Complementos de Matemática Aplicada

Universidade Federal Fluminense Complementos de Matemática Aplicada Professora Maria Emilia Neves Cardoso Notas de Aula / 2º semestre de 2017 1 Capítulo 1: Noções Iniciais Neste capítulo faremos uma breve revisão das ideias básicas de equações de retas e de funções, necessárias à boa compreensão do texto. 1.1 – Coeficiente angular e equações de retas As linhas retas num plano têm equações muito simples, relativamente a um sistema de coordenadas cartesianas. Estas equações podem ser deduzidas utilizando-se o conceito de coeficiente angular. Definição: Sejam (x1, y1) e (x2, y2) pontos distintos de uma reta r. Se x1  x2 então o coeficiente angular (ou inclinação) m de r é dado por m= y 2  y1 x 2  x1 Exemplo 1: Ache o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (–2, 5) e (3, –1). Solução: m = 1 5 6  3  (2) 5 Exemplo 2: Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos (7, 1) e (3, 1). Solução: m = 11 0  0 37 4 Observação: O valor de m calculado pela definição anterior é independente da escolha dos dois pontos em r. Seja (x1, y1) um ponto dado de uma reta de coeficiente angular m. Então, para qualquer outro ponto (x, y) da reta com x ≠ x1 temos que y  y1 =m x  x1 Daí, multiplicando ambos os membros por (x – x1) obtemos a equação da reta na forma ponto-coeficiente angular. y – y1 = m(x – x1) (1) Se o ponto conhecido é aquele em que a reta corta o eixo y, e é denotado por (0, b), então a equação (1) torna-se y = mx + b (2) Neste caso, b é chamado de interseção y da reta ou coeficiente linear e (2) é a equação da reta na forma coeficiente angular-interseção (ou equação reduzida da reta). 2 Exemplo 3: Escreva, em cada caso, a equação da reta que: a) passa pelos pontos (4, – 2) e (5, 8). b) passa por (2, – 3) e tem coeficiente angular – 4. c) tem coeficiente angular 2 e coeficiente linear – 5. Solução: a) m = 8  (2)  10 54 Então por (1) a equação da reta é y – 8 = 10(x – 5) ou y = 10x – 42 b) Por (1), y – (– 3) = – 4(x – 2)  y + 3 = – 4x + 8  y = – 4x + 5 c) Por (2), y = 2x – 5 Observações: 1 – O coeficiente angular de uma reta vertical não é definido, por isso as fórmulas (1) e (2) não são apropriadas para se obter sua equação. Mas como as primeiras coordenadas de todos os pontos de uma reta vertical são iguais, uma reta vertical que passa pelo ponto (x1, y1) tem equação x = x1. 2 – Duas retas não verticais são paralelas se e somente se seus coeficientes angulares são iguais, isto é, r // s  mr = ms 3 – Duas retas não verticais são perpendiculares se e somente se o coeficiente angular de uma é igual ao simétrico do inverso do coeficiente angular da outra, ou seja, r  s  mr = 1 ms 4 – O coeficiente angular de uma reta é uma constante. O número y2 – y1 é a variação na coordenada y e x2 – x1 é a variação na coordenada x. Dessa forma, o coeficiente angular de uma reta fornece a razão entre a variação de y e a variação de x, ou ainda, a taxa de variação de y em relação à x. 3 1.2 – Função Intuitivamente, a palavra função está associada à ideia de dependência. Quando dizemos que a demanda de carne é função do preço do produto, que o preço cobrado para enviar um pacote pelo correio é função do peso do pacote ou que a área de um quadrado é função de seu lado, o que pretendemos dizer é, que a demanda de carne depende do preço do produto, que o preço cobrado para enviar um pacote pelo correio depende do peso do pacote e que a área de um quadrado depende de seu lado. Em termos gerais, uma função consiste em dois conjuntos e uma “regra” que associa a cada elemento de um conjunto um único elemento de outro. Vamos supor, por exemplo, que um fabricante esteja interessado em determinar o efeito do preço sobre o número de unidades vendidas de certo produto. Para estudar essa relação, é preciso conhecer o conjunto de preços admissíveis, o conjunto de vendas possíveis e uma regra para associar cada preço a um determinado número de unidades vendidas. A definição que vamos adotar é a seguinte: Definição: Uma função de um conjunto A em um conjunto B é uma relação que associa a cada elemento x de A um único elemento y de B. Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e seja a relação de A em B que a cada elemento x de A associa y = 2x em B. Assim, x = 1 está associado a y = 2 x = 2 está associado a y = 4 x = 3 está associado a y = 6 Esta relação é uma função de A em B, pois cada elemento de A está associado a um único elemento de B. As letras f, g e h serão usadas para representar funções, embora seja comum, em situações práticas, usar letras que lembrem as grandezas envolvidas. O conjunto A é chamado de domínio da função e o conjunto B de contradomínio. Quando o domínio e o contradomínio de uma função f são subconjuntos de números reais dizemos que f é uma função real. As funções estudadas neste texto serão sempre reais de uma variável real. A letra x que representa um número arbitrário do domínio de uma função f é chamada de variável independente; a letra y cujo valor depende do valor atribuído a x é chamada de variável dependente. O valor y que uma função f associa a um número x pertencente ao domínio é chamado de imagem de x por f e denotado por f(x). Assim, por exemplo, quando escrevemos que f(2) = 4 estamos indicando que 4 é o número que a função f associa ao número 2 ou que 4 é a imagem de 2 por f. O conjunto imagem de f é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) obtidos quando x varia por todo o domínio. Funções também podem ser representadas por tabelas e descrições por palavras. Outras se representam naturalmente com gráficos, como o eletrocardiograma (EKG). Embora seja possível construir uma fórmula para representar aproximadamente uma função EKG, isto raramente é feito. O que o médico precisa é o esquema de repetições, e é muito mais fácil vê-lo num gráfico do que em uma fórmula. Mas cada EKG representa uma função que dá a amplitude de impulsos elétricos gerados no músculo cardíaco em função do tempo. 4 Para representar geometricamente uma função real em um gráfico, costumamos usar um sistema de coordenadas no qual as unidades da variável independente x são marcadas no eixo horizontal e as unidades da variável dependente y são marcadas no eixo vertical. O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x pertence ao domínio de f e y = f(x). Embora uma função real f possa ser descrita de várias formas, é comum que seja definida enunciando apenas a “regra” para achar f(x), como por exemplo, f(x) = x . Nesse caso, fica subentendido que o domínio de f é o conjunto de todos os números reais que tornam possíveis as operações indicadas na regra. Nesse exemplo o domínio de f é o conjunto de todos os números reais maiores ou iguais a zero. Observações: 1) f é uma função polinomial de grau n, se: f(x) = anxn + an – 1 xn – 1 + … + a1x + a0 onde os coeficientes an, an–1, … , a1, a0 são números reais com an ≠ 0 e n é um número inteiro não negativo. Exemplos: a) f(x) = 7 é uma função polinomial de grau 0. b) f(x) = 3x2 – 8x + 1 é uma função polinomial de grau 2. c) f(x) = x5 – 5x2 – 6x + 2 é uma função polinomial de grau 5. 2) Uma função racional é um quociente entre duas funções polinomiais. 3) Função algébrica é aquela que pode ser expressa como soma, diferença, produto, quociente ou potência racional de polinômios. As funções que não são algébricas são chamadas de transcendentes. As funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas são exemplos de funções transcendentes. Exercícios de fixação Nas questões de 1 a 5, determine os domínios e os valores indicados das funções dadas. 1) f(x) = x2 + 4 a) f(–1) 2) f(x) = a) f(7) b) f(0) 1 c) f   2 d) f( 2 ) b) f(–1) 1 c) f   2 3 d) f   4 1 x e) f( 2 ) 5 3) f(x) = x x 1 2 a) f(0) c) f(2) d) f(5) b) f(3) c) f(4) d) f(6) b) f(2) c) f(0) d) f(10) x2 4) f(x) = a) f(2) 5) f(x) = b) f(–2) 3 x2 a) f(1) As funções das questões 6 e 7 a seguir são definidas por regras distintas em diferentes partes de seus domínios. Tais funções são “definidas por mais de uma sentença” ou “definidas por partes”. Determine o domínio e os valores especificados de cada uma delas:  1  6) f(x) =  x  1 4x 2  1 a) f(0) se x  1 se x  1 c) f( 3 ) b) f(1) d) f(4) x0  1 se  7) f(x) =  5 se 0  x  2  1 se x2  a) f(–5) b) f(0) 1 d) f   2 c) f(2)  11  e) f   3 Respostas: 1) Dom(f) = IR a) 5 2) Dom(f) = IR* a) 17 4 b) 4 c) b) – 1 c) 2 3) Dom(f) = IR – { –1, 1} a) 0 b) 4) Dom(f) = [2, ∞) a) 0 b) 1 1 7 d) 6 2 3 d) 4 3 e) c) 2 3 d) c) 2 2 5 24 d) 2 2 5) Dom(f) = IR a) – 1 b) 0 c) 6) Dom (f) = IR a) – 1 b) 5 c)13 d) 65 7) Dom (f) = IR a) – 1 b) 5 c) 5 d) 5 3 1 d) 2 e) 1 6 Capítulo 2: Limite de uma função real O Cálculo Diferencial e Integral é um importante ramo da Matemática com um grande número de aplicações: plotagem de curvas, otimização de funções, análise de taxas de variação e determinação de áreas, entre outras. O que distingue o Cálculo da Álgebra é o conceito de limite que é o ponto de partida para definir todos os outros conceitos do Cálculo, como os de “derivada” e “integral”. Na linguagem comum, as pessoas se referem ao limite de velocidade, ao limite de peso de um lutador, ao limite de resistência de um maratonista, ou ao fato de esticar uma mola até o limite. Todas essas frases sugerem que o limite é uma fronteira que em certas circunstâncias não pode ser atingida, mas em outras pode ser atingida ou mesmo ultrapassada. Um limite matemático se parece com esses limites. Nesse capítulo vamos apresentar uma ideia intuitiva do conceito matemático de limite e mostrar como pode ser calculado. 2.1 – Noção intuitiva do conceito de limite Falando de maneira geral, o processo de determinar o limite de uma função real f consiste em investigar o comportamento do valor de f(x) à medida que a variável independente x se aproxima de um número c, que pode ou não pertencer ao domínio de f. Vamos supor que queremos saber o que acontece com f(x) = aproxima de 1. x2  x  2 à medida que x se x 1 Embora f(x) não seja definida em x = 1, podemos avaliar f(x) para valores de x próximos de 1. Para fazer isto, preparamos uma tabela como a que aparece a seguir: x 0,9 0,95 0,99 0,999 1 f(x) 2,9 2,95 2,99 2,999 – 1,001 3,001 1,01 3,01 1,05 1,1 3,05 3,1 Os valores da função nesta tabela sugerem que:  f(x) se aproxima do número 3 à medida que x se aproxima de 1 de ambos os lados.  Podemos obter valores para f(x) tão próximos de 3 quanto quisermos, bastando para isso tomar valores de x suficientemente próximos de 1. Esse comportamento pode ser descrito, intuitivamente, dizendo que “o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a 3” e abreviado por lim f(x) = 3 ou lim x 1 x 1 x2  x  2 =3 x 1 Geometricamente, a expressão “o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a 3” significa que a altura do gráfico de y = f(x) se aproxima de 3 à medida que x se aproxima de 1. 