Métodos Numéricos

Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Métodos Numéricos Gustavo Montero Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales University of Las Palmas de Gran Canaria Curso 2005-2006 Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen 1 Introducción 2 Repaso de Cálculo Infinitesimal 3 Números binarios 4 Análisis del error 5 Resumen Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen 1 Introducción 2 Repaso de Cálculo Infinitesimal 3 Números binarios 4 Análisis del error 5 Resumen Generalidades Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Generalidades Generalidades Problemas que pueden resolverse mediante métodos de aproximación Problemas definidos con funciones continuas: Cálculo Infinitesimal 1. Obtener la aproximación 2. Establecer la bondad de dicha aproximación Representación de los números en el ordenador Lenguajes de programación Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Generalidades Generalidades Problemas que pueden resolverse mediante métodos de aproximación Problemas definidos con funciones continuas: Cálculo Infinitesimal 1. Obtener la aproximación 2. Establecer la bondad de dicha aproximación Representación de los números en el ordenador Lenguajes de programación Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Generalidades Generalidades Problemas que pueden resolverse mediante métodos de aproximación Problemas definidos con funciones continuas: Cálculo Infinitesimal 1. Obtener la aproximación 2. Establecer la bondad de dicha aproximación Representación de los números en el ordenador Lenguajes de programación Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Generalidades Generalidades Problemas que pueden resolverse mediante métodos de aproximación Problemas definidos con funciones continuas: Cálculo Infinitesimal 1. Obtener la aproximación 2. Establecer la bondad de dicha aproximación Representación de los números en el ordenador Lenguajes de programación Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Generalidades Generalidades Problemas que pueden resolverse mediante métodos de aproximación Problemas definidos con funciones continuas: Cálculo Infinitesimal 1. Obtener la aproximación 2. Establecer la bondad de dicha aproximación Representación de los números en el ordenador Lenguajes de programación Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen 1 Introducción 2 Repaso de Cálculo Infinitesimal 3 Números binarios 4 Análisis del error 5 Resumen Lı́mites y Continuidad Funciones derivables Integrales Series Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Lı́mites y Continuidad Funciones derivables Integrales Series Lı́mites y Continuidad Lı́mite en x = x0 lim f (x) = l x→x0 ∀ε > 0, ∃δ > 0, tal que |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − l| < ε Continuidad en un punto Existe el valor de la función en el punto Existe el lı́mite de la función en el punto Ambos valores coinciden Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Lı́mites y Continuidad Funciones derivables Integrales Series Teoremas importantes Teorema de Bolzano Supongamos que f ∈ C [a, b] y L es cualquier número entre f (a) y f (b). Entonces existe un número c ∈ (a, b) tal que f (c) = L. Teorema de Weierstrass Supongamos que f ∈ C [a, b]. Entonces existen una cota inferior M1 , una cota superior M2 y dos números x1 , x2 ∈ [a, b] tales que M1 = f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) = M2 para cada x ∈ [a, b] Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Lı́mites y Continuidad Funciones derivables Integrales Series Funciones derivables Teorema de Rolle Supongamos que f ∈ C [a, b] y que f ′ (x) existe para todo x ∈ (a, b). Si f (a) = f (b), entonces existe un número c ∈ (a, b) tal que f ′ (c) = 0. Teorema de Lagrange Supongamos que f ∈ C [a, b] y que f ′ (x) existe para todo x ∈ (a, b). Si f (a) = f (b), entonces existe un número c ∈ (a, b) tal que f (b) − f (a) f ′ (c) = . b−a Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Lı́mites y Continuidad Funciones derivables Integrales Series Integrales Primer teorema fundamental o Regla de Barrow Si f es continua en [a, b] y F es una primitiva cualquiera de f en [a, b] (es decir, F ′ (x) = f (x)), entonces ❩ b f (x)dx = F (b) − F (a) a Segundo teorema fundamental Si f es continua