I·tx "+ 1 e) ep 3 (w, v)='f.-J_J __-. 1 J ll. 164 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 6. Verificar la afirmación de la proposición 7.13 demostrando que el vector w= e; - ~~ es punto de acumulación débil de la esfera unidad {vE H : v = 1}. 11 11 7. Sean An E .91 (12 e) los operadores definidos respecto de una base ortonormal {ei}l como: es decir A"(e)=Oni· ¿En qué topología de las introducidas en §7.4 converge la sucesión de los An hacia O? 8. Probar que toda sucesión ortonormal {gn} 1 en un Hilbert separable converge débilmente a cero. 9. Dar algún ejemplo de sucesión pero no fuertemente. Un}! en U(R) que converja a cero débilmente, 165 ESPACIOS DE H/LBERT SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DEL CAPITULO 7 l. a) cp 1 no es lineal porque cp 1 (A.v)=e-<«, =FA.e«• =A.cp 1 (v). b) cp 2 tampoco es lineal, pues cp 2 (A.v)=A. 2 cp 2 (v). e) cp 3 es obviamente lineal y acotado, pues Es elemental darse cuenta de que cp 3 (v)= (w, v) con w=3e 3 • d) También es lineal (evidente) y continuo porque: «>1 «>e El vector que lo representa es w =~~,que está en 12 ya que~ 5,. = 1 4 < oo. 2. a) F 1 (f)=(x., f>L•• con x.=x.1- .....1eL 2 • Por tanto es lineal y continuo, con «vector» representante X· b) No es lineal: F 2 (A.f)=A. 2 F 2 (f). e) Tampoco es lineal: F 3 (0)=FO. 3. i) Imposible, porque F(O)= 1 es incompatible con la linealidad. ii) Por ser f!IJ denso en L 2 [0, 27t], la continuidad del supuesto F exigiría F=O sobre L 2 • Luego el único ejemplo posible es el funcional nulo F =O. 4. Bastará exhibir una sucesión {/n}fcC[-1, 1], que sea de Cauchy en L 2 , con límite e C( -1, + 1], para la que {f,.(O)}i no sea de Cauchy en C. Tomemos /,.(x)=e-nx•. Entonces: n-+oo L' Luego f,.-OeC(-1, +1]. Y, sin embargo, /,.(0)=1+0. Nota: Este funcional discontinuo recibe, en un esquema más general de funcionales lineales, el nombre de «delta de Dirac», en honor del tísico inglés P.A.M. Dirac. Nota: Respecto de la norma ll·lloo del supremo, l~(f)=lf(O)I~suplfl= 11/lloo· ~ es continua porque 166 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 5. a) El operador A 1 que cumple q> 1 (w, v)=(w, Av), Vv, w, es el que sobre la base ortonormal {ei}l" actúa así: b) A2ei= { ei 0 jj> ~ O { e) A3en= en-t n-1 2 6. llwll = 1 9+ Escojamos l10O} . Es decir,. A 2 =proyector ortogonal sobre lm. {ei},o 1 • n=l n~ 1 1 25 5 16 = 144 => llwll = 12 <l. a=~· de manera que llwll 2 +lal 2 =l. Entonces la sucesión de vectores de norma unidad vn= ; 1 - ~~ +aen=G· -};.O, O, ... ,~, O, O, ... ) , n>2 converge débilmente al w. En efecto: (vn, v)=(w, v)+a(e"' vn) - (w, v), .... cxo Vv puesto que (B06)=>(en, v)-+0, Vv. 7. An40, porque 11An-011=11Anii=1+0. n-+oo. (Nótese que An es sencillamente el proyector ortogonal sobre lin{en}). En consecuencia, An ~ O automáticamente. 8. Simple consecuencia de (B06) aplicado a cualquier base ortonormal que contenga a la sucesión {gn}. 9. La sucesión fn(x)=X¡n.n+tJ(x) satisface lo exigido, de acuerdo con el ejercicio anterior. Sirve también {ll'n(x) }, siendo ll'n las funciones de Hermite (véase § 5.6). 8 Algunos tipos importantes de operadores lineales acotados Nota A partir de aquí, A= C. 8.1. OPERADOR ADJUNTO En este capítulo van a describirse las propiedades generales más interesantes de varias familias de operadores lineales acotados, cuya definición depende directamente de la noción de operador adjunto. Definición 8.1 Dado A E d (H), H espacio de Hilbert, se define el operador adjunto de A como el único operador A+ (E d (H)) que satisface: 1 (w, Av)=(A + w, v) 1 Vv, wEH La existencia y unicidad de A+, para cualquier A E d (H), vienen garantizadas por el teorema 7.11. Sus propiedades más importantes se recogen en el siguiente: Teorema 8.2 i) La aplicación A--+ A+ establece una biyección antilineal isométrica de d(H). (Es decir, IIA+II=IIAII, (r:x.A+fJB)+=aA++fJB+.) ii) (AB)+=B+ A+. iii) (A+)+ =A. iv) A, A- 1 Ed(H)=(A+)- 1 =(A- 1 )+Ed(H). v) IIA + All = IIAII 2 • 168 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Demostración i) El carácter antilineal e inyectivo se sigue de las propiedades del producto escalar (§ 4.1 ). En efecto, A+ =B+ =>(w, (A-B)v)=O, 'r/v, wEH=>(A-B)v=O, 'rlvEH=>A=B En cuanto al carácter isométrico es consecuencia del teorema expuesto en§ 7.2, aplicado a la forma sesquilineal acotada cp(v, w) =(Av, w). Que es biyección es simple consecuencia de iii). ii), iii) Elementales. iv) Basta tomar adjuntos en AA- 1 =A- 1 A= 1, teniendo en cuenta ii) y el hecho de ser 1+=l. v) IIA + All ~ IIA + II·IIAII = IIAII 2 • utilizando la proposición 6.9. Por otra parte, de IIAvii 2 =(Av, Av)=(v, A+ Av)~ IIA + All·llvll 2 deducimos que IIAII 2 ~IIA+ All (CQD). Nótese que así como A E d (H) puede tener o no asociado un operador inverso A- 1, ahora por el contrario, en lo que se refiere al adjunto, todo A E d (H) lleva asociado su A+ (siempre existe). Ejercicio Muéstrese la valiqez de la siguiente regla práctica: «Un operador lineal acotado pasa de uno a otro lado del producto escalar cambiándolo por su adjunto.» Topológicamente, la operación de tomar adjuntos se comporta así: Proposición 8.3 La aplicación A E d(H)-+ A+ E d (H), H espacio de Hilbert, es continua: i) En la topología uniforme de d(H), 'r/H. ii) En la topología fuerte de d(H), si y sólo si dim H < oo. iii) En la topología débil de d(H), 'r/H. Demostración i) Si An ~ A, entonces 11 An-A 11--+ O y tomando adjuntos=> 11 A: -A+ 11 = n-eco IIAn-AII--+0. n-eco ii) Debido a (E0-1) en § 6.5, basta ver que si dim H es infinita, la operación A-+ A+ no es continua. En efecto, sea H = 12 EB H' (1 2 =12 e• a partir de ahora) y consideremos el operador T + 1 en d(/2 ), definido en (E0-2), 169 ESPACIOS DE HILBERT sección § 6.5, extendido trivialmente como cero a H'. Sabemos que n 1 ~ O, y que T"-t 1 .:f. O. Pero T + 1 = T~" como se comprueba fácilmente, y no obstante T"- 1 .!. O. (Para la definición de T _" véase abajo ejemplo 3). iii) Evidente de las definiciones. (CQD). Tal vez no esté de más observar que pese a las comparaciones establecidas de § 7.4 entre las tres topologías de d (H) citadas, no hay contradicción con el contenido de la proposición 8.3. Recuérdese que si una aplicación entre espacios topológicos f: (X, .2")--+ (Y, .2"'), es continua en las topologías indicadas .2" y .2"', es automáticamente continua si se sustituye .2" por una topología más fina y .2"' por otra menos fina. ¡Pero no tiene por qué mantenerse continua si ambas se refinan o se rebajan al mismo tiempo! Ejemplos 1. 1+ = 1. o+ =O. 2. Si dim H=n<oo, dado Aed(H) en forma de matriz Aii=(e¡, Ae), referida a una base ortonormal prefijada {ei}~. la matriz que representa a A+ en esa misma base es (A+ )ii =Aii• matriz traspuesta conjugada de la de A. Es suficiente darse cuenta de que (e¡, A+ ei)=(Ae¡, ei)=(ei, Ae¡)=Aii· 3. T + 1= T~" y, en consecuencia, Tt 1 = T - 1 (por teorema 8.3, parte iii)), donde el operador T _ 1 se define sobre 12 así: T_l: ({31, {32, {33, •••• f1n, ... )--+({32, {33, {34, •••• Pn+l• ... ) Evidentemente, 11 T- di= l. ¿Cuál es su adjunto satisfacer la igualdad: (T~ 1 v, w)=(v, T_ 1 w), T~ 1? Veámoslo. Ha de Vv, weH Sean v={ocJj, w={Pi}j. Entonces ha de ser: 00 (T~1V, w)= L ~nf3n+l n=l Tomando en particular como vectores w los de la base ortonormal estándar con una sola componente no nula, se deduce que: T~ 1 v=(O, oc" oc 2 , ••• )= T + 1v 4. Sea H=L 2 (~). m(.)EL 00 (~). Sabemos que M: f(.)--+m(.)f(.) es un operador que pertenece a d(H), y que además IIMII = llmiL.,. Es sencillo ver que el operador adjunto de M es el operador de multiplicación por m(.), es decir: 170 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO En particular, si m(.) es real, el operador M coincide con su adjunto. Así, el operador Q definido en E0-4, sección § 6.5, es acotado y su adjunto coincide con él: Q+ = Q. En efecto: (g, Qf)= Jg(x) · xf(x)dx= Jxg(x) · f(x)dx=(Qg, f). 5. Si K es Hilbert-Schmidt (véase §6.5) en U(~) con núcleo k(x, y), su adjunto K+ también lo es y con núcleo e (x, y)= k(y, x). En efecto, en primer lugar es claro que (x, y) EL 2 (~ 2 ), y por otra parte el teorema de Fubini (§ 3.8) => e (g, Kf)= t.[t t[J... k(x, y)f(y)dy Jg(x)dx= ' = e(y, x)g(x)dx Jf(y)dy=(K+ g, f) ' 8.2. OPERADORES AUTOADJUNTOS ACOTADOS Definición 8.4 A E d (H) se dice autoadjunto si A+ =A. Criterio 8.5 Sea A E d (H). Son equivalentes: i) A autoadjunto. ii) (w, Av)=(Aw, v), 't/v, wEH. iii) (v, Av)E~, 't/vEH. Demostración [i => ii => iii], evidente. [iii => i] De iii) deducimos (v, Av)=(v, Av)=(Av, v)=(v, A+v), 't/vEH. Luego el resultado se sigue del próximo: Lema 8.6 Sea H un espacio de Hilbert (complejo) y sea TEd(H) tal que (v, Tv)=O, 't/vEH. Entonces T=O. ESPACIOS DE H/LBERT 171 Demostración Para v1 , v2 EH arbitrarios: (v 1 +v 2 , T(v 1 +v 2 )) =0 (v 1 +iv 2 , T(v 1 +iv 2 ))=0 (v¡, Tv 2 )+(v 2 , Tv¡}=O (v 1 , Tv 2 )-(v 2 , Tv¡}=O => => Luego (v 1 , Tv 2 )=0, 'r/v 1 , v2 • Por las propiedades del producto escalar Tv 2 =0, 'r/v 2 • Luego T=O. (CQD). Ejercicio Probar que si H fuese un espacio de Hilbert real, el lema 8.6 fallaría. [Ayuda: Escójase H=~ 2 • T=rotación de n/2 en el plano ~ 2 respecto del origen.] La misma puntualización debería hacerse en otras afirmaciones posteriores (la próxima proposición, sin ir más lejos). Téngase pues bien presente que estamos trabajando con A= C. Ya salta a la vista que en el estudio de operadores autoadjuntos, los números reales (v, Av) juegan papel fundamental. El interés de estos números (relacionados en Física cuántica con los «valores medios» de A en los respectivos estados vfllvll) queda aún realzado por la siguiente afirmación sobre 11 A 11. Proposición 8.7 Para todo A E .91 (H), autoadjunto, se tiene: I AII = ~~~ /(v, Av)l llvll 2 Demostración La desigualdad de Schwarz muestra que II AII >-u= "' /(v, Av)/ sup ,,,.o 11 V 11 2 Para la desigualdad inversa, tomemos oc E C, y w EH. Entonces: l(v±ocw, A(v±ocw))l =l(v, Av)±2Re oc(v, Aw)+loc/ 2 (w, Aw)l ~ullv±ocwll 2 de donde se deduce que: 41Re oc(v, Aw)l ~u llv+ocwll 2 +u llv- ocwll 2 =2u(llvll 2 + locl 2 llwll 2 ) 172 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO (v, Aw) llvll b . . Para ex= l(v, Aw)lllwll se o tiene l(v, Aw)I~O"IIvll·llwll, st v, w y (v, Aw) son no nulos. Si alguno es nulo, la desigualdad es trivialmente cierta. Haciendo v=Aw=> (CQD). Corolario 8.8 Aesi(H) autoadjunto=>IIAII=sup l(u, Au)l llull = 1 Ejercicios Probar que en .Ji/(H): a) Los operadores autoadjuntos forman un subespacio lineal sobre R (Es decir, que A 1 , A 2 , autoadjuntos=>cx 1 A 1 +cx 2 A 2 es autoadjunto, Vcx 1 , :x 2 e~). b) A, B, autoadjuntos=>AB autoadjunto si y sólo si su conmutador [A, B]::AB-BA es nulo. e) VTe.Ji/(H) es combinación lineal de autoadjuntos (considérense T+T+, i(T- T+)). Comparar esta descomposición con la expresión cartesiana z=x+iy de los números complejos. d) Con las notaciones de §6.5, M es autoadjunto si y sólo si m(.) es real c.d.; K es autoadjunto si y sólo si k(x, y)=k(y, x) c.d. N e) Si A es autoadjunto y p(A.) =LanA." un polinomio de coeficientes reales, o . N p(A)=LanA" es autoadjunto. o Si A es autoadjunto: IIA"II = IIAII". [Utilícese el teorema 8.2, parte (v) para n=2k. Para el resto, «emparedar» entre tales potencias. Por ejemplo, 11 A 3 11 ~ 11 A 2 11 • 11 A 11 = 11 A 11 3 , y por otra parte, IIAII 4 = IIA 4 11 = IIA 3 · All ~ IIA 3 II·IIAII => IIAII 3 ~ IIA 3 II]. g) VA e .Ji/ (H) =>A+ A, AA+ son autoadjuntos. h) Probar que el corolario último es falso en general para Ae.Ji/(H). .n [Considérese H de dimensión 2, y A=(~ ~)en una cierta base ortonor- mal de H. Es claro que IIAII=l, pero l(v, Av)!~ 1 2,vv tal que llvll=l.] i) Una matriz finita n x n((aii)) representa un operador autoadjunto sobre C" si y sólo si aii=aii• Vi, j. Evidente del ejemplo 2 en 8.1. Hemos visto cómo la propiedad de «simetría» respecto del producto escalar (w, Av)=(Aw, v) caracteriza a los operadores Ae.Ji/(H) autoadjuntos. Puede ser ESPACIOS DE HILBERT 173 interesante señalar que esa propiedad es incluso capaz de caracterizar exactamente a los operadores acotados autoadjuntos de entre todos los de !l'(H). En efecto: Criterio 8.9 (Hellinger-ToepUtz) Si Ae!l'(H) es tal que (w, Av)=(Aw, v), Vv, weH, entonces A es acotado y autoadjunto. Demostración Sea wn-+w0 , tal que 3 lim Awn=v0 • el gráfico de A es cerrado. El corolario 7.21 en §7.5=>(CQD). El único detalle que puede pasar inadvertido sobre la potencia de este corolario es la observación de que en general Ae!l'(H):::#>Aed(H), pese a ser D(A)=H por hipótesis implícita en la definición de !l'(H). Podría pensarse que el ser no acotado un operador lineal va asociado al hecho de no poder estar definido sobre todos los vectores de H. (Tal ocurría con los ejemplos (E04), (E05), donde al pasar a ser no continuo, el operador perdía dominio en cierto sentido.) Pero no es cierta tal apreciación. No estará de más dar un ejemplo explícito de operador lineal definido sobre todos los vectores de H, pero no acotado sobre H. Ejemplo (Ae!l'(H)-d(H)) Sea {enH" una base ortonormal de H, separable. Dado que {en} 1 es l.i., existe una base de Hamel B={u,.},.e10 • 11 que contiene los en como u11". Definamos A: H-+H así: 1 OIU11 si 01::/:-, Vn n Au,.= { . n o st. 01 = -n1 , a1gun y lo extendemos linealmente a H. Evidentemente, A e !l' (H) y sin embargo, A,¡ .91 (H), porque de lo contrario, al ser A e"= O, Vn, habría de ser por linealidad y continuidad A =0, que es falso. Nota (Definición de Aed(H) por su acción sobre una base ortonormal) La discusión anterior hace aconsejable puntualizar que dada una asignación univaluada a cada vector de una base ortonormal {en}l de H, Hilbert separable, digamos en-+fneH, existe a lo sumo un único operador Aed(H) que haga Aen= fn, Vn. 174 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO De ahí que muchas veces se recurra, por comodidad, a definir un operador AEd(H) sin más que dar su acción sobre una base ortonormal: Aen=fn (n= l, 2, ... ). Sin embargo, no para toda asignación en-+ fn existe un operador A E d (H) que la implemente (considérese, por ejemplo, en el caso de dim H infinita, en-+ fn=nen; o bien en-+ fn=e 1 , Vn). Una condición que asegura la existencia de A es que Illfnll 2 <oo: en efecto, es claro que n luego 3A E d (H) tal que Resumiendo: a) Dada asignación u"-+v", para todos los u" de una base de Hamel de H, existe un único operador A en !l'(H) que haga Au"=v" (que puede ser, o no, acotado). b) Dada asignación en-+ fn, para todos los en de una base ortonormal de H, existe un único operador A E d (H) que haga Aen= fn, si se cumple la condición L llfnll 2 < oo. (Esta condición es suficiente, pero no necesaria, n como muestra el caso en-+ fn =en, \fn, dim H infinita.) 8.3. OPERADORES (AUTOADJUNTOS) POSITIVOS Definición 8.10 Sea A E d (H). Diremos que A es positivo (más propiamente no-negativo) y escribiremos A~O si (v, Av)~O. \fvEH. ¡Nótese que implícitamente exigimos (v, Av) E~. luego A es necesariamente autoadjunto! Véase criterio 8.5. Una vez que se ha definido un orden relativo al operador nulo, se puede extender a otros pares de operadores autoadjuntos: Definición 8.10 bis Dados A, B, autoadjuntos en d(H), diremos que A es mayor o igual que B (o que Bes menor o igual que A) si A-B~O. Escribiremos simbólicamente A~B. ESPACIOS DE HILBERT 175 Teorema 8.11 Bajo la relación ~ anterior, los operadores autoadjuntos de d(H) forman un espacio lineal real parcialmente ordenado. Y los autoadjuntos positivos forman un cono convexo. [Explícitamente esto significa que si A, B, e, son autoadjuntos en d(H): i) A~A ii) A ~B, B~e=>A ~e iii) A~B. B~A=>A=B iv) A~B=>A+e~B+e v) A~B. A.~O=>A.A~A.B Y que si A1 , B 1 , son autoadjuntos positivos: a) A.A 1 es autoadjunto positivo 'v' A.~ O. b) A.A 1 +(I-A.)B 1 es autoadjunto positivo, si o~;.~ 1] Demostración No ofrece ninguna dificultad. Ejemplos i) El operador f(x)eL 2 [0, l]-+x 2f(x)eL 2 [0, 1] es positivo. ii) Un operador sobre IC", representado en una base ortonormal por una matriz M(n x n) es autoadjunto si M= (M'). Para el caso de matrices con elementos de matriz reales, puede probarse que: La matriz M =((1XJ) real autoadjunta es positiva si y sólo si los determinantes de los menores principales diagonales det(a 11 ), son todos ~O. Ejercicios (Otras propiedades de operadores positivos) Sea Aed(H) positivo: 1. 0 Demostrar la desigualdad de Schwarz generalizada: l(w, Av)l~(w, Aw) 112 (v, Av) 112 , v, weH Elemental. Basta exigir (1Xw+{Jv, llar este producto escalar. A(IX.w+{Jv})~O. 'v'IX, {JeC y desarro- 176 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 2. 0 Probar que IIAvll 2 ~ IIAII (v, Av). [Nótese que por la desigualdad de Schwarz generalizada con w=Av: 11Avii 4 ~(Av, A 2 v) (v, Av)~ IIA 2 vii·IIAvll(v, Av)~ IIAII·IIAvll 2 (v, Av)] Una consecuencia inmediata de la desigualdad anterior es: (v, Av)=O=>Av=O, si, tal como estamos suponiendo, A;;¡¡:O. 3. 0 Probar que si BE.Jii(H), entonces B+ AB;;¡¡:O. En particular se sigue que VBE.Jii(H)=>B+ B, BB+, son operadores positivos. La relación parcial de orden impuesta sobre los operadores acotados autoadjuntos conduce a un teorema sobre convergencia de sucesiones monótonas que recuerda en su contenido el análogo para números reales. Teorema 8.12 (de convergencia monótona de operadores autoadjuntos) Sea {An} 1 e: .91 (H) una sucesión de operadores autoadjuntos tal que siendo BE .91 (H) autoadjunto. Entonces 3A E .91 (H) autoadjunto, A;;:¡: B, tal que A"~ A. (ldem cambiando ;;:¡: por ~.) Demostración Por el criterio 8.5 y el corolario 8.8, si n ;;:¡:m entonces IIAn-Amll = s·up (u, (An-Am)U)~ sup (u, (A 1 -B)u)= IIA 1 -BII llull=l llull=l Por otro lado (u, A 1 u);;:¡: (u, A 2 u);;:¡: · · · ;;:¡:(u, Bu)=> 3lim(u, A"u), y por consiguien- " te (u, (An-Am)u)-+0, si n, m-+ oo. Luego usando el ejercicio 2. 0 de arriba se obtiene: paran, m-+ oo. Concluimos que {Anu}l es de Cauchy en H, VuEH. Definiendo Au= lim Anu se comprueba con facilidad que A es lineal y con D(A)=H, y que (w, Av)=(Aw, v), Vv, wEH. Luego el criterio 8.9 asegura su acotación. Finalmente, A;;¡¡:B es obvio. (CQD). [El caso ~ se recupera del ;;:¡: haciendo el cambio A"-+ -A", B-+ -B.] ESPACIOS DE HILBERT 177 Siguiendo con analogías entre operadores positivos y números reales positivos, el próximo resultado garantiza la existencia de raíz cuadrada (positiva) para aquéllos. Teorema 8.13 (de la raíz cuadrada) Sea A Ed (H), autoadjunto ;;l!: O. 3 único BE d (H), también positivo, tal que B 2 =A. (Se denotará por A 112 .) Además, B conmuta con todos los operadores de d(H) que conmuten con A. Demostración Sin pérdida de generalidad, supondremos 11 A 11 ~ 1 o equivalentemente con lo cuallll-AII= sup (u, llull = 1 Estudiando la serie ce O~ A~ 1, (1-A)u)~l. ce JT=Z= ¿c,z" (véase ejercicio, abajo), se ve que la serie o ¿c,(l-A)" converge en norma a un cierto operador BEd(H). Además, las series o absolutamente convergentes pueden multiplicarse y reordenarse, luego es fácil comprobar así que B 2 = [ ~c,(l- A)" J =A. Por igual razón, B conmuta con todo CEd(H) que conmute con A. Para ver que B;;l!:O, obsérvese en primer lugar que VvEH~O~(v, (1-A)"v)~ llvll 2 , puesto que O~ l-A~ l. Luego (v, Bv)=fc,(v, (l-A)"v)=llvll 2 -flc,l(v, (1-A)"v);;l!:l1-flc,llllvll 2 =0, o 1 1 donde se han usado las propiedades de e, citadas en el ejercicio, abajo. Luego B;il:O. Para terminar, supongamos que 3B' ;;l!:O tal que (B') 2 =A. Entonces de B' A= (B') 3 = AB' se sigue que B' conmuta con A, y por lo anterior, también con B, de forma que (B-B')B(B-B')+(B-B')B'(B-B')=(B 2 -B' 2 ) (B-B')=O pero siendo ambos sumandos en la izquierda operadores positivos, han de ser ambos =O, luego su diferencia = (B- B') 3 =O. Así pues, usando ejercicio f) en § 8.2 resulta IIB-B'II 3 = II(B-B') 3 II =0. (CQD). Ejercicio Probar que el desarrollo de Taylor en el origen de f(z)=Jl=Z es ce f(z)= 1 + ¿c,z", donde c,<O, Vn;;l!: l. 1 [Ayuda: Calcular las derivadas !'"1(0).] 178 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Por tanto, el desarrollo Taylor anterior para /(z) converge absolutamente para Vz tal que lzl :!ií; l. Definición 8.14 Dado Aed(H), definimos como operador módulo de A aliAI=(A+ A) 112 • Es claro que IAI ~O, y que IAI =lA+ 1 si y sólo si A conmuta con su adjunto. Téngase cuidado con la siguientes propiedades, que son falsas en general: lA+ Bl :!G; IAI + IBI, IABI = IAI·IBI, IIIAI::.. IBIII :!G; 11 A- Bll Contraejemplos A=(~ ~). Tomando Y A= B=(-! _ !)~IAI=A, IBI= -B, IA+BI=J2(~ ~) v=(~) se comprueba que IA+BI~IAI+IBI. e_ ! ). B = (-! _ ! ) demuestra que, en general, no puede esperar- se IIIAI-IBIII:!G;IIA-BII. Para la relación IABI = IAI·IBI sirve de contraejemplo A= B = (~ ~). Finalmente, no es dificil probar que a) A,~A~IA,I~IAI. b) A,..!.A, A:..!.A+~IA,I..!.IAI e) A,~O, A,~ A~A!' 2 ~ A 112 d) A,~O, A,..!. A~A!I2~Alt2 Nota Consecuencia inmediata del ejercicio i) tras el teorema 8.33 será que IIIAIII = IIAII. ESPACIOS DE HJLBERT 179 8.4. PROYECTORES ORTOGONALES Vamos a detallar algunas propiedades de una familia importante de operadores autoadjuntos, que no son sino proyectos sobre subespacios lineales cerrados de un Hilbert H en el sentido definido en § 1.8, pero en los que la dirección de proyección viene dictada por el concepto de ortogonalidad de que se dispone en un espacio de Hilbert. Estos operadores serán los elementos básicos en que se edificará la descomposición espectral más tarde. Definición 8.15 Ped(H) se dirá proyector ortogonal si p+ =P=P 2 • Es decir, si además de proyector lineal ( =idempotente, § 1.8) es autoadjunto. Vamos a ver que el carácter autoadjunto va ligado a que la proyección la hace en la dirección del complemento ortogonal, y de ahí su denominación. Es fácil darse cuenta de que todo proyector ortogonal P es ~O y de norma l(excepto si P=O). Ejemplo Sea M un subespacio lineal cerrado de H, espacio de Hilbert, y H=M$M 1 la descomposición asociada de acuerdo con § 4. 7. Quiere eso decir que Vv eH se escribe de manera única v=v 1 +v 2 , con v1 e M, v2 eM 1 . Pues bien, PM: veH-+ -+PMv:=v 1 eH define un operador PMed(H), con recorrido M, que es proyector ortogonal (sobre M). En efecto, si w=w 1 +w 2 es la correspondiente descomposición para weH, tenemos, habida cuenta de que Ml.M 1 : Su carácter idempotente es evidente. Al igual que señalamos en la sección § 1.8, todos los proyectores ortogonales en d(H) quedan esencialmente reflejados en ese ejemplo. Porque: Teorema &.16 Si Ped(H) es tal que p+ =P=P 2 , entonces 3 un subespacio lineal cerrado M en H tal que Pes el proyector ortogonal sobre M. Demostración Tómese M=PH, y consideremos N=(l-P)H. Entonces Nl.M, y ambos subespacios son cerrados en H, ya que si por ejemplo {vn}i e PH es de Cauchy, 180 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINOO y llamamos v =lim v., resulta n Pv=P(lim v.)=lim Pvn=lim Vn=V, es decir vePH n n n Y finalmente es claro que H=PH$(1-P)H, (1-P)H=(PH)l. pues VweH~w 1 =PwePH, w2 =w-w 1 e(I-P)H, y es w=w 1 +w 2 (CQD) En consecuencia, los subespacios cerrados de un Hilbert H están en correspondencia biunívoca con los proyectores ortogonales, y es posible por tanto trasladar a éstos la estructura de retículo ortocomplementado y completo que posee el conjunto de los subespacios cerrados de H. Las reglas para ese transporte de estructura son: b) M 1 A M 2 =M 1 nM 2 -+ PM, A PM.=PM,AM. e) La relación de orden parcial asociada (M 1 ~M 2 <=>M 1 s; M 2 ) equivale en términos de proyectores a P M, ~ P M entendiendo esta última relación en el sentido de orden parcial para operadores autoadjuntos introducida en § 8.3. El contenido de las operaciones V , A , con proyectores ortogonales, queda explícita en el próximo enunciado. Teorema 8.17 Dados subespacios cerrados M, N eH: i) (PMPN)n__!__. PM A PN n-+oo ii) PM A PN=PMPN si y sólo si PMPN=PNPM iii) [(1-PM) (1-PN)]n__!__. 1-PM V PN n-+oo Demostración i) Denotando A=PMPNPM, es claro que A+ =A, A;;;¡:O (véase ejercicio 3.0 en . §8.3) y IIAII ~l. Además vamos a probar que A;;;¡:: A 2 ;;;¡:: .. · ;;;¡:: An ;;;¡:: .. · ;;;¡::O (*). En efecto, usando el ejercicio 2. 