PENDULO DE TORSION

Este trabajo fue autofinanciado por las autores del mismo. Fecha de Revisión: Lunes, 27 de Abril del 2015. J. C. Balseca estudia en la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE extensión Latacunga, Latacunga, E 593 ECUADOR (e-mail: ). K. B. Caiza estudia en la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE extensión Latacunga, Latacunga, E 593 ECUADOR (e-mail: [email protected]). J. S. Calvopiña estudia en la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE extensión Latacunga, Latacunga, E 593 ECUADOR (e-mail: ). PENDULO DE TORSION J. C. Balseca, K. B. Caiza, J. S. Calvopiña, Estudiantes de Física II, ESPE-L, y Autores, ESPE-L Abstracto — En este trabajo se presenta el análisis del Péndulo de Torsión, donde se presenta un estudio matemático, físico y geométrico minucioso del tema, tratando de que nuestros compañeros de curso se familiaricen con facilidad y fluidez del tema socializado dentro de clase, haciendo que los conocimientos impartidos sean un aporte en la formación profesional de cada uno de ellos. Para esto se pretende generar la fusión de la parte teórica y de la parte práctica demostrando el Movimiento que genera el Péndulo de Torsión en la parte real con la ayuda de prácticas virtuales utilizando el Interactive Physics, además de un laboratorio práctico, con el cual se podrán demostrar las ecuaciones que son parte del Péndulo de Torsión y aportando al nivel de conocimiento con la realización de varios ejercicios teóricos sobre el tema. Abstract — In this paper the analysis of Torsion Pendulum, where a thorough mathematical , physical and geometric study of the subject , trying to make our fellow students to familiarize themselves with ease and fluidity of the item socialized into class, presents making the imparted knowledge is a contribution to the training of each . For this is to generate the fusion of theoretical and practical part showing the movement that generates the Torsion Pendulum in the real part with the help of virtual practice using the Interactive Physics, and a convenient laboratory, which will be demonstrate the equations that are part of the Torsion Pendulum and providing the level of knowledge with the completion of several theoretical exercises on the subject. Índice de términos Simple Harmonic Motion Mass Body Elasticity constant Speed Modellus Interactive Physics Law Hook Angle Differential equations Inertia Vibrations Force Nomenclatura - Simple Harmonic Motion : M.A.S. - Mass : m - Torsion constant: K - Law hook: - Position: - Torsional moment: - Angular frequency: - Period: - Frequency: Introducción El péndulo de torsión consiste en un hilo o alambre de sección recta circular suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo y de cuyo extremo inferior se cuelga un cuerpo de momento de inercia I conocido o fácil de calcular (disco o cilindro). Cualquier movimiento puede descomponerse como combinación de movimientos lineales y de rotación. Desarrollo El cuerpo es capaz de rotar alrededor del alambre, el cual ejerce un momento recuperador que tiende a llevar al sistema nuevamente al equilibrio, dando lugar de esta forma a un movimiento oscilatorio.  Si se aplica un momento al péndulo de torsión el alambre se retuerce y reacciona elásticamente con un momento recuperador en sentido contrario al aplicado, denominado momento de torsión. Para ángulos de torsión de pequeña amplitud, el valor del momento M es proporcional al ángulo y girado por el extremo desde la posición de equilibrio, de modo que se cumple: Péndulo de Torsión – Análisis geométrico. Fig. 1.- Péndulo de Torsión Péndulo de Torsión – Análisis físico. Torsión.