VOLUMENES Y PRESIÓN HIDROSTATICAS (1)

ENSAYO DE VOLUMENES Y PRESIÓN HIDROSTATICAS, GRÁFICAS Y EJEMPLOS ANALYD JULYANA SANCHEZ DIAZ 1611351 DEISY MALLERLIN BASTO CONTRERAS 1611360 UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS Y DEL AMBIENTE INGENIERIA BIOTECNOLOGICA CUCUTA 2017 ENSAYO DE VOLUMENES Y PRESIÓN HIDROSTATICAS, GRÁFICAS Y EJEMPLOS CALCULO INTEGRAL ANALYD JULYANA SANCHEZ DIAZ 1611351 DEISY MALLERLIN BASTO CONTRERAS 1611360 JORGE ENRIQUE VIVAS UNIVERSIDAD FRANCISCO DE PAULA SANTANDER FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS Y DEL AMBIENTE INGENIERIA BIOTECNOLOGICA CUCUTA 2017 ENSAYO DE VOLUMENES Y PRESIÓN HIDROSTATICAS, GRÁFICAS Y EJEMPLOS La presión hidrostática, es la que se manifiesta en el interior de toda masa líquida, provocada por el peso de la columna de liquido que debe soportar un cuerpo sumergido. La presión del interior de un líquido actúa en todas las direcciones la presión es más alta cuanto mayor sea la profundidad La presión es mayor cuanto mayor sea la densidad del líquido. La presión no depende de la forma ni de la amplitud del recipiente. Según el dibujo, para determinar la presión que el liquido de densidad ρ, ejerce en un punto A, podemos imaginar una columna de liquido de altura h y base S situada por arriba de A. La fuerza que actúa sobre la superficie S es igual al peso del líquido de la columna: Fuerza = peso del líquido = m.g Masa = Volumen * Densidad = V.ρ Sustituyendo Fuerza = m.g = V.ρ.g Volumen = superficie de la Base por la altura = S.h, seguimos sustituyendo Fuerza = m.g = V.ρ.g  = S.h. ρ.g Por lo tanto: Por todo ello deducimos: La Presión Hidrostática a una cierta profundidad debajo de la superficie libre de un líquido en reposo es igual al producto de la densidad del líquido por la aceleración de la gravedad y por la profundidad del punto considerado. P = ρ.g.h Principio fundamental de la Hidrostática Imaginemos dos puntos A y B en el interior de un líquido a una profundidad hA y hB, respectivamente, como se puede observar en el dibujo. La Presión en A es: La presión ejercida en B es: La diferencia de presión entre los dos puntos será: PA - PB = ρ·g·hA - ρ·g·hB PA - PB = ρ·g·(hA - hB) Este es el Principio Fundamental de la Hidrostática: La diferencia entre dos puntos de un liquido homogéneo en equilibrio es igual al producto de la densidad por la gravedad y por la diferencia de altura. El principio fundamental de la hidrostática explica el por qué la superficie libre de un líquido es horizontal y en los vasos comunicantes, el por qué el líquido alcanza en todos el mismo nivel, sin importar la forma del recipiente. Medida de la densidad relativa de un líquido Una aplicación de la ecuación fundamental de la estática de fluidos es la determinación de la densidad de un líquido no miscible con mercurio mediante un tubo en forma de U, comparando las diferentes alturas de las columnas de fluido sobre la superficie de separación. Se comparan dos líquidos inmiscibles, el mercurio, cuya densidad es conocida (13.6 g/cm3).y un líquido de densidad desconocida. Dado que A y B están a la misma altura sus presiones deben ser iguales: La presión en A es debida a la presión atmosférica más la debida a la altura h2 de la columna de fluido cuya densidad p2 queremos determinar.  pA = p0 + ρ2gh2 La presión en B es debida a la presión atmosférica más la debida a la altura h1 de la columna de mercurio cuya densidad conocemos pB = p0 + ρ1 gh1 Igualando las presiones en A y B,  pA = pB, obtenemos: p0 + ρ1gh1 = p0 + ρ2gh2 ρ1gh1 = ρ2gh2 ρ1h1 = ρ2h2 Las densidades de los dos líquidos no miscibles están en relación inversa a las alturas de sus columnas sobre la superficie de separación en el tubo en forma de U. EJEMPLO: ¿Cómo se puede conocer la densidad de un líquido? Situación problema Un manómetro en forma de U, con sus dos extremos abiertos a la atmósfera, contiene cierta cantidad de agua (figura 1). Luego, se agrega un líquido de densidad desconocida, por lo que el agua queda desplazada, como se ilustra en la figura 2. Si las alturas alcanzadas al interior del fluido son h1 = 10 cm, h2 = 15 cm y h3 = 17 cm, respectivamente, ¿cuál es