0 de § 8.3 ~ · ESPACIOS DE HILBERT 181 luego A 2";;;¡:A 2"+ 1 • Asimismo: (v, A 2 "+ 2 v)=(A"v, A 2 A"v):s;;; IIAII (A"v, AA"v):s;;;(v, A 2"+ 1 v)=> =>A2n+ 1 ;;;¡:A2n+2=(An+l)+ A"+ 1 ;;¡:O Así pues (*) es válida. El teorema 8.12 nos asegura la existencia de límite fuerte f -lim A"= X e d (H), autoadjunto positivo. n Como, por otra parte, A"X=X, resulta que X=f-lim A"X=X 2 , luego X es proyector ortogonal. Además, (PMPN)n+l =A"PN, si n>O, luego 3f -lim(PMPN)"=XPN. n Por último, al ser PMPNA"=A"+ 1 , se verifica PMPNX =X, de forma que si Xv=v ha de ser PMPNv=v. Es decir, que veM, veN (pues de lo contrario sería IIPNvll < llvll. luego llvll = IIPMPNvll :s::; IIPNvll < llvll; contradicción). Dicho de otra manera, veMnN. Recíprocamente, ve M n N=> Av= v =>Xv = v. En consecuencia, X= P M A P N• y por tanto, ii) [=>] PM A PN=PMPN=>PMPN debe ser autoadjunto, por ser PM A PN un proyector ortogonal. Ello exige obviamente PMPN=PNPM. [<=] PMPN=PNPM=>(PMPN)"=PMPN=>PMAPN=PMPN, por i). iii) Es suficiente indicar que MV N=(MJ.ANJ.)\ de modo que a su vez iv) Evidente de lo anterior (CQD). El comportamiento bajo sumas o productos viene resumido en el siguiente: Criterio 8.18 Dados proyectores ortogonales P, Q en H: a) P+Q es proyector ortogonal<=>PQ=QP=O. (Se dice que P .LQ, pues proyectan sobre subespacios mutuamente ortogonales en tal caso.) b) PQ es proyector ortogonal<=>PQ=QP. e) P-Q es proyector ortogonal<=>Q:s::;P. Y proyectan respectivamente sobre PH(fJQH, PH AQH, PH8QH. 182 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Demostración a) [<=]Trivial. [::::=-] Si Pv = v, entonces llvll 2 ~ 11 (P+Q)vll 2 =(v, (P+Q)v)= IIPvll 2 + 11Qvll 2 = llvll 2 + 11Qvii 2 ==-Qv=O Análogamente, Qv = v ::::=- Pv =O. b) Trivial. e) [<=]Obsérvese que Q~P exige QH e PH, luego PQ=QP=Q. [==-]Si P-Q es proyector ortogonal, automáticamente P-Q~O. Ejercicios i) Interpretar geométricamente las equivalencias Q~P.-QP=PQ=Q.-QH e PH.-IIQvll ~ IIPvll. VveH ii) Dar algún ejemplo de proyectores P, Q, en H tales que P+Q no sea proyector ortogonal. iii) Idem con PQ. iv) Idem con P-Q. v) ¿Por qué no se deduce la parte e) del criterio 8.18 de la a) bajo el cambio Q-+ -Q? Más generalmente, puede probarse con facilidad: Criterio 8.19 Dada una sucesión de proyectores ortogonales P 1, P 2 , ••• , P", ... , en H, P 1 +P 2 + ··· +Pn+ ···es proyector ortogonal si y sólo si P¡Pi=PiP¡=O, 'Vi=l:j. 00 [Para el sentido de ¿p"' como límite fuerte, véase el teorema 8.20.] 1 A continuación enunciaremos un resultado que en cierta manera debe considerarse como un anuncio de lo que después aparecerá en el análisis de operadores compactos, e incluso guarda relación con el enfoque más general de descomposición espectral de operadores lineales (véase Capítulo 14). El lector familiarizado con el cálculo funcional en matrices finitas no precisa esperar tanto para reconocer parcialmente su significado. Teorema 8.20 Sea {Pn}! una sucesión de proyectores ortogonales no nulos, tales que Pnl_Pm, n =l:m. ESPACIOS DE HILBERT 183 Dada {ln} i e C tal que a= sup llnl < oo: n ao ao _ _ Además, V polinomio n(.)~n(A)= ¿n(A.n)Pn, n(A +)= ¿n(A.n)Pn 1 1 Demostración Del criterio 8.18 concluimos Y por tanto el teorema P 1 ~P 1 +P 2 ~ ... ~P 1 + ... +Pn~ ···~l. 8.12~3! -li:(~Pn)=P, que es un proyector orto- gonal. Luego: 2 tiiPnvll 2 =11tPnvll -.O, 2 Así que lltA.nPnvll = tllni 2 IIPnvll 2 N, M---. oo ~a 2 t IIPnvJJ 2 -.O, N, M---. oo N Lo cual quiere decir que 3/ -limiA.nPn=Aed(H). N 1 Por otro lado, JI A 11 ~a, como se comprueba haciendo IIAvll 2 = ~llnl 2 ·IIPnvll 2 ~a 2 ~ IIPnvll 2 =a 2 ~~~Pnvlr ~a 2 1lvll 2 Ahora bien, si fuese IIAII <a, tomando vn de forma que Pnvn=vn~ en contra de la propia definición de a. El resto del teorema es elemental (CQD). Es obvio que la demostración, y por tanto el teorema, son trivialmente modificables para el caso de que la sucesión {Pn} sea finita. Nota Volviendo al comentario anterior, este teorema proporciona un sencillo método de construcción de operadores en d(H), que veremos más adelante (§8.8) son normales, es decir conmutan con su adjunto, a partir de familias de proyectores ortogonales y ortogonales dos a dos. Si dim (H) < oo, todo operador normal es expresable de esta forma. Desgraciadamente, si dim(H) es infinita, esto ya no es cierto, pero al analizar el caso general veremos que es posible, no obstante, extender el teorema 8.20 en forma adecuada. 184 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Curiosamente, si se prescinde de que P;l.Pi, se demuestra que todo Aed(H), H separable, puede escribirse como combinación lineal de (a lo sumo) 257 proyectores ortogonales (ya no necesariamente ortogonales dos a dos). Cerraremos esta sección con una condición necesaria y suficiente para proyectores ortogonales, en que no se hace uso del operador adjunto. Criterio 8.21 Sea Aed(H). Entonces: A 2 =A A es proyector ortogonal<=> { JI A ll ~ 1 Demostración Sean M=AH, N=.(I-A)H, los subespacios asociados al idempotente A. Hay que probar que MJ.N. Supongamos lo contrario; entonces 3v tal que vl.N, vrjM, por lo que, escribiendo Av=v-(1-A)v, al ser ortogonales los dos vectores del segundo miembro tendríamos JJAvJJ 2 =JlvJJ 2 +JJ(l-A)vJJ 2 >JJvJJ 2 , pues (1-A)v:;é:O=> IJAJJ >l. Contradicción. (CQD). 8.5. OPERADORES UNITARIOS Definición 8.22 U ed(H) se dice unitario si u+= u- 1 • O equivalentemente u+ U= uu+ =l. Lo cual presupone que necesariamente U ha de ser in vertible en d (H). Teorema 8.23 (Caracterizaciones de operadores unitarios) Para U e d (H) son equivalentes las siguientes afirmaciones: i) ii) iii) iv) v) U es unitario. U es un isomorfismo lineal isométrico. U es biyección lineal de H sobre H y (Uv, Uw)=(v, w), '1:/v, weH. U transforma alguna base ortonormal de H en base ortonormal de H. u+ es unitario. Demostración [i=>iii] Como u- 1 ed(H), U es biyectivo. Por otro lado, (Uv, Uw)=(U+ Uv, w) =(v, w), luego U conserva productos escalares. ESPACIOS DE 11/LBERT 185 [iii=>i] Por ser U biyectivo, se deduce de (Uv, Uw)=(v, w) que (v, Uw)= (U- 1 v, w), Vv, wEH. Luego u- 1 =U+. [ii<=>iii] La única cosa no trivial a verificar es que el ser U isométrico en H, que por definición (§2.4) significa 11 U vil= llvll. VvE H, es equivalente a la conservación de productos escalares: (Uv, Uw)=(v, w), Vv, wEH (**). Obviamente (**)=>U isométrico. Para el recíproco, supuesto que U es isométrico, tendremos por la identidad de polarización (§ 4.5): 1 1 1 1 Re(Uv, Uw)= ¡IIU(v+w)ll 2 - ¡IIU(v-w)ll 2 = ¡llv+wll 2 - ¡llv-wii 2 =Re(v, w) Y sustituyendo w por iw=>lm(Uv, Uw)=lm(v, w)=>(CQD). [iv=>iii] Sea {e«}«e1 eH una base ortonormal, y sea {e~= Ue«}«e 1 la base transformada bajo U. Es fácil convencerse de que U establece una biyección H-+H, explícitamente V=LA.«e«++ Uv=LA.«e~. con las mismas componentes que 1 1 v, pero referidas a la nueva base. (Sobre el sentido de estos sumatorios, véase apéndice al final del capítulo.) Además (Uv, Uw)=(LA.«e~, LJl¡¡ej¡)= ¿I«Jl«=(v, w), según el teorema 5.4 en § 5.2. 1 1 1 [iii=>iv] Sencillo ejercicio. [i <=> v] Elemental. (CQD) Corolario 8.24 Sea A E d (H) isométrico. Entonces: A unitario<=> Recorrido de A= H Corolario 8.25 Si A E d(H), dim(H) < oo: A isométrico<=>A unitario. Ejercicio Probar que una isometría T: H-+ H cumple riamente TT+ = l. r+ T = 1, pero no necesa- Ejemplos l. Una matriz A =((Aii)) referida a una cierta base ortonormal de C", representa un operador unitario si y sólo si (A')= A- 1 • 2. Con la notación del ejemplo 8.1, el operador M es unitario si y sólo si lm(x)l = 1, c.d. 186 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 00 3. Con la notación del teorema 8.20, pruébese que ~)nPn es unitario si y sólo 00 1 si IA.nl=l, 'rln Y LPn=l. 1 4. Los operadores Ua, V,, U(R) introducidos en §6.5 son unitarios en sus respectivos espacios de Hilbert. Efectivamente, como ya se indicó al definirlos, proporcionan biyecciones isométricas sobre dichos espacios. 5. He aquí un ejemplo sencillo de operador isométrico en d(H) que no es unitario. Considérese sobre /2 el ejemplo (E0-2) de § 6.5, es decir el operador Su carácter isométrico salta a la vista, pero no es unitario pues su recorrido es ortogonal al vector (1, O, O, ... ) y en consecuencia no denso. (Si se prefiere, más directamente de la propia definición de unitario, T + 1 no es biyectivo.) [Este último ejemplo enseña la única manera que existe, esencialmente, de formar isometrías. Porque puede probarse: Proposición 8.26 (Halmos) Toda isometría en un Hilbert separable es o unitaria o suma directa de un operador unitario y cierto número (finito o no) de copias de T + 1 , o suma directa de copias de T + 1 .] 6. Un ejemplo extraordinariamente importante de operador unitario es la transformación de Fourier, que por su interés relegamos a una sección aparte, para exponerlo con más detalle. Ejercicios a) U 1 , U2 , unitarios+ U 1 +U 2 unitario. Contraejemplo: U 1 = U 2 = l. b) U 1 , U 2 , unitarios=>U 1 U 2 unitario. e) Probar que los unitarios en d(H) forman un grupo o//(H) (llamado grupo unitario de H). Nota: Puede incluso probarse que las topologías fuerte y débil para d(H) introducidas en§ 7.4 coinciden sobre o//(H) y en esta topología o//(H) es un grupo topológico. d) A e d (H) unitario y autoadjunto a la vez=> A 2 = l. e) El único proyector ortogonal unitario es l. ESPACIOS DE HILBERT 187 f) Las isometrías en Ji/ (H) tienen por recorrido un subespacio lineal cerrado. Pero esto no es cierto, en general, para todo A e Ji/ (H) como muestra el siguiente ejemplo: Sea Q: f(x)-+xf(x), definido en L 2 [0, 1]. Qed(H) (E0-4, §6.5). Su recorrido no es H: así 1 :Fxf(x), Vf eH; sin embargo, si gl.QH, xg(x) sería ortogonal a H. Imposible si g=FO. Luego el recorrido de Q no es cerrado. Finalmente, para ver cómo en ciertos casos simples puede asegurarse explícitamente la existencia de una expresión de un operador unitario como combinación lineal de proyectores ortogonales, a la manera que sugiere el teorema 8.20 y el posterior comentario, supongamos un unitario U ed/I(H) tal que un= 1, para algún entero n >O. Sean e0 , e 1, ... , en-l• las raíces n-ésimas de la unidad. Formemos: n-1 Como L i{- 1= n~,¡, es claro que n-1 U= i=O L e;P;. Si logramos probar que los P; i=O son proyectores ortogonales y que P¡l.Pi, i=Fj, habremos logrado la deseada descomposición. Pero (U')+= u-·= un-•, e~=i;n-·~Pt =P;. Por otra parte, deducimos de n-1 L i{ij(~r+s.m + ~r+s.m+n) = n~iiet, O~m~n-1 r.s=O que P;Pi=~;iPi. Luego queda probado. Así, por ejemplo, si U 2 = 1 (como en Física el operador paridad o inversión espacial): 1 1 U= P0 - P 1 , con Po= 2(1 + U), P 1 = 2(1 - U) P0 proyecta sobre el subespacio de las funciones pares y P1 sobre el de las impares. Si U 4 = 1 (cual es el caso de~. transformación de Fourier (§8.6)) con U =P0 +iP 1 -P2 -iP3 1 Po= -(1 +U +U 2 +U 3 ) 4 1 P 1 = ¡(1-iU -U 2 +iU 3 ) 1 2 3 P2 =¡(l-U+U -U) P3 = 1 ¡(l +iU-U 2 -iU 3 ) 188 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Adelantando ideas, si q>" son las funciones de Hermite (§ 5.6), P 0 , P 1 , P 2 y P 3 proyectan respectivamente sobre los cierres de: lin({q> 0 , q>4 , ... }), lin({q> 3 , q> 7 , ... }), lin({rp 2 , q> 6 , ... }), lin({q> 1 , q> 5 , ... }) 8.6 LA TRANFORMACIÓN DE FOURIER COMO OPERADOR UNITARIO SOBRE L 2 La transformación de Fourier ocupa un lugar preferente en las aplicaciones del Análisis Funcional en muy diversos campos de la Física, siempre ligada al concepto de magnitudes duales (posición y momento, tiempo y energía ... ). Aun cuando hacer justicia a su enorme importancia exigiría dedicarle muchas páginas, nos limitaremos en estas notas a recoger varias facetas de su contenido desde el punto de vista matemático, eludiendo las aplicaciones concretas que nos sacarían fuera del objetivo principal. En esta sección concretamente, presentaremos la transformación de Fourier en L 2 (R), donde aparece como un operador unitario, y encaja por tanto en el actual contexto en que nos movemos. Suele llamarse formalmente transformación de Fourier a la aplicación 1 f(x)~j(y)=('f)(y)= MV 2n f-co+co e-i"'f(x)dx definida (cuando exista la integral) sobre funciones f de diversos espacios funcionales. Aquí pretendemos definir' sobre las funciones de L 2 (R). Y el primer paso para ello es dar sentido a la acción ' sobre una base ortonormal. Lema 8.27 Sea {rpn}o la base ortonormal de L 2 (R) constituida por las funciones q>n(x) de Hermite (§ 5.6). Entonces Vn;;l!:O, VyeR Demostración Es un laborioso ejercicio sobre integración por partes. Véase por ejemplo [Helmberg]. Por tanto, puede definirse un único operador lineal ' sobre lin{q>0 , q> 1 , .. ,} tal que 'q>n=( -i)"q>n, Vn;;l!:O. Así para Vfelin{rp 1 , q> 2 , ... } tiene sentido la definición: ~ f(y)=(,f)(y)= J+co e-'"'f(x)dx . V 27t -co 1 M- 189 ESPACIOS DE HILBERT Lema 8.28 i) 'v'/Elin{qJ0 , qJ 1 , ••• }=>~/EL 2 (R). ii) ~es una biyección isométrica de lin {qJ0 , qJ 1 , iii) El inverso de~ sobre lin{qJ 0 , qJ 1 , (~ - 1 g)(x) = J+ao e'"' . g(y)dy, V 21t -ao 1 sobre sí mismo. es el operador definido como ••• } M- ••• } g E lin {qJ 0 , qJ t> ••• } Demostración N i) Cualquier f = "f)·n IPno N finito, es integrable Lebesgue (porque 'v' IPn EL 1 (R), o que es espacio lineal). Luego 'v'yER ii) Y de la expresión obtenida para ~f como combinación lineal de las funciones de Hermite (base ortonormal) se deduce fácilmente que Su carácter inyectivo se deduce en que 11~(/ -g)ll =0=> 11/ -gil =0, y ade- más es suprayectivo porque dada f=tAnl'fJn se tiene f=~(ti"A.niPn). iii) Consecuencia inmediata de(*), pues (~- 1 1Pn) (x)=i"IPn(x)=~n( -x) (CQD). Teorema 8.29 a) 3 un (único) operador unitario~ Ed(L 2 (R)) tal que 'v'/Elin{qJ 0 , qJ 1 , J+ao e-'"'f(x)dx . V 21t -ao 1 J+ao . g)(x)=e'"'g(y)dy J2ic -ao (~f)(y)= (~- 1 1 M- 'v'yER 'v'xER (El operador~ se llama transformación de Fourier sobre L 2 (R).) ••• }: 190 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO b) La actuación de§, ;¡;- 1 en U(IR) viene dada por las fórmulas: (:F f) (y)= i d M: -d f y 2n Y +ce e-i:Jcy_l - i d (!F- 1 g)(x)=-- J2ir dx f f(x)dx c.d. en IR, eixy - l --g(y)dy Y c.d. en IRx X -oc + oc -oc para f, g E U (IR), arbitrarias. e) Si en particular f, gEL 1 (IR)nU(IR) entonces l J+oc e-•x'f(x)dx . (!Ff)(y)=- J2ir c.d. en IR, -oc C.d. en IRx Demostración a) Simple aplicación del teorema 6.4, habida cuenta de que {IPn}o es base ortonormal para L 2 (1R). b) Dada una sucesión de Cauchy {fn}i e: lin{q> 0 , IPt> ... },con límite /EL 2 (1R), se tiene que ;¡; f = lim ;¡; fn, por continuidad. Y, por otra parte, dados P ~ rx. n .... oc reales, la continuidad del producto escalar permite escribir f fl M: ) J+oc e-•x'fn(x)dydx= . 1 J+oc[J/1 e-•x'dy . ] fn(x)dx= lim M: n.... oc «y21r -oc n.... ocy21r -oc « = lim = lim ·f 1 M: + oc e - iflx -e - iu n.... ocy21r -oc X fn(x)dx La utilización del teorema de Fubini (§ 3.8) viene justificada al ser fn EL 1 (IR), pues f+oc f«flf+oc -oc le-ixyfn(x)ldxdy=(P-rx.) -oc 1/n(x)ldx<oo -iflx Y siendo e -iu -e EL 2 (IR) (véase ejercicio abajo), concluiremos por X continuidad del producto escalar nuevamente: ESPACIOS DE HILBERT f 191 ¡ f+ooe-iflx_e-itJx M.:. f(x)dx fl (§ f)(y)dy = ~2n tJ -oo X Ahora bien, el corolario 2. 0 en §3.9=§! es integrable sobre todo intervalo finito 1, pues L 2 (1) e U (1). Quiere esto decir que el teorema de derivación al final de la sección § 3.6 se aplica, obteniéndose así el resultado deseado. e-ixy_l e) jEL 1 (1R)nU(IR)= f(x)EL 1 (1Rx), Vy. Compruébese que el teorex ma de derivación bajo el signo integral (§ 3.8) es aplicable, obteniéndose de él y de b): §j(y)= i f + a e00 M.:. :¡-~ 2n - oo u Y Las demostraciones para ixy- l x §- 1 f(x)dx= f l + 00 • M.:. e-'"'f(x)dx ~ 2n - oo son análogas, y no las detallamos (CQD). Ejercicio e-itJJC_l Probar que la función X EU(IR). [Ayuda: Para una adecuada definición en x=O, la función es continua en IR, y menor en módulo que 1 ~ 1 .] 8.7. ISOMETRÍAS PARCIALES Recordemos que un A E d (H) se llama isometría si 11 Av 11 = 11 v 11, Vv EH. O equivalentemente (demostración del teorema 8.23) si (Av, Aw)=(v, w), Vv, wEH. En particular todo unitario es isometría, pero no a la inversa. Tales isometrías son en cierto sentido «totales», pues aplican isométricamente «todos» los elementos de H sobre el recorrido de la isometría (no necesariamente = H). Antes de pasar a analizar una familia de operadores más amplia, pero aún relacionada con la conservación de normas, puede el lector probar como ejercicio de manejo de las isometrías «totales»: i) Si {In}l' e d(H) son isometrías y si In_.!....¡, entonces 1 es también una isometría. ii) El operador traslación U,. definido en §6.5 cumple u:~ O. Ello indica de manera contundente que en general el límite débil de isometrías no es isometría. 192 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Pasamos ya al concepto generalizado de isometría «parcial», que es importante en la formulación rigurosa de teoría de colisiones. Definición 8.30 WEsi(H) se dice isometría parcial si WfN(lt)\ donde N(W)={viWv=O}, aplica isométricamente N(W).l en H. Se llama a N(lt) núcleo de W, y es un subespacio lineal cerrado en H. Y se llama dominio de isometría de Wa DJ(lt):=N(lt).1. Restringido W a su dominio de isometría, conserva productos escalares. Así pues, H=N(W)EeDI(W), N(lt)....!.. {0}, y Waplica isométricamente Dl(W) sobre R(W), el recorrido de W. También R(W) es cerrado (pruébese). Ejercicio U na isometría parcial es isometría (total) si y sólo si N ( l11 = {O}. Teorema 8.31 l. Si W es una isometría parcial, entonces w+ también lo es, y 2. Recíprocamente, si A E si (H) es tal que A+ A, AA+ son proyectores, entonces A es una isometría parcial. Demostración J. Sean v, w1 EDI(W), w2 EN(W) y w=w 1 +w 2 · Entonces Ww 2 =0 implica que (Wv, Ww 2 )=0=(v, w2 ). Asimismo (v, w 1 )=(Wv, »W 1 ). Luego (v, w)=(Wv, Ww), VwEH. Por tanto, w+ Wv=v, VvEDI(lt). Y como W(DJ(lt)).l={O}, resulta w+ W=Pv 11 w1• Sea TEsi(H) definido de forma que TfR(l-11= W" 1 , Tf(R(l-11).1=0. ull 2 = llull 2 • Entonces VuER(lt)=> Tu=(w+ lt)W" 1 u= w+ U=> ww+ U=U=> Y si u' .lR(lt), entonces w+ u' =0, y por tanto ww+ u' =0. Luego w+ nw+ es efectivamente una isometría parcial con las propiedades anunciadas. 2. Se demuestra de manera análoga a la parte l. (CQD). Ejercicio Probar que T ± 1 (ejemplo 3 en§ 8.1) son isometrías parciales, adjuntas entre sí, y determinar sus dominios de isometría. El siguiente criterio, que enunciamos sin demostración, asegura dentro del esquema de la teoría simple de colisiones la unitariedad de la matriz S, definida a través de los operadores de M~ller. ESPACIOS DE HILBERT 193 Criterio 8.32 Sea W1, W2 , isometrías parciales en .9/(H). Entonces: w; W1 es unitario si y sólo si DI(W1 )=Dl(W2 )=H y R(W1 )=R(W2 ) Ejercicio Formúlese en detalle una demostración de este criterio, basada en los teoremas 8.23 y 8.29 precedentes. Las isometrías parciales aparecen ligadas a una descomposición posible para todo operador en .91 (H), cuya semejanza con la descomposición en coordenadas polares de los números completos es más que aparente. Teorema 8.33 (de la descomposición polar) Sea A e .91 (H). 3 isometría parcial W tal que A= »'lA l. W queda unívocamente determinada por la condición de que N(J+)=N(A). Además R(J+)=R(A). Demostración Definase W: R(IAI)-+R(A) mediante W(lAlx)=Ax. Como IIIAlxll 2 =(x, A+ Ax)= 11Axll 2 , Westá definido sin ambigüedad: lAlx=lAly=>Ax=Ay. Por otro lado la aplicación W es isométrica, por lo que puede extenderse a una aplicación isométrica de R(IAI) en R(A). Definamos Wt(R(IAI)).L=O; como (R(IAI)).L=N(IAI), por ser IAI autoadjunto, y N(A)=N(IAI), resulta N(W)=N(A). Finalmente, si A=W'IAI, con N(W'), tendríamos W'IAI=WIAI, y de aquí (W'-W)tR(IAI)=O, y en consecuencia (W'-W)tR(lAI)=O. Como también (W'-W)tR(lAI).L=O, resulta W' = W (CQD). Ejercicios i) Si A= WIAI es la descomposición polar de A, probar que A=WIAI=IA+IW=WA+ W A+ =W+IA+l=IAIW+ =W+ AW+ IAI=W+ A=A+ W=w+¡A+¡w IA+l= WA + =Aw+ = WIAI w+ [Demuéstrese primero que lA+ 1= WIAI w+' viendo que y utilizando la unicidad de la raíz cuadrada. El resto es ya inmediato.] 194 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO ii) Sea A E .9/(H), autoadjunto, y A= WIAI su descomposición polar. Demostrar que si BEJII(H) conmuta con A entonces conmuta con Wy IAI. [Nótese que BK1AI=BA=AB, WBIAI=WIAIB=AB, pues B conmuta con IAI, raíz cuadrada de A 2 • Luego [B, W]tR(IAI)=O, y por tanto, [B, J+lt(N(A)).l=O. Por otro lado, si Ax=O, también ABx=BAx=O, y por tanto x, BxEN(A), y son anulados por .w. Luego [B, W]tN(A)=O.] Corolario 8.34 Sea A= WIAI, la descomposición polar de A E .91 (H). Entonces W es una isometría (total) si y sólo si A es inyectivo. 8.8. OPERADORES NORMALES Dentro de la tipificación de operadores acotados que se lleva a cabo en este capítulo, hay una familia de carácter más amplio que las hasta ahora presentadas, y que engloba de hecho como casos particulares a los unitarios y autoadjuntos. Se trata de los llamados operadores normales, igualmente importantes por la sencillez de su teoría espectral. Definición 8.35 AEJII(H) se dice normal si AA+=A+ A. Evidentemente, A normal<=>A + normal. Frente a esta definición algebraica, he aquí una condición equivalente más cuantitativa. Criterio 8.36 AEJII(H) es normal si y sólo si IIAvii=IIA+vll, VvEH. Demostración [«si»]: (v, A+ Av)= IIAvll 2 = IIA + vll 2 =(v, AA+ v). Luego (v, (A+ A- AA +)v)=O, '<lvEH=A+ A=AA+, por el lema 8.6. (CQD) 195 ESPACIOS DE HILBERT Ejercicios i) A normal=>ocA+P es normal, Voc, PeC. ii) A normal si y sólo si A= B + iC con B, C autoadjuntos tales que [B, C]=O. iii) Demostrar que el operador M (§ 8.1, ejemplo 4) de multiplicación por cualquier función m(.)eL""(IR) es normal. "" iv) Los operadores LA.nPn introducidos en el teorema 8.21 son normales. 1 v) A normal=>cualquier polinomio en A, A+, es todavía normal. iv) Un operador lineal en C" es normal si y sólo si su matriz representativa en una base ortonormal es unitariamente equivalente a una matriz diagonal. En otras palabras, si y sólo si 3 base ortonormal respecto de la cual la matriz representativa del operador es diagonal. vii) Que la familia de operadores normales es más amplia que los unitarios y autoadjuntos unidos, lo muestra el ejemplo (: !) e d (IR 2 ). viii) A normal tal que A 2 =0=>A=0. [Ayuda: (A+ Av, A+ Av)=(Av, A+ A 2 v)=O, VveH=>A+ A=O. Luego (Av, Av)=O, VveH=>A=O.] ix) Por el contrario existen operadores (no normales) A :;i:O tales que A 2 =0. Ejemplo A=(~ ~)ed(C 2 ). x) Una isometría parcial Wes normal si y sólo si Dl(W')=R(W'). [Ayuda: véase el teorema 8.31.] 