7 x2  x  2 O gráfico de f(x) = é uma reta com um x 1 “buraco” em (1,3), e os pontos (x, y) no gráfico se aproximam desse buraco à medida que x se aproxima de 1 de ambos os lados. Temos a seguinte definição (informal) de limite: Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto em torno de c, exceto talvez em c. Se o valor de f(x) fica arbitrariamente próximo de L para todos os valores suficientemente próximos de c, dizemos que f tem limite L e escrevemos: lim f(x) = L x c Ao definirmos limite, admitimos que f é definida para todos os valores de x nas proximidades de c, mas não necessariamente em x = c. A função não precisa existir em x = c, e mesmo que exista, seu valor f(c) neste ponto pode ser diferente do limite quando x tende a c. Isso está ilustrado na figura 1 abaixo. Para as três funções representadas, o limite de f(x) quando x tende a c, é igual a L, embora as funções se comportem de forma bastante diferente em x = c. Em (a), f(c) é igual ao limite L; em (b), f(c) é diferente de L, e em (c), f(c) não está definido. figura 1 A figura 2 abaixo mostra os gráficos de duas funções que não têm limite quando x tende a c. O limite não existe na figura 2(a) porque os “limites laterais” são diferentes, isto é, f(x) se aproxima de 5 quando x tende a c pela direita e se aproxima de 3 (um valor diferente) quando x tende a c pela esquerda. A função da figura 2(b) não tem limite (finito) quando x tende a c porque os valores de f(x) aumentam indefinidamente à medida que x se aproxima de c. Dizemos que funções como a da figura 2(b) têm um “limite infinito” quando x tende a c. Limites laterais e limites infinitos serão estudados mais adiante. figura 2 8 2.2 – Propriedades dos limites Utilizamos uma tabela na seção anterior para nos ajudar a determinar o valor do limite da função dada. O nosso objetivo agora é introduzir propriedades (teoremas) que permitam simplificar o cálculo dos limites de funções algébricas. O teorema 1 se refere aos limites de duas funções lineares elementares. Teorema 1: Sejam c e k números reais. a) lim k  k b) lim x  c x c x c Exemplos: 1) lim 7 = 7 x 5 2) lim x = 4 x 4 O teorema 2 mostra como calcular limites de funções que são combinações aritméticas de funções cujos limites já conhecemos. Teorema 2: Se L, M, c e k são números reais e lim f ( x)  L e lim g(x)  M então: x c x c a) lim (f(x)  g(x))  lim f(x) + lim g(x) = L + M x c x c x c b) lim (f(x)  g(x))  lim f(x) – lim g(x) = L – M x c x c x c c) lim (f(x).g(x) )  lim f(x) . lim g(x) = L.M x c x c  x c  d) lim (k.f ( x )) = k. lim f(x) = K.L x c x c e) lim (f(x)) n  lim f(x) x c x c f) Se M ≠ 0 então lim x c g) lim x c n f(x) = n Exemplos: n = Ln onde n   * lim f(x) f(x) L = x c = g(x) lim g(x) M lim f(x) = x c x c n L , desde que L > 0 se n for par.   x 3 + 2 lim x + lim 5 = 23 + 2.2 + 5 = 17 1) lim (x3 + 2x + 5) = lim x3 + lim 2x + lim 5 = xlim 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 9 2) lim x 0 lim (x  2) lim x  lim 2 02 x2 2 1 x 0 = x 0 = x 0 = =– =– 08 lim (x  8) lim x  lim 8 x 8 8 4 x 0 x 0 x 0 Podemos determinar mais facilmente o limite de funções polinomiais e de algumas funções racionais através do seguinte resultado: Teorema 3: a) Seja p(x) uma função polinomial. Então lim p(x)  p(c) x c b) Seja r(x) = p(x) uma função racional. Se q(c) ≠ 0 então lim r(x)  r(c) x c q(x) Exemplos: 1) lim (x5 – 3x2 + 5x + 7) = 32 – 12 + 10 + 7 = 37 x 2 2) lim x 5 5 15 3x = = 3 9 x4 Teorema 4: Se lim h(x)  L e f é uma função tal que f(x) = h(x) para todos os valores de x x c pertencentes a algum intervalo ao redor de c, excluindo o valor x = c, então lim f(x)  L . x c x2  4 Exemplo 1: Calcular lim x 2 x2 x2  4 não está definida para x = 2, mas para todos os valores de x tais que x ≠ 2 x2 Solução: f(x) = x 2  4 (x  2)(x  2) = =x+2 x2 x2 x2  4 Então, pelo teorema 4, lim = lim (x + 2) x 2 x 2 x2 temos: Além disso, pelo teorema 3 lim (x + 2) = 4 x  4 =4 x2 x 2 2 Portanto lim x 2 Exemplo 2: Calcular lim x 1 Solução: f(x) = temos: 1 x 1 x 1 x 1 x = 1 x 1 x não está definida em x = 1, mas para todos os valores de x tais que x ≠ 1 (1  x)(1  x ) (1  x)(1  x ) = =1+ 1 x (1  x )(1  x ) x 10 Logo, pelo teorema 4, lim x 1 1 x 1 x = lim (1 + x 1 x) Mas sabemos, pelos teoremas anteriores, que lim (1 + x 1 Então lim x 1 1 x 1 x x)=2 =2 Exercícios de fixação Calcule os seguintes limites: 1) lim (3x2 – 2x – 10) 3) lim x 3 5) lim x 4 2x  1 x 2  3x 2) lim x 4 x 1 x 2  2x  3 x 1 4) lim x 1 x 2  16 x4 6) lim x 1 3 5x  6 x2  x  2 x 1 x2  x  6 7) lim 2 x 3 x  4x  3 4  x2 8) lim x   2 2x  4 9) lim 10) lim x  2 11) lim x 4 x 3  2x 2 3x  6 x 0 x 2 x4 12) lim x 3 (x  1) 2  1 x x 6 3 x 3 Respostas: 1) 30 7) 5 2 2) 1 2 8) 2 3) 0 4) – 1 5) 8 4 3 10) 2 11) 9) 6) 3 1 4 12) 1 6 11 Exercícios – lista 1 Determine os limites: 1) lim (5 – 3x – x2) 2) lim (5x2 – 7x – 3) x 1 x 1 x 1 3) lim x 1 x  7 x 0 9) lim x 3 x 1 6) lim x 1 (3  x) 2  9 x 8) lim x 3 x 2  2x  15 x 2  5x  6 11) lim x 1 13) lim x 2 17) lim x 1 3x 3  2x 2  4x  1 x 1 x2 2 x x 0 x  3 16) lim x 1 x 2  6x  7 x 2  2x  3 x 0 x3  x x 12) lim 14) lim x 1  2 19) lim x2  9 x 2  4x  3 x 0 x 3 x 3 x 2  4x  3 x 2 1 10) lim x2 3x 2  x 3 15) lim 8x  1 x 3 4) lim x 2  49 x7 5) lim 7) lim x 3 18) lim x 2 x2  9  3 x2 20) lim x 2 9  x2 x3 (x  1) 3 3x  3 x 2  3x  2 x 2  5x  7 4x  1  3 x2 Respostas: 1) 7 2) 21 3) 1 / 2 4) 3 /2 5) – 14 6) – 1 7) 6 8) 3 9) 8 10) – 1 11) 0 12) 1 / 2 2 13) 0 14) 6 15) 4 16) 0 17) 2 18) 0 19) 1 / 6 20) 2 / 3 12 2.3 – Limites laterais Algumas vezes uma função f se comporta de forma diferente de cada lado de um número c, isto é, tende para valores diferentes quando x tende para c “pela esquerda” e “pela direita”. Essa situação é ilustrada no seguinte exemplo: 3x  2 se x  3 Seja f(x) =   5  x se x  3 A figura mostra que o valor de f(x) tende a 7 quando x tende a 3 para valores menores que 3, isto é, f(x) tende a 7 quando x tende a 3 pela esquerda. Denotamos esse fato simbolicamente como lim f(x)  7 x  3 A figura mostra, também, que o valor de f(x) tende a 2 quando x tende a 3 para valores maiores que 3, isto é, f(x) tende a 2 quando x tende a 3 pela direita. Simbolicamente temos lim f(x)  2 x  3 Esses limites são chamados de limites laterais. Observação: Os teoremas da seção anterior podem ser estabelecidos para limites laterais. No exemplo dado, não existe lim f(x ) , já que os valores de f(x) não tendem para um único x 3 número L quando x tende a 3 pela esquerda e pela direita. O critério para a existência de um limite é dado pelo teorema a seguir. Teorema: O lim f(x) existe e é igual a L se e somente se lim f(x) = lim f(x) = L x c x c x c 3x 2  5 se x  2  Exemplo: Seja f(x) =  3 se x  2  x  5 se x  2  Determine, se existirem: a) lim f(x) x 0 b) lim f(x) x 4 Solução: a) lim f(x) = lim (3x2 – 5) = – 5 x 0 x 0 b) lim f(x) = lim (x + 5) = 9 x 4 x 4 c) Nesse caso precisamos calcular os limites laterais: lim f(x)  lim  (x + 5) = 7 x  2 x 2 e lim f(x)  lim (3x 2  5)  7 x  2 x 2 c) lim f(x) x 2 13 Então lim f(x)  lim f(x) = 7 x 2 x 2 Logo lim f(x) = 7 x 2 Exercícios de fixação: Nas questões de 1 a 4, calcule os limites: 1) lim  (x – 2x + 5) 3 x 2 x2  9 3) lim  x  3 3 x 2) lim x x 0 3x  7 se x  1 5) Seja f(x) =  2  x  2 se x  1 x 2  2x  3 4) lim x 1 x 1 Determine, se existir, lim f(x) x 1  x 2  1 se x  2  6) Seja f(x) =  2 se x  2 Determine, se existir, lim f(x) x 2 9  x 2 se x  2  x2  4  7) f(x) =  x  2 se x  2 Determine, se existir lim f(x) x 2  se x  2  1  x  1 se x  3 8) Seja f(x) =  3x  7 se x  3 a) lim f(x) Determine, caso existam, os seguintes limites: b) lim f(x) x 0 c) lim f(x) x 3 x 5 Respostas: 1) 9 2) 0 3) 0 4) 4 5) não existe 6) 5 7) 4 8) a) 1 b) não existe c) 8 14 2.4 – Continuidade Na linguagem comum, um processo “contínuo” é aquele que ocorre sem interrupções ou mudanças repentinas. Informalmente, dizemos que uma função é contínua se podemos desenhar o seu gráfico “sem tirar o lápis do papel”. Para que uma função f não tenha interrupção em um número c é preciso que a função seja definida em c e que os valores de f(x) para x próximo de c estejam próximos de f(c). Formalmente, a definição de continuidade é expressa utilizando a noção de limite da seguinte maneira: Definição: Uma função f é contínua em um número c se: a) f(c) é definida b) lim f(x) existe x c c) lim f(x) = f(c) x c Exemplo: Verifique se as funções abaixo são contínuas em x = 2 x 1 x2 a) f(x) = x3 – 2x + 1 b) f(x) =  x  1 se x  2  se x  2 c) f(x) =  3 3  x se x  2  x2  4  d) f(x) =  x  2 se x  2  se x  2  1 Solução: a) Temos que f(2) = 5 e lim f(x) = 5. Então lim f(x) = f(2). Logo, f é contínua em x = 2 x 2 x 2 b) f(2) não é definida (o denominador é igual a zero quando x = 2). Então f não é contínua em x = 2. c) Temos que f(2) = 3 Calculando os limites laterais: lim f(x)  lim (3  x)  1 e lim f(x)  lim (x  1)  3 x 2 x 2 x 2 x 2 Como lim  f(x)  lim f(x) então lim f(x) não existe. Logo f não é contínua em x = 2. x 2 x 2 x 2 d) Nesse caso f(2) = 1 e lim f(x) = lim x 2 x 2 x2  4 (x  2)(x  2) = lim = lim (x  2) = 4 x 2 x  2 x 2 x2 Como lim f(x) ≠ f(2) concluímos que f não é contínua em x = 2. x 2 Considerando o teorema 3 da seção 2 e a definição de continuidade, podemos afirmar que: Teorema 1: Uma função polinomial é contínua em todos os números reais. Teorema 2: Uma função racional é contínua em todos os números nos quais é definida. 15 Exemplos: 1) f(x) = 3x2 – x + 5 é contínua em IR 2) f(x) = 3) f(x) = x2 1 é contínua em IR – {– 1} x 1 x2 é contínua em IR x2 1 Observação: Se uma função f não é contínua em um número c, dizemos também que f é descontínua em c. Apresentamos abaixo os gráficos de três funções descontínuas em c. lim f(x) não existe f(c) não é definida x c lim f(x) ≠ f(c) x c Uma propriedade importante das funções contínuas que utilizaremos mais adiante é o teorema do valor intermediário, segundo o qual se f é uma função contínua no intervalo [a, b] e L é um número entre f(a) e f(b) então existe algum número c entre a e b tal que f(c) = L. Isso significa que uma função contínua assume todos os valores entre dois de seus valores. Exercícios de fixação Nas questões de 1 a 5, verifique se as funções são contínuas nos números dados: 1) f(x) = 5x7 + 3x4 – x2 em x = 1 3) f(x) = x2  1 em x = – 1 x 3 2) f(x) = x2  1 em x = 2 x 3 4) f(x) = x2  1 em x = 3 x 3  x 2  1 se x  4  se x  4 em x = 4 5) f(x) =  15 3x  3 se x  4  Respostas: 1) sim 2) sim 3) sim 4) não 5) sim 16 Exercícios – lista 2 Nas questões de 1 a 4, diga se as funções dadas são contínuas em qualquer número real. 3x 3  2x 2  4x  1 x 1 1) f(x) = x5 + 6x4 – 7x2 + 9 2) f(x) =  x 2  2x  3  se x  1 3) f(x) =  x  1  se x  1 4  3  x2  4) f(x) =  0 11  x 2  se x  2 se x  2 se x  2 Nas questões de 5 a 10 determine todos os valores de x onde a função dada é contínua. 5) f(x) = 3x2 – 6x + 9 8) f(x) = 6) f(x) = x4  8 x2  1 9) f(x) = 3x  1 2x  6 x2 1 x cx 2  2x se x  2 11) Seja f(x) =  3  x  cx se x  2 7) f(x) = 10) f(x) = x x x 2 x x 5 2 Para que valor da constante c a função f é contínua em IR? x2  x  12) Explique por que a função f(x) =  x 2  1  1 se x  1 é descontínua em x = 1. se x  1 Respostas: 1) sim 2) não, f não é contínua em x = 1 3) sim 4) não, f não é contínua em x = – 2 5) IR 6) IR – {– 3} 7) IR – {0, 1} 8) IR – {– 1, 1} 9) IR* 10) IR 11) 2 3 12) Porque lim f(x) ≠ f(1) x 1 17 2.5 – Limites que envolvem infinito 2.5.1 – Limites infinitos Nessa seção veremos que algumas vezes o limite de uma função f quando x tende para um número c não existe porque à medida que x se aproxima de c os valores de f aumentam ou diminuem ilimitadamente. 1 Vamos analisar, por exemplo, o comportamento da função f(x) = 2 quando x se aproxima x de zero. É evidente a partir da tabela e do gráfico de f abaixo, que à medida que x fica mais próximo de zero, os valores de f (de ambos os lados) aumentam ilimitadamente. x f(x) – 0,1 – 0,01 – 0,001 0 100 10.000 1.000.000 – 0,001 0,01 1.000.000 10.000 0,1 100 Assim, os valores de f não tendem para um número e não existe lim f(x). x 0 Embora o limite não exista, costuma-se descrever esse comportamento de f dizendo que 1 1 f(x) = 2 tende a infinito quando x tende a zero e escrever lim 2 = . x  0 x x Escrevemos lim f(x) = –  para indicar que os valores de f decrescem ilimitadamente x c (tomando valores negativos muito grandes) quando x tende a c. Notações similares serão usadas no caso de limites laterais. Exemplo: Seja f(x) = x 1 x2 x 1,9 1,99 1,999 1,9999 2 2,0001 2,001 2,01 2,1 f(x) – 29 – 299 – 2.999 – 29.999 – 30.001 3.001 301 31 Vemos que à medida que x se aproxima de 2 pela esquerda, os valores de f(x) diminuem ilimitadamente e, que quando x se aproxima de 2 pela direita, os valores de f(x) aumentam ilimitadamente. Então lim f(x) =  e lim  f(x) = –  x 2  x 2 Segue-se que f não tem limite (finito ou infinito) quando x tende a 2. Observação: Os símbolos ∞ e –  não representam números reais. São apenas notações para indicar que f(x) aumenta ou diminui ilimitadamente quando x se aproxima de um número real. Podemos estudar muitos desses limites raciocinando intuitivamente: se lim  f(x) = L, L  0 e x c f(x) = , com o sinal dependendo dos sinais de L e de g(x) à direita de c. x c x  c g(x) Um raciocínio análogo pode ser feito para o limite à esquerda de c com as mesmas conclusões. lim g(x) = 0 então lim 18 Exemplos: 1) Determine lim  x 3 2x x3 Solução: Temos que lim  2x = 6 e que lim  (x – 3) = 0. Além disso, para x próximo e menor do que x 3 x 3 3, o denominador é próximo de zero e negativo. Então, como