TRANSFORMADA DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE ZACAPOAXTLA ℒ{ ∞ }=∫ − = ℒ − {� } ECUACIONES DIFERENCIALES ANGEL VERGARA BETANCOURT INGENIERÍA MECATRÓNICA TRANSFORMADA CUARTO A DIRECTA E INVERSA DE LAPLACE EDUARDO SALAZAR HIDALGO VIERNES 30 DE MAYO 2014 INDICE 1. RESUMEN .................................................................................................................................... 2 2. OBJETIVO GENERAL ..................................................................................................................... 2 3. OBJETIVOS PARTICULARES .......................................................................................................... 2 4. MATERIAL Y EQUIPO A UTILIZAR ................................................................................................. 3 5. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 3 6. MODELO TEÓRICO O MATEMÁTICO .......................................................................................... 3 7. METODOLOGÍA............................................................................................................................ 4 8. PROCEDIMIENTO ......................................................................................................................... 4 9. RESULTADOS Y DISCUSION DE RESULTADOS .............................................................................. 4 9.1. TRABAJO DE INVESTIGACIÓN .............................................................................................. 4 9.1.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE MEDIANTE USO DE LA DEFINICIÓN ............................ 5 9.1.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES BÁSICAS ............................................. 7 9.1.3. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES DESCRITAS MEDIANTE UNA GRÁFICA O FUNCIONES DEFINIDAS MEDIANTE TRAMOS .......................................................................... 9 9.1.4. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE FUNCIONES BÁSICAS ............................ 11 9.1.5. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE, USO DE FRACCIONES PARCIALES.............. 12 9.2. SIMULACIÓN POR COMPUTADORA .................................................................................. 16 9.2.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE................................................................................... 16 9.2.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE.................................................................... 18 9.3. ACTIVIDAD PRÁCTICA ........................................................................................................ 21 9.3.1. ECUACIONES NO HOMOGENEAS MÉTODO DE SUPERPOCISIÓN .............................. 21 9.3.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE................................................................................... 22 9.3.3. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE.................................................................... 23 10. CONCLUSIONES ..................................................................................................................... 24 11. BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................ 24 12. APENDICE .............................................................................................................................. 24 12.1. TRANSFORMADAS ELEMENTALES DE LAPLACE ............................................................. 24 1 1. RESUMEN La Transformada de Laplace (TL) así como la Transformada Inversa de Laplace (TIL) fueron dos grandes aportes a las matemáticas hechos por el matemático y astrónomo Francés Pierre Simon Marquis de Laplace. Dichas transformadas nos permiten resolver ecuaciones diferenciales muy complejas de forma muy práctica. La idea principal radica en transformar la función con dominio de t (tiempo) a una función con dominio s (TL) de esta forma se pueden realizar las operaciones correspondientes para volver a transformar del dominio de s al dominio de t (TIL), El contenido de esta actividad pretende dar la bases teóricas que permitan conocer las TL y TIL, de esta forma se resolverán ejercicios para comprender mejor el tema así como simulación de TL Y TIL en el software MATLAB. En primer lugar se muestra teoría y tres