Mathematics Short-cut Techniques with Formulas

Math Shortcut Techniques with Formulas 1 Math Shortcut Techniques with Formulas Math Shortcut techniqueS with ForMulaS Contents 1. 2. 3. Arithmetic …...................................................... 4 1.1. Divisibility Rules …............................................ 8 1.2. Square Root ….................................................... 17 1.3. Average........….................................................... 21 1.4. Ratio and Proportion............................................ 22 1.5. Percentage(%)...................................................... 24 1.6. Unitary Method.................................................... 30 1.7. Calculation of Interest.......................................... 37 1.8. Profit Loss............................................................ 43 1.9. Measurement and Unit......................................... 55 1.10. Miscellaneous...................................................... 57 Algebra.............................................................. 62 2.1. Exponents/Indices............................................... 65 2.2. Logarithms.......................................................... 66 2.3. Simultaneous Linear Equation............................ 67 2.4. Series/ Progression.............................................. 68 Geometry.............................................................. 73 3.1. Triangle................................................................ 79 3.2. Quadrilateral......................................................... 85 3.3. Circle.................................................................... 88 3.4. Mensuration.......................................................... 91 3.5. Solid Geometry..................................................... 98 3.6. Trigonometry......................................................... 2 102 Math Shortcut Techniques with Formulas 3 Math Shortcut Techniques with Formulas 1 আ঩নায ই−ফুক ফা রযডারযয Menu Bar এয View অ঩ূনরি তে রিক করয Auto /Automatically Scroll অ঩ূনরি র঳রুট কুন (অথফা ঳যা঳রয তমরে  )। এফায ফা তে রিক করয আ঩নায ঩ড়ায ঳ু রফধা অনু ঳ারয রু পীড রিক করয রনন। আ঩নায ই−ফুক ফা pdf রযডারযয Options ফা View তে রিক করয Go To অ঩ূনরি র঳রুট কুন (অথফা ঳যা঳রয তমরে Adobe Reader  এফং Foxit Reader  ), আ঩নায ররয়াজনীয় ঩ৃ োয Page number রি রুখুন ; এফং OK তর঳ কুন । 4 Math Shortcut Techniques with Formulas + − × ÷, /, ± = ≠ < Plus / add তমাগ [ Sum / Total তমাগপু] Minus / Subtract /Deduct রফরয়াগ [ Difference রফরয়াগপু] Times / Into/ dot /of /Multiplyুন কযা [Product / Multiplicationুনপু ] Division বাগ , Divisible রফবাজয , Remainderবাগরূল a(dividend-বাজয) ÷ b(Divisor-বাজক) = c(Quotient-বাগপু) Plus or Minus  তমাগ ফা রফরয়াগ Equal / Is Approximately Equal  রায় ঳ভান Is not Equal ঳ভান নয় Is Less then  তোি {5 < 10} Is not less then  তোি নয় {২০ 10} ≤ Is less than or equal to তোি ঑ ঳ভান {০ ≤ x এখারন Xএস এয ভান ূূ নয এফং ০ > Is greater then ফড় {5> 2} তথরক ফড়঑ ঴রে ঩ারয } Is not greater thenফড় নয় {5 20} ≥ Is greater than or equal to ফড় ( এফং/ অথফা) ঳ভান % Percentage(ূেকযা ফা ররে ূরে ফা তকান রনরদট ঳ংখযায বনাংূ মায ঴য ররেরেরর 100 ) ∞ ∝ ⇒ ⇔ � Infinity অ঳ীভ / অনত 1,2,3...nফা Varies as / is Proportional ঳ভানু ঩ারেক Implies/or  ফা If and only if  মরদ ঑ তকফু মরদ Pi  ঩াই Constant ুফক/রনরদবট ভান a,b,c… x,y,z…… Variable িুক / অরনধবারযে ভান 5 Math Shortcut Techniques with Formulas x+x 2x × + × × a = × × × … +bx+c Expression যারূভাুা [a 0 n±0 =n , n×0 =0 , 0/n =0 , n/o = (anything ÷ 0) = Undefined (অ঳ংঞারয়ে) [±x] Absolute Value ঩যভ ভান (রম তকান যারূয ধনানক ভান) |x| ⎸⎸ এয রবেয Negative ভান থাকরু঑ ো Positive ভান রনরে ঴রফ। Square Root  ফগবভূু √ Cube Root  ঘনভূ ু , √ √ √ n Root n ভূ ু ফা ফা = pr n cr =3, √ =4 তকান িুরকয x উ঩য 1/n ঘাে ফা ঩া঑য়ায Summation  তমাগ ,X এয ০ তথরক n ঩মবত উ঩াদান ঳ভূ র঴য তমাগপু } n! ফা∟n n , √ =2, √ =3 X ÷y � � � � �� �� � � � , bx,c ঴ু ঩দ Term] Bracket ফধনী রররকাণরভরেক তকান ঳ভূ র঴য অনু ঩াে । Logarithmsa রবরতক ুগ x (মরদ = ঴য় ো঴রু n=l ঴য়) [ুধু + ধনানক ঳ংখযায ুগারযদভ আরে, ০ূূ নয ঑ – ঋনানক ঳ংখযায ুগারযদভ নাই] ঳াধাযন ুগারযদভ ঴ু 10 রবরতক l । Factorial n  n× (n-1) × (n-2)…×1 [ 5!=5×4×3×2×1] Permutation রফনযা঳ [ রবি রবি n ঳ংখযক রজরনূ ঴রে ররেযক ফায ঳ংখযক রজরনূ রনরয় n pr রকারয ঳াজারনা মায়,ো঴রু pr= n(n-1) (n-2) (n-3) …..(n-r+1) Ex:- p3=6×5×4 ] n 6 n Combination ঳ভারফূ/ তফরে তন঑য়া /রনফবািন , cr = 6 × Math Shortcut Techniques with Formulas A= ∩ } এখারন A একরি ত঳ি , a,b,c,d ঴রে ত঳রিয ঳দ঳য ফা উ঩াদান। Intersection /capতেদ [ুধু কভন /঳াধাযন উ঩াদান ুরুা অথবাৎ উবয় ত঳রি তম ঳কু উ঩াদান আরে একই আরে ] ⇒ গ঳াু [A∩B={x:x A এফং x B}] Union/cup ঳ংরমাগ [উবয় ত঳রিয ঳ফ উ঩াদান রকু একই উ঩াদান উবয় ত঳রি থাকরু ো একফায ঴রফ]=> ু঳াু (কভন ঑ আনকভন ঳ফ) [A B={x:x A অথফা x B}] Element of / Belongs to ত঳রিয উ঩াদান / ঳দ঳য [Ex: b A] Is not an Element of/not Belongs to ঳দ঳য নয় / Subset ofউ঩র঳ি [A ত঳রিয ররেযক উ঩াদান/঳দ঳য B এয঑ উ঩াদান/঳দ঳য ঴য়] / ∅ Superset A’ Complementary set঩ূ যক ত঳ি [U\A=U-A={x U : x A } A\B P(A) N Z Q R Empty Set  পাঁকা ত঳ি [Bএয তকান উ঩াদান মরদ A তে থারক ো ফাদ মারফ , A এয ফাকী উ঩াদান ুরুা ফ঳রফ /আয মারদ তকান কভন ঊ঩াদান না থারক ো঴রু A ত঳রিয ঳ফ ভান ফ঳রফ] A-B={x:x A এফং x B} Power Set  ঳ূ িক ত঳ি [Aত঳রি মরদ n ঳ংখযক ঳দ঳য থারক েরফ P(A) এয তভাি উ঩াদান ঴রফ 2 রি] n N(বাবারফক / ধনানক ঩ূ নব ঳ংখযা +n), Z(঳কু ঩ূ নব ঳ংখযা +n,0,+n) Q(ভূ ুদ0,+n,রকৃে ঑ অরকৃে বনাংূ ), R (঳কু ফা ফ ঳ংখযা), অভূ ুদ ঳ংখযা (তম ঳ংখযায ফগবভূু ঴য় না) ’= -Q Straight line  ঳যুরযখা (রকান রাতরফদু তনই) Ray  যরি (একরি ভার রাতরফদু) − ∼ ≈ ≅ Line Segment  তযখাংূ (দু রি রাতরফদু থারক) Similar to ঳দৃ ূ Almost Equal toরায় ঳ভান Is Equivalent to / Congruent  ঳ফব঳ভ 7 ∠ ∟/⊾ ⊥ ∥ 1.1 △ ⊡ ⨀ Math Shortcut Techniques with Formulas Angle  তকান Right Angle  ঳ভরকান Measured Angle ঩রযভা঩কৃে তকান Perpendicular To  ুব Is Parallel to  ঳ভাতযাু Therefore / Hence  ঳ু েযাং Since / Because  তমর঴েু / কাযন Triangle  ররবুজ Rectangle/Square  আয়েরের ফা ফগবরের Circle ফৃ ত ঳ংখযারিয একক থানীয় (Unit) অি ূূ নয (০) ফা তজাড় ঳ংখযা ঴য়। 3 বাযা রফবাজয ঳ংখযাঃ ঳ংখযারিয অিুরুায (Digits) তমাগপু/঳ভরট 3 বাযা রফবাজয ঴রফ। Ex:- 318 3+1+8=12 , মা রেন ৩ বাযা রফবাজয। ঳ংখযারিয একক থানীয় (Unit) ঑ দূক থানীয় (tens) অি দু রি বাযা গরিে ঳ংখযা 4 বাযা রফবাজয ঴রফ। Ex:- 544 , 4 বাযা রফবাজয ঴রফ কাযন এয একক ঑ দূক থানীয় অি বাযা গরিে ঳ংখযা 44 মা 4 বাযা রফবাজয। ঳ংখযারিয একক থানীয় (Unit) অিরি ূূ নয (০) অথফা 5 ঴রু। ঳ংখযারি  3 ঑ 2 বাযা রফবাজয ঴রফ। ঳ংখযারিয একক (Unit) , দূক (tens) ঑ ূেক (Hundredth) থানীয় অি রেনরি বাযা গরিে ঳ংখযা 8 বাযা রফবাজয ঴রফ। Ex:- 77 264 ,এখারন 264 ঳ংখযা 8 বাযা রফবাজয ,োই 77264 ঳ংখযারি 8 বাযা রফবাজয। ঳ংখযারিয অিুরুায (Digits) তমাগপু/঳ভরট 9 বাযা রফবাজয ঴রফ। Ex:- 288 2+8+8=18 , মা 9 বাযা রফবাজয ,োই 288 ঳ংখযারি 9 বাযা রফবাজয। ঳ংখযায একক থানীয় (Unit) অিরি ূূ নয (০) ঴রু ো 2, 5, 10 বাযা রফবাজয। ঳ংখযায তূরল ফা ডারন দু রি অি (oo ) ঴রু , ো 4, 25, 100 বাযা রফবাজয। ঳ংখযায তূরল ফা ডারন রেনরি অি (000) ঴রু , ো 8, 125, 1000 বাযা রফবাজয। 8 Math Shortcut Techniques with Formulas 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 তভাি ১০রি 1 তথরক 100 ঩মবত 0 ঩া঑য়া মারফ 11 রি 2 তথরক 9 (2,3,4,5,6,7,8,9) ঩া঑য়া মারফ 20 রি 1 ঩া঑য়া মারফ 87654321 21 রি এয থানীয় ভান 8(Crores) 7(Nijut) 6(lacs) 5(Ajut) 4(Thousands) 3(Hundreds) 2(Tens) 1(Units) 4321=4×1000+3×100+2×10+1 9 Math Shortcut Techniques with Formulas { -n….-5,-4,-3,-2,- , , + ,+ ,+ ,+ ,+…..+n} 2 রদরয় রনঃরূল রফবাজয {0, 2, 4, 6, 8,……….2n} 2 রদরয় রনঃরূল রফবাজয নয় {1, 3, 5, 7, 9….(2n+1)} ভরন যাখুনঃ Even × Even= Even , Odd × Odd=Odd , Even × Odd=Even Even + Even=Even , Odd + Odd=Even , Even × Odd=Odd Even / Even= Even , Even /Odd=Odd , Odd/Even= Odd Odd Odd =Odd , Odd Even =Odd , Even Even =Even , Even Odd =Even তম তকান তজাড় (2,4,6….) ঑ রফরজাড়(3,5,7..)঳ংখযা ফর঳রয় উ঩রযয ঳ভীকযণ ুরুা মািায় করয তদখুন। { n,n+1,n+2,n+3,……….} ুধু ভার রনজ ঳ংখযা ঑ ১ বাযা রফবাজয ১ তভ রুক ঳ংখযা নয় ২ ঴রে েুরেভ তজাড় তভ রুক ঳ংখযা ( even prime number) ঳কু তভ রুক ঳ংখযাই তফরজাড় ঳ংখযা (Odd Prime number)  1 তথরক 100 এয ভরধয তভ রুক ঳ংখযা আরে 25 রি এ ঳কু তভ রুক ঳ংখযা ুরুায তমাগপু  1060  1 তথরক 200 এয ভরধয তভ রুক ঳ংখযা আরে 46 রি  1 তথরক 500 এয ভরধয তভ রুক ঳ংখযা আরে 95 রি  1 তথরক 1000 এয ভরধয তভ রুক ঳ংখযা আরে 168 রি তকান ঳ংখযা তভ রুক রকনা ো মািায় কযায জনয (঳ংখযারিয একক থানীয় অিরি 2 ,3 রদরয় বাগ মায় রকনা তদখরে ঴রফ । অথফা ঳ংখযারিয অিুরুায ঳ভরট 3 বাযা বাগ মায় রকনা ,মরদ বাগ মায় ো঴রু ঳ংখযারি তভ রুক ঳ংখযা নয়) 10 Math Shortcut Techniques with Formulas 1 তথরক 100 এয ভরধয তভ রুক ঳ংখযা ুরুা ঴ুঃ এয ভরধয তভ রুক ঳ংখযা ঳ংখযা 1-10 2,3,5,7 4 11-20 11,13,17,19 4 21-30 23,29 2 31-40 31,37 2 41-50 41,43,47 3 51-60 53,59 2 61-70 61,67 2 71-80 71,73,79 3 81-90 83,87 2 91-100 97 1 ভরন যাখায জনয (4422322321) অথফা এরক উটা বারফ তদখুন  (1232232244) ো঴রু ভরন থাকরফ। তম ঳কু ঳ংখযা ১ ঑ রনজ/র঳ই ঳ংখযা োড়া঑ অনয অংক ঑ ঳ংখযা বাযা বাগ মায় । অথবাৎ তভ রুক ঳ংখযা োড়া ফাকী ঳ফ ঳ংখযা । ুফ Fraction (বনাংূ)= ঴য রভর বনাংূরক ঳াধাযন বনাংরূ ( , ুফ x মরদ ঴য y বাযা রনঃরূরল রফবাজয না ঴য় ) ঩াতয , রভর বনাংূ = Rules of fractions  + =  - =  + = = +  - = = -  × =  ÷ = × ঩ূ ণব঳ংখযা ×঴য ঴য = 11 ুফ Math Shortcut Techniques with Formulas a×c=b = ঴য ঴য > < ুফ ( Ex:- ুফ ( Ex:- 2 ) ) 12 Math Shortcut Techniques with Formulas 13 Math Shortcut Techniques with Formulas ফগব঳ংখযায ধভব রনরিয ঳াযরণরে ১ তথরক ২০ ঳ংখযায ফগব তুখা ঴রয়রে। ঳ংখযা ফগব঳ংখযা ঳ংখযা ফগব঳ংখযা ঳ংখযা ফগব঳ংখযা ঳ংখযা ফগব঳ংখযা ১ ১ ৬ ৩৬ ১১ ১২১ ১৬ ২৫৬ ২ ৪ ৭ ৪৯ ১২ ১৪৪ ১৭ ২৮৯ ৩ ৯ ৮ ৬৪ ১৩ ১৬৯ ১৮ ৩২৪ ৪ ১৬ ৯ ৮১ ১৪ ১৯৬ ১৯ ৩৬১ ৫ ২৫ ১০ ১০০ ১৫ ২২৫ ২০ ৪০০ ঳াযরণবুত ফগব঳ংখযাুরুায একরকয ঘরযয অিুরুা বারুাবারফ ঩মবরফেণ কুন। ুে কযরু তদখরফন তম, এ ঳ংখযাুরুায একক থানীয় অি ০, ১, ৪, ৫, ৬ ফা ৯। তকারনা ফগব঳ংখযায একক থারন ২, ৩, ৭, ফা ৮ অিরি তনই। 