o numerador é positivo e o denominador é negativo, o sinal da fração é negativo. Logo lim  x 3 2) Calcule lim  x 5 2x =– x3 7x (x  5) 2 Solução: Temos que lim  (7 – x) = 2 e lim  (x – 5)2 = 0. Quando x está próximo e é menor do que x 5 x 5 5, o denominador é próximo de zero e positivo. Então, como o numerador e o denominador são positivos, o sinal da fração é positivo. Logo lim  x 5 7x = (x  5) 2 x2  5 3) Calcule lim x 1 1 x Solução: Temos que lim (x2 – 5) = – 4 e lim (1 – x) = 0. Quando x está próximo e é maior do que x 1 x 1 1, o denominador é próximo de zero e negativo. Como o numerador e o denominador são negativos, o sinal da fração é positivo. Então lim x 1 4) Determine lim x 1 x2  5 = 1 x x x 1 Solução: Temos que lim x = 1 e lim (x – 1) = 0 x 1 x 1 Quando x se aproxima de 1 pela direita (x > 1), o numerador é positivo e o denominador é positivo; quando x se aproxima de 1 pela esquerda (x < 1), o numerador é positivo e o denominador é negativo. x x Portanto lim =  e lim =– x 1 x  1 x 1 x  1 Então lim x1 x não existe. x 1 19 Exercícios de fixação: Nas questões de 1 a 6, determine, se existirem, os limites: 1) lim x 5 3) lim x 0 5) lim x 0 9x x 5  3x x2 2) lim x 2 x2 1 x2  x 4) lim  x 2 5 x  x2 6) lim x  1 3 1 x x2 x2 x 1 Respostas: 1) ∞ 2) ∞ 3) – ∞ 4) ∞ 5) – ∞ 6) não existe 2.5.2 – Limites no infinito Estamos interessados em estudar agora, o comportamento dos valores f(x) de uma função quando x cresce ou decresce ilimitadamente. Vamos analisar, inicialmente, o comportamento de f(x) = – 10.000 – 1.000 – 100 – 10 – 0,0001 – 0,001 – 0,01 – 0,1 x f(x) 1 através da tabela abaixo. x 10 100 1.000 10.000 0,1 0,01 0,001 0,0001 À medida que x aumenta ou diminui, os valores de f(x) se aproximam de zero. Isso também pode ser observado no gráfico de f, esboçado ao lado. Então lim f(x) = 0 e lim f(x) = 0 x   x  De modo geral, temos: Teorema: Se n é um número inteiro positivo e c é um número real então c c = 0 e lim n = 0 lim x  x n x   x Exemplos: 1) lim x  12 =0 x7 2) lim x   7 =0 x4 Observação: Sabemos que o símbolo ∞ não representa um número, mas a expressão lim f(x) = L é lida como “o limite de f(x) quando x tende para infinito é igual a L”. x  Os valores de f(x) também podem crescer ou decrescer ilimitadamente, quando x → ∞ ou x → – ∞. Por exemplo, os valores de f(x) = x3 crescem ilimitadamente quando x → ∞ e decrescem 20 ilimitadamente quando x → – ∞; os valores de f(x) = – x3 decrescem ilimitadamente quando x → ∞ e crescem ilimitadamente quando x → – ∞. Denotamos isso, escrevendo: lim x 3 = ∞ lim ( x 3 ) = – ∞ lim x 3 = – ∞ x  x   lim ( x 3 ) = ∞ x   x  O limite no infinito de uma função polinomial é igual ao limite de seu termo de maior expoente (pois se colocarmos esse termo em evidência, todos os demais tendem a zero). Por exemplo: 7  3 2  lim (2x5 – 4x2 + 3x + 7) = lim 2x5 1  3  4  5  = lim 2x5 = ∞ x  x  2x  x   2x  x Como consequência, quando tivermos o limite no infinito de um quociente de dois polinômios, ele será igual ao limite do quociente dos termos de maior expoente do numerador e do denominador. Assim, por exemplo: 6x 7 6x 7  5x 4  3x  7 = lim = lim 3x4 = ∞ lim 3 3 x   x    x   2x 2x  6x  9 Exercícios de fixação Calcule os limites: 5 = x4 1) lim x  2) lim x   2 = 3x 5 3) lim (x3 – 3x2 + x – 7) = 4) lim (1 – x2 + x3 + 3x4 – 2x7) = 5) lim (2x5 + x2 – 4) = 6) lim ( – x4 + 5x3 – x + 9) = x  x   x   7) lim x  x  2x  5 = 7x  8 8) lim x   2x 3  3x  5 = 4x 5  2 x 4  3x  5 = 9) lim x   2  4x  x 2 3  2x  x 2  4x 3 10) lim = x   x 3  5x 2  4 11) lim 12) lim x   x 3  3x 2  5 = 8  5x  x 2 x  x 5  7x  5 = 6x 5  4x 2 Respostas: 1) 0 2) 0 3) ∞ 4) ∞ 5) – ∞ 6) – ∞ 7) 2/7 8) 0 9) – ∞ 10) – 4 11) ∞ 12) 1/6 21 Exercícios - lista 3 Determine os limites: x2 x2 1) lim 2x x 1 2) lim  3) lim  3x (x  8) 2 4) lim  x 1 x  8 x  2 x 5 x  2 x 0 x  1 15) lim  3 x (x  1) 2 8) lim x 1 10) lim  x  7 1 x3 13) lim  x 4 x 2 x2 1 x2 11) lim 1 2x 6) lim  1 x (x  5) 2 7) lim x2 1 x2 x 2 x2 1 x2 5) lim  9) lim x 2 12) lim x 0 1 2x  2 14) lim x 4 2x 2  3x  2 x 2  3x  4   lim x 2 x 7 x7 1 x2 5 x4 x 3 x  3x  2 2 Respostas: 1)   2) –  3) –  4) –     5)  6) –  7) –  8)   9) não existe  10) –  11) não existe  12) –    13) –  14) não existe 15) –  16) –  22 Exercícios – lista 4 Nas questões de 1 a 16, determine os limites: 1) lim (2x4 – 7x + 1) 2) lim (2 + 5x – x2 + 4x3) 3) lim (6x – 10x2) 4) lim ( – x5 + x3 + 9) 4 5) lim 5 x  x 6) lim x  x   x  7) lim x  9) lim x  13) lim x   x   x2 x4 8) lim x  2x 4  x 2  4  x 2  2x  7 x   3  10x 2 x  7 2x 2 11) lim 15) lim x   10) lim x   6x 4  1  5x 3 x 2  3x  1 3x 3  1 1 x2 12) lim x   1  2x 5  x  7x 2 x 3  2x  1 14) lim x  2x  3 6x  7 16) lim x   4x  1 4x 2  3x  x 3 5 Respostas: 1)  2) –  3) –  4)  5) 0 6) 0 7) 0 8) 1 9) –  10) 0 11)  12) –  13) 0 14) – 4 15) 1 / 3 16)  23 Exercícios de revisão de limites – lista 5 Determine os limites abaixo: x 2  3x  2 1) lim x 2 x2 1   3) lim  x   x 1 x  x  1 7) lim x   9) lim x   13) lim x   15) lim x   17) lim x 0 19) lim x 0 1 x3 x  3 6) lim 1  6x 3 2x 3  3x 8) lim x 2  16 3x  12 x  x 4 x 3  5x 2 3x x 1 4) lim  6 x 1 2 4x  5x  9 11) lim x9 x 3 x 9  3x x 1 5) lim  2) lim 10) lim x 0 3x  3 x 2 1 12) lim x  2 x 100  x 99 x 101  x 100 14) lim x   x3 x 1 x 1 x 3 x4 18) lim 2x x 5 x 5 3 3x  1  2 x2  4 x2  x  2 16) lim x 0 x 9 3 x x2  x 4x 20) lim x 1 x4 1 x 1 Respostas: 1) 1 5)  9)  13) 0 2) 6 6) 3 10) 1 / 4 14) 1 3) 64 7) 0 11) 3 / 2 4) –  15)  8) 8 / 3 12) 0 16)   17) 1 / 6 18) não existe 19) – 3 20) 4 24 Capítulo 3 – Derivada de uma Função Real O conceito de derivada foi introduzido no século XVII em estudos de problemas de Física ligados à pesquisa dos movimentos. Entre outros, destacam-se o físico e matemático inglês Isaac Newton (1642-1727) e o filósofo e matemático alemão Gottfried Leibnitz (1646-1716). 3.1 – Taxa de Variação Nesta seção usaremos a noção de limite para definir o conceito de taxa de variação para quaisquer quantidades variáveis de qualquer espécie, mas vamos resolver, inicialmente, o problema de achar a velocidade de um corpo em movimento em determinado instante. Vamos considerar a seguinte situação: um carro está se movendo ao longo de uma estrada reta e d(t) representa a sua distância do ponto de partida após t horas e queremos determinar a velocidade do carro num instante t 1. Para definir essa velocidade, primeiro calculamos a velocidade média em um intervalo de tempo próximo de t 1. Consideramos, por exemplo, os instantes t1 e t1 + t onde t é um número real. As distâncias percorridas correspondentes são d(t1) e d(t1 + t). A velocidade média (vm) do carro entre os instantes t 1 e t1 + t é: vm = d(t 1  Δt)  d(t 1 ) variação da distância d(t 1  Δt)  d(t 1 ) = = t1  Δt  t1 variação do tempo Δt Para obtermos a velocidade do carro no instante t 1 (ou a velocidade instantânea em t 1), calculamos a velocidade média em intervalos de tempo cada vez menores. Se o intervalo de tempo ∆t é pequeno, a velocidade média se aproxima da velocidade instantânea. Podemos então definir a velocidade no instante t 1 ou a taxa de variação (instantânea) da distância em relação ao tempo como o limite quando t tender a zero na expressão para a velocidade média, isto é: v(t1) = lim Δt  0 d(t 1  Δt)  s(t1 ) Δt Exemplo 1: A distância (em metros) de um objeto a um ponto é dada por d(t) = t2 + 5 onde o tempo t é medido em segundos. Determine a velocidade do objeto em t1 = 3. Solução: v(3) = lim Δt  0 = lim  t 0 = lim  t 0 (3  t) 2  5  (9  5) d(3  Δt)  d(3) =  lim  t 0 t Δt 9  6t  (t) 2  5  9  5 6t  (t) 2 = lim =  t 0 t t t(6  t) = lim (6  t) = 6  t 0 t Então a velocidade do objeto no instante t1 = 3 é 6 metros por segundo. As considerações a respeito da taxa de variação da distância em relação ao tempo podem ser generalizadas e assim serem aplicadas para quaisquer quantidades variáveis de qualquer espécie. 25 Definição: Seja y = f(x). A taxa de variação (instantânea) de y em relação a x quando x tem o valor x1 é dada por f(x 1  Δx)  f(x 1 ) lim Δx 0 Δx Exemplo 2: Estima-se que daqui a x anos a população de certa cidade será de P(x) = 100x2 + 400x + 5.000 pessoas. Determine a taxa de variação da população com o tempo daqui a 5 anos. Solução: Seja P′(x) a taxa de variação de P em relação a x. Queremos calcular P′(5). Então P(5) = lim  x 0 100(5  x) 2  400(5  x)  5.000  9.500 P(5  x)  P(5) = lim =  x 0 x x 100(25  10 x  (x) 2 )  2.000  400 x  4.500 =  lim  x 0 x  lim  x 0 = lim  x 0 2.500  1.000 x  100( x) 2  400 x  2.500 1.400 x  100( x) 2 =  lim  x 0 x x x(1.400  100 x) = lim (1.400  100 x) = 1.400  x 0 x Logo, a taxa de variação será de 1.400 pessoas por ano. 3.2 – Derivada de uma função Vimos na seção anterior que o problema de encontrar a taxa de variação de uma variável em relação a outra é resolvido pelo cálculo de um tipo de limite, que por ocorrer em muitas outras aplicações, recebe nome e notação especiais. Definição: Seja f uma função. A derivada de f em x0, denotada por f (x0) é dada por: f (x0) = lim Δx 0 f(x 0  Δx)  f(x 0 ) se o limite existir (é finito). Δx Exemplo 1: Seja f(x) = x3. Determine f (2). Solução: f (2) = lim  x 0  lim  x 0 (2  x) 3  8 f(2  x)  f(2) = lim =  x 0 x x 8  12 x  6( x) 2  (x) 3  8 12 x  6( x) 2  (x) 3 = lim =  x 0 x x x (12  6x  (x) 2 ) = lim (12  6x  (x) 2 ) = 12 = lim  x 0  x 0 x 26 No exemplo anterior determinamos f (2) mas é possível calcular a derivada de f(x) = x3 em qualquer outro número. Assim, para cada valor de x podemos encontrar f (x), ou seja, definir uma nova função: a derivada. Definição: Seja y = f(x). A função derivada (ou simplesmente derivada) de f é a função tal que f (x) = lim Δx 0 f(x  Δx)  f(x) Δx O domínio de f  é o conjunto de todos os números reais para os quais o limite existe. Exemplo 2: Determine a derivada de f(x) = x3 (x  x) 3  x 3 x 3  3x 2 x  3x( x) 2  (x) 3  x 3 = Solução: f (x) = lim  lim  x 0  x 0 x x  = lim  x 0 3x 2 x  3x( x) 2  (x) 3 x (3x 2  3x x  (x) 2 ) = lim =  x 0 x x  lim (3x 2  3xx  (x) 2 ) = 3x2  x 0 Então f (x) = 3x2 Dessa maneira, se x = 2 temos f (2) = 12; se x = – 1 temos f (– 1) = 3, etc.. Observações: 1 - O limite indicado na definição de derivada pode existir para alguns valores de x e deixar de existir para outros. Se o limite existe (é finito) para x = a, dizemos que a função é derivável (diferenciável) em a. Uma função derivável (diferenciável) é aquela que é derivável em cada ponto de seu domínio. 2 - A notação f usada na definição anterior tem a vantagem de enfatizar que a derivada de f é uma função de x que está associada de certa maneira com a função f dada. Se a função é apresentada na forma y = f(x), com a variável dependente explícita, então o símbolo y é usado em lugar de f (x). A dy derivada de y = f(x) é também indicada por e algumas vezes por Dx y. dx 3.3 – Regras básicas de derivação A operação de encontrar a derivada de uma função é chamada derivação ou diferenciação e pode ser efetuada aplicando-se a definição de derivada. No entanto, se conseguirmos achar a função derivada das principais funções elementares e se, além disso, soubermos achar as funções derivadas de somas, diferenças, produtos e quocientes dessas funções elementares, poderemos encontrar as derivadas de muitas funções sem termos de recorrer à definição (o que muitas vezes pode ser trabalhoso). 