Latas Cilindricas

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA-ENERGIA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA MECANICA-ENERGÍA MATEMATICA I LA LATA CILINDRICA BENANCIO ROJAS LUIS ANGEL CCAMA YUPANQUI DINCARLOJ CHAFLOQUE TASAYCO JONATHAN MORE BRAVO JEFFERSON RODRIGO GAMBOA LOPEZ WALDIR RAMOS CASTILLO ANGELLO SEMESTRE 2015-B CALLAO-PERU DEDICATORIA Esta monografía la cual fue realizada por los alumnos pertenecientes al curso de Matemática I, va dedicado hacia los alumnos de este Semestre 2015B, como recuerdo del esfuerzo y dedicación que hicimos para poder obtener este trabajo monográfico realizado en el presente curso, pues en un futuro al ver esta monografía nos traerá recuerdos de nuestros inicios en la Universidad Nacional del Callao. Índice Introducción ............................................................................................................ 2 Resumen .................................................................................................................. 3 LA LATA CILINDRICA ...................................................................................... 4 1. ¿Qué son las latas? ........................................................................................... 4 2. Historia............................................................................................................. 4 2.1. La primera lata ............................................................................................. 7 2.2. La llegada de los refrescos y el comienzo de la era del aluminio ................ 8 3. Características ................................................................................................ 10 4. Tipos .............................................................................................................. 11 4.1. Latas de Bebidas ........................................................................................ 11 4.2. Lata para alimentos .................................................................................... 13 5. Reciclaje......................................................................................................... 15 6. Diseño y mejoramiento de una lata................................................................ 17 6.1. Un proceso de fabricación prodigioso........................................................ 17 6.2. Todos los detalles cuentan ......................................................................... 18 6.3. Datos .......................................................................................................... 19 7. Cálculos Matemáticos de la Latas ................................................................. 20 7.1. Calculo de la relación radio-altura de una lata cilíndrica ........................... 20 7.2. Calculo del volumen máximo de una lata .................................................. 22 8. Ejercicios Aplicativos .................................................................................... 23 Conclusiones ......................................................................................................... 24 Bibliografía ........................................................................................................... 25 1 Introducción El presente trabajo tiene por objetivo demostrar la relación que debe existir entre las medidas de una lata cilíndrica tal que conservando su volumen aminore los desechos de metal y los costos por el material empleado , así como también aminorar los costos de producción en masa; en otras palabras como construir una lata eficientemente. En esta breve introducción se explicara los diferentes puntos que se llevara en esta monografía, desde su definición hasta los cálculos matemáticos que se utilizan para calcular las medidas de la lata que llegue ser la más eficiente. 