- Consideremos una barra cilíndrica (o un alambre) suspendida verticalmente con su extremo superior fijo. Mediante un par de fuerzas F y -F (Fig. 3), hacemos girar el extremo inferior, con lo cual los distintos discos horizontales en que podemos considerar dividida la barra deslizan unos respecto de otros. Una generatriz recta (AB) se convierte en una hélice (AB´). Se dice que el cuerpo ha experimentado una torsión. Ésta queda definida mediante el ángulo de giro del disco más bajo. Evidentemente, se trata de un caso de cizalladura y la constante D, que liga el ángulo de torsión con el momento M del par aplicado (que vale M = F . d, siendo d el diámetro del disco inferior), puede deducirse a partir de módulo de rigidez o de cizalladura, G. Si r es el radio de la barra (o del alambre) y su longitud l, se obtiene: Fig. 3 Dentro del dominio de validez de la ley de Hooke, al deformar un cuerpo del modo que sea, aparece un esfuerzo recuperador proporcional a la deformación que tiende a devolver al cuerpo su forma primitiva. Si desaparece el esfuerzo deformante, el cuerpo se encuentra en las condiciones precisas para iniciar un movimiento oscilatorio armónico. Supongamos, por ejemplo, que una barra de longitud l y radio r está dispuesta verticalmente, con su extremo superior fijo (Fig. 4). El extremo inferior está sujeto a un dispositivo que se puede girar libremente. Si imprimimos al cuerpo P un giro inicial en torno al eje AB, el momento exterior aplicado, M = D , es neutralizado por un momento elástico. Es decir, en el alambre, a consecuencia de la torsión que ha experimentado, se desarrollan fuerzas elásticas que tienden a devolver el alambre y al cuerpo P a la posición de partida. Pero, como el sistema móvil adquiere cierta velocidad angular, en virtud de la inercia, se rebasa la posición de equilibrio y el sistema ejecuta oscilaciones en torno a dicha posición, con torsiones alternativas en uno y otro sentido. Se dice que el sistema constituye un péndulo de torsión. Como se trata de un movimiento de rotación, si el ángulo es pequeño, para que se cumpla la ley de Hooke, el momento de las fuerzas elásticas valdrá M = -D , y será igual al producto del momento de inercia I del sistema móvil (respecto al eje de giro) por la aceleración angular. Fig. 4 Cuando a la barra suspendida le aplicamos un par de fuerzas retorciendo el alambre un ángulo θ, éste ejerce sobre la barra un momento de una fuerza M recuperador alrededor del alambre que se opone al desplazamiento θ y de módulo proporcional al ángulo; M = -Kθ , donde K es el coeficiente de torsión del alambre. Cuando dejamos oscilar libremente la barra (considerando despreciable el rozamiento con el aire), se origina un movimiento angular armónico simple. Fig. 5.- Diferentes inercias de los cuerpos. Péndulo de Torsión – Análisis Matemático. Al aplicar un momento torsional M en el extremo inferior del hilo, éste experimenta una deformación de torsión. Dentro de los límites de validez de la ley de Hooke, el ángulo de torsión  es directamente proporcional al momento torsional M aplicado, de modo que donde  es el coeficiente de torsión del hilo o alambre de suspensión, cuyo valor depende de su forma y dimensiones y de la naturaleza del material. Para el caso de un hilo o alambre es siendo D el diámetro del alambre, l su longitud y G el módulo de rigidez del material que lo constituye. Debido a la elasticidad del hilo (rigidez), aparecerá un momento recuperador igual y opuesto al momento torsional aplicado; cuando se haga desaparecer el momento torsional aplicado, el sistema se encontrará en las condiciones precisas para iniciar un movimiento oscilatorio de torsión, concomitante con las oscilaciones de rotación de la masa suspendida del hilo o alambre. Igualando el momento recuperador  al producto del momento de inercia I del sistema por la aceleración angular , tenemos la ecuación diferencial del movimiento de rotación: que es formalmente idéntica a la ec. dif. correspondiente a un movimiento armónico simple. Así pues, las oscilaciones del péndulo de torsión son armónicas, y la frecuencia angular y el período de las mismas son: Si al cuerpo de oscilación, cuyo momento de inercia es I, le añadimos otro cuerpo de momento I' respecto al mismo eje de rotación, y debido a que los momentos de inercia son aditivos, el nuevo período T' valdrá: Péndulo de Torsión – Ejercicios Teóricos. Un péndulo de torsión consiste de un bloque rectangular de madera de 8 cm x 12cm x 3cm con una masa de 0,3 Kg, suspendido por el medio de un alambre que pasa a través de su centro y de tal modo que al lado corto es vertical. El periodo de oscilación es de 2,4 