27 Sendo c  IR, n  Q e u e v funções reais de variável x. 1) Regra da constante: Se f(x) = c então f (x) = 0 2) Regra da identidade: Se f(x) = x então f (x) = 1 3) Regra da potência: Se f(x) = xn então f (x) = n.xn – 1 4) Regra da soma: Se f(x) = u + v então f (x) = u + v 5) Regra do produto: Se f(x) = uv então f (x) = uv + uv 6) Regra do produto por uma constante: Se f(x) = c.u então f (x) = c.u u ' v  uv ' u e v  0 então f (x) = v2 v  cv ' c  b) Se f(x) = e v  0 então f (x) = v2 v 7) Regras do quociente: a) Se f(x) = Exemplos: 1) Determine as derivadas: a) f(x) = 4x3 – 7x2 + 9x – 2 f (x) = 4.3x2 – 7.2x + 9.1 – 0 = 12x2 – 14x + 9 b) f(x) = (5x2 + 2x)(3x – 4) f (x) = (10x + 2)(3x – 4) + (5x2 + 2x).3 = 30x2 + 6x – 40x – 8 + 15x2 + 6x f (x) = 45x2 – 28x – 8 c) f(x) = 7x 4  3 x Temos que f(x) = 7x4  3 x  7x4  3x1/2 Então f (x) = 28x3 + 3 d) f(x) = f (x) = 3 1 – 1/2 x = 28x3 + 2 2 x 5 x4  20x 3  5.4x 3  20   8 4 2 x (x ) x5 28 3x 3  5 e) f(x) = 4x 2  1 9x 2 (4x 2  1)  (3x 3  5)8x 36x 4  9x 2  24x 4  40x 12x 4  9x 2  40x   (4x 2  1) 2 (4x 2  1) 2 (4x 2  1) 2 f (x) = Exercícios de fixação Calcule as derivadas: 1) f(x) = x3 + 4x + 7 2) f(x) = 5x4 – 2x3 + x2 – 3x + 8 3) f(x) = 2x5 + 6x – 7 – 9x – 2 – x 4) f(x) = 7(x5 – 2x3 + 4) 5) f(x) = (2x + 1)(3x2 + 5x) 6) f(x) = (4x2 – 2)(7x3 + x) 7) f(x) = 3 x2 8) f(x) = 7 x3 9) f(x) = x3 x2  7 10) f(x) = 5x  7 2x  1 Respostas: 1) 3x2 + 4 2) 20x3 – 6x2 + 2x – 3 3) 10x4 – 42 x – 8 + 18 x – 3 – 1 4) 7(5x4 – 6x2) 5) 18x2 + 26x + 5 6) 140x4 – 30x2 – 2 7) 9) 2 33 x x 4  21x 2 (x 2  7) 2 8)  21 x4 10)  19 (2x  1) 2 29 3.4 – Interpretação geométrica de derivada Vamos supor que P = (x0, f(x0)) é um ponto no gráfico de uma função f derivável em x0 e queremos determinar o coeficiente angular da reta tangente t que passa por P (figura abaixo). Para isso, vamos escolher outro ponto Q no gráfico de f e traçar uma reta s passando por P e Q. Tomando Q bem próximo de P podemos fazer com que o coeficiente angular da reta s se aproxime do coeficiente angular da reta t com qualquer precisão desejada. Vamos supor que a abscissa de Q esteja a x unidades de x0. Desse modo, a abscissa de Q é x0 + x. Como Q pertence ao gráfico de f, a ordenada de Q é f(x0 + x). Assim, Q = (x0 + x, f(x0 + x)). Então o coeficiente angular da reta s é: ms = f(x 0  Δx)  f(x 0 ) f(x 0  Δx)  f(x 0 ) = Δx x 0  Δx  x 0 Se fizermos x tender a zero, o ponto Q se moverá sobre a curva y = f(x) e tenderá ao ponto P. Além disso, a reta s irá girar em torno de P e tenderá para a reta t. Logo, quando x tende a zero, o coeficiente angular de s tende para o coeficiente angular de t, ou seja, mt = lim Δx 0 f(x 0  Δx)  f(x 0 ) Δx Como f é derivável em x0, esse limite existe (é finito). Portanto mt = f (x0). Assim, a derivada f (x0) expressa o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, f(x0)). 3.5 – Aplicações de derivada Pelo que vimos acima, se f é uma função derivável em x0 e se y0 = f(x0) então a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x0, y0) é y – y0 = f (x0)(x – x0) 30 Exemplo 1: Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 + 4x no ponto (1, 5). Solução: Vamos determinar o coeficiente angular da reta tangente, isto é, f (1). Temos que f (x) = 2x + 4 Daí f (1) = 6 Logo, a equação da reta tangente é: y – 5 = 6(x – 1) ou y = 6x – 1 Pelo que foi estudado nas seções 3.1 e 3.2, sabemos que a derivada f  expressa a taxa de variação (instantânea) de y = f(x) em relação a x. Exemplo 2: Estima-se que daqui a x anos a população de certa cidade será de P(x) = 100x2 + 400x + 5.000 pessoas. Determine a taxa de variação da população daqui a 5 anos. Solução: Precisamos calcular P′(5) Já resolvemos esse problema em 3.1, mas agora vamos usar as regras de derivação para determinar P(x). Então P′(x) = 200x + 400 Daí P′(5) = 1.400 Logo, a taxa de variação da população daqui a 5 anos será de 1.400 pessoas por ano. Exercícios de fixação: 1) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x4 – 3x3 + 2x2 – 6 no ponto (2, – 6) 2) Uma projeção revela que daqui a t anos a população de certa cidade será (em milhares de habitantes) dada por P(t) = – t3 + 18t2 + 48t + 200. A que taxa a população estará aumentando daqui a 3 anos? 3) A população de uma região rural está aumentando de acordo com a função P(t) = 22t2 + 52t + 10.000 onde t é o tempo em anos, com t = 0 representando o ano de 1.995. a) Determine a população em 2.015 b) Determine a taxa de crescimento da população em 2.015 Respostas: 1) y = 4x – 14 2) 129.000 habitantes por ano 3) a) 19.840 habitantes b) 932 habitantes por ano 31 Exercícios - lista 6 Nos itens 1 a 18, ache as derivadas aplicando as regras básicas: 1) f(x) = x5 – 3x3 + 1 2) f(x) = 5x6 – 9x4 3) f(x) = x8 – 2x7 + 3x 4) f(x) = 5x – 5 – 25x – 1 5) f(x) = 3 x4 6) f(x) = 3x 2 4 + 4 5x 7) f(x) = x2 (3x3 – 1) 8) f(x) = (x2 + 1)(2x3 + 5) 9) f(x) = (x3 – 1)(3x2 – x) 10) f(x) = 11) f(x) = x 4 1 2 12) f(x) = 13) f(x) = 2x  7 3x  1 14) f(x) = 15) f(x) = x2 x2  x 16) f(x) = x3  7 17) f(x) = x Nos itens de 19 e 20, calcule f (2). 19) f(x) = x3 1 3 2 (x5 – 2x3 + 4) 1 2x 3x 2  7 x2 1 1 x x2 1 x2  2 18) f(x) = 2 x 4 20) f(x) = (x2 + 1)(1 – x) 21) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 12 – 4x no ponto (2, – 2). x 22) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 5x 4 – 3x2 + 5 no ponto (0, 5). 2 23) Estima-se que daqui a x meses a população de certa cidade será P(x) = 2x + 4 x 3  5.000 habitantes. Determine a taxa de variação da população com o tempo daqui a 16 meses. 24) Estima-se que daqui a t anos a circulação de um jornal será de C(t) = 100t2 + 400t + 5.000. Determine a taxa de variação da circulação com o tempo daqui a 5 anos. 25) Um fabricante observa que quando produz e vende x caixas de chocolate por semana, o lucro (em reais) é dado por L(x) = 0,02x2 + 15x – 1.000. Determine a taxa de varação do lucro em relação ao número de unidades produzidas para um nível de produção de 100 caixas por semana. 32 Respostas: 1) 5x4 – 9x2 2) 30x5 – 36x3 4) – 25x – 6 + 25x – 2 5) 7) 15x4 – 2x 8) 10x4 + 6x2 + 10x 9) 15x4 – 4x3 – 6x + 1 11) 2x3 12) 1 (2  x) 2 15) x2 (x 2  x) 2 18) 12 x (x 2  4) 2 2 (5x4 – 6x2) 10) 43 x 3 13)  23 (3x  1) 2  20x 14) (x 2  1) 2 16) x 2  2x  1 (x 2  1) 2 17) 2x 3  7 x2 3) 8x7 – 14x6 + 3 6) 3 4 x – x–2 2 5 19) 4 20) – 9 21) y = – 7x + 12 22) y = 5 23) 26 habitantes por mês 24) 1.400 exemplares/ano 25) R$ 19,00 por caixa 3.6 – Diferenciais dy dx embora esse símbolo não fosse interpretado como a razão de duas grandezas. Veremos agora, que dy e dx podem ser definidos de maneira que seu quociente seja igual à derivada de y em relação a x. Na seção 3.2, vimos que a derivada de y em relação a x pode ser representada por Definição: Seja y = f(x) uma função derivável. A diferencial de x, representada por dx, é qualquer número real diferente de zero. A diferencial de y, representada por dy, é dada por dy = f (x)dx. Exemplo 1: Seja y = f(x) = 5x4 + 3x2 – 7x – 8. Determine dy Solução: Temos que f (x) = 20x3 + 6x – 7. Então dy = (20x3 + 6x – 7)dx Exemplo 2: Considere a função y = x3 – 5x + 4. a) Determine dy b) Calcule o valor de dy para x = 2 e dx = 0,01 Solução: a) dy = (3x2 – 5)dx b) Pelo item (a), para x = 2 e dx = 0,01 temos dy = 0,07 33 Exemplo 3: Seja y = f(x) = x3 + x2 – 2x + 1. Considere ∆y = f(x + dx) – f(x). Determine ∆y, dy e ∆y – dy para: a) x = 2 e dx = 0,1 b) x = 2 e dx = 0,01. Solução: a) Temos que f(2 + 0,1) = f(2,1) = (2,1)3 + (2,1)2 – 2(2,1) + 1 = 10,471 e f(2) = 9 Então ∆y = f(2 + 0,1) – f(2) = 10,471 – 9 = 1,471 Sabemos que dy = f (x)dx = (3x2 + 2x – 2)dx. Para x = 2 e dx = 0,1 temos dy = 1,4 Então ∆y – dy = 1,471 – 1,4 = 0,071 b) Temos que f(2 + 0,01) = f(2,01) = 9,140701 e f(2) = 9. Daí ∆y = f(2,01) – f(2) = 0,140701. Para x = 2 e dx = 0,01 temos dy = 0,14 Então ∆y – dy = 0,140701 – 0,14 = 0,000701 Observe no exemplo anterior, que  y  dy. Nesse exemplo, o erro  y – dy cometido na aproximação é de 0,071 no item (a) e de 0,000701 no item (b) e essa aproximação se torna melhor à medida que o valor de dx fica menor. Por isso as diferenciais são utilizadas para aproximar variações da variável dependente associadas a pequenas variações da variável independente. dy dy = f (x) e assim, a notação usada como dx dx símbolo para derivada pode ser considerada um quociente entre diferenciais. Também podemos escrever todas as regras de derivação na forma diferencial. Pela definição anterior podemos escrever que As diferenciais serão utilizadas mais adiante no Cálculo integral. 3.7 – Regra da Cadeia e Regra geral da potência Vamos estudar agora uma regra de derivação chamada regra da cadeia que quando usada com as regras básicas amplia consideravelmente a classe de funções que podemos derivar. Queremos determinar, por exemplo, a derivada de y = (x3 + 5)2 Podemos fazer isso desenvolvendo (x3 + 5)2 e derivando o polinômio resultante. Assim, y = (x3 + 5)2 = x6 + 10x3 + 25 Daí dy = 6x5 + 30x2 dx (1) Também podemos fazer u = x3 + 5 de modo que y = u2 Calculamos, então, dy du = 2u e = 3x2 du dx 34 Então dy du . = 2u. 3x2 = 6x5 + 30x2 du dx Por (1) e (2) vemos que (2) dy dy du = . dx du dx Esta relação entre as derivadas ocorre de modo geral e é conhecida como regra da cadeia. Regra da cadeia (versão informal): Se y é uma função derivável em u e u é uma função dy dy du derivável em x, então y é uma função derivável em x e = . dx du dx Exemplo: Determine a derivada de y = (4x5 – 7x2) 30 Solução: Seja u = 4x5 – 7x2 de modo que y = u30 Então dy du = 30u29 e = 20x4 – 14x du dx Pela regra da cadeia, dy dy du = . = 30u29(20x4 – 14x) = 30(4x5 – 7x2)29(20x4 – 14x) dx du dx Nos exemplos apresentados, as funções dadas são potências de funções. Vamos apresentar, a seguir, uma regra (que é um caso especial da regra da cadeia) para derivar esse tipo de função, chamada regra geral da potência. Teorema: Se r é um número racional e u é uma função derivável de variável x então (u r) = r.u r – 1. u Exemplos: 1) y = (x2 + 3x – 2)9 Solução: y  = 9(x2 + 3x – 2)8(2x + 3) 2) y = 6x  7 Solução: Temos que y = (6x – 7)1/2 Então y  = 1 (6x – 7) – 1/2. 6 = 2 3 6x  7 3) y = 4x2(2x – 1)4 Solução: y  = 8x(2x – 1)4 + 4x2.4(2x – 1)3.2 = 8x(2x – 1)4 + 32x2(2x – 1)3 = = 8x(2x – 1)3(2x – 1 + 4x) = 8x(2x – 1)3(6x – 1) 35  x 2 4) y =    x 1  10 3 30 ( x  2) 9  x 2  x  2  x 2 Solução: y  = 10  . = 10 . =      2 ( x  1)11  x 1   x 1   x  1  ( x  1) 9 ' 9 Exercícios de fixação: 1) y = (3x3 + 4x2 – 4) – 5 2) y = 3 5x 2  x  6 3) y = 5x6(2x + 7)9  2  4) y =  3   x  5x  3 Respostas: 1) y  = (– 5)(3x3 + 4x2 – 4) – 6(9x2 + 8x) 2) y  = 10x  1 3 3 (5x 2  x  6) 2 3) y  = 30x5(2x + 7)8(5x + 7) 24(3x 2  5) 4) y  = ( x 3  5x ) 4 36 Exercícios - lista 7 Nas questões 1 a 16, calcule as derivadas: 1) y = (5 – 2x)10 2) y = (4x + 1) – 5 3) y = (2x4 – x + 1) – 4 4) y = (x2 – 3x + 2)7 5) y = 7) y = x 2  2x  1 1 4x  1 2 6) y = 8) y = 3 x2  5 3 (1  x 2 ) 4 9) y = 5x2(2x + 3)4 10) y = 6x (2x – 1)3 11) y = 2x5(x4 + 7)5 12) y = 10x2(5x + 1)4 13) y = (2x + 1)3(x3 – 5) 14) y = (5x + 2)(x2 + 1)5  x 1 15) y =    x   4x  1  16) y =    x2  4 3 17) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = (3x – x2)4 – 13 no ponto (1, 3). 18) Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = (2x – 3)5 quando x = 2. Respostas: 1) – 20 (5 – 2x)9 2) – 20 (4x + 1) – 6 3) (– 32x3 + 4)(2x4 – x + 1) – 5 4) 7(x2 – 3x + 2)6(2x – 3) x 2  2x  1  4x 7) ( 4x 2  1) 3 / 2 33 ( x 2  5) 2 24x 8) (1  x 2 ) 5 9) 10x(2x + 3)3(6x + 3) 10) 6(2x –1)2(8x – 1) 11) 10x4(x4 + 7)4(5x4 + 7) 12) 20x(5x + 1)3(15x + 1) 13) 3(2x + 1)2(4x3 + x2 – 10) 14) 5(x2 + 1)4(11x2 + 4x + 1) 4(x  1) 3 15) x5 21(4x  1) 2 16) (x  2) 4 17) y = 32x – 29 18) y = 10x – 19 5) x 1 6) 2x 37 3.8 – Derivadas de funções exponenciais e de funções logarítmicas As funções exponenciais e logarítmicas estão entre as mais importantes do Cálculo, com muitas aplicações em campos tão diversos como a Física, a Biologia e a Economia. Nesta seção vamos apresentar as regras básicas de derivação para essas funções. Seja a  IR *  1 e seja u uma função derivável de variável x Se f(x) = au então f (x) = u.au.ln a Caso particular: Se f(x) = eu então f (x) = u.eu Exemplos: 1) f(x) = 5 2x 2 7 x Solução: f (x) = (4x + 7). 5 2x 2) f(x) = e 7 x . ln5 x Solução: f (x) = 3) f(x) = 2 1 2 x .e x = e x 2 x e 6x  5 Solução: Temos que f(x) = e 6x  5 = (e6x + 5)1/2 1 Então f (x) = (e6x + 5) – 1/2.6 e6x = 2 3e 6x e 6x  5 Seja a  IR *  1 e seja u uma função derivável de variável x Se f(x) = log a u então f (x) = u' u.lna u' Caso particular: Se f(x) = ln u então f (x) = u Exemplos: 1) f(x) = log 2 (7x 5  2x 4  3) Solução: f (x) = 35x 4  8x 3 (7x 5  2x 4  3)ln2 38 2) f(x) = ln(5x2 – 4x)3 Solução: Sabemos que ln(5x2 – 4x)3 = 3ln(5x2 – 4x) Então f (x) = 3. 10x  4 30x  12 = 2 5x  4x 5x 2  4x 3) f(x) = ((ln(2x + 7))3 Solução: Pela regra geral da potência temos: f (x) = 3(ln(2x + 7))2  x 1 4) f(x) = ln    x  6(ln(2x  7)) 2 2 = 2x  7 2x  7  x  1  1.x  (x  1).1 x  x  1  1 Solução: Temos que    2 = x2 x2 x  x  1 2 1 x 1 = 2 Então f (x) = x = 2 . x 1 x x 1 x  x x ' Exercícios de fixação: Calcule as derivadas: 1) f(x) = 3x 4  7x3 2) f(x) = ex + e 1 / x 4 3) f(x) = e 4) f(x) = log (4x5 – 7) x2  5 5) f(x) = (ln(3x2 + x))7 6) f(x) = ln x x Respostas: 1) f (x) = (4x3 + 21x2). 3x 3) f (x) = 5) f (x) = 4  7x3 . ln3  8x ex 2 5 7(6x  1)(ln(3x 2  x)) 6 3x 2  x 2) f (x) = e x  e1/x x2 20x 4 4) f (x) = (4x 5  7)ln10 6) f (x) = 1 ln x x2 39 Exercícios - Lista 8 Nas questões de 1 a 18 calcule as derivadas, simplificando o resultado: 1) f(x) = e 5x 3 4) f(x) = 3 3x 7) f(x) = x 2) f(x) = 2 5x 2 8) f(x) =  4x  1 10) f(x) = ln (5x + 4) 13) f(x) = ln 2  x3   16) f(x) = ln   2x 1  x 3) f(x) = 10 –7x + 2 e 4x  5 6) f(x) = x e  2x 1 e  ex  1 9) f(x) = exlnx 5) f(x) = e 4x x2 3 2x 11) f(x) = ln(5x + 4)3 12) f(x) = (ln (5x + 4))3 3 14) f(x) = ln   x  x  15) f(x) = ln    x 1 17) f(x) = ln    18) f(x) = ln x x 2  1 x 1  Respostas: 1) f (x) = (15x2 – 1)e 5x 4) f (x) = (6x) 3 3x ln 3 2 3 x 2) f (x) = (15x2 – 1)2 5x 5) f (x) = 3 x 2e 4x e 4x 5 ln 2 3) f (x) = (– 7ln 10) 10 – 7x + 2 6) f (x) = e  2x (1 – 2x) 2e 4x (2x  1) 7) f (x) = x3 2e 2x  e x 8) f (x) = – 2x (e  e x  1) 2 1  9) f (x) = ex  lnx   x  10) f (x) = 11) f (x) = 12) f (x) =  13) f (x) = 16) f (x) = 5 5x  4 4x 4x 2  1 x 3 x(2x  1)  15 5x  4 14) f (x) = – 17) f (x) = 1 x 1 2(x  x ) 15) f (x) = 18) f (x) = 15(ln(5x  4)) 2 5x  4 2 3x  3 2 2x 2  1 x(x 2  1) 40 3.9 – Regra de L’Hôpital f(x) em que f(x) → 0 e g(x) → 0 quando x→ a, dizemos que x  a g(x) 0 o limite está associado a uma forma indeterminada do tipo . 0 De modo geral, se temos lim Calculamos alguns limites desse tipo no capítulo 2 utilizando recursos algébricos. (x  2)(x  3) x 2  5x  6 x3 Por exemplo, lim 2 = lim = lim =–1 x   2 x  3x  2 x   2 (x  2)(x  1) x  2 x  1 Mas esses recursos não funcionam para determinar, por exemplo, o valor do seguinte limite: lim x 3 ln( x 2  8) 3 x f(x) onde f(x) → ∞ (ou – ∞) e g(x) → ∞ (ou – ∞) quando x→ a, dizemos que o x  a g(x)  limite está associado a uma forma indeterminada do tipo .  Se lim Os teoremas introduzidos no capítulo 2 também não permitem calcular o lim está associado a uma forma indeterminada do tipo  .  x  e 4x que 2x  5 O teorema a seguir estabelece um método simples que usa a derivada para calcular esses limites chamado regra de L’Hôpital. Teorema: (regra de L’Hôpital) Sejam f e g funções deriváveis em um intervalo aberto I. Suponha que g(x)  0, para todo x  a. a) Suponha que lim f(x) = lim g(x) = 0 x a x a ' Se lim x a f(x) f (x) f ' (x) existe, então, = lim lim x  a g(x) x  a g ' (x) g ' (x) b) Suponha que lim f(x) = ±  e lim g(x) = ±  x a ' Se lim x a x a f(x) f (x) f ' (x) existe, então, = lim lim x  a g(x) x  a g ' (x) g ' (x) 41 Observações: 1 – A regra de L’Hôpital pode ser aplicada à determinação de limites laterais e de limites no infinito. 2 – Informalmente, a regra de L’Hôpital diz que, se sua tentativa de calcular o limite de um  0 quociente levar às formas indeterminadas ou , então calcule as derivadas do numerador e do  0 denominador e tente novamente. 3 – A regra de L’Hôpital envolve a derivada do numerador e do denominador separadamente. Um erro comum é derivar o quociente inteiro usando a regra de derivação de quocientes. Exemplos: x 5  3x 4  5x  3 5x 4  12 x 3  5 1 1) lim = lim =  x  1 4x 5  2x 3  5x 2  1 x  1 20x 4  6x 2  10x 8 2) lim x 5 1 1 x 1  2 1 2 x  1 = lim = 4 = 2 x 5 10 x  25 2x 40 2x ln( x  8) 3) lim = lim x  8 =  6 x 3 x 3 1 3 x 2 2 4) lim 4e 4x e 4x = lim =∞ x  2 2x  5 5) lim 1x ln x = lim =0 x  1 x 1 x  x  Algumas vezes, a aplicação da regra de L’Hôpital a uma forma indeterminada conduz a uma nova forma indeterminada. Quando isso acontece, uma segunda aplicação da regra pode ser necessária. Em alguns casos, é preciso aplicar a regra várias vezes para eliminar a indeterminação. Exemplos: 1) lim x 3  3x  2 3x 2  3 6x 6 3 = = lim = = lim 2 3 2 x  x  x  1 x 1 3x  2x  1 x 1 6x  2 4 2 2) lim 2e 2x 4e 2x 8e 2x e 2x lim lim lim = = = =∞ x   3x 2 x   6x x  6 x3 x1 x  Há casos em que a indeterminação persiste não importando quantas vezes a regra seja aplicada e outros recursos, além da regra de L’Hôpital, precisam ser utilizados para determinar o limite. 42 Por exemplo, o cálculo do lim x 0 e 1 x x leva à forma indeterminada 0 0 Aplicando a regra de L’Hôpital (duas vezes) obtemos: lim x 0  e 1 x x 1 1 e x e x = lim 2 = lim (que continua indeterminado) x 0 x 0 x 2x 3 Para determinar o limite, devemos fazer uma mudança de variável: Seja 1 = y. x Então : lim x 0 Daí e 1 1 =x y x x = lim y y 1 e y = lim y = lim y = 0 y e y e 1 y A regra de L’Hôpital se aplica somente a limites associados a formas indeterminadas. Assim,  0 é importante verificar se um dado quociente tem a forma indeterminada ou antes de aplicar a  0 0 e x regra de L’Hôpital. Sabemos que lim = = 0. Observe que o cálculo desse limite não  x x  1  e 1 conduz a uma forma indeterminada e, portanto, a regra de L’Hôpital não se aplica na determinação do limite. Se aplicarmos (erradamente) a regra vamos obter: e x  e x = = 1 (o que está errado) lim lim x  1  e x x   e x Exercícios de fixação: 1) lim x 1 4) lim x 2 20x 3  5x 2  15x x 4  3x 2  4 2) lim x  x 2  3x  2 6x 5 4  7x  7 x2  3 1 2)  ∞ ln x 2 e3x 6) lim 6x 2 e 2x  2x  1 x  ln x 5) lim x 7 7 x Respostas: 1) 7 / 2 3) lim 3) 0 4) 1 / 2 x 0 5)  1 / 7 6) 3 43 Exercícios – lista 9 Use a regra de L’Hôpital para determinar os limites abaixo: 2x 2  3x  2 3x 2  x  14 1) lim x  2 2) lim x 2 3) lim x 1 4) lim x 1 10) lim x  x 4  16 x2 x x 12) lim e 4x x2 x  x 4  x 3  3x 2  5x  2 x 4  5x 3  9x 2  7 x  2 lnx 11) lim x 1 x 3  3x  2 x 2  2x  1 ln(7  x) x 13) lim x 0 e x  2x  1 x3 1  x  lnx 5) lim 3 x  1 x  3x  2 ln(x  e x ) 14) lim x  x 6) lim  15) lim x 0 7) lim x 2 x  e x 1 x3 x  ln(2x  3) ln(3x  5) 16) lim x 0 8) lim x2 lnx 17) lim 9) lim lnx x2 18) lim x  x  19) lim x 0 x 0 x 1 x2  9  3 x2 20) lim x 2 lnx x2 x 2  4e  x  4 x2  x x 2 1 1 x 4x 3  5x  1 lnx 4x  1  3 x2 Respostas: 1) 5 / 13 6) –  2) 32 7) 2 / 3 3) 3 8)  4) – 3 5) – 1 / 6 11) 2 16) 4 12)  17) 0 13)  18) 7 9) 0 14) 1 19) 1 / 6 10) 0 15) 0 20) 2 / 3 44 3.10 – Derivadas de ordem superior Muitas vezes precisamos calcular a taxa de variação da taxa de variação de uma grandeza. A aceleração, por exemplo, é a taxa de variação da velocidade com o tempo, mas a velocidade é a taxa de variação da distância com o tempo. Se a distância é medida em quilômetros e o tempo em horas, a velocidade é medida em quilômetro por hora e a aceleração é medida em quilômetro por hora ao quadrado. A taxa de variação da função f(x) em relação a x é a derivada f (x); da mesma forma, a taxa de variação da função f (x) em relação a x é a derivada (f (x)). Para simplificar a notação, denotamos a derivada da derivada de f por f  e a chamamos de derivada de segunda ordem (ou derivada segunda) de f. De modo geral, o resultado de duas ou mais derivações sucessivas de uma função é uma derivada de ordem superior. A derivada de enésima ordem de uma função y = f(x) é obtida derivando-se a função n vezes e é denotada por: dny y(n) = = f (n) n dx Exemplo: Se a posição de um carro que está se movendo em linha reta é dada, no instante t por s(t) = t3 – 3t2 + 4t, calcule a velocidade e a aceleração do carro. Solução: A velocidade é v(t) = A aceleração é a(t) = ds = 3t2 – 6t + 4 dt d 2s dv = 2 = 6t – 6 dt dt 45 Capítulo 4 – Construção de gráficos Neste capítulo vamos usar a derivada para analisar as propriedades geométricas de uma função e traçar um gráfico que reflita suas características principais. 4.1 – Funções crescentes e decrescentes – Extremos relativos Observamos na figura abaixo, que nos intervalos onde os coeficientes angulares das retas tangentes são positivos, a função é crescente, e que nos intervalos onde os coeficientes angulares das retas tangentes são negativos, a função é decrescente. Podemos então descobrir onde uma função derivável f é crescente ou decrescente, verificando o sinal de sua derivada, já que f  fornece a inclinação da reta tangente ao gráfico de f. Onde f  > 0, a inclinação da reta tangente é positiva e f é crescente; onde f  < 0, a inclinação da reta tangente é negativa e f é decrescente. Essas observações são estabelecidas no seguinte teorema, chamado de: Teste da derivada primeira para funções crescentes e decrescentes: Seja f uma função contínua em um intervalo aberto I. a) Se f (x) > 0 para todo x em I então f é crescente em I b) Se f (x) < 0 para todo x em I então f é decrescente em I Para aplicar o teorema anterior, devemos determinar intervalos onde f  é sempre positiva ou sempre negativa. Sabemos que uma função contínua não muda de sinal a menos que ela seja igual a zero para algum valor de x (consequência do teorema do valor intermediário visto anteriormente). Isso sugere o seguinte procedimento para determinar os intervalos onde uma dada função é crescente ou decrescente: 1 – Calcule todos os valores de x onde f (x) = 0 ou f  é descontínua, e divida a reta real em intervalos abertos cujas extremidades são esses valores. 2 – Escolha um valor de teste k em cada intervalo I encontrado no passo 1 e determine f (k) (o sinal da derivada nesse ponto será o mesmo em todos os outros pontos do intervalo). Se verificarmos que f (k) > 0, ficamos sabendo que f (x) > 0 para todo x em I e que, portanto, f é crescente em I; se, por outro lado, f (k) < 0, ficamos sabendo que f (x) < 0 para todo x em I e que f é decrescente em I. 46 Exemplo 1: Seja f(x) = x3 – 3x + 1 Temos que f (x) = 3x2 – 3 Então f (x) = 0 ↔ 3x2 – 3 = 0 ↔ x = – 1 ou x = 1 Esses valores determinam três intervalos ] – , – 1[, ] – 1, 1[ e ]1, [. Escolhendo, por exemplo, x = – 2 no intervalo ] – , – 1[ e substituindo na derivada, obtemos f (– 2) = 9. Tomando x = 0 em ] – 1, 1[ obtemos f (0) = – 3; tomando x = 2 em ]1, [ achamos f (2) = 9. Consequentemente, f (x) > 0 em ]– , – 1[ f (x) < 0 em ] – 1, 1[ f (x) > 0 em ]1, [ Portanto, f é crescente em ]– , – 1[ f é decrescente em ] – 1, 1[ f é crescente em ]1, [ Essas propriedades podem ser vistas no gráfico de f esboçado acima. Vemos também, que o ponto (– 1, 3) está “mais alto” do que qualquer outro ponto vizinho do gráfico de f. Um ponto como esse é chamado de ponto de máximo relativo (ou de máximo local) do gráfico de f. Analogamente, o ponto (1, – 1) que está “mais baixo” do que qualquer outro ponto vizinho do gráfico de f é denominado ponto de mínimo relativo (ou de mínimo local) do gráfico de f. Se uma função possui um máximo ou um mínimo relativo em um ponto P, dizemos que possui um extremo relativo (ou extremo local) em P. Os pontos (– 1, 3) e (1, – 1) são exemplos de extremos relativos no sentido de que cada um deles representa um extremo apenas na vizinhança do ponto. Devemos considerar, portanto, que uma função pode admitir vários extremos relativos, isto é, vários mínimos e máximos relativos. Quando conhecemos os intervalos nos quais uma função é crescente ou decrescente podemos identificar os seus máximos e mínimos relativos. Um máximo relativo ocorre quando a função para de crescer e começa a decrescer. Um mínimo relativo ocorre quando a função para de decrescer e começa a crescer. Sabemos que uma função f é crescente em um intervalo aberto I quando f (x) > 0 para todo x em I, e é decrescente em I quando f (x) < 0 para todo x em I. Então os únicos pontos onde f pode 47 ter extremos relativos são aqueles onde a derivada é nula ou não existe. Esses pontos são chamados de pontos críticos. Definição: Um ponto crítico de uma função f é qualquer ponto c do domínio tal que f (c) = 0 ou f (c) não existe. Assim, para encontrar todos os extremos relativos de uma função f, começamos achando todos os pontos críticos (que são os “candidatos” a extremos relativos). Cada ponto crítico precisa ser testado para verificar se é realmente um extremo relativo. Esse teste pode ser feito usando a derivada primeira de f. Teste da derivada primeira para extremos relativos: Seja c um ponto crítico de f. a) Se o sinal de f  muda de positivo para negativo em c então f possui um máximo relativo em c. b) Se o sinal de f  muda de negativo para positivo em c então f possui um mínimo relativo em c. Para a função f(x) = x3 – 3x + 1 dada no exemplo 1 vimos que: f (x) = 0 ↔ 3x2 – 3 = 0 ↔ x = – 1 ou x = 1 Então x = – 1 e x = 1 são os pontos críticos de f. Vimos também que f (x) > 0 em ]– , – 1[ f (x) < 0 em ] – 1, 1[ f (x) > 0 em ]1, [ Daí, o sinal de f  muda de positivo para negativo em x = – 1 e muda de negativo para positivo em x = 1. Logo, pelo teste da derivada primeira para extremos relativos, f possui um máximo relativo em – 1 e um mínimo relativo em 1. Nos exemplos a seguir, vamos determinar se existirem, os intervalos de crescimento e de decrescimento e os extremos relativos das funções dadas. 