2 Resumen De forma genérica, se llama lata a todo envase metálico. La lata es un envase que resulta adecuado para envasar líquidos y productos en conserva. Su historia remota desde los años 1813 que las latas tuvieron su inicio exclusivamente para el uso militar, se les hacía más fácil el transporte de sus alimentos, pero era muy toxico ya que eran soldadas con plomo. Poco a poco, pasando los años las empresas de cervecería y de bebidas fueron mejorando la calidad de la lata, hasta que se paralizo la producción por la Segunda Guerra Mundial que la producción volvió a ser solo para uso militar y en 1959 con la llegada de la era del aluminio, el aluminio fue utilizado para la fabricación de la lata ya que conserva mejor y más fresco el producto en su interior. También es más ecológico porque se puede reciclar. El aluminio es el material más abundante en la tierra, pero extraerlo del mineral que lo contiene es muy costoso. Cuando se descubrió en 1820 valía más que el oro. Desde su primer uso como sonajero del hijo de Napoleón, su empleo se ha extendido. En el año 1963 apareció la primera lata de bebida fabricada enteramente en aluminio y ahora son la aplicación más importante. Se buscaba crear un envase de forma práctica y económica y fácil de fabricar La solución es utilizar formas cilíndricas, que combinan lo mejor de los dos formatos anteriores. Pero sobre todo, el cilindro es muy fácil de fabricar. El cálculo matemático para ahorrar material en el proceso de fabricación de la lata necesitamos minimizar el área de la superficie total del cilindro sin alterar el volumen Para ello recordamos que el área de la superficie total de un cilindro es dos veces el área de la base más el área de la superficie lateral del cilindro, esto es: Asup.total= ×� + � Dónde: � = �� � = ��� . 3 LA LATA CILINDRICA 1. ¿Qué son las latas? De forma genérica, se llama lata a todo envase metálico. La lata es un envase opaco y resistente que resulta adecuado para envasar líquidos y productos en conserva. Los materiales de fabricación más habituales son la hojalata y el aluminio. Ilustración 1: Ejemplos de latas Fuente: http://www.consumer.es/web/es/medio_ambiente/urbano/2013/07/18/217298.php 2. Historia Como muchos otros inventos y utensilios que utilizamos en nuestra vida cotidiana, los envases de lata tuvieron su origen en el ejército y estaban concebidos para un uso militar. Las primeras latas de conservas se fabricaron en 1813 para envasar alimentos para el ejército británico, así los soldados podrían transportar comida al lugar de la contienda sin el inconveniente de que se estropease ni perdiese propiedades. El problema es que se soldaban con plomo, y eran muy tóxicas. Sin embargo, no fue hasta 1935 cuando nació la primera lata de bebida, es decir, que contenía un líquido para ser consumido directamente. Fue diseñada por Krueger (empresa cervecera situada en Nueva Jersey) para comercializar su cerveza Finest Beer. Este tipo de envase pesaba menos que las botellas de vidrio habituales, resistía mejor los posibles impactos y además permitía decorar toda la superficie de la lata para que la marca pudiera personalizarla según su estilo. Estas primeras latas requerían de la ayuda de un abre latas específico para poder ser abiertas. 4 Ilustración 2: Latas Kruger’s Fuente: http://www.consumer.es/web/es/medio_ambiente/urbano/2013/07/18/217298.php El invento tuvo tal éxito que en apenas un año se vendieron alrededor de 200 millones de latas de cerveza, y más de 40 marcas diferentes se apuntaron a esta tendencia de envasar sus productos en este tipo de recipientes. Durante los años posteriores, década de 1930 y principios de los 40, el invento fue progresando y se llegó al tipo crowntainer. Estos envases constaban de dos partes —una cabeza y un cuerpo— y serían la base de lo que conocemos como las latas actuales (aunque salvando las distancias, ya que estas tenían una chapa metálica que había que retirar, similar a las chapas de las botellas de cerveza actuales). Pronto llegó la Segunda Guerra Mundial y esto paralizó las producciones, al centrarse solo en la fabricación de las latas para uso militar. Al finalizar la guerra y la posguerra, hubo un resurgimiento y se reemprendieron