la densidad del líquido desconocido? Entender el problema e identificar las incógnitas: Al verter el líquido en el manómetro, se desplaza el agua contenida en él. Por lo tanto, podemos suponer que su densidad es mayor. Al quedar las alturas desbalanceadas, la condición que se cumple es que los pesos de ambas columnas son iguales. Utilizando dicha condición, debemos determinar la densidad del líquido desconocido. Registrar los datos Densidad del agua: ρa = 1 g/cm3 h1 = 10 cm, h2 = 15 cm, h3 = 17 cm Aplicando el modelo Para resolver el problema, debemos aplicar la ecuación fundamental de la hidrostática. Además, debemos considerar que, dentro de un líquido, la presión es la misma a alturas iguales. Si tomamos un punto A en el manómetro (ver figura 2), situado en la frontera que separa ambos fluidos, y otro punto B, en la otra columna a la misma altura, podemos establecerla siguiente relación: Simplificamos los términos similares y despejamos la densidad desconocida, obteniendo: Al realizar el cálculo para la densidad se obtiene: Respuesta La densidad del líquido desconocido es ρ = 1,4 g/cm3 o 1400 kg/m3. Utilizamos tres métodos como ejemplo: MÉTODO DE LOS DISCOS Este método consiste en hacer rotar nuestra función sobre algún eje para obtener un sólido de revolución que pueda modelarse como la sumatoria de discos. El área transversal de los discos será el área de un circulo A= \pi r^2, y el ancho será un \Delta x. Es importante saber el eje de rotacion, ya que dependiendo de esto se encuentra o despeja la ecuación en función de la variable específicamente. Por ejemplo si rotaramos la funcion en el eje y, despejamos la funcion dependiendo de y. Siendo el ancho del disco \Delta y. Por lo tanto, V \cong \sum_{i=1}^{n} \pi r^2 \Delta x, n = Cantidad de discos usados Usualmente el radio del disco esta dado por le función. Para estos casos, haciendo el numero de discos tender al infinito: V = \lim_{n \rightarrow \infty} \pi \sum_{i=1}^{n} [f(x\sub_{i})]^2 \Delta x, x\sub_{i} = a + \frac{i}{n} Ahora lo cambiamos a forma de integral (si a es el limite inferior y b es el limite superior): V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx .</br> En el caso de que el radio no este dado por la función, debemos encontrarlo segun las condiciones del problema dado. De forma mas general, el volumen será: V = \pi \int_{a}^{b} r^2 dx (si r esta en función de x). A.EL EJE DE ROTACIÓN FORMA PARTE DEL CONTORNO DEL ÁREA PLANA. . Se traza un diagrama indicando el área generatíz, una franja representativa perpendicular al eje de rotación, y su rectángulo generico. Se halla el volúmen del disco producido en la rotación del rectángulo genérico alrededor del eje de rotación y la suma correspondiente a los n rectángulos. Se aplica la regla de Barrow o teorema fundamental del cálculo integrales suponiendo que el número de rectágulos crece indefinidamente. EJEMPLO Hallar el volúmen generado al girar el área limitada por la parábola  alrededor de la ordenada correspondiente a x = 2. Dividiendo el área mediente franjas horizontales, cuando el rectángulo genérico de la figura gire alrededor del eje y se procede un disco de radio 2 - x, de altura \Delta y y de volúmen . El volúmen pedido ser: EL EJE DE ROTACIÓN NO FORMA PARTE DEL CONTORNO DEL ÁREA PLANA Se procede como en el apartado (1) anterior. Se prolongan los lados del rectángulo genérico, ABCD, hasta que corten al eje de rotación en E y en F. Cuando éste rectángulo gire alrededor del eje de rotación se produce un cilíndro cuyo volúmen es igual a la diferencia entre los volúmenes generados por los rectángulos EABF y ECDF al girar con respecto al mismo eje. Se halla la diferencia de éstos dos volúmenes y se procede como en el apartado (2) anterior. Se procede como en el apartado (3) anterior. EJEMPLO Hallar el volúmen generado en la rotación del área limitada por  y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje y. Dividiendo el área mediante franjas horizontales, cuando el rectángulo genérico de la figura gire alrededor del eje y, se produce un disco cuyo volúmen es igual a la diferencia entre volúmenes generados al girar los rectángulos ECDF(de