s. ¿Cuál es la constante de torsión k del alambre? Fig. 6 Solución: Antes que nada necesitamos conocer el valor del momento de inercia de este objeto en particular (cubo de madera), para lo cual se utilizará la siguiente ecuación. Donde: masa del objeto, 0.3kg. la dimensión horizontal del objeto, 0.08m. la profundidad del objeto, 0.12m. Como en el ejercicio nos piden encontrar la constante = kappa. Utilizamos la siguiente ecuación que relaciona el momento de inercia con la constante. Apéndices INTERACTIVE PHYSICS Interactive PhysicsTM, el programa educativo premiado de Design Simulation Technologies, hace fácil observar, descubrir, y explorar el mundo físico con simulaciones emocionantes. Trabajando de cerca con los educadores de la física, el equipo de Interactive physics ha desarrollado un programa fácil de usar y visualmente atractivo que realza grandemente la instrucción de la física. Interactive Physics le da el acceso a una amplia selección de controles, parámetros, objetos, ambientes, y componentes. Agregue los objetos, resortes, articulaciones, sogas, y amortiguadores. Se puede simular el contacto, las colisiones, y la fricción. Alterar la gravedad y la resistencia del aire. Medir la velocidad, la aceleración, y la energía de los objetos. Fig. 7 MODELLUS Modellus es una aplicación disponible de manera gratuita de cara a permitir que tanto alumnos como profesores ( de instituto y de universidad) puedan utilizar la matemática para crear o explotar modelos de una manera muy interactiva y sencilla. El Modellus se utiliza para hacer una modelización en el ordenador, de cara a permitir una creación sencilla y muy intuitiva de modelos matemáticos solamente con recurso a una notación matemática estándar , por permitir la creación de animaciones con objetos interactivos  que con propiedades matemáticas expresadas en el modelo, de cara a permitir la explotación de múltiples representaciones pero también permitir el análisis de datos experimentales con la forma de imágenes, animaciones, gráficos e tablas. El principal objetivo de Modellus es la modelación y el significado de los modelos. Ya ha sido publicado en distintos idiomas (Portugués, Inglés, Español, chino, en griego,…) y tiene usuarios en todo el mundo, con ejemplos que engloban física, matemática, incluyendo muchos temas estando la mecánica, Química, Estadística, Algebra, y la Geometría entre ellos. Fig. 8 Reconocimiento El presente trabajo en su versión original está orientado a servir como guía para el entendimiento del tema tratado, y poder tener una idea de los temas que van a ser tratados en el futuro en la Unidad de Movimiento Ondulatorio de la Materia para los estudiantes de Mecatrónica II “A”. Referencias Libros: Ortega, Manuel R, Lecciones de Física (4 volúmenes), Monytex, 1989-2006. Resnick. R. & Halliday, D,  Physics., John Wiley & Sons, 1996. Paul A. Tipler-Gene Mosca. Física para la ciencia y la tecnología. 5ta edición. Sears Zemansky . Física General. 5ta edición. Paul E. Tippens . Física II conceptos y aplicaciones. 1era edición. Publicaciones en Internet: Finn, Alonso.(2008). Física Vol. I [Online]. Disponible en: http://www.ucm.es/info/Geofis/practicas/prac07.pdf. Péndulo de Torsión. [Online]. Disponible en: http://www.uhu.es/filico/teaching/practicas_mecanica/pendulo_torsion.pdf. Intercative Physics. [Online]. Disponible en: http://www.design-simulation.com/IP/spanish/Index.php. Modellus. [Online]. Disponible en: http://modellus.co/index.php/es. IEEE (Advancig Technology for Humanity). [Online]. Disponible en: http://www.ieee.org/index.html?WT.mc_id=hpf_logo. Biografías Kevin Caiza Yanchapaxi (L’ 1996, A’06) nació en Machachi, el 6 de marzo de 1996, hijo único de Hernán Caiza y Melida Yanchapaxi. Comenzó sus estudios primarios en la Unidad Educativa “Mariano Negrete” de la ciudad de Machachi, en el año 2000, siguiendo con los mismos hasta el 2013, año en el cual, se graduó de Bachiller en Ciencias Generales, dentro de la misma institución educativa. En septiembre del 2013, ingresa a nivelación de carrera en la Universidad de las Fuerzas Armas “ESPE” extensión Latacunga, continuando con sus estudios de tercer nivel. 3