Tasarım

ZAMAN SERİLERİ ÇEŞİTLERİ Bir zaman serisi, ilgilenilen bir büyüklüğün zaman içerisinde sıralanmış bir kümesidir. Zaman serisi ile ilgili bu analizin yapılma amacı ise, gözlem kümesince temsil edilen gerçeğin anlaşılması ve zaman içerisindeki değişkenlerin gelecekteki değerlerinin doğru bir şekilde tahmin edilmesidir. Otokorelasyon Fonksiyonu Korelasyon iki değişken arasındaki birlikte hareket etmenin veya nedensel olmayan bir ilişkinin ölçüsüdür. Otokorelasyon ise kavramsal olarak bir serinin her hangi bir dönemdeki değeri ile bir önceki veya bir sonraki dönem değeri arasında birlikte hareket etme ilişkisini ima eder. Değişkenlere otoregresif bir modelin uyup uymadığına, değişkenin otokorelasyon katsayısı incelenerek karar verilmektedir. Durağan serilerde ardışık gözlemler arası iç bağımlılık ölçütü olarak otokorelasyon katsayısı kullanılmaktadır. N gözlem sayısı olmak üzere, Z gözlem sayısının ortasına denk gelen veri, Zi stokastik bileşenin k gecikmeli otokorelasyon katsayısı rk ile hesaplanmaktadır. Ljung ve Box (1978) bir grup otokorelasyonun sıfır olup olmadığını denemek için, modife edilmiş Q istatistiğini önermiş ve bu modife edilmiş istatistiğin küçük 20 örneklemelerde daha iyi sonuçlar verdiğini göstermişlerdir. Bu istatistik; Burada f, hesaplanacak otokorelasyon sayısını ifade etmektedir. Serinin durağanlık varsayımı altında bu istatistiğin dağılımı serbestlik derecesi f olan ki karedir. Test sonucu rk’ların sıfırdan istatistiksel olarak önemli derecede farklı olduğu belirlenirse, Zt stokastik bileşeni p’inci dereceden otoregresif modeller ile ifade edilebilir demektir. Ayrıca model uygunluğunu testi için de tahmin hatalarının otokorelasyonu yöntemi de kullanılır. Geleceğe yönelik tahmin işleminde bir modelin incelenen bir seri için uygunluğuna karara vermede tahmin hatalarının otokorelasyonu yapılır. Tahmin hatası tahmin modeline dayanarak her gözlem değeri için elde edilen tahmin değerinin ilgili gözlem değerinden çıkarılmasıyla bulunur ve at harfi ile gösterilir. at= Xt - t Gözlem değerleri için hesaplanan tahmin hatalarının ardı ardına sıralanmasıyla meydana gelen seriye tahmin hataları zaman serisi veya hatalar serisi denir. Hatalar serisinin farklı k-gecikmelerindeki otokorelasyon katsayıları, Tahmin hataları otokorelasyon katsayıları tc . limitleri arasında kalıyorsa model uygun modeldir ve hatalar tesadüfidir. Aksi halde model geçersizdir. Burada n gözlem sayısı, n1 standart sapma ve tc tablo değeridir. Kısmi Otokorelasyon Zaman serilerinde önemli bir etken de kısmı otokorelasyondur. İleride açıklanacak olan otoregresif ve hareketli ortalamalar modellerinde p ve q’nun kaçıncı dereceden olması gerektiği bilinemez. Bu derecelerin tespiti kısmı otokorelasyon ile yapılır. Kısmi korelasyon diğer bütün gecikmeli gözlemlerin etkisinden arındırıldıktan sonra Xdeğişkeni ile bu değişkenden herhangi bir k-gecikmesiyle elde edilen Xt+k değişkeni arasındaki ilişkiyi inceler. Bu ilişkinin derecesini belirleyen katsayıya da kısmi otokorelasyon katsayısı denir ve mm sembolü ile gösterilir. Serinin kısmi otokorelasyon katsayıları eşitliği ile hesaplanmaktadır. AR (OTOREGRESİF) – MA (HAREKETLİ ORTALAMA) Otoregresif (Auto Regressive, AR) Zaman Serileri Bir AR modelinde, bağımlı değişken geçmişteki değerinin bir fonksiyonudur. Birçok zaman serisi verisi de bu süreci içermektedir. AR(p) modelinde Zt değeri, serinin p dönem geçmiş değerlerinin ağırlıklı toplamının ve tesadüfi hata teriminin doğrusal fonksiyonudur. Bu durum aşağıdaki gibi bir denklemle ifade edilebilir. Zt Zt1 Zt2 …Zt p Zt (3.8) Burada Zt1 , Zt2 … Zt p , geçmiş gözlem değerleri, + …, geçmiş gözlem değerleri için katsayılar, µ ortalama değer ve Zt de hata terimidir. Eşitlikte geçen terimlerini uygulamada önceden bilmek mümkün değildir. Çeşitli yaklaşımlar vasıtası ile hatalar kareleri toplamını sıfır yapan model derecesi ve parametreleri hesaplanır. Yukarıdaki eşitlik sabit parametrenin olmadığı ve bağımlı değişkenin cari değerinin sadece kendi geçmiş değerleri ve hata terimi ile açıklandığı bir modeldir. Bu sürece AR(p) süreci denmektedir. X1, X2, … Xt gibi bir gözlemler dizimiz olsun. Serinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonlar serilerin modellenmesinde, başka bir deyişle model derecelerinin belirlenmesinde çok kullanışlı fonksiyonlardır. İstatistiksel analizler yapılırken model bilinmez