2) f(x) = 3x4 – 4x3 + 3 Temos que f (x) = 12x3 – 12x2 = 12x2(x – 1) Daí f (x) = 0 ↔ 12x2(x – 1) = 0 ↔ x = 0 ou x = 1 (1) Esses valores determinam três intervalos: ]– , 0[, ]0, 1[ e ]1, [. Escolhendo x = – 1 no intervalo ]– , 0[ e substituindo na derivada obtemos f (– 1) = – 24. Fazendo x = 1/2 em ]0, 1[, obtemos f (1/2) = – 3/2; fazendo x = 2 em ]1, [, achamos f (2) = 48. Então, f (x) < 0 em ] – , 0[ f (x) < 0 em ]0, 1[ f (x) > 0 em ]1, [ (2) 48 Portanto, f é decrescente em ]– , 1 [ e crescente em ]1, [. Por (1) x = 0 e x = 1 são os pontos críticos de f e por (2) vemos que o sinal da derivada muda de negativo para positivo em x = 1 Então f possui um mínimo relativo em x = 1. Observação: Sabemos que se uma função f tem um extremo relativo, este deve ocorrer em um ponto crítico; entretanto, nem todo ponto crítico conduz a um extremo relativo. Vimos no exemplo anterior que x = 0 é um ponto crítico, mas não existe extremo relativo em x = 0. x2 3) f(x) = x2 Usando a regra do quociente obtemos f (x) = x 2  4x que é uma função contínua em todos (x  2) 2 os números reais exceto em x = 2. f (x) = 0 ↔ x2 – 4x = 0 ↔ x = 0 ou x = 4 (1) Então f  é nula em x = 0 e em x = 4 e é descontínua em x = 2. Esses números determinam quatro intervalos: ]– , 0[, ]0, 2[, ]2, 4[ e ]4, [. Escolhendo números de teste nesses intervalos (por exemplo – 1, 1, 3 e 5) obtemos f (– 1) = 5 / 9, f (1) = – 3, f (3) = – 3 e f (5) = 5 / 9. Então, f (x) > 0 em ] – , 0[ f (x) < 0 em ]0, 2[ f (x) < 0 em ]2, 4[ f (x) > 0 em ]4, [ Logo f é crescente em ] – , 0[ e ]4, [ e é decrescente ]0, 2[ e ]2, 4[. Por (1) x = 0 e x = 4 são pontos críticos de f. Note que f (2) não existe, mas como 2 não pertence ao domínio de f, x = 2 não é ponto crítico de f. Vemos acima que o sinal da derivada muda de positivo para negativo em x = 0 e de negativo para positivo em x = 4. Então f possui um máximo relativo em x = 0 e um mínimo relativo em x = 4. 4) f(x) = 3 x2 Temos que f (x) = 2 3 x 3 Então f (x) ≠ 0 para todo número real x e f  é descontínua em x = 0. (1) 49 Precisamos analisar, então, o sinal da derivada nos intervalos ]– , 0[ e ]0, [. Tomando x = – 1 em ]– , 0[ obtemos f (– 1) = – 2 / 3; tomando x = 1 em ]0, [ obtemos f (1) = 2 / 3. Portanto, f (x) < 0 em ] – , 0[ e f (x) > 0 em ]0, [ (2) Então f é decrescente em ] – , 0[ e é crescente em ]0, [. Por (1) x = 0 é o único ponto crítico de f (observe que f (0) não existe e 0 pertence ao domínio de f) e por (2) vemos que o sinal da derivada muda de negativo para positivo em x = 0. Logo f possui um mínimo relativo em x = 0. A derivada segunda também pode ser usada para classificar os pontos críticos de uma função como máximos ou mínimos relativos. Teste da derivada segunda para extremos relativos: Suponhamos que f (c) = 0 a) Se f (c) > 0 então f possui um mínimo relativo em x = c b) Se f (c) < 0 então f possui um máximo relativo em x = c Exemplo: f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x – 7 A derivada primeira f (x) = 6x2 + 6x – 12 = 6(x + 2)(x – 1) se anula em x = – 2 e em x = 1 então esses são os pontos críticos de f. Para testar esses pontos, basta determinar a derivada segunda f (x) = 12x + 6 e calcular seu valor em x = – 2 e em x = 1. Como f (– 2) = – 18 e f (1) = 18 concluímos que f possui um máximo relativo em x = – 2 e um mínimo relativo em x = 1. Embora tenha sido fácil usar o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos no exemplo anterior, ele apresenta algumas limitações. O teste se aplica aos pontos críticos nos quais a derivada primeira é nula, mas não aos pontos em que a derivada primeira não existe. Além disso, se f (c) e f (c) são nulas, o teste da derivada segunda é inconclusivo. 4.2 – Concavidade do gráfico de uma função Vamos ver agora, que a derivada segunda de uma função f também pode ser usada para determinar a “concavidade” do gráfico de f. Para termos uma ideia do que isso significa, vamos analisar os gráficos esboçados nas figuras abaixo. figura 1 figura 2 50 Na figura 1, observamos que a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f no intervalo ]a, b[ aumenta quando x aumenta e que o gráfico de f é côncavo para cima em ]a, b[. Na figura 2, vemos que a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f em ]a, b[ diminui quando x aumenta e que o gráfico de f é côncavo para baixo em ]a, b[. Essas considerações geométricas conduzem à seguinte definição: Definição: Seja f uma função derivável em um intervalo aberto I. a) O gráfico de f é côncavo (ou tem concavidade) para cima em I, se f  é crescente em I. b) O gráfico de f é côncavo (ou tem concavidade) para baixo em I, se f  é decrescente em I. Para saber se o gráfico de uma função f é côncavo para cima ou para baixo em um intervalo aberto I, precisamos então descobrir se f  é crescente ou decrescente em I. Aplicando em f  o teste da derivada primeira para funções crescentes e decrescentes concluímos que: f  > 0 em I → f  é crescente em I → o gráfico de f é côncavo para cima em I f  < 0 em I → f  é decrescente em I → o gráfico de f é côncavo para baixo em I Temos o seguinte teorema: Teste da derivada segunda para concavidade de um gráfico: Seja f uma função duas vezes derivável em um intervalo aberto I. a) Se f (x) > 0 para todo x em I então o gráfico de f é côncavo para cima em I. b) Se f (x) < 0 para todo x em I então o gráfico de f é côncavo para baixo em I. Cada ponto do gráfico de uma função onde a concavidade muda é chamado de ponto de inflexão. Por exemplo, o ponto (3,–2) na figura ao lado é um ponto de inflexão do gráfico de f(x) = (x – 2)2(x – 5). Definição: Uma função f possui um ponto de inflexão em x = a se f é contínua em a e se a concavidade do gráfico de f muda em x = a. Um procedimento análogo ao usado para determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função pode ser usado para encontrar os intervalos de concavidade de uma função. Exemplos: 1) f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1 Temos que f (x) = 3x2 – 12x + 9 e f (x) = 6x – 12 f (x) = 0 ↔ 6x – 12 = 0 ↔ x = 2. Esse valor determina os intervalos ] – , 2[ e ]2, [. Calculando o valor de f (x) para números de teste em cada um desses intervalos concluímos que o gráfico de f tem concavidade para baixo em ] – , 2[ e concavidade para cima em ]2, [. Como a concavidade do gráfico muda em x = 2 e f é contínua em 2 então f possui um ponto de inflexão em x = 2. 51 2) f(x) = 2x x 1 Calculamos f (x) = 4 , que é uma função contínua em todos os números reais exceto (x  1) 3 em x = 1. Esse valor determina os intervalos ]– , 1[ e ]1, [. Determinando o valor de f  para números de teste em cada um desses intervalos concluímos que o gráfico de f tem concavidade para baixo ]– , 1[ e concavidade para cima em ]1, [. Como o gráfico de f só muda de concavidade em x = 1 e f não é contínua em x = 1, não existem pontos de inflexão. 3) f(x) = 3 x2 Calculamos f (x) = 2 , que é negativa e contínua em todos 9 3 x4 os números reais diferentes de zero. Então concluímos que o gráfico de f tem concavidade para baixo em ]– , 0[ e em ]0, [. Como a concavidade do gráfico de f não muda, não existem pontos de inflexão. 4.3 – Assíntotas horizontais e assíntotas verticais Os limites que envolvem infinito podem ser usados para descrever retas conhecidas como assíntotas, que estão frequentemente associadas a gráficos de funções racionais. Vamos considerar, por exemplo, o gráfico da função f esboçado ao lado. O gráfico se aproxima da reta horizontal y = 2 quando x aumenta ou diminui ilimitadamente. Essa reta é chamada de assíntota horizontal. As assíntotas horizontais do gráfico de uma função f podem ser determinadas calculando: lim f(x) e lim f(x) x   x  Se algum desses limites existe (é um número real), então o valor do limite determina a assíntota horizontal. O gráfico de uma função também pode se aproximar de uma reta vertical quando x se aproxima de um determinado número, como no gráfico acima. A reta x = 5 é chamada de assíntota vertical do gráfico de f. Definição: Seja f uma função real. Se f tende para infinito (ou menos infinito) quando x tende para um número a pela direita ou pela esquerda, a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f. Se lim f(x) = b1 e lim f(x) = b2 onde b1 e b2 são números reais, as retas y = b1 e y = b2 são x  x   assíntotas horizontais do gráfico de f. 52 Observações: 1 – Para localizar as possíveis assíntotas verticais do gráfico de uma função p(x) racional f tal que f(x) = devemos procurar valores de x tais que q(x) = 0 e p(x)  0. Para achar q(x) as assíntotas horizontais devemos calcular os limites de f quando x tende para ∞ e quando x tende para – ∞. Se algum desses limites existe (é finito), então o valor do limite determina a equação da assíntota horizontal. 2 – As funções polinomiais não possuem assíntotas horizontais nem assíntotas verticais. Exemplos: 1) f(x) = x2 x2  4 x2 x2 = ∞ e lim  2 =–∞ Solução: lim  2 x  2 x 2 x  4 x 4 lim x   x2 x2 = 1 e =1 lim x  x 2  4 x2  4 Então x = 2 e x = – 2 são assíntotas verticais e y = 1 é assíntota horizontal 2) f(x) = x2 x2 x2 Solução: lim  =–∞ x 2 x  2 lim x   x2 x2 = – ∞ e lim =∞ x  x  2 x2 Então x = 2 é assíntota vertical e não existem assíntotas horizontais x x2 1 3) f (x) = x 2  1  0 para todo número real Solução: lim x   x x2 1 = – 1 e lim x  x x2 1 =1 Não existem assíntotas verticais e y = 1 e y = – 1 são assíntotas horizontais 4.4 – Construção de gráficos Para construir o gráfico de uma função f devemos determinar seu domínio, os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente, a concavidade e verificar a existência de extremos relativos, pontos de inflexão e de assíntotas. Como o estudo dessas características foi realizado em várias etapas anteriores, vamos estabelecer um roteiro para o traçado do gráfico de uma função. 53 1 – Determine o domínio de f. 2 – Calcule f  e determine os pontos críticos (isto é, os valores de x onde f (x) = 0 ou f (x) não existe). Utilize o teste da derivada primeira para achar os intervalos em que f é crescente ou decrescente. 3 – Calcule f  e use o teste da derivada segunda para determinar os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo. 4 – Encontre, se existirem, os pontos de máximos e mínimos relativos e os pontos de inflexão. 5 – Calcule os limites envolvendo infinito para determinar, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais. 6 – Represente, se necessário, alguns pontos adicionais para ajudar a identificar a forma do gráfico. Exemplo 1: f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1 1) O domínio de f é IR 2) Temos que f (x) = 3x2 – 12x + 9 Daí f (x) = 0 ↔ 3x2 – 12x + 9 = 0 ↔ x = 1 ou x = 3 Esses valores determinam três intervalos ] – , 1[, ]1, 3[ e ]3, [ Escolhendo, por exemplo, x = 0 no intervalo ] – , 1[ obtemos f (0) = 9; tomando x = 2 em ]1, 3[, obtemos f (2) = – 3; tomando x = 4 em ]3, [ achamos f (4) = 9. Então f (x) > 0 em ] – , 1[ f (x) < 0 em ]1, 3[ f (x) > 0 em ]3, [ Daí f é decrescente em ]1, 3[ e crescente em ] – , 1[ e em ]3, [. 3) Temos que f (x) = 6x – 12 Daí f (x) = 0 ↔ x = 2. Esse valor determina os intervalos ] – , 2[ e ]2, [. Calculando o valor de f (x) para números de teste em cada um desses intervalos concluímos que o gráfico de f tem concavidade para baixo em ] – , 2[ e concavidade para cima em ]2, [. 4) Vimos em (2) que o sinal de f  muda de positivo para negativo em x = 1 e muda de negativo para positivo em x = 3 então f possui um máximo relativo em x = 1 e um mínimo relativo em x = 3. Como a concavidade do gráfico muda em x = 2 e f é contínua em 2 então possui um ponto de inflexão em x = 2. Temos que f(1) = 5, f(3) = 1 e f(2) = 3 Marcamos os pontos (1, 5) (máximo relativo), (3, 1) (mínimo relativo) e (2, 3) (de inflexão). 