ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA

ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA Castillo Sierra Rafael  Email:[email protected], Ríos Nupan Luís  Email:[email protected] Universidad del Norte (Recibido 03 de Octubre de2008, Aceptado 03 de Octubre de 2008, Publicado 03 de Octubre de 2008) Resumen en este laboratorio se analiza el comportamiento de una onda estacionaria en un modelo real de laboratorio donde se nota la relación entre la frecuencia y la tensión, la velocidad de la onda y la tensión, la longitud de la cuerda y la frecuencia; además de otros aspectos importantes en el estudio del movimiento de una onda que nos ayudaron a comprender mejor fenómenos cotidianos asociados con dicho tema como lo son el análisis de la importancia de las cuerdas en los instrumentos musicales, el eco; entre otras. PALABRAS CLAVES: frecuencia, tensión, onda estacionaria, longitud de onda, velocidad de la onda, numero de usos, numero de segmentos. Abstract In this laboratory the behavior of a standing wave in a real model of laboratory is analyzed where the relation between the frequency and the tension notices, the speed of the wave and the tension, the chord length and the frequency; besides other important aspects in the study of the movement of a wave that helped us to include/understand better associate daily phenomena with this subject as they are it the analysis of the importance of the cords in the musical instruments and the echo; among others. Key Words: frequency, tension, standing wave, wavelength, speed of the wave, I number of uses, I number of segments. Marco teorico Para esta experiencia se necesitan conocer unos conceptos muy importantes como son: Onda estacionaria: son aquellas que se forman por una superposición de dos ondas que viajan en sentido contrario y que tienen la misma velocidad amplitud y longitud de onda; además de que sus nodos permanecen inmóviles. Frecuencia de una onda estacionaria: se define como el número de oscilaciones por unidad de tiempo para el caso de las ondas estacionarias la frecuencia tiene relación directa con la tensión que se le ejerce a la cuerda y relación inversa con la longitud de la cuerda y la densidad lineal de masa. Velocidad de la onda en una cuerda tensionada: para un sistema conformado por una cuerda tensionada con una frecuencia f se observa que se debe tener en cuenta la masa por unidad de longitud de masa expresada por así que estos dos factores están relacionados de la siguiente forma: Masa por unidad de longitud: para recrear una onda con una cuerda debemos tener en cuenta la masa de la cuerda; para esto utilizamos la relación de masa por unidad de longitud. Ya que el segmento forma parte de una circunferencia y subtiende un ángulo obteniendo la siguiente relación: Tensión: para una onda observada en una cuerda debemos tener en cuenta la tensión de esta ya que existe una relación inversa entre la tensión ejercida y el numero de segmentos de la onda de la siguiente forma: ANÁLISIS DE DATOS Pregunta 1.¿Aumenta o disminuye el número de segmentos cuando la tensión de la cuerda aumenta y la frecuencia permanece constante? Explique Cuando la frecuencia permanece constante y la tensión de la cuerda aumenta disminuyen el número de segmentos. Sabiendo que: Despejamos la tensión y nos queda lo siguiente: De esta manera vemos que hay una relación inversa entre la tensión y el cuadrado del número de segmentos, cuando mantenemos la frecuencia constante. Así que si la tensión aumenta el numero de segmentos será menor en cambio si disminuye aumentaran el numero de segmentos. Lo anterior también lo podemos comprobar observando la tabla 1 y la grafica de Tensión vs. Numero de husos. Figura 1. Tensión vs. Numero de husos. Tabla 1: Tensión en función del número de segmentos o husos Frecuencia: 30Hz Longitud: 1.5m Segmentos o husos ( n) Masa ( kg) Tensión(N) 1 0.479 4.6942 2 0.129 1.2642 3 0.059 0.5782 4 0.029 0.284 5 0.02 0.1960 Densidad lineal de masa: Kg/m En esta grafica se muestra la relación entre la tensión y el numero de husos, es claro que a medida que se diminuye la tensión de la cuerda aumenta el numero de husos. La grafica azul representa la función tensión la cual depende de los husos y los punto en colores representan los dato experimentales que se obtuvieron en la experiencia. Pregunta 2¿Aumenta, disminuye o permanece igual la velocidad de las ondas cuando la tensión aumenta y la frecuencia se mantiene constante? La velocidad de propagación de la onda no depende de la frecuencia si no de la tensión en este caso. De esta manera cuando la tensión aumenta hay un cambio en la velocidad. Existe una relación entre la tensión y la velocidad por medio de: Entonces decimos que si la tensión aumenta la velocidad aumentara ya que su relación es directamente proporcional. Lo podemos demostrar realizando algunos cálculos utilizando la información de la tabla 1. El la grafica se muestra mas claramente la variación de la velocidad con la tensión, a mayor tensión mayor va a ser la velocidad de propagación de la onda en la cuerda. Figura 2. Velocidad vs. Tensión Pregunta 3.¿A partir de la Tabla 1 que relación puedes inferir entre la tensión y el número de segmentos o husos? A medida que la tensión aumenta el número de husos que se pueden observar en la cuerda es cada vez menor. Observando la tabla o el grafico podemos inferir que mientras más grande sea la tensión menor va a ser el número de husos que aparecen. Por lo tanto hay una relación inversa entre la tensión y el número de husos. Pregunta 4.¿Aumenta o disminuye el número de segmentos cuando la frecuencia de vibración de la cuerda aumenta y la tensión permanece constante? Tabla 2: Frecuencia en función del número de husos Tensión: 4.7 N Longitud: 1.5m Número de husos Frecuencia ( Hz) Longitud de onda (m) 0 0 0 1 30 3 2 58 1.5 3 90 1 4 120 0.75 5 150 0.6 Por la relación: Entonces hay una relación directa entre el número de segmentos y la frecuencia de vibración de la cuerda. Si la frecuencia aumenta el número de segmentos también aumentara siempre y cuando la tensión permanezca constante. Pregunta 5. ¿Aumenta, disminuye o permanece igual la velocidad de las ondas cuando la frecuencia aumenta y la tensión permanece constante? Por la relación: Vemos que la velocidad no depende de la frecuencia, si no de la tensión; y si la tensión permanece constante entonces no habrá variación alguna en la velocidad de propagación de la onda. Cuando se dedujo la ecuación diferencial que define a una onda senoidal unidimensional, la velocidad con la que se propaga la onda solo depende de un factor de fuerza, la cual es la tensión, dividido entre un factor de masa, que en este caso es la densidad lineal de masa. No importa la frecuencia que la onda tenga la velocidad de propagación siempre es la misma. Pregunta 6. ¿A partir de la Tabla 2 que relación puedes inferir entre la frecuencia y el número de segmentos o husos? La relación que existe entre la frecuencia y el número de segmentos es directamente proporcional, ya que por la relación: Esta relación dice dos cosas, la primera es que la frecuencia de un modo normal de oscilación es un múltiplo entero positivo de la frecuencia fundamental y la segunda es a medida que aumenta n la frecuencia también lo hace, la grafica de la frecuencia versus numero de husos es una línea recta que pasa por el origen. Pregunta 7.¿Aumenta o disminuye la longitud de onda de la cuerda al aumentar la frecuencia? La frecuencia de vibración de la cuerda la podemos escribir como: Notamos que existe una relación inversa entre la frecuencia y la longitud de onda. De manera que si aumenta la frecuencia disminuya la longitud de onda. Esto se nota en la tabla 2, a medida que aumenta la frecuencia, la longitud de onda disminuye. Pregunta 8. ¿A partir de la Tabla 2 que relación puedes inferir entre la longitud de onda y la longitud de la cuerda? Concepciones de los estudiantes 1. ¿Puedes imaginar que determina la velocidad de un pulso en una cuerda? Los pulsos de una cuerda los determina la densidad lineal de masa de la cuerda y la tensión a la cual esta sometida, no es lo mismo ejecutar un pulso en un hilo de nylon que en una cabuya. 2. ¿La velocidad de una partícula de la cuerda es igual a la velocidad de la onda? Explique. La velocidad de propagación de una onda se halla por medio de la ecuación diferencial que define una onda la cual es: Pero la velocidad de una partícula ubicada en una posición x de la cuerda esta dado por: Esta velocidad es perpendicular al desplazamiento de la onda, esto quiere decir que la velocidad de propagación es perpendicular a la velocidad de las partículas en la cuerda, por lo tanto estas velocidades no son las mismas. 3. Se generaron ondas estacionarias resonantes en una columna de aire confinada en una tubo ¿Se pueden generar ondas estacionarias resonantes en una cuerda? Cuando una cuerda se pone a vibrar esta llega un momento en el cual se presenta un patrón definido de husos simétricos, esto indica que las ondas en una cuerda están resonando, es decir, la onda que viaja a la derecha tiene la misma frecuencia de la onda de la izquierda, formando un patrón simétrico en la cuerda, las frecuencias resonantes son las frecuencias que surgen en los distintos modos de la cuerda. Cada modo de oscilación posee una frecuencia de resonancia, la cual aumenta con el número de husos que aparecen. 4. Algunas cuerdas de guitarra o de piano tienen enrollado un alambre o una cinta de metal alrededor de ellas ¿Cuál es su finalidad? Algunas cuerdas de guitarra o de piano tiene enrollado un alambre o cinta de metal para aumentar su densidad lineal de masa, con esto lo que se busca es que dicha cuerda genere sonidos mas graves que los que produciría sin dicho alambre enrollado. 