las investigaciones, esta vez para enlatar refrescos, ya que hasta ahora se habían centrado en la industria cervecera. Es cierto que en 1938 se intentó por primera vez envasar un refresco en una lata, en concreto fue la bebida Ginger Ale, pero el resultado no convenció, ya que el barniz que se utilizaba para cubrir la lata en su interior hacía que el sabor del producto se viese alterado, entre otros problemas. Así que no se lograron los resultados esperados y no sería hasta 1948 cuando Pepsi se animó a intentarlo de nuevo mejorando la técnica. Tuvieron más éxito y otras empresas se unieron al carro de las latas al darse cuenta de que era buen medio para que la gente pudiera transportar fácilmente sus refrescos, evitando utilizar en vidrio, que es mucho más delicado y se rompe con más facilidad. 5 Ilustración 3: Lata de Pepsi Fuente: http://www.consumer.es/web/es/medio_ambiente/urbano/2013/07/18/217298.php La máxima competencia de Pepsi, Coca-Cola, no pasaría por el aro (o más bien por la anilla) de comercializar sus refrescos en latas hasta nada menos que 11 años después, en 1959, año que fue el de la llegada del aluminio al mundo de las latas. Este nuevo avance en la producción vino también de la mano del mercado cervecero. En este mismo año, 1959, la revista Modern Metals nombra “hombre del año” a Bill Coors, dueño de una marca de cerveza de origen norteamericano, por la innovación que supuso este práctico envase de aluminio. Este metal es más ligero y maleable, lo cual facilitaba enormemente su fabricación. Además conserva mejor y más fresco el producto en su interior. También es más ecológico porque se puede reciclar. Ilustración 4: Lata de Coca-Cola Fuente: http://www.consumer.es/web/es/medio_ambiente/urbano/2013/07/18/217298.php 6 En la década de 1960 se creó un nuevo sistema de apertura de las latas denominado easy-tab, con el que mediante una anilla se cortaba el aluminio dejando una apertura para la salida del líquido. Esto conllevó una gran revolución en el sector, haciendo que proliferasen más este tipo de envases. Después, en los 80, se produjo una mejora en este sistema de apertura, creando el stay-tab, mediante el cual la anilla se abre hacia el interior de la lata. Este es el método que se usa actualmente. 2.1. La primera lata En la primera mitad del siglo XX, los desarrollos sociales y económicos demandaban mayores tecnologías para mantener la demanda global de consumo de alimentos. Esto hizo que muchos profesionales, inventores y comerciantes se interesaran por los alimentos enlatados, los cuales podían ser trasladados a cualquier punto del planeta sin perecer. Pero recién en 1935 se conoce la primera lata bebida comercial. Diseñada por la cervecería Krueger de Nueva Jersey, la Finest Beer era la primera cerveza comercial en venderse dentro de una lata cerrada a presión. El lanzamiento fue un éxito total. El envase era más ligero que el vidrio, fácil de transportar, muy resistente a golpes y caídas, pero sobre todas las cosas, poseía una gran superficie para decorar, lo que comercialmente lo hacía único en cada modelo y marca. La suerte hizo que el principal inversor de la empresa Krueger contribuyera sin interés alguno al proceso de fabricación de las primeras latas, lo que logró quintuplicar las ventas y producir envases en más de 35 fábricas. En apenas un año ya se habían vendido cerca de 200 millones de latas, tanto de tapa plana que se habrían con un abrelatas con forma de pico, como de cuello similar al de una botella metálica Para 1936, sólo en el Reino Unido había más de 40 marcas de cerveza envasadas en latas de hojalata. Durante fines de la década del ’30 y la del ’40, se realizaron miles de modelos experimentales para lograr convertir el diseño en algo muy parecido a lo que conocemos en la actualidad. Uno de esos avances fue el fondo abovedado que mejoraba la resistencia a la presión interna. 7 A fines de la década del ’30 se lanzan unos envases compuestos por dos piezas (cuerpo y cabeza similar a la de una botella), que simplificaban la fabricación y se llamaron Crowntainer, los cuales, a pesar de que no tenían la estética de las latas actuales, sirvieron de base para las primeras producciones de latas de aluminio casi 20 años después. Durante los 20 años de vigencia de estos envases, el freno que supuso la Segunda Guerra Mundial y la recesión económica y de consumo que generó en todo el planeta hizo que todo el esfuerzo se frenara para abastecer a las tropas de suministros enlatados. El fin de la guerra y la recuperación económica de los países beligerantes trajo una oleada de masividad que consagró definitivamente a la lata de bebidas como uno de los productos más emblemáticos del siglo XX gracias a la llegada de otro producto masivo a estos envases: los refrescos. Ilustración 5: Conetops Fuente: https://nguajardo.files.wordpress.com/2012/05/2-8x6.jpg 2.2. La llegada de los refrescos y el comienzo de la era del aluminio La segunda guerra mundial detuvo el empuje de la lata de cerveza. La producción para los mercados interiores cesó y solamente se fabricaron latas para suministros militares. La vuelta a la normalidad se inició rápidamente al término de la contienda, con otro suceso de gran importancia: la llegada de los refrescos en lata. A pesar de que los primeros intentos de envasar un refresco se realizaron en 1938, cuando la empresa Continental Can Company intentó comercializar Ginger Ale de la marca Clicquot Club en latas similares a las de cerveza, este primer paso fue 8 frustrado por la alteración de sabor que provocaba el barniz de revestimiento interno del envase así como varios problemas de fugas. De la mano de Pepsi-Cola se comenzaron a ver los primeros refrescos en 1948 en los comercios., lo que hizo que otras compañías más pequeñas se interesaran por este segmento de negocio. La ¿habilidad? comercial de los ejecutivos de Pepsi provocó que dos años después la empresa retirara las latas del mercado por no ver un crecimiento sostenido acorde a sus expectativas. Otro actor que definió el mercado de las latas junto a los refrescos fue el marketing. Muchas empresas vieron como veta comercial la difusión de su nuevo envase a través de consignas relacionadas con la diversión, las actividades al aire libre y el ocio, algo que inicialmente se contaba como una ventaja gracias a su bajo nivel de roturas y facilidad para transportar. Para 1950, los refrescos en lata ya eran de consumo masivo, pero muchas grandes compañías se resistían a migrar sus productos a este tipo de envase. De no ser porque el principal competidor de Coca-Cola, la Royal Crown Cola, que en 1955 ya era en el más grande envasador de refrescos en lata de Estados Unidos, la empresa más famosa del mundo no habría entrado al mercado de las latas ya que lo consideraba un gran riesgo y sentían temor por la reacción de sus consumidores. Coca-Cola hizo su entrada al mercado de los refrescos envasados en 1959, el mismo año en que debuta el envase de aluminio. Entrada la década del ’60, el inventor de Indiana, Ernie Fraze, un ingeniero de la empresa Dayton Reliable Tool Company, diseñó un sistema de apertura que revolucionaría el mercado ya que no precisaba de ningún otro elemento externo para ser abierta. Ilustración 6: Ernie Fraze Fuente: https://nguajardo.files.wordpress.com/2012/05/4-8x6.jpg 9 3. Características Básicamente para la conservación de los alimentos, tiene que estar dentro de un recipiente que ayude a conservar, por ello se usa la lata y tiene algunas características como veremos a continuación.  Ligereza: espesores de 0,10mm o menos  Herméticas: protegen del aire, oxígeno y bacterias que pueden contaminar el contenido.  