8.9. APÉNDICl! (FAMILIAS SUMABLES) Aun cuando ya en anteriores capítulos se han utilizado expresiones de suma L sobre conjuntos arbitrarios de índices (no numerables en general), puede ser aeA conveniente, para fijar ideas, exponer brevemente el significado que se atribuye a dichos símbolos. Sea A una familia de índices cualquiera. Y sea {v.. }..eA una familia de vectores en un espacio X con producto escalar, que viene rotulada por el conjunto de índices A. Se dice que la familia {v.. }.. eAeX es sumable, con suma veX, si Ve>O, 3 una subcolección finita de índices J 0 =J 0 (e) tal que llv- v.. l <e para toda colección L aeJ finita J de índices tal que J 0 eJe A. 196 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Se escribe entonces simbólicamente v = L v"'. La suma v es claramente única. lllEA No es dificil probar (y se ha hecho para algunos de forma más o menos explícita en los capítulos precedentes) los siguientes hechos elementales: i) Si A es finito, {v"'} llleA es sumable y la suma coincide con la suma ordinaria de una colección finita de vectores. ii) En cualquier caso, si la familia {v"'}"'eA es sumable, necesariamente v"'=O excepto para algún subconjunto numerable (a lo sumo) de índices. ao Ayuda: Si C={v"'~O, oceA} es no numerable, como C=UCn, donde Cn={v"'lllv"'lle[~. m~l)}=>3n0 1 tal que Cn. es no numerable. Luego si e< -21 , es claramente imposible que la familia sea sumable. no iii) Si A es numerable, digamos A= N, y los vectores {vn}neN = { vn} i son ortogonales dos a dos, entonces la familia es sumable si y sólo si L 11 Vn 11 2 < + oo. Además la suma v coincide con el límite topológico de las n sumas parciales, y su norma es 11 v 11 2 = L 11 Vn V n iv) Para un conjunto arbitrario de índices A es todavía cierto que una familia ortogonal {v"'} ll!eA es sumable si y sólo si L lllEA 11 v"' 11 2 < + oo. 9 Operadores compactos 9.1. GENERALIDADES En la teoría de ecuaciones integrales juega un papel central una clase especial de operadores acotados, llamados operadores compactos, que por tal incidencia son muy importantes en Física Matemática. Antes de entrar en su definición, recordemos que un subconjunto M de un espacio topológico se dice precompacto si M es compacto. Definición 9.1. e E !l' (H) se dirá compacto (o completamente continuo) si para todo subconjunto acotado X eH (es decir, sup llxll < oo ), su imagen ex es precompacta (o xeX equivalentemente, si la imagen {Axn}l' de cualquier sucesión acotada {xn}l' eH contiene alguna sucesión parcial convergente en H). Escribiremos e E CC(H). El próximo teorema establece un criterio más elemental, en lenguaje de sucesiones. Teorema 9.1 (criterio operadores compactos) Sea eE!l'(H). Entonces: e compacto<=>e transforma sucesiones débilmente convergentes en sucesiones fuertemente convergentes. Demostración [=>] Sea {vn} 1' e H débilmente convergente a v. Por § 7.3 sabemos que está acotada. Luego {evn} 1' contiene alguna sucesión parcial {ev~} 1' convergente en sentido fuerte, por ser e compacto. = Sea w lim ev~. Si {evn} 1' no fuese convergente, existiría otra sucesión parcial n {v~}l' en {vn}l' tal que 3 lim ev~=w;éw. Ahora bien, puesto que v~~ v y v~ ~ v, n 198 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO se tendría para todo u eH: (v, c+u)=lim(v~. c+u)=lim(Cv~. u)=(w, u) n n =lim(v~. n e+ u)=lim(Cv~. n u)=(w, u) =>w=w contradicción. [3C+. Véase nota abajo.] [<=] Dada una sucesión {vn} i' e: H acotada, § 7.3 nos asegura la existencia de alguna subsucesión {v~} i' débilmente convergente. Luego {Cv~} i' es convergente en la topología fuerte, y por tanto {Cvn} i' contiene subsucesión convergente en H. (CQD), Corolario 9.3 Si dim(H)< oo, ct(H)=Jii(H)=!L'(H). Nota Obsérvese que de la definición se desprende que en cualquier caso todo operador compacto es continuo. El teorema anterior sugiere el porqué de la denominación de «compactos» o «completamente continuos» reservada para ellos. Ejercicio Probar que: d Vn- 1 v, Avn- w, AeJii(H)=>Av=w. Nota Una propiedad de los operadores compactos, referente a la norma, que no es compartida por todos los acotados es esta: A compacto=>3w tal que IIAwll = IIAII. llwll = 1 Es decir, que el supremo que definía la norma es alcanzable. En efecto, A compacto=>la aplicación compuesta v-+Av-+ IIAvll es débilmente continua sobre la bola unidad cerrada. Y siendo ésta débilmente compacta, dicha aplicación debe alcanzar su máximo, luego 3w de norma ~ 1 tal que 11 Aw 11 = HA 11. Además si A #=O, forzosamente IIAII IIAwll IIAvll . . llwll = 1: st no sena IIAII < llwll = lWf ~ ~~~~e 1 Tvf = IIAII· (En el caso trivial A =O, escójase sencillamente w tal que 11 w 11 = l.) Para convencerse de que en general no es alcanzable, analícese el operador acotado del ejemplo (E0-4) en §6.5, digamos: Q: f(x)eL 2 [0, l]-+xf(x)eL 2 [0, 1] con IIQII = 1, no alcanzable. ¿Por qué? ESPACIOS DE HILBERT 199 El comportamiento de los operadores compactos bajo varias operaciones se resume así: Teorema 9.4 El conjunto CC(H) de los operadores compactos sobre H es un ideal bilátero simétrico y cerrado en el álgebra d(H). Más explícitamente: i) CC (H) es subespacio lineal de d (H). } ("d 1 b"l, ) ii) CeCC(H), Aed(H)~CA, ACeCC(H). 1 ea 1 atero iii) CeCC(H)~c+ eCC(H) (simétrico bajo adjunción). iv) CC(H) es cerrado bajo la topología uniforme (§ 7.4); es decir, el límite uniforme de una sucesión de compactos es compacto. Demostración i) Sean v,~v. y sean C, C'eCC(H). Por el teorema 9.2 y el subsiguiente ejercicio~ (aC +a' C')v,.~ (aC +a' C')v. ii) Por el teorema de la sección§ 7.3, parte viii), si v,~ v, entonces Av,~ Av. Luego también CAv,~ CAv. Así pues CAeCC(H). d 1 1 Por otra parte, v , - v~Cv,- Cv~ACv,- ACv, luego ACeCC(H). iii) v,~ v~3a>O tal que llv,.ll ~IX, Vn. Pero ¡¡e+ (v,.-vm)ll 2 =(v,.-vm, ce+ (v,-vm))~ llv,.-vmii·IICC+ (v,.-vm)ll ~ ~2aiiCC+(v,.-vm)ll-+0, sin, m-+ oo (Pues por ii, ce+ es compacto y, en consecuencia, {cc+v,.}i es de Cauchy.) Por tanto, {c+v,.}i es de Cauchy, y así e+ eCC(H). iv) Sea {C,.}ic:CC(H) y Cauchy. En tal caso C,.~Aed(H). Pues bien, dada v,~ v, 3a>0 tal que llv,.ll ~IX, Vn, y se verifica IIA(v,.-vm)ll ~ II(A-CN)v,.ll + II(A-CN)vmll + IICN(v,.-vm)ll ~2aiiA-CNII + + IICN(v,.-vm)ll Fijado e>O, 3N tal que IIA-CNII <¿.y para este eN, IICN(v,.-vm)ll <; paran, m>M(e). Luego {Av,.}i es de Cauchy, con lo que queda probado que AeCC(H) (CQD). Consecuencia A eCC(H)<=>IAI eCC(H). 200 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Nota Si H es separable, C6'(H) es el único ideal (aparte de O y d(H)) bilátero simétrico y cerrado en d(H). [Halmos]. Ejemplos A) Consideremos un operador Aed(H) de rango (::dim R(A))finito. Se les llama también operadores degenerados. Entonces A es compacto, pues todo conjunto acotado en un espacio de Hilbert de dimensión finita es precompacto. Por tanto, todo operador límite uniforme de operadores (en d(H)) de rango finito, es compacto. Más adelante veremos que el recíproco es también cierto: VAeC6'(H) es límite uniforme de degenerados(§ 12.3). A causa de este hecho, una generalización del corolario 7.5 pasará a ser un resultado básico sobre estructura de los operadores compactos sobre un espacio de Hilbert (véase en este sentido el próximo ejemplo B). N B) Sea A=LA.nPn, Pn proyectores ortogonales, Pnl.Pm, n#=m, ).nPn#=O, Vn. 1 A es compacto si y sólo si cada Pn es de rango finito. Nótese que si el rango de Pi fuese infinito, la imagen de la bola unidad de H bajo A contendría alguna bola en PiH de dimensión infinita, y no es por tanto precompacta (Ejercicio a continuación). oc; Si el número de sumandos efectivos fuese infinito, esto es A= ¿;.np"' 1 A.nPn#=O, Vn, entonces A es compacto si y sólo si cada Pn es de rango finito y además la sucesión {A.n} i converge hacia cero. En efecto: [«si»]: IIIA.nPnll = N~n-..::.M sup IA.nl-0, cuando N, M- oo, y por tanto A es N N límite uniforme de operadores de rango finito LA.nP"' cuando N- oo. 1 [«sólo si»]: Si algún P~ tuviese rango infinito, bastaría aplicar el argumento de la no-compactdad de la bola unidad en PiH, como antes. Por otro lado, tomando {vn}i tal que Pnvn=Vn, llvnll = 1, esta sucesión será ortonormal (recuérdese que se exigió Pil.Pk, Vj#=k), de manera que vn~ O. Pero en tal caso {Avn}i = {A.nvn}i debe converger en sentido fuerte hacia O, por ser A compacto. Luego A.n- O. (CQD). Ejercicio i) Si {en} i es ortonormal, probar que el conjunto {en} i no es precom- pacto. ii) Sea Ae.J/(1 2 ) tal que Aen=A.nen, ).neC. Probar que A es compacto si y sólo si A.n- O. n-+oo ESPACIOS DE HILBERT 201 Nota Se verá más adelante que, recíprocamente, todo operador compacto normal es de N oc 1 1 la forma LAnPm con rango de Pn finito, Vn, o bien del tipo ~)nPn, A.nPn#O, An-+0 y rango de Pn finito, Vn. Las próximas secciones recogen otros ejemplos de operadores compactos que por su extraordinario interés tratamos aparte en mayor detalle. 9.2. OPERADORES DE LA CLASE HILBERT-SCHMIDT Lema 9.5 Si A E .91 (H) es tal que para una cierta base ortonormal {e11 } de H es I11Ae l 2<oo, entonces para toda base ortonormal {!11} de H: 11 11 I11Ae~~ll 2 = Ll(/p. Ae~~)I 2 =I11A/pii 2 =IIIA+ e~~ll 2 11 /1 /1,11 11 La raíz cuadrada (positiva) del valor común a esas sumas se denotará por IIAh Demostración La identidad de Parseval (§5.2)=>11Ae II 2=II<J11 , Ae )1 2. De donde se sigue: 11 11 /1 I11Ae~~ll 2 = Il<fp, Ae~~W= Il<e~~, A+ /p)I 2=IIIA+ /pll 2 11 /1,11 fl,ll /1 y basta repetir el argumento cambiando A por A+ (CQD). Obsérvese que en particular IIAII 2= IIA +11 2. Definición 9.6 A Ed(H) se dice que pertenece a la clase Hilbert-Schmidt Teorema 9.7 VAEJII(H)=> IIAII ~ IIAII2· Demostración Trivial si IIAII 2= oo. f6' 2(H), si IIA 1 2< oo. 202 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Sea pues IIAII 2< oo. Es suficiente probar que IIAvll ~ IIAb VveH tal que llvll =l. Pues bien, sumergiendo ese ven una base ortonormal {e.,}: 11Avii 2 ~LIIAe.,ll 2 = IIAII~ (CQD) " Corolario 9.8 IIAII2=0<=>A=O, en .r#(H). Además, la misma demostración del teorema 9.7 muestra que si Ae.!l'(H) y IIAII 2<oo en el sentido ahora de que se supone que I11Ae211 2 es finito e indepen2 diente de la base ortonormal elegida, entonces A e .!!1 (H). Teorema 9.9 re 2(H) es un ideal bilátero simétrico de .!!1 (H), en el que 11-11 2 define una estructura Banach. Demostración i) AeCC 2 (H)=>aA, A+ eCC 2(H). Evidente, y además llaAII 2=lai·IIAII 2. ii) A, BeCC 2 (H)=>A+BeCC 2 (H), y además IIA +BII 2~ IIAII 2+ IIBb porque dada una base ortonormal {e.,}, y un subconjunto finito J de índices, se cumple: [ ~II(A+B)e.,ll 2 J' ~[~(11Ae211 2 J' ~ + 11Be211) 2 2 ~[~11Ae.,II 2 J 12 +[~11Be.,II 2 J 12 ~ IIAII2 + IIBII2 de donde IIA+BII2~IIAII2+IIBII2· iii) Xe.r#(H), AeCC 2 (H)=>AX, XAeCC 2(H), y además IIAXb IIXAII2~ IIXII· IIAb En efecto, si {e.,} es base ortonormal, I11XAe.,ll 2 ~ IIXII 2LI1Ae.,ll 2 = IIXII 2 ·IIAII~=> IIXAII2~ IIXII·IIAII2 " " Para la otra desigualdad: I11AXe.,II 2 =IIIX+ A+ e.,ll 2 ~ IIX+II 2 ·IIA+IIt 2 " y como ux+ 11 = IIXII y IIA +11 2 = IIAII 2 , resulta finalmente IIAXII2~ IIXII·IIAII2· iv) La aplicación 11·11 2 : AeCC 2(H)-+IIAII 2 eal define sobre CC 2 (H) una norma. La propiedad N 1 es obvia y las restantes han sido ya establecidas. ESPACIOS DE HILBERT 203 v) Dotado de esa estructura normada, ce 2 (H) es completo. Veámoslo: Dada {en} 'f e: ce 2 (H), de Cauchy en la norma 11·11 2 , automáticamente lo es en 11·11 como consecuencia del precedente teorema 9.7. Así que e"~eEd(H). Falta probar que eEce 2 (H). Dado e>O, sabemos llen-emll 2 <e, 'Vn, m;:?:;N(e), por lo que si una base ortonormal de H: {e11 } es L ll(en-em)e11 ll 2 <e2 , 'r/n, m;:?:;N(e), V subconjunto J finito de índices. 11.EJ Haciendo m-+oo, se obtiene Lll(e"-C)e11 ll 2 ~e 2 , 'Vn;:?::N(e), 'r/J finito, J concluyéndose que en- e Ece 2 (H), y en consecuencia e Ece 2 (H), con e"~ e (CQD). Corolario 9.10 ce 2 (H)<=>IAI E~ 2 (H). AE Antes de entrar a exponer algunos ejemplos de operadores Hilbert-Schmidt, conviene aclarar la relación que mantienen con los operadores compactos, pues los estamos incluyendo aquí a título de ejemplos de compactos precisamente. He aquí la justificación requerida. Teorema 9.11 Demostración Hemos de probar que si AEce 2 (H) y {vn}f~v. entonces Av"~ Av. En primer lugar 3).>0 tal que llvnll ~)., 'r/n, lo que nos asegura llvll ~;., Y en segundo lugar, dado e>O y una base ortonormal {e11 }, 3 un conjunto finito J de índices tal que L 11Ae"ll 2 <e 2 • Como A(v-vn)=L(e/1, v-vn)Ae/1 se tendrá: "'J " IIA(v-vn)II 2 =11L(e11, v-vn)Ae11 + L(e11 , /IEJ IIJJ v-vn)Ae~~ll 2 ~ ~2111(e11, v-vn)Ae~~ll 2 +2~~~(e1 , v-vn)Ae 2 11 11 204 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Ahora bien, ~~~(e.., v-vn)Ae..¡r ~[~l(e.., v-vn)I·IIAe.. llr ~ ~[L l(e.., V-Vn)l 2 ] • [L IIAe.. I 2 J~ llv-vnll 2 e2 ~4A. 2 e 2 ¡z-J ¡z-J También, fijado J, ~~~(e.., v-vn)Ae..ll ~4A. 2 e2 , para n;;:::N(e), por ser Vn~v. 2 En consecuencia, se cumple IIA(v-vn)II 2 ~16A. 2 e 2 , para n;;:::N(e). (CQD). Ejercicio Probar que 11·11 2 es invariante unitario. Ejemplos (OHSl) Todo Aed(H) de rango finito es Hilbert-Schmidt. Porque N(A+)=R(A).l, y tomando una base ortonormal {e..} en H que amplíe una de R(A), para ella el sumatorio LIIA+e.. ll 2 contiene 11 sólo una colección finita de sumandos no nulos. Luego 11 A+ 11 2 < oo y Ae~ 2 (H). 00 (OHS2) En notación del teorema 8.20, el operador A= LA.nPn, A.nPn:;60, Vn, es 1 00 Hilbert-Schmidt si y sólo si LrniA.nl 2 <oo, donde rn=rango de Pn. 1 En efecto, basta darse cuenta de que es (OHS3) De acuerdo con §6.5, los núcleos integrales k(.,.)eL 2 (R 2 ) definen operadores acotados sobre L 2 (R). Queremos justificar ahora la denominación que se adelantó en el Capítulo 6, probando que dichos operadores son de la clase Hilbert-Schmidt. Para ello, fijada una base ortonormal {q>n(.)}j para L 2 (R), sabemos por §5.7 que {f/Jn®(¡?m}:m= 1 es base ortonormal para L 2 (R 2 ), siendo (q>n®(¡?m)(x, y)=q>n(x)(¡?m(y). Por lo tanto: k(x, y)= L kn.mf/Jn(x)(¡?m(Y) n.m c.d. ESPACIOS DE HILBERT siendo 2: lkn,ml 2 205 = Jlk(x, y)l 2 dx dy. Por consiguiente, n,m n,m n,m Nótese pues que la definición de norma Hilbert-Schmidt dada para K en § 6.5 coincide con la abstracta. (OHS4) Considérese en [2 la aplicación lineal definida como ao Aen= L Amnem m=l siendo {en} i la base estándar. Si 2: IAmnl 2 < oo, entonces para todo m,n v = IA.nen E 12 la serie Av= 2:(2:AmnAn)em converge fuertemente y 1 m n define A E re 2 (H). (Es sencillamente un caso semejante al anterior, pero con una medida sobre IR dada por una suma de medidas discretas, tipo ~ de Dirac, concentradas en los naturales.) Para terminar esta sección enunciaremos un resultado que, aparte de ser necesario más abajo por razones técnicas, tiene interés por dotar a re 2 (H) con una estructura de espacio de Hilbert. Proposición 9.12 Sean B, CEre 2 (H). Entonces LI(Be.,, Ce.,)j<oo, si {e.,} denota una base " ortonormal de H. Y, por tanto, 3L(Be.,, Ce.,)=(B, C), que es independiente de la base elegida. " Demostración Y de (Be.,, Ce.,)= ~[II(B+ C)e.,ll 2 -II(B-C)e.,ll 2 -iii(B+iC)e.,ll 2 + iii(B-iC)e.,ll 2 ] 1 deducimos (B, C)= ¡[IIB+CII~ -IIB-CII~ -i IIB+iCII~ +iiiB-iCII~] (CQD) 206 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Ejercicios i) Probar que (B, C) define una estructura de producto escalar sobre re 2(H), según se definió en §4.1. ii) Probar que con tal estructura, re 2(H) es un espacio de Hilbert. [Ayuda: (B, B)= IIBII~. y teorema 9.9.] Siempre que A, Bere 2(H), Xed(H) se tiene: iii) iv) v) vi) (A, XB)=(X+ A, B) (A+, B+)=(B, A). , (A, BX)=(AX+ ,B). I(A, B)I~IIAII2IIBh IIABII 2 ~ IIAII 2 IIBII 2. (Usar la desigualdad de Schwarz sobre (AB, AB)=(A+ A, BB+).) Nota re 2(H), con su estructura de álgebra y de espacio de Hilbert, constituye un ejLmplo de H*-álgebra. 9.3. OPERADORES DE CLASE DE TRAZA Definición 9.13. A Ed (H) se dice trazable o que pertenece a la clase de traza re 1(H) si IAI 112 Ere 2(H). Dicho de otra forma equivalente, A Ere 1(H) si IIAII1=triAI=I<eiX, IAieiX)<oo IX para alguna base ortonormal (y por tanto para todas). [Nótese que la suma I<eiX, IAieiX)=IIIIAI 112 eiXII 2 =IIIAI 112 11~ no depende de la base.] IX IX Teorema 9.14 Para A E d (H) son equivalentes: i) A E re 1 (H). ii) !Al E re 1 (H). iii) A=BC, con B, CEre 2(H). Demostración [i<=>ii] Inmediato de la definición 9.13. ESPACIOS DE HILBERT 207 [i=>iii] Si A=WIAI es la descomposición polar (teorema 8.11) de A, entonces A= WIAI 112 IAI 112 ' y IAP 12 E ce 2 (H) => WIAI 112 E ce 2 (H), según el teorema 9.4. [iii=>i] De nuevo utilizando la descomposición polar comprobamos que IAI = w+ A= w+ BC => IAI = B' e, con B' y e E ce 2 (H). Luego también B'+ Ece 2 (H), y basta señalar ya que ~)e.., IAie..)= ¿(B'+ e.., Ce..)< oo, por la proposición 9.1. (CQD). .. . Al igual que se vio para los compactos y los Hilbert-Schmidt: Teorema 9.15 ce 1 (H) es ideal bilátero simétrico en .JI/ (H). Demostración AEce 1 (H)=>a.AEce 1 (H), evidente. AEce 1 (H)=>A+Ece 1 (H), por iii) en teorema 9.6. A Ece 1 (H), X E.JI/ (H) => AX, X A Ece 1 (H), evidente por la misma razón. Falta solamente A, BEce 1 (H)=>A+BEce 1 (H). Sea A+B=WIA+BI la descomposición polar de A+ B, con lo cual lA+ Bl = w+ A+ w+ B. Tanto w+ A como w+ B están en ce 1 (H), por lo anterior, luego la proposición 9.12=> ¿(e.. , IA+Bie.. )< oo. (CQD) . .. Como era de esperar, los operadores en ce 1 (H) permiten definir un concepto que generaliza el de traza de una matriz finita. Definición 9./6 Dado A E ce 1 (H), se llama traza de A al número tr A= I<e . , Ae..) .. La serie es sumable (véase §8.9) porque A=BC, B, CEce 2 (H) y la proposición 9.12=>tr A es finita y además independiente de la base ortonormal {e.. } elegida en H. Las principales propiedades de la traza de matrices finitas son compartidas por el nuevo concepto introducido. Proposición 9.17 (propiedades de la traza) La aplicación A E ce 1 (H)-+ tr A E e cumple: l. tr(A+)=tr A. 2. tr(A.A) =A. tr A , A. E C. 20~ LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 3. tr(A+B)=tr A+tr B , Be~ 1 (H). 4. tr(AX)=tr(XA) , X ed(H). Demostración Las tres primeras son triviales. C 2 e~ 2 (H) se tiene tr(AX)=(C¡, C 2X), y por otra parte tr(XA)=(C 1X+, C 2)=(Ct, XCi)=(X+ Ct, Ci)=(C¡, C 2X). (CQD). 4. Como A=CiC2 , con C¡, Proposición 9.18 i) (~ 1(H), 11·11 1) es un espacio lineal normado. ii) IIA+111=IIAII1 ' Ae~1(H). iii) IIAXII1~IIAIIdiXII , Xed(H) , Ae~ 1 (H). IIX A ll1 ~ 11 A ll1 IIXII. iv) ltr AI~IIAII1· Demostración i) Las propiedades (NI, N3) (véase §2.1) son evidentes. Para probar (N2), observemos que IIAII 1=O=>triiAII =0=>IAI 112 =0=> IAI=O=>A=O. En cuanto a (N4), desigualdad triangular, sean las respectivas descomposiciones polares de A, B, A+ B: A=WAIAI , B=W8 IBI , A+B=WIA+BI Entonces lA+ Bl = w+ WA IAI + w+ WsiBI => IIA+BII1 =triA+BI=tr(w+ WAIAI)+tr(w+ WsiBD~ IIW+ WAII·IIAII1 + + IIW+ Wsii·IIBII1 ~ IIAII1 + 118111 donde hemos utilizado iii). ii) A= WAIAI=>IIA + ll1 =triA +l=tr(WAIAI W.t)=tr(W1 WAIAI)=triAI= IIAII1· iii) XA=XWAIAI Y=W'+ XWA , XA=W'IXAI => IXAI=W'+XWAIAI=YIAI, denotando Puesto que 11 Yll ~ IIXII, se obtiene: triXAI =tr(YIAI)=tr(YIAI 112 IAI 112)=(IAI 112 y+, IAP 12 )~ ~ IIIAI 112 112 ·IIIAI 112 y+ 112 ~ 11 y+ II·IIIAI 112 11~ ~ IIXII·IIAI11 El otro caso es análogo. iv) Poniendo A= WA IAI, basta aplicar iii) (CQD). ESPACIOS DE HILBERT 209 La relación existente entre los tres tipos de operadores manejados hasta el momento en este capítulo (compactos, Hilbert-Schmidt y trazables) queda aclarada en el próximo: Teorema 9.19 a) A e~ 1(H) ~ 11 A 11 ~ 11 A ll2 ~ 11 A ll1· b) ~ 1 (H)c~ 2 (H)c~(H). Demostración a) IIAII1 =triAI=(IAI 112 • IAI 112 ), IIAII~=triAI 2 =(1AI, IAD~ IIAII~=(IAI 112 • IAI·IAI 112 )~ IIAII·IIIAI 112 II~~ IIAII2IIAII1 donde hemos utilizado el teorema 9.7, que a su vez completa la doble desigualdad requerida. b) Simple consecuencia de a). (CQD). Volviendo a la estructura normada de ~ 1(H): Teorema 9.20 (~ 1(H), 11·11 1) es Banach. Demostración Toda sucesión de Cauchy {An} 'f en ese espacio normado es también de Cauchy en ll·lb, por el teorema último, y de acuerdo con el teorema 9.9~An...l!.:!!.!.. Ae~ 2 (H). Falta probar que Ae~ 1 (H) y que 11An-AII 1- 0 . En efecto, de An~A se n-+ oo sigue (véase ejercicio (a) al final de §8.3) que IAn-Aml~ lA-Ami· Y como 11 An-A m11 1-+O, para n, m-+ oo, dado e> O, se tendrá, dada una base ortonormal, para cualquier conjunto finito J: L(e.., IAn-Amle..)<e sin, m~N(e) tzeJ Luego L(e.. , IA-Amle..)~e. Vm~N(e), y de aquí que A-Ame~ 1 (H). Luego tzeJ (CQD). [INCISO: Aunque cae fuera del alcance de estas notas, por no haber sido definido el dual B* de un Banach B (=:conjunto de funcionales lineales continuos en norma) es interesante hacer notar que la 210 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO cadena de inclusiones entre los espacios de Banach 'G 1 (H)c:'8 2 (H)c:'G(H)c:d(H) determina otra dual d(H)* e: 'G(H)* e:~ 2 (H)* e: 'G 1 (H)*. Dado A E'G 1 (H), la aplicación X ..... tr(AX) define un funcional lineal continuo sobre d, es decir un elemento de d(H)*, cuya norma coincide con 11 A 11 1 • Sin embargo, la consiguiente inclusión 'G 1 (H)c:d(H)*, puede probarse que es estricta desigualdad, en caso de ser dim(H) infinita. Dicho en otras palabras 3 elementos de .oi(H)*, que no son obtenibles mediante tal procedimiento (de tomar trazas). Sin embargo, la misma aplicación define un funcional lineal continuo sobre ~(H) (ltr(AX)I ~ IIAII.IIXII. XE'G) de norma IIAII 1• y ahora sí se cubre todo ~(H)* por este método, es decir, 'GI(H}::>!'G(H)*. Dualmente, dado X E .o/ (H), A ..... tr(X A) es un funcional lineal continuo sobre 'G 1 (H), de norma 11 X 11, y puede probarse que .o/ (H) ::>! 'G 1 (H)*. 1111 Por último, se demuestra que si dim(H) es infinita ¡~(H) no es dual de ningún Banach!) Ejemplos J. VA E d (H) de rango finito es trazable. Porque dado que tal A es HilbertSchmidt (OHSI en §9.2) y también lo es el proyector ortogonal sobre R(A), el teorema 9.14=> A E~ 1 (H). 00 2. Un operador del tipo A=:LA.nPn, A.nPn=#O, 'Vn (notación de §8.4, teore1 ma 8.20) es trazable si y sólo si 'VPn es de rango finito rn y además 00 00 00 :LIA.nlrn<OO. Efectivamente,IAI=:LIA.niPn.IAI 112 =:LIA.ni 112 Pn, Y basta aplicar 1 1 1 (OHS2) en §9.2. 00 En caso afirmativo, tr A= :LrnA.n. 1 3. Dados dos núcleos de tipo Hilbert-Schmidt, digamos k 1 (.,.) y k 2 (.,.), con operadores asociados K 1 , K 2 E~ 2 (U(~)), el núcleo integral k3 (.,.) asociado a K 3 =K 1 K 2 E~ 1 (U(~)) es: k3(x, y)= L k 1 (x, t)k 2 (t, y)dt (*) La traza del operador producto K 3 se calcula fácilmente usando la expresión tr K 3 =(K i, K 2 ) obteniéndose: Ejercicio ¿Por qué estamos seguros de que K 3 E~ 1 (L 2 (~))? ESPACIOS DE HILBERT 211 Observación importante Conviene hacer notar que(*) define c.d. k 3 (x, x)EL 1 (R), por lo que (**) tiene perfecto sentido. Sin embargo, cualquier otra función i define el mismo operador K 3 , pese a lo cual sería erróneo en general hacer el cálculo de tr K 3 como f 3 (x, x)dx, pues podemos modificar arbitraria- mente los valores de k3 e/: la diagonal sin que por ello cambie el operador K 3 • No obstante, si K E <if 1 (L 2 (IR)) y k(x, y) es continua como función de x, y, entonces puede demostrarse que tr K= t k(x, x)dx. 4. Operadores de clase de traza en Mecánica Cuántica En el esquema ordinario de la Mecánica Cuántica, los observables o magnitudes físicas vienen representados por operadores autoadjuntos en un espacio de Hilbert separable H. En el caso más simple en que no haya reglas de superselección (observables que conmuten con todos los observables, y que no sean múltiplos de la identidad) es usual admitir que, recíprocamente, todo operador autoadjunto en H es imagen de algún observable. Los estados físicos del sistema cuántico en consideración se definen como aplicaciones p del conjunto de los proyectores ortogonales en H sobre el intervalo [0, 1], de forma que p(P) representa la probabilidad de que al medir el observable P en el estado p resulte el valor l. Estas aplicaciones p deben cumplir además las siguientes propiedades: p(O)=O, p(l)= l. P(J 1 P¡)= ~p(P¡}, siempre que P¡l.Pi, 't/i:Fj Un célebre teorema de Gleason asegura que si dim H ;;¡: 3, para cada tal p existe un operador pE <if 1 (H), autoadjunto, p ;;¡:O, con tr p = l, tal que p(P}=tr(pP) , 't/P Estos operadores, que representan los estados del sistema físico, se denominan operadores densidad. Es claro que si p 1 , p 2 , son dos operadores densidad, toda combinación lineal convexa 212 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO representa otro operador densidad. Todo p expresable de esa manera, con A1 A2 :#O, se llama estado impuro o mezcla. En caso contrario, dícese estado puro. Como se anticipaba en §9.1, y se verá en el Capítulo 13, todo operador compacto normal C (y en particular todo operador autoadjunto de clase de traza) es de la forma: 00 C= LAnPn ' Pnl.Pm si n:#m 1 En particular un operador densidad p, al ser positivo, lo podemos escribir como 00 Debiendo ser tr p = 1, se ha de cumplir: 1 = LAn tr P"' por lo que los 1 proyectores Pn para los que An:#O deben ser de rango finito, como se decía en el anterior ejemplo 2. Supongamos que en la expresión(*) existan A1, A2 , no nulos. Por tanto: Nótese que l-A 1 tr P 1 :#0, pues A2 :#0. Aparece así p como combina1 .. c1on ¡·mea1 convexa de 1os operad ores d ens1"da d -Pp y P-, A¡ Pp1 . tr 1 1- A 1 tr 1 En consecuencia, pes puro si y sólo si pes un proyector unidimensional. Equivalentemente p es puro si y sólo si tr p 2 = l. En el caso de p puro es frecuente identificar el estado p con uno cualquiera de los vectores de norma 1 que engendran el subespacio de proyección de p. 10 l?spectro y resolvente 10.1. DEFINICIONES Sea A: D(A) eH -+H un operador lineal con dominio D(A) denso en H. Supondremos que H es un espacio de Hilbert separable sobre C. Denotaremos por abreviar A- A.l =A- .t Definición 10.1 Según la tabla adjunta, y de acuerdo con las propiedades de (A- A.)- 1, se clasifican los números complejos A. E C en cuatro clases, que reciben respectivamente los nombres de: u P =espectro puntual } u,= espectro resi~ual u e= espectro contmuo p =resolvente de A De la tabla que sigue se deduce evidentemente que para un operador lineal A dado estos cuatro conjuntos son disjuntos dos a dos y llenan el plano, es decir, u(A)up(A)=C. 3 ~-+ (A-2)- 1 en 2'(R(A -).), D(A -).)) { R(A-2)#H-+ l.eo"r(A) (A-2)- 1 no acotado-+ R(A -).)