ve veriye uygun bir model uydurulur. Uydurulan bu modele ilişkin istatistiksel sonuçlar elde edilir. Bu yüzden verilere iyi bir model uydurabilmek için serinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyonlarının hesaplanması gereklidir. Tabi bu hesaplanan otokorelasyonlar ve kısmi otokorelasyonlar elimizdeki verinin veya örneklemin otokorelasyonu ve kısmi otokorelasyonu olacaktır. Örneklemin ortalaması; Örneklemin Otokovaryansı; Örneklem Otokorelasyonu; Kısmi otokorelasyon fonksiyonu ise; şeklinde ifade edilir. Daha önce de açıklandığı üzere otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon katsayıları model belirlenmesinde kullanılır. Bir AR serisinin model derecesi serinin otokorelasyonunun sıfır olduğu nokta olarak kabul edilir. Böylece modelin derecesi belirlenmiş olur. Aşağıda çizelge 3.1 ve şekil 3.3 de bir AR serisinin “otokorelasyon” ve çizelge 3.2 ve şekil 3.4 de bir AR serisinin kısmi “otokorelasyon” durumları görülmektedir. Otokorelasyonlar; Çizelge 3.1 Örnek verilerin otokorelasyon katsayıları Şekil 3.3 100 birim zamanlık örnek zaman serisinin otokorelasyon grafiği Kısmi Otokorelasyonlar; Çizelge 3.2 Örnek verilerin kısmi otokorelasyon katsayıları Şekil 3.3 100 birim zamanlık örnek zaman serisinin kısmi otokolerasyon grafiği Çizelgelerden ve şekillerden de anlaşılacağı gibi, seri birinci derece otoregresif zaman serisi modeline uygundur. Çünkü kısmi otokorelasyon katsayısı birinci dereceden sonra sıfır olmaktadır. Ayrıca otokorelasyon katsayıları üstel olarak azalmaktadır. Serinin otokorelasyon katsayılarının üstel olarak azalması o serinin aynı zamanda durağan bir seri olduğunun işaretidir. Yani seri bir AR(1) serisidir. Hareketli Ortalama (Moving Avarege, MA) Serileri Bir hareketli ortalama süreci bağımlı değişkenin, gürültü sürecine sahip geçmiş hata terimleriyle ifade edilmesidir. Eğer serinin gecikmeli hata terimi, şimdiki hata terimini etkiliyorsa hareketli ortalama süreci tanımlanır. Bir hareketli ortalama sürecinde değişkenin tahmin değeri hata terimlerinin tahmin değeri ile ilgilidir. Zt a1 1at-12at-2 …qat-q Burada at , at1 ,.... atq hata terimlerini, 1 , 2 … q , hata terimleri ile ilgili katsayıları, µ ortalama değeri göstermektedir. Bu eşitlikte, eşitliğin sağ tarafı anlamlı q sayısı kadar hata terimi ile ifade edilmektedir. Hata terimi, sıfır ortalamaya ve sabit varyansa sahiptir. MA süreci, yavaş etkileri modellemede kullanılan ve serideki trend eğilimini ortadan 22 kaldırmak için tercih edilen bir yöntemdir. Birçok zaman serisi başka bir serinin lineer kombinasyonu şeklinde yazılabilir. Hareketli ortalama zaman serilerine en basit örnek bağımsız aynı dağılıma sahip değişkenler dizisidir. MA serilerinin otokorelasyonları belli bir noktadan sonra sıfır olur. Kısmi otokorelasyonları ise üstel azalır. Herhangi bir zaman serisi verildiğinde otokorelasyonlar ve kısmi otokorelasyonlar hesaplanarak model derecesi belirlenebilir. Aşağıda şekil 3.1 ve şekil 3.2 de bir MA serisinin otokorelasyon ve kısmi otokorelasyon grafikleri görülmektedir. Şekil 3.1 100 Örnek bir MA zaman serisinin kısmi otokorelasyon grafiği Şekil 3.2 100 Örnek bir MA zaman serisinin otokorelasyon grafiği Otoregresif Hareketli Ortalama (ARMA) Modelleri Çoğu durumda seriler tek başına AR( p) veya MA(q) süreçleri tarafından ifade edilemezler. Bu yüzden bu seriler otoregresif ve hareketli ortalama modellerinin birleşimi olan ARMA modeli şeklinde ifade edilmeye çalışılır. Genel olarak p. ve q. dereceden bir ARMA( p, q) modeli, şeklinde veya açık olarak, şeklinde ifade edilir. Bu modelin durağan olması için otoregresif kesime ait olan “p (B) 0” denkleminin tüm köklerinin mutlak değerce 1’den büyük olması gerekmektedir. AR yada MA modelini kullanarak çok sayıda parametreyi gerektiren veriler, bir ARMA modeli kullanılarak sadece birkaç parametre ile modellenebilmektedir. Genelde, modelde çok sayıda parametrenin bulunması tahminde etkinliği azaltır. ARMA( p, q) zaman serisi modelinin otokovaryansları, (h) 1 (h 1) …p (h p) , h q 1 şeklinde veya buna bağlı olarak otokorelasyonları, (h) 1(h 1) …p (h p) , h q 1 şeklinde hesaplanabilmektedir. ARMA(p,q) modelinin otokorelasyonları h q değerleri için AR(p) modelinin otokorelasyonları ile aynı olmaktadır. ARMA(p,q) modelinin kısmi otokorelasyon katsayıları ise; eşitliği ile verildiği gibi hesaplanmaktadır. Lineer Zaman Serisi Modelleri