Protección del contenido: estanqueidad y protección contra la luz  Rapidez de enfriamiento  Resistencia a la rotura  Inviolabilidad: no pueden abrirse sin que se aprecie que ha sido manipulada  Reciclabilidad: la lata es reciclable tanto por los sectores del acero como del aluminio; sin embargo, a día de hoy la tasa de recogidas es muy inferior a la de otros materiales como el papel y cartón  Decorable: pueden personalizarse mediante la impresión de litografías Ilustración 7: La lata de aluminio Fuente: http://multi-recursos.com/wp-content/uploads/2013/04/Latas-de-conservas-en-vector.jpg 10 4. Tipos 4.1. Latas de Bebidas La lata de bebidas tiene un origen relativamente reciente. La primera lata con tapa plana se lanzó en el año 1935 pero no es hasta la introducción de la tapa de apertura fácil en 1965 cuando inicia su despegue comercial. A finales de los años 1980, se presenta la anilla no desprendible stay-on tab, que es la más utilizada hoy en día. El auge de la lata como envase de bebidas se debe a sus numerosas ventajas para su distribución y consumo. Entre las innovaciones técnicas incorporadas a las latas en las últimas décadas destaca la reducción del diámetro del cuello de la lata y por tanto de la tapa que supuso la reducción de hasta un 30% del peso de la tapa. Las actuales líneas de producción emplean materiales con una gran uniformidad de propiedades y un utillaje de alta precisión. Ello ha posibilitado la adopción de procesos más complejos de conformación que ha permitido combinar los procesos clásicos de fabricación con la posibilidad de variar la forma de la lata. Algunos diseños que ya se encuentran en los supermercados incorporan alguna de las siguientes innovaciones:  Tapas higiénicas protectoras, que además impiden derramar el contenido y preservan el gas.  Formas en relieve  Marcas y logotipos estampados  Reproducción de formas alusivas al contenido como barril, vaso o botellas. Otras novedades se dirigen a mejorar el manejo por parte del usuario. En este apartado se enmarcan las aberturas de mayor tamaño para poder verter mayor contenido de producto, lo que es muy apreciado por algunos grupos de consumidores como los aficionados a la cerveza. Dado el interés por las marcas de diferenciarse y de introducir elementos promocionales en el envase, es habitual encontrar latas con argollas de colores o con mensajes debajo de la tapa que sólo se descubren al abrirla. De este modo, sólo se obtiene la prueba de compra si se ha consumido el producto. 11 La técnica se realiza mediante impresión de tinta o estampación a alta velocidad sin necesidad de ralentizar la línea. La anilla de color diferencia el producto coordinándose con la imagen de marca y sirve también como prueba para concursos y promociones. Ilustración 8: Orejilla de una lata de gaseosa Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Lata Ilustración 9: Lata Alhambra Fuente: http://www.directoalpaladar.com/otras-bebidas/alhambra-lanza-latas-con-tapa-protectora 12 Ilustración 20: Latas de desodorante Fuente: http://www.goodfellasmagazine.com/mtn-colors-x-obey-limited-edition/ 4.2. Lata para alimentos Las latas también son utilizadas para la conserva de múltiples alimentos. Dadas las características que poseen los envases metálicos son idóneas para la conservación y posterior consumo humano. Entre los alimentos que podemos encontrar en lata, destacan:  Cualquier tipo de conserva  Aceite  Aceitunas  Embutidos  Productos cárnicos  Especias  Frutas 13 Ilustración 31: Lata de Conservas de diferentes tamaños. Grupo Auximara. Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Lata Ilustración 12: Comida enlatada Fuente: http://estudilloestrada.wordpress.com/2012/03/21/mitos-sobre-la-comida-enlatada/ Ilustración 13: Lata para galletas Fuente: http://www.todocoleccion.net/cajas-metalicas-antiguas/lata-galletas-jacobsens-dinamarcatapa-relieve~x39942393 14 5. Reciclaje El aluminio es el material más abundante en la tierra, pero extraerlo del mineral que lo contiene es muy costoso. Cuando se descubrió en 1820 valía más que el oro. Desde su primer uso como sonajero del hijo de Napoleón, su empleo se ha extendido. En el año 1963 apareció la primera lata de bebida fabricada enteramente en aluminio y ahora son la aplicación más importante. Seguramente no sabes que si tiras una lata tarda unos 500 años en desintegrarse. Y si tiras dos latas de aluminio estás desperdiciando más energía