= H { en su do:ninio (A- 2)- 1 acotado-+ i.eu,(A) ). e p·(A) en su dominio Conviene advertir respetarse el orden de Así, por ejemplo, de deducirse sin más que explícitamente que para clasificar un cierto A. 0 ha de las tres disyuntivas del cuadro, para evitar errores serios. que 3(A -A.0 )- 1 no acotado en su dominio, no puede A. 0 E uc(A). ¡Quizá A. 0 E u,(A)! 214 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Ejercicios J. Si (X*O, u((XA+p) es el conjunto obtenido del u(A) bajo la aplicación puntual A.-+ (XA +p. 2. Cuando dim H<oo, es decir H~C", u,(A) =O'c(A)= 0 y A=matriz nxn ocurre que: , 'VA E ft'(H) =d(H) Así que la tabla se reduce para matrices finitas a esta: (A -A.)_ 1 {~-+A. E up(A) 3-+A.Ep(A) [En efecto, 3(A-A.)- 1 =>(A-A.) no singular=>R(A-A.)=H, y además (A-A.)- 1 Efi'(H)=d(H), acotado por tanto.] La dimensión infinita aporta nuevos horizontes y nuevas dificultades, por contraposición al caso de dimensión finita, donde sólo existen p y u p· Por sencillez e inercia comenzaremos caracterizando los A. E u p· Definición 10.2 Si A.Eup(A), diremos que A. es un valor propio (o autovalor) de A. Criterio 10.3 A.Eup(A) <=> 3v*O en D(A) tal que Av=A.v Demostración Es evidente por los criterios de existencia de inverso (§ 1.5). (CQD). Se dirá que v( *O) es un vector propio (o autovector) de A con valor propio A.. Y frecuentemente denotaremos por H;.(A)= {vED(A)IAv=A.v}. Es claro que H;.(A) es siempre un subespacio lineal de H. Si su dimensión lineal es finita, tal dimensión se llamará multiplicidad del autovalor A.. En caso contrario se dirá que A. es de multiplicidad infinita. Pasamos a continuación a caracterizar los puntos A. E p(A), para operadores acotados. Criterio 10.4 Si AEd(H) A.Ep(A) <=> (A-A.)- 1 Ed(H) ESPACIOS DE HILBERT 215 Demostración [=>] A.ep(A)=>3(A-A.)- 1 acotado en su dominio R(A-A.), denso en H. Queremos probar que R(A-A.)=H. Si no lo fuera, el teorema 6.4 permite extender unívocamente (A- A.) - 1 a todo el espacio H. Pero dado que el recorrido R(A- A.)- 1 era ya (antes de la extensión) H, concluimos que el operador extensión (.f-:1)- 1 no es inyectivo, es decir, 3w#O tal que (A~)- 1 w=0 (*). Pero, por otro lado, de la construcción de (,4-:'1')- 1 , véase § 6.2, se deduce que 3 en R(A-A.) alguna sucesión {wn}f'-+w tal que -----' O=(A -A.)- 1 w=lim(A -A.)- 1 wn Aplicando a ambos miembros el operador continuo (A- A.) se llega a una contradicción con (*). [~] Evidente (CQD) Un criterio menos simple pero más general para muchas situaciones es el siguiente: Criterio 10.5 Sea A: D(A) eH-+ H lineal. Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes: a) 3 sucesión {vn}f'eD(A) con llvnll=l, Vn, tal que (A-A.)vn-+0. b) (A-A.)- 1 o no existe o si existe no es acotado en su dominio. Demostración [a=>b] Si 3(A-A.)- 1, los vectores Wn= ~~~~=~~~:ll tienen norma unidad y, sin 1 embargo, II(A-A.)- 1 wnlln-+oo oo, por lo que (A-A.)- no puede ser acotado. [b=>a] Si ~(A-A.)- 1 , entonces existe algún v con llvll=l en D(A) tal que (A-A.)v=O. Luego la sucesión trivial {v, v, v, ... } cumple a). Si 3 (A- A.)- 1 , pero no es acotado en su dominio, se tiene que 3w (#O)eD((A-A.)- 1 ) tal que II(A-A.)- 1 wnlln llwnll n-+oo 00 • Luego la sucesión {(A-A.)- 1 wn}f', normalizada, cumple a) (CQD). Nota Si A.eup(A), puede escogerse la tal sucesión {vn}f' eH)., con Jo que estrictamente (A-A.)vn=O, Vn. Sin embargo, cuando A.edc{A), por ejemplo, la tal sucesión {Vn} f' debe tener forzosamente infinitos vectores distintOS, y además ninguno de ellos estrictamente aniquilado por (A- A.). Aunque se acerca indefinidamente a ello, no lo consigue. 216 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Corolario 10.6 Sea A: D(A) eH-+ H lineal. 3{vn}feD(A), llvnll=l, tal que (A-A.)vn--;;=;+0 => A.ea(A). Ejercicio Probar que la siguiente afirmación es falsa: «3 {vn}f e D(A), llvnll = 1, tal que O~(A -A.)vn--;;=;+ O => A.ea,(A)uac(A)» [Ayuda: Considérese el operador A ed(/ 2 ) definido como O n impar} Aen= { en , para el que A.=Oeap(A)] - n par n 10.2. PROPIEDADES TOPOLÓGICAS DE a(A) Y p(A) Referente a la partición conjuntista aup=C, vamos a ver que pes siempre un abierto y a un cerrado del plano. Lema 10.7 Sea A: D(A) eH -+H lineal. Sea A.eC tal que 3(A-A.)- 1 y es acotado en su dominio. Entonces, para 'VJJ. tal que IJJ.-A.I < II(A -A.)- 1 11- 1 se verifica que: i) 3(A- JJ.)- 1 y es acotado en su dominio. ~~= ii) R(A-JJ.) no es subespacio propio de R(A-A.). [Por II(A-A.)- 1 11 entendemos la norma Je (A-A.)- 1 sobre su dominio R(A-A.).] Demostración VveD(A)=> 11(.4-JJ.)vll = li(A-A.+A.-JJ.)t•ll ~ II(A-A.)vii-IA.-JJ.I·IIvll ~ II(A-A.)vii-IA.-JJ.I· ·II(A -A.)- 1 11 ·II(A -A.) vil= II(A -A.) vil [1-IA.- JJ.I· II(A -A.)- 1 111 ~o y sólo es O cuando v =O. Así que 3 (A- JJ.)- 1 • Y es acotado en su dominio, pues llamando w:=(A-JJ.)v: ESPACIOS DE HILBERT Finalmente, si R(A-p) fuese subespacio propio de R(A-A.), R(A-A.)8R(A-p). Tomando una sucesión {wn}f ={(A-A.)vn}f e: R(A-A.) tal que 217 3wo con llwoll = 1 en Wn~ Wo, 1~ llwo-(A-p)vnll ~ llwo-(A-A.)vnll +IA.-pl·llvnll ~ ~ llwo-Wnll +IA.-pi·II(A-A.)- 1 11·11wn11 Haciendo n-+ oo se llega a 1 ~lA.- pi· II(A -A.)- 1 11. contrario a la hipótesis (CQD). Teorema 10.8 VA=>p(A) abierto, u(A) cerrado en IR 2 • Demostración Es consecuencia inmediata del lema anterior. En el resto de esta sección vamos a restringir nuestra atención a los operadores acotados con dominio H. Teorema 10.9 (Serie de C. Neumann) Si Aed(H) y IA.I> IIAII, entonces a) A.ep(A). -1 ~ oo b) (A -A.)- 1 = T (A)" I , serie convergente en norma en d(H). Demostración II(A -A.)vll ~ IA.I·IIvii-IIAvll ~(IA.I-IIAII>IIvll ~o y sólo es O si v=O. Luego 3(A-A.)- 1 y es acotado en su dominio. Falta ver que R(A-A.)=H. Observemos a tal fin que cuando IA.I> IIAII. la serie -1 (A)" X=-y~ I oo converge uniformemente, y por tanto X ed(H). Además (A -A.) X= 1 =X(A -A.), fácil de comprobar. Así que X= (A- A.)- 1 pertenece a d (H) (CQD). Corolario 10.10 Sean A, Bed(H): 218 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Demostración En efecto, IIA - l B-111:::;: IIA - 1 II·IIB-AII <l. Y por el teorema 10.9, 3(A- 1 B)- 1 Ed(H) En consecuencia, 38- 1 =(A- 1 B)- 1 A- 1 E d (H) (CQD). Ejercicio Probar que (A- 1 B)- 1 A- 1 es el inverso de B, bajo las hipótesis del corolario. Corolario 10.11 VAEd(H)~u(A) compacto en D(O, IIAII). Comentario Es imposible enunciar un resultado general más concreto que el de este último corolario acerca de la estructura topológica de u(A) para A E d(H). Para convencerse de ello resuélvase en detalle el siguiente ejercicio, que muestra en particular cómo cualquier compacto del plano puede aparecer como espectro de algún operador acotado. Ejercicio Sea un compacto no vacío K e: IR 2 • Tómese una sucesión {oci}Í densa en K. El operador A E d (H) definido sobre la base estándar de H = 12 por Aen=OCneno tiene O'p(A)={ocn}i', u.(A)=K-{ocn}í, u,(A)=<l). De hecho la única información adicional (general) sobre u(A) proviene de la siguiente: Proposición 10.12 A E d(H)~u(A) :#= <Z> Demostración Si fuese p(A)=C,la función f(A.)=(w, (A-A.)- 1 v), con w, v fijos en H, sería analítica en todo el plano, y además la serie de Neumann~ /(A.)-:--0. El ¡..¡.... 00 teorema de Liouville concluye f(A.):=O, VA.EC, \fv, wE H. Es decir, que (A -J..)- 1 =0, \f).EC. Absurdo. (CQD). ESPACIOS DE H/LBERT 219 Nota El carácter analítico de f(A.) puede inferirse por el adecuado desarrollo de (A- A.)- 1 en serie de potencias tipo Neumann en torno a un punto ). 0 E p(A). No entramos en detalles. Observación Existen operadores no acotados con espectro vacío. Y también existen otros con resolvente vacío. 10.3. COMPARACIÓN DE LOS ESPECTROS DE A Y A+ A la vista de que A-+ A+ recuerda (y generaliza en cierto sentido) la conjugación compleja, no es de extrañar que haya una relación estrecha entre u(A) y u(A +) tal como indica el siguiente: Teorema 10.13 VAEd(H): i) A.Ep(A) <=>ÁEp(A+) ii) A.Eup(A) ~ IEup(A +)uu,(A +) iii) A.Eu,(A) ~ IEup(A +) iv) A.Euc(A) <=>ÁEuc(A +) Demostración i) Como (A-J..)+=A+-I y (A+-X)- 1 =((A-A.)- 1 )+, es evidente que A. E p(A)~IE p(A +). Y al ser A++= A, por simetría se obtiene la inversa. ii) Consecuencia del resto. iii) A.Eu,(A)~3v 0 (:¡é:Ü)EH8R(A-).). Para tal vector: VvEH Así que (A+ -I)v 0 =0, o sea IEup(A +). iv) A.Euc(A)~IEu(A +) por i). Pero If/;u,(A +), pues iii) aplicado a A+ exigiría A.Eup(A). Absurdo. Y también If/;up(A+), porque A+v=Iv, v:¡é:O~ R(A-A.):¡é:H. Contradicción. Luego A.Euc(A). (CQD). Debe advertirse la asimetría en ii) y iii) entre los espectros residual y puntual. Existen muchos operadores A con u,(A +) = <D (todos los normales, véase § 8.8), pese a lo cual up(A):¡é: <D. en general. 220 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 10.4. RANGO NUMÉRICO Y ESPECTRO Sea A: D(A) eH-+ H lineal. Definición 10.14 Se llama rango numérico de A al conjunto del plano v(A)={A.eCI3veD(A), llvll = l, tal que (v, Av)=).} e C es decir, al conjunto de «valores medios» (v, Av) de A sobre los vectores de norma unidad. He aquí sus propiedades más importantes: Proposición 10.15 a) b) e) d) v(UAU- 1)=v(A) , VU unitario sobre H. v(cxA+P)=cx[v(A)]+P. v(A) es convexo (teorema de Hausdortl). A simétrico=>v(A) real. Demostración a), b) Son triviales e) Véase [Stone]. d) (v, Av)=(Av, v)=(v, Av), Vv (CQD) La gran importancia, desde el enfoque espectral, de v(A) la debe al: Teorema 10.16 (Wintner) A e .91 (H) => u(A) e v(A) Demostración up(A) e v(A) evidentemente. También ur(A) e v(A), pues A.eur(A)=>Ieup(A +). Si v es un vector propio, con 11 v 11 = l, A+ v = Iv, entonces (v, Av)= (A+ v, v) = A.(v, v)=A.ev(A). Finalmente el criterio 10.5 asegura que uc(A) e v(A) (CQD). Observaciones l. Sería erróneo concluir de lo anterior que u(A) es convexo. ¡Es falso! Contraejemplo: (~ ~). ESPACIOS DE HILBERT 221 2. v(A) no tiene por qué ser cerrado ni aunque Aed(H). Contraejemplo: Aen= !en, Vn, en 12 • ¡Ojv(A)! n 3. 3A ed(H) tal que o-(A) 4: v(A). Sirve el mismo contraejemplo anterior. 4. Incluso para aquellos Aed(H) con v(A)=v(A), con lo que ambos v(A) y o-(A) son cerrados, es falso en general que o-(A) = v(A). Contraejemplo: G~). 5. La parcial localización del espectro determinada por v(A) puede mejorarse mucho para algunos tipos particulares de operadores (véase más adelante unitarios, etc.). Por completitud citaremos otra propiedad en el caso acotado: Proposición 10.17 (Berger & Stamptli) Sea A ed(H), lv(A)I = sup l(v, Av)l. Entonces: llvll = 1 a) IIAII :s:;;21v(A)I. b) lv(A)I:s:;;l=>lv(A")I:s:;;l, V entero n>O. Ejercicio a) no es mejorable. Considérese y lv(A)I = ~. Pruébese. A=(~ ~)en d(C 2 ). Entonces IIAII = 1 11 Espectro de unitarios y autoadjuntos en d (H) En este capítulo se investigan aquellas características generales que gozan los espectros de diversas familias de operadores acotados. Queda aparte el espectro de los operadores compactos, que por su conexión con la teoría de ecuaciones integrales adquiere entidad propia y será tratado después. JI. l. ESPECTRO DE OPERADORES NORMALES Dado que ambos a la vez, unitarios y autoadjuntos acotados, caen englobados en los llamados operadores normales, comenzaremos por estudiar éstos, pues sus propiedades son doblemente aprovechables (véase § 8.8). Teorema 11.1 Si A E .91 (H) es normal, entonces: a) Av=A.v-A + v=Xv Demostración a) Si (A -A.)v=O, el criterio 8.36=>(A + -X)v=O. El recíproco por simetría. b) A. 2 (v 1 , v2 )=(v 1 , Av 2 )=(A + v 1 , v2 )=(X1 v1 , v2 )=A. 1 (v 1 , v2 ). (CQD). Mientras esto aclara mucho la cuestión de a P' nuestro próximo resultado se refiere al a,, que desaparece de escena (afortunadamente, cabría decir). Teorema 11.2 A E .91 (H) normal=> a,(A) = (/). 224 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Demostración Si 3A.eu,(A), la parte a) anterior junto con el teorema 10.13 conducirían a un absurdo. En efecto A.eu,(A)=>Ieup(A +)=>A.eup(A), ¡absurdo! (CQD). Conviene hacer notar que la ortogonalidad de vectores propios contenida en el teorema 11.1, parte b), no es cierta en general para operadores arbitrarios. Es elemental dar contraejemplos (coger dim H = 2 incluso). Sin embargo, siempre es cierta otra propiedad menos fuerte: la independencia lineal. Proposición 11.3 Sea A: D(A) eH~ H lineal. Sean {AA~ e up(A), A.i#A.k si j#k. Sean Avi=A.ivi, vi#O, 1 ::;.j::;.N. Entonces v1, v2, ... , vN, son l.i. Demostración Por inducción. Es trivial para N= l. Supuesto cierto para n-1, es decir, que {viH- 1 son l.i., veamos que {vi}~ son l.i. también. n n n-1 En efecto, 'f.Pivi=O => 0= (A-A.n)LPivi= 'f. Pi(A.i-A.n)vi => 1 1 1 =>P1 =P2= ··· =Pn-1 =0 => Pn=O (CQD) Y en cuanto al u P' no está de más poner en guardia al lector sobre la existencia de operadores lineales (no normales, claro está) con u r constituido por un continuo de puntos (véase el ejemplo de la próxima seccion 11.3 y aplíquese el teorema 10.13). 11.2. ESPECTRO DE UNITARIOS Ya sabemos que u,=(/). Ahora localizaremos lo que queda uPuuc de manera muy precisa. Teorema 11.4 U unitario=>u(U)e{A.:IA.I=l}. Demostración Sabemos ya que {IA.I > 1} e p(A), por el teorema 10.9. Además A.=Oep(U), por el criterio 10.4, ya que 3U- 1=U+e.9/(H). Y el lema 10.7=>{1A.I<l}ep(U). (CQD). De acuerdo con ello, el espectro (puntual+ continuo) de un unitario cae sobre la circunferencia unidad. Lo cual no quiere decir que 'v'IA.I = 1 sea el espectro, sino sólo algunos en general (cójase U= 1). ESPACIOS DE HILBERT 225 11.3. ESPECTRO DE ISOMÉTRICOS L No son ,normales en general. Por ejemplo T! 1 = T + 1 y T+ 1 T- 1 = PHe e, # 1H = T+ 1 (vease §6.5 y §8.1). Pero sigue siendo cierto aún que u P e: {IA.I = 1}. En efecto, si A es isométrico y Av= A.v, 1 v#O => IA.I 2 (v, v)=(Av, Av)=(v, v) => IA.I=1 Pero ya ni es u,=(/), ni está todo el u en la circunferencia unidad. Un teorema de Halmos [véase§ 8.5] afirma que toda isometría no unitaria es isomorfa a suma directa de unitarios Et> copias del T +1 • De ahí el interés de «prototipo» de T +1 , que pasamos a analizar. (Es además un buen ejercicio de cálculo de espectros.) Espectro de T + 1 Evidentemente, up(T+ 1 )=(/), pues (T+1-A.)v=O exige v=O. Y es claro que {IA.I > 1} e: p(T+ 1 ), porque isométrico => 11 T + 1 11 =l. Veamos si R(T+1 - A.) es denso o no en 12 • Sea IA.I < l. Entonces el vector w =(1, I, P, ... , ¡n, ... ) E 12 y es ortogonal a R(T+ 1 -A.) luego éste es no denso. De aquí {IA.I < 1} e: u,(T+1 ). En cuanto a los IA.I = 1, ya no existe tal w E 12 • Luego Ftu,. Como u es cerrado, {IA.I = 1} e: uc(T+ 1). Ejercicio Calcular u(L 1), usando el teorema 10.13. 11.4. ESPECTRO DE AUTOADJUNTOS EN d(H) Nuevamente sabemos ya que u,=(/). Y ahora localizaremos en lo posible el resto. 226 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Teorema 11.5 A e .91 (H) autoadjunto => { a(A) e R, a.(A) = (/) 1) 2) a(A) e [ inf (v, Av), sup (v, Av)] llvll=l llvll=l Demostración VA.=a+ib, b:;{:O: JI(A-A.)vii 2 =11(A-a)vll 2 +b 2 llvJI 2 ;;¡¡:b 2 llvll 2 (=0 si y sólo si v=O) por lo que 3(A-A.)- 1 acotado en su dominio R(A-A.). Y a.=(/)=>A.ep(A). La localización entre inf y sup de los valores medios es simple consecuencia de lo dicho sobre rango numérico (teorema 10.16) (CQD). Aún puede añadirse una nueva precisión, que en cierto modo ratifica la proposición 10.12. Proposición 11.6 Sea A autoadjunto ed(H), con m= inf (v, Av) y M= sup (v, Av). Entonces llvll=l m, Mea(A). . llvll=l Demostración Haremos explícitamente el caso de M, pues el otro es análogo. Recordando el ejercicio 1 en § 10.1, podemos estudiar el operador B =A- m, todavía autoadjunto en d(H), pero ahora ya con O~(v, Bv)~M -m. Lo cual, gracias al corolario 8.8 permite concluir de 11 B 11 =M- m, que 3 sucesión {vn} 'í', Jlvnll = 1, tal que (vn, Bvn)---+ M -m. Luego: n-+co II(A-M)vnll 2 = JI(B-(M -m))vnll 2 = 11Bvnii 2 -2(M -m) (vn, Bvn)+(M -m) 2 ~ ~2(M -m) 2 -2(M -m)(vn, Bvn) de donde II(A- M)vnll---+ O. Y el corolario 10.6 finaliza la demostración. n-+co (CQD). 11.5. ESPECTRO DE PROYECTORES Una subfamilia importantísima de autoadjuntos acotados son los proyectores P 2 =P=P+ (=proyectores ortogonales). Exceptuados los dos triviales O, 1, cuyos ESPACIOS DE H/LBERT 227 espectros son respectivamente u(O)={O}, u(1)={1}, todos los demás tienen el mismo espectro: Teorema 11.7 Sea Ped(H) un proyector ortogonal no trivial (P 2 =P=P+, 0:;6P:;61). u(P)=up(P)={O, 1} Demostración Sea M el subespacio sobre el que proyecta P. La no trivialidad exige O:;6 M :;6 H. Para cualquier veH, v=v 1 +v 2 , v1 e M, v2 eMl.. Dado leup(P), con Pv=lv, v=;60: Pv=P 2 v=lPv=l 2 v=>l 2 =l=>l=O, l. Y ambos son valores propios, pues PtM=IM, PMl.={O}. Si 0:;6l:;61, leucup. ¡Pero probemos que uc= (/)! ( =0 si y sólo si v=O), que prueba que 3(P-l)- 1 acotado en su dominio. (CQD). 11.6. EJEMPLOS l. Si dim H < oo, todo lo dicho aquí sobre operadores normales se reduce a la teoría usual de matrices normales (Apéndice). 2. Sea el operador Ua definido en U(~) por f(x)-+f(x-a), claramente unitario. No tiene ni u, (por ser unitario), ni uP (porque Uaf =lf => f =0 en U(R)). Probaremos ahora que ue (U a)= {lll = 1}. Según el corolario 10.6, bas- O. tará exhibir una sucesión {fn}f con llfnll = 1, tal que II(Ua-A.)fnlln-+oo Sea l=e-¡8 , Oe R Definamos f(x)=.eill:x:fa. Claramente Ua!= lf, pero ffiL 2 (~). Sean ahora las funciones fn(x)=. ~f(x) X¡-na, +na)· ..¡2na Todas tienen norma l. Y además: (CQD) 3. Q: f(x)eL 2 [a, b]-+xf(x)eL 2 [a, b], autoadjunto acotado como se vio en §8.1. 228 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO De la teoría general se tiene u,(Q)= (/); up(Q)uuc(Q) e [inf, sup]=[a, b]. Es sencillo ver que la única feL 2 tal que (Q-A.)f=O es f=O. Luego up(Q)= (/). Veamos finalmente que uc(Q)=u(Q)=[a, b]. A Dado a<A.<b, sea fn(x)= temente grande para que X¡;.- 11n.H 11" 1 con llfnll = l, 'Vn (n suficien- [A.-~· A.+~] e 1 [a, b]). 1 "J.l.+ñ (x-A.) dx= -"J+ñ y dy= -3 l -----+0. 2 n Entonces II(Q-A.)fnll 2 = -2 2 1 .1.-ñ 2 2 1 - ñ n-+ 00 Ello prueba que A.eu(Q). Y como los extremos son siempre del espectro, [a, b] e u. (CQD). 4. El operador unitario § definido por la transformación de Fourier sobre L 2 (1R), satisface §cpn=( -i)"cp"' siendo {cpn}o las funciones de Hermite (base ortonormal de U(IR)). Al ser unitario u,=(/). Y además {IA.I ~ 1} e p. Quedan los IA.I = l. Pero si A. ::1= 1, - 1, i, - i, llamando d >O a la distancia 00 de A. al conjunto {1, -1, i, -i}, obtenemos para f=LCXnCfJnEL 2 (1R): o (=O si y sólo si f = 0), así que 3 (§-A.)- 1 acotado en su dominio, por igual razonamiento que siempre. Luego tales A. e p. u(!F)=up(!F)={l, -1, i, -i} 12 Espectro y forma canónica de operadores compactos Nota Dado que dim H < oo =>!I'(H)=d(H)=rrl(H) (véase corolario 9.3), tanto la teoría espectral como la forma canónica de los compactos se reduce al caso simple de matrices finitas (véase Apéndice). Por tal razón, supondremos en este capítulo que dim H = oo. 12.1. ESPECTRO DE OPERADORES COMPACTOS El principal objetivo de esta sección es probar que el espectro de cualquier operador (lineal) compacto A consta, aparte de A.= O, únicamente de una colección discreta de valores propios con multiplicidades finitas. Procedamos paso a paso, comenzando con dos lemas de bien distinta dificultad. Lema 12.1 't/Aerrl(H), 'V conjunto ortonormal {en}!" eH => Demostración Lema 12.2 Dados Aerrl(H), O#A.eC, 3k;.>O tal que 't/weR(A-).) admite alguna pre. Imagen {(A-A.)vw=W Vw para la que llvwll ~k;.llwll' Demostración Excesivamente técnica, por lo que la omitimos. Consúltese, por ejemplo [Helmberg]. 230 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Ya estamos en condiciones de dar el lema principal. Lema 12.3 Ae~(H), O~A.eC=> a) R(A- A.) es subespacio lineal cerrado de H. b) A.ep(A)<=>R(A-A.)=H. Demostración a) Escojamos cualquier sucesión de Cauchy {wn}i e R(A-A.), y la correspondiente de preimágenes construidas como en el lema 12.2: {Vw } i. Contiene alguna subsucesión débilmente convergente (§7.3), digamos (vJi. Entonces {Avn} converge fuertemente, por la compacidad de A, luego existe en sentido fuerte lim (Avn-wn) lim AVn= n-oo n-oo Y como A.~O. , siendo wn=(A-A.)vn ello significa que {vn}i es fuertemente convergente. Llamando u= Jim vi se tiene (A-A.)u=lim(A-A.)vi=lim wieR(A-A.). J-00 b) [=>] Evidente, a la vista del criterio 10.4. b) [<=]Sea A.~O tal que R(A-A.)=H (*). 1. 0 ) Veamos primero que dicho A.jup(A). En efecto, si Av=A.v, v~O. podríamos construir por inducción una {vn}o de tal manera que fuese v0 =0 y (A-A.)vn=vn-t• Vn>O. (Basta hacer v 1 =v, y luego usar(*).) Es elemental ver que para Vk> 1 sería {vn}~ l.i. (Hágase como ejercicio.) Por Gram-Schmidt {vn}i.,.{en}i conjunto ortonormal. Para él, es inmediato que (A- A.)en.len, Vn. Luego (en, Aen)=(en, (A-A.+A.)en)=(en, .A.en)=.A.++O, contra el lema 12.1. 2. 0 ) Ahora que ya sabemos que A.jup(A), la conclusión es que para tal A. 3(A-.A.)- 1 ¡con dominio R(A-.A.)=H! Y además acotado por el lema 12.2. Luego .A.ep(A). (CQD). Ahora sí, vamos ya al resultado central. Teorema 12.4 Para i) L valores propios A con IAi>k>O VAe~(H): dimHA(A)< +oo, Vk>O. ESPACIOS DE HILBERT 231 ii) up(A) es a lo sumo numerable, con único punto de acumulación posible en el cero. iii) C-{0} cup(A)up(A). iv) Oe u(A). Demostración i) En caso contrario, podría conseguirse una sucesión ortonormal {en} f de vectores propios de A con autovalores IA.I >k> O. Contra el lema 12.1. ii) Simple consecuencia de i). iii) Si O:FA.eu(A), por el lema 12.3 R(A-A.) ~ H, y por tanto Xeu~A +). Pero de nuevo A+ es compacto, luego el lema 12.3=>R(A +-l.) cerrado y propio en H=>A.eup(A). iv) Cogida cualquier sucesión ortonormal {en}!cH, sabemos que en~O=> Aen...L..o. Y el corolario l0.6=>(CQD). Ejercicio Sean AeCC(H), A.=FO. Entonces A.eup(A)<=>Xeup(A+). [Para A.=O no es cierto en general. Véase ejemplo que sigue.] Corolario 12.5 A eCC(H)=>{u,(A)uuc(A) e {O} u p(A) numerable a lo sumo Debe señalarse que puede ocurrir, en caso extremo, que uP= ([), como en el siguiente ejemplo (que sólo tiene un punto en el espectro, y además residual). ¡Los operadores integrales del tipo Volterra son «muy frecuentemente» de up= ([)! Ejemplo 2 defim1do · como A(oc,, oc2, ... , ocn, ... )= ( O, 2' OCt 3' OC2 Sea Aed(l) OCn-1 ··· ) · ... , -n-, Puede probarse que es compacto (por ejemplo, recurriendo al próximo corolario 12.9). Tiene up= ([) claramente (Oeu,(A)). Obsérvese en este ejemplo que Oeup(A +), pero O~up(A). Esto es posible porque, como es fácil ver, nuestro operador A no es normal. (Recuérdese teorema 11.1.) 232 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 12.2. DESCOMPOSICIÓN ESPECTRAL DE LOS OPERADORES COMPACTOS NORMALES Teorema 12.6 Sea A E ~(H) normal. Sean p.1H(N~ oo) sus valores propios distintos de cero ordenados de manera que IA.d ~ IA. 2 1~ .. · ~ IA.nl ~ ... , :1: A.k si j :1: k. Los proyectores ortogonales Pi sobre los subespacios propios Hi=Hi.;= {vE HIAv = A.iv} tienen rango finito, son ortogonales dos a dos y además: ),i N i) A= "[)iPi , si N< oo (se dice que A es degenerado) 1 oc ii) A= "[)iPi , si N= oo, donde debe entenderse ahora la igualdad en 1 sentido de que la serie converge al A en la topología uniforme de d (H). Concretamente, IIA- *).ipi'' = IA.k+ d~O. [Si A =-0, interpretaremos que 'v'Pi=O.] Demostración Haremos primero el caso autoadjunto (A). Luego pasaremos al normal (N). A;) Sea A=A+ y N<oo. Es fácil ver que H 0 =(H 1 $ ... $HN)l. satisface AH0 eH 0 • Luego el operador restricción A 0 =A tH 0 , compacto aún, sólo puede tener el valor propio cero por construcción. Así pues u(A 0 ) e {0}. Luego, al ser autoadjunto, IIA 0 II =0. Que significa, sencillamente, AH 0 =0. Entonces es claro que si descomponemos 'v'v EH por proyección ortogonal como v=v0 +v 1 + ··· +vN, N viEHi Av= ¿;.iPiv. (CQD). 1 A;;) Sea A=A+ y N=oo. Definiendo H 0 =($Hi)l. se llega como antes a que 1 oc en sentido fuerte Av= ¿A.iPit', 'v'vEH. 1 La pega ahora es que queremos deducir que en sentido de convergencia en a., norma de operadores es A= ¿A.iPi. 1 Ahora bien: 11( A- ~A.iPi)vll 2 = nt/f11Pivll 2 ~A.;+ 1llvll 2 = IIA-~A.jPjii~IA.n+11ro n (CQD> [Para probar la igualdad del enunciado IIA-IA.iPiii=IA.n+ 11, tómese vEHn+ 1.] 