dimensiones 2 por  y EABF (de dimensiones x por  con respecto al eje , es decir, . El volúmen que se desea encontrar será: EJERCICIOS: Encontrar el volúmen del sólido obtenido al hacer girar la región limitada por Ejemplo 1. f(x) = x3. Volúmenes por el método de discos Al hacer girar la figura sobre el eje Y, podemos "cortar" discos de altura y el radio sería  , entonces:  Al tener esto podemos ver que para encontrar el volúmen del disco es lo mismo que obtener el volúmen a un cilíndro. Entonces: Con esto tenemos el volúmen de un disco, y para encontrar el volúmen total para n-discos: Para optimizar hacemos que  sea más grande, haciéndola tender al infinito: Con esto tenemos la forma de la integral de Riemann variando de 0 a 8. Resolviendo: Evaluamos: Estimar el volúmen del siguiente sólido: Ejemplo 2. f(x) = x2. Volúmenes por el método de discos. Girándolo alrededor de eje . Tenemos que el ancho del cilíndro obtenido del corte de un segmento al girar la figura es de  y el radio queda definido por la parábola  obteniendo el volúmen del cilindro: Calculamos para -cilíndros y optimizamos el área con -cilindros. Reescribimos como la integral respecto de  variando de 0 a 1 y resolvemos: Estimar el volúmen del siguiente sólido: Ejemplo 3. f(x) = 1/x. Volúmenes por el método de discos. Girada sobre el eje . Tenemos que el ancho de los cilíndros sería: . Radio: . Calculamos para n-cilindros y optimizamos el area con n-cilindros. Reescribimos como la integral respecto de  variando de 0 a 1 y resolvemos. Encontrar el volúmen del sólido:  desde  hasta  Alrededor del eje x Alrededor del eje y Ejemplo 4. f(x) = x2. Volúmenes por el método de discos. Encontrar  alrededor del eje . Determinar el volúmen de un sólido que se obtiene al girar la región bajo la curva  con respecto al eje  desde 0 hasta 1. Ejemplo 6. f(x) = x^(1/2). Volúmenes por el método de discos. El área de la sección transversal es: y el volúmen del cilindro: El sólido está entre , de modo que el volúmen es: Gira alrededor de eje x. Calcular el volúmen de la figura generada. Integramos. Por teorema fundamental e calculo. Encontrar el volúmen de una pirámide con altura  y de base cuadrada con lado  Tomamos con triángulos semejantes al triángulo que forma la pirámide completa y tomamos un triángulo ésimo para dejarlo en función de y (altura el i-ésimo triángulo). La relación que hay entre los dos triángulos es ó Se relaciona las alturas con alturas y las bases con bases La similitud sería la siguiente: La variable d la podemos dejar en función de "y" y las dos constantes que ya conocemos. Si la pirámide se vé la planta(desde arriba) podemos darnos cuenta que se forma por una sucesión de cuadrados que van haciéndose mas pequeños a medida que éstos aumentan, por lo tanto la base del ésimo triángulo podemos verlo como uno de los lados del cuadrado entonces (área de un cuadrado) Entonces nuestra ecuación quedaría. A la hora de integrar L al cuadrado y H al cuadrado pueden salir de la integral ya que son constantes entonces solo nos queda "y" al cuadrado por integrar. Integramos. Por teorema fundamental del cálculo. 2.MÉTODO DE CAPAS El método de capas cilíndricas, proporciona una forma alternativa de calcular volúmenes de solidos de revolución. Para llevar a cabo el cálculo del volumen de un sólido de revolución, no siempre es factible método de los discos o arandelas: EJEMPLO: Suponga que desea calcula el volumen exacto del solido de revolución obtenido al girar la región limitada por la grafica y=3x-x3, el eje y y la recta y=2, alrededor del eje y. Si un elemento de área es perpendicular al eje y como se muestra en la Figura 1, el elemento del volumen es un disco, por lo que determinar el volumen del sólido implica una integral de la forma. Pero para obtener A(y) se necesita resolver la ecuación cúbica y=3x-x3 para x en términos de y, lo cual sería una tarea muy laboriosa. Por lo que se estudiará un procedimiento alternativo para calcular el volumen de un sólido de revolución. El método implica considerar los elementos rectangulares de area paralelos al eje de revolución. Después, cuando un elemento de area se gira alrededor del eje de revolucion se obtiene una capa cilíndrica. Por lo tanto, para hallar el volumen de V de un solido de revolucion por el método de capas cilíndricas, debe usarse una de las siguientes formulas: EJEMPLO 1. Hallar el volumen del solido usando el método de capas, de la región acotada por el eje x y la parábola y=3x-x2 y gira alrededor de la recta x=-1 para generar la forma de un sólido. 