ejercicios resueltos sobre los temas de: i. Transformada de Laplace mediante uso de la definición. ii. Transformada de Laplace de funciones básicas. iii. Transformada de Laplace de funciones descritas mediante una gráfica o funciones definidas mediante tramos. iv. Transformada de inversa Laplace de funciones básicas. v. Transformada inversa de Laplace mediante uso de fracciones parciales. A continuación se hace una descripción paso a paso de cómo resolver TL y TIL en el software MATLAB de la misma forma aparecen algunos ejercicios resueltos en dicho programa. Finalmente se discuten las conclusiones de lo aprendido sobre el tema. 2. OBJETIVO GENERAL Se pretende recabar la información básica sobre TL y TIL, conocer los métodos que existen para llevar a cabo su resolución y de esta forma resolver los ejercicios propuestos con el fin de obtener la habilidad suficiente, pues más adelante dichas expresiones matemáticas serán aplicadas a la vida cotidiana más específicamente en la ingeniería. 3. OBJETIVOS PARTICULARES Como se sabe todo proceso conlleva una serie de pasos ordenados que nos permiten lograr un fin, objetivo o meta. A continuación se presentan los pasos que se siguieron que nos permitieron llevar a cabo esta actividad.  Revisión de fuentes bibliográficas (libros, internet).  Resolución de los ejercicios propuestos.  Elaboración de una síntesis y presentación de ejemplos de cada uno de los subtemas.  Simulación de TL y TIL en el software MATLAB. 2  Análisis y discusión de los resultados obtenidos. 4. MATERIAL Y EQUIPO A UTILIZAR En esta sección se enlistan las herramientas utilizadas durante la actividad.      Laptop. Scanner. Útiles Escolares (Libreta, Lapiceros, Lápices, Goma, Sacapuntas). Bibliografía (Libros, Internet). Software Especializado (MATLAB, Microsoft Word, Paint). 5. INTRODUCCIÓN Durante el siglo XIX estuvo de moda para científicos e ingenieros, encabezados y motivados por el ingeniero electricista inglés Oliver Heaviside (1850-1925) usar métodos de operador para resolver varios problemas involucrando ecuaciones diferenciales. En estos métodos los operadores fueron tratados como símbolos algebraicos y las ecuaciones resultantes fueron manipuladas de acuerdo a las reglas del álgebra. Admirablemente, los métodos condujeron a respuestas correctas. Estos éxitos motivaron a científicos e ingenieros a usar los métodos aún más. Algunos matemáticos inquietos, viendo que las manipulaciones algebraicas sí conducían a resultados correctos razonaron que debería haber alguna manera de colocar los procedimientos en una base matemática rigurosa. La investigación hacia este objetivo condujo al poderoso método de las transformadas de Laplace, (Spiegel, 1983). Llamada así en honor al matemático y astrónomo francés PierreSimon Laplace (1749-1827) considerado como uno de los más grandes científicos de la historia, a veces referido como el Newton de Francia. 6. MODELO TEÓRICO O MATEMÁTICO En sí comprender el concepto de Transformadas de Laplace no es muy complicado pero, es muy importante conocer de dónde surgen estas teorías para tener un panorama más claro. Sea una función dada que esté definida para toda . Se multiplica por y se integra con respecto a de cero a infinito. Entonces, si la integral resultante existe, será una función de : − � ∞ =∫ − 3 Esta función � de la variable se llama transformada de Laplace de la función }. Por tanto. original y se denota por ℒ{ � ∞ = ℒ{ }=∫ − Además, la función original se llama transformada inversa o inversa de � − { } es decir: se denota por ℒ 7. METODOLOGÍA = ℒ − {� y } Como primer paso se buscó información sobre Transformadas de Laplace consultando bibliografía confiable de esta forma se conocieron las bases así como el origen de dichas teorías, después se resolvieron los ejercicios propuestos extraídos del libro (Zill & Cullen, 2009) de esta manera se obtuvo la habilidad para su resolución. A continuación si hizo la simulación de algunos ejercicios en el software MATLAB para el cual se elaboró un manual que explica paso a paso como utilizar dicho software para efectuar las transformadas de Laplace, finalmente se escanearon las hojas de los ejercicios resueltos en clase y de igual forma se discutieron los resultados obtenidos. 