14 Math Shortcut Techniques with Formulas ূূ নয-০ , বাবারফক ঳ংখযা ফা ঩ূ নব঳ংখযা- (0,1,2,3….n ), √(঩ূ নবফগব)-√16 , রকৃে ঑ অরকৃে বনাংূ – (মারদযরক a/b আকারয রকাূ কযা মায় -তমখারন a ঑ b বাবারফক ঳ংখযা ) , ঳঳ীভ দূরভক ঑ ত঩ ণর঩ রনক মু ত ঳ংখযা - ইেযারদ ভূ ুদ ঳ংখযা। তম ঳কু ঳ংখযারক a/b আকারয রকাূ কযা মায় না -তমখারন a ঑ b বাবারফক ঳ংখযা ) , ঩ুনবফগব নয় এভন তম তকান বাবারফক ঳ংখযায ফগবভূু (√তভ রুক ) , ( √঩ুনবফগবনয় ) , √঩ুনবঘন নয় , √঳ংখযা নয় , ত঩ ণর঩ রনক রফ঴ীন ফা রবি রবি আকারয অ঳ীভ দূরভক , এোড়া π , e – ইেযারদ অভূ ুদ ঳ংখযা । Ex:- √তভ রুক , √ 5 5 … ∞ √5 √ I1, V5, X10, L50, C100, O500, M1000 একই ঳ংখযা ঩াূা঩ারূ রেনফায ফর঳। তম তকান ঳ংখযা র঩েরন ফা ফারভ একফায ভার ফ঳রে ঩ারয । কভ ভারনয তকান ঳ংরকে র঩েরন ফা ফারভ ফ঳ারু ঐ ভানিা রফরয়াগ ঴য়। Greek Alphabet Alpha Theta Pi Beta Iota Rho Gamma Kappa Delta Epsilon Lambda Mu Tau Upsilon Sigma Zeta Nu Phi Eta Xi Omicron Kai Psi Omega একরি ঳ংখযা বাযা অ঩য একরি ঳ংখযা রনঃরূরল রফবাজয ঴রু , রবেীয় ঳ংখযারিরক রথভ ঳ংখযায ুণনীয়ক ফা উৎ঩াদক ফরু। অথবাৎ একরি ঳ংখযারক মেুরুা ঳ংখযা বাযা বাগ কযা মায় , এয ঳ফ ুরুাই ঐ ঳ংখযায ুণনীয়ক ফা উৎ঩াদক। 20 এয তভ রুক উৎ঩াদক ুরুা =5×2×2×1 একরি ঳ংখযা বাযা অ঩য একরি ঳ংখযা রনঃরূরল রফবাজয ঴রু , রথভ ঳ংখযারিরক রবেীয় ঳ংখযারিয ুরনেক ফরু।অথবাে ুনপু ঴ু ুরনেক। ০ ূূ নয ঴ু ঳ফ ঳ংখযায ুরনেক। Ex:- 35/5=7 , 35/7=5 এখারন 5 ঑ 7 ঴ু 35 এয ুণনীয়ক ফা উৎ঩াদক এফং 35 ঴ু 7 ঑ 5 এয ুরনেক। তকান ঳ংখযা দু ই ফা েরোরদক রদত ঳ংখযায ুণনীয়ক ফা উৎ঩াদক ঴রু, ঐ ঳ংখযারক রদত ঳ংখযাুরুায ঳াধাযন 15 Math Shortcut Techniques with Formulas দু ই ফা েরোরদক রদত ঳ংখযায ঳াধাযন ুণনীয়ক ফা উৎ঩াদক ুধু ১ ঴রু, ঐ ঳ংখযাুরুা ঩যপয ঳঴রভ রুক। - রদত ঳ংখযা ুরুায কভন ঑ আনকভন উৎ঩াদক ুরুায ুনপু। রদত ঳ংখযা ুরুায ুধু কভন উৎ঩াদক ুরুায ুনপু। ফৃ ঴তয ঳ংখযারক েুরেয ঳ংখযা বাযা বাগ কযা ঴য়। অথবাৎ এখারন ফৃ ঴তয ঳ংখযারি ঴ু বাজয এফং েুরেয ঳ংখযারি ঴ু বাজক। বাগ রররয়ায তম বাগরূল থারক ো বাযা রথভ বাজকরক বাগ কযা ঴য়। এখন তম বাগরূল থারক ো বাযা রথভ বাগরূল অথবাৎ রবেীয় বাজকরক আফায বাগ কযা ঴য়। এবারফ বাগ কযরে কযরে তম ঩মবারয় বাগরূল ূূ নয ঴য় ঐ ঩মবারয়য বাজকরি অথবাৎ তূল বাজকরি রদত ঳ংখযাবরয়য গ.঳া.ু। 16 Math Shortcut Techniques with Formulas 1.2 2304 এয ফগবভূু (Square Root ) রননবয় কযঃ 74 28 ঳ংখযারি রুখুন। 1) ডানরদক তথরক দু ইরি অি রনরয় তজাড়া ফাঁধুন। প্যরেযক তজাড়ায উ঩য তযখা রিি রদন। 2) বারগয ঳ভয় তমভন খাড়া দাগ তদ঑য়া ঴য় , ডান঩ারূ েু঩ একরি খাড়া দাগ রদন। 3) রথভ তজাড়ারি 74 ।ো঴রু এয ঩ূ ফবফেবী ফগব ঳ংখযা 64 , মায ফগবভূু √ =8: 4) এই ফগবভূু 8 খাড়া দারগয ডান঩ারূ রুখুন ।এখন 74 এয রিক রনরি 64 রুখুন । 5) 74 তথরক 64 রফরয়াগ কুন।এখন রফরয়াগপু 10 ঑ এয ডারন ঩যফেবী তজাড়া 28 ফ঳ান। 1028 এয ফাভ রদরক খাড়াদাগ (বারগয রিি ) রদন। 6) বাগপরুয ঘরযয ঳ংখযা 8 এয রবুণ 8×2 = 16 রনরিয খাড়া দারগয (এক অি ফ঳ারনায ভে থান তযরখ ) োয ফাভ঩ারূ ফ঳ান । 7) এখন এভন একরি এক অরিয ঳ংখযা খুরজ তফয কুন মারক 16 এয ঩াূা ঩ারূ ফর঳রয় রাত ঳ংখযারক ঐ অরিয বাযা ুন কযরু 1028 এয ঳ভান ফা অনু ্ব 1028 ঩া঑য়া মারফ। 8) এরেরর 6 ঴রফ 16 6 × 6 =996 । মরদ 7 ফ঳ারনা ঴য় অথবাৎ ( 16 7 × 7 = 1169) ো঴রু রাত ভান 1028 এয েুুনায় তফরূ ঴রয় মায় োই ই঴া র঴ন তমাগয নয়। 9) এখন 1028 তথরক 996 রফরয়াগ করয রফরয়াগপু 32 ঩া঑য়া তগু। যাজ 86×2 = 172 বাযা বাগ কযা ঳ ফ নয়। োই রদত যারূরি ঩ূ নবফগব নয়।কাযন এয বাগরূল 32 যরয়রে । 10) মরদ বাগরূল না থাকে, ো঴রু বাগপরুয থারন ঩া঑য়া 86 ই ঴রো রদত ঳ংখযায ফগবভূু। 11) এখন এই 74 28 ঳ংখযারি তথরক বাগরূল 32 রফরয়াগ কযা ঴য় ো঴রু 7396 ঳ংখযারি ঩া঑য়া মারফ । মা ঩ূ নবফগব ঴রফ। মায ফগবভূু ঴রফ 86। 17 ｾ＠ ｾｃ＼Ｑｊ＠ Ｈ ｾ Ｉ＠ ｾＰＸ＠ ＨｾＩ＠ ｜ｓＢ ｬ ｾｍ＼ｴｓ＠ ｾＰＸ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｬﾣＱｾ＠ ＼ｦｾ＠ ｾ＠ ｬﾣＱｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ '\o8 ｬﾣＱｾ＠ ｜Ｕｴｾ＠ ｾ＠ ｍ｣ＱＵｾ＠ ｬﾣＱｾ＠ (b-) ｬﾣＱｾ＠ ｾ＠ ｬﾣＱｾ＠ ｾＹｦｗｴ＠ '\o8 ｬﾣＱｾ＠ ｾ＠ l£1 C1f"Cl!i b- ｾ＠ I b- ｾ＠ 8 ｬﾣＱｾ＠ ｾ＠ ＧＵｴｾ＼ｊｓｃＱ＠ Ｍｊｾｯ ｾ＠ Ｘ＠ ｾＺ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ m ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ '\o8 9fi'8ID <rrn : ｾ＠ ｾ＠ b- ｬﾣＱｾ＠ ｾ｣ｴ＠ ｢Ｍｾ＠ 8b- I ｬﾣＱｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ facebook /gmail/skype: - ｾ＠ ｾ｣ｦｵ＠ ｾ＠ ｾ｣［ｦｵ＠ ＼ｦｾ＠ ･ｮｾ＠ f?iuJ ｾ ｾ ｾ ｦ ｾ＠ '>f'iJ <tS'?lC\!5 ｾ＠ tanbir.cox ｾ＠ CX'I<l ｜ＵｬｃｾＧ＿＠ ＭＺ［ｲｾ＠ 18 ｾ＠ o8 8b- ｾ ｾ＠ 1 ｜ＵｴｾＧＸ＠ 9fi'8ID ｃｾ＠ ｾ＠ <ruT I Ｂｬ ｩ ｾ ｉ ｃ＼ｊ＠ ｃｾ＠ ｾ＠ <rt b- = 8lr Ｇ｜ｓｒｾ＠ '5R ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ <rt ｾ＠ ｾＹｦｗｴ＠ 8 x ｾ＠ Ｑ ｾ＠ ｾ＠ ｾＺ＠ 1 b- ｬｦ＼ｲｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ I 1 ｾＩ＠ ｎｾ｣ｴ＠ ＼ＱＩＹ ｾ｣＠ ＼ｉｐｊｃｾ＠ ｴ＠ o8 ｾ＠ ｾ＠ ｬﾣＱｾ＠ ｾ＠ m: ｾＹｦｗｴ＠ ｾ＠ 8 : 8 ｬﾣＱｾ＠ ｶｭＺｾ＠ ｖｦｴｾ＠ ｾＹｦｗｴ＠ Vft'1f Ｈｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｾ ｾＧ＠ ｾ ｾ＠ o8 : ｖｦｴｾ＠ Ｙｦｾ＼ｬ＠ ＼ｲ ｬ ｾｍ｣＼ｴｓ＠ ＼ｲ｣ｴｊｾ＠ ( q) f<frnt'1f ｾ＠ ｾ＠ ＼ｦｾ＠ ｾ ｾ＠ ｾ＠ ｾ ｾ＠ q ｬﾣＱｾ＠ Ｇ＾ｦＴ＼Ｑｾ＠ <fi 8 ; ｾ＠ ｾ＠ 1 : Vft'1f ｾ＠ ｬﾣＱｾ＠ I ｣ｾ＠ ｦ＼ｲｮｴｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ <m ｴ＠ cvt'8ID ｾＧ＠ ｬﾣＱｾ＠ ｾ＠ ｾ＠ ｾｖｦｴＧＱ＠ ｾｴｦｬ＠ ｬﾣＱｾ＠ ＨｾＩ＠ ｾ＠ ｾＹｦ＠ ｾ＠ ＨｾＩ＠ ｾ ｾ＠ ｾＹｦｗｴ＠ Math Shortcut Techniques with Formulas : ｾ＼ｲｵｔ＠ ｾ＠ (8) ｾＤｦ＠ Rcfu ｾ＠ : ｾ＠ ＨｾＩ＠ ＼ｲｾ＠ ｾ＠ ｣ｾ＠ ｾ｣ｊ＼ｦｓ＠ (Q-) ｬﾣＱｾ＠ ｾ＠ I Website (J):- I ｾ＠ 0 Math Shortcut Techniques with Formulas  BODMAS [{( rak t)}]o /এয  ঳ংখযারি =x , রেভরে Formula:--঳ংখযারি = Division(÷)  Multiplication (×) Addition (+)  Subtraction(-) x-a =b-x => x= ১ভ ঳ংখযা ২য় ঳ংখযা ২ 1008 ঳ংখযারিয উৎ঩াদক ুরুা ঴ু = 2×2×2×2×3×3×7=24×32×71 বাজক ঳ংখযা = (4+1)(2+1)(1+1)=30 m Formula:-- x ঳ংখযারিয উৎ঩াদক =a বাজক ঳ংখযা ×bn×cl =(m+1)(n+1)(l+1) 19 2\1008 2\504 2\252 2\126 3\63 3\21 7 Math Shortcut Techniques with Formulas n Let the Numbers =x and (x+1) According to the Question, ⇒ (x+1)2 – x2 = n = তোি ঳ংখযা = ফরগবয অতয ১ ২ , ফড় ঳ংখযা = তোি ঳ংখযা + ১ রনরণবয় ঳ংখযা =রদ঑য়া ( a , b , c ঑ d) ঳ংখযাুরুা ু.঳া.ু ― মা তমাগ কযরে ফুা ঴রফ । রনরণবয় েুরেভ ঳ংখযা =রদ঑য়া ( a , b , c ঑ d) ঳ংখযাুরুা ু.঳া.ু + মা রফরয়াগ কযরে ফুা ঴রফ । রনরণবয় েুরেভ ঳ংখযা = তদ঑য়া ( a , b , c ঑ d) ঳ংখযাুরুা ু.঳া.ু + মা অফরূট/ বাগরূল থারক ঳ংখযাুরুায ুণপু = ঳ংখযাুরুায ু.঳া.ু × ঳ংখযাুরুায ু.঳া.ু = অনু ঩ােবরয়য ুণপু রদত বনাংূুরুায ু.঳া.ু = রদত বনাংূুরুায গ.঳া.ু = ঳ংখযাুরুায গ.঳া.ু × ঳ংখযাুরুায গ.঳া.ু ুফুরুায ু ঳া ু ঴যুুয গ ঳া ু ুফুরুায গ ঳া ু ঴যুুয ু ঳া ু 20 Math Shortcut Techniques with Formulas - ঳াভরনয িাকা র঩েরনয িাকায তিরয় ১ ফায তফরূ তঘারয ত঳রেরর অরেরাত দূ যব ঴রফ ঩রযরধ দু রিয ু঳াু এয ঳ভান । ঑ (b) (a) 2 3 এয ু঳াু = 6 1 ফায তফরূ ঘুযরু অরেরাত দূ যব = 10 ‘’ ‘’ ‘’ 6 রভিায ‘’ =(6×10) রভিায অরেরাত দূ যব = ঩রযরধ দু রিয ু.঳া.ু × তফরূ ঘুযায ঳ংখযা 1.3 ⇛ গড় = একজােীয় করে঩য় যারূয ঳ভরট যারূয ঳ংখযা ⇛ তরণী রফনযা঳কৃে উ঩ারতয গড়ঃ = তরণীয ভধযরফদু ঑ ঘিন঳ংখযাুরুায ুনপরুয ঳ভরট ঘিন঳ংখযাুরুায ঳ভরট M ঳ংখযক ঳ংখযায গড় A ঴রু, M ঳ংখযক ঳ংখযায তমাগপু = M × A [ A = N ঳ংখযক ঳ংখযায গড় B ঴রু, N ঳ংখযক ঳ংখযায তমাগপু = N × B তভাি ঳ংখযা = M + N তভাি তমাগপু = AM +BN ঳ফুরুা ঳ংখযায গড় = 21 তমাগপু ] Math Shortcut Techniques with Formulas 1.4 Varies as / is Proportional ঳ভানু ঩ারেক দু রি যারূয রফরবি উ঩াদারনয আনু ঩াে মরদ ঳ফ ঳ভয় ঳ভান ঴য় অথবাৎ তম তকান একরি যারূয ভান ফৃ রধ ত঩রু োয ঳ারথ ঳পৃ ত অনয একরি যারূয ভান ঑ মরদ একরি রনরদবট ঴ারয ফৃ রধ ফা রা঳ ঩ায় েখন োরক এরক অ঩রযয ঳ভানু ঩ারেক ফুা ঴য়। তমভনঃ- = = = ুফ যারূ … … ঴য় ো঴রু ∝y ঳ভানু ঩ারেয তেরর , রথভ যারূঃ রবেীয় যারূ = েৃেীয় যারূঃ িেুথব যারূ ⇛ রথভ যারূ × িেুথব যারূ = রবেীয় যারূ × িেুথব যারূ অথবাৎ , রাতীয় যারূবরয়য ুণপু = ভধয যারূবরয়য ুণপু  ঳ভানু ঩ারেয ভারঝয যারূ দু রিা একই ঴রু োরক ররভক ঳ভানু ঩াে ফরু। মরদ a, b, c ররভক ঳ভানু ঩ারেক ঴য় , a:b =b:c ⇛ = ⇛ = রথরভ অনু ঩াে ুরুায তমাগপু রননবয় অথবাৎ a+b+c  তকাণ রনরদবট অনু ঩ারেয বাগ = তভাি ভান S এয (×) ঐ রনরদবট অনু ঩ারেয ভান অনু ঩াে ুরুায তমাগপু ⇛ a অনু ঩ারেয বাগ ফা ঩রযভাণ = S × ⇒a:b = x:y = (x×l): (y×l) = xl : yl ⇒ b:c =l:m = (l×y): (m×y)= yl : my a:b:c = xl : yl : my Formula:--ফাুুরুায অনু ঩ারেয ঳ভরট = a + b + c তম তকান ফাুয দদঘবয = n এয ফা ফা তম তকান একরি ফাুয অনু ঩াে অনু ঩ারেয ঳ভরট 22 Math Shortcut Techniques with Formulas Formula:Required Amount: = ⇛ Water = × Required ratio × 3 =6 Formula:-অনু ঩াে ুরুায ঳ভরট = 7 + 3 = 10 30 রুিায রভররন এর঳ড ঩রযভাণ = 30 এয ( এর঳রডয অনু ঩াে) = 21 রুিায 30 রুিায রভররন ঩ারনয ঩রযভাণ = 30 এয ( ঩ারনয অনু ঩াে) = 9 রুিায অনু ঩ারেয ঳ভরট অনু ঩ারেয ঳ভরট অথফা , ঩ারনয ঩রযভাণ = রভররনয ঩রযভাণ – এর঳রডয ঩রযভাণ 3 : 7 অনু ঩ারেয জনযঃ ধরয x রুিায ঩ারন রভূারু এর঳ড ঑ ঩ারনয অনু ঩াে 3 : 7 ঴রফ। 21 : (9 + x) = 3 : 7  x = 40 7 : 5 অনু ঩ারেয জনযঃ রফকপ রনয়ভ 10 অনু ঩ারেয ঳ভেুুয = 30 রুিায = / = 3 রুিায ঩ূ রফবয অনু ঩ারেয ঳ারথ ২ অনু ঩াে ঩ারন রভূারু = 7 : (3+2) = 7 :5 অনু ঩াে ঴রফ। 1 অনু ঩ারেয ঳ভেুুয = 3 রুিায ২ = × = 6 রুিায 23 Math Shortcut Techniques with Formulas 1.5 ররে ূরে ফা তকান রনরদট ঳ংখযায বনাংূ মায ঴য ররেরেরর 100। অথবাৎ তকান ঳ংখযা ররে ূরেয (100) কে অংূ ো ফুঝারনা ঴য়। x%= N (90) তকান ঳ংখযায P % (75% ) ⇛ ⇛ Formula:-- Let the Number be = x X × P% = N ⇛ X × 75% = 90 What Percentage % is R(90) of N(120)? N × X% =R ⇒ 120 × x% =90 রফরবি রফয রফলয়ক :  ূেকযা ভূ ুয ফৃ রধয তেরর রদত ভুরুযয ঳ারথ 100 তমাগ কযরে ঴রফ ।  ূেকযা ভূ ুয রার঳য তেরর রদত ভুরুয 100 ঴রে রফরয়াগ কযরে ঴রফ । ঩রণযয ভূ ুয ফৃ রধ ঘিরু ঑ খযি ফৃ রধ না ঩াফায তেরর । ঩ুফবভূুয ঑ ফেবভান ভূ ুয তফয কযরে ঴রফ । এফং ফেবভান ভূ রুয রাত ূেকযা ,঩ূ ফব ভূ ুয 100 ঴রে রফরয়াগ কযরে ঴রফ। ঩রণযয ভুুয করভ তগরু ফযফ঴ায ফৃ রধ কযায তেরর , ঩ুফবভূুয ঑ ফেবভান ভূ ুয তফয কযরে ঴রফ । এফং ফেবভান ভুরুয রাত ূেকযা , ঩ূ ফব ভূ ুয 100 ঴রে রফরয়াগ কযরে ঴রফ। - 25% ফৃ রধ ঩া঑য়ায ফেবভান ভূ ুয = (100 + 25 )িাকা = 125 িাকা । ফেবভান ভূ ুয 125 িাকা ঴রু ঩ূ ফবভূুয = 100 িাকা ,, 100 ,, ,, ,, = ররফযয ফযফ঴ায ফা খযি কভারে ঴রফ = × িাকা = 80 িাকা 80)% =20% 24 Math Shortcut Techniques with Formulas Formula:঳ু র ⇛ × কভ ফা ফৃ রধ কভ ফা ফৃ রধ মরদ ররফযয ভূ ুয ফৃ রধ ঩ায় ো঴রু × ফৃ রধ ফৃ রধ মরদ ররফযয ভূ ুয রা঳ ঩ায় ফা করভ মায় ো঴রু × [ ফাড়ারনা % = × কভ কভ তকান ররফযয দাভ ফা ফযফ঴ায ফৃ রধরক (Increase ) ⇒ + [কভারনা % = তকান ররফযয দাভ ফা ফযফ঴ায রা঳ ফা কভান (Decrease ) ⇒ ] × ]] − এই ধযরনয তকান অংরক , উ঩রযয তম তকান একরি ভান % তদ঑য়া থাকরু উতয ঴রফ অ঩য ভানরিয % তমভন উ঩রযয অংরক দাভ 25% ফৃ রধ ত঩রয়রে , োই এয উতয ঴রফ ূেকযা ২০% রা঳ । এই একই অংরক মরদ দাভ 25% ফৃ রধ না ঴রয় ২০% রা঳ ঴ে , ো঴রু এয উতয ঴ে 25% ফৃ রধ । Formula:- × 100% % Change = Result + → Increase Result − → Decrease ⇛ ফৃ রধয ূেকযা ঴ায = − × 100% =100% [এখারন উতয ধনানক োই ফৃ রধ ত঩রয়রে] 25 Math Shortcut Techniques with Formulas Formula:-- 5% ফৃ রধরে , 100 + 5 =105 ঩ূ ফবভূুয 100 িাকা ঴রু ফেবভান ভূ ুয = 105 িাকা ,, 1000 ,, ,, = ,, × িাকা = 1050 িাকা 5 তকরজ ররফযয ফেবভান দাভ = 1050 – 1000 = 50 িাকা 1 ,, ,, Formula:× × = 50/5 = 10 িাকা ,, × ঩ূ রফবয ভুরুযয িাকা ফৃ রধ ফা রা঳ × ররফযয ঩রযভাণ = 10 িাকা Solution: দদঘব = 100x ঑ রথ = 100y তেরপু = দদঘব × রথ = 10000 xy 20% দদঘব ফৃ রধরে ঩রযফরেবে দদঘব = (100+20)x =120x 10% রথ রার঳ ঩রযফরেবে রথ = (100-10) = 90y ঩রযফরেবে তেরপু = 120x ×90y = 10800xy তেরপু ফৃ রধ = 10800xy – 10000xy = 800xy ঩ুফব তেরপু 10000xy ঳ার঩রে ফৃ রধ ত঩রয়রে = 800xy ,, ,, 100 ,, ,, ,, = × =8% তেরপু ফৃ রধ ত঩রয়রে Formula:- x ⟹ First Value ( রথভ ভান ) মা একরি রনরদট % এ ফৃ রধ ফা রা঳ ঩ারফ । y ⟹ Second Value ( রবেীয় ভান ) মা একরি রনরদট % এ ফৃ রধ ফা রা঳ ঩ারফ । মরদ উত ভান ঳ভূ ঴ , ফৃ রধ ত঩রু / ফাড়রু (Increase) এয রিি ঴রফ ⟹ + রা঳ ত঩রু / কভরু (Decrease) এয রিি ঴রফ ⟹ − এফং উতয(Answer) এয রিি মরদ + ঴য় , ো঴রু ূেকযা ফৃ রধ ঩ারফ এফং উতয(Answer) এয রিি মরদ − ঴য় , ো঴রু ূেকযা রা঳ ঩ারফ 26 Math Shortcut Techniques with Formulas Formula:-এখারন উবয় ভানই ফৃ রধ ত঩রয়রে োই এরদয রিি ঴রফ + ূেকযা ফৃ রধঃ C% = (+5) + (+5) + × Formula:-তমর঴েু ফগবরেররয দদঘবয ঑ রথ ঳ভান , োই F = S = −10 এখারন উবয় ভানই রা঳ ত঩রয়রে োই এরদয রিি ঴রফ − ূেকযা রা঳ঃ C% = (−10) + (−10) + × Formula:-- তমর঴েু একই ফৃ রতয ঳ফ ফযা঳াধব ঳ভান , োই উবয় ভান ঳ভান ঴রফঃ োই F = S = ± 5 এখারন উবয় ভানই রা঳ ত঩রু রিি ঴রফ − , এফং ফৃ রধ ত঩রু রিি ঴রফ + ূেকযা ফৃ রধঃ C% = (+5) + (+5) + × তমর঴েু রথরভ দাভ তফরড়রেু F= + 25% রবেীয়রে দাভ করভরে S =− 5% ূেকযা ঩রযফেবনঃ C% = (+25) + (−5) + ূেকযা ঩রযফেবনঃ C% = (-20) + (+20) + × × 27 Math Shortcut Techniques with Formulas ূেকযা ঩রযফেবনঃ ূেকযা ঩রযফেবনঃ × C% = (+20) + (+20) + × C% = (+10) + (+20) + Formula:- Mix % = × Formula:- - Rest (n) = 100x – (f% + s% + t% )x Formula:- -pass = n × x% × (a/b) ধরয , যাজীরফয আয় = 100 িাকা এফং োনফীরযয আয় = (100+25 ) ফা 125 িাকা োনফীরযয আয় 125 িাকা ঴রু যাজীরফয আয় =100 িাকা ,, ,, 100 ,, ,, ,, ,, × ফা 80 িাকা যাজীরফয আয় কভ = (100 – 80 ) = 20 িাকা 28 Math Shortcut Techniques with Formulas রথভ তেরর, রভরন 100 তকরজ ঴রু ফারুয ঩রযভান =25 তকরজ ,, 64 ,, ,, ,, ,, × = তকরজ অেএফ , ঩াথরযয ঩রযভাণ = (64−16) ফা 48 তকরজ ঩রযফরেবে রভররন , ঩াথয 40 তকরজ ঴রু রভরন ঴রফ = 100 তকরজ ,, 48 ,, ,, ,, ,, = × ফা 120 তকরজ নেুন রভররন ফারুয ঩রযভাণ = (120−48) ফা 72 তকরজ অেএফ , ফারু তভূারে ঴রফ= (72 −16) ফা 56রকরজ ুধু ভার রনরদবট রফূয়ুুরে কৃেকারমবয তেরর , উবয় রফলরয় কৃেকারমবয ঳ংখযা ফাদ রদরে ঴রফ। এক ফা উবয় রফলরয় কৃেকারমবয তেরর , ুধু ভার রনরদবট রফলয়ুরুায কৃেকারমবয ঳ংখযায ঳ারথ উবয় রফলরয় কৃেকারমবয ঳ংখযা তমাগ কযরে ঴রফ। Formula:-ুধু ইংরযজীরে তপু করয = (100 – 70 − 10)% = 20% ুধু ফাংুায় তপু করয = (100 – 80 − 10)% = 10% তভাি তপু করয = (20 + 10 + 10)% = 40% উবয় রফলরয় ঩া঳ করয = (100 − 40)% = 60% উবয় রফলরয় 60 জন ঩া঳ করয , মখন ঩রযোথবীয ঳ংখযা = 100 জন ,, ,, 360 ,, ,, ,, ,, ,, ,, = 29 × জন Math Shortcut Techniques with Formulas ুধু ইংরযজীরে ঩া঳ করয = (60 –40)% = 20% ুধু ফাংুায় ঩া঳ করয = (70 – 40)% = 30% তভাি ঩া঳ করয = (40 + 30 + 20)% = 90% উবয় রফলরয় তপু করয = (100 − 90)% = 10% [1 নংরয়য উতযঃ উবয় রফলরয় ূেকযা 10% তপু করয ] ঩যীোথবী 100 জন ঴রু উবয় রফলরয় তপু করয = 10 জন ,, 200 ,, ,, ,, ,, ,, ,, = × জন 1.6 এক জােীয় করয়করি রজরনর঳য দাভ, ঑জন, দদঘবয তদ঑য়া থাকরু োরক রজরনর঳য ঳ংখযা রদরয় বাগ কযরু, ১রি রজরনর঳য দাভ, ঑জন, দদঘবয ঩া঑য়া মায়। একরিয দাভ তফয করয ঳ভ঳যায ঳ভাধান কযায ঩ধরেরক ঐরকক রনয়ভ ফুা ঴য়। ঐরকক রনয়রভ তম যারূরি তফয কযরে ঴রফ ত঳ যারূরি অফূযই অি ঳াজারনায ঳ভয় রথভ ুাইরনয তূরলয রদরক (ডানরদরক) যাখরে ঴রফ। অথবাৎ তম রজরনরূয ভান তদ঑য়া আরে ো ফাভ রদরক এফং মা িা঑য়া ঴রে ো ডানরদরক রুখা ঴য়। ফারভয তদ঑য়া ভারনয জনয  ডারনয ভারনয ঩রযভাণ [মরদ ফারড় ো঴রু ুন ঴রফ , মরদ করভ ো঴রু বাগ ঴রফ] মাযা কাজ করয োরদয ররেযরকয কাজ কযায েভো ঳ভান ঴রু। কারজয ঩রযভাণ একই থাকরু এফং কাজরি ঳পি কযায তুারকয ঳ংখযা করভ তগরু  কাজরি তূল কযায ঳ভয় তফরড় মারফ। এরেরর ুন কযরে ঴য় । আফায তুারকয ঳ংখযা ফারড়রয় রদরু  কজরি তূল কযায ঳ভয় কভ ুারগ ।  এরেরর বাগ কযরে ঴য়। কারজয ঩রযভাণ অ঩রযফরেবে তযরখঃ X 1 তুারকয ঳ংখযা ফা কাজ ঳পাদনকাযী = ‘’ ‘’ ‘’ ‘’ Y কারজয ঳ভয় = ( × Y) [ তুারকয ঳ংখযা কভরু ,কারজয ঳ভয় ফাড়রফ] = × [ তুারকয ঳ংখযা ফাড়রু ,কারজয ঳ভয় কভরফ] কারজয ঩রযভাণ একই থাকরু এফং কাজরি ঳পি কযায তুারকয ঳ংখযা তফরড় 30 Math Shortcut Techniques with Formulas 1 1 2 অথফা , Formula:- M1× D1 = M2 × D2 × 1)⇛ M2 = × 2)⇛ D2 = Solution : 100 জন তুাক িরু তগরু ফারক থারক =(500− 100) = 400 জন 5 রদন ঩রয , 500 জন তুারকয খাদয ভজুদ থারক = (20 − 5) ফা 15 রদরনয 1 ,, 400 [ ,, ,, ,, ,, ,, ,, = (15 × 500) রদরনয ,, ,, ,, × = রদরনয জন তুারকয খাদয ভজুদ 500 জন তুারকয তিরয় তফরূ থাকরফ , োই ২য় ধার঩ ুন কযা ঴রয়রে। আফায ৩য় ধার঩ তুাক ঳ংখযা তফরড় মা঑য়ায় খাদয ভজুরদয ঩রযভাণ঑ করভ মারফ , োই এখারন বাগ কযা ঴রয়রে। ] Formula:-X ⇒ m রদরন করয = 1 অংূ কাজ = অংূ কাজ Y → 1 রদরন করয = অংূ কাজ 1 ,, ,, X ঑ Y একরর 1 রদরন কাজ করয = ( োযা একরর ,, + × ঳পূ নব ফা 1 ,, + )= অংূ কাজ করয = 1 রদরন ,, ,, = Formula:একরর ঳পূ নব ফা ঳ভ কারজয ঳ভয় T= × + × অংূ কাজ রদরন । × ফা 31 উবরয়য রদরনয ুণপু উবরয়য রদরনয তমাগপু Math Shortcut Techniques with Formulas Formula:- একরর ঳পূ নব ফা ঳ভ রবেীয় জরনয কারজয ঳ভয় T= × ফা রথভ × একরর রথভ − একরর Formula:একরর ঳পূ নব ফা ঳ভ কারজয ঳ভয় Formula:঩ূ নব ঴঑য়ায ঳ভয় T= × T= × Formula:঩ূ নব ঴঑য়ায ঳ভয় × × T= [এখারন ফড় ভানরি ঴রে তোি ভানরি রফরয়াগ কযরে ঴রফ। ] ⇛ Solution— X ⇒ 20 রদরন করয = 1 অংূ কাজ অংূ কাজ X → 1 রদরন করয = Y → 1 রদরন করয = Z→ 1 রদরন করয = অংূ কাজ অংূ কাজ X , Y ঑ Z একরর 1 রদরন কাজ করয = ( োযা একরর ,, অংূ কাজ করয 1 রদরন ঳পূ নব ফা 1 ,, ,, ,, + + )= = 8 রদরন । 32 অংূ কাজ Math Shortcut Techniques with Formulas Formula:-একরর 1 রদরন কাজ করয = 1/8 অংূ কাজ ,, 6 ,, ,, ,, = 6/8 ফা ¾ অংূ কাজ ফাকী কারজয ঩রযভাণ = (1 – ¾ ) অংূ কাজ = ¼ অংূ কাজ X ঳পূ নব ফা 1 অংূ কাজ করয = 20 রদরন ফাকী ¼ ,, ,, = (20 × ¼) =20/4 = 5 রদরন ,, Formula:-X → 1 রদরন করয = 1/ 20 অংূ কাজ 5 ,, ,, = 5 ফা X অফরূট 5 রদরন তূল করয ¼ অংূ কাজ ¼ অংূ কাজ X , Y ঑ Z একরর ফাকী রদরন কাজ করয = (1 – ¼ ) = অংূ কাজ X , Y ঑ Z একরর 1/8 অংূ কাজ করয = 1 রদরন ঳পূ নব ফা 1 ,, ,, ⇒ ,, ¾ ,, ,, ,, ,, = 8 রদরন ,, = × রদরন = 6 রদরন তভাি কাজ = X , Y ঑ Z একরর রদন + X এয অফরূট 5 রদন = 6 + 5 = 11 রদন 33 Math Shortcut Techniques with Formulas 1 1 1 2 2 Formula:-3 জন ঩ুুল 20 রদরন করয = 1 অংূ ফা ঳ভ কাজ ⇒ 3 ,, ⇒ 1 ,, ⇒ 4 ,, ,, 1 ,, ,, = ,, 1 ,, ,, = ,, 1 ,, ,, = অংূ কাজ × × অংূ কাজ অংূ কাজ = 5 অংূ কাজ [এখারন েৃেীয় ধার঩ বাগ কযা ঴রয়রে , কাযন তুাক঳ংখযা কভরু কারজয ঩রযভাণ কভ ঴রফ। ⇒ িেুথব ধার঩ ুন কযা ঴রয়রে, কাযন তুারকয ঳ংখযা ফাড়রু কারজয ঩রযভাণ তফরূ ঴য়। ] আফায, 5 জন ভর঴ুা 20 রদরন করয = 1 অংূ ফা ঳ভ কাজ ⇒ 1 ,, ,, ⇒ 10 ,, 1 ,, 1 ,, ,, ,, ,, = = 4 জন ঩ুুল ঑ 10 ভর঴ুা, 1 রদরন করয = ( ⇒ 5 + ×5 ×5 অংূ কাজ অংূ কাজ = ) অংূ কাজ = অংূ কাজ অংূ কাজ অংূ কাজ করয = 1 রদরন 1 ফা ঳ভ ,, ,, ,, = 6 রদরন। Formula : কাজরি ঳পূ নব কযরে ঳ভয় T2 = × × × 34 × 2 Math Shortcut Techniques with Formulas Formula:তভাি ঳ভয় T = ×t এখারন U = Up উ঩রয উিা , D = Down রনরি নাভা ⇛ T= × × 1= 77Min  Formula:--঩ারনয উ঩রযয অংূ(ভান তদ঑য়া ঩রযভাণ ) n = 1 – ( তকান রকেু য গরেরফগ = + + ) অরেরাত দূ যব ঳ভয় অরেরাত দূ যব = গরেরফগ × ঳ভয় তরারেয অনু কূরু তন কায কামবকযী গরেরফগ = তন কায রকৃে গরেরফগ + তরারেয গরেরফগ তরারেয ররেকূরু তন কায কামবকযী গরেরফগ = তন কায রকৃে গরেরফগ − তরারেয গরেরফগ ধরয , দু ইরি তররনয গরেরফগ মথাররভ U ঑ V ঴য়। [মরদ U > V ঴য়] মখন দু রি গারড় ফা তরন ঩যপয রফ঩যীে রদরক িরু , েখন োরদয আর঩রেক তফগ োরদয গরেরফরগয ঳ভরটয ঳ভান। আর঩রেক তফগ (Relative Speed) = U +V মখন দু রি গারড় ফা তরন একই রদরক িরু , েখন োরদয আর঩রেক তফগ োরদয গরেরফরগয রফরয়াগপরুয ঳ভান। আর঩রেক তফগ (Relative Speed) = U – V একরি র঳গনযাু ত঩াট / খুিঁ ী / রথয দাঁড়ারনা তুাকরক অরেরভ কযরে X একক দদঘবয রফরূট একরি তররনয T ঳ভয় ুাগরুঃ তরনরি T ঳ভরয় অেরভ করয X একক দূ যব ,, 1 ,, ,, ,, = একক দূ যব ⇛ তররনয গরেরফগ = 35 Math Shortcut Techniques with Formulas p Lt তরনরি T ঳ভরয় অেরভ করয =( Lp + Lt) একক দূ যব ,, 1 ,, ,, ⇛ তররনয গরেরফগ ,, একক দূ যব = = Formula:-- তরনরি , 1 ঘিায় ফা (60 × 60) ত঳রকরড মায় = 45 রকরভঃ = (45 × 1000)রভিায 60 ,, ,, = রকৃে঩রে তরনরি 60 ত঳রকরড , × × × ফা 750 রভিায তভাি অরেরভ করয = তরনরিয দদঘব + ্যািপযরভয দদঘব 750 = তরনরিয দদঘব + 100 ⇒ তরনরিয দদঘবয = 650 রভিায Formula:- তররনয গরেরফগ ⇛ 45 × ⇛ 5 = [ T = =650 nv S d n km/hr to m/sec multiply speed by y অরেরাত ঳ভয় T = তরন দু ইরি ঩যপয রফ঩যীে রদরক িুরে , োই আর঩রেক তফগ (Relative Speed) = তরন দু ইরি একই রদরক িুরে , োই আর঩রেক তফগ (Relative Speed) = ⇛ T= × = 11 Second [1 km/hr = 36 − meter/second ] + ] Math Shortcut Techniques with Formulas Formula:অরেরাত ঳ভয় T = এখারন ফযরতরিয দদঘবয 5 + ⇛ T= − × 5 = 0 রভিায = 9 Second [1 km/hr = meter/second ] Formula:⇛T = T= × × − − 1.7 আ঳ু ফা ভূ ুধন (Principal / Capital / Sum )[রফরনরয়াগ  Invested] ঳ু দ / ভুনাপা / ( Interest / Extra money for Interest) [ভূ ুধরনয জনয ররে ফেয তম অরেরযত িাকা ঩ায় ] ঳ভয় / ফেয [ফারলবক  Per-annum ঳ু রদয ঴ায (Rate of Interest) ] [তকান রনরদবট িাকায অথবাৎ ভূ ুধরনয উ঩য তকান রনরদবট ঳ভরয়য জনয তম ঳ু ধ তদ঑য়া ঴য়। ঳াধাযণে , 100 িাকায উ঩য 1 ফেরযয জনয তম ঳ু ধ ধযা ঴য় ো ঴রে ফারলবক ূেকযা ঳ু রধয ঴ায] ঳ু দা঳ু/঳ু দ-ভূ ু/঳ফৃ রধভূ ু (Amount/ Interest-principal/Increased Principal) ঳ু দা঳ু = ঳ু দ + আ঳ু P িাকায় t ফেরযয ঳ু দ = p × t িাকায় 1 ফেরযয ঳ু দ 37 Math Shortcut Techniques with Formulas ররেযক ফেরযয জনয ঳ু দ তদ঑য়া ঴য় রকু ো আ঳রুয ঳ারথ তমাগ কযা ঴য় না। অথবাৎ ররেযক ফেয আ঳ু একই থারক। ূেকযা ফারলবক ঳ু রদয ঴ায r ঴রু, 100 িাকায় 1 ‘’ P 1 ফেরযয ঳ু দ 1 ‘’ ‘’ P 1 ‘’ r ‘’ ‘’ t ফা n ‘’ × িাকা ‘’ ‘’ × × × × ⇛ I = npr [r = r% = r/100] ঳ু দ I = [ভরন যাখুনঃ ঳ু দ ঴রে আ঳ু ঴ারযয ঳ভয় ]  ঳ু দা঳ু A = আ঳ু P + ঳ু দ I  A = P + nPr = P (1 + nr) P= P = [r = r% = r/100] × [ভরন যাখুনঃ আ঳ু ঳ভান ঳ু দা঳রু ১০০ ুন , বারগ, ঴ারযয ঳ভয় ১০০ তমাগ ] 38 Math Shortcut Techniques with Formulas ররেযক ফেয আ঳রুয ঳ারথ ঳ু ধ তমাগ কযা ঴য় ।োই ররেযক ফেয আ঳ু ফৃ রধ ঩ায়। রাযর ক ভূ ুধন ফা আ঳ু P এফং ূেকযা ফারলবক ঳ু রদয ঴ায r n ফেযারত িরফৃ রধ ঳ফৃ রধ ভূ ্ধন C = p  + িরফৃ রধ ভুনাপা = িরফৃ রধ ভূ ্ধন (C) ― রাযর ক ভূ ুধন (P) + =P িরফৃ রধ ঳ফৃ রধ ভূ ্ধন = আ঳ু + ঳ু দা঳ু = আ঳ু ―P × + ঳ু রদয ঴ায ঳ু রদয ঴ায ঳ভয় × ঳ভয় ২০০ Solution- 700 িাকায় 5 ফেরযয ঳ু দ = 105 িাকা 100 ,, 1 ,, ,, = × Formula:঳ু দ × I= ⇛ 105 = r= × × িাকা × × × × ধরয , ভূ ুধন X িাকা 5 ফেরয ঳ু দ-ভূ ু = 2X িাকা ঳ু দ = ঳ু দ-ভূ ু − ভূ ুধন 2X – X = X িাকা = X িাকায় 5 ফেরযয ঳ু দ = X িাকা 100 ,, 1 ,, ,, = × × িাকা = 20 িাকা = 20% 39 Math Shortcut Techniques with Formulas Formula:঳ু রদয ঴ায ( ⇛ রদত ুন ফা মে ুন ) = ঳ভয় ফা ফেয ⇒ = = 1 2 Formula:-100 িাকা ভূ ুধন ঴রু 1 ফেরয আয় ফারড় = (10 – 8 ) িাকা = 2 িাকা 100 ,, ,,, ,, 5 ,, ,, = (5 × 2 ) িাকা = 10 িাকা ,, আয় 10 িাকা ফারড় ভূ ুধন = 100 িাকা ,, 200 ,, ,, Formula:- ঳ু দ ⇛ 200 = ,, = ×| I= ×| × িাকা | × |× p =2000 িাকা Formula:-5% ঴ায ঳ু রদ, 100 িাকায় 10 ফেরযয ঳ু দ = ( 5 × 10)িাকা = 50 িাকা 100 িাকা 10 ফেরয ঳ু রদ আ঳রু ঴য় = ( 100 + 50 ) িাকা = 150 িাকা ঳ু দা঳ু 150 িাকা ঴রু আ঳ু = 100 িাকা ,, 5000 ,, ,, Formula:× আ঳ু P = ⇛P= × ,, = ×5 5 িাকা × × 40 Math Shortcut Techniques with Formulas Formula:-300 িাকায় 4 ফেরযয ঳ু দ = 1200 িাকায় 1 ফেরযয ঳ু দ 500 িাকায় 5 ফেরযয ঳ু দ = 2500 িাকায় 1 ফেরযয ঳ু দ (1200 + 2500 ) = 3700 িাকায় 1 ফেরযয তভাি ঳ু দ 3700 িাকায় িাকায় 1 ফেরযয ঳ু দ 148 িাকা 100 ,, ,, 1 ,, ,, = × িাকা ধরয উবয় তেরর ঳ু রদয ঴ায = x % = x/100 রথভ তেরর, ঳ু দ I1 = রবেীয় তেরর, ঳ু দ I2 = 5 × × × 5× রেভরে, I1 + I2 =148 ⇒ × × + ⇒ x = 4% 5 × 5× = 148 Formula:- I= r= × ⇛r= × × + 5 ×5 × = 4% 41 Math Shortcut Techniques with Formulas আ঳ু + 5 ফেরযয ঳ু দ = 500 িাকা আ঳ু + 5 ফেরযয ঳ু দ = 460 িাকা ―――――――――――――― [রফরয়াগ করয ] 2 ফেরযয ঳ু দ = 40 িাকা 1 ~ ~ = 3 ~ ~ = = 20িাকা 20×3 = 60 িাকা আ঳ু = (460―60)িাকা = 400 িাকা 400 িাকায় 1 ফেরযয ঳ু দ 20 িাকা 1 100 1 ~ ~ 1 ~ ~ 20/400 ~ ~ 20 400 × Formula:িরফৃ রধ ঳ফৃ রধ ভূ ্ধন C = p + ⇛ িরফৃ রধ ঳ফৃ রধ ভূ ্ধন C = 600 C = 726 + 42 Math Shortcut Techniques with Formulas 1.8 রয়ভূ ুয (Cost Price ) CP :- তকান রজরনূ রকনরে ফা দেরয কযরে তম ফযয় ঴য়। রফরয়ভূ ুয (Selling Price )SP:- তকান রজরন঳ রফরয় কযরু/রফিরু তম দাভ ঩া঑য়া মায়। ুাব/ভুনাপা (Profit /Gain) P:েরে/ তুাক঳ান (Loss)L:- ুাব (Profit) = রফরয়ভূ ুয (SP) েরে(loss) = রয়ভূ ুয (CP) - - রয়ভূ ুয (CP) রফরয়ভূ ুয (SP) েুুনা কযায জনয ুাব ফা েরে ,ূেকযা ঴ারয রকাূ কযা ঴য়।আনু ঳ারিক খযি উরেখ না থাকরু রয়ভূ ুযরকই রফরনরয়াগ ফরু গনয কযা ঴য়। ুাব-েরেয ূেকযা র঴঳াফ ঳ফ঳ভয় রয়ভূ রুযয ফা রফরনরয়ারগয উ঩য কযা ঴য়। অথবাৎ ুাব ফা েরে রয়ভূ রুযয উ঩য র঴঳াফ কযা র঩ রকাূ কযা ঴য় । ঴য় । ুাব ফা েরে তক ঳াধাযণে রফরনরয়ারগয ফা রয়ভূ রুযয ূেকযা X % ুাব ফা েরে ফুরু  ুাব ফা েরে রফরনরয়াগ ফা রয়ভূ রুযয x % ফুঝরে ঴রফ। অথবাৎ ১০০ িাকা রফরনরয়ারগয ুাব ফা েরে x িাকা । C িাকা রফরনরয়ারগ x % ুাব ফা েরে ঴রু, × িাকা । তভাি ুাব ফা েরে = X % ুারব c িাকা রফরনরয়াগকৃে রজরনর঳য রফরয়ভূ ুয = ( C + X % েরেরে C িাকা রফরনরয়াগকৃে রজরনর঳য রফরয়ভূ ুয = ( C − × ) িাকা । × C িাকা রফরনরয়ারগ তভাি P িাকা ুাব ফা েরে ঴রু , × তভাি ুাব ফা েরে = িাকা। Furmula: এরেরর রফরয় ঳ংখযা ররয়য ঳ংখযা তথরক 1 কভ ঴রে ঴রফ। ুাব(Profit %) = ⇛ Profit % = রফরয় ঳ংখযা 5 % 43 ) িাকা । Math Shortcut Techniques with Formulas Furmula: এরেরর রফরয় ঳ংখযা ররয়য ঳ংখযা তথরক 1 তফরূ ঴রে ঴রফ। েরে (Loss %) = রফরয় ঳ংখযা ⇛ loss % = Furmula: রয়(n) , রফরয়(n+1) ঑ রয়(n+2) এয ভরধয ররভক ঳ংখযা থাকরফ, িাকায় দু ই ধযরনয রবি রবি রজরনূ রকনরফ, রকু ঳ফুরুা একরি রনরদবট দারভ রফরয় কযরফ? েরে (loss) = / িাকায় মেরি রফরর ঴য় ⇛ loss % = Formula:- রফরয় ঳ংখযা =n , First Value=F%, Second Value=S% রজরনর঳য ঳ংখযা = n [ুাব ঴রু রিি + ,েরে ঴রু রিি − ] × ⇛ রজরনর঳য ঳ংখযা = 12 × Formula:- রজরনর঳য ঳ংখযা = ⇛ রজরনর঳য ঳ংখযাঃ = 5 × × × × 5 + 44 Math Shortcut Techniques with Formulas রফযরিয রয়ভূ ুয = (150 + 20 )িাকা =170 িাকা Solution রয়ভূ ুয 170 িাকায় েরে ঴য় = 20 িাকা ,, 100 ,, ,, ,, = × Formula:- রয়ভূ ুয = রফরয়ভূ ুয + েরে [ েরে = রয়ভূ ুয − রফরয়ভূ ুয] ুাব ফা েরেয ূেকযা ঴ায = ⇛ Cost = 150 +20 =170 ুাব ফা েরে × রয়ভূ ুয ⇛ %= × কে ⇛ ×রফরয়ভূ ুয Formula:- রয়ভূ ুয = ুাব × + ⇛ Cost = × রফরয়ভূ ুয Formula:- রয়ভূ ুয = × − ⇛ Cost = Solution: েরে ুারব রফরর কযা ঴রু 100 ঳ারথ তমাগ কযরে ঴রফ , এফং েরেরে রফরর কযা ঴রু 100 তথরক রফরয়াগ কযরে ঴রফ । P% ুারব, রয়ভূ ুয 100 িাকা ঴রু রফরয়ভূ ুয = (100 + P ) িাকা ,, n ,, ,, ,, = × + িাকা L% েরেরে, রয়ভূ ুয 100 িাকা ঴রু রফরয়ভূ ুয = (100 - L ) িাকা × + ,, ,, ,, = − × × + [এখারন P% ুারবয রফরয়ভূ ুয ভান , L% েরেয রয়ভূ রুয ফ঳রফ। কাযন তরো p% ুারব তকনা রফয েৃেীয় এক ফযারতয কারে 5%(L%) েরেরে রফরয় করযরে ।] 45 Math Shortcut Techniques with Formulas Formula:-15% ুারব, রয়ভূ ুয 100 িাকা ঴রু রফরয়ভূ ুয = (100 +15 ) িাকা =115 িাকা ,, 280 ,, ,, ,, = × িাকা = 322 িাকা ধামব ভূ রুযয 8% করভূন তদয় অথবাৎ েরেরে, রফরয়ভূ ুয (100 - 8 )ফা 92 িাকা ঴রু ধামব ভূ ুয ফা রয়ভূ ুয = 100 িাকা ,, 322 ,, ,, ,, ,, × = িাকা = 350 িাকা Formula : রকৃে রয় ঳ংখযা (নট ফারদ) = 30 − 30 এয 20% =24 ুাব (Profit) =( রকৃে রয় ঳ংখযা ⇛ Profit = রফরয় ঴ায × × রফরয়ভূ ুয − রয়ভূ ুয − 55 Formula:- রয়ভূ ুয = কভা R% ফা ( ⇛ Cost= 5 × )× তভাি িাকা কভ ফা তফরূ ঩া঑য়া ঳ংখযা × 46 × মেুরুা রকনরে ঴রফ Math Shortcut Techniques with Formulas Solution ূেবঃ ররে ২রি ূেকযা ফা % থাকরে ঴রফ 10% েরেরে রফরয় ভূ ুয = (100 − 10) িাকা = 90 িাকা 20% ুারব রফরয় ভূ ুয = (100 + 20 ) িাকা = 120 িাকা তফরূ রফরয় ভূ ুয (120 −90) িাকা = 30 িাকা তফরূ রফরয়ভূ ুয 30 িাকা ঴য় মখন রয়ভূ ুয 100 িাকা ,, ,, 40 ,, ,, ,, ,, × িাকা Formula:রয়ভূ ুয = কভ ফা ফৃ রধ × উবয় ূেকযায ঩াথবকয রফকপঃ রফরয়ভূ ুয 40 িাকা তফরূ ঴রু 10% েরে঩ূ যণ ঴রয়঑ 20% ুাব ঴ে, 10% + 20% =40 ⇒ 15% = 40 ⇒ 1% = 5 ⇒ 100% = × 5 রয়ভূ ুয = × দাভ কভ ফা ফৃ রধ Formula:- রথভ ⇛ রয়ভূ ুয = রবেীয় × + 47 Math Shortcut Techniques with Formulas Solution: ূেবঃ ররে 3 রি ূেকযা ফা % থাকরফ 20% করভ রয়ভূ ুয = (100 − 20) িাকা = 80 িাকা 40% ুারব রফরয় ভূ ুয = (100 + 40 ) িাকা = 140 িাকা 40% ুারবঃ রয়ভূ ুয 100 িাকা ঴রু রফরয়ভূ ুয = 140 িাকা ,, 80 ,, ,, ,, × িাকা = 112 িাকা 10%েরেরে , রফরয়ভূ ুয = (100 – 10 ) =90 িাকা দু ই রফরয়ভূ রুযয ভরধয ঩াথবকয = (112 -90) িাকা = 22িাকা রফরয়ভূ ুয 22 িাকা তফরূ ঴রু রয়ভূ ুয = 100 িাকা ,, 50 ,, ,, ,, = × 5 Formula: 10% েরেরে রফরয় ভূ ুয, Sells1 = (100 − 10) িাকা = 90 িাকা রয়ভূ ুয 20% কভ ঴রু = (100 − 20 ) িাকা = 80 িাকা ঴রফ , এরেরর ুাব ফা profit ঴রফ , 80 × 40% =32 রফরয়ভূ ুয ,Sells2 = নেুন রয়ভূ ুয + ুাব = 80 + 32 = 112 রয়ভূ ুয = ×তফরূ ফা কভ দাভ ⎸ ⎸ [এখারন ⎸⎸ রিি ভারন ঴ু Absolute Value ফা ঩যভ ভান অথবাৎ এয রবেয Negative ভান থাকরু঑ Positive ভান রনরফন] ⇛ Cost = ⎸ − ×5 ⎸ 48 Math Shortcut Techniques with Formulas Solution: 5 রিয রয়ভূ ুয = 4 িাকা 1 ,, ,, আফায , = 5 িাকা 4 রিয রয়ভূ ুয = 5 িাকা 1 ,, ,, = 5 িাকা ররেরিরে ুাব = রফরয়ভূ ুয- রয়ভূ ুয = 5 − 5 = িাকা [ ুাব ফা েরেয ূেকযা র঴঳াফ রয়ভূ রুযয উ঩য র঴঳াফ কযা ঴য় । ] ররেরিয রয়ভূ ুয ,, Formula ,, 5 িাকায় ুাব ঴য় = 100 ,, ,, ,, = িাকা × × × 49 Math Shortcut Techniques with Formulas অথফা Solution: X রি আরভয রয়ভূ ুয = 1 িাকা 1 ,, ,, িাকা = আফায Y রি আরভয রফরয়ভূ ুয = 1 িাকা 1 ,, ,, = িাকা ররেরি আরভ ুাব = রফরয়ভূ ুয – রয়ভূ ুয = ররেরিয রয়ভূ ুয ,, ,, িাকায় ুাব ঴য় = 100 ,, ,, ,, − − = িাকা − িাকা × × িাকা Formula × ূেকযা ুাব = × 5− = ×5× 5× Solution: রফযরিয রয়ভূ ুয = (380+20) ফা 400 িাকা রয়ভূ ুয 400 িাকায় েরে ঴য় =20 িাকা ,, 100 × ,, ,, ,, িাকা Solution: 10% েরেরে রফরয় ভূ ুয = (100-10) ফা 90 িাকা 5% ুারব রফরয়ভূ ুয = (100+5) ফা 105 িাকা রফরয় ভূ রুযয ঩াথবকয = (105− 90) ফা 15 িাকা রফরয়ভূ ুয 15 িাকা তফরূ ঴য় মখন রয়ভূ ুয 100 িাকা ,, 45 ,, ,, ,, ,, × ফা 300 িাকা 50 Math Shortcut Techniques with Formulas Solution: 20% ুারব রফরয়ভূ ুয = (100+20) ফা 120 িাকা 10% করভ রয়ভূ ুয = (100-10) ফা 90 িাকা 20% ুারব, রয়ভূ ুয 100 িাকা ঴রু রফরয়ভূ ুয = 120 িাকা ,, 90 ,, % ফা ,, ,, × = =108 িাকা েরেরে, রফরয়ভূ ুয = (100− রফরয়ভূ ুযবরয়য ভরধয ঩াথবকয = (100 − রফরয়ভূ ুয ,, 31 2 31 ফা ) ) ফা িাকা িাকা িাকা তফরূ ঴য় মখন রয়ভূ ুয =100িাকা ,, ,, ,, × × ,, = ফা 200িাকা Solution: x % েরেরে , রফরয়ভূ ুয = রফরয়ভূ ুয ( ,, n − িাকা ,, = − ) িাকা ঴রু রয়ভূ ুয = 100 িাকা ,, ,, y % ুারব , রফরয়ভূ ুয = + × িাকা রয়ভূ ুয 100 িাকা ঴রু রফরয়ভূ ুয = ( ,, × ,, ,, ,,= িাকা × + ) িাকা × × রফরয় ভূ ুয = n × 51 িাকা Math Shortcut Techniques with Formulas Solution: 36 িাকায় রয় করয =12 রি কুা 100 ,, ,, × ,, ফা রি কুা 20% ুারব , রয়ভূ ুয 100 িাকা ঴রু রফরয়ভূ ুয = (100 + 20) ফা 120 িাকা 20% ুাব কযরে ঴রু , রি কুায রফরয়ভূ ুয = 120 িাকা 20 ,, ,, × × ,, িাকা Solution: 15% ুারবঃ 1200 + 1200 এয 15% (1200 ×  1200+180 = 1380 15 100 ) আফায 5% েরেরেঃ 1380 – 1380 এয 5%  1380 – 69 = 1311 িাকা । Solution: 5 িাকায় রকরন = 2রি কভুা 100 ,, ,, = × ফা 40 িাকা 40% ুাব কযরে ঴রু, 100 িাকায় কভুা রফরয় কযরে ঴রফ (100+40) ফা 140 িাকায় 140 িাকায় রফরয় কযরে ঴রফ =40রি কভুা 35 ,, ,, ,, ,, = × ফা 10 রি কভুা 52 Math Shortcut Techniques with Formulas Solution: 12 রি আভড়ায রয়ভূ ুয =20 িাকা 1 ,, ,, ,, ফা = 5 িাকা 3 1 রি আভড়া রফরয় কযরু ুাব = রফরয়ভূ ুয – রয়ভূ ুয = 2− রয়ভূ ুয 5 1 িাকায় ুাব = 3 ,, 100 ,, 3 = 1 িাকা 3 িাকা 3 × ,, 5 ফা 20 িাকা × [ ুাব ফা েরে ঳ফ঳ভয় রয়ভূ রুযয উ঩য র঴঳াফ কযা ঴য়] Solution: 3 রি আরভয রয়ভূ ুয = 1 িাকা 1 ,, ,, ,, িাকা = আফায 2 রি আরভয রফরয়ভূ ুয = 1 িাকা 1 ,, ,, ,, = 2 িাকা 1 রি আভ রফরয় কযরু ুাব = রফরয়ভূ ুয – রয়ভূ ুয = 1 2 − 1 3 = 1 6 িাকা [ ুাব ফা েরে ঳ফ঳ভয় রয়ভূ রুযয উ঩য র঴঳াফ কযা ঴য়] রয়ভূ ুয ,, 1 3 িাকায় ুাব = 100 ,, ,, 1 6 × িাকা ফা 50 িাকা 53 Math Shortcut Techniques with Formulas Solution: ধরয, 5 রি আরভয রয়ভূ ুয = x িাকা 1 ,, ,, ,, িাকা = আফায 4 রি আরভয রফরয়ভূ ুয = x িাকা 1 ,, ,, ,, িাকা = 1 রি আভ রফরয় কযরু ুাব = রফরয়ভূ ুয – রয়ভূ ুয = রয়ভূ ুয ,, 100 ,, িাকায় ুাব = ,, − = িাকা িাকা × × × ফা 25 িাকা 54 Math Shortcut Techniques with Formulas 1.9 1 Lac = 10 5 6 1 kilogram= 2.2 (lbs) pounds 1 Million = 10 = 10 lac 7 1 Seer = .93 kg 1 Crore =10 =10 million 9 1 mound = 40 seer = 37.2 kg 12 1 Billion = 10 (USA) =10 (Eu) 12 1 quintal = 100 kg 18 1 Trillion = 10 (USA) = 10 (Eu) 1 ton = 1000 kg S.I International Systems of Units 1960 ঳ারু িাুু ঴য় । CGS Centimeter . Gram .Second M.K.S Meter . Kilogram . Second F.P.S Foot .Pound .Second 12 Inch = 1 foot , 3 foot = 1 Yard , 1760 Yard = 1 mile Relationship Distance Area Volume 1 Inch = 2.54 Centimeter 1 Inchs2= 6.45 cm 1 Meter = 39.37 Inch 1 Hectare = 10000 meter2 1 Cubic meter = 1000 liters 1 mile = 1.61 kilometer 1 Katha = 720 feet2 2 1 liter = 1000 Cubic Centimeter 1 Cubic foot = 28.31 liters 1 Nautical Mile = 1.853km 1 Acre = 4047 meter2 1 gallon = 3.78 liters(us) = 4.54 liters(uk) 1 km2 = 247 Acres 1 Cubic Centimeter= 1 gram  1 m t r = 100 C ntim t r = 39.37 Inch’s = 3.28 t = 1.0936 ar s = 0.00062 mil s  1 kilogram = 1000 grams = 2.2 pounds = 35.27 Ounces = 0.157 Stone(uk)  1 meter = 10.76 feet =1550 Inchs = 10000 centimeter 2 2 2 2  1 Square kilometer = .3861 mile2 = 100 hectares = 247 acres  1 mile = 2.589 kilometers = 259 hectare = 640 acres 2 2  1 Celsius = 33.8 Fahrenheit = 274.15 kelvin 55 Want more Updates Metric relationships Length Math Shortcut Techniques with Formulas Volume Area Capacity 1cmB 1 em 1cm I I em 10mm ･ｭ ｾ＠ I mL One 1 em cube (cubic ·C entimetre) has a capacicy of 1 millilitre. 1000 mm 3 10 em 10cmB 10 em 100 mm 10 em 1000 em 3 100 em! IOOOO mm 2 I 000000 IL mm 3 One 10 em cube (1000 cm3) has a capacity of 1 li rre. 11m 1m I m3 1000000 em' Im 100 em 56 facebook /gmail/skype: - tanbir.cox Website (J):- Ikl One cuhic metre ｨ｡ｾ＠ a capacity of 1 kilo litre. These 5 drums each hold 1 kilolirre. Math Shortcut Techniques with Formulas 1.10 F S=F +S– F এখারন F F S S = তভাি ঳ংখযা ফা উ঩াদান । S = কভন ভান ফা উবয় উ঩াদারনয ভরধয ঳াধাযন ভান ⇛ 30 = 20 + 15 – F S ⇒ F S =5  ঘরড়রে 1 তথরক 12 ঩মবত দাগারিে থারক। 12 ঘ ায জনয তকারনয ঩রযভাণ = π ফা 3600 = = N ঘ ায ফযফধারনয জনয তকারনয ঩রযভাণ = n ×  ঘিায কাঁিায গরে 1 ঘরযয জনয H ঑ M এয ভধযফেবী তকাণ = |( এফং ররে রভরনরিয জনয ×রভরনি) ( অথফা H∠M = ⇛ তকাণ তকারনয ভান [উতরয (−) রিি থাকরু ো ফাদ রদরে ঴রফ] Examples: θ= − ⇒ | ×ঘিা)| এয তফরূ /উ঩রয ঴রু ো = × ⇒ ফা 5 | 5 × × ⇒ | | ঴রে রফরয়াগ কযরে ঴রফ। × × × | | = = 57 = [ 5 > ] Math Shortcut Techniques with Formulas ঳ভ঳যা ঳ভাধারনয ঩ধরে : (ক) রথরভই ঳েকবোয ঳ারথ ঳ভ঳যারি ঩মবরফেণ করয এফং ভরনারমাগ ঳঴কারয ঩রড় তকানুরুা অঞাে এফং কী রনণবয় কযরে ঴রফ ো রিরিে কযরে ঴রফ। (খ) অঞাে যারূুরুায একরিরক তমরকারনা িুক (ধরয x ) বাযা ঳ূ রিে কযরে ঴রফ। অেঃ঩য ঳ভ঳যারি বারুাবারফ অনু ধাফন করয অনযানয অঞাে যারূুরুারক঑ একই িুক x এয ভাধযরভ রকাূ কযরে ঴রফ। (গ) ঳ভ঳যারক েুর েুর অংরূ রফবত করয ফীজগারণরেক যারূ বাযা রকাূ কযরে ঴রফ। (ঘ) রদত ূেব ফযফ঴ায করয েুর েুর অংূুরুারক একরর একরি ঳ভীকযরণ রকাূ কযরে ঴রফ। (ঙ) ঳ভীকযণরি ঳ভাধান করয অঞাে যারূ x এয ভান রনণবয় কযরে ঴রফ। ফা ফ ঳ভ঳যা ঳ভাধারন রফরবি ঳ূ র ফযফ঴ায কযা ঴য়। ঳ূ রুরুা রনরি উরুখ কযা ঴রুা : তদয় ফা রা঩য, A= q × n িাকা তমখারন, q = জনররে তদয় ফা রা঩য িাকায ঩রযভাণ n = তুারকয ঳ংখযা ( করয়কজন তুাক একরি কাজ ঳পি কযরু, কারজয ঩রযভাণ, W = q x n তমখারন, q = ররেযরক একক ঳ভরয় কারজয তম অংূ ঳পি করয, n = কাজ ঳পাদনকাযীয ঳ংখযা x = কারজয তভাি ঳ভয় w = n জতন x ঳ভরয় কারজয তম অংূ ঳পি করয রনরদবট ঳ভরয় দূ যব, d = v t. তমখারন, v = ররে ঘ ায় গরেরফগ t= তভাি ঳ভয় রনরদবট ঳ভরয় তি ফাচায় ঩ারনয ঩রযভাণ, Q(t) = Q0 ± q t তমখারন, Q0= নরুয ভুখ খুরু তদ঑য়ায ঳ভয় তি ফাচায় জভা ঩ারনয ঩রযভাণ। q = ররে একক ঳ভরয় নু রদরয় তম ঩ারন ররফূ করয অথফা তফয ঴য়। t= অরেরাত ঳ভয়। Q(t) = t ঳ভরয় তি ফাচায় ঩ারনয ঩রযভাণ (঩ারন ররফূ ঴঑য়ায ূরেব ’+’ রিি এফং ঩ারন তফয ঴঑য়ায ূরেব ‘―’ রিি ফযফ঴ায কযরে ঴রফ)। P =br তমখারন, b = তভাি যারূ r = ূেকযা বনাংূ = = S% P= ূেকযা অংূ = b এয S% 58 Math Shortcut Techniques with Formulas 59 Numerical prefixes Math Shortcut Techniques with Formulas ｍ Prefix ｾ･｡ｮｩｧ＠ Ex,a mple mono l monorail hi 2 bicycle, binary trJ 3 tri eye] e, tr jangle tetra. 4 tetrahedron, tetrapack quad 4 quad ri ]ateral quads penta) qutn 5 pentagon hexa 6 hexagon hepta, septi 7 heptagon octa 8 octagon nona, non 9 nonagon deca 10 decagon decahedron undeca 1l undecagon dodeca 12 dodecagon, dodecahedron lCOSa 20 icosahedron hect 100 hectare kilo 1000 kilogram n n1ega . g•ga l 000 000 tnegalicre) megawatt l 000 ｮＱ gigabyte . . . ｾ ｕｩｯｮ＠ 60 tanbir.cox (J):- Math Shortcut Techniques with Formulas 61 Math Shortcut Techniques with Formulas 2 আ঩নায ই−ফুক ফা pdf রযডারযয Menu Bar এয View অ঩ূনরি তে রিক করয Auto /Automatically Scroll অ঩ূনরি র঳রুট কুন (অথফা ঳যা঳রয তমরে  Ctrl + Shift + H )। এফায ↑ up Arrow ফা ↓ down Arrow তে রিক করয আ঩নায ঩ড়ায ঳ু রফধা অনু ঳ারয রু পীড রিক করয রনন।  +  − ⇛ ⇛  ⇛ − − ⇛   ⇛ −−−−−(x) − −−−−−(y) − − ⇛ ⇛ − + − − = [ − − [ − (x) +(y)] (x) − y ] ⇛ 62  ⇛    ⇛  ⇛  ⇛     Math Shortcut Techniques with Formulas + + + + + = + + = + = + + + + + + + + + + = + = + − − = − + − + = + − − + + − = + − = − − + + = − − + − + + + + + + + + + + + + + + + − − = − + = + + + − + + + = + + + − + + + = − + + 63 − + + − − − − − + − − } Math Shortcut Techniques with Formulas  + যারূরিরক উৎ঩াদন রফরেলণ কযরে ঴রু , রফ যারূ q ঳ংখযারিরক এভন দু ইরি উৎ঩াদরক (a ঑ b + )রকাূ কযরে ঴রফ মায ঳ভরট ফা তমাগপু x এয ঳঴গ q (q= a+b) এয ঳ভান। এফং ুণপু রফ যারূ r (r=a×b)এয ঳ভান। + ⇛ + = 1) q>0, r>0 ঴রু 2) q<0, r>0 ঴রু + + − + + + = + + − 3) q>0, r<0 ঴রু a ঑ b এয ভরধয ফড়রি + ঑ তোিরি – ঴রফ।   +  + +    + + + = = = + + + + + = + + + + = এয ভূ ুবয় ঑ − + + = + + + + ঳ভীকযণ  + = + + + + ঴রু,⇒ ঳ভীকযরণয এয ভূ ুবয় = = + + + + + + ঴রু এয ভুুবয় ঴রফ x = -a , x = -b । + =− এফং × = ±√ 2 4 = 2 + যারূরক (x-m) যারূ বাযা বাগ কয? এখারন (x-m) তক এভন একরি যারূ বাযা ুন কযরে ঴রফ মারে ুণপরুয রথভ যারূ এফং বাজয( + + ) এয রথভ যারূয( ) ঳ভান ঴য় । এখন তম যারূ বাযা ুন কযা ঴রয়রে ত঳রি বাগপরু ফ঳রফ । এফং ুণপু বাজয এয রনরি ফর঳রয় রফরয়াগ কযরে ঴রফ। এবারফ ঩মবায়ররভ বাগ করয তমরে ঴রফ । 64 Math Shortcut Techniques with Formulas 2.1   = a× × × × … n ঳ংখযক a এয ুণপু ) √  √ = = (√ )  =  =   মরদ  মরদ =   √ =  √ = = √ √ = = =   = = ফা = = = = ঴য় ⇒ ঴য় x =y =√ =  মরদ = 65 ঴য় = Math Shortcut Techniques with Formulas 2.2 l তক “ a রবরতক ুগ n”঩ড়া ঴য়।  ুধু ধনানক ঳ংখযায ুগারযদভ আরে। ূূ নয ঑ ঋনানক ঳ংখযায ুগারযদভ তনই।  ঳াধাযণ ুগারযদরভয রবরত 10 ধযা ঴য়। l  ঴রু x = l = ঴রু ⇛x=l l l =l l = =  l =  l = ⇛l ×l ⇛l = ×l l ×l = l l = l l l √ = l  = = l = = = × l = l l  =l = তফাঝারে l l +l −l 66 =∞ তক তফাঝায়। Math Shortcut Techniques with Formulas 2.3 অঞাে যারূ ঳ভূ র঴য ভান বাযা একারধক মু গ঩ৎ র঳ধ ঴রু ,঳ভীকযণ ঳ভূ ঴রক একরর ঳঴ ঳ভীকযণ ফরু। এই ধযরণয অংক ঩যীোয় MCQ র঴঳ারফ আ঳রু , ঳াভাধারনয তেরর MCQ এয িাযরি Answer Choice এ x ঑ y এয িাযরজাড়া ভান তদ঑য়া থাকরফ। এখন ররেযক তজাড়া ভান অথবাৎ x ঑ y এয ভান ররে তদ঑য়া দু রি ঳ভীকযরণয তম তকান একরিরে(রম ঳ভীকযণরি অর঩োকৃে ঳঴জ) ফ঳ান। এফং তদখুন তকান ভারনয জনয ঳ভীকযণরি ূূ নয ঴য়। তম ভারনয জনয ঳ভীকযণরি ূূ নয ঴রফ ত঳ই ভানরি অ঩য ঳ভীকযরণ঑ ফর঳রয় তদখুন ূূ নয ঴য় রকনা , মরদ তকাণ ভারনয জনয উবয় ঳ভীকযণ ূূ নয ঴য় ো঴রু ঳রিক উতয ঴রফ ত঳রি। 67 Math Shortcut Techniques with Formulas 2.4 ররভক ঳ভাতয ধাযাঃ 1(First Term) + + + +……………………n(Last Term) এই ধাযায় ঳াধাযণ অতয (Common Difference) =Second term – first Term = 1  ঩দ঳ংখযা (Number of Terms) =  ঳ভরট (Sum of the Series) = +1 ঳াধাযণ অতয তূল ঩দ রথভ ঩দ  গড় (Avarage of the Series) = a + (a+d) + (a+2d) + তূল ঩দ রথভ ঩দ × ঩দ঳ংখযা তূল ঩দ রথভ ঩দ = + d +…………………………… n এখারন ধাযারিয , রথভ ঩দ = a ঳াধাযণ অতয d = রবেীয় ঩দ – রথভ ঩দ ঩দ ঳ংখযা = n ধাযায েভ n ঩দ (রূল ঩দ) = + n− d ⇛ n= তূল ঩দ − + n− d} ধাযায n েভ ঩রদয ঳ভরট = + + + এখারন ুরনাতয ধাযারিয, রথভ ঩দ = a ঳াধাযণ অনু ঩াে r = ঩দ ঳ংখযা = n ধাযায n েভ ঩দ = ……… … রবেীয় ঩দ রথভ ঩দ × 68 = Math Shortcut Techniques with Formulas    r >0 ফা 1 অথবাৎ অনু ঩াে r ধনানক ঩ূ নব ঳ংখযা ঴রু, ধাযায n েভ ঩রদয ঳ভরট = × = ×  r < 0 ফা 1 অথবাৎ অনু ঩াে r ঋনানক ফা বনাংূ (.1 -.9 )঳ংখযা ঴রু, ধাযায n েভ ঩রদয ঳ভরট  মখন -1<r<1 ঴রু , এফং n ∞ ঴রু = ধাযায n েভ ঩রদয ঳ভরট ধাযায তমাগপু ফা ঳ভরট = ধাযারে ঩রদয ঳ংখযা = n ধাযায n েভ ঩দ = তূল ঩দ  1+ + + +……………… n ⇛ = ⇛ = ঩দ঳ংখযা −  1+ +5+ +……………… েভ ঩দ তূল ঩দ  ⇛ + =  ⇛  ⇛ + = + = = + + + + …………… × n(n-1)(2n+1) + + − + + = + ………………… ……………………… } 69 Math Shortcut Techniques with Formulas  1, 4, 9, 16……………. ⇒ 5 1 , 9 , 25, 49, 81 ………… ⇒  9 36 81 144 …….. ⇒  81, 27, …. 3, 1 ⇒ 5 + 5 ] 5 ] রফরজাড় ঳ংখযা ] + ]  1, 2, 3, 5, 8 , 13 , 21 , 34……. ⇒ 55[ তম তকাণ ঩দ = োয ঩ুরফবয দু রি ঩রদয ঳ভরট ]  8, 11, 17, 29, 53,….. ⇒ 101 [ 8, 8+(11-8),11+(17-11), …]  1, 3, 6, 10, 15, 21,…. ⇒ 28 [ 1,(1+2),(3+3),(6+4), (10+5)]  2, 8, 18, 32,…… ⇒ 50 [ 2,(2+6),(8+6+4),(18+6+4+4), (32+6+4+4+4)]  2, 4, 8, 14, 22, 32…. ⇒44 [ 2,(2+2),(4+2+2),(8+2+2+2), (14+2+2+2+2)]  0, 5, 12, 21, 32….. ⇒ 45 [ 0,(0+5),(5+5+2),(12+5+2+2), (21+5+2+2+2)]  13, 17, 25, 41,….. ⇒ 73 [ 13,(13+2 ),(17+2 ),(25+2 ), (41+2 )] 2 3 4 5  5, 7, 11, 19,….. ⇒ 5 [ 5,(5+21)(7+2 ),(11+2 ),(19+2 )] 2  … ⇒ 2  5 5 t3:t5:t7 ⇒ 3 4 4 [ 4,(4+21)(6+2 ),(10+2 ),(18+2 )]  3, 6, 4, 9, 5, 12, 6,…. ⇒ 5  3 … ⇒ 1:t3:t5:t7 1 ⇒ 5 | 2:t4:t6:t8 ⇒ 5 +4),(t2+8)(t3+4)(t4+8)] …… ⇒ -2),(27-4),(27-6),(27-8)| t4:t6:t8 ⇒ 5+ 70 5+ 5+ Math Shortcut Techniques with Formulas 0, 9, 17, 24…35, 39, 42 ….⇒  5 1, 3, 6  5 …  …⇒ 5   ⇒ … ⇒ … 5⇒ …    … ⇒ ⇒ 5 5 5 …⇒5 15, 13, 12, 11, 9, 9.. ⇒    5     5 5  5 …⇒ 5 …⇒ ⇒ …⇒ 5 5   …⇒ …5 5 ⇒   5 5 5 5 21, 18,  ⇒ 5  …⇒ …… ⇒ …⇒ … ⇒ …⇒ …⇒ ⇒ 5 5 …⇒ 5 …⇒ … ⇒ 3, 7, 28, 32, 8, 12, 48, … ⇒5 71 Math Shortcut Techniques with Formulas 72 Math Shortcut Techniques with Formulas 3 আ঩নায ই−ফুক ফা pdf রযডারযয Menu Bar এয View অ঩ূনরি তে রিক করয Auto /Automatically Scroll অ঩ূনরি র঳রুট কুন (অথফা ঳যা঳রয তমরে  Ctrl + Shift + H )। এফায ↑ up Arrow ফা ↓ down Arrow তে রিক করয আ঩নায ঩ড়ায ঳ু রফধা অনু ঳ারয রু পীড রিক করয রনন। Straight line  ঳যুরযখা (রকান রাতরফদু তনই) Ray  যরি (একরি ভার রাতরফদু) Line Segment  তযখাংূ (দু রি রাতরফদু থারক) Similar to ঳দৃ ূ Almost Equal toরায় ঳ভান Is Equivalent to / Congruent  ঳ফব঳ভ Angle  তকান Right Angle  ঳ভরকান Measured Angle ঩রযভা঩কৃে তকান Perpendicular To  ুব Is Parallel to  ঳ভাতযাু Therefore / Hence  ঳ু েযাং Since / Because  তমর঴েু / কাযন Triangle  ররবুজ Rectangle/Square  আয়েরের ফা ফগবরের Circle ফৃ ত 73 Math Shortcut Techniques with Formulas  Eucli ’s (ইউরিড): রফখযাে রথ ‘ El m nts’ মা 13 খরে ঳ভাত, রিট঩ূ ফব 300 অরে যরিে । মায তকান রাতরফদু তনই মায একরি ভার রাতরফদু মায দু রি রাতরফদু থারক এরদয তকান ঳াধাযন রফদু তনই ফা এযা এরক অ঩যরক তেদ কযরে ঩ারয না।অথবাৎ ঳ভাতযাু তযখা কখন঑ রভরুে ঴রফ না।দু ই ফা েরোরধক ঳যুরযখা একরি ঳যুরযখায উ঩য ুব ঴রু , োযা ঩যপয ঳ভাতযাু। 74  http://facebook.com/tanbir.ebooks angle of elevation Math Shortcut Techniques with Formulas angle of depression (of an object) An angle formed between the horizontal line and the line of sight to an object above. An angle formed between the horizo ntal line a nd the line of sight to a n o bject below. +---------.---,.-------,r.,r-- ------. ho rizonta I line D object The angle of elevation is b0 • The angle of depressio n is a 0 • Angles are measured in degrees ( 0 ) , minutes (') and seconds (") . b acute angle right angle obtuse angle 0° <a< goo b = goo goo< c < 180° ､ ｾ＠ .... t I \ .. straight angle d = 180° reflex angle 180° < e < 360° Ｈ ｾ＠ ---- revolution f = 360° 75 facebook /gmail/skype: - tanbir.cox Website (J):- Math Shortcut Techniques with Formulas মরদ তকান েরু দু ইরি তকারনয একই ূীলব রফদু ঴য় এফং তকানবয় ঳াধাযন ফাুয রফ঩যীে ঩ারূ অফথান করয। ∠AOD = রফরেী঩ ∠ COD এফং ∠ AOC = রফরেী঩ ∠ BOD ∠θ = 180∘ ∠ADB = ∠ADC = ∠θ = 90∘ মরদ একই তযখায উ঩য অফরথে দু ইরি ঳রির঴ে তকান ঩যপয ঳ভান ঴য় , েরফ তকান দু ইরিয ররেযকরি ঳ভরকাণ। অথবাৎ ঳ভরকাণ ঴রে ঳যু তকারনয অরধবক । ঳ভরকারণয ফাু দু ইরি ঩যপরযয উ঩য ুব। ∠θ = ∘ 76 Math Shortcut Techniques with Formulas এক ঳ভরকাণ তথরক তোি তকানরক ।0∘ < ∠AOC < 90∘ এক ঳ভরকান তথরক ফড় রকু দু ই ঳ভরকান তথরক তোি। 90∘ < ∠AOD < 180∘ দু ই ঳ভরকান তথরক ফড় রকু িায ঳ভরকাণ তথরক তোি।180∘ < ∠AOB ∠ AOB = 360 − ∠X < 360∘ 77 Math Shortcut Techniques with Formulas দু ইরি তকারনয ঳ভরট এক ঳ভরকাণ ফা 90 ঴রু , একরি অ঩যরিয ঩ূ যক তকান। দু ইরি তকারনয ঳ভরট এক ঳যু তকান ফা 180 ঴রু , একরি অ঩যরিয ঳পূ যক তকান।এখারন ∠DEF ঳পূ যক তকান ঴ু ∠ACB। AB || CD ঴রু EF তেদক (Transversal) ঴রু , ∠ AGF = একাতয ∠ DHE এফং ∠DGF = একাতয ∠CHE 78 Math Shortcut Techniques with Formulas AB || CD ঴রু EF তেদক (Transversal) ঴রু , ∠ AGF =অনু ঩ ∠ CHF এফং ∠DGF = একাতয ∠DHF 3.1 রেনরি তযখাংূ বাযা আফধ তেররয ঳ীভারযখারক ররবুজ ফুা ঴য়। এখারন ∆ ABC একরি ররবুজ, এয ∠BAC =∠B , ∠ABC = ∠B , ∠ACB = ∠C তকান। এফং AB= c , BC = a ঑ AC = b ফাু। 79 Math Shortcut Techniques with Formulas ররবুরজয একরি ফাুরক ফরধবে কযরু তম তকান উৎ঩ি ঴য় োরক ফর঴ঃথ তকান ফরু । এখারন ∠ACD = ফর঴ঃথ তকান এফং ∠ACB = অতঃথ তকান  দু ইরি ররবুরজয ঳ফব঳ভোঃ দু ইরি ররবুজ ঳ফব঳ভ ঴রফ মরদ ⇒ একরিয দু ই ফাু মথাররভ অ঩যরিয দু ই ফাুয ঳ভান ঴য় এফং ফাু দু ইরিয অতবুবত তকাণবয় ঩যপয ঳ভান ঴য়। ⇒ একরিয রেন ফাু অররিয রেন ফাু ঳ভান ঴য়। ⇒ একরিয দু ই তকান ঑ একরি ফাু মথাররভ অ঩যরিয দু ই তকান ঑ অনু ঩ ফাুয ঳ভান ঴য়। ⇒ োযা উবয়ই ঳ভরকাণী ররবুজ ঴য় , োরদয অরেবুজবয় ঳ভান ঴য় ঑ একরি ফাু অ঩যরিয অনু ঩ ফাুয ঳ভান ঳ভান ঴য়।  ররবুরজয বূ রভয রফ঩যীে রদরকয রফদুয নাভ ূীলবরফদু।  ররবুরজয রেন তকারনয ঳ভরট দু ই ঳ভরকাণ ফা 180।  ররবুরজয রেনরি Vertex এ রেনরি ফর঴ঃথ তকারনয(Exterior angel) ঳ভরট 3600। যা রি ু জে অতথ ক ান ঳ভূ র঴য ঳ভরটয রবুন।  ররবুরজয ফৃ ঴তভ ফাুয রফ঩যীে তকান ফৃ ঴তভ। ফা ফৃ ঴তভ তকারনয রফ঩যীে ফাু঑ ফৃ ঴তভ।  ররবুরজয একরি তকান অ঩য একরি তকান অর঩ো ফৃ ঴তয ঴রু , ফৃ ঴তয তকারনয রফ঩যীে ফাু েুরেয তকারনয রফ঩যীে ফাু অর঩ো ফৃ ঴তয ঴রফ। ররবুরজয দু ইরি ফাু ঳ভান ঴রু োরদয রফ঩যীে তকাণবয় ঳ভান এফং দু ইরি তকান ঳ভান ঴রু োরদয রফ঩যীে ফাুবয় ঳ভান।  ররবুরজয তম তকান দু ই ফাুয ঳ভরট ররবুরজয েৃেীয় ফাু অর঩ো ফৃ ঴তয।  ররবুরজয তম তকান দু ই ফাুয অতয ররবুরজয েৃেীয় ফাু অর঩ো েুরেয।  তকান ঳ভরকাণী ররবুরজয অরেবুজ (঳ভরকারণয রফ঩যীে ফাু ) অনয তম তকান ফাু অর঩ো ফৃ ঴তয । 80 Math Shortcut Techniques with Formulas  ররবুরজয তমরকান ফাুরক ফরধবে কযরু উৎ঩ি ফর঴ঃথ তকান , ররবুরজয অতঃথ তকারনয রফ঩যীে তকাণবরয়য ঳ভরটয ঳ভান।  ররবুরজয ররেযক ফাুরক উবয় রদরক ফরধবে কযরু তম েয়রি ফর঴ঃথ তকান উৎ঩ি ঴য় , োরদয ঳ভরটয আি ঳ভরকান। ররবুরজয দু ই ফাুয ভধযরফদুয ঳ংরমাগ তযখাংূ ররবুরজয েৃেীয় ফাুয ঳ভাতযাু ঑ দদঘবয োয অরধবক।  তকান ররবুরজয ূীলব রফদু তথরক বূ রভয ভধযরফদুয ঳ংরমাজক ঳যু তযখারক ভধযভা ফরু।রেবুরজয রেনরি ভধযভা ঴য় । এুরুা ঳ভরফদু । এই ভধযভারয় ঩যপযরক 2:1 এ রফবত করয।  ররবুরজয ভধযভা রেনরিয ঳ভরট োয ঩রয঳ীভা(রেন ফাুয ঳ভরট) অর঩ো েুরেয।  ররবুরজয তম তকান ভধযভা ররবূ জরক ঳ভান দু রি তেরর রফবত করয ।  দু ইরি ররবুজ ঳দৃ ূ ঴রু োরদয অনু ঩ ফাুুরুায অনু ঩াে ঳ভান এফং রফররেররভ দু ইরি ররবুরজয ফাুুরুা ঳ভানু ঩ারেক ঴রু ররবুজবয় ঳দৃ ূরকানী এফং অনু ঩ ফাুয রফ঩যীে তকানুরুা ঩যপয ঳ভান।  দু ইরি ররবুরজয একরি তকান অ঩যরিয এক তকারনয ঳ভান ঑ ঳ভান ঳ভান তকান ঳ংুন ফাুুরুা ঳ভানু ঩ারেক ঴রু ররবুজবয় ঳দৃ ূ ঴রফ।  দু ইরি ঳দৃ ূ ররবুজ তেররয তেরপুবরয়য োরদয তমরকান দু ই অনু ঩ ফাুয ফরগবয অনু ঩ারেয ঳ভান।  একই বূ রভয উ঩য এফং একই ঳ভাতযাু তযখাবরয়য ভরধয অফরথে ঳কু ররবুজ তেররয তেরপু ঳ভান।  একরি ররবুজ ঑ একরি ঳াভাতরযক ফা আয়ে একই বুরভয উ঩য এফং একই ঳ভাতযাু তযখাবরয়য ভরধয অফরথে ঴রু ররবুজ তেররয তেরপু ঳াভাতরযক তের ফা অয়েরেররয তেরপরুয অরধবক।  তকান ঳ভরকাণী ররবুরজয অরেবুরজয উ঩য অরিে ফগবরেররয তেরপু অর ফাুবরয়য উ঩য অরিে ফগবরেরবরয়য তেরপরুয ঳ভরটয ঳ভান। অতঃরকর (In-Centre): ররবুরজয তকানররয়য ঳ভরবখেক ুরুায ঳ভরফদু।(মা ররবুরজয অতরুবরখে ফৃ রতয তকর) ঩রযরকর(Circumcentre): ররবুরজয ফাুররয়য ুব঳ভরবখডকরয় ঳ভরফদু। (মা ররবুরজয ঩রযরুরখে ফৃ রতয তকর) বযরকর(Centroid): ররবুরজয তকান একরি ূীলবরফদু এফং োয রফ঩যীে ফাুয ভধযরফদুয ঳ংরমাজক ঳যুরযখারক ভধযভা ফরু। ররবুরজয ভধযভারয় ঳ভরফদু। অথবাৎ বযরকর ঴ু তকান ররবুরজয রেনফাুয ঳ভরবখেক ুরুায তেদরফদু। ুবরফদু(Orthocentre) : ররবুরজয ূীলবরয় ঴রে রফ঩যীে ফাুয উ঩য অরিে ুবরয় ঳ভরফদু। 81 Math Shortcut Techniques with Formulas ∆ABC এ ∠A , ∠B ঑ ∠c < 90∘ ∆ABC এ ∠A ঑ ∠C < 90∘ এফং ∠B = থূুরকাণ(900 < θ < 82 0) Math Shortcut Techniques with Formulas ∆ABC এ ∠B = এক ঳ভরকান = 900 এফং ∠A + ∠C = 900 ∠A =θ ঴রু ∠C = 900 – θ  তকান ররবুরজয একরি তকান মরদ অ঩য দু ইরি তকারনয ঳ভান ঴য় , েরফ ররবুজরি ঳ভরকানী।  ঳ভরকাণী ররবুরজয ঳ভরকাণ রবি অনয দু ইরি তকান ঴রফ ঳ূ েরকান।  ঳ভরকাণী ররবুরজয ঳ূ েরকাণ দু রি ঩যপরযয ঩ূ যক তকান।  তকান ররবুরজয তম তকান একরি তকান ঳ভরকাণ ফা 900 ঴রু । অরেবুজ = বূ রভ + ুব ⇛ = +  তম তকান ঳ভরকাণী ররবুরজয ফাুুরুায অনু ঩াে 3:4:5 , 5:12:13 , 8:15:17 , 7:24:25 ,ফা এরদয তম তকান Multiple ফা ুনক ঴রে ঩ারয। [ = + , ⇛5 = + , ⇛ 25 = 25 এই ঳ূ রর উবয় ঩ারূয ফ঳ারনা ভান ঳ভান ঴রু , ত঳ই অনু ঩াে ুরুা ঳ভরকাণী ররবুরজয ফাুয অনু ঩াে ঴রফ । ] 83 Math Shortcut Techniques with Formulas ∆ABC এ AB ≠ BC ≠ CA ∆ABC এ AB = AC≠ BC ফা b = c এফং ∠B = ∠C  তকান ররবুরজয বূ রভয রাতরফদুবয় তথরক রফ঩যীে ফাুয উ঩য অরিে ভধযভাবয় ফা ুববয় মরদ ঳ভান ঴য় , েরফ ররবুজরি ঳ভরবফাু।  তকান ররবুরজয রূযঃরকারনয ঳ভরবখেক মরদ বূ রভয উ঩য ুব ঴য় , েরফ ররবুজরি ঳ভরবফাু। ∆ABC এ AB = BC = AC ফা a= b = c এফং ∠A = ∠B = ∠C =600   84 Math Shortcut Techniques with Formulas ররবুরজয ভধযভারয় ফা ুবরয় মরদ ঳ভান ঴য় , েরফ ররবুজরি ঳ভফাু।  ঳ভফাু ররবুরজয ভধযভাুরুা ফাুয ভধযরফদুরে উত ফাুয উ঩য ুব।  ঳ভফাু ররবুরজয ফাুুরুায ভধযরফদু তমাগ কযরু তম ররবুজরি ঩া঑য়া মায় ,ো঑ ঳ভফাু।  ঳ভফাু ররবুরজয ফাুুরুায ভধযরফদু তমাগপরুয (ভধযভা রয়) তেদ রফদু তেদ রফদু ঳ফ঳ভয় একই ঴রফ । ঑ তকারনয ঳ভরবখেক ররয়য তমাগপরুয 3.2 িাযরি ঳যুরযখা ফা ফাু বাযা ঳ীভাফধ তেররক িেুবুবজ ফরু।  িেুবুবজ িায অতঃথ তকারনয ঳ভরট 4 ঳ভরকাণ ফা 3600 । ∠A +∠B +∠C + ∠D = 3600  িেুবুবরজয কনববরয়য ঳ভরট োয ঩রয঳ীভা অর঩ো েুরেয। ঳াভাতরযরকয রফ঩যীে ফাুবয় ঩যপয ঳ভান ঑ ঳ভাতযাু ।  ঳াভাতরযরকয রফ঩যীে তকানুরুা ঩যপয ঳ভান।  ঳াভাতরযরকয তম তকান দু ইরি ররভক ফা ঳রির঴ে তকান ঩যপরযয ঳পূ যক ।  ঳াভাতরযরকয কনববয় অ঳ভান । এযা ঩যপযরক ঳ভরবখরডে করয। 85 Math Shortcut Techniques with Formulas  অয়েরেররয রফ঩যীে ফাুবয় ঩যপয ঳ভান ঑ ঳ভাতযাু ।  অয়েরেররয তকানুরুা ঩যপয ঳ভান।এফং ররেযকরি তকান ঳ভরকাণ ।  অয়েরেররয কনববয় ঳ভান । এযা ঩যপযরক ঳ভরবখরডে করয।  ফগবরেররয ররেযক ফা ঳কু ফাু ঩যপয ঳ভান ঑ ঳ভাতযাু ।  ফগবরেররয তকানুরুা ঩যপয ঳ভান।এফং ররেযকরি তকান ঳ভরকাণ ।  ফগবরেররয কনববয় ঳ভান । এযা ঩যপযরক ঳ভরবখরডে করয।     যবর঳য ররেযক ফা ঳কু ফাু ঩যপয ঳ভান ঑ ঳ভাতযাু ।  যবর঳য রফ঩যীে তকানুরুা ঩যপয ঳ভান।রকু একরি তকান঑ ঳ভরকাণ নয়।  যবর঳য কনববয় অ঳ভান । এযা ঩যপযরক ঳ভরবখরডে করয। 86 Math Shortcut Techniques with Formulas  রার঩রজয়ারভয তকফুভার দু ইরি ফাু ঳ভাতযাু , রকু ঳ভাতযাু ফাুবয় ঳ভান নয় । ঳ু লভ ফুবুরজয ফাুয ঳ংখযা n ঴রু ঳ু লভ ফুবুরজয অতঃ তকানুরুায (Interior Angles) ঳ভরট n θ = ( 2n − 4) ×900 = n −  ঳ু লভ ফুবুরজয ররেযকরি অতঃ তকারনয ঩রযভাণ θ =  ঳ু লভ ফুবুরজয ফর঴ঃথ তকান ুরুায ঳ভরট, nθ = × 180 )0 0  ঳ু লভ ফুবুরজয ররেযকরি ফর঴ঃথ তকারনয ঩রযভাণ = ( )0 Area of Hexagon 2 A = 2.6 s [where s is the length of one side] Area of Octagon A = 4.83s 2 [where s is the length of one side] 87 × 0 Math Shortcut Techniques with Formulas 3.3 তকান ঳ভেরু একরি রফদুরক তকর করয ঳ভান দু যব ফজায় তযরখ অ঩য একরি রফদু োয িাযরদরক একফায ঘুরয এরু তম অফধ তগাুীয় তযখা ঳ৃ রট ঴য় োরক ফৃ ত ফরু । অথবাৎ তকান রনরদবট রফদু তথরক ঳ভদু যরব আফরেবে তগাুাকায অফধ ঳ভেুীয় তেররক ফৃ ত ফরু।  একই ঳যু তযখায় অফরথে নয় এভন রেনরি রফদুয ভরধয রদরয় তকফু একরি ফৃ ত আঁকা মারফ।  একই ঳যুরযখায় অফরথে এভন রেনরি রফদুয ভধয রদরয় তকান ফৃ ত আঁকা মারফ না।  দু ইরি রনরদবট রফদু রদরয় রেনরি ফৃ ত আঁকা মায়।  ফৃ রতয ঩রযরধথ তম তকান দু ই রফদুয ঳ংরমাজক ঳যুরযখারক জযা ফরু।  ফৃ রতয তকর তেদকাযী ফা ফৃ রত তকর রদরয় অরেরভ করয ফা গভন করয এ ঩ জযা ফা তযখারক ফযা঳ ফরু।ফৃ রতয ফযা঳ই ফৃ ঴তভ জযা।  ফৃ রতয দু রি জযা ঩যপযরক ঳ভরবখরডে কযরু তেদরফদুরি ঴রফ ফৃ রতয তকর।  তকান ফৃ রতয রেনরি ঳ভান ঳ভান জযা একই রফদুরে তেদ কযরু ঐ রফদুরি ফৃ রতয তকরর অফরথে ঴রফ।  তকান ফৃ রতয দু ইরি ঳ভান ঳ভান জযা একরি রফদুরে তেদ কযরু ঐ রফদুরি ররেযক জযা তক দু রি অংরূ রফবত করয , এই জযা দু রিয ফৃ ঴তভ খরডোংূ ঩যপয ঳ভান ঴রফ । একইবারফ েুরেভ খরডেংূ ঑ ঳ভান ঴রফ।  ফৃ রতয তম তকান জযা এয ুবরবখডক তকরগাভী।  ফৃ রতয ফযা঳ রবি তকান জযা এয ভধযরফদু ঑ তকররয ঳ংরমাজক তযখাংূ ঐ জযা এয উ঩য ুব।  ফৃ রতয তকর ঴রে তকান জযা এয উ঩য অরিে ুব ঐ জযারক ঳ভরবখরডে করয।  ফৃ রতয তকর তথরক ঳ভদূ যফেবী ঳কু জযা ঩যপয ঳ভান।  ফৃ রতয ঳ভান ঳ভান জযা তকর তথরক ঳ভদূ যফেবী ।  ফৃ রতয দু রি জযা এয ভরধয তকররয রনকিেয জযা-রি অ঩য জযা অর঩ো ফৃ ঴তয। 88 Math Shortcut Techniques with Formulas িা঩ ফা ফৃ তিা঩(Arc): ঩রযরধয তম তকান অংূরফরূলরক িা঩ ফা ফৃ তিা঩ ফরু।এখারন ̂ ঑ ̂ দু রি িা঩। ফৃ তিার঩য ফৃ ঴তভ অংূরক ফুা ঴য় অরধিা঩। এফং ফৃ তিার঩য েুরেভ অংূরক ফুা ঴য় উ঩িা঩। তকরথ তকান (Central Angles): ফৃ রতয দু ইরি ফযা঳াধব কেৃক ফৃ রতয তকরর ঳ৃ ট তকানরক তকরথ তকান ফরু।অথফা ফৃ রতয ঩রযরধয উ঩য দু ইরি রবি রবি রফদু তথরক তকররয ঳ারথ ঳ংরমাজক তযখা বাযা তম তকান উৎ঩ি ঴য়। ফৃ রতয দু রি জযা এয দু ই রাত ঩রযরধয উ঩য দু ইরি রবি রফদুরে এফং অর রাত একরি রনরদবট রফদুরে রভরুে ঴রু ঩রযরধয উ঩রয তম তকান উৎ঩ি ঴য়, োরক ঩রযরধথ ফা ফৃ তথ তকান ফরু। ফৃ রতয তকান িা঩ বায উৎ঩ি তকরথ তকান ঐ ফৃ তিার঩য ঳ভানু ঩ারেক। তম তকান দু ইরি ফৃ রতয ব- ব ঩রযরধ ঑ ফযার঳য অনু ঩াে ঳ভান। তমরকারনা দু ইরি ঩রযরধয দদঘবয ঑ ফযর঳য দদরঘবযয অনু ঩াে একই।  অধবফৃতথ তকান এক ঳ভরকান।অথবাৎ অরধবক ফৃ তিার঩য উ঩য অফরথে ররেরি ফৃ তথ তকান এক ঳ভরকান।  তকান ফৃ রতয অরধিার঩(ফৃ তিার঩য ফৃ ঴তভ অংূ) অতরুরখে তকান ফা ফৃ তথ তকান  ঳ূ েরকান ঴রফ ।  তকান ফৃ রতয উ঩িার঩(ফৃ তিার঩য েুরেভ অংূ) অতরুরখে তকান ফা ফৃ তথ তকান  থূুরকান ঴রফ ।  ফৃ রতয একই িার঩য উ঩য দোয়ভান ফৃ তথ তকানুরুা ঩যপয ঳ভান।  ফৃ রতয একই িার঩য উ঩য দোয়ভান ফৃ তথ তকান তকরথ তকারনয অরধবক। 1 ঩রযরধথ ফা ফৃ তথ তকান = × তকরথ তকান 89 Math Shortcut Techniques with Formulas ⇛ তকরথ তকান = 2 × ঩রযরধথ ফা ফৃ তথ তকান তকান ঳যুরযখায ফৃ রতয ঩রযরধয উ঩য পূব করয মা঑য়ায ঳ভয় ঩রযরধয তম রফদুরে তেদ করয , ত঳ই রফদু রদরয় গভনকাযী তযখারিরক ঐ ফৃ তরিয একরি পূবক ফুা ঴য়। ফৃ রতয তকান রফদুরে একরি পূবক আঁকা মায়।  একরি ফৃ ত ঑ একরি ঳যুরযখায ঳ফবারধক দু রি তেদরফদু থাকরে ঩ারয।  ফৃ রতয পূব রফদুরে পূবরকয উ঩য অংরকে ুব তকরগাভী।  ফৃ রতয তম তকান রফদুরে অরিে পূবক পূবরফদুগাভী ফযা঳ারধবয উ঩য ুব। অথবাৎ ফৃ রতয তকর ঑ পূবক রফদুয ঳ংরমাগ তযখা পূবক তযখায উ঩য ুব ঴য়।  দু ইরি ফৃ ত ঩যপয পূব কযরু , োরদয তকরবয় ঑ পূব রফদু ঳ভরযখা ঴রফ।  দু ইরি ফৃ ত ঩যপযরক ফর঴ঃথবারফ পূব কযরু ,োরদয তকরবরয়য দূ যব ফৃ তবরয়য ফযা঳ারধবয ঳ভরটয ঳ভান ।  ফৃ রতয ফর঴ঃথ তকান রফদু তথরক ফৃ রতয ুধু ভার দু রি পূবক িানা মায়, এফং ঐ রফদু তথরক পূব রফদুবরয়য দূ যব ঳ভান ঴য়।  দু ইরি ফৃ ত ঩যপযরক অতঃথবারফ পূব কযরু ,োরদয তকরবরয়য দূ যব ফৃ তবরয়য ফযা঳ারধবয অতরযয ফা রফরয়াগপরুয ঳ভান । দু ইরি ঩যপয তেদী ফৃ রত দু ইরি ঳াধাযণ পূবক আঁকা মায়।  ফৃ রত অতরুবরখে ঳াভাতরযক একরি আয়েরের ।  ফৃ রত অতরুবরখে িেুবুবরজয তম তকান দু ইরি রফ঩যীে তকারনয ঳ভরট দু ই ঳ভরকাণ। ফৃ তথ রার঩রজয়ারভয রেমবক ফাুবয় ঩যপয ঳ভান । 90 Math Shortcut Techniques with Formulas 3.4 তকান আয়েরেররয দদঘব = a একক ঑ রথ = b একক ঴রু,  আয়েরেররয তেররপু A = দদঘব × রথ =  আয়েরেররয ঩রয঳ীভা  আয়েরেররয কণব d = a × b ফগব একক S = 2 × (দদঘব + রথ) = 2(a + b) একক √ তকান ফগবরেররয দদঘব = রথ = + একক a একক  ফগবরেররয তেররপু A = দদঘব × দদঘব = a × a ফগব একক =  ফগবরেররয তেররপু A= × করনবয  ফগবরেররয ঩রয঳ীভা  ফগবরেররয কণব = × ফগব একক [ S = 2(a + a) একক = 4 a একক d=√ + একক = √ × a একক 91 ফগব একক = = × তেরপু ] Math Shortcut Techniques with Formulas  ঳ভাতরযকরেররয বূ রভ =a ঑ উচো h তদ঑য়া থাকরুঃ = বূ রভ × উচো = a × h ফগব একক ⇛঳াভাতরযকরেররয তেরপু  ঳ভাতরযকরেররয দু ইরি ঳রির঴ে ফাু a , b একক ঑ োরদয অতবুবত তকান θ তদ঑য়া থাকরুঃ ⇛঳াভাতরযকরেররয তেরপু =a×b× n ফগব একক  ঳াভাতরযকরেররয একরি করনবয দদঘবয d এফং রফ঩যীে রূলবরফদু তথরক করণবয উ঩য ুব দূ যব X তদ঑য়া থাকরুঃ ⇛঳াভাতরযকরেররয তেরপু= করনবয দদঘবয(AC) × রূলবরফদু ঑ করণবয ুব দূ যব(CG) = d× X ফগব একক  ঳াভাতরযকরেররয কনববয় d1 ঑ d2 ঴রু, এফং উ঴ারদয ভধযফেবী তকান θ ঴রুঃ ⇛঳াভাতরযকরেররয তেরপু = × × ×  ঳ভাতরযকরেররয দু ইরি ঳রির঴ে ফাু a , b একক ঑ োরদয তম তকান একরি কণব d তদ঑য়া থাকরুঃ এই কণব ঳াভাতরযকরেররক দু ইরি ঳ভান ররবুজ তেরর রফবত করয। ⇛঳াভাতরযকরেররয তেরপু = 2 × ররবুজ তেরপু(মা বূ রভ , রথ ঑ কণব বাযা গরিে) ফগব একক [ এখারন এই ররবুরজয রেন ফাুয ভান তদ঑য়া আরে , োই এই ঳াভাতরযকরেররয কনব বাযা গরিে ররবুজ তেররয তেররপু = √ − − − ⇒ S = অধব঩রয঳ীভা= ½ × ররবুরজয ঩রয঳ীভা ]  ঳াভাতরযকরেররয ঩রয঳ীভা = 2 × (দদঘব + রথ) একক  ঳াভাতরযকরেররয একরি কণব BD = d1 তদ঑য়া থাকরুঃ ⇛঳াভাতরযকরেররয