1 ESPACIOS DE HILBERT 233 N) Haremos la parte N= oo, pues la otra es trivial frente a ésta. (Basta hacer en ( #) alguna o ambas sumas finitas.) A+A+ A-A+ Sea A normal, así que A= B + ie, donde B = 2 , e= 2¡ son compactos autoadjuntos y Be= eB, por ser A normal. La primera mitad de esta demostración nos permite ya escribir (#) siendo Pj, Pí:, proyectores ortogonales sobre los subespacios Hj=H'¡¡i, respectivamente. Hí:=H~. Denotemos P'0 , P'ó, a los proyectores ortogonales respectivos sobre H~ ={vIBv =O}, H0={vlev=O}; y definamos Po=Yo=O. Por ser Be= e B, es fácil comprobar que Pj P'(. ( = Pí: Pj) es el proyector ortogonal sobre HjnHí: (que puede, ocasionalmente, ser nulo), y que P)Pí: l.PíP;;, si j=l=l o k=l=m. ce Descomponiendo Vv eH como v = L Pí: v: o [12.1] Análogamente se llega a: ev= k~JJ/kPíPí:vJ. de donde usando la ortogonalidad mutua de los Pí entre sí se llega a que ev=(~o Pj)ev= i~Jk~o Pí(Jo YkPíPí:v) ]= j~oL~0 ykP}Pí:v] Y de [12.1] y [12.2]: Av= i~OL~o A.i.kP}Pí:v] [12.2] [12.3] donde A.i.k ={Ji+ iyk, Vj, k~ O. Para aquellos pares de índices (j, k) tales que HjnHk'=i:{O}, los números A.i.keup(A), con subespacio propio H;. =HjnHí:. Ordenando los valores propios A.i.k (no nulos) de A en orden decreciente .l - ce y 11amando Pn a1 proyector ortogona1 so bre H;. • =H;., P0 a1 de H 0 =((f)Hn) , 1 deducimos de [12.3]: 234 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 00 Igual que en la primera parte ello implica A= ~)nPn en la topología uniforme 1 de .9/(H). Falta tan sólo convencerse de que en el anterior procedimiento no ha quedado fuera ningún valor propio de A. 00 En efecto, si Aw=A.w, con A.=FO, w=FO, entonces de LPn= 1 resulta o 00 00 (A-A.)w=(A-A.)LPnW=L(A.n-A.)Pnw=0=>3no tal que A.n.=A. o (CQD) o Corolario 12.7 (Forma canónica de los operadores compactos normales) Para VAe~(H) normal: i) (AH).L={veHIAv=O}, es decir, [R(AW=N(A). ii) AH admite base ortonormal {en}fo;;oo de vectores propios de A con valores propios =F O. iii) H admite base ortonormal de vectores propios de A. iv) Si {enJ es base ortonormal en Hl., A.n=FO, entonces AV=LAn(en,v)en • J J , VveH n,J Nota Otra forma de escribir iv) es Av= Lin(é'"' v)é'n n donde 1'1 , 1'2 , ... , son los anteriores A.i, contado cada uno tantas veces como indique su multiplicidad, y {é'n} un sistema ortonormal de vectores propios, con Aen=lnén. 12.3. FORMA CANÓNICA DE UN COMPACTO ARBITRARIO Para compactos arbitrarios Ae~{H), sigue en pie la descomposición A=B+iC A+A+ A-A+ de antes, con B = 2 , C = 2i , pero ya BC =F CB en general. Solamente ESPACIOS DE H/LBERT 235 puede afirmarse que si entonces ha de ser No obstante lo cual, aún es posible deducir un importante criterio de compacidad, que es en cierto modo una caracterización canónica. Criterio 12.8 (de compacidad) Sea AeJII(H). Ae~(H)<:>3 sucesión {Fn}i de operadores de rango finito tal que IIFn-AII--0. n-+ao Demostración n [=>]Evidente, tomando Fn= n L fJiPj+i L YkPí:. j=l [~J k=l Sabido ya (teorema 9.4), pues ~(H) es cerrado en la topología uniforme. (CQD). Aun cuando este criterio es teóricamente perfecto, resulta a veces más manejable este subproducto suyo: Corolario 12.9 Si TeJII(H) cumple en alguna base ortonormal {ei}i de H sup IITvll--0 n-+ ao t·.Liin{e !~ 11•·11=1 entonces Te~(H). Demostración n Definamos Tne.lii(H) por Tnw=I<ei, w)Tei. Entonces 1 por la hipótesis. Luego 11 T"- Tll-+ O. Usese ahora que los T" son de rango finito. (CQD). Y para cerrar esta sección, he aquí la forma canónica de un compacto no necesariamente normal. 236 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Teorema 12.10 (Forma canónica de compactos arbitrarios) a) Sea {Án} una sucesión tal que Xn~O. n-+ limoo Án=Ü. Sean {é'n}, {é'~} dos sucesiones ortonormales en H. Entonces el operador A: H-+ H definido por Av= ~)n(é'n, v)é'~ es compacto. (*) n b) VA e~ (H) es de la forma (*), para adecuadas sucesiones (no necesariamente bases) ortonormales {é'n}, {é'~}. Los puntos de la sucesión {Án}, más posiblemente el cero, constituyen up(IAI). (La serie en a) converge en norma.) Demostración a) Por el corolario 12.9 se tiene Ae~(H), con A+v=IXn<e~, v)é'n, VveH. n En consecuencia, es fácil probar que IAiv=(A + A) 112 v= ¿Xn(é'"' v)é'n [12.5] n b) Sea A= 'W1Aila descomposición polar de A. Sea {Xn} la sucesión obtenida de u p(IAI)- {O} por ordenación en módulos decrecientes de sus elementos, repetidos cada uno tantas veces como indique su multiplicidad dim H;. (!Al). Por ser IAI normal compacto, el corolario 12.7 implica la existencia de alguna sucesión {é'n} que verifica [12.5]. Luego denotando é'~ = Wé'"' obtenemos: Av= 'W1AI V= LÁn(é'n, v) é'~ n Además, como W es isométrico sobre el recorrido de IAI, y {é'n} es ortonormal, también {é'~} es ortonormal. (CQD). 12.4. TRIANGULACIÓN DE OPERADORES COMPACTOS Hemos visto en el teorema de forma canónica que todo operador compacto normal es diagonalizable, un resultado que encaja perfectamente con el correspondiente para matrices finitas, donde ~(IC") =~(IC"). Ahora bien, puesto que en dimensión finita toda matriz (normal o no) es al menos triangulable, cabe preguntarse si algo análogo ocurre con los operadores ESPACIOS DE HILBERT 237 compactos en dimensión oo. En esta sección se resumen varios resultados al respecto. Omitiremos las demostraciones (véase [Ringrose]). Sería conveniente que en cada afirmación que sigue, el lector comparara su contenido con el ejemplo sencillo de alguna matriz n x n finita. Teorema 12.11 (Aronszajn y Smith, 1954) Todo A E'C(H) deja invariante algún subespacio lineal cerrado propio de H. En el conjunto Sc(H) de subespacios lineales cerrados en H, bajo relación de inclusión, toda colección totalmente ordenada se llama una cadena de subespacios. Si todos los subespacios de una cadena son invariantes bajo A, diremos que es una cadena A-invariante. Es fácil convencerse mediante el lema de Zorn que toda cadena (resp. invariante) está contenida en una cadena maximal (resp. invariante maximal). Una cadena Ce Sc(H) se dice simple si: i) {O}EC, HEC. ii) n M E C, MeC' U M E C, 'V subcolección C' e C MeC' iii) 'VMEC=>dim MJM_ ~l. con M_:: U N. NeC N~M Puede ocurrir que M_ =M, cosa sin análogo en dimensión finita. Cuando 'V M E C sea M_ =M, diremos que la cadena C es una cadena continua. La existencia de cadenas A-invariantes no triviales para A E'C(H) la garantiza el teorema de Aronszajn y Smith. Teorema 12.12 Una cadena es maximal si y sólo si es simple. Teorema 12.13 Sea A E'C(H) y Ce Sc(H) una cadena A-invariante. Son equivalentes: a) C es maximal. b) C es simple. e) C es A-invariante maximal. Corolario 12.14 A E 'C(H) => 3 cadena simple A-invariante CA (no única en general). 238 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Fijemos en lo que sigue una CA· l. 0 ) Supongamos que para M E eA se tenga M- =F M. Entonces dim M 1M- = l. Sea wMeM8M_, llwMII=I. Entonces AwM=aMwM+vM, aeC, vMeM _.Y el número aM=(wM, AwM) no depende del wM escogido en M M-. Llamaremos al a M coeficiente diagonal de A en M. 0 2. ) Cuando M_= M, tomaremos por definición aM =0. Por multiplicidad diagonal de a M entendemos el cardinal de {M' E CAl aM.=aM}· e Teorema 12.15 VA ect'(H): a) n O=FA.eu(A) } • O =M= LeCA, y ademas aM=A., veMGM1 Av=~~.v, v=F LeCA veL e) Multiplicidad diagonal= Multiplicidad de valor propio, 'v'O =FA. E a(A). d) A deja invariante una cadena CA continua=u(A)={O}. e) u(A)={O}<=>AMeM_, 'v'MeCA. Ejemplos l. Ae!f'(F) dado por (a 1, a 2, ... , an, ... )-+(a 1 , a 2/2, ... , anfn, ... ) Una cadena CA del tipo indicado es trivialmente: {O} e Iin{e¡} e Iin{e 1 , e2} e ... e lin{eiH e .... Es cadena discreta, y la asociada triangulación no 1 -, 1 ... , -, 1 ... , sobre . 1a matnz . m . fimita . d'1agona1 con e1ementos 1, -, es smo 2 3 n dicha diagonal. u(A)--------~)~(~~~(~)(~~~)~(~)(~----~>~<--------- o 1 3 1 2 1 (No es dificil construir otros «discretos» no diagonales.) 2. Un ejemplo muy interesante de operadores compactos con u={O}, y por ESPACIOS DE HILBERT 239 tanto sin valores propios #0, lo proporcionan las ecuaciones integrales de Volterra. Sea el operador V,. definido en U [0, 1] por f(x)-+(V,J)(x)= J: h(x, y)f(y)dy t h(x, y)=O si { donde h(.,.) es medible Borel y además 1 dx x<y J:lh(x, yWdy< 00 Es un operador compacto (más aún, Hilbert-Schmidt) con u= {O}. Basta, según d), exhibir una cadena continua de subespacios de L 2[0, 1] invariantes bajo V,.. Definamos M(A.):={feL 2[0, 1]: sop fe [A., 1]}, A.e[O, 1]. Claramente, la cadena {M{).)} .<e[o. 11 es V,.-invariante. Además, tiene las siguientes propiedades: i) A. 1 <A. 2 ~M(A. 1 ) ~ M(A.2). ii) Para cualquier parte no vacía S e [0, 1], con cx.=inf S, P.=sup S, se tiene M(cx.>=UM(A.) , M(P.>=nM(A.) .<es .<eS iii) (M._)_= M._, 'v' A. e [0, 1]. ¡La cadena es continua y simple! Corolario 12.16 u(Volterra V,.)= {O} Nota Resulta bastante sorprendente la posibilidad de encontrar en un Hilbert separable de dimensión infinita, cadenas continuas de subespacios lineales cerrados. Otra faceta de la misma situación es este ejercicio, del que, como indica Halmos (y hemos podido comprobar), aunque hay muchas soluciones, psicológicamente aparece como única. Ejercicio Dar un ejemplo de arco continuo y: [0, l]-+L 2[0, 1] tal que: [y(b) -y(a)].l[y(d) -y(c)], 'v'O~a<b<c<d~ [Una posible solución: y(t)=x10.,1eL 2[0, 1].] 1 13 Introducción a las ecuaciones integrales 13.1. OPERADORES INTEGRALES. GENERALIDADES Denotemos por Q e IR un intervalo finito o infinito (en particular puede ser Q =IR). Estamos interesados en operadores lineales definidos en L 2 (Q) como transformaciones integrales. Definición 13.1 Diremos que una función k(x, y), medible Borel sobre Q x Q, es un núcleo integral admisible en L 2 (o simplemente núcleo), si Propiedades elementales de los núcleos l. La aplicación feL 2 (Q)~ (Kf) (x)= L k(x, y)f(y)dy es un operador lineal acotado sobre L 2 (Q). Se dice que k(x, y) es el núcleo del operador integral Ked(U(Q)). 2. Sean K 1 , K 2 , los operadores lineales definidos por núcleos k 1 (x,y), k 2 (x,y) respectivamente. Entonces c.d.enQxQ 3. Dados dos núcleos k 1 , k 2 , también es un núcleo la función Concretamente, es el núcleo del operador integral K 3 =K 1 K 2 • 4. Sea k un núcleo. Entonces las funciones kn definidas por recurrencia como: 242 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO kn(X, y)= L k(x, t)kn-1 (t, y)dt , k 1(x, y)= k(x, y) son núcleos correspondientes a los operadores Kn respectivamente. Es decir, que (Knf) (x)= L kn(X, y)f(y)dy , feU(O.) Los kn(x, y) se llaman núcleos iterados del k. 5. Si K tiene por núcleo k(x, y), su adjunto K+ tiene por núcleo k+(x, y)= k(y, x). (En particular, K autoadjunto si y sólo si su núcleo es simétrico, es decir, tal que k(x, y)=k(y, x).) 6. i) K autoadjunto ;;;;¡:O=> ( k(x, y)dx dy ;;;;¡:O, 'V intervalo acotado 0.' e 0.. Jn·xn· ii) K autoajunto;;;¡:O } => k( X, . k(x, y) contmua en 'V punto (x, x)eO. x O. X ) ;;;;¡: 0, "'vXEu n Demostración l. Dadas f, geL 2 (0.), por el teorema de Fubini (véase §3.8) y el corolario en §3.9: Lxnlk(x, y)g(x)f(y)ldxdy= L[Lik(x, y)f(y)ldy }g(x)ldx< oo => 3Lxn k(x, y)f(y)g(x)dxdy= L[L k(x, y)f(y)dyJg(x)dx Luego §7.5=>(Kf) (.)=J0 k(.,y)f(y)dyeU(O.). La aplicación f -+Kf así definida es obviamente lineal. Además K es cerrado, porque si una sucesión Un}'?-+ fes tal que {Kfn}'? -+h, tendremos 'VgeL 2 (0.): r h(x)g(x)dx= n-ooo lim r [ r k(x. y)fn(y)dy]g(x)dx= Jn Jn Jn = J~DJ, Lfn(Y>[L k(x, y)g(x)dx Jdy= Lf(y>[L k(x, y)g(x)dx Jdy= = L[L k(x, y)f(y)dy Jg(x)dx De donde concluimos que (h-Kf)l.U(O.), luego h=Kf y K es cerrado. El teorema del gráfico cerrado (§ 7.5) =>K e d (L 2 (O.)). ESPACIOS DE HILBERT 243 2. Sencillo ejercicio. 3. Véase [Zaanen]. 4. Corolario inmediato de la anterior. 5. (K+ f, g)=(f, Kg)= LJ<x>[fn k(x, y)g(y)dyJdx= f(x)k (x, y)g(y)dx dy= [ = [ Jnxn Jnxn e (y, x)f(x)g(y)dx dy (de nuevo por Fubini) Luego (K+ f) (y)= 6. te (y, x)f(x)dx. i) [ k(x, y)dxdy= [ k(x, Y)Xn·(x)xn·(y)dxdy=(xn·. Kxn·);;;¡::O Jn· xn· Jn· xn· ii) Si además k(x, y) es continua sobre la diagonal de n x n, un simple argumento de continuidad, junto con la condición K =K+, implica que k(x, x)e~. 'v'xen. Si 3x0 eQ tal que k(x 0 , x 0 )<0, por continuidad Re k(x, y) sería negativo en un entorno Q' x Q' finito de (x 0 , x 0 ). Como K=K+, L·xn·k(x, y)dxdy= t.xn·Rek(x, y)dxdy<O contra 6. i). (CQD). Definición 13.2 Dado un núcleo k(x, y) admisible en U(Q), denotaremos lk(x, y)f(y)g(x)ldxdy lllklll=sup [ Jnxn donde f, geL 2 (Q) con 11/11 ~ 1, llgll ~ 1, arbitrarios por lo demás. Dicho supremo es finito porque lkl también es admisible en L 2 (Q). Es fácil convencerse de que la aplicación definida sobre el conjunto .Kn de los núcleos admisibles en L 2 (Q) por k e%0 -+lllkllle ~ es una norma sobre .Kn· 244 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Proposición 13.3 (%0 , 111·111) es un espacio de Banach. Demostración Véase [Zaanen]. Ejercicio Sean K, K 11 , Kj¡ k(x, y), lk(x, i) ii) y)l, lk,(x, los operadores integrales con núcleos respectivos y)l. Probar que IIKII ~ IIK 11 1 =lllklll· IIKil 1 ~ IIK ull". 13.2. ECUACIONES INTEGRALES DE TIPO COMPACTO Una familia particularmente importante de núcleos, tanto por su frecuente aparición en Física como por admitir tratamiento a base de técnicas muy ligadas a la teoría general de operadores lineales, la constituye la que entra en el marco de la siguiente definición: Definición 13.4 Sea K un operador integral en H=U(O.) con núcleo k(x, y). Si 3 algún entero n>O tal que K"ef(I(H), diremos que K es un operador integral de tipo compacto («no singular» en la terminología de [Zaanen]). En particular, si n= 1 el operador K es compacto. Un ejemplo de especial interés nos lo ofrece el siguiente: Lema 13.5 Sea K definido por un núcleo k(x, y) e U(O. x 0.). Entonces K ef(i 2 (L2 (0.)). Demostración Véase §9.2. Definición 13.6 Un núcleo k(x, y) se dirá Hilbert-Schmidt sobre O. si k(x, y)eL 2 (0.xO.). Conviene señalar que, de hecho, el ejemplo precedente es exhaustivo, en el sentido de que: 245 ESPACIOS DE HILBERT Proposición 13.7 Para un operador lineal K Ed(L 2 (0)), la siguientes propiedades son equivalentes: a) K E~ 2 (U(O)). b) K es un operador integral definido por un núcleo Hilbert-Schmidt k(x, y). Demostración Falta sólo por ver [a=>b]. Supongamos que K es de tipo Hilbert-Schmidt, es decir, que en alguna base ortonormal {fPn}i de L 2 (0) es IIKII~= Ll(fPm• KfPn)l 2 <oo. m.n Definiendo kii=(fP¡, KqJi), vemos que al ser Llkiil <oo, la serie LkiifP¡(x)qii(Y) 2 Li converge en U(O x O) a una cierta función k(x, y). Vamos a probar que K: /EL2 (0)-+(Kf) (x)=. Li In k(x, y)f(y)dyEU(O) coinci- de con el operador K. En efecto, basta comprobar que Vi, j: ((/)¡, K(/)j) = r Jnxn 00 L = k(x, y)qJ¡(X) (/)j(y)dx dy= (fP¡(X)(/)j(y), k(x, y))= -- --- k,m(fP¡(X)(/)j(y), (/)¡(X)fPm(Y)}=kij=(qJ¡, K(/)j) (CQD) l.m=l Terminología Dado un operador integral de tipo compacto K, con núcleo k(x, y), llamaremos respectivamente a In k(x, y)f(y)dy=g(x) Ecuación integral lineal de 1.• clase [13.1] In k(x, y)f(y)dy-).f(x)=g(x) Ecuación integral lineal de 2.• clase [13.2] fn k(x, y)f(y)dy-l.f(x)=O Ecuación integral homogénea (13.3) donde se parte del dato gEL2 (0), y se pretende hallar alguna solución fE L2 (0). Nótese que tales ecuaciones no son sino: (K-l)f=g con 1.=0 (J.• clase), o con g=O (homogénea) o sin restricción (2.• clase). Las ecuaciones integrales precedentes se llaman de Fredholm. (*] 246 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Esas ecuaciones se dicen de Volterra, y diremos que el k(x, y) asociado es un núcleo de tipo Volterra si es k(x, y)=O siempre que x<y. (Son, pues, un caso particular de las de Fredholm.) ~ecuaciones correspondientes al operador adjunto K+ con núcleo e(x, y)= k(y, x), se llaman ecuaciones adjuntas de las [*]. La relación de todas estas ecuaciones integrales con cuestiones referentes a recorridos y espectros de los operadores K, K+, salta a la vista. Nota Mientras no se diga lo contrario explícitamente, todas las ecuaciones integrales que aparezcan en lo que sigue son lineales, y de ahí que omitamos para abreviar el adjetivo «lineal» al referirnos a ellas. 13.3 ECUACIONES INTEGRALES Y ECUACIONES DIFERENCIALES Antes de entrar en el estudio de las ecuaciones integrales, puede resultar conveniente aclarar que su estudio puede no sólo ayudar a resolver problemas concretos en los que la cuestión venga planteada directamente por una tal ecuación integral, sino incluso que en ocasiones puede interesar convertir una ecuación diferencial en una ecuación integral equivalente, con la ventaja de que la ecuación integral, aparte de incluir ya en sí misma las condiciones de contorno, maneja un operador acotado (incluso compacto), mientras el operador diferencial era no acotado. De manera que es más fácil, en general, echar mano de los resultados conocidos sobre operadores compactos. Para dar una idea de este procedimiento, valgan los siguientes ejemplos: l. Problemas de valores iniciales (Cauchy)-+ Ecuaciones de Volterra Dadas tres funciones suficientemente regulares cx(x), P(x), g(x), sobre [a, b], consideremos el problema: { . f"+cxf'+Pf=g } f(a)=k 0 , f'(a)=k 1 [13.4] Integrando desde a hasta x obtenemos, tras usar los datos iniciales de f y f', en el punto a: f'(x)-k 1 = -cx(x)f(x)-1x[p(t)-cx'(t)]f(t)dt+ J: g(t)dt+cx(a)k 0 Una nueva integración desde a hasta x da como resultado: ESPACIOS DE H/LBERT f(x)= 247 -J."' oc(y)f(y)dy- J."' dyJ: [p(t)-a'(t)}f(t)dt +J."' dyJ: g(t)dt + +[oc(a)k 0 +kd (x-a)+k 0 Utilizando la identidad: y llamando { J."'dyJ: F(t)dt= J."'(x-x')F(x')dx' go(x)=f"' (x-x')g(x')dx' +[oc(a)k 0 +kd (x-a)+ko} " k(x, y)= -oc(y)-(x- y) [p(y)-oc'(y)] queda finalmente: f(x)- J."' k(x, y)f(y)dy=g (x) 0 [13.5] que es de tipo Volterra y de 2.• clase. Ejercicios f de [13.5] es solución de [13.4], supuestas adecuadas condiciones de regularidad para los coeficientes oc, p, g. J. Pruébese, por derivaciones, que toda solución 2. Utilizando la identidad general válida para cualquier F continua sobre [a, b}, pruébese que el problema de valores iniciales puede reducirse a la ecuación integral de Volterra de segunda clase [13.5] donde ahora: g0 (x)=g(x)-k,_ 1a 1(x)-[(x-a)k,_ 1+k,_ 2 )oc 2 (x)- ···-{[(x-a)"- 1/(n-l)!]k,_ 1 + ··· +(x-a)k 1+k 0 }oc,.(x) ,. k(x, y)=y(x)= f .L oci(x) J=1 (x-y)i-1 (j-l)' • "'(x-t)"- 1 n- 1 (x-t)i ( -l)' f(t)dt+ -ki ,. n . J.1 1 =o .L -. 248 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 2. Problemas de contorno -+ Ecuaciones de Fredholm !" +a(x)f' + P(x)f =g(x)} Para el problema de contorno { f(a)=ka, f(b)=k, en [a, b] integrando desde a hasta x, y usando las condiciones de contorno, se obtiene: f'(x)=c+ 1'~ g(t)dt-a(x)f(x)+ J:[a'(t)-P(t)]f(t)dt [13.6] Una nueva integración de la expresión [13.6] tomada en el punto y, desde a hasta x, permite escribir: f(x)-ka=c(x-a)+ f~ dyf: g(t)dt-Lx a(y)f(y)dy+ Lx dyf:[a'(t)-P(t)]f(t)dt Por la misma identidad usada en el apartado último: f(x) -ka =c(x-a)+ Lx (x-t)g(t)dt-Lx [a(t)-(x- t){a'(t)- P(t)}]f(t)dt [13.7] Haciendo ahora x = b en [13. 7], podemos calcular la constante de integración e, forzando a que f(b)=k,. Sustituido ese valor de e en [13.7] se llega a la ecuación integral de tipo Fredholm: f(x)-L" k(x, y)f(y)dy=g0 (x) donde go(x)=ka+ Lx (x-t)g(t)dt+ _ k(x, Y)= { ~=:[k,-ka-L" (b-t)g(t)dt] x-a b-a[a(y)-(b-y){a'(y)-p(y)}] , si x<y b x-b ( ) [ '( )-P( )](y-a) (x- ) b-arx y+ a y y (b-a) , si x> y 13.4. PROPIEDADES ESPECTRALES DE LOS OPERADORES INTEGRALES DE TIPO COMPACTO Consideraremos en esta sección el caso de aquellos operadores acotados K tales que para algún entero p~ 1 es KPef6'(L 2 (0)). Aun cuando sólo se ha analizado en detalle anteriormente (véase Capítulo 12) el espectro de los operadores compactos, es decir, el caso particular p = 1, puede probarse que las mismas propiedades de los ESPACIOS DE HILBERT 249 compactos son compartidas por estos otros operadores una de cuyas potencias KP es compacto, a los que englobamos bajo el nombre genérico de operadores de tipo compacto. Concretamente, se demuestra [Zaanen]: i) u p(K) es a lo sumo numerable, con único punto de acumulación posible en A.=O. ii) O#= A. e u p(K) ::;.la multiplicidad de A. como valor propio de K es finita. En otras palabras (véase§ 10.1) dim H;.(K)< oo. iii) Sea A.:;i:O. Entonces A.eup(K)up(K). iv) A.:;i:O:::;.dim H;.(K)=dim H;:(K+). La teoría espectral desarrollada en el Capítulo 12 para los operadores compactos y extendida tal como se acaba de indicar a los de tipo compacto, permite concluir inmediatamente el siguiente resultado sobre las soluciones de [13.2] y de su ecuación adjunta (K+ -I)f=g, que notaremos [13.2+]. Teorema 13.8 (de la alternativa) Sea K un operador integral de tipo compacto. Entonces, dado A.#= 0: A) A.eup(K)up(K). Y A.ep(K) si y sólo si Iep(K+). B) Si A.ep(K), las ecuaciones [13.2], [13.2+] admiten solución única feU(O.), VgeU(O.). A saber f= (K -A.)- 1 g, f=(K + -I)- 1 g, respectivamente. C) Si A.euP(K), con dim H;.(K)=d (finita), la ecuación homogénea [13.3] tiene d soluciones l.i. en U(O.). Y el mismo número de soluciones l.i. tiene la [13.3+] con I, es decir, (K+ -[)f=O. D) La ecuación [13.2] admite solución feU(O.), para una geL2 (0.) dada, si y sólo si g.lKer(K+ -I), es decir Y en tal caso, la solución de [13.2] queda determinada salvo una combinación lineal arbitraria de funciones en H;. (K). 13.5 NÚCLEO RESOLVENTE Del apartado B) en el teorema anterior deducimos que hay un operador (K- A.)- 1 que nos permite calcular la solución (única) correspondiente a cada geL2 (0.), en el caso de ser O:;i:A.ep(K). Es interesante la cuestión más o menos natural de si tal operador será un operador integral definido por un núcleo adecuado. A tal efecto conviene enunciar aquí la siguiente: 250 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Proposición 13.9 Sea K un operador integral de tipo compacto, y sea A. e C tal que IA.I > 11 K 11 11. Entonces: siendo r A= -K (K- A.)- 1 = -(K- A.)- 1 K un operador integral de tipo compacto. Demostración Utilizando el ejercicio en § 13.1 y la serie de Neumann deducimos de: ~f IIKull" lll1-~k"lll~~lllknlll A." .,.. 1- IA."I .... 1- IA.I" que r A=~~: viene dado por una serie de núcleos convergentes en la norma 111·111. Luego, por ser completo el espacio de los núcleos (véase Proposición 13.3) se sigue que r A es un operador integral. Pero además r A es de tipo compacto, por ser producto de K (tipo compacto) por un operador acotado (K- A.)- 1 que conmuta con K. (CQD). Definición 13.10 Al núcleo rA(x, y) del operador rA, se le llama núcleo resolvente de K. Nótese que aun cuando tal denominación aparece lógica dentro del anterior esquema, hay una incoherencia patente entre ella y la usual de llamar a (K- A.)- 1 operador resolvente del K. Efectivamente, no es (K -A.)- 1 el operador definido por el núcleo r A(x, y), sino el operador -K (K- A.)- 1 • 13.6. RESOLUCIÓN DEL CASO DEGENERADO Como ejemplo sencillo de cálculo explícito del núcleo resolvente y como preámbulo a la teoría general de Fredholm, consideremos la ecuación integral de Fredholm de segunda clase con núcleo m k(x, y)= Lai(x)ój(y) [13.8] 1 donde se supone implícitamente que las funciones {aiH son l.i. y están en L2 (Q), ESPACIOS DE HILBERT 251 así como las {b¡}7. Los núcleos que pueden escribirse como suma finita del tipo [13.8] se dicen aegenerados. Queremos resolver la siguiente ecuación en Q =[a, b], intervalo finito: Lai(x) n J" 1 Si denotamos ci= ~(y)f(y)dy-).f(x)=g(x) [13.9] " f.." fii(Y)f(y)dy, constantes por ahora desconocidas, la ecuación [13.9] se reduce a: n [13.10] ¿ckak(x)- ).j(x) =g(x) 1 Nuestro problema ahora es calcular los ci que verifiquen [13.9]. Multiplicando escalarmente por bi, obtenemos un sistema lineal ordinario: n [13.11] ).ci- ¿aikck= -gi 1 donde aik= f.." ~(t)ak(t)dt , gi= f.." fii(t)g(t)dt. Su determinante es: A-a 11 -a21 -a u ).-a22 -a2n -an1 -an2 ),-ann -a1n D().)= Es un polinomio de grado n en )., no idénticamente nulo. Es claro que aquellos ). tales que D().)