3.MÉTODO DE ARANDELAS Este método se basa en el método anterior llamado "Método de Discos" pero en este caso se utilizan dos discos. El disco mas pequeño es vació por la tanto se le da el nombre de arandela por formar un especie de solido hueco. En términos generales este método se utiliza cuando el eje de rotación se encuentra a una distancia de la función que formara el solido. Este espacio entre el eje y la función crea un hueco en el solido, por esto mismo se necesita restar el área del hueco al solido en revolución. Es muy importante mentalizar que este método se utiliza dos radios por lo tanto dos discos diferentes pero siempre el ancho del disco es  o  dependiendo del eje de rotación. Se dibuja, en un diagrama, el area generatriz, una franja representativa paralela al eje de rotacion, y su rectangulo correspondiente. Se halla el volumen (= circunferencia media X altura X espesor) del anillo cilindrico producido en la rotacion del rectangulo generico con respecto al eje de giro y se halla la suma correspondiente a los n rectangulos. Se aplica el teorema fundamental, o regla de Barrow, suponiendo que el numero de rectangulos crece indefinidamente. Hallar el volumen generado en la rotacion del area limitada por la parabola  y la ordenada correspondiente a  con respecto a esta recta. Aplicar el metodo del anillo. Volúmenes por método de arandelas. Dividimos el area mediante franjas verticales y elegimos, para mayor sencillez, el punto P de forma que sea el punto medio del segmento AB. La altura del rectangulo generado es su base:y su distancia al eje de giro, es: . Cuando este rectangulo gire alrededor de este eje se produce un anillo cilindrico de volumen:. El volumen pedido sera: EJEMPLOS Hallar el volumen del sólido resultante al hacer girar en el eje  la figura encerrada por las curvas: Para encontrar el área de un anillo: tenemos que: Encontramos el volúmen calculamos para n-anillos y optimisamos. Reescribimos como la integral variando de 0 a 1 resolvemos. Encontrar el volúmen del sólido obtenido al girar la región limitada por las curvas  alrededor del eje las curvas quedarían graficadas de la siguiente manera: siendo la curva roja  y la azul . Lo primero que debemos darnos cuenta es que, al girar la region sobre el eje , necesitamos tener las funciones respecto al eje y, para asi encontrar los intervalos entre los puntos de intersección sobre el eje . En este ejemplo las funciones ya están despejadas para , ya que necesitamos una función que por cada valor de  nos devuelva el valor correspondiente en , puesto que éste será nuestro radio para cada circunferencia que sumaremos. para encontrar los puntos de intersección realizamos lo siguente: igualamos: despejamos: obtenemos el punto de interseccion de las 2 curvas sobre el eje y: . con esto sabemos que el integral correria desde  hasta . Ahora construyamos el integral: sabemos que hay dos curvas una sobre la otra, con la grafica podemos darnos cuenta que  está sobre , esto quiere decir que el volúmen de un solo disco vendría dado por: , Entonces, el volúmen total del sólido sería: Y expresado en una integral definida sería: resolviendo la integral: la respuesta final:  Calcular el volúmen del sólido: que gira alrededor del eje  SOLUCIÓN: Como se observa en la gráfica anterior, al girar el sólido en torno al eje , el sólido que se forma mediante el método de discos es un anillo, entonces se procede a calcular el volúmen total del anillo, sabiendo que éste es:  Y tomamos en cuenta los valores para cada radio del anillo  y  Buscamos los intervalos; igualamos  Intervalos [0,2] Ahora encontramos el : Ahora encontramos el : Ahora encontramos el : Ahora aplicamos límites : Ahora por medio del teorema fundamental del cálculo, integramos: