FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I GRADIENTE

FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I CONTENIDO • Campos escalares y vectoriales • Gradiente y rotacional • Campos conservativos. Potencial • Trabajo realizado por una fuerza conservativa • Fuerzas no conservativas: Fuerza de rozamiento • Trabajo realizado por una fuerza no conservativa B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 1/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I BIBLIOGRAFÍA ALONSO-FINN, “FISICA”, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana, 1995. Apéndice A: Vectores - A.2 Escalares y vectores - A.9 Gradiente de una función escalar - A.10 Integral de línea de un vector: circulación Aplicaciones de las leyes del movimiento: - Fuerzas de fricción: 7.5 - Trabajo y energía: 9.7, 9.8, 9.9, 9.10 y 9.12 SEARS, ZEMANSKY, YOUNG, FREEDMAN. FÍSICA UNIVERSITARIA Pearson-Addison Wesley, 1998 Fuerzas conservativas y no conservativas : 7-1 al 7-5 Fuerzas de Rozamiento: 5-4 Trabajo y Energía: 6-4 TIPLER, PA. FÍSICA PARA LA CIENCIA Y LA TECNOLOGÍA Ed Reverté 2005 Fuerzas de Rozamiento: 5.1, 5.2, 7.2 Trabajo y Energía, Fuerzas conservativas y no conservativas: Capítulo 6 SCHAUM, M. R. SPIEGEL, “ANALISIS VECTORIAL”, Ed. Mc Graw-Hill 1991. Capítulos de Operadores Diferenciales e Integración SNIDER, “ANALISIS VECTORIAL”, 6ª ed., Ed. Mc Graw-Hill 1992. Pág. 109-116, 129-136, 138-143 B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 2/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I CAMPOS escalares y vectoriales Magnitud escalar: aquella definida simplemente por su módulo. Ejemplo: temperatura, presión, energía, etc Magnitud vectorial: aquella que para su definición necesita de además del módulo, su dirección y sentido Ejemplo: fuerza, velocidad, momento de una fuerza, etc CAMPO Físicamente representa la distribución espacial de una magnitud •Campo escalar •Campo vectorial Matemáticamente: un campo escalar es una función escalar de las coordenadas y del tiempo, que determina el valor de una magnitud escalar en cada punto del espacio, para cada instante de tiempo T = T(x,y,z,t) Un campo vectorial es una función vectorial de las coordenadas y del tiempo, que determina el valor de una magnitud vectorial en cada punto del espacio, para cada instante de tiempo v x  v x ( x, y, z, t) v  v( x, y, z, t ) v y  v y ( x, y, z, t) v z  v z (x, y, z, t ) B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 3/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I CAMPOS ESCALARES: representación Se representan mediante el valor de la función o mediante las SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES: lugar geométrico de los puntos que cumplen que la función es constante. Se construyen uniendo los puntos en donde la función tiene el mismo valor. 24ºC 18ºC 24ºC Ejemplo: isotermas 20ºC 26ºC 22ºC 28ºC T3 T2 T1 T 1> T 2> T 3 B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 4/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I GRADIENTE Si en el punto P(x,y,z) la función A vale A(x,y,z), en el punto P’(x+dx, y+dy, z+dz) ¿Cuánto vale la función A? A A A Al pasar de P a P’, la función A experimenta una variación dA que viene dada por: dA  dx  dy  dz x y z    r A A 3 > A2 > A1 dr Se define Gradiente de la función escalar A A 3 A2 A1 dA = 0 A  A i  A j  A k x y z Por tanto podemos escribir: dA A  dr El gradiente es un vector que tiene la dirección en la que la variación de la función es máxima, y su sentido es hacia los valores crecientes. Es perpendicular en cada punto a la superficie de nivel en dicho punto B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 5/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I CAMPOS VECTORIALES r 20 cm/s v (x,y,z) 30 cm/s 40 cm/s r k r F  2 ur r    F = -kyi + kxj B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 6/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I CAMPOS VECTORIALES: representación Se representan mediante las LÍNEAS DE CAMPO. LÍNEAS DE CAMPO: Aquellas curvas cuya tangente en cada punto es paralela al campo en dicho punto. r B (x,y,z) B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 7/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I ROTACIONAL El rotacional del campo vectorial S se calcula:   S=C SIGNIFICADO: Para visualizarlo imaginemos que S representa el flujo de un fluido, y que tenemos un sólido inmerso en ese fluido. Por efecto del movimiento del fluido, el sólido está girando. El valor del rotacional de S en un punto es proporcional al vector velocidad angular del sólido en ese punto. •Si   S=0 en un punto significa que el fluido no produce rotaciones en ese punto, es decir no forma remolinos. Si colocamos una rueda con aspas rígidas en el fluido, el fluido la trasladará con él, pero no lo hará girar alrededor de su eje. •Si   S=0 en todos los puntos del espacio, el campo se llama irrotacional. SE CUMPLE QUE EL ROTACIONAL DEL GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR ES CERO B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 8/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I CIRCULACIÓN Sea un campo vectorial F, y L una trayectoria cualquiera. Si dr es un elemento de línea de la trayectoria L, entonces la circulación C de F a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es: r r dr F (x,y,z) B r dC  F d r cos  dr  r F es decir A r r r r F  Fx i  Fy j  Fzk CBA   Fx dx  Fy dy  Fz dz B A r r dC  F  d r r r r r d r  dx i  dyj  dzk CBA   F  dr B A Si F es una fuerza, la circulación entre A y B tiene el significado del trabajo W realizado por la fuerza a lo largo de la trayectoria L, entre los puntos A y B B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 9/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I Ejemplo Ejercicio: Calcular la circulación del campo de fuerzas F(x, y, z)  y i  xj N a lo largo de la trayectoria L y  1  x1/ 2 entre los puntos A(0,1) y B(1,0) m Como 1 dy   x 1/ 2dx 2 dz  0 1 C   Fx dx Fy dy  Fz dz   ydx    xdy   (1  x )dx   x1/ 2dx  2 A A A 0 0 B B B 1 B A 1 1/ 2 1 3/ 2 1 2  1 1/ 2  1 x dx x x 1       J 0  2  3 3 3 0 1 1 Por tanto hemos calculado el trabajo realizado por la fuerza F(x, y, z)  y i  xj N para ir desde el punto A(0,1) y B(1,0) m por el camino definido por la trayectoria B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 10/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I Trabajo y Energía Cinética El trabajo realizado por todas las fuerzas que se ejercen sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía cinética. Como: W  B A dp    F m a  dt   F  dr B A dp dr  dr   dp    dp  v  W    F  dr   dt dt A A A A B B B A  mdv  v   mvdv  B B A A B B 1 m  v B2  v 2A   ECIN 2 WAB (de todas las fuerzas que se ejercen sobre una partícula)  ECIN B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 11/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I CAMPOS CONSERVATIVOS Un campo vectorial es CONSERVATIVO cuando la circulación del campo entre dos puntos no depende de la trayectoria seguida, sino exclusivamente de las posiciones de los puntos inicial y final. Si el campo vectorial es una Fuerza, como la circulación entre dos puntos tiene el significado del trabajo realizado para ir de uno de los puntos al otro, el que dicha fuerza sea conservativa significa que el valor del trabajo realizado por la fuerza es independiente del camino utilizado, y sólo depende de las coordenadas de los puntos inicial y final. ¿Cómo se comprueba si un campo es conservativo o no? Método más rápido: Si   S=0 el campo S es conservativo o irrotacional Si S(x,y,z) es conservativo, se puede obtener a partir del gradiente de un campo escalar V(x,y,z) S  V   S    (V)  0 Esta función escalar V se la conoce como FUNCIÓN POTENCIAL de S B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 12/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I CAMPOS CONSERVATIVOS: Circulación ¿Cuánto vale la circulación de un campo F conservativo? C   F  dr    V  dr    dV  VA  VB B B B A A A B A r Sólo depende del valor de la función potencial correspondiente en los puntos A y B dr VB r r dr dr r F (x,y,z) r VA dr Si la trayectoria es cerrada, es decir los puntos inicial y final coinciden, la circulación es cero r r  F  dr  0 Recordemos: calcular la circulación de una fuerza es calcular el trabajo que realiza WAB   F  dr B A B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 13/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I CAMPOS CONSERVATIVOS: Función Potencial