=O son precisamente los de up(K). (D().):;60=>3 solución única de [13.11]. Mientras que D(A)=O=> o 3 infinitas o~ ninguna.) Una vez calculados los ci gracias al sistema algebraico ordinario [13.11], basta meter sus valores en [13.10] para obtener la f(x) deseada. Ejemplo 1 Resolver la ecuación de Fredholm: J 1 0 xy(x+ y)f(y)dy-).f(x)=x, es decir, 2 g(x)=xeL2 [0, 1], k(x, y)=Lai(x)bi(y), con a 1 (x)=x 2 , a 2(x)=x, b 1 (y)=y, 1 b2(y)=y2. L Sean pues c 1 = 1 L tf(t)dt, c2 = 1 t 2f(t)dt. El sistema [13.11] es sencillamente: 252 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO (l-~)c 1 -~c2= -~ -~c1+(l-~)c2= -~ . l .. SOl 60l + 1 . que t1ene por so uc10n: c 1= - 240 A2 _ 120A_ 1 , c2= - 240 A2 _ 120A_ 1 que sustl. .. tmdas en [13.10] dan como soluc10n: f(x)=- 2 + 60lx + x ¡1 [80).x 240 A2_ 120l-l J +x · Ejemplo 2 Calcular el núcleo resolvente de la ecuación de Fredholm L 1 (x+ y)f(x)dy-lf(x)=g(x) Llamando a 1(x)=x, a 2(x)=1, b1(y)=1, b2(y)=y se tiene a 21 = ~. a 11 =a 22 =~, a 12 =1, Se llega al sistema algebraico: cuyo determinante es D(l)=l 2-l- 112 . Un sencillo cálculo muestra que Luego sustituidos en [13.10] resulta: ( 1) 1 lxy+ l-2 (x+y)+3 1 g(y)dy- ¡g(x) 1) f(x)~- J 0 ( l l [13.12] 2 -l-- 12 que ahora nos expresa f como «dato» de una ecuación integral con «incógnita» g. Hemos invertido, pues, la ecuación integral inicial. De hecho, [13.12] no es sino ESPACIOS DE HILBERT f=- 253 ~(1 +rA)g, que comparada con la forma explícita obtenida, significa que el núcleo resolvente es: r ( A X, )- 12xy+(l2A.-6)(x+ y)+4 y 12..P-12A.-l Nótese que hemos llegado a obtener una expresión funcional para rA(x, y) independiente de que IA.I>IIK 11 11. Y que rA(x, y) es función analítica de A., excepto en los A. tales que D(A.)=O, es decir, fuera de los puntos de up(K). Más adelante se comprenderá mejor el porqué de este resultado de validez tan general en cuanto a valores de A. se refiere. 13.7. MÉTODO ITERATIVO (SERIE DE NEUMANN) Antes de pasar a la generalización para núcleos arbitrarios (no degenerados) del método de «determinantes», expuesto en la sección anterior, vamos a volver de nuevo a la serie de Neumann (teorema 10.9), como procedimiento práctico de hallar el núcleo resolvente, y por consiguiente de resolver una ecuación integral. Ello nos permitirá, además, darnos cuenta de las limitaciones de este método, y se verá a continuación complementado por el de Fredholm (próxima sección). Consideremos formalmente la ecuación (K- A.)f = g en L 2 (0), con K un operador integral de tipo compacto. Entonces f=(K-A.)- 1 g, siempre que A.ep(K). Ahora bien, sabemos por § 10.2 que si IA.I > 11 K 11 entonces 1 oo K" que comparada con f= -¡(l+rA)g nos dice que rA=~]ñ· Concretamente, la serie de Neumann es convergente 'v' IA.I > 11 K 11; luego si IA.I > 11 K 11 11, r A es un operador integral y su núcleo, núcleo resolvente, puede escribirse: r ( A X, Y )= fkn(X, y) f A_n [N) donde kn(x, y) es el n-ésimo núcleo iterado de K, es decir, el núcleo de K" (recordar§ 13.1). La idea a que corresponde tal serie [N] es la de aproximaciones sucesivas de la solución de acuerdo al siguiente proceso de iteración: 254 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO i) En la ecuación fo(x)=- L k(x, y)f(y)dy-A.f(x)=g(x) se introduce bajo la integral ~g(x) como aproximación de partida. ii) Ello nos da una segunda aproximación 1 1 [ /1(x)=- ¡g(x)- ).2 Jn k(x, y)g(y)dy que vuelve a ser sustituida bajo la integral. iii) Se obtiene así otra nueva aproximación / 2(x)=- ~g(x)- } 2 L k(x, y)g(y)dy- ~ Lfn k(x, y)k(y, z)g(z)dydz Procediendo así se llega a la expresión formal [N], cuya convergencia en d(H) asegura el citado teorema 10.9. Ejemplo 3 Resuélvase la ecuación L~-y 1 f(y)dy-A.f(x)=g(x). La iteración es trivial en este caso, pues: k 1 (x, y)=e"- 1 k2(x, y)= L~-~e'- 1dt=e"- 1 1 Luego la serie de Neumann nos da como núcleo resolvente de la ecuación: siendo la solución general: g(x) f(x)= - [ 1 T - Jo e"- 1 A.(A.-l)g(y)dy ESPACIOS DE HILBERT 255 Nota Este ejemplo ilustra claramente el principal inconveniente de la serie de Neumann, a saber, que mientras sólo da una condición suficiente IA.I > IIKII para su convergencia, no es desde luego necesaria. Claramente se ve que la culpa de que en este caso el núcleo resolvente encuentre un obstáculo en IA.I = 1 para su convergencia, es del valor propio A.= 1 (función propia ~). Pero, por lo demás, es claro que si O~A.~ 1 la fórmula aquí obtenida para r.~,(x, y) es válida. Ejemplo 4 Resolver la ecuación de Volterra k(x, y)=x-y, A.=l, g(x)=x+l. J: k(x, y)f(y)dy-A.f(x)=g(x), cuando (x- y)ln-1 Es fácil calcular kn(x, y)= (2n-l)! , de manera que r 1 (x, y)=sh(x-y). Por tanto, f(x)= -(x+ 1)- J: (y+ l)sh(x-y)dy= -~. Aplicación En teoría de la difusión en Mecánica Cuántica se llega a una ecuación integral para la función de ondas t/J(r) proveniente de hacer incidir una onda plana e~·r sobre un potencial V(r), del tipo: t/l(r)+ i eiklr-1'1 R,47tlr- r , 1 V(r')t/J(r')dr'=e~· 1 [13.13] en unidades 2m= li = 1, y con k= lkl. El término inhomogéneo de esta ecuación integral no pertenece a L2 (1R 3 ), por lo que tal ecuación cae fuera de la teoría general expuesta en este capítulo. Una forma de soslayar esta dificultad para potenciales V(r)EL 2 nL 1 (R 3 ), consiste en introducir unas nuevas funciones x(r)=IV(r)l 112 t/l(r), x0 (r)=IV(r)l 112 eii<· 1 , para las que la ecuación integral anterior se reescribe: x(r) + l K (r, JR, r')x(r')dr' = Xo(r) [13.14] Por ser V EL 1 , Xo EL 2 • Y además puede probarse [Reed y Simon] que si V EL 2 nL 1 el operador integral determinado por el núcleo K(r, r') es Hilbert-Schmidt. Supuesto que el potencial V sea suficientemente débil (concretamente siempre que 256 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 11 VIl~ 11 Vll 1 < 32 ~) estamos en la zona de convergencia de la serie de Neumann 3y3 para la ecuacion [13.13], y en consecuencia el proceso iterativo converge. Conocida una solución x(r) de [13.14], la función 1/J(r)=.e~·'- i iklr-1'1 e R,4nlr- r , V(r') 112 x(r')dr' [13.15] 1 satisface c.d. la ecuación integral. Se denomina aproximación de Born para 1/J(r), lo que se obtiene haciendo x=xo en el segundo miembro de [13.15]. 13.8. EL MÉTODO DE LOS DETERMINANTES DE FREDHOLM Para resolver las ecuaciones del tipo Lb k(x, y)f(y)dy-A.f(x)=g(x) sin recu- rrir a la serie de Neumann, y con la consiguiente ventaja, respecto de la zona de aplicabilidad en el plano A., l. Fredholm ( 1866-1927) partió de la siguiente idea (supongamos [a, b] finito por sencillez en esta explicación): Partamos el intervalo en n subintervalos iguales con a= x 0 < x 1 < ··· < xn = b, xi=a+jb, b=. b-a. Entonces la fórmula aproximada n Tomando esta fórmula aproximada en los puntos x 1, obtenemos un sistema de ecuaciones algebraicas ordinarias: donde fi=f(xi), g1=.g(x1), kli=k(x 1, xi). La resolución de este sistema permitiría obtener puntos de interpolación para la función f(x). La idea de Fredholm fue resolver la ecuación integral inicial como «límite» de sistemas de este tipo. Ello le llevó a considerar determinantes de matrices n x n(n= 1, 2, ... ),y de ahí el nombre del método, cuya convergencia fue probada por Fredholm, Hilbert y Carleman, esencialmente. Teorema 13.11 (Fredholm, 1903; Hilbert, 1904; Carleman, 1921; Smithies, 1941) Sea O un intervalo (finito o infinito) de IR, y sea k(x, y) un núcleo de tipo Hilbert-Schmidt. Dada geL2 (0), la ecuación de Fredholm ESPACIOS DE HJLBERT 257 In k(x, y)f(y)dy-A.f(x)=g(x) tiene para todo A. no nulo tal que D(A.)=FO una solución única, a saber: donde rA(x, y)= D(~,(~~ A.) es una función meromorfa de A. en C-{0}, c.d. en x, y, con polos únicamente en los puntos del u (K). Como operador, rA es de tipo Hilbert-Schmidt, analítico para 'v'A.eC-{of-up(K). En particular, la ecuación homogénea (g::O) tiene por solución única f=O, si D(A.)=FO. Notaciones <X> D(x, y; A.)= L Dp(x, y) p=O ( -A.)-p 1 p. Do= K, Dp=L1pK-pKDp-1 } • J' · donde se defimen: { A _ 1 A _ (KD ) . Mas exp 1c1tamente: u 0p- 1 , Llp+ 1 - - p tr D0 (x, y)::k(x, y) , Dp(x, y)::L1pk(x, y)-pf0 k(x, t)Dp- 1(t, y)dt ao=l • ap+1=-pfnk<x.y)Dp-1(y,x)dydx. p=l,2, ... D(x, y; A.), D(A.) son funciones holomorfas de A. para A.=FO. Nota Si el intervalo es finito y el núcleo k(x, y) es continuo (caso tratado originalmente por l. Fredholm), el núcleo resolvente r A puede escribirse también como sigue: r ( A X, d(x. y; A.>= f p=O )- d(x, y; A.) Y - d()..) f dp(x. Y>< -A.rP • d(A.)=A. ~p <-A.rP p. p=O p. 258 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO con leyes de recurrencia dadas mediante: Nota Puede ampliarse, en forma bastante similar, este resultado a conjuntos medibles arbitrarios n e: R Véase a este respecto [Zaanen]. La razón histórica de la denominación del método presentado de «método de los determinantes de Fredholm» se debe a que los coeficientes de las series en el numerador y denominados del núcleo resolvente en el caso tratado por Fredholm, vienen dados explícitamente por integración de determinantes: k(x, y) ( k(x 1 , y) dp(x, y)= det : k(xp, y) k(x, xp) ) ... k(x~,xp) J ··· k(xp, xp) Observación práctica Debe señalarse que de las expresiones precedentes se deduce el hecho de que en cuanto uno de los Di sea nulo, es decir, Di(x, y):=O, automáticamente todos los D"(x, y), a" con k>j son nulos. Análogamente, di(x, y)=O=d~r.(x, y):=O, IS~r.=O, Vk>j. Ejemplo 5 Comprobar mediante este método de Fredholm el resultado del ejemplo 2. Ejemplo 6 Consideremos la ecuación integral t,. sen(x:t y)f(y)dy-A.f(x)=g(x). d0 (x, y)=sen(x+ y) 15 1 = fo,.sen2xdx=O , d 1 (x, y)=O- fo,.sen(x+t)sen(t+y)dt= -~cos(x-y) ESPACIOS DE HILBERT Luego los restantes di, ~i• r ( ;. X, 259 son ya nulos. De manera que el núcleo resolvente es: )- 4A. sen(x+ y)+2n cos(x- y) y 4A_2-7t2 Ejercicios J. Compruébese que u p(K), donde K es el operador integral de núcleo sen(x+ y) en (0, n], consta de los puntos {0, ± n/2}. Y que H ±7<!2 (K)= lin{sen x±cos x}, mientras H 0 (K)=[Iin{sen x, cos xl]i. 2. Calcular la solución correspondiente a g(x)= 1 por medio del núcleo resolvente, es decir: y comprobar después que f es en efecto solución de la ecuación. 13.9. ECUACIONES DE VOLTERRA Un núcleo k(x, y) sobre nxn=[O, l]x[O, 1] es de tipo Volterra si es k(x, y)=O, siempre que x<y. La ecuación asociada es J: k(x, y)f(y)dy-A.f(x)=g(x) Nótese que el único núcleo de Volterra simétrico es el k=O. La peculiaridad más acusada de las ecuaciones de Volterra es que A. =F O=> A.ep(K) (véase§ 12.4). Siendo casos particulares de núcleos, se les aplica la teoría de los determinantes de Fredholm expuesta en la última sección, con lo que se obtendrá el núcleo resolvente r.~.(x, y), A.=FO, analítico en C-{0}. Claro que, en general, será más simple el método de iteración de Neumann, que esta vez, debido a que no hay espectro fuera del cero, dará r;. (x, y) sin limitaciones. En efecto, la serie de Neumann coincide con el resolvente en un abierto del plano, y por prolongación analítica en C- {0}. 260 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Ejercicios J. Resuélvase por iteración la ecuación de Volterra: f x f(y)dy-).j(x)=g(x), O {l que tiene núcleo k(x, y)= 0 x~y~O} en x<y~l 0=[0, 1]. (Probar que a=ac={O}.) 2. Probar que el operador de Volterra V definido por el núcleo 1 k(x, y)= { -1 O O~y~x/2} xf2<y~x en 0=[0, 1], x<y~1 tiene a(V)=ap(V)= {O} 13.10. ECUACIONES INTEGRALES CON NÚCLEO SIMÉTRICO Recordemos que un núcleo k(x, y) se dice simétrico si k+ (x, y)::k(y, x)=k(x, y). De forma que si k(x, y) es una función de valores reales, será simétrico si y sólo si k(x, y)=k(y, x). En las aplicaciones en Física, una gran mayoría de las ecuaciones integrales que tienen interés son de núcleo simétrico. Y, por otro lado, observemos que ningún núcleo de Volterra (excepto el idénticamente nulo) puede ser simétrico. Propiedades de tipo operador de los núcleos simétricos con operador integral asociado compacto: l. El operador K definido por feL 2 (0)-+Kf= t k(x, y)f(y)dy, con núcleo simétrico k(x, y), es autoadjunto. Sus valores propios son todos reales y a,(K)= (/). 2. ap(K):F= (/). 3. Consideremos los valores propios no nulos ). 1, ). 2 , ••• , de K ordenados IA 1 I~IA 2 1~ ··· ~l).nl~ ... ,repetidos tantas veces como indique su multiplicidad. Y sean {q>n(x)}i funciones propias correspondientes ortonormalizadas. Entonces el núcleo truncado n -- klnl(x, y)::k(x, y)- ~)mq>m(X)q>m(Y) 1 tiene valores propios ).n + 1 , An + 2, ••• 261 ESPACIOS DE H/LBERT 4. Toda función f del tipo f(x)= L k(x, y)h(y)dy, con hEL2 (fl), puede desarrollarse en serie de Fourier convergente respecto de las autofunciones {q>n} f: <Xl <Xl J(x)= L(q>no f)q>n(X)= LAn(q>n, h)q>n(X) 1 <Xl 1 -- 5. La serie LAnq>n(x)q>n(y) converge en L 2 a un cierto núcleo f(x, y)(=k(x, y), 1 c.d.), cuyo operador integral asociado tiene autovalores A. 1, A. 2 , siempre que, además, k EL2 (fl x fl). ••• , A.n, ... , Observación: En general, no coinciden en todo punto f y k. Si bien es cierto en algunos casos, de acuerdo con el siguiente teorema (véase por ejemplo [Zaanen]). Teorema 13.12 (Mercer, 1909) Si el núcleo k(x, y) EL2 (fl x fl) es simétrico, continuo y con todos sus autovalores (excepto un número finito de ellos) de igual signo, y si n es un intervalo compacto, entonces oc; -- ii) k(x, y)= LAnq>n(x)q>n(Y) en sentido de convergencia uniforme y abso1 luta de la serie. 6. Un núcleo simétrico es degenerado si y sólo si u P es un conjunto finito de puntos. Todas estas propiedades se deducen de la teoría expuesta en el Capítulo 12 para operadores compactos normales, con excepción del citado teorema de Mercer. Sería un ejercicio útil para el lector comparar la lista de propiedades citadas con el Capítulo 12, así como generalizarlas al caso de núcleos normales (no necesariamente simétricos) dentro de lo posible. En cuanto a la resolución de una ecuación con núcleo simétrico L k(x, y)f(y)dy-A.f(x)=g(x) cuyo operador integral asociado (Kf) (x)= remos su estudio en los dos casos: L k(x, y)f(y)dy sea compacto, dividi- 262 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Caso A.,¡up(K). Ordenando como antes IA. 1 j;;¡¡:jA. 2 1;;¡¡: ··· ;;¡¡:¡;..,¡;;¡¡: ... , con funciones propias ortonormalizadas {qJ,(x)}i respectivas, como la función g+A.f=KfeR(K), el punto 4 nos permite escribir: 00 [13.16] g(x)+A.f(x)= LCiqJi(x) 1 donde ci= L (g+A.f)'Pi(x)dx. Llamando hi= L hqiidx=(qJi, h) con h= fó g, obte- nemos ;... C·=g+Af·=A·f·=>C·= J J J J J J _J_g. A..-A. J J Luego [13.16]=> r 00 A·(/) ·<x> g(x)+A.f(x)= ~ ~i~;.. Jn g(y)qii(y)dy. Luego finalmente se obtiene f = - ~ ( 1 + r .~.)g con núcleo resolvente: r.~.(x, y)=f.Ai(/)i(x)qii(Y) A.-A.j 1 (El denominador no se anula nuca, pues estamos suponiendo A.,¡up(K).) Vemos, una vez más, que el núcleo resolvente es función analítica de A. en p(K), y tiene polos en los valores propios A.i· Caso A.eup(K). Sea A=Am=Am+ 1 = ·•· =A.m+r (multiplicidad r+1;;¡¡:1). Sabemos que la ecuación L k(x, y)f(y)dy-A.f(x)=g(x) tiene solución sólo si g es ortogo- nal a las funciones propias (/)m, (/)m+ 1, m+r soluciones de la forma f + L a.i(/)i· ••• , (/)m+,, y en tal caso tiene infinitas m Ejemplo 7 Resolver la ecuación J_+11 xy(xy+ 1)f(y)dy- f(x)= (x+ 1)2 • Aplicando el método de núcleos degenerados, se llega a que los valores propios no nulos del núcleo k(x, y)=x 2 y 2 +xy son Luego A.= 1 ,¡up(K). 263 ESPACIOS DE HILBERT Por tanto, r 1 (x, y)=3xy+ ~x 2 y 2 , de donde se concluye que la solución es: J_+1l3xy+ ~x 2 y2 ] (y+ 1)dy= -[2: f(x)= -(x+ 1) 2 - J x 2 +6x+ 1 Ejemplo 8 .. pero con .11.1 = 2 , es dec1r: . . La misma ecuac1on, 3 J +1 _ 1 2 xy(xy+ l)f(y)dy- '3f(x)=x 2 + 1 Ahora .'.=.'. 1 eup(K). Afortunadamente g(x)=(x+ 1) 2 .lq> 1 (x), así que hay solución. En efecto, la solución general toma la forma f(x)=rxxte arbitraria. ~(5x 2 + 1), a constan- Ejercicio J +1 ¿Admite solución la ecuación 5 _ 1 xy(xy+ 1)f(y)dy-2f(x)= 1? 14 Descomposición espectral de operadores normales acotados Nota En este capítulo supondremos los espacios de Hilbert separables. 14.1. CÁLCULO FUNCIONAL CONTINUO CON UN OPERADOR AUTOADJUNTO ACOTADO En el próximo teorema pretendemos definir y aprender a manejar funciones de un operador acotado autoadjunto, de tal manera que se respeten las operaciones algebraicas usuales con funciones. Utilizaremos en la demostración tres lemas. Lema 14.1 Todo operador lineal continuo T: (V1 , II·II 1 )-+(V2 , 11·11 2 ), V2 Banach, puede ser extendido y de manera única a un f lineal continuo (con igual norma que definido sobre la compleción V1 de V1 • n Demostración Totalmente análoga a la indicada en el teorema 6.4. El próximo lema es sencillamente el teorema de la aplicación espectral para polinomios. Lema 14.2 N N Sea A ed(H) y P(x)= ¿anx", aN#O, cualquier polinomio. Sea P(A)= LanA". o o Entonces CT(P(A)) = {P(A)IA E CT(A)} 266 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Demostración a) Si A. E O'(A), como P(x)- P(A.) = (x- A.)QA (x), se tendrá P(A)-P(A.)=(A -A.)QA(A)=QA(A) (A -A.) donde el operador en el miembro de la derecha no es invertible en d(H). (Recuérdese el criterio 10.4 y véase ejercicio abajo.) Por tanto, P(A.) E O'(P(A)). b) Recíprocamente, sea J.LEO'(P(A)), y sean A. 1 , ••• , A.N, las raíces de P(x)-¡.t. Es decir, P(x)-¡.t=aN(x-A. 1 )(x-A. 2 ) ••• (x-A.N). Si A. 1 , ••• , A.N~O'(A), en- 1 . tonces 3[P(A)-¡.tr 1 =-(A-A.N)- 1 ••• (A-A. 1 )- 1 , contra la hipótesis. Luego algún aN A.iEO'(A)~¡.t=P(A.i), para algún A.iEO'(A). (CQD). Ejercicio Lema 14.3 Sea A E d (H), autoadjunto. Entonces V polinomio P: IIP(A)II = sup IP(A.)I Aetr(A) Demostración IIP(A)II 2 = IIP(A)+ P(A)II = II(PP) (A)II 1•1 sup IJ.LI 1,::1 pea(PP)(A)) = sup !PP(A.)i = sup IP(A.W Aetr(A) Aetr(A) La igualdad [*] se debe al carácter autoadjunto por el corolario 8.8 y § 11.4. En cuanto a [**], es consecuencia del lema 14.2. (CQD). Obsérvese que el lema 14.3 puede escribirse como una igualdad de normas IIP(A)II."'"'= IIPIIc,.,(AII donde 11PIIc 1x 1=sup1P(x)l es la norma que hacía completo al espacio C(X) de xeX funciones continuas sobre X e IR (véase § 2.3). ESPACIOS DE HILBERT 267 Teorema 14.4 (Cálculo funcional continuo) Sea A Ed(H) autoadjunto. Entonces 3 una única aplicación cp: C(u(A))-+d(H) tal que: a) cp es un *-homomorfismo algebraico. Es decir cp(rxf +fJg)=rxcp(f)+fJcp(g), Vrx, /JEC cp(fg) = cp(f)cp(g) cp(l)= 1 cp(f)=[cp(f)]+ b) cp es continua, en el sentido de que 3k>O tal que llcp(f)II...- 1 H 1 ~kllfllc1 a1 Aw e) f(x)=x~cp(f)=A. Tal aplicación cp goza además de las siguientes propiedades: d) Av=A.v~cp(f)v= f(A.)v. e) u(cp(f))={J(A.)IA.Eu(A)}=f(u(A)) [«Teorema de la aplicación espectral»]. f) f(x)~O. VxEu(A)~cp(f)~O. g) llcp(f)II...-IHI= llfllc(a(AII" h) cp(f)=cp(g)<=>f=g sobre u(A). i) cp(f) autoadjunto<=> f(x) real, Vx E u(A). cp(f) unitario<=>lf(x)l = 1, Vx E u(A). cp(f) invertible en d(H)<=> f(x)#:O, VxEu(A). Demostración a)+c) determinan unívocamente cp sobre los polinomios como cp(P)=P(A). El teorema de Weierstrass asegura que los polinomios forman un conjunto denso en C(u(A)) en la norma del supremo, por lo que la requerida continuidad b) garantiza la existencia y unicidad de cp sobre C(u(A)), vía el lema 14.1. Las propiedades a), b), e) para tal cp son inmediatas por paso al límite mediante polinomios. Nótese de paso que k puede hacerse l. d) Escojamos una sucesión de polinomios {Pn}i-+ f en C(u(A)). Entonces Av=A.v~cp(Pn)v=Pn(A)v=Pn(A.)v. De la continuidad de cp se sigue: Luego cp(f)v= lim cp(Pn)v= lim Pn(A.)v= f(A.)v, pues A.Eu(A). n-oo n-oo e) Véase por ejemplo [Helmberg]. f) f~O~f=g 2 con g real EC(u(A)). Luego cp(f)=[cp(g}jl~O. pues cp(g) es autoadjunto, véase i). 268 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO g) Del lema 14.3 por continuidad. h) [<=]Trivial. [===>] cp(f)=cp(g)===>cp(j -g)=O, autoadjunto===> 0= llcp(f -g)ll = sup lf(l)-g(l)l ===> f =g sobre u(A) . .l.ea(A) i) Evidentes las dos primeras. Y para la tercera, por el criterio 10.2: cp(f) invertible en d(H).-O~u(cp(f))= f(u(A)) (CQD) Nota Puede probarse en realidad que a)===>b), por lo que a)+c) caracterizan ya a cp. Notación Es usual escribir cp(f)=f(A), con lo que las propiedades a)-i) adoptan una formulación mucho más sugestiva. Es recomendable que el lector reescriba estas propiedades en esta nueva notación, que usaremos en lo que sigue. Corolario 14.5 Sean Aed(H) autoadjunto, Bed(H). Entonces AB=BA===>f(A)B=Bf(A) , VfeC(u(A)) Demostración Es evidente para f =polinomio. El caso general se obtiene por argumentos de continuidad. (CQD). Comentarios l. Es importante insistir en el hecho de que son exclusivamente los valores de f sobre u(A) quienes determinan el operador f(A). 2. Si bien entre las condiciones exigidas a la aplicación cp sólo entraba la de *-homomorfismo, la propiedad h) asegura que cp es un *-isomorfismo de C(u(A)) sobre su imagen en d(H). Análogamente, la simple acotación (continuidad) b) se convierte automáticamente en conservación de normas, propiedad g). Ejemplos l. Cuando dim H < oo, cp coincide con el cálculo funcional de matrices autoadjuntas (véase apéndice). 2. Sea Aed(H) autoadjunto, f(x)=ei". Entonces ESPACIOS DE H/LBERT 269 "A f (iA)" 1" f (iA)" 1' . 1 1 ' .,. ' e' =L.-,-= 1m L..-1- , •m•te en a topo og1a un11orme (vease §7.4). 0 n. • N-oo 0 No tese que n. LNo -(ix)n es n.1 .. . . . una suces1on de pohnom10s que converge hac1a ei", en la topología del supremo, sobre el compacto u(A). Además (eiA)+ =cp(Í)= f(A)=e-iA, luego eiA es unitario, de acuerdo con i). 00 3. Si f(z)= ¿anzn es analítica en torno al origen, con disco de convergencia o D(O, p) conteniendo a u(A), un procedimiento explícito para calcular f(A) es: donde esta serie de operadores converge en la topología uniforme. 4. A=Q definido sobre U[O, 1] como en §6.5. Sea f(x)=cos x. Probar que f(A) es el operador /(A): g(x)eU[O, 1]-+g(x) cos xeL2 [0, 1] Calcúlese además el espectro y la norma del operador cos A. 5. Sea A=Q, como en el ejemplo anterior. Consideremos cualquier fe[O, 1]. Tomemos cualquier sucesión aproximante, en la norma del supremo, de polinomios Pn(x)-+f(x), 'v'xe[O, 1]. Es evidente que el operador Pn(Q) actúa por multiplicación: I/J(x)eL2 [0, 1]-+Pn(x)I/J(x)eL2 [0, 1]. Como, por otra parte, b) asegura que Pn(Q)-+ f(Q) en norma, luego fuertemente, se deduce que: (/(Q)t/1) (x)= lim (Pn(Q)I/I) (x)= lim Pn(x)I/J(x)= f(x)I/J(x), c.d. en [0, 1] n-Q? n-oo Es decir, que f(Q) es sencillamente el operador multiplicación por f(x). 6. Sea A e d (L 2 (R)) el proyector ortogonal sobre U [0, + oo ). Considérense las funciones f(x)=e 2"i", g(x)=x 2 -x+ l. Comparar f(A) y g(A). 7. Sea de nuevo A =Q sobre L2 [0, 1]. Hallar fe C(u(Q)) tal que f(Q) sea un proyector ortogonal. Probar que para tal operador Q, f(Q) es necesariamente un proyector trivial: f(Q)=O o f(Q)= l. 270 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 14.2. CÁLCULO FUNCIONAL BORELIANO El último ejercicio de la sección precedente sugiere una de las mayores limitaciones que el cálculo funcional continuo plantea. En efecto, si se quiere llegar a profundizar en la estructura de un operador autoadjunto acotado, es necesario ampliar la clase de funciones admisibles. El propósito de esta sección es indicar que existe un cálculo funcional para funciones medibles Borel acotadas. El siguiente teorema (del que ofrecemos aquí una versión restringida) facilitará enormemente la transición al cálculo funcional boreliano. Teorema 14.6 (Riesz-Markov) Dado un espacio compacto X de HausdorfT y un funcional lineal A: C(X)-+ e positivo (es decir, f~O=::;.A(j)~O), existe una única medida finita positiva y regular JI. sobre los borelianos de X que representa a A en el sentido de que A(f)= fxf(x)dJL(x) , VfeC(X) Demostración Por ejemplo [Rudin]. Comentarios Por una medida finita positiva sobre .91(X) entendemos una aplicación .91(X)-+[O, +oo) que sea u-aditiva, es decir, tal que si los {Bi}l' son borelianos B-+ JL(B) disjuntos dos a dos, entonces JI.( QBi)= ~JI.(Bi). Y se dice que JI. es regular si VBe.91, Ve>O, 3 abierto A, cerrado C tales que CeBe A y JL(A-C)<e. La integral fx!dJI. hay que entenderla en sentido de Stieltjes-Lebesgue. Concre- tamente, en la situación que nos atañe directamente, es X e~. de manera que la integral se define por el mismo proceso seguido en § 3.3, pero partiendo esta vez en la definición 3. 7 de unos aproximan tes en los que la medida JI. que aparece es, precisamente, la dada por el teorema de Riesz-Markov. Esta medida cumple, por supuesto, las propiedades 1, 2 y 3 de la definición 3.2. Ejemplos l. Considérese el funcional lineal A: C[a, b]-+ e f-+ Lbf(x)exdx ESPACIOS DE HILBERT 271 Es claramente positivo. La medida J.l. asociada por el teorema anterior es simplemente ¡.t(B)= f/"dx , BE&I([a, b]) 2. Cualquier función p(x);;¡¡:O, pEL 1 [a, b], define un funcional lineal positivo mediante La medida correspondiente J.l.p viene determinada como: J.l.p(B)= tp(x)dx, BE&I([a, b]). Se dice que p es la función densidad de la medida J.l.p· Nótese que en particular p= 1=J.I.p=medida de Borei-Lebesgue (véase Capítulo 3). 3. Un tipo de funcional lineal muy importante, que no es de la forma anterior, lo exhibe el siguiente ejemplo: ADirac: /EC[-1, +1)-+f(O)EC Es obviamente positivo. La medida asociada es J.l.oirac(B)={~ ~::}. En este caso, la medida J.l.oirac no puede definirse con una función densidad. La «densidad» asociada es una distribución, a saber la ~ de Dirac, concentrada en el origen. Corresponde a una masa unidad colocada en el punto x=O. Volviendo a nuestro problema, observemos que dado A E J/1 (H) autoadjunto, y dada cualquier fE C(u(A)), cada vE H permite definir una aplicación Av: fE C(u(A))-+ (v, f(A)v) E e [*] que es un funcional lineal positivo. Denotemos por J.l.v la medida asociada a A•. (Escribiremos ¡.t~ cuando sea preciso hacer explícita su dependencia del operador A que la determina.) Ahora estamos en condiciones de formular la siguiente: Definición 14.7 Dada gE&I(u(A)) acotada, se define g(A) mediante: (v, g(A)v)=f a(A) g(A)d¡.t.(A) 272 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Nota La identidad de polarización permite obtener de ahí el valor de (v 1 , g(A)v 2 ), 'Vv 1 , v2 e H. Y, en consecuencia, determina unívocamente el operador g(A). Veamos que g(A)ed(H). En efecto, en primer lugar l(v, g(A)v)l = lf g(J.)dJLv<A·>I <r(A) ~ llgll oo · Jlv(u(A)) = llgll 00 • llvll 2 por lo que (v, g(A)v) es función continua de v, en la topología fuerte de H. Además (ow, g(A)cxv) = lcxl 2 (v, g(A)v) ya que de [*] se deduce que Jl11.v = lcxl 2 llv· Repitiendo sin modificación esencial el argumento utilizado en el criterio de §4.5, se concluye g(A)e.!l'(H). Por otro lado, de la identidad de polarización resulta: l(v 1 , g(A)v 2 )1~211gll 00 , 'Vv 1, v2 eH de norma unidad. Junto con el carácter lineal, esta acotación prueba (§7.2) que g(A)ed(H), con llg(A)II ~211glloo· Teorema 14.8 (Cálculo funcional boreliano) Dado A e d (H) autoadjunto, existe una única aplicación cP: fe B1aco (0'(A))-+ cP<J) =f(A)ed(H) 1 donde álacot(u(A)) denota el conjunto de funciones borelianas acotadas sobre u(A), tal que: (á) cP es un *-homomorfismo algebraico. = (6) cP es continua, en el sentido de que llf(A)II ~ sup lf(x)l llfllc 1.,,An· .xe<r(A) (é'1) cP extiende a cp. (é'2) Si fn(x)-+ f(x), Vxeu(A), y si 3k>0 tal quellfnllc 1., 1A11 <k, Vn, entonces fn(A)-+ f(A), en sentido fuerte (§ 7.4). Esta aplicación cP goza además de las siguiente propiedades: (J) Av=Av~f(A)v=f(J.)v. (ej En general u(f(A)) =!- f(u(A)). (/) f(x)';i!;O, Vxeu(A)~ f(A)';:!;O. (gj En general, llf(A)II =!- llfllc,.,,An· ESPACIOS DE HILBERT 273 (h) f=g sobre u(A)=> f(A)=g(A). El recíproco es falso en general. (1) f(x) real, 'v'xEu(A)=> f(A) autoadjunto. lf(x)l=1, 'v'xEu(A)=>f(A) unitario. lf(x)l>cx>O, 'v'xEu(A)=>f(A) invertible en d(H). Los recíprocos son falsos en general. (jj AB=BA, BEd(H)=> f(A)B=Bf(A), 'v'jE~aco1 (u(A)). (/() f(A)g(A) = g(A)f(A), 'v'J, g E ~ac01 (0'(A)). Demostración (aj El carácter lineal de lP es consecuencia de su definición a través de integración (dependencia lineal enf().)). El único punto no trivial puede ser el carácter multiplicativo de lP· Este resultado puede deducirse a través de su validez para funciones continuas, mediante el uso del teorema de Radon-Nykodim. No hacemos explícita la demostración, pues escapa al alcance de estas notas. (6) Usando (aj obtenemos: (c1) (c2 ) Evidente por construcción. Consecuencia del teorema de convergencia dominada (que asegura que fn(A)~ f(A), en sentido débil) y de (á) que permite ver para el caso de funciones no negativas, cumpliendo las condiciones de (c2 ), que: Basta por tanto tomar gn(x)=f~(x) para concluir (c2 ) en el caso f~O, fn~O. En otros casos, se procede por descomposición. (J) Es consecuencia de d) en el teorema anterior, usando (c2 ) y el hecho de que toda jEPAacot es límite puntual de funciones continuas fn con normas llfnllc1a1A11 <k, k fijo. (e} Contraejemplo: Sea A= Q definido en U [0, 1] como en 6.5. Y sea f la ~ . , defi101"da como ji(x ) ={0, X racional .unc1on . . 1} . C alculemos f (A ). 1, x 1rrac10na De la definición 14.7 y del ejemplo 5 en § 14.1 se sigue 'v'g E C[O, 1]: f a(A) g(A.)dJlv(A.)=(v, g(A)v)= (' g(A.)Iv(A.)I 2 dA. Jo , 'v'v(.)EL2 [0, 1] Luego comparando las medidas: dJlv(A.)=Iv(A.)I 2 dA., donde dA. denota la medida de Lebesgue usual. En otras palabras, lv(A.W es la densidad de la medida Jlv respecto de la medida de Lebesgue (llamada derivada de Radon-Nykodim ~;). 274 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Por la definición 14.7 nuevamente, aplicada a nuestra f: ya que f(A.)= 1 c.d. respecto de la medida de Lebesgue. Luego f(A)= l. Nótese finalmente que u(f(A))={1}:#{0, 1}=/(u(A)). (/) Elemental por la propia definición 14.7. . 1o: e ons1"d'erese A = Q, f( x ) = {10 (g~1 eontraeJemp racional }· . . x 1rrac1ona1 X Siguiendo el proceso del apartado (e} es fácil ver que f(A)=O. (h) La implicación primera es evidente. Como contraejemplo al recíproco, compárense f(Q), g(Q), con f como en (e} y g(x)= 1, 'Vx. (1) Elemental, por el mismo tipo de argumentos. (j) Consecuencia del corolario 14.5 y (é'2). (k) Evidente, por la definición 14.7. (CQD). Nota Una vez establecida ia relación entre el espectro y la medida espectral (véase § 14.7), quedará claro en qué casos las propiedades (e}, (gj, (h), (1), se convierten en igualdades y equivalencias. Ejemplos l. Sea A = PM un proyector ortogonal no trivial en el espacio L2(R). Sabemos (teorema 11.7) que u(A)={O, 1}. Considérese la función 1 4x2-1 f(x)= { 0 x:;60 } x=O , boreliana y acotada sobre u(A). Pruébese que f(A)= ~ PM. 2. Sea A el proyector ortogonal sobre e 1 , en el espacio /2 con base ortonormal !}. {ei}f. Dada f(x)={~ :~ pruébese que f(A)=7A, aunque f(x)=O c.d. (¡Lebesgue!). 3. A=Q sobre L2[0, 1]. Probar que f(A)=operador de multiplicación por f(x). ESPACIOS DE HILBERT 27S 14.3. LOS PROYECTOS ESPECTRALES En esta sección se estudia un caso particular de funciones borelianas acotadas del operador A e .91 (H) autoadjunto. Se trata de las funciones características de borelianos, ejemplo suficientemente importante en lo que sigue como para analizarlo en detalle separadamente. Definición /4.9 Dado un boreliano Be&I(R) y un operador Aed(H) autoadjunto, denotaremos EA(B)=x 8 (A), donde x 8 (.) es la función característica de B. Se dice que EA(B) es el proyector espectral sobre B asociado al operador A. En general omitiremos la referencia al operador A, si no hay riesgo de confusión, escribiendo simplemente E(B). Esta denominación se justifica por las propiedades del operador E(B): (MEI) (ME2) (ME3) (ME4) (MES) E(B)+ =E(B). E(B) 2 = E(B). E((J))=O, E(u(A))= l. B 1 nB 2 =(J)=E(B 1)E(B2 )=0. Si {Bn}~.;; 00 es una colección numerable de borelianos disjuntos dos a dos, entonces (en caso de ser N= oo, la serie de proyectores ortogonales se entiende en el sentido del teorema 8.20.) Demostración (MEI) (ME2) (ME3) (ME4) (MES) Evidente de (t}, por ser x8 (.) real. Evidente de (á), por ser x8 (.) idempotente. Nótese que Xt/>=0, Xa1A1= 1 sobre u(A). X8 ,X8 ,=0, y véase (ci). Evidente por (é'2 ). (CQD). Definición 14.10 Una aplicación Be~(R)~ E(B)ed(H) se dice que constituye una medida espectral de Borel si satisface las condiciones MEl-MES. Y se dirá regular si (v, E(.)v) es regular, VveH. 276 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO En particular cuando E(B) = X8 (A), se dice que E(.) es la medida espectral (de Borel) asociada al operador A. Ejemplos l. A=PMed(H), proyector ortogonal no trivial sobre M e H. En tal caso: E(B)=XB(A)= 1 P { PO:.i. si si si si 1eB, 1 eB, OeB O~B 1~B. OeB 1 ~B. O~B 2. A=Q sobre L2 [0, 1]. En este caso: E(B)=X8 (A): t/l(x)eU[O, 1]-+ x8 (x)tf¡(x)eL 2 [0, 1] 3. A: tf¡(x)eL2 [0, l]-+e"'tf¡(x)eL2 [0, 1]. Nótese que A=eQ. Claramente, por el teorema de la aplicación espectral se tiene u(A) = ea(QJ = [1, e]. Por otra parte, un simple cambio de variable muestra que p.~Q(B)= p.~(lnB), donde lnB={lnA., A.eB}, 'VBe(O, +oo). De aquí se deduce que EeQ(B)=EQ(ln B), 'VB e (0, + oo). Nota Puede probarse con toda generalidad [Dunford y Schwartz] que dado un A e d(H) autoadjunto con proyectores espectrales EA(.), y dada cualquier fe&i9aco1 (u(A)), entonces: Ef(Al(B)=EA(f- 1 (B)) , 'VB boreliano en el recorrido de f De entre todos los borelianos Bii(IR), son particularmente interesantes en el análisis espectral de A aquellos de la forma (- oo, A.], A. e IR, puesto que permiten por sí solos reconstruir la medida espectral asociada al operador A. Serán también de utilidad directa para caracterizar el espectro de A. Definición 14.JJ Si no hay riesgo de confusión, omitiremos el superíndice A. ESPACIOS DE H/LBERT 277 Propiedades de los E¡, 1. EA es un proyector ortogonal, 'v' A. E ¡¡¡, . {o , 'v'A.<a. 2. Slu(A)c:[rx.,p],entoncesE¡,= 1 , 3. 'v'A.~P A. 1 ~A. 2 =>E¡,,~E).,· 4. EHo=lim EH.=E¡,, 'v'A.E¡¡¡. El límite se entiende en sentido fuerte. •!0 Esta propiedad se puede reformular diciendo que la familia {E¡,}AeR• como función de A., es continua por la derecha. Demostración J. Trivial por (MEI) y (ME2). 2. Basta darse cuenta de que A.<a.=>x(-ao,i.J=O sobre u(A) y .A~P=>X<-ao,AJ= 1, sobre u(A). 3. Nótese que X<A,.A,J es real y positiva. Y utilizar (/). 4. Se sigue de (c2 ) considerando fn(x) =X(- ao,H~J(x). (CQD) Nota Debe tenerse cuidado con la propiedad 4 de continuidad, pues no es válida en general por la izquierda, es decir, E¡,-o = lim EA-• puede ser distinto de E¡,. •!0 Naturalmente, de 3 se deduce que E¡,-o~E¡,. La razón de la no igualdad puede comprenderse mejor con el siguiente ejemplo. Ejemplo Sea A = 1, A.= l. Entonces E 1 _ 0 =O~ 1 =E 1 • Nótese que el punto 1 Eup(A). Precisamente veremos más tarde (§ 14.7) que los A. E up(A) son aquellos puntos en que falla la continuidad por la izquierda de Ei.' No hay contradicción con la propiedad (c2 ), ya que Ejercicio 278 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 14.4. FAMILIAS ESPECTRALES Y MEDIDAS ESPECTRALES Definición 14.12 Una familia de operadores acotados {E;,};.eiR se dirá que es una familia espectral si cumple las siguiente propiedades: (FEI) E;, es un proyector ortogonal, 'v').e R (FE2) E-oo= A--oo lim E;,=O , E+oo= A-++oo lim E;,=l. donde tales límites se suponen en sentido fuerte. (FE3) A. 1 ~A. 2 =>E;,, ~E;.. (monótona no decreciente) (FE4) EA+o=E;,, VA. e~ (continuidad por la derecha) Es evidente pues que los E1 asociados a un A e .91 (H) autoadjunto a través de la definición 14.11, constituyen una familia espectral. También es claro que dada una medida espectral E(.) arbitraria (definición 14.10) la colección E;,=E1-oo.AJ es una familia espectral. El único punto a aclarar es la continuidad por la derecha de E;,. pero ésta es consecuencia de la a-aditividad, expresada por (MES) en§ 14.3. En efecto, es fácil probar el siguiente: Ejercicio B 1 :::J B 2 :::J ... :::J Bn :::J ... -+B=>E(B)= lim E(Bn), en sentido fuerte. n-+oo B 1 e B 2 e ... e Bn e ... -+B=>E(B)= lim E(Bn), en sentido fuerte. n-+oo Tomando Bn=(-oo, A.+n- 1], Bn!(-oo, A.], pero si Bn=(-oo, A.-n- 1 ], entonces Bn j (- oo, A.), por lo que la continuidad a la izquierda no es cierta más que si E({A.})=O. Recíprocamente, dada una familia espectral {E;,} AeiR• existe una única medida espectral E(.) tal que E(-oo, A.]=E;,. 'v'A.eR Sin entrar en detalles, tal asociación se consigue mediante una serie de pasos intermedios: i) Para intervalos semiabiertos (a, p] se define E(a, PJ=Ep-E,.. ii) Por (FE3) y el teorema 8.3 se puede definir E(a, {J) =lim E(a, {J- ljn]. n-+oo iii) La a-aditividad permite, por medio de ii) extender E(.) a cualquier abierto de~. iv) Por procedimientos típicos en teoría de la medida, se extiende finalmente E(.) a la mínima familia de subconjuntos de ~ que contiene a loo; abiertos y es cerrada bajo uniones numerables y complementación, esto es a la familia de borelianos de la recta 81(~) (véase definición 3.1 ). ESPACIOS DE HILBERT 279 Nota Otra forma de ver cómo se reconstruye una medida espectral a partir de la familia espectral {E_.}, es a través del teorema de Riesz-Markov, en su formulación general en espacios localmente compactos. 14.5. INTEGRACIÓN RESPECTO DE UNA MEDIDA ESPECTRAL El proceso de integración respecto de una medida espectral es totalmente análogo al que se sigue con medidas reales no negativas (véase Capítulo 3). Consiste primeramente en definir el valor de la integral para funciones simples, esto es, con un número finito de valores distintos sobre bases borelianas, es decir: N s(x)= LO!iXB.(x) 1 , B¡e&W(R) , N< oo 1 A tal función se le asocia la integral E[s]= fs(x)dE(x)=~a 1 E(B¡)ed(H) [14.1] Es fácil convencerse de que E[s], así definida, es independiente de la descomposición en «peldaños» de la función s(x). Evidentemente, la integral [14.1] goza de las siguientes propiedades: l. E[y 1 s 1 +y 2 s 2 ]=y 1 E[s¡]+y 2 E[s 2 ], y¡eC, S¡ simples. 2. E[s 1 s 2 ] = E[s 1]E[s 2]. 3. E[s] = (E[s]) +. 4. 11 E[s] 11 ~ sup la¡l = lis 11 oo l~i~N Como quiera que cualquier función f boreliana acotada es límite, en la norma del supremo, de funciones simples sn- f, se define \ff e&W8001 (R): ff(x)dE(x)=E[f]= J~~ E[sn]ed(H) (14.2] entendiendo el límite en la topología de la norma de si (H). No es dificil comprobar que las anteriores propiedades 1-4 mantienen su validez para E[f]. Nota E[f] es independiente de la sucesión {sn} elegida. 280 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Observación Pese a la analogía de la integración que acabamos de definir con la usual, hay que hacer constar que al ser las medidas espectrales, medidas con valores operadores ed(H), admiten tres niveles distintos a la hora de definir integrales respecto de ellas: en sentido de topología débil, fuerte o de norma. La definición aquí adoptada es la de topología de la norma, por la sencilla razón de que una vez construida ésta, se está en disposición de manejarla en los otros sentidos: ff(x)d(E(x)v)=EU]v (sentido fuerte) ff(x)d(w, E(x)v):=(w, EU]v) (sentido débil) Es posible introducir las dos integrales de la izquierda por un proceso directo de integración respecto de medidas vectoriales (caso fuerte) o escalares ordinarias (caso débil). Hecho así es fácil probar que coinciden con la definición de los segundos miembros, para cualquier función ferJiacot· Tiene interés, sin embargo, la introducción directa de tales integrales fuertes o débiles para aquellas situaciones que escapan de la construcción de EU] aquí presentada, y que sólo es válida para funciones borelianas acotadas (incluso para esencialmente acotadas respecto de la medida espectral). Tales técnicas serán precisas en el estudio espectral de operadores no acotados. 14.6. DESCOMPOSICIÓN ESPECTRAL DE AUTOADJUNTOS ACOTADOS En el caso de que la construcción de la sección 14.5 se realice con la medida espectral EA(.) asociada a un operador A ed(H) autoadjunto, las propiedades 1-4 de § 14.5, comparadas con (á) y (6) del teorema 14.8 sugieren que la siguiente proposición es cierta: Proposición 14.13 Demostración Para funciones simples s(x), es evidente la identificación EA[s]=s(A) por construcción. Para fe fllacot arbitraria, por continuidad. En efecto, si s,.-+ f en la norma del supremo, entonces (6)= lls,.(A)- /(A)II-+0, n-+ oo. Por otro lado, EA U] es por definición igual al límite de EA[s,.]=s,.(A) en norma, n-+ oo (CQD). ESPACIOS DE H/LBERT 281 Consecuencia de esta proposición y de la (fl} en el teorema 14.8 es que f =g sobre u(A)=>EAUl=EA[g], por lo que podemos restringir nuestra atención a funciones ealaco1(u(A)). Proposición 14.14 Dado Aed(H) autoadjunto y fealaco1(u(A)): Demostración Consecuencia trivial de la proposición 14.13, a la vista de la notación introducida [14.2], § 14.5. (CQD). Proposición 14.15 Dados A, Bed(H), A autoadjunto, las siguiente afirmaciones son equivalentes: i) AB=BA. ii) f(A)B=Bf(A) iii) Et B=BEt , , Vfealaco1 (u(A)). Vle~- Demostración [i-ii] Es sencillamente U) del teorema 14.8. [ii => iii] Evidente. [iii=>ii] Trivial para las funciones simples, y por paso al límite para toda (CQD). f. Teorema 14.16 (Unicidad de la medida espectral) Dado Aed(H) autoadjunto, existe una única medida espectral regular E(.) tal que E(u(A))= 1 y A=f AdE(l) a(A) Demostración Que existe alguna tal E(.) es claro, pues basta tomar la EA(.) antes construida. Supongamos que existe otra E(.). Las propiedades 1-4 de § 14.5, válidas 282 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO para Vfe~aco1 (u(A)), permiten ver que también será P(A)=f P(l)dE(l), V a(A) polinomio P. Y que por continuidad fP(A) = f qJ(l)dE(l), para cualquier fP a(A) continua sobre u(A). En consecuencia, por el teorema 14.6, se deduce que VveH: (v, E(.)v) = (v, EA(.)v) por lo que E(.)=EA(.) (CQD). Ejercicio Usando el cálculo funcional boreliano y la proposición 14.13, probar que: 14.7. RELACIÓN ENTRE u(A) Y {Et} Existe una íntima conexión entre la naturaleza de los puntos de u(A) y las propiedades de {Et} en torno a dichos puntos. Teorema 14.17 Sea Aed(H) autoadjunto, {EA} su familia espectral, y l 0 eR. a) l 0 ep(A)<=>3<5>0 tal que EA.H=EA.-.J b) l 0 eup(A)<=>EA. #EA.-o (locamente constante) (discontinuidad) Y además EA. -EA.-o es el proyector ortogonal sobre el subespacio propio HA.· e) ).0 e uc(A)<=>ni a) ni b) (localmente continua y no constante). Demostración [(a)=] l 0 ep(A)=3e>0 tal que Luego por el ejercicio precedente: Vv: II(A-l0 )vll ;;¡¡:ellvll ESPACIOS DE HILBERT 283 Procedamos por reducción al absurdo. Si para Vt5>0 fuese E;..+<~:#=E;..- 6 existiría algún w6 :;1:0 tal que (E;..+tJ-E;..- 6)w6=w6. Habida cuenta de que obtenemos: t 2 llw6ll 2 = Í JA.-6.A +6] ~ t (A.-A.o) 2 d IIE(A.)w.,ll 2 = (A.- A.o) 2 d IIE(A.)w., 11 2 ~ t5 2 0 Í J(A -6.A +6) 0 d IIE(A.)w.,ll 2 = t5 2 llw6ll 2 0 que no puede ser cierto si t5 <e. [(a)<=] Suponiendo E;..+tJ=E;..-a• t5>0, definamos f(A.)=A. 0 -A. y g6 (A. -{(A.0 -A.)- 1 si A.~[A. 0 - t5/2, A. 0 +t5/2] } E A. A. _ )= arbitraria continua en [A. 0 -t5/2, A.o+t5/2] · ntonces f( )g6 ( )= 1 fuera de [A. 0 - t5/2, A.0 + t5/2], y por la constancia de E1 en este intervalo: f(A)g6(A)= tf(A.)g6(A.)dE(A.)= t dE(A.)= 1 Luego f(A) es invertible en d(H). Como f(A)=A. 0 -A, queda demostrado. [(b)=] Si Av=A.ov, v:;~<O, se tiene II(A-A.o)vll 2 = i (A.-A. 0 ) 2 diiE(A.)vll 2 =0. Como la función que se integra es >0 para A.:;~<A. 0 , y IIE{A.)vll 2 es no decreciente al crecer A. se tiene Por otra parte, Í JA.+6.+oo) (A.-A.0) 2 di1E(A.)vll 2 =0=0~t5 2 [11vii 2 -IIE;..+<~vll 2]= Luego E;.. :#=E;..-o· [(b.)<=] Sea v:;~<O tal que E({A. 0 })v=v (nótese que E({A. 0 })=E;.. -E;..-o>· Enton- 284 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO ces II(A-A. 0 )vll 2 = L (A.-A.0 ) 2 diiE(A.)vll 2 =0, porque IIE(A.)vll 2 es constante en IR-{A.0 }. Por consiguiente, Av=A.0 v. [(e)] Se sigue de a) y b) (CQD). La situación analizada por este teorema puede ser simbólicamente representada por una gráfica del tipo siguiente: o • l Ejemplos 1. Sea A una matriz autoadjunta n x n. Sabemos (§ 10.1) que u(A) =u p(A). Sean {A.i}Í, r~n. los puntos del espectro de A. Y sean Pi los proyectores ortogonales sobre los subespacios propios correspondientes H AJ" Es elemental convencerse de que: Paralelamente, se tiene: , f(A)= L f(A.j)Pj j=l 2. Sea A e ~(H) autoadjunto. El teorema 12.6 proporciona explícitamente la descomposición espectral: N A=LA.iPi 1 , N~oo 285 ESPACIOS DE HILBERT En este caso, muy similar al de las matrices finitas, la medida espectral viene dada por: E(B)= L pi "•"B De igual forma, f(A)= LJ(). i)Pi. "• 3. Sea A: 12 --+ 12 en--+ Aen=Pnen, siendo {en}i base estándar de /2 y {Pn}i una enumeración de los racionales en [0, 1]. Probar que A es autoadjunto acotado, ap(A)={Pn}i y a(A)=[O, 1]. En este caso E(B)= L Pe, PnEB donde n Pe. denota el proyector ortogonal sobre lin{en}· 14.8. REPRESENTACIÓN ESPECTRAL DE OPERADORES AUTOADJUNTOS ACOTADOS CON ESPECTRO SIMPLE Definición 14.18 Un Aed(H), autoadjunto se dirá que tiene espectro simple si 3veH tal que H(v; A)=lin{Anv}:=o=H. Se dice que ves un vector cíclico para A. Ejercicio Probar que en cualquier caso H(v; A) y H(v; A).J. son estables bajo A. La denominación de «simple» para el a(A) puede justificarse a nivel elemental observando que en el caso de ser A una matriz n x n autoadjunta, A admite vector cíclico si y sólo si sus valores propios son todos distintos, es decir, de multiplicidad l. (Pruébese como ejercicio esta afirmación.) Ejemplo El operador Q en L 2 [0, 1] tiene espectro simple. En efecto, cualquier función Borel acotada v(x)#O c.d. en (0, 1) es vector cíclico para Q. De lo contrario 3 alguna w no nula en L 2 [0, 1] ortogonal a xn v(x ), 'v'n ~O. En cuyo caso 286 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO L~wEL 2 [0, 1] sería ortogonal a todos los polinomios, y por consiguiente vw=O en L 2 [0, 1], contra la hipótesis. Más generalmente, dado un compacto K e IR y una medida a-aditiva regular no negativa, no trivial y finita J1 definida sobre fli(K) y con soporte en K (en el sentido de que Jl(IR-K)=O), consideremos el espacio de Hilbert U(K, dJ1) de las (clases de equivalencia de) funciones f medibles Borel tales que Lif(xWdJ1(x)< + oo. Y en él el operador Q"': f(x)EU(K, dJ1)-+xf(x)EL 2 (K, dJ1). Es claro que Q" es acotado y autoadjunto con a(A) =soporte de Jl. Asimismo, su espectro es simple, por análogo argumento al ejemplo anterior y usando una generalización del lema en § 5.6 (véase [Sz Nagy]), que estipula que la envolvente lineal de los monomios {x"}o es densa en L 2 (K, dJ1). Que este ejemplo general Q" es prototipo de operadores con espectro simple, lo prueba el siguiente: Teorema 14.19 (Representación espectral de operadores con espectro simple, autoadjuntos y acotados). Sea A Es# (H) autoadjunto con espectro simple y ve EH un vector cíclico para A. Sea Jlv la medida de Borel Jlv (B)=(vc, E(B)vc), BEBI(IR), siendo E(.) la medida espectral ~sociada a A. Entonce~ Jlv < tiene por soporte el compacto a(A) y, además: l. La aplicación Uv,: f(A.)EL 2 (1R, dJ1v)-+f= I f(),)dE(A.)vcEH a( A) es un isomorfismo isométrico. 2. u;;e 1 AUve =Q" ve en U(IR, dJ1v e). Demostración 1. R (U v ) es denso en H, pues contiene todos los vectores de la forma {A"vc}n~o y ve es cíclico por hipótesis. Además, Uv, es isométrico: Siendo el recorrido de toda isometría cerrado (§ 8. 7), se sigue que U v, recorre H. 2. Simple consecuencia del cálculo funcional. (CQD). ESPACIOS DE HILBERT 287 Ejercicio Analizar los pasos necesarios para obtener la representación espectral de una matriz n x n a la luz del teorema 14.19. Sea A una matriz n x n autoadjunta, reducida ya a su forma diagonal. Puesto que los números que aparecen en la digonal son precisamente los valores propios de A, es claro que si hay alguno repetido (es decir, de multiplicidad> 1), existen matrices B no diagonales que conmutan con A: AB=BA. Mas si el espectro de A es simple, tal posibilidad no puede darse, y toda matriz B tal que AB = BA es forzosamente diagonal. En el primer caso, B no tiene por qué ser función de A, ni siquiera cuando B sea diagonal; pero en el segundo siempre existe una función f definida sobre u(A), tal que B = f(A). Pues bien, esta circunstancia tiene validez en situaciones mucho más generales como recoge el próximo teorema. Teorema 14.20 Sea A E d (H) autoadjunto de espectro simple. Si BE d (H) cumple AB=BA, entonces 3jEáJ8 c01 (u(A)) tal que B=f(A) Demostración Utilizando el teorema 14.19 de representación espectral, podemos reducirnos a demostrar el teorema en su versión funcional en el espacio L2 (~. dJ.Lv ). Definamos una función b (A.) por: < Comparando la actuación de los operadores Bg(A) y g(A)B: Bg(A): 1-+ (Bg) (A.) g(A)B: 1-+ g(A.)b(A.) y puesto que han de ser idénticos (§ 14.6), resulta que para 'v'g E áJ8001 (u(A)) es: (Bg) (A.)