que la que consume diariamente uno de los miles de millones de habitantes de los países pobres. Tan sólo con el reciclaje de las latas de aluminio, en EE.UU, se ahorraron en electricidad en el año 1988 la cantidad suficiente para abastecer los hogares de la ciudad de Nueva York durante medio año. 11.000 millones de Kw.h. Ilustración 14: Estadísticas de producción y reciclaje Fuente: http://www.arbolesymedioambiente.es/latas.html El aluminio, al igual que el vidrio puede ser reciclado infinidad de veces, ya que no pierde calidad en los distintos procesos y no cambia sus características químicas durante el reciclado. El proceso se puede repetir indefinidamente y los objetos de aluminio se pueden fabricar enteramente con material reciclado. El proceso de reciclado es fácil, ya que las latas de aluminio desechadas están compuestas sólo de aluminio por lo que no se requiere una separación previa de otros materiales. 15 El residuo de aluminio es fácil de manejar, ya que es ligero, no se rompe, no arde y no se oxida, por lo mismo es también fácil de transportar. El aluminio es un material cotizado y rentable con un mercado importante a nivel mundial. Por ello todo el aluminio recogido tiene garantizado su reciclado. El reciclaje de aluminio produce beneficios ya que proporciona fuente de ingresos y ocupación para la mano de obra no calificada, teniendo el valor más alto de todos los residuos de envases y embalajes, siendo esto es un incentivo para su recuperación. Sin embargo, la tasa de recogida es muy inferior a la de otros materiales como el papel y cartón. No se debe confundir el reciclaje de las latas de aluminio con las latas de conservas o de alimentos, ni revolver con papel aluminio, alambres, o cualquier otro objeto de metal. Ilustración 15: Ciclo de reciclaje Fuente: http://www.arbolesymedioambiente.es/latas.html 16 6. Diseño y mejoramiento de una lata 6.1. Un proceso de fabricación prodigioso Eso nos llevaría a pensar que lo ideal sería usar ortoedros, ya que permite asentarlo bien en la mesa y es perfecto como formato para apilar. Sin embargo no es cómodo de sujetar y resulta extraño beber directamente de una forma como esta. Aunque su fabricación es sencilla, las esquinas son puntos débiles que pueden presentar problemas en la distribución de la presión y rupturas. Ilustración 16: Lata de Coca-Cola Fuente: http://www.xataka.com/otros/no-nos-damos-cuenta-pero-esas-latas-de-refresco-son-unaobra-maestra-de-la-ingenieria-moderna La solución es utilizar formas cilíndricas, que combinan lo mejor de los dos formatos anteriores. Resuelve en parte el problema de apilado de la esfera, ya que se aprovecha el 91% del volumen, y también corrige los defectos de los ortoedros. Pero sobre todo, el cilindro es muy fácil de fabricar. El proceso de fabricación, es tan curioso como simple: partimos de una oblea de aluminio de 3 mm que a través de distintos anillos y de elementos que hacen presión van dando como resultado la forma cilíndrica de la lata, cada vez más alta y más fina en su contorno. La parte inferior se somete a una nueva presión con un elemento con acabado de domo que hace que se necesite menos material para la parte inferior y que también distribuye mejor la presión en esa parte. En la parte superior quedan unas pequeñas estrías del proceso de "estirado" inicial, pero éstas desaparecen con un pulido especial, tras lo cual llega la 17 decoración de la lata. Que es tanto exterior -con los motivos y diseño de cada bebida en particular- como interior -con una capa que protege el aluminio de la bebida y que evita, por ejemplo, que ésta tenga un sabor "metálico". 6.2. Todos los detalles cuentan A continuación se modela el cuello de la lata, que se realiza en 11 etapas separadas en las que se va aplicando gradualmente distinta presión para dar como resultado esa forma característica de las latas. Mientras que en el pasado las cubiertas de las latas tenían un diámetro de 60 mm, ahora estas cubiertas tienen un diámetro de 54 mm. No parece mucho, pero eso supone un ahorro inmenso de aluminio para la industria global de producción de latas. Ilustración 17: Aluminio de la lata Fuente: http://www.xataka.com/otros/no-nos-damos-cuenta-pero-esas-latas-de-refresco-son-unaobra-maestra-de-la-ingenieria-moderna En esa parte superior se realiza una doble costura o unión de la tapa superior con el resto de la lata que es otro pequeño prodigio de la ingeniería. A esa unión se le aplica además un compuesto de sellado que el gas no puede escapar, y en el interior de la lata los líquidos están a aproximadamente dos veces la presión atmosférica. En los refrescos es el dióxido de carbono el que produce esa presión, mientras que en otras bebidas se introduce nitrógeno. Esa presión interna (artificial o no) hace que la lata sea realmente resistente a pesar de sus finas paredes. Entre otras cosas, permiten apilar un enorme peso sobre ellas sin problemas. Igualmente sorprendente es el diseño de la lengüeta de la parte superior que permite abrir la lata. El diseño ha ido también evolucionando -seguro que más de uno recordaréis que no hace mucho tirábamos esas anillas a la calle 18 sin demasiada precaución, algo que no era recomendable- y se ha convertido en otra aplicación fantástica de la ingeniería. Esa lengüeta se comporta como una palanca que no solo permite hacer presión, sino que luego actúa como una sierra para aprovechar la diferencia de presión de forma realmente ingeniosa. El resultado de todos estos avances es una verdadera maravilla de la evolución de la ingeniería que además ha logrado aprovechar los procesos de reciclaje: el 70% del material de las latas actuales es reciclado, de modo que el proceso es aún más eficiente. Como dice Hammack, la próxima vez que echéis un trago a una lata, brindad a la salud de esa ingeniería que ha logrado poner en vuestras manos un producto que subestimamos y que tiene mucha más miga de la que podríamos pensar. 6.3. Datos  DATO1: Las latas de bebidas tienen un peso aproximado de 15 gramos, se necesitan 67 latas para obtener un kilo.  DATO2: Al reciclar una lata de aluminio se ahorra energía suficiente para hacer funcionar un televisor durante tres horas.  DATO3: El aluminio puede reciclarse indefinidamente sin perder sus propiedades.  DATO4: Siempre que vayas a tomar directamente de la lata de bebida limpie bien la tapa o ya que generalmente éstas se apilan en bodegas donde pueden haber ratones y esto puede producir enfermedades o intoxicaciones. Ilustración 18: Panfleto Web de Reciclaje Fuente: https://masatierraecologico.wordpress.com/2012/08/09/latas-de-aluminio/ 19 7. Cálculos Matemáticos de la Latas 7.1. Calculo de la relación radio-altura de una lata cilíndrica Para ahorrar material en el proceso de fabricación de la lata necesitamos minimizar el área de la superficie total del cilindro sin alterar el volumen Ilustración 19: Desarrollo lateral de un cilindro Fuente: http://www.ceibal.edu.uy/UserFiles/P0001/ODEA/ORIGINAL/110926_cilindros.elp/rea_del_cilin dro.html Para ello recordamos que el área de la superficie total de un cilindro es dos veces el área de la base más el área de la superficie lateral del cilindro, esto es: Asup.total= ×� + � Dónde: � = �� � = ��� Nota: el área de la superficie lateral del cilindro es como quitar la etiqueta de un tarro de leche pro medio de un rectángulo de base 2πr (perímetro de la base circular) y altura H (altura del cilindro) 20 Entonces la superficie total será: 2� + � = 2�� + 2πrH = �� Rápidamente mi compañero Jhonatan noto que las únicas variables de las que depende esta última ecuación son “r” y “H”. Aparte restringiremos el área del cilindro para facilitar nuestros cálculos la cual será de 1 litro su área de la base (π� ) por la altura (H) será un litro: 1 = π� � Y si despejaremos H tendríamos: H= �� Ahora sustituimos este valor despejado de “H” en “�� ” �� = 2π� + �� �� Mi compañero Jefferson se dio cuenta de que “r” es una medida de longitud diferente de cero y que podemos simplificarla sin problemas en el segundo sumando junto con la constante “π”. Entonces