8. PROCEDIMIENTO i. ii. iii. iv. v. vi. vii. viii. Revisión bibliográfica. Resolución de ejercicios propuestos. Visita de videos en You Tube. Elaboración de síntesis. Simulación en MATLAB. Elaboración de manual para Transformadas de Laplace. Reunión de los elementos para la elaboración de la Actividad 3. Conclusiones. 9. RESULTADOS Y DISCUSION DE RESULTADOS 9.1. TRABAJO DE INVESTIGACIÓN 4 9.1.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE MEDIANTE USO DE LA DEFINICIÓN ∞ , la integral impropia ∫ � , Si está definida cuando como un límite: ∞ ∫ � , La sustitución � , = importante. Entonces se obtiene: − se define = l�m ∫ � , →∞ proporciona una transformación integral muy ∞ ℒ{ }=∫ − EJEMPLOS: = 1. ℒ{ ∞ }=∫ ∞ ℒ{ } = ∫ ∞ ℒ{ } = ∫ ℒ{ } = − ℒ{ } = [ ℒ{ } = − − − − − | ∞ − ∞ − − ]−[ − − ] ℒ{ } = 5 = 2. ∞ }=∫ ℒ{ ℒ{ } = ∫ ∞ − − − ℒ{ } = − −∫ − − ℒ{ } = − − ℒ{ = ℒ{ ℒ{ ∞ − − ℒ{ − ℒ{ − ℒ{ ℒ{ − − }=∫ ∞ ] − [− − − ] + − − }=∫ ∞ }=[ − �− − − }=∫ − − ∞ =− ℒ{ } = − ∞ }= − = − − }=∫ − ∞ = −� ∞ }=∫ | − ∞ ℒ{ } = [− ∞ 3. − − = − − + − + − ∞ + + | ∞ + ]−[ − − ℒ{ + − + }= ] + 6 9.1.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES BÁSICAS Se presentará la generalización de la resolución de transformadas de Laplace a partir de las siguientes formulas, se entiende que tiene las restricciones suficientes para garantizar la convergencia de la trasformada de Laplace correspondiente. Una breve lista de funciones elementales importantes y sus transformadas de Laplace se muestran a continuación, prácticamente todas las transformadas que se necesitaran pueden obtenerse mediante el uso de algunos teoremas generales simples. EJEMPLOS: 1. ℒ{ ℒ{ �{ }= − } = ℒ{ } − ℒ{ }= ( )− } ℒ{ }= − 7 ℒ{ ℒ{ ℒ{ ℒ{ ℒ{ ℒ{ ℒ{ ℒ{ 2. �{ }= }= }= 3. �{ }= }= }= − �� − − − }= ( ℒ{ }=�� − − ) − cos − cos } = ℒ { } − ℒ { cos } = ℒ{ } − ℒ{cos }= ( )− ℒ{ }= ( − ℒ{ }= + − + } } + + ) ℒ{ }= + 8 9.1.3. TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES DESCRITAS MEDIANTE UNA GRÁFICA O FUNCIONES DEFINIDAS MEDIANTE TRAMOS En muchas ocasiones nos vamos a encontrar frente al problema de necesitar encontrar la transformada de Laplace de una función a tramos de la cual no nos dan su expresión algebraica, sino que tenemos su gráfico del cual debemos determinar las expresiones algebraicas. A continuación se presentaran algunos ejemplos de los que ya sea la gráfica o la función a tramos dados, se debe obtener la transformada de Laplace. EJEMPLOS: 1. ∞ }=∫ ℒ{ ℒ{ = ℒ{ ℒ{ ℒ{ ℒ{ ={ = , , − ∞ − �− =− − − } = [− − }=[ − +[ − − − − +∫ = } = [− }=− > − }=∫ < − ∫− − − − − − ∞ − − ] | + [− − − + ] | + [− − − + ℒ{ − − ]| − ∞ − − ] ]| − ∞ ] − }=− − + 9 2. ={ ∞ }=∫ ℒ{ ℒ{ = = ℒ{ }= = =− − − }=[ ℒ{ − − ∞ − }=∫ }= ℒ{ − − ∞ �− − ∫− − − − ∞ ∞ }=∫ ℒ{ }=∫ ℒ{ }= − < < > − − | ∞ − − ∞ ]−[ }= ℒ{ 3. ℒ{ − +∫ , , − − − + − − ] − , ={ , , − − �− +∫ | − ∞ < < < < > − +∫ ℒ{ }=− �− + �− 10 9.1.4. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE FUNCIONES BÁSICAS Anteriormente nos ocupamos del problema de transformar una función en otra ∞ − función � mediante la integral ∫ , su representación simbólica es } = � . Ahora se invertirá el problema, dada la función � ℒ{ hallar la función que corresponde a esa transformación. Se dice que es la transformada inversa de Laplace de � y se expresa: = ℒ − {� } EJEMPLOS: 1. �− {� }= + ℒ − {� }={ ℒ − {� } = ℒ− { + } + } ℒ − {� }= � 11 2. �− {� }= − + − ℒ − {� 3. �− {� ℒ − {� ℒ − {� }= }= ( }= ( }= − + + � + + ) ) ℒ − {� }= � 9.1.5. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE, USO DE FRACCIONES PARCIALES Cuando se tiene una función de t, racional con denominador factorizable, se puede expresar esta función en términos de funciones más elementales para poder encontrar la transformada inversa de Laplace. Para poder llevar esta función a una suma o resta de funciones elementales se hace uso de la técnica conocida como fracciones parciales. Luego, gracias a la propiedad de linealidad de la transformada inversa puede calcularse término a término. = ℒ− { } = ℒ− [ +� ] + ℒ− [ +� ] + ⋯ + ℒ− [ � + �� ] En muchas ocasiones encontrar la transformada inversa de Laplace puede implicar que tengamos que hacer una serie de trucos algebraicos para que podamos utilizar las fórmulas comunes que conocemos para la transformada de Laplace. EJEMPLOS: 12 1. �− {� ℒ − {� ℒ − {� ℒ − {� ℒ − {� }= }= }= }= }= + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + | ] [ =− = = ℒ − {� ℒ − {� }=− ( + } = − ℒ− ( ℒ − {� )+ + + ) + ℒ− }= − − + ( + + cos + ) + ℒ− ( + � + ) 13 2. �− {� }= ℒ − {� }= + + ℒ − {� }= + ℒ − {� ℒ − {� }= }= = + + + + + + + + + + + + + + + + 1 0 4 [0 + + + 0 1 0 4 1 0 1 0 + + 0 1 0 1 + + + + + 0 0 0 1] = = = =− ℒ − {� }= ℒ − {� } = ℒ− ( + + ( + + )+ ) − ℒ− ( ℒ − {� }= � + + − − ( ) + ) � 14 3. �− {� ℒ − {� }= ℒ − {� }= ℒ − {� ℒ − {� ℒ − {� }= }= }= }= − + + − + + + + + + + + + + + + + + + − + − + + [ − + + + + − + − + − − + + − − + = + − + + | ] = =− = ℒ − {� ℒ − {� }= }= ( − ℒ− ( )− ( − ℒ − + )+ ) − ℒ− ( {� }= ( + − + )+ − + ) ℒ− ( − + ) 15 9.2. SIMULACIÓN POR COMPUTADORA 9.2.1. TRANSFORMADA DE LAPLACE 1. Una vez que se haya abierto el programa nos aparecerá la pantalla principal ventana de comandos donde trabajaremos para resolver Transformadas de Laplace. 2. Se declaran las variables que se utilizaran, en este caso serán t y s. Se escriben directamente al principio de la interfaz utilizando el comando syms. Se debe dejar un espacio entre cada variable. 3. Definimos la función asignándole una variable, comúnmente se utiliza la variable f. no se debe olvidar poner * al multiplicar variables y constantes o una combinación de estas. 16 4. Nuevamente declaramos una variable, la cual guardará el resultado obtenido en este caso será F, utilizamos el comando laplace y como argumento introducimos la variable de nuestra función antes declarada y las variables que de igual forma se declararon al principio, todas en este orden y separadas por comas. 5. El comando simplify nos permite reducir términos si el resultado arrojado es muy extenso. Se escribe dicho comando y dentro de los paréntesis a la nueva variable creada que es la que contiene el resultado. 6. De igual forma el comando pretty acomoda el resultado como si lo realizáramos a mano, esto con el fin de que la respuesta se vea “mejor” estéticamente. Como argumento introducimos a ans que es la abreviatura de answer o respuesta. De esta forma se obtiene la trasformada de Laplace a partir del dominio de t pasamos la función al dominio de s. EJEMPLOS 17 9.2.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE Prácticamente son los mismos pasos que utilizamos a la hora de calcular la trasformada directa de Laplace, la única diferencia radica en que en lugar de llamar al comando laplace esta vez será sustituido por ilaplace. 1. Se declaran las variables a utilizar. 18 2. Se introduce la función en términos de s que queremos transformar asignándole a esta una variable, en este caso será F. 3. Se llama al comando ilaplace que transforma a nuestra función y como argumento introducimos a la variable antes creada. 4. De ser necesario reducimos términos con el comando simplify. 5. Reacomodamos términos con pretty. 19 De esta manera se transforma a la función de términos en s términos en t. EJEMPLOS 20 9.3. ACTIVIDAD PRÁCTICA 9.3.1. ECUACIONES NO HOMOGENEAS MÉTODO DE SUPERPOCISIÓN 21 9.3.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 22 9.3.3. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 23 10. CONCLUSIONES Al término de esta actividad se puede concluir que la Transformada de Laplace es una herramienta muy útil que posteriormente se utilizará para resolver Ecuaciones Diferenciales, esta idea radica es transformar operadores en símbolos algebraicos (TL) para manipular fácilmente a dichos símbolos con las reglas algebraicas convencionales, después la nueva función es transformada para dejarla en términos y dominio de la función original (TIL). Parece un principio muy sencillo, sin embargo, tuvieron que pasar varios años de investigación para que esta idea se concretara. Al parecer su aplicación más común es resolver Ecuaciones Diferenciales aplicando este principio, en el área de la ingeniería es esencial saber resolver Ecuaciones Diferenciales y saber manipular Transformadas de Laplace es una gran ventaja que nos ayudará a resolver problemas con un grado de complejidad muy alto. 11. BIBLIOGRAFÍA Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2009). Ecuaciones Diferenciales. Mexico: CENGAGE Learning. Spiegel, M. R. (1983). Ecuaciones Diferenciales Aplicadas. Mexico: Prentice Hall. Kreyszig, E. (2003). Matematicas Avanzadas para Ingeniería. Ohio, EUA : Limusa Wiley. Penney, D. E., & Edwards, C. H. (2009). Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera. Mexico: Pearson Prentice Hall. Di Prima, B. (2000). Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera. Mexico: Limusa Willey. www.youtube.com 12. APENDICE 12.1. TRANSFORMADAS ELEMENTALES DE LAPLACE 24 25