Como hemos visto es muy útil conocer la función potencial de la que deriva el campo conservativo Para el caso concreto de una FUERZA CONSERVATIVA, la función potencial de la que deriva, tiene el significado de la ENERGÍA POTENCIAL asociada a dicha fuerza. U U U        F , F , F  x y z x y z  F  U  ¿Cómo se calcula? U    Fx dx o U    Fy dx o Ejemplo: F  (3x 2 y 2  2z2 )i  2x 3 y j  4xzk U U U k j   i  z  y x U   (3x y + 2z )dx  y x  2z x + C(yz) 2 2 2 2 3 2 U   2x3 ydy   x3 y 2  C(xz) U    4xzdz  2xz 2  C(xy) U    Fz dz Tomamos todos los términos que aparecen (sólo 1 vez) U(x,y,z) = -x3y2 - 2xz2 + C B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 14/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I Trabajo y Energía Potencial Uniendo conceptos: El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la disminución de la Energía Potencial asociada a esa fuerza. W   Fx dx  U  Uxi  Uxf xf xi xf xi Y por tanto la energía potencial se calcula como: Uf  x    Fx dx  Uxi xf xi IMPORTANTE: Puesto que Uxi es una constante, sólo desplaza el valor de U(x). Siempre se puede decidir en que punto se pone el origen de energías potenciales, es decir donde Uxi=0 Fuerza Gravitatoria: F  mgk z r2 Uf  z    mgdz  Uzi  mg(z  zi )  Uzi Energía Potencial Gravitatoria zf zi r1  W12   U1  U2  mg(z1  z2 ) Trabajo realizado por F para ir desde r1 a r2 y x B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 15/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I Trabajo y Energía Potencial Fuerza Elástica: F  kx i X= longitud del muelle – longitud natural del muelle Energía Potencial Elástica Uf  x     xf xi 1 2 kxdx  U(x1) i  kx  U(x1) 2 Trabajo realizado por el muelle cuando pasa del estado x1 a x2  W12   U1  U2  1 k( x12  x 22 ) 2 La energía potencial elástica se puede entender como energía almacenada en el muelle B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 16/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I F. CONSERVATIVAS: Conservación de la Energía WTOTAL  Wconserv   U  Ecin Recordemos. Si solo actúan fuerzas conservativas: Ecin   U  0 La energía mecánica total de un sistema aislado en el que sólo actúan fuerzas conservativas permanece constante. ini ini ini Eini  U  E  U   cin cin Se define: Emec  Ecin   U Por tanto:  Para la fuerza gravitatoria: 1 2 mv  mgyi  mv  mgyf 2 i 1 2 2 f mv  kxi  mv  kx f Para la fuerza elástica: 1 2 2 i 1 2 1 2 2 f 1 2 Lcos Emec  0; Emec  cte y=0 U=0 L T C B A mg B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 EAcin + UA = EBcin + UB 0 - mgLcosA = ½ mvB2 – mgL vB  2gL 1  cos A  17/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I FUERZAS NO CONSERVATIVAS Son ejemplos de fuerzas no conservativas: • La tensión • La fuerza de rozamiento • Las ejercidas por pivotes, clavos, etc PARA CALCULAR EL TRABAJO realizado por estas fuerzas tenemos que CALCULAR SU CIRCULACIÓN. Es imprescindible detallar la TRAYECTORIA SEGUIDA porque no es independiente de ésta. B B WAB   F  dr A WAB (Fno conserv )   Fno conserv  dr A Las fuerzas no conservativas NO TIENEN asociadas energías potenciales Cuando en un sistema actúan fuerzas conservativas y no conservativas, la variación de la energía mecánica del sistema es igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas WTOTAL  WF.cons  WF. no cons  Ecin WF. no cons  (Ecin  U)  EMEC B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 18/19 FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS FÍSICA I Ejemplo: Conservación de la energía Un bloque de masa 6.0kg inicialmente en reposo se empuja hacia el Este con una fuerza constante e igual a 12 N. El coeficiente de rozamiento dinámico es mdin=0.15. Determinar la velocidad del bloque cuando ha recorrido una distancia de 3 m. F Froz vf vi=0 WTOTAL  WF.cons  WF. no cons  Ecin d=3.0m TEOREMA DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA El trabajo realizado por la fuerza F es El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento Froz es El trabajo total es: WF  F d cos   12  3.0cos   36  J  WROZ  FROZ d  FROZ d cos  = din mg d cos   0.15  6.0  9.8  3.0 cos 180  26J  WTOTAL  WF  Wk  36  26  10(J) 1  ECIN = m(vf2 - vi2 ) = WTOTAL 2 vf = 2 WTOTAL 2×10 = = 1.8m/ s m 6.0 B. Savoini / M.A. Monge. Dpto. Física. UC3M Tema 3 19/19