54 5) O gráfico de f não possui assíntotas. O gráfico de f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1 está esboçado na figura 1 abaixo. Exemplo 2: f(x) = 4 x2 1) O domínio de f é IR – {2} 4 , que é contínua e negativa em todos (x  2) 2 os números reais diferentes de 2. Então f é decrescente em ] – , 2[ e em ]2, [. 2) Calculando a derivada de f, obtemos f (x) = 3) Temos que f (x) = 8 , que é uma função contínua em todos os números reais, (x  2) 3 exceto em x = 2. Esse valor determina os intervalos ] – , 2[ e ]2, [. Calculando o valor de f (x) para números de teste em cada um desses intervalos concluímos que o gráfico de f tem concavidade para baixo ] – , 2[ e concavidade para cima em ]2, [. 4) Sabemos que f (x) ≠ 0 para todos os números reais diferentes de 1 e que f (2) não existe mas, como 2 não pertence ao domínio de f, não existem pontos críticos. Logo, não existem extremos relativos. Como o gráfico de f só muda de concavidade em x = 2 e f não é contínua em x = 2, não existem pontos de inflexão. 5) Temos que lim x  horizontal. Como lim  x 2 4 4 = 0 e lim = 0. Então y = 0 é a equação da assíntota x    x2 x2 4 = , x = 2 é a equação da assíntota vertical do gráfico de f. x2 6) Para ajudar a identificar a forma do gráfico vamos marcar os pontos (–2, – 1), (0, – 2), (1, – 4), (3, 4), (4, 2) e (6, 1). O gráfico f(x) = Figura 1 4 está esboçado na figura 2. x2 Figura 2 55 Exercícios – lista 10 Nas questões de 1 a 6, faça um esboço do gráfico de f, determinando: a) os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente. b) os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo e onde tem concavidade voltada para cima. c) os pontos de máximos e mínimos relativos e os pontos de inflexão do gráfico de f. 1) f (x) = x3 + 6x2 + 9x 2) f (x) = x3 – 3x + 2 3) f (x) = 1 + 3x2 – x3 4) f (x) = x3 + 3x2 – 2 5) f (x) = x3 – 3x2 6) f (x) = x3 Nas questões 7 a 12, determine, se existirem: a) os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente; b) os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo e onde tem concavidade voltada para cima; c) os pontos de máximos e mínimos relativos e os pontos de inflexão do gráfico de f; d) as equações das assíntotas verticais e das assíntotas horizontais. Faça um esboço do gráfico de f. 7) Sabe-se que f (x) = 4 x2 f (x) = 8) Sabe-se que f(x) = x 1 x2 f (x) = 9) Sabe-se que f (x) = 1 1 x f (x) = 4 (x  2) 2 3 (x  2) 2 1 (1  x) 2 f (x) = f (x) = f (x) = f (x) = 2 (x  1) 2 f (x) = 2x x 2 1 f '(x) =  2x 2  2 (x 2  1) 2 f "(x) = x (x  1) 2 f '(x) = 10) Sabe-se que f (x) = 2x x 1 11) Sabe-se que f (x) = 12) Sabe-se que f(x) =  x 1 (x  1) 3 f "(x) = 8 (x  2) 3 6 (x  2) 3 2 (1  x) 3 4 (x  1) 3 4x 3  12x (x 2  1) 3 2x  4 (x  1) 4 56 Respostas: f(x) = x3 + 6x2 + 9x f (x) = x3 + 3x2 – 2 4 f(x) = x  2 f (x) = 2x x 1 f(x) = x3 – 3x + 2 f(x) = 1 + 3x2 – x3 f (x) = x3 – 3x2 f(x) = x 1 x2 f (x) = 2x x 1 2 f(x) = x (x  1) 2 57 Capítulo 5 – Integral Neste capítulo vamos estudar a “antiderivação”, que inverte o processo de derivação e permite encontrar todas as funções que têm uma dada função como derivada. Também vamos mostrar que com a antiderivação podemos solucionar “equações diferenciais” e que a integral definida surge de modo natural quando consideramos o problema de calcular a área de regiões do plano xy. O resultado principal estabelecido nesse capítulo é o “teorema fundamental do cálculo” que possibilita achar valores exatos de integrais definidas utilizando uma antiderivada. Assim, além de constituir um importante processo de cálculo, o teorema fundamental mostra que existe uma relação entre derivadas e integrais. 5.1 – Antiderivada – Integral indefinida Nos exemplos e problemas estudados anteriormente, começamos com uma função dada e calculamos a derivada para obter informações a respeito da função. Em muitas situações, no entanto, o problema é o inverso: conhecemos a derivada de uma função e estamos interessados em determinar a função. Isso acontece, por exemplo, quando sabemos a taxa com a qual uma população está aumentando e queremos calcular qual será a população em um determinado instante futuro. A função encontrada nesse problema é uma antiderivada. Definição 1: Uma função g é uma antiderivada (ou primitiva) de uma função f em um intervalo I, se g(x) = f(x) para todo x em I. Se considerarmos, por exemplo, a função f(x) = 3x2, é fácil verificar que g(x) = x3 é uma antiderivada de f, pois g' (x)  3x 2 Dizer que g é uma antiderivada de f equivale a dizer que f é a derivada de g, mas agora pensamos em f como a função dada e em g como a função a ser encontrada. O processo de encontrar uma antiderivada é conhecido como antiderivação. A antiderivada de uma função não é única. De fato, as funções g1(x) = x3 + 5 g2(x) = x3 – 2 g3(x) = x3 + também são antiderivadas de f(x) = 3x2, pois suas derivadas são iguais a f. 4 7 Note que qualquer função do tipo h(x) = x3 + C onde C é uma constante qualquer, é uma antiderivada de f. Podemos então estabelecer o seguinte resultado: Teorema: Seja g uma antiderivada de f em um intervalo I. Se h é outra antiderivada de f em I então existe uma constante C tal que h(x) = g(x) + C para todo x em I. Assim, quando achamos uma antiderivada g de uma função f, encontramos uma infinidade de antiderivadas de f e todas da forma g + C onde C é uma constante. 58 Ao considerarmos todas as antiderivadas de uma dada função f é conveniente introduzirmos uma nova terminologia e uma nova notação, como se segue: Definição 2: A integral indefinida de f, indicada por  f(x) dx , é a família de todas as antiderivadas de f. Assim, se g é uma antiderivada de f e C é uma constante arbitrária, então  f(x) dx = g(x) + C Nessa definição f(x)dx é chamado de integrando e C de constante de integração. Daremos razões, mais adiante, para o uso da diferencial dx que aparece no integrando. No momento vamos considerar que o símbolo dx indica que a antiderivada deve ser calculada em relação à variável x. Para o exemplo dado escrevemos  3x 2 dx = x3 + C Usando os resultados do capítulo 3, podemos obter as integrais indefinidas das principais funções que decorrem imediatamente das respectivas regras de derivação. Regras básicas de antiderivação 1)  (f(x)  g(x)) dx =  f(x) dx +  g(x) dx 2) Se a é um número real então 3)  dx  dx = a  f(x) dx = x+C 4) Se n  Q e n  – 1 então 5)  a f(x)  x n dx = x n 1 +C n 1 dx = ln x+ C x Observação: A regra 1 pode ser estendida a qualquer número finito de parcelas. Exemplos: 1)  x3 x3 ( x  5) dx =  x dx + 5  dx = + C1 + 5(x + C2) = + 5x + C onde C = C1 + 5C2 3 3 2 2 Na prática, quando as regras básicas são usadas para calcular integrais indefinidas, as constantes individuais de integração podem ser combinadas em uma única constante. Assim, a solução acima pode ser apresentada da seguinte maneira: x3 2 2  (x  5) dx =  x dx + 5  dx = 3 + 5x + C   6x  2) =6  = 7 x  5   dx = x6   6x 3   7x 1/2  5x  6 dx = 6  x 3 dx – 7  x1/2 dx + 5  x  6 dx = 1 x4 x 3/ 2 x5 3x 4 14x 3 / 2 –7 +5 +C= – – 5 +C x 4 3/2 2 3 5  3) 3 59 2x 7  5x 3  4x 2  6x dx = 2x 3 x 4 dx +   x  4  5 2 3     dx = 2 x x2  dx x 1 x5 5 5 2 3 x + 2 – dx = + x + 2lnx – 3 +C= dx  x  1 5 2 2 x5 5x 3 = + + 2lnx + +C 5 2 x 1 dx  + 3  x  1/2dx – 5 x 2/3 dx =  5 3 x 2  dx =  2 x x  4)   2x = x1/ 2 x5/3 1 1 lnx + 3 –5 +C= lnx + 6 x – 3 3 x 5 + C 1/2 5/3 2 2  1  3 Exercícios de fixação: 1) 3) 5)  (5x 4  2x 3  4x  1) dx  (3x  2) 2 dx  3x 4  5x 2  2 dx x2 2) 4) 6)  (x  2  5)(8x  3) dx x2  4 dx x2   x 7  6 x  3  x  dx  Respostas: 1) x5 + 3 x4 – 2x2 + x + C 2 2 3) 3x + 6x + 4x + C 5) x3 + 5x – 2 +C x 2) 2x4 – x3 + 20x2 – 15x + C x2 4) – 2x + C 2 6) 7 lnx + 4 x 3 – 3 3 x4 +C 4 60 Exercícios - lista 11 Use as regras básicas para calcular as integrais abaixo: 1)  (3x 2  4x  5) dx  3) 5) 7) 9)    11) 13) 2)   (2x 3  4x 2  5x + 6) dx 4) (3x 2  5 x + 2) dx 6) (x 2 + 3x + x  2 ) dx 8) (25 x 3  1) x  1 / 2 dx 10)  x 3  2x  7 dx x  3x 5  x 4  7x 3  4x dx x3   12) 14) (x 3  3x 2 + 2x  4) dx (2x3 – 1)(x2 + 5) dx (4x 2 + 3) 2 dx (3x  2 + 5x  4 ) dx  x7  5 4 x  dx  4 2  2  3x  6 x    dx x 5   9x 4  4x 3  5x 2  2x  1 dx x2 Respostas: 1) x3 – 2x2 – 5x + C 3) x 4 4x 3 5x 2 – – + 6x + C 2 3 2 2) x4 – x3 + x2 – 4x + C 4 4) x 6 5x 4 x 3 + – – 5x + C 3 3 2 16x 5 6) + 8x3 + 9x + C 5 10 3 / 2 5) x – x + 2x + C 3 3 7) x3 3x 2 + – x –1 + C 3 2 8) – 3x – 1 – 9) 50 7 / 2 x – 2x 1 / 2 + C 7 10) 11) 1 3 x + 2x – 7 lnx + C 3 x2 13) x – + 7x – 4x – 2 3 1 +C 5 –3 x +C 3 2 9/2 x + 4x5 / 4 + C 9 12) x3 – 3x2 + 4 lnx + 2 x+C 5 14) 3x3 – 2x2 + 5x – 2 lnx + x – 1 + C 61 5.2 – Integração por Substituição Existem várias técnicas para escrever uma integral em uma forma à qual se aplique uma ou mais das regras básicas. Queremos calcular, por exemplo,  3(3x  4) 9 dx (1) Podemos expandir a expressão (3x + 4)9 e, em seguida integrar termo a termo (mas isso seria muito trabalhoso). Então vamos tentar simplificar a integral fazendo uma mudança de variável. Seja u = 3x + 4. Daí du = 3dx Substituindo estas expressões em (1) obtemos:  3(3x  4) 9 dx =  (3x  4) 9 3 dx =  u 9du = u10 +C 10 (2) Substituindo u por 3x + 4 em (2) temos nosso resultado:  3(3x  4) 9 dx = (3x  4)10 +C 10 Como a variável x foi substituída por uma nova variável, esta maneira de calcular integrais indefinidas é conhecida como integração por substituição ou mudança de variável. A justificativa do procedimento usado no exemplo anterior é dada pelo teorema a seguir, que é análogo à regra da cadeia para derivação. Teorema: Seja h uma função derivável de variável x e seja g uma antiderivada de f. Então, se u = h(x), '  f(h(x))h (x)dx =  f(u)du = g(u) + C = g(h(x)) + C 1)  Exemplos: 5x  8 dx Solução: Seja u = 5x + 8 Daí du = 5dx. Então dx = Logo 2)  x(3x 2  5x  8 dx =  1 du 5 1 1 1 u 3/ 2 2 = u . du =  u1/2 du = 5 5 5 3/2 15  1) 8 dx Solução: Seja u = 3x2 + 1 u3 = 2 15 (5x  8) 3 + C 62 Daí du = 6xdx. Então xdx = 1 du 6 Logo  x(3x 2  1) 8 dx =  (3x 2  1)8 xdx =  u 8 3)  1 1 du = 6 6 8  u du = (3x 2  1) 9 1 u9 . = +C 54 6 9 18x 2dx (2x 3  7) 4 Solução: Seja u = 2x3 + 7 Daí du = 6x2dx. Então 3du = 18x2dx  Logo =  4) x 2 u3 18x 2dx 4 4 3 2 4 (2x  7 ) 18x dx u 3du 3 u du = = = = 3 =  u3 =    3 (2x 3  7) 4 1 1 =  + C 3 3 u (2x  7)3 x 1 dx Solução: Seja u = x – 1. Daí du = dx (1) Da primeira igualdade em (1) temos: x = u + 1  x2 = (u + 1)2 = u2 + 2u + 1 Então x 2 x 1 dx =  (u 2  2u  1) u du =  (u 5/2  2u 3/2  u1/2 ) du = u7/2 u5/ 2 u 3/ 2 2 4 2 4 2 +2 + = u7/2 + u5/2 + 2u3/2 = (x – 1)7/2 + (x – 1)5/2 + (x – 1)3/2 + C 7/2 5/2 3/2 7 5 7 5 3 Exercícios de fixação: 1) 3) x  2 (2x 3  1)7 dx 15x 2dx (x 3  2)5 2)  xdx 4x 2  5 4)  x x  5 dx Respostas: 1) 3) 1 (2x3 + 1)8 + C 48 5 +C 4(x 3  2) 4 2) 4) 4x 2  5 +C 4 2 10 (x + 5)5/2 – (x + 5)3/2 + C 5 3 63 Exercícios - lista 12 Calcule as integrais: 1)  (4x + 3) 4 dx 2) 3)  4x x 2  5 dx 5) 7)  x 3 5x 2  16 dx 6x 2  (x 3  1)3 dx 11)  x(x + 1)  1/2 dx 6) 4x  35 20 C + 7) 9 dx  (4x  (x 2 2 8x  2 dx  2x  6)17 x 3 dx  6x  1) 2 10)  (x 2 + 3x + 5) 8 (18x + 27) dx 12)  x(5  x) 1/2 dx Respostas: 1) 2 4)  3x(4  3x 2 )  8 dx 8) 9)  (2x 2  1)(6x 3  9x + 1)  3/2 dx  x(4x 2) 3) 4 (x 2  5) 3  C 3 4) 5) 3 (5x2 + 16)2 / 3 + C 20 6) 4x 7 80 2  10 C 1 C 14 ( 4  3x 2 ) 7 1 (4x2 + 2x + 6) – 16 + C 16 1 2 (x – 6x + 1) – 1 + C 2 7) – (x3 + 1) – 2 + C 8) 9)  10) (x2 + 3x + 5)9 + C 11) 2 (6x3 – 9x + 1) – 1 / 2 + C 9 2 (x + 1) 3 / 2 – 2(x + 1) 1 / 2 + C 3 12)  10 2 (5 – x) 3 / 2 + (5 – x) 5 / 2 + C 3 5 64 5.3 – Integração por Partes Nesta seção vamos estudar uma técnica que pode ser usada para integrar produtos nos quais um dos fatores pode ser facilmente integrado e o outro se tornar mais simples ao ser derivado. Essa técnica, conhecida como integração por partes, é uma consequência direta da regra do produto para diferenciais. A fórmula de integração por partes é apresentada a seguir. Sejam u e v funções de variável x Sabemos que d(uv) = udv + vdu Ou, equivalentemente, udv = d(uv) – vdu Integrando os membros dessa equação temos:  udv =  d(uv) – Ou ainda,  udv = uv –  vdu  vdu (1) A equação (1) é chamada de fórmula para integração por partes. Esta fórmula transforma o