অ঩য কণব AC(d2) = √ + =√ + [DE এয ভানঃ ⇛ ½ × AB × DE = ররবুজ তেররয তেররপু √ [BF এয ভানঃ ⇛ BF = √ − ফা ] 92 − + [ উচো CF =DE] − − ] Math Shortcut Techniques with Formulas তকান যবর঳য দদঘব = রথ =  যবর঳য তেররপু a একক এফং একরি কণব AC= d1 ঑ অ঩য কণব BD= d2 ঴রুঃ A = ( × কণববরয়য ুণপু ) ফগব একক =  ফগবরেররয ঩রয঳ীভা S = 4 × ফাুয দদঘবয × ফগব একক রার঩রজয়াভরেররয ঳ভাতযাু দু রি ফাু AB =a ঑ DC = b এফং োরদয ভধযফেবী ুব দূ যব ফা উচো CE = h তদ঑য়া থাকরুঃ ⇛ রার঩রজয়াভরেররয তেরপু = রার঩রজয়াভরেররয তেরপু = × ঳ভাতযাু ফাুবরয়য তমাগপু × ফাুবরয়য ভধযফেবী ুব দূ যব ফা উচো × (AB + CD ) × CE =  রার঩রজয়াভরেররয ঩রয঳ীভা = রার঩রজয়ারভয িায ফাুয তমাগপু 93 ×(a +b) ×h ফগব একক Math Shortcut Techniques with Formulas ররবুরজয বূ রভ BC= a ঑ উচো AD = h তদ঑য়া থাকরুঃ ⇛ ররবূ জেররয তেরপু = × বূ রভ(BC) × উচো(AD) = × a × h ফগব একক  ররবুরজ একরি তকান এক ঳ভরকাণ ঴রু, ররবুরজয ঳ভরকাণ ঳ংুন ফাুয দু রিয একরিরক বূ রভ ঑ অ঩যরিরক ুব ফা উচো ধযা ঴রুঃ ⇛ ঳ভরকাণী ররবূ জেররয তেরপু = × ঳ভরকাণ ঳ংুন ফাুবরয়য ুণপু =  ররবুরজয তম তকান দু রি ফাু ঑ োরদয অতবুবত তকান তদ঑য়া থাকরুঃ ⇛ ররবূ জেররয তেরপু = n∠ = ab bc n∠ = × বূ রভ(a) × ুব(b) ca  রফলভফাু ররবুজ ∆ABC এয রেনরি ফাু BC=a , AB =c ঑ AC=b তদ঑য়া থাকরুঃ ররবুরজয ঩রয঳ীভা(2S) = রেন ফাুয দদরঘবযয তমাগপু = a+b+c ররবুরজয অধব঩রয঳ীভা S= ঩রয঳ীভা ⇛ ররবুজ তেররয তেররপু = n∠ = − √ − −  দু রি ফাু / ফাু ঳ংুন তকানুরুা / দু রি ভধযভা ⇒ ঳ভান ঴রু ররবুরি ঳ভরবফাু ররবুজ। এই ঳ভরবফাু ররবুরজয অ঳ভান ফাু = b ঑ ঳ভান ঳ভান দু রি ফাু উবয়ই = a ঴রুঃ ⇛ ঳ভরবফাু ররবুজরেররয তেরপু = ×√  রেনরি ফাু / রেনরি তকান(ররেযকরি তকান= ∘ এই ঳ভফাু ররবুরজয ররেযক ফাুয দদঘবয = a ঴রুঃ ⇛ ঳ভফাু ররবুজরেররয তেরপু = √ ⇛঳ভফাু ররবুরজয ঩রয঳ীভাঃ = 3 × a × − ) / ভাধযভারয় ⇒ ঩যপয ঳ভান ঴রু ররবুজরি ঳ভফাু ররবুজ। ফগব একক 94 Math Shortcut Techniques with Formulas ⇛঳ভফাু ররবুরজয উচো ফা ভধযভায দদঘয = √ × ফাুয দদঘয = √ ×  ররবুজ ∆ABC এয রেনরি ভধযভা ফা ভধযভারয় l , m ঑ n তদ঑য়া থাকরুঃ ⇛ ররবুজ তেররয তেররপু = × √ ⇛ ররবুজ তেররয তেররপু A = × − − [ফাুয দদঘয = ] S = −  অতফৃ রত অফরথে ররবুজ ∆ABC এয রেনরি ফাু a , b ঑ c ঴রু ;এফং অতফৃ রতয ফৃ রতয ফযা঳াধব =R ঴রুঃ + + ×  ঩রযফৃ রত অফরথে ররবুজ ∆ABC এয রেনরি ফাু a , b ঑ c ঴রু ;এফং ঩রযফৃ রতয ফৃ রতয ফযা঳াধব =R ঴রুঃ ⇛ ররবুজ তেররয তেররপু A = তকান ঳ভেরু একরি রফদুরক তকর করয ঳ভান দু যব ফজায় তযরখ অ঩য একরি রফদু োয িাযরদরক একফায ঘুরয এরু তম অফধ তগাুীয় তযখা ঳ৃ রট ঴য় োরক ফৃ ত ফরু ।  ফৃ রতয ঩রযরধ ঑ ফযার঳য অনু ঩াে ঳ফবদা একই অথবাৎ একরি ুফ ঳ংখযা , মারক π বাযা রিরিে কযা ঴য়। π একরি অভূ ুদ ঳ংখযা। এয ভান π = আফায π তযরড়য়ান = ∘ = তযরড়য়ান ∘ =3.1416(রায়)। রডরী।  ফৃ রতয ঩ূ নব ফররযখায দদঘবযরক ঩রযরধ ফরু। ঩রযরধয তম তকান অংূরক ফৃ রতয িা঩ (S) ফরু। ফৃ রতয ঩রযরধয তম তকান দু ই রফদু ঑ তকররয ঳ংরমাজক ঳যু তযখারক ফযা঳(d) ফরু। 95 ফৃ রতয তকর তথরক ঩রযরধ ঩মবত দূ যবরক ফৃ রতয ফযা঳াধব (r) ফরু। ⇛ ফৃ রতয ফযা঳ = 2 × ফযা঳াধব = 2r π= Math Shortcut Techniques with Formulas ঩রযরধ ফযা঳ ⇛ ফৃ রতয ঩রযরধ = π × ফযা঳ = π × 2 r = 2 π r  r ফযা঳াধব রফরূট তকান ফৃ রতয তকান িা঩ S মরদ ফৃ রতয তকরর θ∘ তকান উৎ঩ি করযঃ ⇛ ফৃ রতয ,, ∘ ∘ θ ∘ তকান জনয িার঩য দদঘবয = ,, ,, ,, ,, = θ তকারনয জনয িার঩য দদঘবয S = ∘ 2 π r একক ∘ × = ∘ একক × π একক  r ফযা঳ারধবয তকান ফৃ রত S দদরঘবযয তকান িা঩ তকরর θ তযরডয়ান তকান ধাযন কযরু, S=r×θ[ ∘ = তযরড়য়ান ফা π এয তযরড়য়ান ভান ∘ ]  তকান ফৃ রতয ফয঳াধব = r একক ,঴রুঃ ো বাযা ঳ীভাফধ ফৃ তরেররয তেরপু =π r ফযা঳ারধবয তকান ফৃ রত S দদরঘবযয তকান িা঩ তকরর θ∘ তকান ধাযন কযরু, ∘ θ তকান বাযা উৎ঩ি ফৃ তকুায তেরপু = ∘ ∘ ×π 96 ফগব একক ফগব একক Math Shortcut Techniques with Formulas তকান উ঩ফৃ রতয ফড় ফয঳াধব OA= r1 ঑ তোি ফয঳াধব OB = r2 ঴রু , উ঩ফৃ রতয তেরপু = π × ফড় ফয঳াধব × তোি ফয঳াধব = π × r1 × r2 ফগব তের উ঩ফৃ রতয ঩রয঳ীভা = 2 π × √ একক 97 Math Shortcut Techniques with Formulas 3.5 এখারন দদঘবয =a , রথ =b ঑ উচো = c। এ ং নন দৈঘনয =d ঴রুঃ আয়োকায ঘনফুয ঳ভরেরুয তেরপু(Area of the Whole Surface)= েয়রি ঩ৃ রেয তেরপরুয ঳ভরট ⇛ ঳ভরেরুয তেরপু = 2 (ab +bc +ca) ফগব একক  আয়োকায ঘনফুয আয়েন (Volume) = দদঘবয × রথ × উচো = a b c ঘন একক  আয়োকায ঘনফুরিয কনব, d = √ + + একক দদঘবয = রথ = উচো = a ঑ কনব =d ঴রুঃ  ঘনরকয ঳ভরেরুয তেরপু(Area of the Whole Surface)= েয়রি ঩ৃ রেয তেরপরুয ঳ভরট ⇛ ঳ভরেরুয তেরপু = 6 × ফগব একক  ঘনরকয আয়েন(Volume) = দদঘবয =  ঘনরকয কনব, d = √ ঘন একক × a একক 98 Math Shortcut Techniques with Formulas ঳ভফৃ তবুরভক (Right Circular) তকান তকাণরকয বূ রভয ফযা঳াধব BC = r একক , উচো AB= h একক এফং রেমবক উচো ফা ত঴ুান উিরে AC = l একক । l =√ + [ ∆ এ =  তকাণরকয ফরেরুয তেরপু = + ] × বূ রভয ঩রযরধ(2πr) × ত঴ুান উিরে(l) ⇛ তকাণরকয ফরেরুয তেরপু = πrl ফগব একক = πr√ + ফগব একক  তকাণরকয ঳ভর েরুয (Whole Surface) তেরপু = ফরেরুয তেরপু(π l) + বূ রভয তেরপু π ⇛ তকাণরকয ঳ভরেরুয তেরপু = π r (l +r) ফগব একক  তকাণরকয আয়েন(Volume): = ⇛ তকাণরকয আয়েন = π × বূ রভয তেরপু π h ঘন একক 99 ) × উচো (h) ) Math Shortcut Techniques with Formulas ঳ভফৃ তবূ রভক(Right Circular) র঳রুডারযয বূ রভয ফযা঳াধব OB =r একক এফং উচো OC =h একক  তফুরনয ফর঩ৃরেয তেরপু = বূ রভয ঩রযরধ (2πr) × উচো (h) ⇛ তফুরনয ফর঩ৃরেয তেরপু = π h ফগব একক তফুরনয ঳ভর঩ৃরেয তেরপু = ফর঩ৃরেয তেরপু (2πrh) + দু ই ররতয ফৃ রতয তেরপু (2×π ⇛ তফুরনয ঳ভর঩ৃরেয (Whole Surface) তেরপু = 2πr(h+r) ফগব একক  তফুরনয আয়েন = বূ রভয তেরপু (π ) × উচো(h) = π 100 h ঘন একক ) Math Shortcut Techniques with Formulas তকান তগাুরকয ফযা঳াধব = r একক  তগাুরকয ঩ৃরেয তেরপু = π × ফযা঳  তগাুরকয আয়েন = π ঘন একক = π ফগব একক 101 Math Shortcut Techniques with Formulas 3.6  ঳ভরকাণী ররবুরজয ঳ভরকাণ রবি অনয দু ইরি তকাণ ঴রফ ঳ূ েরকান । এই তকাণ দু ইরিয ঳ভরট এক ঳ভরকাণ [∠MOP θ + ∠OPM -θ = 0 ∠PMO] । এই তকাণ বয় ঩যপরযয ঩ূ যক তকাণ।  ঳ভরকাণী ররবুরজয ঳ূ েরকান বরয়য ভরধয তম তকারনয ভান তদ঑য়া থাকরফ োয রফ঩যীে ফাুরক ুব ধরয র঴঳াফ কযরে ঴রফ।  ঳ভরকাণী ররবুরজয তেররঃ (আরেবূ জ) = ুব + (বূ রভ)  তকান ররবূ রজয ফাুুরুায অনু ঩াে (3:4:5), (5:12:13), (7:24:25) ঑ (8:15:17) ঴রু ররবুজরি একরি ঳ভরকাণী ররবুজ ঴রফ। কাযন( 5 = + ) উবয় ঩রেয ভান ঳ভান ঴য়। ∠θ ঳ূ েরকারণয রররকাণরভরেক অনু ঩ােঃ    n = = = ুব অরেবূ জ বূ রভ অরেবূ জ ুব বূ রভ [঳া ু অরে] [ক বূ অরে] [রি ু বূ ] ⇛ ⇛ ⇛ = = 102 = অরেবূ জ ুব অরেবূ জ বূ রভ বূ রভ ুব Math Shortcut Techniques with Formulas   n     ⇛ ⇛  ⇛ ⇛  ⇛ ⇛ n n n n ⇛ = ⇛ = ⇛ = ⇛ = n + = − = = = = − n − = = + = − = = = = − − + = 103 Math Shortcut Techniques with Formulas তকাণ ∠θ sin 0 cos 1 ) tan( 0 cot( ) ∞ sec( ) 1 Cosec ( ∞ ) √ √ √ √ 2 √ √ 1 0 √ ∞ √ 1 1 0 √ √ ∞ 2 √ 1 √ 0, 1, 2, 3, 4, ঳ংখযা ুরুায ররেযকরক 4 বাযা বাগ করয বাগপুুরুা ফগবভূু কযরু তকানুরুায n এয অনু ঩ারেয ভান ঩া঑য়া মায়। অথবাৎ n ঳ংখযা ুরুায ফগবভূু 0, ুরুায ভান মথাররভ n √ √ n 5 1। , n , , n , অনু ঩াে আফায sin এয অনু ঩ােুরুায ভান উটাররভ ঳ারজরয় রুখরু cos এয অনু ঩ােুরুায ভান ঩া঑য়া মায়। sin অনু ঩াে ভান ুরুারক ঑ cos এয অনু ঩াে ভান বাযা বাগ কযরু tan এয অনু ঩াে ভান ঩া঑য়া মায়। − −   n θ঑ nθ ঑ + + θ এয ভান অথফা -1 θ এয ভারনয তকান ঳ীভা রনধবাযন কযা মায় না । 104 Math Shortcut Techniques with Formulas ফা ⇛ sin / cos / tan {n × ফা {n × )± θ} তকারনয অনু ঩ারেয ভানঃ ± θ} তকারনয রররকাণরভরেক অনু ঩ােঃ  রদত তকাণরক এ ঩ দু ইরি অংরূ বাগ কযরে ঴রফ মায একরি অংূ ঳ূ েরকান (θ< অ঩য অংূ ফা ফা এক ঳ভরকারণয n ুরণেক ।ধরয রদত তকাণরক ( n × [ n (রজাড় ঳ংখযা ) × ± θ ) আকারয রকাূ কযা ঴ু। ± θ] অথবাৎ n এয ভান তজাড় ঳ংখযা ঴রুঃ রররকাণরভরেক অনু ঩াে ুরুায ঩রযফেবন ঴রফ না ।  [ n ( রফরজাড় ঳ংখযা ) × ঩রযফেবন ঴রফ । তমভনঃ ), এফং ± θ] অথবাৎ n এয ভান রফরজাড় ঳ংখযা ঴রুঃ রররকাণরভরেক অনু ঩াে ুরুায ⇛ Sin থাকরু ো ঩রযফরেবে ঴রয় cos ঴রফ , আফায ⇛ cos থাকরু sin ঴রফ ⇛ tan থাকরু ো ঩রযফরেবে ঴রয় cot ঴রফ , আফায ⇛ cot থাকরু tan ঴রফ ⇛ sec থাকরু ো ঩রযফরেবে ঴রয় cosec ঴রফ , আফায ⇛ cosec থাকরু sec ঴রফ  ঩রযফরেবে অনু ঩ারেয রিি রননবয়ঃ রথরভ n এয এক একরকয জনয একরি িেুববাগ র঴঳াফ করয , এরি িক ফা ঘরড়য কাঁিায রফ঩যীে রদরক গননা করয তমরে ঴রফ। এবারফ n এয ভান অনু ঳ারয িেুববাগ র঴঳াফ কযায ঩য , ± θ এয ভান র঴঳াফ কযরে ঴রফ। মরদ +θ থারক ো঴রু n এয রাত িেুববারগয ঩যফেবী িেুববাগ র঴঳াফ কযরে ঴রফ। মরদ − θ থারক ো঴রু n এয রাত িেুববাগই র঴঳াফ কযরে ঴রফ। এখন n এয গণনা তথরক রাত িেুববাগ মরদ , রথভ িেুববাগ ঴য় ⇒ ো঴রু ঳কু অনু ঩ারেয ভান ধনানক ঴রফ। রবেীয় িেুববাগ ঴য় ⇒ ো঴রু sin ঑ cosec অনু ঩ারেয ভান ধনানক ঴রফ। ফারক ঳ফ অনু ঩ারেয ভান ঋনানক। েৃেীয় িেুববাগ ঴য় ⇒ ো঴রু tan ঑ cot অনু ঩ারেয ভান ধনানক ঴রফ। ফারক ঳ফ অনু ঩ারেয ভান ঋনানক। রবেীয় িেুববাগ ঴য় ⇒ ো঴রু cos ঑ sec অনু ঩ারেয ভান ধনানক ঴রফ। ফারক ঳ফ অনু ঩ারেয ভান ঋনানক।  এখন রাত তকারনয ভান মরদ ঋনানক ঴য় ো঴রু রনরিয রনয়ভ আনু ঳ারয ঩রযফরেবে ঴রফঃ − − =− n =− − − = = − − =− n =− 105 Math Shortcut Techniques with Formulas Pll an·e shapes ｄ ｾ ｩ｡ｧｲｭ＠ Area drcle A = 1tr1 Perimeter C = 21tr = red square a L :rectangle a h A =.ab P = 2 (n A;::; .ah P - 2 (o +b) b) b kite trapcz.1u m parallelogram :rhombus a ·u iangle ａ］ｾ｢ｨ＠ 106 tanbir.cox Website (J):- "1 2 Math Shortcut Techniques with Formulas Solids Diagram / Volume Surface area V = a3 S =6a2 V = lwh S = 2(1 w + hi + hw) / a cube / / / cuboid / a a / h /w l 1 pyramid V =-base x 3· @h cylinder cone V = 1trJ.h V =- .- 1 3· S = area of base + 4 x Area of 6 S = 2 x 1tr 2 + 21trh = 21tr (r + h) 1tr2 h !./ \ ( sphere Pythagoras theorem a ｾ＠ 4 3· V = -1tr3 r/ / ) r? = a2 + fJ a =Vcl +lr b =v c? -Jr C=V cl+ lr b 107 facebook /gmail/skype: - tanbir.cox Website (J):- S = 41tr2