5. En una onda estacionaria en una cuerda es cero la densidad de energía en los nodos? Explique. Para responder a la pregunta analicemos las siguientes ecuaciones: La energía cinética en cualquier punto de un onda depende de su movimiento, un nodo no se mueve por lo tanto no posee energía cinética. Otra manera de analizarlo es: los nodos están ubicados en los lugares en los cuales el , es decir en los lugares en los cuales: Reemplazando esto en la formula de la energía cinética, el resultado es cero, es decir, la energía cinética de los nodos es cero. De manera similar se procede con la energía potencial, se sabe donde los nodos están ubicados, reemplazado estos valores en la ecuación de energía potencial se obtiene lo siguiente: La energía potencial en los nodos solo se hace cero en los tiempos en los cuales: En conclusión los nodos poseen energía potencial en intervalos de tiempos en los cuales los límites de los intervalos están dados por: ¿Por qué los trastes de la guitarra no están uniformemente espaciados? A partir del traste numero 12 de una guitarra acústica se comienza a disminuir el espacio entre ellos debido a que entre mas nos acercamos a la caja de resonancia el sonido varia con mayor amplitud lo que permite al músico tocar tonos uniformes; si los traste estuviesen separados a la misma distancia; el músico perdería la entonación. ¿ Porque los instrumentos de cuerda son huecos?¿qué papel juega la forma del cuerpo de un instrumento En los instrumentos de cuerda son huecos por que cumple la función de amplificar el sonido y es un factor decisivo en el timbre del instrumento, siendo importante la calidad de la madera, el número de piezas con las que esté hecha la caja de resonancia y su estructura. Los instrumentos que cubren rangos de sonidos graves, como el contrabajo o el violonchelo, necesitan una caja de resonancia mucho mayor que el resto, Es importante que la tapa inferior sea de una madera blanda, esto es para que vibre con facilidad. CONCLUSION 1. A partir de la gráfica de la tensión en función del número de husos ¿cuál es el modelo matemático que mejor relaciona estas cantidades físicas? De la relación de la frecuencia en los modos normales se saca la siguiente: Este es el modelo matemático que mejor relaciona la tensión con el número de husos, se puede apreciar en la figura 1 la representación grafica de esta relación. Se nota que la relación es inversa, es decir que cuando n aumenta la tensión disminuye. 2. A partir de la gráfica de la frecuencia en función del número de husos ¿cuál es el modelo matemático que mejor relaciona estas cantidades físicas? La ecuación: Es la que mejor describe el comportamiento de la grafica de frecuencia versus número de husos, la gráfica es una línea recta la cual su pendiente es: La pendiente es la frecuencia en el estado fundamental, esto quiere decir que las frecuencias posteriores siempre van a ser mayores que la fundamental. Figura 3. Frecuencia vs. n. 3. A partir de los datos registrados en la Tabla 2 ¿Qué relación puedes establecer entre la longitud de la cuerda y la longitud de onda? Si despejamos L nos queda: Esta relación nos indica que la longitud de la cuerda siempre es un múltiplo entero de medias longitudes de onda, como la longitud de la onda es constante y además como n aumenta, para mantener la igualdad la longitud de la onda debe disminuir proporcionalmente a como aumente n. 4. A partir de los modelos matemáticos hallados en las preguntas 1 y 2 de esta sección ¿cómo determinas la densidad lineal de la cuerda? ¿Qué factores físicos explican el error cometido? La densidad lineal de masa se puede hallar de la siguiente manera: Analizando las formulas se puede decir lo siguiente: Para hallar la densidad lineal de masa se fija una tensión, luego escoger un modo normal de oscilación (n=1,2,…) y luego se procede a hallar la densidad, para mayor exactitud se hace varias veces el calculo con distintos modos de oscilación. 5. Suponga que una cuerda 1 es dos veces más densa que la cuerda 2, pero ambas tienen la misma tensión y la misma longitud. Si cada una de las cuerdas está vibrando en su modo fundamental ¿qué cuerda vibrará con la mayor frecuencia? Sean: Las frecuencias de cada una de las cuerdas, la relación entre sus densidades es: Cada una de las cuerdas vibra en su modo fundamental: Para hallar la relación entre las frecuencias, se despeja L en cada relación y se igualan ya que las dos cuerdas poseen la misma longitud: Esta relación nos indica que la frecuencia fundamental de la cuerda 1 es menor que la frecuencia fundamental de la cuerda 2. Lo cual es razonable ya que la cuerda 1 es mas densa y por ende la frecuencia a la que vibra va a ser menor que la frecuencia de la cuerda 2. En un sistema conformado por una cuerda de nylon atada de un extremo a una fuente de vibración variable y del otro extremo someterla a varias masas y con la ayuda del software dataestudio pudimos notar que cumple las condiciones para producir ondas; al estudiarlas nos dimos cuenta de que se asemejaban mucho al modelo ideal y al variarle el peso y la frecuencia pudimos notar los diferentes tipos de ondas que se presentan en la naturaleza y que por ser invisibles no la podemos ver. Pero gracias al laboratorio hecho pudimos hacernos ideas mas claras de ellas. REFERENCIAS Sears, Zemansky, Young y Freedman. Física universitaria Teoría dada en clase. Alonso, M. y Finn, E. Física Pearson. http://www.monografias.com/ Serway. Física universitaria REVISTA COLOMBIANA DE FÍSICA, VOL. 38, No. 2. 2006 LABORATORIO DE FISICA CALOR Y ONDAS, SEMESTRE II 2008 9 PAGE 11