problema do cálculo de  udv no cálculo de  vdu . Através de uma escolha conveniente de u e dv pode ser mais fácil calcular a segunda integral do que a primeira. Na fórmula acima, deixamos de escrever a constante de integração, já que no decorrer do desenvolvimento aparecerão outras. Todas as constantes podem ser representadas por uma única constante que será introduzida no final do processo. Exemplos: 1)  x lnx dx Solução: Como ln x não pode ser integrado usando as regras dadas até agora vamos fazer: u = ln x e dv = x dx de modo que du = 1 dx e v = x  x dx = x2 2 Então  x lnx dx =  (lnx) xdx =  udv Pela fórmula de integração por partes temos:  x lnx dx = uv –  vdu = (ln x) x2 – 2 x2 1 x 2 lnx 1 x 2 lnx x 2 . dx = – = – +C x dx 2 x 2 2 4 2 65 2)  x e 4xdx Solução: Nesse caso, os dois fatores x e e4x são fáceis de integrar. Ambos também são fáceis de derivar, mas a derivação simplifica x e não simplifica e4x. Assim, vamos fazer: u = x e dv = e4xdx Daí du = dx e v =  e 4x dx = Então  x e 4xdx =  udv 1 4x e 4 Pela fórmula de integração por partes temos: 1 4x  x e dx = uv –  vdu = x. 4 e – 4x 1 4x 1 4x xe 4x xe 4x e 4x  4 e dx = 4 – 4  e dx = 4 – 16 + C Às vezes, a integração por partes leva a uma nova integral que também pode ser integrada por partes. Exemplo: x e 2 x dx Solução: Vamos fazer u = x2 e dv = exdx Daí du = 2x dx e v =  e x dx = ex Então  x 2e x dx =  udv Pela fórmula de integração por partes temos: x e 2 x dx = uv – Para achar a x  vdu  2xe x = x2 ex –  2xe x dx (1) dx também precisamos utilizar a integração por partes. Nesse caso, seja u = 2x e dv = e dx. Então du = 2 dx e v = ex Logo  2xe x dx = 2x ex – Daí e de (1) x e 2 x e x 2dx = 2x ex – 2 e x dx = 2x ex – 2 ex dx = x2 ex – (2x ex – 2 ex) = x2 ex – 2x ex + 2 ex + C Algumas integrais podem ser calculadas por integração por partes ou por substituição. As soluções podem parecer diferentes, mas se estiverem corretas, poderão diferir, no máximo, por uma constante. Exemplo: x 66 x  5 dx Fazendo u = x e dv = x  5 , temos que du = dx e v = 2 (x + 5) 3 / 2 3 Então, usando o método de integração por partes, achamos: x x  5 dx = 2x 4 (x + 5) 3 / 2 – (x + 5) 5 / 2 + C 3 15 Fazendo u = x + 5, dx = du e x = u – 5 e utilizando o método de integração por substituição, encontramos: x Observe que x  5 dx = 2 10 (x + 5) 5 / 2 – (x + 5) 3 / 2 + C 5 3 2x 4   2x 4  ( x  5)  = (x + 5) 3 / 2 – (x + 5) 5 / 2 = (x + 5) 3 / 2  3 15   3 15  2 x 4 x 20   10 x 4 x 10 10     = (x + 5) 3 / 2     = = (x + 5) 3 / 2  3  15 15 5  3 15 15  10   2 x 10 10  2    = (x + 5) 3 / 2  ( x  5)   = (x + 5) 3 / 2  3 5 3 5  5 = 10 2 (x  5) 5 / 2  (x  5) 3 / 2 3 5 Exercícios de fixação: 1)  ln 2x 2dx Respostas: 1) x ln 2x 2 – 2x + C 2) – 3x e  2x – 3  2x e +C 2 2)  6x e  2xdx 67 Exercícios – lista 13 Use o método de integração por partes para calcular as integrais abaixo: 1) 3) 5) 7)  lnx dx 2)  x e x dx  x ln3x dx 4)  x e  2xdx  6)  x  2 lnx dx x lnx dx xe x/ 2 dx 9)  5x e3xdx 8)  x lnx 2 2 dx x 10)  3x 2 ln   dx 2 Respostas: 1) x ln x – x + C 2) x ex – ex + C 3) x2 x2 ln3x – +C 2 4 4) 5) 2 3/2 4 x ln x – x 3 / 2 + C 3 9 6) 7) 2x e x / 2 – 4 e x / 2 + C 9) 5 5 x e 3x – e 3x + C 3 9 8)  xe 2x e 2x  C 2 4  lnx 1  C x x x3 2 lnx2 – x3 + C 3 9 3 x x 10) x3ln   – +C 2 3 68 5.4 – Noção intuitiva de integral definida – Áreas de regiões planas No capítulo 3 usamos um problema de velocidade para introduzir a derivada, que é a ideia central do Cálculo Diferencial. Nesta seção, começaremos com um problema de área para formular a ideia de integral definida, que é o conceito básico do Cálculo Integral. Vamos considerar uma função f contínua em um intervalo [a, b] e supor que f(x) ≥ 0 nesse intervalo. Queremos calcular a área A da figura delimitada pela curva y = f(x), as retas x = a e x = b e pelo eixo x. Para determinar essa área, vamos dividir a região dada em uma série de regiões retangulares e calcular o valor aproximado da área A somando as áreas dessas regiões retangulares. Quanto maior o número de retângulos, mais a soma de suas áreas se aproxima do que consideramos, intuitivamente, a área sob a curva dada. A área A pode ser interpretada, portanto, como a soma de uma infinidade de retângulos que podemos descrever assim: em cada ponto x há um retângulo de altura f(x) e base infinitamente pequena, indicada por dx, de modo que a área de cada retângulo é dada pelo produto f(x)dx. Para indicar que estamos obtendo a área A como a soma infinita das áreas f(x)dx de todos  f(x)dx b esses retângulos no intervalo [a, b] escrevemos: A =  f(x)dx é chamado de integral definida de a até b de f(x). a b O símbolo a Os números a e b são chamados de limites de integração; a é o limite de integração inferior e b é o limite de integração superior. Quando a integral definida de a até b de f existe, dizemos que f é integrável em [a, b]. Propriedades das integrais definidas: Sejam f e g funções integráveis em [a, b] e c um número real qualquer. a)  f(x)dx = 0 a a b)  f(x)dx = –  f(x)dx b a a b c)  c.f(x)dx = c  f(x)dx b b a a 69 d)  (f(x)  g(x)) dx =  f(x)dx +  g(x)dx b b b a a a e)  f(x)dx =  f(x)dx +  f(x)dx b c b a a c O teorema a seguir mostra como calcular o valor exato da integral definida de uma função contínua, desde que possamos encontrar uma antiderivada dessa função. Devido a sua importância em estabelecer a relação entre a derivação e a integração, esse teorema, descoberto independentemente por Newton na Inglaterra e Leibniz na Alemanha é conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua em [a, b]. Se g é uma antiderivada de f em [a, b] então  f(x)dx = g(b) – g(a) b a  (3x 4 Exemplo 1: 2  4x  5) dx 1 Solução: Sabemos que g(x) = x3 – 2x2 + 5x + C onde C é uma constante arbitrária é uma antiderivada de f(x) = 3x2 – 4x + 5. Portanto, pelo teorema fundamental do cálculo temos:  (3x 4 2  4x  5) dx = g(4) – g(1) = 52 – 4 = 48 1 Observações: 1 – No cálculo da integral definida do exemplo 1, a constante de integração “desapareceu”. Isto acontece sempre, pois se g(x) + C denota uma antiderivada de f, então:  f(x)dx = (g(b) + C) – (g(a) + C) = g(b) + C – g(a) – C = g(b) – g(a) b a Assim, em todos os cálculos envolvendo uma integral definida, a constante de integração será omitida. 2 – A diferença g(b) – g(a) também costuma ser indicada por g(x) b a Usando essa notação no exemplo 1 escrevemos:  (3x 4 2  4x  5) dx = (x3 – 2x2 + 5x) 14 = 52 – 4 = 48 1  (x 1 Exemplo 2: 1 4  2x  1) dx x5 + x2 + x é uma antiderivada de f(x) = x4 + 2x + 1. Então, 5 pelo teorema fundamental do cálculo temos: Solução: Sabemos que g(x) = 70  (x 1 1 4 1 12 1   1  1  2x  1) dx = g(1) – g(– 1) =   1  1     1  1 = + 2 + = 5 5 5   5  5 Usando a notação de integral definida, a definição da área da região sob o gráfico de uma função pode ser expressa da seguinte maneira: Definição 1: Seja f uma função contínua em [a, b] e tal que f(x) ≥ 0 em [a, b]. A área da região sob o gráfico de f entre x = a e x = b é dada por A =  f(x)dx b a Exemplo: Calcule a área da região sob o gráfico de f(x) = x2 + 1 entre x = – 1 e x = 2 Solução: Observamos que f é contínua em [–1, 2] e f(x) ≥ 0 em [–1, 2]. Então a área é dada por:  (x 2 A= 1 2  1) dx x3 + x é uma antiderivada de f, usando o teorema Como g(x) = 3 fundamental do cálculo temos:  (x 2 A= 1 2 1 8   1  8  1) dx = g(2) – g(– 1) =   2      1 = + 2 + + 1= 6 3 3   3  3 A região sob o gráfico de uma função f entre x = a e x = b pode estar inteiramente abaixo do eixo como mostra a figura (1) abaixo. figura 1 figura 2 Nesse caso, para calcular a área da região destacada, vamos considerar a função h(x) = – f(x) definida no intervalo [a, b]. Os gráficos de f e h são simétricos em relação ao eixo x (figura 2), e a área A1 da região sob o gráfico de f entre x = a e x = b é igual à área A2 da região sob o gráfico de h entre x = a e x = b. Logo, utilizando a definição 1, temos A1 = A2 =  h(x)dx =   f(x)dx = –  f(x)dx b b b a a a Definição 2: Seja f uma função contínua em [a, b] e tal que f(x) ≤ 0 em [a, b]. A área da região sob o gráfico de f entre x = a e x = b é dada por A = –  f(x)dx b a Exemplo: Determine a área da região sob o gráfico de f(x) = x2 – 2x entre x = 1 e x = 2 71 Solução: Observamos que f é contínua em [1, 2] e tal que f(x) ≤ 0 em [1, 2]. Então a área á dada por A = –  (x 2  2x) dx 2 1 3 Como g(x) = x – x2 é uma antiderivada de f temos: 3 2  8  4 2 2   1  A = –  (x 2  2x) dx = – (g(2) – g(1)) = –   4     1 = –     =  3 3 3   3   3 1 Se a curva está parcialmente acima do eixo x e parcialmente abaixo como é mostrado na figura ao lado, então a área pode ser calculada pela soma das áreas correspondentes a partes da região que estão acima e abaixo do eixo x. A = A1 + A2 + A3 + A4 =  f(x)dx –  f(x)dx +  f(x)dx –  f(x)dx c d e b a c d e Exemplo: Calcule a área da região sob o gráfico de f(x) = x2 – 4x + 3 entre x = 0 e x = 3 Solução: Vemos no gráfico ao lado que no intervalo [0, 3] a curva está parcialmente acima do eixo x e parcialmente abaixo. Mais precisamente, f(x) ≥ 0 em [0, 1] e f(x) ≤ 0 em [1, 3]. Então a área A da região sob o gráfico de f entre x = 0 e x = 3 é dada por: A = A1 + A2 onde A1 =  (x  4x  3)dx e A2 = –  (x 2  4x  3)dx 1 3 2 0 1 3 x – 2x2 + 3x é uma antiderivada de f, temos que: 3 1 4 4 A1 =  (x 2  4x  3)dx = g(1) – g(0) = – 0 = 3 3 0 Como g(x) = 4  4  A2 = –  (x 2  4x  3)dx = – (g(3) – g(1)) =   0   = 3  3  1 4 4 8 Logo A = A1 + A2 = + = 3 3 3 3 Para determinar a área da região R entre os gráficos de f e g de x = a até x = b (figura abaixo), basta subtrair a área da região sob o gráfico de g da área da região sob o gráfico de f. 72 Assim, área de R = área de R1 – área de R2 Ou seja, área de R =  f(x)dx –  g(x)dx =  (f(x )  g(x)) dx b b b a a a Podemos provar que essa expressão é válida mesmo que as funções não sejam não negativas. Definição 3: Se f e g são funções contínuas em [a, b] tais que f(x) ≥ g(x) em [a, b] e se R é a região limitada pelos gráficos de f e g e pelas retas x = a e x = b, então Área de R =  (f(x )  g(x)) dx b a Exemplo: Calcule a área da região limitada pelos gráficos das funções f(x) = 2x2 – 4x + 6 e g(x) = – x2 + 2x + 1 entre x = 1 e x = 2 Solução: f e g são funções contínuas em [1, 2] e tais que f(x) ≥ g(x) em [1, 2]. Então a área A da região limitada pelos gráficos de f e g e pelas retas x = 1 e x = 2 é dada por: A =  ((2x 2  4x  6)  (  x 2  2x  1)) dx =  (3x 2  6x  5) dx = 2 2 1 1 = (x3 – 3x2 + 5x) 12 = (8 – 12 + 10) – (1 – 3 + 5) = 6 – 3 = 3 Algumas vezes temos de considerar o problema de encontrar a área entre duas curvas sem que os valores de a e b sejam determinados. Nestes casos, existe uma região que está completamente envolta pelas duas curvas. Como o próximo exemplo ilustra, temos que encontrar os pontos de interseção entre as duas curvas para obter os valores de a e b. Exemplo: Determine a área da região limitada pelos gráficos de f(x) = x e g(x) = 2 – x2 Solução: Supondo x = 2 – x2 temos x2 + x – 2 = 0 Resolvendo a equação, encontramos x = – 2 ou x = 1 Então a área A da região limitada pelos gráficos de f e g é dada por: 1  x3 x2  A =  (2  x 2  x) dx =  2x    3 2   2 1 2 = 1 1  8 27 9   7  10  7 10 =  2    –   4   2 = –    = + = = 3 2  3 3 6 2   6  3 6 73 Exercícios – lista 14 Nas questões de 1 a 8 calcule as integrais definidas:  (x – 4x – 3) dx  5  x dx 4)  2x 3  4x 2  3 dx x2 6) 4 1) 2) 1 4 3) 1 3 5) 1  2 2 7)  x(x2 – 1)3 dx  3 2 x(1 + x3) dx x 2 1 dx x 1  (3x + 1) – 1 / 2 dx  x 2 x 3  1 dx 1 0 1 1 1 2 8) 0 Nas questões de 9 a 13 calcule a área das regiões destacadas: 9) f(x) = x2 – 3x 11) f(x) = x2 + 1 10) f(x) = 4x – x2 12) f(x) = x2 – 5x + 4 13) f(x) = x2 – 1 14) Ache a área da região sob o gráfico de f(x) = x2 + x – 2 entre x = – 2 e x = 2 74 15) Calcule a área da região limitada pelos gráficos das funções f(x) = 2x + 4 e g(x) = x2 + 2x + 3 Respostas: 1) –18 6) 2 3 11) 8 3 2) 81 10 7) 0 12) 9 2 3) 14 3 4) 7 2 5) 2 8) 52 9 9) 9 2 10) 9 8 3 14) 13) 19 3 15) 4 3 75 Bibliografia 1 – Cálculo – Um Curso Moderno e suas Aplicações Laurence D. Hoffmann e Gerald L. Bradley Editora LTC 2 – Cálculo – Conceitos e Aplicações Alex Himonas e Alan Howard Editora LTC 3 – Cálculo – volume 1 Mustafa A. Munem e David J. Foulis Editora LTC