= b(A.)g(A.) Del lema 14.1 se deduce que B es el operador multiplicación por la función b(A.), y que ésta en particular debe ser J.lv -esencialmente acotada, pues de lo contrario no estaría definida su actuación s<obre L2 (~. dJ.Lv ). Basta escoger ahora cualquier función jEáJ8 c01 (u(A)) igual J.lvc.d. a la b(.), para concluir que < B= f(A). (CQD). 288 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Comentario Escapa del alcance de estas notas la discusión de la representación espectral en su versión más amplia, que nos conduciría a una forma canónica de los operadores autoadjuntos (acotados o no) como sumas directas de operadores multiplicación sobre espacios de tipo L2 (1R, .), y a una descomposición del espectro en estratos de mutiplicidades uniformes. Asimismo, la teoría espectral y el cálculo funcional conjunto de varios operadores autoadjuntos que conmuten entre sí, permite probar que existe un autoadjunto del que todos ellos son función. Cuando se parte de un autoadjunto con espectro no simple, siempre es posible asociarle otros autoadjuntos que conmutan entre sí y todos con él, de manera que en un sentido que puede precisarse tengan espectro conjunto simple. Esta técnica es lo que en Mecánica Cuántica se denomina formar conjuntos completos de observables compatibles. Ejemplo Sea H =L2 ([0, l]x x [0, 1]1 ), y sea Qx: f(x, y) eH -+xf(x, y) eH. Es obviamente un operador ed(H) con u(Qx)=o"c<Qx)=[O, 1]. Vamos a probar que Qx no tiene espectro simple. Puede hacerse de dos maneras. La primera, más directa pero quizá menos ilustrativa, basada en el teorema 14.20. En efecto, es fácil exhibir un operador que conmuta con Qx y no es función de Qx, a saber: Q1 : f(x,y)eH-+yf(x,y)eH. Vamos a comprobarlo, sin embargo, de forma más constructiva, atendiendo a la definición 14.6. Sea O=1= fe H, arbitraria y fija. Consideremos su desarrollo en serie respecto de la base ortonormal {cpn(x)cpm(Y)}::'m=O• siendo {cpn(.)} 0 una base ortonormal de L2 [0, 1] (véase §5.6. y §5.7): 00 J(x, y)= L 00 amncpn(X)cpm(Y) = L fm(x)cpm(Y) m,n=O m=O Para ver que f no puede ser cíclica para el operador Qx, bastará mostrar una geH, g=FO, ortogonal a xNf(x, y), 'VN~O. En efecto, tómese por ejemplo g(x, y)::J;(x)cp 1 (y)-¡; (x)cp 2 (y) (supuesto que 11!1 1 =1=0, cosa que tras reordenación siempre puede lograrse). Sin embargo, si se añade a Qx el autoadjunto Q1 , el par {Qx, Q1 } ya tiene espectro conjunto simple, en el sentido de que existe fe H tal que lin{x"ymf(x, y)}::'m=O es denso en H. En efecto, basta tomar cualquier f(x, y)=FO c.d. en [0, 1] x [0, 1]. Aunque, como se ha indicado, 3A e .Ji/ (H) autoadjunto tal que Qx = f 1 (A), Q1 = f 2 (A), la construcción de tal A no es en modo alguno elemental. ESPACIOS DE HILBERT 289 14.9. DESCOMPOSICIÓN ESPECTRAL DE UNITARIOS De forma totalmente análoga a la seguida para los autoadjuntos acotados, puede introducirse para unitarios U un cálculo funcional continuo y posteriormente boreliano en U y u+, con la única diferencia de que ahora el espectro, en lugar de hallarse situado sobre el eje real, se encuentra en el círculo unidad. Es así posible introducir una medida espectral regular asociada a un operador unitario U sobre los borelianos de ese círculo unidad, con propiedades ME1-ME5 (véase § 14.3). Usando esta medida espectral Eu(.) o la familia espectral correspondiente, se define la integración de fedlaco 1 (a(U)) con respecto a Eu(.). Nos limitamos, pues, a enunciar el resultado pertinente: Teorema 14.21 Dado un operador unitario U ed(H) y fedlaco 1 (a(U)): f(U)=f f().)dEu().) cr(U) Parametrizando los puntos del círculo unidad mediante el ángulo polar O, es usual escribir la anterior descomposición espectral en la forma: donde Eu(.) es una medida espectral con soporte en [0, 2n], que se relaciona con la anterior Eu(.) en la forma E(B)=E(ei 8 ), 'v'Bedi[O, 2n). Nótese que caso de que 1e a p( U), la discontinuidad en E se asigna al punto O, no al 2n, que no pertenece al conjunto [0, 2n). Concretamente E[O, 2n) = l. Ejercicios l. Calcular la familia espectral del operador unitario y §8.6). § (véase §8.5 2. Hallar la descomposición espectral de U:f(x)eL2 [0, l]-+eixf(x)eL2 [0, 1]. 14.10. DESCOMPOSICIÓN ESPECTRAL DE NORMALES Todo operador normal N ed(H) admite una descomposicón N =X +iY con X=(N +N+)/2, Y(N -N+)/2i, ambos autoadjuntos en d(H) y que conmutan entre sí (§ 8.8). Para éstos se sabe construir sus medidas espectrales respectivas Ex(.), EY (.), que en consecuencia conmutan entre sí (proposición 14.3). 290 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Dado cualquier boreliano BE 3it(IR 2 ) de tipo «rectangular» B = B" x By puede hacérsele corresponder el proyector EN (B) =Ex (B")Er (By)· Esta asignación, combinada con los requerimientos usuales de medidas espectrales, puede extenderse a cualquier BE 3it(IR 2 ) arbitrario, obteniéndose así de forma única una medida espectral regular asociada a N, que denotaremos EN(.). Con tal medida espectral se procede igual que en los casos de autoadjuntos y unitarios a definir integración de funciones /E3itacot(IR 2 ). Se llega de esta manera a un cálculo funcional conjunto de X e Y, es decir de N y N+ simultáneamente: f(N, N+)= JJ /(z, zjdEN(x, y) a(X) Xa(Y) con z=x+iy, i=x-iy. Ejemplo Sea N= Q" + iQy, en notación de § 14.8. En este caso EN (B): v(x, y) EH-+ x8 (x, y)v(x, y) EH Nota La posibilidad de definir funciones f(N, N+) para N normal con funciones borelianas es, por supuesto, posible gracias a que N, N+, conmutan. Por eso, dado un operador A E .91 (H) arbitrario, no normal, sólo es posible en general definir un cálculo funcional holomorfo. Unicamente en casos excepcionales, por ejemplo si el espectro u(A) es un compacto simplemente conexo de interior vacío, puede conseguirse un cálculo funcional continuo, aproximando cualquier f(z, zj continua sobre u(A), como límite uniforme de polinomios en la variable z. APÉNDICE Matrices l. MATRIZ ASOCIADA A UN OPERADOR LINEAL EN A" Matriz representativa de A en la base {ei}: (A;i). Denotaremos por M,.(A) el conjunto de matrices n x n con elementos en A. 2. OPERACIONES ELEMENTALES Trasposición Propiedades (A')'=A. (A 1A 2 ••• A,)'=A~ ... A~A'1 . (A+B)'=A'+B'. Conjugación Propiedades A=A. (A1A 2 ••• A,)=A1 ••• A,. (A+B)=A+B. (A)'=(A'). 294 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Adjunción (A +)ii=A1;. es decir A+ =(A)'. Propiedades A++=A. (A1Az ... An)+=A: ... AtA(. (A+B)+ =A+ +B+. Inversión 1 (A- )11 =detA¡iA, donde A¡- 1 "+.1 es ( -1)' veces el determinante de la matriz obtenida de A suprimiendo la fila i y la columna j. Propiedades 3A - 1e Mn(A)<=>det A :#0. (A-1)-1 =A. (AB)- 1=B- 1 A - 1 • 3. TRAZA Y DETERMINANTE tr A:=I:Aii. Propiedades tr(A+B)=tr A+tr B. tr(AB) = tr(BA). tr(A 1A2 ••• An)=tr(A 2 ••• AnA 1)= ... tr A=tr A'=tr A+. det A= LA 11 A11 (Vi) j Propiedades det(AB)=(det A) (det B). det A :F0<=>3A - 1. detA- 1=(detA)- 1, si 3A- 1. det A=detA'=(detA+). ESPACIOS DE H/LBERT 4. PRODUCTO DIRECTO DE MATRICES Dadas AeMm(A), BeMn(A) definamos A®BeMmn(A) así: (A® B)¡r-l)n+s• (i-l)n+ j=a,¡bsj· a 11 B O sea A®B= ( ~.~ 1 B amtB Propiedades (A+B)®C=A®C+B®C. A®(B+C)=A®B+A®C. A.A®B=A®A.B=A.(A®B). A® B =F B ®A, en general. (A®B)®C=A®(B®C). A, CeMm(A)} {(A®B) (C®D)=AC®BD B, DeMn(A) => det(A®B)=(det Andet B)m A®B=(A® l)·(l ®B). { tr(A®B)=(tr A) (tr B). 3A- 1 , B- 1 =>3(A®B)- 1 =A- 1 ®B- 1 • 5. RANGO r1 (A):=número filas de A l.i. rc(A):=número columnas de A l.i. riA):=max {orden menores de A con det:FO}. Teorema Llamaremos a ese valor común r(A)=rango de A. Propiedades r(A)=dim R(A) r(A)=n<=>det A=FO. (R(A)=recorrido de A). 295 296 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO r(A)=k<=>dim N(A)=n-k r(A)+dim N(A)=n [*]. (N(A):=núcleo de A). r(A +B)~r(A)+r(B). r(AB)~min{r(A), r(B)}. det A =F:O~r(AB)=r(BA)=r(B). r(A ® B) = r(A) · r(B). Nota Pese a [*] no siempre es cierto que R(A)$N(A)=A", AeM,.(A), como A=(~ ~} muestra Sin embargo, si A es normal o idempotente, entonces sí es cierto. 6. TIPOS IMPORTANTES DE MATRICES EN M,.(R) Simétricas Autoadjuntas Unitarias Nilpotentes Idempotentes Normales Simples A'= A Antisimétricas A'= -A Antiautoadjuntas A+= -A Ortogonales A'= A - 1, A real 3 entero k>O tal que At=O A+ =A A+ =A- 1 A 2 =A A+ A=AA+ 3 base lineal en C" formada por vectores propios (véase abajo) de A. Las autoadjuntas se llaman también hermíticas. Relaciones mutuas i) A real simétrica A ortogonal ii) A hermítica A unitaria ~A ~A ~A ~A hermítica. unitaria. normal. normal. Propiedades i) A antisimétrica orden impar~det A=O. A hermítica~det A e R. ii) A normal<=>3 base ortonormal en C" de vectores propios de A. A normal~ A simple (Recíproco falso: A= G~)} ESPACIOS DE HILBERT 297 iii) A normal o idempotente=>R(A)E§N(A)=Cn. A=(~ ~) que tiene un solo vector propio iv) Ejemplo de matriz no simple: independiente. A ~O, B ~O=> AB ~O si y sólo si AB = BA (En particular A~O=>A 2 ~0). Pasatiempos: B= Pero A~B=/>A 2 ~B 2 • Tomar A=(~ ~). ~( -~ -~} A, Be M 3(IR), ortogonales ambas con det A =det B= 1=> r(A+B)#2. (Stieltjes, 1887). 7. ESPECTRO Y VECTORES PROPIOS Se llama polinomio característico de AeMn(IR) al polinomio c(A.):=det(A.-A). Es de la forma: donde ci denota la suma de todos los menores principales j xj de A. Por ejemplo c 1 =tr A, cn=det A. Ejemplo A= ( ~ -1 Si c(A.)=(A.-A. 1 )P<;., 1(A.-A. 2)P<;.,, ... (A.-A..),.<;.,,, A.¡#A.i si i#j, se llama a A. 1 , ••• ,A.., valores propios de A con multiplicidades (algebraicas) respectivas JL(A. 1), ••• , JL(A..). Por espectro de A se entiende el conjunto u(A)={A.J~. Es claro que s~n. S LJL(A.i) = n. 1 Notación Denotaremos por 0'419 (A) a la familia de números A.¡, ... , A.¡, A.2, ... , A.2, A.3, ... , A.., ... , A..= A.'¡, A.í, ···• A.~=[A.í]7 ~ '-v--' ~ JL(A. 1) JL(A.2) JL(A..) Todo v#O tal que Av=A.v se llama vector propio de A con valor propio A.. 298 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Propiedades i) A.eu(A)<=>3v~O. Av=A.v. ii) A. 1, A. 2 eu(A), v1 ~O~v 2 } A.1 ~ A2 Av 1 =A. 1 v1 , Av 2 =A. 2 v2 iii) Jl(A.)~dim => vl, V2 l.i. N(A.-A), 'v'A.eu(A). Puede darse la desigualdad estricta. Ejemplo A=(~ ~). A.=O. Terminología: Jl(A.) =multiplicidad algebraica de A., dim N(),- A)= multiplicidad geométrica de A.. iv) u(A)=u(BAB- 1 ), 'v'B no singular. Definición Se dice que dos matrices A, BeM"(C) son similares si 3T no singular tal que A= TBT- 1 • Y se dicen unitariamente similares o unitariamente equivalentes si 3 T unitaria tal que A= TBT- 1 • La propiedad iv) puede reformularse diciendo que matrices similares tienen idéntico espectro. El recíproco es falso, como muestran A=(~ ~). B=(~ ~). ambas con espectro {0}, pero no similares. 8. CÁLCULO VARIACIONAL DE u(A), A AUTOADJUNTA Sea AeMn(C) tal que A=A+. Definamos (A).,= (v, Av), O~veC". (v, v) Claramente (A)., es una función real tal que (A) 01 ., =(A),., por lo que se puede considerar definida sobre {veC": llvll = 1}. En los próximos teoremas se consideran los elementos de u. 111 (A) (que son siempre reales) ordenados así: A.í ::s;; A.í ::s;; .. • ::s;; A.~. Teorema a) (A).,e[A.'~o b) A.~= A.:J, 'v'v. max (A),, A.'1 = min (A),. llvll=l llvll=l ESPACIOS DE HILBERT 299 Demostración Consecuencia inmediata de los resultados generales en el Capítulo 11. Teorema (Propiedad variacional) <A > v como función de las componentes de v, tiene valor estacionario en v = v0 • Exactamente, (A)v. =A.0 • Demostración Queremos probar que vector conjugado Pero o [a~i (A)vl. =0, Vj, siendo vi laj-ésima componente del v. (Para las otras variables independientes vi se razona igual.) Av)= ¿Aikvk, y por otra parte 37 (v, u~ k o u~ 0~i (A)v= llvll- [(v, v)~Aikvk-vi(v, Av)J.que en v=v 4 v) =vi. Luego 37 (v, 0 se anula por ser Av0 =A.0 v0 • (CQD). Teoremas (de min-max y max-min) Sea nk un subespacio k-dimensional cualquiera de C". Y denotemos por !/k el conjunto de tales subespacios. Dada A=A+ en M,.(C), si u. 11 (A)=[A.m se tiene: ),í=min max (A)v (min-max, Fischer, 1905) nj e.'/'1 O,.t·eni A.í= max min (A)v (max-min, Weyl, 1911) ni-1 e'/' i-1 O,.t·.lni-1 9. LOCALIZACIÓN DE LOS V ALORES PROPIOS Al variar los coeficientes de A e M ,.(C), es evidente que los valores propios de A varían de manera continua, pues son las raíces de un polinomio en dichos coeficientes. Sin embargo, deben mirarse con cierta suspicacia estas afirmaciones de continuidad, desde el punto de vista numérico, pues puede que la variación de los valores propios sea muchísimo más rápida que la de los coeficientes de la matriz. 300 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO o 1 o ...... o ooto ... o o o o 1 ..... . Por ejemplo si A(e)= ... ... ... ... ... ... eM 20 (C) se tiene u(A(O))={O}, oooo ... r e O O ...... O mientras que 0.1 eu(A(l0- 20 )), y sin embargo es 0.1>> w- 20 • Como resultado de carácter cuantitativo, citemos: Teorema (Gersgorin) 11 Sea A e M,.(C) y llamemos P/:= L IAilcl· Entonces: /c=1 lc*i Nota Basándose en u(A)=u(BAB- 1 ), y escogiendo por sencillez B diagonales, puede mejorarse en la práctica la utilidad del teorema de Gersgorin. Definición Dada AeM,.(C) es claro que IIAII 2 =(~1Aiil 2) 112 proporciona una norma lo} sobre M,.(C). Se conoce como norma euclídea de la matriz A. Coincide evidentemente con la norma Hilbert-Schmidt. Teorema (Schur) Sea A con u. 111 (A) =[A.;]~, B =(A+ A+ )/2, C =(A- A+ )/2i. Entonces: 11 b) ¿¡Re A.jl 2 ~ IIBII~. 1 ESPACIOS DE HILBERT 301 11 e) 'LIIm..tji 2 ~IICU~t d) Se da la igualdad en alguna de ellas<=>se da en todas<=>A normal. Corolario (Hirsch) l..ll ~ n · ~a,x IAiJI I,J ..teu(A), AeM11 (C)=> 11m ..ll ~ n · ~ax ICiJI 1,} (Generalmente son mejores las localizaciones obtenidas por el método de los discos de Gersgorin.) Otro bloque de resultados que apuntan hacia la localización de valores propios se conoce en el caso de aquellas matrices A tales que A¡1>0, Vi,j (simbólicamente 11 L A1~c=suma de escribiremos AC>O). Denotaremos en el próximo enunciado cp1 =. /c=l la fila j. Teorema Sea AC>O, AeM,.(C). Entonces: i) 3..t 1 eu(A) tal que ..l 1 >0 y ..l 1 >l..l), V..t1 restantes en u(A). ii) ¡.t(..l 1)= 1 y mjn cp1 ~..l1 ~m:x cp1. iii) ..l 1 >A11, Vj, si n;;¡¡:2. iv) 3 vector propio v1 de A con valor propio ..t 1 , que tiene todas sus componentes positivas v) u(A) está dentro del llamado «Óvalo de Cassini», de ecuación en el plano complejo donde A¡¡, A 11, son los dos elementos más pequeños de la diagonal de A. vi) Sean M=~~x A¡1, m=~i~ AiJ. I,J Entonces dado ..l:#..l 1 en u(A)=> I,J M-m M+m l..ll~..ll-­ 302 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO Gran parte de este teorema se debe a Frobenius y Perron. La cota vi) se debe a Hopf. 10. DIAGONALIZACIÓN Teorema general de triangulación VAeMn(C) es unitariamente equivalente a una matriz triangular ( AOÍ AÍ ? ) , u811 (A) = [Aj]~ A~ Teorema diagonalización A es unitariamente similar a una matriz diagonal<=> A+ A= AA+. A es similar a una matriz diagonal<=>A simple. En cuyo caso la matriz diagonal tiene en la diagonal los Ajeu.11 (A). Nota: A real simétrica=>3B ortogonal tal que BAB- 1 es diagonal. 11. POLINOMIO MÍNIMO r Se dice que un polinomio 1t(x)= Locixi aniquila a la matriz A si 1t(A)= o r LociAi=O. Se llama polinomio mínimo de A a cualquier polinomio no idénticameno te nulo de grado mínimo entre los que aniquilen a A. Teorema a) Salvo un factor constante, el polinomio mínimo es único. b) Todo polinomio que aniquile a A es divisible por el polinomio mínimo. Antes de exponer la relación del polinomio característico c(A) con el polinomio mínimo m(A), construyamos la matriz ( H ) con elementos (..r-:::A)ii=( -l)i+i veces el determinante de la matriz obtenida ,......__ de (A-A) al suprimir la fila i y la columnaj. Los elementos de matriz de (A-A) son polinomios en A. Sea d(A) el máximo común divisor de los elementos de matriz de (A'::A.). ESPACIOS DE HILBERT 303 Teorema i) El polinomio característico de A aniquila a A: c(A)=O (Cayley, Hamilton y Frobenius). ii) c(A.)=d(A.)m(A.). iii) Si AeM,(C) tiene todos sus n valores propios distintos, entonces c(A.)=m(A.) . • iv) Si A tiene polinomio característico c(A.)=ll(A.-A.1)" 1AJl, con A¡~A.1, Vi~j. • 1 entonces su polinomio mínimo es m(A.)= ll<A.-A-1)111 , 1 ~P1 ~Jl(A.1), Vj. 1 12. TEOREMA ESPECTRAL Sea A e M,(C) simple, con 0'818 (A) = [A.j]~. Sean {v1 }~ vectores propios l.i. de A: Av1 = A.jv1. Sean {wkH vectores propios l.i. «por la izquierda» de A: w~A = A.j. w~. Escojamos los w~ tales que w~v1 =15Jk· Entonces " 1 A=LA.)E 1 donde las matrices E1 cumplen las siguientes propiedades: i) Ej=VjW~. ii) EJ=E1. iii) E1Ek=0, j~k. iv) " 1= l. ¿E 1 v) A=A+~E1 =E/. Nota: La existencia y adecuada elección de los {wk}~ en el teorema es posible por ser A simple (~diagonalizable). Corolario Sea AeM,(C) hermítica, con u(A)={A.1}L s~n. Sea S1 el subespacio de vectores propios de A con autovalor A.1. Entonces con P1 =proyector ortogonal sobre S1. Este corolario estaba ya contenido en formulación distinta en el teorema de diagonalización. 304 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 13. CÁLCULO FUNCIONAL Dada una función f(.), ¿puede definirse f(A), A e Mn(C), manteniendo las N reglas del álgebra de funciones? Cuando f es un polinomio f(A.) = P(A.) =LanA.", o no hay ningún problema: Más aún, como el polinomio mínimo m(A.) de A es tal que m(A) =O, dividiendo polinomios=> P(A.) = Q(A.)m(A.) + R(A.) con grado R(A.)<grado m(A.). Es decir, en matrices: P(A)=R(A). Todo polinomio se reduce a uno de grado menor que el de m(A.). Veamos cuándo dos polinomios P 1 (.), P 2(.) producen la misma matriz Sea D(A.)=P 1 (A.)-P 2(A.). Como D(A)=O, D es divisible por el polinomio mínimo. Luego si m(A.)=(A.-A. 1)P• ... (A.-A..)P• entonces D(A.1)=D'(A.1)= ··· =D1Prli(A.1)=0 , (j= 1, 2, ... , s) Lema Dos polinomios P 1, P 2, dan P 1 (A)=P 2(A) si y sólo si Pt(A.J)=P2(A.1), P'dA.i)=Pí(A.i), ... , PtiPrli(A.J)=P21Prtl(A.J) , (j=1, 2, ... , s) Diremos que una función f es A-admisible si 3f'/c1(A.1), Vj= 1, 2, ... , s, Vk=O, 1, ... , Pj-1. Definición Dada f A-admisible, con A simple, definimos f(A)=L 1 (A), donde L 1 es el polinomio de interpolación de Lagrange ESPACIOS DE HILBERT 305 Nota: Todo lo anterior puede generalizarse a cualquier AeMn(C) de la siguiente manera: Teorema espectral general AeMn(C)=>3 matrices Eki tales que donde saber: pk, s denotan los enteros que aparecen en el polinomio mínimo de A, a S m(A.) = 0 (A.- A.k)11• , A.i =#: A.k si j =#:k k=l con las siguientes propiedades: i) Efi = Eki si y sólo sij = l. ii) EkiE1m=0 si k=#=l. S iii) IEu = l. 1 iv) Eu Ek,= Ek,. Cálculo de Eki con Yk =círculo positivamente orientado y centrado en A.k, suficientemente pequeño para no encerrar ningún otro A.i. I [Por J = B(z)dz se entiende la matriz cuyos elementos Jii se definen como J¡i(z)= I B¡i(z)dz.J Casos particulares A= A+ =>Eu =proyector ortogonal sobre el subespacio propio de autovalor A.k e u( A). 306 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO n <A-J.¡) S A simple~VP1 = 1 y además Eu = j= 1 1: : - " - - -=-: fl (J.,.-J.¡) j=1 j~k Funciones de A e M n (C) arbitraria . , Si fes A-admisibl~, ~~define f(A)~P1 (A), co?/.){ 1=polinomi~ de interpolacton de f con datos IDIClales f(J. 1), f (J.¡), ... , f 1 (J.1), para J= 1, 2, ... , s. Concretamente puede probarse que P1 (J.)= L [a· 1 +a·2 (~~.-~~..)+ ... +a-11 (~~.-~~..) s 1 1=1 donde 1 1 1 1 1 1 fl·-1] 1 i 1 1 m(J.) (J.-J.1) 11i d"- 1 [f(J.) (J.-J.1)11i] _ 1 a¡,.= (k-1)! dJ."- 1 m(J.) A=A· J En particular si f es analítica en un entorno índice n(y, J.1)= 1, VJ.1 eu(A), entonces: 1 f(A)= 21ti n de f f(z) (z-A) y u(A) y yen es un ciclo con 1 dz Ejemplos i) -1)2 , A=(~ f(J.)=eA~ f(A)=eA= e(33 -l)+e -1 2 (-l -3 31). 5 3 2 A es simple con m(J.)=(J.-3) (J.-5). y f(J.)=eA•~e·A= es'(3 ii) A= 2 3 ~ o~ o~ ~) ~sen ( 1 iü) A- ( ~~ !) y -1)+ e3•(-l 31)· -1 2 -3 A= ( ~~~ o o ) 1 f de clase C' en 1-0 (esto es. A-admisible)~ ESPACIOS DE H/LBERT /(0) f(A)= ( ~ 307 f' (O) !/"(O) ) /(0) f'(O) O /(0) Porque m(A.)= ..P, y el polinomio de interpolación es ahora: P¡(A.)=/(0)+ f'(O)A.+ f'iO) A_2 iv) Generalizar este ejercicio anterior a dimensión n. Cerramos este apartado con una formulación del cálculo funcional que está mucho más próxima del análogo para operadores en espacios de Hilbert. Teorema (Cálculo funcional analítico) Dada AeMn(C), la aplicación que a cada función f holomorfa en un abierto O=> a(A) le asigna una matriz f(A)= -21 .ff(z)(z-A)- 1 dz 1tl A (donde y e: O es un ciclo positivo simple que rodea a a(A)) tiene las siguiente propiedades: a) (rxf + pg) (A)= rxf(A) + pg(A). b) (fg) (A)= f(A)g(A). N N o o e) f(z) = Laizi => f(A) = LaiAi. d) f(BAB- 1 )=Bf(A)B- 1 • e) Av=A.v=> f(A)v= f(A.)v. f) a(f(A)) = f(a(A)). Propiedad adicional g) Si f 2 e Q(a(A)) y / 1 es analítica en un abierto que contenga a a(/2 (A)), y denotamos f(z) = / 1 ( /2 (z)), entonces f(A) =/ 1 ( /2 (A)). 308 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO 14. CASO PARTICULAR: FUNCIÓN EXPONENCIAL A-+eA= f~A", converge en norma en el sentido de que lleA- I~A"II-o. n. n. oo N ... 0 0 La convergencia es clara por ser el radio de convergencia de la serie e" infinito: «) 1 IIAII <oo~ Ll IIAII"<oo. o n. Propiedades l. [A, B]=AB-BA=O~eAe8 =eA+B. Es falsa en general si A, B, no conmutan. 2. Si [A, B] conmuta con A y con B~eAe8 =eA+BeiA.Bll 2 • 3. (eA)-1 =e-A. 4. BeA B-1 =eBAs-1. 5. det(eA)=e1rA. 6. (eA)+=eA+. Ejercicios i) A=(~ .. ) A 11 i =2 1) (1 1) O ~e Á = O 1 · (O1 o' 1) B = J21(-11 !} Comprobar que eBAB- 1= BeA B- 1 • iii) Calcular det(eA) directamente y comprobar que coincide con euA, para A=(~ ~} Lista de símbolos A: XB(x): f!A: ¡,t(B): Cuerpo de escalares (~ o C). Conjunto de matrices n x n con coeficientes en A. Conjunto de funciones continuas complejas definidas sobre el intervalo cerrado finito [a, b). Idem sobre X. Conjunto de puntos x que satisfacen P(x). Espacio lineal engendrado por X. Linealmente independiente(s). Dimensión lineal (o algebraica) de L sobre A. Suma lineal directa. Dominio de la aplicación T. Recorrido de la aplicación T. Complejo conjugado de A., z, f, ... Conjunto de aplicaciones lineales de L 1 en L 2 con dominio L 1 • Definido como ff'(L, L). Aplicación (o relación, en su caso) inversa de T. Gráfico de la aplicación T. Isomorfismo de L 1 con L 2 • Cardinal de X. Cardinal de N. Cardinal de R Norma (de un vector, §2.1; de un operador §6.1; de un funcional § 7.2). Normas (§2.1, §3.5). Espacios Banach de sucesiones (§2.1, §4.6). Cierre topológico de X. Interior topológico de X. Base canónica. Función característica del conjunto B. Familia de conjuntos borelianos en R Medida de Borel-Lebesgue del conjunto B. f fdx: Integral de Lebesgue de M,(A): C[a, b]: C(X): {xiP(x)}, {x:P(x)}: lin(X): l.i.: dimA(L), dim (L): E§: D(T): R(T): I,z,f, ... : ff'(L t' L2): ff'(L): T-1: r(T): L 1 ~L 2 : X: ~o: e: ,,. 11: 11 . IIP' l~. lf: 11 . 11 oo: X: xo: e 1 , e2 , •.• : 8 ff'P(. ), If(. ): C.d.: v.lw: f sobre el conjunto B. Espacios de Lebesgue. Abreviatura de «casi doquiera» (§ 3.4). v, w, son ortogonales. 310 LORENZO ABELLANAS Y ALBERTO GALINDO M l.: d(H): T+ 1 , T_ 1 : Complemento ortogonal de M. Suma y resta ortogonal directa. Número y operador unidad. Conjunto de operador lineales acotados de H 1 en H 2 , con dominio H 1 • Abreviatura de d(H, H). Operadores que desplazan las componentes. An~A. A=u-lim An: Límites uniformes de operadores. An!.A, A=f-lim An: Límites fuertes de operadores. Ea. e: 1: d(H 1 , H 2 ): An~A. A=d-lim An: Límites débiles de operadores. Operador adjunto y operador inverso de A. [A, B]: Conmutador de A, B. Relación parcial de orden entre operadores autoA~B: adjuntos. Raíz cuadrada y módulo del operador A. A 112 • IAI: 9'(/),f Transformada de Fourier de f. N(W), D/(W): Núcleo y dominio de isometría de W. re(H), re 1 (H), re 2(H): Conjuntos de operadores compactos, de clase traza y de tipo Hilbert-Schmidt. 11·11 1 , 11·11 2 : Normas en re 1 (H) y re 2(H). tr A: Traza de A. u(A), up(A), u.(A), u,(A): Espectro, espectro puntual, espectro continuo y espectro residual de A. p(A): Conjunto resolvente de A. H;.(A): Subespacio propio de A asociado al valor propio A.. v(A): Rango numérico de A. Norma del núcleo k. lllklll: Operador integral con núcleo lk(x, y)l. K¡¡: Núcleo resolvente. r;.(·,-): Conjunto de funciones borelianas acotadas sobre X. g,Jacot(X ): E,.(B), E(B): Proyectores espectrales de A sobre el boreliano B. Idem sobre (- oo, A.). Et,E;.: f(A), E..t[f]: Función de un operador A. §: Indicador de sección. A+, A- 1 :