en [a, b] y x ∈ (a, b), entonces d dx ❩ x f (t)dt = f (x) a Teorema del valor medio para integrales Supongamos que f ∈ C [a, b]. Entonces existe un número c en (a, b) tal que 1 b−a ❩ b f (x)dx = f (c) a Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Lı́mites y Continuidad Funciones derivables Integrales Series Series Definición, convergencia y suma Dada una sucesión {an }∞ n=1 , denotaremos por ∞ ❳ an la serie de término general an . La n=1 suma parcial n-ésima de la serie se define como Sn = n ❳ ak y se dice que la serie k=1 converge si la sucesión {Sn }∞ n=1 converge a un lı́mite S llamado suma de la serie, es decir, lim Sn = lim n→∞ n→∞ n ❳ ak = S k=1 Teorema de Taylor Supongamos que f ∈ C n+1 [a, b] y sea x0 ∈ [a, b]. Entonces, para cada x ∈ (a, b), existe un número c = c(x) que está entre x0 y x, y verifica f (x) = ✧ n ❳ f (k) (x0 ) k=0 k! ★ (x − x0 ) k + f (n+1) (c) (x − x0 )n+1 (n + 1)! Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen 1 Introducción 2 Repaso de Cálculo Infinitesimal 3 Números binarios 4 Análisis del error 5 Resumen Forma desarrollada Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Forma desarrollada Forma desarrollada Ejemplo en base 10 1758 = (1 × 103 ) + (7 × 102 ) + (5 × 101 ) + (8 × 100 ) Ejemplo en base 2 1758 = (1 × 210 ) + (1 × 29 ) + (0 × 28 ) + (1 × 27 ) + (1 × 26 ) + (0 × 25 ) + (1 × 24 ) + (1 × 23 ) + (1 × 22 ) + (1 × 21 ) + (0 × 20 ) 1758 = 11011011110dos Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Forma desarrollada Números del ordenador Mantisa y exponente x ≈ ±q × 2n q: MANTISA (expresión binaria finita que verifica la desigualdad 1/2 ≤ q < 1) n: EXPONENTE (entero) Números en coma flotante Ordenadores con 32 cifras binarias: desde 2.938736E − 39 hasta 1.701412E + 38 Ordenadores con 48 cifras binarias: desde 2.9387358771E − 39 hasta 1.7014118346E + 38 Ordenadores con 64 cifras binarias: desde 5.562684646268003E − 309 hasta 8, 988465674311580E + 307 Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen 1 Introducción 2 Repaso de Cálculo Infinitesimal 3 Números binarios 4 Análisis del error 5 Resumen Error de redondeo, error de truncamiento y estabilidad Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Error de redondeo, error de truncamiento y estabilidad Error de redondeo, error de truncamiento y estabilidad Error de redondeo El que se produce debido a que la representación de los números reales en un ordenador está limitada por el número de cifras de la mantisa, de manera que algunos números no coinciden exactamente con su representación en el ordenador. Error de truncamiento Se produce cuando una expresión matemática complicada se reemplaza por una fórmula más simple. Este error se conoce como de truncamiento o de consistencia. f (h) = p(h) + E (h) Una función E (h) se dice que es de orden t(h) cuando h → 0 si |E (h)| ≤ C |t(h)| y se representa (Landau) por E (h) = O(t(h)). Un esquema se dice que es consistente si lim E (h) = 0, es decir lim f (h) = lim p(h) h→0 h→0 h→0 Estabilidad Un esquema se dice que es estable si un pequeño error en las condiciones iniciales produce errores pequeños en el resultado final. Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen 1 Introducción 2 Repaso de Cálculo Infinitesimal 3 Números binarios 4 Análisis del error 5 Resumen Conclusiones Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Conclusiones Conclusiones Búsqueda de la solución del problema planteado: utilización de esquemas consistentes controlando el error Obtención de la solución del problema: Procedimiento de cálculo estable Teorema: Todo esquema consistente y estable es también convergente Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Conclusiones Conclusiones Búsqueda de la solución del problema planteado: utilización de esquemas consistentes controlando el error Obtención de la solución del problema: Procedimiento de cálculo estable Teorema: Todo esquema consistente y estable es también convergente Introducción Repaso de Cálculo Infinitesimal Números binarios Análisis del error Resumen Conclusiones Conclusiones Búsqueda de la solución del problema planteado: utilización de esquemas consistentes controlando el error Obtención de la solución del problema: Procedimiento de cálculo estable Teorema: Todo esquema consistente y estable es también convergente