simplificando: �� = 2π� + � Ahora viene la pregunta más importante, ¿Qué valor debemos asignarle a “r” para que la superficie total sea la mínima posible? Necesitamos nociones de máximos y mínimos, tema que no tocamos aun en clase pero con una repasada bastaría para poder acabar este problema. Para ello calculamos la derivada de �� a la vez que calculamos los valores de “r” en donde la derivada llega a valer cero. 21 0= ��´ =4πr - �� − � , aquí me di cuenta que el valor que hace cero la derivada es que � 4π� = 2 Entonces despejando � : � = � ≫ r = 0.5419dm Ya que trabajamos en litros, este radio nos ha salido en decímetros o también: r = 5.419cm, que es lo mismo. Luego pasamos a hallar la altura solo remplazando en la ecuación: H= �� Y sustituyendo ”r” por su valor, obtenemos que: H = 10.84 centímetros, lo que nos da una relación de H = 2r Por ultimo solo queda corroborar si lo que obtuvimos fue un máximo o un mínimo, Si ��´´ = 4π + � hallamos la segunda derivada, veremos que: , todos nos dimos cuenta que esta expresión siempre es positiva para todo valor razonable del radio (por razonable entendemos que es una medida de longitud y siempre debe ser positiva) y un valor negativo no tendría lugar a razón, y debido a todo lo acontecido garantizamos que sea un valor mínimo. 7.2. Calculo del volumen máximo de una lata Determine el volumen máximo de una lata si el área total de su superficie incluyéndolas 2 bases circulares el 150π� . V= �� h, A = 2�� + 2πrh= 150π 22 Despejando” h” y pasando a una sola variable, π − �� �� = 7 −� � Sustituimos este valor en la fórmula del volumen V  �� = �� 7 −� � = 75 �r - �� �� ′= 75 � - �� = 0 � = 5 , r=5  h= 7 – = = 10  V = � (25) (10) = 250 � �� ′ ′ = -6�r < 0, para r > 0 r = 5, volumen máximo 8. Ejercicios Aplicativos ¿Con qué rapidez baja el nivel de gaseosa contenida en una lata cilíndrica de Coca Cola si estamos tomándolo a razón de 0.10 litros por minuto? Solución Sea r el radio de la lata cilindra y h la altura medidos en decímetros. Sea V (t) el volumen de la gaseosa, medido en litros (=dcm3), que hay en la lata cilíndrica en el tiempo t medido en minutos. La información que nos dan es una tasa de variación: V (t + 1) − V (t) = −0.10 litros por minuto En este tipo de ejercicios la tasa de variación se interpreta como una derivada: V´ (t) = −0.10. Fíjate que V (t + to) − V (to) es equivalente a V´ (to) t, por lo que la interpretación es razonable. El signo negativo de la derivada es obligado ya que el volumen disminuye con el tiempo. Como el radio es constante pero la altura del agua depende del tiempo, tenemos: V (t) = π r² h (t) Y deducimos V´ (t) = −0.10= π r ² h´ (t) Por tanto h´ (t) = − 0.10/ π r ² decímetros por minuto 23 Conclusiones  El tema de las latas es muy útil en la vida diaria pues se utiliza en beneficio propio, ya que cada envase de lata es caracterizado por poseer alguna bebida, alimentos, pintura, entre otros. Nos brinda la protección y el conservamiento de estos productos mencionados. Y cabe destacar que el material (acero, vidrio, aluminio, etc.) y el diseño (que puede ser: con tapas higiénicas protectoras, con formas de relieve, con marcas, logotipos etc.) del cual está hecho puede variar, siendo el de aluminio el más importante en reciclar, pues reduce en un 95% la contaminación atmosférica generada durante su fabricación.  En la actualidad el consumo de productos enlatados es muy alto y no para de crecer ya que cada vez son más los productos que el mercado nos ofrece en este tipo de envases.  Las vemos por todas partes: las latas de refrescos, cervezas y otros tipos de bebidas tienen un diseño muy especial y que responde a unas necesidades especiales, pero... ¿cuáles? Lo cierto es que las latas de aluminio que contienen esas bebidas son una pequeña obra maestra de la ingeniería moderna. 24 Bibliografía Fayerwayer. (2012, Mayo 14). Retrieved from Fayerwayer: https://www.fayerwayer.com/2012/05/el-origen-de-la-lata-de-bebida/ Masatierraecologico. 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